八年级北师大版数学一次函数综合类问题四大类

一次函数与几何综合（讲义）

一、知识点睛

1. 一次函数表达式：y =kx +b （k ，b 为常数，k ≠0）

①k 是斜率，表示倾斜程度，可以用几何中的坡度（或坡比）来解释．坡面的竖直高度与水平宽度的比叫坡度或坡比，如图所示，AM 即为竖直高度，BM 即为水平宽度，则

=

AM k BM

，②b 是截距，表示直线与y 轴交点的纵坐标．

2. 设直线l 1：y 1=k 1x +b 1，直线l 2：y 2=k 2x +b 2，其中k 1，k 2≠0．

①若k 1=k 2，且b 1≠b 2，则直线l 1∥l 2； ②若k 1·k 2=-1，则直线l 1⊥l 2． 3. 一次函数与几何综合解题思路

从关键点出发，关键点是信息汇聚点，通常是函数图象与几何图形的交点．通过点的坐标和横平竖直的线段长的互相转化将函数特征与几何特征结合起来进行研究，最后利用函数特征或几何特征解决问题．

二、精讲精练

1. 如图，点B ，C 分别在直线y =2x 和y =kx 上，点A ，D 是x 轴上的两点，已知四边形

ABCD 是正方形，则k 的值为______．

y=kx

y=2x

A C B

D O

x

y

A O C

D E

B l 1

l 2

x y

D

y x O B

C A

第1题图 第2题图 第3题图

2. 如图，直线l 1交x 轴、y 轴于A ，B 两点，OA =m ，OB =n ，将△AOB 绕点O 逆时针旋转

90°得到△COD ．CD 所在直线l 2与直线l 1交于点E ，则l 1____l 2；若直线l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，则k 1·k 2=_______．

3. 如图，直线4

83

y x =-+交x 轴、y 轴于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点C ，

交AB 于点D ，则点C 的坐标为____________．

M

A

B

4. 如图，在平面直角坐标系中，函数y =x 的图象l 是第一、三象限的角平分线．

探索：若点A 的坐标为(3，1)，则它关于直线l 的对称点A'的坐标为____________； 猜想：若坐标平面内任一点P 的坐标为(m ，n )，则它关于直线l 的对称点P ′的坐标为____________；

应用：已知两点B (-2，-5)，C (-1，-3)，试在直线l 上确定一点Q ，使点Q 到B ，C 两点的距离之和最小，则此时点Q 的坐标为____________．

l A'

A

y

O

x

5. 如图，已知直线l ：3

33

y x =-

+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，将△AOB 沿直线l 折叠，点O 落在点C 处，则直线CA 的表达式为__________________．

l A

C

B O

x

y

F

E A C

B

D

(O )x

y Q

P A

C

B

D

O

x

y

第5题图 第6题图 第7题图

6. 如图，四边形ABCD 是一张矩形纸片，E 是AB 上的一点，且BE :EA =5:3，EC =155，

把△BCE 沿折痕EC 向上翻折，点B 恰好落在AD 边上的点F 处．若以点A 为原点，以直线AD 为x 轴，以直线BA 为y 轴建立平面直角坐标系，则直线FC 的表达式为__________________．

7. 如图，矩形ABCD 的边AB 在x 轴上，AB 的中点与原点O 重合，AB =2，AD =1，过定

点Q (0，2)和动点P (a ，0)的直线与矩形ABCD 的边有公共点． （1）a 的取值范围是________________；

（2）若设直线PQ 为y =kx +2（k ≠0），则此时k 的取值范 围是________________．

8. 如图，已知正方形ABCD 的顶点A (1，1)，B (3，1)，直线y =2x +b 交边AB 于点E ，交边

CD 于点F ，则直线y =2x +b 在y 轴上的截距b 的变化范围是____________．

1234y=2x+b 4

321b

E

F A C

B

D

O x

y l 2l 1

(G )

E

F A C

B D

O x

y

第8题图 第9题图

9. 如图，已知直线l 1：28

33

y x =

+与直线l 2：y =-2x +16相交于点C ，直线l 1，l 2分别交x 轴于A ，B 两点，矩形DEFG 的顶点D ，E 分别在l 1，l 2上，顶点F ，G 都在x 轴上，

且点G 与点B 重合，那么S 矩形DEFG :S △ABC =_________． 10. 如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为A (4，0)，

B (0，-4)，P 为y 轴上B 点下方一点，PB =m （m >0），以点P 为直角顶点，AP 为腰在第四象限内作等腰Rt △APM ． （1）求直线AB 的解析式；

（2）用含m 的代数式表示点M 的坐标；

（3）若直线MB 与x 轴交于点Q ，求点Q 的坐标．

Q

P

M

B

x

A

O y