2021年山东省高考数学仿真模拟冲刺试题含解析【附15套高考模拟卷】

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2021年山东(新高考)高三数学模拟仿真考试卷(二)(附解析)

3
2
4．【答案】B
【解析】由题意得 y2 3x 3 x2 0 ， 0 x 2 ， 2
因此 x2 y2 3x 1 x2 1 x 32 9 ，
a sin B b cos( A π ) ，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答． 6
问题：△ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ，若 2a b 2c ，______，求 A 和 C ．
注：若选择多个条件作答，按第一个解答计分．
18．（12 分）某产品具有一定的时效性，在这个时效期内，由市场调查可知，在不做广告宣传且每
（1）求证： MN∥平面 FCB ；（2）若直线 AF 与平面 FCB 所成的角为 60°，求平面 MAB 与平面 MAC 所成锐二面角的余弦值．
19．（12 分）如图，在几何体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 为等腰梯形，且 AB 2CD 2 ， ABC 60 ，四边形 ACFE 为矩形，且 FB 2 ，M，N 分别为 EF ， AB 的中点．
1．已知， N 均为 R 的子集，且 M ðR N ，则 ðR M N （）
A．
B． M
C． N
D． R
2．若复数 z 满足 2i z
1 2
3 i ，则 z （ 2
）
A． 1 2
B． 1 2
C． 1 i 2
D． 1 i 2
3． △ABC 中，A，B，C 是 △ABC 的内角，则“ A π ”是“ cos A 1 ”的（）
黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草
稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

2021-2021学年山东省高考模拟考试(12月)数学试题(Word最新版)

2021-2021学年山东省高考模拟考试（12月）数学试题通过整理的2021-2021学年山东省高考模拟考试（12月）数学试题相关文档，希望对大家有所帮助，谢谢观看！2021-2021学年山东省高考模拟考试（12月）数学试题一、单选题1．设集合，则（）A．B．C．D．【答案】C 【解析】首先注意到集合A 与集合B均为点集，联立，解得方程组的解，从而得到结果. 【详解】首先注意到集合A与集合B均为点集，联立，解得，或，从而集合，故选：C. 【点睛】本题考查交集的概念及运算，考查二元方程组的解法，属于基础题. 2．已知是是共轭复数，则（）A．B．C．D．1 【答案】D 【解析】化简，结合共轭复数的概念得到的值. 【详解】由，从而知，由复数相等，得，，从而. 故选：D. 【点睛】本题考查复数代数形式的乘法运算，考查共轭复数概念，考查计算能力，属于基础题. 3．设向量，且，则（）A．3 B．2 C．D．【答案】A 【解析】由题意得到，利用向量垂直的坐标形式得到. 【详解】由题，得，由，从而，解得. 故选：A. 【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查向量垂直的坐标形式，考查计算能力，属于基础题. 4．的展开式中的系数是（）A．B．C．120 D．210 【答案】B 【解析】根据题意，结合二项展开式的通项公式，可得，则r＝7，将r＝7代入通项公式计算可得答案．【详解】由二项展开式，知其通项为，令，解得. 所以的系数为. 故选：B. 【点睛】本题考查指定项的系数，应该牢记二项展开式的通项公式，属于基础题．5．已知三棱锥中，，则三棱锥的体积是（）A．4 B．6 C．D．【答案】C 【解析】由题意明确，结合棱锥体积公式得到结果. 【详解】由，，且，得；又由，，且，得. 因为，从而知，即所以. 又由于，从而. 故选：C. 【点睛】本题考查棱锥体积的计算，考查线面垂直的证明，考查计算能力与推理能力，属于基础题. 6．已知点为曲线上的动点，为圆上的动点，则的最小值是（）A．3 B．4 C．D．【答案】A 【解析】设，并设点A到圆的圆心C距离的平方为，利用导数求最值即可. 【详解】（方法一）设，并设点A到圆的圆心C距离的平方为，则，求导，得，令，得. 由时，，单调递减；当时，，单调递增. 从而在时取得最小值为，从而点A到圆心C的最小值为，所以的最小值为. 故选：A （方法二）由对勾函数的性质，可知，当且仅当时取等号，结合图象可知当A 点运动到时能使点A到圆心的距离最小，最小为4，从而的最小值为.故选：A 【点睛】本题考查两动点间距离的最值问题，考查利用导数求最值，考查转化思想与数形结合思想，属于中档题. 7．设命题所有正方形都是平行四边形，则为（）A．所有正方形都不是平行四边形B．有的平行四边形不是正方形C．有的正方形不是平行四边形D．不是正方形的四边形不是平行四边形【答案】C 【解析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．【详解】“所以”改为“存在”（或“有的”），“都是”改为“不都是”（或“不是”），即为有的正方形不是平行四边形故选：C. 【点睛】本题考查命题的否定．特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．8．若且，则（）A．B．C．D．【答案】B 【解析】利用特值法或利用对数函数的图象与性质即可得到结果. 【详解】（方法一）对选项A：由，从而，，，从而选项A错误；对选项B：首先，，，从而知最小，下只需比较与的大小即可，采用差值比较法：，从而，选项B正确；对于选项C：由，，知C错误；对于选项D：可知，从而选项D错误；故选：B （方法二）取，，代入验证知选项B正确. 【点睛】本题考查式子间大小的比较，考查对数函数的图象与性质，考查运算能力，属于常考题型.二、多选题9．下图为某地区2006年~2021年地方财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额折线图．根据该折线图可知，该地区2006年~2021年（）A．财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额均呈增长趋势B．财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额的逐年增长速度相同C．财政预算内收入年平均增长量高于城乡居民储蓄年末余额年平均增长量D．城乡居民储蓄年末余额与财政预算内收入的差额逐年增大【答案】AD 【解析】先对图表数据的分析处理，再结合简单的合情推理逐一检验即可得解．【详解】由图可以看出两条曲线均在上升，从而选项A正确；图中两曲线间隔越来越大，说明年增长速度不同，差额逐年增大，故选项B错误，选项D正确；又从图中可以看出财政预算内收入年平均增长应该小于城乡储蓄年末余额年平均增长量，所以选项C错误; 故选：AD. 【点睛】本题考查了对图表数据的分析处理能力及进行简单的合情推理，属中档题．10．已知双曲线过点且渐近线为，则下列结论正确的是（）A．的方程为B．的离心率为C．曲线经过的一个焦点D．直线与有两个公共点【答案】AC 【解析】根据题意得到双曲线的方程，结合双曲线的性质逐一判断即可. 【详解】对于选项A：由已知，可得，从而设所求双曲线方程为，又由双曲线过点，从而，即，从而选项A正确；对于选项B：由双曲线方程可知，，，从而离心率为，所以B选项错误；对于选项C：双曲线的右焦点坐标为，满足，从而选项C正确；对于选项D：联立，整理，得，由，知直线与双曲线只有一个交点，选项D错误. 故选：AC 【点睛】本题考查双曲线的标准方程及简单的几何性质，考查直线与双曲线的位置关系，考查推理能力与运算能力. 11．正方体的棱长为1，分别为的中点．则（）A．直线与直线垂直B．直线与平面平行C．平面截正方体所得的截面面积为D．点和点到平面的距离相等【答案】BC 【解析】利用向量法判断异面直线所成角；利用面面平行证明线面平行；作出正方体的截面为等腰梯形，求其面积即可；利用等体积法处理点到平面的距离. 【详解】对选项A：（方法一）以点为坐标原点，、、所在的直线分别为、、轴，建立空间直角坐标系，则、、、、、.从而，，从而，所以与直线不垂直，选项A错误；（方法二）取的中点，连接，则为直线在平面内的射影，与不垂直，从而与也不垂直，选项A错误；取的中点为，连接、，则，，易证，从而，选项B正确；对于选项C，连接，，易知四边形为平面截正方体所得的截面四边形（如图所示），且，，所以，而，从而选项C正确；对于选项D：（方法一）由于，而，而，，所以，即，点到平面的距离为点到平面的距离的二倍.从而D错误.（方法二）假设点与点到平面的距离相等，即平面将平分，则平面必过的中点，连接交于点，易知不是的中点，故假设不成立，从而选项D错误. 【点睛】本题考查空间直线与平面的位置关系，主要是平行和垂直，记熟线面平行、垂直的判定和性质是迅速解题的关键，同时考查截面的画法及计算，以及空间异面直线所成的角的求法，属于基础题和易错题．12．函数的定义域为R，且与都为奇函数，则（）A．为奇函数B．为周期函数C．为奇函数D．为偶函数【答案】ABC 【解析】利用与都为奇函数，可知是以2为周期的函数.从而得到结果. 【详解】由与都为奇函数知函数的图象关于点，对称，所以，，所以，即所以是以2为周期的函数.又与都为奇函数，所以，均为奇函数. 故选：ABC. 【点睛】本题考查函数的对称性与周期性，考查推理能力，属于中档题.三、填空题13．某元宵灯谜竞猜节目，有6名守擂选手和6名复活选手，从复活选手中挑选一名选手为攻擂者，从守擂选手中挑选1名选手为守擂者，则攻擂者、守擂者的不同构成方式共有______种．【答案】36 【解析】根据分步计数原理即可得到结果. 【详解】从6名守擂选手中选1名，选法有种；复活选手中挑选1名选手，选法有种．由分步乘法计数原理，不同的构成方式共有种．故答案为：36 【点睛】本题考查分步计算原理，考查分析问题解决问题的能力，属于基础题. 14．已知，则______．【答案】【解析】由题意可得，结合诱导公式可得结果. 【详解】由，∴ 而．故答案为：【点睛】本题考查三角函数的恒等变换，考查两角和与差正弦公式、诱导公式，考查计算能力，属于常考题型. 15．直线过抛物线的焦点，且与交于两点，则______，______．【答案】21【解析】由题意知，从而，所以抛物线方程为．联立方程，利用韦达定理可得结果. 【详解】由题意知，从而，所以抛物线方程为．（方法一）将代入，解得，从而．（方法二）设的方程为，联立，整理，得，设，，则从而．（方法三）利用二级结论：，即可得结果．【点睛】本题考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，考查转化能力与计算能力，属于基础题. 16．半径为2的球面上有四点，且两两垂直，则，与面积之和的最大值为______．【答案】8 【解析】AB，AC，AD为球的内接长方体的一个角，故，计算三个三角形的面积之和，利用基本不等式求最大值．【详解】如图所示，将四面体置于一个长方体模型中，则该长方体外接球的半径为2．不妨设，，，则有，即．记．从而有，即，从而．当且仅当，即该长方体为正方体时等号成立．从而最大值为8．【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值问题，考查了学生解决交汇性问题的能力．解答关键是利用构造法求球的直径．四、解答题17．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的存在，求的值；若不存在，说明理由．设等差数列的前项和为，是等比数列，______，，是否存在，使得且？【答案】答案不唯一，见解析【解析】从三个条件中任选一个，利用等差、等比数列的基本知识解决问题即可. 【详解】因为在等比数列中，，，所以其公比，从而，从而．若存在，使得，即，从而；同理，若使，即，从而．（方法一）若选①：由，得，所以，当时满足，且成立；若选②：由，且，所以数列为递减数列，故不存在，且；若选③：由，解得，从而，所以当时，能使，成立．（方法二）若选①：由，得，所以公差，，从而；，解得，又，从而满足题意．【点睛】本题为开放性试题，答案不唯一，要求考生能综合运用所学知识，进行探究，分析问题并最终解决问题，属于中档题. 18．在中，，点在边上．在平面内，过作且．（1）若为的中点，且的面积等于的面积，求；（2）若，且，求．【答案】(1)(2)【解析】（1）根据可得，又，从而，即可得到结果；（2）由，从而，设，则．结合余弦定理可得结果. 【详解】（1）如图所示，为的中点，所以．又因，即，从而，又，从而，所以．（2）由，从而，设，则．由，所以，．因为，从而，．（方法一）从而由余弦定理，得．（方法二）所以，从而；，从而．所以．【点睛】本题考查解三角形问题，考查三角形面积公式，正弦定理，考查计算能力与推理能力，属于中档题. 19．如图，四棱锥中，底面为矩形．平面，分别为的中点，与平面所成的角为．（1）证明：为异面直线与的公垂线；（2）若，求二面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析；(2)【解析】（1）要证为异面直线与的公垂线，即证，，转证线面垂直即可；（2）以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴，建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，代入公式即可得到结果. 【详解】（1）连接、交于点，连接、．因为四边形为矩形，且、分别是、的中点，所以，且．又平面，所以平面，所以．又，，所以平面，所以．因为与平面所成的角为，所以，从而．所以．取的中点，连接、，则由、分别为、的中点，从而，从而四边形为平行四边形．又由，知．又平面，所以．又，从而平面．从而平面．平面，从而．综上知为异面直线与的公垂线．（2）因为，设，则，从而，所以，以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴，建立空间直角坐标系，则、、、，从而，，．设平面的一个法向量为，则，令，从而得．同理，可求得平面的一个法向量为．设二面角的平面角为，从而．【点睛】本题是中档题，考查异面直线的公垂线的证明，向量法求二面角，考查空间想象能力，计算能力，常考题型．20．下面给出了根据我国2021年~2021年水果人均占有量（单位：）和年份代码绘制的散点图和线性回归方程的残差图（2021年~2021年的年份代码分别为1~7）．（1）根据散点图分析与之间的相关关系；（2）根据散点图相应数据计算得，求关于的线性回归方程；（3）根据线性回归方程的残差图，分析线性回归方程的拟合效果．（精确到0．01）附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：．【答案】(1) 正相关关系；(2) ．(3) 拟合效果较好．【解析】（1）根据散点图判断与之间的相关关系；（2）利用最小二乘法求线性回归方程；（3）根据残差图判断线性回归方程的拟合效果．【详解】（1）由散点图可以看出，点大致分布在某一直线的附近，且当由小变大时，也由小变大，从而与之间是正相关关系；（2）由题中数据可得，，从而，，从而所求关于的线性回归方程为．（3）由残差图可以看出，残差对应的点均匀地落在水平带状区域内，且宽度较窄，说明拟合效果较好．【点睛】本题考查线性回归方程的求法，考查散点图与残差图，考查学生分析问题解决问题的能力，属于中档题. 21．设中心在原点，焦点在轴上的椭圆过点，且离心率为．为的右焦点，为上一点，轴，的半径为．（1）求和的方程；（2）若直线与交于两点，与交于两点，其中在第一象限，是否存在使？若存在，求的方程；若不存在，说明理由．【答案】(1) 的方程为．的方程为．(2) 满足题设条件的直线不存在．理由见解析【解析】（1）利用待定系数法求出椭圆与圆的方程；（2）若，则．联立方程，利用韦达定理可得，显然与题意矛盾，故不存在. 【详解】（1）设椭圆的方程为．由，从而得，从而，即．又椭圆过点，从而得，解得，，从而所求椭圆的方程为．所以，令，得，所以的方程为．（2）不存在，理由如下：若，则．联立，整理，得．设、，则．从而由，从而，从而，矛盾．从而满足题设条件的直线不存在．【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查直线与圆锥曲线位置关系的应用，考查计算能力，体现了“设而不求”的解题思想方法，是中档题．22．函数，曲线在点处的切线在轴上的截距为．（1）求；（2）讨论的单调性；（3）设，证明：．【答案】(1)(2) 在上单调递增．(3)证明见解析【解析】（1）由题意知切点坐标为，切线方程为：，结合条件列方程即可得到结果；（2）由（1）知，对求导，得，从而可知在上的单调性；（3）欲证，即证．只需证．不妨设，由此可得．因此，欲证，只需证．【详解】（1）由题意知切点坐标为．对求导，得，从而．所以切线方程为，令，得，解得．（2）由（1）知，从而，对求导，得，从而可知在上单调递增．（3）（方法一）欲证，即证．只需证．不妨设，由此可得．因此，欲证，只需证．由于不动点为1，下面研究与不动点的大小关系：，即与是异号的．由于，由此，得，．当为奇数时，，此时，．故只需证，即证．．当为偶数时，欲证，此时，．故只需证，即证．那么等价于证明不等式与成立．构造函数，则，则单调递增，由此可得．因此，．故不等式得证．（方法二）令，解得．从而，作商，得，所以，从而．所以．当为偶数时，；当为奇数时，．故无论为奇数还是偶数，．下只需证明．当时，有，满足题意；当时，．故只需证，即证．而当时，．故不等式得证．（方法三）要证，只需证，只需证．易知在上单调递减，且．若，则．此时，，只需证，只需证．此时，．由（2）知．若，则．此时，，只需证．只需证．此时，．由（2）知，．综上所述，成立．所以，．易知，，所以成立．故原不等式得证．【点睛】本题是数列与函数的综合问题，考查了数列递推关系的推导应用，不等式证明，切线的几何意义，以及函数单调性与数列的单调性，需要具备一定的基础知识和解题方法，属于难题．。

2021届山东省新高考高考模拟押题卷数学(解析版)

2021届山东省新高考高考模拟冲关押题卷（一）数学第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{x |(x ＋1)(x －3)<0，x ∈Z}，则A ∩B ＝( ) A ．{1} B ．{1,2} C ．{0,1,2,3} D ．{－1,0,1,2,3}2．已知z 为复数，若z ·(1＋i)＝i(i 是虚数单位)，则|z |＝( ) A ．1 B.2C. 12D.223．设a ＝133，b ＝13log 2，c ＝1213⎛⎫ ⎪⎝⎭，则( )A ．b <a <cB ．c <b <aC ．b <c <aD ．c <a <b 4．函数f (x )＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的最小正周期为( ) A.π4 B ．2π C.π2D ．π 5．“ln m <ln n ”是“m 2<n 2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件6．已知抛物线C ：y 2＝12x 的焦点为F ，A 为C 上一点且在第一象限，以F 为圆心，FA 为半径的圆交C 的准线于B ，D 两点，且A ，F ，B 三点共线，则|AF |＝( )A ．16B ．10C ．12D ．87．已知函数f (x )是偶函数，当x >0时，f (x )＝x ln x ＋1，则曲线y ＝f (x )在x ＝－1处的切线方程为( )A ．y ＝－xB ．y ＝－x ＋2C ．y ＝xD ．y ＝x －28．在四面体ABCD 中，AB ⊥AC ，AC ⊥CD ，AB ，CD 所成的角为30°，AB ＝5，AC ＝4，CD ＝3，则四面体ABCD 的体积为( )A ．5B ．6C ．7D ．8二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．一组数据2x 1＋1,2x 2＋1,2x 3＋1，…，2x n ＋1的平均值为7，方差为4，记3x 1＋2,3x 2＋2,3x 3＋2，…，3x n ＋2的平均值为a ，方差为b ，则( )A ．a ＝7B ．a ＝11C ．b ＝12D ．b ＝910．设m ，n ，l 为三条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下面结论不正确的是( ) A ．若m ⊂α，n ⊂β，α∥β，则m ∥n B ．若m ∥α，n ∥β，m ⊥n ，则α⊥β C ．若m ⊥α，n ⊥β，α⊥β，则m ⊥n D ．若m ∥α，n ∥α，l ⊥m ，l ⊥n ，则l ⊥α11．在三棱锥D ABC 中，AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝1，且AB ⊥BC ，CD ⊥DA ，M ，N 分别是棱BC ，CD 的中点，下面结论正确的是( )A ．AC ⊥BDB ．MN ∥平面ABDC ．三棱锥A CMN 的体积的最大值为212D ．AD 与BC 一定不垂直12．定义：若函数F (x )在区间[a ，b ]上的值域为[a ，b ]，则称区间[a ，b ]是函数F (x )的“完美区间”．另外，定义区间[a ，b ]的“复区间长度”为2(b －a )，已知函数f (x )＝|x 2－1|，则( )A ．[0,1]是f (x )的一个“完美区间”B.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－52，1＋52是f (x )的一个“完美区间” C ．f (x )的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为3＋ 5 D ．f (x )的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为3＋25第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a ＝(4，－3)，b ＝(－1,2)，a ，b 的夹角为θ，则sin θ＝________.14.⎝⎛⎭⎪⎫2x 3－1x 8的展开式中的常数项为________．15．左手掷一粒骰子，右手掷一枚硬币，则事件“骰子向上为6点且硬币向上为正面”的概率为________． 16．已知抛物线y 2＝4x 的准线与x 轴的交点为H ，点F 为抛物线的焦点，点P 在抛物线上且|PH |＝k |PF |，当k 最大时，点P 恰好在以H ，F 为焦点的双曲线上，则k 的最大值为________，此时该双曲线的离心率为________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)现在给出三个条件：①a ＝2；②B ＝π4；③c ＝3b .试从中选出两个条件，补充在下面的问题中，使其能够确定△ABC ，并以此为依据，求△ABC 的面积．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且满足(2b －3c )cos A ＝3a cos C ，求△ABC的面积．(选出一种可行的方案解答，若选出多个方案分别解答，则按第一个解答记分)．18．(12分)已知数列{a n }满足12a 1－5＋22a 2－5＋32a 3－5＋…＋n 2a n －5＝n3.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和为T n ，证明：122≤T n <16.19．(12分)如图，在四棱锥S ABCD 中，ABCD 是边长为4的正方形，SD ⊥平面ABCD ，E ，F 分别为AB ，SC 的中点．(1)证明：EF ∥平面SAD .(2)若SD ＝8，求二面角D EF S 的正弦值．20.(12分)生男生女都一样，女儿也是传后人．由于某些地区仍然存在封建传统思想，头胎的男女情况可能会影响生二孩的意愿，现随机抽取某地200户家庭进行调查统计．这200户家庭中，头胎为女孩的频率为0.5，生二孩的频率为0.525，其中头胎生女孩且生二孩的家庭数为60.(1)完成下列2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关；生二孩不生二孩合计头胎为女孩60头胎为男孩合计200(2)在抽取的户，进一步了解情况，在抽取的7户中再随机抽取4户，求抽到的头胎是女孩的家庭户数X的分布列及数学期望．附：P(K2≥k)0.150.050.010.001k 2.072 3.841 6.63510.828K2＝2a＋b c＋d a＋c b＋d(其中n＝a＋b＋c＋d)．21．(12分)已知F 1，F 2分别为椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右焦点，MN 为该椭圆的一条垂直于x 轴的动弦，直线m ：x ＝4与x 轴交于点A ，直线MF 2与直线AN 的交点为B .(1)证明：点B 恒在椭圆C 上．(2)设直线n 与椭圆C 只有一个公共点P ，直线n 与直线m 相交于点Q ，在平面内是否存在定点T ，使得∠PTQ ＝π2恒成立？若存在，求出该点坐标；若不存在，说明理由．22．(12分)已知函数f (x )＝x ln x －1，g (x )＝ax 2－(a －2)x . (1)设函数H (x )＝f ′(x )－g (x )，讨论H (x )的单调性；(2)设函数G (x )＝g (x )＋(a －2)x ，若f (x )的图象与G (x )的图象有A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两个不同的交点，证明：ln(x 1x 2)>2＋ln 2.高考押题1．答案：B解析：由题意可得A ＝{1,2,3}，B ＝{0,1,2}，所以A ∩B ＝{1,2}．故选B. 2．答案：D解析：由题意可得z ＝i1＋i ＝i 1－i 1＋i1－i ＝12＋12i ，所以|z |＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝22.故选D.3．答案：C解析：因为a＝133>1，b＝13log2<0,0<c＝1213⎛⎫⎪⎝⎭<1，所以b<c<a.4．答案：D解析：因为f(x)＝cos2⎝⎛⎭⎪⎫x＋π3＝cos⎝⎛⎭⎪⎫2x＋2π3＋12＝12cos⎝⎛⎭⎪⎫2x＋2π3＋12，所以最小正周期为π.5．答案：A解析：若ln m<ln n，则0<m<n，从而m2<n2；若m2<n2，则|m|<|n|，推不出ln m<ln n.6．答案：C解析：因为A，F，B三点共线，所以AB为圆F的直径，AD⊥BD.由抛物线定义知|AD|＝|AF|＝12|AB|，所以∠ABD＝30°.因为F到准线的距离为6，所以|AF|＝|BF|＝2×6＝12.7．答案：A解析：因为x<0，f(x)＝f(－x)＝－x ln(－x)＋1，f(－1)＝1，f′(x)＝－ln(－x)－1，f′(－1)＝－1，所以曲线y＝f(x)在x＝－1处的切线方程为y＝－x.8．答案：A解析：由题意，如图所示，AC⊥AB，AC⊥CD，过点A作CD的平行线AE，则AC⊥平面ABE，且∠EAB为30°或150°，从B点向AE作垂线，垂足为E，易证BE⊥平面ACD，点B到平面ACD的距离BE＝AB·sin∠EAB＝5×12＝52，S△ACD＝12AC·CD＝6，则四面体ABCD的体积为V＝13·S△ACD·BE＝5.9．答案：BD解析：设x1，x2，x3，…，x n的平均值为x，方差为s2，则2x1＋1,2x2＋1,2x3＋1，…，2x n＋1的平均值为2x＋1＝7，方差为22s2＝4，所以x＝3，s2＝1，故3x1＋2,3x2＋2,3x3＋2，…，3x n＋2的平均值a＝3x＋2＝11，方差b＝32×1＝9.故选BD.10．答案：ABD解析：A选项中，m，n可能异面；B选项中，α，β也可能平行或相交；D选项中，只有m，n相交才可推出l⊥α.故选ABD.11．答案：ABD解析：设AC 的中点为O ，连接OB ，OD (图略)，则AC ⊥OB ，AC ⊥OD ，又OB ∩OD ＝O ，所以AC ⊥平面OBD ，所以AC ⊥BD ，故A 正确；因为MN ∥BD ，所以MN ∥平面ABD ，故B 正确；当平面DAC 与平面ABC 垂直时，V A CMN 最大，最大值为V A CMN ＝V N ACM ＝13×14×24＝248，故C 错误；若AD 与BC 垂直，又因为AB ⊥BC ，所以BC ⊥平面ABD ，所以BC ⊥BD ，又BD ⊥AC ，所以BD ⊥平面ABC ，所以BD ⊥OB ，因为OB ＝OD ，所以显然BD 与OB 不可能垂直，故D 正确．故选ABD. 12．答案：AC解析：设f (x )的“完美区间”为[a ，b ]，易知b >a ≥0. 当0<b ≤1时，由f (x )的图象知f (x )在[a ，b ]上单调递减，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f a ＝1－a 2＝b ，f b ＝1－b 2＝a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1，此时2(b －a )＝2.当b >1时，①若a ＝0，则f (b )＝b 2－1＝b >1，解得b ＝1＋52，此时2(b －a )＝1＋5；②若0<a ≤1，则最小值为f (1)＝0≠a ，不合题意； ③若a >1，则由图象知f (x )在[a ，b ]上单调递增，所以⎩⎪⎨⎪⎧f a ＝a 2－1＝a ，f b ＝b 2－1＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1＋52，b ＝1＋52(舍去)．综上，函数f (x )的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为2＋(1＋5)＝3＋ 5.故选AC.13．答案：55解析：∵cos θ＝a ·b |a ||b |＝－105×5＝－255，∴sin θ＝1－cos 2θ＝1－45＝55.14．答案：112解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 3－1x 8的展开式的通项为T r ＋1＝C r 8(2x 3)8－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝C r 828－r (－1)r ·x 24－4r 令24－4r ＝0得r ＝6，∴T 7＝C 68·22(－1)6＝112.15．答案：112解析：骰子向上为6点的概率为16，硬币向上为正面的概率为12，故所求事件的概率为16×12＝112.16．答案：22＋1解析：过P 作准线的垂线交准线于M (图略)，则|PM |＝|PF |，则|PH |＝k |PF |，可得k ＝|PH ||PF |＝|PH ||PM |.设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 204，y 0，则k ＝|PH ||PM |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 204＋12＋y 20y 204＋1，令t ＝y 204＋1，则k ＝|PH ||PM |＝t 2＋4t －1t＝1＋4t－4t2＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －122＋2，当t ＝2时，k 取得最大值2，即当t ＝y 204＋1＝2时，k 取得最大值2，此时y 0＝±2.不妨设P (1,2)，又因为双曲线的焦点坐标为(±1,0)，所以可设双曲线的方程为x 2a2－y 21－a 2＝1，将P (1,2)代入上式，求得a 2＝3－22，所以该双曲线的离心率e ＝13－22＝2＋1.17．解析：方案一：若选①③ 因为(2b －3c )cos A ＝3a cos C ，由正弦定理可得， 2sin B cos A ＝3(sin C cos A ＋sin A cos C )＝3sin B ，因为sin B ≠0，所以cos A ＝32，又因为a ＝2，c ＝3b ，由余弦定理可得，32＝4b 2－423b 2，解得，b ＝2，c ＝23，故S △ABC ＝12bc sin A ＝12×2×23×12＝ 3.方案二：若选①②由方案一知cos A ＝32，∴sin A ＝12，即A ＝π6.又因为a ＝2，B ＝π4，由正弦定理得，b ＝a sin Bsin A＝2×2212＝22，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2×22×sin 7π12＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32×22＋12×22＝22×6＋24＝3＋1.方案三：若选②③由方案一知cos A ＝32，∴A ＝π6.又B ＝π4，c ＝3b ，∴C ＝π－π4－π6＝7π12，由正弦定理得：sin C ＝3sin B ， ∴sin C ＝3×22＝62，这与C ＝7π12矛盾．故△ABC 无解．18．解析：(1)12a 1－5＋22a 2－5＋32a 3－5＋…＋n 2a n －5＝n3， ①当n ＝1时，a 1＝4.当n ≥2时，12a 1－5＋22a 2－5＋32a 3－5＋…＋n －12a n －1－5＝n －13， ② 由①－②，得a n ＝3n ＋52(n ≥2)．因为a 1＝4符合上式，所以a n ＝3n ＋52.(2)证明：1a n a n ＋1＝43n ＋53n ＋8＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋5－13n ＋8. T n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝43×⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫18－111＋⎝ ⎛⎭⎪⎫111－114＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫13n ＋5－13n ＋8 ＝43×⎝ ⎛⎭⎪⎫18－13n ＋8. ∵0<13n ＋8≤111，∴122≤T n <16.19．解析：(1)证明：记SD 的中点为G ，连接GF ，GA . 因为E ，F 分别为AB ，SC 的中点，则GF ∥CD ，且GF ＝12CD .因为AE ∥CD ，且AE ＝12CD ，所以GF ∥AE 且GF ＝AE ，所以四边形GFEA 为平行四边形，则EF ∥AG .又EF ⊄平面SAD ，AG ⊂平面SAD ，所以EF ∥平面SAD .(2)以D 为原点，分别以DA →，DC →，DS →为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz ，则S (0,0,8)，D (0,0,0)，E (4,2,0)，F (0,2,4)， DE →＝(4,2,0)，DF →＝(0,2,4)，EF →＝(－4,0,4)，ES →＝(－4，－2,8)．设平面DEF 的一个法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎨⎧DE→·m ＝4x 1＋2y 1＝0，DF→·m ＝2y 1＋4z 1＝0，令x 1＝2，得m ＝(2，－4,2)．设平面SEF 的一个法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎨⎧EF →·n ＝－4x 2＋4z 2＝0，ES→·n ＝－4x 2－2y 2＋8z 2＝0，令x 2＝2，得n ＝(2,4,2)． cos 〈m ，n 〉＝m ·n|m ||n |＝13，设二面角D EF S 的平面角为θ，则sin θ＝223，即二面角D EF S 的正弦值为223.20．解析：(1)因为头胎为女孩的频率为0.5，所以头胎为女孩的总户数为200×0.5＝100. 因为生二孩的概率为0.525，所以生二孩的总户数为200×0.525＝105. 2×2列联表如下：生二孩不生二孩合计头胎为女孩 60 40 100 头胎为男孩 45 55 100 合计10595200K 2＝2002105×95×100×100＝133>3.841，故有95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关．(2)在抽取的200户家庭的样本中，按照分层抽样的方法在生二孩的家庭中抽取了7户，则这7户家庭中，头胎生女孩的户数为4，头胎生男孩的户数为3，则X 的可能取值为1,2,3,4.P (X ＝1)＝C 14·C 33C 47＝435；P (X ＝2)＝C 24·C 23C 47＝1835；P (X ＝3)＝C 34·C 13C 47＝1235；P (X ＝4)＝C 44C 47＝135.X 的分布列为X 1 234P43518351235135∴E (X )＝1×435＋2×1835＋3×1235＋4×135＝167.21．解析：(1)证明：由题意知F 2(1,0)，A (4,0)，设M (s ，t )，N (s ，－t )，则s 24＋t 23＝1.直线MF 2的方程为y ＝ts －1(x －1)，直线AN 的方程为y ＝－ts －4(x －4)，联立可得x B ＝5s －82s －5，y B ＝3t2s －5，即B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫5s －82s －5，3t 2s －5. 因为x 2B 4＋y 2B3＝5s －82＋12t 242s －52＝5s －82＋36－9s 242s －52＝1，所以B 点恒在椭圆C 上．(2)当直线n 的斜率不存在时，不符合题意．不妨设直线n 的方程为y ＝kx ＋b ，由对称性可知，若平面内存在定点T ，使得∠PTQ ＝π2恒成立，则T 一定在x 轴上，故设T (x 0,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，x 24＋y23＝1，可得(4k 2＋3)x 2＋8kbx ＋4b 2－12＝0.因为直线n 与椭圆C 只有一个公共点，所以Δ＝64k 2b 2－4(4k 2＋3)(4b 2－12)＝48(4k 2－b 2＋3)＝0，所以x P ＝－4k b ，y P ＝kx P ＋b ＝3b.又因为Q (4,4k ＋b )，∠PTQ ＝π2，所以TP →·TQ →＝⎝⎛⎭⎪⎫－4kb－x 0，3b ·(4－x 0,4k ＋b )＝0，即⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋4k b (x 0－4)＋34k ＋b b ＝0.所以x 20－4x 0＋3＋kb(4x 0－4)＝0对于任意的满足4k 2－b 2＋3＝0的k ，b 恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧4x 0－4＝0，x 20－4x 0＋3＝0，解得x 0＝1.故在平面内存在定点T (1,0)，使得∠PTQ ＝π2恒成立．22．解析：(1)H (x )＝f ′(x )－g (x ) ＝ln x －ax 2＋(a －2)x ＋1，H ′(x )＝1x －2ax ＋(a －2)＝－2ax 2＋a －2x ＋1x＝－2x ＋1ax ＋1x.当a ≥0时，H (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上单调递增，H (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递减．当－2<a <0时，令H ′(x )>0，得x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，所以H (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上单调递增；令H ′(x )<0，得x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1a ，所以H (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1a 上单调递减．当a ＝－2时，H ′(x )≥0，H (x )在(0，＋∞)上单调递增．当a <－2时，令H ′(x )>0，得x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞∪⎝⎛⎭⎪⎫0，－1a ，所以H (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增；令H ′(x )<0，得x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，12，所以H (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，12上单调递减．(2)证明：G (x )＝g (x )－(a －2)x ＝ax 2，因为函数f (x )的图象与G (x )的图象有两个不同交点，所以关于x 的方程ax 2＝x ln x －1，即ax ＝ln x －1x有两个不同的根．由题知ln x 1－1x 1＝ax 1 ①，ln x 2－1x 2＝ax 2 ②，①＋②得ln (x 1x 2)－x 1＋x 2x 1x 2＝a (x 1＋x 2) ③，②－①得lnx 2x 1＋x 2－x 1x 1x 2＝a (x 2－x 1) ④.由③，④得ln (x 1x 2)－2x 1＋x 2x 1x 2＝x 1＋x 2x 2－x 1 ln x 2x 1，不妨设0<x 1<x 2，记t ＝x 2x 1>1.令F (t )＝ln t －2t －1t ＋1(t >1)，则F ′(t )＝t －12t t ＋1>0，所以F (t )在(1，＋∞)上单调递增，所以F (t )>F (1)＝0，则ln t >2t －1t ＋1，即ln x 2x 1>2x 2－x 1x 1＋x 2，所以ln (x 1x 2)－2x 1＋x 2x 1x 2＝x 1＋x 2x 2－x 1lnx 2x 1>2.因为ln (x 1x 2)－2x 1＋x 2x 1x 2<ln (x 1x 2)－4x 1x 2x 1x 2＝ln (x 1x 2)－4x 1x 2＝2ln x 1x 2－4x 1x 2.所以2 ln x 1x 2－4x 1x 2>2，即lnx 1x 2－2x 1x 2>1.令φ(x )＝ln x －2x，则φ(x )在(0，＋∞)上单调递增．又ln(2e)－22e＝12 ln 2＋1－2e <1，所以ln x 1x 2－2x 1x 2>1>ln (2e)－22e，即φ(x 1x 2)>φ(2e)，所以x 1x 2>2e 2.两边同时取对数可得ln (x 1x 2)>2＋ln 2，得证．。

2021年山东省高考数学仿真模拟试卷(二)(附答案详解)

2021年山东省高考数学仿真模拟试卷（二）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知集合A ={x|2x 2−7x −4≤0}，B ={x||x|<3}，则A ∩B =( )A. (−2,3)B. (−2,3]C. (−12,2)D. [−12,3)2. 设复数z 满足z(√3−i)=(1+i)2，则|z|=( )A. 12B. √22C. 1D. √323. 关于命题，下列判断正确的是( )A. 命题“每个正方形都是矩形”是存在量词命题B. 命题“有一个素数不是奇数”是全称量词命题C. 命题“∀x ∈R ，x 4∈R ”的否定为“∃x 0∈R ，x 04∉R ” D. 命题“每个整数都是有理数”的否定为“每个整数都不是有理数”4. 已知函数f(x)={a x ,x <0(a −2)x +3a,x ≥0，满足对任意x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x2<0成立，则a 的取值范围是( )A. a ∈(0,1)B. a ∈[34,1)C. a ∈(0,13]D. a ∈[34,2)5. 函数f(x)=√2sinx −1的奇偶性为( )A. 奇函数B. 既是奇函数也是偶函数C. 偶函数D. 非奇非偶函数6. 已知点P 是△ABC 所在平面内一点，且PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则( ) A. PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−13BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ B. PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =23BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ C. PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−13BA ⃗⃗⃗⃗⃗ −23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ D. PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =23BA ⃗⃗⃗⃗⃗ −13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 7. 已知实数x ，y 满足约束条件{x −y ≤0mx −y ≤0x +y ≤1，其中m <−1，若目标函数y =yx−m 的最大值为2，则m 的值为( )A. −32B. −2C. 12或2D. −32或−28. 2021年是巩固脱贫攻坚成果的重要一年，某县为响应国家政策，选派了6名工作人员到A 、B 、C 三个村调研脱贫后的产业规划，每个村至少去1人，不同的安排方式共有( )A. 630种B. 600种C. 540种D. 480种二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据：(x1,y1)，(x2,y2)，…，(x n,y n)，则下列说法中正确的是()A. 由样本数据得到的回归方程ŷ=b̂x+â必过样本中心(x−,y−)B. 残差平方和越小的模型，拟合的效果越好C. 用相关指数R2来刻画回归效果，R2越小，说明模型的拟合效果越好D. 若变量y和x之间的相关系数为r=−0.9362，则变量y和x之间具有线性相关关系10.截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面体.如图所示，将棱长为3a的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为a的截角四面体，则下列说法正确的是()A. 该截角四面体的表面积为7√3a2B. 该截角四面体的体积为23√212a3C. 该截角四面体的外接球表面积为112πa2D. 该截角四面体中，二面角A−BC−D的余弦值为1311.已知等比数列{a n}的公比q=−23，等差数列{b n}的首项b1=12，若a9>b9且a10> b10，则以下结论正确的有()A. a9⋅a10<0B. a9>a10C. b10>0D. b9>b1012.在平面直角坐标系xOy中，过抛物线x2=2y的焦点的直线l与该抛物线的两个交点为A(x1,y1)，B(x2,y2)，则()A. y1y2=14B. 以AB为直径的圆与直线y=−12相切C. |OA|+|OB|的最小值2√2D. 经过点B与x轴垂直的直线与直线OA交点一定在定直线上三、单空题（本大题共3小题，共15.0分）13.二项式(2√x −x2)6的展开式中，常数项为______ ．14.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b2+c2=2a2，则cos A的最小值为______ ．15. 过圆O ：x 2+y 2=r 2(r >0)外一点(2,0)引直线l 与圆O 相交于A ，B 两点，当△AOB的面积取最大值时，直线l 的斜率等于±√33，则r 的值为______ ．四、多空题（本大题共1小题，共5.0分） 16. 设函数f(x)=x 2+1x，g(x)=x e x ，则函数g(x)=xe x (x >0)的最大值为 (1) ；若对任意x 1，x 2∈(0,+∞)，不等式g(x 1)k≤f(x 2)k+1恒成立，则正数k 的取值范围是 (2) ．五、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足√3c =b(sinA +√3cosA)．(Ⅰ)求角B 的大小；(Ⅱ)若a +c =2，求b 的取值范围．18. 已知各项均为正数的等差数列{a n }满足a 1=1，a n+12=a n 2+2(a n+1+a n ).(1)求{a n }的通项公式；(2)记b n =a +a ，求数列{b n }的前n 项和S n ．19. 某行业主管部门为了解本行业疫情过后恢复生产的中小企业的生产情况，随机调查了120个企业，得到这些企业第二季度相对于前一年第二季度产值增长率y 的频数分布表．y的分组[−0.4,−0.2)[−0.2,0)[0,0.2)[0.2,0.4)[0.4,0.6)企业数3024401610(1)估计这些企业中产值负增长的企业比例(用百分数表示)．(2)估计这120个企业产值增长率的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)．(3)以表中y的分组中各组的频率为概率，某记者要从当地本行业所有企业中任意选取两个企业做采访调查.若采访的企业的增长率y∈[−0.4,−0.2)，则采访价值为1；采访的企业的增长率y∈[−0.2,0)，则采访价值为2；采访的企业的增长率y∈[0,0.6)，则采访价值为3.设选取的两个企业的采访价值之和为X，求X的分布列及数学期望．20.如图所示，四棱锥S−ABCD的底面ABCD为梯形，平面SCD⊥平面ABCD，∠BAD=∠ADC=∠SCD=90°，CD=1．AB=AD=12(1)求证：平面SBD⊥平面SBC；(2)若二面角A−SB−C的余弦值为−3√20，求SC的长20度．21. 已知圆F 1：(x +1)2+y 2=r 2与圆F 2：(x −1)2+y 2=(4−r)2(1≤r ≤3)的公共点的轨迹为曲线E ． (1)求E 的方程；(2)设点A 为圆O ：x 2+y 2=127上任意点，且圆O 在点A 处的切线与E 交于P ，Q两点.试问：AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．22. 已知函数f(x)=lnx x．(1)若直线y =kx −1是曲线y =f(x)的切线，求实数k 的值； (2)若对任意x ∈(0,+∞)，不等式f(x)≤ax −1−lna x成立，求实数a 的取值集合．答案和解析1.【答案】D【解析】解：因为集合A ={x|2x 2−7x −4≤0}={x|(2x +1)(x −4)≤}={x|−12≤x ≤4}，又B ={x||x|<3}={x|−3<x <3}，所以A ∩B ={x|−12≤x <3}. 故选：D ．先分别求出集合A 和集合B ，然后利用集合交集的定义求解即可．本题考查了集合的运算，主要考查了集合交集的求解，解题的关键是掌握交集的定义，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：由z(√3−i)=(1+i)2=2i ，得z =3−i=√3+i)(3−i)(3+i)=−12+√32i ， ∴|z|=12)(√32)=1．故选：C ．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，代入复数模的计算公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.【答案】C【解析】解：命题“每个正方形都是矩形”含有全称量词，是全称命题，所以A 不正确；命题“有一个素数不是奇数”是存在量词命题，所以B 不正确；命题“∀x ∈R ，x 4∈R ”的否定为“∃x 0∈R ，x 04∉R ”，满足命题的否定形式，所以C正确；命题“每个整数都是有理数”的否定为“存在一个整数不是有理数”，所以D 不正确；故选：C ．利用量词判断AB 的正误；命题的否定判断CD 的正误．本题考查命题的真假的判断与应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．4.【答案】C【解析】解：∵f(x)满足对任意x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2<0成立，∴f(x)在R 上是减函数，∴{0<a <1a −2<0(a −2)×0+3a ≤a 0，解得0<a ≤13， ∴a 的取值范围是(0,13]．故选：C ．根据条件可知f(x)在R 上单调递减，从而得出{0<a <1a −2<03a ≤1，解出a 的范围即可．本题考查了减函数的定义，指数函数、一次函数和分段函数的单调性，考查了计算和推理能力，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：根据题意，f(x)=√2sinx −1，必有2sinx ≥1，即sinx ≥12，则有2kπ+π6≤x ≤2kπ+5π6，k ∈Z ，即函数f(x)的定义域为[2kπ+π6,2kπ+5π6]，k ∈Z ，定义域不关于原点对称，则f(x)为非奇非偶函数，故选：D ．根据题意，求出函数的定义域，分析可得其定义域不关于原点对称，结合函数奇偶性的定义分析可得答案．本题考查函数奇偶性的判断，涉及函数定义域的分析，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：因为PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，所以点P 为△ABC 的重心，延长PA 交BC 于点M ，所以PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−23AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−23(12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13BA ⃗⃗⃗⃗⃗ −13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，又AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =B ⃗⃗ C −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =13BA ⃗⃗⃗⃗⃗ −13(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=23B ⃗⃗ A −13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ．故选：D ．利用已知条件确定点P 为△ABC 的重心，然后利用重心的几何性质以及平面向量基本定理求解即可．本题考查了平面向量基本定理的应用，解题的关键是确定点P 为三角形的重心，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．7.【答案】B【解析】解：由约束条件{x −y ≤0mx −y ≤0x +y ≤1，其中m <−1作出可行域如图，联立{x +y =1mx −y =0，解得A(11+m ,m1+m )，由图可知，要使目标函数y =yx−m 的最大值为2，即可行域内的动点与定点P(m,0)连线斜率的最大值为2，则P 在直线x =11+m 的左边，此时k PA =m 1+m 11+m−m =m 1−m−m 2=2，解得m =12(舍)或m =−2．故选：B ．由约束条件作出可行域，再由yx−m 的几何意义，即可行域内的动点与定点P(m,0)连线斜率列式求解．本题考查简单的线性规划，考查数学转化思想与数形结合的解题思想，是中档题．8.【答案】C【解析】解：把6名工作人员分为1，1，4三组，则不同的安排方式共有：C 61C 51C 44A 22⋅A 33=90种，把6名工作人员分为2，2，2三组，不同的安排方式共有：C 62C 42C 22A 33⋅A 33=90种，把6名工作人员分为1，2，3三组，不同的安排方式共有：C 61C 52C 33⋅A 33=360种，综上，不同的安排方式共有90+90+360=540种，故选：C ．把6名工作人员分别分为(1,1，4)，(2,2，2)，(1,2，3)三种情况讨论，然后分别计算即可求解．本题考查了排列组合的简单计数问题，考查了分类讨论思想以及学生的运算能力，属于基础题．9.【答案】ABD【解析】解：对于A ，由样本数据得到的回归方程y ̂=b ̂x +a ̂必过样本中心(x −,y −)，故选项A 正确；对于B ，残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，故选项B 正确；对于C ，用相关指数R 2来刻画回归效果，R 2越大，说明模型的拟合效果越好，故选项C 错误；对于D ，若变量y 和x 之间的相关系数为r =−0.9362，r 的绝对值接近于1，则变量y 和x 之间具有线性相关关系，故选项D 正确．故选：ABD ．利用回归分析中的基本概念和原理对四个选项逐一分析判断即可．本题考查了回归分析的基本知识的理解，涉及了回归方程、残差平方和、相关指数的理解和应用，属于基础题．10.【答案】ABC【解析】解：题中截角四面体由4个边长为a 的正三角形，4个边长为a 的正六边形构成，故S =4×√34a 2+4×6×√34a 2=7√3a 2，故选项A 正确；因为棱长为a 的正四面体的高ℎ=√63a ，所以V =13⋅√34⋅(3a)2⋅√63⋅(3a)−4⋅13⋅√34a 2⋅√63a =23√212a 3，故选项B 正确‘因为截角四面体上下底面距离为√6a −√63a =2√63a ，所以√R 2−O′C 2+√R 2−O′H 2=2√63a ，所以√R 2−a 23=2√63a −√R 2−a 2，即R 2−a 23=83a 2+R 2−a 2−4√63a ⋅√R 2−a 2，所以R 2=118a 2，故S =4πR 2=112πa 2，故选项C 正确；二面角A −BC −D 的余弦值应该为负值，故选项D 错误．故选：ABC ．确定截角四面体是由4个边长为a 的正三角形，4个边长为a 的正六边形构成，然后分别求解四面体的表面积、体积、外接球的表面积，即可判断选项A ，B ，C ，然后由二面角的余弦值的正负判断选项D ．本题以命题真假的判断为载体考查了空间几何体的表面积和体积的求解，解题的关键是分析出截角四面体的结构特征，考查了逻辑推理能力、空间想象能力、化简运算能力，属于中档题．11.【答案】AD【解析】解：数列{a n }是公比q 为−23的等比数列，{b n }是首项为12，公差设为d 的等差数列，则a 9=a 1(−23)8，a 10=a 1(−23)9，∴a 9⋅a 10=a 12(−23)17<0，故A 正确；∵a 1正负不确定，故B 错误；∵a 10正负不确定，∴由a 10>b 10，不能求得b 10的符号，故C 错误；由a 9>b 9且a 10>b 10，则a 1(−23)8>12+8d ，a 1(−23)9>12+9d ，可得等差数列{b n }一定是递减数列，即d <0，即有a 9>b 9>b 10，故D 正确．故选：AD ．设等差数列的公差为d ，运用等差数列和等比数列的通项公式分析A 正确，B 与C 不正确，结合条件判断等差数列为递减数列，即可得到D正确．本题考查等差数列和等比数列的通项公式，以及单调性的判断，考查运算能力和推理能力，是中档题．12.【答案】ABD【解析】解：由抛物线的方程可得焦点F(0,12)，显然过焦点F的直线的斜率显然存在，设直线l的方程为：y=kx+12，联立{y=kx+12x2=2y，整理可得：x2−2kx−1=0，可得x1+x2=2k，x1x2=−1，所以y1+y2=k(x1+x2)+1=2k2+1，y1y2=x12x224=14；所以A正确；以AB为直径的圆的圆心坐标为：(x1+x22,y1+y22)，即(k,k2+12)，半径|AB|2=y1+y2+12=k2+1，所以圆心到直线y=−12的距离为：k2+12+12=k2+1等于半径，所以圆与直线相切，所以B正确；当直线AB与x轴平行时，|OA|=|OB|=√52，|OA|+|OB|=√5<2√2，所以|OA|+|OB|的最小值不是2√2，故C不正确；直线OA的方程为：y=y1x1x=x12x，与x=x2的交点坐标为：(x2,x1x22)，因为x1x22=12，所以经过点B与x轴垂直的直线与直线OA交点在定直线y=−12上，故D正确；故选：ABD．由抛物线的方程可得焦点，设直线l的方程，与抛物线联立求出两根之和及两根之积，可得A正确；可得AB的中点的坐标，及弦长|AB|的值，进而求出圆心到直线y=−12的距离恰好等于半径，可得与直线相切；当直线AB与x轴平行时可得|OA|=|OB|的值，可得|OA|+|OB|的最小值不为2√2，判断C不正确，设过B的直线与直线OA的直线的交点的纵坐标为定值，可得D正确．本题考查直线与抛物线的综合，命题真假的判断，属于中档题．13.【答案】60【解析】解：展开式的通项公式为T r+1=C6r⋅(√x )6−r⋅(−x2)r=C6r⋅26−2r⋅(−1)r x3r−62，令3r−62=0，解得r=2，所以展开式的常数项为C62⋅22⋅(−1)2=60，故答案为：60．先求出通项公式，令x的指数为0，进而可以求解．本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．14.【答案】12【解析】解：∵b2+c2≥2bc，当且仅当b=c时取等号，∴12bc ≥1b2+c2，且b2+c2=2a2，∴根据余弦定理，有cosA=b2+c2−a22bc ≥2a2−a2b2+c2=a22a2=12，当且仅当b=c=a时等号成立，∴cosA的最小值为12．故答案为：12．根据条件，利用不等式b2+c2≥2bc和余弦定理，即可求出cos A的最小值．本题考查了余弦定理和重要不等式，考查了计算能力，属于中档题．15.【答案】√2【解析】解：S△AOB=12|OA||OB|sin∠AOB=12r2sin∠AOB，当∠AOB=90°时，△AOB面积最大，此时圆心O到直线AB的距离d=√22r，设直线AB的方程为y=k(x−2)，k2=13，则d=√k2+1=√22r，∴4k2k2+1=12r2，将k2=13代入，解得r=√2．故答案为：√2．利用三角形面积公式可知，当∠AOB=90°时，△AOB面积取得最大值，再利用点到直线的距离公式求得结果．本题考查直线与圆的位置关系，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是中档题．16.【答案】1e[12e −1,+∞)【解析】解：g(x)=xe x 的导数为g′(x)=1−x e x，则0<x <1时，g′(x)>0，g(x)递增；x >1时，g′(x)<0，g(x)递减，可得g(x)在x =1处取得极大值，且为最大值1e ；又x >0时，f(x)=x +1x ≥2√x ⋅1x =2，当且仅当x =1时取得最小值2，由对任意x 1，x 2∈(0,+∞)，不等式g(x 1)k≤f(x 2)k+1恒成立，可得1ek ≤2k+1，由k >0，可得k ≥12e−1，故答案为：1e ；[12e−1,+∞)．求得g(x)的导数，可得单调区间和极值、最值，对任意x 1，x 2∈(0,+∞)，不等式g(x 1)k≤f(x 2)k+1恒成立，可得1k g(x)max ≤1k+1f(x)min ，结合基本不等式可得所求范围．本题考查函数的导数的运用：求最值，考查不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想和基本不等式求最值，考查运算能力，属于中档题．17.【答案】解：(Ⅰ)由正弦定理知，b sinB =csinC ，∵√3c =b(sinA +√3cosA)， ∴√3sinC =sinB(sinA +√3cosA)，又sinC =sin(A +B)=sinAcosB +cosAsinB ， ∴√3sinAcosB =sinBsinA ， ∵sinA ≠0，∴tanB =√3， ∵B ∈(0,π)，∴B =π3．(Ⅱ)由余弦定理知，b 2=a 2+c 2−2ac ⋅cosB =(a +c)2−2ac −2ac ⋅cos π3=(a +c)2−3ac ， ∵a +c =2，∴b2=4−3ac，即ac=4−b23，而ac≤(a+c)24=1，当且仅当a=c=1时，等号成立，∴4−b23≤1，解得b≥1，又b<a+c=2，∴1≤b<2，故b的取值范围为[1,2)．【解析】(Ⅰ)利用正弦定理将已知等式中的边化角，再结合三角形的内角和定理、两角和的正弦公式，求出tan B的值，从而得解；(Ⅱ)由余弦定理可推出b2=4−3ac，再利用基本不等式可得ac≤1，然后结合b<a+c，得解．本题主要考查解三角形，还涉及基本不等式，熟练掌握正弦定理、余弦定理与两角和的正弦公式是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．18.【答案】解：(1)各项均为正数的等差数列{a n}满足a1=1，a n+12=a n2+2(a n+1+a n)，整理得(a n+1+a n)(a n+1−a n)=2(a n+1−a n)，由于a n+1+a n≠0，所以a n+1−a n=2(常数)，故数列{a n}是以1为首项，2为公差的等差数列．所以a n=2n−1．(2)b n=√a+a =√2n−1+√2n+1=√2n+1−√2n−12，所以S n=12×(√3−1+√5−√3+...+√2n+1−√2n−1)=12(√2n+1−1)．【解析】(1)直接利用数列的递推关系式求出数列的通项公式；(2)利用裂项相消法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．19.【答案】解：(1)产值负增长的企业频率为：30+24120=0.45=45%，用样本频率分布估计总体分布得这些企业中产值负增长的企业比例为45%．(2)企业产值增长率的平均数y−=1120(−0.3×30−0.1×24+0.1×40+0.3×16+0.5×10)=0.02；(3)企业的增长率y∈[−0.4,−0.2)的概率为30120=14，企业的增长率y∈[−0.2,0)的概率为24120=15，企业的增长率y∈[0,0.6)的概率为40+16+10120=1120，由题意可得X的可能取值为2，3，4，5，6，则P(X=2)=14×14=116，P(X=3)=2×14×15=110，P(X=4)=15×15+2×14×1120=63200，P(X=5)=2×15×1120=1150，P(X=6)=1120×1120=121400，所以X的分布列为：X 2 3 4 5 6P116110632001150121400故E(X)=2×116+3×110+4×63200+5×1150+6×121400=235．【解析】(1)根据频数分布表计算即可；(2)根据平均值的计算公式代入数据计算即可；(3)先求出各个对应的概率，然后求出X的可能取值，由此求出对应的概率，进而可以求解．本题考查了离散型随机变量的分布列以及数学期望、考查了学生的计算能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)证明：由题意，在底面梯形ABCD中，∵∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=1，CD=2，∴BD=BC=√2，∵CD=2，∴BD2+BC2=CD2，∴BD⊥BC，∵平面SCD⊥平面ABCD，平面SCD∩平面ABCD=CD，且SC⊥CD，SC⊂平面SCD，∴SC⊥平面ABCD，∵BD⊂平面SBD，∴平面SBD⊥平面SBC．(2)由(1)知SC⊥平面ABCD，以C 为坐标坐标原点，CD 所在直线为x 轴，在平面ABCD 内垂直于CD 的直线为y 轴， CS 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，则A(2,1，0)，B(1,1，0)，D(2,0，0)，设SC =ℎ(ℎ>0)，∴S(0,0，ℎ)，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−1,ℎ)，BS ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−1,ℎ)，BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,0)，由(1)得BD ⊥平面SBC ，∴平面SBC 的一个法向量为BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,0)，设平面ABS 的法向量为n⃗ =(x,y ，z)，则{n ⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =x =0n ⃗ ⋅BS ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x −y +ℎz =0，令z =1，得n⃗ =(0,h ，1)， ∴cos <n ⃗ ,BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=√2⋅√1+ℎ2=−3√2020，解得ℎ=3，∴SC =3．【解析】(1)根据条件得到BD ⊥BC ，由面面垂直的性质得到SC ⊥平面ABCD ，再根据面面垂直的判定定理，即可证明平面SBD ⊥平面SBC ；(2)由SC ⊥平面ABCD ，以C 为坐标坐标原点，CD 所在直线为x 轴，在平面ABCD 内垂直于CD 的直线为y 轴，CS 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用和向量法能求出结果．本题考查面面垂直的证明，二面角和线段长的求法，考查运算求解能力、推理论证能力，是中档题．21.【答案】解：(1)设公共点为P ，则PF 1=r ，PF 2=4−r ，所以PF 1+PF 2=4>F 1F 2，故公共点P 的轨迹为椭圆，则2a =4，所以a =2，又c =1，所以b 2=3，所以曲线E 的方程为x 24+y 23=1；(2)当直线PQ 的斜率不存在时，直线PQ 的方程为x =±√127，代入椭圆x 24+y 23=1，y =±√127，所以OP ⊥OQ ；当直线PQ 的斜率存在时，设直线PQ 的方程为y =kx +m ，因为直线PQ 与圆O 相切，所以√k 2+1=r ，解得m 2=127(k 2+1)，将直线PQ 的方程代入椭圆x 24+y 23=1中，可得(4k 2+3)x 2+8kmx +4m 2−12=0，所以x 1+x 2=−8km4k 2+3,x 1x 2=4m 2−124k 2+3，所以OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(kx 1+m)(kx 2+m) =(k 2+1)x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2 =(k 2+1)(4m 2−12)4k 2+3−8k 2m 24k 2+3+m 2 =7m 2−12(k 2+1)4k 2+3，将m 2=127(k 2+1)代入上式，化简可得OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，故OP ⊥OQ ，综上所述，恒有OP ⊥OQ ，所以AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =−|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |=−|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=−127．【解析】(1)设公共点为P ，求出PF 1=r ，PF 2=4−r ，利用椭圆的定义，即可得到点P 的轨迹为椭圆，然后再求解椭圆的标准方程即可；(2)当直线PQ 的斜率不存在时，可得OP ⊥OQ ；当直线PQ 的斜率存在时，设直线PQ 的方程与椭圆的方程联立，得到韦达定理，然后利用直线与圆相切得到m 与k 的关系，利用向量的作标表示证明OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，从而可求得AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值．本题考查了动点轨迹方程的求解，直线与椭圆位置关系的应用，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时，一般会联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理和“设而不求”的方法进行研究，属于中档题．22.【答案】解：(1)∵f(x)=lnx x(x >0)，∴f′(x)=1x⋅x−lnx x 2=1−lnx x 2，设切点为(x 0,lnx 0x 0)，则k =f′(x 0)=1−lnx 0x 02，代入直线y =kx −1得：lnx 0x 0=1−lnx 0x 02x 0−1，即lnx 0=1−lnx 0−x 0，∴2lnx 0+x 0−1=0，令ℎ(x)=2lnx +x −1，有ℎ(1)=0，∴ℎ′(x)=2x +1>0，∴ℎ(x)在(0,+∞)单调递增， ∴方程2lnx +x −1=0有唯一解x 0=1， ∴k =1−lnx 0x 02=1−ln112=1；(2)∵lnx x≤ax −1−lna x，x >0，∴ax 2−x −lnx −lna ≥0恒成立，设F(x)=ax 2−x −lnx −lna ，则F′(x)=2ax 2−x−1x，令G(x)=2ax 2−x −1，∵a >0，△=1+8a >0，∴G(x)=0有2个不相等实根x1，x2，则x1x2=−12a<0，不妨设x1<0<x2，当x∈(0,x2)，G(x)<0，当x∈(x2,+∞)，G(x)>0，∴F(x)在(0,x2)单调递减，在(x2,+∞)单调递增，∴F(x)min=F(x2)=ax22−x2−ln(ax2)，由G(x2)=2ax22−x2−1=0得到ax2=x2+12x2，∴F(x2)=x2+12−x2−ln x2+12x2=1−x22−ln1+x22x2≥0，令H(x)=1−x2−ln1+x2x=1−x2+ln2x−ln(x+1)，则H′(x)=−12+22x−1x+1=−(x−1)(x+2)2x(x+1)，∴当x∈(0,1)时，H′(x)>0，当x∈(1,+∞)时，H′(x)<0，则H(x)在(0,1)单调递增，在(1,+∞)单调递减，∴H(x)≤H(1)=0，∵F(x2)=H(x2)≥0，∴F(x2)=0，则x2=1，故a=1，∴实数a的取值集合是{1}．【解析】(1)求出函数的导数，设出切点，代入切线方程，求出切点横坐标，求出k的值即可；(2)问题转化为ax2−x−lnx−lna≥0恒成立，设F(x)=ax2−x−lnx−lna，根据函数的单调性求出F(x)的最小值，确定a的值即可．本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是难题．。

2021年山东省普通高中高考数学仿真试卷(4)

2021年山东省普通高中高考数学仿真试卷（4）一、单选题（本大题共20小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|x 2+2x −3<0}，B ={x|2+3x >−4}，则A ∩B =( )A. {x|−1<x <1}B. {x|−2<x <1}C. {x|−23<x <1}D. {x|−3<x <−2}2. 命题“∀x ∈[1,2]，x 2−3x +2≤0”的否定是( )A. ∀x ∈[1,2]，x 2−3x +2>0B. ∀x ∉[1,2]，x 2−3x +2>0C. ∃x 0∈[1,2],x 02−3x 0+2>0D. ∃x 0∉[1,2],x 02−3x 0+2>03. 已知复数z =21+i ，则正确的是( ) A. |z|=2B. z 的实部为−1C. z 的虚部为−iD. z 的共轭复数为1+i4. 函数f(x)=1lg(2x−1)的定义域为( ) A. {x|x >12}B. {x|x ≥12且x ≠1}C. {x|x >12且x ≠1}D. {x|x ≥12} 5. 若a <0，则0.5a 、5a 、5−a 的大小关系是( )A. 5−a <5a <0.5aB. 5a <0.5a <5−aC. 0.5a <5−a <5aD. 5a <5−a <0.5a6. 设函数f(x)=sin(2x +π3)，则下列结论正确的是( ) A. f(x)的图象关于直线x =π3对称B. f(x)的图象关于点(π4,0)对称C. f(x)的最小正周期为π2D. f(x)在[0,π12]上为增函数 7. 已知α为第二象限角，则α2所在的象限是( )A. 第一或第二象限B. 第二或第三象限C. 第一或第三象限D. 第二或第四象限 8. 要得到函数y =sin(4x −π3)的图象，只需要将函数y =sin4x 的图象( )A. 向左平移π12个单位B. 向右平移π12个单位C. 向左平移π3个单位D. 向右平移π3个单位 9. 设A 、B 、C 为三角形的三个内角，sinA =2sinBcosC ，该三角形一定是( )A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 等腰直角三角形D. 直角三角形10. 已知向量a ⃗ 、b ⃗ 的夹角为3π4，a ⃗ =(−3,4)，a ⃗ ⋅b ⃗ =−10，则|b ⃗ |=( )A. 2√2B. 2√3C. 3√3D. 4√211.如图，在矩形ABCD中，E为CD中点，那么向量12AB⃗⃗⃗⃗⃗ +AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 等于()A. AE⃗⃗⃗⃗⃗B. AC⃗⃗⃗⃗⃗C. DC⃗⃗⃗⃗⃗D. BC⃗⃗⃗⃗⃗12.如图，△A′B′C′是△ABC的直观图，其中A′B′=A′C′，A′B′//x′轴，A′C′//y′轴，那么△ABC是()A. 等腰三角形B. 钝角三角形C. 等腰直角三角形D. 直角三角形13.钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的()A. 充分条件B. 必要条件C. 充分必要条件D. 既非充分又非必要条件14.将A、B、C三大经营外卖的公司2019年的市场占有率统计如图所示，其中代表A公司的市场占有率，代表B公司的市场占有率，代表C公司的市场占有率.现有如下说法：①2019年A公司的市场占有率全年最大；②2019年仅第一季度，C公司的市场占有率超过30%；③2019年仅两个季度，B、C两公司的市场占有率之和超过A公司．则上述说法中，正确的个数为()A. 0B. 1C. 2D. 315.某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一2400人、高二2000人、高三n人中，抽取180人进行问卷调查.已知高一被抽取的人数为72人，那么高三被抽取的人数为()A. 48B. 60C. 72D. 8416.盒子里装有大小相同的2个红球和1个白球，从中随机取出1个球，取到白球的概率是()A. 13B. 12C. 23D. 117.已知x>3，y=x+1x−3，则y的最小值为()A. 2B. 3C. 4D. 518.已知不等式x2−ax+b<0的解是2<x<3，则a，b的值分别是()A. −5，6B. 6，5C. 5，6D. −6，519.函数y=a x+1−3(a>0，且a≠1)的图象一定经过的点时()A. (0,−2)B. (−1,−3)C. (0,−3)D. (−1,−2)20.已知函数f(x)是定义R上的奇函数，满足f(x+2)=−f(x)，且当−1≤x<0时，f(x)=−x2+1，则f(2020)=()A. 0B. 1C. −1D. −3二、单空题（本大题共5小题，共15.0分）21.f(x)=−x2+mx在(−∞,1]上是增函数，则m的取值范围是______ ．22.已知向量a⃗,b⃗ 满足a⃗⋅(a⃗+b⃗ )=5且|a⃗|=2,|b⃗ |=1，则向量a⃗,b⃗ 的夹角为______．23.已知tanα=3，则sinαcosα=______．24.已知11+i =12−ni其中n是实数，i是虚数单位，那么n=______ ．25.第28届金鸡百花电影节将在福建省厦门市举办，近日首批影展片单揭晓，《南方车站的聚会》《春江水暖》《第一次的离别》《春潮》《抵达之谜》五部优秀作品将在电影节进行展映．若从这五部作品中随机选择两部放在展映的前两位，则《春潮》与《抵达之谜》至少有一部被选中的概率为______．三、解答题（本大题共3小题，共25.0分）26.已知tanα=12，且α为第三象限角．(Ⅰ)求sinα+2cosαsinα−cosα的值；(Ⅱ)求cos(α−π4)的值．27.已知f(x)=b−2x2x+1+2是定义在R上的奇函数．(1)求b的值；(2)判断f(x)在R上的单调性，并用定义证明；(3)若f(1−a)+f(1−a2)<0，求实数a的取值范围．28.2019年12月，全国各中小学全体学生都参与了《禁毒知识》的答题竞赛，现从某校高一年级参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩(单位：分)整理后，得到如下频率分布直方图(其中分组区间为[40,50)，[50,60)，…，[90,100])．(1)求成绩在[70,80)的频率，并补全此频率分布直方图；(2)求这次考试成绩的中位数的估计值；(3)若从抽出的成绩在[40,50)和[90,100]的学生中任选两人，求他们的成绩在同一分组区间的概率．答案和解析1.【答案】B【解析】解：因为A ={x|−3<x <1}，B ={x|x >−2}，所以A ∩B ={x|−2<x <1}．故选：B ．先分别求出A 和B ，由此能求出A ∩B ．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 2.【答案】C【解析】解：命题：“∀x ∈[1,2]，x 2−3x +2≤0的否定是∃x 0∈[1,2],x 02−3x 0+2>0，故选：C ．根据已知中的原命题，结合全称命题否定的方法，可得答案．本题考查的知识点是全称命题，命题的否定，难度不大，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：∵z =21+i =2(1−i)(1+i)(1−i)=1−i ，∴z 的实部为1，虚部为−1，故选项B ，C 错误，又∵|z|=√12+(−1)2=√2，故选项A 错误，∵z −=1+i ，故选项D 正确，故选：D ．直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念和复数的实部和虚部的概念求解．本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，同时考查了复数的实部和虚部，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：要使函数有意义，则{2x −1>0lg(2x −1)≠0，得{x >12x ≠1，得x >12且x ≠1，即函数的定义域为{x|x >12且x ≠1}，故选：C ．根据函数成立的条件建立不等式进行求解即可．本题主要考查函数定义域的求解，利用函数成立的条件建立不等式是解决本题的关键，是基础题． 5.【答案】B【解析】解：∵5−a =(15)a =0.2a ，0.2<0.5<5，又∵幂函数y =x a ，a <0时，在(0,+∞)上单调递减，∴5a <0.5a <0.2−a ，故选B ．先化同底数的幂形式，再根据幂函数的单调性比较大小即可．本题主要考查幂函数的单调性及应用，利用函数的单调性是实数常用方法．6.【答案】D【解析】解：A.f(π3)=sin(2×π3+π3)=sinπ=0，不是最值，∴f(x)的图象关于直线x =π3对称错误．B .f(π4)=sin(2×π4+π3)=cos π3≠0，∴f(x)的图象关于关于点(π4,0)对称，错误．C .∵函数的周期T =2π2=π，∴函数的周期是π，∴C 错误． D .当x ∈[0,π12]时，2x +π3∈[π3,π2]，此时函数f(x)单调递增，∴D 正确．故选：D ．分别根据函数的对称性，单调性和周期性的性质进行判断即可得到结论．本题主要考查三角函数的图象和性质，要求熟练掌握函数的对称性，周期性，单调性的性质的判断方法． 7.【答案】C【解析】【分析】用不等式表示第二象限角α，再利用不等式的性质求出α2满足的不等式，从而确定角α2的终边在的象限．本题考查象限角的表示方法，不等式性质的应用，通过角满足的不等式，判断角的终边所在的象限【解答】解：∵α是第二象限角，∴k ⋅360°+90°<α<k ⋅360°+180°，k ∈Z ，则k ⋅180°+45°<α2<k ⋅180°+90°，k ∈Z ，令k =2n ，n ∈Z有n ⋅360°+45°<α2<n ⋅360°+90°，n ∈Z ；在一象限；k =2n +1，n ∈z ，有n ⋅360°+225°<α2<n ⋅360°+270°，n ∈Z ；在三象限；故选：C8.【答案】B【解析】解：要得到函数y =sin(4x −π3)的图象，只需要将函数y =sin4x 的图象向右平移π12个单位，即：y =sin[4(x −π12)]=sin(4x −π3).直接利用三角函数关系式的平移变换的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的平移变换的应用，主要考察学生对函数图象的变换能力，属于基础题型．9.【答案】A【解析】【分析】本题考查两角和的正弦函数的应用，三角形形状的判断，考查计算能力，属于基础题．通过三角形的内角和，以及两角和的正弦函数，化简方程，求出角的关系，即可判断三角形的形状．【解答】解：因为sinA=2sinBcosc，所以sin(B+C)=2sinBcosC，所以sinBcosC−sinCcosB=0，即sin(B−C)=0，因为A，B，C是三角形内角，所以B=C．所以三角形是等腰三角形．故选A．10.【答案】A【解析】解：因为向量a⃗、b⃗ 的夹角为3π4，a⃗=(−3,4)，a⃗⋅b⃗ =−10，所以|a⃗|=√(−3)2+42=5，所以a⃗⋅b⃗ =|a⃗||b⃗ |cos3π4=5×(−√22)|b⃗ |=−10．则|b⃗ |=2√2．故选：A．先求出|a⃗|，然后利用数量积的定义式即可求出|b⃗ |．本题考查平面向量数量积的定义和性质，属于基础题．11.【答案】A【解析】【分析】本题考查向量的线性运算的应用，属于基础题．直接利用向量的线性运算求出结果．【解答】解：在矩形ABCD中，E为CD中点，所以12AB⃗⃗⃗⃗⃗ =DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则12AB⃗⃗⃗⃗⃗ +AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AE⃗⃗⃗⃗⃗ ．故选A．12.【答案】D【分析】本题考查了斜二测画法与应用问题，属于基础题．根据斜二测画法中平行与坐标轴的直线，平行关系不变，且平行于x轴的线段，长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半，即可判断出结果．【解答】解：根据斜二测画法中平行与坐标轴的直线，平行关系不变，且平行于x轴的线段，长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半，∴直观图△A′B′C′的原来图形△ABC是直角三角形，且AC=2AB，不是等腰直角三角形．故选：D．13.【答案】A【解析】【分析】本题考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，属于基础题．“好货不便宜”，其条件是：此货是好货，结论是此货不便宜，根据充分、必要条件的定义进行判断即可，【解答】解：若p⇒q为真命题，则命题p是命题q的充分条件；“好货不便宜”，其条件是：此货是好货，结论是此货不便宜，由条件⇒结论．故“好货”是“不便宜”的充分条件．故选A．14.【答案】A【解析】解：由统计图可知，C公司的市场占有率均为最大，故2019年A公司的市场占有率不是全年最大，故选项①错误；C公司的市场全年的占有率均超过30%，故选项②错误；B、C两公司的市场占有率之和全年均超过A公司，故选项③错误．故选：A．根据题意，结合统计图，对每个选项进行逐一的分析，即可判断．本题考查了合情推理的应用，解题的关键是正确读取统计图中的信息，属于基础题．15.【答案】A=60人，则高三被抽取的人数180−72−60=48，【解析】解：高二年级抽取的人数为：2000×722400故选：A．根据分层抽样的定义，建立比例关系即可．本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．16.【答案】A【解析】解：盒子里装有大小相同的2个红球和1个白球，从中随机取出1个球，基本事件总数n=3，取到白球包含的基本事件个数m=1，∴取到白球的概率是P=1．3基本事件总数n =3，取到白球包含的基本事件个数m =1，由此能求出取到白球的概率．本题考查概率的运算，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力等核心素养，是基础题．17.【答案】D【解析】解：因为y =x +1x−3=x −3+1x−3+3，又因为x >3，所以x −3>0，所以y ≥5，当且仅当x =4时，等号成立，故选：D ．x +1x−3=x −3+1x−3+3，由基本不等式可知y ≥5，即可得最小值．本题主要考查基本不等式的应用，属于基础题．18.【答案】C【解析】解：不等式x 2−ax +b <0的解是2<x <3，所以2和3是方程x 2−ax +b =0的解，由根与系数的关系知，{2+3=a 2×3=b，解得a =5，b =6．故选：C ．根据不等式x 2−ax +b <0的解得出对应方程的实数解，由根与系数的关系求出a 、b 的值．本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．19.【答案】D【解析】解：令x +1=0，求得x =−1，且y =−2，故函数f(x)=a x+1−3(a >0且a ≠1)恒过定点(−1,−2)，故选：D ．令x +1=0，求得x 和y 的值，从而求得函数f(x)=a x+1−3(a >0且a ≠1)恒过定点的坐标．本题主要考查指数函数的单调性和特殊点，属于基础题．20.【答案】A【解析】解：因为f(x +2)=−f(x)，所以f(x +4)=f(x)，即函数的周期T =4，因为f(x)为奇函数，故f(0)=0，则f(2020)=f(0)=0．故选：A ．由已知可得函数的周期T =4，然后结合奇函数性质可得f(0)=0，利用周期性将f(2020)转化为求f(0)，即可求解．本题主要考查了函数的周期性及奇函数的性质，考查了转化思想，考查了逻辑推理的能力，运算求解能力． 21.【答案】[2,+∞)【解析】解：函数f(x)=−x 2+mx 是开口向下的二次函数∴函数f(x)在(−∞,m 2]上单调递增函数∵f(x)=−x2+mx在(−∞,1]上是增函数，∴m2≥1，解得m≥2故答案为：[2,+∞)．根据二次函数的性质求出函数的单调增区间，使(−∞,1]是其单调增区间的子集，建立不等关系，解之即可．本题主要考查了函数单调性的应用，以及二次函数的性质的运用，属于基础题．22.【答案】60°【解析】解：向量a⃗,b⃗ 满足a⃗⋅(a⃗+b⃗ )=5且|a⃗|=2,|b⃗ |=1，可得：a⃗2+a⃗⋅b⃗ =5，4+2×1×cos<a⃗,b⃗ >=5，所以cos<a⃗,b⃗ >=12，则向量a⃗,b⃗ 的夹角为60°．故答案为：60°．通过向量的数量积，结合向量的模转化求解即可．本题考查向量的数量积的应用，向量的夹角的求法，考查计算能力．23.【答案】310【解析】【分析】本题考查同角三角函数间的基本关系，把所求式子的分母“1”变形为sin2α+cos2α是解本题的关键，属于基础题目．把所求式子的分母“1”根据同角三角函数间的基本关系变形为sin2α+cos2α，然后分子分母同时除以cos2α，利用同角三角函数间的基本关系弦化切得到关于tanα的关系式，把tanα的值代入即可求出值．【解答】解：∵tanα=3，∴sinαcosα=sinαcosαsin2α+cos2α=tanαtan2α+1=310．故答案为：310．24.【答案】12【解析】解：∵11+i =12−ni，其中n是实数，∴1−i(1+i)(1−i)=12−12i=12−ni，解得n=12．故答案为：12．利用复数的运算法则、复数相等即可得出．本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．25.【答案】710【解析】解：首批影展片单揭晓，《南方车站的聚会》《春江水暖》《第一次的离别》《春潮》《抵达之谜》五部优秀作品将在电影节进行展映．从这五部作品中随机选择两部放在展映的前两位，基本事件总数n =C 52=10，《春潮》与《抵达之谜》至少有一部被选中包含的基本个数m =C 21C 31+C 22=7，则《春潮》与《抵达之谜》至少有一部被选中的概率为p =m n =710．故答案为：710．基本事件总数n =C 52=10，《春潮》与《抵达之谜》至少有一部被选中包含的基本个数m =C 21C 31+C 22=7，由此能求出《春潮》与《抵达之谜》至少有一部被选中的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 26.【答案】解：(Ⅰ)因为tanα=12，sinα+2cosαsinα−cosα=tanα+2tanα−1，所以sinα+2cosαsinα−cosα=12+212−1=−5． (Ⅱ)由tanα=12，得cosα=2sinα，又sin 2α+cos 2α=1，所以sin 2α=15，注意到α为第三象限角，可得sinα=−√55，cosα=−2√55．所以cos(α−π4)=cosαcos π4+sinαsin π4=−2√55×√22−√55×√22=−3√1010．【解析】(Ⅰ)化简sinα+2cosαsinα−cosα=tanα+2tanα−1，再代入已知得解； (Ⅱ)先根据已知求出sinα=−√55，cosα=−2√55，再代入cos(α−π4)即得解．本题主要考查同角的商数关系和平方关系，考查差角的余弦公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．27.【答案】解：(1)f(x)=b−2x2x+1+2是定义在R 上的奇函数．所以f(0)=0⇒b −20=0⇒b =1；所以b =1，经验证，b =1符合题意．(2)f(x)在R 上是单调递减函数，由(1)知b =1，所以f(x)=1−2x 2x+1+2=−(2x +1)+22(2x +1)=−12+12x +1．任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则f(x 1)−f(x 2)=(−12+12x 1+1)−(−12+12x 2+1)=−2x 1−2x 2(2x 1+1)(2x 2+1)，因为x 1<x 2，所以0<2x 1<2x 2，所以f(x 1)−f(x 2)>0，即f(x 1)>f(x 2)，所以f(x)在R 上是单调递减函数；(3)由f(x)为奇函数，且f(1−a)+f(1−a 2)<0，所以f(1−a)<−f(1−a 2)=f(a 2−1)，即1−a >a 2−1，整理得a 2+a −2<0，解得−2<a <1，所以实数a 的取值范围是(−2,1)．【解析】(1)根据定义在R 上的奇函数的性质：f(0)=0，解方程求出b 的值，检验可得；(2)写出f(x)的解析式，利用单调性的定义证明f(x)在R 上是单调递减函数；(3)由f(x)为奇函数，把不等式f(1−a)+f(1−a 2)<0化为关于a 的不等式，求解即可．本题考查了函数的奇偶性与单调性的综合应用问题，涉及不等式的解法与应用，是中档题．28.【答案】解：(1)由频率分布直方图得：成绩在[70,80)的频率为：1−(0.005+0.015+0.020+0.030+0.005)×10=0.25，补全此频率分布直方图如下：(2)频率在[40,70)的频率为：(0.005+0.015+0.020)×10=0.4，频率在[70,80)的频率为：0.025×10=0.25，∴这次考试成绩的中位数的估计值为：70+0.5−0.40.25×10=74．(3)现从某校高一年级参加考试的学生中抽出60名学生，则从成绩在[40,50)中抽取：60×0.005×10=3人，从成绩在[90,100]中抽取：60×0.005×10=3人，从抽出的成绩在[40,50)和[90,100]的学生中任选两人，基本事件总数n =C 62=15，他们的成绩在同一分组区间包含的基本事件个数m =C 32+C 32=6，∴他们的成绩在同一分组区间的概率P=mn =615=25．【解析】(1)由频率分布直方图的性质求出成绩在[70,80)的频率，由此能补全此频率分布直方图．(2)求出频率在[40,70)的频率为0.4，频率在[70,80)的频率为0.25，由此能求出这次考试成绩的中位数的估计值．(3)从成绩在[40,50)中抽取3人，从成绩在[90,100]中抽取3人，再从抽出的成绩在[40,50)和[90,100]的学生中任选两人，分别求出基本事件总数和他们的成绩在同一分组区间包含的基本事件个数，由此能求出他们的成绩在同一分组区间的概率．本题考查频率、概率的运算，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力、数据分析能力等核心素养，是基础题．。

2021年山东省普通高中高考数学仿真试卷(5)(附答案详解)

2021年山东省普通高中高考数学仿真试卷（5）一、单选题（本大题共20小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x<4}，B={0,1，2，3，4，5，6}，则(∁R A)∩B等于()A. {0,1，2，3}B. {5,6}C. {4,5，6}D. {3,4，5，6}2.若函数y=sin(2ωx+π3)最小正周期为π，则ω的值为()A. 2B. ±2C. 1D. ±13.下列函数中，在R上单调递增的是()A. y=|x|B. y=log2xC. y=x13D. y=0.5x4.已知角α的终边经过点P(4,−3)，则2sinα+cosα的值等于()A. −35B. 45C. 25D. −255.2021年某省新高考将实行“3+1+2”模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选三，共有12种选课模式．某同学已选了物理，记事件A：“他选择政治和地理”，事件B：“他选择化学和地理”，则事件A与事件B()A. 是互斥事件，不是对立事件B. 是对立事件，不是互斥事件C. 既是互斥事件，也是对立事件D. 既不是互斥事件也不是对立事件6.已知实数m、n满足2m+n=2，其中mn>0，则1m +2n的最小值为()A. 4B. 6C. 8D. 127.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若A=45°，B=60°，a=√2，则b的值为()A. √2B. √3C. √6D. 2√68.已知向量a⃗=(1,−2)，b⃗ =(1,1)，m⃗⃗⃗ =a⃗+b⃗ ，n⃗=a⃗−λb⃗ ，如果m⃗⃗⃗ ⊥n⃗，那么实数λ=()A. 4B. 3C. 2D. 19.已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2=b2+c2−1013bc，则cosA=()A. 726B. 513C. 1726D. 121310.2019年以来，世界经济和贸易增长放缓，中美经贸摩擦影响持续显现，我国对外贸易仍然表现出很强的韧性.今年以来，商务部会同各省市全面贯彻落实稳外贸决策部署，出台了一系列政策举措，全力营造法治化、国际化、便利化的营商环境，不断提高贸易便利化水平，外贸稳规模、提质量、转动力取得阶段性成效，进出口保持稳中提质的发展势头，如图是某省近五年进出口情况统计图，下列描述错误的是()A. 这五年，2015年出口额最少B. 这五年，出口总额比进口总额多C. 这五年，出口增速前四年逐年下降D. 这五年，2019年进口增速最快11.在区间[4,12]上随机地取一个实数a，则方程2x2−ax+8=0有实数根的概率为()A. 14B. 23C. 13D. 1212.设l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是()A. 若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB. 若l//α，m⊂α，则l//mC. 若α//β，m⊄β，m//α，则m//βD. 若l//α，m//α，则l//m13.在用二次法求方程3x+3x−8=0在(1,2)内近似根的过程中，已经得到f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根落在区间()A. (1,1.25)B. (1.25,1.5)C. (1.5,2)D. 不能确定14.一个正方体和一个圆柱等高，并且侧面积相等，则正方体与圆柱的体积比是()A. π：4B. 4：πC. 1：1D. π2：415.α是第四象限角，cosα=1213，则sinα=()A. 513B. −513C. 512D. −51216.中国茶文化博大精深．茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种绿茶用85℃的水泡制，再等到茶水温度降至60℃时饮用，可以产生最佳口感．为分析泡制一杯最佳口感茶水所需时间，某研究人员每隔1min测量一次茶水的温度，根据所得数据做出如图所示的散点图．观察散点图的分布情况，下列哪个函数模型可以近似地刻画茶水温度y随时间x变化的规律()A. y=mx2+n(m>0)B. y=mx+n(m>0)C. y=ma x+n(m>0,a>0且a≠1)D. y=mlog a x+n(m>0,a>0且a≠1)17.命题p：∀x∈N，x3>1，则￢p为()A. ∀x∈N，x3<1B. ∀x∉N，x3≥1C. ∃x∉N，x3≥1D. ∃x∈N，x3≤118.设a，b∈R，则“lna>lnb”是“ln ab>0”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件19.已知i为虚数单位，若1+2ia+i(a∈R)为纯虚数，则实数a的值为()A. 2B. −2C. 12D. −1220.《易经》是中国传统文化中的精髓，右图是易经八卦图(含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦)，每一卦由三根线组成(表示一根阳线，表示一根阴线)，从八卦中任取一卦，这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线的概率为()A. 18B. 14C. 38D. 12二、单空题（本大题共5小题，共15.0分）21.函数f(x)=√2+x−x2的定义域是______ ．22.已知向量a⃗=(−k,2),b⃗ =(1,3)，若a⃗⊥(a⃗−2b⃗ )，则实数k=______．23.如图正方形OABC的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是______cm．24.已知不等式ax2+bx+2>0的解集为{x|−12<x<13}，则不等式2x2+bx+a<0的解集为______ ．25.若函数f(x)=kx2+(k−1)x+2是偶函数，则f(x)的递减区间是______ ．三、解答题（本大题共3小题，共25.0分）26.已知0≤φ<π，函数f(x)=√32cos(2x+φ)+sin2x．(Ⅰ)若φ=π6，求f(x)的单调递增区间；(Ⅱ)若f(x)的最大值是32，求φ的值．27.已知f(√x−2)=x−3√x．(1)求f(x)的函数解析式；(2)讨论f(x)在区间[−2,2]函数的单调性，并求在此区间上的最大值和最小值．28.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，A1B1=A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；(2)直线A1F//平面ADE．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查集合的基本运算，比较基础，根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：∵A ={x|x <4}， ∴∁R A ={x|x ≥4}，∵B ={0,1，2，3，4，5，6}， ∴(∁R A)∩B ={4,5，6}，故选C ．2.【答案】D【解析】解：∵函数y =sin(2ωx +π3)最小正周期为|2π2ω|=π，则|ω|=1，∴ω=±1，故选：D ．由题意利用正弦函数的周期性，求得ω．本题主要考查正弦函数的周期性，属于基础题．3.【答案】C【解析】A 、y =|x|={x x ≥0−x x <0的单调增区间是[0,+∞)；故A 不正确；B 、y =log 2x 的定义域是(0,+∞)，故不正确；C 、y =x 13的定义域是R ，并且是增函数，故正确； D 、y =0.5x 在R 上单调递减，故不正确．故选C ．A 、去绝对值符号，转化为一次函数的单调性；B 、对数函数的定义域和底数大于1时是增函数；C 、指数是正数的幂函数在R 上是增函数；D 、底数大于1的指数函数在R 上是增函数．考查基本初等函数的定义域和单调性问题，属基础题．4.【答案】D【解析】解：利用任意角三角函数的定义，sinα=yr =√16+9=−35，cosα=xr=45∴2sinα+cosα=2×(−35)+45=−25故选：D．利用任意角三角函数的定义，分别计算sinα和cosα，再代入所求即可本题主要考查了任意角三角函数的定义及其用法，属基础题5.【答案】A【解析】解：2021年某省新高考将实行“3+1+2”模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选三，共有12种选课模式．某同学已选了物理，记事件A：“他选择政治和地理”，事件B：“他选择化学和地理”，则事件A与事件B不能同时发生，但能同时不发生，故事件A和B是互斥事件，但不是对立事件，故A正确．故选：A．利用互斥事件、对立事件的定义直接求解．本题考查命题真假的判断，考查互斥事件、对立事件的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】A【解析】【分析】本题考查了基本不等式的性质，熟练掌握变形利用基本不等式的性质的方法是解题的关键，属于中档题．利用“乘1法”变形，利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵实数m、n满足2m+n=2，其中mn>0，∴1m +2n=12(2m+n)(1m+2n)=12(4+nm+4mn)≥12(4+2√nm⋅4mn)=12(4+4)=4，当且仅当nm =4mn，2m+n=2，即n=2m=1时取等号．∴1m +2n的最小值是4．故选A．7.【答案】B【解析】解：因为A=45°，B=60°，a=√2，所以由正弦定理asinA =bsinB，可得b=a⋅sinBsinA=√2×√32√22=√3．故选：B．由已知利用正弦定理即可求解．本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．8.【答案】A【解析】解：∵量a⃗=(1,−2)，b⃗ =(1,1)，∴m⃗⃗⃗ =a⃗+b⃗ =(2,−1)，n⃗=a⃗−λb⃗ =(1−λ,−2−λ)，∵m⃗⃗⃗ ⊥n⃗，∴m⃗⃗⃗ ⋅n⃗=2(1−λ)+(−1)(−2−λ)=0，解得实数λ=4．故选：A．由平面向量坐标运算法则先分别求出m⃗⃗⃗ ,n⃗，再由m⃗⃗⃗ ⊥n⃗，能求出实数λ．本题考查实数值的求法，涉及到平面向量坐标运算法则、向量垂直的性质的应用等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．9.【答案】B【解析】解：由余弦定理有，cosA=b2+c2−a22bc =1013bc2bc=513．故选：B．直接利用余弦定理结合已知条件化简求解即可．本题考查余弦定理的运用，属于基础题．10.【答案】C【解析】解：对于选项A，观察5个白色条形图可知，这五年中2015年出口额最少，故A正确：对于选项B，观察五组条形图可得，2015年出口额比进口额稍低，但2016年至2019年出口额都高于进口额，并且2017年和2018年出口额都明显高于进口额，故这五年，出口总额比进口总额多，故B正确；对于选项C，观察虚线折线图可知，2015年到2016年出口增速是上升的，故C错误；对于选项D，从图中可知，实线折线图2019年是最高的，即2019年进口增速最快，故D正确．故选：C．观察白色条形图可分析选项A，观察5组条形图可分析选项B，观察虚线折线图可分析选项C，观察实线折线图可分析选项D．本题考查条形统计图的性质应用，考查数据分析能力，属于基础题．11.【答案】D【解析】解：因为方程2x2−ax+8=0有实数根，所以△=(−a)2−4×2×8≥0，解得a≥8或a≤−8，所以方程2x2−ax+8=0有实数根的概率为P=12−812−4=12．故选：D．根据一元二次方程有实数根△≥0，求出a的取值范围，再求对应的概率值．本题考查了一元二次方程有实数根的问题，也考查了几何概型的问题，是基础题．12.【答案】C【解析】解：由l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知：对于A，若l⊥m，m⊂α，则l与α相交、平行或l⊂α，故A错误；对于B，若l//α，m⊂α，则l与m平行或异面，故B错误；对于C，若α//β，m⊄β，m//α，则由线面平行的判定定理得m//β，故C正确；对于D，若l//α，m//α，则l与m相交、平行或异面，故D错误．故选：C．对于A，l与α相交、平行或l⊂α；对于B，l与m平行或异面；对于C，由线面平行的判定定理得m//β；对于D，l与m相交、平行或异面．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力等核心素养，是中档题．13.【答案】B【解析】解：∵f(1)<0，f(1.5)>0，∴在区间(1,1.5)内函数f(x)=3x+3x−8存在一个零点又∵f(1.5)>0，f(1.25)<0，∴在区间(1.25,1.5)内函数f(x)=3x+3x−8存在一个零点，由此可得方程3x+3x−8=0的根落在区间(1.25,1.5)内，故选：B．根据函数的零点存在性定理，由f(1)与f(1.5)的值异号得到函数f(x)在区间(1,1.5)内有零点，同理可得函数在区间(1.25,1.5)内有零点，从而得到方程3x+3x−8=0的根所在的区间．本题给出函数的一些函数值的符号，求相应方程的根所在的区间．着重考查了零点存在定理和方程根的分布的知识，考查了学生分析解决问题的能力，属于基础题．14.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查圆柱和正方体的侧面积及体积公式，属于基础题．先设正方体的棱长为a，圆柱的底面半径为r，利用圆柱和正方体的侧面积公式可得2πra=4a2，从而得出r与a的关系式，最后利用体积公式即可得出正方体与圆柱的体积比．【解答】解：设正方体的棱长为a，圆柱的底面半径为r，由圆柱和正方体的侧面积公式可知，圆柱侧面积=2πra，正方体的侧面积=4a2，∵它们的侧面积相等，∴2πra=4a2，∴r=2aπ；∴正方体与圆柱的体积比是a 3r2π×a =a3(2aπ)2aπ=π：4．故选A．15.【答案】B【解析】解：∵α是第四象限角，cosα=1213∴sinα=−√1−cos2α=−5，13故选B．根据同角的三角函数之间的关系sin2+cos2α=1，得到余弦的值，又由角在第四象限，确定符号．已知某角的一个三角函数值，求该角的其它三角函数值，应用平方关系、倒数关系、商的关系，这是三角函数计算题中较简单的，容易出错的一点是角的范围不确定时，要讨论．16.【答案】C【解析】解：由函数的图象知，符合条件只有指数函数模型y=ma x+n，其中m>0，n>0，且0<a<1．故选：C．由函数的图象，分析判断得出符合条件的函数模型即可．本题考查了根据散点图判断回归模型的应用问题，也考查了对数据的分析判断能力，是基础题．17.【答案】D【解析】解：根据全称量词命题的否定是存在量词命题知，命题p：∀x∈N，x3>1，则￢p为：∃x∈N，x3≤1．故选：D．根据全称量词命题的否定是存在量词命题，写出对应的命题即可．本题考查了全称量词命题的否定是存在量词命题应用问题，是基础题．18.【答案】A>0；【解析】解：当lna>lnb时，a>b>0，lna−lnb>0，即ln ab>0时，若a，b同为负数，则ln a，ln b不一定有意义，所以推不出lna>lnb．当ln ab故选：A．根据对数的运算性质以及充分条件，必要条件的定义即可求解．本题主要考查对数的运算性质以及充分条件，必要条件的定义的理解和应用，属于容易题．19.【答案】B【解析】解：∵1+2ia+i =(1+2i)(a−i)(a+i)(a−i)=a+2a2+1+2a−1a2+1i是纯虚数，∴{a+2=02a−1≠0，即a=−2．故选：B．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0列式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．20.【答案】C【解析】解：从八卦中任取一卦，基本事件总数n=8，这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线包含的基本事件个数m=3，∴这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线的概率为p=mn =38．故选：C．从八卦中任取一卦，基本事件总数n=8，这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线包含的基本事件个数m=3，由此能求出这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线的概率．本题考查概率的求法，考查古典概率、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．21.【答案】(−1,2)【解析】解：函数f(x)=2中，令2+x−x2>0，得x2−x−2<0，解得−1<x<2，所以函数f(x)的定义域是(−1,2)．故答案为：(−1,2)．根据函数f(x)的解析式，列出使解析式有意义的不等式，求出解集即可．本题考查了根据函数的解析式求定义域的应用问题，是基础题．22.【答案】−4或2【解析】解：由题意，a⃗−2b⃗ =(−k−2,−4)，因为a⃗⊥(a⃗−2b⃗ )，所以a⃗⋅(a⃗−2b⃗ )=−k×(−k−2)+2×(−4)=k2+2k−8=0，解可得k=2或k=−4．故答案为：2或−4．结合向量垂直的坐标表示可建立关于k的方程，解方程可求．本题主要考查了向量垂直的坐标表示的简单应用，属于基础试题．23.【答案】8【解析】解：由斜二测画法的规则知与x′轴平行的线段其长度不变以及与横轴平行的性质不变，正方形的对角线在y′轴上，可求得其长度为√2，故在平面图中其在y轴上，且其长度变为原来的2倍，长度为2√2，其原来的图形如图所示，则原图形的周长是：8cm．故答案为：8．由斜二测画法的规则知在已知图形平行于x轴的线段，在直观图中画成平行于x′轴，长度保持不变，已知图形平行于y轴的线段，在直观图中画成平行于y′轴，且长度为原来一半．由于y′轴上的线段长度为√2，故在平面图中，其长度为2√2，且其在平面图中的y轴上，由此可以求得原图形的周长．本题考查的知识点是平面图形的直观图，其中斜二测画法的规则，能够帮助我们快速的在直观图面积和原图面积之间进行转化．24.【答案】(−2,3)【解析】解：∵不等式ax2+bx+2>0的解集为{x|−12<x<13}，∴−12，13是一元二次方程ax2+bx+2=0的两个实数根，∴{−12+13=−ba−12×13=2aa<0，解得a=−12，b=−2．则不等式2x2+bx+a<0化为2x2−2x−12<0，即x2−x−6<0，解得−2<x<3．∴不等式2x2+bx+a<0的解集为(−2,3)．故答案为：(−2,3)．由于不等式ax 2+bx +2>0的解集为{x|−12<x <13}，可得−12，13是一元二次方程ax 2+bx +2=0的两个实数根，利用根与系数关系可得a ，b ，即可得出．本题考查了一元二次不等式的解法、一元二次不等式与相应方程的关系，属于基础题． 25.【答案】(−∞,0]【解析】【分析】根据偶函数的性质求出k 值，再根据二次函数的图象即可求出其单调减区间．本题考查函数的奇偶性、单调性，属基础题．【解答】解：因为f(x)为偶函数，所以f(−x)=f(x)．即kx 2−(k −1)x +2=kx 2+(k −1)x +2，所以2(k −1)x =0，所以k =1．则f(x)=x 2+2，其递减区间为(−∞,0]．故答案为：(−∞,0]．26.【答案】(本小题满分14分)(Ⅰ)由题意f(x)=14cos2x −√34sin2x +12…(3分) =12cos(2x +π3)+12…(5分) 由2kπ−π≤2x +π3≤2kπ，得kπ−2π3≤x ≤kπ−π6．所以单调f(x)的单调递增区间为[kπ−2π3,kπ−π6]，k ∈Z.…(8分) (Ⅱ)由题意f(x)=(√32cosφ−12)cos2x −√32sinφsin2x +12，…(10分) 由于函数f(x)的最大值为32，即(√32cosφ−12)2+(√32sinφ)2=1，…(12分) 从而cosφ=0，又0≤φ<π，故φ=π2. …(14分)【解析】(Ⅰ)利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，通过正弦函数的单调性求解即可．(Ⅱ)利用函数f(x)的最大值为32，通过求解方程求解即可．本题考查两角和与差的三角函数，正弦函数的单调性的应用，考查计算能力． 27.【答案】解：(1)令t =√x −2，则t ∈[−2,+∞)，x =(t +2)2，∴f(t)=(t +2)2−3(t +2)=t 2+t −4，∴f(x)=x 2+x −4，x ∈[−2,+∞)．(2)f(x)=x 2+x −4为二次函数，开口向上，对称轴为x =−12，∴当x ∈[−2,−12)时，f(x)单调递减；当x ∈(−12,2]时，f(x)单调递增，最大值为f(2)=2，最小值为f(−12)=−174，综上，f(x)在[−2,−12)上单调递减，在(−12,2]上单调递增，在此区间上的最大值为2，最小值为−174．【解析】(1)采用换元法，令t =√x −2，可得f(t)的解析式，从而得解；(2)根据二次函数的单调性与最值，即可得解．本题考查函数解析式的求法，二次函数的图象与性质，熟练掌握换元法，二次函数的单调性与最值是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题． 28.【答案】证明：(1)∵三棱柱ABC −A 1B 1C 1是直三棱柱，∴CC 1⊥平面ABC ，∵AD ⊂平面ABC ，∴AD ⊥CC 1，又∵AD ⊥DE ，DE 、CC 1⊂平面BCC 1B 1，DE ∩CC 1=E ，∴AD ⊥平面BCC 1B 1，∵AD ⊂平面ADE ，∴平面ADE ⊥平面BCC 1B 1．(2)∵△A 1B 1C 1中，A 1B 1=A 1C 1，F 为B 1C 1的中点，∴A 1F ⊥B 1C 1，∵CC 1⊥平面A 1B 1C 1，A 1F ⊂平面A 1B 1C 1，∴A 1F ⊥CC 1，又∵B 1C 1、CC 1⊂平面BCC 1B 1，B 1C 1∩CC 1=C 1，∴A 1F ⊥平面BCC 1B 1又∵AD ⊥平面BCC 1B 1，∴A 1F//AD ，∵A 1F ⊄平面ADE ，AD ⊂平面ADE ，∴直线A1F//平面ADE．【解析】本题以一个特殊的直三棱柱为载体，考查了直线与平面平行的判定和平面与平面垂直的判定等知识点，属于中档题．(1)根据三棱柱ABC−A1B1C1是直三棱柱，得到CC1⊥平面ABC，从而AD⊥CC1，结合已知条件AD⊥DE，即可得到AD⊥平面BCC1B1，从而得证；(2)先证出等腰三角形△A1B1C1中，A1F⊥B1C1，再用类似(1)的方法，证出A1F⊥平面BCC1B1，结合AD⊥平面BCC1B1，得到A1F//AD，最后根据线面平行的判定定理即可证明．。

山东省2021年高考数学仿真模拟冲刺卷4 理(1)

绝密★启用前试卷类型：A山东省2021年高考仿真模拟冲刺卷（四）理科数学总分值150分考试历时120分钟参考公式：若是事件A ，B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ）；若是事件A ，B 独立，那么P （AB ）=P （A ）·P（B ）．若是事件A 在一次实验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复实验中事件A 恰好发生k 次的概率：).,,2,1,0()1()(n k p p C k P k n k k n n =-=-第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．假设全集为实数集R ，集合A =12{|log (21)0},R x x C A->则= （）A ．1(,)2+∞B ．(1,)+∞C ．1[0,][1,)2+∞ D ．1(,][1,)2-∞+∞2．复数11i +在复平面上对应的点的坐标是（）A ．），（11B ．），（11-C ．）（1,1--D ．）（1,1-3．设随机变量X ～N （3，1），假设P （X ＞4）=p ，那么P （2＜X ＜4）=（）A ．21+pB ．1—pC ．1—2pD ．21—p4．设k R ∈，以下向量中，与向量Q=（1，-1）必然不平行的向量是（）A ．b=（k ，k ）B ．c=（-k ，-k ）C ．d=（2k +1，2k +1）D ．e=（2k 一l ，2k —1）5．一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m ），那么该棱锥的全面积是 m2 （）A ．4+B ．4+C ．4+D ．4 正视图侧视图俯视图6．设函数()3sin()(0,)22f x x ππωφωφ=+>-<<的图像关于直线23x π=对称，它的周期是π，那么（）A ．()f x 的图象过点1(0,)2B ．()f x 在2,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数 C ．()f x 的一个对称中心是5(,0)12πD ．将()f x 的图象向右平移φ个单位取得函数3sin y x ω=的图象．7．双曲线22221(1,1)x y a b a b -=≥>的离心率为22 （）A ．3B ．33C ．2D ．128．在ABC ∆中，P 是BC 边中点，角A ，B ，C 的对边别离是a ，b ，c ，假设0cAC aPA bPB ++=，那么ABC ∆的形状为（） A ．等边三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形但不是等边三角形9．已知圆222()()x a y b r -+-=的圆心为抛物线24y x =的核心，且与直线3420x y ++=相切，那么该圆的方程为（）A ．2264(1)25x y -+=B ．22(1)1x y -+= C ．2264(1)25x y +-=D ．22(1)1x y +-= 10．设()f x 与()g x 是概念在同一区间[,]a b 上的两个函数，假设函数()()y f x g x =-在[,]x a b ∈上有两个不同的零点，那么称()f x 和()g x 在[,]a b 上是“关联函数”，区间[,]a b 称为“关联区间”．假设2()34f x x x =-+与()2g x x m =+在[0,3]上是“关联函数”，那么m 的取值范围为（）A ．[1,0]-B ．9(,2]4--C ．(,2]-∞-D ．9(,)4-+∞第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每题5分，共25分．11．假设函数()f x =22(1)()x x ax b -++的图像关于直线2x =-对称，那么()f x 的最大值是．12．设5.205.2)21(,5.2,2===c b a ，那么c b a ,,的大小关系是________． 13．假设点(cos ,sin )p αα在直线2y x =-上，那么sin 22cos2αα+=___________．14．记不等式组0,34,34,x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域为D ，假设直线()1y a x =+与D 公共点，那么a 的取值范围是．15．在实数集R 中概念一种运算“△”，且对任意,a b ∈R ，具有性质： ①a b b a =；②0a a =；③ ()()()()a b c c a b a c b c c =+++，那么函数1()||||f x x x =的最小值为．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解许诺写出文字说明、证明进程或演算步骤． 16．（本小题总分值12分）已知锐角ABC ∆中内角A 、B 、C 的对边别离为a 、b 、c ，226cos a b ab C +=，且2sin 2sin sin C A B =．（Ⅰ）求角C 的值；（Ⅱ）设函数()sin()cos (0)6f x x x πωωω=-->，()f x 且图象上相邻两最高点间的距离为π，求()f A 的取值范围．某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如下图，其中茎为十位数，叶为个位数.（Ⅰ）依照茎叶图计算样本均值；（Ⅱ）日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人，依照茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人；（Ⅲ）从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率.第17题图如图，正方形ADEF 与梯形ABCD 所在的平面相互垂直，CD AD ⊥，AB ∥CD ，221===CD AD AB ，点M在线段EC 上．（Ⅰ）当点M 为EC 中点时，求证：BM ∥平面ADEF ；（Ⅱ）当平面BDM 与平面ABF 所成锐二面角的余弦值为66时，求三棱锥BDE M -的体积．已知：数列{}na的前n项和为nS，且知足naSnn-=2，)(*Nn∈．（Ⅰ）求：1a，2a的值；（Ⅱ）求：数列{}na的通项公式；（Ⅲ）假设数列{}nb的前n项和为nT，且知足nnnab=)(*Nn∈，求数列{}n b的前n项和n T．已知圆M :22(1)1x y ++=，圆N :22(1)9x y -+=，动圆P 与M 外切而且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线 C.（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB|.已知函数3f (x )aln x ax (a R )=--∈．（Ⅰ）假设a=-1，求函数f (x )的单调区间；（Ⅱ）假设函数y f (x )=的图象在点（2，f （2））处的切线的倾斜角为45o ，关于任意的t ∈[1，2]，函数322mg(x )x x [f '(x )](f '(x )=++是f (x )的导函数）在区间（t ，3）上总不是单调函数，求m 的取值范围；（Ⅲ）求证：23412234*ln ln ln ln n ...(n ,n N )n n ⨯⨯⨯⨯<≥∈。

2021届山东省高考数学仿真模拟试卷(一)(含答案解析)

2021届山东省高考数学仿真模拟试卷(一)一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知r 是实数集，M ={x|f(x)=lg(1−2x )}，N ={x|y =√x −1}，则(∁R M)∪N =( ) A. [0,+∞)B. [1,+∞)C. [2,+∞)D. (1,2) 2. 已知条件p ：x ≤1，条件q ：1x <1，则￢p 是q 的( )A. 充要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既非充分也非必要条件 3. 在复平面内，O 是原点，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示的复数分别为−2+i ，3+2i ，1+5i ，那么BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示的复数为( )A. 2+8iB. 2−3iC. −4+4iD. 4−4i 4. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a 13=S 13=13，则a 1=( )A. −14B. −13C. −12D. −11 5. 已知点，点，向量，若，则实数的值为( )A. 5B. 6C. 7D. 8 6. “中国农谷杯”2012全国航模锦标赛于10月12日在荆门开幕，文艺表演结束后，在7所高水平的高校代表队中，选择5所高校进行航模表演．如果M 、N 为必选的高校，并且在航模表演过程中必须按先M 后N 的次序(M 、N 两高校的次序可以不相邻)，则可选择的不同航模表演顺序有( )A. 120种B. 240种C. 480种D. 600种 7. 关于x 的不等式x 2−ax +a >0(a ∈R)在R 上恒成立的充分不必要条件是( )A. a <0或a >4B. 0<a <2C. 0<a <4D. 0<a <8 8. 若函数f(x)=x 2+log 2|x|−4的零点m ∈(a,a +1)，a ∈Z ，则所有满足条件的a 的和为( )A. 1B. −1C. 2D. −2二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)(其中A >0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，则下列结论正确的是( )A. 函数f(x)的图象关于直线x=π2对称B. 函数f(x)的图象关于点(−π12,0)对称C. 函数f(x)在区间[−π3,π6]上单调递增D. 函数y=1与y=f(x)(−π12≤x≤23π12)的图象的所有交点的横坐标之和为8π310.下列说法正确的是()A. 命题p：∃x<0，e x−x>1的否定￢p：∀x<0，e x−x≤1B. 二项式(1+2x)5的展开式的各项的系数和为32C. 已知直线a⊂平面α，则“l//a”是l//α”的必要不充分条件D. 函数y=sinx+1sinx 的图象关于直线x=π2对称11.已知圆C：(x+5)2+(y+12)2=36和点A(−2,0)，B(2,0).若点P在圆C上，|PA|2+|PB|2=λ，则λ的取值不可能为()A. 105B. 110C. 725D. 73512.正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，E、F、G分别是棱AB、B1C1、DD1的中点，下列结论正确的有()A. 过EFG三点所得正方体的截面的面积为3√34B. BD//面EFGC. 三棱锥C−EFG的外接球的直径为56D. CC1在面EFG上的投影为√63三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.乘积(a1+a2+⋯+a n)(b1+b2+⋯+b n)展开后，共有______项．14.设函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0<x<1时，f(x)=log2x，则f(−94)+ f(1)=______．15.过圆x2+y2−2x+4y−5=0上的点P(2,1)的切线方程为______．16.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是________寸．(注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸)四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为A ，B ，C 所对的边．(1)若b a−b =sinC sinA−sinC ，判断△ABC 的形状；(2)若a =2，B =π6，△ABC 的面积为√33，求边长b 的值．18. 数列{a n }中，a 1=3，a n+1=2a n +2．(1)求证：{a n +2}是等比数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)设b n =na n +2，求S n =b 1+b 2+⋯+b n ，并证明：∀n ∈N ∗，15≤S n <45．19. 如图，PA ⊥面ABC ，AB ⊥BC ，AB =PA =2BC =2，M 为PB 的中点．(Ⅰ)求证：AM ⊥平面PBC ；(Ⅱ)求二面角A −PC −B 的余弦值；(Ⅲ)在线段PC 上是否存在点D ，使得BD ⊥AC ，若存在，求出PDPC 的值，若不存在，说明理由．20. 我国政府对PM2.5采用如下标准：PM2.5日均值m(微克/立方米) 空气质量等级一级二级超标某市环保局从180天的市区PM2.5监测数据中，随机抽取l0天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示(十位为茎，个位为叶)．(1)求这10天数据的中位数．(2)从这l0天的数据中任取3天的数据，记表示空气质量达到一级的天数，求的分布列；(3)以这10天的PM2.5日均值来估计这180天的空气质量情况，其中大约有多少天的空气质量达到一级．21. (本题满分15分)已知椭圆：()和圆：，分别是椭圆的左、右两焦点，过且倾斜角为()的动直线交椭圆于两点，交圆于两点(如图所示，点在轴上方).当时，弦的长为．(1)求圆与椭圆的方程；(2)若成等差数列，求直线的方程．22. 已知函数f(x)=sinx，g(x)=x⋅cosx−sinx．x(1)判断函数g(x)在区间(0,3π)上零点的个数；(2)函数f(x)在区间(0,+∞)上的极值点从小到大分别为x1，x2，x3，x4…，x n……，证明：(i)f(x1)+f(x2)<0；(ii)对一切n∈N∗，f(x1)+f(x2)+f(x3)+⋯+f(x n)<0成立．。

2021年山东省普通高中高考数学仿真试卷(1-3)(附答案解析)

整个编号依次分为 10 段，如果抽得号码有下列四种情况：
7，34，61，88，115，142，169，196，223，250；
5，9，100，107，111，121，180，195，200，265；
11，38，65，92，119，146，173，200，227，254；
，57，84，111，138，165，192，219，246，270．
样本数据落在区间 5 的频率为 .45；
如果规定年收入在 500 万元以内的企业才能享受减免税政策，估计有 55▂的当
地中小型企业能享受到减免税政策；
第页，共 45页
样本的中位数为 480 万元．其中正确结论的个数为
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
二、单空题（本大题共 4 小题，共 12.0 分）
2021 年山东省普通高中高考数学仿真试卷（1）
一、单选题（本大题共 20 小题，共 60.0 分）
1. 设集合 M ing1 n t， M ing n 4t，则
M
A. ing n t B. ing n t C. ing1 n 4t D. ing1 n 4t
. 已知 a，b 是实数，则“
且
”是“
且
”的
若将 M
n
的图象向左平移
1
个单位长度，得到
M 䁓 n 的图象，求函数
M
䁓 n 的单调递增区间．
第 5页，共 45页
1.【答案】C
答案和解析
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
【解析】解：集合 M ing1 n t， M ing n 4t， M ing1 n 4t．
故选：C．利用并集定义和不等式的性质直接求解．本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

2021年山东省普通高中高考数学仿真试卷(3)(附答案详解)

2021年山东省普通高中高考数学仿真试卷（3）1. 已知集合A ={x|x >1}，则下列关系中正确的是( )A. 0⊆AB. {0}⊆AC. ⌀⊆AD. {0}∈A2. 已知x 是实数，则使x 2<4成立的一个必要不充分条件是( )A. x <−2B. x <2C. |x|<2D. −1<x <13. 若a ，b ，c ，d 为实数，则下列命题正确的是( )A. 若a <b ，则a|c|<b|c|B. 若ac 2<bc 2，则a <bC. 若a <b ，c <d ，则a −c <b −dD. 若a <b ，c <d ，则ac <bd4. 当0≤x ≤2时，a <−x 2+2x 恒成立，则实数a 的取值范围是( )A. (−∞,1]B. (−∞,0]C. (−∞,0)D. (0,+∞)5. 下列各图中，可表示函数y =f(x)图象的只可能是( )A.B.C.D.6. 若函数f(x)=(m 2−2m −2)x m−1是幂函数，则m =( )A. 3B. −1C. 3或−1D. 1±√37. 计算(94) 12−(− 2.5)0−(827)23+(32)− 2的结果为( )A. 52B. 12C. 2518D. 328. 已知函数f(x)=4+a x+1的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是( )A. (−1,5)B. (−1,4)C. (0,4)D. (4,0)9. 设a =213，b =(14)23，c =log 212，则( )A. a >b >cB. a >c >bC. b >a >cD. b >c >a10. 已知tanα=4，则cos2α=( )A. 725B. −725C. 1517D. −151711. 化简cos16°cos44°−cos74°sin44°的值为( )A. √32B. −√32C. 12D. −1212. 函数y =2sin(12x +π4)的周期，振幅，初相分别是( )A. π4,2,π4B. 4π,−2,−π4C. 4π,2,π4D. 2π,2,π413.已知a⃗，b⃗ 为单位向量，且(2a⃗−b⃗ )⊥b⃗ ，则|a⃗−2b⃗ |=()A. 1B. √3C. 2D. √514.在△ABC中，BC=1，AB=√3，C=π3，则A=()A. π6或5π6B. π6C. π3或2π3D. π315.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a=√5，c=2，cosB=3√510，则b=()A. √2B. √3C. 2D. 316.正四棱锥的底面边长和高都等于2，则该四棱锥的体积为()A. 2√33B. 2√23C. 83D. 817.下列命题中正确的是()A. 若直线l上有无数个点不在平面α内，则l//αB. 如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行C. 若两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线互相平行D. 垂直于同一个平面的两条直线互相平行18.把分别写有1，2，3，4的四张卡片全部分给甲、乙、丙三个人，每人至少一张，且若分得的卡片超过一张，则必须是连号，那么2，3连号的概率为()A. 23B. 13C. 35D. 1419.如图为某地区2006年～2018年地方财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额折线图．根据该折线图可知，该地区2006年～2018年()A. 财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额均呈增长趋势B. 财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额的逐年增长速度相同C. 财政预算内收入年平均增长量高于城乡居民储蓄年末余额年平均增长量D. 城乡居民储蓄年末余额与财政预算内收入的差额逐年增大20. 如图，在正四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E,F 分别是AB 1，BC 1的中点，则以下结论中不．成立．．的是( )A. EF 与BB 1垂直B. EF 与BD 垂直C. EF 与CD 异面D. EF 与A 1C 1异面21. 已知x >0，y >0，则(2x +y)(1x +2y )的最小值为______． 22. 已知函数f(x)={2−x,x ∈[0,2]x,x ∈(2,4]，则f(1)+f(3)=______．23. 已知角α的终边经过点P(3,4)，则cosa = ______ ． 24. 已知sin(α+π6)=13，则cos(π3−α)= ______ ．25. 复数2i1+i (i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于第______象限． 26. 如图，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，M ，N 分别为棱AC ，A 1B 1的中点，且AB =BC (1)求证：平面BMN ⊥平面ACC 1A 1 (2)求证：MN//平面BCC 1B 127.2020年春季，受疫情的影响，学校推迟了开学时间.上级部门倡导“停课不停学”，鼓励学生在家学习，复课后，某校为了解学生在家学习的周均时长(单位：小时)，随机调查了部分学生，根据他们学习的周均时长，得到如图所示的频率分布直方图．(1)求该校学生学习的周均时长的众数的估计值；(2)估计该校学生学习的周均时长不少于30小时的概率．28.在①sinA−sinCb =sinA−sinBa+c，②2ccosC=acosB+bcosA这两个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，_____．(1)求角C；(2)若c=√5,a+b=√11，求△ABC的面积．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查的知识点是元素与集合关系的判断．根据集合A中元素满足的性质x>1，逐一判断四个答案中的四个元素是否满足该性质，即可得到结论【解答】解：∵集合A={x|x>1}，A中，0是一个元素，元素与集合之间是属于或者不属于关系，故A错误；B中，0>1不成立，∴{0}⊆A不对，故B错误；C中，空集是任何集合的子集，故C正确；D中，集合与集合之间是真子集或者子集以及相等关系，故D错误；故选：C．2.【答案】B【解析】解：由x2<4得−2<x<2，则使x2<4成立的一个必要不充分条件，则x<2，满足条件，故选：B．先求出不等式的等价条件，利用必要不充分条件与集合关系进行求解即可．本题主要考查充分条件和必要条件的应用，求出不等式的等价条件是解决本题的关键，是基础题．3.【答案】B【解析】解：若a<b，则a|c|≤b|c|(|c|=0时“=”成立)，故A错误；若ac2<bc2，则c2>0，则a<b，故B正确；若a<b，c<d，则−d<−c，得a−d<b−c，故C错误；若a<b<0，c<d<0，则ac>bd，故D错误．∴正确的命题是B．故选：B．由不等式的基本性质逐一核对四个选项得答案．本题考查不等式的基本性质，考查命题的真假判断与应用，是基础题．4.【答案】C【解析】【分析】本题考查了运用函数的思想解决恒成立问题，转化为最值问题求解．构造函数g(x)=−x2+2x，0≤x≤2，求最值解得a的范围．【解答】解：构造函数g(x)=−x2+2x=−(x−1)2+1，0≤x≤2，根据二函数单调性，g(x)min=g(0)=g(2)=0，g(x)max=g(1)=1，∴g(x)∈[0,1]，∵a<−x2+2x恒成立，∴a<0，故选：C5.【答案】D【解析】解：根据题意，函数的定义：定义域中任意一个元素x只能对应值域的一个元素，即与x轴垂直的直线与函数图象最多只有一个交点，分析选项，只有D符合；故选：D．根据题意，由函数的定义中对应关系分析：与x轴垂直的直线与函数图象最多只有一个交点，据此分析可得答案．本题考查函数的定义，注意函数定义中的对应关系，属于基础题．6.【答案】C【解析】【分析】本题考查了幂函数的概念，属于基础题．利用幂函数的定义直接求解．【解答】解：因为函数f(x)=(m2−2m−2)x m−1是幂函数，所以m 2−2m −2=1，解得m =−1或m =3．故选：C ．7.【答案】B【解析】解：原式=(32)2×12−1−(23)3×23+(23)2=32−1−(23)2+(23)2=12．故选：B ．利用有理指数幂的运算性质进行求解即可．本题考查了有理指数幂的运算性质的应用，考查了化简运算能力，属于基础题．8.【答案】A【解析】解：依题意知，当x +1=0，即x =−1时，函数f(x)=4+a x+1的图象恒过定点(−1,4+a 0)，即(−1,5)．故定点P 的坐标是(−1,5)．故选：A ．依题意，当x +1=0时，函数f(x)=4+a x+1的图象恒过定点，从而可得答案．本题考查指数函数的性质，考查函数过定点问题，属于中档题．9.【答案】A【解析】解：∵a =213>20=1，0<b =(14)23<(14)0=1，c =log 212<log 21=0，∴a >b >c ．故选：A ．利用有理指数幂与对数的运算性质比较a ，b ，c 与0和1的大小得答案．本题考查对数值的大小比较，考查有理指数幂与对数的运算性质，是基础题．10.【答案】D【解析】解：tanα=4，则cos2α=cos 2α−sin 2αsin 2α+cos 2α=1−tan 2αtan 2α+1=1−1616+1=−1517，故选：D ．由题意利用二倍角的余弦公式，同角三角函数的基本关系，求出结果．本题主要考查二倍角的余弦公式，同角三角函数的基本关系，属于基础题．11.【答案】C【解析】解：cos16°cos44°−cos74°sin44°=cos16°cos44°−sin16°sin44°=cos(16°+44°)=cos60°=12，故选：C．利用诱导公式化cos74°为sin16°，再由两角和的余弦得答案．本题考查两角和与差的三角函数，是基础的计算题．12.【答案】C【解析】【分析】本题考查y=Asin(ωx+φ)中参数的物理意义，解题的关键是理解A，ω，φ的意义，属于基础题．本题的函数解析式已知，由其形式观察出振幅，初相，再由公式求出函数的周期，对照四个选项得出正确选项．【解答】解：∵函数y=2sin(12x+π4)，∴振幅是2，初相是π4，又x的系数是12，故函数的周期是T=2π12=4π，故选：C．13.【答案】B【解析】解：a⃗，b⃗ 为单位向量，且(2a⃗−b⃗ )⊥b⃗ ，可得(2a⃗−b⃗ )⋅b⃗ =2a⃗⋅b⃗ −b⃗ 2=0，所以，2a⃗⋅b⃗ =b⃗ 2=1，则|a⃗−2b⃗ |=√a⃗2−4a⃗⋅b⃗ +4b⃗ 2=√3．故选：B．利用已知条件求出向量数量积为0，推出a⃗⋅b⃗ =1，然后求解向量的模即可．本题考查向量的数量积的应用，向量的模的求法，是基本知识的考查．14.【答案】B【解析】解：∵BC=1，AB=√3，C=π3，由正弦定理可得，1sinA =√3√32，∴sinA=12，∵A∈(0,π)且AB>BC，∴C>A，则A=π6故选：B．由已知结合正弦定理及三角形的大边对大角即可求解．本题主要考查了正弦定理在求解三角形中的应用，属于基础试题．15.【答案】B【解析】解：∵a=√5，c=2，cosB=3√510，∴由余弦定理可得：b=√a2+c2−2accosB=√5+4−2×√5×2×3√510=√3．故选：B．由已知利用余弦定理即可求解b的值．此题考查了余弦定理，熟练掌握余弦定理是解本题的关键，属于基础题．16.【答案】C【解析】解：∵正四棱锥的底面边长和高都等于2，∴该四棱锥的体积V=13Sℎ=13×22×2=83．故选：C．利用正四棱锥的体积公式直接求解．本题考查正四棱锥的体积的求法，考查正四棱锥的体积公式等基础知识，考查空间思维能力，是基础题．17.【答案】D【解析】【分析】本题考查命题真假的判断，考查空间中的位置关系，是基础题．根据题意，逐项判断即可．【解答】解：在A中，直线l上有无数个点不在平面α内，则l与α相交或平行，故A错误；在B中，如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行或另一条在这个平面上，故B错误；在C中，若两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线相交、平行或异面，故C错误；在D中，由线面垂直的性质定理得垂直于同一个平面的两条直线互相平行，故D正确．故选：D．18.【答案】B【解析】解：把分别写有1，2，3，4的四张卡片全部分给甲、乙、丙三个人，每人至少一张，且若分得的卡片超过一张，则必须是连号，基本事件总数n=C31A33=18，2，3连号包含的基本事件个数m=A33=6，∴2，3连号的概率为P=mn =618=13．故选：B．基本事件总数n=C31A33=18，2，3连号包含的基本事件个数m=A33=6，由此能求出2，3连号的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19.【答案】AD【解析】解：由图知财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额均呈增长趋势，A对．由图知城乡居民储蓄年末余额的年增长速度高于财政预算内收入的年增长速度，B错．由图知财政预算内收入年平均增长量低于城乡居民储蓄年末余额年平均增长，C错．由图知城乡居民储蓄年末余额与财政预算内收入的差额逐年增大，D对．故选：AD．根据图分析每一个结论．本题考查简单的逻辑推理，属于基础题．20.【答案】D【解析】【分析】本题考查异面直线的判定，考查空间想象能力，是基础题．观察正方体的图形，连B 1C ，则B 1C 交BC 1于F 且F 为BC 1中点，推出EF//A 1C 1，分析可得答案．【解答】解：连B 1C ，则B 1C 交BC 1于F 且F 为BC 1中点，三角形B 1AC 中，EF = //12AC ，所以EF//平面ABCD ，而B 1B ⊥面ABCD ，所以EF 与BB 1垂直；又AC ⊥BD ，所以EF ⊥BD ，EF 与CD 异面．由EF = //12AC ，AC//A 1C 1得EF//A 1C 1，∴EF 与A 1C 1共面．故选：D ．21.【答案】8【解析】解：因为x >0，y >0，则(2x +y)(1x +2y )=4+4x y +y x ≥4+2√4x y ×y x =8；当且仅当2x =y 时取号，即(2x +y)(1x +2y )的最小值为8；故答案为：8．展开多项式乘多项式，然后利用基本不等式求最值．本题考查利用基本不等式求最值，是基础题． 22.【答案】4【解析】解：∵函数f(x)={2−x,x ∈[0,2]x,x ∈(2,4], ∴f(1)=2−1=1，f(3)=3，∴f(1)+f(3)=1+3=4．故答案为：4．推导出f(1)=1，f(3)=3，由此能求出f(1)+f(3)．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．23.【答案】35【解析】解：由题意得角α的终边经过点P(3,4)，则|OP|=5，所以cosa=x|OP|=35，故答案为：35．由题意和任意角的三角函数的定义求出cos a的值即可．本题考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．24.【答案】13【解析】解：由诱导公式可得cos(π3−α)=sin[π2−(π3−α)]=sin(α+π6)=13．故答案为：13由诱导公式可得cos(π3−α)=sin[π2−(π3−α)]=sin(α+π6)，代入已知可得．本题考查三角函数的诱导公式，属基础题．25.【答案】一【解析】解：复数2i1+i =2i(1−i)(1+i)(1−i)=2i(1−i)2=i+1在复平面所对应的点(1,1)位于第一象限．故答案为：一．利用复数的运算法则和几何意义即可得出．本题考查了复数的运算法则、几何意义等基础知识，属于基础题．26.【答案】证明：(1)因为M为棱AC的中点，且AB=BC，所以BM⊥AC，又因为ABC−A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥平面ABC因为BM⊂平面ABC，所以AA1⊥BM又因为AC，A1A⊂平面ACC1A1且AC∩A1A=A，所以BM⊥平面ACC1A1因为BM⊂平面BMN，所以：平面BMN⊥平面ACC1A1(2)取BC的中点P，连接B1P和MP因为M、P为棱AC、BC的中点，所以MP//AB，且MP=12AB，因为ABC−A1B1C1是直三棱柱，所以A1B1//AB，AB=AB因为N为棱A1B1的中点，所以B1N//BA，且B1N=12BA；所以B1N//PM，且B1N=PM；所以MNB1P是平行四边形，所以MN//PB1又因为MN⊄平面BCC，PB1⊂平面BCC1B1所以MN//平面BCC1B1注意：也可以取C1B1的中点，同理用线面平行的判定定理证得)(说明：如用面面平行的性质定理证的话，一定先证线面平行，得到面面平行，再用面面平行的性质定理证得)．【解析】(1)利用线线垂直BM⊥AC，AA1⊥BM可得线面垂直BM⊥平面ACC1A1，再有线面垂直得平面BMN⊥平面ACC1A1(2)利用证明MNB1P是平行四边形得证MN//平面BCC1B1本题考查线面垂直，面面垂直的判定定理和性质定理，线面平行的性质和判定定理．考查证明平行垂直的线的关系，属于中档题．27.【答案】解：(1)根据直方图知：频率最大的区间中点横坐标即为众数，故由频率最大区间为[20,30)，则众数为20+302=25；(2)由图知：不少于30小时的区间有[30,40)，[40,50)，故该校学生学习的周均时长不少于30小时的概率P=0.03×10=0.3．【解析】(1)根据直方图，频率最大的区间中点的横坐标为众数即可求众数；(2)由学习的周均时长不少于30小时的区间有[30,40)，[40,50)，它们的频率之和即为该校学生学习的周均时长不少于30小时的频率．本题考查了根据直方图求众数，概率，应用了众数的概念，频率法求概率，是基础题．28.【答案】解：若选择①，sinA−sinCb =sinA−sinBa+c，(1)由正弦定理可得：a−cb =a−ba+c，整理可得：a2+b2−c2=ab，由余弦定理可得cosC=a2+b2−c22ab =ab2ab=12，因为C∈(0,π)，所以C=π3．(2)因为C=π3，c=√5,a+b=√11，所以由余弦定理c2=a2+b2−2abcosC，可得5=a2+b2−ab=(a+b)2−3ab= 11−3ab，解得ab=2，所以S△ABC=12absinC=12×2×√32=√32．若选择②，2ccosC=acosB+bcosA，(1)由正弦定理可得：2sinCcosC=sinAcosB+sinBcosA=sinC，因为C为三角形内角，sinC≠0，所以可得cosC=12，因为C∈(0,π)，所以C=π3．(2)因为C=π3，c=√5,a+b=√11，所以由余弦定理c2=a2+b2−2abcosC，可得5=a2+b2−ab=(a+b)2−3ab= 11−3ab，解得ab=2，所以S△ABC=12absinC=12×2×√32=√32．【解析】若选择①，(1)由正弦定理化简已知等式可得a2+b2−c2=ab，由余弦定理可得cosC=12，结合范围C∈(0,π)，可求C的值．(2)由题意利用余弦定理可求得ab的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．若选择②，(1)由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得2sinCcosC=sinC，结合C为三角形内角，sinC≠0，可得cosC=12，结合范围C∈(0,π)，可求C的值．(2)由题意利用余弦定理可求得ab的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，两角和的正弦函数公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．。

山东省2021年高考数学仿真模拟冲刺卷4 文(1)

绝密★启用前试卷类型：A山东省2021年高考仿真模拟冲刺卷（四）文科数学总分值150分考试历时120分钟参考公式：若是事件A ，B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ），若是事件A ，B 独立，那么P （AB ）=P （A ）·P（B ）．第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．已知集合{1,2,3,4}A =，2{|,}B x x n n A ==∈，那么A B =（）A ．{0}B ．{-1，，0}C ．{0，1}D ．{-1，，0，1}2．复数z=i （-2-i ）（i 为虚数单位）在复平面内所对应的点在（） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知命题:p “[]0,2,12≥-∈∀a x x ”，命题q ：“022,2=-++∈∃a ax x R x ”．假设命题“q p ∧⌝”是真命题，那么实数a 的取值范围是（）A ．a≤—2或a=1B ．a≤2或1≤a≤2C ．a ＞1D ．—2≤a≤14．“(21)0x x -=”是“0x =”的（） A ．充分没必要要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．假设曲线221:20C x y x ++=与曲线2:()0C y y mx m -+=有四个不同的交点，那么实数m 的取值范围是（）A．(33-B．3((0,)33-C ．[—3，3]D ．3(,(,)33-∞-+∞6．已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的矩形，那么该正方体的正视图的面积等于（）AB ．1CD7．将函数()2sin(2)4f x x π=+的图象向右平移(0)ϕϕ>个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原先的12倍，所得图象关于直线4x π=对称，那么ϕ的最小正值为（）A ．18πB ．38πC ．34πD ．12π8．已知函数()x f 是概念在R 上的奇函数，且知足()(),2x f x f -=+当10≤≤x 时，()xx f 21=，那么使()21-=x f 的x 的值是（）A ．()Z n n ∈2B ．()Z n n ∈-12C ．()Z n n ∈+14D ．()Z n n ∈-149．设函数22,()ln )3(x x g x x x x f e +-=+-=. 假设实数a ， b 知足()0,()0f a g b ==，那么（） A ．()0()g a f b << B ．()0()f b g a << C ．0()()g a f b <<D ．()()0f b g a <<10．已知22(0)(),(1)(0)a x x x f x f x x ⎧--<=⎨-≥⎩且函数()y f x x =-恰有3个不同的零点，那么实数a 的取值范围是（）A ．[-1，+∞）B ．[-1，0）C ．（0，+ ∞）D ．[-2，+ ∞）第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每题5分，共25分．11．观看等式：11212233+=⨯⨯，11131223344++=⨯⨯⨯，依照以上规律，写出第四个等式为：．12．在ABC ∆21==BA BC ABAC ，那么AB 边的长度为__________.13．各项均为正数的等比数列{}n a 知足17648a a a ==，，假设函数()231012310f x a x a x a x a x =+++⋅⋅⋅+的导数为()f x '，那么1()2f '= ．14．设2m ≥，点)(y x P ，为1y xy mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域内任意一点，)50(-，M ，O 坐标原点，)(m f 为OP OM ⋅的最小值，那么)(m f 的最大值为_________________．15．给出以下四个命题：① 命题"0cos ,">∈∀x R x 的否定是“,cos 0x R x ∃∈≤”；② 假设0<a<1，那么函数3)(2-+=xa x x f 只有一个零点；③ 函数)32sin(π-=x y 的一个单调增区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡-125,12ππ； ④ 关于任意实数x ，有)()(x f x f =-，且当x>0时，0)('>x f ，那么当x<0时，0)('<x f ．⑤ 假设]1,0(∈m ，那么函数m m y 3+=的最小值为32；其中真命题的序号是（把所有真命题的序号都填上）．三、解答题本大题共6小题，共75分． 16．（本小题总分值12分）已知函数(),12f x x x Rπ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭.（Ⅰ）求3f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；（Ⅱ）假设33cos,,252πθθπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，求6fπθ⎛⎫-⎪⎝⎭．17．（本小题总分值12分）某校研究性学习小组，为了分析2021年某小国的宏观经济形势，查阅了有关材料，取得2020年和2021年1—5月该国CPI同比（即昔时某月与前一年同月比）的增加数据（见下表），但2021年3，4，5三个月的数据（别离记为x，y，z）没有查到，有的同窗清楚记得2021年1—5月的CPI数据成等差数列．（Ⅰ）求x，y，z的值；（Ⅱ）求2021年1—5月该国CPI数据的方差；（Ⅲ）一样以为，某月CPI达到或超过3个百分点就已经通货膨胀，而达到或超过5个百分点那么严峻通货膨胀．现随机的从下表2020年的五个月和2021年的五个月的数据中各抽取一个数据，求相同月份2020年通货膨胀，而且2021年严峻通货膨胀的概率．附表：2020年和2021年1—5月CPI数据（单位：百分点注：1个百分点=1%）如图4，在边长为1的等边三角形ABC 中，,D E 别离是,AB AC 边上的点，AD AE =，F 是BC 的中点，AF与DE 交于点G ，将ABF ∆沿AF 折起，取得如图5所示的三棱锥A BCF -，其中2BC =.（Ⅰ）证明:DE //平面BCF ；（Ⅱ）证明:CF ⊥平面ABF ；（Ⅲ）当23AD =时，求三棱锥F DEG -的体积F DEG V -．已知等比数列{}n a 的前n 项和a T nn -=)31(，数列{}nb )0(>n b 的首项为a b =1，且其前n 项和n S 知足1121--+=+n n n n S S S S （),2*∈≥N n n （Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）假设数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n n b b 的前n 项和为n P．已知函数x x g x mmx x f ln 2)(,)(=-=（Ⅰ）当2=m 时，求曲线)(x f y =在点（1，)1(f ）处的切线方程；（Ⅱ）当1=m 时，证明方程)()(x g x f =有且仅有一个实数根；（Ⅲ）假设e e x ](,1(∈是自然对数的底）时，不等式2)()(<-x g x f 恒成立，求实数m 的取值范围．椭圆C:2222x y a b +=1（a >b >0）的离心率3e =，a +b =3．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）如图，A ，B ，D 是椭圆C 的极点，P 是椭圆C 上除极点外的任意点，直线DP 交x 轴于点N 直线AD 交BP 于点M ，设BP 的斜率为k ，MN 的斜率为m ，证明2m-k为定值．文科数学（四）选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 ADCBBDBDAB二、填空题11、11111512233445566++++=⨯⨯⨯⨯⨯1二、3 13、554 14、103-15、（1）（3）（4）三、解答题16、解：(1)22133124f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (2)33cos ,,252πθθπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭,24sin 1cos 5θθ=--=-, 1=22cos cos sin sin 64445f ππππθθθθ⎛⎫⎛⎫⎫∴--=+=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭. 17．（1）依题意知4．9,5．0，x,y,z 成等差数列，因此公差d=5．0-4．9=0．1 故 5.00.1 5.1,0.1 5.2,0.1 5.3x y x z y =+==+==+= …………… 3分（2）由（1）知2021年1～5月该国CPI 的数据为：4.9, 5.0, 5.1, 5.2, 5.35.1x ∴=，2222221s (4.9 5.1)(5.0 5.1)(5.1 5.1)(5.2 5.1)(5.3 5.1)5⎡⎤∴=-+-+-+-+-⎣⎦ =0．02 5分（3）用（m,n ）表示随机的从2020年的五个月和2021年的五个月的数据中各抽取一个数据的大体事件，其中m 表示2020年的数据，n 表示2021年的数据，那么所有大体事件有：（2．7,4．9），（2．7,5．0），（2．7,5．1），（2．7,5．2），（2．7,5．,3）（2．4,4．9），（2．7,5．0），（2．4,5．1），（2．4,5．2），（2．4,5．,3），（2．8,4．9），（2．8,5．0），（2．8,5．1），（2．8,5．2），（2．8,5．,3），（3．1,4．9），（3．1,5．0），（ 3．1,5．1），（3．1,5．2），（3．1,5．,3），（2．9,4．9），（2．9,5．0），（2.9,5.1），（2.9,5.2），（2.9,5.,3）共25种 …………… 9分其中知足相同月份2020年通货膨胀，而且2021年严峻通货膨胀的大体事件有：（3．1,5．0），（ 3.1,5.1），（3.1,5.2），（3.1,5.,3），共4种， ……………10分因此p=4/25=0.16,即相同月份2020年通货膨胀，而且2021年严峻通货膨胀的概率为0.16．12分 18、(1)在等边三角形ABC 中,AD AE =AD AE DB EC ∴=,在折叠后的三棱锥A BCF -中也成立,//DE BC ∴ ,DE ⊄平面BCF ,BC ⊂平面BCF ,//DE ∴平面BCF ;(2)在等边三角形ABC 中,F 是BC 的中点,因此AF BC ⊥①,12BF CF ==.在三棱锥A BCF -中,22BC =,222BC BF CF CF BF ∴=+∴⊥②BF CF F CF ABF ⋂=∴⊥平面;(3)由(1)可知//GE CF ,结合(2)可得GE DFG ⊥平面.19、解：（1）依照已知条件可知，1221,31T T a a a -=-=272,92233-=-=-=T T a ,有数列{}n a 成等比数列，那么3122a a a ⋅=，即=814)272()31(-⨯-a ，解得a=1,设数列{}n a 的公比为q,那么3112==a a q ，因此nn n a )31(2)31(321-=⨯-=- ……3分1121--+=+n n n n S S S S ，其中*∈≥N n n ,2，又>n b ，得11=--n n S S ，数列}{n S 组成一个首项为1，公差为1的等差数列，因此nn S n =⨯-+=1)1(1，因此2n S n =，当*∈≥N n n ,2时12)1(221-=--=-=-n n n S S b n n n ，易知11=b 也适合那个公式，因此12-=n b n （*∈N n ） 6分（2）．由（1）知)12)(12(111+-=-n n b b n n ，那么nP ++⨯+⨯+⨯=++++=+ 75153131111111433221n n b b b b b b b b )12)(12(1+-n n =12)1211(21)121121(21)5131(21)311(21+=+-=+--++-+-n n n n n 。

山东省2021年高考数学仿真模拟冲刺卷2 文(1)

FEDC BA 绝密★启用前试卷类型：A山东省2021年高考仿真模拟冲刺卷（二）文科数学总分值150分考试历时120分钟参考公式：若是事件A ，B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ）；若是事件A ，B 独立，那么P （AB ）=P （A ）·P（B ）．第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．已知集合2{|4120},{|2}A x R x x B x R x =∈--<=∈<，那么()R A C B = （） A ．{|6}x x < B ．{|22}x x -<< C ．{|2}x x >-D ．{|26}x x ≤<2．在复平面内，复数(2)i i -对应的点位于（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知命题:p x R ∃∈，使5sin 2x =命题:q x R ∀∈，都有210.x x ++>给出以下结论：① 命题“q p ∧”是真命题② 命题“)(q p ⌝∧”是假命题③ 命题“q p ∨⌝)(”是真命题； ④ 命题“)()(q p ⌝∨⌝”是假命题其中正确的选项是（）A ．② ④B ．② ③C ．③ ④D ．① ② ③4．如图，正方形ABCD 中，点E ，F 别离是DC ，BC 的中点，那么=EF （）A ．1122AB AD+B ．ADAB 2121--图 21俯视图侧视图正视图21C ．ADAB 2121+-D ．1122AB AD-5．设P 是圆22(3)(1)4x y -++=上的动点，Q 是直线3x =-上的动点，那么PQ 的最小值为（） A ．6B ．4C ．3D ．26．角α的终边通过点A (3,)a -，且点A 在抛物线214y x =-的准线上，那么sin α=（） A ．12-B ．12C ．32-D ．327．某三棱锥的三视图如图2所示，那么该三棱锥的体积是（）A ．16B ．13C ．23D ．18．在平面直角坐标系内，假设曲线C ：04542222=-+-++a ay ax y x 上所有的点均在第四象限内，那么实数a 的取值范围为（） A ．()2,-∞- B ．()1,-∞- C ．()+∞,1D ．()+∞,29．函数()sin()f x x =+ωϕ（其中2π<ϕ）的图象如下图，为了取得()sin g x x =ω的图象，那么只要将()f x 的图象（）A ．向右平移6π个单位长度B ．向右平移12π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度D ．向左平移12π个单位长度10．椭圆2221(1)x y a a +=>上存在一点P ，使得它对两个核心1F ，2F 的张角122F PF π∠=，那么该椭圆的离心率的取值范围是（）A ．B ．C ．1(0,]2D ．1[,1)2第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每题5分，共25分．11．设函数33,0()log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，那么1(())2f f -= ． 12．已知向量()()()()1,1,2,2,,=m n m n m n λλλ=+=++⊥-若则____________．13．给出两个函数性质：性质1：(2)f x +是偶函数；性质2：()f x 在()-∞2，上是减函数，在(2)+∞，上是增函数；关于函数①()2f x x =+，②2()(2)f x x =-，③()cos(2)f x x =-，上述两个函数性质都具有的所有函数的序号是．14．从三男三女6名学生中任选2名（每名同窗被选中的机遇相等），那么2名都是女同窗的概率等于_________． 15．设a ，b ，c 为单位向量，a ，b 的夹角为600，那么（a + b + c ）·c 的最大值为．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解许诺写出文字说明，证明进程或演算步骤． 16．（本小题总分值12分）在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边别离为a ，b ，c ，且2asinB=3b ．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）假设a=6，b+c=8，求△ABC 的面积．1A如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，A1O⊥平面ABCD ，1AB AA ==（Ⅰ）证明：A1BD // 平面CD1B1；（Ⅱ）求三棱柱ABD-A1B1D1的体积．据调查统计，通过这两条公路从城市甲到城市乙的200辆汽车所历时刻的频数散布如下表：（I）为进行某项研究，从所历时刻为12天的60辆汽车中随机抽取6辆．（i）假设用分层抽样的方式抽取，求从通过公路1和公路2的汽车中各抽取几辆；（ii）假设从（i）的条件下抽取的6辆汽车中，再任意抽取两辆汽车，求这两辆汽车至少有一辆通过公路1的概率．（II）假设汽车A只能在约定日期（某月某日）的前11天动身，汽车B只能在约定日期的前12天动身．为了尽最大可能在各自许诺的时刻内将货物运往城市乙，估量汽车A和汽车B应如何选择各自的途径．在平面直角坐标系上，设不等式组)()3(20*∈⎪⎩⎪⎨⎧--≤≥>N n x n y y x 表示的平面区域为nD ，记nD 内的整点（横坐标和纵坐标均为整数的点）的个数为na ．（I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）假设nn n a b b +=+21，131-=b ．求证：数列}96{++n b n 是等比数列，并求出数列}{n b 的通项公式．已知椭圆D ：)10(1222<<=+b b y x 的左核心为F ，其左、右极点为A 、C ，椭圆与y 轴正半轴的交点为B ，FBC ∆的外接圆的圆心P ),(n m 在直线0=+y x 上．（Ⅰ）求椭圆D 的方程；（Ⅱ）已知直线2:-=x l ，N 是椭圆D 上的动点，l NM ⊥，垂足为M ，是不是存在点N ，使得FMN ∆为等腰三角形？假设存在，求出点N 的坐标，假设不存在，请说明理由．已知a ∈R ，函数()f x =23x -3（a +1）2x +6ax ．（Ⅰ）假设a =1，求曲线()y f x =在点（2，f （2））处的切线方程；（Ⅱ）假设|a |>1，求()f x 在闭区间[0，|2a|]上的最小值．文科数学（二）一、选择题二、填空题：11. 12-12. —3 13． ② 14．1515．13+三、解答题16、解：(Ⅰ)由已知取得:2sin sin A B B ,且(0,)sin 0sin 2B B A π∈∴≠∴且(0,)23A A ππ∈∴=; (Ⅱ)由(1)知1cos 2A =,由已知取得: 222128362()3366433623b c bc b c bc bc bc =+-⨯⇒+-=⇒-=⇒=,因此128232ABCS=⨯⨯=17、证明：(Ⅰ) 设111O D B 线段的中点为.11111111//D B BD D C B A ABCD D B BD ∴-的对应棱是和 .1111111111//,.//B CD BD A O D B C O O BD O A C O O A 面面且⇒==⇒ .(证毕)(Ⅱ) 的高是三棱柱面ABD D B A O A ABCD O A -∴⊥11111 . 在正方形ABCD 中,AO = 1 . .111=∆O A OA A RT 中，在11)2(2121111111=⋅⋅=⋅=-∆-O A S V ABD D B A ABD ABD D B A 的体积三棱柱.因此,1111111=--ABD D B A V ABD D B A 的体积三棱柱.18．解：（Ⅰ）（i ）公路1抽取20622040⨯=+辆汽车,公路2抽取40642040⨯=+辆汽车．2分（ii ）通过公路1的两辆汽车别离用12,A A 表示，通过公路2的4辆汽车别离用1234,,,B B B B 表示，任意抽取2辆汽车共有15种可能的结果：12(,)A A ，11(,)A B ，12(,)A B ，13(,)A B ，14(,)A B ，21(,)A B ，22(,)A B ，23(,)A B ，24(,)A B ，12(,)B B ，13(,)B B ，41(,)B B ，23(,)B B ，24(,)B B ，34(,)B B ，…4分其中至少有1辆通过公路1的有9种，因此至少有1辆通过1号公路的概率35．………6分（Ⅱ）频率散布表，如下：………………………………8分设12,C C 别离表示汽车A 在前11天动身选择公路一、2将货物运往城市乙；12,D D 别离表示汽车B 在前12天动身选择公路一、2将货物运往城市乙．1()0.20.40.6P C =+= ,2()0.10.40.5P C =+= ∴ 汽车A 应选择公路1． 10分1()0.20.40.20.8P D =++= ,2()0.10.40.40.9P D =++=,∴ 汽车B 应选择公路2．…………………………12分19、解：（1）由⎪⎩⎪⎨⎧--≤≥>)3(200x n y y x 得30≤<x ，……1分因此平面区域为nD 内的整点为点（3,0）或在直线12x x ==和上． …2分直线)3(2--=x n y 与直线12x x ==和交点纵坐标别离为n y n y 2421==和nD 内在直线12x x ==和上的整点个数别离为4n+1和2n+1, ……4分3611214+=++++=∴n n n a n ……………5分（2）由n n n a b b +=+21得3621++=+n b b n n ……6分16(1)92(69)n n b n b n +∴+++=++ …………………9分 16192b +⨯+= …………………………10分 {69}n b n ∴++是以2为首项，公比为2的等比数列………………11分692n n b n ∴++= …12分269n n b n ∴=-- …13分20.解：（Ⅰ）由题意知，圆心P 既在FC 的垂直平分线上，也在BC 的垂直平分线上，设F 的坐标为)0)(0,(>-c c ，那么FC 的垂直平分线方程为21cx -=………①因为BC 的中点坐标为)2,21(b ， BC 的斜率为b -因此BC 的垂直平分线的方程为)21(12-=-x b b y …② 联立①②解得：21c x -=，b c b y 22-=，即21c m -=，b c b n 22-=，因为P ),(n m 在直线0=+y x 上。

山东省2021届高考数学仿真模拟冲刺考试（三）文 (1)

高考仿真模拟冲刺考试（三）数学文总分值150分考试历时120分钟参考公式：若是事件A ，B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ）; 若是事件A ，B 独立，那么P （AB ）=P （A ）·P（B ）．第Ⅰ卷（选择题共50分）一．选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．在复平面上，复数()1i iz =+的共轭复数的对应点所在的象限是（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．设△ABC 的内角A ， B ， C 所对的边别离为a ， b ， c ，假设cos cos sin b C c B a A +=，那么△ABC 的形状为（）A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．不确信3．假设0.320.32,0.3,log 2a b c ===，那么,.a b c 的大小顺序是（）A ． a b c <<B ．c a b <<C ．c b a <<D ．b c a <<4．设,a b ∈R ，那么 “2()0a b a -<”是“a b <”的（）A ．充分而没必要要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也没必要要条件5．假设实数x ，y 知足约束条件12280x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，目标函数z=x+ay （a>0）取得最大值的最优解有无数个，那么z 的最小值为（）A ．2B ．3C ．5D ．136．已知函数2log ,0,()31,0,x x x f x x >⎧=⎨+≤⎩则1(())4f f 的值是（）A ．10B ．109C ．-2D ．-5 7．已知{}0232<+-=x x x A ，{}a x x B <<=1，假设A B ⊆，那么实数a 的取值范围是（）A ．()1,2B ．](1,2C ．()2,+∞D ．[)2,+∞8．如图给出的是计算20121614121+⋅⋅⋅+++的值的程序框图，其中判定框内应填入的是（）A ．2012≤iB ．2012i >C ．1006≤iD ．1006>i ．9．设点P 是双曲线22221x y a b -= ()0,0a b >>与圆2222x y a b +=+在第一象限的交点，12,F F 别离是双曲线的左、右核心，且21122PF F PF F ∠=∠，那么双曲线的离心率为（）A 31B ．2C 31-D ．310．概念域为R 的偶函数()f x 知足对任意x R ∈，有()()()21f x f x f +=-，且当[]2,3x ∈时，()221218f x x x =-+-，假设函数()()log 1a y f x x =-+在()0,+∞上至少有三个零点，那么a 的取值范围是（）A．⎛⎝⎭B．⎛⎝⎭C．0,5⎛⎝⎭D．6⎛⎝⎭第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每题5分，共25分．把答案填在答题卡相应位置． 11．假设非零向量,a b 知足32a b a b==+，那么,a b 夹角的余弦值为．12．已知函数()()()21ln1931,.lg 2lg 2f x x x f f ⎛⎫=+-++=⎪⎝⎭则___________.13．假设圆()2220x y r r +=>上有且只有两个点到直线x-y-2=0的距离为1，那么实数r 的取值范围是_________．14．一个几何体的三视图如右图所示，那么该几何体的表面积为；15．已知函数()()02x f x x x =>+．观看以下计算：()()1,2xf x f x x ==+()()43(),1516xf x f f x x ==+，依照以上事实，由归纳推理可得：当2n N n *∈≥且时，()()()1_______nn f x ff x -==．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解许诺写出文字说明，证明进程或演算步骤． 16．（本小题总分值12分）已知函数()cos cos()3f x x x π=⋅- （Ⅰ）求2()3f π的值; （Ⅱ）求使1()4f x <成立的x 的取值集合．2021年3月2日，国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》．其中规定：居民区的PM2.5年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米．某城市环保部门随机抽取了一居民区去年20天PM2.5的24小时平均浓度的监测数据，数据统计如下：（Ⅰ）从样本中PM2.5的24小时平均浓度超过50微克/立方米的5天中，随机抽取2天，求恰好有一天PM2.5的24小时平均浓度超过75微克/立方米的概率；（Ⅱ）求样本平均数，并依照样本估量整体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判定该居民区的环境是不是需要改良？说明理由．设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，知足21441,,n n S a n n N *+=--∈且2514,,a a a 组成等比数列.（Ⅰ）证明:2a =（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式;（Ⅲ）证明:对一切正整数n ，有1223111112n n a a a a a a ++++<．在直角梯形ABCD 中，ADBC ，1,3AB AD ==,AB BC CD BD ⊥⊥，如图（1）．把ABD ∆沿BD 翻折，使得平面A BD BCD '⊥平面，如图（2）．（Ⅰ）求证：CD A B '⊥；（Ⅱ）求三棱锥A BDC '-的体积；（Ⅲ）在线段BC 上是不是存在点N ，使得A N 'BD ⊥？假设存在，请求出BC BN的值；假设不存在，请说明理由．20．已知抛物线C 的极点为原点，其核心()()0,0F c c >到直线:20l x y --=的距离为2.设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ，其中,A B 为切点. （Ⅰ）求抛物线C 的方程; （Ⅱ）当点()00,P x y 为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程;（Ⅲ）当点P 在直线l 上移动时，求AF BF⋅的最小值．21．（本小题总分值14分）已知函数2()ln f x x a x =+的图象在点(1,(1))P f 处的切线斜率为10．（Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）判定方程()2f x x =根的个数，证明你的结论；（Ⅲ）探讨：是不是存在如此的点(,())A t f t ，使得曲线()y f x =在该点周围的左、右的两部份别离位于曲线在该点处切线的双侧？假设存在，求出点A 的坐标；假设不存在，说明理由．文科数学（三）一、选择题：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 CACACBDAAB二、填空题：11．13- ； 12．2； 13．2-12+1（，）； 14．2π+24； 15．(21)2n nx x -+17．解：（Ⅰ）设PM2．5的24小时平均浓度在（50,75]内的三天记为123,,A A A ，PM2.5的24小时平均浓度在（75,100）内的两天记为12,B B ．因此5天任取2天的情形有：12A A ，13A A ，11A B ，12A B ，23A A ，21A B ，22A B ，31A B ，32A B 共10种． …4分其中符合条件的有：11A B ，12A B ，21A B ，22A B ，31A B ，32A B 共6种． …………6分因此所求的概率63105P ==． ……………………8分（Ⅱ）去年该居民区PM2．5年平均浓度为：12.50.2537.50.562.50.1587.50.140⨯+⨯+⨯+⨯=（微克/立方米）．……10分因为4035>，因此去年该居民区PM2．5年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该居民区的环境需要改良． ………………………………12分(3)()()1223111111111335572121n n a a a a a a n n ++++=++++⋅⋅⋅-+20．(1)依题意2d ==,解得1c =(负根舍去)∴抛物线C 的方程为24x y =;(2)设点11(,)A x y ,22(,)B x y ,),(00y x P , 由24x y =,即214y x ,=得y '=12x . ∴抛物线C 在点A 处的切线PA 的方程为)(2111x x x y y -=-, 即2111212x y x x y -+=. ∵21141x y =, ∴112y x x y -= .∵点),(00y x P 在切线1l 上, ∴10102y x x y -=. ①同理, 20202y x x y -=. ②综合①、②得,点1122(,),(,)A x y B x y 的坐标都知足方程 y x x y -=002. ∵通过1122(,),(,)A x y B x y 两点的直线是唯一的,∴直线AB 的方程为y x x y -=002,即00220x x y y --=;(3)由抛物线的概念可知121,1AF y BF y =+=+, 因此()()121212111AF BF y y y y y y ⋅=++=+++ 联立2004220x y x x y y ⎧=⎨--=⎩,消去x 得()22200020y y x y y +-+=,∴当012y =-时,AF BF ⋅取得最小值为9221．解法一：（Ⅰ）因为2()ln f x x a x =+，因此'()2af x x x =+，函数()f x 的图象在点(1,(1))P f 处的切线斜率'(1)2k f a ==+．由210a +=得：8a =． …………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，2()8ln f x x x =+，令()()2F x f x x =-228ln x x x =-+．因为(1)10F =-<，(2)8ln 20F =>，因此()0F x =在(0,)+∞至少有一个根．又因为8'()22260F x x x =-+≥=>，因此()F x 在(0,)+∞上递增，因此函数()F x 在(0,)+∞上有且只有一个零点，即方程()2f x x =有且只有一个实根． 7分（Ⅲ）证明如下：由2()8ln f x x x =+，8'()2f x x x =+，可求得曲线()y f x =在点A 处的切线方程为28(8ln )(2)()y t t t x t t -+=+-，即28(2)8ln 8y t x t t t =+-+-(0)x >． ………………… 8分记2()8ln h x x x =+-28[(2)8ln 8]t x t t t +-+- 28ln x x =+-28(2)8ln 8t x t t t++-+(0)x >，则42()()88'()2(2)x t x t h x x t x t x --=+-+=． ………………… 11分（1）当4t t =，即2t =时，22(2)'()0x h x x -=≥对一切(0.)x ∈+∞成立，因此()h x 在(0,)+∞上递增．又()0h t =，因此当(0,2)x ∈时()0h x <，当(2,)x ∈+∞时()0h x >，即存在点(2,48ln 2)A +，使得曲线在点A 周围的左、右两部份别离位于曲线在该点处切线的双侧． ………………… 12分（2）当4t t >，即2t >时，4(0,)x t ∈时，'()0h x >；4(,)x t t ∈时，'()0h x <；(,)x t ∈+∞时，'()0h x >．故()h x 在4(,)t t 上单调递减，在(,)t +∞上单调递增．又()0h t =，因此当4(,)x t t ∈时，()0h x >；当(,)x t ∈+∞时，()0h x >，即曲线在点(,())A t f t 周围的左、右两部份都位于曲线在该点处切线的同侧． 13分。

2021届山东省新高考高考模拟冲关押题卷(三)数学(解析版)

2021届山东省新高考高考模拟冲关押题卷（三）数学（解析版）第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪14≤2x ≤4，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ＝lg x ，x >110，则A ∩B ＝( ) A ．[－2,2] B ．(1，＋∞)C ．(－1,2]D ．(－∞，－1]∪(2，＋∞)2．设i 是虚数单位，若复数a ＋5i 2＋i(a ∈R )是纯虚数，则a 的值为( ) A ．－3 B ．3C ．1D ．－13．“a <2”是“∀x >0，a ≤x ＋1x ”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．函数f (x )＝ln (x 2－4x ＋4)(x －2)3的图象可能是( )5．已知函数f (x )＝3x ＋2cos x ，若a ＝f (32)，b ＝f (2)，c ＝f (log 2 7)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a <b <cB ．c <a <bC ．b <a <cD ．b <c <a 6．已知等边△ABC 内接于圆τ：x 2＋y 2＝1，且P 是圆τ上一点，则P A →·(PB →＋PC →)的最大值是( )A. 2 B ．1C. 3 D ．27．已知函数f (x )＝sin 2 x ＋sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π3，则f (x )的最小值为( ) A.12 B.14C.34D.228．已知点P 在椭圆τ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上，点P 在第一象限，点P 关于原点O 的对称点为A ，点P 关于x 轴的对称点为Q ，设PD →＝34PQ →，直线AD 与椭圆τ的另一个交点为B ，若P A ⊥PB ，则椭圆τ的离心率e ＝( )A.12B.22C.32D.33二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．某位教师2018年的家庭总收入为80 000元，各种用途占比统计如图1折线图所示；2019年收入的各种用途占比统计如图2条形图所示，已知2019年的就医费用比2018年增加了4 750元，则下列关于该教师家庭收支的说法正确的是( )A ．该教师2018年的家庭就医支出显著减少B ．该教师2019年的家庭就医总支出为12 750元C ．该教师2019年的家庭旅行支出占比显著增加D ．该教师2019年的家庭总收入为85 000元10．已知⎝⎛⎭⎫ax 2＋1x n (a >0)的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为1 024，则下列说法正确的是( )A ．展开式中奇数项的二项式系数和为256B ．展开式中第6项的系数最大C ．展开式中存在常数项D ．展开式中含x 15项的系数为4511．在棱长为1的正方体ABCD - A 1B 1C 1D 1中，点M 在棱CC 1上，则下列结论正确的是( )A ．直线BM 与平面ADD 1A 1平行B ．平面BMD 1截正方体所得的截面为三角形C ．异面直线AD 1与A 1C 1所成的角为π3D ．|MB |＋|MD 1|的最小值为 512．已知双曲线x 2a 2－y 25＝1(a >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，O 为坐标原点，P 是双曲线上一点，且满足|F 1F 2|＝2|OP |，tan ∠PF 2F 1＝2，则下列结论正确的是( )A ．点P 在双曲线的右支上B ．点⎝⎛⎭⎫－32，3在双曲线的渐近线上 C ．双曲线的离心率为 5D ．双曲线上任一点到两渐近线距离之和的最小值等于4第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a ＝(2，m )，b ＝(1，－2)，且a ⊥b ，则实数m 的值是________．14．若sin(α＋β)＝13，tan α＝3tan β，则sin(α－β)＝________. 15．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≤a ，8－x ，x >a (a >0)，若函数g (x )＝f (x )－3|x |有三个零点，则实数a 的取值范围是________．16．正方体ABCD - A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M ，N ，E ，F 分别是A 1B 1，AD ，B 1C 1，C 1D 1的中点，则过EF 且与MN 平行的平面截正方体所得截面的面积为________，CE 和该截面所成角的正弦值为________．(本题第一空2分，第二空3分．)四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)已知在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，从以下三个条件中选取一个解答该题．①2b －c a ＝cos C cos A；②4cos(B ＋C )＋2cos 2A ＝－3； ③a 3cos A ＝b sin (A ＋C ). (1)求角A 的大小；(2)若a ＝14，b ＋c ＝42，求△ABC 的面积．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．(12分)已知{a n }是各项都为正数的数列，其前n 项和为S n ，S n 为a n 与1a n的等差中项． (1)求证：数列{S 2n }为等差数列；(2)设b n ＝(－1)na n，求{b n }的前100项和T 100.19.(12分)如图，在四棱锥P - ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠DAB ＝60°，∠ADP ＝90°，平面ADP ⊥平面ABCD ，点F 为棱PD 的中点．(1)在棱AB 上是否存在一点E ，使得AF ∥平面PCE ，并说明理由；(2)当二面角D - FC - B 的余弦值为24时，求直线PB 与平面ABCD 所成的角．20．(12分)已知抛物线τ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，P 是抛物线τ上一点，且在第一象限，满足FP →＝(2，23)．(1)求抛物线τ的方程；(2)已知经过点A (3，－2)的直线交抛物线τ于M ，N 两点，经过定点B (3，－6)和M 的直线与抛物线τ交于另一点L ，问直线NL 是否恒过定点，如果过定点，求出该定点，否则说明理由．21．(12分)山东省2020年高考实施新的高考改革方案，考生的高考总成绩由3门统一高考科目成绩和自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目成绩组成，总分为750分．其中，统一高考科目为语文、数学、外语，自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目是从物理、化学、生物、历史、政治、地理6科中选择3门作为选考科目，语、数、外三科各占150分，选考科目成绩采用“赋分制”，即原始分数不直接用，而是按照学生分数在本科目考试的排名来划分等级并以此打分得到最后得分．根据高考综合改革方案，将每门等级考试科目中考生的原始成绩从高到低分为A 、B ＋、B 、C ＋、C 、D ＋、D 、E 共8个等级．参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%.等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将A 至E 等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到91－100、81－90、71－80、61－70、51－60、41－50、31－40、21－30八个分数区间，得到考生的等级成绩．举例说明：某同学化学学科原始分为65分，该学科C ＋等级的原始分分布区间为58～69，则该同学化学学科的原始成绩属C ＋等级．而C ＋等级的转换分区间为61～70，那么该同学化学学科的转换分为：设该同学化学学科的转换等级分为x ，69－6565－58＝70－x x －61，求得x ≈66.73，四舍五入后该同学化学学科赋分成绩为67.(1)某校高一年级共2 000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布ξ～N (60,122)．①若小明同学在这次考试中物理原始分为84分，等级为B ＋，其所在原始分分布区间为82～93，求小明转换后的物理成绩；②求物理原始分在区间(72,84)的人数．(2)按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取4人，记X 表示这4人中等级成绩在区间[61,80]的人数，求X 的分布列和数学期望．附：若随机变量ξ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<ξ<μ＋σ)＝0.682，P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.954，P (μ－3σ<ξ<μ＋3σ)＝0.997.22．(12分)已知函数f (x )＝(x －1)2＋ax －a ln x(1)若a ≥－2讨论f (x )的单调性；(2)若a >0，且对于函数f (x )的图象上两点P 1(x 1，f (x 1))，P 2(x 2，f (x 2))(x 1<x 2)，存在x 0∈(x 1，x 2)，使得函数f (x )的图象在x ＝x 0处的切线l ∥P 1P 2.求证：x 0<x 1＋x 22.三1．答案：C解析：∵集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 14≤2x ≤4 ＝{x |－2≤x ≤2}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ＝lg x ，x >110＝{x |x >－1}， ∴A ∩B ＝{x |－1<x ≤2}＝(－1,2]．故选C.2．答案：D解析：∵a ＋5i 2＋i ＝a ＋5i (2－i )(2＋i )(2－i )＝a ＋1＋2i 为纯虚数， ∴a ＋1＝0，即a ＝－1.故选D.3．答案：A解析：∀x >0，a ≤x ＋1x，由y ＝x ＋1x≥2，(x >0)，故a ≤2，所以a <2是a ≤2的充分不必要条件．故选A.4．答案：A解析：由f (x )＝ln (x －2)2(x －2)3可知函数的图象关于点(2,0)对称，故排除B ，C ，当x <0时，ln(x －2)2>0，(x －2)3<0，函数的图象在x 轴下方，故排除D ，故选A.5．答案：D解析：∵f ′(x )＝3－2sin x >0在R 上恒成立，∴f (x )在R 上为增函数，又由2＝log 24<log 27<3<32，则b <c <a .故选D.6．答案：D解析：建立如图所示平面直角坐标系，则A (1,0)，B ⎝⎛⎭⎫－12，32，C ⎝⎛⎭⎫－12，－32，设P (cos θ，sin θ)，则P A →·(PB →＋PC →)＝(1－cos θ，－sin θ)·(－1－2cos θ，－2sin θ)＝(1－cos θ)(－1－2cos θ)＋2sin 2 θ＝2cos 2 θ－cos θ－1＋2sin 2 θ＝1－cos θ≤2，当且仅当θ＝π，即P (－1,0)时，取等号．故选D.7．答案：A解析：f (x )＝sin 2 x ＋sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π3 ＝sin 2 x ＋⎝⎛⎭⎫12sin x ＋32cos x 2＝54sin 2 x ＋34cos 2 x ＋32sin x cos x ＝34＋1－cos 2x 4＋34sin 2x ＝1＋12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6≥1－12＝12.故选A. 8．答案：C解析：设P (x 1，y 1)，则A (－x 1，－y 1)，Q (x 1，－y 1)，D ⎝⎛⎭⎫x 1，－y 12，设B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧ x 21a 2＋y 21b 2＝1x 22a 2＋y 22b 2＝1，两式相减，得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＝－(y 1＋y 2)(y 1－y 2)b 2⇒k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2， k AD ＝k AB ⇒y 14x 1＝y 1＋y 2x 1＋x 2，又k P A ＝y 1x 1＝4(y 1＋y 2)x 1＋x 2，则由P A ⊥PB ⇒k P A ·k PB ＝－1，可得－4·b 2a2＝－1⇒a 2＝4b 2＝4(a 2－c 2) ⇒3a 2＝4c 2⇒e ＝32.故选C. 9．答案：ABD解析：设该教师家庭2019年收入为x 元，则15%·x ＝80 000×10%＋4 750，解得x ＝85 000.可得：该教师2018年的家庭就医支出显著减少，该教师2019年的家庭就医总支出为8 000＋4 750＝12 750元，该教师2019年的家庭旅行支出占比没有变化，该教师2019年的家庭总收入为85 000元．故选ABD.10．答案：BCD解析：因为⎝⎛⎭⎫ax 2＋1x n (a >0)的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等， ∴C 4n ＝C 6n ⇒n ＝10，∵展开式的各项系数之和为1 024，∴(a ＋1)10＝1 024，∵a >0，∴a ＝1.原二项式为：⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 10，其展开式的通项公式为：T r ＋1＝C r 10·(x 2)10－r ·⎝⎛⎭⎫1x r ＝C r 10520-2x r ；展开式中奇数项的二项式系数和为：12×1 024＝512，故A 错；因为本题中二项式系数和项的系数一样，且展开式有11项，故展开式中第6项的系数最大，B 对；令20－52r ＝0⇒r ＝8，即展开式中存在常数项，C 对；令20－52r ＝15⇒r ＝2，C 210＝45，D 对；故选BCD.11．答案：ACD解析：如图所示：易知平面BCC 1B 1∥平面ADD 1A 1，BM ⊂平面BCC 1B 1，故直线BM 与平面ADD 1A 1平行，A 正确；平面BMD 1截正方体所得的截面为BMD 1N 为四边形，故B 错误；连接BC 1，A 1B ，易知AD 1∥BC 1，故异面直线AD 1与A 1C 1所成的角为∠A 1C 1B ，A 1B ＝A 1C 1＝BC 1，故∠A 1C 1B ＝π3，故C 正确；延长DC 到B ′使CB ′＝1，易知BM ＝B ′M ，故|MB |＋|MD 1|≥D 1B ′＝5，当M 为CC 1中点时等号成立，故D 正确．故选ACD.12．答案：ABC解析：连接PF 1，由题意知|F 1F 2|＝2|OP |＝2c ，则PF 1⊥PF 2，因为tan ∠PF 2F 1＝2，所以|PF 1||PF 2|＝2，因此|PF 1|>|PF 2|，故点P 在双曲线的右支上，A 项正确；由于|PF 1|－|PF 2|＝2a ，所以|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ，所以(4a )2＋(2a )2＝(2c )2，整理得c 2＝5a 2，则e ＝5，C 正确；又e ＝c a ＝ 1＋b 2a 2＝5，所以b a＝2，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，易知点⎝⎛⎭⎫－32，3在双曲线的渐近线上，故B 项正确；由于b 2＝5，所以a 2＝54，所以双曲线的方程为4x 25－y 25＝1，设M (x 0，y 0)为双曲线上任意一点，则点M 到渐近线y ＝2x 的距离d 1＝|2x 0－y 0|5，点M 到渐近线y ＝－2x 的距离d 2＝|2x 0＋y 0|5，因此d 1d 2＝|4x 20－y 20|5，又4x 205－y 205＝1，于是d 1d 2＝1，因此由基本不等式得d 1＋d 2≥2d 1d 2＝2，当且仅当d 1＝d 2时取等号，故双曲线上任一点到两渐近线距离之和的最小值等于2，故D 项错误．故选ABC.13．答案：1解析：∵a ⊥b ，∴a ·b ＝2－2m ＝0，∴m ＝1.14．答案：16 解析：根据sin(α＋β)＝13可得sin αcos β＋cos αsin β＝13①，根据tan α＝3tan β可得sin αcos β＝3cos αsin β ②，由①②得sin αcos β＝14，cos αsin β＝112，所以sin(α－β)＝sin αcos β－cos α·sin β＝16. 15．答案：(0,2)∪[5，＋∞)解析：g (x )＝f (x )－3|x |有三个零点⇔y ＝f (x )与y ＝3|x |的图象有三个交点．因为a >0，所以当x ≤0时，x 2－2x ＝－3x ，得x ＝－1或x ＝0，所以y ＝f (x )与y ＝3|x |的图象有两个交点，则当x >0时，y ＝f (x )与y ＝3|x |的图象有1个交点．当x >0时，令3x ＝8－x ，得x ＝2，所以0<a <2符合题意；令3x ＝x 2－2x ，得x ＝5，所以a ≥5符合题意．综上，实数a 的取值范围是(0,2)∪[5，＋∞)．16．答案：22 1010解析：如图，分别取CD ，BC 的中点H ，G ，连接HE ，HG ，GE ，HF ，ME ，NH .易证ME 綉NH ，所以四边形MEHN 是平行四边形，所以MN ∥HE ，又MN ⊄平面EFHG ，HE ⊂平面EFHG ，所以MN ∥平面EFHG ，所以过EF 且与MN 平行的平面为平面EFHG ，平面EFHG 截正方体所得截面为矩形EFHG ，EF ＝2，FH ＝2，所以所得截面的面积为2×2＝2 2.连接AC ，交HG 于I ，则CI ⊥HG ，又平面EFHG ⊥平面ABCD ，平面EFHG ∩平面ABCD ＝HG ，所以CI ⊥平面EFHG ，连接EI ，则CI ⊥EI ，∠CEI 为直线CE 和截面所成的角．在Rt △CIE 中， CE ＝1＋22＝5，CI ＝14AC ＝224＝22. 所以sin ∠CEI ＝CI CE ＝1010. 17．解析：若选①，(1)根据正弦定理知，2b －c a ＝2sin B －sin C sin A ＝cos C cos A，即2sin B ·cos A ＝cos C ·sin A ＋sin C ·cos A ，即2sin B ·cos A ＝sin(A ＋C )，因为A ＋C ＝π－B ，所以2sin B ·cos A ＝sin B ，又sin B ≠0，解得cos A ＝12. 又A ∈(0，π)，所以A ＝π3. (2)因为a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－2bc －2bc cos A ，a ＝14，b ＋c ＝42，A ＝π3，所以(14)2＝(42)2－2bc －2bc ×12，得bc ＝6，所以S △ABC ＝12bc ·sin A ＝12×6×sin π3＝332. 若选②，(1)由题意可得4cos(B ＋C )＋2(2cos 2 A －1)＝－3，又cos(B ＋C )＝－cos A ，所以－4cos A ＋2(2cos 2A －1)＝－3，所以4cos 2A －4cos A ＋1＝0，解得cos A ＝12，又A ∈(0，π)，所以A ＝π3. (2)因为a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A＝(b ＋c )2－2bc －2bc cos A ，a ＝14，b ＋c ＝42，A ＝π3，所以(14)2＝(42)2－2bc －2bc ×12，得bc ＝6，所以S △ABC ＝12bc ·sin A ＝12×6×sin π3＝332. 若选③，(1)由正弦定理及a 3cos A ＝b sin (A ＋C )，得sin A 3cos A ＝sin B sin (A ＋C )，又sin(A ＋C )＝sin(π－B )＝sin B ，所以sin A 3cos A ＝sin B sin B，得tan A ＝ 3. 又A ∈(0，π)，所以A ＝π3. (2)因为a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A＝(b ＋c )2－2bc －2bc cos A ，a ＝14，b ＋c ＝42，A ＝π3，所以(14)2＝(42)2－2bc －2bc ×12，得bc ＝6，所以S △ABC ＝12bc ·sin A ＝12×6×sin π3＝332. 18．解析：(1)证明：由题意知2S n ＝a n ＋1a n，即2S n a n －a 2n ＝1， ①当n ＝1时，由①式可得S 1＝1，又n ≥2时，有a n ＝S n －S n －1，代入①式得2S n (S n －S n －1)－(S n －S n －1)2＝1，整理得S 2n －S 2n －1＝1，(n ≥2)．∴{S 2n }是首项为1，公差为1的等差数列．(2)由(1)可得S 2n ＝1＋n －1＝n ，∵{a n }是各项都为正数，∴S n ＝n ，∴a n ＝S n －S n －1＝n －n －1(n ≥2)，又a 1＝S 21＝1，也适合上式∴a n ＝n －n －1.b n ＝(－1)n a n ＝(－1)nn －n －1＝(－1)n (n ＋n －1)， T 100＝－1＋(2＋1)－(3＋2)＋…－(100－1＋100－2)＋(100＋100－1)＝100＝10. ∴{b n }的前100项和T 100＝10.19．解析：(1)在棱AB 上存在点E ，使得AF ∥平面PCE ，点E 为棱AB 的中点．理由如下：取PC 的中点Q ，连接EQ 、FQ ，由题意，FQ ∥DC 且FQ ＝12CD ，AE ∥CD 且AE ＝12CD ，故AE ∥FQ 且AE ＝FQ . 所以，四边形AEQF 为平行四边形．所以，AF ∥EQ ，又EQ ⊂平面PCE ，AF ⊄平面PCE ，所以AF ∥平面PCE .(2)由题意知△ABD 为正三角形，所以ED ⊥AB ，亦即ED ⊥CD ，又∠ADP ＝90°，所以PD ⊥AD ，且平面ADP ⊥平面ABCD ，平面ADP ∩平面ABCD ＝AD ，所以PD ⊥平面ABCD ，故以D 为坐标原点建立如图空间直角坐标系，设FD ＝a (a >0)，则由题意知 D (0,0,0)，F (0,0，a )，C (0,2,0)，B (3，1,0)，FC →＝(0,2，－a )，CB →＝(3，－1,0)，设平面FBC 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )，则由⎩⎪⎨⎪⎧ m ·FC →＝0m ·CB →＝0得⎩⎨⎧2y －az ＝03x －y ＝0，令x ＝1，则y ＝3，z ＝23a，所以取m ＝⎝⎛⎭⎫1，3，23a ，显然可取平面DFC 的一个法向量n ＝(1,0,0)，由题意：24＝|cos 〈m ，n 〉|＝11＋3＋12a2，所以a ＝ 3.由于PD ⊥平面ABCD ，所以PB 在平面ABCD 内的射影为BD ，所以∠PBD 为直线PB 与平面ABCD 所成的角，易知在Rt △PBD 中，tan ∠PBD ＝PD BD＝a ＝3，从而∠PBD ＝60°，所以直线PB 与平面ABCD 所成的角为60°.20．解析：(1)y 2＝2px (p >0)的焦点为F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，而FP →＝(2,23)，所以点P ⎝⎛⎭⎫p 2＋2，23，又点P 在抛物线y 2＝2px 上，所以(23)2＝2p ⎝⎛⎭⎫p 2＋2，即p 2＋4p －12＝0，(p ＋6)(p －2)＝0，而p >0，故p ＝2，则抛物线的方程为y 2＝4x .(2)由题意知，直线AM ，BM ，NL 的斜率均存在．设M (x 0，y 0)，N (x 1，y 1)，L (x 2，y 2)，则y 20＝4x 0，y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，直线MN 的斜率为k MN ＝y 1－y 0x 1－x 0＝y 1－y 0y 21－y 204＝4y 1＋y 0. 则l MN ：y －y 0＝4y 1＋y 0⎝⎛⎭⎫x －y 204，即y ＝4x ＋y 0y 1y 0＋y 1①；同理l ML ：y ＝4x ＋y 0y 2y 0＋y 2②；将A (3，－2)，B (3，－6)分别代入①，②两式，得⎩⎪⎨⎪⎧ －2＝12＋y 0y 1y 0＋y 1－6＝12＋y 0y 2y 0＋y 2，消去y 0得y 1y 2＝12，易知直线l NL ：y ＝4x ＋y 1y 2y 1＋y 2＝4x ＋12y 1＋y 2＝4(x ＋3)y 1＋y 2，因此直线NL 恒过定点(－3,0)．21．解析：(1)①设小明转换后的物理等级分为x ，93－8484－82＝90－x x －81，求得x ≈82.64，小明转换后的物理成绩为83分；②因为物理考试原始分基本服从正态分布N (60,122)，所以P (72<ξ<84)＝P (60<ξ<84)－P (60<ξ<72)＝12P (36<ξ<84)－12P (48<ξ<72) ＝12(0.954－0.682)＝0.136. 所以物理原始分在区间(72,84)的人数为2 000×0.136＝272(人)； (2)由题意得，随机抽取1人，其等级成绩在区间[61,80]内的概率为25，随机抽取4人，则X ～B ⎝⎛⎭⎫4，25， P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎫354＝81625，P (X ＝1)＝C 14·25·⎝⎛⎭⎫353＝216625， P (X ＝2)＝C 24·⎝⎛⎭⎫252·⎝⎛⎭⎫352＝216625，P (X ＝3)＝C 34·⎝⎛⎭⎫253·⎝⎛⎭⎫351＝96625， P (X ＝4)＝⎝⎛⎭⎫254＝16625.X 的分布列为数学期望E (X )＝4×25＝85. 22．解析：(1)易得，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2(x －1)＋a －a x ＝(x －1)(2x ＋a )x，令f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝－a 2. ①当a ≥0时，0<x <1时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减；x >1时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增．此时，f (x )的减区间为(0,1)，增区间为(1，＋∞)．②当－2<a <0时，－a 2<x <1时， f ′(x )<0，函数f (x )单调递减；0<x <－a 2或x >1时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增．此时，f (x )的减区间为⎝⎛⎭⎫－a 2，1，增区间为⎝⎛⎭⎫0，－a 2，(1，＋∞)． ③当a ＝－2时，x >0时，f ′(x )＝2(x －1)2x>0，函数f (x )单调递增；此时，f (x )的减区间为(0，＋∞)．综上，当a ≥0时，f (x )的减区间为(0,1)，增区间为(1，＋∞)；当－2<a <0时，f (x )的减区间为⎝⎛⎭⎫－a 2，1，增区间为⎝⎛⎭⎫0，－a 2，(1，＋∞)；当a ＝－2时，f (x )增区间为(0，＋∞)．(2)证明：由题意及导数的几何意义，得f ′(x 0)＝kP 1P 2＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝[(x 2－1)2＋ax 2－a ln x 2]－[(x 1－1)2＋ax 1－a ln x 1]x 2－x 1 ＝(x 1＋x 2－2)＋a －a ln x 2x 1x 2－x 1. 由(1)中f ′(x )得f ′⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22＝(x 1＋x 2－2)＋a －2a x 1＋x 2. 易知，导函数f ′(x )＝2(x －1)＋a －a x(a >0)在(0，＋∞)上为增函数，所以，要证x 0<x 1＋x 22，只要证f ′(x 0)<f ′⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，即－a ln x 2x 1x 2－x 1<－2a x 1＋x 2，即证ln x 2x 1>2(x 2－x 1)x 1＋x 2. 因为x 2>x 1>0，不妨令t ＝x 2x 1，则g (t )＝ln t －2(t －1)t ＋1(t >1)．所以g ′(t )＝1t －4(t ＋1)2＝(t －1)2t (t ＋1)2>0(t >1)，所以g (t )在t ∈(1，＋∞)上为增函数，所以g (t )>g (1)＝0，即ln t －2(t －1)t ＋1>0，所以ln t >2(t －1)t ＋1，即ln t t －1>2t ＋1，即ln x 2x 1>2(x 2－x 1)x 1＋x 2.故有x 0<x 1＋x 22(得证)．。

2021届山东省(新高考)数学学仿真模拟标准卷试题(一)解析

2021届山东省（新高考）数学学仿真模拟标准卷试题（一）一、单选题1．已知集合11A y y x ⎧⎫==⎨⎬+⎩⎭，集合{}e xB y y ==，则()R A B =（）A ．∅B ．0C ．0,D ．,0【答案】A 求出函数11y x =+的值域，即可得到集合A ，进而可求出RA ；求出函数e x y =的值域，即可得到集合B ，进而求出RA 与集合B 的交集即可.解：由函数11y x =+的值域为()(),00,-∞+∞，可知()(),00,A ∞∞=-+，则{}R0A =；由函数e x y =的值域为0,，可知()0,B =+∞.所以(){}()R 00,A B =+∞=∅.故选：A.2．设a ∈R ，则“2a ≤”是“2320a a -+≤”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B先解不等式2320a a -+≤得12a ≤≤，再根据基本关系判定即可得答案. 解：解：解不等式2320a a -+≤得12a ≤≤，因为[]1,2 (],2-∞，所以“2a ≤”是“2320a a -+≤”的必要不充分条件. 故选：B.点评：结论点评：：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；（2）p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集；（3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含．3．已知复数z 满足：2764z i =+（i 为虚数单位），且z 在复平面内对应的点位于第三象限，则复数z 的虚部为（）A ．2iB ．3C ．32D ．32i【答案】C设(,)z a bi a b R =+∈，求得2222z a b abi =-+，根据复数相等列出方程组，求得复数322z i =--，即可求解.解：设(,)z a bi a b R =+∈，则2227264z a b abi i =-+=+，可得227426a b ab ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，因为0a <，0b <，解得2a =-，32b =-，所以322z i =--，则322z i =-+.故选：C.4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若111a =-，466a a +=-，则下列结论正确的是（） A ．当且仅当6n =时n S 取最小值 B ．当且仅当6n =时n S 取最大值 C ．当且仅当7n =时n S 取最小值 D ．当且仅当7n =时n S 取最大值【答案】A根据等差数列的下标性质，结合等差数列的单调性进行求解即可解：因为54626a a a =+=-，则53a =-，从而5124a a d -==，因此该等差数列是递增数列，所以112(1)213n a n n =-+-=-. 由0n a <，得136.52n <=，则数列{}n a 的前6项为负数，从第7项起为正数，所以当且仅当6n =时，n S 取最小值，故选：A.5．若向量(1,2),(0,1)a b ==，且ka b -与2a b +共线，则实数k 的值为（） A ．1- B ．12-C ．1D ．2【答案】B由向量坐标运算得(),21ka b k k -=-，()21,4a b +=，进而得()4210k k --=解方程即可得答案. 解：(1,2),(0,1)a b ==，∴()()()=1,20,1,21ka b k k k --=-，()()()2=1,2+20,11,4a b +=，ka b -与2a b +共线，∴()4210k k --=，解得12k =-.故选:B.点评：结论点评：：已知()()1122,,,a x y b x y ==，若//a b ，则12210x y x y -=.6．把5名志愿者分配到三个不同的社区，每个社区至少有一个志愿者，其中甲社区恰有1名志愿者的分法有（） A ．14种 B ．35种 C ．70种 D ．100种【答案】C按分步计数原理，先讨论甲，再对其余4人先分组，再排列. 解：甲社区恰有1名志愿者有15C 种，对其余4人先分组，再分配. 其余4人的分组有 “3和1”及“2和2”两种分法：（1）按“3和1”分组，有3141C C ；（2）按“2和2”分组，有224222C C A ；故甲社区恰有1名志愿者的分法有()22131242541222=5432=70C C C C C A A ⎛⎫+⨯+⨯ ⎪⎝⎭. 故选：C点评：计数问题解题要先区分：①先分步还是先分类，②是排列还是组合． 7．若不等式21634x ax x a -≥--对任意[]2,4a ∈-成立，则x 的取值范围为（） A ．(][),83,-∞-⋃+∞ B ．()[),01,-∞+∞C ．[]8,6-D ．(]0,3【答案】A由题得不等式2(4)3160x a x x ---+≤对任意[]2,4a ∈-成立，解不等式组22(4)(2)3160(4)43160x x x x x x ⎧----+≤⎨---+≤⎩即得解. 解：由题得不等式2(4)3160x a x x ---+≤对任意[]2,4a ∈-成立，所以22(4)(2)3160(4)43160x x x x x x ⎧----+≤⎨---+≤⎩，即2252400x x x x ⎧--+≤⎨-+≤⎩，解之得3x ≥或8x ≤-. 故选：A点评：关键点评：：解答本题的关键是联想到“反客为主”，把“a ”看作自变量，把“x ”看作参数，问题迎刃而解.8．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，满足()()2f x f x +=，当[]0,1x ∈时，()πcos 2f x x =，则函数()y f x x =-的零点个数是（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】A函数()y f x x =-的零点个数转化为两个函数图象交点的个数，转化条件为函数()f x 周期2T =，当[]0,1x ∈时，()πcos2f x x =，根据周期性可画出它的图象，从图象上观察交点个数即可. 解：∵()()2f x f x +=，则函数()f x 是周期2T =的周期函数．又∵函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且[]0,1x ∈时，()πcos 2f x x =， ∴当[)1,0x ∈-时，()()ππcos cos 22f x f x x x ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，令()0f x x -=，则函数()y f x x =-的零点个数即为函数()y f x =和()g x x =的图象交点个数，分别作出函数()y f x =和()g x x =的图象，如下图，显然()f x 与()g x 在[)1,0-上有1个交点，在0,1上有一个交点，当1x >时，()1g x >，而()1f x ≤，所以1x >或1x <-时，()f x 与()g x 无交点．综上，函数()y f x =和()g x x =的图象交点个数为2，即函数()y f x x =-的零点个数是2．故选：A二、多选题9．已知函数()sin f x x =和()cos g x x =，则下列正确的是（） A ．()f x 的图像可由()g x 的图像向右平移2π个单位得到 B ．3,4x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()g x f x >C ．()()()h x f x g x =+的对称轴方程为：()4x k k Z ππ=-+∈D ．若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M ，N 两点.则MN 的最大值为【答案】ABD对A ，求出()g x 平移后的解析式即可判断；对B ，根据x 范围得出(),()g x f x 范围即可判断；对C ，化简得出()4h x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求出对称轴即可判断；对D ，可得sin cos 4MN x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭.解：对A ，()cos g x x =的图像向右平移2π个单位得到()cos sin 2y x x f x π⎛⎫=-== ⎪⎝⎭，故A 正确；对B ，当3,4x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()1g x <<，0()f x <<()()g x f x >，故B 正确；对C ，()()()sin cos 4h x f x g x x x x π⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭，令,42x k k Z πππ+=+∈，解得()4x k k Z ππ=+∈，即对称轴为()4x k k Z ππ=+∈，故C 错误；对D ，sin cos 4MN x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则MN ，故D 正确.故选：ABD.点评：关键点评：：本题考查正余弦函数的性质，解题的关键是正确理解正余弦函数的图象和性质. 10．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为S ，下列ABC 有关的结论，正确的是（）A ．若ABC 为锐角三角形，则sin cos AB > B ．若a b >，则cos2cos2A B <C ．24sin sin sin S R A B C =，其中R 为ABC 外接圆的半径D ．若ABC 为非直角三角形，则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++= 【答案】ABD由2A B π+>，结合正弦函数的单调性和诱导公式，可判定A 正确；根据正弦定理，求得22sin sin A B >，结合余弦的倍角公式，可判定B 正确；结合面积公式和正弦定理，可判定C 不正确；根据三角形内角和定理和正切的两角和公式，可判定D 正确. 解：对于A 中，若ABC 为锐角三角形，可得2A B π+>且,(0,)2A B π∈ ，可得2A B π>-，且(0,)22B ππ-∈，根据正弦函数的单调性，可得sin sin()2A B π>-，所以sin cos A B >，所以A 正确；对于B 中，在ABC 中，由a b >，根据正弦定理可得sin sin A B >，则22sin sin A B >，可得1cos 21cos 222A B-->，解得cos2cos2A B <，所以B 正确；对于C 中，由三角形的面积公式，可得in 12s S ab C =，由正弦定理知2sin ,2sin a R A b R B ==，可得22sin sin sin =S R A B C ，所以C 不正确；对于D 中，在ABC 中，可得A B C π++=，则A B C π+=-，所以tan()tan()A B C π+=-，即tan tan tan 1tan tan A BC A B+=--，可得tan tan tan tan tan tan A B C A B C +=-+，则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=，所以D 正确. 故选：ABD点评：对于解三角形问题的常见解题策略：对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，同时注意三角形内角和定理，三角形面积公式在解题中的应用.11．已知实数x ，y 满足方程22410x y x +-+=.则下列选项正确的是（）A ．1y x +B ．1y x +C ．过点(1,做22410x y x +-+=的切线，则切线方程为10x +=D ．过点(1,做22410x y x +-+=的切线，则切线方程为10x += 【答案】AD将22410x y x +-+=整理为22(2)3x y -+=，方程表示以()2,0为圆心，设1yk x =+，即()1y k x =+，由圆心()2,0到直线()1y k x =+的距离等于半径时直线与圆相切，求得直线斜率的最值，可判断AB ；先判断()1,2-在圆上，再利用圆心与该点确定直线方程的斜率，利用两直线垂直时斜率之积为1-，可求出切线的斜率，即可求出切线方程, 可判断CD. 解：对于AB ，设1yk x =+，即()1y k x =+，由圆心()2,0到直线()1y k x =+的距离等于半径时直线与圆相切，即2331k k =+，解得212k =，即max 22k =，min 22k =-，即1y x +的最大值是22，故A 正确，B 错误；对于CD ，显然点(1,2-在圆22(2)3x y -+=上，过(1,2-与圆心()2,0的直线斜率为2k =切线性质知，切线斜率2k '=，所以切线方程为221)y x -，整理得210x +=，故C 错误，D 正确. 故选：AD点评：方法点评：：本题考查直线与圆的综合问题，常见类型及解题策略（1）处理直线与圆的弦长问题时用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形．（2）圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题． 12．关于函数()2ln f x x x=+，下列说法正确的是（） A ．02x =是()f x 的极小值点； B ．函数()y f x x =-有且只有1个零点； C ．存在正整数k ，使得()f x kx >恒成立；D ．对任意两个正实数1x ，2x ，且12x x ≠，若()()12f x f x =，则124x x +>. 【答案】ABD利用导数求函数的极值可判断A 选项；求出函数()y f x x =-的单调性利用特殊值可判断B ；转化为()22ln f x xk x x x<=+构造函数并求函数的单调性可判断C ；利用已知得出()()124x f f x >-，构造函数()()()()224ln ln 44m x f x f x x x x x =--=--+--证明不等式可判断D.解：对于A 选项，函数的的定义域为()0,∞+，函数的导数()22212'x f x x x x-=-+= ， ∴()0,2x ∈时，()'0f x <，函数()f x 单调递减，()2,x ∈+∞时，()'0f x >，函数()f x 单调递增，∴2x =是()f x 的极小值点，故A 正确；对于B 选项，()2ln y f x x x x x=-=+-， ∴222172124'10x y x x x ⎛⎫---⎪⎝⎭=-+-=<， ∴ 函数在()0,∞+上单调递减，又∵ ()112ln1110f -=+-=>，()221ln 220f -=+-<， ∴ 函数()y f x x =-有且只有1个零点，故B 正确；对于C 选项，若()f x kx >，可得()22ln f x xk x x x<=+，令()22ln x g x x x =+，则()34ln 'x x xg x x -+-=，令()4ln h x x x x =-+-，则()'ln h x x =-， ∴在()0,1x ∈上，()'0h x >，函数()h x 单调递增，()1,x ∈+∞上，()'0h x <，函数()h x 单调递减， ∴()()130h x h ≤=-<， ∴()'0g x <， ∴()22ln x g x x x=+在()0,∞+上函数单调递减，函数无最小值， ∴不存在正实数k ，使得()f x kx >成立，故C 错误；对于D 选项，由12x x >，()()12f x f x =结合A 选项可知122,02x x ><<，要证124x x +>，即证124x x >-，且1242x x >->，由函数()f x 在()2,x ∈+∞是单调递增函数，所以有()()124x f f x >-，由于()()12f x f x =，所以()()224x f f x >-，即证明()()()4,0,2f x f x x >-∈，令()()()()()224ln ln 4,0,24m x f x f x x x x x x=--=--+-∈-，则()()()22282'04x m x x x --=<-，所以()m x 在()0,2是单调递减函数，所以()()20m x m >=，即()()()4,0,2f x f x x >-∈成立，故124x x +>成立，所以D 正确. 故选：ABD.点评：函数中涉及极值、零点，不等式恒成立，一般都需要通过导数研究函数的单调性极值最值来处理，特别的要根据所求问题，适时构造恰当的函数，利用所构造函数的单调性、最值解决问题是常用方法. 三、填空题13．设i 为虚数单位，则()6x i +的展开式中含4x 的项为________. 【答案】415x -利用二项展开式的通项公式即可得到答案. 解：()6x i +的展开式的通项公式为616,0,1,2,,6r r rr T C x i r -+==，∴令64r -=，则2r，此时24243615T C x i x ==-，即含4x 的项为415x -. 故答案为：415x -.14．已知直线l ：820kx y k ++-=过定点P ，过点P 向圆O ：221x y +=作切线，切点分别为,A B ，则弦AB 所在的直线方程为______．【答案】8210x y -+=根据直线过定点求得P 点坐标，根据,,,O A P B 四点共圆可知弦AB 是圆O 和圆C 的公共弦，由圆心和半径可得圆C 方程，利用两圆相交时，相交弦所在直线方程的求法可得所求直线方程. 解：820kx y k ++-=，()820k x y ∴++-=，由8020x y +=⎧⎨-=⎩得：82x y =-⎧⎨=⎩，()8,2P ∴-．PA OA ⊥，PB OB ⊥，∴点,,,O A P B 四点共圆，且圆心C 为OP 的中点，∴弦AB 是圆O 和圆C 的公共弦，又8020,22C -++⎛⎫ ⎪⎝⎭，即()4,1C -，且圆C 的半径172OP R == ∴圆C ：()()(2224117x y ++-=…①，又圆O ：221x y +=…②，由①-②得：弦AB 所在直线方程为：8210x y -+=．故答案为：8210x y -+=.点评：结论点评：：本题考查过圆外一点作圆的切线，切点弦所在直线方程；本题也可以直接应用结论：从圆外点()00,P x y 作圆的两条切线，切点分别为,A B ，则弦AB 所在直线方程为（1）若圆方程为222x y r +=，则切点弦所在直线方程为200x x y y r +=；（2）若圆方程为()()222x a y b r -+-=，则切点弦所在直线方程为()()()()200x a x a y b y b r --+--=；（3）若圆方程为220x y Dx Ey F ++++=，则切点弦所在直线方程为0000022x x y yx x y y D E F ++++⋅+⋅+=. 15．已知正三棱柱111ABC A B C -的体积为232AB =，过点B 的平面α与平面1AB C 无公共点，则三棱柱111ABC A B C -在平面α内的正投影面积为______. 117根据题中条件及锥体体积公式，可求得12AA =，根据投影的性质，就以平面1AB C 为投影面，如图①，构造四棱柱1111ACDE AC D E -，作11C N CD ⊥，11A M AE ⊥，连接1B M ，1B N ，则五边形1B MACN即为三棱柱111ABC A B C -在平面α内的正投影，在图②中求得其面积，即可得答案.解：21323AB AA ⨯=12AA =；由题意得平面//α平面1AB C .由于投影面平移不影响正投影的形状和大小，所以就以平面1AB C 为投影面.如图①，构造四棱柱1111ACDE AC D E -，作11C N CD ⊥，11A M AE ⊥，连接1B M ，1B N ，易得1C N ⊥平面11CAE D ，1A M ⊥平面11CAE D ，则五边形1B MACN 即为三棱柱111ABC A B C -在平面α内的正投影. 要计算的投影的面积即为图②所示图形的面积，由题知113C D 12C C =，在11Rt C D C 中，又1C N CD ⊥，可得137D N =47CN =，故所求正投影的面积为13747117222⨯=. 117点评：解题的思路为：求出1AA 的值→确定平面1AB C 为投影面→构造四棱柱，画出正投影→求投影面积，属中档题. 四、双空题16．函数22sin cos 2()2cos x x x xf x x x +++=+的图象关于点_______成中心对称，记函数的最大值为M ，最小值为N ，则M N +=_______．【答案】(0,1) 2先将()f x 分离常数，找到与奇函数的关系，再利用平移求出对称中心及最大值与最小值之和. 解：2sin ()12cos x xf x x x +=++，记2sin ()2cos x x g x x x+=+，22sin()sin ()()2()cos()2cos x x x xg x g x x x x x--+-==-=--+-+∴()g x 是奇函数，其图象关于坐标原点(0,0)中心对称.则()g x 的最大值和最小值之和为0，把()g x 的图象向上平移一个单位得到()()1f x g x =+的图象，即()f x 的图象关于点(0,1)对称，且0112M N +=++=．故答案为：(0,1)；2.点评：具有对称中心的函数最大最小值之和问题，可从两个角度理解，一是从形的角度，理解所求函数与奇函数图象的平移关系；二是从数的角度，理解函数关于对称的等量关系. 即：()f x 的图象关于点(,)a b 对称()()2f a x f a x b ⇔++-=. 五、解答题17．在ABC 中，D 为AC 边上一点，3CD =，8BC =，7BD =. （1）求sin BDC ∠的值；（2）若60A ∠=︒，求AD 的长. 【答案】（1；（2）5. （1）在BCD △中，利用余弦定理，可求得cos BDC ∠.再根据同角三角函数间的关系可求得答案. （2）根据正弦差角公式求得sin ABD ∠=再由正弦定理可求得答案. 解：（1）在BCD △中，据余弦定理，有2227381cos 2737BDC +-∠==-⨯⨯.又0BDC π<∠<，所以sin BDC ∠=（2）因为BDC A ABD ∠=∠+∠，则60ABD BDC ∠=∠-︒. 所以()11sin sin 6027ABD BDC ⎛⎫∠=∠-︒--= ⎪⎝⎭在ABD △中，据正弦定理，有sin sin AD BDABD BAD =∠∠.所以7sin 5sin BD ABDAD BAD⨯∠==∠.点评：方法点评：：（1）在解三角形中，如果题设条件是关于边的二次形式，我们可以利用余弦定理化简该条件；（2）如果题设条件是关于边的齐次式或是关于内角正弦的齐次式，那么我们可以利用正弦定理化简该条件；（3）如果题设条件是边和角的混合关系式，那么我们也可把这种关系式转化为角的关系式或边的关系式.（4）与三角形有关的最值问题，我们可以利用基本不等式来求最值或利用正弦定理把边转化为关于角的三角函数式，再利用三角变换和正弦函数、余弦函数的性质求最值或范围. 18．已知正项数列{}n a 的前n 项和为1,2n S S =，()()1122n n n n a a a a ++-=+．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2n an b n =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）2n a n =；（2）()1314499n nn T +-⋅=+．（1）由题设条件化简得()()1120n n n n a a a a ++--+=，得到12n n a a +-=，结合等差数列的通项公式，即可求解；（2）由（1）知，224n nn b n n =⋅=⋅，利用“乘公比错位相减法”，即可求解.解：（1）因为在正项数列{}n a 中，()()1122n n n n a a a a ++-=+，可得()221120n n n n a a a a ++--+=，即()()1120n n n n a a a a ++--+=，又因为10n n a a ++>，所以12n n a a +-=，所以数列{}n a 是公差为2的等差数列．又112a S ==，所以()2212n a n n =+-=．（2）由（1）知，224n nn b n n =⋅=⋅，所以231424344nn T n =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⋅，所以()23414142434144n n n T n n +=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅+⋅，所以()2311141414344444441433n n n n n n T n n n +++-⎛⎫-=+++⋅⋅⋅+-⋅=-⋅=-⋅- ⎪-⎝⎭，所以()1314499n nn T +-⋅=+．点评：错位相减法求解数列的前n 项和的分法：（1）适用条件：若数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 为等比数列，求解数列{}n n a b 的前n 项和n S ；（2）注意事项：①在写出n S 和n qS 的表达式时，应注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出n n S qS -； ②作差后，应注意减式中所剩各项的符号要变号； ③作差后，作差部分应用为1n -的等比数列求和.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，侧面PBC 是等边三角形，2AD AB =，45BCD ∠=︒，面PBC ⊥面ABCD ，E 、F 分别为BC 、CD 的中点.（1）证明：面PEF ⊥面PAB ；（2）求面PEF 与面PAD 所成锐二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（26（1）要证明面面垂直，需证明线面垂直，根据垂直关系转化为证明CD ⊥平面PEF ，（2）以E 为坐标原点，ED 、EC 、EP 分别为x 、y 、z 轴建立直角坐标系，分别求平面PEF 和平面PAD 的法向量，再根据法向量求二面角的余弦值. 解：（1）设2AB =，则22AD = ∴1CF =，2CE∴12212cos451EF +-⨯⨯⨯︒=， ∴222CF EF CE +=， ∴EF CF ⊥.在等边三角形PBC 中，E 为BC 的中点，∴PE BC ⊥， ∵面PBC ⊥面ABCD ，PE ⊂面PBC ，面PBC 面ABCD BC =， ∴PE ⊥面ABCD .∵CD ⊂面ABCD ，∴PE CD ⊥. ∵EF CD ⊥，EF PE E ⋂=， ∴CD ⊥面PEF .∵//AB CD ，∴AB ⊥面PEF ， ∵AB面PAB ，∴面PEF ⊥面PAB .（2）由（1）知2BD =，DE BC ⊥，以E 为坐标原点，ED 、EC 、EP 分别为x 、y 、z 轴建立直角坐标系，则6)P ，(2,0,0)D ，2,0)C ，(2,2,0)A -，2222F ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.2,0)AD =，(2,0,6)DP =-.设面PAD 的法向量为(,,)m x y z =，220260y x z ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，取1z =，得3x =0y =，(3,0,1)m =. 面PEF 的法向量为(2,2,0)CD =-， ∴66cos ,2m CD 〈〉==⨯ ∴面PEF 与面PAD 6点评：方法点评：：求二面角的方法通常有两个思路：一是利用空间向量，建立坐标系，求得对应平面的法向量之间夹角的余弦值，再判断锐二面角或钝二面角，确定结果，这种方法优点是思路清晰、方法明确，但是计算量较大；二是传统方法，利用垂直关系和二面角的定义，找到二面角对应的平面角，再求出二面角平面角的大小，这种解法的关键是找到平面角.20．2021年，福建、河北、辽宁、江苏、湖北、湖南、广东、重庆8省市将迎来“312++”新高考模式．“3”指的是：语文、数学、英语，统一高考；“1”指的是：物理和历史，考生从中选一科；“2”指的是：化学、生物、地理和政治，考生从四种中选两种．为了迎接新高考，某中学调查了高一年级1500名学生的选科倾向，随机抽取了100人统计选考科目人数如下表：（Ⅰ）补全22⨯列联表；（Ⅱ）将此样本的频率视为总体的概率，随机调查了本校的3名学生．设这3人中选考历史的人数为X，求X的分布列及数学期望；（Ⅲ）根据表中数据判断是否有95%的把握认为“选考物理与性别有关”？请说明理由．参考附表：参考公式：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++．【答案】（Ⅰ）答案见解析；（Ⅱ）分布列见解析，910；（Ⅲ）有，理由见解析．（Ⅰ）根据题意补全22⨯列联表；（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，服从二项分布，运用独立重复试验公式求出概率后列出分布列，再根据二项分布求出期望；（Ⅲ）根据列联表，利用公式计算出临界值，与临界值表中的数据进行比较，即可得出结论．解：解：（Ⅰ）根据题意补全22⨯列联表，如下：（Ⅱ）X的所有可能取值为0，1，2，3，随机变量X服从二项分布，由题意，学生选考历史的概率为3 10，且33,10X B⎛⎫⎪⎝⎭，()30373430101000P X C ⎛⎫===⎪⎝⎭， ()121337441110101000P X C ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()212337189210101000P X C ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()3333273101000P X C ⎛⎫===⎪⎝⎭， X 的分布列为()3931010E X =⨯=．（Ⅲ）由表中数据，计算2K 的观测值()210040201030 4.762 3.84150507030k ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，参照附表知，有95%的把握认为“选考物理与性别有关”．点评：思路点评：：求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤：（1）根据题中条件确定随机变量的可能取值；（2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；（3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望（在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等，可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算）．21．已知等轴双曲线的顶点()12,0F -，()22,0F 分别是椭圆C 的左、右焦点，且x =曲线某个交点的横坐标．（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，以线段AB 为直径的圆过椭圆的上顶点M ，求证：直线l 恒过定点．【答案】（1）22184x y +=；（2）证明见解析．（1）由双曲线和椭圆a ，b ，c 之间的等量关系求出椭圆方程；（2）设直线l ：()2y kx m m =+≠，将直线方程和椭圆方程联立，根据韦达定理及90AMB ∠=︒，求出m 的值，从而证得直线恒过定点．解：解：（1）由已知可得双曲线方程为22144x y -=．∵x =⎝⎭．设椭圆C 的方程为222214x y b b +=+，代入⎝⎭，得24b =，∴椭圆C 的方程为22184x y +=．（2）证明：显然直线l 与x 轴不垂直．设直线l ：()2y kx m m =+≠与椭圆C ：22184x y +=相交于()11,A x y ，()22,B x y ，由22,184y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222214280k x kmx m +++-=，∴122421km x x k -+=+，21222821m x x k -=+．∵90AMB ∠=︒，∴()()1122,2,20x y x y -⋅-=，即()()1212220x x y y +--=， ()121212240x x y y y y +-++=，∴()()()121212240x x kx m kx m kx m kx m +++-++++=，整理得()()()()2212121220k x x k m x x m ++-++-=，即()()()2222228412202121m km k k m m k k --++-+-=++． ∵2m ≠，()()()()22221242120k m k m k m ++-++-=，整理得320m +=，∴23m =-，∴直线l 恒过定点20,3⎛⎫- ⎪⎝⎭．点评：关键点点评：：本题考查双曲线方程、椭圆方程、直线与椭圆的位置关系，本题以圆锥曲线为背景，解题的关键是掌握双曲线方程的求法、椭圆方程的求法和直线与椭圆的位置关系，体现了数学运算和逻辑推理的核心素养．22．设函数()22ln 1f x x mx =-+．（1）当()f x 有极值时，若存在0x ，使得()01f x m >-成立，求实数m 的取值范围；（2）当1m =时，若在()f x 定义域内存在两实数12x x ，满足12x x <且()()12f x f x =，证明：122x x +>．【答案】（1）()0,1；（2）证明见解析.（1）根据()f x 有极值可确定0m >，利用导数可求得()max f x f =；由能成立的思想可知()max 1m f x -<，得到ln 10m m +-<，令()ln 1h m m m =+-，利用导数可知()h m 单调递增，结合()h m 零点可确定m 的范围；（2）利用导数可求得()f x 单调性，由此确定1201x x <<<；令()()()2F x f x f x =--，()0,1x ∈，利用导数可求得()0F x <，即()()2f x f x <-，代入1x x =后，置换成()()212f x f x <-，结合()f x 单调性可确定自变量的大小关系，由此证得不等式. 解：（1）()f x 定义域为()0,∞+，()()22221f x mx mx x x'=-=⋅-+，当0m ≤时，()0f x '≥，即()f x 在()0,∞+上单调递增，不合题意，0m ∴>；令210mx -+=，解得：x =∴当x ⎛∈ ⎝时，()0f x '>；当x ⎫∈+∞⎪⎪⎭时，()0f x '<；()f x ∴在⎛ ⎝上单调递增，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递减，()max f x f ∴=；存在0x ，使得()01f x m >-成立，则()max 1m f x -<，即1m f -<，又11ln f m m m =⋅+=-，1ln m m ∴-<-，即ln 10m m +-<，令()ln 1h m m m =+-，则()1110m h m m m+'=+=>， ()h m ∴在()0,∞+上单调递增，又()ln11011h =-=+，01m ∴<<，即实数m 的取值范围为()0,1.（2）当1m =时，()22ln 1f x x x =-+，则()()22212222x x f x x x x x--'=-==，∴当()0,1x ∈时，()0f x '>；当()1,x ∈+∞时，()0f x '<；()f x ∴在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，∴由12x x <且()()12f x f x =知：1201x x <<<；令()()()2F x f x f x =--，()0,1x ∈，则()()()()()()()22221221412022x x x F x x xxx x ----''=-⋅-=>--，()F x ∴在()0,1上单调递增，()()10F x F ∴<=，即()()2f x f x <-；()()112f x f x ∴<-，又()()12f x f x =，()()212f x f x ∴<-； ()10,1x ∈，()121,2x ∴-∈，又21>x 且()f x 在()1,+∞上单调递减，212x x ∴>-，即122x x +>.点评：方法点评：：本题第二问考查了导数中的极值点偏移问题的变形，处理极值点偏移问题中的类似于12x x a +>的问题的基本步骤如下： ①求导确定()f x 的单调性，得到12,x x 的范围；②构造函数()()()F x f x f a x =--，求导后可得()F x 恒正或恒负； ③得到()1f x 与()1f a x -的大小关系后，将()1f x 置换为()2f x ；④根据2x 与1a x -所处的范围，结合()f x 的单调性，可得到2x 与1a x -的大小关系，由此证得结论.。

2021届山东省(新高考)高三下学期数学临考仿真模拟演练卷(二)(解析版)

2021届山东省(新高考)数学临考仿真模拟演练卷(二)(时间:120分钟分值:150分)注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|||3,}A x x x =<∈Z ，{|||1,}B x x x =>∈Z ，则A B =（） A ．{1,2,3,5,7,11}A = B ．{3,2,2,3}-- C ．{2,0,2}-D ．{2,2}-2．设复数z 满足||11z -=，则z 在复平面内对应的点为(),x y ，则（）A ．()2211x y ++= B ．2211()x y -+= C ．22()11x y +-= D ．()2211x y ++=3．函数()f x x x a b =++是奇函数的充要条件（） A ．0ab =B ．220a b +=C ．a b =D ．0a b +=4．函数()()log 1a a f x x a x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象可能是（） A ． B ．C ．D ．5．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列判断正确的是（） A ．若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则直线m 与n 一定平行C ．若m α⊥，//n α，则直线m 与n 一定垂直D ．若m α⊂，n β⊂，//αβ，则直线m 与n 一定平行6．已知函数()21,223,2x x ax f x x ⎧-≤=⎨->⎩，若()()21f f >-，则实数a 的取值范围是（） A ．(),2-∞B ．(),3-∞C ．()3,+∞D ．()2,+∞7．点F 为抛物线24y x =的焦点，点(2,1)A ，点P 为抛物线上与直线AF 不共线的一点，则APF△周长的最小值为（） A ．32-B ．32+C ．4D ．228．若某同学连续3次考试的名次（3次考试均没有出现并列名次的情况）不低于第3名，则称该同学为班级的尖子生．根据甲、乙、丙、丁四位同学过去连续3次考试名次的数据，推断一定是尖子生的是（）A ．甲同学：平均数为2，方差小于1B ．乙同学：平均数为2，众数为1C ．丙同学：中位数为2，众数为2D ．丁同学：众数为2，方差大于1二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9．已知函数()()πcos 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列关于函数()f x 的说法中正确的是（）A ．函数()f x 最靠近原点的零点为3π- B ．函数()f x 的图象在y 3 C ．函数5π6f x ⎛⎫-⎪⎝⎭是偶函数 D ．函数()f x 在7π2π,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 10．ABC △中，D 为边AC 上的一点，且满足12AD DC =，若P 为边BD 上的一点，且满足()0,0AP mAB nAC m n =+>>，则下列结论正确的是（）A ．21m n +=B ．mn 的最大值为11211．如图，在棱长为6的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1DD 上一点，且2DE =，F 为棱11C D 的中点，点G 是线段1BC 上的动点，则（）A ．无论点G 在线段1BC 上如何移动，都有11AG B D ⊥ B ．四面体A BEF -的体积为24 C ．直线AE 与BF 所成角的余弦值为21015D ．直线1A G 与平面1BDC 所成最大角的余弦值为1312．设函数()ln f x x x =，21()2g x x =，给定下列命题，其中正确的是（） A ．若方程()f x k =有两个不同的实数根，则1,0k e⎛⎫∈- ⎪⎝⎭B ．若方程2()kf x x =恰好只有一个实数根，则0k <C ．若120x x >>，总有()()()()1212m g x g x f x f x ->-⎡⎤⎣⎦恒成立，则11m ≥D ．若函数()()2()F x f x ag x =-有两个极值点，则实数10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．某工厂为研究某种产品产量x （吨）与所需某种原材料y （吨）的相关性，在生产过程中收集4组对应数据（,x y ）如下表所示：x3 46 7 y2.534m根据表中数据，得出y 关于x 的线性回归方程为ˆ0.7yx a =+．据此计算出在样本()4,3处的残差为0.15-，则表中m 的值为________．14．若()()61x x a -⋅+与()()610ax a +≠的展开式中3x 的系数相等，则实数a 的值为________．15．给图中A ，B ，C ，D ，E ，F 六个区域进行染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色．16．在ABC △中，角A ，B ，C 分别为三角形的三个内角，且sin 23sin sin B C A =，则π6B +的取值范围是______，sin sin sin sinC AA C+的取值范围是_________．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）数列{}n a 是公差不为0的等差数列，满足11a =，1829a a a =，数列{}n b 满足2n an b =．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）令112233n n n T a b a b a b a b =+++⋅⋅⋅+，求n T 的值．18．（12分）请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答． ①()3cos cos cos sin A c B b C a A +=； ②2cos 2b cC a-=； ③tan tan tan 3tan tan A B C B C ++=．已知ABC △的内角,,A B C 的对应边分别为,,a b c ，．（1）求A ；（2）若2a =，10b c +=ABC △的面积．19．（12分）已知函数()()2ln 21f x x ax a x =+++．（1）当1a =时，求()y f x =曲线在1x =处的切线方程；（2）讨论()f x 的单调性．20．（12分）如图，在四棱锥S ABCD -中，ABCD 为直角梯形，AD BC ∥，BC CD ⊥，平面SCD ⊥平面ABCD ．SCD △是以CD 为斜边的等腰直角三角形，224BC AD CD ===，E 为BS 上一点，且2BE ES =．（1）证明：直线SD ∥平面ACE ；（2）求二面角S AC E --的余弦值．21．（12分）公元1651年，法国一位著名的统计学家德梅赫(Demere )向另一位著名的数学家帕斯卡(B ．Pascal )提请了一个问题，帕斯卡和费马(Fermat )示讨论了这个问题，后来惠更斯(C ．Huygens )也加入了讨论，这三位当时全欧洲乃至全世界最优秀的科学家都给出了正确的解答．该问题如下：设两名赌徒约定谁先赢()1,k k k *≥∈N局，谁便赢得全部赌注a 元．每局甲赢的概率为(01)p p <<，乙赢的概率为1p -，且每局赌博相互独立．在甲赢了()m m k <局，乙赢了()n n k <局时，赌博意外终止．赌注该怎么分才合理？这三位数学家给出的答案是：如果出现无人先赢k 局则赌博意外终止的情况，甲､乙便按照赌博再继续进行下去各自赢得全部赌注的概率之比:P P 甲乙分配赌注．（1）甲､乙赌博意外终止，若243a =，4k =，2m =，1n =，23p =，则甲应分得多少赌注？（2）记事件A 为“赌博继续进行下去乙赢得全部赌注”，试求当4k =，2m =，1n =时赌博继续进行下去甲赢得全部赌注的概率()f p ，并判断当45p ≥时，事件A 是否为小概率事件，并说明理由．规定：若随机事件发生的概率小于0.05，则称该随机事件为小概率事件．22．（12分）已知直线:l y x m =+交抛物线2:4C y x =于,A B 两点．（1）设直线l 与x 轴的交点为T ．若2AT TB =，求实数m 的值；（2）若点,M N 在抛物线C 上，且关于直线l 对称，求证：,,,A B M N 四点共圆．答案第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】D 【解析】因为||3x <，所以33x -<<，又x ∈Z ，所以{2,1,0,1,2}A =--，因为||1x >，所以1x <-或1x >，所以{|1B x x =<-或1,}x x >∈Z ，所以{2,2}AB =-，故选D ．2．【答案】B【解析】设(i ,)z x y x y =+∈R ，由||11z -=，得|()|1i 1x y -+=，∴2211()x y -+=，故选B ． 3．【答案】B【解析】由于()f x 为奇函数，所以()()0f x f x +-=恒成立，即0x x a b x x a b ++--++=，()20x x a x a b +--+=恒成立，由于x ∈R ，所以0a b ．在四个选项中，与0ab 等价的是220a b +=，所以B 选项符合，故选B ． 4．【答案】A【解析】由+≥a x xax x =时，取等号，又1a >，所以2a x x +≥>，故()log log 10a a a f x x x ⎛⎫=+>= ⎪⎝⎭，所以只有A 正确，故选A ． 5．【答案】C【解析】对于A ，m ，n 可能平行、异面、相交，故A 错误；对于B ，若m α⊥，n β⊥，αβ⊥，则直线m 与n 不可能平行，故B 错误；对于C ，根据线面垂直、线面平行的性质可知直线m 与n 一定垂直，故C 正确；对于D ，若m α⊂，n β⊂，//αβ，则直线m 与n 可能平行，也可能异面，故D 错误，故选C ． 6．【答案】A 【解析】()()()23831aff f ==->-，39a <，即2a <，故选A ．7．【答案】B【解析】根据题意，焦点()1,0F ，准线方程为1x =-，过点P 作准线的垂线，垂足为P'，过点A 作准线的垂线，垂足为A '，且与抛物线交于点0P ，作出图象如图，故2AF =由抛物线的定义得PF PP '=，则APF △周长为222C PF PA PP PA AA ''+=+≥+ 当且仅当点P 在点0P 处时，等号成立，因为3AA '=，2232C PF PA AA '+≥= 所以APF △周长的最小值为32，故选B ． 8．【答案】A【解析】对于甲同学，平均数为2，方差小于1，设甲同学三次考试的名次分别为1x 、2x 、3x ，若1x 、2x 、3x 中至少有一个大于等于4，则方差为()()()22221231422233s x x x ⎡⎤=-+-+-≥⎣⎦，与已知条件矛盾，所以，1x 、2x 、3x 均不大于3，满足题意；对于乙同学，平均数为2，众数为1，则三次考试的成绩的名次为1、1、4，即必有一次考试为第4名，不满足题意；对于丙同学，中位数为2，众数为2，可举反例：2、2、4，不满足题意；对于丁同学，众数为2，方差大于1，可举特例：2、2、5，则平均数为3，方差为()()222122353213s ⎡⎤=⨯-+-=>⎣⎦，不满足条件，故选A ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9．【答案】ABC【解析】根据函数()()cos f x A x ωϕ=+的部分图象知，2A =，设()f x 的最小正周期为T ，则2πππ4362T =-=，∴2πT =，2π1Tω==． ∵ππ2cos 266f ϕ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且π2ϕ<，∴6πϕ=-，故()π2cos 6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．令()π2cos 06f x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，得πππ62x k -=+，k ∈Z ，即3π2πx k =+，k ∈Z ，因此函数()f x 最靠近原点的零点为π3-，故A 正确；由()02cos 6πf ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭()f x 的图象在y B 正确；由()52cos 2co πs π6f x x x ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，因此函数6π5f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭是偶函数，故C 正确；令π2π2ππ6k x k -≤-≤，k ∈Z ，得π5226π6ππk x k -≤≤+，k ∈Z ，此时函数()f x 单调递增，于是函数()f x 在13π2π,6⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在13π7π,63⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故D 不正确，故选ABC ． 10．【答案】BD【解析】对于A ，3AP mAB nAC mAB nAD =+=+，,,B P D 三点共线，31m n ∴+=，A 错误；对于B ，31m n +=，()21131333212m n mn m n +⎛⎫∴=⋅≤⨯= ⎪⎝⎭（当且仅当3m n =时取等号）， B 正确；对于C ，()414112123772743n m n mm n m n m n m n m n⎛⎫+=++=++≥+⋅=+ ⎪⎝⎭（当且仅当12n mm n=，即23m n =时取等号），C 错误；对于D ，()22231922m n m n ++≥=（当且仅当3m n =时取等号），D 正确，故选BD ． 11．【答案】ABD【解析】在正方体1111ABCD A B C D -中，易证1DB ⊥面11A BC ，又1AG ⊂平面11A BC ，所以11AG B D ⊥，则A 正确； 11114662432A BEF F ABE D ABEB AD E V V V V ----====⨯⨯⨯⨯=三棱锥三棱锥三棱锥三棱锥，则B 正确；在棱1CC 上取点N ，使2CN =，连接,,(BN NE FN 如图)，则易知FBN ∠为直线AE 与BF 所成角或其补角，可得210BN =，5FN =，9FB =，则222(210)95410cos 1529210310FBN ∠+-===⨯⨯，则直线AE 与BF 所成角的余弦值为410，则C 错误；由题意知三棱锥11A BDC -为棱长为62 作1A O ⊥平面1BDC ，O 为垂足，则O 为正BDC △的中心，且AGO ∠为直线A G 与平面BDC 所成角，所以211211cos1AOOGAGOAG AG∠==-，当点G移动到1BC的中点时，1A G最短，如图，此时1cos AGO∠最小，1AGO∠最大，此时1161cos336OGAGOAG∠===，则D正确，故选ABD．12．【答案】AD【解析】因为()lnf x x x=，所以()f x的定义域为(0,)+∞，则()ln1f x x'=+，令()0f x'>，解得1xe>，可知()f x在1(0,)e上单调递减，在1(,)e+∞上单调递增，所以min11()()f x f x fe e⎛⎫===-⎪⎝⎭极小值，当0x→时，()0f x→，又()10f=，从而要使得方程()f x k=有两个不同的实根，即()y f x=与y k=的图象有两个不同的交点，所以1(,0)ke∈-，故选项A正确；因为1x=不是方程2()kf x x=的根，当1x≠时，()0f x≠，方程2()kf x x=有且只有一个实数根，等价于y k=与lnxyx=只有一个交点，2ln1(ln)xyx-'=，又0x>且1x≠，令0y '>，即ln 1x >，有x e >，知ln xy x=在(0,1)和(1,)e 上单调递减，在(,)e +∞上单调递增，1x =是一条渐近线，极小值为e ．由ln xy x=大致图象可知0k <或k e =，故选项B 错误；当120x x >>时，1212[()()]()()m g x g x f x f x ->-恒成立等价于1122()()()()mg x f x mg x f x ->-恒成立，即函数()()y mg x f x =-在(0,)+∞上为增函数，即()()ln 10y mg x f x mx x =-''--'=≥恒成立，即ln 1x m x+≥在(0,)+∞上恒成立，令ln 1()x r x x +=，则2ln ()xr x x'=-，令()0r x '>，得ln 0x <，解得01x <<，从而()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，则()max 1()1r x r ==，所以1m ≥，故选项C 错误；函数()()2()F x f x ag x =-有两个极值点，等价于()ln 120F x x ax '=+-=有两个不同的正根，即方程ln 12x a x+=有两个不同的正根，由选项C 可知，021a <<，即102a <<，故选项D 正确，故选AD ．第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】5.9【解析】根据样本()4,3处的残差为0.15-，即3(0.74)0.15a -⨯+=-，可得0.35a =，即回归直线的方程为ˆ0.70.35yx =+，又由样本数据的平均数为346754x +++==， 2.5344my +++=，所以0.750.3 2.55344m⨯+=+++，解得 5.9m =，故答案为5.9． 14．【答案】83【解析】()6x a +的展开式通项为()616C ,06r rr r A xa r r -+=⋅⋅∈≤≤N ，且()()()()6661x x x a x a x a +=--⋅++，所以()()61x x a -⋅+的展开式通项为66761,16666C C C C k k k r r r k k k rr r k r T x x a x a x a x a ----++=⋅⋅-⋅⋅=⋅⋅-⋅⋅，由7363k r -=⎧⎨-=⎩，解得43k r =⎧⎨=⎩，所以()()61x x a -⋅+的展开式中3x 的系数为443366C C a a ⋅-⋅，()61ax +的展开式的通项为()666166C C mmmm m m B ax a x ---+=⋅=⋅，由63m -=，可得3m =，所以()61ax +的展开式中3x 的系数为336C a ⋅，所以443333666C C C a a a ⋅-⋅=⋅，解得3646C C 283a ==，故答案为83． 15．【答案】96【解析】要完成给图中A 、B 、C 、D 、E 、F 六个区域进行染色，染色方法可分两类，第一类是仅用三种颜色染色，即AF 同色，BD 同色，CE 同色，则从四种颜色中取三种颜色有34C 4=种取法，三种颜色染三个区域有33A 6=种染法，共4624⨯=种染法；第二类是用四种颜色染色，即AF ，BD ，CE 中有一组不同色，则有3种方案(AF 不同色或BD 不同色或CE 不同色），先从四种颜色中取两种染同色区有24A 12=种染法，剩余两种染在不同色区有2种染法，共有312272⨯⨯=种染法．∴由分类加法原理得总的染色种数为247296+=种，故答案为96．16．【答案】π5π,66⎛⎤⎥⎝⎦，[]2,4【解析】根据正弦定理sin sin B bC A a==，所以sin b C =，sin sin sin b B C B =，得2sin b B =，再由222cos 2c a b B ac +-==，得()22π2cos 4sin 6a c ac B B ac B ⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭，因为(),π0B ∈，7πππ,666B ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，而22π4sin 26ac B a c ac ⎛⎫+=+≥ ⎪⎝⎭，所以π1sin 62B ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，所以5πππ,666B ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦，所以π1sin ,162B ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以[]π4sin 2,46B ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，而22sin sin π4sin sin sin 6C A c a a c B A C a c ac +⎛⎫+=+==+ ⎪⎝⎭，故sin sin sin sin C AA C+的取值范围是[]2,4．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）n a n =，2n n b =；（2）()1122n n T n +=-⨯+．【解析】（1）设数列{}n a 的公差为d ，由题意得()()117118d d d +=++，解得1d =或0（舍），∴()111n a n n =+-⨯=，∴2nn b =．（2）由（1）知231122*********nn n n T a b a b a b a b n =+++⋅⋅⋅+=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯，∴()23412122232122nn n T n n +=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯，两式相减得()2311121212122122nn n n T n n ++-=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯-⨯=-⨯-，∴()1122n n T n +=-⨯+．18．【答案】（1）π3A =；（2）2．【解析】（1()2sin cos sin cos sin A C B B C A +=，()2sin sin A C B A +=2sin sin A A A =，又()0,πA ∈，所以sin 0A ≠，所以tan A =π3A =．方案②：由已知正弦定理得()2cos sin 2sin sin 2sin sin C A B C A C C =-=+-2sin cos 2cos sin sin A C A C C =+-，所以2cos sin sin 0A C C -=，即2cos sin sin A C C =，又()0,πC ∈，所以sin 0C ≠，所以1cos 2A =，所以π3A =．方案③：因为tan tan tan tan A B C B C ++=，所以tan tan tan tan tan tan()(1tan tan )A B C B C A B C B C ++==++⋅-()tan tan 1tan tan tan tan tan A A B C A B C =--=，tan tan tan tan B C A B C =，又(),,0,πA B C ∈，所以tan 0B ≠，tan 0C ≠，所以tan A =，1cos 2A =，所以π3A =．（2）由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，2a =，π3A =，得224b c bc =+-，即()243b c bc +=+，又因为b c +=2bc =，所以1sin 22ABC S bc A ==△． 19．【答案】（1）62y x =-；（2）答案不唯一，具体见解析．【解析】（1）当1a =时，()2ln 3f x x x x =++，可得1()23f x x x'=++，斜率(1)6k f '==，而(1)4f =，根据点斜式可得()y f x =曲线在1x =处的切线方程为62y x =-．（2）因为()()2ln 21f x x ax a x =+++，对()f x 求导，()()()()()222112111221ax a x ax x f x ax a x x x++++'+=+++==，()0x >，①当0a =时，()110f x x'=+>恒成立，此时()y f x =在()0,∞+上单调递增；②当0a >，由于0x >，所以()()2110ax x ++>恒成立，此时()y f x =在()0,∞+上单调递增；③当0a <时，令()0f x '=，解得12x a=-．因为当10,2x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()0f x '>；当1,2x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭，()0f x '<，所以()y f x =在10,2a ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，在1,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减．综上可知，当0a ≥时，()f x 在()0,∞+上单调递增，当0a <时，()f x 在10,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减．20．【答案】（1）证明见解析；（2）13．【解析】（1）证明：连接BD 交AC 于点F ，连接EF ．因为AD BC ∥，所以AFD △与BCF △相似，所以2BF BCFD AD==．又2BE BFES FD==，所以EF SD ∥．因为EF ⊂平面ACE ，SD ⊂/平面ACE ，所以直线SD ∥平面ACE ．（2）解：平面SCD ⊥平面ABCD ，平面SCD平面ABCD CD =，BC ⊂平面ABCD ，BC CD ⊥，所以BC ⊥平面SCD ．以C 为坐标原点，CD ，CB 所在的方向分别为y 轴、z 轴的正方向，与CD ，CB 均垂直的方向作为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -．则(0,0,0)C ，(1,1,0)S ，(0,2,2)A ，224(,,)333E ，(0,2,2)CA =，(1,1,0)CS =，224(,,)333CE =．设平面SAC 的一个法向量为(),,x y z =m ，则2200CA y z CS x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩m m ，令1x =，得()1,1,1=-m ；设平面EAC 的一个法向量为(),,x y z =n ，则220224333CA y z CE x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++=⎪⎩n n ，令1z =，得()1,1,1=--n ，设二面角S AC E --的平面角的大小为θ，则||1cos ||||3θ⋅===⋅m n m n ，所以二面角S AC E --的余弦值为13．21．【答案】（1）216元；（2）()()3113(1)f p p p =-+-，事件A 是小概率事件，理由见解析．【解析】（1）设赌博再继续进行X 局甲赢得全部赌注，则最后一局必然甲赢，由题意知，最多再进行4局，甲､乙必然有人赢得全部赌注．当2X =时，甲以4:1赢，所以()224239P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；当3X =时，甲以4:2赢，所以()1222283C 133327P X ⎛⎫==⋅⨯-⨯=⎪⎝⎭；当4X =时，甲以4:3赢，所以()21322244C 133327P X ⎛⎫==⋅⨯-⨯= ⎪⎝⎭，所以，甲赢的概率为48424892727279++==，所以，甲应分得的赌注为82432169⨯=元．（2）设赌注继续进行Y 局乙赢得全部赌注，则最后一局必然乙赢，则Y 的可能取值有3、4，当3Y =时，乙以4:2赢，()33(1)P Y p ==-；当4Y =时，乙以4:3赢，()13334C (1)3(1)P Y p p p p ==-=-；所以，乙赢得全部赌注的概率为()()333(1)3(1)13(1)P A p p p p p =-+-=+-，于是甲赢得全部赌注的概率()()3113(1)f p p p =-+-，求导，()()()3223(1)133(1)112(1)f p p p p p p =---+⋅--=-'．因为415p ≤<，所以()0f p '>，所以()f p 在4,15⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，于是min 4608()5625f p f ⎛⎫==⎪⎝⎭．故乙赢的概率为6081710.02720.05625625-==<，故事件A 是小概率事件． 22．【答案】（1）8m =-；（2）证明见解析．【解析】由24y x m y x=+⎧⎨=⎩，得2440y y m -+=．设()11,A x y ，()22,B x y ，则124y y +=，124y y m =．因为直线l 与C 相交，所以16160Δm =->，得1m <．（1）由2AT TB =，得1220y y +=，所以240y +=，解得24y =-，从而18y =，因为124y y m =，所以432m =-，解得8m =-．（2）设()33,M x y ，()44,N x y ，因为,M N 两点关于直线y x m =+对称，则4343223443434144y y y y y y x x y y --===-+-，解得434y y =--．又434322y y x x m ++=+，于是3343422y y x x m --++=+，解得4342x m x =---．又点N 在抛物线上，于是233()(42)44y m x -----=．因为2334y x =，所以23341640y y m +++=，于是13231323()()()()M x x x x y y y MB y A ⋅=----+222233121323()()()()4444y y y y y y y y =----()()()13231323()1616y y y y y y y y --=--+⎡⎤⎣⎦()()132********()1616y y y y y y y y y y --⎡⎤=++++⎣⎦ ()()2231333404()1616y y y y y m y --==+++，因此MA MB ⊥，同理NA NB ⊥，于是点,M N 在以AB 为直径的圆上，即,,,A B M N 四点共圆．。

2021年山东省普通高中高考数学仿真试卷(5)(有答案)

2021年山东省普通高中高考数学仿真试卷（5）一、单选题：本大题共20小题，每小题3分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1. 已知集合A={x|x<4}，B={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}，则(∁R A)∩B等于（）A.{0, 1, 2, 3}B.{5, 6}C.{4, 5, 6}D.{3, 4, 5, 6}2. 若函数最小正周期为π，则ω的值为（）A.2B.±2C.1D.±13. 下列函数中，在R上单调递增的是( )A.y=|x|B.y=log2xC.y=x13D.y=0.5x4. 已知角α的终边经过点P(4, −3)，则2sinα+cosα的值等于（）A.−35B.45C.25D.−255. 2021年某省新高考将实行“3+1+2”模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式．某同学已选了物理，记事件A：“他选择政治和地理”，事件B：“他选择化学和地理”，则事件A与事件B()A.是互斥事件，不是对立事件B.是对立事件，不是互斥事件C.既是互斥事件，也是对立事件D.既不是互斥事件也不是对立事件6. 已知实数m，n满足2m+n=2，其中m>0，n>0，则1m +2n的最小值为( )A.4B.6C.8D.127. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若A＝45∘，B＝60∘，，则b 的值为（）A. B. C. D.8. 已知向量a →=(1, −2)，b →=(1, 1)，m →=a →+b →，n →=a →−λb →，如果m →⊥n →，那么实数λ=( ) A.4 B.3C.2D.19. 已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2＝b 2+c 2−bc ，则cos A ＝（）A. B. C. D.10. 2019年以来，世界经济和贸易增长放缓，中美经贸摩擦影响持续显现，我国对外贸易仍然表现出很强的韧性．今年以来，商务部会同各省市全面贯彻落实稳外贸决策部署，出台了一系列政策举措，全力营造法治化、国际化、便利化的营商环境，不断提高贸易便利化水平，外贸稳规模、提质量、转动力取得阶段性成效，进出口保持稳中提质的发展势头，如图是某省近五年进出口情况统计图，下列描述错误的是（）A.这五年，2015年出口额最少B.这五年，出口总额比进口总额多C.这五年，出口增速前四年逐年下降D.这五年，2019年进口增速最快11. 在区间[4, 12]上随机地取一个实数a ，则方程2x 2−ax +8＝0有实数根的概率为（） A.14B.23C.13D.1212. 设l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（） A.若l ⊥m ，m ⊂α，则l ⊥α B.若l // α，m ⊂α，则l // m C.若α // β，m ⊄β，m // α，则m // β D.若l // α，m // α，则l // m13. 在用二次法求方程3x+3x−8＝0在(1, 2)内近似根的过程中，已经得到f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根落在区间（）A.(1, 1.25)B.(1.25, 1.5)C.(1.5, 2)D.不能确定14. 已知一个正方体和一个圆柱等高，并且侧面积相等，则这个正方体和圆柱的体积之比为（）A.4πB.π4C.π2D.2π15. α是第四象限角，cosα=1213，则sinα=()A.5 13B.−513C.512D.−51216. 中国茶文化博大精深．茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种绿茶用85∘C的水泡制，再等到茶水温度降至60∘C时饮用，可以产生最佳口感．为分析泡制一杯最佳口感茶水所需时间，某研究人员每隔1min测量一次茶水的温度，根据所得数据做出如图所示的散点图．观察散点图的分布情况，下列哪个函数模型可以近似地刻画茶水温度y随时间x变化的规律（）A.y＝mx2+n(m>0)B.y＝mx+n(m>0)C.y＝ma x+n(m>0，a>0且a≠1)D.y＝m log a x+n(m>0，a>0且a≠1)17. 命题p:∀x∈N，x3>1，则￢p为（）A.∀x∈N，x3<1B.∀x∉N，x3≥1C.∃x∉N，x3≥1D.∃x∈N，x3≤118. 设a，b∈R，则“ln a>ln b”是“ln>0”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件19. 已知i 为虚数单位，若(a ∈R)为纯虚数，则实数a 的值为（）A.2B.−2C.D.-20. 《易经》是中国传统文化中的精髓，右图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（─表示一根阳线，--表示一根阴线），从八卦中任取一卦，这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线的概率为（）A.18B.14C.38D.12二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分函数f(x)＝的定义域是________．已知向量a →=(−k,2),b →=(1,3)，若a →⊥(a →−2b →)，则实数k ＝________．如图正方形OABC 的边长为1cm ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是 8 cm ．已知不等式ax 2+bx +2>0的解集为{x|−12<x <13}，则不等式2x 2+bx +a <0的解集为________．若函数f(x)=kx 2+(k −1)x +2是偶函数，则f(x)的递减区间是________．三、解答题：本大题共3小题，共25分.cos(2x+φ)+sin2x．已知0≤φ<π，函数f(x)=√32(Ⅰ)若φ=π，求f(x)的单调递增区间；6(Ⅱ)若f(x)的最大值是3，求φ的值．2已知．（1）求f(x)的函数解析式；（2）讨论f(x)在区间[−2, 2]函数的单调性，并求在此区间上的最大值和最小值．如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，A1B1=A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点（点D不同于点C），且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：(1)直线A1F // 平面ADE;(2)平面ADE⊥平面BCC1B1.参考答案与试题解析2021年山东省普通高中高考数学仿真试卷（5）一、单选题：本大题共20小题，每小题3分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.【答案】C【考点】交、并、补集的混合运算【解析】根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：∵A={x|x<4}，∴∁R A={x|x≥4}，∵B={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}，∴(∁R A)∩B={4, 5, 6}.故选C.2.【答案】D【考点】三角函数的周期性【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】C【考点】函数单调性的判断与证明【解析】A、去绝对值符号，转化为一次函数的单调性；B、对数函数的定义域和底数大于1时是增函数；C、指数是正数的幂函数在R上是增函数；D、底数大于1的指数函数在R上是增函数．【解答】解：A，y=|x|={x，x≥0−x，x<0的单调增区间是[0，+∞)，故不正确；B，y=log2x的定义域是(0, +∞)，故不正确；C，y=x13的定义域是R，并且是增函数，故正确；D，y=0.5x在R上单调递减，故不正确．故选C．4.【答案】 D【考点】任意角的三角函数【解析】利用任意角三角函数的定义，分别计算sin α和cos α，再代入所求即可【解答】解：利用任意角三角函数的定义，sin α=y r=√16+9=−35，cos α=x r=45.∴ 2sin α+cos α=2×(−35)+45=−25.故选 D . 5.【答案】 A【考点】互斥事件与对立事件【解析】利用互斥事件、对立事件的定义直接求解．【解答】2021年某省新高考将实行“3+1+2”模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式．某同学已选了物理，记事件A ：“他选择政治和地理”，事件B ：“他选择化学和地理”，则事件A 与事件B 不能同时发生，但能同时不发生，故事件A 和B 是互斥事件，但不是对立事件，故A 正确． 6.【答案】 A【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】变形利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵ 实数m ，n 满足2m +n =2，其中m >0，n >0， ∴ 1m +2n =12(2m +n)(1m +2n ) =1(4+n +4m )≥1(4+2√n ⋅4m ) =12(4+4)=4，当且仅当nm =4m n，即m =12，n =1时，等号成立，∴ 1m +2n 的最小值是4．故选A ．7.【答案】 B【考点】正弦定理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答 8. 【答案】 A【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系【解析】由平面向量坐标运算法则先分别求出m →，n →，再由m →⊥n →，能求出实数λ．【解答】解：∵ 量a →=(1, −2)，b →=(1, 1)， ∴ m →=a →+b →=(2, −1)，n →=a →−λb →=(1−λ, −2−λ)， ∵ m →⊥n →，∴ m →⋅n →=2(1−λ)+(−1)(−2−λ)=0，解得实数λ=4．故选A ． 9.【答案】 B【考点】余弦定理【解析】直接利用余弦定理结合已知条件化简求解即可．【解答】由余弦定理有，．10. 【答案】 C【考点】频率分布直方图【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答11.【答案】D【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）【解析】根据一元二次方程有实数根△≥0，求出a的取值范围，再求对应的概率值．【解答】因为方程2x2−ax+8＝0有实数根，所以△＝(−a)2−4×2×8≥0，解得a≥8或a≤−8，所以方程2x2−ax+8＝0有实数根的概率为P=12−812−4=12．12.【答案】C【考点】空间中直线与平面之间的位置关系空间中直线与直线之间的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答13.【答案】B【考点】二分法的定义【解析】根据函数的零点存在性定理，由f(1)与f(1.5)的值异号得到函数f(x)在区间(1, 1.5)内有零点，同理可得函数在区间(1.25, 1.5)内有零点，从而得到方程3x+3x−8＝0的根所在的区间．【解答】∵f(1)<0，f(1.5)>0，∴在区间(1, 1.5)内函数f(x)＝3x+3x−8存在一个零点又∵f(1.5)>0，f(1.25)<0，∴在区间(1.25, 1.5)内函数f(x)＝3x+3x−8存在一个零点，由此可得方程3x+3x−8＝0的根落在区间(1.25, 1.5)内，故选：B．14.【答案】B【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【解析】先设下正方体的棱长为a，圆柱的底面半径为r，利用圆柱和正方体的侧面积公式可得2πra＝4a2，从而得出r与a的关系式，最后利用体积公式即可得出正方体与圆柱的体积比．【解答】设下正方体的棱长为a，圆柱的底面半径为r，由圆柱和正方体的侧面积公式可知，圆柱侧面积＝2πra，正方体的侧面积＝4a2，∵它们的侧面积相等，∴2πra＝4a2，∴r=2aπ；∴正方体与圆柱的体积比是a3r2π×a =a3(2aπ)2aπ=π：（4）15.【答案】B【考点】同角三角函数基本关系的运用象限角、轴线角【解析】根据同角的三角函数之间的关系sin2+cos2α=1，得到余弦的值，又由角在第四象限，确定符号．【解答】解：∵α是第四象限角，cosα=1213∴sinα=−√1−cos2α=−513.故选B．16.【答案】C【考点】求解线性回归方程【解析】由函数的图象，分析判断得出符合条件的函数模型即可．【解答】由函数的图象知，符合条件只有指数函数模型y＝ma x+n，其中m>0，n>0．17.【答案】D【考点】命题的否定此题暂无解析【解答】此题暂无解答18.【答案】A【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】根据对数的运算性质以及充分条件，必要条件的定义即可求解．【解答】当ln a>ln b时，a>b>0，即ln；当ln>0时，b同为负数，ln b不一定有意义．19.【答案】B【考点】复数的运算虚数单位i及其性质复数的基本概念【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答20.【答案】C【考点】古典概型及其概率计算公式【解析】从八卦中任取一卦，基本事件总数n＝8，这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线包含的基本事件个数m＝3，由此能求出这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线的概率．【解答】从八卦中任取一卦，基本事件总数n＝8，这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线包含的基本事件个数m＝3，∴这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线的概率为p=mn =38．二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分【答案】(−1, 2)函数的定义域及其求法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】 −4或2 【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系【解析】结合向量垂直的坐标表示可建立关于k 的方程，解方程可求．【解答】由题意，a →−2b →=(−k −2, −4)，因为a →⊥(a →−2b →)，所以a →⋅(a →−2b →)=−k ×(−k −2)+2×(−4)＝k 2+2k −8＝0，解可得k ＝2或k ＝−4．【答案】 8．【考点】斜二测画法画直观图【解析】由斜二测画法的规则知在已知图形平行于x 轴的线段，在直观图中画成平行于x ′轴，长度保持不变，已知图形平行于y 轴的线段，在直观图中画成平行于y ′轴，且长度为原来一半．由于y ′轴上的线段长度为√2，故在平面图中，其长度为2√2，且其在平面图中的y 轴上，由此可以求得原图形的周长．【解答】由斜二测画法的规则知与x ′轴平行的线段其长度不变以及与横轴平行的性质不变，正方形的对角线在y ′轴上，可求得其长度为√2，故在平面图中其在y 轴上，且其长度变为原来的2倍，长度为2√2，其原来的图形如图所示，则原图形的周长是：8cm ．【答案】 (−2, 3) 【考点】一元二次不等式的应用【解析】由于不等式ax 2+bx +2>0的解集为{x|−12<x <13}，可得12，13是ax 2+bx +2＝0的一元二次方程的两个实数根，利用根与系数关系可得a ，b ，即可得出．∵ 不等式ax 2+bx +2>0的解集为{x|−12<x <13}，∴ 12，13是ax 2+bx +2＝0的一元二次方程的两个实数根， ∴ {−12+13=−ba −12×13=2aa <0，解得a ＝−12，b ＝−2．则不等式2x 2+bx +a <0化为2x 2−2x −12<0，即x 2−x −6<0，解得−2<x <3．∴ 不等式2x 2+bx +a <0的解集为(−2, 3)．【答案】 (−∞, 0] 【考点】函数奇偶性的性质函数单调性的判断与证明【解析】根据偶函数的性质求出k 值，再根据二次函数的图象即可求出其单调减区间．【解答】解：因为f(x)为偶函数，所以f(−x)=f(x)．即kx 2−(k −1)x +2=kx 2+(k −1)x +2，所以2(k −1)x =0，所以k =1．则f(x)=x 2+2，其递减区间为(−∞, 0]．故答案为：(−∞, 0]．三、解答题：本大题共3小题，共25分. 【答案】（本小题满分1（1）由题意f(x)=14cos 2x −√34sin 2x +12⋯=12cos (2x +π3)+12⋯ 由2kπ−π≤2x +π3≤2kπ，得kπ−2π3≤x ≤kπ−π6．所以单调f(x)的单调递增区间为[kπ−2π3,kπ−π6]，k ∈Z ．（2）由题意f(x)=(√32cos φ−12)cos 2x −√32sin φsin 2x +12，由于函数f(x)的最大值为32，即(√32cos φ−12)2+(√32sin φ)2=1，从而cos φ＝0，又0≤φ<π，故φ=π2．【考点】正弦函数的单调性三角函数的最值【解析】(Ⅰ)利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，通过正弦函数的单调性求解即可．(Ⅱ)利用函数f(x)的最大值为32，通过求解方程求解即可．【解答】（本小题满分1（1）由题意f(x)=14cos 2x −√34sin 2x +12⋯=12cos (2x +π3)+12⋯ 由2kπ−π≤2x +π3≤2kπ，得kπ−2π3≤x ≤kπ−π6．所以单调f(x)的单调递增区间为[kπ−2π3,kπ−π6]，k ∈Z ．（2）由题意f(x)=(√32cos φ−12)cos 2x −√32sin φsin 2x +12，由于函数f(x)的最大值为32，即(√32cos φ−12)2+(√32sin φ)2=1，从而cos φ＝0，又0≤φ<π，故φ=π2．【答案】令t ＝−2，+∞)2，∴ f(t)＝(t +3)2−3(t +2)＝t 2+t −4， ∴ f(x)＝x 2+x −4，x ∈[−2．f(x)＝x 5+x −4为二次函数，开口向上，∴ 当x ∈[−2，-）时；当x ∈(−，f(x)单调递增，最大值为f(2)＝7，最小值为f(−，综上，f(x)在[−2，-，在（-，在此区间上的最大值为2．【考点】函数解析式的求解及常用方法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】解：(1)∵ 在△A 1B 1C 1中，A 1B 1=A 1C 1，F 为B 1C 1的中点， ∴ A 1F ⊥B 1C 1，∵ CC 1⊥平面A 1B 1C 1，A 1F ⊂平面A 1B 1C 1， ∴ A 1F ⊥CC 1，又∵ B 1C 1、CC 1是平面BCC 1B 1内的相交直线，∴A1F⊥平面BCC1B1，又∵AD⊥平面BCC1B1，∴A1F // AD，∵A1F⊄平面ADE，AD⊂平面ADE，∴直线A1F // 平面ADE．(2)∵三棱柱ABC−A1B1C1是直三棱柱，∴CC1⊥平面ABC，∵AD⊂平面ABC，∴AD⊥CC1，又∵AD⊥DE，DE、CC1是平面BCC1B1内的相交直线，∴AD⊥平面BCC1B1，∵AD⊂平面ADE∴平面ADE⊥平面BCC1B1.【考点】平面与平面垂直的判定直线与平面平行的判定【解析】（1）根据三棱柱ABC−A1B1C1是直三棱柱，得到CC1⊥平面ABC，从而AD⊥CC1，结合已知条件AD⊥DE，DE、CC1是平面BCC1B1内的相交直线，得到AD⊥平面BCC1B1，从而平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）先证出等腰三角形△A1B1C1中，A1F⊥B1C1，再用类似（1）的方法，证出A1F⊥平面BCC1B1，结合AD⊥平面BCC1B1，得到A1F // AD，最后根据线面平行的判定定理，得到直线A1F // 平面ADE．【解答】解：(1)∵在△A1B1C1中，A1B1=A1C1，F为B1C1的中点，∴A1F⊥B1C1，∵CC1⊥平面A1B1C1，A1F⊂平面A1B1C1，∴A1F⊥CC1，又∵B1C1、CC1是平面BCC1B1内的相交直线，∴A1F⊥平面BCC1B1，又∵AD⊥平面BCC1B1，∴A1F // AD，∵A1F⊄平面ADE，AD⊂平面ADE，∴直线A1F // 平面ADE．(2)∵三棱柱ABC−A1B1C1是直三棱柱，∴CC1⊥平面ABC，∵AD⊂平面ABC，∴AD⊥CC1，又∵AD⊥DE，DE、CC1是平面BCC1B1内的相交直线，∴AD⊥平面BCC1B1，∵AD⊂平面ADE∴平面ADE⊥平面BCC1B1.。

2021届山东省高三高考模拟数学试题(解析版)

高三高考模拟数学试题一、单项选择题：1.已知集合{1,2}A =-，{|1}B x ax ==，若B A ⊆，则由实数a 的所有可能的取值组成的集合为（） A. 11,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭B. 11,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭C. 10,1,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭D. 11,0,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭【答案】D 【解析】【分析】分B 为空集和B 不为空集两种情况讨论，分别求出a 的范围，即可得出结果. 【详解】因为集合{1,2}A =-，{|1}B x ax ==，B A ⊆，若B 为空集，则方程1ax =无解，解得0a =；若B 不为空集，则0a ≠；由1ax =解得1x a =，所以11a =-或12a =，解得1a =-或12a =，综上，由实数a 的所有可能的取值组成的集合为11,0,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭. 故选D【点睛】本题主要考查由集合间的关系求参数的问题，熟记集合间的关系即可，属于基础题型. 2.若1iz i =-+（其中i 是虚数单位），则复数z 的共轭复数在复平面内对应的点位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】分析：变形1iz i =-+，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z 的坐标即可得结论. 详解：由i 1i z =-+，得()()21i i 1i 1i i iz -+--+===+-，1z i =- ∴复数z 的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为()1,1-，位于第四象限，故选D.点睛：本题主要考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，意在考查学生对基础知识掌握的熟练程度，属于简单题. 3.函数()()22ln x xf x x -=+的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】根据函数奇偶性的判断可知函数为偶函数，图象关于y 轴对称，排除D ；根据()0,1x ∈时，()0f x <，排除,A C ，从而得到正确选项. 【详解】()f x 定义域为{}0x x ≠，且()()()()22ln 22ln x x x x f x x x f x ---=+-=+=()f x ∴为偶函数，关于y 轴对称，排除D ；当()0,1x ∈时，220x x -+>，ln 0x <，可知()0f x <，排除,A C . 本题正确选项：B【点睛】本题考查函数图象的辨析，关键是能够通过函数的奇偶性、特殊值的符号来进行排除.4.《九章算术⋅衰分》中有如下问题:“今有甲持钱五百六十,乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱.欲以钱数多少衰出之,问各几何?”翻译为“今有甲持钱560,乙持钱350,丙持钱180,甲、乙、丙三个人一起出关，关税共计100钱,要按个人带钱多少的比例交税,问三人各应付多少税?”则下列说法中错误的是（） A. 甲付的税钱最多 B. 乙、丙两人付的税钱超过甲 C. 乙应出的税钱约为32 D. 丙付的税钱最少【答案】B 【解析】【分析】通过阅读可以知道,A D 说法的正确性,通过计算可以知道,B C 说法的正确性.【详解】甲付的税钱最多、丙付的税钱最少，可知,A D 正确:乙、丙两人付的税钱占总税钱的3511002<不超过甲。