上海八年级上学期期末数学试卷

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沪教版八年级上册数学期末测试卷2套详细答案

第一套八年级上册数学期末测试卷2套详细答案一、选择：（本题共6题，每题3分，满分18分）1．已知最简二次根式与是同类二次根式，则x的值是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．22．下面的代数式中，其中 +1的一个有理化因式是（）A．B． C． +1 D．﹣13．如关于x的方程ax2﹣3x+2=0是一元二次方程，则a的取值范围是（）A．a＞0 B．a≥0 C．a=1 D．a≠04．下面说法正确的是（）A．一个人的体重与他的年龄成正比例关系B．正方形的面积和它的边长成正比例关系C．车辆所行驶的路程S一定时，车轮的半径r和车轮旋转的周数m成反比例关系D．水管每分钟流出的水量Q一定时，流出的总水量y和放水的时间x成反比例关系5．下列条件中不能判定两个直角三角形全等的是（）A．两个锐角分别对应相等B．两条直角边分别对应相等C．一条直角边和斜边分别对应相等D．一个锐角和一条斜边分别对应相等6．如图所示，已知△ABC中，∠ACB=90°，CH、CM分别是斜边AB上的高和中线，则下列结论正确的是（）A．CM=BC B．CB=AB C．∠ACM=30° D．CH•AB=AC•BC二、填空题（本题共12小题，每小题2分，满分24分）[在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案]7．计算： = ．8．计算： = ．9．如关于x的一元二次方程x2+4x﹣m=0没有实数根，那么m的取值范围是．10．在实数范围内分解因式x2﹣4x﹣1= ．11．函数的定义域是．12．如正比例函数y=（k﹣3）x的图象经过第一、三象限，那么k的取值范围是．13．命题“全等三角形的周长相等”的逆命题是．14．经过已知点A和点B的圆的圆心的轨迹是．15．已知直角坐标平面内两点A（﹣3，1）和B（1，2），那么A、B两点间的距离等于．16．如在四边形ABCD中，∠B=60°，AB=BC=13，AD=12，DC=5，那么∠ADC= ．17．边长为5的等边三角形的面积是．18．已知在△AOB中，∠B=90°，AB=OB，点O的坐标为（0，0），点A的坐标为（0，4），点B在第一象限内，将这个三角形绕原点O逆时针旋转75°后，那么旋转后点B的坐标为．三、解答题（本大题共8题，满分58分）19．计算：．20．解方程：（x﹣）2+4x=0．21．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+（m﹣2）2=0有一个根为0，求这个方程根的判别式的值．22．如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，AB=10cm，点D 在边AC上，且点D到边AB和边BC的距离相等．（1）作图：在AC上求作点D；（保留作图痕迹，不写作法）（2）求CD的长．23．如图所示，在直角坐标系xOy中，反比例函数图象与直线y=x相交于横坐标为2的点A．（1）求反比例函数的解析式；（2）如点B在直线y=x上，点C在反比例函数图象上，BC∥x 轴，BC=3，且BC在点A上方，求点B的坐标．24．如图示，已知在△ABC中，∠ABC=90°，点E是AC的中点，联结BE，过点C作CD∥BE，且∠ADC=90°，在DC取点F，使DF=BE，分别联结BD、EF．（1）求证：DE=BE；（2）求证：EF垂直平分BD．25．为改善奉贤交通状况，使奉贤区融入上海1小时交通圈内，上海轨交5号线南延伸工程于2014年启动，并将于2017年年底通车．（1）某施工队负责地铁沿线的修路工程，原计划每周修2000米，但由于设备故障第一周少修了20%，从第二周起工程队增加工人和设备，加快了速度，第三周修了2704米，求该工程队第二周、第三周平均每周的增长率．（2）轨交五号线从西渡站到南桥新城站，行驶过程中的路程y （千米）与时间x（分钟）之间的函数图象如图所示．请根据图象解决下列问题：①求y关于x的函数关系式并写出定义域；②轨交五号线从西渡站到南桥新城站沿途经过奉浦站，如果它从西渡站到奉浦站的路程是4千米，那么轨交五号线从西渡站到奉浦站需要多少时间？26．如图示，已知△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=2，点P是边AB上的一个动点，以点P为圆心，PB的长为半径画弧，交射线BC于点D，射线PD交射线AC于点E．（1）当点D与点C重合时，求PB的长；（2）当点E在AC的延长线上时，设PB=x，CE=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（3）当△PAD是直角三角形时，求PB的长．第一套：八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题3分，满分18分）1．如果最简二次根式与是同类二次根式，那么x的值是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【考点】同类二次根式．【分析】根据题意，它们的被开方数相同，列出方程求解即可．【解答】解：由最简二次根式与是同类二次根式，得x+2=3x，解得x=1．故选：C．2．下列代数式中， +1的一个有理化因式是（）A．B． C． +1 D．﹣1【考点】分母有理化．【分析】根据有理化因式的定义进行求解即可．两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式．【解答】解：∵由平方差公式，（）（）=x﹣1，∴的有理化因式是，故选D．3．如果关于x的方程ax2﹣3x+2=0是一元二次方程，那么a取值范围是（）A．a＞0 B．a≥0 C．a=1 D．a≠0【考点】一元二次方程的定义．【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．【解答】解：依题意得：a≠0．故选：D．4．下面说法正确的是（）A．一个人的体重与他的年龄成正比例关系B．正方形的面积和它的边长成正比例关系C．车辆所行驶的路程S一定时，车轮的半径r和车轮旋转的周数m成反比例关系D．水管每分钟流出的水量Q一定时，流出的总水量y和放水的时间x成反比例关系【考点】反比例函数的定义；正比例函数的定义．【分析】分别利用反比例函数、正比例函数以及二次函数关系分别分析得出答案．【解答】解：A、一个人的体重与他的年龄成正比例关系，错误；B、正方形的面积和它的边长是二次函数关系，故此选项错误；C、车辆所行驶的路程S一定时，车轮的半径r和车轮旋转的周数m成反比例关系，正确；D、水管每分钟流出的水量Q一定时，流出的总水量y和放水的时间x成正比例关系，故此选项错误；故选：C．5．下列条件中不能判定两个直角三角形全等的是（）A．两个锐角分别对应相等B．两条直角边分别对应相等C．一条直角边和斜边分别对应相等D．一个锐角和一条斜边分别对应相等【考点】直角三角形全等的判定．【分析】根据三角形全等的判定对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、两个锐角对应相等，不能说明两三角形能够完全重合，符合题意；B、可以利用边角边判定两三角形全等，不符合题意；C、可以利用边角边或HL判定两三角形全等，不符合题意；D、可以利用角角边判定两三角形全等，不符合题意．故选：A．6．如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，CH、CM分别是斜边AB上的高和中线，则下列结论正确的是（）A．CM=BC B．CB=AB C．∠ACM=30° D．CH•AB=AC•BC【考点】三角形的角平分线、中线和高．【分析】由△ABC中，∠ACB=90°，利用勾股定理即可求得AB2=AC2+BC2；由△ABC中，∠ACB=90°，CH是高，易证得△ACH ∽△CHB，然后由相似三角形的对应边成比例，证得CH2=AH•HB；由△ABC中，∠ACB=90°，CM是斜边AB上中线，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可得CM=AB．【解答】解：△ABC中，∠ACB=90°，CM分别是斜边AB上的中线，可得：CM=AM=MB，但不能得出CM=BC，故A错误；根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可得CM=AB，但不能得出CB=AB，故B错误；△ABC中，∠ACB=90°，CH、CM分别是斜边AB上的高和中线，无法得出∠ACM=30°，故C错误；由△ABC中，∠ACB=90°，利用勾股定理即可求得AB2=AC2+BC2；由△ABC中，∠ACB=90°，CH是高，易证得△ACH∽△CHB，根据相似三角形的对应边成比例得出CH•AB=AC•BC，故D正确；故选D二、填空题（本题共12小题，每小题2分，满分24分）[在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案]7．计算： = 2．【考点】算术平方根．【分析】根据算术平方根的性质进行化简，即=|a|．【解答】解： ==2．故答案为2．8．计算： = 2a ．【考点】二次根式的加减法．【分析】先化简二次根式，再作加法计算．【解答】解：原式=a+a=2a，故答案为：2a．9．如果关于x的一元二次方程x2+4x﹣m=0没有实数根，那么m 的取值范围是m＜﹣4 ．【考点】根的判别式．【分析】根据关于x的一元二次方程x2+4x﹣m=0没有实数根，得出△=16﹣4（﹣m）＜0，从而求出m的取值范围．【解答】解：∵一元二次方程x2+4x﹣m=0没有实数根，∴△=16﹣4（﹣m）＜0，∴m＜﹣4，故答案为m＜﹣4．10．在实数范围内分解因式x2﹣4x﹣1= （x﹣2+）（x﹣2﹣）．【考点】实数范围内分解因式．【分析】根据完全平方公式配方，然后再把5写成（）2利用平方差公式继续分解因式．【解答】解：原式=x2﹣4x+4﹣5=（x﹣2）2﹣5=（x﹣2+）（x﹣2﹣）．故答案为：（x﹣2+）（x﹣2﹣）．11．函数的定义域是x＞﹣2 ．【考点】函数自变量的取值范围．【分析】根据当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零，求解即可．【解答】解：由题意得：＞0，即：x+2＞0，解得：x＞﹣2．故答案为：x＞﹣2．12．如正比例函数y=（k﹣3）x的图象经过第一、三象限，那么k的取值范围是k＞3 ．【考点】正比例函数的性质．【分析】根据正比例函数y=（k﹣3）x的图象经过第一、三象限得出k的取值范围即可．【解答】解：因为正比例函数y=（k﹣3）x的图象经过第一、三象限，所以k﹣3＞0，解得：k＞3，故答案为：k＞3．13．命题“全等三角形的周长相等”的逆命题是周长相等的三角形是全等三角形．【考点】命题与定理．【分析】交换原命题的题设和结论即可得到原命题的逆命题．【解答】解：命题“全等三角形的周长相等”的逆命题是周长相等的三角形是全等三角形，故答案为：周长相等的三角形是全等三角形、14．经过已知点A和点B的圆的圆心的轨迹是线段AB的垂直平分线．【考点】轨迹．【分析】要求作经过已知点A和点B的圆的圆心，则圆心应满足到点A和点B的距离相等，从而根据线段的垂直平分线性质即可求解．【解答】解：据同圆的半径相等，则圆心应满足到点A和点B的距离相等，即经过已知点A和点B的圆的圆心的轨迹是线段AB 的垂直平分线．故答案为线段AB的垂直平分线．15．已知直角坐标平面内两点A（﹣3，1）和B（1，2），那么A、B两点间的距离等于．【考点】两点间的距离公式．【分析】根据两点间的距离公式，可以得到问题的答案．【解答】解：∵直角坐标平面内两点A（﹣3，1）和B（1，2），∴A、B两点间的距离为： =．故答案为．16．如在四边形ABCD中，∠B=60°，AB=BC=13，AD=12，DC=5，那么∠ADC= 90°．【考点】勾股定理的逆定理；等边三角形的判定与性质．【分析】根据等边三角形的判定得出△ABC是等边三角形，求出AC=13，根据勾股定理的逆定理推出即可．【解答】解：连接AC，∵∠B=60°，AB=BC=13，∴△ABC是等边三角形，∴AC=13，∵AD=12，CD=5，∴AD2+CD2=AC2，∴∠AC=90°，故答案为：90°．17．边长为5的等边三角形的面积是．【考点】等边三角形的性质．【分析】根据等边三角形三线合一的性质可以求得高线AD的长度，根据三角形的面积公式即可得出结果．【解答】解：如图所示：作AD⊥BC于D，∵△ABC是等边三角形，∴D为BC的中点，BD=DC=，在Rt△ABD中，AB=5，BD=，∴AD===，∴等边△ABC的面积=BC•AD=×5×=．故答案为：．18．已知在△AOB中，∠B=90°，AB=OB，点O的坐标为（0，0），点A的坐标为（0，4），点B在第一象限内，将这个三角形绕原点O逆时针旋转75°后，那么旋转后点B的坐标为（，）．【考点】坐标与图形变化-旋转；解直角三角形．【分析】易得△AOB的等腰直角三角形，那么OB的长为2，绕原点O逆时针旋转75°后，那么点B与y轴正半轴组成30°的角，利用相应的三角函数可求得旋转后点B的坐标．【解答】解：∵∠B=90°，AB=OB，点O的坐标为（0，0），点A 的坐标为（0，4），∴OA=4．∴OB=2，∵将这个三角形绕原点O逆时针旋转75°，∴点B与y轴正半轴组成30°的角，点B的横坐标为﹣，纵坐标为．∴旋转后点B的坐标为（，）．三、解答题（本大题共8题，满分58分）[将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上]19．计算：．【考点】二次根式的加减法．【分析】根据二次根式的加减法，即可解答．【解答】解：由题意，得 m＞0原式==20．解方程：（x﹣）2+4x=0．【考点】二次根式的混合运算．【分析】利用完全平方公式把原方程变形，根据二次根式的加减法法则整理，解方程即可．【解答】解：，，，，所以原方程的解是：．21．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+（m﹣2）2=0有一个根为0，求这个方程根的判别式的值．【考点】整式的加减—化简求值．【分析】首先根据x的一元二次方程x2+（2m+1）x+（m﹣2）2=0有一个根为0，可得（m﹣2）2=0，据此求出m的值是多少；然后根据△=b2﹣4ac，求出这个方程根的判别式的值是多少即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+（m﹣2）2=0有一个根为0，∴（m﹣2）2=0，解得m=2，∴原方程是x2+5x=0，∴△=b2﹣4ac=52﹣4×1×0=25∴这个方程根的判别式的值是25．22．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，AB=10cm，点D在边AC上，且点D到边AB和边BC的距离相等．（1）作图：在AC上求作点D；（保留作图痕迹，不写作法）（2）求CD的长．【考点】作图—基本作图；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．【分析】（1）直接利用角平分线的做法得出符合题意的图形；（2）直接利用角平分线的性质结合全等三角形的判定与性质得出BC=BE，进而得出DC的长．【解答】解：（1）如图所示：（2）过点D作DE⊥AB，垂足为点E，∵点D到边AB和边BC的距离相等，∴BD平分∠ABC．（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）∵∠C=90°，DE⊥AB，∴DC=DE．（角平分线上的点到角的两边的距离相等）在Rt△CBD和Rt△EBD中，∴Rt△CBD≌Rt△EBD（HL），∴BC=BE．∵在△ABC中，∠C=90°，∴AB2=BC2+AC2．（勾股定理）∵AC=6cm，AB=10cm，∴BC=8cm．∴AE=10﹣8=2cm．设DC=DE=x，∵AC=6cm，∴AD=6﹣x．∵在△ADE中，∠AED=90°，∴AD2=AE2+DE2．（勾股定理）∴（6﹣x）2=22+x2．解得：．即CD的长是．23．如图所示，在直角坐标系xOy中，反比例函数图象与直线y=x相交于横坐标为2的点A．（1）求反比例函数的解析式；（2）如点B在直线y=x上，点C在反比例函数图象上，BC∥x 轴，BC=3，且BC在点A上方，求点B的坐标．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】（1）把x=2代入y=x 得出点A 坐标，从而求得反比例函数的解析式；（2）设点C （，m ），根据BC ∥x 轴，得点B （2m ，m ），再由BC=3，列出方程求得m ，检验得出答案．【解答】解：（1）设反比例函数的解析式为y=（k ≠0），∵横坐标为2的点A 在直线y=x 上，∴点A 的坐标为（2，1）， ∴1=，∴k=2，∴反比例函数的解析式为；（2）设点C （，m ），则点B （2m ，m ），∴BC=2m ﹣=3，∴2m 2﹣3m ﹣2=0，∴m 1=2，m 2=﹣，m 1=2，m 2=﹣都是方程的解，但m=﹣不符合题意，∴点B 的坐标为（4，2）．24．如图，已知在△ABC中，∠ABC=90°，点E是AC的中点，联结BE，过点C作CD∥BE，且∠ADC=90°，在DC取点F，使DF=BE，分别联结BD、EF．（1）求证：DE=BE；（2）求证：EF垂直平分BD．【考点】直角三角形斜边上的中线；线段垂直平分线的性质．【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线的性质求出BE=DE，根据等腰三角形性质求出即可；（2）证出DE=DF，得出∠DEF=∠DFE，证出∠BEF=∠DEF，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵∠ABC=90°，∠ADC=90°，点E是AC的中点，∴，．（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）∴BE=DE．（2）证明：∵CD∥BE，∴∠BEF=∠DFE．∵DF=BE，BE=DE，∴DE=DF．∴∠DEF=∠DFE．∴∠BEF=∠DEF．∴EF垂直平分BD．（等腰三角形三线合一）25．为改善奉贤交通状况，使奉贤区融入上海1小时交通圈内，上海轨交5号线南延伸工程于2014年启动，并将于2017年年底通车．（1）某施工队负责地铁沿线的修路工程，原计划每周修2000米，但由于设备故障第一周少修了20%，从第二周起工程队增加工人和设备，加快了速度，第三周修了2704米，求该工程队第二周、第三周平均每周的增长率．（2）轨交五号线从西渡站到南桥新城站，行驶过程中的路程y （千米）与时间x（分钟）之间的函数图象如图所示．请根据图象解决下列问题：①求y关于x的函数关系式并写出定义域；②轨交五号线从西渡站到南桥新城站沿途经过奉浦站，如果它从西渡站到奉浦站的路程是4千米，那么轨交五号线从西渡站到奉浦站需要多少时间？【考点】一元二次方程的应用；一次函数的应用．【分析】（1）首先表示出第一周修的长度，进而利用结合求第二周、第三周平均每周的增长率，得出等式求出答案；（2）①直接利用待定系数法求出函数解析式，再利用图形得出x 的取值范围；②当y=4代入函数解析式进而求出答案．【解答】解：（1）设该工程队第二周、第三周平均每周的增长率为x ，由题意，得 2000（1﹣20%）（1+x ）2=2704．整理，得（1+x ）2=1.69．解得 x 1=0.3，x 2=﹣2.3．（不合题意，舍去）答：该工程队第二周、第三周平均每周的增长率是30%．（2）①由题意可知y 关于x 的函数关系式是y=kx （k ≠0），由图象经过点（10，12）得：12=10k ，解得：k=．∴y 关于x 的函数关系是：y=x （0≤x ≤10）；②由题意可知y=4，∴，解得：x=，答：五号线从西渡站到奉浦站需要分钟．26．如图所示，已知△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=2，点P是边AB上的一个动点，以点P为圆心，PB的长为半径画弧，交射线BC于点D，射线PD交射线AC于点E．（1）当点D与点C重合时，求PB的长；（2）当点E在AC的延长线上时，设PB=x，CE=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（3）当△PAD是直角三角形时，求PB的长．【考点】三角形综合题．【分析】（1）根据直角三角形的性质得到AC=AB，根据等腰三角形的性质得到∠PCB=∠B=30°，根据等边三角形的性质即可得到结论；（2）由等腰三角形的性质得到∠PDB=∠B=30°，求得AE=AP，即可得到结论；（3）①如图2所示，当点E在AC的延长线上时，求得∠PDA=90°，根据直角三角形的性质得到PD=AP，解方程得到x=；②如图3，当点E在AC边上时，根据直角三角形的性质得到AP=PD．解方程得到x=．【解答】解：（1）如图1所示，∵在△ABC 中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，∴AC=AB，∵AC=2，∴AB=4，∵以点P为圆心，PB的长为半径画弧，交射线BC于点D，点D 与点C重合，∴PD=PB，∴∠PCB=∠B=30°，∴∠APC=∠ACD=60°，∴AP=AC=2，∴BP=2；（2）∵PD=PB，∠ABC=30°，∴∠PDB=∠B=30°，∴∠APE=60°，∠CDE=30°，∵∠ACD=90°，∴∠AEP=60°，∴AE=AP，∵PB=x，CE=y，∴2+y=4﹣x，y=2﹣x．（0＜x＜2）；（3）①如图2，当点E在AC的延长线上时，连接AD，∵△PAD是直角三角形，∠APD=60°，∠PAD＜60°，∴∠PDA=90°，∴∠PAD=30°．∴PD=AP，即x=（4﹣x），∴x=；②如图3，当点E在AC边上时，连接AD∵△PAD是直角三角形，∠APD=60°，∠ADP＜60°，∴∠PAD=90°，∴∠PDA=30°．∴AP=PD．即4﹣x=x，∴x=．综上所述：当PB的长是或时，△PAD是直角三角形．第二套：八年级上册培优数学试题时间：120分钟满分150分一、选择（共10小题，每小题4分，共40分）1. 在平面直角坐标系中，点P(-1,4)一定是在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.若点P 在第二象限内，P 到x 轴的距离是4，到y 轴的距离是3，那么点P 的坐标为（）A.（-4，3）B.（-3，-4）C.（-3，4）D.（3，-4）3.一次函数y=﹣2x ﹣3一定不经过（）A ．第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D.第四象限4.下列图形当中，为轴对称图形的是（）5.函数y=21 x 中的自变量x 的取值范围是（）A ．x ≠2 B. x ＜2 C. x ≥2 D.x ＞26△ABC 中，∠A ﹦31∠B ﹦51∠C ，则△ABC 是（）A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 无法确定7.如果一次函数y﹦kx﹢b的图象经过第一象限，且与y轴负半轴相交，那么（）A. k﹥0,b﹥0B. k﹥0,b﹤0C. k﹤0,b﹥0D. k﹤0, b﹤08.如图，直线y﹦kx﹢b交坐标轴于A，B两点，则不等式kx﹢b﹥0的解集是（）A. x﹥-2B. x﹥3C. x﹤-2D. x﹤39.如图示，OD=OB,AD∥BC,则全等三角形有（）A. 2对B. 3对C. 4对D. 5对10. 两个一次函数y＝－x＋5和y＝﹣2x＋8的图象的交点坐标是（）A.（3，2）B.（-3，2）C.（3，-2）D.（-3，-2）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分）11.通过平移把点A（2，-1）移到点A’（2，2），按同样的平移方式，点B（-3，1）移动到点B’，则点B’的坐标是 .12.如图所示，将两根钢条A A’、 B B’的中点O连在一起，使A A’、B B’可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工具，则A’ B’的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OA’ B’的理由是 .13.2008年罕见雪灾发生之后，灾区急需帐篷。

上海市八年级(上)期末数学试卷含答案

八年级（上）期末数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共6小题，共12.0分）1.下列计算正确的是( )A. B. 5+6=11a 4=a 2C. D. 7m +3m =2m2a +3a =6a2.下列方程配方正确的是( )A. B. x 2−2x−1=(x +1)2−1x 2−4x +1=(x−2)2−4C. D. x 2−4x +1=(x−2)2−3x 2−2x−2=(x−1)2+13.下列关于x 的二次三项式中表示实数，在实数范围内一定能分解因式的是(m )( )A. B. C. D. x 2−2x +22x 2−mx +1x 2−2x +m x 2−mx−14.下列命题的逆命题是真命题的是( )A. 对顶角相等B. 等角对等边C. 同角的余角相等D. 全等三角形对应角相等5.已知点，，都在反比例函数的图象上，则A(1,y 1)B(2,y 2)C(−2,y 3)y =kx (k >0)( )A. B. C. D. y 1>y 2>y 3y 3>y 2>y 1y 2>y 3>y 1y 1>y 3>y 26.如图，在中，，点O 是、平分△ABC ∠B =90°∠CAB ∠ACB 线的交点，且，，则点O 到边AB 的距BC =4cm AC =5cm 离为( )A. 1cmB. 2cmC. 3cmD. 4cm二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）7.计算：______．18−2=8.方程的根是______．x 2+2x =09.已知函数，则______．f(x)=x−1xf(2)=10.函数的定义域是______．y =22x +111.关于x 的方程有两个不相等的实数根，那么m 的取值范围是x 2−3x +m =0______．12.正比例函数经过点，那么y 随着x 的增大而______填“增大”y =kx(k ≠0)(2,1).(或“减小”)13.平面内到点O 的距离等于3厘米的点的轨迹是______．14.已知直角坐标平面内两点和，则A 、B 两点间的距离等于A(−3,1)B(3,−1)______．15.如果直角三角形的面积是16，斜边上的高是2，那么斜边上的中线长是______．16.如图，中，，，交BC 于点D ，，则△ABC AB =AC ∠BAC =120°AD ⊥AC AD =4______．BC =17.把两个同样大小含角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角45°顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点A ，且另外三个锐角顶点B ，C ，D 在同一直线上．若，则______．AB =2CD =18.如图，已知两个反比例函数：和：在第C 1y =1x C 2y =13x 一象限内的图象，设点P 在上，轴于点C ，交C 1PC ⊥x 于点A ，轴于点D ，交于点B ，则四边形C 2PD ⊥y C 2PAOB 的面积为______．三、解答题（本大题共8小题，共52.0分）19.计算：12+13−2−6×320.解方程：2x(x−3)+3(x−3)=021.已知y与成正比例，且当时，，求y与x的函数解析式．2x−3x=4y=1022.已知：如图，，，AB=12cm AD=13cm，，求的面CD=4cm BC=3cm∠C=90°.△ABD积．23.为了响应“低碳环保，绿色出行”的公益活动，小燕和妈妈决定周日骑自行车去图书馆借书．她们同时从家出发，小燕先以150米分的速度骑行一段时间，休息了5/分钟，再以m 米分钟的速度到达图书馆，而妈妈始终以120米分钟的速度骑行，//两人行驶的路程米与时间分钟的关系如图，请结合图象，解答下列问题：y()x()图书馆到小燕家的距离是______米；(1)______，______，______；(2)a =b =m =妈妈行驶的路程米关于时间分钟的函数解析式是______；定义域是______．(3)y()x()24.已知：如图，，于点E ，点A 在的角平分线上，且点A 到∠F =90°AE ⊥OC ∠FOC 点B 、点C 的距离相等．求证：．BF =EC25.已知：如图，在中，于点E ，点A 是△BCD CE ⊥BD 边CD 的中点，EF 垂直平分线AB 求证：；(1)BE =12CD 当，时，求的度数．(2)AB =BC ∠ABD =25°∠ACB26.如图，在平面直角坐标系中，，轴于OA ⊥OB AB ⊥x 点C ，点在反比例函数的图象上．A(3,1)y =kx 求反比例函数的表达式；(1)y =kx 求的面积；(2)△AOB 在坐标轴上是否存在一点P ，使得以O 、B 、P 三(3)点为顶点的三角形是等腰三角形若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标：若不存在，简述你的理由．答案和解析1.【答案】B(A)=5+6【解析】解：原式，故选项A错误；(B)=a2原式，故选项B正确；(C)=7m+3m原式，故选项C错误；(D)=2a+3a原式，故选项D错误；故选：B．根据二次根式的运算法则即可求出答案．本题考查二次根式，解题的关键是正确理解二次根式的运算法则，本题属于基础题型．2.【答案】CA.x2−2x−1=(x+1)2−2【解析】解：，此选项配方错误；B.，此选项配方错误；x2−4x+1=(x−2)2−3C.，此选项配方正确；x2−4x+1=(x−2)2−3D.，此选项配方错误；x2−2x−2=(x−1)2−3故选：C．配上一次项系数一半的平方，然后再整理即可得．−本题主要考查解一元二次方程配方法，解题的关键是熟练掌握完全平方公式．3.【答案】Dx2−2x+2=0△=4−4×2=−4<0x2【解析】解：选项A，，，方程没有实数根，即−2x+2在数范围内不能分解因式；2x2−mx+1=0△=m2−82x2−mx+1选项B，，的值有可能小于0，即在数范围内不一定能分解因式；x2−2x+m=0△=4−4m x2−2x+m选项C，，的值有可能小于0，即在数范围内不一定能分解因式；x2−mx−1=0△=m2+4>0x2−mx−1选项D，，，方程有两个不相等的实数根，即在数范围内一定能分解因式．故选：D．对每个选项，令其值为0，得到一元二次方程，计算判别式的值，即可判断实数范围内一定能分解因式的二次三项式．本题考查二次三项式在实数范围内的因式分解．解题的关键是把问题转化为一元二次方程是否有实数根的问题．4.【答案】B【解析】解：A、逆命题为：相等的角是对顶角，不成立，如位于不同平面上的两个相等的角就不是对顶角，是假命题；B、逆命题为：等边对等角，成立，是真命题；C、逆命题为：相等的角为同一个角的余角，不成立，因为钝角没有余角，是假命题；D、逆命题为：对应角相等的三角形全等，不成立，如形状相同的两个大小不一样的三角板，是假命题；故选：B ．分别写出各个命题的逆命题，然后判断正误即可．考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够正确的写出一个命题的逆命题，难度不大．5.【答案】A【解析】解：函数图象如图所示：，y 1>y 2>y 3故选：A ．画出函数图象，利用图象法即可解决问题．本题考查反比例函数图象上的点的指标特征，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型．6.【答案】A【解析】解：点O 为与的平分线的交点，∵∠CAB ∠ACB点O 在的角平分线上，∴∠ACB 点O 为的内心，∴△ABC 过O 作，连接OB ，OP ⊥AB S △ABC =S △AOC +S △OAB +S △OBC =12OP ⋅AC +12OP ⋅AB +12OP ⋅BC =12OP ⋅，(AB +BC +AC)又，，为直角三角形，∵AC =5BC =4△ABC ∠B =90°，∴AB =3，∴12×3×4=12⋅OP(3+4+5)解得：．OP =1故选：A ．直接利用内心的定义结合三角形面积求法得出答案．此题主要考查了角平分线的性质以及三角形面积求法，正确表示出三角形面积是解题关键．7.【答案】22【解析】解：18−2 =32−2．=22故答案为：．22先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可得出答案．本题考查二次根式的减法运算，难度不大，注意先将二次根式化为最简是关键．8.【答案】，x 1=0x 2=−2【解析】解：，x(x +2)=0或，x =0x +2=0，，x 1=0x 2=−2故答案为，．x 1=0x 2=−2先提公因式，再化为两个一元一次方程即可得出答案．本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．9.【答案】12【解析】解：把代入，可得：，x =2f(x)=x−1xf(2)=2−12=12故答案为：12把代入函数解答即可．x =2此题考查函数的值，关键是把代入函数解答．x =210.【答案】x >−0.5【解析】解：函数的定义域是，y =22x +12x +1>0解得：，x >−0.5故答案为：x >−0.5根据二次根式的性质和分母不能等于0解答即可．此题考查函数自变量的取值范围，关键是根据二次根式的性质和分母不能等于0解答．11.【答案】m <94【解析】解：根据题意得，△=(−3)2−4m >0解得．m <94故答案为．m <94根据判别式的意义得到，然后解不等式即可．△=(−3)2−4m >0本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，ax 2+bx +c =0(a ≠0)△=b 2−4ac △>0方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有△=0△<0实数根．12.【答案】增大【解析】解：点在正比例函数的图象上，∵(2,1)y =kx(k ≠0)，∴k =12故，y =12x 则y 随x 的增大而增大．故答案为：增大．直接利用待定系数法求出正比例函数解析式进而得出答案．此题主要考查了待定系数法求正比例函数解析式以及正比例函数的图象与性质，正确求出解析式是解题关键．13.【答案】以点O 为圆心，3厘米长为半径的圆【解析】解：平面内到点O 的距离等于3厘米的点的轨迹是以点O 为圆心，3厘米长为半径的圆．故答案为：以点O 为圆心，3厘米长为半径的圆．只需根据圆的定义就可解决问题．本题主要考查的是圆的定义，其中圆是到定点的距离等于定长的点的集合．14.【答案】210【解析】解：直角坐标平面内两点和，∵A(3,−1)B(−1,2)、B 两点间的距离等于，∴A (−3−3)2+(−1−1)2=210故答案为．210根据两点间的距离公式解答即可．d =(x 2−x 1)2+(y 2−y 1)2本题考查了两点间的距离公式，比较简单．掌握两点间的距离公式是解题的关键件．15.【答案】8【解析】解：设直角三角形的斜边长为x ，由题意得，，12×2×x =16解得，，x =16则斜边上的中线长，=12×16=8故答案为：8．根据三角形的面积公式求出斜边长，根据直角三角形的性质解答即可．本题考查的是直角三角形的性质、三角形的面积计算，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．16.【答案】12【解析】解：中，，，∵△ABC AB =AC ∠BAC =120°，∴∠C =∠B =30°交BC 于点D ，∵AD ⊥AC ，，∴CD =2AD =8∠BAD =30°=∠B ，∴BD =AD =4．∴BC =BD +CD =4+8=12故答案为：12．依据等腰三角形的内角和，即可得到，依据交BC 于点D ，即∠C =∠B =30°AD ⊥AC 可得到，，进而得出BC 的长．CD =2AD =8∠BAD =30°=∠B 本题主要考查了含角的直角三角形的性质以及等腰三角形的性质，解题时注意：在30°直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半．30°17.【答案】6−2【解析】解：如图，过点A 作于F ，AF ⊥BC 在中，，Rt △ABC ∠B =45°，，∴BC =2AB =22BF =AF =22AB =2两个同样大小的含角的三角尺，∵45°，∴AD =BC =22在中，根据勾股定理得，，Rt △ADF DF =AD 2−AF 2=6，∴CD =BF +DF−BC =2+6−22=6−2故答案为：．6−2先利用等腰直角三角形的性质求出，，再利用勾股定理求出BC =22BF =AF =2DF ，即可得出结论．此题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线是解本题的关键．18.【答案】23【解析】解：轴，轴，∵PC ⊥x PD ⊥y ，，∴S △AOC =S △BOD =12⋅|13|=12×13=16S 矩形PCOD =1四边形PAOB 的面积，∴=1−2×16=23故答案为．23根据反比函数比例系数k 的几何意义得到，，然S △AOC =S △BOD =12×13=16S 矩形PCOD =1后利用矩形面积分别减去两个三角形的面积即可得到四边形PAOB 的面积．本题考查了反比函数比例系数k 的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过y =k x 这一个点向x 轴和y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．|k|19.【答案】解：原式=23+3+2−3×6=23+3+2−32．=33−22【解析】先分母有理化，再进行二次根式的乘法运算，然后合并即可．本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．20.【答案】解：，∵2x(x−3)+3(x−3)=0，∴(x−3)(2x +3)=0则或，x−3=02x +3=0解得：，．x 1=3x 2=−32【解析】利用因式分解法求解可得．本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．21.【答案】解：与成正比例，∵y 2x−3设，∴y =k(2x−3)(k ≠0)将，代入得：，解得，x =4y =1010=(2×4−3)×k k =2所以，，y =2(2x−3)所以y 与x 的函数表达式为：．y =4x−6【解析】根据正比例函数的定义设，然后把x 、y 的值代入求出y−1=k(x +1)(k ≠0)k 的值，再整理即可得解．本题考查了待定系数法求一次函数解析式，注意利用正比例函数的定义设出函数关系式．22.【答案】解：，，，∵CD =4cm BC =3cm ∠C =90°，∴BD =42+32=5cm ，，∵AB =12cm AD =13cm ，∴BD 2+AB 2=AD 2，∴∠ABD =90°．∴S △ABD =12AB ⋅BD =12×12×5=30cm 2【解析】根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，即可求解．△ABD 此题主要是考查了勾股定理及其逆定理．关键是根据勾股定理的逆定理证明是直△ABD 角三角形．23.【答案】3000 10 15 200 y =120x 0≤x ≤25【解析】解：由图象可得，(1)图书馆到小燕家的距离是3000米，故答案为：3000；，(2)a =1500÷150=10，b =a +5=10+5=15，m =(3000−1500)÷(22.5−15)=200故答案为：10，15，200；妈妈行驶的路程米关于时间分钟的函数解析式是，(3)y()x()y =kx 当时，，y =3000x =3000÷120=25则，得，3000=25k k =120即妈妈行驶的路程米关于时间分钟的函数解析式是，定义域是y()x()y =120x ，0≤x ≤25故答案为：，．y =120x 0≤x ≤25根据函数图象中的数据可以直接写出图书馆到小燕家的距离；(1)根据题意和函数图象中的数据可以得到a 、b 、m 的值；(2)根据函数图象中的数据可以得到妈妈行驶的路程米关于时间分钟的函数解析(3)y()x()式以及定义域．本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．24.【答案】证明：点A 在的角平分线上，，，∵∠FOC ∠F =90°AE ⊥OC ，∴AE =AF 点A 到点B 、点C 的距离相等，∵，∴AB =AC ，∵∠F =∠AEC =90°≌，∴Rt △ABF Rt △ACE(HL)．∴BF =EC 【解析】证明≌即可解决问题．Rt △ABF Rt △ACE(HL)本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．25.【答案】证明：连接AE ，(1)，点A 是边CD 的中点，∵CE ⊥BD ，∴AE =AD =12CD 垂直平分线AB ，∵EF ，∴EA =EB ；∴BE =12CD ，(2)∵EA =EB ，∴∠EAB =∠ABD =25°，∴∠AED =∠EAB +∠ABD =50°，∵EA =AD ，∴∠D =∠AED =50°，∴∠BAC =∠ABD +∠D =75°，∵AB =BC ．∴∠ACB =∠BAC =75°【解析】连接AE ，根据直角三角形的性质得到，根据线段垂直平分(1)AE =AD =12CD 线的性质得到，等量代换证明结论；EA =EB 根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质求出，根据等腰三角形的性质计算，(2)∠AED 得到答案．本题考查的是直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质、三角形的外角性质，掌握直角三角形斜边上的中线是斜边的一半是解题的关键．26.【答案】解：将代入，得：，(1)A(3,1)y =k x 1=k 3解得：，k =3反比例函数的表达式为．∴y =3x 点A 的坐标为，轴于点C ，(2)∵(3,1)AB ⊥x ，，∴OC =3AC =1，∴OA =AC 2+OC 2=2=2AC ．∴∠AOC =30°，∵OA ⊥OB ，∴∠AOB =90°，∴∠B =∠AOC =30°，∴AB =2OA =4．∴S △AOB =12AB ⋅OC =12×4×3=23在中，，，，(3)Rt △AOB OA =2∠AOB =90°∠ABO =30°．∴OB =OA tan 30∘=23分三种情况考虑：当时，如图2所示，①OP =OB ，∵OB =23，∴OP =23点P 的坐标为，，，；∴(−23,0)(23,0)(0,−23)(0,23)当时，如图3，过点B 做轴于点D ，则②BP =BO BD ⊥y ，OD =BC =AB−AC =3，∵BP =BO 或，∴OP =2OC =23OP =2OD =6点P 的坐标为，；∴(23,0)(0,−6)当时，如图4所示．③PO =PB 若点P 在x 轴上，，，∵PO =PB ∠BOP =60°为等边三角形，∴△BOP ，∴OP =OB =23点P 的坐标为；∴(23,0)OP=a PD=3−a若点P在y轴上，设，则，∵PO=PB，∴PB2=PD2+BD2a2=(3−a)2+12，即，a=2解得：，∴(0,−2)点P的坐标为．综上所述：在坐标轴上存在一点P，使得以O、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角(−23,0)(23,0)(0,−23)(0,23)(0,−6)(0,−2)形，点P的坐标为，，，，，．(1)【解析】根据点A的坐标，利用待定系数法可求出反比例函数的表达式；(2)OA=2=2AC由点A的坐标可得出OC，AC的长，利用勾股定理可得出，进而可得∠AOC=30°∠B=∠AOC=30°30°出，结合三角形内角和定理可得出，利用角所对的直△AOB角边为斜边的一半可求出AB的长，再利用三角形的面积公式即可求出的面积；(3)OP=OB BP=BO PO=PB通过解直角三角形可求出OB的长，分，及三种情况，利用等腰三角形的性质可求出点P的坐标，此题得解．本题考查了待定系数法求反比例函数解析式、解直角三角形、三角形的面积以及等腰三(1)角形的性质，解题的关键是：根据点的坐标，利用待定系数法求出反比例函数的关(2)(3)OP=OB BP=BO PO=PB系式；通过解直角三角形，求出AB的长；分，及三种情况，利用等腰三角形的性质求出点P的坐标．。

上海市八年级(上)期末数学试卷含答案

八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共6小题，共18.0分）1.下列二次根式中，属于最简二次根式的是A. B. C. D.2.关于x的方程是一元二次方程，那么A. B. C. D.3.反比例函数的图象经过点，、是图象上另两点，其中，那么、的大小关系是A. B. C. D. 都有可能4.用配方法解方程时，原方程可变形为A. B. C. D.5.下列命题中是真命题的是A. 反比例函数，y随x的增大而减小B. 一个三角形的三个内角的度数之比为1：2：3，则三边长度之比是1：2：3C. 直角三角形中，斜边上的中线等于斜边上的高，则该直角三角形是等腰直角三角形D. 如果，那么一定有6.如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点，与x轴夹角为，将沿直线AB翻折，点O的对应点C恰好落在双曲线上，则k的值为A. 4B.C.D.二、填空题（本大题共12小题，共24.0分）7.已知函数，其定义域为______．8.不等式的解集是______．9.在实数范围内因式分解______．10.方程的根是______．11.平面上到原点O的距离是2厘米的点的轨迹是______．12.在工地一边的靠墙处，用32米长的铁栅栏围一个所占地面积为140平方米的长方形临时仓库，并在平行于墙一边上留宽为2米的大门，设无门的那边长为x米．根据题意，可建立关于x的方程______．13.已知反比例函数的图象在第二、四象限内，那么k的取值范围是______．14.如果点A的坐标为，点B的坐标为，那么线段AB的长等于______ ．15.已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是______．16.如图，中，于D，E是AC的中点．若，，则CD的长等于______．17.如图，中，，，AD是的角平分线，______度．18.已知，在中，，，将翻折使得点A与点C重合，折痕与边BC交于点D，如果，那么BD的长为______．三、解答题（本大题共8小题，共58.0分）19.计算：20.解方程：21.甲、乙两车分别从A地将一批物资运往B地，两车离A地的距离千米与其相关的时间小时变化的图象如图所示，读图后填空：地与B地之间的距离是______千米；甲车由A地前往B地时所对应的s与t的函数解析式及定义域是______；乙车的速度比甲车的速度每小时快______千米．22.已知，与成正比例，与x成反比例，且当时，；当时，，求y关于x的函数解析式．23.如图，已知点B、F、C、E在同一直线上，AC、DF相交于点G，垂足为B，，垂足为E，且，，求证：点G在线段FC的垂直平分线上．24.已知，如图，在中，，点E在AC上，，．求证：．25.如图，已知正比例函数图象经过点，求正比例函数的解析式及m的值；分别过点A与点B作y轴的平行线，与反比例函数在第一象限的分支分别交于点C、点C、D均在点A、B下方，若，求反比例函数的解析式；在第小题的前提下，联结AD，试判断的形状，并说明理由．26.如图，已知在中，，，，，将一个直角的顶点置于点C，并将它绕着点C旋转，直角的两边分别交AB的延长线于点E，交射线AD于点F，联结EF交BC于点G，设．旋转过程中，当点F与点A重合时，求BE的长；若，求y关于x的函数关系式及定义域；旋转过程中，若，求此时BE的长．答案和解析1.【答案】C【解析】解：A、，不是最简二次根式；B、，不是最简二次根式；C、，是最简二次根式；D、，不是最简二次根式；故选：C．根据最简二次根式的概念判断即可．本题考查的是最简二次根式的概念，最简二次根式的概念：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．2.【答案】A【解析】解：，，依题意得：．故选：A．直接利用一元二次方程的定义分析得出答案．本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．3.【答案】B【解析】解：反比例函数的图象经过点，，此函数的图象在二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，，、两点均位于第二象限，．故选：B．先代入点求得k的值，根据k的值判断此函数图象所在的象限，再根据判断出、所在的象限，根据此函数的增减性即可解答．本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数的性质是解答此题的关键．4.【答案】B【解析】解：，，则，，即，故选：B．将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得．本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．5.【答案】C【解析】解：A、反比例函数，在第一、三象限，y随x的增大而减小，本说法是假命题；B、一个三角形的三个内角的度数之比为1：2：3，这三个角的度数分别为、、，则三边长度之比是1：：2，本说法是假命题；C、直角三角形中，斜边上的中线等于斜边上的高，则该直角三角形是等腰直角三角形是真命题；D、如果，那么一定有，本说法是假命题；故选：C．根据反比例函数的性质判断A；根据三角形内角和定理、直角三角形的性质求出三边长度之比，判断B；根据等腰直角三角形的性质判断C；根据二次根式的性质判断D．本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．6.【答案】D【解析】解：设点C的坐标为，过点C作轴，作轴，将沿直线AB翻折，，，，，，，，，点C在第二象限，，点C恰好落在双曲线上，，故选：D．设点C的坐标为，过点C作轴，作轴，由折叠的性质易得，，，用锐角三角函数的定义得CD，CE，得点C的坐标，易得k．本题主要考查了翻折的性质，锐角三角函数，反比例函数的解析式，理解翻折的性质，求点C的坐标是解答此题的关键．7.【答案】【解析】解：依题意有，解得．故答案为：．当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．考查了函数自变量的取值范围，关键是熟悉当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零的知识点．8.【答案】【解析】解：故答案为．根据解不等式的过程解题，最后系数化1时进行分母有理化即可求解．本题考查了解一元一次不等式，解决本题的关键是系数化1时进行分母有理化．9.【答案】【解析】解：令，，，故答案为：先求出方程的两个根、，再把多项式写成的形式本题考查了实数范围内分解因式，明确一元二次方程的根与因式分解的关系，是解题的关键．10.【答案】，【解析】解：，，，，，．故答案为：，．把方程的左边分解因式得到，得到，，求出方程的解即可．本题主要考查对解一元二次方程因式分解法，解一元一次方程，因式分解提公因式法等知识点的理解和掌握，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．11.【答案】以原点O为圆心，2厘米长为半径的圆【解析】解：平面上到原点O的距离是2厘米的点的轨迹是以点O为圆心，2厘米长为半径的圆．故答案为：以原点O为圆心，2厘米长为半径的圆．根据圆的定义就可解决问题．本题主要考查的是圆的定义，其中圆是到定点的距离等于定长的点的集合．12.【答案】【解析】解：设所求边长为x，则矩形的长为．根据题意得：．故答案为：．设所求边长为x，则矩形的长为，然后根据矩形的面积公式列方程即可．本题主要考查的是一元二次方程的应用以及一元二次方程的解法，根据题意列出方程是解题的关键．13.【答案】【解析】解：由题意可得，则．故答案为：．根据时，图象是位于二、四象限即可得出结果．此题主要考查反比例函数图象的性质：时，图象是位于一、三象限．时，图象是位于二、四象限．14.【答案】5【解析】解：．故答案为：5．利用勾股定理列式计算即可得解．本题考查了点的坐标，此类题目，利用两点的坐标结合勾股定理求解．15.【答案】且【解析】解：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，，解得：且．故答案为：且．根据二次项系数非零及根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围．本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零及根的判别式，找出关于m的一元一次不等式组是解题的关键．16.【答案】8【解析】解：如图，中，于D，E是AC的中点，，，．在直角中，，，，则根据勾股定理，得．故答案是：8．由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求得；然后在直角中，利用勾股定理来求线段CD的长度即可．本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线．利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得AC的长度是解题的难点．17.【答案】30【解析】解：过点D作于E点，是的角平分线，，，．，．．，．．故答案为30．过点D作于E点，根据角平分线性质可得，从而，则，可知，再利用角平分线的定义可求度数．本题主要考查了角平分线的性质、根据角平分线的性质作垂线段的解题的关键．18.【答案】或【解析】解：分两种情况：当为锐角时，如图所示，过A作于F，由折叠可得，折痕DE垂直平分AC，，，是等腰直角三角形，，又，中，，；当为钝角时，如图所示，过A作于F，同理可得，是等腰直角三角形，，又，中，，；故答案为：或．过A作于F，构造直角三角形，分两种情况讨论，利用勾股定理以及等腰直角三角形的性质，即可得到BD的长．本题主要考查了折叠问题以及勾股定理的运用，解决问题的关键是分两种情况画出图形进行求解．解题时注意：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．19.【答案】解：原式．【解析】利用二次根式的乘法法则、完全平方公式和分母有理化进行计算．本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．20.【答案】解：将方程整理，得：，，，，，则，，．【解析】先将方程整理成一般式，再利用公式法求解可得．本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．21.【答案】60 40【解析】解：从图象可以看出AB之间的距离为60千米，故答案为60；甲的速度为：，故，故答案为：；乙的速度为：，故答案为40．从图象可以看出AB之间的距离为60千米，即可求解；甲的速度为：，即可求解；乙的速度为：，即可求解．此题为一次函数的应用，渗透了函数与方程的思想，重点是求甲乙的速度．22.【答案】解：设，，．把时，；当时，代入可得：，解得，，关于x的函数解析式为．【解析】可设，，把已知条件代入则可求得y与x的函数解析式；本题考查了待定系数法求函数的解析式，注意在本题中的正比例系数和反比例系数是两个不同的值，用不同的字母区分．23.【答案】证明：，，即．又，，．在和中，，≌全等三角形的对应角相等，等角对等边，点G在线段FC的垂直平分线上．【解析】证得 ≌ ，推知，然后由“等角对等边”证得，即可得出结论．本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质；熟练掌握等腰三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．24.【答案】证明：取DE的中点F，连接AF，，，，，，，，，，，，，．【解析】取DE的中点F，连接AF，根据直角三角形的性质求出，推出，根据等腰三角形的性质求出，，求出，，即可得出答案．本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，平行线的性质，三角形的外角性质的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键，难度适中．25.【答案】解：设正比例函数的解析式为，正比例函数图象经过点，，，比例函数的解析式为；把代入解析式得，；轴，点的横坐标为2，D 点的横坐标为3，设反比例函数的解析式为，分别代入得，，，，，，解得，反比例函数的解析式为；是等腰直角三角形；理由是：由得：，，，，，，，且，是等腰直角三角形．【解析】设正比例函数的解析式为，代入A 的坐标根据待定系数法即可求得正比例函数的解析式，把B 代入即可求得m 的值；根据题意得出C 点的横坐标为2，D 点的横坐标为3，设反比例函数的解析式为，分别代入得，，进而求得，，根据列方程，解方程求得m 的值，即可求得解析式；根据两点的距离公式可得AB 和AD ，BD 的长，根据勾股定理的逆定理可得结论．本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，根据题意求得C 、D 的坐标是解题的关键．26.【答案】解：如图1，，，，，，，，，；过F 作于H ，，，，四边形ABHF是矩形，，，，，，，∽ ，，，，；，，，，，，，在中，，，，．【解析】如图1，根据勾股定理得到，根据射影定理即可得到结论；过F作于H，根据平行线的性质得到，根据矩形的性质得到，，求得，根据相似三角形的性质即可得到结论；根据等腰三角形的性质和平行线的性质得到，根据角平分线的性质得到，根据勾股定理即可得到结论．本题考查几何变换综合题、相似三角形的判定和性质、矩形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会正确寻找相似三角形解决问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．。

2023-2024学年上海市松江区八年级(上)期末数学试卷及答案解析

2023-2024学年上海市松江区八年级（上）期末数学试卷一、填空题（本题共14小题，每小题2分，满分28分）1．（2分）化简：＝．2．（2分）一元二次方程x2+x＝0的根是．3．（2分）关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的根的判别式的值为﹣4，则m的值为．4．（2分）在实数范围内分解因式：x2﹣2x﹣1＝．5．（2分）函数中自变量x的取值范围是．6．（2分）已知函数，那么f（6）＝．7．（2分）如果直线y＝（2k﹣3）x经过第二、四象限，则k的取值范围是．8．（2分）一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为y元，每次提价的百分率是x，则y与x之间的函数关系式是．9．（2分）“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是．10．（2分）到点A的距离等于5cm的点的轨迹是．11．（2分）如果点A的坐标为（2，﹣1），点B的坐标为（5，3），那么A、B两点的距离等于．12．（2分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边的中线，如果CD＝5，AC＝8，那么BC＝．13．（2分）如图，在△ABC中，已知BD是∠ABC的角平分线，点D是△ABC内一点，且AD⊥BD，∠DAC＝20°，∠C＝38°，那么∠BAD＝°．14．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠C＝30°，点D是AC边中点，将△ABC 沿某直线翻折使得点B与点D重合，折痕交边BC于点E，交边AB于点F，那么BE的长为．二、选择题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分）15．（3分）下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（）A．和3B．和C．和D．和16．（3分）若点（﹣2，y1）、（﹣1，y2）、（1，y3）都在反比例函数（k＜0）的图象上，则有（）A．y1＞y2＞y3B．y3＞y1＞y2C．y2＞y1＞y3D．y1＞y3＞y2 17．（3分）下列关于x的一元二次方程定有实数解的是（）A．ax2﹣x+2＝0B．x2﹣2x+1＝0C．x2﹣x﹣m＝0D．x2﹣mx﹣1＝018．（3分）下列说法中正确的是（）A．“对顶角相等”没有逆命题B．有两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等C．以AB为底边的等腰三角形的顶点的轨迹是线段AB的垂直平分线D．有两组边分别相等的两个直角三角形全等三、简答题（本大题共4小题，每小题6分，满分24分）19．（6分）计算：．20．（6分）用配方法解3x2﹣2x﹣1＝0．21．（6分）已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，点D是AB边中点，延长CD至点E，使得，联结BE，当时，求∠DBE的度数．22．（6分）龟兔赛跑是同学们熟悉的寓言故事，乌龟和兔子在比赛过程中的路程s（m）与时间t（min）的函数关系如图所示．请根据图像完成下列问题：（1）兔子在比赛中睡觉的时间为分钟；（2）已知兔子在OB段和CD段的速度保持一致，则兔子完成比赛共用时分钟；（3）在（2）的条件下，已知乌龟比兔子提前1分钟到达终点，求乌龟在比赛过程中路程s（m）与时间t（min）的函数关系式．四、解答题（本大题共4小题，第23、24题，每题8分；第25、26题，每题10分；满分36分）23．（8分）学校体育组准备在操场上划出一块长方形区域开展跳绳比赛，比赛区域包括六块相同的跳绳场地及预留道路，如图是比赛区域的规划图，现知道每块跳绳场地的长是宽的两倍（场地间空隙忽略不计），预留道路的宽度为4米，比赛区域的总面积为144平方米．请你根据以上信息，求比赛区域的长和宽分别是多少米？24．（8分）已知：如图，点E在BC上，∠B＝∠C＝90°，AB＝CE，EF垂直平分线段AD．（1）求证：AE⊥DE；（2）联结BF、CF，求证：△BFC是等腰直角三角形．25．（10分）在平面直角坐标系中，正比例函数y＝﹣2x和反比例函数图象都经过点A（﹣1，a）．（1）求k的值；（2）点B是y轴上一点，且∠BAO＝90°．①求AB的长；②如果点C在直线OA上，当△ABC的面积为时，求点C的坐标．26．（10分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边AC上一点，过D作DE垂直AB，垂足为点E．（1）如图1，点E是AB的中点，CD＝DE，如果AB＝6，求BC的长；（2）已知CD＝BC，①如图2，联结CE，求证：CE平分∠BED；②如图3，延长DE至点F，联结CF交线段AB于点G，当∠A＝∠F，且点G是CF中点时，求的值．2023-2024学年上海市松江区八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本题共14小题，每小题2分，满分28分）1．（2分）化简：＝2xy．【分析】根据限制条件“x＞0，y＞0”及二次根式的性质与化简解答．【解答】解：由题意可知y＞0，x＞0，∴＝2|x|•y＝＝2xy，即＝2xy；故答案为：2xy．【点评】本题主要考查了二次根式的性质与化简．二次根式的化简：＝．2．（2分）一元二次方程x2+x＝0的根是x1＝0，x2＝﹣1．【分析】提公因式得到x（x+1）＝0，推出x＝0，x+1＝0，求出方程的解即可．【解答】解：x2+x＝0，x（x+1）＝0，x＝0，x+1＝0，x1＝0，x2＝﹣1，故答案为：x1＝0，x2＝﹣1．【点评】本题主要考查对解一元一次方程，解一元二次方程，因式分解等知识点的理解和掌握，能把一元二次方程转换成一元一次方程是解此题的关键．3．（2分）关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的根的判别式的值为﹣4，则m的值为5．【分析】根据判别式的值，构建方程求解．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣4x+m＝0的根的判别式的值为﹣4，∴16﹣4m＝4，∴m＝5．故答案为：5．【点评】本题考查根的判别式，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．4．（2分）在实数范围内分解因式：x2﹣2x﹣1＝（x﹣1+）（x﹣1﹣）．．【分析】先把前面两项配成完全平方式，然后根据平分差公式进行因式分解即可．【解答】解：x2﹣2x﹣1，＝x2﹣2x+1﹣2，＝（x﹣1）2﹣2，＝（x﹣1+）（x﹣1﹣）．故答案为：（x﹣1+）（x﹣1﹣）．【点评】本题考查了利用公式进行因式分解的方法：把整式先配成完全平分式或平分差的形式，然后利用公式法进行因式分解．5．（2分）函数中自变量x的取值范围是x≠﹣1．【分析】根据分式的分母不为零列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由题意得：x+1≠0，解得：x≠﹣1，故答案为：x≠﹣1．【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，熟记分式的分母不为零是解题的关键．6．（2分）已知函数，那么f（6）＝．【分析】将x＝6代入该函数解析式进行计算可得此题结果．【解答】解：∵，∴f（6）＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查求函数值，理解题中函数关系式是解答的关键．7．（2分）如果直线y＝（2k﹣3）x经过第二、四象限，则k的取值范围是k＜．【分析】根据反比例函数的性质得2k﹣3＜0，然后解不等式即可．【解答】解：根据题意得2k﹣3＜0，解得k＜．故答案为：k＜．【点评】本题考查的是正比例函数的图象与系数的关系，熟知正比例函数y＝kx（k≠0）中，当k＜0时函数的图象在二、四象限是解答此题的关键．8．（2分）一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为y元，每次提价的百分率是x，则y与x之间的函数关系式是y＝100（1+x）2．【分析】利用经过两次提价后的价格＝原价×（1+每次提价的百分率）2，即可得出y与x之间的函数关系式．【解答】解：依题意得y＝100（1+x）2，故答案为：y＝100（1+x）2．【点评】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出y 与x之间的函数关系式是解题的关键．9．（2分）“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是有两个内角互余的三角形是直角三角形．【分析】根据互逆命题的概念解答即可．【解答】解：直角三角形的两个锐角互余的逆命题是有两个内角互余的三角形是直角三角形，故答案为：有两个内角互余的三角形是直角三角形．【点评】本题考查的是命题与定理，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．10．（2分）到点A的距离等于5cm的点的轨迹是以点A为圆心，以5cm为半径的圆．【分析】圆的定义是在同一平面内到定点的距离等于定长的点的集合，所以到定点A的距离等于5cm的点的集合是圆．【解答】解：根据圆的定义可知，到点A的距离等于5cm的点的集合是以点A为圆心，5cm为半径的圆．故答案为：以点A为圆心，5cm为半径的圆．【点评】本题主要考查了圆的定义，正确理解定义是关键．11．（2分）如果点A的坐标为（2，﹣1），点B的坐标为（5，3），那么A、B两点的距离等于5．【分析】根据两点间的距离公式计算即可．【解答】解：由两点间的距离公式得，AB＝＝5，故答案为：5．【点评】本题考查两点间的距离公式，两点A（x1，y1），B（x2，y2），则这两点间的距离为AB＝．12．（2分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边的中线，如果CD＝5，AC＝8，那么BC＝6．【分析】先利用直角三角形斜边上的中线性质可得AB＝10，然后再利用勾股定理进行计算，即可解答．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边的中线，CD＝5，∴AB＝2CD＝10，∴BC＝＝＝6，故答案为：6．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，勾股定理，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质，以及勾股定理是解题的关键．13．（2分）如图，在△ABC中，已知BD是∠ABC的角平分线，点D是△ABC内一点，且AD⊥BD，∠DAC＝20°，∠C＝38°，那么∠BAD＝58°．【分析】先根据AD⊥BD得出∠ADB＝90°，故可得出∠BAD+∠ABD＝90°，再由三角形内角和定理得出∠DBC的度数，由角平分线的定义得出∠ABC的度数，进而得出∠BAD 的度数．【解答】解：∵AD⊥BD，∠DAC＝20°，∠C＝38°，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD+∠ABD＝90°，∵∠BAC+∠C+∠ABC＝180°，即∠BAD+∠DAC+∠C+∠ABD+∠DBC＝180°，∴（∠BAD+∠ABD）+∠DAC+∠C+∠DBC＝180°，即90°+20°+38°+∠DBC=180°，∴∠DBC＝32°，∵BD是∠ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠DBC＝32°，∴∠BAD＝90°﹣32°＝58°．故答案为：58．【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解题的关键．14．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠C＝30°，点D是AC边中点，将△ABC 沿某直线翻折使得点B与点D重合，折痕交边BC于点E，交边AB于点F，那么BE的长为．【分析】过A作AH⊥BC于G，过D作DH⊥BCH，根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C＝30°，BC＝2BG，求得AG＝AB＝2，根据勾股定理得到BG＝＝2，求得BC＝2BG＝4，得到CH＝＝，设BE＝x，根据线段垂直平分线的性质得到DE＝BE＝x，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：过A作AG⊥BC于G，过D作DH⊥BCH，∵AB＝AC＝4，∴∠B＝∠C＝30°，BC＝2BG，∴AG＝AB＝2，∴BG＝＝2，∴BC＝2BG＝4，∵点D是AC边中点，∴CD＝AC＝2，∴DH＝，∴CH＝＝，设BE＝x，∵将△ABC沿某直线翻折使得点B与点D重合，∴EF垂直平分BD，∴DE＝BE＝x，∴＝3﹣x，∵DE2﹣DH2＝EH2，∴x2﹣12＝（3﹣x）2，解得x＝，∴BE的长为，故答案为：．【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），等腰三角形的性质，勾股定理，正确地找出辅助线是解题的关键．二、选择题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分）15．（3分）下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（）A．和3B．和C．和D．和【分析】根据同类二次根式的概念，化简后被开方数相同的二次根式称为同类二次根式，【解答】解：A、和3不是同类二次根式，错误；B、和不是同类二次根式，错误；C、和是同类二次根式，正确；D、和不是同类二次根式，错误；故选：C．【点评】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的根式称为同类二次根式．16．（3分）若点（﹣2，y1）、（﹣1，y2）、（1，y3）都在反比例函数（k＜0）的图象上，则有（）A．y1＞y2＞y3B．y3＞y1＞y2C．y2＞y1＞y3D．y1＞y3＞y2【分析】先根据反比例函数y＝中k＜0判断出函数图象所在的象限，再得出在每一象限内函数的增减性，再根据三点横坐标的值即可判断出y1，y2，y3的大小．【解答】解：∵反比例函数y＝中k＜0，∴函数图象的两个分支位于二四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大，∵﹣2＜﹣1＜0，∴y2＞y1＞0，∵1＞0，∴y3＜0，∴y2＞y1＞y3．故选：C．【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．17．（3分）下列关于x的一元二次方程定有实数解的是（）A．ax2﹣x+2＝0B．x2﹣2x+1＝0C．x2﹣x﹣m＝0D．x2﹣mx﹣1＝0【分析】分别求出每个一元二次方程根的判别式Δ与0的关系，进而选择正确的选项．【解答】解：A、ax2﹣x+2＝0，Δ＝1﹣8a，只有a≤时，△≥0，所以原方程不一定有实数解，故此选项不符合题意；B、x2﹣2x+1＝0，Δ＝4﹣4＜0，所以原方程没有实数解，故此选项不符合题意；C、x2﹣x﹣m＝0，Δ＝1+4m，只有m≥﹣时，△≥0，所以原方程不一定有实数解，故此选项不符合题意；D、x2﹣mx﹣1＝0，Δ＝m2+4＞0，所以原方程一定有实数解，故此选项符合题意；故选：D．【点评】本题主要考查了根的判别式的知识，解答本题的关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．18．（3分）下列说法中正确的是（）A．“对顶角相等”没有逆命题B．有两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等C．以AB为底边的等腰三角形的顶点的轨迹是线段AB的垂直平分线D．有两组边分别相等的两个直角三角形全等【分析】根据对顶角的性质、全等三角的判定定理，等腰三角形的性质判断即可．【解答】解：A、“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”，故不符合题意；B、有两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等，故符合题意；C、以AB为底边的等腰三角形顶点C的轨迹是线段AB的垂直平分线（底边的中点除外），故不符合题意；D、有两组边分别相等的两个直角三角形不一定全等，故不符合题意；故选：B．【点评】本题考查的是轨迹，命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．三、简答题（本大题共4小题，每小题6分，满分24分）19．（6分）计算：．【分析】先把各根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可．【解答】解：原式＝4﹣（﹣）++＝4﹣+++＝6．【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．20．（6分）用配方法解3x2﹣2x﹣1＝0．【分析】利用配方法解一元二次方程即可．【解答】解：3x2﹣2x﹣1＝0，移项得3x2﹣2x＝1，二次项系数化成1得，配方得，即∴，解得，．【点评】本题考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．21．（6分）已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，点D是AB边中点，延长CD至点E，使得，联结BE，当时，求∠DBE的度数．【分析】由直角三角形斜边上的中线性质得CD＝AB＝BD＝4，则＝BD＝2，再由勾股定理的逆定理得△BDE是直角三角形，且∠E＝90°，即可得出结论．【解答】解：∵∠ACB＝90°，AB＝8，点D是AB边中点，∴CD＝AB＝BD＝4，∴＝BD＝2，∵BE＝2，∴DE2+BE2＝BD2，∴△BDE是直角三角形，且∠E＝90°，∵DE＝BD，∴∠DBE＝30°，即∠DBE的度数为30°．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理的逆定理以及含30°角的直角三角形的判定等知识，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质和勾股定理的逆定理是解题的关键．22．（6分）龟兔赛跑是同学们熟悉的寓言故事，乌龟和兔子在比赛过程中的路程s（m）与时间t（min）的函数关系如图所示．请根据图像完成下列问题：（1）兔子在比赛中睡觉的时间为6分钟；（2）已知兔子在OB段和CD段的速度保持一致，则兔子完成比赛共用时11分钟；（3）在（2）的条件下，已知乌龟比兔子提前1分钟到达终点，求乌龟在比赛过程中路程s（m）与时间t（min）的函数关系式．【分析】（1）计算点C和B的横坐标之差即可；（2）利用速度＝，求出OB段的速度，再利用时间＝，求出CD段所用的时间，进而求出完成比赛一共用的时间；（3）根据题意，求出点A的坐标，再利用待定系数法求解即可．【解答】解：（1）兔子在比赛中睡觉的时间为8﹣2＝6（m），故答案为：6．（2）兔子的速度为＝20（m/min），CD段用时为＝3（min），∴兔子完成比赛共用时8+3＝11（min），故答案为：11．（3）由题意可知，乌龟完成比赛用时11﹣1＝10（min），∴点A的坐标为（10，100）．当0≤t≤10时，设乌龟在比赛过程中路程s（m）与时间t（min）的函数关系式为s＝kt，将坐标A（10，100）代入，得10k＝100，解得k＝10，∴乌龟在比赛过程中路程s（m）与时间t（min）的函数关系式s＝10t（0≤t≤10）．【点评】本题考查一次函数的应用，利用待定系数法求函数的表达式是本题的关键．四、解答题（本大题共4小题，第23、24题，每题8分；第25、26题，每题10分；满分36分）23．（8分）学校体育组准备在操场上划出一块长方形区域开展跳绳比赛，比赛区域包括六块相同的跳绳场地及预留道路，如图是比赛区域的规划图，现知道每块跳绳场地的长是宽的两倍（场地间空隙忽略不计），预留道路的宽度为4米，比赛区域的总面积为144平方米．请你根据以上信息，求比赛区域的长和宽分别是多少米？【分析】设跳绳场地的宽为x米，则跳绳场地的长为2x米，比赛区域的长为2x+4+2x＝（4x+4）米，宽为3x米，根据比赛区域的总面积为144平方米，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再将其符合题意的值分别代入（4x+4）及3x中，即可求出结论．【解答】解：设跳绳场地的宽为x米，则跳绳场地的长为2x米，比赛区域的长为2x+4+2x ＝（4x+4）米，宽为3x米，根据题意得：（4x+4）•3x＝144，整理得：x2+x﹣12＝0，解得：x1＝3，x2＝﹣4（不符合题意，舍去），∴4x+4＝4×3+4＝16（米），3x＝3×3＝9（米）．答：比赛区域的长是16米，宽是9米．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．24．（8分）已知：如图，点E在BC上，∠B＝∠C＝90°，AB＝CE，EF垂直平分线段AD．（1）求证：AE⊥DE；（2）联结BF、CF，求证：△BFC是等腰直角三角形．【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质定理，线段垂直平分线的性质，垂直的定义即可得到结论；（2）根据全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质定理即可得到结论．【解答】证明：（1）∵EF垂直平分线段AD，∴EA＝ED，在Rt△ABE和Rt△ECD中，，∴Rt△ABE≌Rt△ECD（HL），∴∠BAE＝∠CED，∵∠BAE+∠AEB＝90°，∴∠CED+∠AEB＝90°，∴∠AED＝180°﹣（∠CED+∠AEB）＝90°，∴AE⊥DE；（2）延长BF交CD的延长线于G，由（1）知，Rt△ABE≌Rt△ECD，∴BE＝CD，AB＝CE，∴BC＝BE+CE＝AB+CD，∵∠ABC＝∠BCD＝90°，∴AB∥CD，∴∠ABF＝∠G，在△ABF与△DGF中，，∴△ABF≌△DGF（AAS），∴DG＝AB，BF＝FG，∴CD+DG＝CG＝BC＝AB+CD，∴△BCG是等腰直角三角形，∴CF⊥BG，∠CBF＝45°，∴△BCF是等腰直角三角形．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．25．（10分）在平面直角坐标系中，正比例函数y＝﹣2x和反比例函数图象都经过点A（﹣1，a）．（1）求k的值；（2）点B是y轴上一点，且∠BAO＝90°．①求AB的长；②如果点C在直线OA上，当△ABC的面积为时，求点C的坐标．【分析】（1）把A（﹣1，a）代入y＝﹣2x求得A（﹣1，2），把A（﹣1，2）代入得到k＝﹣2；（2）如图，过A作AH⊥y轴于H，设B（0，m），根据勾股定理得到结论；（3）设C（a，﹣2a），根据三角形的面积公式即可得到结论．【解答】解：（1）∵正比例函数y＝﹣2x和反比例函数图象都经过点A（﹣1，a），∴a＝﹣2×（﹣1）＝2，∴A（﹣1，2），∴2＝，∴k＝﹣2；（2）如图，过A作AH⊥y轴于H，∴AH＝1，OH＝2，设B（0，m），∴BH＝m﹣2，∵AO2＝12+22＝5，∴AB2＝OB2﹣AO2＝AH2+BH2，∴m2﹣5＝1+（m﹣2）2，解得m＝2.5，∴OB＝，∴AB＝＝；（3）∵点C在直线OA上，∴设C（a，﹣2a），∵∠BAO＝90°，＝＝××＝，∴S△ABC解得a＝﹣或a＝﹣，∴点C的坐标为（﹣，）或（﹣，）．【点评】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积公式，勾股定理，正确地画出图形是解题的关键．26．（10分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边AC上一点，过D作DE垂直AB，垂足为点E．（1）如图1，点E是AB的中点，CD＝DE，如果AB＝6，求BC的长；（2）已知CD＝BC，①如图2，联结CE，求证：CE平分∠BED；②如图3，延长DE至点F，联结CF交线段AB于点G，当∠A＝∠F，且点G是CF中点时，求的值．【分析】（1）连接BD，利用线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质解答即可；（2）①过点C作CF⊥AB于点F，过点C作CG⊥DE，交DE的延长线于点G，利用直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质和正方形的判定与性质解答即可；②过点C作CH⊥AB于点H，过点C作CM⊥DE，交DE的延长线于点M，利用①的结论，全等三角形的判定与性质，平行线的性质解答即可得出结论．【解答】（1）解：连接BD，如图，∵DE⊥AB，AE＝BE＝AB＝3，∴DE为AB的垂直平分线，∴AD＝BD，在Rt△ADE和Rt△BDC中，，∴Rt△ADE≌Rt△BDC（HL），∴AE＝BC＝3．答：BC的长为3．（2）①证明：过点C作CF⊥AB于点F，过点C作CG⊥DE，交DE的延长线于点G，如图，∵CF⊥AB，CG⊥DE，DE⊥AB，∴四边形CGEF为矩形，∴∠GCF＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠GCD+∠DCF＝∠DCF+∠FCB＝90°，∴∠DCG＝∠BCF．在△DGC和△BFC中，，∴△DGC≌△BFC（AAS），∴CG＝CF，∴矩形CGEF为正方形，∴∠DEC＝∠BEC＝45°，∴CE平分∠BED；②解：过点C作CH⊥AB于点H，过点C作CM⊥DE，交DE的延长线于点M，如图，由（2）知：四边形CMEH为正方形，∴ME＝EH，CH∥ME．∴∠GCH＝∠F．∵∠HCB+∠B＝90°，∠A+∠B＝90°，∴∠HCB＝∠A，∵∠A＝∠F，∴∠HCB＝∠HCG，在△HGC和△HBC中，，∴△HGC≌△HBC（AAS），∴GH＝BH，∵△DMC≌△BHC，∴MD＝BH，∴MD＝GH，∴ED＝EG．在△HGC和△EGF 中，，∴△HGC≌△EGF（ASA），∴EG＝GH，EF＝CH．∴EF＝EH＝2EG＝2DE．在△ADE和△FGE 中，，∴△ADE≌△FGE（AAS），∴AE＝EF，∴AE＝EH＝2EG，∴＝2．【点评】本题主要考查了直角三角形的性质，垂直的定义，全等三角形的判定与性质矩形的判定与性质正方形的判定与性质，恰当的添加辅助线构造全等三角形是解题的关键。

2023-2024学年上海市杨浦区八年级(上)期末数学试卷及答案解析

2023-2024学年上海市长宁区九年级（上）期末数学试卷（一模）一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【每小题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B铅笔正确填涂】1．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果∠A＝α，BC＝a，那么AC等于（）A．a•tanαB．a•cotαC．D．2．（4分）下列关于抛物线y＝2x2+x﹣3的描述正确的是（）A．该抛物线是上升的B．该抛物线是下降的C．在对称轴的左侧该抛物线是上升的D．在对称轴的右侧该抛物线是上升的3．（4分）已知点C在线段AB上，且满足AC2＝BC•AB，那么下列式子成立的是（）A．B．C．D．4．（4分）已知为非零向量，且，那么下列说法错误的是（）A．B．C．+3＝0D．∥5．（4分）如果点D、E分别在△ABC的两边AB、AC上，由下列哪一组条件可以推出DE ∥BC（）A．，＝B．C．，D．6．（4分）已知在△ABC与△A'B'C'中，点D、D′分别在边BC、B'C'上，（点D不与点B、C重合，点D'不与点B'、C'重合）．如果△ADC与△A′D′C′相似，点A、D分别对应点A'、D'，那么添加下列条件可以证明△ABC与△A'B'C'相似的是（）①AD、A'D'分别是△ABC与△A'B'C'的角平分线；②AD、A'D'分别是△ABC与△A'B'C'的中线；③AD、A'D'分别是△ABC与△A'B'C'的高．A．①②B．②③C．①③D．①②③二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案】7．（4分）如果5x＝3y（x、y均不为零），那么x：（x+y）的值是．8．（4分）计算：2cos30°﹣tan45°＝．9．（4分）已知线段a＝3cm，b＝4cm，那么线段a、b的比例中项等于cm．10．（4分）已知两个相似三角形的周长之比为2：3，那么它们的面积之比为．11．（4分）如图，AB∥CD∥EF，如果AC：CE＝2：3，BF＝10，那么线段DF的长为．12．（4分）二次函数f（x）＝ax2+bx+c图象上部分点的坐标满足下表：那么f（﹣5）＝．x…﹣3﹣2﹣101…f（x）…﹣3﹣2﹣3﹣6﹣11…13．（4分）已知向量与单位向量方向相反，且，那么＝．（用含向量的式子表示）14．（4分）已知一条斜坡的长度为13米，高度为5米，那么该斜坡的坡度为．15．（4分）如图，在△ABC中，AD是BC上的高，且BC＝5，AD＝3，矩形EFGH的顶点F、G在边BC上，顶点E、H分别在边AB和AC上，如果EH＝2EF，那么EH＝．16．（4分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点G是△ABC的重心，联结GA、GC，如果AC＝3，，那么∠GCA的余切值为．17．（4分）我们把顶角互补的两个等腰三角形叫做友好三角形．在△ABC中，AB＝AC＝10，点D、E都在边BC上，AD＝AE＝5，如果△ABC与△ADE是友好三角形，那么BC的长为．18．（4分）如图，在矩形ABCD中，AD＝8，AB＝4，AC是对角线，点P在边BC上，联结DP，将△DPC沿着直线DP翻折，点C的对应点Q恰好落在△ADC内，那么线段BP 的取值范围是．三、解答题（本大题共7题，满分78分）【将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上】19．（10分）已知抛物线y＝2x2+4x+1．（1）用配方法把y＝2x2+4x+1化为y＝a（x+m）2+k的形式，并写出该抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）如果将该抛物线上下平移，得到新的抛物线经过点（1，4），求平移后的抛物线的顶点坐标．20．（10分）在平行四边形ABCD中，点E是AD的中点，BE、AC相交于点F．（1）设，，试用、表示；（2）先化简，再求作：（直接作在图中）．21．（10分）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，AC⊥BC，DE⊥AC，垂足为点E，AC＝4，DE＝3．（1）求AD：AB的值；（2）联结BD交AC于点F，如果，求CF的长．22．（10分）小明为测量河对岸大楼的高度，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示．测量方法：如图2，人眼在P点观察所测物体最高点C，量角器零刻度线上A、B两点均在视线PC上，将铅锤悬挂在量角器的中心点O．当铅锤静止时，测得视线PC与铅垂线OD所夹的角为α，且此时的仰角为β．实践操作：如图3，小明利用上述工具测量河对岸垂直于水平地面的大楼EF的高度．他先站在水平地面的点H处，视线为GE，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为60°；然后他向前走10米靠近大楼站在水平地面的点R处，视线为QE，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为45°．问题解决：（1）请用含α的代数式表示仰角β；（2）如果GH、QR、EF在同一平面内，小明的眼睛到水平地面的距离为1.6米，求大楼EF的高度．（结果保留根号）23．（12分）如图，在△ABC中，点D、E分别是BC、AD的中点，且AD＝AC，联结CE 并延长交AB于点F．（1）求证：△ABC∽△DCE；（2）求证：BF＝4EF．24．（12分）已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y 轴交于点C，直线y＝﹣x﹣6经过点A与点C．（1）求抛物线的表达式；（2）点P在线段AC下方的抛物线上，过点P作BC的平行线交线段AC于点D，交y 轴于点E．①如果C、F两点关于抛物线的对称轴对称，联结DF，当DF⊥CF时，求∠PDF的正切值；②如果PD：DE＝3：5，求点P的坐标．25．（14分）已知△ABC中，∠ABC＝2∠C，BG平分∠ABC，AB＝8，AG＝．点D、E 分别是边BC、AC上的点（点D不与点B、C重合），且∠ADE＝∠ABC，AD、BG相交于点F．（1）求BC的长；（2）如图1，如果BF＝2CE，求BF：GF的值；（3）如果△ADE是以AD为腰的等腰三角形，求BD长．2023-2024学年上海市长宁区九年级（上）期末数学试卷（一模）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【每小题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B铅笔正确填涂】1．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果∠A＝α，BC＝a，那么AC等于（）A．a•tanαB．a•cotαC．D．【分析】画出图形，根据锐角三角函数的定义求出即可．【解答】解：cot∠A＝，∴AC＝BC•cot A＝a•cot A，故选：B．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力．2．（4分）下列关于抛物线y＝2x2+x﹣3的描述正确的是（）A．该抛物线是上升的B．该抛物线是下降的C．在对称轴的左侧该抛物线是上升的D．在对称轴的右侧该抛物线是上升的【分析】根据抛物线的解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确．【解答】解：∵抛物线y＝2x2+x﹣3，∴a＝2＞0，在对称轴左侧，该抛物线下降，在对称轴右侧上升，故选项A、B、C均错误，不符合题意，选项D正确，符合题意；故选：D．【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．3．（4分）已知点C在线段AB上，且满足AC2＝BC•AB，那么下列式子成立的是（）A．B．C．D．【分析】根据黄金分割的定义进行计算，即可解答．【解答】解：∵点C在线段AB上，且满足AC2＝BC•AB，∴点C是AB的黄金分割点，且AC＞BC，∴＝＝，故选：B．【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．4．（4分）已知为非零向量，且，那么下列说法错误的是（）A．B．C．+3＝0D．∥【分析】根据平面向量的运算法则逐一判断即可．【解答】解：∵为非零向量，且，∴；||＝3||；；，故C错误，故选：C．【点评】本题考查了平面向量，熟记平面向量的运算法则是解题的关键．5．（4分）如果点D、E分别在△ABC的两边AB、AC上，由下列哪一组条件可以推出DE ∥BC（）A．，＝B．C．，D．【分析】对于选项C，证明△DAE∽△BAC，根据相似三角形的性质得到∠ADE＝∠ABC，根据平行线的判定定理证明．【解答】解：A、不能推出DE∥BC，不符合题意；B、不能推出DE∥BC，不符合题意；C、∵＝，∴＝，∵＝，∴＝，∵∠A＝∠A，∴△DAE∽△BAC，∴∠ADE＝∠ABC，∴DE∥BC，本选项符合题意；D、不能推出DE∥BC，不符合题意；故选：C．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行线的判定，熟记相似三角形的判定定理是解题的关键．6．（4分）已知在△ABC与△A'B'C'中，点D、D′分别在边BC、B'C'上，（点D不与点B、C重合，点D'不与点B'、C'重合）．如果△ADC与△A′D′C′相似，点A、D分别对应点A'、D'，那么添加下列条件可以证明△ABC与△A'B'C'相似的是（）①AD、A'D'分别是△ABC与△A'B'C'的角平分线；②AD、A'D'分别是△ABC与△A'B'C'的中线；③AD、A'D'分别是△ABC与△A'B'C'的高．A．①②B．②③C．①③D．①②③【分析】根据相似三角形的判定与性质逐一判断即可得出结论．【解答】解：如图，①AD、A'D'分别是△ABC与△A'B'C'的角平分线，∴∠BAD＝∠CAD，∠B'A'D'＝∠C'A'D'，又∵△ADC∽△A'D'C'，∴∠CAD＝∠C'A'D'，∠C＝∠C'，∴∠BAC＝∠B'A'C'，∴△BAC∽△B'A'C'，故添加条件①可以证明△ABC与△A'B'C'相似；②AD、A'D'分别是△ABC与△A'B'C'的中线，∴BD＝CD，B'D'＝C'D'，又∵△ADC∽△A'D'C'，∴∠ADC＝∠A'D'C'，，∴，∠ADB＝∠A'D'B'，∴△ABD∽△A'B'D'，∴∠B＝∠B'，又∵∠C＝∠C'，∴△BAC∽△B'A'C'，故添加条件②可以证明△ABC与△A'B'C'相似；③AD、A'D'分别是△ABC与△A'B'C'的高，△ADC∽△A'D'C'，由图形可知，△ABC与△A'B'C'不相似，故选：A．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案】7．（4分）如果5x＝3y（x、y均不为零），那么x：（x+y）的值是3：8．【分析】令x＝3，则y＝5，x：（x+y）＝3：（3+5）＝3：8．【解答】解：根据题意，可令x＝3，则y＝5，因此，x：（x+y）＝3：（3+5）＝3：8．故答案为：3：8．【点评】本题考查的是比例的基本性质，令x＝3，则y＝5，然后化简整理即可求得．8．（4分）计算：2cos30°﹣tan45°＝﹣1．【分析】利用特殊锐角的三角函数值计算即可．【解答】解：原式＝2×﹣1＝﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查特殊锐角的三角函数值，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．9．（4分）已知线段a＝3cm，b＝4cm，那么线段a、b的比例中项等于2cm．【分析】根据线段的比例中项的定义列式计算即可得解．【解答】解：∵线段a＝3cm，b＝4cm，∴线段a、b的比例中项＝＝2cm．故答案为：2．【点评】本题考查了比例线段，熟记线段比例中项的求解方法是解题的关键，要注意线段的比例中项是正数．10．（4分）已知两个相似三角形的周长之比为2：3，那么它们的面积之比为4：9．【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比求出相似比，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求解即可．【解答】解：∵两个相似三角形的周长比为，∴这两个相似三角形的相似比为2：3，∴它们的面积比是4：9．故答案为：4：9．【点评】本题考查了相似三角形的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．11．（4分）如图，AB∥CD∥EF，如果AC：CE＝2：3，BF＝10，那么线段DF的长为6．【分析】根据平行线分线段成比例定理，得出＝＝，再根据DF＝BF×代入计算即可．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴＝＝，∵BF＝10，∴DF＝10×＝6；故答案为：6．【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，用到的知识点是平行线分线段成比例定理，关键是找准对应关系，列出比例式．12．（4分）二次函数f（x）＝ax2+bx+c图象上部分点的坐标满足下表：那么f（﹣5）＝﹣11．x…﹣3﹣2﹣101…f（x）…﹣3﹣2﹣3﹣6﹣11…【分析】利用表中数据确定抛物线的对称轴，然后根据抛物线的对称性求解．【解答】解：利用表中数据得抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，所以x＝﹣5和x＝1时的函数值相等，即当x＝﹣5时，y的值为﹣11．故答案为：﹣11．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了抛物线的对称性．13．（4分）已知向量与单位向量方向相反，且，那么＝．（用含向量的式子表示）【分析】由向量与单位向量方向相反，且，根据单位向量与相反向量的知识，即可求得答案．【解答】解：∵向量与单位向量方向相反，且，∴＝﹣3．故答案为：﹣3．【点评】此题考查了平面向量的知识．此题难度不大，解答本题的关键是掌握单位向量与相反向量的定义．14．（4分）已知一条斜坡的长度为13米，高度为5米，那么该斜坡的坡度为1：2.4．【分析】根据勾股定理求出斜坡的水平距离，再根据坡度的概念计算即可．【解答】解：∵斜坡的长度为13米，高度为5米，∴斜坡的水平距离为：＝12，∴斜坡的坡度为5：12＝1：2.4，故答案为：1：2.4．【点评】本题考查的是解直角三角形﹣坡度坡角问题，熟记坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．15．（4分）如图，在△ABC中，AD是BC上的高，且BC＝5，AD＝3，矩形EFGH的顶点F、G在边BC上，顶点E、H分别在边AB和AC上，如果EH＝2EF，那么EH＝．【分析】设边EF的长为x（0＜x＜3），则AN＝3﹣x，进而利用矩形的性质推出△AEH ∽△ABC，根据相似三角形的性质求解即可．【解答】解：如图，AD交EH于点N，设边EF的长为x（0＜x＜3），则AN＝AD﹣EF＝3﹣x，∵四边形EFGH是矩形，∴EH∥BC，∴△AEH∽△ABC，∴＝，∵EH＝2EF，∴EH＝2x，∴＝，∴x＝，∴EH＝2x＝，故答案为：．【点评】此题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质，熟记矩形的性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键．16．（4分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点G是△ABC的重心，联结GA、GC，如果AC＝3，，那么∠GCA的余切值为．【分析】由于点G是△ABC的重心，所以＝＝2，AD是BC边的中线，CF是AB 边的中线，可得AD，因为∠BAC＝90°，所以BC＝2AD，可得BC，由勾股定理得AB，证△ACF∽△ECG，可得EC、GE，可算得∠GCA的余切值．【解答】解：，延长AG交BC于点D，延长CG交AB于点F，过G作GE⊥AC，交AC于点E，∵点G是△ABC的重心，∴＝＝2，AD是BC边的中线，CF是AB边的中线，∵AG＝，∴GD＝，AD＝，∵AD是BC边的中线，∠BAC＝90°，∴BC＝2AD＝5，在Rt△ABC中，AB＝＝4，∵CF是AB边的中线，∴AF＝AB＝2，∵GE⊥AC，∴∠CEG＝90°，∵∠BAC＝90°，∠ECG＝∠ACF，∴△ACF∽△ECG，∴，∵＝2，∴＝，∵AC＝3，AF＝2，∴EC＝2，GE＝，∴cot∠GCA＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了三角形的重心、勾股定理、余切，关键是掌握三角形重心的性质．17．（4分）我们把顶角互补的两个等腰三角形叫做友好三角形．在△ABC中，AB＝AC＝10，点D、E都在边BC上，AD＝AE＝5，如果△ABC与△ADE是友好三角形，那么BC的长为8．【分析】如图，过点A作AF⊥BC于点F．证明△FAD∽△FBA，推出＝＝＝＝，设DF＝EF＝x，这AF＝2x，BF＝4x，构建方程求解．【解答】解：如图，过点A作AF⊥BC于点F．∵AB＝AC，AD＝AE，AF⊥BC，∴DF＝EF，BF＝FC，∠BAF＝∠CAF，∠DAF＝∠EAF，∵∠BAC+∠DAE＝180°，∴2∠BAF+2∠DAF＝180°，∴∠BAF+∠DAF＝90°，∵∠BAF+∠B＝90°，∴∠DAF＝∠B，∵∠AFD＝∠AFB＝90°，∴△FAD∽△FBA，∴＝＝＝＝，设DF＝EF＝x，这AF＝2x，BF＝4x，∵AB2＝AF2+BF2，∴102＝（2x）2+（4x）2，∴x＝（负根已经舍去），∴BC＝2BF＝8x＝8．故答案为：8．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程．18．（4分）如图，在矩形ABCD中，AD＝8，AB＝4，AC是对角线，点P在边BC上，联结DP，将△DPC沿着直线DP翻折，点C的对应点Q恰好落在△ADC内，那么线段BP 的取值范围是4＜BP＜6．【分析】若点Q落在AD边上时，由折叠的性质证出四边形PQDC是正方形，得出PC ＝CD＝4，求出BP＝4；若点Q落在对角线AC上时，证明△ECD∽△CPD，得出，求出DP的长，可求出BP＝6，则可得出答案．【解答】解：若点Q落在AD边上时，如图，∵将△DPC沿着直线DP翻折，∴CP＝PQ，∠PCD＝∠PQD，∵四边形ABCD是矩形，∴∠PCD＝∠CDQ＝∠PDQ＝90°，AB＝CD＝4，∴四边形PQDC是矩形，∵CP＝PQ，∴四边形PQDC是正方形，∴PC＝CD＝4，∴BP＝BC﹣CP＝4；若点Q落在对角线AC上时，如图，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝4，AD＝BC＝8，∠B＝∠D＝90°，∴AC＝＝＝4，∵，∴DE＝＝，∵△DPC沿着直线DP翻折，∴DP⊥AC，∴∠DEC＝90°，∴∠EPC+∠PCE＝90°，∵∠PCE+∠DCE＝90°，∴∠DCE＝∠DPC，∵∠PCD＝∠DEC，∴△ECD∽△CPD，∴，∴，∴DP＝2，∴CP＝＝＝2，∴BP＝BC﹣CP＝8﹣2＝6，∵点C的对应点Q恰好落在△ADC内，∴线段BP的取值范围是4＜BP＜6．故答案为：4＜BP＜6．【点评】本题考查矩形的性质，翻折变换，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．三、解答题（本大题共7题，满分78分）【将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上】19．（10分）已知抛物线y＝2x2+4x+1．（1）用配方法把y＝2x2+4x+1化为y＝a（x+m）2+k的形式，并写出该抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）如果将该抛物线上下平移，得到新的抛物线经过点（1，4），求平移后的抛物线的顶点坐标．【分析】（1）利用配方法把一般式化为顶点式，根据二次函数的性质写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．（2）设平移后的抛物线解析式为y＝2（x+1）2﹣1+k，代入点（1，4），求得k的值即可求解．【解答】解：（1）y＝2x2+4x+1＝2（x2+2x+1）﹣2+1＝2（x+1）2﹣1，∴该抛物线的开口向上，对称轴是直线x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，﹣1）；（2）设平移后的抛物线解析式为y＝2（x+1）2﹣1+k，∵新的抛物线经过点（1，4），∴4＝2×22﹣1+k，解得k＝﹣3，∴平移后的抛物线解析式为y＝2（x+1）2﹣4，∴平移后的抛物线的顶点坐标是（﹣1，﹣4）．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的性质是解题的关键．20．（10分）在平行四边形ABCD中，点E是AD的中点，BE、AC相交于点F．（1）设，，试用、表示；（2）先化简，再求作：（直接作在图中）．【分析】（1）根据平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质得出EF与BE的关系即可得出结果；（2）化简，根据化简结果可知即为所求．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵点E是AD的中点，∴AE＝，∴，∴EF＝，∵AE＝，，∴，∴，∴＝；（2）＝2＝﹣，∵，，如图，过点E作EG∥AB交BC于点G，连接GA，则即为所求．【点评】本题考查了平面向量，相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，正确化简并掌握平面向量的三角形计算法则是解题的关键．21．（10分）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，AC⊥BC，DE⊥AC，垂足为点E，AC＝4，DE＝3．（1）求AD：AB的值；（2）联结BD交AC于点F，如果，求CF的长．【分析】（1）借助于△ABC∽△DAE即可解决问题．（3）先求出BC的长，再借助于△BCF∽△DEF即可解决问题．【解答】解：（1）∵∠BAD＝90°，∴∠BAC+∠DAE＝90°．∵AC⊥BC，DE⊥AC，∴∠ACB＝∠DEA＝90°，∠B+∠BAC＝90°，∴∠B＝∠DAE．∴△ABC∽△DAE，∴AD：AB＝DE：AC，又∵AC＝4，DE＝3，∴AD：AB＝．（2）联结BD交AC于点F，如图所示，在Rt△ABC中，tan∠BAC＝，∵tan∠BAC＝，AC＝4，∴BC＝2．在Rt△AED中，tan∠ADE＝tan∠BAC＝，则，∴AE＝，则CE＝4﹣＝．又∵∠ACB＝∠DEC，∠BFC＝∠DFE，∴△BCF∽△DEF，∴，则，解得CF＝1．故CF的长为1．【点评】本题考查解直角三角形，勾股定理和相似三角形的巧妙运用是解题的关键．22．（10分）小明为测量河对岸大楼的高度，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示．测量方法：如图2，人眼在P点观察所测物体最高点C，量角器零刻度线上A、B两点均在视线PC上，将铅锤悬挂在量角器的中心点O．当铅锤静止时，测得视线PC与铅垂线OD所夹的角为α，且此时的仰角为β．实践操作：如图3，小明利用上述工具测量河对岸垂直于水平地面的大楼EF的高度．他先站在水平地面的点H处，视线为GE，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为60°；然后他向前走10米靠近大楼站在水平地面的点R处，视线为QE，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为45°．问题解决：（1）请用含α的代数式表示仰角β；（2）如果GH、QR、EF在同一平面内，小明的眼睛到水平地面的距离为1.6米，求大楼EF的高度．（结果保留根号）【分析】（1）延长OD交PK于L，根据题意可得：OL⊥PK，从而可得：∠OLP＝90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算，即可解答；（2）延长GQ交EF于点M，根据题意可得：GM⊥EF，GH＝QR＝MF＝1.6米，GQ＝HR＝10米，然后设EM＝x米，分别在Rt△EGM和Rt△EQM中，利用锐角三角函数的定义求出GM和QM的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答．【解答】解：（1）如图：延长OD交PK于L，由题意得：OL⊥PK，∴∠OLP＝90°，∵∠POD＝α，∴∠OPL＝90°﹣∠POD＝90°﹣α，∴β＝90°﹣α；（2）延长GQ交EF于点M，由题意得：GM⊥EF，GH＝QR＝MF＝1.6米，GQ＝HR＝10米，设EM＝x米，在Rt△EGM中，∠GEM＝60°，∴GM＝EM•tan60°＝x（米），在Rt△EQM中，∠QEM＝45°，∴QM＝EM•tan45°＝x（米），∵GM﹣QM＝GQ，∴x﹣x＝10，解得：x＝5+5，∴EM＝（5+5）米，∴EF＝EM+FM＝5+5+1.6＝（5+6.6）米，∴大楼EF的高度为（5+6.6）米．【点评】本题考查了解直角三角形﹣仰角俯角问题，列代数式，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．23．（12分）如图，在△ABC中，点D、E分别是BC、AD的中点，且AD＝AC，联结CE 并延长交AB于点F．（1）求证：△ABC∽△DCE；（2）求证：BF＝4EF．【分析】（1）由相似三角形的判定可得结论；（2）由三角形中位线定理可得DH∥AB，可得△AFE∽△DHE，可证EF＝EH，可得CF ＝4EF，由相似三角形的性质可得∠B＝∠DCE，可得BF＝CF＝4EF．【解答】证明：（1）∵点D、E分别是BC、AD的中点，∴BC＝2CD，DA＝2DE，∵AD＝AC，∴AC＝2DE，∠ADC＝∠ACD，∴＝2，∴△ABC∽△DCE；（2）取FC的中点H，连接DH，∵点H是CF的中点，∴FH＝CH，又∵BD＝CD，∴DH∥AB，∴△AFE∽△DHE，∴＝1，∴EF＝EH，∴FH＝2EF，∴FC＝4EF，由（1）可知：△ABC∽△DCE，∴∠B＝∠DCE，∴BF＝CF，∴BF＝4EF．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键．24．（12分）已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y 轴交于点C，直线y＝﹣x﹣6经过点A与点C．（1）求抛物线的表达式；（2）点P在线段AC下方的抛物线上，过点P作BC的平行线交线段AC于点D，交y 轴于点E．①如果C、F两点关于抛物线的对称轴对称，联结DF，当DF⊥CF时，求∠PDF的正切值；②如果PD：DE＝3：5，求点P的坐标．【分析】（1）由待定系数法即可求解；（2）①证明DF∥y轴，则∠ADP＝∠E＝∠OCB，即可求解；②由PD：DE＝3：5，得到PT＝﹣m，则点P（m，m﹣6），即可求解．【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x﹣6经过点A与点C，则点A、C的坐标分别为：（﹣6，0）、（0，﹣6），由题意得：，解得：，则抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣6；（2）①如图1，C、F两点关于抛物线的对称轴对称，则CF∥x轴，当DF⊥CF时，则DF∥y轴，则∠PDF＝∠E＝∠OCB，则tan∠PDF＝tan∠OCB＝；②设点D（m，﹣m﹣6），如图2，∵PD∥BC，tan∠OCB＝，则直线DP的表达式为：y＝3（x﹣m）﹣m﹣6，过点D、P分别作y轴的垂线，垂足分别为点N、T，∵PD：DE＝3：5，则ND：PT＝DE：PE＝5：8，即﹣m：PT＝5：8，则PT＝﹣m，则点P（m，m﹣6），将点P的坐标代入抛物线表达式得：m﹣6＝（m）2+2（m）﹣6，解得：m＝﹣，则点P（﹣3，﹣7.5）．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、待定系数法求函数表达式、三角形相似等，综合性强，难度适中．25．（14分）已知△ABC中，∠ABC＝2∠C，BG平分∠ABC，AB＝8，AG＝．点D、E 分别是边BC、AC上的点（点D不与点B、C重合），且∠ADE＝∠ABC，AD、BG相交于点F．（1）求BC的长；（2）如图1，如果BF＝2CE，求BF：GF的值；（3）如果△ADE是以AD为腰的等腰三角形，求BD长．【分析】（1）根据角平分线的定义以及∠ABC和∠C的关系，可以得出BG＝CG，△ABG ∽△ACB，据此求出BC长即可；（2）根据△ABF与△DCE相似，可以求出BD和CD的长，过G作HG∥BC交AD于H，根据平行线分线段成比例及可求出BF：GF；（3）根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质，可以得出△CDE也是等腰三角形，所以DE∥BG，然后根据平行线分线段成比例求解即可．【解答】解：（1）∵∠ABC＝2∠C，BG平分∠ABC，∴∠ABG＝∠BGC＝∠C，∴BG＝CG，又∵∠BAG＝∠CAB，∴△ABG∽△ACB，∴＝＝，∴AC＝＝＝12，∴CG＝AC﹣AG＝，∴BC＝＝10；（2）由（1）知，△ABG∽△CAB，∴∠AGB＝∠ABC，∵∠ADE＝∠ABC，∴∠AGB＝∠ADE，∵∠FAG＝∠DAE，∴∠AFG＝∠AED，∵∠AFG+∠AFB＝180°，∠AED+∠CED＝180°，∴∠AFG＝∠CED，又∵∠ABG＝∠C，∴△ABF∽△DCE，∴＝＝2，∴CD＝4，∴BD＝BC﹣CD＝6，过G作HG∥BC交AD于H，如图：∴＝，∴GH＝＝，同理，＝＝，∴BF：FG＝；（3）∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝∠ABC＝∠AGB，∴DE∥BG，∴∠AFG＝∠ADE＝∠AGF，∴AF＝AG，∵∠ABC＝2∠C，∴∠EDC＝∠C，∴CE＝DE，由（2）知，△ABF∽△CDE，∴AF＝BF，∴GF＝BG﹣BF＝CG﹣AG＝，∵DE∥BG，∴＝，∴DE＝CE＝，同理，＝，∴CD＝，∴BD＝．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例以及等腰三角形的判定与性质，属于综合题，正确判断相似条件是本题解题的关键。

2023-2024学年上海市杨浦区八年级(上)期末数学试卷(含解析)

2023-2024学年上海市杨浦区八年级（上）期末数学试卷一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下列各式中与2是同类二次根式的是( )A. 20B. 1C. 24D. 0.222.用配方法解一元二次方程x2−6x−7=0，则方程变形为( )A. (x−6)2=43B. (x+6)2=43C. (x−3)2=16D. (x+3)2=163.下面各组变量的关系中，成正比例关系的有( )A. 人的身高与年龄B. 汽车从甲地到乙地，所用时间与行驶速度C. 正方形的面积与它的边长D. 圆的周长与它的半径4.如图，点P在反比例函数y=k(x>0)第一象限的图象上，PQ垂直x轴，垂足为xQ，设△POQ的面积是s，那么s与k之间的数量关系是( )A. s=k4B. s=k2C. s=kD. 不能确定5.下列给出的三条线段中，不能构成直角三角形的是( )A. 4，8，43B. 4，8，45C. 7，24，25D. 7，14，156.已知下列命题中：①有两条边分别相等的两个直角三角形全等；②有一条腰相等的两个等腰直角三角形全等；③有一条边与一个锐角分别相等的两个直角三角形全等；④顶角与底边分别对应相等的两个等腰三角形全等．其中真命题的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。

7.计算：2a⋅6a=______ ．8.方程x2=5x的根是______．9.函数y=2x−1的定义域是______．10.已知f(x)=12+x，那么f(3)=______ ．11.若函数y=(k+1)x是正比例函数，且y的值随x的值增大而减小，则k的取值范围是______ ．12.关于x的一元二次方程mx2−2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是______ ．13.到点A的距离等于2厘米的点的轨迹是______ ．14.若直角三角形斜边上的高是3，斜边上的中线是6，则这个直角三角形的面积是______．15.如图，在△ABC中，∠C=90°，边AB的垂直平分线DE交AC于D，CD=10cm，AD=20cm，则∠A=______ ．16.若点P在x轴上，点A坐标是(2,−1)，且PA=2，则点P的坐标是______．17.在证明“勾股定理”时，可以将4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形(如图所示，AB<BC).如果小正方形的面积是25，大正方形的面积为49，那么BCAB=______．18.我们规定：如果一个三角形一边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”.如图，已知直线l1//l2，l1与l2之间的距离是3，“等高底”△ABC的“等底”BC在直线l1上(点B在点C的左侧)，点A在直线l2上，AB=2BC，将△ABC绕点B顺时针旋转45°得到△A1BC1，点A、C的对应点分别为点A1、C1，那么A1C 的长为．三、解答题：本题共8小题，共52分。

2023-2024学年上海市宝山区八年级(上)期末数学试卷(含解析)

2023-2024学年上海市宝山区八年级（上）期末数学试卷一、选择题。

（本大题共6题，每题3分，满分18分）1．（3分）在下列二次根式中，属于最简二次根式的是（）A．B．C．D．2．（3分）下列方程中，关于x的一元二次方程的是（）A．x（x﹣5）＝0B．ax2﹣3＝0C．D．2x﹣x3＝1 3．（3分）随着互联网购物急速增加，快递业逐渐成为我国发展最快的行业之一，某快递店十月份揽件5000件、十月、十一月、十二月合计揽件20000件，如果该快递店十一月、十二月月揽件量的增长率都是x，那么由题意可得方程（）A．50000（1+x）2＝20000B．5000+5000（1+x）+5000（1+x）2＝20000C．5000+5000×3x＝20000D．5000+5000×2x＝200004．（3分）直角三角形的两条直角边分别为1和，那么它斜边上的中线长是（）A．B．C．3D．5．（3分）已知反比例函数的图象有一支在第四象限，点在正比例函数y＝﹣kx的图象上，那么点P在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限．6．（3分）下列命题中，逆命题是假命题的是（）A．两直线平行，内错角相等B．直角三角形的两个锐角互余C．关于某个点成中心对称的两个三角形全等D．线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等二、填空题（本大题共12题，每小题2分，满分24分）7．（2分）计算：＝．8．（2分）函数的定义域为．9．（2分）已知，那么f（﹣1）＝．10．（2分）如果关于x的方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，那么m的值是．11．（2分）如果点A（2，1）是反比例函数图象上一点，那么k＝．12．（2分）已知y是x的正比例函数，当x＝2时，y＝3，那么当时，y＝．13．（2分）化简：＝．14．（2分）在实数范围内分解因式：x2+4x+1＝．15．（2分）如图，射线l A、l B分别表示两个物体A和B所受压力F与受力面积S的函数关系，当受力面积相同时，它们所受的压力分别为F A、F B，则F A F B．（填“＞”、“＜”或“＝”）16．（2分）已知等腰直角三角形斜边上的高为方程x2﹣5x﹣6＝0的根，那么这个直角三角形斜边的长是．17．（2分）如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，∠ABD＝∠DBC，AD＝6，BC＝8，那么△DBC的面积是．18．（2分）已知点D、E分别是等边△ABC边AB、AC上的动点，将△ADE沿直线DE翻折，使点A恰好落在边BC上的点P处，如果△BPD是直角三角形，且BP＝2，那么EC的长是．三、简答题（本大题共4题，每题6分，满分24分）19．（6分）计算：．20．（6分）解方程：x（x﹣2）＝7．21．（6分）已知y＝y1+y2，并且y1与（x﹣2）成正比例，y2与x成反比例，当x＝﹣1时，y ＝3；当x＝4时，．（1）求y关于x的函数解析式；（2）求x＝﹣1时的函数值．22．（6分）如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E，F，BE，CF相交于点D，若BD ＝CD．求证：AD平分∠BAC．四、解答题（本大题共4题，第23-25题每题8分，第26题10分，满分34分）23．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A（1，6）、B（3，m）是反比例函数的图象上的两点，联结AB．（1）求反比例函数的解析式；（2）线段AB的垂直平分线交x轴于点P，求点P的坐标．24．（8分）越来越多的人选择骑自行车这种低碳方便又健身的方式出行．某日，一位家住宝山的骑行爱好者打算骑行去上海蟠龙天地，记骑行时间为t小时，平均速度为v千米/小时（骑行速度不超过40千米/小时）．根据以往的骑行经验，v、t的一些对应值如下表：v（千米/小时）15202530t（小时）2 1.5 1.21（1）根据表中的数据，求出平均速度v（千米/小时）关于行驶时间t（小时）的函数表达式；（2）如果这位骑行爱好者上午8：30从家出发，能否在上午9：10之前到达上海蟠龙天地？请说明理由；（3）若骑行到达上海蟠龙天地的行驶时间t满足0.8≤t≤1.6，求平均速度v的取值范围．25．（8分）如图，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD是边AB上的中线，E是边BC 上一点，F是边AC上一点，且DF⊥DE，联结EF．（1）求证：AF＝CE；（2）如果AF＝4，DF＝3．求边AC的长．26．（10分）如图，∠AOB＝30°，C是射线OB上一点，且OC＝2，D是射线OA上一点，联结CD，将△COD沿着直线CD翻折，得到△CDE．（1）设OD＝x，S△COD＝y，求y与x的函数关系式；（2）如果线段DE与射线OB有交点，设交点为G．①直接写出OD的取值范围；②若△CEG是等腰三角形，求∠ODE的度数．2023-2024学年上海市宝山区八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题。

上海市普陀区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题

上海市普陀区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A ．BC BD =C ．BE DE=二、填空题7．化简：39a =16．如图，在四边形ABCD∠=︒，那么BCAD18∠=17．小明求代数式21x++M x为角坐标平面内，设(,0)距离公式得21=+，BMAM x求AM BM+的最小值，由此小明求出18．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=且13CD BD =．现将ABC 绕着点D 旋转得到C 对应，连接1AA ．如果点1C 在线段AD 三、解答题19．计算：261822623⨯+--．20．解方程：()482x x x -=+．(1)甲队摊铺的路面总长是________米；(2)在图中画出乙队摊铺路面的长度y （米）与摊铺时间(3)当甲队的工作效率发生变化的这个时刻，乙队摊铺路面的长度是(4)甲队的平均工作效率是每小时________22．如图，在ABC 中，5BC AB =，直线(1)如果点E 在直线l 上，且点E 到BAC ∠述条件的点E （不写作法，仅保留作图痕迹，在图中清楚地标注出点(1)求证：ABD CAE △△≌．(2)取边BC 的中点F ，连接EF ，求证：24．如图，在平面直角坐标系xOy A 与点B 关于y 轴对称，且点B 在反比例函数(1)求m的值和反比例函数的解析式；(2)设P是直线12y x=-上的一动点．当线段25．【图形新发现】小普同学发现：如果一个三角形的一条角平分线与一条中线互相垂直，那么这个三角形的某两条边必有倍半关系．如图1，已知在ABC中，BD垂足为点F．（1）根据图1，写出ABC【图形再探究】现将小普同学所研究的三角形称为线所平分的内角叫做“分角”（2）在如图1中，“线垂”三角形度数；如果不可以，请说明理由；（3）已知线段MN，是否存在一点三角形？如果存在，请在图PMN（不写作法，仅保留作图痕迹，在图中清楚地标注出点述成一条与“线垂”等腰三角形的边或角有关的真命题；如果不存在，请说明理由．。

2023-2024学年上海市重点学校八年级(上)期末数学试卷(含解析)

2023-2024学年上海市重点学校八年级（上）期末数学试卷一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下列各式中，与2不是同类根式的是( )A. 12B. 0.2 C. 18D. 50x22.如果方程mx2−6x+1=0有实数根，那么m的取值范围是( )A. m<9且m≠0B. m≤9且m≠0C. m<9D. m≤93.下列说法正确的是( )A. 面积一定的平行四边形的一边和这边上的高成正比例B. 面积一定的平行四边形的一边和这边上的高成反比例C. 周长一定的等腰三角形的腰长与它底边的长成正比例D. 周长一定的等腰三角形的腰长与它底边的长成反比例4.某工厂第四季度的每月产值的增长率都是x，其中12月份的产值是100万元，那么10月份的产值是是( )A. 100(1−x2)B. 100(1−x)2C. 100(1+x)2D. 1001+x25.用下列长度的三条线段为边能构成直角三角形是( )A. 13,14,15B. 4，5，6C. 17，8，15D. 1,3,236.下列说法中正确的是( )A. 每个命题都有逆命题B. 每个定理都有逆定理C. 真命题的逆命题是真命题D. 假命题的逆命题是假命题二、填空题：本题共12小题，每小题2分，共24分。

7.当a<−1时，(a+1)2=______ ．8.如果x2(2+x)=−x⋅2+x，那么等式成立的条件是______ ．9.计算：a−ba12−b12=______ ．10.不等式：(3−2)x<1的解集是______ ．11.在实数范围内因式分解x2y2−3xy−2=______ ．12.函数y=x−32−x的定义域是______ ．13.函数y=25x的图象经过的象限是______ ．14.函数y=x2m−3(m为常数)中，y的值随x的增大而减小，那么m的取值范围是______ ．15.“等腰三角形两腰上的高相等”的逆命题是______．16.已知线段AB，以∠A为顶角的等腰△ABC的顶点C的轨迹是______ ．17.如果一个直角三角形两条边的长分别为5、12，那么斜边上中线的长为______ ．18.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=15°，AB=6(如图)，点D是AB的中点，将△ACD沿直线CD翻折后点A落在点E，那么BE的长为______ ．三、计算题：本大题共1小题，共6分。

沪教版(上海)八年级第一学期数学期末试卷

上海市八年级（上）期末数学试卷（附答案与解析）一、选择题（本大题共6题，每题2分，满分12分）1．（2分）下列二次根式中，最简二次根式是（）A．B．C．D．2．（2分）已知函数中，在每个象限内，y随x的增大而增大，那么它和函数y ＝kx（k≠0）在同一直角坐标平面内的大致图象是（）A．B．C．D．3．（2分）方程x2＝4x的解是（）A．x＝4B．x＝2C．x＝4或x＝0D．x＝04．（2分）已知反比例函数y＝的图象经过点（3，﹣2），则k的值是（）A．﹣6B．6C．D．﹣5．（2分）如图，一棵直立的大树在一次强台风中被折断，折断处离地面2米，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为（）A．米B．米C．4米D．6米6．（2分）已知下列命题中：①有两条边分别相等的两个直角三角形全等；②有一条腰相等的两个等腰直角三角形全等；③有一条边与一个锐角分别相等的两个直角三角形全等；④顶角与底边分别对应相等的两个等腰三角形全等．其中真命题的个数是（）A．1B．2C．3D．4二、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分）7．（3分）计算：＝．8．（3分）函数的定义域是．9．（3分）在实数范围内分解因式：x2﹣x﹣3＝．10．（3分）如果正比例函数y＝（k﹣2）x的图象经过第二、四象限，那么k的取值范围是．11．（3分）已知某种近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）之间的函数解析式为，如果测得该近视眼镜镜片的焦距为0.25米，那么该近视眼镜的度数为度．12．（3分）已知直角坐标平面内点A（1，2）和点B（2，4），则线段AB＝．13．（3分）命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题是：．14．（3分）以线段MN为底边的等腰三角形的顶角顶点的轨迹是．15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB，如果CD＝1，那么BD＝．16．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠ADC＝90°，AC＝26，BD＝24，联结AC、BD，取AC和BD的中点M、N，联结MN，则MN的长度为．17．（3分）在平面直角坐标系中，已知反比例函数，有若干个正方形如图依次叠放，双曲线经过正方形的一个顶点（A1，A2，A3在反比例函数图象上），以此作图，我们可以建立了一个“凡尔赛阶梯”，那么A2的坐标为．18．（3分）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，BC＝3，D是边AB上的一点，将△BCD沿直线CD翻折，使点B落在点B1的位置，若B1D⊥BC，则BD的长度为．三、计算题（本大题共2题，满分10分）19．（5分）计算：．20．（5分）解方程：2x（x﹣2）＝x2﹣3．四、解答题（本大题共5题，21-24每题6分，25题8分，满分32分）21．（6分）已知关于x的方程（m﹣1）x2+2mx+m+3＝0有两个实数根，请求出m的最大整数值．22．（6分）为了让我们的小朋友们有更好的学习环境，我校2020年投资110万元改造硬件设施，计划以后每年以相同的增长率进行投资，到2022年投资额将达到185.9万元．（1）求我校改造硬件设施投资额的年平均增长率；（2）从2020年到2022年，这三年我校将总共投资多少万元？23．（6分）如图，AB⊥BC，DC⊥BC，垂足分别是点B、C，点E是线段BC上一点，且AE⊥DE，AE＝ED，如果BE＝3，AB+BC＝11，求AB的长．24．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°．（1）在BC边上求作一点N，使得AN＝BN；（不要求写作法，但要保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，求证：CN＝2BN．25．（8分）如图，已知一次函数和反比例函数的图象交点是A（4，m）．（1）求反比例函数解析式；（2）在x轴的正半轴上存在一点P，使得△AOP是等腰三角形，请求出点P的坐标．五、综合题：（本大题只有1题，满分10分）26．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D、E在线段AB上．（1）如图1，若CD＝CE，求证：AD＝BE；（2）如图2，若∠DCE＝45°，求证：DE2＝AD2+BE2；（3）如图3，若点P是△ABC内任意一点，∠BPC＝135°，设AP＝a、BP＝b、CP＝c，请直接写出a，b，c之间的数量关系．八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6题，每题2分，满分12分）1．（2分）下列二次根式中，最简二次根式是（）A．B．C．D．【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．【解答】解：A、＝，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；B、＝2，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；C|，是最简二次根式，符合题意；D、＝|y|，被开方数中含能开得尽方的因式，不是最简二次根式，不符合题意；故选：C．2．（2分）已知函数中，在每个象限内，y随x的增大而增大，那么它和函数y ＝kx（k≠0）在同一直角坐标平面内的大致图象是（）A．B．C．D．【分析】首先根据反比例函数图象的性质判断出k的范围，在确定其所在象限，进而确定正比例函数图象所在象限，即可得到答案．【解答】解：∵函数中，在每个象限内，y随x的增大而增大，∴k＜0，∴双曲线在第二、四象限，∴函数y＝kx的图象经过第二、四象限，故选：B．3．（2分）方程x2＝4x的解是（）A．x＝4B．x＝2C．x＝4或x＝0D．x＝0【分析】本题可先进行移项得到：x2﹣4x＝0，然后提取出公因式x，两式相乘为0，则这两个单项式必有一项为0．【解答】解：原方程可化为：x2﹣4x＝0，提取公因式：x（x﹣4）＝0，∴x＝0或x＝4．故选：C．4．（2分）已知反比例函数y＝的图象经过点（3，﹣2），则k的值是（）A．﹣6B．6C．D．﹣【分析】把（3，﹣2）代入解析式，就可以得到k的值．【解答】解：根据题意，得k＝xy＝﹣2×3＝﹣6．故选：A．5．（2分）如图，一棵直立的大树在一次强台风中被折断，折断处离地面2米，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为（）A．米B．米C．4米D．6米【分析】根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，求出折断部分的长度，再加上离地面的距离就是折断前树的高度．【解答】解：如图，根据题意BC＝2米，∵∠BAC＝30°，∴AB＝2BC＝2×2＝4米，∴2+4＝6米．故选：D．6．（2分）已知下列命题中：①有两条边分别相等的两个直角三角形全等；②有一条腰相等的两个等腰直角三角形全等；③有一条边与一个锐角分别相等的两个直角三角形全等；④顶角与底边分别对应相等的两个等腰三角形全等．其中真命题的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】根据全等三角形的判定、等腰三角形和直角三角形的性质分别对每一项进行分析即可．【解答】解：①有两条边分别相等的两个直角三角形不一定全等，原命题是假命题；②有一条腰相等的两个等腰直角三角形全等，是真命题；③有一条边与一个锐角分别相等的两个直角三角形不一定全等，原命题是假命题；④顶角与底边分别对应相等的两个等腰三角形全等，是真命题．其中真命题的个数是2个；故选：B．二、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分）7．（3分）计算：＝4．【分析】根据算术平方根的概念去解即可．算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根，由此即可求出结果．【解答】解：∵42＝16，∴＝4，故答案为4．8．（3分）函数的定义域是x≥﹣2．【分析】函数关系中主要有二次根式．根据二次根式的意义，被开方数是非负数．【解答】解：根据题意得：3x+6≥0，解得x≥﹣2．故答案为：x≥﹣2．9．（3分）在实数范围内分解因式：x2﹣x﹣3＝．【分析】首先解一元二次方程x2﹣x﹣3＝0，即可直接写出分解的结果．【解答】解：解方程x2﹣x﹣3＝0，得x＝，则：x2﹣x﹣3＝．故答案是：．10．（3分）如果正比例函数y＝（k﹣2）x的图象经过第二、四象限，那么k的取值范围是k ＜2．【分析】根据正比例函数的性质（正比例函数y＝kx（k≠0），当k＜0时，该函数的图象经过第二、四象限）解答．【解答】解：∵正比例函数y＝（k﹣2）x的的图象经过第二、四象限，∴k﹣2＜0，解得，k＜2．故答案是：k＜2．11．（3分）已知某种近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）之间的函数解析式为，如果测得该近视眼镜镜片的焦距为0.25米，那么该近视眼镜的度数为400度．【分析】把近视眼镜镜片的焦距为0.25米代入函数解析式就可解决问题．【解答】解：把x＝0.25代入，解得y＝400，所以他的眼睛近视400度．故答案为：400．12．（3分）已知直角坐标平面内点A（1，2）和点B（2，4），则线段AB＝．【分析】利用勾股定理列式计算即可得解．【解答】解：∵点A（1，2），B（2，4），∴AB＝＝．故答案为：．13．（3分）命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题是：如果三角形有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形．【分析】先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可得到原命题的逆命题．【解答】解：因为“直角三角形两锐角互余”的题设是“三角形是直角三角形”，结论是“两个锐角互余”，所以逆命题是：“如果三角形有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形”．故答案为：如果三角形有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形．14．（3分）以线段MN为底边的等腰三角形的顶角顶点的轨迹是线段MN的垂直平分线（线段MN的中点除外）．【分析】满足△MNC以线段MN为底边且CM＝CN，根据线段的垂直平分线判定得到点C在线段AB的垂直平分线上，除去与MN的交点（交点不满足三角形的条件）．【解答】解：∵△MNC以线段MN为底边，CM＝CN，∴点C在线段MN的垂直平分线上，除去与MN的交点（交点不满足三角形的条件），∴以线段MN为底边的等腰三角形的顶点C的轨迹是：线段MN的垂直平分线（线段MN的中点除外）．故答案为：线段MN的垂直平分线（线段MN的中点除外）．15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB，如果CD＝1，那么BD＝．【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE ＝CD，再求出△BDE是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形斜边等于直角边的倍解答．【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵AD平分∠CAB，∠C＝90°，∴DE＝CD＝1，∵AC＝BC，∠C＝90°，∴∠B＝45°，∴△BDE是等腰直角三角形，∴BD＝DE＝．故答案为：．16．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠ADC＝90°，AC＝26，BD＝24，联结AC、BD，取AC和BD的中点M、N，联结MN，则MN的长度为5．【分析】连接MB、MD，利用直角三角形斜边上中线的性质得出△MBD为等腰三角形，再利等腰三角形“三线合一”得出MN⊥BD，BN＝ND＝BD＝12，最后利用勾股定理即可求出MN的长度．【解答】解：如图，连接MB、MD，∵∠ABC＝90°，∠ADC＝90°，M是AC的中点，∴MB＝AC，MD＝AC，∵AC＝26，∴MB＝MD＝×26＝13，∵N是BD的中点，BD＝24，∴MN⊥BD，BN＝DN＝BD＝×24＝12，∴MN＝＝＝5，故答案为：5．17．（3分）在平面直角坐标系中，已知反比例函数，有若干个正方形如图依次叠放，双曲线经过正方形的一个顶点（A1，A2，A3在反比例函数图象上），以此作图，我们可以建立了一个“凡尔赛阶梯”，那么A2的坐标为（，）．【分析】根据题意求得A3（1，1），设A2所在的正方形的边长为m，则A2（m，m+1），由图象上点的坐标特征得到k＝m（m+1）＝1，解得m＝，即可求得A2的坐标为（，）．【解答】解：∵反比例函数的解析式为，∴A3所在的正方形的边长为1，∴A3（1，1），设A2所在的正方形的边长为m，则A2（m，m+1），∴m（m+1）＝1，解得m＝（负数舍去），∴A2的坐标为（，），故答案为：（，）．18．（3分）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，BC＝3，D是边AB上的一点，将△BCD沿直线CD翻折，使点B落在点B1的位置，若B1D⊥BC，则BD的长度为．【分析】延长B1D交BC于E，由B1D⊥BC，可得DE＝BD，BE＝BD，设BD＝x，在Rt△B1CE中可得（x+x）2+（3﹣x）2＝32，即可解得答案．【解答】解：延长B1D交BC于E，如图：∵B1D⊥BC，∴∠BED＝∠B1EC＝90°，∵∠B＝30°，∴DE＝BD，BE＝BD，设BD＝x，∵将△BCD沿直线CD翻折，使点B落在点B1的位置，∴B1D＝x，∵BC＝3，∴CE＝3﹣x，B1C＝BC＝3，在Rt△B1CE中，B1E2+CE2＝B1C2，∴（x+x）2+（3﹣x）2＝32，解得x＝0（舍去）或x＝，∴BD＝，故答案为：．三、计算题（本大题共2题，满分10分）19．（5分）计算：．【分析】先进行分母有理化、化简二次根式，再去括号，计算加减即可．【解答】解：原式＝﹣（﹣1）+2＝﹣2﹣+1+2＝2﹣1．20．（5分）解方程：2x（x﹣2）＝x2﹣3．【分析】先把方程变形为一般式，再把方程左边进行因式分解（x﹣1）（x﹣3）＝0，方程就可化为两个一元一次方程x﹣1＝0或x﹣3＝0，解两个一元一次方程即可．【解答】解：方程变形为：x2﹣4x+3＝0，∴（x﹣1）（x﹣3）＝0，∴x﹣1＝0或x﹣3＝0，∴x1＝1，x2＝3．四、解答题（本大题共5题，21-24每题6分，25题8分，满分32分）21．（6分）已知关于x的方程（m﹣1）x2+2mx+m+3＝0有两个实数根，请求出m的最大整数值．【分析】根据方程有两个实数根，得到根的判别式大于等于0，确定出m的范围，进而求出最大整数值即可．【解答】解：∵关于x的方程（m﹣1）x2+2mx+m+3＝0有两个实数根，∴b2﹣4ac＝（2m）2﹣4（m﹣1）（m+3）＝4m2﹣（4m2+8m﹣12）＝4m2﹣4m2﹣8m+12＝﹣8m+12≥0，m﹣1≠0，解得：m≤且m≠1，则m的最大整数值为0．22．（6分）为了让我们的小朋友们有更好的学习环境，我校2020年投资110万元改造硬件设施，计划以后每年以相同的增长率进行投资，到2022年投资额将达到185.9万元．（1）求我校改造硬件设施投资额的年平均增长率；（2）从2020年到2022年，这三年我校将总共投资多少万元？【分析】（1）设我校改造硬件设施投资额的年平均增长率为x，利用2022年投资额＝2020年投资额×（1+年平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）利用这三年我校总共投资的金额＝2020年投资额+2020年投资额×（1+年平均增长率）+2022年投资额，即可求出结论．【解答】解：（1）设我校改造硬件设施投资额的年平均增长率为x，依题意得：110（1+x）2＝185.9，解得：x1＝0.3＝30%，x2＝﹣2.3（不合题意，舍去）．答：我校改造硬件设施投资额的年平均增长率为30%．（2）110+110×（1+30%）+185.9＝110+143+185.9＝438.9（万元）．答：从2020年到2022年，这三年我校将总共投资438.9万元23．（6分）如图，AB⊥BC，DC⊥BC，垂足分别是点B、C，点E是线段BC上一点，且AE⊥DE，AE＝ED，如果BE＝3，AB+BC＝11，求AB的长．【分析】求出∠A＝∠DEC，∠B＝∠C＝90°，根据AAS证△ABE≌△ECD，推出AB＝CE，求出AB+BC＝2AB+BE＝11，把BE＝3代入求出AB即可．【解答】解：∵AB⊥BC，DC⊥BC，垂足分别是点B、C，∴∠B＝∠C＝90°．∴∠A+∠AEB＝90°，∵AE⊥DE，∴∠AED＝90°，∵∠AEB+∠AED+∠DEC＝180°，∴∠AEB+∠DEC＝90°，∴∠A＝∠DEC，∵在△ABE和△ECD中，，∴△ABE≌△ECD（AAS），∴AB＝CE，∵BC＝BE+CE＝BE+AB，∴AB+BC＝2AB+BE＝11，∵BE＝3，∴AB＝4．24．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°．（1）在BC边上求作一点N，使得AN＝BN；（不要求写作法，但要保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，求证：CN＝2BN．【分析】（1）作线段AB的垂直平分线上；（2）根据等腰三角形的性质计算出∠C的度数，再计算出∠CAN的度数，然后根据三角形的性质可得CN＝2AN，进而得到CN＝2BN．【解答】（1）解：作图正确；（2）证明：连接AN．∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝30°．∴∠BAC＝180°﹣2∠B＝120°．∵AN＝BN，∴∠NAC＝∠BAC﹣∠NAB＝120°﹣30°＝90°．∵∠C＝30°，∴CN＝2AN．∴CN＝2BN．25．（8分）如图，已知一次函数和反比例函数的图象交点是A（4，m）．（1）求反比例函数解析式；（2）在x轴的正半轴上存在一点P，使得△AOP是等腰三角形，请求出点P的坐标．【分析】（1）根据一次函数解析式求出A点坐标，再用待定系数法求出反比例函数解析式即可；（2）若使△AOP是等腰三角形，分OA＝OP，OA＝AP，OP＝AP三种情况讨论分别求出P点的坐标即可．【解答】解：（1）∵A点是一次函数和反比例函数图象的交点，∴m＝×4，解得m＝2，即A（4，2），把A点坐标代入反比例函数得，2＝，解得k＝8，∴反比例函数的解析式为y＝；（2）设P点的坐标为（n，0），若使△AOP是等腰三角形，分以下三种情况：①当OA＝OP时，由（1）知，A（4，2），∴n＝＝2，即P（2，0）；②当OA＝AP时，作AH⊥OP于H，∵A（4，2），∴OH＝4，∵OA＝AP，∴OP＝2OH＝2×4＝8，即P（8，0）；③当OP＝AP时，∵A（4，2），∴n＝，即n2＝（4﹣n）2+22，解得n＝，即P（，0），综上，符合条件的P点坐标为（2，0）或（8，0）或（，0）．五、综合题：（本大题只有1题，满分10分）26．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D、E在线段AB上．（1）如图1，若CD＝CE，求证：AD＝BE；（2）如图2，若∠DCE＝45°，求证：DE2＝AD2+BE2；（3）如图3，若点P是△ABC内任意一点，∠BPC＝135°，设AP＝a、BP＝b、CP＝c，请直接写出a，b，c之间的数量关系．【分析】（1）由CA＝CB得∠A＝∠B，由CD＝CE得∠CEA＝∠CDB，则△ACE≌△BCD，得AE＝BD，即可转化为AD＝BE；（2）将△ACD绕点C沿逆时针方向旋转90°得到△BCF，联结EF，则BF＝AD，证明△FCE≌△DCE，得FE＝DE，再证明∠EBF＝90°，则FE2＝BF2+BE2，即可证得DE2＝AD2+BE2；（3）将△CAP绕点C沿逆时针方向旋转90°得到△CBG，联结PG，则BG＝AP，GC ＝PC，∠PCG＝90°，所以PG2＝PC2+GC2＝2PC2，再证明∠BPG＝90°，则BG2＝BP2+PG2，可证得AP2＝BP2+2PC2，即a2＝b2+2c2．【解答】（1）证明：如图1，∵CA＝CB，∴∠A＝∠B，∵CD＝CE，∴∠CEA＝∠CDB，∴△ACE≌△BCD（AAS），∴AE＝BD，∴AE﹣DE＝BD﹣DE，∴AD＝BE．（2）证明：如图2，将△ACD绕点C沿逆时针方向旋转90°得到△BCF，联结EF，∵∠ACB＝90°，CA＝CB，∴∠CBA＝∠A＝45°，由旋转得CF＝CD，∠BCF＝∠ACD，∵∠DCE＝45°，∴∠FCE＝∠BCF+∠BCE＝∠ACD+∠BCE＝90°﹣45°＝45°，∴∠FCE＝∠DCE，∵CE＝CE，∴△FCE≌△DCE（SAS），∴FE＝DE，∵∠CBF＝∠A＝∠CBA＝45°，∴∠EBF＝90°，∴FE2＝BF2+BE2，∵BF＝AD，∴DE2＝AD2+BE2.（3）a2＝b2+2c2，理由如下：如图3，将△CAP绕点C沿逆时针方向旋转90°得到△CBG，联结PG，由旋转得GC＝PC，∠PCG＝90°，∴∠CPG＝∠CGP＝45°，PG2＝PC2+GC2＝2PC2，∵∠BPC＝135°，∴∠BPG＝135°﹣45°＝90°，∴BG2＝BP2+PG2，∵BG＝AP，∴AP2＝BP2+2PC2，∴a2＝b2+2c2．。

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上海八年级上学期期末数学试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共6题；共12分)
1. （2分）(2019·云南模拟) 空气的密度为0.00129g/cm3 ， 0.00129这个数用科学记数法可表示为（）
A . 0.129×10﹣2
B . 1.29×10﹣2
C . 1.29×10﹣3
D . 12.9×10﹣1
2. （2分）下列因式分解错误的是（）
A . 2a﹣2b=2（a﹣b）
B . x2﹣9=（x+3）（x﹣3）
C . a2+4a﹣4=（a+2）2
D . ﹣x2﹣x+2=﹣（x﹣1）（x+2）
3. （2分） (2017九下·建湖期中) 如图，在△ABC中，AB=AC，AD∥BC，若∠BAD=110°，则∠BCA的大小为（）
A . 30°
B . 40°
C . 50°
D . 70°
4. （2分） (2018八上·句容月考) 小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（）
A . 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
B . 角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C . 三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D . 以上均不正确
5. （2分） (2017八下·新野期中) 化简－的结果是（）
A .
B .
C .
D .
6. （2分）如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个钝角为120°的菱形，剪口与第二次折痕所成角的度数应为（）
A . 15°或30°
B . 30°或45°
C . 45° 或60°
D . 30°或60°
二、填空题 (共6题；共6分)
7. （1分）(2017·资中模拟) 因式分解：3y2﹣12=________．
8. （1分）若a+b=7，ab=12，则a2+b2的值为________．
9. （1分） (2018八上·嵊州期末) 如图，已知△ABC≌△EDF，点F，A，D在同一条直线上，AD是∠BAC的平分线，∠EDA=30°，∠E=70°，则∠ADC的度数是________．
10. （1分）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AB=．以A为圆心，AC长为半径作弧，交AB于点D，则图中阴影部分的面积是________ ．（结果保留π）
11. （1分） 340________430 （填“＞”“＜”或“=”）
12. （1分）如图，每个小方格都是边长为1的正方形，点A,B是方格纸的两个格点（即正方形的顶点），在这个4X4的方格纸中，找出格点C，使是等腰三角形，这样的点C共有________个．
三、解答题。

(共10题；共85分)
13. （5分） (2018七上·广东期中) 一种蔬菜x千克，不加工直接出售每千克可卖y元，如果经过加工重量减少了20％，价格增加了40％，问x千克这种蔬菜加工后可卖多少钱；如果这种蔬菜1000千克，不加工直接出售每千克可卖1.50元，问加工后原1000千克这种蔬菜可卖多少钱？比加工前多卖多少钱？
14. （5分） (2019七下·淮安月考) 一个多边形的内角和是外角和的2倍，求这个多边形的边数.
15. （5分）某班开展图书交换活动,第一组同学共带图书24本,第二组同学共带图书27本,已知第一组同学比第二组同学平均每人多带1本书,第二组的人数是第一组人数的1.5倍,求第一组的人数.
16. （5分）(2018·广州) 如图，AB与CD相交于点E，AE=CE，DE=BE．求证：∠A=∠C。

17. （5分）如图：△ABC中，DE是BC边的垂直平分线，垂足为E，AD平分∠BAC且MD⊥AB，DN⊥AC延长线于N.求证：BM=CN.
18. （15分） (2018八下·江都月考) 在平面直角坐标系中的位置如图所示.
（1）作关于点成中心对称的.
（2）将向右平移4个单位，作出平移后的 .
（3）在轴上求作一点，使的值最小
19. （10分） (2017八上·上城期中) 如图，在中，平分，且，
于点，于点．
（1）求证：．
（2）若，，求的长．
20. （10分）(2017·枝江模拟) 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．
（1）求证：AB=AC；
（2）若AD=2 ，∠DAC=30°，求AC的长．
21. （10分）为支援灾区,某校爱心活动小组准备用筹集的资金购买A,B两种型号的学习用品共1 000件.已知B型学习用品的单价比A型学习用品的单价多10元,用180元购买B型学习用品的件数与用120元购买A型学习用品的件数相同.
（1）求A,B两种学习用品的单价各是多少元?
（2）若购买这批学习用品的费用不超过28 000元,则最多购买B型学习用品多少件?
22. （15分）(2018·南宁) 如图，抛物线y=ax2﹣5ax+c与坐标轴分别交于点A，C，E三点，其中A（﹣3，0），C（0，4），点B在x轴上，AC=BC，过点B作BD⊥x轴交抛物线于点D，点M，N分别是线段CO，BC上的动点，且CM=BN，连接MN，AM，AN．
（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）当△CMN是直角三角形时，求点M的坐标；
（3）试求出AM+AN的最小值．
参考答案一、选择题 (共6题；共12分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
二、填空题 (共6题；共6分)
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
三、解答题。

(共10题；共85分)
13-1、
14-1、
15-1、16-1、
17-1、18-1、
18-2、18-3、
19-1、
19-2、20-1、20-2、
21-1、21-2、
22-1、
22-2、
22-3、
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