几何画板第二讲.

几何画板第二讲函数的图象的绘制
一、度量菜单的使用
度量菜单中的命令显示一些能够被度量的量。

选取想要度量的对象，然后从菜单中选取适当的命令，就可以进行度量。

不同的度量命令要求所选的对象的类型和数目是不同的。

如果在这个菜单中不能得到某个度量值，可以在该命令上单击鼠标并按下F1功能键以检查此度量命令的前提条件。

对于不同的对象，要选取不同的度量单位，使用编辑菜单中的“参数选择”命令可以选择合适的单位，长度单位可以用英寸、厘米、像素等，角可以用度、弧度等表示。

1．度量菜单功能
长度——度量线段的长度。

（选中线段，度量| 长度）
距离——度量两点间或点到直线的距离。

（选中两点或点和直线，度量| 距离）
周长——度量圆、多边形、扇形或弓形的周长。

（选中对象，度量| 周长）
圆周长——度量圆、扇形或弓形的周长。

（选中对象，度量| 周长）
角度——度量三点构成的角的角度。

（选中三点，第二点为顶点，度量| 角度）
面积——度量圆、多边形、扇形或弓形的面积。

（选中对象，度量| 面积）
弧度角——度量弧、扇形或弓形的圆心角。

（选中弧，度量| 弧度角）
弧长——度量弧、扇形或弓形的弧长。

（选中弧，度量| 弧长）
半径——度量圆、弧的半径。

（选中弧或圆，度量| 半径）
比——度量两条线段的比。

（选中两线段，度量| 比）
计算——用计算器或公式（函数）进行计算。

（对数值和度量值进行公式或函数运算）坐标——度量点的坐标。

（选中点，度量| 坐标。

若是在极坐标状态下显示极坐标值）横坐标——度量点的横坐标。

（选中点，度量| 横坐标）
纵坐标——度量点的纵坐标。

（选中点，度量| 纵坐标）
坐标距离——度量两点间的距离。

（注：单位是坐标单位，不是长度单位）
斜率——度量直线（线段）的斜率。

（选中直线或线段，度量| 斜率）
方程——度量直线的方程。

（选中直线，度量| 方程）
当你生成了一个度量值时，此值出现在系统设定的位置上。

可以用选择箭号工具把度量值移到你要放的任何地方。

用显示菜单中的“字型”和“字体”功能改变文字的特征。

例1：验证勾股定理
1、构造一直角C；
2、在两直角边上各取一点A、B；
3、分别以AB、AC、BC为边向
外画出三个正方形；
4、分别度量出三个正方形的面积
（可以修改标签）
5、“计算”出以AC、BC为边的正方形的面积的和。

拖动A点或B点观察面积的等量关系。

2．度量菜单中的“计算”功能
它可以作为一个常用的计算器来进行常规运算，更重要的是它可以把我们前面度量得到的度量值进行进一步的计算，从而得到更多的数值。

例如我们得到了一个点的坐标X=1，选中这个坐标
值，用度量菜单中的“计算”功能，选定“3*数值
X^2+2*X-6”（表示：3X2+2X-6），按“确定”后得到
在计算器中用“*”表示乘号，用“/”表示除号，用
“^”表示乘方。

在计算器的函数功能中设置了若干常用的函数，可
以供我们在计算时使用，其中有：
sin(x) 正弦函数
cos(x) 余弦函数
tan(x) 正切函数
arcsin(x) 反正弦函数
arccos(x) 反余弦函数
arctan(x) 反正切函数
abs(x) 绝对值函数sqrt(x) 平方根函数
ln(x) 自然对数函数log(x) 以10为底的对数函数
round(x) 取整函数trunc(x) 截尾函数
signum(x) 符号函数⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
>
=
< -
x
1
x
x
1
二、函数的图象的绘制
1．用度量菜单中的“计算”功能和编辑菜单中的“动画”功能可以作出很多常见函数的图象。

作函数的图象的一般方法如下：
(1)用图表菜单下的“定义坐标系”定义一直角坐标系；
(2)在x轴上任选一点P，用度量菜单中的“横坐标”功能求出P点的横坐标；
(3)选中横坐标，用度量菜单中的“计算”功能，算出对应的纵坐标；
(4)先、后选中横坐标、纵坐标，用图表菜单中的“绘制点(x, y)”功能生成一个点M；
(5)选中这个点M，用作图菜单中的“追踪点”功能定义M点；
(6)选中原来的点P和x轴（或x轴上的一条线段）用编辑菜单中的“操作类按钮……
动画”功能定义一个动画，使点P在x轴（或x轴上的一条线段）上运动；
(7)双击动画图标，观察动点M运动的轨迹；
(8)先后选中M点、P点，用作图菜单中的“轨迹”功能，得到M点的轨迹。

例2：画函数y=3x2－5x－4的图象
1.用图表菜单中的“建立坐标系”功能建立直角坐标系；
2．选中x轴(若只有函数的图象在某个给定的定义域内，则在x轴上取相应的线段)，用构造菜单中的“对象上的点”功能得到一个点X（或指向Ｘ轴待颜色发生变化时画点）；
3．选定X点，用度量菜单中的“横坐标”功能求
出X点的横坐标；
4．选定这个横坐标，用度量菜单中的“计算”功
能，求3x2－5x－4的值作为y的值；
5．先、后选中横坐标、纵坐标，用图形菜单中的
“绘制点(x, y)”功能生成一个点M；
6．选中这个点M，用显示菜单中的“追踪点”功
能定义M点；
7．选中原来的X点和x轴（或x轴上的线段）用
编辑菜单中的“操作类按钮……动画”功能定义一个动画，得到一个匹配路径对话框，选择好运动方式后按“动画”得到一个“动画”图标，使X 点在x轴（或x轴上的线段）上运动；
8．双击动画图标，观察动点M运动的轨迹；
9．先后选中M点、X点，用作图菜单中的“轨迹”功能，得到M点的轨迹。

例3：画三角函数y=sin(x)的图象
1．定义直角坐标系。

2．在x轴上选定一条线段MN，在MN上任取一点X，计算点X的横坐标；
3．选中x的值，计算y=sin(x)的值，作为y的值；
4．先后选中x、y，用“图表”菜单中的“绘制点(x, y)”生成对应点P；
5．选中这个点P，用“显示”菜单中的“追踪点”定义这个点；
6．选中X点和线段MN，用“编辑”菜单中的“动画”工具，得到一个动画图标；
7．单击《动画》使X点在线段MN上运动，得到函数y=sin(x)的图象；
8．选中P点、X点，用“构造”菜单中的“轨迹”工具，得到函数y=sin(x)的图象。

扩展：求函数y=Asin(ωx＋φ)的图象
解：在三角函数y=Asin(ωx＋φ)的图象中有三个参数，A、ω、φ，我们可以取定值，也可以分别取三个点，A点、ω点、φ点，使它们对应的纵坐标或横坐标分别表示这三个参数，这样当A点、ω点或φ点移动时，参数的值也同时变化。

在三角函数的运算中，要使用角度。

为了与函数的表达式尽可能一致，角度的选择应改为弧度值。

下拉显示菜单，用“参数选择”功能，打开对象参数选择对话框，将角度的单位改为弧度。

1．在y轴上取A点，计算它的纵坐标作为A的值；在x轴上取ω、φ点，计算它们的横坐标作为ω、φ的值。

2．在x轴上选定一条线段MN，在MN上任取一点X，计算点X的横坐标；
3．选中A、ω、φ、x，计算y=Asin(ωx＋φ)的值，作为y的值；
4．先后选中x、y，用“图表”菜单中的“绘制点(x, y)”生成对应点P；
5．选中这个点P，用“构造”菜单中的“追踪点”定义这个点；
6．选中X点和线段MN，用“编辑”菜单中的“动画”工具，得到一个动画图标；
7．“双击”《动画》使X点在线段MN上运动，得到函数y=Asin(ωx＋φ)的图象；
8．选中P点、X点，用“作图”菜单中的“轨迹”工具，得到函数y=Asin(ωx＋φ)的图象。

当拖动A点时会发现振幅发生变化，其它亦然。

例4：画平抛物体的运动轨迹
解：平抛物体的运动轨迹是由两部分运动合成的，一是水平方向的匀速直线运动，二是竖直向下的自由落体运动。

我们给定一个水平方向的初速度V 0，然后在水平方向和竖直方向上分别作出两个运动，用合成的方法得到下抛物体的运动轨迹。

1．1．在画面是画一条水平方向射线OX ，过O 点作一条竖直向下的射线OY ；
2．2．另画一条线段AB ，用度量菜单中的“长度”功能度量它的长度，再用度量菜单中的“计算”功能，计算10×AB 的整数部分round(10*AB)的值，用来表示初速度V 0，如图AB ＝1.205，V 0＝12；
图5－6
3．3．在射线OX 上取一点t ，选中O 点，t 点，用度量菜单中的“距离”功能度量它们的距离，作为时间t 的值，如图t=3.02；
4．4．选中V 0、t 的值，用度量菜单中的“计算”功能计算V 0t ，得V 0t =36.244，选中
t 的值，计算21gt 2的值(g 取9.8)，得21
gt 2＝44.7；
5．5．这两个值目前的单位都是cm 2，且数值较大，在图中表示有一定的困难，于是我们在图中作一条长度为1cm 的线段(可以用变换菜单中的平移来完成)，计算出它的
长度，把V 0t 和21
gt 2的值分别除以10*1cm ，这样得到的3.624cm 和4.47cm ；
6．6．选中3.624cm ，用变换菜单中的“标记距离”功能标记这个距离，再选中O 点，用变换菜单中的“平移”功能，将O 点沿水平方向平移到S 水平点；
7．7．选中4.47cm ，用变换菜单中的“标记距离”功能标记这个距离，再选中O 点，用变换菜单中的“平移”功能，将O 点沿竖直方向平移到S
竖直点(可以用极坐标形式平移，方向角为270°)；
8．8．选中S 水平点和射线Ox ，用作图菜单中的“垂线”功能得到一条垂线，再选中S 竖直点和射线OY ，用作图菜单中的“垂线”功能得到另一条垂线，使两条垂线相交 得到交点M ；
9．9．选中M 点把它标记为“追踪点”，选中t 点和射线OX ，用编辑菜单中的“动画”功能得到一个动画图标；
10．10．选中M 点和t 点，用作图菜单中的“轨迹”功能，得到动点M 的轨迹； 11．11．改变初始条件AB 的长短，可以看到，轨迹在发生变化。