初等函数的连续性
《高等数学》第三节 函数的连续性
如果 x0 是函数 第一类间断点 可去间断点
f ( x) 的间断点,可将其分成两类:
f ( x) 在点 x0 处的左右极限存在;
其它
f ( x) 在点 x0 处的左右极限至少有
第二类间断点
一个不存在. 无穷间断点 振荡间断点 其它
例2 考察函数
2 x 0 x 1 f ( x) 1 x 1 在 x 1处的连续性. 1 x x 1
解 该函数在点x 1 处没有定义,所以函数在x 1 处间断;又因为
1 x 1 x 1 lim
,极限
x 1
不存在，趋于无穷，所以 是函数
f ( x)
1 x 1 的第二类间断点,
且为无穷间断点.
例4 考察函数
解 该函数在
1 f (x) sin 在 x 0 处的连续性. x
lim y lim f ( x0 x) f ( x0 ) 0 函数增量 y 也趋于零,即 x0 x0
,则称函数
y f ( x) 在点 x0
处连续，x0 称为函数 f ( x)
的连续点．
若记 x x0 x ,则 y f ( x) f ( x0 ) ,且当
x 0 处没有定义,
所以函数在 x 0 处间断,又因为当
x0
时,极限不存在,函数值在1与－1之间无
限次地振荡,所以 x 0 是
f ( x ) sin 1 x
的第二
类间断点,且为振荡间断点.
二、初等函数的连续性
g ( x) 均 定理1（连续函数的四则运算） 如果 f ( x)、
在点
f (b) ,
为介于 f (a) 与 f (b) 之间的任一实
连续函数的运算和初等函数的连续性
定理 20.2. （反函数的连续性）连续严格单调递增（减）函数的反函数也是连 续严格单调递增（减）的。 证明：设 y = f (x) 为区间 I 上的连续严格单调递增函数。由定理 5.1（反函数 存在定理）反函数 x = f -1( y) 存在，并且也是严格单调递增的。不妨假设 I = (a,b) ， y0 = f (x0) ，下面证明反函数 x = f -1( y) 在点 y0 = f (x0) 处连续。任取正
|f (u) − f (u0 )|<ε ，当 u ∈U (u0;δ1) 时。
（20.2）
此外，由已知 limx→x0 g(x) = u0 ，故存在正数δ > 0 ，使得 |g(x) − u0|<δ1 ， 当 x ∈U o (x0；δ ) 时。
（20.3）
由（20.2），（20.3）可知，当 x ∈U o(x0；δ ) 时，有（20.1）成立。最后，若
（II）因为基本初等函数在其定义区间内均为连续的，于是基本初等函数经 过有限次四则运算及复合得到的函数在定义区间内仍然连续，于是，初等函 数在基定义区间内连续。
下面的例子告诉我们使用上述定理 20.3 及注记 20.3（II）能较容易地证明函 数的连续性及极限问题。
例子 20.1：设函数 f (x) 与 g(x) 均在[a,b]上连续，证明函数 h(x) = max{ f (x), g(x)}， s(x) = min{ f (x), g(x)} 在 [a, b] 上连续。 证明：注意到函数 m(u) =| u | 是 (−∞,+∞) 上的连续函数。故由定理 20.3 可知 m( f (x) − g(x)) =| f (x) − g(x) |在[a,b]上连续。于是，所述结果可由下列表达式得 到
函数的连续性
函数的连续性函数的连续性是数学中重要的一个概念，它描述了函数在某个点附近的表现。
连续性可以用来刻画函数的光滑程度和连贯性，对于分析和解决实际问题具有重要的意义。
本文将详细介绍函数的连续性以及相关的性质和定理。
1. 连续函数的定义与性质连续函数是指在定义域上的每一个点都具有连续性的函数。
具体而言，若函数f(x)在某一点x=a处的极限存在且与f(a)的函数值相等，那么函数f(x)在点x=a处连续。
连续函数具有以下重要性质：- 连续函数的和、差、积仍为连续函数；- 连续函数的复合函数仍为连续函数；- 有界闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值。
2. 初等函数的连续性初等函数是由常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等通过有限次的代数运算与函数复合得到的函数。
初等函数在其定义域上都是连续函数。
初等函数的连续性可以通过初等函数的定义和性质来证明。
以指数函数为例，指数函数f(x) = exp(x)在整个实数域上都是连续函数，因为它是由幂函数与以基数e为底的指数函数复合得到的。
3. 间断点与连续点函数可以在某些点上具有间断现象，这些点称为间断点。
间断点分为可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点。
相应地，函数在某些点上具有连续性，这些点称为连续点。
可去间断点是指在该点处存在左极限和右极限，但极限值不相等。
通过修正函数在该点处的定义可以使其连续。
跳跃间断点是指在该点处左右极限存在且不相等，函数在该点处无法修正。
4. 连续函数的中值定理中值定理是连续函数的重要定理之一，它刻画了连续函数在某个区间上的平均增长率等于其两个端点处斜率之间某个值的关系。
根据中值定理，如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且可导于开区间(a,b)内，则存在一个点c∈(a,b)，满足f(b)-f(a)=(b-a)f'(c)。
这个定理在微积分和实际问题的分析中有广泛的应用。
5. 连续函数的一致连续性一致连续性是连续函数的另一个重要性质，它描述了函数在整个定义域上的连续性。
高等数学第七节初等函数连续
五、连续的应用举例
1.利用函数的连续性求极限
f(x)为初等函数 x0 定义区间
lim xx0
f
(x)
f (x0 )
例1 求 lim ln sin x
解
x 2
y ln sin x是初等函数, 是其定义域内一点，
2
lim lnsin x lnsin
x
2
0
2
2、求函数的连续区间
例2
求函数y
定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续 的函数一定有最大值和最小值.
y
y f (x)
oa
2
y
M
B
C y f (x)
a
o
A
x1 1 2 3 x2 b x
1 b x m
定理 2 (介值定理)如果函数 f (x)在闭区间[a,b]上连续，m 与M 分别为 f (x)在闭区间[a,b]上的最小值与最大值，则对于 介于m与M 之间的任一实数c(m c M )，至少存在一点
(a b),使得 f ( ) c.
定理 2(零点定理) 如果函数 f (x)在闭区间[a,b]上连续，
且 f (a) 与 f (b) 异 号 ， 则 在 (a ,b )内 至 少 有 一 点 ， 使 得 f ( ) 0.
y
y f (x)
ao
1 2 3 b x
例5 证明方程 x3 4x2 1 0在区间(0,1)内 至少有一根.
初等函数的连续性
一、 基本初等函数在定义域内是连续的. 二、四则运算的连续性
定理 若函数 f ( x), g( x)在点 x0处连续,
则 f ( x) g( x),
f ( x) g( x),
f (x) g( x)
高等数学：第二讲 初等函数的连续性
x0
x
解
由于
ln(1
x)
ln(1
1
x)x
x
1
设 y ln u, u (1 x) x , x 0 时,
u e, 且 y ln u 在 u e 处连续.
1
原式 lim ln(1 x) x lim ln u lne 1.
x 0
u e
1
1
或: 原式 lim[ln(1 x) x ] ln[lim(1 x) x ] ln e 1.
x 0
x 0
3. 初等函数的连续性
定 理 3（初等函数的连续性）
初等函数在其定义区间内是连续的．
注意：定义区间是指包含在定义域内的区间!
启发：根据定理3可知，如果x0是初等函数f (x)定义区间内的点， 那么，求 x x0 时的极限，只要求f (x)在点x0的函数值就可以了.
即
lim
x x0
f
(x)=
f
( x0 )
例题1：
计算 lim arcsin(ln x)
x e
解： 因为arcsin(lnx) 是初等函数，且x=e是它 的定义区间内的一点，由定理2，有:
lim arcsin(ln x) arcsin(ln e)
xe
例题2：
计算 lim 1 x 1
x0
x
解： lim 1 x 1 lim
表明: 复合函数 y = f [(x)] 满足推论条件时:
（1）可作变量代换求复合函数的极限, 即
lim f [ ( x) ] 令u=(x)
x x0
lim f (u)
u u0
（2）极限运算与函数运算可以交换次序，即
lim f ( x) f [lim ( x)].
连续函数的基本性质
第八节 连续函数的基本性质一．初等函数的连续性（一）连续函数的运算性质定理１：如果函数)(x f 、)(x g 均在点0x 处连续，则（1）)()(x g x f βα+在点0x 处连续（βα,为常数）；（2）)()(x g x f 在点0x 处连续；（3）)()(x g x f 在点0x 处连续（0)(0≠x g ）； x y sin =、x y cos =在区间),(+∞-∞内连续，x x y cos sin +=、x x y cos sin ⋅=在区间),(+∞-∞内连续，x x x y cos sin tan ==在2ππ+≠k x 处连续 （二） 反函数和复合函数的连续性 1．定理2：如果函数y ＝)(x f 在区间x I 上单值、单调增加（或单调减少）且连续，那末它的反函数)(y x ϕ=也在对应的区间{}x y I x x f y y I ∈==),(|上单值、单调增加（或单调减少）且连续。
2．定理3：设函数)(x u ϕ=当0x x →时的极限存在且等于a ，即a x x x =→)(lim 0ϕ，而函数)(u f y =在点a u =连续，那末复合函数()[]x f y ϕ=当0x x →时的极限存在且等于)(a f ，即()[]()a f x f x x =→ϕ0lim 。
注：（1）将定理５中的条件：0x x →换为∞→x 时相应的结论也成立。
（2）如果函数)(x u ϕ=、)(u f y =满足定理５的条件，则有下式成立： ()[]()())lim (lim 00x f a f x f x x x x ϕϕ→→==。
即在满足定理５的条件下，求复合函数()[]x f y ϕ=的极限时，函数符号和极限符号可以交换次序。
例1：求下列极限（1）)arcsin(lim 2x x x x -++∞→ （2）xx x )1ln(lim 0+→ （3）xx x μμ1)1(lim 0-+→ 定理4：设函数)(x u ϕ=在点0x x =连续，且()00u x =ϕ，而函数)(u f y =在点0u u =连续，那末复合函数()[]x f y ϕ=在点0x x =也是连续。
函数的运算和初等函数的连续性
e
x x0
lim v( x) u ( x)
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主讲人： 苏本堂
例5. 设 讨论复合函数 的连续性 .
x, x 1 ( x) x 4 , x 1
解:
2 ( x),
( x) 1
2 ( x) , ( x) 1
lim f [ ( x)] lim x 2 1
x 1
x2 ,
x 1
2 x , x 1
x 1 时 f [ ( x)] 为初等函数 , 故此时连续; 而
x 1
x 1
lim f [ ( x)] lim (2 x) 3
x 1
故
在点 x = 1 不连续 , x = 1为第一类间断点 .
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而 y
cos x 1 的定义域为
因此它无连续点
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例2. 求
解: 原式 例3. 求 解: 令 t a 1, 则 x log a (1 t ) , t 原式 lim t 0 log a (1 t ) 说明: 当 时, 有
x
ln(1 x) ~ x
二初等函数的连续性基本初等函数在定义区间内连续连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数连续一切初等函数在定义区间内连续例如的连续区间为端点为单侧连续的连续区间为的定义域为因此它无连续点而例2
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第九节连续函数的运算和初等 函数连续性
一、连续函数的运算法则 二、初等函数的连续性
故复合函数
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连续函数运算法则和初等函数连续性
指数函数和对数函数的连续性
指数函数
$f(x) = a^x$，其中 $a > 0, a neq 1$。 对于任意 $x_0$，有 $f(x_0) = a^{x_0}$， 因此，指数函数在定义域内是连续的。
VS
对数函数
$f(x) = log_a x$，其中 $a > 0, a neq 1$。 对于任意 $x_0 > 0$，有 $f(x_0) = log_a x_0$，因此，对数函数在定义域内也是连 续的。
如果函数在区间内的每一点都连续，则函数在该区间上连续 。
连续函数的性质
局部性质
如果函数在某点连续，则在该点 附近具有局部性质，如局部有界 性、局部单调性等。
整体性质
如果函数在区间上连续，则在整 个区间上具有整体性质，如整体 有界性、整体单调性等。
连续函数的图像
01
连续函数的图像是连续的曲线或 折线，没有间断点。
应用
可以用来证明一些不等式和求解方程的近似解。
开区间上连续函数的不动点定理
不动点定理
应用
如果函数在闭区间上连续，且在该区间内存 在一个不动点，即函数值等于该点的函数值， 则在该区间内至少存在一个不动点。
可以用来证明一些数学问题，如解方程的近 似解和求解优化问题等。
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05
初等函数在开区间上的连续性
开区间上连续函数的性质
极限性质
如果函数在某点的极限存在，则该点是函数 的连续点。
局部性质
如果函数在某点的左右极限相等，则该点是 函数的连续点。
增减性
如果函数在某区间内单调增加或单调减少， 则该区间内函数是连续的。
开区间上连续函数的介值定理
第六节 初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质
例3 解
原式 = sin e 1 − 1 = sin e − 1.
1+ x2 − 1 . 例4 求 lim x→0 x
( 1 + x 2 − 1)( 1 + x 2 + 1) 解 原式 = lim x →0 x ( 1 + x 2 + 1) x 0 = = 0. = lim 2 x →0 1+ x +1 2
1 例如, 例如 u = 在 ( −∞ , 0) U (0, + ∞ )内连续 , x y = sin u 在 ( −∞ , + ∞ )内连续 ,
1 ∴ y = sin 在 ( −∞ , 0) U (0, + ∞ )内连续 . x
3、初等函数的连续性 、 ★ 三角函数及反三角函数在它们的定义域内是
注意 1. 初等函数仅在其定义区间内连续 在 初等函数仅在其定义区间内连续, 其定义域内不一定连续; 其定义域内不一定连续 例如, 例如
y = cos x − 1,
D : x = 0, ± 2 π , ± 4 π , L
这些孤立点的邻域内没有定义. 这些孤立点的邻域内没有定义
y=
x ( x − 1) , D : x = 0, 及x ≥ 1,
而 F ( a ) = f ( a ) − a < 0, F ( b ) = f ( b ) − b > 0,
由零点定理, 由零点定理
∃ ξ ∈ (a , b ), 使 F (ξ ) = f (ξ ) − ξ = 0,
即 f (ξ ) = ξ .
作业
P.51：1； ： ； 2.(3)、(4)、（ ）、（ ）； 、（6）、（ 、 、（ ）、（7）； 3； ；
定理4 定理4
高数同济1.9连续函数的运算与初等函数的连续性
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sin x
练例习4 讨 论 函 数f
(x)
1
x
x0 x 0 的连续性。
e
2x
2
x
1
,
x0
解：在（- ，0）上，f ( x) sin x 是初等函数，处处连续； x
在（0，+ ）上，f ( x) e 2x - 1 也是初等函数，处处连续； 2x
在点x 0处，lim f ( x) lim e 2x - 1 lim 2 x 1
x0+
x0+ 2 x
x0+ 2 x
lim f ( x) lim sin x 1 lim f ( x) 1 f (0),
x0-
x x0-
x0
f ( x)在定义域上处处连续。
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练例习5设 lim u( x) A 0, lim v( x) B,则
x x0
x x0
lim
特别地
原式 lim x lna lna x
ex -1
lim
1.
x0 x
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思考: 求 解: 原式
3 sin
x
ln(1
+
2
x)
3 2x
x
说明: 若 lim u(x) 0, lim v(x) , 则有
x x0
x x0
lim 1+ u(x) v(x) e
x x0
lim v(x)u(x)
即 ln(1 + x)
ln(1 + y)
1,
当x 0时, y 0.
(1 + x) - 1
y ln(1 + x)
基本初等函数在其定义域内都是连续的
基本初等函数在其定义域内都是连续的首先来看代数函数。
代数函数是通过有限次加、减、乘、除及复合所得到的函数。
加法和乘法运算在实数域中是连续的，即使进行有限次加、减、乘、除，结果仍然是连续函数。
例如，多项式函数是代数函数的一种形式，而多项式函数在其定义域内都是连续的。
接下来是三角函数。
三角函数是通过复合运算所得到的函数。
复合运算的连续性表明，如果外层函数和内层函数都是连续函数，那么复合函数也是连续函数。
三角函数中的正弦函数、余弦函数、正切函数等不仅在其定义域内是连续的，而且在整个实数域上也是连续的。
然后是指数函数。
指数函数是以常数e为底的幂函数。
幂函数是连续函数的一种特殊形式，其底为常数时，指数函数在其定义域内是连续的。
指数函数的连续性可以通过极限的性质进行证明。
例如指数函数
f(x)=a^x在任意实数x0处的左极限和右极限都存在且相等，即lim(x->x0-)f(x)=lim(x->x0+)f(x)，因此指数函数在定义域内是连续的。
最后是对数函数。
对数函数是指数函数的反函数，其连续性可以从指数函数的性质推导出来。
由于指数函数在其定义域内是连续的，其反函数对数函数也是连续的。
例如，自然对数函数ln(x)是以常数e为底的对数函数，在其定义域内是连续的。
总结起来，基本初等函数在其定义域内都是连续的。
这可以从代数函数的连续性、三角函数的复合运算的连续性、指数函数的连续性和对数函数为指数函数的反函数而连续性得出。
而且，基本初等函数的连续性是我们进行数学分析和应用的基础。
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ab
lim
x x0
u(
x
)
lim
x x0
v
(
x
)
.
1
例2 求 lim(cos x) x2 .
x0
解
1
因为 (cos x) x2
(1
cos
x
1)
1
cos x1
cos x1 x2
,
令
1
u( x) (1 cos x 1)cos x1 ,
v(
x)
cos x x2
1
.
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当 0 | x | π 时，cos x 1 0, 故 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
推论2 幂函数 y x e ln x 在定义域 (0, )上
也是连续的.
例1 设 lim u( x) a 0 , lim v( x) b. 证明
x x0
x x0
lim u( x)v( x) ab .
x x0
证 设 u( x0 ) a , v( x0 ) b , 则 u( x),v( x) 在点 x0 连
x0
这是因为对于任意的正数 (0 1) , 取 min{log a (1 ), | log a (1 ) |},
当 | x | 时, 就有 | a x 1 | .
所以 a x 在 x = 0 处连续.
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对于一般的点 x0 R, 由定理4.10得到
lim a x lim a x0 a xx0 a x0 lim ax a x0 ,
)
.
解 因为 ln(1 x) 是初等函数, 所以在 x 0处连续, cos x
从而
lim ln(1 x) ln(1 0) 0.
x0 cos x
cos 0
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例4 据理说明
f
(
x)
1, 0,
x0 x0
不是初等函数.
解 因为 x 0 是 f ( x) 的定义区间上的点, 而
lim f ( x) 1 0 f (0),
§3 初等函数的连续性
在学习了连续函数的定义及其一系 列基本性质后，现在可以证明一个重 要结论：初等函数在其有定义的区间 上总是连续的.
一、指数函数的连续性 二、初等函数的连续性
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一、指数函数的连续性
在第一章中, 我们已经定义了指数函数 y a x , x R, a 0, a 1,
a a a .
反之, 存在有理数 r0(r0 ), 使 ar0 a .
再取有理数 r1 , r2 , 使 r0 r1 r2 , 则 a a ar1 ar2 ar1r2 ar0 a ,
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仍因 是任意的, 又得
这就证明了
a a a .
a a a .
我们已经知道以下函数在定义域内是连续的 (i) 常值函数; (ii) 三角函数; (iii) 反三角函数; (iv) 幂函数; (v) 指数函数; (vi) 对数函数.
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以上六种函数称为基本初等函数. 因为连续函数 的四则运算与复合运算是保连续的，所以由上面 的基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复 合之后产生的新函数在其定义区间（如果存在） 上是连续的.
对于0 a 1 的情形 , 只要令
就有
b1, a
a a b( ) b( ) b( ) a .
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定理4.11 指数函数 y a x (a 0 ,a 1) 在 R上是连 续的. 证 我们仍旧先假设 a 1 . 首先证明指数函数在 x 0 处连续, 即 lima x 1 f (0).
1
lim u( x) lim(1 cos x 1)cos x1 e,
x0
x0
lim
x0
cos x 1 x2
lim
x0
2 sin 2 x2
x 2
1, 2
由此求得
1
lim(cos x) x2
lim(1
cos
x
1)
1
cos x
cos xa 1 x2
x0
x0
e
1 2
1
.
e
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二、初等函数的连续性
续, 从而 v( x)ln u( x) 在点 x0 也连续, 于是证得
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lim v( x )ln u( x )
lim u( x)v( x) lim ev( x)ln u( x) exx0
x x0
x x0
eblna ab .
注 例1的结论可改写为
lim u( x)v( x)
x x0
x x0
x x0
x0
所以 f ( x) a x 在 R 上连续.
对于 0 a 1 情形 , 只要设 b 1 , 由 a
ax
1 b
x
1 bx
,
就可得到相应的结论.
注 当 a 1时, y a x 1 显然是连续函数 .
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推论1 对数函数 y loga x (a 0, a 1) 在定义域 (0, ) 上是连续的.
定义3 由基本初等函数经过有限次四则运算与复 合运算所产生的函数称为初等函数. 由上面的分析, 我们得到如下结论：
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定理4.12 初等函数在其有定义的区间上是连续的.
注 上述结论中所指的“定义区间”,今后(第十
章六)在一般意义下可以改为“定义域”.
例3
求极限
lim
x0
ln(1 x cos x
x0
所以 f ( x) 在 x 0 处不连续. 因此函数 f ( x)不是初
等函数.
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先设 a 1, 由定义，
a x sup{ar | r 为有理数}.
rx
对于任意 0 ( a , a ) , 存在有理数 r1 ,
r2 , 使
ar1 a , ar2 a ,
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于是有
(a )(a ) ar1 ar2 ar1r2 a . 因为 是任意的, 所以
并指出它在 R 内是严格单调的. 所以, 若能证明指 数函数是连续函数, 那么它的反函数对数函数在其 定义域内也是连续函数. 首先证明指数函数的一个重要性质.
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定理4.10 设 a 0, a 1, 、 为任意实数, 则有
aa a .
证 当 , 是有理数时, 这是我们熟知的一个结果.