第三节：向量的内积与施密特正交化过程.

(a1, a2 , , an ) , (b1, b2 , , bn )
T
T
的内积定义为
( , ) T T a1b1 a2b2 anbn
并称定义了内积的向量空间为欧氏空间 内积具有下列性质： （交换性）;
(1)( , ) ( , )
。
0
(2).齐次性： k k
；
(3).三角不等式：
以上性质证明留给读者。
( , ) 证略。 (4).柯西不等式：
由柯西不等式得
( , )
：


1
由此可定义两非零向量的夹角：
；
cos
( , )
或

arc cos
。
以上证明留给读者。
定义2 设 称向量
(a1, a2 ,
2 2 a1 a2
, an )T
2 an
( , )
，
的长度。长度为1的向量称单位向量。 设 0

0
1

，即为一单位向量。称将
单位化。
向量的长度有下列性质： (1).非负性：
；
0; 0当且仅当
( , )

对于两非零向量 , 当


2
时，称两向量正交。这里显然等价于 ( , ) 0 因此可利用内积定义两向量正交。
, 称 正交，记 ( , ) 0 定义3 若
, 中只要有一个为零向量，必有 ( , ) 0
又零向量与任何向量看作是正交的，且
(2). 单位化（规范化）：取
1
1 1
,2
2 2
, ,r
r r
,
1, 2 , , r
显然
是正交规范向量组，且 仍与
1, 2 , , r
1 , 2 ,
,r
等价。上述过程称Schmidt（施密特）正交 化过程。（方法）
T T T (1,0,1) , (1,1,0) , (0,1,1) 例2 设 1 2 3
cos
a a a , a1b1 a2b2 a3b3
2 1 2 2 2 3
（设
a1b1 a2b2 a3b3 2 2 a12 a2 a3 b12 b22 b32
0, 0
为了今后应用的需要，将这些概念 及公式推广到n维向量。 1. 向量的内积 定义1 n n维向量空间 R 中任两个向量
。
因此可利用内积定义两向量正交。 定义4 设向量组
1 , 2 , , r
为两两正交的非零向量， 称其为正交向量组。
。
如果正交向量组中。每个向量还是单位向量 量则称其为标准正交向量组或正交规范向 量组。如它们还是向量空间的基底则分别称 其为正交基或标准（规范）正交基。即正交 规范组（基）满足
1 i j (i , j ) 0 i j
i 1,2, , r
定理1 设 1 , 2 ,
, r 为正交向量组，则
T T
1 , 2 , , r 是线性无关的。
例1 求与向量 1 (1,1,1,1) ,2 (1,0,1,0) 都正交的向量集。 解：设与 1 , 2 都正交的向量为
，
( 3 , 1 ) ( 3 , 2 ) 3 3 1 2 ( 1 , 1 ) (2 , 2 )
பைடு நூலகம்
，
， ……
( r , 1 ) ( r , 2 ) r r 1 2 ( 1 , 1 ) (2 , 2 )
( r , r 1 ) r 1 ( r 1 , r 1 )
二次型
二次型化标准型
一.向量的内积与施密特正交化过程 引言：在几何空间，我们学过向量的长 两向量夹角的概念，并由此定义两向量 的数量积
，
cos
，
利用坐标分别有下面计算公式：设 T T ( a , a , a ) , ( b , b , b ) 设 1 2 3 1 2 3 则
(2)(k , ) k ( , ) ( , k ) (3)( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )
k为数（性质(2)， (3)称单线性）
（
0 (4)( , ) 0; ( , ) 0 当且仅当
x ( x1, x2 , x3 , x4 ) 由 x 0 x 0
T
T 1
T 2
得齐次线性方程组
x1 x2 x3 x4 0 x1 x3 x4 0
T T x k ( 1,0,1,0) k ( 1,0,0,1) 解得 1 2
即为与
1 , 2
都正交的向量集
2.施密特正交化方法 设
1 , 2 ,
,r
是线性无关的向量组，寻找一个标准正交向量组
，
1 , 2 ,
, r 使其与 1 , 2 , , r 等价。
其作法分两步(1).正交化，令
1 1
( 2 , 1 ) 2 2 1 ( 1 , 1 )
2 ( 1,1,1)T 3
1 1 1 (1, 0,1) 单位化得 1 2
1
1 2 2 (1, 2, 1) 2 6
3
用Schmidt正交化过程将其化为标准正交组。 解：取 1 1 (1,0,1)T
( 2 , 1 ) 1 1 1T 1 T T 2 2 1 (1,1,0) (1,0,1) ( ,1, ) (1, 2, 1)T (1 , 1 ) 2 2 2 2
(3 , 1 ) (3 , 2 ) 1 1 1 T T 3 3 1 2 (0,1,1) (1,0,1) (1, 2, 1)T (1 , 1 ) (2 , 2 ) 2 3 2