加减消元法解二元一次方程组的解题要点
二元一次方程组的解法之加减消元法
②
12x 16y 32 ③ 12x 9y 3 ④
当程的方的方程两程组边的的都系两乘数（能x（个以相或不方一 同或互能程个或y为）使不适互相的两能当为反直的相系个接数反数数方用（数）相程加不，呢等中减为那？消零么元）就时， 可，使以可变用将形加方后减
消元法来解方程组了.
樂
见
2x 3y 11 ①
2x 3 (3) 11
解得 x 1 写解
3x 45 8
解得 x 4
x 1
因此原方程组的解是
y
3
x 4
因此原方程组的解是
y
5樂见
2x 3y 11 ①
（1）6x 5y 9
②
3x 4y 8 ① （2）4x 3y 1 ②
解：①×5得10x 15y 55③ 解：①×4得 12x 16y 32 ③
小结：如果两个方程中有一个未知数的系数相 等（或互为相反数），那么把这两个方程直接 相减（或相加）；否则，就把方程乘以适当的 数进行变形，再将所得方程相减（或相加）. 樂
见
1997m 1999n 3995 （5）1999m 1997n 3997
选择消
,将方程
①+②得
3996m3996n 39962
y
3
x 4
因此原方程组的解是
y
5樂见
牛刀小试
解下列方程组：
3x 2 y 8 ① （1）6x 5y 47 ②
2x 3y 12 ① （2） 3x 4 y 17 ②
樂 见
巩固练习
用加减法解下列方程时，你认为先消哪个未知数 比较简单，填写消元的过程.
2m 3n 1 ① 选择消 n
（1） 5m 3n 4 ② 将方程 ②－① 进行消元
学习二元一次方程组时的十个注意点
学习二元一次方程组时的十个注意点一、二元一次方程组的解有以下三种情况：（1）有一个解．例如方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －2y ＝11，2x ＋3y ＝16 有一个解⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝5，y ＝2．这个方程组只有这一个解．初级阶段的教学课只研究方程组有一个解的情况．（2）有无数个解．例如方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －2y ＝11，6x －4y ＝22有无数个解，这是因为方程组中的两个方程实际上是同一个方程（请想想为什么），两个方程只能算一个．（3）无解．例如方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －2y ＝11，6x －4y ＝20无解，这是因为将第一个方程的任何一个解代入第二个方程，左边应当是22，它不等于20，这两个方程是互相矛盾的．二、运用代入法、加减法解二元一次方程组要注意的问题：（1）当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时，用代入法比较简单；（2）若方程组中一个未知数的系数为1（或－1）时，选择这个方程进行变形，用代入法比较简便；（3）当方程组中的两个方程有某个未知数的系数相同或相反时，进行加减消元比较方便；（4）若两个方程中，同一个未知数的系数成倍数关系，利用等式性质，可以转化成（3）的类型，选择加减消元法比较简便；（5）若两个方程中，同一个未知数的系数的绝对值都不相等，那么，应选出一组系数（选最小公倍数较小的一组系数），求出它们的最小公倍数，然后将原方程组变形，使新方程组的这组系数的绝对值相等（都等于原系数的最小公倍数），再加减消元；（6）对于比较复杂的二元一次方程组，应先化简（去分母、去括号、合并同类项等）．通常要把每个方程整理成含未知数的项在方程的左边，常数项在方程的右边的形式，再作加减消元的考虑．三、如何突出教学重点从今后的学习与应用考虑，对于大多数学生而言，学习本章主要是要掌握二元一次方程组的解法．因此，本章把二元一次方程组的解法作为重点．教科书中，适当增加了一些例子，主要的例子也不是简单地将解法给出，而是一步一步地进行分析，引导学生在原有知识的基础上，经过认真思考，从二元一次方程组本身的特点中，寻求解决问题的方法和途径，希望这样可以使学生更容易接受、理解，从而更好地掌握它们．有关二元一次方程组的概念比较多，当然，从学习代数方程这个目的出发，这些概念是有其重要意义的，但真正掌握这些概念是有一定困难的．如果处理不好，会干扰多数学生学习掌握最基本的内容——二元一次方程组的解法．因此，教材中将这些概念分别根据它们的难度、重要性，做了不同的处理，对有一定难度而与近期学习关系不大的概念，就适当地淡化了它们在教科书中的地位，以期降低难度，减轻学习负担，从而使多数学生能真正学有所得．例如，关于二元一次方程有无穷多个解的问题，也就是所谓解的不定性的问题，这是以往初中代数学习的一个难点．一方面，无穷多的问题，学生过去还没有遇到过，而且，对于二元一次方程来说，它的每一个解又是一对数，这一对数还有一定的相关性．让学生比较好地理解这个问题是比较困难的．另一方面，从学习二元一次方程组解法这一基本目的出发，解的不定性的内容也不是急需的，以后学习了直角坐标系，知道二元一次方程可以用直线表示，借助数形结合，再研究二元一次方程的解的个数问题，就会容易得多．基于以上考虑，本章只是通过几个具体的例子，让学生初步了解一个二元一次方程有不只一个解就可以了．又如，关于二元一次方程组的定义，也有一定的难度．一是关于方程组，方程组中未知数的个数与方程的个数存在三种不同的情况，未知数的个数多于、等于或少于方程的个数，这些都涉及，问题就过于复杂了．二是关于二元一次方程组定义本身，即使只有两个方程的情况下，还包括两个都是二元，一个是二元一个是一元，或者两个都是一元这三种可能．因此，才有以往教材的如下定义：由几个一次方程组成并含有两个未知数的方程组，叫做二元一次方程组．这个定义中，一是没有限定方程的个数，二是包括了每个方程的元数的多种可能性．让学生认清这些不容易．概括地说，首先，要从学生今后学习与应用的需要出发，确定二元一次方程组的教学重点；其次，要围绕二元一次方程组的解法这个教学重点，把握二元一次方程组有关概念与相关运算的教学深广度，选择安排适当的练习进行训练．四、如何启发思维、培养能力在讲解代入法时，启发学生将由同一个问题列出的一元一次方程与二元一次方程组进行对比，从列方程组的过程中，发现一个未知数可以用含有另一个未知数的代数式表示的关系，进而找出将“二元”转化为“一元”的途径，就可以借助学过的一元一次方程的知识，求解二元一次方程组了．在学生接触了消元的思想之后，又结合像⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋2y ＝13，3x －2y ＝5这样的例子，从“消元”、“转化”这一目标出发，就不难引导学生发现另一种解二元一次方程组的方法，即加减法了．对于学有余力的学生，在学习三元一次方程组的解法时，应该继续强化学生对“消元”、“转化”思想方法的认识与了解．列方程（组）解应用题对于相当多的学生是有一定困难的，启发学生认真分析问题中的有关数量，从中找出相等关系是十分重要的．教学中，从题目的选配到例题的讲述，都应该注意启发学生的思维．当然这部分的基本教学要求是使学生能灵活运用代入法、加减法解二元一次方程组，并会解简单的三元一次方程组．在使学生达到“灵活运用”水平的训练过程中，“消元”、“转化”的思想也是起着重要作用的，“灵活” 的目的就是较好地实现“消元”、“转化”.五、康熙创造的数学术语解方程时，大家总会碰到“元”、“次”、“根（解）”．不过，你知道题目中的数学术语“元”、“次”、“根（解）”（当然只是指汉语译名）是谁创造的？说来你也许不信，是清朝的康熙皇帝．康熙皇帝是一个抱负远大、好学上进的君主，他曾拜比利时的南怀仁等传教士为师，学习天文、数学、地理，还学拉丁文．康熙大帝虽然聪颖过人，但是听外籍教师讲课并不轻松，因为南怀仁等人的汉语和满语水平有限，日常会话还能够勉强对付着，而要将严谨而高深的科学知识表达出来就显得力不从心了，而当时课本多是外文，即使中译本也是半通不通的．这样，学习中就必然有许多精力被消耗在语言沟通上，进度不快．不过，康熙学习很刻苦，也很有耐心，一遍听不懂，就请老师再讲一遍，直至真正弄懂为止．南怀仁在讲方程时句子冗长，吐音又很不清楚，康熙的脑子常常被搞得晕晕糊糊的，怎样才能让老师讲得好懂呢？一阵冥思苦想后，一个妙法突然冒出来．他向南怀仁建议，将未知数翻译为“元”，最高次数翻译为“次”（限整式方程），使方程左右两边相等的未知数的值翻译为“根”或“解”……南怀仁用笔认真地记了下来，随即用这些新创术语换下自己原先使用的繁琐词语：“求二‘元’一‘次’方程的‘根（解）’……”果然扫除了很多障碍，提高数学效率．南怀仁惊疑地盯着康熙，愣怔了一会儿，突然按照西方最亲切的礼节一下子将康熙紧紧抱住：“我读书和教书几十年，无论是老师还是学生，还从来没见过一个像您这样肯动脑筋的人！”康熙创造的这几个数学术语科学而简洁，十分便于理解和记忆，因此一直延用到今天．六、鸡兔同笼问题《孙子算经》是唐初作为“算学”教科书的著名的《算经十书》之一，共三卷，上卷叙述算学记数的制度和乘除法则，中卷举例说明筹算分数法和开平方法，都是了解中国古代筹算的重要资料．下卷收集了一些算术难题，“鸡兔同笼”问题是其中之一．原题如下：令有雉（鸡）兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问雉、兔各几何？原书的解法是；设头数是a，足数是b．则b2－a是兔数，a－（b2－a）是雉数．这个解法确实是奇妙的．原书在解这个问题时，很可能是采用了方程的方法．设x为雉数，y为兔数，则有x＋y＝a，2x＋4y＝b，解之得：y＝b2－a，x＝a－（b2－a）．根据这组公式很容易得出原题的答案：兔12只，雉23只．鸡兔同笼问题是一个有趣的算术题，对初学算术四则应用题的学生的逻辑推理能力和运算技巧很有帮助．因而历代算学书中多有引录,但在题目及解题方法上却各有不同．元代《丁巨算法》（1355）中的题目为今有鸡兔一百，共足二百七十二只，只云鸡足二，兔足四，问二色各几何？所附解法与《孙子算经》不同,其方法是“置共一百，以四乘之，得四百，与总足相减，余一百二十八，折半得鸡数．反减得兔．倍一百得二百，减总足，余七十二，折半得兔．反减得鸡，亦通．”这是另一典型的算术解法，先设全部都是兔．则总足数是头数的四倍，得四百．与实际总足敷相减，即知把鸡误当为兔时多计算的足数．每只多算二足，故折半即为鸡数．此题的答案为：鸡64只，兔36只．“鸡兔同笼”问题在民间也广为流传，甚至编入了小说．在我国著名的古典小说《镜花缘》里就有这样一段故事：宗伯府的女主人卞宝云邀请女才子们到府中的小鳌山观灯，当众才女在一片音乐声中来到小鳌山时，只见楼上楼下俱挂灯球，五彩缤纷，宛如列星，高低错藩，竟难分辨其多少．卞宝云请精通筹算的才女米兰芬，算一算楼上楼下大小灯球的数目．她告诉米兰芬，楼上的灯有两种，一种上做三个大球，下缀六十小球，计大小球九个为一灯；另一种上做三个大球，下缀十八个小球，计大小球二十一个为一灯．楼下的灯也分两种，一种一个大球，下缀两个小球；另一种是一个大球，下缀四个小球．她请米兰芬算一算楼上楼下四种灯各有多少个．米兰芬想了一想，请宝云命人查一下楼上楼下大小灯球各多少个．查的结果是：楼上大灯球共396个，小灯球共1440个，楼下大灯球共360个，小灯球共1200个．米兰芬按照《孙子算经》中“鸡兔同笼”问题的解法，先算楼下的，她将小灯球1200折半，得600，再减去大灯球360，得240，这是一大四小灯球的灯的盏数．然后用360减240，得120，这便是一大二小灯球的灯的盏数．再算楼上的，她先将1440折半，得720，减大灯球396，余324，再除以6，得54，这是缀十八个小球灯的灯的盏数，然后用3乘54，得162，用396减162，得234，用234除以3得78，即下缀六个小球灯的灯78盏．卞宝云让人拿做灯的单子来念，果然丝毫不差．大家莫不称为神算．这个问题若用方程解之自然更简单，但用算术方法解之确也别具一格．一个算术题竟能辗转传抄，世代相授，历经千年而不衰，其内容之有趣，解法之奇巧，不能不说是一个很重要的原因．七、珍尼的宠物珍尼说：“在我饲养的宠物中，除了两只以外所有的动物都是狗，除了两只以外，所有的都是猫，除了两只以外，所有的都是鹦鹉，我总共养了多少只动物？你想出来了吗？”大家苦思良久，迈克突然说：“珍尼只养了三只动物：一只狗，一只猫和一只鹦鹉，除了两只以外所有的都是狗，除了两只以外所有的都是猫，除了两只以外所有的都是鹦鹉．”如果你领悟到“所有”这个词可以指仅仅一只动物的话，头脑中就有了这个问题的答案，最简单的情况：一只狗，一只猫，一只鹦鹉，这个问题也可以用代数形式来表示．令x 、y 、z 分别为狗、猫和鹦鹉的只数，n 为动物的总数，我们可以写出由下面四个方程组成的方程组：⎩⎪⎨⎪⎧ n ＝x ＋2，n ＝y ＋2， n ＝z ＋2， n ＝x ＋y ＋z ．解此方程组有许多方法，显然，根据前三个方程式，可得出x ＝y ＝z ，由于3n ＝x ＋y ＋z ＋6，减去第四个方程，得到n ＝3，因此x ＋2＝3，所以x ＝1，答案可知．由于动物只数只能是正整数，所以可以把珍尼的动物问题看作所谓的丢番图问题（即不定方程）的一个例子，这是一个其方程解必须是整数的代数问题，一个丢番图方程有时无解，有时只有一个解，有时有不止一个或个数有限的解，有时有无穷多个解．下面是一个难度稍大的丢番图问题，同样也与方程组和三种不同的动物有关．一只公鸡价格10元，一只母鸡价格3元，一只小鸡价格0.5元．一个农夫买了100只鸡，每种至少买了一只，总共花了100元，问每种鸡各买了多少只？令x 为公鸡的只数，y 为母鸡的只数，z 为小鸡的只数，可以写出如下方程组：⎩⎨⎧ 10x ＋3y ＋z 2 =100，x ＋y ＋z ＝100．把第一个方程中的各项都乘以2消去分数，再与第二个方程相减，消去z ，这样得到下列方程式：19x ＋5y ＝100．x 和y 可能有哪些整数值？一种解法是把系数最小的项放到方程的左边：5y ＝100－19x ，把两边都除以5，得到y ＝100－19x 5， 再把100和19x 除以5，将余数（如果有的话）和除数5写成分数的形式，结果为：y ＝20－3x －4x 5 ．显然，表达式4x 5 必然是整数，即x 必须是5的倍数，5的最小倍数即是其自身，由此得出y 的值为1，将x ，y 的值带入任何一个原方程，可得z 等于94．如果x 为任何比5更大的5的倍数，则y 变为负数．所以，此题仅有一个解：5只公鸡，1只母鸡和94只小鸡．你只要把这个问题中鸡的价钱改变一下，便可以学到许多初等丢番图分析的知识．例如，设公鸡价钱为4元，母鸡的价钱为2元，小鸡的价钱为13 元，一个农夫准备花100元买1000只鸡，并且每种鸡至少买1只，问他每种可以买多少只？关于这一问题，恰好有三种解，但是如果公鸡价为5元，母鸡价为2元，小鸡价为0.5元呢？那就无解．丢番图分析是数论的一大分支，其实际应用范围极广．有一个著名的丢番图问题，以费马最后定理而著称：设有方程x n ＋y n ＝z n ，其中n 是大于2的正整数，问此方程是否有整数解（如果n ＝2，则称其为毕达格拉斯三元数组，具有自3n ＋4n ＝5n 起始的无穷多组解？）这是一个最著名的数论问题，已经由英国数学家安德鲁·威尔斯于1994年解决．他应用了一种叫做椭圆函数的理论，实际上，他证明的并不是费马定理本身，而是在椭圆函数领域中另一个著名的猜想：谷山-志村猜想，这等于是从侧面攻破了这个300多年的大难题．八、谁善饮酒在法国民间流传着这样一道算题：在一次消夏晚会上有四对夫妇一起饮酒，他们共饮了32瓶啤酒．太太们的记录是：露易丝1瓶，蕾蒂丝2瓶，约瑟芬3瓶，玛丽4瓶．先生们饮的更厉害，马尔勒和自己的妻子饮同样多，让·阿冉饮的是自己妻子的2倍，苏西克斯饮的是妻子的3倍，诺森伯兰饮的是妻子的4倍．猜一猜谁和谁是一家？并排出这四对夫妇饮酒量的名次．我们用列方程组的方法来解这个问题．设马尔勒、让·阿冉、苏西克斯和诺森伯兰的妻子各饮酒x ，y ，z ，u 瓶，则他们各饮酒x ，2y ，3z ，4u 瓶，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＋z ＋u ＝10……○1x ＋2y ＋3z ＋4u ＝22……○2 其中，x 、y 、z 、u 分别在1，2，3，4中取值．由○1×4－○2消去u ，得：3x ＋2y ＋z ＝18……○3由于2y 、18为偶数，所以x 、z 或者同为偶数，或者同为奇数．在○3中，由于y 、z ≤4，所以x ＝1，2不可能．若x ＝4，则z ＝2，代入○3求出y ＝2，这也不合题意．因此只能x ＝3，z ＝1，代入○3求出y ＝4，再代入○1求出u ＝2．这样各家及饮酒情况是：⎩⎪⎨⎪⎧ 约瑟芬 3瓶，马尔勒 3瓶；⎩⎪⎨⎪⎧ 玛丽 4瓶，让·阿冉 8瓶； ⎩⎪⎨⎪⎧ 露易丝 1瓶，苏西克斯 3瓶；⎩⎪⎨⎪⎧ 蕾蒂丝 2瓶，诺森伯兰 8瓶． 从上面的分析可以立即看出各对夫妇饮酒量排列次序．九、如何消元解二元一次方程组的关键在于消元，化“二元”为“一元”，将“陌生”的二元一次方程组转化为熟悉的一元一次方程，从而求解．同学们在掌握用代入消元、加减消元法的同时，还要注意观察和分析方程组中各方程的结构特点，开拓新思路，采用一些特殊方法，简捷求解，从而提高和培养自已的创新能力，请看：1、整体代入法例1 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3（5x ＋7y ）=4，（1）5x ＋7y ＝2． （2）分析：此题常规解法是先化简再加减消元，虽能达到目的，但不是明智之举，观察发现方程（1）与方程（2）中有相同的代数式5x ＋7y ，所以把方程（2）代入方程（1）中，从而解出x 的值进而求出y 的值，则快人一步！简解：将方程（2）整体代入到方程（1），得2x ＋3×2＝4，所以x ＝—1，将x ＝－1代入（2），得5×（－1）＋7y ＝2，得y ＝1，所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧ x =－1，（1）y ＝1． （2）点评：解方程组时，有时可根据题目的特点整体代入，从而达到简化运算的目的，当然不是所有的题目都能像本题一样，直接整体代入，有时须通过仔细观察，抓住方程组的特点，先将它作一些处理，然后再整体代入．2、整体加减法例2 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y 6＋x －y 10 =3， （1）x ＋y 6 －x －y 10 ＝－1．（2）分析：若先去分母，再化简求解，不胜繁冗，观察发现两个方程中都含有x ＋y 6 、x －y 10 ，分别将其看作一个整体，将方程（1）与方程（2）进行整体加减消元，则简单明快．简解：（1）＋（2）得：x ＋y ＝6，（1）－（2）得x －y ＝20，原方程组转化为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝6，x －y ＝20． 解之得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝13，y ＝－7．例3 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 83x ＋79y =241，（1）79x ＋83y ＝245．（2） 分析：对于这样系数较大的方程组，千万别硬做，繁琐难算且易错！观察发现方程组的左边未知数的系数为轮换对称式，分别将两个方程整体相加、减，可构造一个简单方程组，从而简化计算过程．简解：（1）＋（2）得x ＋y ＝3；（1）－（2）得x －y ＝－1，原方程组转化为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝3，x －y ＝－1． 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝2． 所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝2．3、消去常数法例4 解方程⎩⎪⎨⎪⎧ 20x ＋27y =1，（1）22x ＋24y ＝1．（2）分析：按常规方法是寻找系数x 或y 的最小公倍数，再消元，运算量大，观察发现两个方程的常数项相同，所以两式相减消去常数项，再代入消元可获巧解．简解：（1）－（2）得2x ＝3y ……（3），将（3）代入（1），解得57y ＝1，解得y ＝157 ，再将y ＝157 代入（3），得x ＝138 ．所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝138 ，y ＝157 ．4、整体构造法例5 某人买13个鸡蛋、5个鸭蛋、9个鹅蛋共用12.7元；若买2个鸡蛋、4个鸭蛋、3个鹅蛋共用4.7元，求买鸡蛋、鸭蛋、鹅蛋各一个需多少元？分析：设每个鸡蛋、鸭蛋、鹅蛋的价格各为x 、y 、z 元，根据题意只能布列2个方程，不能求出x 、y 、z 的值，将x ＋y ＋z 看作一个整体，将每一个方程都构造含有x ＋y ＋z 的式子，从而可整体求出．简解：设每个鸡蛋、鸭蛋、鹅蛋的价格分别为x 、y 、z 元，则有：⎩⎪⎨⎪⎧ 13x ＋5y ＋9z =12.7，（1）2x ＋4y ＋3z ＝4.7． （2）将方程组可变为⎩⎪⎨⎪⎧ 5（x ＋y ＋z ）＋8x ＋4z =12.7，（3）2（x ＋y ＋z ）＋2y ＋z ＝4.7． （4）（3） ＋（4）×4，即得x ＋y ＋z ＝1.5，故买鸡蛋、鸭蛋、鹅蛋各一个需1.5 元．5、增设辅元法例6 解方程组⎩⎨⎧ x 2 = y 3 ＝z 4 ， （1）2x ＋y ＋z ＝22． （2）分析：所谓增设辅元法，就是在解题过程中，把含某个（或某些）字母的式子做为一个整体，用一新的字母表示，从而把一个较为复杂的式子化简，把原题归给为较简单的基本问题，达到化难为易的目的，当方程组中出现“比”的形式或“连比”的形式，通常采用增设辅元法，以简化运算．简解：设x 2 ＝y 3 ＝z 4 ＝k ，则x ＝2k ，y ＝3k ，z ＝4k ，又2x ＋y ＋z ＝22，4k ＋3k ＋4k ＝22，k ＝2，所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4，y ＝6，z ＝8．总之，在解二元一次方程组时，一定要分析题目的特点，灵活运用技巧，才能简化解题过程，化繁为简，提高正确率．十、如何解三元一次方程组什么叫做三元一次方程组如果方程组中含有三个未知数，每个方程中含有未知数的项的次数都是一次，并且方程组中一共有三个方程，这样的方程组叫做三元一次方程组．如⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，y ＋z ＝3，x －2z ＝5 就是一个三元一次方程组．提示：三元一次方程组中的每个方程不一定都含有三个未知数，但方程组中一定要有三个未知数．解三元一次方程组基本思路解三元一次方程组的基本思路是消元，其方法有代入消元法和加减消元法两种，通过消元将三元一次方程组转化为二元一次方程组或一元一次方程．提示：三元一次方程组求解方法与二元一次方程组的求解方法类似，可通过对比来理解三元一次方程组的解题思想．解三元一次方程组的一般步骤1．观察方程组中每个方程的特点，确定消去的未知数；2．利用加减消元法或代入消元法，消去一个未知数，得到二元一次方程组；3．解二元一次方程组，求得两个未知数的值；4．将所得的两个未知数的值代入原三元一次方程组中的某个方程，求到第三个未知数的值；5．写出三元一次方程组的解．例如：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3y ＋2z ＝2， ①3x ＋2y －4z ＝3， ②2x －y ＝7 ． ③分析：观察方程组中每个方程的特征可知，方程③不含有字母z ，而①、②中的未知数z 的系数成倍数关系，故可用加减消元法消去字母z ，然后将所得的方程与③组合成二元一次方程组，求这个方程组的解，即可得到原方程组的解．解：①×2＋②，得5x ＋8y ＝7④，解③，④组成的方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y =7， 5x ＋8y ＝7． 得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝－1．把x ＝3，y ＝－1代入①，得z ＝1，所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝－1，z ＝1．。
第8课时 二元一次方程组解法复习(加减消元法)
第8课时 二元一次方程组解法复习（加减消元法）1、解方程组：⎩⎨⎧=+=-1424723y x y x 时，要先观察方程组的特点，再确定解方程组的方法。
因为方程①中的 与方程②中的 互为相反数，所以当两个方程相加时，就可以消去单项式中所含的这个未知数。
根据以上思路，在下面解出这个方程组。
解：2、解方程组：⎩⎨⎧=+=+622823y x y x 时，先观察它的特点，发现：方程①、方程②中都含有相同的单项式 ，这样的两个方程相减时，就可消去这个单项式所含的未知数。
根据以上思路，在下面解出这个方程组。
解：① ②①②3、解方程组：⎩⎨⎧=+=+122573y x y x 时，发现两个方程中既没有相同的单项式，也没有互为相反数的单项式。
因此两个方程不能直接相加或相减。
但可以在其中一个方程两边乘以一个数，从而使得两个方程有相同的单项式。
因为5x 不是3x 倍数，但2y 是y 的2倍，所以，可以用方程①乘以2，得到 ，从而组成新的方程组：以便可以直接使用加减消元法。
根据以上思路，在下面解出这个方程组。
解：4、解方程组：⎩⎨⎧=+=+7231252y x y x 时，发现3x 不是2x 的倍数，5y 也不是2y 的倍数，但我们可以使两个方程都分别乘一个数，都变成它们的公倍数。
比如，可以让方程①中的2x 与方程②中的3x 都变成6x 。
即在方程①中的两边都乘以3得到： 。
在方程②中的两边都乘以2得到： 。
根据以上思路，在下面解出这个方程组。
解：原方程组可变为：⎩⎨⎧__________________① ② ①②练习：解下列方程组：1、⎩⎨⎧-=+-=-2453y x y x2、⎩⎨⎧-=+-=+132735y x y x3、⎩⎨⎧=+=-192573y x y x 4、⎩⎨⎧-=+-=+523752y x y x应用题复习：1、2台大收割机和5台小收割机均工作2小时共收割小麦3.6公顷，3台大收割机和2台小收割机均工作5小时共收割小麦8公顷。
二元一次方程组的化简技巧有哪些
二元一次方程组的化简技巧有哪些在数学的学习中，二元一次方程组是一个重要的知识点。
能够熟练掌握二元一次方程组的化简技巧，可以帮助我们更轻松、更高效地解决相关问题。
下面就来给大家详细介绍一些常见且实用的二元一次方程组化简技巧。
一、代入消元法代入消元法是解决二元一次方程组较为常用的方法之一。
它的基本思路是：从方程组中选取一个方程，将其中一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来，然后将这个代数式代入另一个方程，从而消去一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程。
例如，对于方程组：＼＼begin{cases}x ＋ y ＝ 5 ＼＼2x y ＝ 1＼end{cases}＼我们可以由第一个方程得到＼（x ＝ 5 y\），然后将＼（x ＝ 5 y\）代入第二个方程＼（2x y ＝ 1\）中，得到：＼＼begin{align}2(5 y) y ＆＝ 1 ＼＼10 2y y ＆＝ 1 ＼＼10 3y ＆＝ 1 ＼＼－3y ＆＝ 1 10 ＼＼－3y ＆＝－9 ＼＼y ＆＝ 3＼end{align}＼再将＼（y ＝ 3\）代入＼（x ＝ 5 y\），可得＼（x ＝ 5 3 ＝2\）。
在使用代入消元法时，关键是要选择一个方程，将其中一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来。
一般来说，选择系数较简单的方程，并且选择系数为1 或－1 的未知数进行表示，这样计算会更简便。
二、加减消元法加减消元法也是二元一次方程组化简的重要方法。
它的核心思想是：通过将方程组中的两个方程相加或相减，消去一个未知数，从而将二元一次方程组转化为一元一次方程。
比如，对于方程组：＼＼begin{cases}3x ＋ 2y ＝ 12 ＼＼5x 2y ＝ 4＼end{cases}＼观察两个方程，发现＼（y\）的系数分别为＼（2\）和＼（－2\），将两个方程相加，可以消去＼（y\），得到：＼＼begin{align}（3x ＋ 2y) ＋（5x 2y) ＆＝ 12 ＋ 4 ＼＼3x ＋ 5x ＆＝ 16 ＼＼8x ＆＝ 16 ＼＼x ＆＝ 2＼end{align}＼把＼（x ＝ 2\）代入第一个方程＼（3x ＋ 2y ＝ 12\），可得＼（3×2 ＋ 2y ＝ 12\），解得＼（y ＝ 3\）。
求解二元一次方程组(知识梳理与考点分类讲解)-八年级数学上册基础知识专项突破讲与练(北师大版)
专题5.4求解二元一次方程组（知识梳理与考点分类讲解）【知识点1】代入消元法解二元一次方程组代入消元法：（1）定义：将其中一个方程组中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程组，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程，这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法.（2）用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤：步骤具体做法目的注意事项（1）变形选取一个系数比较简单的二元一次方程变形，用含一个未知数的式子表示另一个未知数变形为x=ax+b（或x=ay+b）（a,b 是常数,a≠0）的形式一般选未知数系数比较简单的方程变形（2）代入把y=ax+B（或x=ay+b）代入另一个没有变形的方程消去一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程变形后的方程只能代入另一个方程（或另一个方程变形后的方程）（3）求解解消元后的一元一次方程求出一个未知数的值去括号时不能漏乘，移项时所移的项要变号（4）回代把求得的未知数的值代入步骤（1）中变形后的方程求出另一个未知数的值一般代入变形后的方程（5）写解把两个未知数的值用大括号联立起来特别提醒：将方程组中的一个二元一次方程写成用含一个未知数的式子表示另一个未知数的形式，是用代入法解二元一次方程组的前提和关键，其方法就是利用等式的性质将其变形为y=ax+b（或x=ay+b）的形式，其中a,b 为常数,a≠0.用含一个未知数的式子表示另一个未知数后，应代入另一个方程求解，否则只能得到一个恒等式，并不能求出方程组的解.【知识点2】加减消元法解二元一次方程组1.加减消元法的定义通过将两个方程相加（减）消去其中一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程来解，这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法.2.用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤步骤具体做法目的注意事项（1）变形根据绝对值较小的未知数（同一个未知数）的系数的最小公倍数，给方程的两边都乘适当的数.使某一个未知数在两个方程中的系数相等或互为相反数.给某个方程乘一个数时，方程两边的每一项都要和这个数相乘（2）代入两个方程中同一个未知数的系数互为相反数时，将两个方程相加；同一个未知数的系数相等时，将两个方程相减.消去一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程把两个方程相加（减）时，一定要把两个方程两边分别相加（减）.（3）求解解消元后的一元一次方程求出一个未知数的值（4）回代把求得的未知数的值代入方程组中某个较简单的方程求出另一个未知数的值回代时选择系数较简单的方程（5）写解把两个未知数的值用大括号联立起来特别提醒：1.两个方程同一未知数的系数的绝对值相等或成倍数关系时，解方程组应考虑用加减消元法.2.如果同一未知数的系数的绝对值既不相等又不成倍数关系，我们应设法将一个未知数的系数的绝对值转化为相等关系.3.用加减法时，一般选择系数比较简单（同一未知数的系数的绝对值相等或成倍数关系）的未知数作为消元对象.【考点目录】【考点1】代入消元法解二元一次方程组；【考点2】加减消元法解二元一次方程组；【考点3】同解方程组；【考点4】整体思想解二元一次方程组；【考点5】求解二元一次方程组——错题复原问题；【考点6】求解二元一次方程组——参数问题；【考点7】构造二元一次方程组求解。
消元--解二元一次方程组知识点总结(含例题)
消元—解二元一次方程组知识点教案1．代入消元法解二元一次方程组（1）消元思想的概念二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数，这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做__________思想．（2）代入消元法把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法．（3）代人法解二元一次方程组的一般步骤：①变形：从方程组中选一个未知数的系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来．②代入：将变形后的方程代入没变形的方程，得到一个一元一次方程．③解方程：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值．④求值：将求得的未知数的值代入变形后的方程，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解．2．加减消元法解二元一次方程组（1）加减消元法当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称__________．（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①变形：先观察系数特点，将同一个未知数的系数化为相等的数或相反数．②加减：用加减法消去系数互为相反数或系数相等的同一未知数，把二元一次方程组转化为一元一次方程．③解方程：解一元一次方程，求出一个未知数的值．④求值：将求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解．3．整体消元法解二元一次方程组根据方程组中各系数特点，可将方程组中的一个方程或方程的一部分看成一个整体，代入到另一个方程中，从而达到消去其中一个未知数的目的，求得方程组的解．K 知识参考答案：1．消元 2．加减法一、代入法解二元一次方程组①用代入法消元时，由方程组里的一个方程得出的关系式须代入到另一个方程中去，如果代入原方程，就不可能求出原方程组的解了．②方程组中各项系数不全是整数时，应先化简，即应用等式的性质，化分数系数为整数系数．③当求出一个未知数后，把它代入变形后的方程y =ax +b （或x =ay +b ），求出另一个未知数的值比较简单．④要想检验所求得的一对数值是否为原方程组的解，可以将这对数值代入原方程组的每个方程中，若各方程均成立，则这对数值就是原方程组的解，否则说明解题有误．【例1】用代入法解方程组124y x x y =-⎧⎨-=⎩时，代入正确的是 A ．x -2-x =4B ．x -2-2x =4C ．x -2+2x =4D ．x -2+x =4 【答案】C【解析】124y x x y =-⎧⎨-=⎩①②，把①代入②得：x -2（1-x ）=4，整理得：x -2+2x =4．故选C ． 二、加减法解二元一次方程组1．当两个方程中某一个未知数的系数互为相反数时，可将两个方程相加消元；当两个方程中某一个未知数的系数相等时，可将两个方程相减消元．2．当方程组中相同未知数的系数的绝对值既不相等，也没有倍数关系时，则消去系数绝对值较小的未知数较简单，确定要消去这个未知数后，先要找出两方程中该未知数系数的最小公倍数，再把这两个方程中准备消去的未知数的系数化成绝对值相等的数．【例2】用加减法解方程组231328x yx y+=⎧⎨-=⎩时，要使两个方程中同一未知数的系数相等或相反，有以下四种变形的结果：①691648x yx y+=⎧⎨-=⎩；②461968x yx y+=⎧⎨-=⎩；③6936416x yx y+=⎧⎨-+=-⎩；④4629624x yx y+=⎧⎨-=⎩．其中变形正确的是A．①②B．③④C．①③D．②④【答案】B【解析】如果将x的系数化成相反数，则方程组可变形为：6936416x yx y+=⎧⎨-+=-⎩，如果将y的系数化成相反数，则方程组可变形为4629624x yx y+=⎧⎨-=⎩，故选B．。
二元一次方程组解法(二)--加减法(基础)知识讲解
二元一次方程组解法（二）---加减法（基础）知识讲解【学习目标】1．会对一些特殊的方程组进行特殊的求解．2. 掌握加减消元法解二元一次方程组的方法；3. 能熟练、正确、灵活掌握代入法和加减法解二元一次方程组；【要点梳理】要点一、加减消元法解二元一次方程组两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法． 要点诠释：用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤：(1)方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数，又不相等，那么就用适当的数乘方程的两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等；(2)把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；(3)解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；（4)将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用“大括号”联立起来，就是方程组的解．要点二、选择适当的方法解二元一次方程组解二元一次方程组的基本思想（一般思路）是消元，消元的方法有两种：代入消元和加减消元，通过适当练习做到巧妙选择，快速消元．【典型例题】类型一、加减法解二元一次方程组1. 直接加减：已知21x y =⎧⎨=⎩是二元一次方程组21mx ny nx my +=⎧⎨-=⎩的解，则3m n +的值为 ．【思路点拨】方程组利用加减消元法即可确定出3m n +的值．【答案】3．【解析】解：把21x y =⎧⎨=⎩代入21mx ny nx my +=⎧⎨-=⎩，得2 2 2 1 m n n m +=⎧⎨-=⎩①②，①+②得：3=3m n +【总结升华】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．2.先变系数后加减：25214323x y x y -=-⎧⎨+=⎩①②【思路点拨】注意到方程组中x 的系数成2倍关系，可将方程①的两边同乘2，使两个方程中x 的系数相等，然后再相减消元．【答案与解析】解：②－①×2，得13y＝65．解得y＝5．将y＝5代入①，得2x-5×5＝-21，解得x＝2．所以原方程组的解为25 xy=⎧⎨=⎩．【总结升华】如果两个方程中未知数的系数的绝对值不相等，但某一未知数的系数成整数倍，可将一个方程的系数进行变化，使这个未知数的系数的绝对值相等．3.建立新方程组后巧加减：解方程组2511 524x yx y+=⎧⎨+=-⎩①②【思路点拨】注意到两个方程中两个未知数的系数的和相等、差互为相反数，所以可将两个方程分别相加、相减，从而得到一个较简单的二元一次方程组．【答案与解析】解：①+②，得7x+7y＝7，整理得x+y＝1．③②－①，得3x-3y＝-15，整理得x-y＝-5．④解由③、④组成的方程组1,5,x yx y+=⎧⎨-=-⎩得原方程组的解为23.xy=-⎧⎨=⎩【总结升华】解方程组时，我们应根据方程组中未知数的系数的特点，通过将两个方程相加或相减，把原方程组转化为更简单的方程组来解．4.先化简再加减：解方程组0.10.3 1.3123x yx y+=⎧⎪⎨-=⎪⎩①②【思路点拨】方程组中未知数的系数是分数或小数，一般要先化成整数后再消元．【答案与解析】解：①×10，②×6，得313, 326,x yx y+=⎧⎨-=⎩③④③×3-④，得11y＝33，解得y＝3．将y＝3代入③，解得x＝4．所以原方程组的解为4,3. xy=⎧⎨=⎩【总结升华】当二元一次方程组的形式比较复杂时，通常是先通过变形(如去分母、去括号等)，将它化为形式简单的方程组，再消元求解．类型二、用适当方法解二元一次方程组5. （1）323112x yx y-=⎧⎨=-⎩（2）5(1)2(3)2(1)3(3)m nm n-=+⎧⎨+=-⎩【思路点拨】观察方程特点选择方法：（1）代入消元法；（2）先化简再加减或代入消元法．【答案与解析】解：（1）323112x y x y -=⎧⎨=-⎩①②由①得32y x =- ③将③代入②得3112(32)x x =-- 解得：53x =将53x =代入③得3y = ∴原方程组的解为：533x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩．（2）原方程组可化为：52112311m n m n -=⎧⎨-=-⎩①②①+②，得75m n =，即57m n =③ 将③代入①得7n =，代入③得5m =∴原方程组的解为：57m n =⎧⎨=⎩．【总结升华】方程组的解法不唯一，只是有的计算简便，有的繁琐． 举一反三：【变式】用两种方法解方程组【答案】解：法Ⅰ：由（1）：2y=9－x将其整体．．代入（2）：3x －(9－x)=－1 解得x=2∴2y=9－x=7 ∴原方程组的解为：272x y =⎧⎪⎨=⎪⎩ 法Ⅱ：（1）+（2）：4x=8，x=2，代入（1）：2+2y=9，2y=7， 72y =． ∴原方程组的解为：272x y =⎧⎪⎨=⎪⎩．。
二元一次方程组的解法加减消元法(1)
课型：新授课
授课人：李健荣
教学目标：
（一）知识与技能：掌握二元一次方程组未知数的系数互为相反数或相同时的加减消元法；
（二）过程与方法：能够正确运用加减消元法解决特殊的二元一次方程组；
（三）情感、态度与价值观：培养学生的观察能力，思维能力，代数运算能力。
三、适当拓展（10分钟）
例3、
解：由②×3得
③
③—①得
将④代入①得
即
练习3：
1、适当改变例2得到例3，引导学生得出此情况下得解法
1、为后面学习当系数不相同时的解法作铺垫
四、课堂小结（10分钟）
一、回顾本堂课的学习内容
二、复述两种特殊二元一次方程组的解法
三、布置作业
1、
2、
3、
4、
思考题
1、回顾三种特殊情况并提问学生对于不同的题型做题方法
2、让学生观察这两个方程有什么特点
3、引导学生观察两个方程的未知数系数的关系
4、由互为相反数的两个数相加为0联系消元的具体方法
5、适当改变例1，让学生思考当未知数系数相同而不是相反的时候应该如何处理（如果它是例1这种情况就好了！）
1、思考并观察方程组中两个方程的特点（未知数的特点）
2、联系消元思想得出加减消元法
2、布置作业，并留下思考题解题提示
思考，区别三种特殊情况并区别它们的做题思路
3、思考如何把例2改变为例1的情况
4、自行总结归纳特殊二元一次方程组的解法
1、合作型的学习可培养学生的学习主动性
2、让学生观察并自行利用加减消元法可让学生体会成功并主动学习；
3、例题之间的递进关系有助于学生更好的掌握加减消元法
二元一次方程的加减消元法
二元一次方程的加减消元法二元一次方程组是指含有两个未知数的一次方程组，一般形式为：ax + by = c.dx + ey = f.加减消元法是解二元一次方程组的一种常用方法。
它的基本思想是通过加减操作消去一个未知数，从而将方程组化简为只含有一个未知数的方程，然后求解得到另一个未知数的值。
具体步骤如下：1. 将方程组中的两个方程按照形式对齐，确保同类项在一起。
2. 通过加减操作消去一个未知数。
可以通过乘以适当的系数使得两个方程中同类项的系数相等，然后相加或相减消去一个未知数。
3. 化简得到只含有一个未知数的方程。
4. 求解得到一个未知数的值。
5. 将求得的未知数的值代入原方程组中的一个方程，求解得到另一个未知数的值。
举例说明：考虑方程组：2x + 3y = 8。
3x 2y = 1。
首先将两个方程按照形式对齐：2x + 3y = 8。
3x 2y = 1。
然后通过加减操作消去一个未知数：将第一个方程乘以3，第二个方程乘以2，得到：6x + 9y = 24。
6x 4y = 2。
相减得到：13y = 22。
化简得到只含有一个未知数的方程：y = 22/13。
将y的值代入原方程组的第一个方程中，求解得到x的值： 2x + 3 (22/13) = 8。
2x + 66/13 = 8。
2x = 8 66/13。
2x = 34/13。
x = 17/13。
因此，通过加减消元法，可以求得方程组的解x=17/13，y=22/13。
总之，加减消元法是解二元一次方程组的一种有效方法，通过适当的加减操作可以简化方程组，从而求得未知数的值。
二元一次方程组的概念和解法要点精析
二元一次方程组的概念和解法要点精析二元一次方程组是初中代数的重要内容之一，它的应用很广泛.一方面在进一步学习高中数学如平面解析几何时要用它们；另一方面在国防、科技、工、农、商业和生活的实际问题中也要用到它们.同学们必须把它学好，在学习时要注意以下几个问题：一、正确理解四个概念1. 二元一次方程 含有两个未知数，并且未知项的次数是1的方程叫做二元一次方程.如x + y =6.必须注意：同时具备下列三个条件的方程才能叫做二元一次方程.（1）二元一次方程必须是整式方程.即等号两边的代数式必须是整式（单项式，多项式）.如x+ 1y =1, 14x+ 2y = 6都不是二元一次方程，而是分式方程（分母中含有未知数）. （2）二元一次方程中必须含有两个未知数.如2x+3=0含有一个未知数，x+4y+z=5含有三个未知数，因而，它们都不是二元一次方程.（3）二元一次方程中的“一次”指的是含未知数的项的次数，而不是指某个未知数的次数.即未知项的次数必须是“一次”.如xy+3=0就不是二元一次方程，尽管x 、y 的次数都是一次，但单项式xy 的次数为二，所以，它不是二元一次方程，而是二元二次方程. 例1.下列方程中，二元一次方程是（ ）.(A)xy=1 (B)y=3x － 1 (C)x+1y=2 (D)x 2＋y －3=0 （上海市中考题）解析：本题可利用二元一次方程的概念进行检验.显然，方程xy=1,x 2＋y －3=0都不满足“未知项的次数是1的条件”，而方程 x ＋1y =2的左边 x +1y 不是整式.故只有方程y=3x －1符合二元一次方程的概念.选(B).例2.若220a b a b x y -+--=是二元一次方程，那么a 、b 的值分别是（ ）.(A)1,0 (B)0,－1 (C) (D)2,－3（陕西省中考题）解析：根据二元一次方程的意义，即含未知数的项的次数是1，得12 1.a b a b -=⎧⎨+-=⎩， 即 13.a b a b -=⎧⎨+=⎩， 解得21.a b =⎧⎨=⎩，故选(C). 2. 二元一次方程的解 能使二元一次方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做二元一次方程的解.如11.x y =⎧⎨=⎩， 能使方程x+y=2的左右两边的值相等，所以11.x y =⎧⎨=⎩，就叫做方程x+y=2的一个解.但是，能使该方程的左右两边的值相等的未知数的值有无数对，如20.xy=⎧⎨=⎩，31.xy=⎧⎨=-⎩，……所以，任何一个二元一次方程都有无数个解.例3.二元一次方程x －2y=1有______个解.（上海市中考题）解：无数.例4.已知12.xy=⎧⎨=⎩，是方程ax－3y=5的一个解，则a=___.（苏州市中考题）解析：根据二元一次方程的解的意义，将12.xy=⎧⎨=⎩，代入方程，解关于a的一元一次方程.得a=11.3. 二元一次方程组两个含有相同未知数的二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.二元一次方程组必须具备以下三个条件：（1）有两个或两个以上的整式方程组成，常用“{”把这些方程联合在一起.（2）方程组中含有两个不同未知数，且方程组中，同一未知数代表同一数量.（3）方程组中每个方程经过整理后，都是一次方程.但要注意：二元一次方程组里一共含有两个未知数，而不是一定要每个方程都含有两个未知数.例如，211.x yy+=⎧⎨=⎩，也是二元一次方程组.同样，方程组21062.x yx yy x+=⎧⎪+=⎨⎪-=⎩，，，虽然是由三个二元一次方程组成，但整个方程组中只有两个未知数，所以它仍然是二元一次方程组,而方程组3050.x zx y+=⎧⎨+=⎩，中，虽然，每个方程中都只含有两个未知数，但整个方程组中却有三个未知数，因此它不是二元一次方程组，而是三元一次方程组.4. 二元一次方程组的解使二元一次方程组的两个方程的左、右两边的值都相等的两个未知数的值，即方程组中各个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.如12.xy=-⎧⎨=⎩，是方程组31.y xx y-=⎧⎨+=⎩，的一个解（其实是一对数），但不能叫两个解.要注意：解方程组时，原方程组中每个方程都至少要用到一次.方程组的解满足方程组中的每个方程，反之，方程组中任何一个方程的解不一定是方程组的解.例5.已知12xy=⎧⎨=⎩是方程组120.ax yx by+=-⎧⎨-=⎩，的解，则a+b=( ).(A)2 (B)-2 (C)4 (D) - 4（浙江省绍兴市中考题）解析：根据二元一次方程组的解的概念.12xy=⎧⎨=⎩满足方程组120.ax yx by+=-⎧⎨-=⎩，于是代入得21,220.ab+=-⎧⎨-=⎩解得3,1ab=-⎧⎨=⎩所以a+b=-3+1=－2.故选(B).二、注意领会一个思想有一位著名数学家曾经指出：“解题就是把习题归结为已经解过的问题”.由此可知，解数学题时，要自觉地把题目变型转化，归结为“已经解过的问题”来处理，这种关于解题的思想称为“化归”，它体现了“在一定条件下，不同的事物可以互相转化”的唯物辨证观点，是解数学题的一盏指路名灯.在本章内容中，蕴涵的一个重要化归思想就是“消元”.即把“三元”通过消去一个未知数转化为“二元”，“二元”再通过消去一个未知数转化为“一元”.转化为一元一次方程就会解了，化“未知”为“已知”，化“复杂”为“简单”，充满了辨证思维，希望同学们好好领会.三、熟练掌握两种方法代入消元法和加减消元法是二元一次方程组的常规解法.1.代入消元法的主要步骤；（1）求表达式从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数，例如y,用含另一个未知数(x)的代数式表示出来，写成y=ax+b的形式；（2）代入消元将表达式y=ax+b代入另一个方程中，消去y,得到一个关于x一元一次方程；（3）解方程解这个一元一次方程，求出x的值；（4）回代得解把求得的x的值代入y=ax+b中，求出y的值，从而得到方程组的解.2.加减消元法的主要步骤：（1）变换系数方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数又不相等，就用适当的数去乘方程的两边，使一个未知数的系数互为相反数或相等；（2）加减消元把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；（3）解方程解这个一元一次方程；（4）回代得解将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数，从而得到方程组的解.在解方程组时，应根据题中的系数构成情况灵活选用两种方法，一般说来：①当方程组中有一个方程的某一个未知数的系数绝对值是1；②当方程组中有一个方程的常数项是0，此时用代入法较简捷.又，①当方程组中两个方程的某一个未知数的系数绝对值相等；②当方程组中两个方程的某一个未知数的系数成整数倍，此时用加减法较简捷.。
7.2.3 二元一次方程组的解法
｛
思 考:
从上面的解答过程中，你发现了二元一 次方程组的新解法吗？
通过将两个方程相加（或相减）消去 一个未知数，将方程组转化为一元一 次方程来解的.这种解法叫做加减消元 法,简称加减法.
你来说说：
利用加减消元法解方程组时,在方程组的两 个方程中: (1)某个未知数的系数互为相反数，则可以直接 把这两个方程中的两边分别相加。 消去这个未知数; (2)如果某个未知数系数相等，则可以直接 把这两个方程中的两边分别相减, 消去这个未知数
例4、解方程组
3x + 7y = 9 ①
4x - 7y = 5 ②
解： 把 ① + ②，得
7x = 代入 ① ，得
6 + 7y = 9
7
解得 y = 3
x = 2
所以 y =
3 7
初步尝试：
解下列方程组： 1. 5 x y 7 , 2.
3 x y 1 .
课前热身：
练习1:已知x+y=7,用含x的代数式表示y,则y=_____ ;
用含y的代数式表示x,则x=__________ .
练习2：用代入消元法解方程组
｛
X+y=7 ① 2x-y=2 ②
解二元一次方程组的基本思想 —— （ 消 元 ）
大家想一想:除了用代入法之外, 还有没有其他的方法来消元呢?
(2)
x2 y 1
7 x 2 y2
(3)
(4)
补例解方程组{
2（2x+1）=6-5y 3（y+1）=3-4x
解原方程组变形为
{ 4x+3y=0
4x+5y=4
①
②
二元一次方程组的解法——加减法
3.(江苏南京）解方程组
【补充思考】
五、感悟
通过本节课的学习,你认为加减法解二元一次方程组该注意哪些问题?还有哪些困惑?
【补充思考】
六、检测
1.已知 那么 的值是________.
2.关于x、y的二元一次方程组 的解为_________.
3.若二元一次方程 , 和 有公共解,求m的值.
学习课题:二元一次方程组的解法——加减法
学习目标:会用加减消元解二元一次方程组.
重点难点:会用加减消元解二元一次方程组.
学习策略指导:
加减消元法是通过加减将“二元”变为“一元”,体现了“转化”的思想方法.对于一般形式的二元一次方程组用加减法求解关键是选择消什么元,恰当选取往往会使计算简单,而且不易出错,选取的原则是:两个方程中同一个未知数的系数相反或相等，把这两个方程的两边分别相加或相减,消去这个未知数;若两个方程中没有同一个未知数的系数相反或相等，则要对方程变形，使得这两个方程中某个未知数的系数相反或相等.
另外,由①－②也能消去未知数y,得 ,即 ,得 ,把 代入①得 .所以原方程组的解是
现在你用刚才的方法求出x、y的值.(注意书写格式,参照以上解法思考下面的题目)
如何根据具体题目选择方法消去哪一个未知数?
你发现这两个方程组的方法有什么不同?消元时消哪个未知数比较方便?加法与减法哪个更简单?其中有什么规律?对你以后解方程组有什么帮助?
归纳:当二元一次方程组的两个二元一次方程中,同一个未知数的系数_______或______时,把这两个方程的两边分别_______或________,就能________这个未知数,得到一个____________方程,这种方法叫做________________,简称_________.
二元一次方程组加减消元法步骤
二元一次方程组加减消元法步骤
宝子，今天咱来唠唠二元一次方程组的加减消元法步骤哈。
二元一次方程组呢，就是有两个方程，每个方程里都有两个未知数，像这样的：ax + by = c dx + ey = f。
那加减消元法是咋做的呢？咱就想办法把这两个方程里的一个未知数给消掉。
比如说，要是想消掉x这个未知数呢。
咱得先看看x前面的系数哈。
如果这两个方程里x前面的系数一个是3，一个是5，咱就想办法让这两个系数变得一样或者是互为相反数。
咋弄呢？可以给第一个方程两边都乘以5，给第二个方程两边都乘以3，这样两个方程里x的系数就都变成15啦。
然后呢，这两个新的方程相减或者相加。
要是系数一样就相减，要是互为相反数就相加。
这么一弄，x就被咱消掉了，就只剩下y这个未知数了，这时候就变成了一个一元一次方程，解这个一元一次方程就能求出y的值啦。
求出y的值以后呢，咱再把y的值代到原来的二元一次方程组里的随便一个方程里。
比如说代到第一个方程ax + by = c里，这样就只有x是未知数了，再解这个方程就能求出x的值了。
宝子，你看，加减消元法是不是还挺好玩的呀？就像玩一个消消乐的游戏，把一个未知数给消掉，然后再一个一个地把答案找出来。
你要是在做这种题的时候呢，要仔细看系数哦，这可是关键的一步呢。
只要把系数弄好了，后面就顺风顺水啦。
加油呀，宝子，二元一次方程组可难不倒咱呢。
。
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②
分析方程组中含未知数y的系数的绝对值相等，所以确定消去未知数y。
解①+②，得 11x=22
点拨：两方程相加减时，方程两边都要同时相加减，不能只顾方程的左边而忘了右边。
X=2
把x=2代入②，得16+2y=17 y=1/2
点拨：回代，可以代入方程组中的任何一个方程，但尽量选择未知数的系数是正数的方程。
例3解方程组①
②
分析方程组中两个方程的含相同未知数的系数既没有绝对值相等，也没有成倍数关系，这就需要将方程变形，化“陌生为熟悉”，使之能通过加或减达到消元的目的。第一，确定消元对象，是消去x，还是消去y.第二，取消元对象的系数的最小公倍数，将方程组变形。
解法一:①×3,②×5,得 ③
④
点拨：确定消去x，未知数x的系数5、3的最小公倍数是15，所以将方程组变形：①×3,②×5，使得方程组含未知数x的系数绝对值相等。
所以
点拨：二元一次方程组的解是一对数。
例2解方程组①
②
分析方程组中含未知数y的系数6与-2成倍数关系，可确定消去未知数y.
解②×3，得 9x-6y=-1.2 ③
点拨：通过将方程②变形，使含未知数y的系数的绝对值相等。
由①+③，得14x=14
X=1
把x=1代入②，得3×1-2y=-0.4
y=1.7
所以
③-④，得-21y-（-20y）=-6-5 -y=-11
y=11
将y=11代入②，得3x-4×11=1
3x=45即x=15
所以
解法二：①×4,②×7,得 ③
④
点拨：确定消去y，未知数y的系数-7、-4的最小公倍数是28，所以将方程组变形：①×4,②×7，使得方程组含未知数y的系数绝对值相等.
④-③，得x=15
加减消元法解二元一次方程组的解题要点
王尊丰
通过将两个方程相加（或相减）消去一个未知数，将方程组转化为一个一元一次方程来解的方法叫做加减消元法，简称加减法。其解题要点是：1.审题——认真审题，注意观察方程组中各方程的同一未知数的系数的特点；（1）同一未知数的系数的绝对值相等；（2）同一未知数的系数成倍数关系；(3)没具备上面两点的特征。2.决策——既运用消元的基本思路去指导选择消元的对象；能抓住题目的特征，认真的进行具体分析，确定消元目标。3、熟练通过方程变形，选择加法或减法消去一个未知数。
将x=15代入②，得关键是把方程组中的一个方程或两个方程分别乘以一个适当的数，使某一个未知数的系数的绝对值相等，通过相加或相减消去一个未知数，把“二元”转化为“一元”。怎样达到简便，应根据方程组的特点灵活选定消元目标。