2014年高考天津理科卷的第20题几种解法尝试
2014英语高考天津卷答案及解析
2014英语高考天津卷答案及解析篇一:2014年全国高考英语试题及答案-天津卷2014 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)第一部分: 英语知识运用(共两节，满分45分)第一节: 单项填空 (共15小题;每小题1分，满分15分)1. Give me a chance, ________ I’ll give you a wonderful surprise.A. ifB. orC. andD. while2. ---Ok, I’ll fix your computer right now. ---Oh, take your time. __________.A. I can’t stand itB. I’m in no hurryC. That’s agreat idea D. It’s not my cup of tea3. Wind is now the world’s fastest growing ________ of power.A. sourceB. senseC. resultD. root4. _______ you start eating in a healthier way, weightcontrol will become much easier.1A. unlessB. AlthoughC. BeforeD. Once5. Anxiously, she took the dress out of the package and tried it on, only _________ id didn’t fitA. to findB. foundC. findingD. having found6. _______ the school, the village has a clinic, which was alsobuilt with government support.A. In reply toB. In addition toC. In charge ofD. In place of7. Clearly and thoughtfully________, the book inspires confidence in students who wish to seek their own answers.A. writingB. to writeC. writtenD. being written8. Life the like ________ ocean; Only________strong-willed can reach the other shore.A. an; theB. the; aC. the ;/D. / ; a9. My parents always _______ great importance to my getting a good education.A. haveB. attachC. acceptD. pay10. ---How long have you been learning English? ----_________! Your English is so good.A. You can’t be seriousB. You got itC. I couldn’tagree more D. I’m stuck11. We won’t start the w ork until all the preparations2__________.A. are being madeB. will be madeC. have been madeD. had been made12. English is a language shared by several diverse cultures,_________ uses it differently.A. all of whichB. each of whichC. all of themD. each of them13. The two countries are going to meet to _______ some barriers to trade between them.A. make upB. use upC. turn downD. break down14. I think _______ impresses me about his painting is the colourshe uses.A. whatB. thatC. whichD. who15. ________ the morning train, he would not have been late for the meeting.A. Did he catchB. should be catchC. has he caughtD. Had he caught第二节: 完形填空(共20小题，每小题1.5分，满分30分)阅读下面短文，掌握其大意，然后从16-35各题所给A,B,C,D的四个选项中，选出最佳选项。
2014年天津市高考数学试卷分析及2015年备考建议
2014年天津高考数学试卷分析及2015年备考建议2014年天津高考数学试题与去年相比，在试卷结构上呈稳定连续的趋势。
试卷的题型与题目的数量较前几年无变化，所考察的知识点均在考纲规定的范围内；在考查基础知识的同时注重对思想方法与能力的考查，试卷从试题的综合性、应用性和创新性的角度设计了由易到难的整体布局，试题的难易分布梯度较为平缓，试题情景设置合理，紧扣教材选题的同时也有着相当的创新要素，对于考生能力的要求进一步提高。
与2013年相比，今年试卷总体难度稍有上升。
下面对2014年天津高考数学进行全面的分析：一．总体分析1.试卷结构稳定，更加重视教材今年高考试卷结构上很好地秉承了天津高考以稳为主的命题思路，题型分布和考点设置上没有太大变化，严格依照《考试说明》中规定的考查内容，准确把握考查要求，对基础知识的考查既注重全面又突出重点。
试卷每种题型均设置了数量较多的基础题，许多试题都是考查单一的知识点或是在最基础的知识交汇点上设置，例如试卷中的选择题第1、2、3、4题，填空题第9、10、11、12题，这部分试题就是通常意义上的送分题，考查考生的基本功，需要牢牢把握。
2. 中等题目减少，强调通性通法2014天津高考还有一个显著的特征是试卷中等题比重在下降，在保证良好区分度与选拔功能的前提下逐步回归基础。
在试题命题上注重解题思路起点低，入口宽，更加强调“通性通法”在解题中的运用，要求运用基本概念分析问题，运用基本公式运算求解，利用基本定理推理论证，这些要求在各题中都有所体现，但各有不同侧重。
同时，还要求考生利用基本数学思想方法寻找解题思路，如试卷第7题需就题目中的绝对值来进行分类讨论分析，而第14题则需用到转化化归思想将函数零点问题转化为函数图象交点问题来考虑。
试卷强调通性通法，有利于引导中学数学教学回归基础。
3. 注重能力立意，更加注重创新2014年天津数学试题体现了《考试说明》规定的各项能力要求，运算求解能力贯穿试卷始终，空间想象能力考查也达到一定深度，推理论证能力和抽象概括能力依然是考查的重点，在区分考生时起到重要作用。
2014年全国高考语文试题及答案-天津卷
2014年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）语文本试卷分为第I卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，共150分，考试用时150分钟，第I卷1至6页，第II卷7至11页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第I卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2.本卷共12小题，每小题3分，共36分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。
一、（15分）1.下列词语中加点字的读音，完全正确的一组是A.缜．（zhěn）密商榷．（què）和．（huò）稀泥揆情度．（duó）理B.取缔．（tì）木讷．（nè）档．（dàng）案袋疾风劲．（jìn）草C.栖．（qī）息挟．（xiá）持白炽．（chì）灯戎马倥偬．(zǒng)D.葳蕤．(ruí) 豢．(huàn)养软着．(zhuó)陆扣人心弦．(xuán)2.下列词语中没有．．错别字的一组是A.焕发剽悍鼎力相助失之毫厘，谬以千里B.璘选更迭流光异彩鹬蚌相争，渔人得利C.砥砺斡旋别出心裁黄钟毁弃，瓦釜雷鸣D.甄别笼络休养生息天网灰灰，疏而不漏3.下面语段横线处应填入的词句，最恰当的一组是中国文人对审美具有的感知力，他们可以在安然怡悦中鸟翼几乎无声的扑动，还有花瓣簇簇飘落的声音，他们喜爱“”那种让静寂更显清幽的氛围。
A.精细用心倾听星垂平野阔，月涌大江流B.精细凝神谛听明月松间照，清泉石上流C.精确凝神谛听星垂平野阔，月涌大江流D.精确用心倾听明月松间照，清泉石上流4.下列各句中没有语病的一句是A. 每一个学生都具有创新的潜能，要激发这种潜能，就要看能否培养学生自主学习的能力。
2014年天津高考理科数学试题含答案(Word版)
则该几何体的体积 _______ m . 其前 n 和.若 S1 , S 2 , S 4 成等比数列 则 a1 的
3
11 设 { an }是首 值 __________.
a1 公差 -1 的等差数列 Sn
12 在 D ABC 中 内角 A, B, C 所对的边 别是 a, b, c . 知 b - c = 的值 _______. 13 在
数 a 的取值范围 __________. 解答题 15 本题共 6 道大题 13 满 80 ．解答 写出文 说明 证明过程或演算 骤．
本小题满
知函数 f ( x ) = cos x ⋅ sin x + 求 f ( x ) 的最小 周期 求 f ( x) 在 16 本小题满 区间 − 13 男
0,1,2,L, q - 1} 集合 知 q 和 n 均 给定的大于 1 的自然数.设集合 M = {
D
-
17 25 + i 7 7
2 设变
x y 满足 束条
x + y − 2 ≥ 0, x − y − 2 ≤ 0, 则目标函数 z = x + 2 y 的最小值 y ≥ 1,
C 4 D 5
A 2
B
3
3 阅读右边的程序框
行相 的程序 输出的 S 的值
A 15
B 105
1
C 245
π
3 2 − 3 cos x + 3 4
x∈R .
π π , 4 4
学 4
的最大值和最小值.
某大学志愿者协会有 6
女 学. 在这 10
学中 3
学来自数学学院 其余 7 学 到希望小学
学来自物理 化学等其他互 相 的七个学院. 现从这 10 进行支教活动 求选出的 3 设X 17 如 位 学被选到的可能性相 .
2023年全国高考乙卷理科第20题的解法探究与拓展
圆锥曲线中的定点、定值问题一直是高考热点问题.本文以2023年全国高考乙卷理科第20题的第二问为例，多角度探究求解，有利于学生系统掌握解题方法、拓宽视野和全面提升解题能力.1真题呈现题目：（2023年全国乙卷理科第20题）已知椭圆C ：y 2a 2+x 2b2=1()a >b >0的离心率为，点A ()-2,0在C 上.（1）求C 的方程；（2）过点()-2,3的直线交C 于P ，Q 两点，直线AP ，AQ 与y 轴的交点分别为M ，N ，证明：线段MN 的中点为定点.此题以椭圆为载体，背景是高等几何中的极点、极线模型，以极点、极线为背景的问题一直是高考中的常青树.试题新颖别致，立意高远而厚重，构思独具匠心，突出关键能力考查，体现了高考试题从能力立意到素养导向的功能.试题解法十分灵活，解题入口宽，深入难，区分度较高，凸显了高考试题的选拔性，是一道有丰厚内涵的经典试题.［1］2多维视角，解法探究（1）解析：由椭圆中a ,b ,c 的关系易得椭圆方程为y 29+x 24=1（略）.（2）多维视角的解法探究思维视角一：联立方程，设而不求解法1：普通方程法由题意可知直线PQ 的斜率存在，设P ()x 1,y 1,Q ()x 2,y 2,PQ :y =k ()x +2+3，联立方程ìíîïïy =k ()x +2+3y 29+x 24=1，消去y 得()4k 2+9x 2+8k (2k +3)x +16()k 2+3k =0，由Δ>0，解得k <0，可得x 1+x 2=-8k ()2k +34k 2+9,x 1x 2=16()k 2+3k 4k 2+9.因为A ()-2,0，则直线AP :y =y 1x 1+2(x +2),令x =0，解得y =2y 1x 1+2，即M æèçöø÷0,2y 1x 1+2，同理可得N æèçöø÷0,2y 2x 2+2，则2y 1x 1+2+2y 2x 2+22=2023年全国高考乙卷理科第20题的解法探究与拓展宁夏六盘山高级中学陈熙春李小刚750002摘要：借“题”发挥,从六种思维视角切入，多角度地对2023年高考乙卷理科第20题进行探究,旨在通过一题多解、寻根溯源、拓展延伸,深入挖掘试题背后隐藏的“秘密”,剖析此类问题的本质,归纳解题策略,提炼数学思想,实现从“一道题”到“一类题”质的飞跃.关键词：定点；解法探究；拓展··5[]k ()x 1+2+3x 1+2+[]k ()x2+2+3x 2+2=[]kx 1+()2k +3()x2+2+[]kx 2+()2k +3()x 1+2()x 1+2()x 2+2=2kx 1x 2+()4k +3()x 1+x 2+4()2k +3x 1x 2+2()x 1+x 2+4=32k ()k 2+3k 4k 2+9-8k ()4k +3()2k +34k 2+9+4()2k +316()k 2+3k 4k 2+9-16k ()2k +34k 2+9+4=10836=3，所以线段MN 的中点为定点()0,3.评析：解析几何中的定点问题，实质是定值问题，即求线段PQ 的中点纵坐标为定值.通过设点、设线，借助点的坐标，再结合根与系数的关系验证y M +yN 2为定值即可.求定点、定值问题常见的方法有两种，一种是从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关，直线过定点，由对称性知定点一般在坐标轴上；另一种是直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.解法2：整体代换法设P ()x 1,y 1,Q ()x 2,y 2,B ()-2,3，M ()0,y M ,N ()0,y N ,直线PQ 的方程为y =k ()x +2+3，联立ìíîïïy =k ()x +2+3y 29+x 24=1，整理得()4k 2+9(x +2)2+()24k -36(x +2)+36=0，由根与系数的关系得(x 1+2)+(x 2+2)=36-24k 4k 2+9,(x 1+2)(x 2+2)=364k 2+9,因为A ()-2,0，则直线AP :y =y 1x 1+2·()x +2，令x =0，解得y M =2y 1x 1+2，同理可得y N =2y 2x 2+2，所以y M +y N 2=y 1x 1+2+y 2x 2+2=2k +3(x 1+2+x 2+2)(x 1+2)(x 2+2)=2k +3(36-24k 4k 2+9)364k 2+9=3,所以线段MN 的中点为定点()0,3.评析：利用整体的思想，通过构造出关于x +2的一元二次方程，得到斜率间的等量关系，把x +2看成整体以后，比解法1要简洁，运算量大大简化，这种整体代换的思想是处理解析几何繁琐运算的有效策略.思维视角二：构造齐次式解法3：构造+齐次化法设直线PQ 的方程为m ()x +2+ny =1，因为直线PQ 过点()-2,3，代入得n =13.因为点P ，Q 在椭圆C ：9x 2+4y 2=36上，变形为9[](x +2)-22+4y 2=36，即9(x +2)2-36(x +2)+4y 2=0，齐次化得9(x +2)2-36(x +2)[m (x +2)]+ny +4y 2=0，化简得4y 2-36ny (x +2)+(9-36m )(x +2)2=0，等式两边同除以()x +22构造斜率式得4(y x +2)y 2-36n yx +2+9-36m =0，把n =13代入得4(y x +2)y 2-12yx +2+9-36m =0，由根与系数的关系得k AQ +k AP =3.因为A ()-2,0，设直线AP 的方程为y =k AP (x+2)，令x =0得y M =2k AP ，同理可得y N =2k AQ .故线段MN 的中点的纵坐标为y M +y N 2=2k AP +2k AQ2=k AP +k AQ =3，所以线段MN 的中点为定点()0,3.思维视角三：点差法解法4：点差法+三点共线设点B (-2,3),P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)，直线AP ,AQ 的斜率分别为k 1,k 2，则有MN 的中点坐标为(0,k 1+k 2).因为点P ，Q 在椭圆C ：y 29+x 24=1上，变形为(x 1+2-2)24+y 219=1⇒··614+19æèçöø÷y 1x 1+22=1x 1+2①，同理可得14+19⋅æèçöø÷y 2x 2+22=1x 2+2②，①-②可得19æèçy 1x 1+2-öø÷y 2x 2+2æèçöø÷y 1x 1+2+y 2x 2+2=1x 1+2-1x 2+2③，又知B ,P ,Q 三点共线可得y 1-3x 1+2=y 2-3x 2+2，变形可得y 1x 1+2-y 2x 2+2=3x 1+2-3x 2+2④，将④代入③可得y 1x 1+2+y 2x 2+2=3，即k 1+k 2=3，从而可得线段MN 的中点是定点()0,3.评析：利用“点差法”的思想方法，通过设点、代点、作差构造出k AP ,k AQ 的表达式，便可轻松解决.解法5：点差法+斜率双用设点B (-2,3),P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)，直线AP ,AQ 的斜率分别为k 1,k 2，易得MN 的中点坐标为(0,k 1+k 2).由于ìíî9x 21+4y 12=36①9×(-2)2=36②，①-②可得k 1=y 1x 1+2=-94x 1-2y 1.同理可得k 2=y 2x 2+2=-94x 2-2y 2,不妨设k 1+k 2=m .则m =y 1x 1+2-94x 2-2y 2，化简可得4y 1y 2-9x 1x 2+18x 1-18x 2+36=4my 2x 1+8my 2③，同理可得4y 1y 2-9x 1x 2+18x 2-18x 1+36=4my 1x 2+8my 1④，③-④可得9(x 1-x 2)=m (y 1x 2-y 2x 1)+2m (y 2-y 1)⑤，又知直线B ,P ,Q 三点共线可得y 1-3x 1+2=y 2-3x 2+2，化简可得9(x 1-x 2)=3(y 1x 2-y 2x 1)+6(y 2-y 1)⑥，⑤与⑥对比可得m =3，所以线段MN 的中点是定点()0,3.评析：本题为“斜率和”问题，在解题中涉及到斜率和问题时的解题规律为，第一步，写出原式；第二步，交叉使用；第三步，化整做差；第四步，对照两点式.这种方法同样可以解决“斜率积”问题.解法6：定比点差法设点B (-2,3),P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)，又设PB =λBQ ，所以有-2-x 1=λ(x 2+2)，3-y 1=λ(y 2-3).变形得-2-2λ=λx 2+x 1，3+3λ=λy 2+y 1①.因为点P ，Q 在椭圆C ：y 29+x 24=1上，所以有ìíîïïïïy 129+x 124=1(λy 2)29+(λx 2)24=λ2，两式作差得(y 1-λy 2)(y 1+λy 2)9+(x 1+λx 2)(x 1-λx 2)4=(1-λ)·(1+λ).把①式代入得y 1-λy 23-x 1-λx 22=1-λ.再由①式把λx 2，λy 2消去得2y13-x 1=3+λ②，又因为k AP =y 1x 1+2，把②式代入消去x 1得k AP =3y 12y 1-3-3λ.又因为k AQ =y 2x 2+2把①、②式代入得k AQ =-3+3λ-y 1x 1+2=-3(3+3λ-y 1)2y 1-3-3λ.所以k AP +k AQ =3y 12y 1-3-3λ-3(3+3λ-y 1)2y 1-3-3λ=3.即线段MN 的中点的纵坐标为y M +y N 2=2k AP +2k AQ2=k AP +k AQ =3，所以线段MN 的中点是定点()0,3.评析：定比点差法的一般变形公式，椭圆x 2a 2+y 2b2=1（a >b >0），点A (x 1 , y 1)，B (x 2, y 2)是椭圆上的点，且 AP =λ PB ，P (x 0 , y 0)，··7则ìíîïïïïλx 2=x 0(1+λ)-x 1λy 2=y 0(1+λ)-y 12(x 0x 1a2+y 0y 1b 2-1)=(x 20a 2+y 20b 2-1)⋅(1+λ)点A (x 1,y 1)、B (x 2 ,y 2)的坐标都可以用只含有x 1（或y 1）的式子表示出来.思维视角四：借梯登高思维解法7：参数方程法设直线PQ 的参数方程为{x =-2+t cos αy =3+t sin α(t 为参数），（其中α为直线PQ 的倾斜角）.代入椭圆方程y 29+x 24=1，化简可得(4+5cos 2α)t 2+12(2sin α-3cos α)t +36=0，设P 、Q 对应的参数分别为t 1,t 2,则t 1+t 2=12(3cos α-2sin α)4+5cos 2α,t 1⋅t 2=364+5cos 2α.又因为P (-2+t 1cos α,3+t 1sin α)，Q (-2+t 2cos α,3+t 2sin α).又因为直线AP 的方程为y =3+t 1sin αt 1cos α()x +2，令x =0得y M =2(3+t 1sin α)t 1cos α，同理可得y N =2(3+t 2sin α)t 2cos α.故线段MN 的中点的纵坐标为y M +yN 2=3+t 1sin αt 1cos α+3+t 2sin αt 2cos α=3(t 1+t 2)t 1t 2cos α+2sin αcos α==3(3cos α-2sin α)3cos α+2sin αcos α=3.所以线段MN 的中点是定点()0,3.评析：充分利用直线分别与椭圆相交这一几何条件，利用参数方程实现了几何问题代数化，体现了解析几何的基本思想——“数形结合”，有效地减少了运算量，应用参数方程法是破解此类问题的一个有效策略.解法8：三角代换法因为cos θ=cos 2θ2-sin 2θ2cos 2θ2+sin 2θ2,sin θ=2sin θ2cos θ2cos 2θ2+sin 2θ2，令t =tan θ2，故cos θ=1-t 21+t 2,sin θ=2t 1+t 2，于是设椭圆的参数方程为ìíîïïïïx =2(1-t 2)1+t 2y =6t 1+t 2（t 为参数）.设B (-2,3),P ,Q 对应的参数分别为t 1,t 2，由B ,P ,Q 三点共线可得6t 11+t 21-32(1-t 21)1+t 21+2=6t 21+t 22-32(1-t 22)1+t 22+2，化简得t 1+t 2=2.又知k AP =6t 11+t 212(1-t 21)1+t 21+2=3t 12，同理k AQ =3t 22，所以k AP +k AQ =32(t 1+t 2)=3.又因为A ()-2,0，设直线AP 的方程为y =k AP ()x +2，令x =0得y M =2k AP ，同理可得y N =2k AQ .故线段MN的中点的纵坐标为y M +y N 2=2k AP +2k AQ2=k AP +k AQ =3，所以线段MN 的中点是定点()0,3.评析：引入椭圆的参数方程，巧妙地实现了几何问题与三角函数的精彩联袂，解题方向清晰明了.当然也可以设P æèççöø÷÷2()1-t 121+t 12,6t 11+t 12,Q æèççöø÷÷2()1-t 221+t 22,6t 21+t 22，进而得到直线PQ 的方程为2(t 1+t 2)y -3(t 1t 2-1)x=6(1+t 1t 2),代入点B ()-2,3得到t 1+t 2=2.解法9：定比插参法设点B (-2,3),P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)，直线AP ,AQ 的斜率分别为k 1,k 2，则有MN 的中点坐标为(0,k 1+k 2).因为B ,P ,Q 三点共线可··8得y 1-3x 1+2=y 2-3x 2+2，变形得y 1-3y 2-3=x 1+2x 2+2=λ,故可得{y 1=λy 2+3(1-λ)x 1=λx 2+2(λ-1)，代入椭圆方程y29+x 24=1化简可得1λ=3+x 2-23y 2.又因为k 1+k 2=y 1x 1+2+y 2x 2+2=λy 2+3(1-λ)λx 2+2λ+y 2x 2+2=1x 2+2æèöø2y 2+3λ-3.把1λ=3+x 2-23y 2代入并化简可得k 1+k 2=1x 2+2æèöø2y 2+3λ-3=3，从而可得线段MN 的中点是定点()0,3.评析：解决此题的难点在于如何“设参”，焦点在于如何“用参”，重点在于如何“消参”，设参、用参、消参是解圆锥曲线问题的基本方法.因此定值问题的解题思路是：设参数→用参数来表示要求定值的式子→消参数.思维视角五：同构法解法10：同构法1设直线AP :x =m 1y -2,AQ :x =m 2y -2,PQ :x =m 0y +n .直线AP ,PQ 联立可得ìíîïïïïx =m 1n +2m 0m 1-m 0y =2+n m 1-m 0，代入椭圆方程得(9n 2-36)m 21+(72m 0+36m 0n )m 1+4(2+n )2=0,同理可得(9n 2-36)m 22+(72m 0+36m 0n )m 2+4(2+n )2=0.从而m 1,m 2为方程(9n 2-36)m 2+(72m 0+36m 0n )·m +4(2+n )2=0的两根，又由直线PQ 过点()-2,3，代入得n =-2-3m 0,代入上式得(81m 20+108m 0)m 2-108m 20m +36m 20=0.设直线AP ,AQ 的斜率分别为k 1,k 2,故MN 的中点坐标为(0,k 1+k 2).k 1+k 2=1m 1+1m 2=3.故MN 的中点是定点()0,3.评析：同构是一种常见的思想方法，是映衬着数学的对称和谐之美的数学方法，是“同理可得”的理论基础，是函数与方程思想的代名词与具体体现.在解题中灵活利用同构式，可以起到化繁为简的作用.解法11：同构法2设直线AP 的方程为y =k ()x +2，联立ìíîïïy =k ()x +2y 29+x 24=1，消去y 得()4k 2+9x 2+16k 2x +16k 2-36=0，当Δ>0时，由根与系数的关系得x A x P =16k 2-364k 2+9，又由x A =-2得到x P =-8k 2+184k 2+9，故P (-8k 2+184k 2+9,36k 4k 2+9).设直线PQ :y =m (x +2)+3,把点P 的坐标代入并化简可得12k 2-36k +36m +27=0.同理设直线AQ 的斜率为k 1,同理可得12k 12-36k 1+36m +27=0.所以k ,k 1是二次方程12x 2-36x +36m +27=0的两根，k +k 1=3,下同解法3.［2］评析：利用同构思想解题相当于寻找斜率满足的二次方程，可以收到事半功倍的效果.本题中方程有一个根是-2，利用根与系数的关系求出另一个根，减少了计算量.思维视角六：营造对称，方便计算解法12：构造对偶式法设点B (-2,3),P (x 1-2,y 1),Q (x 2-2,y 2)，因为B ,P ,Q 三点共线可得y 1-3x 1=y 2-3x 2，变形可得y 1x 2-y 2x 1=3(x 2-x 1).构造对偶式y 1x 2+y 2x 1=(y 1x 2)2-(y 2x 1)2y 1x 2-y 2x 1=x 22(9x 1-94x 12)-x 12(9x 2-94x 22)3(x 2-x 1)=3x 1x 2.因为直线AP 的方程为y =y1x 1()x +2，令x =0得y M =2y 1x 1，同理可得y N =2y 2x 2.故线段MN 的··9中点的纵坐标为y M +y N2=y 1x 1+y 2x 2=y 1x 2+y 2x 1x 1x 2=3，所以线段MN 的中点是定点()0,3.评析：构造对偶式重在“构造”，在运用时要对已知等式进行整体观察，利用代数式的对称性，设法构造有利于计算的代数式，使问题简捷获解.对偶式主要是用于化简、转化定点、定直线的坐标表示，构造对偶式法在解题中具有广泛性、灵活性和简洁性的特点.3探究与拓展探究1：已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1()a >b >0，左顶点为A ()-a ,0，上顶点为B ()0,b ，过点R ()-a ,b 的直线交椭圆C 于P ，Q 两点，直线AP ，AQ 与y 轴的交点分别为M ，N ，证明：线段MN 的中点为上顶点B ()0,b .证明：设直线AP 的方程为y =k (x +a ),联立ìíîïïy =k ()x +a x 2a 2+y 2b2=1，消去y 得()a 2k 2+b 2x 2+2a 3k 2x +a 4k 2-a 2b 2=0，当Δ>0时，由根与系数的关系得x A x P =a 4k 2-a 2b 2a 2k 2+b 2，又由x A =-a 得到x P =ab 2-a 3k 2a 2k 2+b 2，故P (ab 2-a 3k 2a 2k 2+b 2,2ab 2k a 2k 2+b2).设直线PQ :y =m (x +a )+b ,把点P 的坐标代入并化简可得a 2bk 2-2ab 2k +2ab 2m +b 3=0.设直线AQ 的斜率为k 1,同理可得a 2bk 12-2ab 2k 1+2ab 2m +b 3=0.所以k ,k 1是二次方程a 2bx 2-2ab 2x +2ab 2m +b 3=0的两根，k +k 1=2b a.设直线AP 的方程为y =k ()x +a ，令x =0得y M =ka ，同理可得y N =k 1a .故线段MN 的中点的纵坐标为y M +y N 2=ka +k 1a2=2b a ⋅a 2=b ，所以线段MN 的中点是上顶点B ()0,b .由此可见，2023年全国高考乙卷理科第20题是本结论的特殊情况.探究2：已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0，左顶点为A ()-a ,0，上顶点为B ()0,b ，过点R ()-a ,b 的直线交椭圆C 于P ，Q 两点，直线BP ,BQ 与x 轴的交点分别为M ，N ，证明：线段MN 的中点为左顶点A ()-a ,0.证明过程与探究1类似.探究3：已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1()a >b >0，左顶点为A ()-a ,0，上顶点为B ()0,b ，点R 是直线x =-a 上的任意一点，过点R 作椭圆C 的两条切线，分别交椭圆C 于A ，B 两点，过点R 的直线交椭圆C 于P ，Q 两点，直线AB ，AP ，AQ 的斜率分别为k ,k 1,k 2.证明：k 1+k 2=2k .简证：设R ()-a ,m ，则AB 是R 的切点弦所在的直线，故直线AB 的方程为-ax a 2+my b 2=1，所以k =b 2ma .后面证明过程与探究1的方法类似，得到k 1+k 2=2b 2am.故有k 1+k 2=2k .4往年高考试题链接变式1：如图1，过点P 作y 轴的平行线，分别与AE ，AQ ，交于点T ，H ，满足 PT =TH .证明：直线HQ 过定点.便得到2022年全国乙卷理科第20题的模型.变式2：过点P 作x 轴的垂线，分别EBPTHA N Q -22图1xy(下转第13页)O ··10cos (B +π4)=3sin A -cos(π-A )=3sin A+cos A =2sin (A +π6).于是0<A <3π4,故π6<A +π6<11π12，从而当A +π6=π2,即A =π3时，2sin (A +π6)取得最大值2.综上所述，3sin A -cos(B +π4)的最大值为2，此时A =π3,B =5π12.点评：本题主要考查三角函数的基本公式、解斜三角形的基础知识和基本运算能力.高考中有关三角函数求值问题，一方面考查纯三角函数求值；另一方面就是结合三角形考查求角以及求三角函数值；再就是在知识交汇点出题，三角函数的最值与三角形的结合.通过对以上几例的解析，希望对同学们学好、用活这部分知识有所帮助.与AE ，AQ 交于点T ，H .证明：T 为线段PH 的中点．试题链接：（2022年全国乙卷理科第20题）已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过A ()0,-2,B æèöø32,-1两点．（Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）设过点P ()1,-2的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足 MT =TH .证明：直线HN 过定点．不难发现，2023年全国高考乙卷理科第20题的第二问与2022年全国乙卷理科第20题极其相似，可以看作“姊妹题”.5解题感悟圆锥曲线中的定值、定点问题淋漓尽致地体现了“几何”与“代数”的深度融合，“动态”与“静态”的和谐统一.定点、定值问题都是探求“变中有不变的量”.因此要注意挖掘问题中各个量之间的相互关系，恰当地运用函数与方程、转化与化归、数形结合、分类讨论、特殊到一般、相关点法、设而不求、换元、消元等基本思想方法.该类问题综合性强，方法灵活，在解题过程中，既有探索性的历程，又有严密的逻辑推理及复杂的运算，成为考查学生数学核心素养的一道亮丽的风景线.文中的解法各有千秋，展示了各种解法的思维轨迹，凸显了思维的灵活性.从深度和广度上做文章，进行了系统性探究、整合、推广，实现了从“一道题”到“一类题”质的飞跃，进而提升学生的核心素养.参考文献［1］陈熙春.2022年全国高考乙卷第20题的解法探究与拓展［J ］.理科考试研究，2022（11）：16-20.［2］陈熙春.2021年全国新高考I 卷第21题的解法探究与拓展［J ］.数理化学习，2022（3）：8-13.基金项目：宁夏教育科学规划“基础教育质量提升行动”专项课题“公费师范生教师队伍建设实践研究—以宁夏六盘山高级中学为例”（编号：NXJKG22174）成果.(上接第10页)··13。
3用分离常数法解2014年高考题
用分离常数法解2014年高考题1 用分离常数法讨论方程根的个数题1 (2014年高考课标全国卷I 理科第11题即文科第12题)已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围是( )A.(2,)+∞B.(1,)+∞C.(,2)-∞-D.(,1)-∞- 答案 C解 因为函数32()31f x ax x =-+的零点不为0，所以可得本题的题干等价于“关于x的方程a x x =⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛3113有唯一实根，且该实根是正数，求a 的取值范围”，也等价于“关于x 的方程a x x =-33有唯一实根，且该实根是正数，求a 的取值范围”．用导数容易作出曲线33x x y -=如图1所示：图1由图1可得答案C ．题2 (2014年重庆卷文科第10题)已知函数⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈-+=]1,0(,]0,1(,311)(x x x x x f ，且m mx x f x g --=)()(在]1,1(-内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是( )A.]21,0(]2,49(⋃--B.]21,0(]2,411(⋃--C.]32,0(]2,49(⋃--D.]32,0(]2,411(⋃-- 答案 A 解 设)11(1)()(≤<-+=x x x f x h ，题意即曲线)(x h y =与直线m y =有两个公共点． 因为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<+-≤<-⎪⎭⎫⎝⎛-+=)10(111)01(2311)(2x x x x x h ，由复合函数单调性的判别法则“同增异减”可得函数)(x h 在⎥⎦⎤ ⎝⎛--31,1上是减函数，在]1,0(,0,31⎥⎦⎤⎢⎣⎡-上均是增函数，从而可作出曲线)(x h y =的草图如图2所示，由此可得答案．图2题3 (2014年高考江苏卷第13题)已知()f x 是定义在R 上且周期为3的函数，当[0,3)x ∈时，21()22f x x x =-+，若函数()y f x a =-在区间[]3,4-上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是 ．答案 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭解 作出函数21()2(03)2f x x x x =-+≤<的图象如图3所示：图3有1(0)2f =；当且仅当1x =时，1()=2f x 极大；7(3)=2f ．关于x 方程()0f x a -=即()=f x a 在[3,4]x ∈-上有10个零点，即曲线()y f x =与直线y a =在[3,4]-上有10个交点．因为函数()f x 的周期为3，所以直线y a =与曲线212(03)2y x x x =-+≤<有4个交点，得所求实数a 的取值范围是10,2⎛⎫⎪⎝⎭． 题4 (2014年高考天津卷理科第14题)已知函数f (x )＝|x 2＋3x |，x ∈R ．若方程f (x )－a |x －1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为________．答案 (0,1)∪(9,＋∞)解 因为1=x 不是原方程的根，所以设x x '=-1后可得本题等价于：若关于x 的方程a xx =++54恰有4个互异的实根，则实数a 的取值范围为________． (1)作出对勾函数xx x f 4)(+=的图象如图4所示：图4(2)再由平移可作出函数54)(++=xx x g 的图象如图5所示：图5(3)作出函数54)(++=xx x h 的图象如图6所示：图6因为关于x 的方程a x x =++54的互异实根个数即两条曲线a y xx y =++=,54公共点的个数，所以由图6可得结论：①当0<a 时，原方程互异实根的个数是0；②当0=a 或91<<a 时，原方程互异实根的个数是2； ③当1=a 或9时，原方程互异实根的个数是3；④当10<<a 或9>a 时，原方程互异实根的个数是4． 所以本题的答案是(0,1)∪(9,＋∞)．题5 (2014年高考天津卷文科第14题)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x 2＋5x ＋4|，x ≤0，2|x －2|，x ＞0.若函数y＝f (x )－a |x |恰有4个零点，则实数a 的取值范围为________．答案 (1,2)简解 因为0=x 不是函数y ＝f (x )－a |x |的零点，所以可得本题等价于：若两条曲线a y x xx x x y =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-<++=,)0(122)0(54恰有4个公共点，则实数a 的取值范围为________．同题4的解法，可作出曲线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-<++=)0(122)0(54x xx x x y 如图7所示：图7由图7可得结论：①当0<a 时，原方程互异实根的个数是0；②当0=a 或2≥a 时，原方程互异实根的个数是3； ③当10<<a 时，原方程互异实根的个数是6； ④当1=a 时，原方程互异实根的个数是5； ⑤当21<<a 时，原方程互异实根的个数是4． 所以本题的答案是(1,2)．题6 (2014年高考天津卷理科第20(1)题)设f (x )＝x －a e x (a ∈R )，x ∈R ．已知函数y ＝f (x )有两个零点x 1，x 2，且x 1<x 2，求a 的取值范围．解 题设关于x 的方程a x x=-e有两个零点．用导数可得函数xx x g -=e )(在),1(),1,(+∞-∞上分别是增函数、减函数，且0)(lim ,e 1)1(,)(lim ==-∞=+∞→-∞→x g g x g x x ．由此可作出函数)(x g 的图象如图8所示：图8所以所求答案为⎪⎭⎫⎝⎛e 1,0．题7 (2014年高考课标全国卷II 文科第21题)已知函数32()32f x x x ax =-++，曲线()y f x =在点(0,2)处的切线与x 轴交点的横坐标为2-．(1)求a ；(2)证明：当1k <时，曲线()y f x =与直线2y kx =-只有一个交点． 解 (1)1a =．(2)题意即证“当1k <时，关于x 的方程3232=2x x ax kx -++-即有唯一实根”．设24g()31x x x x=-++，得22115248()(2)x g x x x ⎛⎫++⎪⎝⎭'=-，所以函数()g x 在)2,0(),0,(-∞上均是减函数，在),2(+∞上是增函数．由此可作出函数24g()31x x x x=-++的图象如图9所示：图9由图9可得欲证成立．题8 (2014年高考北京卷文科第20题)已知函数3()23f x x x =-．(1)求()f x 在区间[2,1]-上的最大值；(2)若过点(1,)P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切，求t 的取值范围；(3)问过点(1,2),(2,10),(0,2)A B C -分别存在几条直线与曲线()y f x =相切？只需写出结论．解 (1)(3)略．(2)2()63f x x '=-．当点P 在曲线()y f x =上即1-=t 时：又当点(1,1)P -是切点时，曲线()y f x =过点P 的切线是1条． 又当点(1,1)P -不是切点时，可设切点为3(,23)(1)P P P P x x x x -≠，得3223163(1)1P P P P P x x x x x -+=-≠-12P x =-所以此时过点P 的切线是1条．得过点P 存在2条直线与曲线()y f x =相切，不合题意．所以1-≠t ，即点P 不在曲线()y f x =上．可设切点为3(,23)PP P x x x '''-，得 3223631PP PPx x t x x ''--'=-'- 324630PP x x t ''-++= 题意即这个一元三次方程也即关于x 的一元三次方程)1(36423-≠=-+-t t x x 有三个实根．用导数知识可作出函数364)(23-+-=x x x g 的图象如图10所示：图10由图10可得所求t 的取值范围是)1,3(--． 题9 (2014年广东卷文科第21题)已知函数321()1(3f x x x ax a =+++∈R )． (1)求函数()f x 的单调区间；(2)当0a <时，试讨论是否存在0110,,122x ⎛⎫⎛⎫∈⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，使得01()2f x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭． 解 (1)略． (2)方程0011()22f x f x ⎛⎫⎛⎫=≠⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即 323200001111111=1332222x x ax a x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 3232000011111032222x x a x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-=≠⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦2000011111032422x x x a x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++=≠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 2000141412702x x a x ⎛⎫+++=≠ ⎪⎝⎭ ①所以 “当0a <时，存在0110,,122x ⎛⎫⎛⎫∈⋃ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，使得01()2f x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭”⇔“当0a <时，方程①在0110,,122x ⎛⎫⎛⎫∈⋃ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭时有解”⇔ “当0a <时，关于0x 的方程2000114147120,,122x x a x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=-∈⋃ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭有解”因为函数2000011()41470,,122g x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++∈⋃ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值域是)25,15()15,7(⋃，所以“当0a <时，存在0110,,122x ⎛⎫⎛⎫∈⋃ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，使得01()2f x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭”⇔ ⇔⋃∈-)25,15()15,7(12a 25557,,124412a ⎛⎫⎛⎫∈--⋃-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由此得本题的答案是：当0a <时，当且仅当25557,,124412a ⎛⎫⎛⎫∈--⋃-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，存在0110,,122x ⎛⎫⎛⎫∈⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，使得01()2f x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．注 由以上解法还可得下面的结论： 若3211()1(32f x x x ax x a ⎛⎫=+++≠∈ ⎪⎝⎭R )，则 (1)当且仅当61>a 时，关于x 的方程1()2f x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭无解； (2)当且仅当67,61-=a 时，关于x 的方程1()2f x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭有唯一解； (3)当且仅当61<a 且67-≠a 时，关于x 的方程1()2f x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭有且仅有两个解．题10 (2014年高考山东卷理科第20题)设函数()2e 2ln (x f x k x k x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭为常数，e 2.71828=是自然对数的底数)．(1)当0k ≤时，求函数()f x 的单调区间；(2)若函数()f x 在()0,2内存在两个极值点，求k 的取值范围．解 (1)()3e (2)(>0)x kxf x x x x -'=-． 当0k ≤时，得3e 0,0x kx x ->>，所以()f x '与2x -同号，得函数()f x 的单调增区间、减区间分别是(0,2),(2,)+∞．(2)由(1)的结论知，()22e (0<2)x x f x k x x x ⎛⎫-'=-< ⎪⎝⎭，()f x '与e xk x-同号．设()e (0<2)x g x x x =<，得()21e (0<2)x x g x x x-'=<． 所以函数()g x 在(0,1),(1,2)上分别是减函数、增函数．又因为()20e lim ,(2)2x g x g +→=+∞=，所以函数()f x '在(0,2)有两个零点2e e 2k ⇔<<． 设这两个零点分别是1212,(02)x x x x <<<，还可证它们分别是函数()f x 的极小值点、极大值点．所以所求k 的取值范围是2e,e 2⎛⎫⎪⎝⎭．2 用分离常数法求解恒成立、存在性问题题11 (2014年高考辽宁卷文科第12题)当[2,1]x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[5,3]--B ．96,8⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．[6,2]--D ．[4,3]--答案 C解 分10,0,02≤<=<≤-x x x 三种情形讨论，并用分离常数法，可求得答案． 题12(2014年高考湖南卷理科第10题)已知函数221()(0)()ln()2x f x x e x g x x x a =+-<=++与的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是( ) A.1(,)e -∞ B.(,)e -∞ C.1(,)e e - D.1(,)e e -答案 B解 题意即关于x 的方程221e ln()(0)2xx x a x x +-=+-<也即1e 2e (0)x x a x -+=<有解．易知函数1e 2()=e(0)x h x x x -+<是增函数(两个增函数之和是增函数)，所以e )0(=<h a ．题13 (2014年高考课标全国卷II 理科第12题)设函数()3sin x f x mπ=．若存在()f x 的极值点0x 满足()22200x f x m +<⎡⎤⎣⎦，则m 的取值范围是( )A.(,6)(6,)-∞-⋃+∞B.(,4)(4,)-∞-⋃+∞C.(,2)(2,)-∞-⋃+∞D.(,1)(4,)-∞-⋃+∞ 答案 C 解 ()3c o s x f x m m ππ'=．得()0003cos 0,(2x m f x x mk k m m ππ'===+∈Z )(还可得这样的0x 一定是函数()f x 的极值点)．0x ∃满足()22200x f x m +<⎡⎤⎣⎦，即k ∃∈Z 满足221312k m ⎛⎫+<- ⎪⎝⎭，也即22min1312k m ⎡⎤⎛⎫+<-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，还即221312m ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，进而可得答案．题14 (2014年高考浙江卷理科第13题)当实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≤-+101042x y x y x 时，14ax y ≤+≤恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案 31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦解 所给区域是以三点3(1,0),1,,(2,1)2⎛⎫ ⎪⎝⎭为顶点的三角形，所以12x ≤≤． “14ax y ≤+≤恒成立”即“41y y a x x--≤-≤恒成立”，由斜率的几何意义可得答案．题15 (2014年高考江苏卷第19(2)题)已知函数()e e x xf x -=+，其中e 是自然对数的底数．若关于x 的不等式()e1xmf x m -≤+-在(0,)+∞上恒成立，求实数m 的取值范围．解 设e (0)xt x =>，得题设即21(1)1t m t t t --≥>-+恒成立．可得0m <，所以题设即11112(1)1t t m t -≤-++>-恒成立，可得114m -≤，得实数m 的取值范围1,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦．题16 (2014年高考陕西卷文科第21题)设函数()ln ,mf x x m x=+∈R ． (1)当e(e m =为自然对数的底数)时，求()f x 的极小值；(2)讨论函数()'()3xg x f x =-零点的个数；(3)若对任意()()0,1f b f a b a b a->><-恒成立，求m 的取值范围．解 (1)略．(2)用分离常数法可求得答案： 当0m ≤或23m =时，函数()g x 零点的个数是1；当203m <<时，函数()g x 零点的个数是2；当23m >时，函数()g x 零点的个数是0． (3)题设即()()(0f a a f b b a b ->-<<恒成立，也即函数()()l n (0)mh x f x x x x x x=-=+->是减函数． 用分离常数法可求得m 的取值范围是1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 练习1.(2013年高考陕西卷理科第21(2)题)设x >0，讨论曲线2e ,(0)x y y mx m ==>公共点的个数．2.(2013年高考新课标卷I 理科第21题)已知函数)(e )(,)(2d cx x g b ax x x f x +=++=．若曲线)(x f y =和曲线)(x g y =都过点)2,0(P ，且在点P 处有相同的切线24+=x y ．(1)求d c b a ,,,的值；(2)若2-≥x 时，)()(x kg x f ≤，求k 的取值范围．3.(2013年高考福建卷文科第22题)已知函数∈+-=a ax x f x(e 1)(R ，e 为自然对数的底数)．(1)若曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线平行于x 轴，求a 的值； (2)求函数)(x f 的极值；(3)当1=a 时，若直线1:-=kx y l 与曲线)(x f y =没有公共点，求k 的最大值． 答案：1.当4e 02<<m 时，有0个公共点；当 4e 2=m 时，有1个公共点；当4e 2>m 有2个公共点．2.(1)2,4====d c b a ．(2)题设即)2)(1(e 2242-≥+≤++x x k x x x恒成立．设)1(e 24)(2+++=x x x x h x ，可得题设即⎩⎨⎧->≤-<≤-≥)1(2)()12(2)(x k x h x k x h 恒成立．得22)1(e )2()(++-='x x x x h x ，所以： 当12-<≤-x 时，0)(≥'x h 恒成立，)12)((-<≤-x x h 是增函数，所以)12(2)(-<≤-≥x k x h 恒成立即2e ,2)2(≤≥-k k h ．当1->x 时，可得2)0()]([max ==h x h ，所以)1(2)(->≤x k x h 恒成立即1,22≥≤k k ．所以所求k 的取值范围是]e 1,[2． 3.(1)e ．(2)略．(3)题意即方程xx kx e111+-=-也即1e )1(=-xx k 无解，1=k 满足． 当1≠k 时，即方程11e -=k x x无解．用导数可求得函数x x y e =的值域是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,e 1，所以e111-<-k ，即e 11,e 10->>->->k k ． 总之，k 的取值范围是]1,e 1(-，所以k 的最大值是1．。
2014年高考试题分项版解析：专题08农业
2014年高考试题分项版解析：专题08农业2014年高考试题分项版解析专题8 农业（2014新课标II卷）图4示意某岛的地理位置，读图4，完成10-11题。
10.图示岛屿西南部降水丰沛，主要是因为（）①盛行西风②地形抬升③暖流增湿④反气旋控制A.①②B.②③C.③④D.①④11.下列农业生产类型中，最适宜在图示岛屿发展的是（）A.水田农业B.迁移农业C.种植园农业D.乳畜业【答案】10. A、11.D【解析】地图信息显示该岛纬度大部分位于南纬42°—46°，地处太平洋中，中部山脉海拔较高（超过3000米）、大致呈东北—西南走向分布，河流、湖泊众多。
10、南纬42°—46°，地处西风带，来自海洋的湿润气流受高达山脉阻挡抬升，形成地形雨，因此降水丰富。
岛屿西南部受西风漂流（寒流）影响较大，而非暖流。
反气旋（高压）控制、降水少，错误。
11、降水丰沛、气候温和（南纬42°—46°，岛屿、气候海洋性强），多山地，适合草类生长，因地制宜发展畜牧业最合适。
如果能判断出是新西兰，则直接选D。
【考察能力】读图能力（定位、定气压带风带、洋流、判断地形、根据河流和湖泊的数量判断降水的多少）【地理原理】降水的影响因素（纬度、海陆、地形、大气环流、洋流、）农业地域类型的分布（2014广东卷）9.图4为根据统计资料计算出的我国1980-2010年水稻产量重心移动方向图。
若下列地区的水稻产量均有增加，则对图示水稻产量重心移动趋势贡献最大的地区是A、西南地区 B东北地区 C、华南地区 D、西北地区（2014重庆卷）素有“欧洲粮仓”之称的乌克兰在1992-2007年期间耕地总量减少2.78%，但人均耕地增加8.32%。
据此完成3-4题。
3.1992-2007年乌克兰耕地的变化标明这一时期该国A.人口数量减少B.城市化率提高C.土壤质量下降D.粮食单产提高4.1992-2007年乌克兰人均耕地增加最可能引起该国A.人均粮食产量增加B.农业生产投入增加C.粮食进口总量增加D.亩均农业产值增加【答案】3.A 4.A【解析】试题分析：3.乌克兰在1992-2007年期间耕地总量减少2.78%，但人均耕地增加8.32%，则说明该国人口总数在下降，且超过耕地面积的下降速度，与城市化率没有必然联系，土壤质量是否下降也不能确定，粮食单产提高与耕地变化无关。
第14讲 函数的零点、隐零点、极值点偏移问题(学生版) 备战2025年高考数学一轮复习(天津专用)
第14讲函数的零点、隐零点、极值点偏移问题（6类核心考点精讲精练）1.5年真题考点分布【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，难度较低，分值为16分【备考策略】1.理解、掌握函数零点与方程的关系2.能掌握函数零点的求解方法3.具备数形结合的思想意识，会借助函数图像的交点解决函数的零点问题4.会解隐零点与极值点偏移问题【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给出函数的解析式解决函数的零点相关问题。
知识讲解知识点一.函数零点个数问题用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断;另一方面，也可将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决，对于函数零点个数问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围，从图象的最高点、最低点、分析函数的最值、极值;从图象的对称性，分析函数的奇偶性;从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等。
但需注意探求与论证之间区别，论证是充要关系，要充分利用零点存在定理及函数单调性严格说明函数零点个数.知识点二.零点存在性赋值理论1.确定零点是否存在或函数有几个零点，作为客观题常转化为图象交点问题，作为解答题一般不提倡利用图象求解，而是利用函数单调性及零点赋值理论.函数赋值是近年高考的一个热点，赋值之所以“热”，是因为它涉及到函数领域的方方面面:讨论函数零点的个数(包括零点的存在性，唯一性);求含参函数的极值或最值;证明一类超越不等式;求解某些特殊的超越方程或超越不等式以及各种题型中的参数取值范围等，零点赋值基本模式是已知f(a)的符号，探求赋值点m(假定m<a)使得f(m)与f(a)异号，则在(m，a)上存在零点2.赋值点遴选要领:讲选赋值点须做到三个确保:确保参数能取到它的一切值;确保赋值点x0落在规定区间内;确保运算可行三个优先:(1)优先常数赋值点;(2)优先借助已有极值求赋值点;(3)优先简单运算.知识点三.隐零点问题1.函数零点按是否可求精确解可以分为两类:一类是数值上能精确求解的，称之为“显零点”;另一类是能够判断其存在但无法直接表示的，称之为“隐零点”2.利用导数求函数的最值或单调区间，常常会把品值问题转化为求导函数的零点问题、若导数零点存在，但无法求出，我们可以设其为0，再利用导函数单调性确定0所在区间，最后根据f’(0)=0，研究f(0)，我们把这类问题称为隐零点问题.注意若f(x)中含有参数a，关系式f(0)=0是关于0,a的关系式，确定0的合适范围，往往和a的范围有关.考点一、函数零点个数问题1.（2024·四川凉山·二模）若=Lin+cos−1，∈−π2,π，则函数的零点个数为（）A．0B．1C．2D．32.（2024高三·全国·专题练习）函数f（x）＝x－sin x的零点个数为．1.（2024高三·全国·专题练习）已知函数f(x)＝x3－x－1.(1)求证：函数f(x)在区间(1，2)内恰有一个零点；(2)将（1）中的零点记为a，且a4r14n的值.2.（2024·山西晋中·模拟预测）已知函数=ln+sin+sinπ10.(1)求函数在区间1,e上的最小值；(2)判断函数的零点个数，并证明.考点二、数形结合法研究零点问题1.（2023·四川甘孜·一模）设定义在上的函数是偶函数，且+π=−π，'是的导函数，当∈0,π时，0<<1；当∈0,π且≠π2时，π2'>0，则函数=−sin在−2π,2π上的零点个数为（）A．2B．4C．5D．82.（2024高三下·全国·专题练习）已知是定义在R上的奇函数，当>0时，=e3−3ln，则函数的零点个数为（）A．2B．3C．4D．51.（24-25高三上·广东·开学考试）若函数op=sin−cos+B+1(>0)，∈[0,2π]的图象与直线=0,=π,=0所围成的封闭图形的面积为12π2+π+2．(1)求的值；(2)求函数op单调区间及最值；(3)求函数op=op−在区间∈[0,2π]上的零点个数．2.（2024·浙江·模拟预测）已知函数=e+sin−−1.(1)当=12时，求的单调区间；(2)当=1时，判断的零点个数.3.（22-23高三上·全国·阶段练习）已知函数op=133−2B2+2，其中≥0．(1)若的极小值为−286，求单调增区间；(2)讨论的零点个数．1.（2024·山东聊城·一模）已知函数=e−1，=ln−B，=e−ln−1.(1)求的单调递增区间；(2)求的最小值；(3)设ℎ=−，讨论函数ℎ的零点个数.2.（2024·湖南·二模）已函数op=3+B2+B+os s∈p，其图象的对称中心为(1,−2).(1)求−−的值；(2)判断函数的零点个数.1.（2024·河南郑州·三模）已知函数=e B−.(1)若=2，求在1,1处的切线方程；(2)讨论的零点个数.2.（2024·湖北·模拟预测）函数op=x−−1(∈p．(1)当=1时，证明：op≥0；(2)讨论函数op的零点个数．3.（23-24高三上·河北邢台·阶段练习）已知函数=23−32−12+5．(1)求的极值；(2)讨论函数=−的零点个数．4.（23-24高三上·陕西·阶段练习）已知函数=3ln+122−4+1.(1)求的图象在=2处的切线方程；(2)讨论函数=−的零点个数.1.（2024·山西·三模）已知函数op=2+1,>0e,≤0，若函数op=op−+o∈p恰有一个零点，则的取值范围是.2.（2018·全国·高考真题）已知函数=-B2．（1）若=1，证明：当≥0时，≥1；（2）若在(0,+∞)只有一个零点，求的值.1.（2017·全国·高考真题）已知函数=e2+−2e−（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围.2.（2024·内蒙古包头·三模）设函数=ln+−．(1)当=1时，求的最小值；(2)若恰有两个零点，求a的取值范围．考点五、隐零点问题1.22-23高三上·河南洛阳·开学考试）（1）证明不等式：e K2>ln（第一问必须用隐零点解决，否则不给分）；（2）已知函数op=(−2)e+o−1)2有两个零点.求a的取值范围.（第二问必须用分段讨论解决，否则不给分）2.（23-24高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知函数=2−En∈R．(1)判断函数的单调性；(2)设=2−−2ln，证明：当=2时，函数有三个零点．1.（22-23高三上·河北·期中）已知函数=2e+o2−lnp+.(1)若=−2e−1，求的单调区间；(2)记函数=−2−En+1++4，若+1≥恒成立，试求实数的取值范围.2.（23-24高三下·广东广州·阶段练习）已知函数=e−2．(1)求函数的极值；(2)讨论函数=−sin在R上的零点个数．（参考数据：sin1≈0.84，cos1≈0.54）3.（2024·山东·模拟预测）已知函数=14e−．(1)求曲线=在点1,1处的切线在轴上的截距；(2)探究的零点个数．4.（23-24高三上·福建莆田·阶段练习）已知函数=e−sin.(1)求在0,0处的切线方程；(2)求证：当∈−π,+∞时，函数有且仅有2个零点.1.（2024高三·全国·专题练习）设函数op=e−12e2−13(−1)3+5e2,∈[0,+∞)．(1)判断函数op的单调性；(2)若1≠2，且1+2=6e，求证：1+2<2．2.（22-23高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数=B2，=1−ln.(1)若对于任意∈0,+∞，都有<，求实数的取值范围；(2)若函数=−有两个零点1,2，求证：11+12>2.1.（23-24高三上·江苏连云港·阶段练习）已知函数=ln+12B2−+1∈.(1)当=1时，求函数=的零点个数.(2)若关于的方程=12B2有两个不同实根1,2，求实数的取值范围并证明1⋅2>2.2.（22-23高三上·河北唐山·阶段练习）已知函数=−1ln−2+B∈.(1)若函数='有两个零点，求的取值范围；(2)设1,2是函数的两个极值点，证明：1+2>2.3.（21-22高三上·广东清远·期末）已知函数op=K1−o−1)．(1)讨论op的零点个数．(2)若op有两个不同的零点1,2，证明：1+2>4．4.（21-22高三上·北京昌平·期末）已知函数op=163−2B+8ln．（1）若函数op在定义域内单调递增，求实数的取值范围；（2）若函数op存在两个极值点1,2，求证：1+2>4．1．（22-23高三上·天津和平·期末）设函数op=e−e−,≥0−2−2−4,<0，若函数=−B恰有两个零点，则实数的取值范围为（）A．0,2B．0,2C．2,+∞D．2 2．（2020·重庆·一模）已知为R上的可导函数，当≠0时，'+>0，若=+1，则函数的零点个数为（）A．0B．1C．2D．0或23．（21-22高三上·天津河北·期中）已知函数=En−1，则的零点所在的区间是（）A．0,1B．1,2C．2,3D．3,44．（2024高三·全国·专题练习）函数f（x）＝2x＋x－2的零点个数是（）A．0B．1C．2D．36．（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知函数=2+B+e，若函数有两个不同零点，则极值点的个数为.7．（23-24高三上·天津滨海新·阶段练习）已知函数=133−2+1．(1)求曲线=在点1,1处的切线方程；(2)求函数在−2,2上的单调区间、最值．(3)设=−在−2,2上有两个零点，求的范围.1．（23-24高三上·天津南开·阶段练习）若函数=+2−En−−2，（>0且≠1）有两个零点，则m的取值范围（）A．−1,3B．−3,1C．3,+∞D．−∞,−12．（20-21高三上·天津南开·阶段练习）设函数f(x)=ln， ＞0，e(+1)，≤0，若函数g(x)=f(x)–b有两个零点，则实数b的取值范围是（）A．(–12，0)B．(–12，0]C．(–12，0]∪(1，+∞)D．(–12，1) 3．（2023·吉林·一模）已知函数=eK1,>0且≠1,−−,<0且≠−1,若函数op=2(p−B(p−e4有4个零点．则实数的取值范围是．4．（2023·天津河北·一模）设∈，函数=B2−+1,<0e−B,≥0，若恰有两个零点，则的取值范围是.5．（23-24高三上·天津河北·期中）已知函数=23−22+1.(1)求曲线=在点1,1处的切线方程；(2)求函数=的单调区间和极值；(3)若函数=−在区间−1,1上有一个零点，求实数的取值范围.6．（22-23高三上·天津·期中）已知函数=3+B2+B+在点1,2处的切线斜率为4，且在=−1处取得极值.(1)求函数的单调区间；(2)若函数=+−1恰有两个零点，求实数m的取值范围.7．（21-22高三上·天津东丽·阶段练习）已知函数op=B3−62+1，∈.（1）若=2，求函数op的单调区间；（2）若=−4，求函数在区间[−2,3]的最值；（3）若op恰有三个零点，求a的取值范围.1.（2023·全国·高考真题）函数=3+B+2存在3个零点，则的取值范围是（）A．−∞,−2B．−∞,−3C．−4,−1D．−3,02.（2022·全国·高考真题）已知函数op=B−1−(+1)ln．(1)当=0时，求op的最大值；(2)若op恰有一个零点，求a的取值范围．3.（2020·全国·高考真题）已知函数op=3−B+2．（1）讨论op的单调性；（2）若op有三个零点，求的取值范围．4.（2020·全国·高考真题）已知函数op=−o+2).（1）当=1时，讨论op的单调性；（2）若op有两个零点，求的取值范围.。
2014年天津高考理科数学试题逐题详解 (纯word解析版)
2014年天津高考理科数学试题逐题详解 （纯word 解析版）一、选择题:在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【2014年天津卷（理01）】i 是虚数单位，复数734ii +=+ A.1i - B.1i -+ C.17312525i + D.172577i -+【答案】A 【解析】()()()()73472525134343425i i i i i i i i +-+-===-++-【2014年天津卷（理02）】设变量x 、y 满足约束条件20201x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则目标函数2z x y =+的最小值为A.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】画出可行域，如图所示．解方程组⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，得⎨⎪⎧x ＝1，即点A (1，1)．当目标函数线过可行域内A 点时，目标函数有最小值，即z min ＝1³1＋2³1＝3.【2014年天津卷（理03）】阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出S 的值为A.15B.105C.245D.945【答案】B【解析】1i =时，3T =，3S =；2i =时，5T =，15S =；3i =时，7T =，105S =，4i =输出105S =.【2014年天津卷（理04）】函数212()log (4)f x x =-的单调递增区间为A.(0，)+∞B.(-∞，0)C.(2，)+∞D.(-∞，2)-【答案】D【解析】要使f (x )单调递增，需有⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4>0，x <0，解得x <－2.【2014年天津卷（理05）】已知双曲线22221(0x y a a b-=>，0)b >的一条渐近线平行于直线l ：210y x =+，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为A.221520x y -= B.221205x y -= C.2233125100x y -= D.2233110025x y -=【答案】A【解析】由题意知，双曲线的渐近线为y ＝±b a x ，∴b a＝2.∵双曲线的左焦点(－c ，0)在直线l 上，∴0＝－2c ＋10，∴c ＝5.又∵a 2＋b 2＝c 2，∴a 2＝5，b 2＝20，∴双曲线的方程为x 25－y 220＝1.【2014年天津卷（理06）】如图，ABC ∆是圆的内接三角形，BAC ∠的平分线交圆于点D ，交BC 于点E ，过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F ，在上述条件下，给出下列四个结论：①BD 平分CBF ∠；②2FB FD FA =⋅；③AE CE BE DE ⋅=⋅；④AF BD AB BF ⋅=⋅.则所有正确结论的序号是A.①②B.③④C.①②③D.①②④1＝∠3，∠2＝∠4，且∠1＝∠2，∴∠4＝∠3，∴BD 平分∠CBF ，∴△ABF∽△BDF .∵AB BD ＝AF BF ，∴AB ²BF ＝AF ²BD .∵AF BF ＝BF DF，∴BF 2＝AF ²DF .故①②④正确．【2014年天津卷（理07）】设a 、b R ∈，则“a b >”是“||||a a b b >”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】当ab ≥0时，可得a >b 与a |a |>b |b |等价．当ab <0时，可得a >b 时a |a |>0>b |b |；反之，由a |a |>b |b |知a >0>b ，即a >b .【2014年天津卷（理08）】已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ∠=︒，点E 、F 分别在边BC 、DC 上，BE BC λ=，DF DC μ=.若1AE AF ⋅=，23CE CF ⋅=-，则λμ+= A.12 B.23 C.56 D.712 【答案】C【解析】 建立如图所示的坐标系，则A (－1，0)，B (0，－3)，C (1，0)，D (0，3)．设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)．由BE ＝λBC 得(x 1，y 1＋3)＝λ(1，3)，解得⎩⎨⎧x 1＝λ，y 1＝3（λ－1），即点E (λ，3(λ－1))．由＝μ得(x 2，y 2－3)＝μ(1，－3)，解得⎩⎨⎧x 2＝μ，y 2＝3（1－μ），即点F (μ，3(1－μ))．又∵AE ²AF ＝(λ＋1，3(λ－1))²(μ＋1，3(1－μ))＝1，①＝(λ－1, 3(λ－1))²(μ－1, 3(1－μ))＝－23.②①－②得λ＋μ＝56.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.【2014年天津卷（理09）】某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6，则应从一年级本科生中抽取____名学生.【答案】60【解析】由分层抽样的方法可得，从一年级本科生中抽取学生人数为300³44＋5＋5＋6＝60【2014年天津卷（理10）】一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为_________3m .【答案】20π3【解析】 由三视图可得，该几何体为圆柱与圆锥的组合体，其体积V ＝π³12³4＋13π³22³2＝20π3.【2014年天津卷（理11）】设{}n a 是首项为1a ，公差为1-的等差数列，n S 为其前n 项和，若1S 、2S 、4S 成等比数列，则1a 的值为____________.【答案】12- 【解析】依题意得2214S S S =，所以()()21112146a a a -=-，解得112a =-.【2014年天津卷（理12）】在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c .已知14b c a -=，2sin 3sin B C =，则cos A 的值为_____________.【答案】14- 【解析】 因为2sin 3sin B C =，所以23b c =，解得32cb =，2a c =. 所以2221cos 24b c a A bc +-==-.【2014年天津卷（理13）】在以O 为极点的极坐标系中，圆4sin ρθ=和直线sin a ρθ=相交于A 、B 两点.若AOB ∆是等边三角形，则a 的值为___________.【答案】3【解析】将ρ＝4sin θ与ρsin θ＝a 转化为直角坐标方程分别为x 2＋(y －2)2＝4与y ＝a .联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝a ，x 2＋（y －2）2＝4，得x 2＝－a 2＋4a ，且0<a <4. ∵△AOB 为等边三角形，∴a 2＝3(－a 2＋4a )，解得a ＝3或a ＝0(舍)【2014年天津卷（理14）】已知函数2()|3|f x x x =+，x R ∈.若方程()|1|0f x a x --=恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为_____________.【答案】01a <<或9a >.【解析】在同一坐标系内分别作出y ＝f (x )与y ＝a |x －1|的图像如图所示．当y ＝a |x －1|与y ＝f (x )的图像相切时，由⎩⎪⎨⎪⎧－ax ＋a ＝－x 2－3x ，a >0，整理得x 2＋(3－a )x ＋a ＝0，则Δ＝(3－a )2－4a ＝a 2－10a ＋91|与y ＝f (x )的图像有四个交点时，0<a <1或a >9.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 【2014年天津卷（理15）】（本小题满分13分）已知函数2()cos sin()34f x x x x π=++，x R ∈. ⑴求()f x 的最小正周期； ⑵求()f x 在闭区间[4π-，]4π上的最大值和最小值.解：(1)由已知，有f (x )＝cos x ²⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x －3cos 2x ＋34＝12sin x ²cos x －32cos 2x ＋34 ＝14sin 2x －34(1＋cos 2x )＋34 ＝14sin 2x －34cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π12上是减函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上是增函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－14，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝14， 所以函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最大值为14，最小值为－12.【2014年天津卷（理16）】（本小题满分13分）某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学.在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）. ⑴求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；⑵设X 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望.解：(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A ，则P (A )＝C 13²C 27＋C 03²C 37C 310＝4960， 所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为4960.(2)随机变量X 的所有可能值为0，1，2，3.P (X ＝k )＝C k 4²C 3－k 6C 310(k ＝0，1，2，3)，随机变量X 的数学期望E (X )＝0³16＋1³12＋2³310＋3³130＝65.【2014年天津卷（理17）】（本小题满分13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD AB ⊥，//AB DC ，2AD DC AP ===，1AB =，点E 为棱PC 的中点. ⑴证明：BE DC ⊥；⑵求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；⑶若F 为棱PC 上一点，满足BF AC ⊥，求二面角F AB P --的余弦值.解：方法一：依题意，以点A 为原点建立空间直角坐标系(如图所示)，可得B (1，0，0)，C (2，2，0)，D (0，2，0)，P (0，0，2)．C 由E 为棱PC 的中点，得E (1，1，1)．(1)证明：向量BE ＝(0，1，1)故BE ²DC ＝0， 所以BE ⊥DC .(2)向量BD ＝(－1，2，0)，PB ＝(1，0，－2)． 设n ＝(x ，y ，z )为平面PBD 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ²BD ＝0，n ²PB ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2y ＝0，x －2z ＝0. 不妨令y ＝1，可得n ＝(2，1，1)为平面PBD 的一个法向量．于是有cos 〈n ，BE 〉＝n ²BE |n |²|BE |＝26³2＝33，所以直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值为33. (3) 向量BC ＝(1，2，0)，CP ＝(－2，－2，2)，AC ＝(2，2，0)，AB ＝(1，0，0)．由点F 在棱PC 上，设CF ＝λ，0≤λ≤1.故BF ＝BC ＋CF ＝BC ＋λ＝(1－2λ，2－2λ，2λ)．由BF ⊥AC ，得BF ²AC ＝0，因此2(1－2λ)＋2(2－2λ)＝0，解得λ＝34，即BF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，32.设n 1＝(x ，y ，z )为平面FAB 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1²AB ＝0，n 1²BF ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，－12x ＋12y ＋32z ＝0.不妨令z ＝1，可得n 1＝(0，－3，1)为平面FAB 的一个法向量．取平面ABP 的法向量n 2＝(0，1，0)，则cos 〈，〉＝n 1²n 2|n 1|²|n 2|＝－310³1＝－31010.易知二面角F AB P 是锐角，所以其余弦值为31010.方法二：(1)证明：如图所示，取PD 中点M ，连接EM ，AM .由于E ，M 分别为PC ，PD 的中点，故EM ∥DC ，且EM ＝12DC .又由已知，可得EM ∥AB 且EM ＝AB ，故四边形ABEM 为平行四边形，所以BE ∥AM .因为PA ⊥底面ABCD ，故PA ⊥CD ，而CD ⊥DA ，从而CD ⊥平面PAD .因为AM ⊂平面PAD ，所以CD ⊥AM .又BE ∥AM ，所以BE ⊥CD .(2)连接BM ，由(1)有CD ⊥平面PD ⊥EM .又因为AD ＝AP ，M 为PD的中点，所以PD ⊥AM ，可得PD ⊥BE ，所以PD ⊥平面BEM ，故平面BEM ⊥平面PBD ，所以直线BE 在平面PBD 内的射影为直线BM .而BE ⊥EM ，可得∠EBM 为锐角，故∠EBM 为直线BE 与平面PBD 所成的角．依题意，有PD ＝22，而M 为PD 中点，可得AM ＝2，进而BE ＝ 2.故在直角三角形BEM 中，tan ∠EBM ＝EM BE ＝AB BE ＝12，因此sin ∠EBM ＝33，所以直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值为33. (3)如图所示，在△PAC 中，过点F 作FH ∥PA 交AC 于点H .因为PA ⊥底面ABCD ，所以FH ⊥底面ABCD ，从而FH ⊥AC .又BF ⊥AC ，得AC ⊥平面FHB ，因此AC ⊥BH .在底面ABCD 内，可得CH ＝3HA ，从而CF ＝3FP .在平面PDC 内，作FG ∥DC 交PD 于点G ，于是DG ＝3GP .由于DC ∥AB ，故GF ∥AB ，所以A ，B ，F ，G 四点共面．由AB ⊥PA ，AB ⊥AD ，得AB ⊥平面PAD ，故AB ⊥AG ，所以∠PAG 为二面角F AB P 的平面角．在△PAG 中，PA ＝2，PG ＝14PD ＝22，∠APG ＝45°.由余弦定理可得AG ＝102，cos ∠PAG ＝31010，所以二面角F AB P 的余弦值为31010.【2014年天津卷（理18）】（本小题满分13分）设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，右顶点为A ，上顶点为B .已知12||||AB F F =.⑴求椭圆的离心率；⑵设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点1F ，经过原点O 的直线l 与该圆相切，求直线l 的斜率.解：(1)设椭圆右焦点F 2的坐标为(c ，0)．由|AB |＝32|F 1F 2|，可得a 2＋b 2＝3c 2.又b 2＝a 2－c 2，则c 2a 2＝12，所以椭圆的离心率e ＝22. (2)由(1)知a 2＝2c 2，b 2＝c 2. 故椭圆方程为x 22c 2＋y 2c2＝1.设P (x 0，y 0)．由F 1(－c ，0)，B (0，c )， 有＝(x 0＋c ，y 0)，＝(c ，c )．由已知，有²＝0，即(x 0＋c )c ＋y 0c ＝0. 又c ≠0，故有x 0＋y 0＋c ＝0.① 又因为点P 在椭圆上，所以x 202c 2＋y 20c2＝1.②由①和②可得3x 20＋4cx 0＝0.而点P 不是椭圆的顶点，故x 0＝－43c .代入①得y 0＝c 3，即点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－4c 3，c 3. 设圆的圆心为T (x 1，y 1)，则x 1＝－43c ＋02＝－23c ，y 1＝c 3＋c 2＝23c ，进而圆的半径r ＝（x 1－0）2＋（y 1－c ）2＝53c . 设直线l 的斜率为k ，依题意，直线l 的方程为y ＝kx .由l 与圆相切，可得|kx 1－y 1|k 2＋1＝r ，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2c 3－2c 3k 2＋1＝53c ，整理得k 2－8k ＋1＝0，解得k ＝4±15， 所以直线l 的斜率为4＋15或4－15.【2014年天津卷（理19）】（本小题满分14分）已知q 和n 均为给定的大于1的自然数，设集合{0M =，1，2，...，1}q -，集合12{|A x x x x q ==++...1n n x q -+，i x M ∈，1i =，2，...，}n . ⑴当2q =，3n =时，用列举法表示集合A ；⑵设s 、t A ∈，12s a a q =++...1n n a q -+，12t b b q =++...1n n b q -+，其中i a 、i b M ∈，1i =，2，...，n .证明：若n n a b <，则t s <.解：(1)当q ＝2，n ＝3时，M ＝{0，1}，A ＝{x |x ＝x 1＋x 2²2＋x 3²22，x i ∈M ，i ＝1，2，3}，可得A ＝{0，1，2，3，4，5，6，7}．(2)证明：由s ，t ∈A ，s ＝a 1＋a 2q ＋…＋a n q n －1，t ＝b 1＋b 2q ＋…＋b n q n －1，a i ，b i ∈M ，i ＝1，2，…，n 及a n <b n ，可得s －t ＝(a 1－b 1)＋(a 2－b 2)q ＋…＋(a n －1－b n －1)q n －2＋(a n －b n )q n －1≤(q －1)＋(q －1)q ＋…＋(q －1)q n －2－q n －1＝（q －1）（1－q n －1）1－q－q n －1＝－1<0， 所以s <t .【2014年天津卷（理20）】（本小题满分14分）设()()xf x x ae a R =-∈，x R ∈.已知函数()y f x =有两个零点1x ，2x ，且12x x <.⑴求a 的取值范围；⑵证明21x x 随着a 的减小而增大； ⑶证明12x x +随着a 的减小而增大.解：(1)由f (x )＝x －a e x，可得f ′(x )＝1－a e x. 下面分两种情况讨论：(i)a ≤0时，f ′(x )>0在R 上恒成立，可得f (x )在R 上单调递增，不合题意． (ii)a >0时，由f ′(x )＝0，得x ＝－ln a . 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：这时，f (x “函数y ＝f (x )有两个零点”等价于如下条件同时成立：①f (－ln a )>0；②存在s 1∈(－∞，－ln a )，满足f (s 1)<0；③存在s 2∈(－ln a ，＋∞)，满足f (s 2)<0.由f (－ln a )>0，即－ln a －1>0，解得0<a <e －1.而此时，取s 1＝0，满足s 1∈(－∞，－ln a )，且f (s 1)＝－a <0；取s 2＝2a ＋ln 2a，满足s 2∈(－ln a ，＋∞)，且f (s 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －e 2a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 2a －e 2a <0.故a 的取值范围是(0，e －1)．(2)证明：由f (x )＝x －a e x＝0，有a ＝x e x .设g (x )＝x e x ，由g ′(x )＝1－x ex ，知g (x )在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．并且，当x ∈(－∞，0]时，g (x )≤0; 当x ∈(0，＋∞)时，g (x )>0.由已知，x 1，x 2满足a ＝g (x 1)，a ＝g (x 2)．由a ∈(0，e －1)及g (x )的单调性，可得x 1∈(0，1)，x 2∈(1，＋∞)．对于任意的a 1，a 2∈(0，e －1)，设a 1>a 2，g (ξ1)＝g (ξ2)＝a 1，其中0<ξ1<1<ξ2；g (η1)＝g (η2)＝a 2，其中0<η1<1<η2.因为g (x )在(0，1)上单调递增，所以由a 1>a 2，即g (ξ1)>g (η1)，可得ξ1>η1.类似可得ξ2<η2.又由ξ1，η1>0，得ξ2ξ1<η2ξ1<η2η1，所以x 2x 1随着a 的减小而增大．(3)证明：由x 1＝a e x 1，x 2＝a e x 2，可得ln x 1＝ln a ＋x 1，ln x 2＝ln a ＋x 2.故x 2－x 1＝ln x 2－ln x 1＝ln x 2x 1.设x 2x 1＝t ，则t >1，且⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝tx 1，x 2－x 1＝ln t ，解得x 1＝ln t t －1，x 2＝t ln t t －1，所以x 1＋x 2＝（t ＋1）ln tt －1.①令h (x )＝（x ＋1）ln xx －1，x ∈(1，＋∞)，则h ′(x )＝－2ln x ＋x －1x（x －1）2. 令u (x )＝－2ln x ＋x －1x，得u ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 2. 当x ∈(1，＋∞)时，u ′(x )>0.因此，u (x )在(1，＋∞)上单调递增，故对于任意的x ∈(1，＋∞)，u (x )>u (1)＝0，由此可得h ′(x )>0，故h (x )在(1，＋∞)上单调递增．因此，由①可得x 1＋x 2随着t 的增大而增大．而由(2)，t 随着a 的减小而增大，所以x 1＋x 2随着a 的减小而增大．。
高等数学轻松解决高考压轴题,助现处于120左右却始终无法突破140这个大瓶颈的资优生一举突破140瓶颈!!!复习
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3—9：重中之重——拉格朗日中值定理深层次剖析以上就是对高考有着极大帮助的几个基础高等数学定理，资优生掌握以后必定能再更上一层楼，对其突破140的瓶颈大有裨益。
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不过本文对以上定理中最最重要的，也是高考压轴题中最最常用的拉格朗日中值定理进行了深层次剖析。
拉格朗日中值定理，是对高考数学压轴题帮助最大的高等数学定理，望学有余力的同学务必将其掌握！10—15：拉格朗日中值定理在高考题里的应用或许有同学不相信拉格朗日中值定理对高考的帮助是如此之大，以下将会以高考真题为例子向你阐明。
我想很大一部分同学或许不知道该如何应用，下文将对于高考真题应用拉格朗日中值定理解题并与参考答案的解法作比较，体现高观点解题的好处。
重中之重—————拉格朗日中值定理资优生掌握了拉格朗日中值定理以后可帮助其突破140的瓶颈，一举成为数学大神！！！拉格朗日中值定理是微分学的基础定理之一，它是沟通函数及其导数之间关系的桥梁，课本中关于拉格朗日中值定理的应用并没有专门的讲解，而很多研究者也只是研究了它在某个方面的应用，并没有系统的总结。
本文首先进一步分析了定理的实质，以便使读者深入理解拉格朗日中值定理；然后从课本中证明拉格朗日中值定理的思想（构造辅助函数法）出发，提出了一个较简单的辅助函数，从而使拉格朗日中值定理的证明简单化；以此为理论依据并在别人研究的基础上，最后重点总结了拉格朗日中值定理在各个方面的应用。
2014年天津高考英语真题及答案
2014年普通高等学校招生全国统一考试〔天津卷〕英语笔试本试卷分为第I卷〔选择题〕和第II卷〔非选择题〕两部分，共130分，考试用时100分钟。
第I卷1至10页，第II卷11至12页。
答卷前，考生务必将自己的、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第I卷注意事项：1．每题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2．本卷共55小题，共95分。
第一部分：英语知识运用〔共两节，总分值45分〕第一节：单项填空〔共巧小题；每题1分，总分值15分〕从A、B、C、D四个选项中，选出可以填入空白处的最正确选项。
例：We feel_____our duty to make our country a better place.A．it B．this C．that D．one答案是A。
1．Give me a chance，_____I’11 give you a wonderful surprise．A．if B．or C．and D．while2．—OK，I’11 fix your computer right now.—Oh，take your time．_____．A．I can't stand it B．I'm in no hurrvC．That's a great idea D．It's not my cup of tea3．Wind is now the world's fastest growing_____of power.A．source B．sense C．result D．root4．_____you start eating in a healthier way，weight control will become much easier．A．Unless B．Although C．Before D．Once5．Anxiously，she took the dress out of the package and tried it on，only_____it didn't fit．A．to find B．found C．finding D．having found6．_____the school，the village has a clinic，which was also built with government support A．In reply to B．In addition to C．In charge of D．In place of7．Clearly and thoughtfully_____，the book inspires confidence in students who wish to seek their own answers．A．writing B．to write C．written D．being written8．Life is like _____ocean: Only _____strong-willed can reach the other shore．A．an；the B．the；a C．the；／D．／；a9．My parents always_____great importance to my getting a good education．A．have B．attach C．accept D．pay10．—How long have you been learning English?—About four months._____！Your English is so good.A．You can't be serious B．You got itC．I couldn't agree more D．I'm stuck11．We won't start the work until all the preparations_____．A．are being made B．will be made C．have been made D．had been made12．English is a language shared by several diverse cultures，_____uses it differently．A．all of which B．each of which C．all of them D．each of them13．The two countries are going to meet to_____some barriers to trade between them.A．make up B．use up C．turn down D．break down14．I think_____impresses me about his painting is the colours he uses．A．what B．that C．which D．who15．_____the morning train，he would not have been late for the meeting．A．Did he catch B．Should he catch C．Has he caught D．Had he caught第二节：完形填空〔共20小题：每题1.5分，总分值30分〕阅读下面短文，掌握其大意，然后从16~35各题所给的A、B、C、D四个选项中，选出最正确选项。
2024年天津高考数学真题及答案
2024年天津高考数学真题及答案本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷（选择题）注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．2．本卷共9小题，每小题5分，共45分．参考公式：·如果事件A B ，互斥，那么()()()P A B P A P B =+ ．·如果事件A B ，相互独立，那么()()()P AB P A P B =．·球的体积公式34π3V R =，其中R 表示球的半径．·圆锥的体积公式13V Sh =，其中S 表示圆锥的底面面积，h 表示圆锥的高．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合{}1,2,3,4A =，{}2,3,4,5B =，则A B = （ ）A ．{}1,2,3,4B ．{}2,3,4C ．{}2,4D ．{}12．设,a b ∈R ，则“33a b =”是“33a b =”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．下列图中，相关性系数最大的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．下列函数是偶函数的是（ ）A ．22e 1x x y x -=+B ．22cos 1x x y x +=+C ．e 1x xy x -=+D ．||sin 4e x x x y +=5．若0.30.3 4.24.2 4.2log 0.2a b c -===，，，则a b c ，，的大小关系为（ ）A ．a b c>>B ．b a c>>C ．c a b>>D ．b c a>>6．若,m n 为两条不同的直线，α为一个平面，则下列结论中正确的是（ ）A ．若//m α，n ⊂α，则//m n B ．若//,//m n αα，则//m n C ．若//,αα⊥m n ，则m n⊥D ．若//,αα⊥m n ，则m 与n 相交7．已知函数()()πsin303f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π．则函数在ππ,126⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最小值是（ ）A ．B ．32-C ．0D ．328．双曲线22221()00a x y a b b >-=>，的左、右焦点分别为12.F F P 、是双曲线右支上一点，且直线2PF 的斜率为2．12PF F △是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（ ）A ．22182y x -=B ．22184x y -=C ．22128x y -=D ．22148x y -=9．一个五面体ABC DEF -．已知AD BE CF ∥∥，且两两之间距离为1．并已知123AD BE CF ===，，．则该五面体的体积为（ ）A B 12+C D 12第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．2．本卷共11小题，共105分．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10．已知i 是虚数单位，复数))i 2i ⋅= ．11．在63333x x⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为 ．12．22(1)25-+=x y 的圆心与抛物线22(0)y px p =>的焦点F 重合，A 为两曲线的交点，则原点到直线AF 的距离为 ．13．,,,,A B C D E 五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加.（1）甲选到A 的概率为 ；已知乙选了A 活动，他再选择B 活动的概率为 ．14．在边长为1的正方形ABCD 中，点E 为线段CD 的三等分点，1,2CE DE BE BA BC ==+u u r u u r u u u r λμ，则λμ+= ；若F 为线段BE 上的动点，G 为AF 中点，则AF DG ⋅的最小值为 ．15．若函数()21f x =-+有唯一零点，则a 的取值范围为 ．三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16．在ABC 中，92cos 5163a Bbc ===，．(1)求a ；(2)求sin A ；(3)求()cos 2B A -．17．已知四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，1A A ⊥平面ABCD ，AD AB ⊥，其中12,1AB AA AD DC ====．N 是11B C 的中点，M 是1DD 的中点．(1)求证1//D N 平面1CB M ；(2)求平面1CB M 与平面11BB CC 的夹角余弦值；(3)求点B 到平面1CB M 的距离．18．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>椭圆的离心率12e =．左顶点为A ，下顶点为B C ，是线段OB的中点，其中ABC S △．(1)求椭圆方程．(2)过点30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭的动直线与椭圆有两个交点P Q ，．在y 轴上是否存在点T 使得0TP TQ ⋅≤ 恒成立．若存在求出这个T 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．19．已知数列{}n a 是公比大于0的等比数列．其前n 项和为n S ．若1231,1a S a ==-．(1)求数列{}n a 前n 项和n S ；(2)设11,2,kn n k k k n a b b k a n a -+=⎧=⎨+<<⎩，11b =，其中k 是大于1的正整数．（ⅰ）当1k n a +=时，求证：1n k n b a b -≥⋅；（ⅱ）求1nS i i b =∑．20．设函数()ln f x x x =．(1)求()f x 图象上点()()1,1f 处的切线方程；(2)若()(f x a x ≥在()0,x ∞∈+时恒成立，求a 的取值范围；(3)若()12,0,1x x ∈，证明()()121212f x f x x x -≤-．参考答案1．B【分析】根据集合交集的概念直接求解即可.【详解】因为集合{}1,2,3,4A =，{}2,3,4,5B =，所以{}2,3,4A B = ，故选：B 2．C【分析】说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必要条件.【详解】根据立方的性质和指数函数的性质，33a b =和33a b =都当且仅当a b =，所以二者互为充要条件.故选：C.3．A【分析】由点的分布特征可直接判断【详解】观察4幅图可知，A 图散点分布比较集中，且大体接近某一条直线，线性回归模型拟合效果比较好，呈现明显的正相关，r 值相比于其他3图更接近1.故选：A 4．B【分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可.【详解】对A ，设()22e 1x x f x x -=+，函数定义域为R ，但()112e 1f ---=，()112e f -=，则()()11f f -≠，故A 错误；对B ，设()22cos 1x x g x x +=+，函数定义域为R ，且()()()()()2222cos cos 11x x x x g x g x x x -+-+-===+-+，则()g x 为偶函数，故B 正确；对C ，设()e 1x xh x x -=+，函数定义域为{}|1x x ≠-，不关于原点对称， 则()h x 不是偶函数，故C 错误；对D ，设()||sin 4e x x x x ϕ+=，函数定义域为R，因为()sin141e ϕ+=，()sin141e ϕ---=，则()()11ϕϕ≠-，则()x ϕ不是偶函数，故D 错误.故选：B.5．B【分析】利用指数函数和对数函数的单调性分析判断即可.【详解】因为 4.2x y =在R 上递增，且0.300.3-<<，所以0.300.30 4.2 4.2 4.2-<<<，所以0.30.30 4.21 4.2-<<<，即01a b <<<，因为 4.2log y x =在(0,)+∞上递增，且00.21<<，所以 4.2 4.2log 0.2log 10<=，即0c <，所以b a c >>，故选：B 6．C【分析】根据线面平行的性质可判断AB 的正误，根据线面垂直的性质可判断CD 的正误.【详解】对于A ，若//m α，n ⊂α，则,m n 平行或异面，故A 错误.对于B ，若//,//m n αα，则,m n 平行或异面或相交，故B 错误.对于C ，//,αα⊥m n ，过m 作平面β，使得s βα= ，因为m β⊂，故//m s ，而s α⊂，故n s ⊥，故m n ⊥，故C 正确. 对于D ，若//,αα⊥m n ，则m 与n 相交或异面，故D 错误.故选：C.7．A【分析】先由诱导公式化简，结合周期公式求出ω，得()sin2f x x =-，再整体求出,126⎡⎤∈-⎢⎣⎦ππx 时，2x 的范围，结合正弦三角函数图象特征即可求解.【详解】()()πsin3sin 3πsin 33f x x x x ωωω⎛⎫=+=+=- ⎪⎝⎭，由2ππ3T ω==得23ω=，即()sin2f x x =-，当,126⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ππx 时，ππ2,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，画出()sin2f x x =-图象，如下图，由图可知，()sin2f x x =-在ππ,126⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上递减，所以，当π6x =时，()min πsin 3f x =-=故选：A 8．C【分析】可利用12PF F △三边斜率问题与正弦定理，转化出三边比例，设2PF m =，由面积公式求出m ，由勾股定理得出c ，结合第一定义再求出a .【详解】如下图：由题可知，点P 必落在第四象限，1290F PF ∠=︒，设2PF m =，211122,PF F PF F θθ∠=∠=，由21tan 2PF k θ==，求得1sin θ=因为1290F PF ∠=︒，所以121PF PF k k ⋅=-，求得112PF k =-，即21tan 2θ=，2sin θ=，由正弦定理可得：121212::sin :sin :sin 902PF PF F F θθ=︒=则由2PF m =得1122,2PF m F F c ===，由1212112822PF F S PF PF m m =⋅=⋅= 得m =，则222PF F c c ====由双曲线第一定义可得：122PF PF a -==a b ===所以双曲线的方程为22128x y -=.故选：C 9．C【分析】采用补形法，补成一个棱柱，求出其直截面，再利用体积公式即可.【详解】用一个完全相同的五面体HIJ LMN -（顶点与五面体ABC DEF -一一对应）与该五面体相嵌，使得,D N ；,E M ;,F L 重合，因为AD BE CF ∥∥，且两两之间距离为1．1,2,3AD BE CF ===，则形成的新组合体为一个三棱柱，该三棱柱的直截面（与侧棱垂直的截面）为边长为1的等边三角形，侧棱长为1322314+=+=+=，212111142ABC DEF ABC HIJ V V --==⨯⨯⨯=故选：C.10．7【分析】借助复数的乘法运算法则计算即可得.【详解】))i 2i 527⋅-=-+=.故答案为：7.11．20【分析】根据题意结合二项展开式的通项分析求解即可.【详解】因为63333x x⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项为()63636216633C 3C ,0,1,,63rrr r r r r x T xr x ---+⎛⎫⎛⎫===⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令()630r -=，可得3r =，所以常数项为0363C 20=.故答案为：20.12．45##0.8【分析】先求出圆心坐标，从而可求焦准距，再联立圆和抛物线方程，求A 及AF 的方程，从而可求原点到直线AF 的距离.【详解】圆22(1)25-+=x y 的圆心为()1,0F ，故12p=即2p =，由()2221254x y y x⎧-+=⎪⎨=⎪⎩可得22240x x +-=，故4x =或6x =-（舍），故()4,4A ±，故直线()4:13AF y x =±-即4340x y --=或4340x y +-=，故原点到直线AF 的距离为4455d ==，故答案为：4513． 3512【分析】结合列举法或组合公式和概率公式可求甲选到A 的概率；采用列举法或者条件概率公式可求乙选了A 活动，他再选择B 活动的概率.【详解】解法一：列举法从五个活动中选三个的情况有：,,,,,,,,,ABC ABD ABE ACD ACE ADE BCD BCE BDE CDE ,共10种情况，其中甲选到A 有6种可能性：,,,,,ABC ABD ABE ACD ACE ADE ，则甲选到A 得概率为：63105P ==；乙选A 活动有6种可能性：,,,,,ABC ABD ABE ACD ACE ADE ，其中再选则B 有3种可能性：,,ABC ABD ABE ，故乙选了A 活动，他再选择B 活动的概率为31=62.解法二：设甲、乙选到A 为事件M ，乙选到B 为事件N ，则甲选到A 的概率为()2435C 3C 5P M ==； 乙选了A 活动，他再选择B 活动的概率为()()()133524351C 2C C P MN C P N M P M ===故答案为：35；1214．43518-【分析】解法一：以{},BA BC 为基底向量，根据向量的线性运算求BE，即可得λμ+，设BF BE k =u u u r u u r ，求,AF DG u u u r u u u r ，结合数量积的运算律求AF DG ⋅的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求BE ，即可得λμ+，设()1,3,,03F a a a ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，求,AF DG u u u r u u u r ，结合数量积的坐标运算求AF DG ⋅的最小值.【详解】解法一：因为12CE DE =，即23CE BA =u u r u u r ，则13BE BC CE BA BC =+=+u u u r u u r u u u u r r u u u r ，可得1,13λμ==，所以43λμ+=；由题意可知：1,0BC BA BA BC ==⋅=，因为F 为线段BE 上的动点，设[]1,0,13BF k BE k BA k BC k ==+∈，则113AF AB BF AB k BE k BA k BC ⎛⎫=+=+=-+ ⎪⎝⎭ ，又因为G 为AF 中点，则1111112232DG DA AG BC AF k BA k BC ⎛⎫⎛⎫=+=-+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得11111113232AF DG k BA k BC k BA k BC ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=-+⋅-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦22111563112329510k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又因为[]0,1k ∈，可知：当1k =时，AF DG ⋅ 取到最小值518-；解法二：以B 为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，则()()()()11,0,0,0,0,1,1,1,,13A B C D E ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，可得()()11,0,0,1,,13BA BC BE ⎛⎫=-==- ⎪⎝⎭，因为(),BE BA BC λμλμ=+=- ，则131λμ⎧-=-⎪⎨⎪=⎩，所以43λμ+=；因为点F 在线段1:3,,03BE y x x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦上，设()1,3,,03F a a a ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，且G 为AF 中点，则13,22a G a -⎛⎫- ⎪⎝⎭，可得()131,3,,122a AF a a DG a +⎛⎫=+-=--⎪⎝⎭，则()()22132331522510a AF DG a a a +⎛⎫⎛⎫⋅=+---=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，且1,03a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以当13a =-时，AF DG ⋅ 取到最小值为518-；故答案为：43；518-.15．()(1-⋃【分析】结合函数零点与两函数的交点的关系，构造函数()g x =()23,21,ax x ah x ax x a ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩，则两函数图象有唯一交点，分0a =、0a >与0a <进行讨论，当0a >时，计算函数定义域可得x a ≥或0x ≤，计算可得(]0,2a ∈时，两函数在y 轴左侧有一交点，则只需找到当(]0,2a ∈时，在y 轴右侧无交点的情况即可得；当0a <时，按同一方式讨论即可得.【详解】令()0f x =，即21ax =--，由题可得20x ax -≥，当0a =时，x ∈R，有211=--=，则x =当0a >时，则23,2121,ax x a ax ax x a ⎧-≥⎪⎪=--=⎨⎪-<⎪⎩，即函数()g x =与函数()23,21,ax x a h x ax x a ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩有唯一交点，由20x ax -≥，可得x a ≥或0x ≤，当0x ≤时，则20ax -<，则211ax ax =--=-，即()22441x ax ax -=-，整理得()()()2242121210a x ax a x a x ⎡⎤⎡⎤---=++--=⎣⎦⎣⎦，当2a =时，即410x +=，即14x =-，当()0,2a ∈，12x a=-+或102x a =>-（正值舍去），当()2,a ∈+∞时，102x a =-<+或102x a=<-，有两解，舍去，即当(]0,2a ∈时，210-+=在0x ≤时有唯一解，则当(]0,2a ∈时，210-+=在x a ≥时需无解，当(]0,2a ∈，且x a ≥时，由函数()23,21,ax x ah x ax x a ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩关于2x a =对称，令()0h x =，可得1x a =或3x a =，且函数()h x 在12,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在23,a a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，令()g x y ==，即2222142a x y a a ⎛⎫- ⎪-⎭=⎝，故x a ≥时，()g x 图象为双曲线()222214y x a a -=右支的x 轴上方部分向右平移2a 所得，由()222214y x a a-=的渐近线方程为22a y x x a =±=±，即()g x 部分的渐近线方程为22a y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，其斜率为2，又(]0,2a ∈，即()23,21,ax x ah x ax x a ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩在2x a ≥时的斜率(]0,2a ∈，令()0g x ==，可得x a =或0x =（舍去），且函数()g x 在(),a +∞上单调递增，故有13a aa a⎧<⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，解得1a <<1a <<符合要求；当a<0时，则23,2121,ax x a ax ax x a ⎧-≤⎪⎪=--=⎨⎪->⎪⎩，即函数()g x =与函数()23,21,ax x a h x ax x a ⎧-≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩有唯一交点，由20x ax -≥，可得0x ≥或x a ≤，当0x ≥时，则20ax -<，则211ax ax =--=-，即()22441x ax ax -=-，整理得()()()2242121210a x ax a x a x ⎡⎤⎡⎤---=++--=⎣⎦⎣⎦，当2a =-时，即410x -=，即14x =，当()2,0a ∈-，102x a=-<+（负值舍去）或102x a =-，当(),2a ∈-∞时，102x a=->+或102x a =>-，有两解，舍去，即当[)2,0a ∈-时，210-+=在0x ≥时有唯一解，则当[)2,0a ∈-时，210-+=在x a ≤时需无解，当[)2,0a ∈-，且x a ≤时，由函数()23,21,ax x ah x ax x a ⎧-≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩关于2x a =对称，令()0h x =，可得1x a =或3x a =，且函数()h x 在21,a a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在32,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，同理可得：x a ≤时，()g x 图象为双曲线()222214y x a a -=左支的x 轴上方部分向左平移2a 所得，()g x 部分的渐近线方程为22a y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，其斜率为2-，又[)2,0a ∈-，即()23,21,ax x ah x ax x a ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩在2x a <时的斜率[)2,0a ∈-，令()0g x ==，可得x a =或0x =（舍去），且函数()g x 在(),a -∞上单调递减，故有13a aa a ⎧>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩，解得1a <<-，故1a <<-符合要求；综上所述，()(1a ∈- .故答案为：()(1-⋃.【点睛】关键点点睛：本题关键点在于将函数()f x 的零点问题转化为函数()g x =与函数()23,21,ax x ah x ax x a ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩的交点问题，从而可将其分成两个函数研究.16．(1)4(3)5764【分析】（1）2,3a t c t ==，利用余弦定理即可得到方程，解出即可；（2）法一：求出sin B ，再利用正弦定理即可；法二：利用余弦定理求出cos A ，则得到sin A ；（3）法一：根据大边对大角确定A 为锐角，则得到cos A ，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可；法二：直接利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可.【详解】（1）设2,3a t c t ==，0t >，则根据余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，即229254922316t t t t =+-⨯⨯⨯，解得2t =（负舍）；则4,6a c ==.（2）法一：因为B为三角形内角，所以sin B ===再根据正弦定理得sin sin a b A B =，即4sin A =，解得sin A =法二：由余弦定理得2222225643cos 22564b c a A bc +-+-===⨯⨯，因为()0,πA ∈，则sin A ==（3）法一：因为9cos 016B =>，且()0,πB ∈，所以π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由（2）法一知sin B =因为a b <，则A B <，所以3cos 4A ==，则3sin 22sin cos 24A A A ===2231cos 22cos 12148A A ⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭()1957cos 2cos cos 2sin sin 281664B A B A B A -=+=⨯=.法二：3sin 22sin cos 24A A A ===，则2231cos 22cos 12148A A ⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭，因为B 为三角形内角，所以sin B ===所以()9157cos 2cos cos 2sin sin 216864B A B A B A -=+=⨯=17．(1)证明见解析【分析】（1）取1CB 中点P ，连接NP ，MP ，借助中位线的性质与平行四边形性质定理可得1N//D MP ，结合线面平行判定定理即可得证；（2）建立适当空间直角坐标系，计算两平面的空间向量，再利用空间向量夹角公式计算即可得解；（3）借助空间中点到平面的距离公式计算即可得解.【详解】（1）取1CB 中点P ，连接NP ，MP ，由N 是11B C 的中点，故1//NP CC ，且112NP CC =，由M 是1DD 的中点，故1111122D M DD CC ==，且11//D M CC ，则有1//D M NP 、1D M NP =，故四边形1D MPN 是平行四边形，故1//D N MP ，又MP ⊂平面1CB M ，1D N ⊄平面1CB M ，故1//D N 平面1CB M ；（2）以A 为原点建立如图所示空间直角坐标系，有()0,0,0A 、()2,0,0B 、()12,0,2B 、()0,1,1M 、()1,1,0C 、()11,1,2C ，则有()11,1,2CB =- 、()1,0,1CM =-、()10,0,2BB = ，设平面1CB M 与平面11BB CC 的法向量分别为()111,,m x y z =、()222,,n x y z = ，则有111111200m CB x y z m CM x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，1222122020n CB x y z n BB z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，分别取121x x ==，则有13y =、11z =、21y =，20z =，即()1,3,1m = 、()1,1,0n =，则cos ,m nm n m n ⋅===⋅故平面1CB M 与平面11BB CC；（3）由()10,0,2BB = ，平面1CB M 的法向量为()1,3,1m =，则有1BB m m ⋅==即点B 到平面1CB M.18．(1)221129x y +=(2)存在()30,32T t t ⎛⎫-≤≤⎪⎝⎭，使得0TP TQ ⋅≤ 恒成立.【分析】（1）根据椭圆的离心率和三角形的面积可求基本量，从而可得椭圆的标准方程.（2）设该直线方程为：32y kx =-，()()()1122,,,,0,P x y Q x y T t ， 联立直线方程和椭圆方程并消元，结合韦达定理和向量数量积的坐标运算可用,k t 表示TP TQ ⋅，再根据0TP TQ ⋅≤ 可求t 的范围.【详解】（1）因为椭圆的离心率为12e =，故2a c =，b =，其中c 为半焦距，所以()()2,0,0,,0,A c B C ⎛- ⎝，故122ABC S c =⨯=△故c =a =，3b =，故椭圆方程为：221129x y +=.（2）若过点30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：32y kx =-，设()()()1122,,,,0,P x y Q x y T t ，由22343632x y y kx ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩可得()223412270k x kx +--=，故()222Δ144108343245760k k k =++=+>且1212221227,,3434k x x x x k k +==-++而()()1122,,,TP x y t TQ x y t =-=- ，故()()121212123322TP TQ x x y t y t x x kx t kx t ⎛⎫⎛⎫⋅=+--=+---- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()()22121233122kx x k t x x t ⎛⎫⎛⎫=+-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()22222731231342342k k k t t k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯--+⨯++ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭()2222222327271812332234k k k t t t k k ⎛⎫----++++ ⎪⎝⎭=+()22223321245327234t t k t k ⎛⎫⎡⎤+--++- ⎪⎣⎦⎝⎭=+，因为0TP TQ ⋅≤ 恒成立，故()223212450332702t t t ⎧+--≤⎪⎨⎛⎫+-≤⎪ ⎪⎝⎭⎩，解得332t -≤≤.若过点30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭的动直线的斜率不存在，则()()0,3,0,3P Q -或()()0,3,0,3P Q -，此时需33t -≤≤，两者结合可得332t -≤≤.综上，存在()30,32T t t ⎛⎫-≤≤ ⎪⎝⎭，使得0TP TQ ⋅≤ 恒成立.【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的范围问题，往往需要用合适的参数表示目标代数式，表示过程中需要借助韦达定理，此时注意直线方程的合理假设.19．(1)21n n S =-(2)①证明见详解；②()131419nn S ii n b =-+=∑【分析】（1）设等比数列{}n a 的公比为0q >，根据题意结合等比数列通项公式求q ，再结合等比数列求和公式分析求解；（2）①根据题意分析可知12,1k k n a b k -==+，()121n k k b -=-，利用作差法分析证明；②根据题意结合等差数列求和公式可得()()1211213143449k k k k i i b k k ---=⎡⎤=---⎣⎦∑，再结合裂项相消法分析求解.【详解】（1）设等比数列{}n a 的公比为0q >，因为1231,1a S a ==-，即1231a a a +=-，可得211q q +=-，整理得220q q --=，解得2q =或1q =-（舍去），所以122112nn n S -==--.（2）（i ）由（1）可知12n n a -=，且N*,2k k ∈≥，当124kk n a +=≥=时，则111221111k k k k k a n n a a -++⎧=<-=-⎨-=-<⎩，即11k k a n a +<-<可知12,1k k n a b k -==+，()()()1111222121k k k n a k k b b a a k k k k --+=+--⋅=+-=-，可得()()()()1112112122120k n k n k k k k k k k k b k a b ---=--+=--≥--=-⋅≥-，当且仅当2k =时，等号成立，所以1n k n b a b -≥⋅；（ii ）由（1）可知：1211nn n S a +=-=-，若1n =，则111,1S b ==；若2n ≥，则112k k k a a -+-=，当1221k k i -<≤-时，12i i b b k --=，可知{}i b 为等差数列，可得()()()111211112221122431434429k k k k k k k k i i b k kk k k -------=-⎡⎤=⋅+=⋅=---⎣⎦∑，所以()()()232113141115424845431434499nn S n n i i n b n n -=-+⎡⎤=+⨯-⨯+⨯-⨯+⋅⋅⋅+---=⎣⎦∑，且1n =，符合上式，综上所述：()131419nn S ii n b =-+=∑.【点睛】关键点点睛：1.分析可知当1221k k i -<≤-时，12i i b b k --=，可知{}i b 为等差数列；2.根据等差数列求和分析可得()()1211213143449k k k k i i b k k ---=⎡⎤=---⎣⎦∑.20．(1)1y x =-(2){}2(3)证明过程见解析【分析】（1）直接使用导数的几何意义；（2）先由题设条件得到2a =，再证明2a =时条件满足；（3）先确定()f x 的单调性，再对12,x x 分类讨论.【详解】（1）由于()ln f x x x =，故()ln 1f x x ='+.所以()10f =，()11f '=，所以所求的切线经过()1,0，且斜率为1，故其方程为1y x =-.（2）设()1ln h t t t =--，则()111t h t t t'-=-=，从而当01t <<时()0h t '<，当1t >时()0h t '>.所以()h t 在(]0,1上递减，在[)1,+∞上递增，这就说明()()1h t h ≥，即1ln t t -≥，且等号成立当且仅当1t =.设()()12ln g t a t t =--，则()((ln 1f x a x x x a x x a x g ⎛⎫-=-=-=⋅ ⎪⎭⎝.当()0,x ∞∈+()0,∞+，所以命题等价于对任意()0,t ∞∈+，都有()0g t ≥.一方面，若对任意()0,t ∞∈+，都有()0g t ≥，则对()0,t ∞∈+有()()()()112012ln 12ln 1212g t a t t a t a t at a t t t ⎛⎫≤=--=-+≤-+-=+-- ⎪⎝⎭，取2t =，得01a ≤-，故10a ≥>.再取t =，得2022a a a ≤-=-=-，所以2a =.另一方面，若2a =，则对任意()0,t ∞∈+都有()()()212ln 20g t t t h t =--=≥，满足条件.综合以上两个方面，知a 的取值范围是{}2.（3）先证明一个结论：对0a b <<，有()()ln 1ln 1f b f a a b b a-+<<+-.证明：前面已经证明不等式1ln t t -≥，故lnln ln ln ln ln ln 1ln 1bb b a a a b a aa b b b b b a b a a--=+=+<+---，且1lnln ln ln ln ln ln ln 1ln 11a ab b a a b b b a b b a a a a a a b a b a bb⎛⎫--- ⎪--⎝⎭=+=+>+=+----，所以ln ln ln 1ln 1b b a aa b b a -+<<+-，即()()ln 1ln 1f b f a a b b a-+<<+-.由()ln 1f x x ='+，可知当10e x <<时()0f x '<，当1e x >时()0f x '>.所以()f x 在10,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦上递减，在1e ,⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上递增.不妨设12x x ≤，下面分三种情况（其中有重合部分）证明本题结论.情况一：当1211ex x ≤≤<时，有()()()()()()122122121ln 1f x f x f x f x x x x x x -=-<+-<-<情况二：当1210ex x <≤≤时，有()()()()12121122ln ln f x f x f x f x x x x x -=-=-.对任意的10,e c ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，设()ln ln x x x c c ϕ=-()ln 1x x ϕ=+'由于()x ϕ'单调递增，且有11110ϕ=<++=-='，且当2124ln 1x c c ≥-⎛⎫- ⎪⎝⎭，2c x >2ln 1c ≥-可知()2ln 1ln 1ln 102c x x c ϕ⎛⎫=+>+=-≥ ⎪⎝⎭'.所以()x ϕ'在()0,c 上存在零点0x ，再结合()x ϕ'单调递增，即知00x x <<时()0x ϕ'<，0x x c <<时()0x ϕ'>.故()x ϕ在(]00,x 上递减，在[]0,x c 上递增.①当0x x c ≤≤时，有()()0x c ϕϕ≤=；②当00x x <<112221e ef f c⎛⎫=-≤-=< ⎪⎝⎭，故我们可以取1,1q c ⎫∈⎪⎭.从而当201cx q <<->()1ln ln ln ln 0x x x c c c c c c q cϕ⎫=-<-<---<⎪⎭.再根据()x ϕ在(]00,x 上递减，即知对00x x <<都有()0x ϕ<；综合①②可知对任意0x c <≤，都有()0x ϕ≤，即()ln ln 0x x x c c ϕ=-≤.根据10,e c ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦和0x c <≤的任意性，取2c x =，1x x =，就得到1122ln ln 0x x x x -≤.所以()()()()12121122ln ln f x f x f x f x x x x x -=-=-≤情况三：当12101ex x <≤≤<时，根据情况一和情况二的讨论，可得()11e f x f ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，()21e f f x ⎛⎫-≤≤ ⎪⎝⎭而根据()f x 的单调性，知()()()1211e f x f x f x f ⎛⎫-≤- ⎪⎝⎭或()()()1221e f x f x f f x ⎛⎫-≤- ⎪⎝⎭.故一定有()()12f x f x -≤成立.综上，结论成立.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于第3小问中，需要结合()f x 的单调性进行分类讨论.。
高考物理主要模型
专题（一）：常见的物理模型一、斜面问题；在每年各地的高考卷中几乎都有关于斜面模型的试题．如2009年高考全国理综卷Ⅰ第25题、北京理综卷第18题、天津理综卷第1题、上海物理卷第22题等，2008年高考全国理综卷Ⅰ第14题、全国理综卷Ⅱ第16题、北京理综卷第20题、江苏物理卷第7题和第15题等．在前面的复习中，我们对这一模型的例举和训练也比较多，遇到这类问题时，以下结论可以帮助大家更好、更快地理清解题思路和选择解题方法．1．自由释放的滑块能在斜面上(如图9－1甲所示)匀速下滑时，m与M之间的动摩擦因数μ＝g tanθ．图9－1甲2．自由释放的滑块在斜面上(如图9－1甲所示)：(1)静止或匀速下滑时，斜面M对水平地面的静摩擦力为零；(2)加速下滑时，斜面对水平地面的静摩擦力水平向右；(3)减速下滑时，斜面对水平地面的静摩擦力水平向左．3．自由释放的滑块在斜面上(如图9－1乙所示)匀速下滑时，M对水平地面的静摩擦力为零，这一过程中再在m上加上任何方向的作用力，(在m停止前)M对水平地面的静摩擦力依然为零(见一轮书中的方法概述)．图9－1乙4．悬挂有物体的小车在斜面上滑行(如图9－2所示)：图9－2(1)向下的加速度a＝g sinθ时，悬绳稳定时将垂直于斜面；(2)向下的加速度a＞g sinθ时，悬绳稳定时将偏离垂直方向向上；(3)向下的加速度a＜g sinθ时，悬绳将偏离垂直方向向下．5．在倾角为θ的斜面上以速度v0平抛一小球(如图9－3所示)：图9－3(1)落到斜面上的时间t＝；(2)落到斜面上时，速度的方向与水平方向的夹角α恒定，且tanα＝2tanθ，与初速度无关；(3)经过t c＝小球距斜面最远，最大距离d＝．6．如图9－4所示，当整体有向右的加速度a＝g tanθ时，m能在斜面上保持相对静止．图9－47．在如图9－5所示的物理模型中，当回路的总电阻恒定、导轨光滑时，ab棒所能达到的稳定速度v m＝．图9－58．如图9－6所示，当各接触面均光滑时，在小球从斜面顶端滑下的过程中，斜面后退的位移s＝L．图9－6●例1有一些问题你可能不会求解，但是你仍有可能对这些问题的解是否合理进行分析和判断．例如从解的物理量单位，解随某些已知量变化的趋势，解在一些特殊条件下的结果等方面进行分析，并与预期结果、实验结论等进行比较，从而判断解的合理性或正确性．举例如下：如图9－7甲所示，质量为M 、倾角为θ的滑块A 放于水平地面上．把质量为m 的滑块B 放在A 的斜面上．忽略一切摩擦，有人求得B 相对地面的加速度a ＝g sin θ，式中g 为重力加速度．图9－7甲对于上述解，某同学首先分析了等号右侧的量的单位，没发现问题．他进一步利用特殊条件对该解做了如下四项分析和判断，所得结论都是“解可能是对的”．但是，其中有一项是错误．．的，请你指出该项[2008年高考·北京理综卷]( ) A ．当θ＝0°时，该解给出a ＝0，这符合常识，说明该解可能是对的B ．当θ＝90°时，该解给出a ＝g ，这符合实验结论，说明该解可能是对的C ．当M ?m 时，该解给出a ≈g sin θ，这符合预期的结果，说明该解可能是对的D ．当m ?M 时，该解给出a ≈，这符合预期的结果，说明该解可能是对的【解析】当A 固定时，很容易得出a ＝g sin θ；当A 置于光滑的水平面时，B 加速下滑的同时A 向左加速运动，B 不会沿斜面方向下滑，难以求出运动的加速度．图9－7乙设滑块A 的底边长为L ，当B 滑下时A 向左移动的距离为x ，由动量守恒定律得： M ＝m解得：x ＝当m ?M 时，x ≈L ，即B 水平方向的位移趋于零，B 趋于自由落体运动且加速度a ≈g ． 选项D 中，当m ?M 时，a ≈＞g 显然不可能． [答案] D 【点评】本例中，若m 、M 、θ、L 有具体数值，可假设B 下滑至底端时速度v 1的水平、竖直分量分别为v 1x 、v 1y ，则有：＝＝mv 1x 2＋mv 1y 2＋Mv 22＝mgh mv 1x ＝Mv 2解方程组即可得v 1x 、v 1y 、v 1以及v 1的方向和m 下滑过程中相对地面的加速度．●例2 在倾角为θ的光滑斜面上，存在着两个磁感应强度大小相同的匀强磁场，其方向一个垂直于斜面向上，一个垂直于斜面向下(如图9－8甲所示)，它们的宽度均为L ．一个质量为m 、边长也为L 的正方形线框以速度v 进入上部磁场时，恰好做匀速运动．图9－8甲(1)当ab 边刚越过边界ff ′时，线框的加速度为多大，方向如何？(2)当ab 边到达gg ′与ff ′的正中间位置时，线框又恰好做匀速运动，则线框从开始进入上部磁场到ab 边到达gg ′与ff ′的正中间位置的过程中，线框中产生的焦耳热为多少？(线框的ab 边在运动过程中始终与磁场边界平行，不计摩擦阻力)【解析】(1)当线框的ab 边从高处刚进入上部磁场(如图9－8乙中的位置①所示)时，线框恰好做匀速运动，则有：mg sin θ＝BI 1L 此时I 1＝当线框的ab 边刚好越过边界ff ′(如图9－8乙中的位置②所示)时，由于线框从位置①到位置②始终做匀速运动，此时将ab 边与cd 边切割磁感线所产生的感应电动势同向叠加，回路中电流的大小等于2I 1．故线框的加速度大小为：图9－8乙a ＝＝3g sin θ，方向沿斜面向上．(2)而当线框的ab 边到达gg ′与ff ′的正中间位置(如图9－8乙中的位置③所示)时，线框又恰好做匀速运动，说明mg sin θ＝4BI 2L故I 2＝I 1由I1＝可知，此时v′＝v从位置①到位置③，线框的重力势能减少了mgL sinθ动能减少了mv2－m()2＝mv2由于线框减少的机械能全部经电能转化为焦耳热，因此有：Q＝mgL sinθ＋mv2．[答案] (1)3g sinθ，方向沿斜面向上(2)mgL sinθ＋mv2【点评】导线在恒力作用下做切割磁感线运动是高中物理中一类常见题型，需要熟练掌握各种情况下求平衡速度的方法．二、连接体模型（板块模型）；二、连接体问题(整体法与隔离法)高考卷中常出现涉及两个研究对象的动力学问题，其中又包含两种情况：一是两对象的速度相同需分析它们之间的相互作用，二是两对象的加速度不同需分析各自的运动或受力．隔离(或与整体法相结合)的思想方法是处理这类问题的重要手段．1．整体法是指当连接体内(即系统内)各物体具有相同的加速度时，可以把连接体内所有物体组成的系统作为整体考虑，分析其受力情况，运用牛顿第二定律对整体列方程求解的方法．2．隔离法是指当研究对象涉及由多个物体组成的系统时，若要求连接体内物体间的相互作用力，则应把某个物体或某几个物体从系统中隔离出来，分析其受力情况及运动情况，再利用牛顿第二定律对隔离出来的物体列式求解的方法．3．当连接体中各物体运动的加速度相同或要求合外力时，优先考虑整体法；当连接体中各物体运动的加速度不相同或要求物体间的作用力时，优先考虑隔离法．有时一个问题要两种方法结合起来使用才能解决．●例7如图1－16所示，在光滑的水平地面上有两个质量相等的物体，中间用劲度系数为k的轻质弹簧相连，在外力F1、F2的作用下运动．已知F1＞F2，当运动达到稳定时，弹簧的伸长量为( )图1－16A．B．C．D．【解析】取A、B及弹簧整体为研究对象，由牛顿第二定律得：F1－F2＝2ma取B为研究对象：kx－F2＝ma(或取A为研究对象：F1－kx＝ma)可解得：x＝．[答案] C【点评】①解析中的三个方程任取两个求解都可以．②当地面粗糙时，只要两物体与地面的动摩擦因数相同，则A、B之间的拉力与地面光滑时相同．★同类拓展3如图1－17所示，质量为m的小物块A放在质量为M的木板B的左端，B在水平拉力的作用下沿水平地面匀速向右滑动，且A、B相对静止．某时刻撤去水平拉力，经过一段时间，B在地面上滑行了一段距离x，A在B上相对于B向右滑行了一段距离L(设木板B足够长)后A和B都停了下来．已知A、B间的动摩擦因数为μ，B与地面间的1动摩擦因数为μ2，且μ2＞μ1，则x的表达式应为( )图1－17A．x＝L B．x＝C．x＝D．x＝【解析】设A、B相对静止一起向右匀速运动时的速度为v，撤去外力后至停止的过程中，A受到的滑动摩擦力为：f1＝μ1mg其加速度大小a1＝＝μ1gB做减速运动的加速度大小a2＝由于μ2＞μ1，所以a2＞μ2g＞μ1g＝a1即木板B先停止后，A在木板上继续做匀减速运动，且其加速度大小不变对A应用动能定理得：－f1(L＋x)＝0－mv2对B应用动能定理得：μ1mgx－μ2(m＋M)gx＝0－Mv2解得：x＝．[答案] C【点评】①虽然使A产生加速度的力由B施加，但产生的加速度a1＝μ1g是取大地为参照系的．加速度是相对速度而言的，所以加速度一定和速度取相同的参照系，与施力物体的速度无关．②动能定理可由牛顿第二定律推导，特别对于匀变速直线运动，两表达式很容易相互转换．三、临界问题●例8如图1－18甲所示，滑块A置于光滑的水平面上，一细线的一端固定于倾角为45°、质量为M的光滑楔形滑块A的顶端P处，细线另一端拴一质量为m的小球B．现对滑块施加一水平方向的恒力F，要使小球B能相对斜面静止，恒力F应满足什么条件？图1－18甲【解析】先考虑恒力背离斜面方向(水平向左)的情况：设恒力大小为F1时，B还在斜面上且对斜面的压力为零，此时A、B有共同加速度a1，B的受力情况如图1－18乙所示，有：图1－18乙T sinθ＝mg，T cosθ＝ma1解得：a1＝g cotθ即F1＝(M＋m)a1＝(M＋m)g cotθ由此可知，当水平向左的力大于(M＋m)g cotθ时，小球B将离开斜面，对于水平恒力向斜面一侧方向(水平向右)的情况：设恒力大小为F2时，B相对斜面静止时对悬绳的拉力恰好为零，此时A、B的共同加速度为a2，B的受力情况如图1－18丙所示，有：图1－18丙FNcosθ＝mg，F N sinθ＝ma2解得：a2＝g tanθ即F2＝(M＋m)a2＝(M＋m)g tanθ由此可知，当水平向右的力大于(M＋m)g tanθ，B将沿斜面上滑，综上可知，当作用在A上的恒力F向左小于(M＋m)g cotθ，或向右小于(M＋m)g tanθ时，B能静止在斜面上．[答案] 向左小于(M＋m)g cotθ或向右小于(M＋m)g tanθ【点评】斜面上的物体、被细绳悬挂的物体这两类物理模型是高中物理中重要的物理模型，也是高考常出现的重要物理情境．四、超重与失重问题1．超重与失重只是物体在竖直方向上具有加速度时所受支持力不等于重力的情形．2．要注意飞行器绕地球做圆周运动时在竖直方向上具有向心加速度，处于失重状态．●例9为了测量某住宅大楼每层的平均高度(层高)及电梯的运行情况，甲、乙两位同学在一楼电梯内用电子体重计及秒表进行了以下实验：质量m＝50kg的甲同学站在体重计上，乙同学记录电梯从地面一楼到顶层的过程中，体重计的示数随时间变化的情况，并作出了如图1－19甲所示的图象．已知t＝0时，电梯静止不动，从电梯内楼层按钮上获知该大楼共19层．求：(1)电梯启动和制动时的加速度大小．(2)该大楼的层高．图1－19甲【解析】(1)对于启动状态有：F1－mg＝ma1得：a1＝2m/s2对于制动状态有：mg－F3＝ma2得：a2＝2m/s2．(2)电梯匀速运动的速度v＝a1t1＝2×1m/s＝2m/s从图中读得电梯匀速上升的时间t2＝26s电梯运行的总时间t＝28s电梯运行的v－t图象如图1－19乙所示，图1－19乙所以总位移s＝v(t2＋t)＝×2×(26＋28)m＝54m层高h＝＝＝3m．[答案] (1)2m/s22m/s2(2)3m连接体模型在历年的高考中频繁出现，一般需求解它们之间的摩擦力、相对滑动路程、摩擦生热、多次作用后的速度变化等，另外广义的连接体模型可以有许多变化，涉及的问题更多．如2009年高考天津理综卷第10题、宁夏理综卷第20题、山东理综卷第24题，2008年高考全国理综卷Ⅰ的第15题、北京理综卷第24题、江苏物理卷第6题、四川延考区理综卷第25题等．连接体模型有较多的变化，解题时往往需要进行综合分析(前面相关例题、练习较多)，下列两个典型的情境和结论需要熟记和灵活运用．1．叠放的长方体物块A、B在光滑的水平面上匀速运动或在光滑的斜面上自由释放后变速运动的过程中(如图9－9所示)，A、B之间无摩擦力作用．图9－92．如图9－10所示，一对滑动摩擦力做的总功一定为负值，其绝对值等于摩擦力乘以相对滑动的总路程或等于摩擦产生的热量，与单个物体的位移无关，即Q摩＝f·s相．图9－10●例3质量为M的均匀木块静止在光滑的水平面上，木块左右两侧各有一位拿着完全相同的步枪和子弹的射击手．首先左侧的射击手开枪，子弹水平射入木块的最大深度为d，然后右侧的射击手开枪，子弹水平射入木块的最大深度为d2，如图9－11所示．设子弹1均未射穿木块，且两子弹与木块之间的作用力大小均相同．当两颗子弹均相对木块静止时，下列说法正确的是(注：属于选修3－5模块)( )图9－11A．最终木块静止，d1＝d2B．最终木块向右运动，d1<d2C．最终木块静止，d1<d2D．最终木块静止，d1>d2【解析】木块和射出后的左右两子弹组成的系统水平方向不受外力作用，设子弹的质量为m，由动量守恒定律得：mv－mv0＝(M＋2m)v解得：v＝0，即最终木块静止设左侧子弹射入木块后的共同速度为v1，有：mv＝(m＋M)v1Q＝f·d1＝mv02－(m＋M)v121解得：d1＝对右侧子弹射入的过程，由功能原理得：Q＝f·d2＝mv02＋(m＋M)v12－02解得：d2＝即d1＜d2．[答案] C【点评】摩擦生热公式可称之为“功能关系”或“功能原理”的公式，但不能称之为“动能定理”的公式，它是由动能定理的关系式推导得出的二级结论．三、含弹簧的物理模型；三、含弹簧的物理模型纵观历年的高考试题，和弹簧有关的物理试题占有相当大的比重．高考命题者常以弹簧为载体设计出各类试题，这类试题涉及静力学问题、动力学问题、动量守恒和能量守恒问题、振动问题、功能问题等，几乎贯穿了整个力学的知识体系．为了帮助同学们掌握这类试题的分析方法，现将有关弹簧问题分类进行剖析．对于弹簧，从受力角度看，弹簧上的弹力是变力；从能量角度看，弹簧是个储能元件．因此，弹簧问题能很好地考查学生的综合分析能力，故备受高考命题老师的青睐．如2009年高考福建理综卷第21题、山东理综卷第22题、重庆理综卷第24题，2008年高考北京理综卷第22题、山东理综卷第16题和第22题、四川延考区理综卷第14题等．题目类型有：静力学中的弹簧问题，动力学中的弹簧问题，与动量和能量有关的弹簧问题．1．静力学中的弹簧问题(1)胡克定律：F＝kx，ΔF＝k·Δx．(2)对弹簧秤的两端施加(沿轴线方向)大小不同的拉力，弹簧秤的示数一定等于挂钩上的拉力．●例4如图9－12甲所示，两木块A、B的质量分别为m1和m2，两轻质弹簧的劲度系数分别为k1和k2，两弹簧分别连接A、B，整个系统处于平衡状态．现缓慢向上提木块A，直到下面的弹簧对地面的压力恰好为零，在此过程中A和B的重力势能共增加了( )图9－12甲A．B．C．(m1＋m2)2g2()D．＋【解析】取A、B以及它们之间的弹簧组成的整体为研究对象，则当下面的弹簧对地面的压力为零时，向上提A的力F恰好为：F＝(m＋m2)g1设这一过程中上面和下面的弹簧分别伸长x1、x2，如图9－12乙所示，由胡克定律得：图9－12乙x＝，x2＝1故A、B增加的重力势能共为：ΔE p＝m1g(x1＋x2)＋m2gx2＝＋．[答案] D【点评】①计算上面弹簧的伸长量时，较多同学会先计算原来的压缩量，然后计算后来的伸长量，再将两者相加，但不如上面解析中直接运用Δx＝进行计算更快捷方便．②通过比较可知，重力势能的增加并不等于向上提的力所做的功W＝·x总＝＋．2．动力学中的弹簧问题(1)瞬时加速度问题(与轻绳、轻杆不同)：一端固定、另一端接有物体的弹簧，形变不会发生突变，弹力也不会发生突变．(2)如图9－13所示，将A、B下压后撤去外力，弹簧在恢复原长时刻B与A开始分离．图9－13●例5一弹簧秤秤盘的质量m1＝，盘内放一质量m2＝的物体P，弹簧的质量不计，其劲度系数k＝800N/m，整个系统处于静止状态，如图9－14所示．图9－14现给P施加一个竖直向上的力F，使P从静止开始向上做匀加速直线运动，已知在最初内F是变化的，在后是恒定的，求F的最大值和最小值．(取g＝10m/s2)【解析】初始时刻弹簧的压缩量为：x＝＝设秤盘上升高度x时P与秤盘分离，分离时刻有：＝a又由题意知，对于0～时间内P的运动有：at2＝x解得：x＝，a＝6m/s2故在平衡位置处，拉力有最小值F min＝(m1＋m2)a＝72N分离时刻拉力达到最大值F max＝m2g＋m2a＝168N．[答案] 72N 168N【点评】对于本例所述的物理过程，要特别注意的是：分离时刻m1与m2之间的弹力恰好减为零，下一时刻弹簧的弹力与秤盘的重力使秤盘产生的加速度将小于a，故秤盘与重物分离．3．与动量、能量相关的弹簧问题与动量、能量相关的弹簧问题在高考试题中出现频繁，而且常以计算题出现，在解析过程中以下两点结论的应用非常重要：(1)弹簧压缩和伸长的形变相同时，弹簧的弹性势能相等；(2)弹簧连接两个物体做变速运动时，弹簧处于原长时两物体的相对速度最大，弹簧的形变最大时两物体的速度相等．●例6如图9－15所示，用轻弹簧将质量均为m＝1kg的物块A和B连接起来，将它们固定在空中，弹簧处于原长状态，A距地面的高度h1＝．同时释放两物块，A与地面碰撞后速度立即变为零，由于B压缩弹簧后被反弹，使A刚好能离开地面(但不继续上升)．若将B物块换为质量为2m的物块C(图中未画出)，仍将它与A固定在空中且弹簧处于原长，从A 距地面的高度为h2处同时释放，C压缩弹簧被反弹后，A也刚好能离开地面．已知弹簧的劲度系数k＝100N/m，求h2的大小．图9－15【解析】设A物块落地时，B物块的速度为v1，则有：mv12＝mgh1设A刚好离地时，弹簧的形变量为x，对A物块有：mg＝kx从A落地后到A刚好离开地面的过程中，对于A、B及弹簧组成的系统机械能守恒，则有：mv12＝mgx＋ΔEp换成C后，设A落地时，C的速度为v2，则有：·2mv22＝2mgh2从A落地后到A刚好离开地面的过程中，A、C及弹簧组成的系统机械能守恒，则有：·2mv22＝2mgx＋ΔE p联立解得：h2＝．[答案]【点评】由于高中物理对弹性势能的表达式不作要求，所以在高考中几次考查弹簧问题时都要用到上述结论“①”．如2005年高考全国理综卷Ⅰ第25题、1997年高考全国卷第25题等．●例7用轻弹簧相连的质量均为2kg的A、B两物块都以v＝6m/s的速度在光滑的水平地面上运动，弹簧处于原长，质量为4kg的物块C静止在前方，如图9－16甲所示．B与C碰撞后二者粘在一起运动，则在以后的运动中：图9－16甲(1)当弹簧的弹性势能最大时，物体A的速度为多大？(2)弹簧弹性势能的最大值是多少？(3)A的速度方向有可能向左吗？为什么？【解析】(1)当A、B、C三者的速度相等(设为v A′)时弹簧的弹性势能最大，由于A、B、C三者组成的系统动量守恒，则有：(m A＋m B)v＝(m A＋m B＋m C)v A′解得：v A′＝m/s＝3m/s．(2)B、C发生碰撞时，B、C组成的系统动量守恒，设碰后瞬间B、C两者的速度为v′，则有：m B v＝(mB＋m C)v′解得：v′＝＝2m/sA的速度为vA′时弹簧的弹性势能最大，设其值为E p，根据能量守恒定律得：Ep＝(m B＋m C)v′2＋m A v2－(m A＋m B＋m C)v A′2＝12J．(3)方法一A不可能向左运动．根据系统动量守恒有：(m A＋m B)v＝m A v A＋(m B＋m C)v B设A向左，则v A＜0，v B＞4m/s则B、C发生碰撞后，A、B、C三者的动能之和为：E′＝mA v＋(mB＋m C)v＞(m B＋m C)v＝48J实际上系统的机械能为：E＝Ep＋(m A＋m B＋m C)v A′2＝12J＋36J＝48J根据能量守恒定律可知，E′＞E是不可能的，所以A不可能向左运动．方法二B、C碰撞后系统的运动可以看做整体向右匀速运动与A、B和C相对振动的合成(即相当于在匀速运动的车厢中两物块相对振动)由(1)知整体匀速运动的速度v0＝v A′＝3m/s图9－16乙取以v0＝3m/s匀速运动的物体为参考系，可知弹簧处于原长时，A、B和C相对振动的速率最大，分别为：vAO＝v－v0＝3m/svBO＝|v′－v0|＝1m/s由此可画出A、B、C的速度随时间变化的图象如图9－16乙所示，故A不可能有向左运动的时刻．[答案] (1)3m/s (2)12J (3)不可能，理由略【点评】①要清晰地想象、理解研究对象的运动过程：相当于在以3m/s匀速行驶的车厢内，A、B和C做相对弹簧上某点的简谐振动，振动的最大速率分别为3m/s、1m/s．②当弹簧由压缩恢复至原长时，A最有可能向左运动，但此时A的速度为零．●例8探究某种笔的弹跳问题时，把笔分为轻质弹簧、内芯和外壳三部分，其中内芯和外壳质量分别为m和4m．笔的弹跳过程分为三个阶段：图9－17①把笔竖直倒立于水平硬桌面，下压外壳使其下端接触桌面(如图9－17甲所示)；②由静止释放，外壳竖直上升到下端距桌面高度为h1时，与静止的内芯碰撞(如图9－17乙所示)；③碰后，内芯与外壳以共同的速度一起上升到外壳下端距桌面最大高度为h2处(如图9－17丙所示)．设内芯与外壳的撞击力远大于笔所受重力，不计摩擦与空气阻力，重力加速度为g．求：(1)外壳与内芯碰撞后瞬间的共同速度大小．(2)从外壳离开桌面到碰撞前瞬间，弹簧做的功．(3)从外壳下端离开桌面到上升至h2处，笔损失的机械能．[2009年高考·重庆理综卷]【解析】设外壳上升到h1时速度的大小为v1，外壳与内芯碰撞后瞬间的共同速度大小为v．2(1)对外壳和内芯，从撞后达到共同速度到上升至h2处，由动能定理得：(4m＋m)g(h2－h1)＝(4m＋m)v－0解得：v2＝．(2)外壳与内芯在碰撞过程中动量守恒，即：4mv1＝(4m＋m)v2将v2代入得：v1＝设弹簧做的功为W，对外壳应用动能定理有：W－4mgh＝×4mv1将v1代入得：W＝mg(25h2－9h1)．(3)由于外壳和内芯达到共同速度后上升至高度h2的过程中机械能守恒，只有在外壳和内芯的碰撞中有能量损失，损失的能量E损＝×4mv－(4m＋m)v将v1、v2代入得：E损＝mg(h2－h1)．[答案] (1) (2)mg(25h2－9h1)(3)mg(h2－h1)由以上例题可以看出，弹簧类试题的确是培养和训练学生的物理思维、反映和开发学生的学习潜能的优秀试题．弹簧与相连物体构成的系统所表现出来的运动状态的变化，为学生充分运用物理概念和规律(牛顿第二定律、动能定理、机械能守恒定律、动量定理、动量守恒定律)巧妙解决物理问题、施展自身才华提供了广阔空间，当然也是区分学生能力强弱、拉大差距、选拔人才的一种常规题型．因此，弹簧试题也就成为高考物理题中的一类重要的、独具特色的考题．四、传送带问题）四、传送带问题从1990年以后出版的各种版本的高中物理教科书中均有皮带传输机的插图．皮带传送类问题在现代生产生活中的应用非常广泛．这类问题中物体所受的摩擦力的大小和方向、运动性质都具有变化性，涉及力、相对运动、能量转化等各方面的知识，能较好地考查学生分析物理过程及应用物理规律解答物理问题的能力．如2003年高考全国理综卷第34题、2005年高考全国理综卷Ⅰ第24题等．对于滑块静止放在匀速传动的传送带上的模型，以下结论要清楚地理解并熟记：(1)滑块加速过程的位移等于滑块与传送带相对滑动的距离；(2)对于水平传送带，滑块加速过程中传送带对其做的功等于这一过程由摩擦产生的热量，即传送装置在这一过程需额外(相对空载)做的功W＝mv2＝2E k＝2Q摩．●例9如图9－18甲所示，物块从光滑曲面上的P点自由滑下，通过粗糙的静止水平传送带后落到地面上的Q点．若传送带的皮带轮沿逆时针方向匀速运动(使传送带随之运动)，物块仍从P点自由滑下，则( )图9－18甲A．物块有可能不落到地面上B．物块仍将落在Q点C．物块将会落在Q点的左边D．物块将会落在Q点的右边【解析】如图9－18乙所示，设物块滑上水平传送带上的初速度为v0，物块与皮带之间的动摩擦因数为μ，则：图9－18乙物块在皮带上做匀减速运动的加速度大小a＝＝μg物块滑至传送带右端的速度为：v＝物块滑至传送带右端这一过程的时间可由方程s＝v0t－μgt2解得．当皮带向左匀速传送时，滑块在皮带上的摩擦力也为：f＝μmg物块在皮带上做匀减速运动的加速度大小为：a′＝＝μg1则物块滑至传送带右端的速度v′＝＝v物块滑至传送带右端这一过程的时间同样可由方程s＝v0t－μgt2解得．由以上分析可知物块仍将落在Q点，选项B正确．[答案] B【点评】对于本例应深刻理解好以下两点：①滑动摩擦力f＝μF N，与相对滑动的速度或接触面积均无关；②两次滑行的初速度(都以地面为参考系)相等，加速度相等，故运动过程完全相同．我们延伸开来思考，物块在皮带上的运动可理解为初速度为v0的物块受到反方向的大小为μmg的力F的作用，与该力的施力物体做什么运动没有关系．●例10如图9－19所示，足够长的水平传送带始终以v＝3m/s的速度向左运动，传送带上有一质量M＝2kg的小木盒A，A与传送带之间的动摩擦因数μ＝．开始时，A与传送带之间保持相对静止．现有两个光滑的质量均为m＝1kg的小球先后相隔Δt＝3s自传送带的左端出发，以v0＝15m/s的速度在传送带上向右运动．第1个球与木盒相遇后立即进入盒中并与盒保持相对静止；第2个球出发后历时Δt1＝s才与木盒相遇．取g＝10m/s2，问：图9－19(1)第1个球与木盒相遇后瞬间，两者共同运动的速度为多大？(2)第1个球出发后经过多长时间与木盒相遇？(3)在木盒与第1个球相遇至与第2个球相遇的过程中，由于木盒与传送带间的摩擦而产生的热量是多少？【解析】(1)设第1个球与木盒相遇后瞬间，两者共同运动的速度为v1，根据动量守恒定律得：mv－Mv＝(m＋M)v1解得：v1＝3m/s，方向向右．(2)设第1个球与木盒的相遇点离传送带左端的距离为s，第1个球经过时间t0与木盒相遇，则有：。
2014年天津市高考数学试卷(理科)答案与解析
2014年天津市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分）1．（5分）（2014•天津）i 是虚数单位，复数=（）+i +解：复数==2．（5分）（2014•天津）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最小值为（）﹣3．（5分）（2014•天津）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为（）4．（5分）（2014•天津）函数f（x）=log（x2﹣4）的单调递增区间为（）=logy=log ty=log（5．（5分）（2014•天津）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）﹣=1 ﹣=1﹣=1 ﹣=1先求出焦点坐标，利用双曲线=1=2∵双曲线﹣=1∴∴双曲线的方程为﹣=16．（5分）（2014•天津）如图，△ABC 是圆的内接三角形，∠BAC 的平分线交圆于点D ，交BC 于E ，过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F ，在上述条件下，给出下列四个结论： ①BD 平分∠CBF； ②FB 2=FD•FA ； ③AE•CE=BE•DE； ④AF•BD=AB•BF．所有正确结论的序号是（ ）7．（5分）（2014•天津）设a，b∈R，则“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的（）8．（5分）（2014•天津）已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD=120°，点E 、F 分别在边BC 、DC 上，=λ，=μ，若•=1，•=﹣，则λ+μ=（ ）•=3 ①；再由=﹣ 解：由题意可得若•（+）•（+）++•+•=••（﹣））=•（，﹣，故答案为：．二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）（2014•天津）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取 60 名学生． 解：根据分层抽样的定义和方法，一年级本科生人数所占的比例为==6010．（5分）（2014•天津）一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为 m 3．×ππ故答案为：11．（5分）（2014•天津）设{a n}是首项为a1，公差为﹣1的等差数列，S n为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为﹣．==S==，故答案为：﹣．12．（5分）（2014•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b﹣c=a，2sinB=3sinC，则cosA的值为﹣．，再由余弦定理求得cosA=c= a ①，b=cosA==，故答案为：﹣．13．（5分）（2014•天津）在以O为极点的极坐标系中，圆ρ=4sinθ和直线ρsinθ=a相交于A、B两点，若△AOB 是等边三角形，则a的值为 3 ．是等边三角形，∴B（，可得（14．（5分）（2014•天津）已知函数f（x）=|x2+3x|，x∈R，若方程f（x）﹣a|x﹣1|=0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为（0，1）∪（9，+∞）．1|=a==1++5|1++5≥1=+5﹣三、解答题（共6小题，共80分）15．（13分）（2014•天津）已知函数f（x）=cosx•sin（x+）﹣cos2x+，x∈R．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在闭区间[﹣，]上的最大值和最小值．求的范围，求出）=cosx•（sinx====）的最小正周期=，]﹣]∈，]∴当﹣时，即）取到最小值是：当=时，即时，）取到最大值是：，所以，所求的最大值为，最小值为本题考查了两角和差的正弦公式、倍角公式，正弦函数的性质，以及复合三角函数的周期公式16．（13分）（2014•天津）某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学，在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院，现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）．（Ⅰ）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；（Ⅱ）设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．（则名同学是来自互不相同学院的概率为（的数学期望17．（13分）（2014•天津）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．（Ⅰ）证明：BE⊥DC；（Ⅱ）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；（Ⅲ）若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F﹣AB﹣P的余弦值．的方向向量，根据=0 BF⊥AC，求出向量∴），=∵=0（Ⅱ）∵=），=的法向量=由，得====所成角的正弦值为．（Ⅲ）∵=），），上，设=故=+•=，即，，），=由，得，则的法向量==的余弦值为：18．（13分）（2014•天津）设椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，上顶点为B，已知|AB|=|F1F2|．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过原点O的直线l与该圆相切，求直线l的斜率．|AB|=|F．可得，再利用e=．可设椭圆方程为，可得．利用圆的性质可得，于是=0在椭圆上，可得．联立可得PT，利用两点间的距离公式可得圆的半径|AB|=，可得∴e=．因此椭圆方程为．），可得=），∵∴．联立，化为=0≠0，∴，，可得∴P=﹣=∴T，r==∴，解得的斜率为19．（14分）（2014•天津）已知q和n均为给定的大于1的自然数，设集合M={0，1，2，…，q﹣1}，集合A={x|x=x1+x2q+…+x n q n﹣1，x i∈M，i=1，2，…n}．（Ⅰ）当q=2，n=3时，用列举法表示集合A；（Ⅱ）设s，t∈A，s=a1+a2q+…+a n q n﹣1，t=b1+b2q+…+b n q n﹣1，其中a i，b i∈M，i=1，2，…，n．证明：若a n＜b n，则s＜t．A={x|+≤﹣A={x|）q+…++=20．（14分）（2014•天津）设f（x）=x﹣ae x（a∈R），x∈R，已知函数y=f（x）有两个零点x1，x2，且x1＜x2．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）证明：随着a的减小而增大；（Ⅲ）证明x1+x2随着a的减小而增大．a==，=a，则=ln，令，令，=+ln，满足（﹣﹣）＜，，由=＜＜；∴=a=a，∴lnx=ln，设∴，，…①；==﹣=。
放缩法在导数压轴题中的应用
放缩法在导数压轴题中的应用放缩法是一种重要的数学方法，尤其在证明不等式中经常用到。
近几年数列在高考中的难度要求降低，放缩法的应用重点也逐渐从证明数列不等式转移到导数压轴题中，尤其是在导数不等式证明中更是大放异彩。
下面举几个例子，以供参考。
例1：（2012年高考辽宁卷理科第21题（Ⅱ））设$f(x)=\ln(x+1)+\frac{9x}{x+6}$，证明：当$1<x<2$时，$f(x)<x+1-1$。
证明：由基本不等式，当$x>0$时，$2(x+1) \cdot 1 <(x+2)^2$，故$x+1<\frac{x^2+15x+2}{2(x+1)}$。
因此。
begin{align*}f(x)&=\ln(x+1)+\frac{9x}{x+6}\\ln(x+1)+\frac{x+1}{2}\\ln\sqrt{(x+1)^2}+\ln e^{\frac{x+1}{2}}\\ln(x+1)+1\\x+1-1end{align*}例2：（2013年新课标全国Ⅱ卷第21题（Ⅱ））已知函数$f(x)=e^{-\ln(x+m)}$，当$m \leq 2$时，证明$f(x)>x$。
例3：（2014年高考新课标Ⅰ卷理科第21题）设函数$f(x)=ae^{\ln x}+b$，曲线$y=f(x)$在点$(1,f(1))$处的切线方程为$y=e(x-1)+2$。
I）求$a,b$；II）证明：$f(x)>1$。
例4：（2016年高考山东卷理科第20题（Ⅱ））已知$f(x)=a(x-\ln x)+\frac{2x-1}{2}$，当$a=1$时，证明$f(x)>f'(x)+\frac{3}{2x}$，对于任意的$x \in [1,2]$成立。
例5：（2016年高考新课标Ⅲ卷文科21题）设函数$f(x)=\ln x-x+1$。
I）证明当$x \in (1,+\infty)$时，$1<\frac{x-1}{\ln x}<x$；II）设$c>1$，证明当$x \in (0,1)$时，$1+(c-1)x>c$。
2017年高考全国Ⅰ卷理科数学第20题解法探究
2017年高考全国Ⅰ卷理科数学第20题解法探究
作者：乔静
来源：《中学数学杂志(高中版)》2017年第05期
2017年高考理科数学全国（Ⅰ）卷第20题考查的是常见的定点问题，初看起来很是平常，但是如果我们深入思考、仔细研究一下，就会发现题目解法灵活多样，可以从多个方面考查基本知识和基本技能.同时该题目入手虽容易，但真正做到最后并不容易，对学生分析问题解决问题的能力以及细致运算的能力要求都很高，而这正是高考着重考查的，所以本题有很大的研究空间和教学价值.。
三角函数给力协解椭圆范围与最值问题
．．２
题）设椭圆与＋缶一１（口＞６＞ｏ）的左、右顶
口
图１
点分另一】为Ａ，Ｂ，点Ｐ在椭圆上，且异于Ａ，Ｂ 两点，ｏ为坐标原点．
点评
本题利用正切函数的定义与单
调性，将Ｉ忌ｌ的变化范围转化为夹角的范围，
从而与辅助圆联系起来，最终达到证明的
目的．
（１）若直线ＡＰ与ＢＰ的斜率之积为 一÷，求椭圆的离心率；
了南确定’，由
√２ｎ‘一９
ｓｉｎ‘口一驴’Ｉ≤１ 得
—；兰二≤１，解得ｎ２≥４５，当以２—４５时长轴
最短，此时６２一日２—９—３６，得椭圆的方程为
丢＋芸＝Ｌ
点评 在第（１）问中，先求得椭圆的标 准方程，再利用点的参数式方程直接得最 值；第（２）问中，在不知口，６的情况下，再引入 辅助角∞，最后利用正弦函数的有界性顺利 得解．
～膏一、利用三角函数的定义
三角函数的定义建立了角、坐标、函数 值三者之间的联系，其中点的坐标架起了角 与函数值的桥梁．回归定义，可以让我们更 清楚地认识数与形本质的变化特征．
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参例１
口
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（２０１２年高考天津理科卷第１９
ｃ。ｓ么Ｆ。ＰＦ：一上￡旦｛千；去；鼍｛铲
一２口，由余弦定理得
解析
由椭圆定义有Ｉ ＰＦ。｝＋Ｉ ＰＦ：ｌ
（１）过程略．答案：等＋ｙｚ一１．
ｏＢ
Ｆｌ Ｆ２ ２—２Ｉ ＰＦｌ｜．『ＰＦ２ 一（ＩＰＦｌ ｌ＋ＪＰＦ２ １）２一Ｉ ２ｊ ＰＦｌ｜．１ ＰＦ２
（２）ｓ△∞ｓ一寺『０Ａ
ｓｉｎ么ＡｏＢ一
2014年高考天津理科数学试题及答案(word解析版)
xy2O-221FEDCBA 2014年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理科）第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）【2014年天津，理1，5分】i是虚数单位，复数7i34i（）（A）1i（B）1i（C）1731i2525（D）1725i77【答案】A【解析】7i34i7i2525i1i34i34i34i25，故选A．【点评】本题考查了复数的运算法则和共轭复数的意义，属于基础题．（2）【2014年天津，理2，5分】设变量x，y满足约束条件2012xyx yy≥--≤+≥-⎧⎪⎨⎪⎩，则目标函数2z x y=+的最小值为（）（A）2 （B）3 （C）4 （D）5【答案】B【解析】作出可行域，如图结合图象可知，当目标函数通过点1,1时，z取得最小值3，故选B．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．（3）【2014年天津，理3，5分】阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的S的值为（）（A）15 （B）105 （C）245 （D）945【答案】B【解析】1i时，3T，3S；2i时，5T，15S；3i时，7T，105S，4i输出105S，故选B．【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键．（4）【2014年天津，理4，5分】函数212log4f x x的单调递增区间是（）（A）0,（B）,0（C）2,（D）,2【答案】D【解析】240x，解得2x或2x．由复合函数的单调性知f x的单调递增区间为,2，故选D．【点评】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．（5）【2014年天津，理5，5分】已知双曲线22221x ya b0,0a b的一条渐近线平行于直线l：210y x，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）（A）221520x y（B）221205x y（C）2233125100x y（D）2233110025x y【答案】A【解析】依题意得22225b acc a b，所以25a，220b，双曲线的方程为221520x y，故选A．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于中档题．（6）【2014年天津，理6，5分】如图，ABC是圆的内接三角形，BAC的平分线交圆于点D，交BC于点E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F．在上述条件下，给出下列四个结论：①BD 平分CBF ；②2FB FD FA ；③AE CE BE DE ；④AF BD AB BF ．则所有正确 结论的序号是（ ）（A ）①② （B ）③④ （C ）①②③ （D ）①②④ 【答案】D 【解析】∵圆周角DBC ∠对应劣弧CD ，圆周角DAC ∠对应劣弧CD ，∴DBC DAC ∠=∠．∵弦切角FBD∠对应劣弧BD ，圆周角BAD ∠对应劣弧BD ，∴FBD BAF ∠=∠．∵BD 是BAC ∠的平分线，∴BAF DAC ∠=∠． ∴DBC FBD ∠=∠．即BD 平分CBF ∠．即结论①正确．又由FBD FAB ∠=∠，BFD AFB ∠=∠，得FBD FAB ∆∆．由FB FD FA FB =，2FB FD FA =⋅．即结论②成立．由BF BDAF AB=，得AF BD AB BF ⋅=⋅．即结论④成立．正确结论有①②④，故选D ．【点评】本题考查了弦切角、圆周角与弧的关系，还考查了三角形相似的知识，本题总体难度不大，属于基础题．（7）【2014年天津，理7，5分】设,a b R ，则|“a b ”是“a a b b ”的（ ） （A ）充要不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充要也不必要条件 【答案】C【解析】解法一：设f x x x ，则220,0,x x x x f x ，所以f x 是R 上的增函数，“a b ”是“a a b b ”的充要条件，故选C ． 解法二：若0a b >≥，则不等式a ab b 等价为a a b b 此时成立．若0a b >>，则不等式a ab b等价为a a b b -⋅>-⋅，即22a b <，此时成立．若0a b ≥>，不等式a a b b 等价为a a b b ⋅>-⋅，即22a b >-，此时成立，综上则“ab ”是“a ab b ”的充要条件，故选C ．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质 结合分类讨论是解决本题的关键．（8）【2014年天津，理8，5分】已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ，点,E F 分别在边,BC DC 上，BE BC ，DFDC ．若1AE AF ，23CE CF ，则（ ） （A ）12 （B ）23 （C ）56 （D ）712【答案】C 【解析】因为120BAD，所以cos1202AB ADAB AD ．因为BE BC ，所以AEABAD ，AFAB AD ．因为1AE AF ，所以1ABADABAD，即3222① 同理可得23 ②，①+②得56，故选C ． 【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义，属于中档题．第II 卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． （9）【2014年天津，理9，5分】某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取 名学生． 【答案】60【解析】应从一年级抽取4604556300名．【点评】本题主要考查分层抽样的定义和方法，利用了总体中各层的个体数之比等于样本中对应俯视图侧视图正视图各层的样本数之比，属于基础题．（10）【2014年天津，理10，5分】已知一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为 3m ． 【答案】203【解析】由三视图知：几何体是圆锥与圆柱的组合体，其中圆柱的高为4，底面直径为2，圆锥的高为2，底面直径为4，∴几何体的体积22182014224333V πππππ=⨯⨯+⨯⨯⨯=+=．【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．（11）【2014年天津，理11，5分】设n a 是首项为1a ，公差为1-的等差数列，n S 为其前n 项和．若124,,S S S 成等比数列，则1a 的值为 ．【答案】12【解析】依题意得2214S S S ，所以21112146a a a ，解得112a ． 【点评】本题主要考查等差数列的前n 项和公式，等比数列的定义和性质，属于中档题． （12）【2014年天津，理12，5分】在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,abc ．已知14b ca ，2sin 3sin B C ，则cos A 的值为 ．【答案】14【解析】因为2sin 3sin B C ，所以23b c ，解得32cb ，2ac ．所以2221cos 24b c a A bc ．【点评】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题． （13）【2014年天津，理13，5分】在以O 为极点的极坐标系中，圆4sin 和直线sin a 相交于,A B两点．若AOB 是等边三角形，则a 的值为 ． 【答案】3【解析】圆的方程为2224x y ，直线为y a ．因为AOB一个交点坐标为,3aa ，代入圆的方程可得3a ．【点评】本题考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，直线和圆的位置关系，求出B 坐标是解题的关键，属于基础题．（14）【2014年天津，理14，5分】已知函数23f x x x ，x R ．若方程1f x a x 个互异的实数根，则实数a 的取值范围为 ． 【答案】()()0,19,+∞ 【解析】解法一：（ⅰ）当1y a x 与23y x x 相切时，1a ，此时10f x a x 恰有3个互异的实数根． （ⅱ）当直线1y a x 与函数23yxx 相切时，9a ，此时10f x a x 恰有2个互异的实数根． 结合图象可知01a 或9a ． 解法二：显然1a ，所以231x xa x ．令1tx ，则45at t． 因为,444,tt，所以45,19,tt．结合图象可得01a 或9a ．【点评】本题主要考查函数零点个数的应用，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，难度较大． 三、解答题：本大题共6题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（15）【2014年天津，理15，13分】已知函数()23cos sin 3cos 34f x x x x π⎛⎫=⋅+-+ ⎪⎝⎭，x R ∈．（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在闭区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．解：（1）由已知，有2133cos sin cos 3cos 224f x xx x x2133sin cos cos 224x x x133sin 21cos2444x x13sin 2cos 244x x 1sin 223x ．所以，f x 的最小正周期22T ．（2）因为f x 在区间,412上是减函数，在区间,124上是增函数．144f，1122f， 144f．所以，函数f x 在闭区间,44上的最大值为14，最小值为12．【点评】本题考查了两角和差的正弦公式、倍角公式，正弦函数的性质，以及复合三角函数的周期公式2T πω=应用，考查了整体思想和化简计算能力，属于中档题．（16）【2014年天津，理16，13分】某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院． 现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）． （1）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；（2）设X 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望．解：（1）设“选出的3名同学来自互不相同的学院”为事件A ，则120337373104960C C C C P A C ． 所以，选出的3名同学来自互不相同学院的概率为4960．所以，f x 的最小正周期22T ．（2）随机变量X 的所有可能值为0，1，2，3．346310k k C C P xk C 0,1,2,3k ． 所以，随机变量X 的分布列是X0 1 2 3 P1612 310 130 随机变量X 的数学期望1131612362103050E X ． 【点评】本题考查古典概型及其概率公式，互斥事件，离散型随机变量的分布列与数学期望，考查应用概率解决实际问题的能力．（17）【2014年天津，理17，13分】如图，在四棱锥P ABCD 中，PA 底面ABCD ，AD AB ，//AB DC ，2AD DC AP ，1AB ，点E 为棱PC 的中点． （1）证明 BE DC ；（2）求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；（3）若F 为棱PC 上一点，满足BF AC ，求二面角F AB P 的余弦值． 解：解法一：依题意，以点A 为原点建立空间直角坐标系（如图），可得1,0,0B ，2,2,0C ，0,2,0D ， z y xPE DA0,0,2P ．由E 为棱PC 的中点，得1,1,1E ．（1）向量0,1,1BE ，2,0,0DC ，故0BE DC ．所以，BE DC ．（2）向量1,2,0BD，1,0,2PB．设,,nx y z 为平面PBD 的法向量，则00n BD n PB，即2020x y x z ，不妨令1y，可得2,1,1n 为平面PBD 的一个法向量，223cos ,36n BE n BEn BE．所以，直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值为33． （3）向量1,2,0BC，2,2,2CP，2,2,0AC ，1,0,0AB ．由点F 在棱PC 上，设CF CP ，01．故12,22,2BF BCCFBCCP．由BF AC ，得0BF AC ，因此，2122220，解得34．即113,,222BF ．设1,,n x y z 为平面FAB 的法向量，则1100n AB n BF，即01130222x x y z ．不妨令1z，可得10,3,1n 为平面FAB的一个法向量．取平面ABP 的法向量20,1,0n ，则1212113310cos ,10101n n n n n n ． 易知，二面角FAB P 是锐角，所以其余弦值为31010． 解法二：（1）如图，取PD 中点M ，连接EM ，AM ．由于,E M 分别为,PC PD 的中点，故//EM DC ，且12EM DC ，又由已知，可得//EM AB 且EM AB ，故四边形ABEM 为平行四边形，所以//BE AM ．因为PA 底面ABCD ，故PA CD ，而 CD DA ，从而CD 平面PAD ，因为AM 平面PAD ，于是CD AM ，又 //BE AM ，所以BE CD ． （2）连接BM ，由（1）有CD 平面PAD ，得CD PD ，而//EM CD ，故PD EM ．又因为AD AP ，M 为PD 的中点，故PD AM ，可得PD BE ，所以PD 平面BEM ，故平面BEM 平面PBD ． 直线BE 在平面PBD 内的射影为直线BM ，而BE EM ，可得EBM 为锐角，故EBM 为直线BE 与平面PBD 所成的角．依题意，有22PD，而M 为PD 中点，可得2AM，进而2BE ．故在直角三角形BEM 中，tan 12EM AB EBMBEBE，因此3in 3s EMB． 所以，直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值为33． （3）如图，在PAC 中，过点F 作//FH PA 交AC 于点H ．因为PA 底面ABCD ，故FH 底面ABCD ，从而FH AC ．又BF AC ，得AC 平面FHB ，因此AC BH ．在底面ABCD 内，可得3CH HA ，从而3CF FP ．在平面PDC 内，作//FG DC 交PD 于点G ，于是3DG GP ．由于//DC AB ，故//GF AB ，所以,,,A B F G 四点共面．由AB PA ， AB AD ，得AB 平面PAD ，故AB AG ．所以PAG 为二面角F AB P 的平面角．在PAG 中，2PA ，1242PG PD，45APG ，由余弦定理可得102AG ，3os 10c 1PAG．所以，二面角F AB P． 【点评】本题考查的知识点是空间二面角的平面角，建立空间坐标系，将二面角问题转化为向量夹角问题，是解答的关键．（18）【2014年天津，理18，13分】设椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点为12,F F ，右顶点为A ，上顶点为B ．已知1232AB F F ．（1）求椭圆的离心率；（2）设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点1F ，经过原点的直线l 与该圆相切． 求 直线的斜率．解：（1）设椭圆的右焦点2F 的坐标为,0c ．由1232AB F F ，可得2223a b c ，又222b a c ，则2212c a ． 所以，椭圆的离心率22e ．223b c ，所以22223a c c ，解得2a c ，22e ．（2）由（1）知222a c ，22b c ．故椭圆方程为222212x y c c ．设00,P x y ．由1,0F c ，0,B c ，有100,F P x c y ，1,F B c c ．由已知，有110F P F B ，即000x c c y c ．又0c ，故有00x y c． ① 又因为点P 在椭圆上，故22002212x y c c ． ② 由①和②可得200340x cx ．而点P 不是椭圆的顶点，故043cx ，代入①得03cy ，即点P 的坐标为4,33c c．设圆的圆心为11,T x y ，则1402323c x c ，12323c cy c ，进而圆的半径221153rx y cc ． 设直线l 的斜率为k ，直线l 的方程为ykx ．由l 1121y r ，即22233531c c kc k ， 整理得2810k k ，解得415k ．所以，直线l 的斜率为415或415． 【点评】本题中考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、点与椭圆的位置关系、直线与圆相切问题、点到直线的距离公式、中点坐标公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．（19）【2014年天津，理19，14分】已知q 和n 均为给定的大于1的自然数．设集合0,1,2,1,Mq ，集合112,,1,2,,n n iA x xx x x q x M in q．（1）当2q，3n 时，用列举法表示集合A ；（2）设,s t A ，112n n s a a qa q ，112n n tb b qb q ，其中,i ia b M ，1,2,,n i ．证明：若n n a b ，则st ．解：（1）当2q ，3n 时，0,1M ，12324,,1,2,3iA x xx x x M x i ．可得，0,1,2,3,4,5,6,7A ．（2）由,s tA ，112n n s a a q a q ，112n n t b b qb q ，,i i a b M ，1,2,,n i 及n n a b ，可得21111122nn n nnn sta b a b q a b q a b q21111n n q q qq qq11111nnq q q q10．所以，s t ．【点评】本题考查了考查了集合的运算及其性质、等比数列的前n 项和公式、不等式的基本性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．（20）【2014年天津，理20，14分】已知函数x f xx ae a R ，x R ．已知函数y f x 有两个零点12,x x ，且12x x ．（1）求a 的取值范围；（2）证明21xx 随着a 的减小而增大；（3）证明12x x 随着a 的减小而增大． 解：（1）由x f xx ae ，可得1x fx ae ．下面分两种情况讨论：1）0a 时，0f x 在R 上恒成立，可得f x 在R 上单调递增，不合题意． 2）0a时，由0fx，得ln xa ．当x 变化时，fx ，f x 的变化情况如下表：ln axxln 1a↘ x 的单调递增区间是,ln a ；单调递减区间是ln ,a ．于是，“函数y f x 有两个零点”等价于如下条件同时成立：（1）ln 0f a ；（2）存在1,ln a s ，满足10f s ；3）存在2ln ,a s ，满足20f s ．由ln 0f a，即ln 10a ，解得10a e ，而此时，取10s ，满足1,ln a s ，且10f s a；取222ln s a a，满足2ln ,a s ，且22222ln 0aaf s eeaa．所以，a 的取值范围是10,e ．（2）由0xf x x ae ，有x xae ．设xxg x e ，由1xxg x e ，知g x 在,1上单调递增，在1,上单调递减． 并且，当,0x 时，0g x；当0,x 时，0g x ．由已知，12,x x满足1ag x ，2ag x ．由10,ae，及g x 的单调性，可得10,1x ，21,x ．对于任意的1120,,a a e，设12a a ，121gga ，其中121；122gga ，其中121．因为g x 在0,1上单调递增，故由12a a ，即11gg，可得11；类似可得22．又由11,0，得222111．所以，21x x 随着a 的减小而增大． （3）由11x x ae ，22x x ae ，可得11ln ln x ax ，22ln ln x ax ．故221211ln ln lnx x x x x x ． 设21x t x ，则1t ，且2121ln x tx x x t，解得1ln 1tx t ，2ln 1t tx t ．所以，121ln 1tt x x t ． ①令1ln 1x x h x x ，1,x ，则212ln 1x xx h x x ．令12ln u xx xx， 得21x u xx．当1,x 时，0u x．因此，u x 在1,上单调递增，故对于任意的1,x，10u x u ，由此可得0h x ，故h x 在1,上单调递增．因此，由①可得12x x 随着t 的增大而增大．而由（2），t 随着a 的减小而增大，所以12x x 随着a 的减小而增大．【评析】本题考查了导数的运算以及利用导数研究函数的单调性与极值问题，也考查了函数思想、化归思想、抽象概括能力和分析问题、解决问题的能力，是综合型题目．。
2017年高考天津卷理科第20题命题手法探究
因 此 有 Ｉ ｔ － Ｘ ｏ Ｉ ≥ （ ＋ ） ｆ 一 Ｉ ｌ ， 令 一 手 可 得 孵） ， （ 詈 ）
≥
ｚ— 与上 述 问题 中 ， 当 ｚ∈ ［ １ ， ｚ 。 ）Ｕ （ ６ ５ 。 ， ２ ３时 ，
＞ ０ ； 当 ｚ＜ ｌ ｎ （ 一ｎ）时 ， 厂 （ ） ＜０ ． 故 ｆ（ ｘ） 的
故 存在 大 于 ０的 常数 Ａ—ｇ（ ２ ） ， 使得 对 于任
ｉ
图 ２
／
／ ｌ ｉ Ｐ ） ｏ
；
：
：
Ｉ
ｏ ） Ｏ ｍ ： （ Ⅱ ） 设 ∈ Ｉ － １ ， ｘ。 ）Ｕ （ ｚ 。 ， ２ ］ ， 函数 ｈ （ ｚ） 一 — ‰，
ｊ
图 ３
ｇ （ ｚ） （ 一ｚ ｏ ） 一ｆ （ ｍ） ， 求证 ： ｈ （ ｍ） ＾ （ ｚ ｏ ） ＜０ ； （ Ⅲ） 求证 ： 存在 大 于 ０的常 数 Ａ， 使 得 对 于
４ ＂ １
若 构 造 函 数 ｈ（ ）一 ｆ （ Ｌ ｚ ） （ ｍ — ｚ 。 ）一
ｆ（ ） ，即 可 得 ： ｈ（ ） （ ｚ 。 ） ＜ ０ ．
任 意 的正 整数 Ｐ、 ｑ， 且 ∈ ［ １ ， ｚ。 ）Ｕ （ ６。 ５ ， ２ ］ ，
ｑ
ｈ
－
１
由此 可得 问题 （ Ⅱ） ．
｛ ｔ —ｚ 。Ｉ ≥ｌ ｔ —ｚ ｓ １ ． １
由 于 Ｚ １ ： Ｙ —
／
， ０ Ｓ Ｏ Ｑ ｍ ｉ 图４
膏
ｆ （ ｔ ） （ ｚ— ｔ ） ＋ ｆ（ ｔ ），
令 —ｏ ， ￣５ ６ ｓ＝
＋ 。 一
设定 义在 区间 Ｄ 上 函数 厂 （ ｚ） 满足： ①单调 递增 ， ②下 凹 ， ③ 有 唯一零点 ｚ ．
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陕西蓝田城关中学 靳小平 题目：设 f ( x) x ae x (a R) ， x R. 已知函数 y f ( x) 有两个零点 x1 , x2 ，且 x1 x2 . (I)求 a 的取值范围 (II)证明：
x2 随着 a 的减小而增大； x1
1 令 k (a, x) x ae x ，即对任意 a1 , a2 (0, ) ， x R 且 a1 a2 ，有 k (a1 , x) k (a2 , x) e
又由(I)知，在区间 (, ln a) 内 y f ( x) 为增函数，在区间 ( ln a, ) 内 y f ( x) 为减函 数，设 k (a1 , x) 0 有两解 x1 , x2 ，且 0 x1 ln a1 , ln a2 x2 ， k (a2 , x) 0 有两解 x3 , x4 ，且
(III) 证明： x1 x2 随着 a 的减小而增大. 解析：(I) f ( x) 1 ae x ，当 a 0 时， f ( x) 0 ， y f ( x) 至多有一个零点，与题意不符； 当 a 0 时， f ( x) 0 有一解 x ln a ，在区间 (, ln a) 内 f ( x) ，在区间 ( ln a, ) 内 f ( x) 0 ， y f ( x) 有最大值 f ( ln a) ln a 1 ，要使函数 y f ( x) 有两个不同的零点
ea
1
1
1
1
1 1 1 e a 1 a e a 令 (a) ln a e a ，则 (a) 2 2 ， a a a a a2
1
ea 再令 (a ) 1 a e ，则 (a) 1 2 0 ， a
1 1 所以 (a) ( ) 1 ee 0 ，即 (a) 0 ，所以 (a) 为增函数， e e
x2 增大. x1
ex ，当 x1 ln a 1 ae x
证法 3：对 x ae x 两边求关于 a 的导数，得 x e x ae x x ，所以 x 时， x1
e x1 e x2 0 ，当 x2 ln a 时， x2 0 ，设 p(a) x2 x1 ， x1 1 ae x2 1 ae
1 x1 , x2 ，必须满足 f ( ln a) ln a 1 0 ，解得 0 a ，取 p 0 ， f ( p) f (0) a 0 ， e
1 1
1
ln ea 1 ea 1 取 q ln 1 此时 q e 1 1 ln a ， f (q) ln ae a ln a e a ， a a a a
0 x3 ln a1 , ln a2 x4 ，则 0 k (a1 , x1 ) k (a2 , x3 ) k (a1 , x3 ) ，所以 0 x3 x1 ； 0 k (a1 , x2 ) k (a2 , x4 ) k (a1 , x4 ) ，所以 x2 x4 ，
(,1) 内随着 x1 的增大， a 增大，也就是说，随着 a 的减小， x1 减小；而当
x2 ln a ln
1 1 时， a 0 ， a 为 x 的减函数，即在 (1, ) 内随着 x2 的增大， a 减小， e
也就是说，随着 a 的减小， x2 增大. 总之，随着 a 的减小，
小，
1
1 a
1 ea f (ln ) (a) ( ) e 1 ee 0 . e a 1 综上所述知，函数 f ( x) x ae x (a R) 存在两个相异零点的条件是 0 a . e 1 (II)证明：设 g (a) x ae x (a (0, )) ，则 g (a) ex 0 ，即函数 y g (a) 为减函数. e
x4 x2 x ，所以 2 随着 a 的减小而增大. x3 x1 x1
引理：函数 y f ( x) 是定义域为 D ，值域为 E 的连续增（减）函数，则在区间 E 内，随着
y 的增大， x 增大（缩小）
证法 2： 由题意， a
x 1 x 1 ， a x ，当 x1 1 ln ln a 时， a 0 ， a 为 x 的增函数，即在 e ex e
e x2 e x1 0 x2 1 ae 1 ae x1
p (a) x2 x1
因为
x2 x x e x2 x1 ，所以 ( 2 ) (e x2 x1 ) e x2 x1 p (a) 0 ，故而 2 是 a 的减函数，即随着 a 的减 x1 x1 x1 x2 增大. x1