十七章--高斯光束的物理特性
高斯光束的基本质及特征参数
e
2
2
2 2 H n Hm x
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• For distance well beyond the Rayleigh range f the radius then increases again as R(z)z, i.e., the gaussian beam becomes essentially like a spherical wave centered at the beam waist. What this means in physical terms is that the center of curvature of the wavefront starts out at – for a wavefront right at the beam waist, and then moves monotonically inward toward the waist, as the wavefront itself moves outward toward z .
，说明球心在共焦腔腔外 当 z f时, z R( z) f ，说明球心在共焦腔腔内
当 z f时, z R( z) f
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• The radius of curvature R(z) has a variation with distance given analytically by
1 1 1 i q0 q (0) R (0) 2 (0)
高斯光束的特点
高斯光束的特点高斯光束是一种常见的光束形式，它具有一些独特的特征和性质。
在这篇文章中，我将详细介绍高斯光束的特点和应用。
高斯光束的产生首先，让我们了解高斯光束的产生机制。
高斯光束是由激光器产生的，其中的光源是一个能够将能量转换为光的物质。
在激光器内部，光被引导通过透镜并被聚焦在一个非常小的点上。
这个非常小的点就是所谓的高斯光束。
高斯光束的特性接下来是高斯光束的一些重要特性：1. 对称性：高斯光束在垂直和水平方向上具有相同的亮度分布，呈现完美的对称性。
2. 聚焦性：高斯光束能够通过透镜聚焦到一个非常小的点上，这使得它在许多领域都具有广泛的应用。
3. 窄束宽：高斯光束的光束宽度非常窄，这意味着它能够将光精确地聚焦在一个非常小的区域内。
这使其在制造领域中应用越来越广泛，比如在半导体微处理器和纳米加工中使用。
4. 相位一致性：高斯光束中的光波具有相位一致性。
这意味着高斯光束中的光波可以相互干涉，并且具有非常大的干涉强度，使其在干涉仪和光学器件中应用广泛。
5. 光束稳定性：高斯光束的光束是稳定的，它不会像其他类型的光束一样发生绕射或扩散。
这使得它在通信和传输领域中应用广泛。
应用领域高斯光束在许多领域中都得到了广泛应用，以下是其中一些领域：1. 通信和传输：在光纤通信和光学传输系统中使用高斯光束可以提供更好的性能和可靠性。
高斯光束产生的光束非常窄，可以提供更高的传输速率和更少的数据丢失。
2. 制造和加工：高斯光束的光束聚焦非常精确，因此它在制造和加工领域中使用越来越广泛。
例如，它可以用于微加工、纳米加工、刻蚀和切割。
3. 治疗和医学：高斯光束已被用于医学成像和激光治疗。
它可以用于照射和去除组织中的癌细胞。
4. 科学研究：高斯光束在科学研究领域中应用广泛。
它可以用于干涉仪、单光子实验、冷却原子、微分析和高分辨率成像等。
总结在本文中，我详细介绍了高斯光束的特点和应用领域。
高斯光束通过激光器产生，具有对称性、聚焦性、窄束宽、相位一致性和光束稳定性等特点，其应用领域包括通信和传输、制造和加工、治疗和医学和科学研究等。
高斯光束的基本性质及特征参数r讲解
1/ e
2
2 ( z ) lim z 0 z
高斯光束的发散度由束腰半径ω 0决定。
综上所述，基模高斯光束在其传播轴线附近， 可以看作是一种非均匀的球面波，其等相位面是曲 率中心不断变化的球面，振幅和强度在模截面内保 持高斯分布。
photomultiplier
photodiode
z
2
z 0 1 f
f2 R( z ) z z
高斯光束的共焦参数
2 0 f Z0
与传播轴线相 交于Z点的高斯光束 等相位面的曲率半 径
高斯光束的基本特征： (1)基模高斯光束在横截面内的光电场振幅分 布按照高斯函数的规律从中心（即传播轴线）向外 平滑地下降，如图1-6所示。由中心振幅值下降到 1/e点所对应的宽度，定义为光斑半径。
Avalanche photodiode
R(z)随Z变化规律为：
2 2 f f R z z 1 2 z z z
结论： a)当Z=0时，R(z)→∞，表明束腰所在处的等 相位面为平面。 b) 当Z→±∞时，│R(z)│≈z→∞表明离束腰无 限远处的等相位面亦为平面，且曲率中心就在束腰 处； c)当z=±f时，│R(z)│=2f，达到极小值 。
决定了基模高斯光束的空间相移特性。 其 中 ， kz 描 述 了 高 斯 光 束 的 几 何 相 移 ； arctan(z/f)描述了高斯光束在空间行进距离z处， 相对于几何相移的附加相移；因子kr2/(2R(z))则表 示与横向坐标 r 有关的相移，它表明高斯光束的等 相位面是以R(z)为半径的球面。
高斯光束的基本性质及特征参数
基模高斯光束
高斯光束在自由空间的传播规律
高斯光束衍射极限
高斯光束衍射极限引言在现代光学中，高斯光束是一种重要的光学现象。
高斯光束是指在空间中传播的电磁波的一种特殊形式，它具有高度集中的能量分布和自聚焦特性。
高斯光束的衍射极限是指在特定条件下，高斯光束经过衍射后的最小尺寸限制。
本文将详细探讨高斯光束的衍射极限及其相关内容。
高斯光束的特点高斯光束具有以下几个重要特点：1.高度集中的能量分布：高斯光束的能量在空间中呈现出高度集中的分布，大部分能量集中在光束的中心区域。
这使得高斯光束在很多应用中具有重要的作用，比如激光器、光纤通信等。
2.自聚焦特性：高斯光束在传播过程中会出现自聚焦的现象。
这是由于高斯光束的折射率与光强度之间存在非线性关系，使得光束在传播过程中会自动聚焦在一个点上。
这种自聚焦现象在激光切割、激光打孔等领域得到了广泛应用。
3.良好的相干性：高斯光束具有良好的相干性，即波前的相位关系在空间中保持稳定。
这使得高斯光束在干涉、衍射等现象中表现出优越的性能。
高斯光束的衍射极限高斯光束经过衍射后会出现一定的扩散现象，其衍射极限即为高斯光束经过衍射后的最小尺寸限制。
衍射极限的大小与光束的波长、光束直径和衍射距离等因素有关。
衍射极限的计算方法衍射极限可以通过一些数学模型进行计算。
其中，最常用的是菲涅尔衍射和夫琅禾费衍射模型。
菲涅尔衍射模型菲涅尔衍射模型适用于光源到衍射屏的距离与衍射屏到观察点的距离相近的情况。
在菲涅尔衍射模型中，衍射极限的计算公式为：D=2λL d其中，D为衍射极限的直径，λ为光束的波长，L为光源到衍射屏的距离，d为光束的直径。
夫琅禾费衍射模型夫琅禾费衍射模型适用于光源到衍射屏的距离远大于衍射屏到观察点的距离的情况。
在夫琅禾费衍射模型中，衍射极限的计算公式为：D=2λf d其中，D为衍射极限的直径，λ为光束的波长，f为焦距，d为光束的直径。
影响衍射极限的因素衍射极限的大小受到多种因素的影响，主要包括：1.波长：波长越短，衍射极限越小。
这是由于波长与衍射极限的计算公式中呈反比关系。
2.6 高斯光束基本性质及特征参数详解
a、光腰半径
x方向：m2 2m 102 02 y方向：n2 2n 102 02
b、z处光斑半径
x方向： m2z 2m 1z2 z2 y方向： n2z 2n 1z2 z2
(5) 远场发散角
x方向： m
lim
z
2m z
z
y方向：
n
lim
z
2n z
z
2m 1 2 0
2n 1 2 0
1
2
z
R
z 1
R z w2 z
2
1
00 x,
y, z
c
wz
exp
ik
r2 2
1
Rz
i w2 z
e
i
kztg
1
z f
1
qz
1
Rz
i
2 z
1/q(z) —高斯光束的复曲率半径
知道q(z)可以求R (z)和 z
1
Rz
Re q1z
1
2 z
Im
q
1
z
特例：
自由空间为例
r2 Ar1 B1 近轴光 ,
2 Cr1 D1 r2 R22 r1 R11
R2
r2
2
AR1 B CR1 D
—ABCD公式
二、高斯光束q参数的变换规律——ABCD公式 1、高斯光束与普通球面波参数与传输规律的对应
描述 传播
普通球面波 曲率半径
R2
AR 1 CR 1
B D
高斯光束
2.9 高斯光束基本性质和特征参数
在高斯近似下，稳定腔和共焦腔都输出高斯光束，对方形镜和 圆形镜腔，分别是厄米—高斯(高阶或基模)和拉盖尔—高斯(高 阶或基模)光束。
2.6 高斯光束基本性质及特征参数
z i kztg 1 f
1 1 i q z R z 2 z
1/q(z) —高斯光束的复曲率半径
知道q(z)可以求R (z)和
z
1 Im 特例： 2 z q z
几何相移
与横向坐标 相关的相移
附加相移 (在旁轴情 况下可以忽 略)
3、等相面特点
(1)等相面为球面， 曲率半径为
0 2 f2 R R z z z 1 z z
(2)z=0时束腰位置，R(z)→。等相面为平面。 (3)z << f 时，R(z)≈ f 2/z→。等相面近似为平面。 (4)z >> f 时，R(z)→ z。光束可近似为一个有 z=0点发出的半径为z的球面波。 (5)z → 时，R(z)→ z。等相面为平面。 注：高斯光束等相面的曲率中心并不是一个固定点，它要 随着光束的传播而移动。
可用ABCD公式验证普通球面波在自由空间和薄透镜中的 传输规律。 自由空间为例
r2 Ar B1 1
2 Cr1 D1
近轴光 , r2 R2 2 r R11 1 —ABCD公式
AR1 B R2 2 CR1 D r2
二、高斯光束q参数的变换规律——ABCD公式 1、高斯光束与普通球面波参数与传输规律的对应
2
2 0 2 0 l F l F i lc F 2 2 2 2 F l 2 0 F l 2 0 1 2 2 2 qC 2 2 0 2 0 l F l F lc F 2 2 2 0 0 2 F l 2 F l 2 2 2
高斯光束
•基本定律/概念o几何光学基本理论o概念与完善成像o光路计算/近轴系统o球面光学成像系统•理想光学系统o共线成像理论o基点与基面o物像关系o放大率o系统的组合o透镜•平面系统o平面镜成像o平行平板o反射棱镜o折射棱镜与光楔o光学材料•OS的光束限制o照相系统和光阑o望远镜的光束的选择o显微镜的光束限制o光学系统的景深•光度学/色度学o辐射量/光学量o传播中光学量的变化o系统像面的光照度o颜色分类/表现特征o颜色混合定律o颜色匹配o色度学中的几个概念o颜色相加原理o CIE标准色度学系统o均匀颜色空间•光路计算/像差o概述o光线的光路计算o轴上点球差•典型光学系统o眼睛系统o放大镜o显微镜系统o望远镜系统o目镜o摄影系统o显外形尺寸计算•现代光学系统o激光光学系统o傅里叶变换光学§8.1 激光光学系统激光自60年代初问世以来，由于其亮度高、单色性好、方向性强等优点，在许多领域得到了广泛应用。
例如激光加工、激光精密测量与定位、光学信息处理和全息术、模式识别和光计算、光通信等。
但无论激光在哪方面的应用，都离不开激光束的传输，因此研究激光束在各种不同介质中的传输形式和传输规律，并设计出实用的激光光学系统，是激光技术应用的一个重要问题。
一、高斯光束的特性在研究普通光学系统的成像时，我们都假定点光源发出的球面波在各个方向上的光强度是相同的，即光束波面上各点的振幅是相等的。
而激光作为一种光源，其光束截面内的光强分布是不均匀的，即光束波面上各点的振幅是不相等的，其振幅A与光束截面半径r的函数关系为其中A0为光束截面中心的振幅,w为一个与光束截面半径有关的参数,r为光束截面半径。
光束波面的振幅A呈高斯(Guass)型函数分布所以激光光束又称为高斯光束。
高斯光束的光斑延伸到无限远，其光束截面的中心处振幅最大，随着r的增大，振幅越来越小，因此我们常以r=w时的光束截面半径作为激光束的名义截面半径，并以w来表示，即当r=w时说明高斯光束的名义截面半径w是当振幅A下降到中心振幅A0的1/e时所对应的光束截面半径。
高斯光束的基本性质及特征参数r
综上所述，基模高斯光束在其传播轴线附近， 能够看作是一种非均匀旳球面波，其等相位面是曲 率中心不断变化旳球面，振幅和强度在模截面内保 持高斯分布。
photomultiplier
photodiode
Avalanche photodiode
高斯光束旳基本性质及特征参数
基模高斯光束 高斯光束在自由空间旳传播规律
高斯光束旳参数特征
4、高斯光束
由激光器产生旳激光束既不是上面讨论旳均匀平 面光波，也不是均匀球面光波，而是一种振幅和等 相位面在变化旳高斯球面光波，即高斯光束。
以基模TEM00高斯光束为例，体现式为：
E0
ωγ2 2zeik
z
γ2
2 z z2
02 f 2 1
如图1-7所示。
在Z=0处，ω（z）=ω0到达极小值，称为束 腰半径。
(2)基模高斯光束场旳相位因子
00 r, z
k z
2R
2
z
arctan
z f
决定了基模高斯光束旳空间相移特征。
其中，kz描述了高斯光束旳几何相移； arctan(z/f)描述了高斯光束在空间行进距离z处， 相对于几何相移旳附加相移；因子kr2/(2R(z))则表 达与横向坐标r有关旳相移，它表白高斯光束旳等 相位面是以R(z)为半径旳球面。
R(z)随Z变化规律为：
Rz
z 1
f2 z2
z
f2 z
结论：
a)当Z=0时，R(z)→∞，表白束腰所在处旳等 相位面为平面。
b) 当Z→±∞时，│R(z)│≈z→∞表白离束腰无 限远处旳等相位面亦为平面，且曲率中心就在束腰 处；
c)当z=±f时，│R(z)│=2f，到达极小值 。
高斯光束基本性质及特征参数
L 2
f
wz w f w0s
L
w2z w02
z2 f2
1
基模光斑大小变化规律
• 模体积－模式在腔内所扩展的空间范围 上海大学电子信息科学与技术
w0s
• 模体积～有贡献的激发态粒子数～输出功率
• 共焦腔基模体积
V000
1 2
Lw02s
L2
2
• 高阶模体积－ 模阶次 ，模体积
z
f2 z
f w02
腰斑半径
w0
f
小结：
上海大学电子信息科学与技术
• 在N>>1时, 共焦腔的自再现模可以厄米~高斯或拉盖尔~ 高斯函数近似描述
• 共焦腔光束的基本特征唯一地由焦距 f 决定, 与反射镜
尺寸a 无关。参数 f 或 w0 是表征共焦腔高斯光束的特征 参数。
y
(x,y,z)
x2 y2 z R0 z0 2 R02
c0 球面波
x2 y2
z z0
z z0 R0 R02 x2 y2
x2 y2 R02
取一级近似
R01
x2 y2 2R02
上式整理后得
近轴球面波
z
z0
三、圆形镜共焦腔－拉盖尔～高斯近似解 上海大学电子信息科学与技术
本征函数 本征值
Vmn
r,
Cmn
2
r w0s
m
Lm n
ei
k L m2 n12
mn
2
十七章--高斯光束的物理特性
术语瑞利半径有时候用于天线原理，描述准直的光束通过直径为d（假设d》λ）天线孔后开始剧烈的分散时的距离z≈ /λ。因此我们采用相同的术语命名 ≡π /λ。高斯光束从束腰传播出时，瑞利范围标记了在‘近场’（fresnel）和‘远场’（fraunhofer）区域的分解线。
参考文献
对于瑞利半径的更深层次了解能在J.F.Ramasy的”Tubular beams from radiating apertures”中查阅到，微波前沿章节，Vol.3,ed.by L.F.Young(Academic Press,New York,1968),p.127.
对相同的意见的更早期的理解可以参考Lord Rayleigh(J.W.strutt)本人的文献”On images formed with or without reflection or refraction,”Phil.mag.11,214-218(1881),和”On pinholephotography,”Phil.mag.31,87-89(1891.)
有效直径和均匀的拥有相同峰值强度和相同总功率的柱状光束的面积作为一束柱状高斯光束将是：
如图17.2所示。
孔明显比所需的要大，然而，要穿过一个真正的光斑尺寸为ω的，没有减掉外沿的高斯光束。例如，光斑尺寸为ω的高斯光束通过集中在直径为2a的圆孔时有极小的的能量会转让掉，，如图17.3所示：
图中标出了圆孔半径a的圆孔对于光斑尺寸ω光的传输比值。半径a=ω的孔可以传输高斯光束86％的总功率。我们定义光衰减到86％或者 时为孔尺寸。
猜想我们相同的1e准则来定义在光束束腰的入射光束有效半径忽略在束腰位置一丧半径定义下有效圆孔面积a12对于有普遍天线理论的高斯光束来说这是一丧十分精确的公式表述如下在物理学斱面这丧定理说明假如我们测量平面波辐射从一丧矢量角斱向到达有效孔面积为a的一丧天线然后对所有可能角度测量面积迚行积分结果任何形式的无损天线大多数时候用于衡量波长
高斯光束特性分析及其应用
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｌａｓｅｒｐｈｙｓｉｃｓ；Ｇａｕｓｓｉａｎｂｅａｍ；ｐｏｗｅｒｉｎｂｕｃｋｅｔ；ｐｏｗｅｒｄｅｎｓｉｔｙｏｎｔｈｅｔａｒｇｅｔ；ｂｒｉｇｈｔｎｅｓｓ
引 言
稳定激光腔输出的激光束属于各种类型的高斯光 束，非稳腔输出的基模光束经准直后，在远场的强度分 布也接近 高 斯 分 布［１］。 高 能 激 光 大 都 采 用 非 稳 腔 结 构，因此研究高斯光束的特性对激光谐振腔和激光系 统的设计和实际使用都具有十分重要的意义。
Ｅｍａｉｌ：ｙｅｄａｈｕａ＠ｓｉｎａ．ｃｏｍ 收稿日期：２０１７０８０８；收到修改稿日期：２０１７１０２７
Ｆｉｇ１ ＣｏｎｔｏｕｒｏｆａＧａｕｓｓｉａｎｂｅａｍｎｅａｒｚ＝０ｉｎｔｈｅｖｉｃｉｎｉｔｙｏｆｔｈｅｃｏｎｆｏｃａｌ ｒｅｇｉｏｎｂ＝２ｚＲ
第 ４３卷 第 １期
叶大华 高斯光束特性分析及其应用
（２）
高斯光束传输时，每个横截面的强度分布仍然是
高斯函数，但是沿着光轴方向强度轮廓的宽度发生变
化。在束腰位置宽度最小，直径为 ２ｗ０，此时的波前为 平面波。光斑尺寸沿着光轴变化的规律如下：
ｗ（ｚ） ＝ｗ０槡１＋（ｚ／ｚＲ）２
（３）
式中，ｚ为离束腰的距离；ｚＲ 称为瑞利长度。
高斯光束及偏振态
一、高斯光束：半径，是指在高斯光的横截面考察，以最大振幅处为原点，振幅下降到原点处的1/e倍的地方，由于高斯光关于原点对称，所以1/e的地方形成一个圆，该圆的半径，就是光斑在此横截面的半径；如果取束腰处的横截面来考察，此时的半径，即是束腰半径。
沿着光斑前进，各处的半径的包络线是一个双曲面，该双曲面有渐近线。
高斯光束的传输特性，是在远处沿传播方向成特定角度扩散，该角度即是光束的远场发散角，也就是一对渐近线的夹角。
基模高斯光束的光束发散角：θ=2λ/πƒ又因：f=πw o2/λ所以：θ=2λ/πw o所以说远场发散角与波长成正比，与其束腰半径成反比，故而，束腰半径越小，光斑发散越快；束腰半径越大，光斑发散越慢。
我们用感光片可以看到，在近距离时，准直器发出的光在一定范围内近似成平行光，距离稍远，光斑逐渐发散，亮点变弱变大；可是从光纤出来的光，很快就发散；这是因为，准直器的光斑直径大约有400微米，而光纤的光斑直径不到10微米。
同时，对于准直器最大工作距离的定义，往往可理解为该准直器输出光斑的共焦参数，该参数与光斑束腰半径平方成正比，与波长成反比，计算式是：3.1415926*束腰半径*束腰半径/波长= f=πw o2/λ。
所以要做成长工作距离（意味着在更长的传输距离里高斯光束仍近似成平行光）的准直器，必然要把光斑做大，透镜相应要加长加粗。
偏振光：如果在光的传播方向上各点的光矢量在确定的平面内，这种光被称为平面偏振光，如果光矢量的端点的轨迹为一条直线，此时的平面偏振光又称为线偏振光，光的电矢量末端在垂直于传播方向的平面上描绘的轨迹为一直线的偏振光。
光线自线偏振镜一段射入为正向,自四分之一波片一端射入为反向.正向射向圆偏振镜的自然光,先后通过线偏振镜和四分之一波片后,即成为圆偏振光.根据线偏振镜之偏振方向与四分之一波片光轴成45°夹角时的相对方位不同,可产生右旋圆偏振光或左旋圆偏振光。
如何椭圆偏振光判断出它是左旋还是右旋：确定左右旋偏振光步骤：（1）让入射光通过偏振片P,确定椭圆偏振光的长轴与短轴方向.（2）将λ／4片(Δ＝+π/2放在偏振片P前面,让光轴与长轴或短轴重合,并建立坐标系,纵轴为o光振动方向,横轴(水平轴)为e光振动方向,k轴为光的传播方向.（3）旋转偏振片一周,找出消光位置,此时,与P的透振方向垂直的方向就是出射线偏振光的振动方向,若线偏振光在一三象限,则入射光为左旋椭圆偏振光,若线偏振光在二四象限,则入射光为右旋椭圆偏振光.二、圆偏光：当传播方向相同，振动方向相互垂直且相位差恒定为φ=（2m±1/2）π的两平面偏振光叠加后可合成光矢量有规则变化的圆偏振光。
高斯光束的经物镜聚焦后的光斑直径
从物理学角度来看，高斯光束是一种特殊的光束，它具有快速衰减的辐射强度分布，因此在实际应用中经常被用于激光加工、光通信和光学成像等领域。
然而，对于经过物镜聚焦后的高斯光束的光斑直径的研究却备受关注。
下面我们将从物理学的角度详细探讨高斯光束的经物镜聚焦后的光斑直径相关问题。
1. 高斯光束的特性高斯光束是一种在激光领域中应用极为广泛的光束，具有以下主要特性：1) 光强分布：高斯光束的光强分布呈高斯分布，而光斑的直径与焦距成正比，因此光斑的直径是一个重要的参数。
2) 衍射效应：在通过光学系统后，高斯光束会受到衍射效应的影响，导致光斑直径的变化。
2. 经物镜聚焦后的光斑直径通过物镜聚焦后，高斯光束的光斑直径会发生变化，主要受到以下因素的影响：1) 折射和散射：物镜的折射和散射效应会使光束在通过物镜后发生聚焦，从而影响光斑直径的大小。
2) 光学系统的参数：物镜的焦距、孔径和波长等光学参数也会对光斑直径产生影响。
3) 衍射效应：经过物镜聚焦后，高斯光束仍然受到衍射效应的影响，进而影响光斑直径的大小。
3. 实验研究与理论模拟针对经物镜聚焦后的高斯光束的光斑直径，学者们进行了一系列实验研究和理论模拟，得出了一些重要结论：1) 光斑直径与物镜的焦距和孔径成正比关系，在一定范围内遵循Abbe原则。
2) 某些特殊情况下，由于衍射效应的存在，光斑直径的变化并不完全符合理论预期，需要深入研究衍射效应对光斑直径的影响。
3) 光学系统的参数、高斯光束的初始参数和入射角等因素也对光斑直径产生影响，需要综合考虑这些因素。
4. 应用与展望高斯光束经过物镜聚焦后的光斑直径的研究对于现代激光技术和光学成像技术具有重要意义，可以在以下方面得到应用：1) 激光加工：通过调控高斯光束的光斑直径，可以实现更精细的激光加工和切割，提高加工精度和效率。
2) 光学成像：了解高斯光束经过物镜聚焦后的光斑直径，有助于优化光学成像系统，提高成像清晰度和分辨率。
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换一种说法来讲，假如一束高斯光束从一个孔聚焦到束腰然后再扩散，在斑尺寸为 全部距离b可以表示为
b=2 = =confocal parameter(10)
共焦参数广泛用于描述高斯光束。，如图17.7所示，瑞利范围 ≡b/2在运用于大多数高斯光束有关的公式里。
准直高斯光束传播
在实际情况下，一束光的准直束腰区域在超过多少距离后扩大？为对这个问题得到更深的了解，我们可以设计高斯光束从一个直径为D的有微小汇聚的初始光圈传播出来，入图17.8所示，结果是光束在离开瑞利范围后缓慢的聚焦到束腰上，其尺寸为 ，然后又从新扩散到另一边的相同直径D（或者说相同聚焦界限）的瑞利范围上。例如，我们选择孔直径为πω或者是穿过总功率为99%原则，所以我们在每一个结尾选定D=π× 。
我们介绍的准则中没有一个可以定义有效孔尺寸和极其精确的有效立体角，以上准则中我们选择哪一个取决于针对什么样的目标。
曲率半径
我们接下来来看高斯光束曲率半径随距离的变化。高斯光束曲率半径R（z）随距离变化规律如下：
在图17.10中标出沿法线方向的变化。
在束腰上波前是平坦的或者是平面时，相当于曲率半径R（0）=∞。然而，随着光束向外传播，波前变得弯曲，曲率半径的值非常迅速的减少（图17.10）。在超过瑞利范围适当距离R（z）≈z时再次增加，换言之，高斯光束的光束束腰基本上变成球形波的中心。在物理方面为波前曲线的中心开始于-∞到波前恰好落在光束束腰上，然后单调向这束腰，直到波前移到z→+的一段距离z= 的波前，半径值R=b=2 。波前的曲率中心点，坐落在z=+ ，反过来也一样在z=- 点，如图17.10所示。
某特定的间距根据可靠的共振器理论有一个特殊的意义，设想波前曲线R（z）在± 时
在两点安装配套的两个半径为R的镜子，它们之间的距离L=R=b=2 。这样一个半径为R的镜子的焦点坐落于f=R/2，两个镜子的焦点一致的在共振器的中心。这两个镜子叫做对称共焦谐振器，共焦因子为b≡2 ≡2π /λ。我们在接下来探索这样一个独特的，有趣特构造征的共振器。
将束腰的光斑尺寸和远场联系起来。高斯光束在远场中呈角度传播能用几种方法联系近场光束尺寸后者孔面积，这基于我们的要求。
例如，远场沿轴向的光束强度如下
因此，在轴向与总功率相同的光束强度分散到面积π （2）/2= /2π 。在远场中相等的‘礼帽’分散的立体角 (z)，由下给出
与此同时，由17.7给出的方程 =π /2为‘相同大礼帽’的柱状光束面积。这两个参数的乘积为
两倍的半角给出全角：
对于高斯光束，可以用更精确的公式化的表述，我们在第一章给出近似的关系Δθ≈λ/d。我们可以利用由有角的传输来定义圆锥相同的基础来定义高斯光束的立体角 ，或者
如之前记录一样，在远场中，这圆锥发散将包含光束总功率的86%。
猜想我们相同的1/e准则来定义在光束束腰的入射光束有效半径（忽略在束腰位置一个半径a= 的孔实际上在远场部分将产生大量的衍射效应）。在1/e定义下，有效圆孔面积 ≡π /2与有效远场立体角π 的乘积为
聚焦光斑尺寸
在通常情况下，高斯光束被一面焦距为f的棱镜聚焦，如图17.11所示，简化为像之前17.9所示远场光束问题。束腰区域现在变成了斑尺寸 的焦点，而且聚焦棱镜的焦距在远场中z≈±f。假设ω（f）为高斯光束在在透镜上的尺寸，我们能有如公式17.13相同的关系，但是是相反的联系，
在实际情况下以上公式有什么隐身意义？
17.1高斯光束特性
在本节中我们首先观察低阶高斯光束物理的性质，包含光圈传输，平行光距离，远场角光束传播和高斯光束传播的其他的实际方面。
解析表达式
让我们总结低阶高斯光束的特点在一斑点尺寸 和在横向尺寸的平面波前 =∞情况下，在一个简化的参考平面，我们令z=0.从今以后，这个平面将被显而易见的原因证明为束腰。
17章--高斯光束的物理特性
之前的章节建立了计算在真空中的光束特性的分析工具，然而，我们也需要对真实光束特性的物理的，直观的理解--下两节将尝试建立一个了解。
特别地，我们以前章节介绍的哈密顿-高斯和拉格拉日-高斯模型都是数学方面的，而且也为拥有有限直径反射镜的、稳定的、激光共振器的传输模型提供了好的近似。因此高斯或者类高斯光束在分析激光问题和有关光学系统的问题得到广泛的应用。高斯光束特性的物理和数学理解是特别重要的。在这章里我们回顾在真空中的理想高斯光束的大多数重要的物理特性。
光束的准直：瑞利半径和共焦参数
另外一个重要的问题是理想高斯光束从束腰区域传播出来时衍射分散扩大的速度有多少，后者，实际上，我们要知道一束准直的高斯光束开始很大的分散之前的距离是多少？
光斑尺寸ω随距离的变化由方程17.5给出，图17.6展示了两个不同的束腰半径 和 > ，随着传输的距离剧烈的扩大。主要点是当入射光斑在束腰的尺寸 越小，光束由于衍射分散得越迅速；再近场内保持准直一段比较短的距离；在远场分散一个大的束角。
参考文献
对于瑞利半径的更深层次了解能在J.F.Ramasy的”Tubular beams from radiating apertures”中查阅到，微波前沿章节，Vol.3,ed.by L.F.Young(Academic Press,New York,1968),p.127.
对相同的意见的更早期的理解可以参考Lord Rayleigh(J.W.strutt)本人的文献”On images formed with or without reflection or refraction,”Phil.mag.11,214-218(1881),和”On pinholephotography,”Phil.mag.31,87-89(1891.)
对于有普遍天线理论的高斯光束来说，这是一个十分精确的公式，表述如下
在物理学方面，这个定理说明，假如我们测量平面波辐射从一个矢量角Ω=（θ，φ）方向到达有效孔面积为A（Ω）的一个天线，然后对所有可能角度dΩ的测量面积进行积分，，结果（任何形式的无损天线）大多数时候用于衡量波长λ。结果是固定的，不管是对于任何天线，不管是任何的无线电波，微波或者是光学波长。
源光圈尺寸（在束腰）和远场立体角传播的叉乘为为λ平方，尽管精确的数字基于我们选择的面积和立体角，在将来我们将看到更多细节。
远场光束角：1/e准则
另一个也是可能更合理的远场束角的定义用到光束直径的1/e或者86%准则，这样通过
在电场中巨大距离z里相应1/e强度的点的宽度定义的远场半角。
由以上定义得，在远场中，光束通过1/e强度的点组成半角 ，如图17.9所示：
有效直径和均匀的拥有相同峰值强度和相同总功率的柱状光束的面积作为一束柱状高斯光束将是：
如图17.2所示。
孔明显比所需的要大，然而，要穿过一个真正的光斑尺寸为ω的，没有减掉外沿的高斯光束。例如，光斑尺寸为ω的高斯光束通过集中在直径为2a的圆孔时有极小的的能量会转让掉，，如图17.3所示：
图中标出了圆孔半径a的圆孔对于光斑尺寸ω光的传输比值。半径a=ω的孔可以传输高斯光束86％的总功率。我们定义光衰减到86％或者 时为孔尺寸。
如图17.1所示：
在另外平面z的高斯光束的归一场方向图将有以下方程
复合的曲率半径与光斑的尺寸和曲率半径在任意z平面都有以下定义关系：
在真空中参数遵守传输定理：
有初始值
记在这些方程里的λ的值为光束在这些介质中传输的放射波长。
高斯光束所有重要的性质都能用束腰尺寸 和 比值用以下方程联系：
换句话说，沿场方向的整个高斯光束以在束腰上的单一的因素 （或者 ，或者 ）为特点，还有在介质传输的波长λ。
为聚焦高斯光束的有效直径。
聚焦透镜的焦距f的值（也叫相对孔径或者透镜的感光度），定义为
≡ （26）
聚焦斑直径，我们总结出来的规则如下
选择一种能得到基本相同结果的非传统方法，我们能计算假如一束带着总能量P的高斯光束，然后我们用一面焦距为f的透镜聚焦，对透镜直径用相同的D=πω准则。接下来在光束聚焦的中间峰强度如下
远场光束角：“礼帽”准则
接下来我们设想在远场情况下，当光束尺寸随距离变化线性变化时，如图17.9.在z>> 的远场下光束传播的角度是多少？
由高斯光束方程（17.1~17.5），在远场中从尺寸为 的束腰通过的高斯光束，它的1/e强度斑尺寸如下
ω（z）= = （z>> ）（12）
化简为
×ω（z）≈ （13）
光圈传输
在分析真空中理想高斯光束传播特性前,我们可以简要的了解在任何真正的光学系统存在的有限尺寸光孔的渐晕效应.光斑尺寸半径ω之后，高斯光束的强度减弱是非常迅速的。
一个实际的光孔必须是多大才能使高斯光束上的截断效应之前能被忽略。
猜想我们定义一束光的总功率为P= dA，其中dA表示横截面的面积，在孔尺寸ω中高斯光束的辐射强度变化如下：
远场光束角：守恒准则
最后，一个更为保守的方法来表示所有的点，我们可以用d=πω或者99%原则代替1/e原则来定义有效来源光圈尺寸和有效远场立体角。然后我们可以知道初始的斑尺寸 从直径d=π 源孔传输将产生含能量99%的远场光束，其锥形的分散角2 =πω（z）/z。在此基础之上，我们来源光圈面积 为π /4和光束远场立体角 =π ；这些可以用更保守的方式联系起来
实际上，在光束直径增加到束腰时的 倍，或者是光斑面积加倍时，光束从束腰传播出来的距离由以下参数简单给定
术语瑞利半径有时候用于天线原理，描述准直的光束通过直径为d（假设d》λ）天线孔后开始剧烈的分散时的距离z≈ /λ。因此我们采用相同的术语命名 ≡π /λ。高斯光束从束腰传播出时，瑞利范围标记了在‘近场’（fresnel）和‘远场’（fraunhofer）区域的分解线。