第七讲 研究零点的性质问题(极值点偏移)(学生版)

全国卷·北清状元

全过卷大学—北清状元

导数的应用

1

处理函数零点问题时，我们不但要掌握零点存在性定理，还要充分运用等价转化、函数与方程、数形结合等思想方法，才能有效地找到解题的突破口．

近几年的数学高考中频频出现零点问题，其形式逐渐多样化，但却与函数、导数知识密不可分．用导数解决函数的零点问题是近几年高考命题的热点题型，此类题一般属于压轴题，

难度较大．

模块一

导数的应用

模块二解析几何

模块三立体几何

第7讲研究零点的性质问题

(多变量问题)

若两个变元x1，x2之间联系“亲密”，我们可以通过计算、化简，将所

证明的不等式整体转化为关于m(x1，x2)的表达式(其中m(x1，x2)为x1，x2组合成的表达式)，进而使用换元令m(x1，x2)＝t ，使所要证明的不等式转化为关于t 的表达式，进而用导数法进行证明，因此，换元的本质是消元．

已知函数f (x )＝ln x

x ＋a (a ∈R)，若函数g (x )＝f (x )－k 有两个不同的零点x 1，x 2，证明：

x 1x 2＞e 2.

证明：g (x )＝

ln x

x

－k ，设x 1＞x 2＞0，由g (x 1)＝g (x 2)＝0，可得ln x 1－kx 1＝0，ln x 2－kx 2＝0，两式相加减，得ln x 1＋ln x 2＝k (x 1＋x 2)，ln x 1－ln x 2＝k (x 1－x 2)．

要证x 1x 2＞e 2，即证ln x 1x 2＞2，只需证ln x 1＋ln x 2＞2，也就是证k (x 1＋x 2)＞2，即证k ＞2

x 1＋x 2

.

因为k ＝

ln x 1－ln x 2x 1－x 2，所以只需证ln x 1－ln x 2x 1－x 2＞2x 1＋x 2，即证ln x 1x 2＞2(x 1－x 2)

x 1＋x 2

.

令x

1x 2＝t (t ＞1)，则只需证ln t ＞2(t －1)t ＋1(t ＞1)．令h (t )＝ln t －2(t －1)t ＋1(t ＞1)，

则h ′(t )＝1

t －4(t ＋1)2＝(t －1)2t (t ＋1)2＞0，

故函数h (t )在(1，＋∞)上单调递增，所以h (t )＞h (1)＝0，即ln t ＞2(t －1)

t ＋1

.

所以x 1x 2＞e 2.

设函数)(x f 的极值点为0x ，,21x x ≠且()()21x f x f =.

证明：0212x x x >+或0

212x x x <+（1）构造一次差值函数).2()()(0x x f x f x F --=（2）研究)(x F 的单调性.

（3）根据,0)(0=x F 判断)(2x f 与)2(20x x f -的大小.

（4）有)(1x f 代替)(2x f ，结合)(x f 的单调性得到2x 与202x x -的大小.

函数),()(R x xe x f x

∈=-如果21x x ≠，且()()21x f x f =，求证：.

221>+x x 设函数)(x f 的极值点为0x ，,21x x ≠且()()

21x f x f =证明2

021x x x >或2

21x x x <（5）构造一次差值函数()()(20

x

x f x f x F -=（6）研究)(x F 的单调性.

（7）根据,0)(0=x F 判断)(2x f 与)(2

2x x f o

的大小.

（8）有)(1x f 代替)(2x f ，结合)(x f 的单调性得到2x 与2

2x x o

的大小.

函数,ln )(x

x

x f =

如果21x x ≠，且()()21x f x f =，求证：221e x x >.

【训练1】设函数.

（I）若无零点，求实数的取值范围；

（II）若有两个相异零点，求证：

【解析】（I）∵定义域是

又

（1）当时，无零点

（2）当时，，故在上为减函数，

又当时，，所以有唯一的零点；

（3）当时，

在递增，在递减∴，则只要，即，∴而，

综上所述：所求的范围是

（II）有两个相异的零点，又由于，故不妨令，

且有，，，

，，

要证

又令，则，故只要证明时恒成立，

易证恒成立，从而证明

【训练2】已知函数，（）．

（1）若恒成立，求实数的取值范围；

（2）已知，是函数的两个零点，且，求证：．

(1)令，求出的最大值，令其

小于等于零，即可求出实数的取值范围；（2）由（1）可知，若函数有

两个零点，则，要证，只需证，由于在上

单调递减，从而只需证.

（1）令，有，当时，，

当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，在

处取得最大值，为，若恒成立，则即.

（2）由（1）可知，若函数有两个零点，则，

要证，只需证，由于在上单调递减，从而只需证，

由，，

即证

令，，

有在上单调递增，，所以.

【例1】（2018福建高三竞赛）已知()x f x e mx =-.

（1）若0x >时，不等式()()2220x f x mx -++>恒成立，求实数m 的取值范围；（2）若12,x x 是函数()f x 的两个零点，求证：122x x +>.

【解析】（1）设()()()222g x x f x mx =-++，则()()222

x g x x e mx =-++0x >时，不等式()()2220x f x mx -++>恒成立0x ⇔>时，()0g x >恒成立．()()()2212x x x g x e x e m x e m '=+-+=-+ ，()()1x x x g x e x e xe ''=+-=0x ∴>时，()0x g x xe ''=>，()()12x g x x e m '=-+在区间[)0,+∞上为增函数．

另由()2420g m =+>，知1

2

m >-

．1

若11

22

m -

<<，则()()2012,220g m g e m ''==-+=+>此时，()g x '在区间()0,2内有唯一零点，设为0x ，则00x x <<时，()0

g x '<()g x ∴在区间()00,x 上为减函数，()()000g x g <=．因此，11

22

m -<<不符合要

求．

2

若1

2

m ≥

，则0x >时，()()0120g x g m ''>=-+≥，此时，()g x 在[)0,+∞上为增函数．

0x ∴>时，()()00g x g >=．因此，1

2

m ≥

符合要求．由①、②，得m 的取值范围为1,2

⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭

．

（2）12,x x 是函数()x f x e mx =-的两个零点，

()12121212,,x x x x e mx e mx m x x e e ∴==+=+，()1212x x m x x e e -=-．

不妨设12x x >，易知0m ≠，联立上述两式，消m ，得

()()

()()

1

21

2

1

2

1212121211

x

x x x

x x x x x x e e x x e x x e e

e ---+-++=

=

--又由（1）知，对12

m =

，当0x >时，()()2220x

g x x e mx =-++>恒成立．∴当0x >时，()220x x e x -++>恒成立．