惠州学院高数2期末考试

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惠州市2020年高二第二学期数学期末复习检测试题含解析

惠州市2020年高二第二学期数学期末复习检测试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．曲线cos 104πρθθ+==关于对称的曲线的极坐标方程是( )A ．sin 10ρθ+=B ．sin 10ρθ-=C ．cos 10ρθ-=D ．cos 10ρθ+=【答案】A 【解析】【分析】先把两曲线极坐标方程化为普通方程，求得对称曲线，再转化为极坐标方程。

【详解】化为标准方程可知曲线cos 10ρθ+=为10x +=，曲线4πθ=为y x =，所以对称直线为10y +=，化为极坐标方程为sin 10ρθ+=，选A. 【点睛】由直角坐标与极坐标互换公式222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪+=⎩，利用这个公式可以实现直角坐标与极坐标的相互转化。

2．抛掷甲、乙两颗骰子，若事件A ：“甲骰子的点数大于4”；事件B ：“甲、乙两骰子的点数之和等于7”，则()P B A 的值等于（） A ．13B ．118C ．16D ．19【答案】C 【解析】本小题属于条件概率所以事件B 包含两类：甲5乙2;甲6乙1;所以所求事件的概率为21266P ==⨯ 3．设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m α⊂．“m β”是“αβ”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】试题分析：，得不到，因为可能相交，只要和的交线平行即可得到；，，∴和没有公共点，∴，即能得到；∴“”是“”的必要不充分条件．故选B ．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断.【方法点晴】考查线面平行的定义，线面平行的判定定理，面面平行的定义，面面平行的判定定理，以及充分条件、必要条件，及必要不充分条件的概念，属于基础题；并得不到，根据面面平行的判定定理，只有内的两相交直线都平行于，而，并且，显然能得到，这样即可找出正确选项.4．若圆锥的高等于底面直径，侧面积为5π,则该圆锥的体积为 A ．13π B ．23π C ．2πD ．163π 【答案】B 【解析】【分析】先设底面半径，然后根据侧面积计算出半径，即可求解圆锥体积. 【详解】设圆锥的底面半径为R ，则高为2R ，母线长()2225l R R R =+=；又侧面积255S Rl R πππ===，所以1R =，所以()212233V R R ππ=⨯⨯=，故选：B. 【点睛】本题考查圆锥的侧面积公式应用以及体积的求解，难度一般.圆锥的侧面积公式：S rl π=，其中r 是底面圆的半径，l 是圆锥的母线长.5．已知()23()f x x x R =+∈，若|()1|f x a -<的必要条件是|1|(,0)x b a b +<>，则a ，b 之间的关系是（） A ．2abB ．2a b <C ．2b aD ．2b a >【答案】A 【解析】试题分析：不等式()1f x a -<的解集为(1,1)22a a---+，不等式1x b +<的解集为，根据题意可知(1,1)22a a ---+是的子集，所以有2ab ≥，故选A ．考点：绝对值不等式，充要条件的判断．6．已知32,43,23a b c ===，则,,a b c 的大小关系为( ) A ．a b c << B ．b c a <<C ．b a c <<D ．c a b <<【答案】A 【解析】分析：由32a =，43b =，23c =，可得34log 2,log 3a b ==，2log 3c =，则01,01,1a b c <<<，利用做差法结合基本不等式可得结果.详解：34log 2,log 3a b ==，2log 3c =，则01,01,1a b c <<<22222lg 2lg 4lg 3lg 2lg3lg 2lg 4lg 3(lg 22)lg 320lg3lg 4lg3lg 4lg3lg 4lg3lg 4a b +⎛⎫- ⎪⋅--⎝⎭-=-=≤=<⋅⋅⋅，即a b < ，综上a b c <<，故选A.点睛：本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞ ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.7．已知变量,x y 之间的线性回归方程为0.47.6=-+y x ，且变量,x y 之间的一组相关数据如表所示，则下列说法错误的是（）A ．变量,x y 之间呈现负相关关系B ．m 的值等于5C ．变量,x y 之间的相关系数0.4=-rD ．由表格数据知，该回归直线必过点()9,4 【答案】C 【解析】分析：根据线性回归方程的性质依次判断各选项即可．详解：对于A ：根据b 的正负即可判断正负相关关系．线性回归方程为0.47.6y x =-+，b=﹣0.7＜0，负相关．对于B ：根据表中数据：x =1．可得y =2．即()16+3244m ++=，解得：m=3．对于C ：相关系数和斜率不是一回事，只有当样本点都落在直线上是才满足两者相等，这个题目显然不满足，故不正确.对于D ：由线性回归方程一定过（x ，y ），即（1，2）．故选：C ．点睛：本题考查了线性回归方程的求法及应用，属于基础题，对于回归方程，一定要注意隐含条件，样本中心满足回归方程，再者计算精准，正确理解题意，应用回归方程对总体进行估计. 8．过点()1,2P ，且与直线230x y -+=平行的直线的方程为（）A ．20x y -=B ．210x y -+=C ．210x y --=D ．20x y +=【答案】A 【解析】【分析】求出直线230x y -+=的斜率，根据两直线平行斜率的性质，可以求出所求直线的斜率，写出点斜式方程，最后化为一般方程. 【详解】因为230x y -+=的斜率为2，所以所求直线的方程的斜率也为2，因此所求直线方程为22(1)20y x x y -=-⇒-=，故本题选A.【点睛】本题考查了求过一点与已知直线平行的直线的方程.本题也可以这样求解：与直线230x y -+=平行的直线可设为20x y λ-+=，过()1,2代入方程中，0λ=，所以直线方程为20x y -=，一般来说，与直线0Ax By C ++=平行的直线可设为0Ax By λ++=；与直线0Ax By C ++=垂直的直线可设为0Bx Ay λ-+=.9．在等差数列{}n a 中，如果,,,m n p r N *∈，且3++=m n p r ，那么必有3++=m n p r a a a a ，类比该结论，在等比数列{}n b 中, 如果,,,m n p r N *∈，且3++=m n p r ，那么必有（）A ．3++=m n p r b b b bB ．3++=m n p r b b b b C ．3=m n p r b b b b D ．3=m n p r b b b b【答案】D 【解析】分析：结合等差数列与等比数列具有的类比性，且等差数列与和差有关，等比数列与积商有关的特点，即可类比得到结论.详解：由题意，类比上述性质：在等比数列{}n b 中，则由“如果,,,m n p r N *∈，且3++=m n p r ”，则必有“3=m n p r b b b b ”成立，故选D.点睛：本题主要考查了等差数列与等比数列之间的类比推理，其中类比推理的一般步骤：①找出等差数列与等比数列之间的相似性或一致性；②用等差数列的性质取推测等比数列的性质，得到一个明确的结论（或猜想）.10．设函数()f x 是定义在()0-∞，上的可导函数，其导函数为()'f x ，且有()()3'0f x xf x +<，则不等式()()()320192019820x f x f +++-<的解集为（）A ．()20212019--，B ．()2021-∞-，C ．()20192017--，D ．()2021-+∞，【答案】A 【解析】【分析】根据条件，构造函数3()()g x x f x =，利用函数的单调性和导数之间的关系即可判断出该函数在(,0)-∞上为减函数，然后将所求不等式转化为对应函数值的关系，根据单调性得出自变量值的关系从而解出不等式即可．【详解】构造函数3()()g x x f x =，2()(3()())g x x f x xf x '=+'；当0x <时，3()()0f x xf x +'<，20x >； ()0g x ∴'<；()g x ∴在(,0)-∞上单调递减；3(2019)(2019)(2019)g x x f x +=++，(2)8(2)g f -=--；∴由不等式3(2019)(2019)8(2)0x f x f +++-<得：3(2019)(2019)8(2)x f x f ++<--(2019)(2)g x g ∴+<-；20192x ∴+>-，且20190x +<； 20212019x ∴-<<-；∴原不等式的解集为(2021,2019)--．故选：A ．【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用函数单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.11．已知{}2|230A x x x =--<，{}|B x x a =<，若A 包含于B ，则实数a 的取值范围是（）A ．()1,-+∞B ．[)3,+∞C ．()3,+∞D ．(],3-∞【答案】B【解析】【分析】解一元二次不等式求得集合A ，根据A 是B 的子集列不等式，由此求得a 的取值范围. 【详解】由()()223310x x x x --=-+<解得13x，所以()13A ,=-，由于{}|B x x a =<且A 包含于B ，所以3a ≥，故a 的取值范围是[)3,+∞. 故选：B 【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查根据包含关系求参数的取值范围，属于基础题. 12．设集合A ＝{x|x 2－3x ＜0}，B ＝{x|－2≤x≤2}，则A∩B＝( ) A ．{x|2≤x＜3} B ．{x|－2≤x＜0} C ．{x|0＜x≤2} D ．{x|－2≤x＜3} 【答案】C 【解析】【分析】求出集合A 中不等式的解集，结合集合B ，得到两个集合的交集．【详解】A={x|x 2﹣3x ＜0}={x|0＜x ＜3}， ∵B={x|﹣2≤x≤2}， ∴A∩B={x|0＜x≤2}，故选：C ．【点睛】求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解；在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．二、填空题：本题共4小题13．已知ABC 中，角A ．B ．C 的对边分别为a ．b ．c ，且2a =，135B ∠=︒，4ABC S ∆=，则b =____【答案】【解析】11sin 24222ABCSac B c ==⋅⋅⋅=，∴c =，由余弦定理得2222cos 43222522b ac ac B =+-=++⨯⨯=，∴b =14．命题“若0a =，则复数(,)z a bi a b R =+∈为纯虚数”的逆命题．．．是____命题.（填“真”或“假”）【答案】真【解析】分析：写出命题“若0a =，则复数(),z a bi a b R =+∈为纯虚数”的逆命题，判断其真假.详解：命题“若0a =，则复数(),z a bi a b R =+∈为纯虚数”的逆命题为“若复数(),z a bi a b R =+∈为纯虚数，则0a =”，它是真命题.点睛：本题考查命题的真假的判断，属基础题.15．已知直线l 的一个法向量(1,2)n =，则直线l 的倾斜角是_________（结果用反三角函数表示）；【答案】1arctan 2π- 【解析】【分析】由法向量与方向向量垂直，求出方向向量，得直线的斜率，从而得倾斜角。

广东省惠州市高二下学期数学期末考试试卷(理科)

广东省惠州市高二下学期数学期末考试试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高三上·定州期中) 是z的共轭复数，若z+ =2，（z﹣）i=2（i为虚数单位），则z=（）A . 1+iB . ﹣1﹣iC . ﹣1+iD . 1﹣i2. （2分） (2016高二上·泉港期中) 下列命题的说法错误的是（）A . 命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”．B . “x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分必要条件．C . 命题p：“∀x∈R，sinx+cosx≤ ”是真命题D . 若￢（p∧q）为真命题，则p、q至少有一个为假命题．3. （2分） (2015高二下·和平期中) 设n∈N* ， f（n）=1+ + +…+ ，计算得f（2）= ，f（4）＞2，f（8）＞，f（16）＞3，观察上述结果，可推测一般结论为（）A . f（n）≥ （n∈N*）B . f（2n）≥ （n∈N*）C . f（2n）≥ （n∈N*）D . f（2n）≥ （n∈N*）4. （2分） (2017高二下·鸡泽期末) 已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布，从中随机取一件，其长度误差落在区间内的概率为（）（附：若随机变量服从正态分布，则，）A .B .C .D .5. （2分）从含有5张假钞的20张百元钞票中任意抽取2张，在其中1张是假钞的条件下，2张都是假钞的概率是（）A .B .C .D .6. （2分） (2017高二下·赣州期末) 用数学归纳法证明不等式“1+ + +…+ ＜n（n∈N* ，n≥2）”时，由n=k（k≥2）不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是（）A . 2k﹣1B . 2k﹣1C . 2kD . 2k+17. （2分）在西非肆虐的“埃博拉病毒”的传播速度很快，这已经成为全球性的威胁．为了考察某种埃博拉病毒疫苗的效果，现随机抽取100只小鼠进行试验，得到如下列联表：附表：P（K2≥k）0.100.050.025k 2.7063.8415.024参照附表，下列结论正确的是（）A . 在犯错误的概率不超5%过的前提下，认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关”B . 在犯错误的概率不超5%过的前提下，认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗无关”C . 有97.5%的把握认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关”D . 有97.5%的把握认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗无关”8. （2分）编号为1，2，3，4，5的5人，入座编号也为1，2，3，4，5的5个座位，至多有2人对号入座的坐法种数为（）A . 120B . 130C . 90D . 1099. （2分）设随机变量ξ服从B（6，），则P（ξ=3）的值是（）A .B .C .D .10. （2分） (2018高二下·佛山期中) 是抛物线的焦点，以为端点的射线与抛物线相交于，与抛物线的准线相交于，若，则（）A .B .C .D .11. （2分）等差数列和的前n项和分别为和，且，则=（）A .B .C .D .12. （2分） (2016高二上·张家界期中) 给出如下四个命题：①若“p∨q”为真命题，则p，q均为真命题；②“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”；③“∀x∈R，x2+x≥1”的否定是“∃x0∈R，x +x0≤1”；④“x＞1”是“x＞0”的充分不必要条件．其中不正确的命题是（）A . ①②B . ②③C . ①③D . ③④二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分）设a，b都是正数，且满足+=cosxdx，则使a+b＞c恒成立的实数c的取值范围是________14. （1分）正常情况下，年龄在18岁到38岁的人们，体重y（kg）依身高x（cm）的回归方程为y=0.72x ﹣58.5．张红红同学不胖不瘦，身高1米78，他的体重应在________kg左右．15. （2分） (2018·浙江) 若满足约束条件则的最小值是________，最大值是________．16. （1分） (2019高一上·汪清月考) 已知，则的值为________.三、解答题 (共6题；共40分)17. （5分） (2017高一下·黄山期末) 设△ABC的三内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且b（sinB﹣sinC）+（c﹣a）（sinA+sinC）=0（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a= ，sinC= sinB，求△ABC的面积．18. （10分）(2018·重庆模拟) 已知数列的前项和为，，．（1）求；（2）求证:．19. （10分）抛掷一枚质地均匀的骰子，用X表示掷出偶数点的次数．（1）若抛掷一次，求E（X）和D（X）；（2）若抛掷10次，求E（X）和D（X）．20. （5分） (2017高二上·张家口期末) 如图四棱锥E﹣ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，△BCE为等边三角形，△ABE是以∠A为直角的等腰直角三角形，且AC=BC．（Ⅰ）证明：平面ABE⊥平面BCE；（Ⅱ）求二面角A﹣DE﹣C的余弦值．21. （5分） (2018高二下·辽宁期末) 已知椭圆的左右焦点分别为，直线经过椭圆的右焦点与椭圆交于两点，且 .（I）求直线的方程；（II）已知过右焦点的动直线与椭圆交于不同两点，是否存在轴上一定点，使？（为坐标原点）若存在，求出点的坐标；若不存在说明理由.22. （5分） (2016高三上·福州期中) 设命题p：函数f（x）=lg（﹣mx2+2x﹣m）的定义域为R；命题q：函数g（x）=4lnx+ ﹣（m﹣1）x的图象上任意一点处的切线斜率恒大于2，若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共40分)17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、22-1、第11 页共11 页。

2022届惠州市名校高二下数学期末考试试题含解析

2022届惠州市名校高二(下)数学期末考试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，若cos c A b =，则ABC ∆（） A ．一定是锐角三角形 B ．一定是钝角三角形 C ．一定是直角三角形D ．一定是斜三角形2．已知随机变量ξ服从二项分布()B n,p ξ～，且()E ξ7=，()D ξ6=，则p 等于( ) A ．67B ．17C ．37D ．473．已知i 是虚数单位,若复数z 满足i 1i z =+,则2z = A ．-2iB ．2iC ．-2D ．24．在复平面内，复数221z i i=+-+所对应的点在第几象限（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限5．下列四个不等式：①log 10lg 2(1)x x x +>…；②a b a b -<+；③2(0)b aab a b+≠…；④121x x -+-≥，其中恒成立的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．46．如图所示，在一个边长为2.的正方形AOBC 内，曲2y x =和曲线y x =围成一个叶形图(阴影部分)，向正方形AOBC 内随机投一点(该点落在正方形AOBC 内任何一点是等可能的)，则所投的点落在叶形图内部的概率是（）A ．12B ．14C ．13D ．167．在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是（） A ．若的观测值为=6.635,我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病；B ．从独立性检验可知有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病；C ．若从统计量中求出有95% 的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5% 的可能性使得推判出现错误；D ．以上三种说法都不正确.8．如图，在空间四边形ABCD 中，设E ，F 分别是BC ，CD 的中点，则AD u u u r +12（BC uuu r -BD u u u r）等于A ．AD u u u rB ．FA u u u rC ．AF u u u rD ．EF u u u r9．定义在R 上的函数()f x 满足(2)2()f x f x +=，且当[2,4]x ∈时，224,23,()2,34,x x x f x x x x⎧-+≤≤⎪=⎨+<≤⎪⎩()1g x ax =+，对1[2,0]x ∀∈-，2[2,1]x ∃∈-，使得21()()g x f x =，则实数a 的取值范围为（）A ．11(,)[,)88-∞-+∞UB ．11[,0)(0,]48-U C ．(0,8] D ．11(,][,)48-∞-+∞U10．已知空间三条直线.l m n 、、若l 与m 异面,且l 与n 异面,则（）A ．m 与n 异面.B ．m 与n 相交.C ．m 与n 平行.D ．m 与n 异面、相交、平行均有可能.11．已知线性回归方程ˆˆ0.6y bx=+相应于点()3,6.5的残差为0.1-，则ˆb 的值为（） A ．1 B ．2C ．0.5-D ．3-12．复数21ii=+（） A ．2i +B ．1i -C ．1i +D ．2i -二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．用数学归纳法证明222212(1)n n ++⋅⋅⋅+-+2222(21)(1)213n n n ++-+⋅⋅⋅++=时，由n k =的假设到证明1n k =+时，等式左边应添加的式子是__________．14．已知抛物线()220y px p =>的准线与圆()22316x y -+=相切，则p 的值为__________．15．已知直线()():21440l m x m y m ++-+-=上总存在点M ，使得过M 点作的圆C ：222430x y x y ++-+=的两条切线互相垂直，则实数m 的取值范围是______．16．从甲、乙、丙、丁4位同学中随机选出2名代表参加学校会议，则甲被选中的概率是．三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．某中学将100名高一新生分成水平相同的甲、乙两个“平行班”，每班50人．陈老师采用A ，B 两种不同的教学方式分别在甲、乙两个班级进行教改实验．为了解教学效果，期末考试后，陈老师分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，作出茎叶图如图．记成绩不低于90分者为“成绩优秀”．（1）在乙班样本的20个个体中，从不低于86分的成绩中随机抽取2个，求抽出的2个均“成绩优秀”的概率；（2）由以上统计数据作出列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为：“成绩优秀”与教学方式有关．()20P K k ≥ 0.400 0.250 0.150 0.100 0.050 0.0250k0.708 1.323 2.0722.7063.841 5.024参考公式：()()()()()22n ad bc K a c b d a b c d -=++++18．某中学高中毕业班的三名同学甲、乙、丙参加某大学的自主招生考核，在本次考核中只有合格和优秀两个等次.若考核为合格，则给予10分的降分资格；若考核为优秀，则给予20分的降分资格.假设甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为23、23、12，他们考核所得的等次相互独立. （1）求在这次考核中，甲、乙、丙三名同学中至少有一名考核为优秀的概率；（2）记在这次考核中，甲、乙、丙三名同学所得降分之和为随机变量X ，请写出X 所有可能的取值，并求()50P X ≥的值.19．（6分）甲、乙两人进行象棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为34，乙获胜的概率为14，各局比赛结果相互独立．（1）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；（2）用X 表示比赛决出胜负时的总局数，求随机变量X 的分布列和均值.20．（6分）已知直线l 的参数方程是()12135313x t t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数，在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=-.（1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设直线l 与y 轴的交点是M ，N 是曲线C 上一动点，求MN 的最大值.21．（6分）已知（n (m 是正实数)的展开式的二项式系数之和为128,展开式中含x 项的系数为84， (I)求m,n 的值(II)求（n (1-x)的展开式中有理项的系数和.22．（8分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为121x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）；以直角坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为ρθ=．（1）求1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）若1C 与2C 交于点A B 、，求线段AB 的长．参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．C 【解析】分析：由已知构造余弦定理条件：2cos bc A b =，再结合余弦定理2222cos a b c bc A =+-，化简整理得222a b c +=，即ABC ∆一定为直角三角形.详解：由已知cos c A b =，得 2cos bc A b=①由余弦定理：2222cos a b c bc A =+- ② 将①代入② 22222a b c b =+-整理得 222a b c += ABC ∆一定为直角三角形故选C点睛：判断三角形形状（1）角的关系：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状． ① 若sin sin A B =；则A=B ； ②若sin2sin2A B =；则A=B 或2A B π+=（2）边的关系：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状． ① 若222a b c +=，则90C =o ； ② 若222a b c +>，则90C <o ； ③ 若222a b c +<，则90C >o ． 2．B 【解析】分析：根据随机变量符合二项分布，根据二项分布的期望和方差的公式和条件中所给的期望和方差的值，得到关于n 和p 的方程组，解方程组得到要求的两个未知量．详解：随机变量ξ服从二项分布()B n,p ξ～，且()E ξ7=，()D ξ6=，则由761E np D np p ξξ====-，（），可得1497p n ==，．故选B.点睛：本题主要考查二项分布的期望与方差的简单应用，通过解方程组得到要求的变量，这与求变量的期望是一个相反的过程，但是两者都要用到期望和方差的公式． 3．A 【解析】由i 1i z =+得22(i)(1i)z =+,即22i z -=,所以22i z =-,故选A.【名师点睛】复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据,加减运算类似于多项式的合并同类项,乘法法则类似于多项式乘法法则,除法运算则先将除式写成分式的形式,再将分母实数化.注意下面结论的灵活运用：(1)(1±i)2＝±2i ；(2)＝i,＝－i.4．D 【解析】【分析】化简复数，找到对应点，判断象限. 【详解】复数2212321z i i i i i=+-=-+-=-+ 对应点为：(3,2)- 在第四象限故答案选D 【点睛】本题考查了复数的计算，属于简单题. 5．C 【解析】【分析】依次判断每个选项的正误，得到答案. 【详解】 ①1log 10lg lg 2(1)lg x x x x x+=+>…，当10x =时等号成立，正确 ②a b a b -<+，0b =时不成立，错误③，a b =时等号成立.正确④12(1)(2)1x x x x -+-≥---=，12x ≤≤时等号成立，正确故答案选C 【点睛】本题考查了不等式性质，绝对值不等式，均值不等式，综合性较强，是不等式的常考题型. 6．C 【解析】【分析】欲求所投的点落在叶形图内部的概率，须结合定积分计算叶形图（阴影部分）平面区域的面积，再根据几何概型概率计算公式求解．【详解】联立2y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩(1,1)C . 由图可知基本事件空间所对应的几何度量1OBCA S =正方形，满足所投的点落在叶形图内部所对应的几何度量：S （A）3123120021)()|33x dx x x ==-⎰13=．所以P （A ）1()1313OBCAS A S ===正方形．故选：C ．【点睛】本题综合考查了几何概型及定积分在求面积中的应用，考查定积分的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 7．C 【解析】试题分析：要正确认识观测值的意义，观测值同临界值进行比较得到一个概率，这个概率是推断出错误的概率，若从统计量中求出有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推判出现错误，故选C ．考点：独立性检验． 8．C 【解析】【分析】由向量的线性运算的法则计算．【详解】BC uuu r -BD u u u r ＝DC u u u r ，11()22BC BD DC DF -==u u u r u u u r u u ur u u u r ，∴AD u u u r +12（BC uuu r -BD u u u r）AD DF AF =+=u u u r u u u r u u u r ．故选C ．【点睛】本题考查空间向量的线性运算，掌握线性运算的法则是解题基础． 9．D 【解析】由题知问题等价于函数()f x 在[]2,0-上的值域是函数()g x 在[]2,1-上的值域的子集．当[]2,4x ∈时，()()224,232,34{x x x x xf x --+≤≤+<≤=，由二次函数及对勾函数的图象及性质，得此时()93,2f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，由()()22f x f x +=，可得()()()112424f x f x f x =+=+，当[]2,0x ∈-时，[]42,4x +∈．则()f x 在[]2,0-的值域为39,48⎡⎤⎢⎥⎣⎦．当0a >时，()[]21,1g x a a ∈-++，则有3214918{a a -+≤+≥，解得18a ≥，当0a =时，()1g x =，不符合题意；当0a <时，()[]1,21g x a a ∈+-+，则有3149218{a a +≤-+≥，解得14a -≤．综上所述，可得a 的取值范围为 ][11,,48⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭．故本题答案选D ．点睛：求解分段函数问题应对自变量分类讨论，讨论的标准就是自变量与分段函数所给出的范围的关系，求解过程中要检验结果是否符合讨论时的范围．讨论应该不重复不遗漏． 10．D 【解析】解：∵空间三条直线l 、m 、n ．若l 与m 异面，且l 与n 异面，∵m 与n 可能异面（如图3），也可能平行（图1），也可能相交（图2），故选D ．11．B 【解析】【分析】根据线性回归方程估计y ，再根据残差定义列方程，解得结果【详解】因为相对于点()3,6.5的残差为0.1-，所以ˆ6.50.1y-=-，所以6.50.130.6b +=+$，解得2b =$，故选B 【点睛】本题考查利用线性回归方程估值以及残差概念，考查基本分析求解能力，属基础题. 12．C 【解析】分析：直接利用复数的除法运算得解. 详解：由题得22(1)(1)11(1)(1)i i i i i i i i i -==-=+++-，故答案为：C.点睛：本题主要考查复数的运算，意在考查学生对该知识的掌握水平和基本运算能力. 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．()221k k ++ 【解析】分析：根据等式左边的特点，各项数字先递增再递减，分别写出n k =与1n k =+的结论，即可得到答案. 详解：根据等式左边的特点，各项数字先递增再递减，得n k =时，左边()()2222222121121k k k =+++-++-+++L L1n k =+时，左边()()()2222222221211121k k k k k =+++-+++++-+++L L比较两式，等式左边应添加的式子是()221k k ++ 故答案为()221k k ++点睛：本题主要考查数学归纳法，由n k =的假设到证明1n k =+时，等式左边应添加的式子. 14．2 【解析】抛物线的准线为2px =-，与圆相切，则342p +=，2p =． 15．210m -≤≤ 【解析】分析：若直线l 上总存在点M 使得过点M 的两条切线互相垂直，只需圆心（﹣1，2）到直线l 的距离22222442m+2+(1)m m m d m --+-+-=≤-（），即可求出实数m 的取值范围．详解：如图，设切点分别为A ，B ．连接AC ，BC ，MC ，由∠AMB=∠MAC=∠MBC=90°及MA=MB 知，四边形MACB 为正方形，故222,MC =+=，若直线l 上总存在点M 使得过点M 的两条切线互相垂直，只需圆心（﹣1，2）到直线l 的距离22222442m+2+(1)m m m d m --+-+-=≤-（），即m 2﹣8m ﹣20≤0，∴﹣2≤m≤10，故答案为：﹣2≤m≤10.点睛：（1）本题主要考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力数形结合的思想方法.(2)解答本题的关键是分析出22222442m+2+(1)m m m d m --+-+-=≤-（）.16．12【解析】试题分析：从甲、乙、丙、丁4位同学中随机选出2名代表共有246C =种基本事件，甲被选中包含133C =种，基本事件，因此甲被选中的概率是31=.62考点：古典概型概率三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．（1）23；（2）见解析【解析】分析：（1）不低于86的成绩有6个，可用列举法列出任取2个的所有事件，计算出概率．（2）由茎叶图中数据得出列联表中数据，再根据2K 计算公式计算出2K 得知结论．详解： (1)由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从不低于86分的成绩中随机抽取两个包含的基本事件是：(86,91), (86,96), (86,97), (86,99), (86,99), (91,96)，(91,97), (91,99), (91,99), (96,97), (96,99), (96,99)，(97,99)，(97,99)，(99,99)，共有15种结果,符合条件的事件数(91,96)，(91,97)，(91,99)，(91,99)，(96,97)，(96,99)，(96,99)，(97,99)，(97,99)，(99,99)，共有13种结果，根据等可能事件的概率得到P ＝＝． (2)由已知数据得甲班乙班总计成绩优秀 1 5 6 成绩不优秀 19 15 14 总计232343根据列联表中的数据，计算得随机变量K 2的观测值 k ＝≈1.117，由于1．117>2．736，所以在犯错误的概率不超过3．1的前提下认为：“成绩优秀”与教学方式有关．点睛：本题考查等可能事件的概率及独立性检验，用列举法求此概率是常用方法，由所给公式计算出2K 即知有无关系的结论，因此本题还考查了运算求解能力．18．（1）1718；（2）X 所有可能的取值为30、40、50、60，()2503P X ≥=. 【解析】【分析】（1）计算出三名同学考核均为合格的概率，利用对立事件的概率公式可计算出所求事件的概率；（2）根据题意得出X 所有可能的取值为30、40、50、60，利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率计算公式能求出()50P X ≥．【详解】（1）由题意知，三名同学考核均为合格的概率为221111133218⎛⎫⎛⎫⎛⎫---= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因此，甲、乙、丙三名同学中至少有一名考核为优秀的概率为11711818P =-=；（2）由题意知，随机变量X 的所有可能取值有30、40、50、60，则()13018P X ==，()21222121540113323218P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅-⋅⋅+-⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()()()1525013040118183P X P X P X ∴≥=-=-==--=. 【点睛】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是中等题．19．（1）207256；（2）分布列见解析，337128. 【解析】【分析】（1）根据概率的乘法公式，求出对应的概率，即可得到结论．（2）利用离散型随机变量分别求出对应的概率，即可求X 的分布列以及数学期望．【详解】用A 表示“甲在4局以内（含4局）赢得比赛”，k A 表示“第k 局甲获胜”，k B 表示“第k 局乙获胜”则()34k P A =，()14k P B =，1,2,3,4,5k =. （1）()()()121231234()P A P A A P B A A P A B A A =++()()()()()()()()()121231234P A P A P B P A P A P A P B P A P A =++222313313207444444256⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. （2）X 的所有可能取值为2,3,4,5.()()()()()()121212125(2)8P X P A A P B B P A P A P B P B ==+=+=， ()()123123(3)P X P B A A P A B B ==+()()()()()()123123316P B P A P A P A P B P B =+=， ()()12341234(4)P X P A B A A P B A B B ==+ ()()()()()()()()1234123415128P A P B P A P A P B P A P B P B =+=， 9(5)1(2)(3)(4)128P X P X P X P X ==-=-=-==. ∴X 的分布列为∴53159337()2345816128128128E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 【点睛】本题考查了相互独立事件、互斥事件的概率计算公式、随机变量的分布列与数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（1）()2211x y ++=；（2）1【解析】【分析】(1)直接利用极坐标公式化曲线C 为直角坐标方程.（2）由题意知(0,3),(1cos ,sin )M N θθ--+,利用两点间的距离公式求出|MN|,再利用三角函数知识求其最大值.【详解】⑴由题得222222cos ,2,(1)1x y x x y ρρθ=-∴+=-∴++=.⑵由题意知(0,3),(1cos ,sin )M N θθ--+,MN ∴==当sin()1θϕ-=时，max ||1MN =.【点睛】(1)本题主要考查极坐标和直角坐标的互化，考查距离最值的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 圆锥曲线的参数方程的一个重要作用就是设点.所以一般情况下，设点有三种方式，一是利用直角坐标设点，这是最普遍的一种.二是利用参数方程设点，三是利用极坐标设点，大家要注意灵活选用.21． (1) 2m =,7n =.(2)0.【解析】分析：（1）先根据二项式系数性质得2128n =，解得n ，再根据二项式展开式的通项公式得含x 项的系数为227C m ，解得m,（2）先根据二项式展开式的通项公式得展开式中有理项，再求(()11nx +-的展开式有理项的系数和.详解：(1)由题意可知，2128n =，解得7n =含x 项的系数为22784C m =，2m =(2) (1n +的展开项通项公式为217r r rr T C m x += (13571,n T T T T +的展开式中有理项分别是、、、(()11nx +-的展开式有理项的系数和为0 点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第1r +项，再由特定项的特点求出r 值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第1r +项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.22．（1）1:C 1y =-，2:C 220x y +-=；（2）【解析】分析：（1）消去参数，即可得到曲线1C 的普通方程；根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可求解曲线2C 的直角坐标方程；（2）由（1）得圆2C 的圆心为，半径为r =详解：（1）1:C 1y =-，2:C 220x y +-=．（2）圆2C 的圆心为)，半径为r =2C 到直线1C 的距离为1d =．所以AB ==．点睛：本题主要考查了参数方程与普通方程，以及极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及直线与圆的位置关系的应用，其中熟记参数方程与普通方程，以及极坐标方程与直角坐标方程的互化是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．。

2019-2020学年广东省惠州市数学高二第二学期期末综合测试试题含解析

2019-2020学年广东省惠州市数学高二第二学期期末综合测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．已知函数()()()2121x f x e a x a x =---+在()1,2上单调，则实数a 的取值范围为（）A ．211,,24e e ⎛⎫--⎛⎫-∞-+∞⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U B ．211,,24e e ⎡⎫--⎛⎤-∞-+∞⎪ ⎢⎥⎝⎦⎣⎭U C ．211,,24e e ⎛⎫--⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U D ．211,,24e e ⎡⎫--⎛⎤-∞+∞⎪ ⎢⎥⎝⎦⎣⎭U 2．欧拉公式cos sin ix e x i x =+(i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，3i e π表示的复数的虚部为（）A ．12B ．12i C D ．23．在等比数列{}n a 中，“412a ,a 是方程2x 3x 10++=的两根”是“8a 1=±”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．（2-x ）（2x+1）6的展开式中x 4的系数为（） A ．160-B ．320C ．480D ．6405．将A ，B ，C ，D ，E ，F 这6个字母随机排成一排组成一个信息码，则所得信息码恰好满足A ，B ，C 三个字母连在一起，且B 在A 与C 之间的概率为（） A ．112B ．15C ．115D ．2156．利用独立性检验的方法调查高中生的写作水平与离好阅读是否有关，随机询问120名高中生是否喜好阅读，利用2×2列联表，由计算可得K 2＝4.236参照附表，可得正确的结论是（）A ．有95%的把握认为“写作水平与喜好阅读有关”B ．有97.5%的把握认为“写作水平与喜好阅读有关”C ．有95%的把握认为“写作水平与喜好阅读无关”D ．有97.5%的把握认为“写作水平与喜好阅读无关”7．已知α，β为锐角，且tan 1α<，若tan 24tan()ααβ=-，则tan()αβ+的最大值为（）AB ．34C ．32D8．已知命题p ：“0a ∃>，有12a a+<成立”，则命题p ⌝为（） A ．0a ∀≤，有12a a +≥成立B ．0a ∀>，有12a a+≥成立C ．0a ∃>，有12a a+≥成立D ．0a ∃>，有12a a+>成立 9．过点()3,1P 的直线l 与函数21()26x f x x -=-的图象交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则()OA OB OP +⋅=u u u v u u u v u u u v （） AB．C ．10D ．2010．已知点F 是抛物线24x y =的焦点，点P 为抛物线上的任意一点，(1,2)M 为平面上点，则PM PF+的最小值为（） A ．3B ．2C ．4D．11．设复数21i x i=-（i 是虚数单位），则12233201920192019201920192019...C x C x C x C x++++=（） A ．iB ．i -C ．1i -+D ．1i --12．已知 1.22a =，0.82b =，52log 2c =，则,,a b c 的大小关系为( )． A ．c b a <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．b c a <<二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术，得诀自诩无所阻，额上纹起终不悟．”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：=====n =_____．14．已知函数11,1()3ln ,1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，则当函数()()F x f x ax =-恰有两个不同的零点时，实数a 的取值范围是______．15．用反证法证明命题“如果a b ＞_____．16．设函数()213,022,0xx f x x x ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪->⎩，若()()2f m f >-，则实数m 的取值范围是______.三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．在平面直角坐标系中，曲线2cos:3sinxCyθθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ是参数）.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程：32cos044πρθ⎛⎫++=⎪⎝⎭.（1）写出曲线C的普通方程与直线l的直角坐标方程；（2）设11,2P⎛⎫- ⎪⎝⎭，直线l与曲线C交于A、B两点，求||||PA PB⋅的值.18．已知函数1()|(0)f x x x t tt=--+（1）设()f x的最大值为()g t，求()g t的最小值m；（2）在（1）的条件下，若*,,a b c R∈，且222a b cmb c a++=，求a b c++的最大值.19．（6分）已知函数()ln()f x x a x a R=-∈.（Ⅰ）当2a=时，求曲线y=()f x在点(1,(1))A f处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x的极值.20．（6分）为了了解学生的身体素质情况，现从某校学生中随机抽取10人进行体能测试，测试的分数（百分制）如茎叶图所示，根据有关国家标准成绩不低于79分的为优秀，将频率视为概率.（1）另从我校学生中任取3人进行测试，求至少有1人成绩是“优秀”的概率；（Ⅱ）从抽取的这10人（成绩见茎叶图）中随机选取3人，记X表示测试成绩为“优秀”的学生人数，求X的分布列和数学期望.21．（6分）统计表明某型号汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函数为313812800080y x x=-+(0120)x<<．（1）当64x=千米/小时时,行驶100千米耗油量多少升？（2）若油箱有22.5升油,则该型号汽车最多行驶多少千米？22．（8分）某单位共有员工45人，其中男员工27人，女员工18人.上级部门为了对该单位员工的工作业绩进行评估，采用按性别分层抽样的方法抽取5名员工进行考核.（1）求抽取的5人中男、女员工的人数分别是多少；（2）考核前，评估小组从抽取的5名员工中，随机选出3人进行访谈.求选出的3人中有1位男员工的概率；（3）考核分笔试和答辩两项.5名员工的笔试成绩分别为78，85，89，92，96；结合答辩情况，他们的考核成绩分别为95，88，102，106，99.这5名员工笔试成绩与考核成绩的方差分别记为2212,s s ，试比较21s 与22s 的大小.（只需写出结论）参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．D 【解析】【分析】求得导数()21xf x e ax '=--，根据()f x 在()1,2上单调，得出()0f x '≥或()0f x '≤在()1,2上恒成立，分离参数构造新函数，利用导数求得新函数的单调性与最值，即可求解。

广东省惠州市高二下学期数学期末考试试卷(理科)

广东省惠州市高二下学期数学期末考试试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2017·武汉模拟) 若复数（a∈R）的实部和虚部相等，则实数a的值为（）A . 1B . ﹣1C .D . ﹣2. （2分） (2019高二上·郑州期中) 给出如下四个命题：①若“ ”为假命题，则，均为假命题；②命题“若，则”的否命题为“若，则”；③“ ，”的否定是“ ，”；④在中，“ ”是“ ”的充要条件.其中正确的个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 43. （2分）观察下列事实|x|+|y|=1的不同整数解（x，y）的个数为4，|x|+|y|=2的不同整数解（x，y）的个数为8，|x|+|y|=3的不同整数解（x，y）的个数为12 …．则|x|+|y|=20的不同整数解（x，y）的个数为（）A . 76B . 80C . 86D . 924. （2分）已知随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），若P（ξ＞3）=0.023，则P（﹣1≤ξ≤3）等于（）A . 0.977B . 0.954C . 0.628D . 0.4775. （2分） (2018高二下·滦南期末) 袋中装有完全相同的5个小球，其中有红色小球3个，黄色小球2个，如果不放回地依次摸出2个小球，则在第一次摸出红球的条件下，第二次摸出红球的概率是（）A .B .C .D .6. （2分） (2017高二下·洛阳期末) 用数学归纳法证明“ ”时，由n=k不等式成立，证明n=k+1时，左边应增加的项数是（）A . 2k﹣1B . 2k﹣1C . 2kD . 2k+17. （2分）某高校《统计初步》课程的教师随机调查了选修该课的学生的一些情况，具体数据如表1：为了判断主修统计专业是否与性别有关，根据表中数据，得K2的观察值为k= ≈4.844，所以判断主修统计专业与性别有关，那么这种判断出错的可能性不超过（）表1非统计专业统计专业男1310女720P（K2≥k0）0.050.0250.010.005k0 3.841 5.024 6.6357.879A . 5%B . 2.5%C . 1%D . 0.5%8. （2分）从0，1，3，4，5，6六个数字中，选出一个偶数和两个奇数，组成一个没有重复数字的三位数，这样的三位数共有（）A . 24个B . 36个C . 48个D . 54个9. （2分） (2016高二下·福建期末) 若随机变量ξ～B（10，），则D（5ξ﹣3）等于（）A . 9B . 12C . 57D . 6010. （2分）过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，点是坐标原点，若，则的面积为（）A .B .C .D .11. （2分） (2016高三上·兰州期中) 设等差数列{an}的前n项和为Sn ，若Sm﹣1=﹣2，Sm=0，Sm+1=3，则m=（）A . 3B . 4C . 5D . 612. （2分） (2016高三上·红桥期中) 以下说法正确的有（）（1）y=x+ （x∈R）最小值为2；（2）a2+b2≥2ab对a，b∈R恒成立；（3）a＞b＞0且c＞d＞0，则必有ac＞bd；（4）命题“∃x∈R，使得x2+x+1≥0”的否定是“∀x∈R，使得x2+x+1≥0”；（5）实数x＞y是＜成立的充要条件；（6）设p，q为简单命题，若“p∨q”为假命题，则“￢p∨￢q”也为假命题．A . 2个B . 3个C . 4个D . 5个二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高二下·蚌埠期中) 曲线y=x3+x在x=1处的切线与x轴，直线x=2所围成的三角形的面积为________．14. （1分）广告费用X （万元）1234567销售额y （百万元） 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9根据表可得回归方程y=bx+a中的a为2.3，根据此模型预报广告费用为12万元时销售额为________万元．15. （1分） (2017高一下·荔湾期末) 已知x，y满足，则z=2x+y的最大值为________．16. （1分） (2017高一上·黑龙江月考) 已知函数的图象恒过定点，若点也在函数的图象上，则________．三、解答题 (共6题；共55分)17. （10分） (2019高三上·宁德月考) 的内角的对边分别为，已知，.（1）求角C；（2）延长线段到点D，使，求周长的取值范围．18. （5分）(2017·临沂模拟) 已知数列{an}的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，且公差和公比都是2，若对满足m+n≤5的任意正整数m，n，均有am+an=am+n成立．（I）求数列{an}的通项公式；（II）若bn= ，求数列{bn}的前n项和Tn ．19. （10分）甲、乙两名射手各打了10发子弹，其中甲击中环数与次数如表：环数5678910次数111124乙击中环数的概率分布如下表：环数78910概率0.20.3P0.1（1）若甲、乙各打一枪，球击中18环的概率及p的值；（2）比较甲、乙射击水平的优劣．20. （10分） (2015高二上·东莞期末) 如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，SA=SB，点M是SD的中点，AN⊥SC，且交SC于点N．（1）求证：SC⊥平面AMN；（2）求二面角D﹣AC﹣M的余弦值．21. （10分） (2017高二上·湖北期中) 过点（0，2）的直线l与中心在原点，焦点在x轴上且离心率为的椭圆C相交于A、B两点，直线过线段AB的中点，同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线l对称．（1）求直线l的方程；（2）求椭圆C的方程．22. （10分）(2020·海南模拟) 已知的图象在处的切线方程为.（1）求常数的值；（2）若方程在区间上有两个不同的实根，求实数的值.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共55分) 17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、。

惠州市2019-2020第一学期期末考试高二数学参考答案与评分细则(初稿)

惠州市2019-2020学年第一学期期末考试高二数学参考答案与评分细则（初稿）一、单项选择题：本题共10小题，每小题满分5分，共50分。

1.【解析】()i 1i -1i 1i 1i,222222z z ++===-+=--，答案选B 。

2.【解析】由特称命题的否定为全称命题可知，选C 。

3.【解析】方程标准形式为2211=42x y y x -=±，，选D 。

4.【解析】当设0a =且0b =时，+i a b 不是纯虚数，若+i a b 是纯虚数，则0a =，故“0a =”是“复数+i a b 是纯虚数”的必要不充分条件，故选B5.【解析】设其中做过测试的3只兔子为a ，b ，c ，剩余的2只为A ，B ，则从这5只兔子中任取3只的所有取法有 {a ，b ，c}，{a ，b ，A}，{a ，b ，B}，{a ，c ，A}，{a ，c ，B}，{a ，A ，B}，{b ，C ，A}，{b ，c ，B}，{b ，A ，B}，｛c ，A ，B}，共10种，其中恰有2只做过测试的取法有：｛a ，b ，A}，｛a ，b ，B}，｛a ，c ，A}，｛a ，c ，B}，｛b ，c ，A}，｛b ，c ，B}，共6种，所以恰有2只做过测试的概率为35，故选B 。

6.【解析】AE ―→＝AA 1―→＋A 1E ―→＝AA 1―→＋12A 1C 1―→＝AA 1―→＋12()AB ―→＋AD ―→ ，故x ＝12，y ＝12，选C 7.【解析】若△ABE 是锐角三角形，则∠AEF<45°，在直角△AEF 中，2,=+c b AF EF a a=，即2022a c +ac >-，所以22<0e e --得1<<2e -，又>1e ，所以1<<2e ，故选B 8.【解析1】1111直棱柱ABCD-A B C D ，111111//连AD 和B D ，AD B D1111111111111111111122222211111111112,=60+-+-1cos =24∠=====∠∠⋅。

广东省惠州市2020年高二第二学期数学期末复习检测试题含解析

广东省惠州市2020年高二第二学期数学期末复习检测试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知向量()()0,2,1,1,1,2a b ==--，则a 与b 的夹角为（） A ．0 B ．4π C ．2π D ．π【答案】C 【解析】由题设0220a b ⋅=+-=，故a b ⊥，应选答案C ． 2．长春气象台统计，7月15日净月区下雨的概率为415，刮风的概率为215，既刮风又下雨的概率为110，设事件A 为下雨，事件B 为刮风，那么()|P A B =（）A ．12B ．34C ．25D ．38【答案】B 【解析】【分析】确定421(),(),()151510P A P B P AB ===，再利用条件概率的计算公式，即可求解. 【详解】由题意，可知421(),(),()151510P A P B P AB ===，利用条件概率的计算公式，可得1()310(|)2()415P AB P A B P B ===，故选B. 【点睛】本题主要考查了条件概率的计算，其中解答中认真审题，熟记条件概率的计算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3．已知P 为双曲线：22221(0,0)x y a b a b-=>>右支上一点，A为其左顶点，F 为其右焦点，满足||||AF PF =，3PFA π∠=，则点F 到直线PA 的距离为（） AB ．72CD ．152【答案】D 【解析】【分析】由题意可得APF 为等边三角形，求出点P 的坐标，然后代入双曲线中化简，然后求出a 即可【详解】由题意可得(),0A a -，(),0F c 由||||AF PF =，3PFA π∠=可得APF 为等边三角形所以有()3,2c a P a c ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭，代入双曲线方程可得()()22223144c a a c a b -+-= 结合222b c a =-化简可得22340c ac a --=，可解得4c a = 因为43c =，所以3a =所以点F 到直线PA 的距离为()331553222a c +=⋅= 故选：D 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，双曲线的方程及化简运算能力，属于中档题. 4．如图，矩形OABC 的四个顶点依次为()0,0O ，()ππ,0,,1,0,122A B C ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，记线段OC 、CB 以及πsin 02y x x ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭的图象围成的区域（图中阴影部分）为Ω，若向矩形OABC 内任意投一点M ，则点M 落在区域Ω内的概率为( )A ．π12- B ．π22-C ．2πD ．21π-【答案】D 【解析】分析：利用定积分的几何意义求出阴影部分的面积，由几何概型的概率公式，即可得结果.详解：阴影部分的面积是()220(1sin )1cos |12x dx x πππ-=+=-⎰，矩形的面积是122ππ⨯=，∴点M 落在区域Ω内的概率12212πππ-=-，故选D.点睛：本题主要考查定积分的几何意义以及几何概型概率公式，属于中档题.一般情况下，定积分()baf x dx⎰的几何意义是介于x 轴、曲线y =()f x 以及直线,x a x b ==之间的曲边梯形面积的代数和，其中在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数,所以在用定积分求曲边形面积时，一定要分清面积与定积分是相等还是互为相反数；两条曲线之间的面积可以用两曲线差的定积分来求解.5．定义在{|,1}x x R x ∈≠上的函数()()11f x f x -=-+，当1x >时， ()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则函数()()11cos 22g x f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（35x -≤≤）的所有零点之和等于（）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】D 【解析】分析：首先根据()()11f x f x -=-+得到函数()f x 关于()1,0对称，再根据对称性画出函数()f x 在区间[]3,5-上的图像，再根据函数()f x 与函数()1cos π12y x =+图像的交点来求得函数()g x 的零点的和. 详解：因为()()11f x f x -=-+故函数()f x 关于()1,0对称，令()0g x =，即()11cos π22f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，画出函数()f x 与函数()1cos π12y x =+图像如下图所示，由于可知，两个函数图像都关于()1,0对称，两个函数图像一共有8个交点，对称的两个交点的横坐标的和为2，故函数()g x 的8个零点的和为428⨯=.故选D.点睛：本小题主要考查函数的对称性，考查函数的零点的转化方法，考查数形结合的数学思想方法.解决函数的零点问题有两个方法，一个是利用零点的存在性定理，即二分法来解决，这种方法用在判断零点所在的区间很方便.二个是令函数等于零，变为两个函数，利用两个函数图像的交点来得到函数的零点. 6．设非零向量a b c 、、满足a b c ==，a b c +=，则向量a b 、间的夹角为( ) A ．150°B ．60°C ．120°D ．30°【答案】C 【解析】【分析】利用平方运算得到夹角和模长的关系，从而求得夹角的余弦值，进而得到夹角. 【详解】a b c += ()22a bc ⇒+= 2222a a b b c ⇒+⋅+=即2222cos ,a a b a b bc +<>+= 1cos ,2a b ⇒<>=-,120a b ∴<>=本题正确选项：C 【点睛】本题考查向量夹角的求解，关键是利用平方运算和数量积运算将问题变为模长之间的关系，求得夹角的余弦值，从而得到所求角.7．为了弘扬我国优秀传统文化，某中学广播站在春节、元宵节、清明节、端午节、中秋节五个中国传统节日中，随机选取两个节日来讲解其文化内涵，那么春节和端午节恰有一个被选中的概率是（） A ．310B ．25C ．35D ．710【答案】C 【解析】分析：先根据组合数确定随机选取两个节日总事件数，再求春节和端午节恰有一个被选中的事件数，最后根据古典概型概率公式求结果.详解：因为五个中国传统节日中，随机选取两个节日共有2510C =种，春节和端午节恰有一个被选中的选法有11236C C =,所以所求概率为63.105= 选C.点睛：古典概型中基本事件数的探求方法 (1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化. (4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.8．已知等差数列{}n a 的第8项是二项式41x y x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式的常数项，则91113a a -=（）A ．23B ．2C ．4D ．6 【答案】C【解析】试题分析：二项式展开中常数项肯定不含，所以为，所以原二项式展开中的常数项应该为，即，则，故本题的正确选项为C. 考点：二项式定理.9．设函数()ln f x x x =，()212g x x =，给定下列命题： ①若方程()f x k =有两个不同的实数根，则1(,0)k e∈-；②若方程()2kf x x =恰好只有一个实数根，则k 0<；③若120x x >>，总有()()()()1212m g x g x f x f x ->-⎡⎤⎣⎦恒成立，则m 1≥； ④若函数()()()2F x f x ag x =-有两个极值点，则实数1(0,)2a ∈. 则正确命题的个数为（） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】【分析】利用导数研究函数的单调性，零点，极值以及恒成立问题. 【详解】对于①，()f x 的定义域(0,)+∞，()ln 1f x x '=+，令()0f x '>有ln 1x >-即1x e >，可知()f x 在1(0,)e 单调递减，在1+e∞（，）单调递增，min 11()()()f x f x f e e===-极小值，且当0x →时()0f x →，又(1)0f =，从而要使得方程()f x k =有两个不同的实根，即()y f x =与y k =有两个不同的交点，所以1(,0)k e∈-，故①正确对于②，易知1x =不是该方程的根，当1x ≠时，()0f x ≠，方程2()kf x x =有且只有一个实数根，等价于y k =和ln xy x=只有一个交点，2ln 1(ln )-'=x y x ，又0x >且1x ≠，令0y '>，即ln 1x >，有x e >，知ln xy x=在0,1（）和1e （，）单减，在+e ∞（，）上单增，1x =是一条渐近线，极小值为e ．由ln xy x=大致图像可知k 0<或=k e ，故②错对于③ 当120x x >>时，[]1212()()()()m g x g x f x f x ->-恒成立，等价于1122()()()()mg x f x mg x f x ->-恒成立，即函数()()y mg x f x =-在(0,)+∞上为增函数，即()()ln 10y mg x f x mx x =-''--'=≥恒成立，即ln 1x m x+≥在(0,)+∞上恒成立，令ln 1()x r x x +=，则2ln ()x r x x -'=，令()0r x '>得ln 0x <，有01x <<，从而()r x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，则max ()(1)1r x r ==，于是m 1≥，故③正确.对于④ 2()ln (0)F x x x ax x =->有两个不同极值点，等价于()ln 120F x x ax +-'==有两个不同的正根，即方程ln 12x a x+=有两个不同的正根，由③可知，021a <<，即102a <<，则④正确. 故正确命题个数为3，故选C . 【点睛】本题考查利用导数研究函数有关性质，属于基础题目．解题时注意利用数形结合，通过函数图象得到结论． 10．下列导数运算正确的是（） A ．1()x x a xa -=' B ．(sin cos )cos 2x x x ='⋅ C ．1(lg )x x'= D ．12()x x --'=【答案】B【解析】【分析】由()'xxaa lna =判断A ；由()()()22sinxcosx 'sinx 'cosx sinx cosx 'cos x sin x =+=-判断B ；由判断()1lgx 'xln10=判断C ；由()12x 'x --=-判断D . 【详解】根据题意，依次分析选项，对于A ，()xx'ln aa a =，A 错误；对于B ，()()()22sinxcosx 'sinx 'cosx sinx cosx 'cos x sin x cos2x =+=-=，B 正确；对于C ，()1lgx 'xln10=，C 错误；对于D ，()12x 'x--=-，D 错误；故选B ．【点睛】本题主要考查指数函数、对数函数与幂函数的求导公式以及导数乘法的运算法则，意在考查对基本公式与基本运算掌握的熟练程度，属于中档题．11．给定空间中的直线l 及平面α，条件“直线l 上有两个不同的点到平面α的距离相等”是“直线l 与平面α平行”的（） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件【答案】B 【解析】分析：利用直线与平面平行的定义判断即可.详解：直线l 上有两个不同的点到平面α的距离相等，如果两点在平面α同侧，则l α ；如果两点在平面α异侧，则l 与α相交：反之，直线l 与平面α平行，则直线l 上有两个不同的点到平面α的距离相等.故条件“直线l 上有两个不同的点到平面α的距离相等”是“直线l 与平面α平行”的必要非充分条件. 故选B.点睛：明确：A B ⇒则A 是B 的充分条件，B A ⇒，则A 是B 的必要条件．准确理解线面平行的定义和判定定理的含义，才能准确答题．12．如图，已知函数()f x 的图象关于坐标原点对称，则函数()f x 的解析式可能是（）A ．2()ln f x x x =B ．()=ln f x x xC ．ln ()xf x x=D ．()xef x x=【答案】C 【解析】【分析】根据函数图像的对称性，单调性，利用排除法求解. 【详解】由图象知，函数()f x 是奇函数，排除A ，B ；当(0,)x ∈+∞时，||()x ef x x=显然大于0，与图象不符，排除D ，故选C. 【点睛】本题主要考查了函数的图象及函数的奇偶性，属于中档题. 二、填空题：本题共4小题13．已知函数(2)y f x =+是定义在R 上的奇函数，且函数()y f x =的图象关于直线1x =对称，当[]0,1x ∈时，()2018xf x =，则(2018)f =__________．【答案】0 【解析】分析：详解：函数()2y f x =+是定义在R 上的奇函数，故函数(f x )关于(2,0)中心对称，函数()y f x =的图象关于直线1x =对称，得到函数的周期为：4，()()()2018200f f f === 故答案为：0.点睛：这个题目考查了函数的对称性和周期性，对于抽象函数，且要求函数值的题目，一般是研究函数的单调性和奇偶性，通过这些性质将要求的函数值转化为已知表达式的区间上，将转化后的自变量代入解析式即可.14．7个人站成一排，其中甲一定站在最左边，乙和丙必须相邻，一共有______种不同排法【答案】240. 【解析】分析：本题是一个排列组合及简单计数问题，甲要站在最左边，剩下6个位置，6个人排列，乙和丙必须相邻，把乙和丙看成一个元素，同另外4个人排列，乙和丙之间也有一个排列，相乘得到结果．详解：由题意知本题是一个排列组合及简单计数问题，甲要站在最左边，剩下6个位置，6个人排列，∵乙和丙必须相邻，∴把乙和丙看成一个元素，同另外4个人排列，乙和丙之间也有一个排列，根据乘法原理知共有A 55A 22=240种结果，故答案为240点睛：站队问题是排列组合中的典型问题，解题时要先排限制条件多的元素，把限制条件比较多的元素排列后，再排没有限制条件的元素，最后要用计数原理得到结果，本题的甲不影响排列．15．已知双曲线C ：2222y x a b-＝1(a>0，b>0)，P 为x 轴上一动点，经过P 的直线y ＝2x ＋m(m ≠0)与双曲线C 有且只有一个交点，则双曲线C 的离心率为________．【答案】5【解析】即双曲线的渐近线与直线y ＝2x ＋m 平行，即a b ＝2，所求的离心率e ＝c a ＝21b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋＝5. 16．已知等腰直角ABC 的斜边2BC =，沿斜边的高线AD 将ADC 折起，使二面角B AD C --的大小为3π，则四面体ABCD 的外接球的表面积为__________．【答案】73π 【解析】等腰直角ABC 翻折后,AD CD AD BD AD BDC CDB ⊥⊥∴⊥∴∠面是二面角B AD C --的平面角，即3CDB π∠=，因此BDC 外接圆半径为1132sin 3π⋅=，四面体ABCD 的外接球半径等于22317()(321)2R =+=，外接球的表面积为274.3R ππ=点睛：涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

广东省惠州市高二下学期数学期末考试试卷

广东省惠州市高二下学期数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共4题；共8分)1. （2分）已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且双曲线的实轴长是虚轴长的一半，则该双曲线的方程为（）A .B .C .D .2. （2分） (2017高一下·瓦房店期末) 在区间上随机取一实数，则事件“ ”发生的概率为（）A .B .C .D .3. （2分） (2015高三上·来宾期末) （x+ ）（2x﹣）5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（）A . ﹣40B . ﹣20C . 20D . 404. （2分）点是曲线上的点，，则必有（）A .B .C .D .二、填空题 (共12题；共12分)5. （1分）已知向量和向量对应的复数分别为3+4i和2﹣i，则向量对应的复数为________6. （1分）(2017·绵阳模拟) 已知抛物线C：y2=4x，焦点为F，过点P（﹣1，0）作斜率为k（k＞0）的直线l与抛物线C交于A，B两点，直线AF，BF分别交抛物线C于M，N两点，若 + =18，则k=________．7. （1分） (2018高二上·扶余月考) 椭圆与直线y=1-x交于M,N两点，过原点与线段MN中点所在直线的斜率为则的值是 ________．8. （1分）（ax﹣）10的展开式中x4项的系数为210，则实数a的值为________．9. （1分） (2018高二下·大庆月考) 已知 ________10. （1分） (2018高二下·中山月考) 复数的共轭复数为________．11. （1分）从2名女生，4名男生中选2人参加某项活动，则抽到的2人恰好男生、女生都有的概率是________．12. （1分）若直线y﹣kx﹣1=0（k∈R）与椭圆恒有公共点，则m的取值范围是________13. （1分）若方程x2+ax+2b=0的一个根在（0，1）内，另一个根在（1，2）内，则的取值范围是________ ．14. （1分）已知正方体AC1的棱长为1，点P是面AA1D1D的中心，点Q是面A1B1C1D1的对角线B1D1上一点，且PQ∥平面AA1B1B，则线段PQ的长为________．15. （1分） (2016高二下·辽宁期中) 体育老师把9个相同的足球放入编号为1，2，3的三个箱中，要求每个箱子放球的个数不少于其编号，则不同的放球方法有________种．16. （1分）已知点A（1，1），B（2，4），则直线AB的方程为________三、解答题 (共5题；共55分)17. （10分） (2017高二下·蚌埠期中) 满足z+ 是实数且z+3的实数与虚部是相反数的虚数z是否存在？若存在，求出虚数z，若不存在，请说明理由．18. （10分） (2016高二下·福建期末) 已知二项式（﹣）n展开式中的各项系数的绝对值之和为128．（1）求展开式中系数最大的项；（2）求展开式中所有的有理项．19. （10分） (2018高二下·重庆期中) 已知椭圆的焦距为，且长轴与短轴的比为 .（1）求椭圆的标准方程；（2）椭圆的上、下顶点分别为，点是椭圆上异于的任意一点，轴于点，，直线与直线交于点，点为线段的中点，点为坐标原点，求证：恒为定值，并求出该定值.20. （10分）(2017·江门模拟) 椭圆E：（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1、F2 ， D为椭圆短轴上的一个顶点，DF1的延长线与椭圆相交于G．△DGF2的周长为8，|DF1|=3|GF1|．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）过椭圆E的左顶点A作椭圆E的两条互相垂直的弦AB、AC，试问直线BC是否恒过定点？若是，求出此定点的坐标；若不是，请说明理由．21. （15分）如图O是等腰三角形ABC内一点,圆O与△ABC的底边BC交于M,N两点,与底边上的高交于点G,且与AB,AC分别相切于E,F两点.（1）(I)证明EF//BC（2）(II)若AG等于圆O半径，且AE=MN=2，求四边形EBCF的面积参考答案一、单选题 (共4题；共8分)1-1、2-1、3-1、4-1、二、填空题 (共12题；共12分)5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共5题；共55分) 17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、。

2022届惠州市高二第二学期数学期末学业质量监测试题含解析

2022届惠州市高二第二学期数学期末学业质量监测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．已知随机变量X 的分布列表如下表，且随机变量23Y X =+，则Y 的期望是（）A ．3B ．3C ．13D ．16【答案】A 【解析】【分析】由随机变量X 的分布列求出m ，求出()E X ，由23Y X =+，得()()23E Y E X =+，由此能求出结果．【详解】由随机变量X 的分布列得：11123m ++=，解得16m =，()11111012363E X ∴=-⨯+⨯+⨯=-，23Y X =+Q ，()()2723333E Y E X ∴=+=-+=．故选：A ．【点睛】本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2．从345678910,1112，，，，，，，，中不放回地依次取2个数，事件A = “第一次取到的数可以被3整除”,B =“第二次取到的数可以被3整除”，则()P B|?A =( ) A ．59B ．23C ．13D ．29【答案】C 【解析】分析：先求()P AB ，()P A ，再根据()(|)()P AB P B A P A =得结果.详解：因为214421101022 (),()155C CP AB P AC C====，所以2()115(|)2()35P ABP B AP A===,选C.点睛：本题考查条件概率，考查基本求解能力.3．已知函数1()()(,)2x x xf x e e a e e aex b a b R=⋅+--+∈在1x=时取得极大值，则a的取值范围是( ) A．[0,)+∞B．(,0)e-C．(,0)-∞D．(,)e-∞-【答案】D【解析】【分析】求出原函数的导函数，可得当a≥0时，f（x）在x＝1取得极小值，不符合；当a＜0时，令f′（x）＝0，得x＝1或ln（﹣a），为使f（x）在x＝1取得极大值，则有ln（﹣a）＞1，由此求得a的范围得答案．【详解】由()()212x xf x e a e e aex b=+--+，得f′（x）＝e2x+（a﹣e）e x﹣ae＝（e x+a）（e x﹣e）．当a≥0时，e x+a＞0，由f′（x）＞0，得x＞1，由f′（x）＜0，得x＜1．∴f（x）在（﹣∞，1）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数，则f（x）在x＝1取得极小值，不符合；当a＜0时，令f′（x）＝0，得x＝1或ln（﹣a），为使f（x）在x＝1取得极大值，则有ln（﹣a）＞1，∴a＜﹣e．∴a的取值范围是a＜﹣e．故选：D．【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值，关键是明确函数单调性与导函数符号间的关系，是中档题．4．如图所示，给出了样本容量均为7的A、B两组样本数据的散点图，已知A组样本数据的相关系数为r1，B组数据的相关系数为r2，则（）A．r1＝r2B．r1<r2C．r1>r2D．无法判定【答案】C 【解析】【分析】利用“散点图越接近某一条直线线性相关性越强，相关系数的绝对值越大”判断即可. 【详解】根据,A B 两组样本数据的散点图知，A 组样本数据几乎在一条直线上，且成正相关，∴相关系数为1r 应最接近1，B 组数据分散在一条直线附近，也成正相关， ∴相关系数为2r ，满足21r r <，即12r r >，故选C ．【点睛】本题主要考查散点图与线性相关的的关系，属于中档题.判断线性相关的主要方法：（1）散点图（越接近直线，相关性越强）；（2）相关系数（绝对值越大，相关性越强）. 5．若复数z 满足()13z i i i +=-+，则z 的虚部是（）A ．12B ．12-C ．32D ．32-【答案】B 【解析】由题意可得：()12z i i +=+ ，则：()()()()2123111122i i i z i i i i +-+===-++- ，即z 的虚部是12-. 本题选择B 选项. 6．点的极坐标，它关于极点的对称点的一个极坐标是A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】【分析】在点极径不变，在极角的基础上加上，可得出与点关于极点对称的点的一个极坐标。

惠州市2020年高二第二学期数学期末复习检测试题含解析

惠州市2020年高二第二学期数学期末复习检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．已知()*111()123f n n N n =++++∈L ，用数学归纳法证明()*2,2n n f n N >∈时，从假设n k =推证1n k =+成立时，需在左边的表达式上多加的项数为（） A ．21k - B ．2k C ．21k + D ．12．在等差数列{}n a 中，34567450a a a a a ++++=，则28a a +=（）A ．45B ．75C ．180D ．3603．某同学通过英语听力测试的概率为12，他连续测试n 次，要保证他至少有一次通过的概率大于0.9，那么n 的最小值是( )A ．3B ．4C ．5D ．64．现有党员6名，从中任选2名参加党员活动，则不同选法的种数为（）A ．15B ．14C ．13D ．125．现将甲、乙、丙、丁四个人安排到座位号分别是1,2,3,4的四个座位上，他们分别有以下要求，甲：我不坐座位号为1和2的座位；乙：我不坐座位号为1和4的座位；丙：我的要求和乙一样；丁：如果乙不坐座位号为2的座位，我就不坐座位号为1的座位.那么坐在座位号为3的座位上的是（）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁6．2()ln f x x a x =-在(1,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围为（）A ．(,1)-∞B ．(,1]-∞C ．(,2)-∞D ．(,2]-∞7．设x 是实数，则“|1|2x -<”是“|2|1x -<”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 8．已知函数()132221x x x f x +++=+的最大值为M ，最小值为m ，则M m +等于（） A ．0 B ．2C ．4D ．8 9．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是（）A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油10．给出下列三个命题：(1)如果一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行；(2)一个平面内的任意一条直线都与另一个平面不相交，则这两个平面平行；(3)一个平面内有不共线的三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行；其中正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．311．如图，已知函数cos ()x f x x=，则它在区间[],ππ-上的图象大致为（） A ． B ． C ． D ．12．已知复数z 满足12i z i +=（i 为虚数单位），则||z =（）. A ．1 B ．2C ．3D 5 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．已知F 为抛物线C ：264y x =的焦点，过F 且斜率为1的直线交C 于A ，B 两点，设FA FB >，则FA FB=_______. 14．5y x z ⎫⎪⎭的展开式中33xy z 的系数为__________． 15．如果关于x 的不等式|3||4|13x x a a -++<++a 的取值范围是______. 16．已知函数2()(3)x f x x e =-，给出以下结论：①曲线()y f x =在点(0,3)处的切线方程为310x y -+=；②在曲线()y f x =上任一点处的切线中有且只有两条与x 轴平行；③若方程()f x m =恰有一个实数根，则36m e -<-；④若方程()f x m =恰有两个不同实数根，则02m e ≤<或36m e -=-.其中所有正确结论的序号为__________．三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．已知函数()11f x x mx =++-.（1）若1m =，求()f x 的最小值，并指出此时x 的取值范围；（2）若()2f x x ≥，求m 的取值范围.18．已知函数f （x ）＝xlnx 12-x 2﹣ax+1．（1）设g （x ）＝f ′（x ），求g （x ）的单调区间；（2）若f （x ）有两个极值点x 1，x 2，求证：x 1+x 2＞2．19．（6分）已知F(x)＝()14x t t dt --⎰，x ∈(－1，＋∞)．(1)求F(x)的单调区间；(2)求函数F(x)在[1，5]上的最值．20．（6分）已知椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>经过点2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，离心率为3. （1）求椭圆C 的方程；（2）过点()2,0M 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，F 为椭圆C 的左焦点，若5FA FB ⋅=u u u v u u u v ，求直线l 的方程.21．（6分）已知函数()21f x ax x=+，其中a 为实数. （1）根据a 的不同取值，判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由；（2）若()1,3a ∈，判断函数f(x)在[1,2]上的单调性，并说明理由.22．（8分）据悉,2017年教育机器人全球市场规模已达到8.19亿美元,中国占据全球市场份额10.8%.通过简单随机抽样得到40家中国机器人制造企业,下图是40家企业机器人的产值频率分布直方图.（1）求m 的值；（2）在上述抽取的40个企业中任取3个，抽到产值小于500万元的企业不超过两个的概率是多少？（3）在上述抽取的40个企业中任取2个,设Y 为产值不超过500万元的企业个数减去超过500万元的企业个数的差值,求Y 的分布列及期望.参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．B【解析】【分析】分别计算n k =和1n k =+时的项数，相减得到答案.【详解】()*111()123f n n N n=++++∈L n k =时，()11121223k k f =++++L ，共有2k 项. 1n k =+时，()1111121322k k f ++=++++L ，共有12k +项. 需在左边的表达式上多加的项数为：1222k k k +-=故答案选B【点睛】本题考查了数学归纳法，意在考查学生的计算能力.2．C【解析】【分析】由34567450a a a a a ++++=，利用等差数列的性质求出5a ，再利用等差数列的性质可得结果.【详解】由345673746555450a a a a a a a a a a a ++++=++++==（）（），得到590a =，则2852180a a a +==．故选C.【点睛】本题主要考查等差数列性质的应用，属于基础题. 解与等差数列有关的问题时，要注意应用等差数列的性质：若2p q m n r +=+=，则2p q m n r a a a a a +=+=.3．B【解析】【分析】由题意利用n 次独立试验中恰好发生k 次的概率计算公式以及对立事件发生的概率即可求得结果．【详解】由题意可得，01110.92n n C ⎛⎫-⋅-> ⎪⎝⎭，求得10.12n⎛⎫< ⎪⎝⎭，∴4n ≥，故选B ．【点睛】本题主要考查n 次独立试验中恰好发生k 次的概率计算公式的应用，属于基础题．4．A【解析】分析：直接利用组合数求解即可．详解：现有党员6名，从中任选2名参加党员活动，则不同选法的种数为2615.C = 故选A点睛：本题考查组合的应用，属基础题..5．C【解析】【分析】对甲分别坐座位号为3或4分类推理即可判断。

惠州市名校2022届数学高二第二学期期末监测试题含解析

惠州市名校2022届数学高二第二学期期末监测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．已知双曲线 C 与椭圆E ：221925x y +=有共同的焦点，它们的离心率之和为145，则双曲线C 的标准方程为（）A ．221124x y -=B ．221412x y -=C ．221412y x -=D ．221124y x -=【答案】C 【解析】【分析】由椭圆方程求出双曲线的焦点坐标，及椭圆的离心率，结合题意进一步求出双曲线的离心率，从而得到双曲线的实半轴长，再结合隐含条件求得双曲线的虚半轴长得答案．【详解】由椭圆221925x y +=，得225a =，29b =，则22216c a b =-=，∴双曲线与椭圆的焦点坐标为()10,4F -，()20,4F ，∴椭圆的离心率为45，则双曲线的离心率为144255-=．设双曲线的实半轴长为m ，则42m =，得2m =，则虚半轴长224223n =-=∴双曲线的方程是221412y x -=．故选C ．【点睛】本题考查双曲线方程的求法，考查了椭圆与双曲线的简单性质，是中档题．2．2018年5月1日，某电视台的节目主持人手里提着一个不透明的袋子，若袋中共有10个除颜色外完全相同的球，其中有7个白球，3个红球，若从袋中任取2个球，则“取得2个球中恰有1个白球1个红球”的概率为（） A ．521B ．715C ．1115D ．221【答案】B 【解析】由组合数公式求出从10个球中任取2个球的取法个数，再求出有1个红球1个白球的取法个数，即可求出结论. 【详解】从10个球中任取2个球共有210C 种取法，其中“有1个红球1个白球”的情况有1137C C （种），所以所求概率1113277C 15p C C ==. 故选:B. 【点睛】本题考查利用组合数公式求古典概型的概率，属于基础题.3．如果点()sin 2,cos P θθ位于第三象限，那么角θ所在象限是（） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【解析】【分析】由二倍角的正弦公式以及已知条件得出cos θ和sin θ的符号，由此得出角θ所在的象限. 【详解】由于点()sin 2,cos P θθ位于第三象限，则sin 22sin cos 0cos 0θθθθ=<⎧⎨<⎩，得cos 0sin 0θθ<⎧⎨>⎩，因此，角θ为第二象限角，故选B. 【点睛】本题考查角所在象限的判断，解题的关键要结合已知条件判断出角的三角函数值的符号，利用“一全二正弦，三切四余弦”的规律判断出角所在的象限，考查推理能力，属于中等题. 4．函数f （x ）＝（x 2﹣2x ）e x 的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据函数值的正负，以及单调性，逐项验证. 【详解】20()(2,)x x f x x x e e =->，当0x <或2x >时，()0f x >，当02x <<时，()0f x <，选项,A C 不正确，2()(2)x f x x e '=-，令()0,f x x '==当()0,f x x '><或x >当()0,f x x '<<<()f x的递增区间是(,-∞，)+∞，递减区间是(，所以选项D 不正确，选项B 正确. 故选:B. 【点睛】本题考查函数图像的识别，考查函数的单调性和函数值，属于基础题. 5．若0,10,a b <-<<则有（） A ．2a ab ab >> B ．2a ab ab << C ．2ab a ab >> D ．2ab ab a >>【答案】D 【解析】①2(1)ab ab ab b -=-， ∵0,10a b <-<<，∴20ab ab ->，故2ab ab >．②22(1)ab a a b -=-，0,10a b <-<<， ∴20ab a ->，故2ab a >．综上2ab ab a >>．选D ．6．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且()()()20222x x x x f x x x e⎧-≤<⎪=⎨-≥⎪⎩，若函数()()F x f x m =-有 6个零点，则实数m 的取值范围是（） A ．311,4e ⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．311,00,4e ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．31,0e ⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．31,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】函数F （x ）=f （x ）﹣m 有六个零点等价于当x >0时，函数F （x ）=f （x ）﹣m 有三个零点，即可即m=f （x ）有3个不同的解，求出在每一段上的f （x ）的值域，即可求出m 的范围．【详解】函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，函数F （x ）=f （x ）﹣m 有六个零点，则当x >0时，函数F （x ）=f （x ）﹣m 有三个零点，令F （x ）=f （x ）﹣m=0，即m=f （x ），①当0<x ＜2时，f （x ）=x ﹣x 2=﹣（x ﹣12）2+14，当x=12时有最大值，即为f （12）=14，且f （x ）＞f （2）=2﹣4=﹣2，故f （x ）在[0，2）上的值域为（﹣2，14]， ②当x ≥2时，f （x ）=2xxe -＜0，且当x→+∞，f （x ）→0， ∵f′（x ）=3x x e -，令f′（x ）=3x x e-=0，解得x=3，当2≤x ＜3时，f′（x ）＜0，f （x ）单调递减，当x ≥3时，f′（x ）≥0，f （x ）单调递增， ∴f （x ）min =f （3）=﹣31e ，故f （x ）在[2，+∞）上的值域为[﹣31e，0）， ∵﹣31e ＞﹣2， ∴当﹣31e ＜m ＜0时，当x >0时，函数F （x ）=f （x ）﹣m 有三个零点，故当﹣31e＜m ＜0时，函数F （x ）=f （x ）﹣m 有六个零点，当x=0时,函数有5个零点．故选D.【点睛】(1)本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答函数的零点问题常用的有方程法、图像法和方程+图像法.本题利用的就是方程+图像法.7．设0.213121log 3,,53a b c⎛⎫ ⎪⎝⎭===,则（）A ．a b c <<B ． a c b <<C ． c a b <<D ． b a c <<【答案】A 【解析】【分析】利用中间值0、1比较大小，即先利用确定三个数的正负，再将正数与1比较大小，可得出三个数的大小关系．【详解】由于函数12log y x =在定义域上是减函数，则1122log 3log 10a =<=，且0.2103b ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，1350c =>，由于函数13x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭在定义域上是减函数，则0.211133b ⎛⎫⎛⎫=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数5xy =在定义域上是增函数，则103551c =>=，因此，a b c <<，故选A. 【点睛】本题考查指对数混合比大小，常用方法就是利用指数函数与对数函数的单调性，结合中间值法来建立桥梁来比较各数的大小关系，属于常考题，考查分析问题的能力，属于中等题． 8．若直线不平行于平面，且，则（）A ．内所有直线与异面B ．内只存在有限条直线与共面C ．内存在唯一的直线与平行D ．内存在无数条直线与相交【答案】D 【解析】【分析】通过条件判断直线与平面相交，于是可以判断ABCD 的正误. 【详解】根据直线不平行于平面，且可知直线与平面相交，于是ABC 错误，故选D.【点睛】本题主要考查直线与平面的位置关系，直线与直线的位置关系，难度不大. 9．函数，，且，，恒成立，则实数的取值范围是（） A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】【分析】构造函数，根据函数的单调性得到在上恒成立，参数分离得到，计算的最小值得到答案.【详解】不妨设，，可得：.令，则在单调递减，所以在上恒成立，，当时，，当时，，则，所以在单调递减，是，所以.【点睛】本题考查了函数的单调性，恒成立问题，构造函数是解题的关键.10．给出下列三个命题： ①“若，则1x ≠”为假命题；②若p q ∧为假命题，则,p q 均为假命题；③命题:,20x p x R ∀∈>，则00:,20xp x R ⌝∃∈≤，其中正确的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B 【解析】试题分析：“若，则1x ≠”的逆否命题为“若1x =，则”，为真命题；若p q∧为假命题，则,p q 至少有一为假命题；命题:,20xp x R ∀∈>，则00:,20x p x R ⌝∃∈≤，所以正确的个数是1，选B. 考点：命题真假【名师点睛】若要判断一个含有逻辑联结词的命题的真假，需先判断构成这个命题的每个简单命题的真假，再依据“或”——一真即真，“且”——一假即假，“非”——真假相反，做出判断即可.以命题真假为依据求参数的取值范围时，首先要对两个简单命题进行化简，然后依据“p ∨q”“p ∧q”“非p”形式命题的真假，列出含有参数的不等式（组）求解即可.11．定义：复数z 与i 的乘积zi 为复数z 的“旋转复数”．设复数(),z x yi x y R =+∈对应的点(),x y 在曲线220x xy y --=上，则z 的“旋转复数”对应的点的轨迹方程为（）． A ．220y xy x +-= B ．220y xy x -+= C ．220y xy x ++= D ．220y xy x --=【答案】C 【解析】【分析】设000z x y i =+ 可得:2000020x x y y --=.因为复数z 与i 的乘积zi 为复数z 的“旋转复数,可得()20000000iz i x y i x i y i y x i =+=+=-+,z 的“旋转复数”对应的点(,)P x y ,由坐标变换,即可得z 的“旋转复数”对应的点的轨迹方程. 【详解】Q 复数(),z x yi x y R =+∈对应的点(),x y 在曲线220x xy y --=上设000z x y i =+ 可得:2000020x x y y --=Q 复数z 与i 的乘积zi 为复数z 的“旋转复数∴ ()20000000iz i x y i x i y i y x i =+=+=-+ ┄①设z 的“旋转复数”对应的点(,)P x y可得:00x y y x =-⎧⎨=⎩ 即00y xx y =-⎧⎨=⎩ ┄②将②代入①得:22()0y y x x --+= 即:220y xy x ++= 故选: C. 【点睛】本题考查复数的运算,考查复平面和考查坐标变换,掌握复数与复平面内的点一一对应是解本题的关键. 12．已知函数()ln f x x x x =+，若k Z ∈，且(2)()k x f x -<对任意的2x >恒成立，则k 的最大值为 A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】B 【解析】由2x >,则()()2k x f x -<= ln x x x +可化简为ln 2x x xk x +<-,构造函数()ln ,22x x x g x x x +=>-,()()()()()()22ln 22ln 2ln 422x x x x x x x g x x x +--+--==-'-,令()()222ln 4,10x h x x x h x x x-=--=-='>则,即()h x 在()2,+∞单调递增,设()00h x =,因为()842ln80h =-<,()952ln90h =->,所以089x <<,且004ln 2x x -=,故()g x 在()02,x 上单调递减, ()0,x +∞上单调递增,所以()()00000000min004·ln 924,2222x x x x x x x g x g x x x -++⎛⎫====∈ ⎪--⎝⎭,又()min k g x <,4k ∴≤,即k 的最小值为4,故选B.点睛:本题考查函数的恒成立和有解问题,属于较难题目.首先根据自变量x 的范围,分离参数和变量,转化为新函数g(x)的最值,通过构造函数求导判断单调性,可知()g x 在()02,x 上单调递减, ()0,x +∞上单调递增,所以()()0min g x g x =,且004ln 2x x -=,089x <<,通过对最小值化简得出()0g x 的范围,进而得出k 的范围.二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．已知关于x 的不等式13ax x -≤+的解集为{}2x x ≥-，则实数a =______. 【答案】1- 【解析】【分析】因为13ax x -≤+，可得2222169a x ax x x -+≤++，根据根据关于x 的不等式13ax x -≤+的解集为{}2x x ≥-，可得21a =，分别讨论1a =和1a =-不等式解情况，即可求得答案. 【详解】Q 13ax x -≤+∴2222169a x ax x x -+≤++根据关于x 的不等式13ax x -≤+的解集为{}2x x ≥- 可得21a = 解得：1a =± ①1a =22169x x x -+≤++88x -≤1x ≥-，故1a =不合符题意，舍去.②1a =-2169x x +≤+ 48x -≤2x ≥-1a ∴=-综上所述，1a =-. 故答案为：1-. 【点睛】本题主要考查了根本绝对值不等式解情况求参数值，解题关键是掌握将绝对值不等式解法，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 14．设分别为双曲线的左右焦点，过的直线交双曲线左支于两点，且，，，则双曲线的离心率为__________．【答案】【解析】【分析】结合双曲线的定义，求出a 的值，再由，，得到为直角，求出c 的值，即得双曲线的离心率. 【详解】结合双曲线的定义，，又，可得，，即，又，，，故为直角，所以，，所以双曲线的离心率为.故答案为：【点睛】本题主要考查双曲线的定义和简单几何性质，考查离心率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.15．()()2221z m m i m R =-+-∈，其共轭复数z 对应复平面内的点在第二象限，则实数m 的范围是____．【答案】12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】根据共轭复数对应的点所在的象限，列出不等式组求解. 【详解】由已知得：()2221z m m i =---，且在第二象限，所以：220210m m ⎧-<⎨-⎩＜，解得：2212m m ⎧-<<⎪⎨⎪⎩＜，所以12.2m -<<故答案为 12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查共轭复数的概念和其对应的点所在的象限，属于基础题. 16．已知函数()()()2111xx x f x e x ⎧->-⎪=⎨≤-⎪⎩，，，若()(),a b f a f b <=，则实数2a b -的取值范围为__________.【答案】1,2e⎛⎤-∞--⎥⎝⎦.【解析】【分析】作出函数f（x）的图象，设f（a）=f（b）=t，根据否定，转化为关于t的函数，构造函数，求出函数的导数，利用导数研究函数的单调性和取值范围即可．【详解】作出函数f（x）的图象如图：设f（a）=f（b）=t，则0＜t≤1e，∵a＜b，∴a≤1，b＞﹣1，则f（a）=e a=t，f（b）=2b﹣1=t，则a=lnt，b=12（t+1），则a﹣2b=lnt﹣t﹣1，设g（t）=lnt﹣t﹣1，0＜t≤1e，函数的导数g′（t）=1t﹣1=1tt-，则当0＜t≤1e时g′（t）＞0，此时函数g（t）为增函数，∴g（t）≤g（1e）=ln1e﹣1e﹣1=﹣1e﹣2，即实数a﹣2b的取值范围为（﹣∞，﹣1e﹣2]，故答案为：（﹣∞，﹣1e﹣2]．【点睛】本题主要考查分段函数的应用，涉及函数与方程的关系，利用换元法转化为关于t的函数，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性和最值是解决本题的关键．综合性较强．三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．某学校高三年级有学生1000名，经调查研究，其中750名同学经常参加体育锻炼（称为A类同学），另外250名同学不经常参加体育锻炼（称为B类同学），现用分层抽样方法（按A类、B类分二层）从该年级的学生中共抽查100名同学.（1）测得该年级所抽查的100名同学身高（单位：厘米）频率分布直方图如图，按照统计学原理，根据频率分布直方图计算这100名学生身高数据的平均数和中位数（单位精确到0.01）；（2）如果以身高达到170cm作为达标的标准，对抽取的100名学生，得到列联表：体育锻炼与身高达标22⨯列联表身高达标身高不达标合计积极参加体育锻炼60不积极参加体育锻炼10合计100①完成上表；②请问有多大的把握认为体育锻炼与身高达标有关系？参考公式：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++.参考数据：()2P K k≥0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828【答案】（1）174，174.55；（2）①列联表见解析；②95%. 【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图的平均数与中位数的公式即可求解；（2）①根据频率分布直方图求出身高达标与不达标的比例，结合积极参加体育锻炼和不积极参加体育锻炼的比例，完成表格；②根据公式计算出2K 即可下结论. 【详解】（1）平均数1550.11650.151750.551850.15⨯+⨯+⨯+⨯1950.05174+⨯=，前两组频率之和为0.25，前三组频率之和为0.8，所以中位数在第三组中位数为0.2517010174.550.55+⨯=. （2）根据频率分布直方图可得身高不达标所占频率为0.25，达标所占频率为0.75，所以身高不达标25人，达标75人，根据分层抽样抽取的积极参加体育锻炼75人，不积极参加体育锻炼的25人，所以表格为：身高达标身高不达标合计积极参加体育锻炼 60 15 75 不积极参加体育锻炼 15 10 25 合计7525100假设体育锻炼与身高达标没有关系()22100601015154 3.84175257525K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯.所以有95%把握认为体育锻炼与身高达标有关系. 【点睛】此题考查根据频率分布直方图求平均数和中位数，计算指定组的频率，完成列联表进行独立性检验，关键在于数量掌握相关数据的求解方法，准确计算并下结论.18．如图，在四面体ABCD 中，BA BC =，90BAD BCD ∠=∠=︒.（Ⅰ）证明：BD AC ⊥；（Ⅱ）若60ABD ∠=︒，2BA =，四面体ABCD 的体积为2，求二面角B AC D --的余弦值. 【答案】 (1)证明见解析. (2)105-. 【解析】分析：（1）作Rt△ABD 斜边BD 上的高AE ，连结CE ，易证BD ⊥平面AEC ，从而得证；（2）由四面体ABCD 的体积为2，sin 1AEC ∠=，得90AEC ∠=︒，所以AE ⊥平面BCD ，以EB u u u v ，EC uuuv ，ED u u u v为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，利用面的法向量求解二面角的余弦值即可.详解：解法一：（1）如图，作Rt△ABD 斜边BD 上的高AE ，连结CE ．因为BA BC =，90BAD BCD ∠=∠=︒，所以Rt△ABD ≌Rt △BCD ．可得CE BD ⊥．所以BD ⊥平面AEC ，于是BD AC ⊥．（2）在Rt△ABD 中，因为2BA =，60ABD ∠=︒，所以4BD =，3AE = 3CE =△AEC 的面积3sin 2S AEC =∠．因为BD ⊥平面AEC ，四面体ABCD 的体积2，所以13sin 4232AEC ⋅⋅∠⋅=，sin 1AEC ∠=，90AEC ∠=︒，所以AE ⊥平面BCD ．以EB u u u v ，EC uuu v ，ED u u u v为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系O xyz -．则(3A ，()1,0,0B ，()3,0C ，()3,0,0D -，(1,0,3AB =-u u u v ，(3,3AC =-u u u v ，(3,0,3AD =--u u u v．设()111,,m x y z =是平面BAC 的法向量，则00m AB m AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u vu u u v ，即111130330x z z ⎧-=⎪=，可取)3,1,1m =．设()222,,n x y z =是平面DAC 的法向量，则00n AC n AD ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u vu u u v ，即2222330330z x z =--=⎪⎩，可取(3,3n =-．因为105cos ,m n m n m n ⋅==，二面角B AC D --的平面角为钝角，所以二面角B AC D --的余弦值为105解法二：（1）因为BA BC =，90BAD BCD ∠=∠=︒，所以Rt△ABD ≌Rt △BCD ．可得AD CD =．设AC 中点为E ，连结BE ，DE ，则BE AC ⊥，DE AC ⊥，所以AC ⊥平面BDE ，，于是BD AC ⊥．（2）在Rt△BCD 中，因为2BC =，60CBD ∠=︒，所以△BCD 面积为23A 到平面BCD 距离为h ，因为四面体ABCD 的体积2，所以3h =在平面ABC 内过A 作AF BC ⊥，垂足为F ，因为2BA =，60ABD ∠=︒，所以3AF =面距离定义知AF ⊥平面BCD ．因为AF FC ⊥，所以6AC =．因为2BA =，3AD =10BE =422DE =，所以222105cos 2BE DE BD BED BE DE +-∠==⋅B AC D --的余弦值为105．点睛：本题主要考查空间位置关系的证明和空间角的计算，意在考查学生立体几何和空间向量的基础知识的掌握能力和基本的运算能力.证明位置关系和求空间的角都有两种方法，一是几何的方法，一是向量的方法，各有特色，要根据具体情况灵活选择，提高解析效率.19．已知函数2()x f x e ax =-，且曲线()y f x =在点1x =处的切线与直线(2)0x e y +-=垂直. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）求()1f x ≥的解集.【答案】（1）()f x 在(),-∞+∞为增函数；（2）{|0}x x ≥ 【解析】【分析】（1）首先求出()f x 的导数，并且求出1x =时的斜率，根据点1x =处的切线与直线(2)0x e y +-=垂直即可求出a ，再对()f x 求二阶导数即可判断()f x 的单调区间。

2022届惠州市高二(下)数学期末学业质量监测试题含解析

2022届惠州市高二(下)数学期末学业质量监测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．设复数z 满足()1i z i +=，则z 的共轭复数z =（） A ．1122i + B ．1122i - C ．1122-+i D ．1122i -- 【答案】B 【解析】【分析】算出z ，即可得z . 【详解】由()1i z i +=得，11122i z i i ==++，所以1122z i =-. 故选：B 【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，共轭复数的概念，考查了学生基本运算能力和对基本概念的理解. 2．将函数sin()()6y x x R π=+∈的图象上所有的点向左平移4π个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的 2 倍（纵坐标不变），则所得到的图象的解析式为（） A ．5sin(2)()12y x x R π=+∈ B ．5sin()()212x y x R π=+∈C ．sin()()212x y x R π=-∈ D ．5sin()()224x y x R π=+∈ 【答案】B 【解析】试题分析：函数sin()6y x π=+，()x R ∈的图象上所有点向左平移4π个单位长度得sin()46y x ππ=++，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，得5sin()212x y π=+，选B. 考点：三角函数图像变换3．已知函数2()()f x x a =-，且'(1)2f =，则a =（） A ．1- B ．2C ．1D ．0【答案】D 【解析】【分析】求出函数()y f x =的导数，结合条件()12f '=，可求出实数a 的值．因为'()22f x x a =-，所以'(1)2122f a =⨯-=，解得0a =，故选D ．【点睛】本题考查导数的计算，考查导数的运算法则以及基本初等函数的导数，考查运算求解能力，属于基础题． 4．某商场进行购物摸奖活动，规则是：在一个封闭的纸箱中装有标号分别为1，2，3，4，5，6的六个小球，每次摸奖需要同时取出两个球，每位顾客最多有两次摸奖机会，并规定：若第一次取出的两球号码连号，则中奖，摸奖结束；若第一次未中奖，则将这两个小球放回后进行第二次摸球，若与第一次取出的两个小球号码相同，则为中奖，按照这样的规则摸奖，中奖的概率为（） A ．13B ．1745C ．245D ．17100【答案】B 【解析】【分析】可将中奖的情况分成第一次两球连号和第二次取出的小球与第一次取出的号码相同两种情况，分别计算两种情况的概率，根据和事件概率公式可求得结果. 【详解】中奖的情况分为：第一次取出两球号码连号和第二次取出两个小球与第一次取出的号码相同两种情况第一次取出两球连号的概率为：26513C =第二次取出两个小球与第一次取出号码相同的概率为：261121345C ⎛⎫-⨯= ⎪⎝⎭∴中奖的概率为：121734545+=本题正确选项：B 【点睛】本题考查和事件概率问题的求解，关键是能够根据题意将所求情况进行分类，进而通过古典概型和积事件概率求解方法求出每种情况对应的概率. 5．函数()2cos()3f x x π=-的单调递增区间是（）A ．42233k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，()k Z ∈ B ．22233k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，()k Z ∈ C ．22233k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，()k Z ∈ D ．242233k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，()k Z ∈ 【答案】C 【解析】首先利用诱导公式化简函数解析式，之后应用余弦函数单调区间的公式解关于x 的不等式，即可得到所求单调递增区间. 【详解】因为()2cos()2cos()33f x x x ππ=-=-，根据余弦函数的性质，令223k x k ππππ-≤-≤，可得222()33k x k k Z ππππ-≤≤+∈，所以函数的单调递增区间是2[2,2]()33k k k Z ππππ-+∈，故选C. 【点睛】该题考查的是有关余弦型函数的单调怎区间的求解问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有诱导公式，余弦函数的单调增区间，余弦型函数的性质，注意整体角思维的运用.6．已知函数2()ln f x x ax x =-+在区间(0,2)内既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是（） A．92⎛⎫ ⎪⎝⎭B．92⎡⎫⎪⎢⎣⎭C．()D．)⎡⎣【答案】A 【解析】分析：先求导得到221()x ax f x x'-+=，转化为方程2()210g x x ax =-+=在（0,2）内有两个相异的实数根，再利用根的分布来解答得解.详解：由题得2121()2x ax f x x a x x='-+=-+，原命题等价于方程2()210g x x ax =-+=在（0,2）内有两个相异的实数根，所以202498020=10(1)8210a a a g g a ⎧<<⎪⎪⎪∆=->∴<⎨⎪>⎪=-+>⎪⎩（）.故答案为：A. 点睛：（1）本题主要考查导数的应用，考查导数探究函数的极值问题，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和分析推理能力数形结合的思想方法.(2)解答本题有两个关键，其一是转化为方程2()210g x x ax =-+=在（0,2）内有两个相异的实数根，其二是能准确找到方程2()210g x x ax =-+=在（0,2）内有两个相异的实数根的等价不等式组,它涉及到二次方程的根的分布问题. 7．设集合{}20M x x =-≥,{}2430N x x x =-+<，则M N =I （）【答案】C 【解析】【分析】先求出集合M 、N ，再利用交集的运算律可得出集合M N ⋂. 【详解】{}{}202M x x x x =-≥=≥Q ，{}{}243013N x x x x x =-+<=<<，因此，{}23M N x x ⋂=≤<，故选C. 【点睛】本题考查集合的交集运算，考查学生对于集合运算律的理解应用，对于无限集之间的运算，还可以结合数轴来理解，考查计算能力，属于基础题． 8．下列说法中，正确说法的个数是（）①在用22⨯列联表分析两个分类变量A 与B 之间的关系时，随机变量2K 的观测值k 越大，说明“A 与B 有关系”的可信度越大②以模型kxy ce =去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设ln z y =，将其变换后得到线性方程0.34z x =+，则,c k 的值分别是4e 和0. 3③已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为y a bx =+，若2b =，1,3x y ==，则1a = A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】D 【解析】【分析】①分类变量A 与B 的随机变量2K 越大,说明“A 与B 有关系”的可信度越大 ②对kxy ce =同取对数，再进行化简，可进行判断③根据线性回归方程y a bx =+，将2b =，1,3x y ==代入可求出a 值【详解】对于①,分类变量A 与B 的随机变量2K 越大,说明“A 与B 有关系”的可信度越大,正确;对于②,kxy ce =Q ,∴两边取对数,可得()ln ln ln ln ln kxkxy cec ec kx ==+=+,令ln z y =,可得ln ,0.34,ln 4,0.3z c kx z x c k =+=+∴==Q , 4c e ∴=.即②正确; 对于③,根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程为y a bx =+因此，本题正确答案是:①②③ 答案选D 【点睛】二联表中2K 越大，说明“A 与B 有关系”的可信度越大；将变量转化成一般线性方程时，可根据系数对应关系对号入座进行求解；线性回归方程的求解可根据,,b x y ,代入y a bx =+求出a 值9．若,a b ∈R ，且0ab ≠，则“11()()22a b >”是“方程221x y a b+=表示焦点在y 轴上的椭圆”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】由指数函数的单调性可得a b <；由椭圆方程可得0a b <<，再由充分必要条件的定义，即可得到所求结论．【详解】解：若1122a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则a b <，若方程221x y a b+=表示焦点在y 轴上的椭圆，则0b a >>，即“1122ab⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”是“方程221x y a b +=表示焦点在y 轴上的椭圆”的必要不充分条件.故选：B 【点睛】本题考查指数函数的单调性以及椭圆方程，考查充分必要条件的定义，考查推理能力，属于基础题． 10．为了得到函数sin(2)6y x π=-的图象，可以将函数sin 2y x =的图象（）A ．向右平移6π个单位长度 B ．向左平移12π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向右平移12π个单位长度【答案】D 【解析】因为把2y sin x =的图象向右平移12π个单位长度可得到函数22126y sin x sin x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，所以，为了得到函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，可以将函数sin2y x =的图象，向右平移12π个单位长度故选D.11．已知23log 4a =，342b =，343c =，则( ) A ．a b c << B ．a c b << C ．b a c << D ．c a b <<【答案】A 【解析】【分析】由指数函数及对数函数的性质比较大小,即可得出结论. 【详解】3344223log log 10,,12234a b c<==<<∴<<Q 故选:A. 【点睛】本题考查三个数的大小的比较,是基础题,解题时要认真审题,注意指数函数和对数函数的性质的合理运用. 12．函数f(x)的定义域为R ，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)( )．A ．无极大值点，有四个极小值点B ．有三个极大值点，两个极小值点C ．有两个极大值点，两个极小值点D ．有四个极大值点，无极小值点【答案】C 【解析】试题分析：所给图象是导函数图象，只需要找出与x 轴交点，才能找出原函数的单调区间，从而找出极值点；由本题图中可见与x 有四个交点，其中两个极大值，两极小值. 考点：函数的极值.二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．若函数的图象在处的切线方程是，则__________．【解析】 ∵函数的图象在处的切线方程是∴，∴故答案为3点睛：高考对导数几何意义的考查主要有以下几个命题角度：（1）已知切点求切线方程；（2）已知切线方程(或斜率)求切点或曲线方程；（3）已知曲线求切线倾斜角的取值范围．14．在区间[]-33，上随机取一个数x ，使得125x x -++≤成立的概率为．【答案】56【解析】【分析】利用零点分段法解不等式125x x -++≤，得出解集与区间[]3,3-取交集，再利用几何概型的概率公式计算出所求事件的概率．【详解】当2x -≤时，()()1212215x x x x x -++=---+=--≤，解得3x ≥-，此时32x --≤≤；当21x -<<时，()()121235x x x x -++=--++=≤成立，此时21x -<<；当1x ≥时，()()1212215x x x x x -++=-++=+≤，解得2x ≤，此时12x ≤≤. 所以，不等式125x x -++≤的解集为[]3,2-，因此，由几何概型的概率公式可知，所求事件的概率为()()235336--=--，故答案为56.s【点睛】本题考查绝对值不等式的解法、几何概型概率公式的计算，解题的关键就是解出绝对值不等式，解绝对值不等式一般有零点分段法（分类讨论法）以及几何法两种方法求解，考查计算能力，属于中等题．15．若()*33nx n N x ⎛∈ ⎝的展开式的第3项的二项式系数为36，则其展开式中的常数项为________. 【答案】289【解析】【分析】根据第3项的二项式系数可知236n C =，求出9n =，进而得到展开式的通项公式；令x 的幂指数为零可知6r =；代入通项公式可求得常数项. 【详解】由二项式定理可知，第3项的二项式系数：236n C =，解得：9n =93x ⎛∴ ⎝展开式通项公式为：()()183992299313rrr r r r r C x C x ---⎛⋅=-⋅⋅ ⎝ 令18302r-=，解得：6r = ∴常数项为：()663928139C --⋅=本题正确结果：289【点睛】本题考查利用二项式定理求解指定项的系数的问题，关键是能够明确二项式系数的定义、二项展开式的通项公式的形式.16．用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成没有重复数字的三位奇数的个数为__________（用数字作答）【答案】36 【解析】【分析】通过先分析个位数字的可能，再排列十位和千位即得答案. 【详解】根据题意，个位数字是1,3,5共有3种可能，由于还剩下4个数字，排列两个位置故可以组成没有重复数字的三位奇数的个数为24336A =,故答案为36.【点睛】本题主要考查排列组合相关知识，难度不大. 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．已知点P(2,2),圆22:80C x y y +-=，过点P 的动直线l 与圆C 交于A,B 两点,线段AB 的中点为M,O 为坐标原点.(1)求点M 的轨迹方程;(2)当|OP|=|OM|时,求l 的方程及△POM 的面积.【答案】 (1)()()22132x y -+-= ；(2)直线l 的方程为380x y +-=，POM ∆的面积为165. 【解析】【分析】（1）当,,C M P 三点均不重合时，根据圆的几何性质可知CM MP ⊥，,C P 是定点，所以M 的轨迹是以PC 为直径的圆（除,P C 两点），根据圆M 的圆心和半径求得M 的轨迹方程.当,,C M P 三点有重合的情形时，M 的坐标满足上述求得的M 的轨迹方程.综上可得M 的轨迹方程.（2）根据圆的几何性质（垂径定理），求得直线l 的斜率，进而求得直线l 的方程.根据等腰三角形的几何性质求得POM ∆的面积. 【详解】圆:C ()22244x y +-=，故圆心为()0,4C，半径为4.(1)当C,M,P 三点均不重合时,∠CMP=90°,所以点M 的轨迹是以线段PC 为直径的圆(除去点P,C),线段PC 中点为()1,3，()()22112024222PC =-+-=，故M 的轨迹方程为(x-1)2+(y-3)2=2(x≠2,且y≠2或x≠0,且y≠4).当C,M,P 三点中有重合的情形时,易求得点M 的坐标为(2,2)或(0,4). 综上可知,点M 的轨迹是一个圆,轨迹方程为(x-1)2+(y-3)2=2. (2)由(1)可知点M 的轨迹是以点N(1,3)为圆心，2为半径的圆.由于|OP|=|OM|,故O 在线段PM 的垂直平分线上.又P 在圆N 上,从而ON ⊥PM.因为ON 的斜率为3,所以l 的斜率为13-，故l 的方程为1833y x =-+，即380x y +-=. 又易得|OM|=|OP|=22，点O 到l 的距离为22410513=+，()22410410||2225PM ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭，所以△POM 的面积为14104101625⨯⨯=. 【点睛】本小题主要考查动点轨迹方程的求法，考查圆的几何性质，考查等腰三角形面积的计算，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.18．如图，在三棱锥S ABC -中，SB ⊥底面ABC ，且2SB AB ==，6=BC ，2ABC π∠=，D 、E 分别是SA 、SC 的中点.(2)求二面角S BD E --的平面角的大小. 【答案】（Ⅰ）证明过程详见解析；（Ⅱ）．【解析】【分析】（Ⅰ）已知SB 、AB 、BC 两两互相垂直，故可建立空间直角坐标系如下图．根据线段长度可求出相应点的坐标，从而可推出AD BC 0AD BD 0⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r，，则，所以平面ACD ⊥平面BCD ．（Ⅱ）求出两个平面的法向量，利用法向量夹角与二面角平面角的关系求出平面角的大小．【详解】（Ⅰ）．又因，所以建立如上图所示的坐标系．所以A （2，0，0），()0,0,0B ，()0,6,0C ，D （1，0，1），，S （0，0，2）易得，AD -101=u u u r （，，），BC 060=u u u r （，，），BD 101=u u u r （，，）又AD BC 0AD BD 0⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ，，AD BC AD BD AD BC AD BD ∴⊥⊥∴⊥⊥u u u r u u u r u u u r u u u r ，，，又又因，所以平面ACD ⊥平面BCD ．（Ⅱ）又设平面BDE 的法向量为，则BE 0{0n BD n ⋅=⋅=u u u r r u u u r r ,即602z 0y z x +=⎨⎪+=⎩所以又因平面SBD 的法向量为BC 060=u uu r（，，）所以21cos ,2863BC n BC n BC n⋅-===-⋅⨯u u u r ru u u r r u u u r r由图可得二面角为锐角，所以二面角S BD E --的平面角的大小为．考点：•平面与平面的垂直的证明二面角大小的求法． 19．如图，在ABC ∆中， 4C π=，角B 的平分线BD 交AC 于点D ，设CBD θ∠=,其中θ是直线230x y -+=的倾斜角．（1）求sin A ；（2）若28CA CB ⋅=u u u v u u u v，求AB 的长【答案】（1）210；（2）5. 【解析】试题分析：（1）由直线的倾斜角概念可得sin 5θ=cos 5θ=，由二倍角公式可求得4sin 5ABC ∠=，3cos 5ABC ∠=，故而可求得sin A ；（2）由正弦定理得728BC AC =，由28CA CB ⋅=u u u v u u u v 得282CB CA ⋅=，联立方程组得结果.试题解析：（1）∵θ是直线230x y -+=的倾斜角,1tan 2θ∴=，又0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故sin 5θ=，cos 5θ=，则4sin sin22sin cos 2555ABC θθθ∠====， ∴243cos 2cos 12155ABC θ∠=-=⨯-=，)2sin sin 2sin 2sin2cos244A πππθθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 2347225510⎛⎫=⋅+=⎪⎝⎭.（2）由正弦定理，得sin sin BC ACA ABC =∠45AC=，∴8BC AC =，又CA CB ⋅u u u v u u u v28CA =⋅=，∴CB CA ⋅=，由上两式解得AC = 又由sin sin AB ACC ABC=∠45AC=，∴5AB =． 20．某食品店为了了解气温对销售量的影响，随机记录了该店1月份中5天的日销售量y （单位：千克）与该地当日最低气温x （单位：C o ）的数据，如下表：（1）求出y 与x 的回归方程y b x a ∧∧∧=+；（2）判断y 与x 之间是正相关还是负相关；若该地1月份某天的最低气温为6C o ，请用所求回归方程预测该店当日的营业额；附: 回归方程y b x a ∧∧∧=+中, 1221()()ni ii nii x y nx yb xn x ∧==-=-∑∑,a y b x ∧∧=-.【答案】(1) 0.5612.92y x ∧=-+，(2)9.56 【解析】试题分析：（1）根据公式求出线性回归直线方程的系数，可得方程；（2）由回归方程中x 的系数的正负确定正相关还是负相关，把6x =代入回归直线方程可得估值．试题解析：(1) ∵令5n =,则113575n i i x x n ====∑，114595n i i y y n ====∑ ，()1287.ni i i x y ==∑ ∴()128757928.ni ii x y nx y =-=-⨯⨯=-∑ ∴()22212955750nii xn x =-=-⨯=∑,∴280.5650b ∧-==- ，∴()90.56712.92.a y b x ∧∧=-=--⨯= ∴所求的回归方程是0.5612.92y x ∧=-+ (2) 由0.560b ∧=-<知y 与x 之间是负相关;将6x =代入回归方程可预测该店当日的销售额0.56612.92y ∧=-⨯+ 9.56=（千克） 21．如图，已知抛物线2:E y x =与圆222:(4)(0)M x y r r -+=>相交于A 、B 、C 、D 四个点．（Ⅰ）求r 的取值范围（Ⅱ）当四边形ABCD 的面积最大时，求对角线AC 、BD 的交点P 的坐标．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（）【解析】（Ⅰ）联立方程组与，可得，所以方程由两个不等式正根由此得到解得，所以r 的范围为（Ⅱ）不妨设E 与M 的四个交点坐标分别为设直线AC,BD 的方程分别为，解得点p 的坐标为设t=，由t=及（1）可知由于四边形ABCD 为等腰梯形，因而其面积将代入上式，并令，得求导数，令，解得当时，，当，；当时，当且仅当时，由最大值，即四边形ABCD 的面积最大，故所求的点P 的坐标为（）22．如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 中，AB ＝2，CE ＝1，CE ⊥平面ABCD ．（1）求异面直线DF 与BE 所成角的余弦值；（2）求二面角A －DF －B 的大小．【答案】（1）13；（2）3π．【解析】分析：（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求异面直线DF 与BE 所成角的余弦值.(2)利用向量法求二面角A －DF －B 的大小.详解：⑴以{,,CD CB CE u u u v u u u v u u u v}为正交基底，建立如图空间直角坐标系C －xyz ，则D(2，0，0)，F(2，2，1)，E(0，0，1)，B(0，2，0)，C(0，0，0)，所以DF u u u r ＝(0，2，1)，BE u u u r＝(0，–2，1)，从而cos<DF u u u r ，BE u u u r>＝1333=-⋅．所以直线DF 与BE 所成角的余弦值为13． (2)平面ADF 的法向量为m CD =u u u vv ＝ (2，0，0).设面BDF 的法向量为n r = (x ，y ，z)．又BF u u u r＝(2，0，1)．由n DF u u u v v ⋅＝0，n BF u u u v v ⋅＝0，得2y ＋z ＝0，2 x ＋z ＝0取x ＝1，则y ＝1，z ＝2，所以n r= (1，12)，所以cos<,m n u r r>12=．又因为<,m n u r r >∈[0，π]，所以<,m n u r r >＝3π．所以二面角A – DF – B 的大小为3π．点睛：（1）本题主要考查异面直线所成角的求法，考查二面角的求法，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和基本的运算能力转化能力.(2)求二面角常用的有两种方法，方法一：（几何法）找→作（定义法、三垂线法、垂面法）→证（定义）→指→求（解三角形）方法二：（向量法）首先求出两个平面的法向量,m n u r r ；再代入公式•cos m nm nα=±v vv v （其中,m n u r r 分别是两个平面的法向量，α是二面角的平面角.）求解.（注意先通过观察二面角的大小选择“±”号）.。

2022-2023学年广东省惠州市高二上学期期末数学试题(解析版)

惠州市2022-2023学年度第一学期期末质量检测高二数学试题全卷满分150分，时间120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号､座位号､学校､班级等考生信息填写在答题卡上.2.作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效.3.非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效.一､单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分.1.过点()1,3P -且平行于直线230x y -+=的直线方程为（） A.210x y +-= B.250x y +-= C.250x y +-= D.270x y -+=2.已知{}n a 是等差数列，且21a +是1a 和4a 的等差中项，则{}n a 的公差为（） A.1B.2- C.2D.1-3.棱长为1的正四面体ABCD 中，则AD BC ⋅等于（） A.0B.12C.14D.14- 4.已知椭圆C 的一个焦点为()1,0，且过点(3，则椭圆C 的标准方程为（）A.22123x y +=B.22143x y += C.22132x y += D.22134x y += 5.已知空间向量()2,1,3a =-，则向量a 在坐标平面xOy 上的投影向量是（） A.()0,2,1B.()0,1,3- C.()2,1,0 D.()2,0,3-6.直线:210l mx y m +--=与圆22:(2)4C x y +-=交于,A B 两点，则当弦AB 最短时直线l 的方程为（）A.430x y -+=B.2430x y --=C.2410x y ++=D.2430x y -+=7.已知直线1l 的方程是2,y ax b l =+的方程是()0,y bx a ab a b =-≠≠，则下列图形中，正确的是（）A. B.C. D.8.在数列{}n a 中，若221,n n a a p --=（*2,,n n N p ≥∈为常数），则称{}n a 为“等方差数列”，下列是对“等方差数列”的判断：①若{}n a 是等方差数列，则{}2n a 是等差数列；②{}(1)n-不是等方差数列；③若{}n a 是等方差数列，则{}kn a （*,k k ∈N 为常数）也是等方差数列； ④若{}n a 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列. 其中正确命题序号为（） A.①③B.②④C.①③D.①④二､多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9.已知数列{}n a 的前n 项和为2,5n n S S n n =-，则下列说法不正确的是（）A.{}n a 为等差数列B.0n a >C.n S 最小值为254-D.{}n a 为单调递增数列 10.已知空间中()()2,1,0,1,2,1AB AC ==-，则下列结论正确的有（） A.AB AC ⊥ B.与AB 共线的单位向量是()1,1,0 C.11BC =平面ABC 的一个法向量是()1,2,5-11.已知曲线22:1x y C a b-=，则下列判断正确的是（）A.若0a b =->，则C 是圆，其半径为aB.若0ab >，则C 是双曲线，其渐近线方程为b y x a= C.若0a b -<<，则C 是椭圆，其焦点在x 轴上 D.若1a b ==，则C 是两条直线12.2022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”.如图在平面直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点()0,2F ，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与y 轴交于点G .若过原点O 的直线与上半椭圆交于点A ，与下半圆交于点B ，则（）A.椭圆的长轴长为22B.AFG 的周长为442+C.线段AB 长度的取值范围是4,222⎡+⎣D.ABF 面积的最大值是42三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.抛物线28y x =的焦点坐标为__________.14.已知双曲线22:1y C x m-=经过点)2,2，则离心率为__________.15.已知圆224x y +=上有且仅有3个点到直线l 的距离等于1，请写出满足上述条件的一条直线l 方程__________.（写出一个正确答案即可）16.空间直角坐标系xOy 中，过点()000,,P x y z 且一个法向量为(),,n a b c =的平面α的方程为()()()0000a x x b y y c z z -+-+-=，过点()000,,P x y z 且方向向量为()(),,0n u v w uvw =≠的直线l 的方程为000x x y y z z u v w---==，阅读上面材料，并解决下面问题：已知平面α的方程为10x y z -++=，直线l 是两个平面20x y -+=与210x z -+=的交线，则直线l 与平面α所成角的正弦值为__________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）已知数列{}n a 满足*111,2,n n a a a n n +==+∈N .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2n n b a n =-，求数列{}n b 的前n 项和n S .18.（本小题满分12分）如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,,E F G 分别是11,,DD BD BB 的中点.（1）求证：EF CF ⊥；（2）求EF 与CG 所成角的余弦值. 19.（本小题满分12分）已知()()1,0,1,0,A B C -为平面内的一个动点，且满足2AC =. （1）求点C 的轨迹方程；（2）若直线:10l x y +-=，求直线l 被曲线C 截得的线段长度. 20.（本小题满分12分）已知抛物线2:2C y px =经过点()2,2,P AB ､是抛物线C 上异于点O 的不同的两点，其中O 为原点.（1）求抛物线C 的方程；（2）若OA OB ⊥，求AOB 面积的最小值.21.（本小题满分12分）如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，//EF AC ，1EF =，60ABC ∠=︒，CE ⊥平面ABCD ，3CE ==2CD ，G 是DE 的中点.（1）求证：平面ACG //平面BEF ；（2）求直线AD 与平面ABF 所成的角的正弦值. 22.（本小题满分12分）已知双曲线2222:1(0)x y C a b a b -=>>的右焦点为()2,0,F O 为坐标原点，双曲线C 的两条渐近线的夹角为3π.（1）求双曲线C 的方程；（2）过点F 作直线l 交C 于,P Q 两点，在x 轴上是否存在定点M ，使MP MQ ⋅为定值？若存在，求出定点M 的坐标及这个定值；若不存在，说明理由.惠州市2022-2023学年第一学期期末质量检测高二数学参考答案与评分细则一､单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案DCABCDAA1.【解析】设直线的方程为()203x y c c -+=≠，把点()1,3P -坐标代入直线方程得160c --+=，7c ∴=所以所求的直线方程为270x y -+=.2.【解析】设等差数列{}n a 的公差为d .由已知条件，得()14221a a a +=+，即()()111321a a d a d ++=++，解得2d =.3.【解析】由题意以,,AB AC AD 作为基底，BC AC AB =-，则()0AD BC AD AC AB AD AC AD AB ⋅=⋅-=⋅-⋅=4.【解析】椭圆的焦点在x 轴上，故设其方程为：22221(0)x ya b a b+=>>，显然1,3c b ==则2224a b c =+=，故椭圆方程为22143x y +=.5.【解析】由题意可知，向量a 在坐标平面xOy 上的投影向量是()2,1,0.6.【解析】由()210,2110mx y m x m y +--=-+-=，则令21010x y -=⎧⎨-=⎩，解得121x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩故直线l 过定点1,12P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由22(2)4x y +-=，则圆心()0,2C ，半径2r =，当AB CP ⊥时，弦AB 最短，直线CP 的斜率12212CP k -==-，则直线l 的斜率12AB k =，故直线l 为11122y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则2430x y -+=.7.【解析】逐一判定即可.对于A ，由1l 的图象知0,0a b <>，由2l 的图象知0,0a b <>，故A 正确；对于B ，由1l 的图象知0,0a b <>，由2l 的图象知0,0a b <<，矛盾，故B 错误；对于C ，由1l 的图象知0,0a b ><，由2l 的图象知0,0a b <>，矛盾，故C 错误；对于D ，由1l 的图象知0,0a b >>，由2l 的图象知0,0a b <<，矛盾，故D 错误.8.【解析】①{}n a 是等方差数列，221n n a a p --=（p 为常数）得到{}2n a 为首项是21a ，公差为p 的等差数列；故①正确 ②数列{}(1)n-中，222211(1)(1)0n n nn aa --⎡⎤⎡⎤-=---=⎣⎦⎣⎦，所以{}(1)n -是等方差数列；故②不正确③数列{}n a 中的项列举出来是122,,..,,..,k k a a a a ⋯⋯⋯数列{}2kn a 中的项列举：23,,k k k a a a ⋯⋯()()222222121221k k k k k k aa a a a a p +++--=-=⋯=-=()()()222222121221k k k k k k a a a a a a kp +++-∴-+-+⋯+-=()221kn k n a a kp +∴-=，即数列{}kn a 是等方差数列，故③正确；④数列{}n a 是等差数列，()112.n n a a d n -∴-=≥数列{}n a 是等方差数列，()22122n n a a d n -∴-=≥，()121,n n a a d d -∴+=∴当10d ≠时，12122n d d a d =+为常数列；当10d =，数列{}n a 为常数列.则该数列{}n a 必为常数列，故④正确.∴正确命题的是①③④，故A 正确.二､多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.题号 9 10 11 12 全部正确选项BCACDBCBC9.【解析】对于A ，当2n ≥时，()2215(1)5126n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎣⎦，1n =时114a S ==-满足上式，所以*26,n a n n N =-∈，所以()()1216262n n a a n n +-=+---=，所以{}n a 为等差数列，故A 正确；对于B ，由上述过程可知*12326,N ,40,20,0n a n n a a a =-∈=-<=-<=，故B 错误；对于C ，因为25n S n n =-，对称轴为52.52n ==，又因为*N n ∈，所以当2n =或3时，n S 最小值为6-，故C 错误；对于D ，由上述过程可知{}n a 的公差等于2，所以{}n a 为单调递增数列，故D 正确. 10.【解析】对于()()A,2,1,01,2,1220AB AC ⋅=⋅-=-+=，故,A AB AC ⊥正确；对于(),1,1,0B 不是单位向量，且()1,1,0与()2,1,0AB =不共线，B 错误；对于(),3,1,1,11,C BC AC AB BC C =-=-∴=正确；对于D ，设()1,2,5m =-，则()()1,2,52,1,0220m AB ⋅=-⋅=-=，()()1,2,53,1,13250m BC ⋅=-⋅-=--+=，所以,m AB m BC ⊥⊥，又AB BC B ⋂=，所以平面ABC 的一个法向量是()1,2,5,D -正确.11.【解析】对于A ，若0a b =->时，22:1x y C a b-=转化为22x y a +=a ，故A 错误；对于B ，若0ab >，当0,0,a b C >>是焦点在x 轴上的双曲线，当0,0,a b C <<是焦点在y 轴上的双曲线，无论焦点在哪个轴上，令220x y a b-=，整理可得by x a =均是C 的渐近线，B 正确；对于C ，若220,:1x y a b C a b -<<-=转化为22:1x y C a b+=-，由于0a b >->可知，C 是焦点在x 轴上的椭圆，故C 正确；对于D ，若221,:1x y a b C a b==-=转化为221x y -=，是双曲线不是两条直线，故D 错误.12.【解析】对于A ，由题知，椭圆中2b c ==，得2222a b c +=，则242a =，故A 错误；对于B ，由定义知，22,AF AG a AFG +==的周长42442,L FG B =+=+正确；对于C,2AB OB OA OA =+=+，由性质知222OA ≤≤4222,AB C ≤≤+正确；对于D ，设AB 所在直线方程为y kx =，联立22148y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩可得282A x k =±+，联立224y kx x y =⎧⎨+=⎩可得241B x k =+，则221184,2221ABFAOFOBFA B SSSOF x OF x k k=+=+=++显然20k ≥，当2k 增大时，228421y k k=++是减小，所以当0k =时，ABFS 有最大值4，故D 错误.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.()2,05214.11203450,x y x y x y =±=±++=++=､､､（写出一个即可）【注】若答案形式为：0Ax By C ++=，则系数必须满足：222A B C += 若答案形式为：y kx b =+，则系数必须满足：221k b += 13.【解析】对比标准方程可得焦点坐标为()2,014.【解析】双曲线22:1y C x m-=经过点)2,2，所以421m-=，解得4m =，所以双曲线方程为2214y x -=，所以双曲线焦点在x 轴上，1,2,5a b c ===为5e =15.【解析】数形结合可知，只要是半径的垂直平分线，均满足题意要求，设直线为0Ax By C ++=，则由题可知圆心()0,0到直线的距离为221,1C d A B==+，所以222A B C +=16.【解析】因为平面α的方程为10x y z -++=，故其法向量可取为()1,1,1p =-，平面20x y -+=的法向量可取为()1,1,0m =-，平面210x z -+=的法向量可取为()2,0,1n =-，直线l 是两个平面20x y -+=与210x z -+=的交线，设其方向向量为(),,s t q μ=，则020m s t n s q μμ⋅=-=⎧⎨⋅=-=⎩，令1s =，则()1,1,2μ=，故设直线l 与平面α所成的角为,0,2πθθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则22sin |cos ,|||36p p p μθμμ⋅=〈〉===⨯‖2四､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分，第一小问5分，第二小问5分.）【解析】（1）当*2,n n N ≥∈时，()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+ 2(1)2(2)211n a n n ∴=-+-++⋅+()()21211n n ⎡⎤=-+-+++⎣⎦()()111212n n ⎡⎤-+-⎣⎦=⋅+ 因为1n =也满足上式，()2*1n a n n n N ∴=-+∈（2）2221n n b a n n n n =-=-+-，则1n b n =-+所以{}n b 是以0为首项，1-为公差的等差数列故()()101S 22n n b b n n n +⋅-+⋅==21122n S n n ∴=-+18.（本小题满分12分，第一小问7分，第二小问5分.）【解法一】（1）以D 为坐标原点，DA 为X 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系()()()0,0,1,1,1,0,0,2,0E F C 则所以()1,1,1EF =-()1,1,0CF =-因为1100EF CF ⋅=-+= 所以EF CF ⊥ 即EF CF ⊥（2）由（1）知，()2,2,1G 则()2,0,1CG = 所以cos ,EF CG EF CG EF CG⋅=⋅1535==⋅所以EF 与CG 所成角的余弦值是1515【解法二】由题意得：在Rt EDF 中有：22111,22222ED DF BD ===+=， 223EF ED DF ∴+=在REDC 中有：221,2,5ED DC EC ED DC ==∴=+=在正方形ABCD 中，122CF AC ==∴在EFC 中有：222EF FC CE += 所以有：EF CF ⊥（2）连接11,A E A F ，取1A A 的中点H ，连接,HG HD ，∴四边形1,A HDE HDCG 为平行四边形1,HD A E HD CG ∴∥∥ 1A E CG ∴∥在Rt 11A D E 中有：2211115A E A D D E =+= 在Rt 1A AF 中有：22116A F A A AF =+=，∴在1A EF 中有：2222221111(5)(3)(6)15cos 215253A E EF A F A EF A E EF ∠+-===⋅⨯⨯ 所以EF 与CG 1519.（本小题满分12分，第一小问5分，第二小问7分.）【解析】（1）由题意可设点C 的坐标为(),x y ，由2AC =得2222(1)(0)2(1)(0),x y x y ++-=-+-整理得点C 的轨迹方程为22610x y x +-+=.（2）由（1）可知，曲线22:(3)8C x y -+=则圆心坐标为()3,0，半径为22则圆心到直线:10l x y +-=的距离2230111d +-=+，2=所以弦的长度222282r d -=-26=直线l 被曲线C 截得的线段长度为620.（本小题满分12分，第一小问3分，第二小问9分.）【解析】（1）由抛物线2:2C y px =经过点()2,2P 知44p =，解得1p =，则抛物线C 的方程为22y x =；（2）【解法一】由题知，直线AB 不与y 轴垂直，设直线:AB x ty a =+，由22x ty a y x=+⎧⎨=⎩消去x ，得2220y ty a --=， 2Δ480t a =+>，设()()1122,,,A x y B x y ，则12122,2y y t y y a +==-，因为OA OB ⊥，所以0OA OB ⋅=即12120x x y y +=，所以22121204y y y y += 解得120y y =（舍去）或124y y =-，所以24a -=-即2a =，所以直线:2AB x ty =+，所以直线AB 过定点()2,0，22221212121212282АОВS y y y y y y y y =⨯⨯-=+-=++12284y y ≥+=当且仅当122,2y y ==-或122,2y y =-=时，等号成立，所以AOB 面积的最小值为4.【注：AOB 面积也可以用12AOB SOA OB =⨯⨯的方式来计算【解法二】由题意知直线OA ，直线OB 的斜率均存在，且不为0 不妨设直线OA 方程为y kx =，代入2y 由OA OB ⊥可得()22,2B k k - 2221OA k k =+ 22112OB k k=+⋅221122AOB S OA OB k k==++2212224k k≥+⋅= 当且仅当1k =±时等号成立所以AOB 面积的最小值为4 【解法三】当直线AB 斜率不存在时，则AOB 为等腰直角三角形，此时4AOB S =，当直线AB 斜率存在时，设直线:AB y kx b =+，由22y kx b y x=+⎧⎨=⎩消去y ，得()222210k x kb x b +-+=， ()()1122Δ840,,,,,kb A x y B x y =-+>设则()212122221,kb b x x x x k k-+=-=，因为OA OB ⊥，所以0OA OB ⋅=即12120x x y y +=，所以()()22121210kb x x k x x b ++++= 解得0b =（舍去）或2b k =-，所以直线():2AB y k x =-，所以直线AB 过定点()2,0，()()()2212121212122242AOB S y y k x k x k x x x x ⎡⎤=⨯⨯-=---=+-⎣⎦24164k =+> 综上：AOB 面积的最小值为4.21.（本小题满分12分，第一小问5分，第二小问7分.）（1）证明：连接BD 交AC 于O ，则O 是BD 的中点，连接OG ，G 是DE 的中点，//OG BE ∴，BE ⊂平面BEF ，OG ⊄平面BEF ，//OG ∴平面BEF ；又//EF AC ，AC ⊄平面BEF ，EF ⊂平面BEF ，//AC 平面BEF ，又AC 与OG 相交于点O ，,AC OG ⊂平面ACG ，所以平面//ACG 平面BEF .（2）【解法一】解：连接OF ，因为四边形ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥，又60ABC ∠=︒，=2CD ，所以ABC 为等边三角形，所以=2AC ，又1EF =，所以EF OC =且//EF OC ，所以四边形OCEF 为平行四边形，所以//OF CE ，因为CE ⊥平面ABCD ，所以OF ⊥平面ABCD ，如图，以O 为坐标原点，分别以OC ､OD ､OF 为x ､y ､z 轴建立空间直角坐标系，则()1,0,0A -，()0,3,0B -，()3,0D ，(3F ，(1,3,0)AD =，(1,3,0)AB =-，3)AF =，设面ABF 的法向量为=(,,)m a b c ，依题意有m AB m AF ⊥⊥⎧⎪⎨⎪⎩，则=3=0=+3=0m AB a b m AF a c ⋅-⋅⎧⎪⎨⎪⎩，令3a =1b =，1c =-，则(3,1,1)m =-，所以3315cos ,441AD mAD m AD m ⋅+<>===⨯+⋅ 所以直线AD 与面ABF 15.【解法二】连接OF ，因为四边形ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥，所以ABC 为等边三角形，所以2AC =，又1EF =，所以EF OC =且EF OC ∥，所以四边形OCEF 为平行四边形，所以OF CE ∥，因为CE ⊥平面ABCD ，所以OF ⊥平面ABCD ，在Rt FOB 中，226BFBO OF =+，在Rt FOA 中，222AFAO OF =+= 又在ABF 中，2,AB =∴由等腰三角形易计算得152ABF S = 设d 为点D 到平面ABF 的距离 11,33D ABF F ABD ABF ABD V V S d S FO --=⋅=⋅即有计算得：155d = 设直线AD 与平面ABF 所成的夹角为θ，则215155sin 25d DA θ=== 所以直线AD 与面ABF 1522.（本小题满分12分，第一小问5分，第二小问7分.）【解析】（1）双曲线22221x y a b-=的渐近线为b y x a =±，又0,01b a b a >><<，结合已知条件可知渐近线的b y x a =的倾斜角为,6π 则3b a =3a b =. 222a b +=，得3,1a b == 所以双曲线C 的方程是2213x y -=. （2）当直线l 不与x 轴重合时，设直线l 的方程为2x ty =+，代入2213x y -=，得22(2)33ty y +-=，即()223410t y ty -++=. 设点()()1122,,,P x y Q x y ，则12122241,33t y y y y t t +=-=--. 设点(),0M m ，则()()()()1212121222MP MQ x m x m y y ty m ty m y y ⋅=--+=+-+-+ ()()()22121212(2)t y y t m y y m =++-++-()()22223312113m t m m t ---+=-令()223121133m m m -+=-，得53m =，此时2239MP MQ m ⋅=-=-. 当直线l 与x 轴重合时，则点,P Q 为双曲线的两顶点，不妨设点())3,0,3,0P Q -. 对于点5552,0,3,0?3,03339M MP MQ ⎛⎫⎛⎫⎫⋅=-=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭. 所以存在定点5,03M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，使2239MP MQ m ⋅=-=-为定值.。

08-09高等数学(2)试卷(8开)-罗

姓名
线
7. 交换二次积分次序 dy
1
0
1 y 2
f x, y dx 。
教务处制
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四．求级数 nxn 1 的和函数。（本题 6 分）
n 1
2 2 2 2
f 2 f 4.设 u f 2x 3 y 2z ，求， 2 。 x x

3
2

的区域。请作球坐标变换化为三次积分 ( 不必计算结果) 7. 设 a

。
{3,5,2}, b {2,1,9} 则

时 a b 与 a 垂直。。
x 0 y 0
专业
xy xy 1 1
2.设 u e x y z ，x t ，y sin t ，z cost ，求
du dt
评卷人签名
装
一
填空题：（每小题 4 分, 共 32 分, 把答案填在题中横线上）条件是 z f x, y 在点
班级

8.微分方程 y y 2 y 0 的通解是
教务处制
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5. 判断级数
3 n n! 的敛散性。 n n 1 n

8. 求幂级数 1
姓名
线
教务处制

2022届惠州市名校高二下数学期末考试试题含解析

2022届惠州市名校高二下数学期末考试试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．将5名报名参加运动会的同学分别安排到跳绳、接力，投篮三项比赛中（假设这些比赛都不设人数上限），每人只参加一项，则共有x 种不同的方案；若每项比赛至少要安排一人时，则共有y 种不同的方案，其中x y +的值为（） A ．543 B ．425 C ．393 D ．275【答案】C 【解析】分析：根据题意，易得5名同学中每人有3种报名方法，由分步计数原理计算可得答案．第二种先分组再排列，问题得以解决．详解：5名同学报名参加跳绳、接力，投篮三项比赛，每人限报一项，每人有3种报名方法，根据分步计数原理，x=53=243种，当每项比赛至少要安排一人时，先分组有（11354322C C C A ⋅⋅+22153122C C C A ⋅⋅）=25种，再排列有33A =6种，所以y=25×6=150种，所以x+y= 1．故选：C ．点睛：排列组合的综合应用问题，一般按先选再排，先分组再分配的处理原则．对于分配问题，解题的关键是要搞清楚事件是否与顺序有关，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计数的重复或遗漏． 2．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若2FP QF =，则||QF =（）A ．8B ．4C ．6D ．3【答案】D 【解析】【分析】设点()1,P t -、(),Q x y ，由2FP QF =，可计算出点Q 的横坐标x 的值，再利用抛物线的定义可求出QF .【详解】设点()1,P t -、(),Q x y ，易知点()1,0F ，()2,FP t =-，()1,QF x y =--，()212x ∴-=-，解得2x =，因此，13QF x =+=，故选D. 【点睛】本题考查抛物线的定义，解题的关键在于利用向量共线求出相应点的坐标，考查计算能力，属于中等题．3．已知某产品的次品率为4%，其合格品中75%为一级品，则任选一件为一级品的概率为（） A ．75% B ．96% C ．72% D ．78.125%【答案】C 【解析】【分析】不妨设出产品是100件，求出次品数，合格品中一级品数值，然后求解概率. 【详解】解：设产品有100件，次品数为：4件，合格品数是96件，合格品中一级品率为75%. 则一级品数为：96×75%＝72，现从这批产品中任取一件，恰好取到一级品的概率为：720.72100=. 故选：C. 【点睛】本题考查概率的应用，设出产品数是解题的关键，注意转化思想的应用.4．已知对任意实数x ，有()()()()f x f x g x g x -=--=，，且0x >时，()0()0f x g x ''>>，，则0x <时（）A ．()0()0f x g x ''>>，B ．()0()0f x g x ''><，C ．()0()0f x g x ''，D ．()0()0f x g x ''<<，【答案】B 【解析】由条件知：()f x 是奇函数，且在(0,)+∞内是增函数；()g x 是偶函数，且在(0,)+∞内是增函数；所以()f x 在(,0)-∞内是增函数；()g x 在(,0)-∞内是减函数；所以0x <时，()0,()0.f x g x ''><故选B 5．正切函数是奇函数，()()2tan 2f x x =+是正切函数，因此()()2tan 2f x x =+是奇函数，以上推理（） A ．结论正确 B ．大前提不正确C ．小前提不正确D ．以上均不正确【答案】C 【解析】【分析】根据三段论的要求：找出大前提，小前提，结论，再判断正误即可。

广东省惠州市2022届数学高二下期末综合测试试题含解析

广东省惠州市2022届数学高二(下)期末综合测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．若2()24ln f x x x x =--，则()f x 的单调递增区间为（） A ．(1,0)-B ．(1,0)(2,)-+∞ C ．(1,)+∞ D ．(2,)+∞2．已知数列{}n a 的通项公式为21n a n =-，则4a =（） A ．-1B ．3C ．7D ．93．某单位有职工160人，其中业务员有104人，管理人员32人，后勤服务人员24人，现用分层抽样法从中抽取一个容量为20的样本，则抽取管理人员( ) A ．3人B ．4人C ．7人D ．12人4．如图是由正方体与三棱锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A ．B ．C ．D ．5．函数log (3)1(0,1)a y x a a =+->≠且的图象恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中m ，n 均大于0，则的最小值为（） A ．2B ．4C ．8D ．166．已知函数2(),(0,)x e f x ax x x=-∈+∞，当21x x >时，不等式()()12210f x f x x x -<恒成立，则实数a 的取值范围为（）A ．2,12e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．2 ,12e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．,2e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦7．已知函数2(),xf x e x =+且(32)(1)f a f a ->-，则实数a 的取值范围是（）A ．13,,24⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭B ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ D ．130,,24⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭8．已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为'()f x ，满足()'()f x f x >，且(0)1f =，则不等式()x e f x >（e 为自然对数的底数）的解集为（）A ．(1,)-+∞B ．(0,)+∞C ．(1,)+∞D ．(,0)-∞9．设复数21i x i=-（i 是虚数单位），则12233201920192019201920192019...C x C x C x C x++++=（） A ．iB ．i -C ．1i -+D ．1i --10．小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A 为“4个人去的景点不相同”，事件B 为“小赵独自去一个景点”，则P(A|B)＝（） A ．29B ．13 C ．49D ．5911．已知随机变量ξ服从正态分布2(12)B ，，若(2)0.8P ξ≤=，则(02)P ξ≤≤=（） A ．1B ．0.8C ．0.6D ．0.312．已知集合10,(,)34,34x y Q x y x y x y ⎧⎫++≥⎧⎪⎪⎪=+≤⎨⎨⎬⎪⎪⎪+≤⎩⎩⎭，{}22(,)|1M x y x y =+=，在集合Q 内随机取一个元素，则这个元素属于集合M 的概率为（） A ．19B ．3272π+ C ．9π D ．3236π+ 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．若存在两个正实数x ，y 使等式mx （lny ﹣lnx ）﹣y ＝0成立，则实数m 的取值范围是_____ 14．用5,6,7,8,9组成没有重复数字的五位数，其中两个偶数数字之间恰有一个奇数数字的五位数的个数是_______.（用数字作答）15．命题000:,tan p x R x x ∃∈>的否定是__________． 16．函数()ln 2f x x =-的零点个数为__________.三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．在二项式32(*)nx n N x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭的展开式中，第三项的系数与第四项的系数相等. (1) 求n 的值，并求所有项的二项式系数的和; (2) 求展开式中的常数项.18．已知集合{}|3327xA x =≤≤，{}2log 1B x x =． (1)分别求A B ⋂，()R C B A ⋃；(2)已知集合{|1}C x x a =<<，若C A ⊆，求实数a 的取值集合．19．（6分）在如图所示的六面体中，面ABCD 是边长为2的正方形，面ABEF 是直角梯形，90FAB ∠=，//AF BE ，24BE AF ==.（Ⅰ）求证：AC //平面DEF ；（Ⅱ）若二面角E AB D --为60，求直线CE 和平面DEF 所成角的正弦值.20．（6分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且48a =，612a =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若20n S =，求n 的值. 21．（6分）已知函数21()2ln (2)2f x x a x a x =-+-，其中a R ∈，且曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴. （1）求实数a 的值；（2）求函数()f x 的单调区间.22．（8分）乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用7局4胜制（即先胜4局者获胜，比赛结束），假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同．（1）求乙以4比1获胜的概率；（2）求甲获胜且比赛局数多于5局的概率．参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．D 【解析】分析：先求()f x '，再求函数的单调增区间.详解：由题得2242242(2)()22x x x x f x x x x x----=--==' 令220,2 1.x x x x -->∴><-或因为x>0，所以x>2.故答案为：D.点睛：（1）本题主要考查利用导数求函数的单调区间，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 用导数求函数的单调区间：求函数的定义域D →求导'()f x →解不等式'()f x ＞()<0得解集P →求D P ⋂,得函数的单调递增（减）区间. 2．C 【解析】【分析】直接将4n =代入通项公式，可得答案. 【详解】数列{}n a 的通项公式为21n a n =-. 所以当4n =时，42417a =⨯-=. 故选：C 【点睛】本题考查求数列中的项，属于基础题. 3．B 【解析】【分析】根据分层抽样原理求出应抽取的管理人数．【详解】根据分层抽样原理知，应抽取管理人员的人数为：16010424204160--⨯=故选：B 【点睛】本题考查了分层抽样原理应用问题，是基础题． 4．C 【解析】【分析】由三视图可知，正方体的棱长为2，直三棱锥的底面是两直角边长都为2的直角三角形,高为3,由此可求得几何体的表面积. 【详解】由三视图可知，正方体的棱长为2，直三棱锥的底面是两直角边长都为2的直角三角形，高为3，故该几何体的表面积为【点睛】本题主要考查三视图的还原，几何体的表面积的计算，难度一般，意在考查学生的转化能力，空间想象能力，计算能力. 5．C 【解析】【分析】【详解】试题分析：根据对数函数的性质先求出A 的坐标，代入直线方程可得m 、n 的关系，再利用1的代换结合均值不等式求解即可．解：∵x=﹣2时，y=log a 1﹣1=﹣1，∴函数y=log a （x+3）﹣1（a ＞0，a≠1）的图象恒过定点（﹣2，﹣1）即A （﹣2，﹣1）， ∵点A 在直线mx+ny+1=0上， ∴﹣2m ﹣n+1=0，即2m+n=1， ∵mn ＞0， ∴m ＞0，n ＞0，=（）（2m+n ）=4+++2≥4+2•=8，当且仅当m=，n=时取等号．故选C ．考点：基本不等式在最值问题中的应用． 6．A 【解析】【分析】令()()g x xf x =，由()()12210f x f x x x -<可知()g x 在()0,∞+上单调递增，从而可得()230x g x e ax '=-≥在()0,∞+上恒成立；通过分离变量可得23x e a x ≤，令()()20xeh x x x=>，利用导数可求得()()2min 24e h x h ==，从而可得234e a ≤，解不等式求得结果.【详解】由()()12210f x f x x x -<且210x x >>得：()()1122x f x x f x <令()()3xg x xf x e ax ==-，可知()g x 在()0,∞+上单调递增()230x g x e ax '∴=-≥在()0,∞+上恒成立，即：23x ea x≤令()()20xe h x x x =>，则()()32x e x h x x -'=()0,2x ∴∈时，()0h x '<，()h x 单调递减；()2,x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增()()2min24e h x h ∴== 234e a ∴≤，解得：2,12e a ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦本题正确选项：A 【点睛】本题考查根据函数的单调性求解参数范围的问题，关键是能够将已知关系式变形为符合单调性的形式，从而通过构造函数将问题转化为导数大于等于零恒成立的问题；解决恒成立问题常用的方法为分离变量，将问题转化为参数与函数最值之间的大小关系比较的问题，属于常考题型. 7．A 【解析】分析：先确定函数奇偶性与单调性，再利用奇偶性与单调性解不等式.详解：因为()2xf x e x =+，所以()()f x f x -=,()f x 为偶函数，因为当0x >时，()f x 单调递增，所以()()321f a f a ->-等价于()()321f a fa ->-，即321a a ->-，2223912421,810304a a a a a a a -+>-+-+>∴>或12a <，选A.点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为同一单调区间上(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内. 8．B 【解析】令()()()()()0,(0)1x xf x f x f xg x g x g e e-=∴=<'=' 所以()xe f x >()1(0)0g x g x ⇒=⇒ ,选B.点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如()()f x f x '<构造()()x f x g x e=，()()0f x f x '+<构造()()xg x e f x =，()()xf x f x '<构造()()f x g x x=，()()0xf x f x '+<构造()()g x xf x =等9．D 【解析】【分析】先化简x ，结合二项式定理化简可求. 【详解】22(1)11(1)(1)i i i x i i i i +===-+--+，122332019201901223320192019201920192019201920192019201920192019 (1)C x C x C x C x C C x C x C x C x ++++=+++++-201920193(1)1i 1i 1i 1x =+-=-=-=--，故选D.【点睛】本题主要考查复数的运算和二项式定理的应用，逆用二项式定理要注意配凑出定理的结构形式. 10．A 【解析】【分析】()P A B 这是求小赵独自去一个景点的前提下，4 个人去的景点不相同的概率，求出相应基本事件的个数，按照公式()()()n AB P A B n B =计算，即可得出结论．【详解】小赵独自去一个景点共有4×3×3×3＝108种情况，即n(B)＝108,4个人去的景点不同的情况有44432124A =⨯⨯⨯=种，即n(AB)＝24，()()()2421089n AB P A B n B ∴===. 故选：A 【点睛】本题考查条件概率，考查学生的计算能力，确定基本事件的个数是关键． 11．C 【解析】因()20.8P ξ≤=，故由正态分布的对称性可知()() (2)0.2022120.6P P P ξξξ>=⇒≤≤=≤≤=，应选答案C 。

惠州市2022届数学高二第二学期期末综合测试试题含解析

惠州市2022届数学高二第二学期期末综合测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．已知函数23(2)2x f x x ++=+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率为（） A ．1B ．﹣1C ．2D ．﹣22．定义在(,)a b 上的函数()f x 的导函数()f x '在(,)a b 的图象如图所示，则函数()f x 在(,)a b 的极大值点个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．43．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱BC 的中点，点M ，N 分别是线段1A E 与线段1DD 上的动点，当点M ，N 之间的距离最小时，异面直线AM 与1CD 所成角的余弦值为（）A 7B 42C 3D 18414．下列命题中真命题的个数是（）①若样本数据1x ，2x ，…，10x 的方差为16，则数据121x -，221x -，…，1021x -的方差为64； ②“平面向量a ，b 夹角为锐角，则0a b ⋅>”的逆命题为真命题；③命题“x R ∀∈，3210x x -+≤”的否定是“0x R ∃∈，320010x x -+>”；④若p ：1x ≤，q ：11x<，则p ⌝是q 的充分不必要条件. A ．1B ．2C ．3D ．45．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比2q =-，则22S a =（） A ．13B ．14C ．12-D ．126．已知复数z 满足21z i -=（其中i 为虚数单位），则||z =（） A ．1B ．2C 3D 57．已知面积为16的等腰Rt AOB ∆内接于抛物线()220y px p =>，O 为坐标原点，OA OB ⊥，F 为抛物线的焦点，点()10N -，.若M 是抛物线上的动点，则MN MF的最大值为（）A ．221-B ．2C ．3D ．221+8．若P 为两条异面直线l m ，外的任意一点，则（） A ．过点P 有且仅有一条直线与l m ，都平行 B ．过点P 有且仅有一条直线与l m ，都垂直 C ．过点P 有且仅有一条直线与l m ，都相交 D ．过点P 有且仅有一条直线与l m ，都异面 9．若函数是奇函数，则使成立的的取值范围为( )A ．( )B ．()C ．D ．10．从8名女生4名男生中,选出3名学生组成课外小组,如果按性别比例分层抽样,则不同的抽取方法数为( ) A ．112种B ．100种C ．90种D ．80种11． “干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”。

2019-2020学年惠州市数学高二下期末综合测试试题含解析

2019-2020学年惠州市数学高二(下)期末综合测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．若曲线2y ax =与曲线ln y x =在它们的公共点处具有公共切线，则实数a 的值为（）A．12eB ．12C ．eD ．1e2．若x ，y 满足条件20402x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =-的最小值为（）A ．-2B ．-1C ．1D ．23．椭圆22145x y +=的焦点坐标是（）A ．()1,0±B ．()3,0±C ．()0,1±D ．()0,3±4．三张卡片的正反面分别写有1和2,3和4,5和6，若将三张卡片并列，可得到不同的三位数(6不能作9用)的个数为( )A ．8B ．6C ．14D ．485．甲、乙、丙三位同学站成一排照相，则甲、丙相邻的概率为（） A ．16B ．15C ．23D ．136．已知82a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中常数项为1120，则实数a 的值是（） A ．1-B ．1C ．1-或1D ．不确定7．如图过抛物线24y x =焦点的直线依次交抛物线与圆()2211x y -+=于A 、B 、C 、D ，则AB CD ⋅=A ．4B ．2C ．1D ．128．设i 为虚数单位，复数z 满足(1)2z i i -=，则||(z = ) A ．1B ．2C ．2D ．229．已知双曲线的焦距是虚轴长的倍，则该双曲线的渐近线方程为（）A ．B ．C ．D ．10．设集合{}1,2,3,4,5,6A B ==，分别从集合A 和B 中随机抽取数x 和y ，确定平面上的一个点(),P x y =，记“点(),P x y =满足条件2216x y +≤”为事件C ，则()P C =（）A ．29B ．112C ．16D ．1211．下列命题正确的是（） A ．第一象限角是锐角 B ．钝角是第二象限角C ．终边相同的角一定相等D ．不相等的角，它们终边必不相同12．若0(21)2ax dx +=⎰，则实数a 的值为（）A ．1B ．-2C ．2D ．-2或1二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．在10(12)x -的展开式中系数之和为______________.(结果用数值表示) 14．两个半径为1的铁球，熔化成一个球，这个球的半径是_______． 15．若复数z 满足2z =，则33z z ++-的取值范围是______．16．在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》(1261年）一书中，用如图A 所示的三角形，解释二项和的乘方规律.在欧洲直到1623年以后，法国数学家布莱士•帕斯卡的著作（1655年)介绍了这个三角形，近年来，国外也逐渐承认这项成果属于中国，所以有些书上称这是“中国三角形”() Chinese triangle ，如图A .17世纪德国数学家莱布尼茨发现了“莱布尼茨三角形”，如图B .在杨辉三角中，相邻两行满足关系式：111r r r n n n C C C ++++=，其中n 是行数，r N ∈.请类比上式，在莱布尼茨三角形中相邻两行满足的关系式是__________．三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（Ⅰ）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）点，直线与曲线交于两点，若，求的值．18．为调查人们在购物时的支付习惯，某超市对随机抽取的600名顾客的支付方式进行了统计，数据如下表所示：支付方式微信支付宝购物卡现金人数200150150100现有甲、乙、丙三人将进入该超市购物，各人支付方式相互独立，假设以频率近似代替概率. （1）求三人中使用微信支付的人数多于现金支付人数的概率；（2）记为三人中使用支付宝支付的人数，求的分布列及数学期望.19．（6分）已知1C 的极坐标方程为cos 14πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，M ,N 分别为1C 在直角坐标系中与x 轴，y 轴的交点．曲线2C 的参数方程为14x t t y t t ⎧=-⎪⎪⎨⎛⎫⎪=-+ ⎪⎪⎝⎭⎩（t 为参数，且0t >），P 为M ,N 的中点．（1）将1C ，2C 化为普通方程；（2）求直线OP （O 为坐标原点）被曲线2C 所截得弦长．20．（6分）已知函数223f x x x =+--（）. （I ）解不等式：2f x >（）；（II ）若函数f x （）的最大值为m ，正实数a b ，满足2a b m +=，证明：2185a b +≥ 21．（6分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin cos cos a B b C c B -=．（1）判断△ABC 的形状；（2）若121()cos 2cos 232f x x x =-+，求(A)f 的取值范围． 22．（8分）如图，在空间几何体中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，AB EF P ，1AF EF BE ===，5DF =（Ⅰ）求证：BF ⊥平面ADF ；（Ⅱ）求直线BF 与平面CDFE 所成角的正弦值．参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．A 【解析】分析：设公共点(),P s t ，求导数，利用曲线2y ax =与曲线ln y x =在它们的公共点处具有公共切线，建立方程组，即可求出a 的值. 详解：设公共点(),P s t ，2,2y ax y ax =∴='Q ，1ln ,y x y x'=∴=Q ， Q 曲线2y ax =与曲线ln y x =在它们的公共点(),P s t 处具有公共切线，∴212ln as st as t s===，解得12a e=. 故选：A.点睛：本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程，考查学生的计算能力，正确求导是关键. 2．A 【解析】作出约束条件20402x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩对应的平面区域（阴影部分），由z=2x ﹣y ，得y=2x ﹣z ，平移直线y=2x ﹣z ，由图象可知当直线y=2x ﹣z ，经过点A 时，直线y=2x ﹣z 的截距最大，此时z 最小．由 220y x y =⎧⎨-+=⎩解得A （0，2）．此时z 的最大值为z=2×0﹣2=﹣2，故选A ．点睛：利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（ax by +型）、斜率型（y b x a++型）和距离型（()()22x a y b +++型）．(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解．(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值． 3．C 【解析】【分析】从椭圆方程确定焦点所在坐标轴，然后根据222c a b =-求c 的值. 【详解】由椭圆方程得：225,4a b ==，所以21c =，又椭圆的焦点在y 上，所以焦点坐标是()0,1±. 【点睛】求椭圆的焦点坐标时，要先确定椭圆是x 轴型还是y 轴型，防止坐标写错. 4．D 【解析】方法一:第一步,选数字.每张卡片有两个数字供选择,故选出3个数字,共有23=8(种)选法.第二步,排数字.要排好一个三位数,又要分三步,首先排百位,有3种选择,由于排出的三位数各位上的数字不可能相同,因而排十位时有2种选择,排个位只有一种选择.故能排出3×2×1=6(个)不同的三位数.由分步乘法计数原理知共可得到8×6=48(个)不同的三位数. 方法二:第一步,排百位有6种选择, 第二步,排十位有4种选择, 第三步,排个位有2种选择.根据分步乘法计数原理,共可得到6×4×2=48(个)不同的三位数. 5．C 【解析】分析：通过枚举法写出三个人站成一排的所有情况，再找出其中甲、丙相邻的情况，由此能求出甲、丙相邻的概率.详解：三人站成一排，所有站法有：（甲乙丙）、（甲丙乙）、（乙甲丙）、（乙丙甲）、（丙甲乙）、（丙乙甲）共6种，其中甲、丙相邻有4种，所以，甲、丙相邻的概率为4263P ==. 故选C.点睛：本题考查古典概型的概率的求法，解题时要注意枚举法的合理运用. 6．C 【解析】【分析】列出二项展开式的通项公式，可知当4r =时为常数项，代入通项公式构造方程求得结果. 【详解】82a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为：()88218822rr r r r r r a T C x a C x x --+⎛⎫=⋅⋅-=- ⎪⎝⎭ 令820r -=，解得：4r =()485421120T C a ∴=-=，解得：1a =±本题正确选项：C 【点睛】本题考查根据二项展开式指定项的系数求解参数值的问题，属于基础题. 7．C 【解析】【分析】根据抛物线的几何意义转化1=A AB AF x =-，1D CD DF x =-=，再通过直线过焦点可知24A D p x x ⋅=，即可得到答案.【详解】抛物线焦点为()1,0F ，1=A AB AF x =-,1D CD DF x =-=,，于是214A D p AB CD x x ⋅=⋅==，故选C.【点睛】本题主要考查抛物线的几何意义，直线与抛物线的关系，意在考查学生的转化能力，计算能力及分析能力. 8．B 【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算，再由复数的模的计算公式求解即可．【详解】由(1)2z i i -=，得22(1)2211(1)(1)2i i i i z i i i i +-====-+--+， ||2z ∴=，故选B ．【点睛】本题主要考查复数代数形式的乘除运算以及复数的模的计算． 9．A 【解析】，，渐近线方程为，即，故选A. 10．A 【解析】【分析】求出从集合A 和B 中随机各取一个数x ，y 的基本事件总数，和满足点P （x ，y ）满足条件x 2+y 2≤16的基本事件个数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．【详解】∵集合A ＝B ＝{1，2，3，4，5，6}，分别从集合A 和B 中随机各取一个数x ，y ，确定平面上的一个点P （x ，y ），共有6×6＝36种不同情况，其中P （x ，y ）满足条件x 2+y 2≤16的有：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），共8个，∴C 的概率P （C ）82369==，故选A ．【点睛】本题考查的知识点是古典概型概率计算公式，考查了列举法计算基本事件的个数，其中熟练掌握利用古典概型概率计算公式求概率的步骤，是解答的关键． 11．B 【解析】【分析】由任意角和象限角的定义易知只有B 选项是正确的. 【详解】由任意角和象限角的定义易知锐角是第一象限角，但第一象限角不都是锐角，故A 不对， ∵终边相同的角相差2kπ，k ∈Z ，故C ，D 不对 ∴只有B 选项是正确的．故选B 12．A 【解析】分析：据积分的定义计算即可．详解：()022212,0a a x dx x xa a ⎰+=+=+=Q解得1a =或2a =-（舍）. 故选A点睛：本题考查的知识点是定积分，根据已知确定原函数是解答的关键．二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．1 【解析】【分析】令1x =求解展开式的系数和即可. 【详解】令1x =可得展开式的系数和为：()()10101211-=-=. 故答案为：1．【点睛】本题主要考查二项式展开式的系数和的计算，属于基础题.14【解析】【分析】等体积法【详解】334421=33R ππ⨯⨯⨯R ⇒=【点睛】等体积法15．⎡⎣【解析】【分析】根据复数z 的模2z =的几何意义，结合33z z ++-的几何意义，设出圆上任意一点坐标，利用两点间距离公式列式，化简求得33z z ++-的取值范围. 【详解】由于复数z 满足2z =，故复数z 对应的点在圆心为原点，半径为2的圆上，设圆上任意一点的坐标为()[)2cos ,2sin ,0,2πθθθ∈.33z z ++-表示圆上的点到()3,0和()3,0-两点距离之和，即=①式平方得26+[]2cos0,1θ∈，所以[]2169144cos 25,169θ-∈，所以[]5,13，所以[]2636,52+，所以⎡⎣. 故答案为：⎡⎣.【点睛】本小题主要考查复数模的几何意义，考查运算求解能力，属于中档题. 16．111112121111r r r n n n n n n C C C C C C ++++++=+ 【解析】分析：这是一个考查类比推理的题目，解题的关键是仔细观察图中给出的莱布尼茨三角形，并从三解数阵中，找出行与行之间数的关系，探究规律并其表示出来．详解：类比观察得，将莱布尼茨三角形的每一行都能提出倍数111n C +，而相邻两项之和是上一行的两者相拱之数，所以类比式子111r r r n n n C C C ++++=，有111112121111r r r n n n n n n C C C C C C ++++++=+．故答案为111112121111r r r n n n n n n C C C C C C ++++++=+．点睛：这是一道新运算类的题目，其特点一般是“新”而不“难”，处理的方法一般为：根据新运算的定义，将已知中的数据代入进行运算，易得最终结果．三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．（Ⅰ），；（Ⅱ）或1．【解析】【分析】（Ⅰ）利用极直互化公式即可把曲线的极坐标方程化为普通方程，消去参数t 求出直线的普通方程即可；（Ⅱ）联立直线方程和的方程，结合二次函数的性质得到关于的方程，由t 的几何意义列方程，解出即可．【详解】（Ⅰ）．，，而直线l 的参数方程为(为参数），则l 的普通方程是：；（Ⅱ）由（Ⅰ）得：①，l 的参数方程为(为参数）②，将②代入①得：，故，由，即解得：或1．【点睛】本题考查了极坐标方程，参数方程以及普通方程的转化，考查直线和曲线的位置关系，是一道常规题． 18．（1）（2）见解析【解析】【分析】（1）根据表格，得出顾客使用微信、支付宝、购物卡和现金支付的概率，之后应用互斥事件有一个发生的概率和独立事件同时发生的概率公式求得结果；（2）利用二项分布求得结果.【详解】(1)由表格得顾客使用微信、支付宝、购物卡和现金支付的概率分别为，设Y 为三人中使用微信支付的人数，Z 为使用现金支付的人数，事件A 为“三人中使用微信支付的人数多于现金支付人数”，则P(A)=P(Y=3)+P(Y=2)+P(Y=1且Z=0) = =(2)由题意可知,故所求分布列为 X 0 1 2 3PE(X)=【点睛】该题考查的是有关概率的问题，涉及到的知识点有独立事件同时发生的概率公式，互斥事件有一个发生的概率公式，独立重复试验，二项分布的分布列和期望，属于简单题目.19． (1) ：1:20C x y +=；22:2C y x =-+ (2) ||32AB =【解析】【分析】（1）将曲线1C 的极坐标方程利用两角差的余弦公式展开，利用cos sin x yρθρθ=⎧⎨=⎩将曲线1C 的极坐标方程化为普通方程，在曲线2C 的参数方程中消去参数t 可得出曲线2C 的普通方程；（2）求出点P 的坐标，可得出直线OP 的方程，再将直线OP 的方程与曲线2C 的普通方程联立，求出交点A 、B 的坐标，再利用两点间的距离公式可得出AB .【详解】（1）1C 的极坐标方程为cos 14πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭()cos sin 1p θθ+=， ∴1C化为普通方程是：1:0C x y +=；曲线2C的参数方程为14x y t t ⎧=⎪⎪⎨⎛⎫⎪=-+ ⎪⎪⎝⎭⎩消去参数t 得：2C 普通方程：22:2C y x =-+．（2）因为)M，(N，∴22P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以直线:OP y x =．设直线:OP y x =与22:2C y x =-+交于A ，B 两点，直线:OP y x =与22:2C y x =-+联立得：220x x +-=，∴()1,1A ，()2,2B --，所以AB =【点睛】本题考查极坐标方程、参数方程与普通方程的互化，考查直线截二次曲线所得弦长的计算，可以利用直线参数方程t 的几何意义，也可以利用弦长公式来计算，都是常考题型，考查计算能力，属于中等题． 20．（I ）（2，6）；（II ）详见解析.【解析】【分析】（I ）按零点分类讨论，去掉绝对值，分别求解不等式，即可得绝对值不等式的解集；（II ）由函数223f x x x =+--（），求得其最大值max 5f x =（），得到2155a b +=，再利用基本不等式，即可求解.【详解】（I ）当3x ≥时，22322682f x x x x x x =+--=+-+=-+>（），解得6x <，36x ∴≤<；当23x -≤<时，223226342f x x x x x x =+--=++-=->（），解得2x >，23x ∴<<；当2x <-时，22322682f x x x x x x （）=+--=--+-=->，解得10x >，无解.综上所述，原不等式的解集为（2，6）.（II ）证明：223f x x x =+--（）=max 823423583x x x x f x x x -<-⎧⎪--≤<∴=⎨⎪-+≥⎩，，，，（），，，即25a b +=， 2155a b ∴+=2122424855555555a b a b a b b a ∴++=+++≥+=（）（）（当且仅当2a b =时，等号成立）. 【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解，以及不等式的证明问题，其中解答中合理分类讨论去掉绝对值号是解答含绝对值不等式的关键，同时注意基本不等式在不等式证明中的应用，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.21． (1) △ABC 为2B π=的直角三角形． (2) 11[,)93-.【解析】【分析】分析：（1）由已知条件结合正弦定理对已知化简可求得角B 的值，进而可判断三角形的形状；（2）由辅助角公式对已知函数()f x 先化简，然后代入可求得()f A ，结合（1）中的角B 求得角A 的范围，然后结合正弦函数的性质，即可求解．【详解】（1）因为sin cos cos a B b C c B -=，由正弦定理可得sin sin sin cos sin cos A B B C C B -=，即sin sin sin cos cos sin A B C B C B =+，所以()sin sin sin C B A B +=．因为在△ABC 中，A B C π++=，所以sin sin sin A A B =又sin 0A ≠，所以sin 1B =，2B π=．所以△ABC 为2B π=的直角三角形．（2）因为()121cos2cos 232f x x x =-+ 22cos cos 3x x =-=211cos 39x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．所以()211cos 39f A A ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．因为△ABC 是2B π=的直角三角形，所以02A π<<，且0cos 1A <<，所以当1cos 3A =时，()f A 有最小值是19-．所以()f A 的取值范围是11,93⎡⎫-⎪⎢⎣⎭．点睛：本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.22． (1) 证明见解析.(2)19. 【解析】试题分析：（1）先根据平几知识计算得AF BF BF DF ⊥⊥，，再根据线面垂直判定定理得结论，（2）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据方程组解得平面法向量，利用向量数量积得向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余关系求结果.试题解析：（1）证明：等腰梯形ABEF 中2,13AB EF AF BE FAB π====⇒∠=，故EF AF BF =⊥ 在DFB ∆中，222,BF DF BD BF DF +=⊥，所以BF ⊥平面ADF（2）作FO AB ⊥于O ，以,OF OB 为,x y 轴建立如图的空间直角坐标系，则333,0,,0,,0,,222F B E C ⎫⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 求得平面DCEF的法向量为n ⎛= ⎝⎭v又3,02BF ⎫=-⎪⎪⎝⎭u u u v，所以cos ,BF n =u u u v v 即BF 与平面DCEF。

2022届广东省惠州市高二第二学期数学期末学业质量监测试题含解析

2022届广东省惠州市高二第二学期数学期末学业质量监测试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．函数()f x 在定义域R 内可导，若()(2)f x f x =-，且当(,1)x ∈-∞时，'(1)()0x f x -<，设(0)a f =，1)2(b f =，(3)c f =，则（）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．c b a <<D ．b c a <<【答案】B 【解析】【分析】【详解】x ∈（-∞，1）时，x-1＜0，由（x-1）•f'（x ）＜0，知f'（x ）＞0，所以（-∞，1）上f （x ）是增函数． ∵f （x ）=f （2-x ）， ∴f （3）=f （2-3）=f （-1）所以f （-1）＜（0）＜1()2f ，因此c ＜a ＜b ．故选B ．2．设锐角ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 且1c =，2A C =，则ABC ∆周长的取值范围为（）A ．(0,2B ．(0,3+C ．(2D ．(2++【答案】C 【解析】因为△ABC 为锐角三角形，所以02A π<<，02B π<<，02C <<π，即022C π<<，022C C ππ<--<，02C <<π，所以64C ππ<<cos C <<；又因为2A C =，所以sin 2sin cos A C C =，又因为1c =，所以2cos a C =；由sin sin b cB C=，即2sin sin 34cos 1sin sin c B C b C C C ===-，所以24cos 2cos a b c C C ++=+，令cos t C =，则t ∈⎝⎭，又因为函数242y t t =+在,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，所以函数值域为(2，故选C点睛：本题解题关键是利用正弦定理实现边角的转化得到ABC ∆周长关于角C 的函数关系，借助二次函数的单调性求最值，易错点是限制角C 的取值范围. 3．已知cos()3cos()αβαβ+=-，则tan tan a β=（） A ．12B ．12-C ．2D ．2-【答案】B 【解析】【分析】直接利用和角公式和同角三角函数关系式的应用求出结果．【详解】由cos()3cos()αβαβ+=-,得cos cos sin sin 3cos cos 3sin sin αβαβαβαβ-=+, 则2cos cos 4sin sin αβαβ=-,故1tan tan 2αβ=-. 故选B 【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，和角公式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．4． “4x ≥”是“2230x x -->”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】首先解一元二次不等式，再根据集合的包含关系判断充分条件、必要条件；【详解】解：因为2230x x -->，所以3x >或1x <-，即()(),13,x ∈-∞-+∞因为[)4,+∞ ()(),13,-∞-+∞，所以“4x ≥”是“2230x x -->”的充分不必要条件，故选：A 【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，充分条件、必要条件的判定，属于基础题. 5．已知(,2),(1,1)m a n a =-=-，且//m n ，则a=（） A ．﹣1B ．2或﹣1C ．2D ．﹣2【解析】【分析】根据//m n ，可得211a a-=-，即可求解，得到答案．【详解】由题意，(,2),(1,1)m a n a =-=-，且//m n ，则211a a-=-，解得2a =或1a =-，故选B ．【点睛】本题主要考查了共线向量的坐标表示及应用，其中解答中熟记共线向量的概念以及坐标表示是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．6．在复数范围内，多项式241x +可以因式分解为（） A ．422i i x x ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭B ．11422x x ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭C ．22i i x x ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭D ．1122x x ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】将代数式化为222414x x i +=-，然后利用平方差公式可得出结果. 【详解】2222241444422i i i x x i x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-=-=+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选A.【点睛】本题考查复数范围内的因式分解，考查平方差公式的应用，属于基础题. 7．函数()sin 1f x x =+导数是( ) A ．cos x B ．cos 1x -+C ．cos 1x +D ．cos x -【答案】A 【解析】【分析】根据导数的基本公式和运算法则求导即可．【详解】()cos f x x '=，故选：A ．本题考查了导数的基本公式和运算法则，属于基础题．8．某单位为了落实“绿水青山就是金山银山”理念,制定节能减排的目标,先调查了用电量(单位:千瓦·时)与气温(单位: )之间的关系,随机选取了4天的用电量与当天气温,并制作了以下对照表：（单位：）17 14 10 -1（单位：千瓦时）24 34 38 64由表中数据得线性回归方程: ,则由此估计:当某天气温为12时,当天用电量约为（）A．56千瓦时B．36千瓦时C．34千瓦时D．38千瓦时【答案】B【解析】【分析】计算出和的值，将点的坐标代入回归直线方程，得出的值，再将代入可得出的值，即为所求结果。