最新§7.2.3平面向量的数乘运算PPT课件
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平面向量的数量积PPT课件
运算律
向量与标量乘法结合律
对于任意向量$mathbf{a}$和标量$k$，有$kmathbf{a} cdot mathbf{b} = (kmathbf{a}) cdot mathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b})$。
向量与标量乘法交换律
对于任意向量$mathbf{a}$和标量$k$，有$mathbf{a} cdot kmathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b}) = (kmathbf{b}) cdot mathbf{a}$。
向量数量积的性质
向量数量积满足交换律和结合 律，即a·b=b·a和 (a+b)·c=a·c+b·c。
向量数量积满足分配律，即 (a+b)·c=a·c+b·c。
向量数量积满足正弦律，即 a·b=|a||b|sinθ，其中θ为向量a 和b之间的夹角。
02 平面向量的数量积的运算
计算公式
定义
平面向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$的数量积定义为 $mathbf{a} cdot mathbf{b} = |mathbf{a}| times |mathbf{b}| times cos theta$，其中$theta$是向量 $mathbf{a}$和$mathbf{b}$之间的夹角。
交换律
平面向量的数量积满足交换律，即$mathbf{a} cdot mathbf{b} = mathbf{b} cdot mathbf{a}$。
分配律
平面向量的数量积满足分配律，即$(mathbf{a} + mathbf{b}) cdot mathbf{c} = mathbf{a} cdot mathbf{c} + mathbf{b} cdot mathbf{c}$。
新教材高中数学第6章平面向量及其线性运算：数乘向量：向量的线性运算pptx课件新人教B版必修第二册
变式训练1已知a,b是两个非零向量,判断下列各说法的正确性,并说明理由.
(1)2a的方向与a的方向相同,且2a的模是a的模的2倍;
2
(2)-2a的方向与5a的方向相反,且-2a的模是5a的模的 5 ;
(3)-2a与2a是一对相反向量;
(4)a-b与-(b-a)是一对相反向量;
(5)若a,b不共线,则0a与b不共线.
解析 3(x+a)+2(x-2a)-4(x-a+b)=0,即x+3a-4b=0,所以x=4b-3a.
重难探究·能力素养全提升
探究点一
数乘向量的概念
【例1】 (1)已知非零向量a,b满足a=4b,则( C )
A.|a|=|b|
B.4|a|=|b|
C.a与b的方向相同
D.a与b的方向相反
解析 ∵a=4b,4>0,
知识点3 向量的线性运算
向量的 加法、减法、数乘向量
以及它们的混合运算,统称为向量的线
性运算.
名师点睛
对向量的线性运算的理解
(1)已知某些向量,要化简与它们有关的向量式,其解题方法可类比初中所
学的“求代数的值”,即先化简向量式,代入,再化简,求值,这样能简化解题
过程.
(2)解向量的线性方程组的方法,同解代数方程组一样,进行消元,其消元方
m=
3
2
a+ b
11 11
,n=
1
3
a- b
11 11
.
解析∵3m+2n=a,①
m-3n=b,②
3×②得3m-9n=3b,③
①-③得
1
3
11n=a-3b,∴n= a- b.④
11 11
中职教育-数学(基础模块)下册课件：第七章 平面向量.ppt
，E→．F
→
FG
（3）相等向量为
→
AB
C→D ，D→E
→
GH
．
（4）互为负向量的向量为
→
BC
D→E ，B→C
→
GH
．
7.2 平面向量的线性运算
7.2.1 平面向量的加法
如右图所示，一人从A点出发，走到B点，又从B点
走到C点，则他的最终位移
→
AC
可以看作是位移
→
AB
与
B→C 的和．
如右图所示，已知向量a与b，
解 位移是向量，它包括大小和方向 两个要素．本题中，虽然这两个向量的 模相等，但它们的方向不同，所以，两 辆汽车的位移不相同．如图所示为用有 向线段表示两辆汽车的位移．
方向相同或相反的两个非零向量称为平行向量．向量a与b平行记作 a ∥b ． 如图所示，向量 a ，b ，c平行，任意作一条与向量a所在直线平行的直线l，
如右
图所示，
设有两个
非零向量
a
，b
，
作
→
OA
a
，O→B
b
，则
AOB θ(0°剟θ 180°) 称为向量 a ，b 的夹角．
显然，当 θ 0°时，a 与 b 同向；当 θ 180°时，a 与 b 反向；当 θ 90° 时，a 与 b 垂直，记作 a b ．
我们将 a b cosθ 称为向量 a ，b 的内积（或数量积），记作 a gb ，
7.1
• 平面向量的概念
7.2
• 平面向量的线性运算
7.3
• 平面向量的坐标表示
7.4
• 平面向量的内积
7.1 平面向量的概念
标量是指只有大小、没有方向的量，如长度、质量、温度、面积等； 向量是指既有大小、又有方向的量，如速度、位移、力等．
《向量数乘运算》课件
《向量数乘运算》ppt课件
• 向量数乘运算的基本概念 • 向量数乘运算的规则与性质 • 向量数乘运算的应用场景 • 向量数乘运算的几何解释 • 向量数乘运算的注意事项与常见错误
01
向量数乘运算的基本概念
向量的定义与表示
总结词
理解向量的定义和表示方法是学习向量数乘运算的基础。
详细描述
向量是具有大小和方向的量，通常用有向线段表示，起点为 原点。在二维平面上，向量可以用有序对（x, y）表示，在三 维空间中，向量可以用有序三元组（x, y, z）表示。
数乘运算的定义
总结词
理解数乘运算的定义是掌握向量数乘 运算的关键。
详细描述
数乘运算是指将一个标量与一个向量 相乘，结果仍为一个向量。标量可以 是实数或复数，与向量相乘时，标量 可以乘以向量的每一个分量。
向量数乘运算的意义
总结词
了解向量数乘运算的意义有助于理解其在物理和工程领域的应用。
详细描述
向量数乘运算在物理学和工程学中有着广泛的应用，如速度和加速度的计算、 力的合成与分解、交流电的相量表示等。通过向量数乘运算，可以方便地描述 和解决物理问题，简化计算过程。
分类与回归分析
在分类与回归分析中，向量数乘运算用于训练模型和预测结果。通过向量数乘运算，可以对数据进行特 征提取和变换，进而训练分类器或回归模型。同时，向量数乘运算也用于预测新数据的分类或回归结果 。
04
向量数乘运算的几何解释
向量的模与方向
总结词
描述向量的模与方向的概念。
详细描述
向量的模表示向量的大小，方向表示向量的指向。通过几何图形可以直观地表示 向量，其中箭头长度代表向量的模，箭头指向代表向量的方向。
详细描述
在进行向量数乘运算时，如果数乘的系数过 大或过小，可能会导致结果溢出或下溢。为 了避免这种情况，应选择合适的数据类型和 算法，或者采用适当的缩放因子来调整数乘 的系数，以确保结果的精度和准确性。同时 ，在编写代码时，可以使用异常处理机制来
• 向量数乘运算的基本概念 • 向量数乘运算的规则与性质 • 向量数乘运算的应用场景 • 向量数乘运算的几何解释 • 向量数乘运算的注意事项与常见错误
01
向量数乘运算的基本概念
向量的定义与表示
总结词
理解向量的定义和表示方法是学习向量数乘运算的基础。
详细描述
向量是具有大小和方向的量，通常用有向线段表示，起点为 原点。在二维平面上，向量可以用有序对（x, y）表示，在三 维空间中，向量可以用有序三元组（x, y, z）表示。
数乘运算的定义
总结词
理解数乘运算的定义是掌握向量数乘 运算的关键。
详细描述
数乘运算是指将一个标量与一个向量 相乘，结果仍为一个向量。标量可以 是实数或复数，与向量相乘时，标量 可以乘以向量的每一个分量。
向量数乘运算的意义
总结词
了解向量数乘运算的意义有助于理解其在物理和工程领域的应用。
详细描述
向量数乘运算在物理学和工程学中有着广泛的应用，如速度和加速度的计算、 力的合成与分解、交流电的相量表示等。通过向量数乘运算，可以方便地描述 和解决物理问题，简化计算过程。
分类与回归分析
在分类与回归分析中，向量数乘运算用于训练模型和预测结果。通过向量数乘运算，可以对数据进行特 征提取和变换，进而训练分类器或回归模型。同时，向量数乘运算也用于预测新数据的分类或回归结果 。
04
向量数乘运算的几何解释
向量的模与方向
总结词
描述向量的模与方向的概念。
详细描述
向量的模表示向量的大小，方向表示向量的指向。通过几何图形可以直观地表示 向量，其中箭头长度代表向量的模，箭头指向代表向量的方向。
详细描述
在进行向量数乘运算时，如果数乘的系数过 大或过小，可能会导致结果溢出或下溢。为 了避免这种情况，应选择合适的数据类型和 算法，或者采用适当的缩放因子来调整数乘 的系数，以确保结果的精度和准确性。同时 ，在编写代码时，可以使用异常处理机制来
人教版高中数学第二章3平面向量的数乘运算(共20张PPT)教育课件
1、平面向量的数乘运算的定义： 一般地，实数 与向量 a 的积，记作 a ， (a表示一个向量)
它的长度与方向规定如下：
(1) | a | | || a |；
(2) 当 0 时，a 的方向与 a 的方向相同； 当 0 时，a 的方向与 a 的方向相反 ；
当 0 时，a 0 .
练习1、向量a和b方向相反，长度是b的 1 , 3
AC 与AE 共线 .
又 AC 与AE 有共同起点A . A、C、E三点共线.
E D
AC AE
将向量换成O为起点
OC OA (OE OA)
进一步化简
OC OE (1 )OA
A,B,C共线的等价条件为：OC OA (1 )OB
例 5：非零向量a,b,OA a b,OB a 2b,OC a 3b, A, B,C是否共xian？
2
2
DE 1 AC 1 AB 1 ( AC AB) 1 BC
2
2
2
2
DE // 1 BC 2
例 4： 如图，已知 AD 3AB ，DE 3BC . 证明A、C、E共线 .
（分析：证明AC AE)
解： AE AD DE
3AB 3BC
C
A B
3( AB BC)
3AC ，
a,b方向相同
a,b方向相反
思考：若上述不等式中a，b为实数时还成立吗？有何区别？
高中数学《必修四》
平面向量的数乘运算
1、平面向量的数乘运算的定义：
已知非零向量 a ，作出：a a a 和 (a) (a) (a) .
a
a
a
a
O
AB
C
OC a a a 3a
N
a a a
7.2 数乘向量课件-2023届广东省高职高考数学第一轮复习第七章平面向量
－y)b＝(4y－7)a＋2xb，求实数 x、y 的值． 【分析】 依题意，以向量 a、b 为单位向量建立坐标系(或一定角度，
不一定是直解) 【解】 因为 3xa＋(10－y)b＝(4y－7)a＋2xb
所以(3x，10－y)＝(4y－7，2x)，联立方程组31x0＝－4yy＝－27x，解得yx＝＝43. 故 x＝3，y＝4.
二、填 空 题
9．向量 a∥b 且|a|＝3|b|，则向量 a、b 的关系式是__a_＝__3_b_或__a_＝__－__3_b___． 【解析】 由两向量平行知 a＝3b 或 a＝－3b.
10．若向量 a＝e1＋e2，b＝e1－e2，则 2a＋3b＝__5_e_1_－__e_2 __． 【解析】 2a＋3b＝2(e1＋e2)＋3(e1－e2)＝5e1－e2.
11．在四边形 ABCD 中，A→D＝12B→C，则四边形 ABCD 是___梯___形． 【解析】 由A→D＝12B→C得A→D∥B→C，A→D＝12B→C.
12．如果 a＝－2b(b≠0)，则 a 与 b 的位置关系是_平__行__且__反__向___． 【解析】 由向量平行的概念可知 a 与 b 平行，又 λ＝－2＜0，∴a 与 b 反向．
6．(1)(－2)×12 a＝__－__a__；(2)2(a＋b)－3(a－b)＝__－__a_＋__5_b__． 【解析】 (1)(－2)×12a＝（－2）×12a＝(－1)a＝－a；
(2)2(a＋b)－3(a－b)＝2a＋2b－(3a－3b)＝2a＋2b－3a＋3b＝－a＋5b.
一、选 择 题
5．已知向量 e1、e2 不共线，实数 x、y 满足(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1
＋3e2，则 x－y＝( A )
不一定是直解) 【解】 因为 3xa＋(10－y)b＝(4y－7)a＋2xb
所以(3x，10－y)＝(4y－7，2x)，联立方程组31x0＝－4yy＝－27x，解得yx＝＝43. 故 x＝3，y＝4.
二、填 空 题
9．向量 a∥b 且|a|＝3|b|，则向量 a、b 的关系式是__a_＝__3_b_或__a_＝__－__3_b___． 【解析】 由两向量平行知 a＝3b 或 a＝－3b.
10．若向量 a＝e1＋e2，b＝e1－e2，则 2a＋3b＝__5_e_1_－__e_2 __． 【解析】 2a＋3b＝2(e1＋e2)＋3(e1－e2)＝5e1－e2.
11．在四边形 ABCD 中，A→D＝12B→C，则四边形 ABCD 是___梯___形． 【解析】 由A→D＝12B→C得A→D∥B→C，A→D＝12B→C.
12．如果 a＝－2b(b≠0)，则 a 与 b 的位置关系是_平__行__且__反__向___． 【解析】 由向量平行的概念可知 a 与 b 平行，又 λ＝－2＜0，∴a 与 b 反向．
6．(1)(－2)×12 a＝__－__a__；(2)2(a＋b)－3(a－b)＝__－__a_＋__5_b__． 【解析】 (1)(－2)×12a＝（－2）×12a＝(－1)a＝－a；
(2)2(a＋b)－3(a－b)＝2a＋2b－(3a－3b)＝2a＋2b－3a＋3b＝－a＋5b.
一、选 择 题
5．已知向量 e1、e2 不共线，实数 x、y 满足(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1
＋3e2，则 x－y＝( A )
向量的数乘运算课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
B
a
b
b
O
BA a b
a
A
新知探究
我们知道数是可以做乘法的，平面向量既有大小，又有方向，平面
向量可以做乘法吗？它和实数可以做乘法吗？
探究 已知非零向量a，作出a+a+a和(-a)+(-a)+(-a)，它们
的长度和方向是怎样的？
a
O
a
A
a
a
B
C
OA AB AC
a a a 3a
注：①向量数乘结果仍然是向量，其长度、方向都与λ以及 a有关；
+ − a，
a 无意义；
②实数和向量可以相乘，但不能相加减，
习题演练
5
2
AC 5
，则 AC _____
2. 点C在线段AB上，且
AB
,
BC
=
______
AB.
7
7
CB 2
A
C
B
新知探究
探究:实数与向量积的运算律
3(2a )
∴AC 2 AB .
2b
A
∴AC与 AB共线.
因此,A,B,C 三点共线.
推论 : A, B , C 三点共线 存在 R, 使 AB AC
b
a
O
归纳小结
证明或判断A、B、C三点共线的方法：
AC BC
有公共点B
C
A、B、C三点共线
B
A
新知探究
追问：已知不共线向量a，b，作向量a+λ2b，你能发现向量
a
2a
= 6a
3(2a )
a
b
b
O
BA a b
a
A
新知探究
我们知道数是可以做乘法的，平面向量既有大小，又有方向，平面
向量可以做乘法吗？它和实数可以做乘法吗？
探究 已知非零向量a，作出a+a+a和(-a)+(-a)+(-a)，它们
的长度和方向是怎样的？
a
O
a
A
a
a
B
C
OA AB AC
a a a 3a
注：①向量数乘结果仍然是向量，其长度、方向都与λ以及 a有关；
+ − a，
a 无意义；
②实数和向量可以相乘，但不能相加减，
习题演练
5
2
AC 5
，则 AC _____
2. 点C在线段AB上，且
AB
,
BC
=
______
AB.
7
7
CB 2
A
C
B
新知探究
探究:实数与向量积的运算律
3(2a )
∴AC 2 AB .
2b
A
∴AC与 AB共线.
因此,A,B,C 三点共线.
推论 : A, B , C 三点共线 存在 R, 使 AB AC
b
a
O
归纳小结
证明或判断A、B、C三点共线的方法：
AC BC
有公共点B
C
A、B、C三点共线
B
A
新知探究
追问：已知不共线向量a，b，作向量a+λ2b，你能发现向量
a
2a
= 6a
3(2a )
《向量数乘运算及其几个意义》人教版数学高一年级下册PPT课件
2.数乘的几何意义 λa的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小|λ|倍． [知识点拨](1)λ 是实数，a 是向量，它们的积 λa 仍然是向量．实数与向量可 以相乘，但是不能相加减，如 λ＋a，λ－a 均没有意义．
1
(2)对于非零向量 a，当 λ＝|a|时，λa 表示 a 方向上的单位向量．
(2)∵ka＋b与a＋kb共线， ∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb) 即ka＋b＝λa＋λkb，∴(k－λ)a＝(λk－1)b， ∵a、b是不共线的两个非零向量， ∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0.∴k＝±1.
『规律总结』 用向量法证明三点共线时，关键是能否找到一个实数λ， 使得b＝λa(a、b为这三点构成的其中任意两个向量)．证明步骤是先证明向量
倍．这样实数与向量的积的运算称为向量的数乘． 那么向量数乘的几何意义及运算律是怎样规定的
呢？
1．向量的数乘
定义 一般地，实数 λ 与向量 a 的积是一个_向____量___，这种运算叫做向量的数 乘，记作 λa
长度 |λa|＝|λ||a| λ>0 λa 的方向与 a 的方向相____同____
方向 λ＝0 λa＝___0___ λ<0 λa 的方向与 a 的方向相____反____
(3)三角形的垂心：三角形三条高线的交点．
(4)三角形的重心：三角形三条中线的交点．若 G 是△ABC 内一点，且满足G→A ＋G→B＋G→C＝0，则 G 是△ABC 的重心．
[解析] B→M＝31B→C＝61B→A＝61(O→A－O→B)
1
＝6(a －b )，
∴O→M＝O→B＋B→M＝b＋61a
1 15
－6b ＝6a ＋6b .
∵C→N＝31C→D＝61O→D，
向量的数乘运算(第1课时)(教学课件)高一数学(人教A版2019必修第二册)
解：在□中， = + = + ， = − = − .
1
课堂练习
1. 任画一向量e ，分别求作向量a 4e ,b = 4e .
e
e
e
A
C
B
P
N
M
作法：在平面内任取一点A,作 AB e ,延长AB至C ,使BC 3 AB，则 AC 4e .
D.－2(a＋b)
→ 1
解析 因为 M 是 BC 的中点，所以AM＝2(a＋b).
1.化简：
1
1
1
1
3
(1)3(6 + ) − 9( + 3 )；(2)2 [(3 + 2) − ( + 2 )] − 2(2 + 8 ).
解：(1)原式= 18 + 3 − 9 − 3 = 9；
)
A．2a－b
B．2b－a
C．b－a
D．a－b
B
1
1
1
4
4
2
[原式＝6(2a＋8b)－3(4a－2b)＝3a＋3b－3a＋3b
＝－a＋2b．]
→
→
→
2.如图，已知 AM 是△ABC 的边 BC 上的中线，若AB＝a，AC＝b，则AM等于
1
A.2(a－b)
1
B.－2(a－b)
1
C.2(a＋b)
1
例5.计算：
(1)(−3) × 4；(2)3( + ) − 2( − ) − ；(3)(2 + 3 − ) − (3 − 2 + ).
解：(1)原式= (−3 × 4) = −12；
平面向量的概念PPT课件
04
平面向量数量积概念及性 质
数量积定义及几何意义
数量积定义
两个向量的数量积是一个标量，等于它们模长的乘积与它们夹 角余弦的乘积。
几何意义
数量积反映了两个向量的相对位置和角度关系，正值表示同向， 负值表示反向，零表示垂直。
数量积性质及运算规律
性质
满足交换律、分配律、结合律，与标量乘法相容等。
运算规律
向量坐标与点坐标关系
向量坐标
向量坐标是由起点指向终点的有 向线段，在直角坐标系中可以用
两个坐标值表示。
点坐标
点坐标是直角坐标系中点的位置表 示，同样可以用两个坐标值表示。
关系
向量坐标与点坐标密切相关，向量 的起点和终点坐标可以决定向量的 坐标，而点的坐标可以用来表示向 量的起点或终点。
向量运算坐标表示法
坐标法求解向量问题
求解向量坐标
通过已知点的坐标和向量的关系，可以 求解向量的坐标。
求解向量模长
通过向量的坐标可以计算向量的模长， 进而求解与模长相关的问题。
求解向量夹角
通过向量的坐标可以计算向量的夹角， 进而求解与夹角相关的问题。
求解向量运算结果
通过向量的坐标表示法可以求解向量的 加法、减法和数乘运算结果。
向量运算满足基本定律
加法结合律
(a + b) + c = a + (b + c)
数乘结合律
(kl)a = k(la)
加法交换律
a+b=b+a
数乘分配律
k(a + b) = ka + kb
向量共线定理，使得b = λa
03
平面向量坐标表示法
直角坐标系中向量表示方法
《平面向量的应用》课件
详细描述
向量的模表示向量的长度，可以通过坐标表示计算得出。具体计算公式为$sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$，其中$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$分别是向量的起点和终点的坐标。
向量加法和数乘可以通过坐标表示进行计算，遵循平行四边形法则和数乘的分配律。
详细描述
总结词
向量的大小或模定义为向量起点到终点的距离。
总结词
向量的模是表示向量大小的数值，可以通过勾股定理计算得到。向量的模具有几何意义，表示向量起点到终点的距离。
详细描述
向量小。
总结词
向量的加法是将两个有向线段首尾相接，形成一个新的有向线段。数乘则是将一个向量放大或缩小，保持方向不变。通过向量的加法和数乘，可以组合多个向量，形成复杂的向量关系。
平面向量的应用实例
03
速度和加速度
在匀速圆周运动和平抛运动等物理问题中，可以利用平面向量表示速度和加速度，进而分析运动规律。
力的合成与分解
通过向量加法、数乘和向量的数量积、向量的向量积等运算，可以方便地表示出力的合成与分解过程，进而分析物体的运动状态。
力的矩
矩是一个向量，可以利用平面向量表示力矩，进而分析转动效果。
总结词：平面向量在解决几何问题中具有广泛的应用，如向量的加法、减法、数乘等运算可以用于解决长度、角度、平行、垂直等问题。
总结词：平面向量在解决代数问题中具有广泛的应用，如向量的模长、向量的数量积、向量的向量积等运算可以用于解决方程组、不等式等问题。
总结词
通过平面直角坐标系，可以将向量表示为有序实数对。
详细描述
在平面直角坐标系中，任意一个向量可以由其起点和终点的坐标确定，并表示为有序实数对。例如，向量$overset{longrightarrow}{AB}$可以表示为$(x_2 - x_1, y_2 - y_1)$。
向量的模表示向量的长度，可以通过坐标表示计算得出。具体计算公式为$sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$，其中$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$分别是向量的起点和终点的坐标。
向量加法和数乘可以通过坐标表示进行计算，遵循平行四边形法则和数乘的分配律。
详细描述
总结词
向量的大小或模定义为向量起点到终点的距离。
总结词
向量的模是表示向量大小的数值，可以通过勾股定理计算得到。向量的模具有几何意义，表示向量起点到终点的距离。
详细描述
向量小。
总结词
向量的加法是将两个有向线段首尾相接，形成一个新的有向线段。数乘则是将一个向量放大或缩小，保持方向不变。通过向量的加法和数乘，可以组合多个向量，形成复杂的向量关系。
平面向量的应用实例
03
速度和加速度
在匀速圆周运动和平抛运动等物理问题中，可以利用平面向量表示速度和加速度，进而分析运动规律。
力的合成与分解
通过向量加法、数乘和向量的数量积、向量的向量积等运算，可以方便地表示出力的合成与分解过程，进而分析物体的运动状态。
力的矩
矩是一个向量，可以利用平面向量表示力矩，进而分析转动效果。
总结词：平面向量在解决几何问题中具有广泛的应用，如向量的加法、减法、数乘等运算可以用于解决长度、角度、平行、垂直等问题。
总结词：平面向量在解决代数问题中具有广泛的应用，如向量的模长、向量的数量积、向量的向量积等运算可以用于解决方程组、不等式等问题。
总结词
通过平面直角坐标系，可以将向量表示为有序实数对。
详细描述
在平面直角坐标系中，任意一个向量可以由其起点和终点的坐标确定，并表示为有序实数对。例如，向量$overset{longrightarrow}{AB}$可以表示为$(x_2 - x_1, y_2 - y_1)$。
人教版高中数学必修2《向量的数乘运算》PPT课件
)
2.4(a-b)-3(a+b)-b等于(
)
A.a-2b B.a
C.a-6b D.a-8b
答案 D
解析 原式=4a-4b-3a-3b-b=a-8b.
1
3.在△ABC 中,D 是 AB 边上一点.若 = , = +λ,则
2
λ=
.
1
答案
2
解析 ∵ = ,∴D 是 AB 的中点.
|| ||
,则是以 A 为起点,向量
与
所在线段为邻边的菱形对角线对应
|| ||
的向量,即在∠BAC 的平分线上.
∵=λ,∴, 共线.
∴点 P 的轨迹一定通过△ABC 的内心.
方法点睛 (1)三角形的内心:三角形内切圆的圆心,三角形三条角平分线的
交点,内心到三角形三边的距离相等.
=x+y 且 x+y=1.
2.利用向量共线求参数的方法
判断、证明向量共线问题的思路是根据向量共线定理寻求唯一的实数λ,
使得b=λa(a≠0).而已知向量共线求λ,常根据向量共线的条件转化为相应向
量系数相等求解,利用待定系数法建立方程,从而解方程求得λ的值.若两向
量不共线,必有向量的系数为零.
(2)三角形的外心:三角形外接圆的圆心,三角形三条边的中垂线的交点,外
心到三角形三个顶点的距离相等.若M是△ABC内一点,且满足
||=| |=| |,则点 M 为△ABC 的外心.
(3)三角形的垂心:三角形三条高线的交点.
(4)三角形的重心:三角形三条中线的交点.若 G 是△ABC 内一点,且满足 +
C.b-a D.a-b
(2)已知2a-b=m,a+3b=n,那么a,b用m,n可以表示为
《向量的数乘运算》PPT课件
解析：对 A，当 a＝0 时，有 2a＝a；对 B，当|a|＝0 时，有 2|a|＝|a|；对 C，正确； 对 D，当|a|＝12时，有|2a|＝1.综上可知 C 正确．
答案：C
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2．若 3x－2(x－a)＝0，则向量 x 等于( A．2a
2 C.5a
) B．－2a D．－25a
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知识梳理 设 λ，μ 为实数，则 (1)①λ(μa)＝ λμa ， ②(λ＋μ)a＝ λa＋μa ， ③λ(a＋b)＝ λa＋λb (分配律)．
特别地，我们有
(－λ)a＝－λa＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb. (2)向量的线性运算：向量的 加 、 减 、 数乘 运算统称向量的线性运算，向量 线性运算的结果仍是 向量 ． 对于任意向量 a，b，以及任意实数 λ，μ1，μ2，恒有 λ(μ1a＋μ2b)＝ λμ1a＋λμ2b .
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探究一 向量的线性运算 [例 1] 计算：(1)6(3a－2b)＋9(－2a＋b)； (2)12[(3a＋2b)－23a－b]－76[12a＋37(b＋76a)]； (3)6(a－b＋c)－4(a－2b＋c)－2(－2a＋c)． [分析] 根据向量的线性运算法则求解．
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必修第一册·人教数学B版
解析：(1)25(a－b)－13(2a＋4b)＋125(2a＋13b) ＝25a－25b－23a－43b＋145a＋2165b ＝(25－23＋145)a＋(－25－43＋2165)b ＝0a＋0b＝0. (2)原式＝m(a－b)＋n(a－b)－m(a＋b)＋n(a＋b) ＝(m＋n－m＋n)a＋(－m－n－m＋n)b ＝2na－2mb.
平面向量的数乘运算课件
示例题目
1. 判断题： $(\lambda a_1, a_2)$是否等于 $(\lambda a_1, a_2)$？
2. 计算题：已知向量 $\overset{\longrigh tarrow}{a} = (2,3)$， 求
$3\overset{\longrig htarrow}{a}$。
进阶练习题
要点二
展望
通过进一步的学习和实践，提高解决实际问题的能力。
THANKS
感谢观看
总结词
提高运用能力
详细描述
进阶练习题在基础练习题的基础上，注重对平面向量的数乘运算的运用和拓展，旨在培养学生的综合运用能力。
进阶练习题
示例题目
1. 判断题：已知向量$\overset{\longrightarrow}{a} = (1,0)$，求 $\frac{1}{2}\overset{\longrightarrow}{a}$。
综合练习题
总结词
详细描述
综合练习题以实际应用场景为背景， 将平面向量的数乘运算与实际问题相 结合，旨在培养学生的综合素养和解 决实际问题的能力。
综合练习题
05
平面向量的数乘运算的 总结与回顾
CHAPTER
重点与难点回顾
重点 难点
内容拓展与延伸
拓展
延伸
学习建议与展望
要点一
建议
多做练习，掌握基本概念和性质，了解实际应用场景。
2. 计算题：已知向量$\overset{\longrightarrow}{a} = (2,3)$，向量 $\overset{\longrightarrow}{b} = (3,4)$，求$\overset{\longrightarrow}{a} + 2\overset{\longrightarrow}{b}$。
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进 入 夏 天 ，少 不了一 个热字 当头， 电扇空 调陆续 登场， 每逢此 时，总 会想起 那 一 把 蒲 扇 。蒲扇 ，是记 忆中的 农村， 夏季经 常用的 一件物 品。 记 忆 中 的故 乡 ， 每 逢 进 入夏天 ，集市 上最常 见的便 是蒲扇 、凉席 ，不论 男女老 少，个 个手持 一 把 ， 忽 闪 忽闪个 不停， 嘴里叨 叨着“ 怎么这 么热” ，于是 三五成 群，聚 在大树 下 ， 或 站 着 ，或随 即坐在 石头上 ，手持 那把扇 子，边 唠嗑边 乘凉。 孩子们 却在周 围 跑 跑 跳 跳 ，热得 满头大 汗，不 时听到 “强子 ，别跑 了，快 来我给 你扇扇 ”。孩 子 们 才 不 听 这一套 ，跑个 没完， 直到累 气喘吁 吁，这 才一跑 一踮地 围过了 ，这时 母 亲总是 ，好似 生气的 样子， 边扇边 训，“ 你看热 的，跑 什么？ ”此时 这把蒲 扇， 是 那 么 凉 快 ，那么 的温馨 幸福， 有母亲 的味道 ！ 蒲 扇 是 中 国传 统工艺 品，在 我 国 已 有 三 千年多 年的历 史。取 材于棕 榈树， 制作简 单，方 便携带 ，且蒲 扇的表 面 光 滑 ， 因 而，古 人常会 在上面 作画。 古有棕 扇、葵 扇、蒲 扇、蕉 扇诸名 ，实即 今 日 的 蒲 扇 ，江浙 称之为 芭蕉扇 。六七 十年代 ，人们 最常用 的就是 这种， 似圆非 圆 ， 轻 巧 又 便宜的 蒲扇。 蒲 扇 流 传 至今， 我的记 忆中， 它跨越 了半个 世纪， 也 走 过 了 我 们的半 个人生 的轨迹 ，携带 着特有 的念想 ，一年 年，一 天天， 流向长
2 合金具有许多优良的物理、化学或机械性能。如硬度③ _大__于__各成分金属,熔点④_低__于__各成分金属。因使用不 同的原料,改变原料的⑤_配__比__,改变生成合金的⑥条__件__ 等,可以制得具有不同性能的合金。因此,合金在工业上 具有比纯金属更广泛的用途。
3 我国使用最早的合金是⑦_铜__合__金__。后母戊鼎(原称司母 戊鼎)是⑧_青__铜__制品,其成分为⑨__铜__、__锡__、__铅_。常见的 铜合金还有⑩_黄__铜__(成分是 11 _铜__、__锌__和__少__量__的__锡__、__铅__、_ _铝___)和 12_白__铜__(成分是 13_铜__、__镍__、__锌__、__锰__)。
4 用量最大、用途最广的合金是14 __钢__。钢分为 15 _碳__素__钢_ 和16 __合__金__钢_两大类。
二、正确选用金属材料
1 选择材料时,常常要考虑以下几个方面:①主要用途;② 外观;③物理性质(如17 __密__度__、18 _硬__度__、19 _强__度__、
20_导__电__性__、21 _导__热__性__);④化学性质(22 _对__水__的__作__用___、 23耐__腐__蚀__性____);⑤价格;⑥加工难度;⑦日常维护;⑧对 环境的影响。
2
解：(1)2 1 a (2 1)a a ；
2
2
(2 )2 (a b ) 3 (a b ) 2 a 2 b 3 a 3 b
(2a3a)(2b3b) a 5b ；
( 3 ) ( a 4 b 3 c ) ( 2 a 3 b 5 c ) a 4 b 3 c 2 a 3 b 5 c
长 的 时 间 隧 道，袅
§7.2.3平面向量的数乘运算
➢向量加法法则：
ab b
向量的箭头 你标了吗
b ab
a
首尾相连，首尾连
➢向量减法法则：
a
共起点，射出对角线
a
a b 共起点，连终点，指向被减
b
3.数乘向量运算律： 设、R，有
( 1 ) λ ( μ a ) ( λ μ ) a μ ( λ a )数乘向量运算律
( 2 ) (λ μ ) a λ a μ a (3)λ(ab)λaλb
与
实数乘法运算律 相似吗？
已知向量 a , b ，求作向量2(ab)和2a2b，并比较.
b
a
ab
2(a b)
2a2b
bLeabharlann 2b2 (a b ) 2 a 2 b
a 2a
计算下列各式：
(1) 2 1 a； (2)2(ab)3(ab)；( 3 ) ( a 4 b 3 c ) ( 2 a 3 b 5 c ) ．
a b
2b
c
d
2b
1b 2
判断下列各题中的向量 a 与 b 是否共线?
（1） a 2e,b 2e ； （2） a e1 e2,b 2e1 2e2 .
已知MN是△ABC的中位线，求证：MN＝ 1 BC，且MN∥BC．
2
证明：∵M，N是AB，AC边上的中点，
A M1A B, A N1A C ，
A
2
2
M N A N A M 1 AC1 AB M
N
2
2
1(ACAB) 1 BC
∴MN＝
1 2
2
2
BC，且MN∥O怎B、C样．B说、明B′
B
C B′
三点共线？
已知 OA 3OA，AB 3AB，
B
判断OB 与 O B 是 否共线．
OA
A′
1. 数乘向量的定义及其几何意义 2. 数乘向量运算律 3. 平行向量基本定理
P47 EX Q1,2,4
课程学习目标
1 认识纯金属与它们的合金在性能上的主要差异。
2 知道生活中常见合金如铁合金及铜合金的主要成分及 性能。
3 学会正确选用金属材料。
第一层级：知识记忆与理解
【知识体系梳理】
一、常见的合金及其性质
1 合金是指①_两__种__或__两__种__以__上__的金属或金属和非金属熔 合而成的具有一定②_金__属__特__性__的物质。
( a 2 a ) ( 4 b 3 b ) ( 3 c 5 c ) a 7 b2 c
计算下列各式：
( 1 ) 5 5 a ； ( 2 ) 3 ( 2 a b ) 2 ( 3 a b ) ．
已知：点D是线段BC的中点，
求证：AD1(ABAC) 2
证明：∵D是BC边上的中点，
A D A C C D AC
1 CB 2
A
AC1(ABAC) 2
1(ABAC) 2
B D C
已知□ABCD，AB a，ADb ，试用向量a 和 b 表示O A ,O B ,O C ,O D .
D
C
b
O
A
a
B
平行向量基本定理：
如果 ab，则 a∥b ； 反之， 如果 a∥b，且 b 0， 则一定存在一个实数，使 ab.
2 合金具有许多优良的物理、化学或机械性能。如硬度③ _大__于__各成分金属,熔点④_低__于__各成分金属。因使用不 同的原料,改变原料的⑤_配__比__,改变生成合金的⑥条__件__ 等,可以制得具有不同性能的合金。因此,合金在工业上 具有比纯金属更广泛的用途。
3 我国使用最早的合金是⑦_铜__合__金__。后母戊鼎(原称司母 戊鼎)是⑧_青__铜__制品,其成分为⑨__铜__、__锡__、__铅_。常见的 铜合金还有⑩_黄__铜__(成分是 11 _铜__、__锌__和__少__量__的__锡__、__铅__、_ _铝___)和 12_白__铜__(成分是 13_铜__、__镍__、__锌__、__锰__)。
4 用量最大、用途最广的合金是14 __钢__。钢分为 15 _碳__素__钢_ 和16 __合__金__钢_两大类。
二、正确选用金属材料
1 选择材料时,常常要考虑以下几个方面:①主要用途;② 外观;③物理性质(如17 __密__度__、18 _硬__度__、19 _强__度__、
20_导__电__性__、21 _导__热__性__);④化学性质(22 _对__水__的__作__用___、 23耐__腐__蚀__性____);⑤价格;⑥加工难度;⑦日常维护;⑧对 环境的影响。
2
解：(1)2 1 a (2 1)a a ；
2
2
(2 )2 (a b ) 3 (a b ) 2 a 2 b 3 a 3 b
(2a3a)(2b3b) a 5b ；
( 3 ) ( a 4 b 3 c ) ( 2 a 3 b 5 c ) a 4 b 3 c 2 a 3 b 5 c
长 的 时 间 隧 道，袅
§7.2.3平面向量的数乘运算
➢向量加法法则：
ab b
向量的箭头 你标了吗
b ab
a
首尾相连，首尾连
➢向量减法法则：
a
共起点，射出对角线
a
a b 共起点，连终点，指向被减
b
3.数乘向量运算律： 设、R，有
( 1 ) λ ( μ a ) ( λ μ ) a μ ( λ a )数乘向量运算律
( 2 ) (λ μ ) a λ a μ a (3)λ(ab)λaλb
与
实数乘法运算律 相似吗？
已知向量 a , b ，求作向量2(ab)和2a2b，并比较.
b
a
ab
2(a b)
2a2b
bLeabharlann 2b2 (a b ) 2 a 2 b
a 2a
计算下列各式：
(1) 2 1 a； (2)2(ab)3(ab)；( 3 ) ( a 4 b 3 c ) ( 2 a 3 b 5 c ) ．
a b
2b
c
d
2b
1b 2
判断下列各题中的向量 a 与 b 是否共线?
（1） a 2e,b 2e ； （2） a e1 e2,b 2e1 2e2 .
已知MN是△ABC的中位线，求证：MN＝ 1 BC，且MN∥BC．
2
证明：∵M，N是AB，AC边上的中点，
A M1A B, A N1A C ，
A
2
2
M N A N A M 1 AC1 AB M
N
2
2
1(ACAB) 1 BC
∴MN＝
1 2
2
2
BC，且MN∥O怎B、C样．B说、明B′
B
C B′
三点共线？
已知 OA 3OA，AB 3AB，
B
判断OB 与 O B 是 否共线．
OA
A′
1. 数乘向量的定义及其几何意义 2. 数乘向量运算律 3. 平行向量基本定理
P47 EX Q1,2,4
课程学习目标
1 认识纯金属与它们的合金在性能上的主要差异。
2 知道生活中常见合金如铁合金及铜合金的主要成分及 性能。
3 学会正确选用金属材料。
第一层级：知识记忆与理解
【知识体系梳理】
一、常见的合金及其性质
1 合金是指①_两__种__或__两__种__以__上__的金属或金属和非金属熔 合而成的具有一定②_金__属__特__性__的物质。
( a 2 a ) ( 4 b 3 b ) ( 3 c 5 c ) a 7 b2 c
计算下列各式：
( 1 ) 5 5 a ； ( 2 ) 3 ( 2 a b ) 2 ( 3 a b ) ．
已知：点D是线段BC的中点，
求证：AD1(ABAC) 2
证明：∵D是BC边上的中点，
A D A C C D AC
1 CB 2
A
AC1(ABAC) 2
1(ABAC) 2
B D C
已知□ABCD，AB a，ADb ，试用向量a 和 b 表示O A ,O B ,O C ,O D .
D
C
b
O
A
a
B
平行向量基本定理：
如果 ab，则 a∥b ； 反之， 如果 a∥b，且 b 0， 则一定存在一个实数，使 ab.