直线与抛物线的位置关系详案

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考点102直线与抛物线的位置关系

考点102直线与抛物线的位置关系一、课本基础提炼1．研究直线与抛物线的位置关系,一般是联立两曲线方程,但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时,要注意“设而不求”、“整体代入”、“点差法”以及定义的灵活应用．2．有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点,若过抛物线的焦点,可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p,若不过焦点,则必须用一般弦长公式二级结论必备过抛物线焦点的动直线与抛物线交于点A,B,则该抛物线在点A,B处的两切线的交点轨迹是抛物线的准线.1.直线与抛物线相交时的弦长问题若直线过抛物线焦点,则求直线被抛物线截得的弦长|AB|,常用|AB|＝x1＋x2＋p；若直线不过抛物线焦点,则求直线被抛物线截得的弦长|AB|,常用,对于此类问题,应熟练地利用韦达定理设而不求计算弦长,另外注意与面积有关的问题,常用到弦长公式.例1．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F,若过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M,N两点,且|MN|＝8.(1)求抛物线C的方程；(2)设直线l为抛物线C的切线,且l∥MN,P为l上一点,求的最小值．【解析】(1)由题可知F,则该直线方程为代入y2＝2px(p＞0),得设M(x1,y1),N(x2,y2),则有x1＋x2＝3p.∵|MN|＝8,∴x1＋x2＋p＝8,即3p＋p＝8,解得p＝2,∴抛物线的方程为y2＝4x.(2)设直线l的方程为y＝x＋b,代入y2＝4x,得x2＋(2b－4)x＋b2＝0.∵l为抛物线C的切线,∴Δ＝0,解得b＝1.∴l的方程为y＝x＋1.设P(m,m＋1),则＝(x1－m,y1－(m＋1)),＝(x2－m,y2－(m＋1)),∴＝(x1－m)(x2－m)＋[y1－(m＋1)][y2－(m＋1)]＝x1x2－m(x1＋x2)＋m2＋y1y2－(m＋1)(y1＋y2)＋(m＋1)2.由(1)可知：x1＋x2＝6,x1x2＝1,∴(y1y2)2＝16x1x2＝16,y1y2＝－4.,＝1－6m＋m2－4－4(m＋1)＋(m＋1)2＝2(m2－4m－3)＝2[(m－2)2－7]≥－14,当且仅当m＝2,即点P的坐标为(2,3)时,的最小值为－14.例2.抛物线y2=4x的顶点为O,点A的坐标为(5,0),倾斜角为的直线l与线段OA相交(不经过点O 或点A)且交抛物线于M、N两点,求△AMN面积最大时直线l的方程,并求△AMN的最大面积.【解析】由题意,可设l的方程为y=x+m,－5＜m＜0.由方程组,消去y,得x2+(2m－4)x+m2=0 ,①∵直线l与抛物线有两个不同交点M、N,∴方程①的判别式Δ=(2m－4)2－4m2=16(1－m)＞0,解得m＜1,又－5＜m＜0,∴m的范围为(－5,0)设M(x1,y1),N(x2,y2)则x1+x2=4－2m,x1•x2=m2,点A到直线l的距离为,从而=4(1－m)(5+m)2,当且仅当2－2m=5+m,即m=－1时取等号.故直线l的方程为y=x－1,△AMN的最大面积为2．抛物线的中点弦问题.解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程,借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解.若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为A(x1,y1)、B(x2,y2),将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差,得到一个与弦AB的中点和斜率有关的式子,可以大大减少运算量.我们称这种代点作差的方法为“点差法”.例3．已知抛物线y2=4x的一条弦的斜率为3,它与直线交点恰为这条弦的中点M,则点M的坐标为_______．【解析】设弦端点P(x1,y1)、Q(x2,y2),弦PQ的中点M(x0,y0),则x1+x2=2x0=1,y1+y2=2y0,又两式相减得(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2)即2y0(y1-y2)=4(x1-x2),∴点M的坐标为3.抛物线的切线问题由于抛物线x2=2py(p≠0),可转化为函数,因此我们可以借助导数的几何意义来研究抛物线的切线.例4. 已知抛物线x2＝2y,过抛物线的焦点F的直线l交抛物线于P,Q两点,过P,Q分别作抛物线的切线,两切线交于点A,则点A的纵坐标为________．【解析】由x2＝2y,得,∴y′＝x.设P(x1,y1),Q(x2,y2),∴抛物线在P,Q两点处的切线的斜率分别为x1,x2,∴过点P的抛物线的切线方程为y－y1＝x1(x－x1),又∴切线方程为,同理可得过点Q的切线方程为,两切线方程联立解得又抛物线焦点F的坐标为,易知直线l的斜率存在,可设直线l的方程为,由,得x2－2mx－1＝0,所以x1x2＝－1,所以4．面积问题求三角形或四边形的面积最值是高考中的常见问题,解决这类问题的基本方法是把面积表示为某一变量的函数,再转化为函数求最值,或利用基本不等式求最值.例5．(2014•高考四川卷)已知F为抛物线y2＝x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,OA→•OB→＝2(其中O为坐标原点),则△ABO与△AFO面积之和的最小值是( )A．2 B．3【解析】设直线AB的方程为x＝ny＋m(如图),A(x1,y1),B(x2,y2),∴x1x2＋y1y2＝2.∴y1y2＝－2.联立得y2－ny－m＝0, ∴y1y2＝－m＝－2,∴m＝2,即点M(2,0)．又S△ABO＝S△AMO＋S△BMO当且仅当时,等号成立．例6．已知抛物线y2=2px(p＞0),过动点M(a,0)且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B,且|AB|≤2p.(1)求a的取值范围.(2)若线段AB的垂直平分线交x轴于点N,求△NAB面积的最大值.【解析】(1)设直线l的方程为：y=x－a,代入抛物线方程得(x－a)2=2px,即x2－2(a+p)x+a2=0.∴4ap+2p2≤p2,即4ap≤－p2又∵p＞0,(2)设A(x1,y1)、B(x2,y2),AB的中点 C(x,y),由(1)知,y1=x1－a,y2=x2－a,x1+x2=2a+2p,则有∴线段AB的垂直平分线的方程为y－p=－(x－a－p),从而N点坐标为(a+2p,0）点N到AB的距离为从而当a有最大值时,S有最大值为5.对称问题根据圆锥曲线上存在不同两点关于某直线对称求参数范围，是一类典型问题，解决此类对称问题,要抓住三点：(1)中点在对称轴上；(2)两个对称点的连线与对称轴垂直；(3)两点连线与曲线有两个交点,故Δ＞0.一般通过“设而不求”、“点差法”得到对称点连线的方程,再与曲线方程联立,由判别式不等式求出参数范围.例7.已知抛物线y＝ax2－1(a≠0)上总有关于直线x＋y＝0对称的相异两点,求a的取值范围.解：设A(x1,y1)和B(x2,y2)为抛物线y＝ax2－1上的关于直线x＋y＝0对称的两相异点,则两式相减,得y1－y2＝a(x1－x2)(x1＋x2).再由x1≠x2,得设线段AB的中点为M(x0,y0),则由M点在直线x＋y＝0上,得∴直线AB的方程为联立直线AB与抛物线的方程并消去y,得依题意,上面的方程有两个相异实根,∴a的取值范围是1.(2014•潍坊模拟)过抛物线y2＝4x的焦点且斜率为的直线l与抛物线y2＝4x交于A,B两点,则|AB|的值为( )【答案】A【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),抛物线的焦点为(1,0),则直线l的方程为,代入抛物线方程得3x2－10x＋3＝0.根据抛物线的定义,可知|AB|＝x1＋1＋x2＋1＝2．已知直线y=k(x+2)(k＞0)与抛物线C:y2=8x相交A、B两点,F为C的焦点.若|FA|=2|FB|,则k=( )【答案】D【解析】由直线方程知直线过定点即抛物线焦点（2,0）,由|FA|=2|FB|知x A+2=2(x B+2) 联立方程用根与系数关系可求3．抛物线y=ax2与直线y=kx+b(k≠0)交于A、B两点,且此两点的横坐标分别为x1,x2,直线与x轴交点的横坐标是x3,则恒有( )A.x3=x1+x2B.x1x2=x1x3+x2x3C.x1+x2+x3=0D.x1x2+x2x3+x3x1=0解方程组,得ax2－kx－b=0,可知,代入验证即可.4.已知抛物线C的顶点坐标为原点,焦点在x轴上,直线y=x与抛物线C交于A,B两点,若P(2,2)为AB的中点,则抛物线C的方程为_______．答案】y2=4x【解析】设抛物线为y2＝kx,与y＝x联立方程组,消去y,得：x2－kx＝0, x1+x2＝k＝2×2,故y2=4x.1.设抛物线x2＝12y的焦点为F,经过点P(2,1)的直线l与抛物线相交于A,B两点,若点P恰为AB的中点,则|AF|＋|BF|＝( )A.12B.10C.6D.8 【答案】D【解析】设点A(x1,y1),B(x2,y2),则有y1＋y2＝2×1＝2,|AF|＋|BF|＝(y1＋3)＋(y2＋3)＝(y1＋y2)＋6＝8.故选D.2.已知双曲线(a＞0,b＞0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p＞0)的准线分别交于A,B两点,O为坐标原点.若双曲线的离心率为2,△AOB的面积为3,则p＝( )A.1 C.2 D.3 【答案】C【解析】由双曲线的离心率.∴双曲线的渐近线方程为.由题意可设得p＝2或－2(舍去).故选C.3.直线y＝x－3与抛物线y2＝4x交于A,B两点,过A,B两点向抛物线的准线作垂线,垂足分别为P,Q,则梯形APQB的面积为( )A．48 B．56 C．64 D．72 【答案】A【解析】由题不妨设A在第一象限,联立y＝x－3和y2＝4x可得A(9,6),B(1,－2),而准线方程是x＝－1,所以|AP|＝10,|QB|＝2,|PQ|＝8,故S梯形APQB＝(|AP|＋|QB|)•|PQ|＝48.4.过点(2,4)作直线与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点,则这样的直线有条_______．注意到点(2,4)是抛物线上的点,用数形结合知满足题意的直线有两条,其一是过该点的切线；其二是过该点且与对称轴平行的直线.故填2.5.设F为抛物线C：y2＝4x的焦点,过点P(－1,0)的直线l交抛物线C于A,B两点,点Q为线段AB的中点.若FQ＝2,则直线l的斜率等于_______．【答案】±1【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的方程为y＝k(x＋1),联立得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0,x1＋x2y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2k＝,设Q(x0,y0),则,又F(1,0),,解得k＝±11.（2015福建文19）已知点F为抛物线E：y2=2px(p＞0)的焦点,点A(2,m)在抛物线E上,且|AF|=3．（1）求抛物线E的方程；（2）已知点G(-1,0) ,延长AF交抛物线E于点B,求证：以点F为圆心且与直线GA相切的圆,必与直GB相切．【答案】（1）y2=4x；（2）见解析【解析】（1）由抛物线的定义得．因为|AF|=3,即,解得p=2,所以抛物线E的方程为y2=4x．（2）解法一：因为点A(2,m),在抛物线E：y2=4x上,所以,由抛物线的对称性,不妨设由,F(1,0)可得直线AF的方程为,得2x2-5x+2=0.解得x=2或,从而又G(-1,0),所以所以k GA+K GB=0,从而∠AGF=∠BGF,这表明点F到直线GA,GB的距离相等,故以F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切．解法二：设以点F为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r．因为点A(2,m)在抛物线E：y2=4x上,所以,由抛物线的对称性,不妨设由,F(1,0)可得直线AF的方程为,得2x2-5x+2=0.解得x=2或,从而又G(-1,0),故直线GA的方程为从而又直线GB的方程为所以点F到直线GB的距离这表明以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切．2.设不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2)在抛物线y＝2x2上,l是AB的垂直平分线.(1)当且仅当x1＋x2取何值时,直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论；(2)当直线l的斜率为2时,求l在y轴上的截距的取值范围.【查看答案】【答案】(1) x1＋x2＝0 ；(2)【解析】(1)F∈l⇔|FA|＝|FB|⇔A,B两点到抛物线的准线的距离相等,∵抛物线的准线是x轴的平行线,y1≥0,y2≥0,依题意y1,y2不同时为0,∴上述条件等价于∵x1≠x2,∴上述条件等价于x1＋x2＝0,即当且仅当x1＋x2＝0时,l经过抛物线的焦点F.(2)设l在y轴上的截距为b,依题意得l的方程为由y＝2x2,得过A,B的直线方程为∵直线AB与抛物线有两个不同交点,∴联立得32x2＋8x＋5－16b＝0,Δ＝－9＋32b＞0,.因此直线l在y轴上截距的取值范围是3.如图,已知直线l与抛物线x2＝4y相切于点P(2,1),且与x轴交于点A,O为坐标原点,定点B的坐标为(2,0)．(1)若动点M满足,求点M的轨迹C；(2)若过点B的直线l′(斜率不等于零)与(1)中的轨迹C交于不同的两点E,F(E在B,F之间),试求△OBE与△OBF面积之比的取值范围．(1) 以原点为中心,焦点在x轴上,长轴长为,短轴长为2的椭圆；(2)【解析】(1)由x2＝4y,得∴直线l的斜率为y′|x＝2＝1,故直线l的方程为y＝x－1,∴点A坐标为(1,0)．设M(x,y),则由得整理得∴动点M的轨迹C为以原点为中心,焦点在x轴上,长轴长为,短轴长为2的椭圆．(2)由题意知直线l′的斜率存在且不为零,设l′的方程为y＝k(x－2)(k≠0),①将①代入整理,得(2k2＋1)x2－8k2•x＋(8k2－2)＝0,由Δ＞0得设E(x1,y1),F(x2,y2),由此可得,且0＜λ＜1.由②知(x1－2)•(x2－2)＝x1x2－2(x1＋x2)＋4又∵0＜λ＜1,∴△OBE与△OBF面积之比的取值范围是。

直线和抛物线的位置关系学案

高二数学选修2--1学案姓名班级直线和抛物线的位置关系2.4.3【学习目标】1.掌握抛物线定义及其标准方程和抛物线的几何性质.，2.掌握直线和抛物线的位置关系的判断方法.3.熟练掌握直线和抛物线的位置关系的应用【预习达标】1.直线与抛物线的位置关系：（1）位置关系的判定：联立直线:l y kx m =+和抛物线22(0)y px p =>消y 整理得：2222()0k x km p x m +-+=当0a ≠时0∆>⇔直线与抛物线相交，有两个不同公共交点0∆=⇔直线与抛物线相切，只有一个公共交点0∆<⇔直线与抛物线相离，没有公共交点当0a =时，则直线是抛物线的对称轴或是和对称轴平行的直线，此时直线与抛物线相交，只有一个公共交点，但不能成为相切（2）若直线与抛物线相交于1122(,),(,)A x y B x y ，则弦长AB =AB =，特别注意解题是结合韦达定理来处理问题 2.焦点弦问题：设过抛物线)0(22≠=p px y 的焦点(,0)2p F 的直线与抛物线交于),(),,(1111y x B y x A ，直线与的斜率分别为21,k k ，直线的倾斜角为，则有 ①221p y y -=；②4221p x x =；③421-=k k ；④α221sin 2p p x x AB =++=， ⑤αcos 1-=p FA ，αcos 1+=p FB ；⑥112AF BF p+=， ⑦过,A B 两点做准线的垂线，垂足分别为,M N ,则090MFN ∠=, ⑧通径P AB 2=；⑨以弦AB 长为直径的圆总与准线相切【例题讲解】题型一：直线和抛物线位置关系例1.设抛物线28y x =的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，求直线l 的斜率的取值范围（ []1,1- ）例2.已知直线l ：1y kx =+和抛物线28y x =（1）若直线l 与抛物线有两个公共点，求k 的取值范围（2）若直线l 与抛物线只有一个公共点，求k 的取值范围（3）若直线l 与抛物线没有公共点，求k 的取值范围变式练习：1.已知直线y kx k =-及抛物线22(0)y px p =>，请判断直线和抛物线的位置关系2.已知直线y ＝(a ＋1)x －1与曲线y 2＝ax 恰有一个公共点，求实数a 的值. （40,1,5a =--） 3. 求过定点)1,0(P 且与抛物线x y 22=只有一个公共点的直线的方程。

直线与抛物线的位置关系说课稿

直线与抛物线的位置关系说课稿标题：直线与抛物线的位置关系一、教学目标1.理解直线与抛物线的基本概念和性质。

2.掌握判断直线与抛物线位置关系的方法。

3.能够运用直线与抛物线的位置关系解决实际问题。

二、教学内容1.直线与抛物线的定义和性质。

2.判断直线与抛物线位置关系的方法。

3.实际应用案例。

三、教学方法1.讲解法：通过讲解直线与抛物线的定义和性质，让学生对基础知识有清晰的认识。

2.讨论法：组织学生进行小组讨论，探讨判断直线与抛物线位置关系的方法，提高学生的思维能力和解题技巧。

3.案例分析法：通过实际应用案例的分析，让学生了解直线与抛物线位置关系在实际问题中的应用。

四、教学过程1.导入新课：通过展示一些与直线和抛物线相关的图片或问题，引导学生思考直线与抛物线的位置关系。

2.讲解基础知识：介绍直线与抛物线的定义和性质，包括直线的方程、抛物线的方程、直线与抛物线的交点等。

3.讨论判断方法：组织学生进行小组讨论，探讨判断直线与抛物线位置关系的方法，包括利用直线和抛物线的方程求解交点、利用图像观察等方法。

4.案例分析：通过实际应用案例的分析，让学生了解直线与抛物线位置关系在实际问题中的应用，包括求最值、解方程等问题。

5.课堂练习：布置一些与直线与抛物线位置关系相关的练习题，让学生巩固所学知识，提高解题能力。

6.总结归纳：对本节课所学内容进行总结归纳，强调重点和难点，帮助学生加深对知识的理解和记忆。

五、教学评价1.对学生的课堂表现进行评价，包括参与度、思维活跃度等方面。

2.对学生的作业完成情况进行检查，了解学生对知识的掌握情况。

3.通过考试或测验的方式，对学生的学习成果进行评估。

直线与抛物线的位置关系教案

直线与抛物线的位置关系教案教学目标：知识与能力：掌握直线与抛物线的位置关系，弦长问题、中点弦问题、最值问题。

注意数与形的结合与转化。

过程与方法：运用联系的观点解决问题，提高学生的数学素质。

情感态度与价值观：培养学生观察、推理的思维能力，使学生树立创新意识。

教学重点：直线与抛物线的位置关系，弦长、中点弦问题。

教学难点：直线与抛物线的位置关系。

学情分析：学生已经学习了“直线与圆的位置关系”，但考虑到学习时间间隔比较长，文科班的学生对知识与方法的记忆和理解不够扎实，因此本节先让学生课前先自己观看微课视频，课上再重点学习并灵活应用。

学生学法：自主探究。

教学过程：一、直线与抛物线的位置关系种类1、相离；2、相切；3、相交（一个交点，两个交点）二、判断方法探讨（1）判断直线y = x +2与抛物线y2 =4x 的位置关系（2）判断直线y = x +1与抛物线y2 =4x 的位置关系（3）判断直线y = 6与抛物线y2 =4x 的位置关系（4）判断直线y = x -1与抛物线y2 =4x 的位置关系三、判断位置关系的方法总结学生总结教师补充1、把直线方程代入抛物线方程{得到一元一次方程→直线与抛物线相交（一个交点）得到一元二次方程→计算判别式{判别式大于0，相交（2个交点）判别式等于0，相切判别式小于0，相离2、判断直线是否与抛物线的对称轴平行{平行→直线与抛物线相交（一个交点）不平行→计算判别式{判别式大于0，相交（2个交点）判别式等于0，相切判别式小于0，相离四、典例分析例1 过抛物线y2=2x的焦点做倾斜角为450的弦AB,则AB的长度是多少?变式1 已知抛物线y2=2x 截直线y=x+b所得弦长为4,求b的值.变式2 已知抛物线y2=2x 截直线y=kx+1所得弦长为4,求k的值.例2 求过定点P（0，1）且与抛物线y2=2x只有一个公共点的直线的方程.解: (1)若直线斜率不存在,则过点P的直线方程是x=0(2)若直线斜率存在,设为k,则过P点的直线方程是y=kx+1由方程组{y=kx+1y2=2x 消去y 得K2x2+2(k-1)x+1=0当k=0时，x=12, y=1故直线y=1与抛物线只有一个交点当k≠0时，若直线与抛物线只有一个公共点，则∆=4(k-1)2-4k2=0∴K=12此时直线方程为y=12x+1综上所述，所求直线方程为x=0或y=1或y=12x+1点评：本题用了分类讨论的方法.若先用数形结合，找出符合条件的直线的条数，就不会造成漏解。

直线与抛物线的位置关系教案

直线与抛物线的位置关系教案一、教学目标：知识与技能：1. 让学生掌握直线与抛物线的位置关系，能够判断直线与抛物线的位置；2. 学会利用数学知识解决实际问题，提高学生的解决问题的能力。

过程与方法：1. 通过观察、分析、归纳直线与抛物线的位置关系；2. 利用数形结合的方法，直观地展示直线与抛物线的交点情况。

情感态度价值观：1. 培养学生的团队协作精神，让学生在合作中学习，提高学习兴趣；2. 培养学生勇于探究、积极思考的科学精神。

二、教学重点与难点：重点：1. 直线与抛物线的位置关系的判断；2. 利用数形结合方法分析直线与抛物线的位置关系。

难点：1. 对直线与抛物线位置关系的理解；2. 如何在实际问题中应用直线与抛物线的位置关系。

三、教学准备：教师准备：1. 教学PPT；2. 相关例题及练习题；3. 数学软件或板书。

学生准备：1. 课本；2. 笔记本；3. 草稿纸。

四、教学过程：1. 导入新课：利用PPT展示直线与抛物线的图像，引导学生观察并思考它们之间的位置关系。

2. 知识讲解：讲解直线与抛物线的位置关系，包括相交、相切、平行等情况，并通过实例进行解释。

3. 例题解析：利用数学软件或板书，展示典型例题，引导学生分析解题思路，总结规律。

4. 课堂练习：让学生独立完成练习题，教师巡回指导，解答学生疑问。

5. 总结归纳：对本节课的内容进行总结，强调直线与抛物线位置关系的判断方法及应用。

五、课后作业：1. 完成课后练习题；2. 结合生活实际，寻找直线与抛物线的位置关系应用实例，下节课分享。

注意事项：1. 注重学生个体差异，因材施教；2. 鼓励学生提问，充分调动学生的积极性；3. 课堂练习环节，关注学生的解题过程，培养学生的思维能力。

六、教学拓展：1. 分析其他类型的曲线（如圆、双曲线等）与直线的position relationship；2. 探讨直线与抛物线的位置关系在实际问题中的应用，如物理中的运动轨迹问题，工程中的优化问题等；3. 利用数学软件，让学生自己尝试绘制不同位置关系的直线与抛物线，加深对知识的理解。

高中数学同步学案直线与抛物线的位置关系

第二课时直线与抛物线的位置关系[读教材·填要点]直线与抛物线的位置关系设直线l ：y ＝kx ＋m,抛物线：y 2＝2px(p ＞0),将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x 的方程：ax 2＋bx ＋c ＝0,(1)若a≠0,当Δ＞0时,直线与抛物线相交,有两个交点；当Δ＝0时,直线与抛物线相切,有一个交点；当Δ＜0时,直线与抛物线相离,无公共点．(2)若a ＝0,直线与抛物线有一个交点,此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合．[小问题·大思维]若直线与抛物线有且只有一个公共点,则直线与抛物线有什么样的位置关系？提示：直线与抛物线相切时,只有一个公共点,反过来,当只有一个公共点时,直线与抛物线相切或直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合．直线与抛物线的位置关系若直线l ：y ＝(a ＋1)x －1与曲线C ：y 2＝ax 恰好有一个公共点,试求实数a 的取值集合．[自主解答] 因为直线l 与曲线C 恰好有一个公共点,所以方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝a ＋1x －1，y 2＝ax有唯一一组实数解．消去y,得[(a ＋1)x －1]2＝ax, 整理得(a ＋1)2x 2－(3a ＋2)x ＋1＝0.①(1)当a ＋1＝0,即a ＝－1时,方程①是关于x 的一元一次方程,解得x ＝－1,这时,原方程组有唯一解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1.(2)当a ＋1≠0,即a≠－1时,方程①是关于x 的一元二次方程．令Δ＝(3a ＋2)2－4(a ＋1)2＝a(5a ＋4)＝0, 解得a ＝0或a ＝－45.当a ＝0时,原方程组有唯一解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0，当a ＝－45时,原方程组有唯一解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5.y ＝－2.综上,实数a 的取值集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，－45，0.若将“曲线C ：y 2＝ax 恰有一个公共点”改为“抛物线C ：y 2＝ax(a≠0)相交”,如何求解？解：列方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝a ＋1x －1，y 2＝ax a≠0，消去x 并化简,得(a ＋1)y 2－ay －a ＝0.(*)①当a ＋1＝0即a ＝－1时：方程(*)化为y ＋1＝0, ∴y ＝－1.∴方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，故直线与抛物线相交．②当a ＋1≠0即a≠－1时, 由Δ＝(－a)2＋4a(a ＋1)≥0,得 5a 2＋4a≥0,结合a≠0, 解得a≤－45或a>0.综上所述,实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－45∪(0,＋∞)．直线与抛物线的位置关系有三种,即相交、相切、相离,这三种位置关系可通过代数法借助判别式判断．当直线与抛物线的对称轴平行或重合时直线与抛物线也是相交,此时只有一个交点．1.如图,直线l ：y ＝x ＋b 与抛物线C ：x 2＝4y 相切于点A. (1)求实数b 的值；(2)求以点A 为圆心,且与抛物线C 的准线相切的圆的方程．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，x 2＝4y 得x 2－4x －4b ＝0,(*)因为直线l 与抛物线C 相切, 所以Δ＝(－4)2－4×(－4b)＝0. 解得b ＝－1.(2)由(1)可知b ＝－1,故方程(*)为x 2－4x ＋4＝0. 解得x ＝2,代入x 2＝4y,得y ＝1, 故点A(2,1)．因为圆A 与抛物线C 的准线相切,所以圆A 的半径r 就等于圆心A 到抛物线的准线y ＝－1的距离．即r ＝|1－(－1)|＝2.所以圆A 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.弦长、中点弦问题已知顶点在原点,焦点在y 轴上的抛物线被直线x －2y －1＝0截得的弦长为15,求此抛物线方程．[自主解答] 设抛物线方程为：x 2＝ay(a≠0),由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝ay ，x －2y －1＝0.消去y 得：2x 2－ax ＋a ＝0, ∵直线与抛物线有两个交点,∴Δ＝(－a)2－4×2×a＞0,即a ＜0或a ＞8. 设两交点坐标为A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则 x 1＋x 2＝a 2,x 1x 2＝a 2,y 1－y 2＝12(x 1－x 2),弦长为|AB|＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝54x 1－x 22＝54[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝145a 2－8a .∵|AB|＝15,∴145a 2－8a ＝15,即a 2－8a －48＝0,解得a ＝－4或a ＝12, ∴所求抛物线方程为：x 2＝－4y 或x 2＝12y.(1)研究直线与抛物线的弦长问题,通常不求弦的端点坐标,而是直接利用弦长公式|AB|＝1＋k 2|x 1－x 2|,另外要注意斜率不存在的情况,当弦过焦点时可利用焦点弦公式求解．(2)在直线与抛物线的问题中经常遇到中点弦的问题,处理的基本方法是点差法或利用根与系数的关系求出中点弦所在直线的斜率．2．过点Q(4,1)作抛物线y 2＝8x 的弦AB,若弦恰被Q 平分,求AB 所在直线方程．解：设以Q 为中点的弦AB 端点坐标为A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则有⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝8x 1， ①y 22＝8x 2， ②x 1＋x 2＝8， ③y 1＋y 2＝2， ④k ＝y 1－y 2x 1－x 2,⑤ ①－②得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝8(x 1－x 2)．将④代入,得y 1－y 2＝4(x 1－x 2),4＝y 1－y 2x 1－x 2.∴k ＝4.经验证,此时直线与抛物线相交．∴所求弦AB 所在直线方程为y －1＝4(x －4), 即4x －y －15＝0.抛物线中的定点、定值问题A,B 是抛物线y 2＝2px(p>0)上的两点,并满足OA ⊥OB,求证：(1)A,B 两点的横坐标之积、纵坐标之积,分别都是一个定值； (2)直线AB 经过一个定点．[自主解答] (1)因为AB 斜率不为0,设直线AB 方程为my ＝x ＋b,由⎩⎪⎨⎪⎧my ＝x ＋b ，y 2＝2px ，消去x,得y 2－2pmy ＋2pb ＝0.由Δ＝(－2pm)2－8pb>0,又∵y 1＋y 2＝2pm,y 1y 2＝2pb,OA ⊥OB, ∴x 1·x 2＋y 1·y 2＝0.∴y 21·y 224p2＋y 1·y 2＝0.∴b 2＋2pb ＝0.∴b ＋2p ＝0.∴b ＝－2p. ∴y 1y 2＝－4p 2,x 1·x 2＝b 2＝4p 2.所以A,B 两点的横坐标之积、纵坐标之积,分别是4p 2和－4p 2；(2)直线AB 的方程为my ＝x －2p, 所以AB 过定点(2p,0)．直线与抛物线相交问题中有很多的定值问题,如果该定值是个待求的未知量,则可以利用特殊位置(如斜率不存在、斜率等于0等)找出该定值,然后证明该定值即为所求．3．过抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点F 作直线l 交抛物线于A,B,求证：y A ·y B ＝－p 2. 证明：①斜率不存在时y 1＝p,y 2＝－p, ∴y 1y 2＝－p 2.②斜率存在时,⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，y 2＝2px ，消去x 得,y ＝k·y 22p －kp2,∴y 1·y 2＝－kp 2k 2p ＝－p 2.解题高手多解题条条大路通罗马,换一个思路试一试抛物线y 2＝x 上,存在P,Q 两点,并且P,Q 关于直线y －1＝k(x －1)对称,求k 的取值范围． [解] 法一：设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),∴⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝x 1，y 22＝x 2⇒(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝x 1－x 2.又∵⎩⎪⎨⎪⎧y 1－y 2＝－1k x 1－x 2，y 1＋y 22－1＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22－1，∴y 1＋y 2＝－k.∴－k 2－1＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 21＋y 222－1＝k 2[(y 1＋y 2)2－2y 1y 2－2]． ∴－k －2＝k[k 2－2y 1(－k －y 1)－2]． ∴2ky 21＋2k 2y 1＋k 3－k ＋2＝0. ∴Δ＝4k 4－8k(k 3－k ＋2)>0. ∴k(－k 3＋2k －4)>0. ∴k(k 3－2k ＋4)<0. ∴k(k ＋2)(k 2－2k ＋2)<0. ∴k ∈(－2,0)．法二：设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),且PQ 的中点M(x 0,y 0), 由题意可知直线y －1＝k(x －1)的斜率存在,且k≠0. 不妨设直线PQ 的方程为x ＋ky ＋m ＝0,由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋ky ＋m ＝0，y 2＝x ，得y 2＋ky ＋m ＝0. ∴y 1＋y 2＝－k. 即y 0＝－k 2,x 0＝12－1k.又∵中点M(x 0,y 0)在抛物线的内部, ∴y 20<x 0,∴k 3－2k ＋4k<0,即k ＋2k 2－2k ＋2k<0,∴k ∈(－2,0)．1．若直线y ＝2x ＋p 2与抛物线x 2＝2py(p>0)相交于A,B 两点,则|AB|等于( )A ．5pB ．10pC ．11pD ．12p解析：将直线方程代入抛物线方程, 可得x 2－4px －p 2＝0.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), 则x 1＋x 2＝4p,∴y 1＋y 2＝9p. ∵直线过抛物线的焦点,∴|AB|＝y 1＋y 2＋p ＝10p. 答案：B2．过点(1,0)作斜率为－2的直线,与抛物线y 2＝8x 交于A,B 两点,则弦AB 的长为( ) A ．213 B ．215 C ．217D ．219解析：不妨设A,B 两点坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2), 由直线AB 斜率为－2,且过点(1,0)得直线AB 方程为y ＝－2(x －1), 代入抛物线方程y 2＝8x 得4(x －1)2＝8x, 整理得x 2－4x ＋1＝0, ∴x 1＋x 2＝4,x 1x 2＝1, ∴|AB|＝1＋k2|x 1－x 2|＝5[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝215.答案：B3．过点(0,1)作直线,使它与抛物线y 2＝2x 仅有一个公共点,这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条解析：斜率不存在时,直线x ＝0符合题意,斜率存在时,由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＝2x ，得k 2x 2＋(2k －2)x ＋1＝0, k ＝0时,符合题意, k≠0时,由Δ＝0得k ＝12.答案：C4．已知△OAB 为等腰直角三角形,其中|OA|＝|OB|,若A,B 两点在抛物线y ＝14x 2上,则△OAB 的周长是________．解析：设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),x 2<0<x 1,由|OA|＝|OB|及抛物线的对称性知AB ⊥y 轴,y 1＝x 1,又y 1＝14x 21,所以x 1＝y 1＝4,故|OA|＝|OB|＝42,|AB|＝8,△OAB 的周长为8＋8 2.答案：8＋8 25．已知抛物线y 2＝2px(p ＞0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A,B 两点,若线段AB 的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为________．解析：抛物线的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0,所以过焦点且斜率为1的直线方程为y ＝x －p 2,即x ＝y ＋p 2,将其代入得：y 2＝2px ＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋p 2＝2py ＋p 2,所以y 2－2py －p 2＝0,所以y 1＋y 22＝p ＝2,所以抛物线的方程为y 2＝4x,准线方程为x ＝－1.答案：x ＝－16．直线y ＝kx －2交抛物线y 2＝8x 于A,B 两点,若线段AB 中点的横坐标等于2,求弦AB 的长．解：将y ＝kx －2代入y 2＝8x 中变形整理得： k 2x 2－(4k ＋8)x ＋4＝0,由⎩⎪⎨⎪⎧k≠0，4k ＋82－16k 2>0⇒k>－1且k≠0,设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), 由题意得：x 1＋x 2＝4k ＋8k 2＝4⇒k 2＝k ＋2⇒k 2－k －2＝0.解得k ＝2或k ＝－1(舍去)．由弦长公式得： |AB|＝1＋k 2·64k ＋64k2＝5×1924＝215.一、选择题1．过抛物线y 2＝2px(p ＞0)的焦点作一条直线交抛物线于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点,则y 1y 2x 1x 2的值为( )A ．4B ．－4C ．p 2D ．－p 2解析：取特殊位置,当AB ⊥x 轴时,A ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，p ,B ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，－p . ∴y 1y 2x 1x 2＝－4. 答案：B2．设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q,若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点,则直线l 的斜率的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12 B ．[－2,2] C ．[－1,1]D ．[－4,4]解析：准线x ＝－2,Q(－2,0),设l ：y ＝k(x ＋2),由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋2，y 2＝8x ，得k 2x 2＋4(k 2－2)x ＋4k 2＝0.当k ＝0时,x ＝0,即交点为(0,0), 当k≠0时,Δ≥0,－1≤k＜0或0＜k≤1. 综上,k 的取值范围是[－1,1]．答案：C3．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0,b ＞0)的左顶点与抛物线y 2＝2px(p ＞0)的焦点的距离为4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2,－1),则双曲线的焦距为( )A ．2 3B ．2 5C ．4 3D ．4 5解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝b ax ，x ＝－p2，解得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－bp 2a ，x ＝－p2.由题得知⎩⎪⎨⎪⎧－bp2a＝－1，－p2＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝12，p ＝4.又知p 2＋a ＝4,故a ＝2,b ＝1,c ＝a 2＋b 2＝5,∴焦距2c ＝2 5. 答案：B4．设定点M ⎝⎛⎭⎪⎫3，103与抛物线y 2＝2x 上的点P 的距离为d 1,P 到抛物线准线l 的距离为d 2,则d 1＋d 2取最小值时,P 点的坐标为( )A ．(0,0)B ．(1,2)C ．(2,2)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫18，－12解析：连接PF,则d 1＋d 2＝|PM|＋|PF|≥|MF|,知d 1＋d 2的最小值为|MF|,当且仅当M,P,F 三点共线时,等号成立,而直线MF 的方程为y ＝43⎝⎛⎭⎪⎫x －12,与y 2＝2x 联立可得x ＝2,y ＝2.答案：C 二、填空题5．已知抛物线y 2＝4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点,则y 21＋y 22的最小值是________．解析：显然x 1>0,x 2>0.又y 21＝4x 1,y 22＝4x 2,所以y 21＋y 22＝4(x 1＋x 2)≥8x 1x 2,当且仅当x 1＝x 2＝4时取等号,所以y 21＋y 21的最小值为32.答案：326．过抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点F 作斜率为45°的直线交抛物线于A,B 两点,若线段AB 的长为8,则p ＝________.解析：设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),由条件可知直线AB 的方程为y ＝x －p 2,由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －p 2，y 2＝2px ，得x 2－px ＋p24＝2px.即x 2－3px ＋p24＝0,又|AB|＝8,即⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋p 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋p 2＝8. ∴x 1＋x 2＝8－p. 即3p ＝8－p,∴p ＝2. 答案：27．直线y ＝x －3与抛物线y 2＝4x 交于A,B 两点,过A,B 两点向抛物线的准线作垂线,垂足分别为P,Q,则梯形APQB 的面积为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝x －3消去y 得x 2－10x ＋9＝0,得x ＝1或9,即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝6.所以|AP|＝10,|BQ|＝2或|BQ|＝10,|AP|＝2,所以|PQ|＝8,所以梯形APQB 的面积S ＝10＋22×8＝48.答案：488．已知以F 为焦点的抛物线y 2＝4x 上的两点A,B 满足AF ―→＝3FB ―→,则弦AB 的中点到准线的距离为________．解析：依题意,设直线AB 的方程是x ＝my ＋1,A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，y 2＝4x ，消去x 得y 2＝4(my ＋1),即y 2－4my －4＝0,所以y 1＋y 2＝4m,y 1y 2＝－ 4. 又AF ―→＝3FB ―→,AF ―→＝(1－x 1,－y 1),FB ―→＝(x 2－1,y 2),于是有－y 1＝3y 2,y 22＝43, (y 1＋y 2)2＝4y 22＝163, 弦AB 的中点到准线的距离为x 1＋x 22＋1＝y 21＋y 228＋1 ＝y 1＋y 22－2y 1y 28＋1＝163＋88＋1＝83. 答案：83三、解答题9．已知抛物线y 2＝－x 与直线l ：y ＝k(x ＋1)相交于A,B 两点．(1)求证：OA ⊥OB ；(2)当△OAB 的面积等于10时,求k 的值．解：(1)证明：易知k≠0,联立⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝－x ，y ＝k x ＋1，消去x,得ky 2＋y －k ＝0. 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则y 1＋y 2＝－1k,y 1·y 2＝－1. 因为y 21＝－x 1,y 22＝－x 2,所以(y 1·y 2)2＝x 1·x 2,所以x 1·x 2＝1,所以x 1x 2＋y 1y 2＝0,即OA ―→·OB ―→＝0,所以OA ⊥OB.(2)设直线l 与x 轴的交点为N,则N 的坐标为(－1,0),所以S △AOB ＝12|ON|·|y 1－y 2| ＝12×|ON|×y 1＋y 22－4y 1·y 2 ＝12×1× 1k2＋4＝10,解得k 2＝136,所以k ＝±16. 10.如图,过抛物线y 2＝x 上一点A(4,2)作倾斜角互补的两条直线AB,AC 交抛物线于B,C 两点,求证：直线BC 的斜率是定值．证明：设AB 的斜率为k,则AC 的斜率为－k.故直线AB 的方程是y －2＝k(x －4),与y 2＝x 联立得,y －2＝k(y 2－4),即ky 2－y －4k ＋2＝0.∵y ＝2是此方程的一解,∴2y B ＝－4k ＋2k ,y B ＝1－2k k, x B ＝y 2B ＝1－4k ＋4k 2k 2. ∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－4k＋4k 2k 2，1－2k k . ∵k AC ＝－k,以－k 代替k 代入B 点坐标得点C 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1＋4k＋4k 2k 2，1＋2k －k , ∴k BC ＝－1＋2k k －1－2k k 1＋4k ＋4k 2k 2－1－4k ＋4k 2k 2＝－14为定值．。

《直线与抛物线的位置关系》教学设计

《直线与抛物线的位置关系》教学设计
《直线与抛物线的位置关系》教学设计
一．教学目标
1. 掌握抛物线的定义
2. 了解抛物线的特点：抛物线的性质、识别抛物线的方法
3. 掌握抛物线与直线位置关系，间接联系条件概率
二．教学准备
1. 白板，粉笔
2. 激励故事/简答题
3. 图片和例题
三．教学步骤
（一）引入
1. 播放激励性故事，引起学生对直线与抛物线的兴趣。

2. 设置简答问题，让学生思考直线与抛物线的关系，启发学生思维。

（二）快速拓展
1. 定义抛物线，并介绍抛物线的特点：抛物线的性质、识别抛物线的方法等。

2. 出示图片，解释抛物线与直线的位置关系：直线交抛物线两次，有两个不同的焦点；抛物线有唯一的轴对称性，其实现此轴为中轴线；两个焦点到中轴线的距离相等，为直线的焦点距。

（三）深度应用
1. 针对存在的问题，出示例题，通过研究解答，进一步深入探讨抛物线与直线位置关系的内容。

2. 邀请学生回答问题，让学生认识到解决问题的过程，加深对位置关系的理解。

（四）归纳总结
1. 回顾本节课学习内容，并总结抛物线与直线之间位置关系。

2. 介绍抛物线与条件概率的间接联系，强化对本节内容的理解加深认识。

四．教学反思
本节课学习内容比较复杂，时间较紧张，未能充分挖掘学生的潜力，希望能给学生更多的思考空间，让学生能更好的理解抛物线与条件概率的联系。

直线与抛物线的位置关系详案

2.4.2直线与抛物线的位置关系一、教材分析及教学对象分析从教材角度分析，本节课选自《普通高中课程标准实验教科书》选修2-1.“直线与圆锥曲线的位置关系”一直是教学的一个重点内容，并且该内容涉及到了很多重要的数学思想，“转化思想”、“分类讨论思想”、“数形结合思想”，这些数学思想在讨论直线与圆锥曲线的位置关系时起着至关重要的作用.鉴于教材并未专门设立“直线与圆锥曲线的位置关系”这一内容，因此本节课通过研究“直线与抛物线的位置关系”，探讨出相应的解决方法，并把相应的研究方法运用到讨论“直线与椭圆、直线与双曲线的位置关系”中，从而提高教材知识的系统性和全面性.从学生的角度分析，学生在之前已学习了“直线与圆的位置关系”，对判断“直线与圆的位置关系”已掌握了基本的方法，但是考虑到学习间断的时间较长，平行班的部分学生对知识与方法的记忆和理解不够扎实，因此本节课利用代数方法研究“直线与抛物线的位置关系”，在知识的衔接上起到了“承上启下”的作用.二、教学目标1、知识与技能：掌握直线与抛物线的位置关系及判断方法；2、过程与方法：联立方程组的解析法与坐标法；3、情感态度价值观：让学生体验研究解析几何的基本思想，感受数学发展史的源远流长.三、教学重点：直线与抛物线的位置关系及其判断方法.四、教学难点：直线与抛物线的位置关系的判断方法.五、教学方法：多媒体教学、学案式教学.教学过程一、课题引入师：之前我们学习了直线与圆的位置关系，根据直线与圆公共点个数进行分类分别为：没有公共点、一个公共点、两个公共点，对应的位置关系我们分别叫做：相离、相切、相交.类比直线与圆的位置关系，你能说出直线与抛物线的位置关系吗？注：利用PPT 演示几种位置关系二、新课讲解生：观察图像，得出结论.师：结合PPT ，此时直线与抛物线没有公共点，称直线与抛物线相离；此时有两个公共点，称直线与抛物线相交；当直线与抛物线有一个公共点时，是否一定是相切呢？演示相切的情形，这时是相切，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线也只有一个公共点，对于这种位置关系我们也叫做直线与抛物线相交.因此我们要特别注意：若直线与抛物线有一个公共点，此时位置关系有两种可能，即直线与抛物线相切或直线与抛物线的对称轴平行.下面简单地总结一下.（板书：直线与抛物线的位置关系：相离、相切、相交）师：现在我们清楚了直线与抛物线的位置关系，那么利用什么方法判断直线与抛物线的位置关系呢？请大家做一下这个题目，第一组做（1）（2），第二组做（3）（4）判断下列直线与抛物线的公共点个数.（1）1-=y 与2x y =；（2）1=y 与x y =2；（3）12-=x y 与2x y =；（4）x y =与2x y =.注：课前先分好组，第一组做（1）（2），第二组做（3）（4）.在学生做题的过程中，教师到学生中观察，找到自己想要的两种方法.鉴于学生的基础，可能会出现的判断方法有图像观察法，解方程组的方法，个别基础好的同学会用判别式法.师：甲同学，说说你的判断结果，并和大家分享一下你所使用的方法.学生甲：作出图像，通过观察图像直接判断公共点的个数，（1）直线与抛物线没有公共点，（2）直线与抛物线只有一个公共点.师：几何法，一种很直观的方法，很不错.展示图像师：乙同学，我发现你用的方法和甲的不一样，说一下你的判断结果和判断方法.学生乙：解方程组，求出交点坐标，（3）公共点坐标为)1,1(，（4）公共点坐标为)1,1(),0,0( 师：非常好,利用解方程组的方法进行判断.展示方法师：对于判断直线与抛物线的位置关系，几何法与代数法都可以使用.但由于手工作图会有一定的误差，这对于我们判断结果是不利的.因此本节课我们重点来学习利用代数法判断直线与抛物线的公共点个数.大家一起来看这样一个例题.三、例题解析例6 已知抛物线的方程为x y 42=，直线l 过定点)1,2(-P ，斜率为k .k 为何值时，直线l 与抛物线x y 42=：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？师：仿照上述的解方程组的方法，我们来分析一下这道题目.抛物线方程已知，直线方程未知，自然我们要先把直线l 的方程表示出来.提问学生，那这条直线的方程应该怎么表示呢？生：由于直线l 经过点)1,2(-P ，且斜率为k ，由直线的点斜式方程可得l ：)2(1+=-x k y 师：非常好！把直线方程与抛物线方程联立，接下来我们要做的事情就是消元，那我们应该怎么消元呢？生丙：由直线方程)2(1+=-x k y 得1)2(++=x k y ，代入抛物线方程x y 42=，得x x k 42]1)2([=++，整理......师：这是一种非常实用的方法，但是计算的过程略显麻烦.还有其它的方法吗？生丁：由直线方程)2(1+=-x k y 得21--=ky x ，代入抛物线方程x y 42=，得)21(42--=ky y ，整理得0)12(442=++-k y ky 师：这种消元方法有一点瑕疵，哪位同学发现了？生：此时意识到0≠k ，才可以这么做.师：为了避免上述问题，我们可以怎么消元呢？生：也可以由抛物线方程x y 42=得42y x =，代入直线方程)242(1+=-y k y ，整理得0)12(442=++-k y ky ①师：这位同学可谓是一语中的啊.在消元这个环节，大家要特别消元方法的选择.原则上，这几位同学的消元方法都可以，但我们还是以简单为主.并且我们是整理成02=++c by ay的形式.师：那么这个方程0)12(442=++-k y ky 如何求解呢？生：思考，由于含有参数k ，确实不容易求解.师：那我们有没有必要求出具体的解呢？题目要求我们判断公共点的个数，那么公共点个数的问题与对应的方程组有什么关系呢？生：凭感觉能够说出公共点个数就是方程组的解的个数.师：对学生的感觉在理论上给予肯定，借助几何画板简单分析.根据曲线与方程的关系，点既在直线上又在抛物线上，那么点的坐标就是方程组的解.直线与抛物线有几个公共点，对应的直线方程与抛物线方程组成的方程组就有几个解，这样我们就把公共点个数的问题转化为方程组解的个数的问题.而方程组的解的个数又和消元后的方程解的个数相同，因此我们只需判断方程0)12(442=++-k y ky 的解的个数.师：方程0)12(442=++-k y ky 有几个解呢？它的解的个数什么条件有关呢？生：和方程的判别式有关.师：我们知道判别式是针对一元二次方程而言的，这个方程一定是关于y 的二次方程吗？生：意识到问题所在，该方程不一定是二次方程，方程类型与二次项系数k 有关. 师：这个时候我们要怎么办呢？生：要对系数k 分类讨论，当0=k 时，方程①变成了关于y 的一次方程，此时①只有一个解；当0≠k 时，方程①是关于y 的二次方程，此时我们再讨论判别式∆.师：补充当0>∆时，方程①有两个解，对应的方程组有两个解，此时直线与抛物线有两个公共点；当0=∆时，方程①有一个解，对应的方程组有一个解，此时直线与抛物线有一个公共点；当0<∆时，方程①有没有解，对应的方程组没有解，此时直线与抛物线没有公共点.有了上述分析过程，我们来看一下具体的书写格式.PPT 展示过程师：边展示过程，边板书重要的步骤.下面我们来做一个变式训练，请两位同学到前面共同完成，其他同学在学案上完成，注意书写的步骤.四、变式训练已知抛物线的方程为x y 42=，直线l 过定点)1,0(P ，斜率为k .k 为何值时，直线l 与抛物线x y 42=：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？生：仿照例题的步骤，完成变式训练.师：叫同学进行点评，教师再做点评，并把这种方法推广到判断直线与圆锥曲线的位置关系中，进行方法的升华.师：这里给大家留一个思考题.PPT 展示五、课堂总结1、直线与抛物线的位置关系，并注意直线与抛物线有一个公共点时不一定是相切.2、利用代数法判断直线与抛物线的位置关系.3、对于“直线与椭圆、直线与双曲线的位置关系”，我们也可以利用代数方法来研究.4、关于利用代数方法来解决问题早在17世纪就由法国数学家笛卡尔提出，他提出了一种大胆地计划，即：任何问题数学问题代数问题方程求解.。

直线与抛物线的位置关系

第3课时直线与抛物线的位置关系一、直线与抛物线的位置关系1．直线与抛物线公共点的个数可以有0个、1个或2个．将直线方程与抛物线方程联立，消元后得到一元二次方程，若Δ＝0，则直线与抛物线相切，若Δ>0，则直线与抛物线相交，若Δ<0，则直线与抛物线没有公共点．特别地，当直线与抛物线的轴平行时，直线与抛物线有一个公共点．2．在求解直线与抛物线的位置关系的问题时，要注意运用函数与方程思想，将位置关系问题转化为方程根的问题．题型一、直线与抛物线的位置关系例1、已知抛物线C ：y 2＝－2x ，过点P (1,1)的直线l 斜率为k ，当k 取何值时，l 与C 有且只有一个公共点，有两个公共点，无公共点？[解析] 直线l ：y －1＝k (x －1)，将x ＝－y 22代入整理得，ky 2＋2y ＋2k －2＝0.(1)k ＝0时，把y ＝1代入y 2＝－2x 得，x ＝－12，直线l 与抛物线C 只有一个公共点(－12，1)．(2)k ≠0时，Δ＝4－4k (2k －2)＝－8k 2＋8k ＋4.由Δ＝0得，k ＝1±32， ∴当k <1－32或k >1＋32时，Δ<0，l 与C 无公共点．当k ＝1±32时，Δ＝0，l 与C 有且只有一个公共点．当1－32<k <1＋32且k ≠0时，Δ>0，l 与C 有两个公共点．综上知，k <1－32或k >1＋32时，l 与C 无公共点；k ＝1±32或k ＝0时，l 与C 只有一个公共点；1－32<k <0或0<k <1＋32时，l 与C 有两个公共点．例2、已知点A(0,2)和抛物线C ：2y ＝6x ，求过点A 且与抛物线C 有且仅有一个公共点的直线l 的方程．[解析] 当直线l 的斜率不存在时，由直线l 过点A (0,2)可知，直线l 就是y 轴，其方程为x ＝0. 由⎩⎨⎧x ＝0y 2＝6x，得y 2＝0.因此，此时直线l 与抛物线C 只有一个公共点O (0,0)．如果直线l 的斜率存在，则设直线l 的方程为y ＝kx ＋2.这个方程与抛物线C 的方程联立得方程组 ⎩⎨⎧y ＝kx ＋2y 2＝6x，由方程组消去x 得方程，ky 2－6y ＋12＝0① 当k ＝0时，得－6y ＋12＝0，可知此时直线l 与抛物线相交于点()23，2. 当k ≠0时，关于y 的二次方程①的判别式Δ＝36－48k .由Δ＝0得k ＝34，可知此时直线l 与抛物线C 有且仅有一个公共点，直线l 的方程为y ＝34x ＋2，即3x －4y＋8＝0.因此，直线l 的方程为x ＝0，或3x －4y ＋8＝0，或y ＝2. 题型二、弦长问题例3、顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线，截直线2x －y ＋1＝0所得弦长为15，则抛物线方程为______． [答案] y 2＝12x 或y 2＝－4x例4、已知抛物线y 2＝4x 的一条过焦点的弦AB ，A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，AB 所在直线与y 轴交点坐标(0,2)，则1y 1＋1y 2＝__________________.[答案] 12 题型三、对称问题例5、已知抛物线y 2＝x 上存在两点关于直线l ：y ＝k (x －1)＋1对称，求实数k 的取值范围．[解析] 设抛物线上的点A (y 21，y 1)、B (y 22，y 2)关于直线l 对称．则⎩⎨⎧k ·y 1－y 2y 21－y 22＝－1y 1＋y 22＝k (y 21＋y222－1)＋1，得⎩⎨⎧y 1＋y 2＝－k y 1y 2＝k 22＋1k －12，∴y 1、y 2是方程t 2＋kt ＋k 22＋1k －12＝0的两个不同根．∴Δ＝k 2－4(k 22＋1k －12)>0得－2<k <0.故实数k 的取值范围是－2<k <0.例6、求过点P (0,1)且与抛物线y 2＝2x 只有一个公共点的直线方程．[正解] (1)若直线斜率不存在，则过点P (0,1)的直线方程为x ＝0，由⎩⎨⎧ x ＝0y 2＝2x ，得⎩⎨⎧x ＝0y ＝0.即直线x ＝0与抛物线只有一个公共点．(2)若直线的斜率存在，设为k ，则过点P (0,1)的直线方程为y ＝kx ＋1，由方程组⎩⎨⎧y ＝kx ＋1，y 2＝2x .消去y ，得k 2x 2＋2(k －1)x ＋1＝0.当k ＝0时，得⎩⎨⎧x ＝12.y ＝1.即直线y ＝1与抛物线只有一个公共点；当k ≠0时，直线与抛物线只有一个公共点，则Δ＝4(k －1)2－4k 2＝0，所以k ＝12，直线方程为y ＝12x ＋1.综上所述，所求直线方程为x ＝0或y ＝1或y ＝12x ＋1.课后作业一、选择题1．直线y ＝kx －2交抛物线y 2＝8x 于A 、B 两点，若AB 中点的横坐标为2，则k ＝( ) A ．2或－2 B ．－1 C ．2D ．3[答案] C[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8xy ＝kx －2得k 2x 2－4(k ＋2)x ＋4＝0，则4(k ＋2)k 2＝4，即k ＝2. 2．过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，O 为坐标原点，则OA →·OB →的值是( )A ．12B ．－12C ．3D ．－3[答案] D[解析] 设A (y 214，y 1)、B (y 224，y 2)，则OA →＝(y 214，y 1)，OB →＝(y 224，y 2)，则OA →·OB →＝(y 214，y 1)·(y 224，y 2)＝y 21y 2216＋y 1y 2，又∵AB 过焦点，则有y 1y 2＝－p 2＝－4，∴OA →·OB →＝(y 1y 2)216＋y 1y 2＝(－4)216－4＝－3，故选D.3．已知AB 是过抛物线2x 2＝y 的焦点的弦，若|AB |＝4，则AB 的中点的纵坐标是( )A ．1B ．2 C.58 D.158[答案] D[解析] 如图所示，设AB 的中点为P (x 0，y 0)，分别过A ，P ，B 三点作准线l 的垂线，垂足分别为A ′，Q ，B ′，由题意得|AA ′|＋|BB ′|＝|AB |＝4，|PQ |＝|AA ′|＋|BB ′|2＝2，又|PQ |＝y 0＋18，∴y 0＋18＝2，∴y 0＝158.4．设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若F A →＋FB →＋FC →＝0，则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|等于( )A ．9B ．6C ．4D ．3[答案] B[解析] 设A 、B 、C 三点坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)、(x 3，y 3)．由题意知F (1,0)，因为F A →＋FB →＋FC →＝0，所以x 1＋x 2＋x 3＝3.根据抛物线定义，有|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝x 1＋1＋x 2＋1＋x 3＋1＝3＋3＝6.故选B.5．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过焦点F 的直线与抛物线交于点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则y 21＋y 22的最小值为( )A ．4B ．6C ．8D ．10[答案] C[解析] 当直线的斜率不存在时，其方程为x ＝1，∴y 21＝4，y 22＝4， ∴y 21＋y 22＝8.当直线的斜率存在时，设其方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)y 2＝4x ，得ky 2－4y －4k ＝0， ∴y 1＋y 2＝4k，y 1y 2＝－4，∴y 21＋y 22＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 2＝16k2＋8， ∵k 2>0，∴y 21＋y 22>8，综上可知，y 21＋y 22≥8，故y 21＋y 22的最小值为8.6．已知直线y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点．若|F A |＝2|FB |，则k ＝( )A.13B.23C.23D.223[答案] D[解析] 设A 、B 两点坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)y 2＝8x 消去y 得，k 2x 2＋4x (k 2－2)＋4k 2＝0， ∴x 1＋x 2＝4(2－k 2)k 2，x 1x 2＝4.由抛物线定义得|AF |＝x 1＋2，|BF |＝x 2＋2，又∵|AF |＝2|BF |，∴x 1＋2＝2x 2＋4，∴x 1＝2x 2＋2代入x 1x 2＝4，得x 22＋x 2－2＝0， ∴x 2＝1或－2(舍去)，∴x 1＝4，∴4(2－k 2)k 2＝5，∴k 2＝89，∵k >0，∴k ＝223. 二、填空题6．已知F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，M 是这条抛物线上的一个动点，P (3,1)是一个定点，则|MP |＋|MF |的最小值是______________________．[答案] 4[解析] 过P 作垂直于准线的直线，垂足为N ，交抛物线于M ，则|MP |＋|MF |＝|MP |＋|MN |＝|PN |＝4为所求最小值．7．在已知抛物线y ＝x 2上存在两个不同的点M 、N 关于直线y ＝kx ＋92对称，则k 的取值范围为__________________．[答案] k >14或k <－14[解析] 设M (x 1，x 21)，N (x 2，x 22)关于直线y ＝kx ＋92对称， ∴x 21－x 22x 1－x 2＝－1k ，即x 1＋x 2＝－1k .设MN 的中点为P (x 0，y 0)，则x 0＝－12k ，y 0＝k ×(－12k )＋92＝4.因中点P 在y ＝x 2内，有4>(－12k )2⇒k 2>116，∴k >14或k <－14.三、解答题8．已知抛物线y 2＝6x 的弦AB 经过点P (4,2)，且OA ⊥ OB (O 为坐标原点)，求弦AB 的长．[解析] 由A 、B 两点在抛物线y 2＝6x 上，可设A (y 216，y 1)、B (y 226，y 2)．因为OA ⊥OB ，所以OA →·OB →＝0.由OA →＝(y 216，y 1)，OB →＝(y 226，y 2)，得y 21y 2236＋y 1y 2＝0.∵y 1y 2≠0，∴y 1y 2＝－36，① ∵点A 、B 与点P (4,2)在一条直线上， ∴y 1－2y 216－4＝y 1－y 2y 216－y 226，化简得y 1－2y 21－24＝1y 1＋y 2，即y 1y 2－2(y 1＋y 2)＝－24. 将①式代入，得y 1＋y 2＝－6.②由①和②，得y 1＝－3－35，y 2＝－3＋35，从而点A 的坐标为(9＋35，－3－35)，点B 的坐标为(9－35，－3＋35)，所以|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝610. 9．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)过点A (1，－2)．(1)求抛物线C 的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于OA (O 为坐标原点)的直线l ，使得直线l 与抛物线C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于55？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由． [解析] (1)将(1，－2)代入y 2＝2px ，得(－2)2＝2p ·1， ∴p ＝2.故所求的抛物线C 的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1. (2)假设存在符合题意的直线l ，其方程为y ＝－2x ＋t由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋t ，y 2＝4x .消去x 得y 2＋2y －2t ＝0. 因为直线l 与抛物线C 有公共点，所以Δ＝4＋8t ≥0，解得t ≥－12.另一方面，由直线OA 与l 的距离d ＝55，可得|t |5＝15，解得t ＝±1. 综上知：t ＝1.所以符合题意的直线l 存在，其方程为2x ＋y －1＝0. 10．已知抛物线y 2＝－x 与直线y ＝k (x ＋1)相交于A ，B 两点．(1)求证：OA ⊥OB ；(2)当△OAB 的面积等于10时，求k 的值．[解析] (1)如图所示，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝－xy ＝k (x ＋1)，消去x 得，ky 2＋y －k ＝0.设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，由根与系数的关系得y 1·y 2＝－1，y 1＋y 2＝－1k .∵A ，B 在抛物线y 2＝－x 上，∴y 21＝－x 1，y 22＝－x 2，∴y 21·y 22＝x 1x 2. ∵k OA ·k OB ＝y 1x 1·y 2x 2＝y 1y 2x 1x 2＝1y 1y 2＝－1，∴OA ⊥OB .(2)设直线与x 轴交于点N ，显然k ≠0. 令y ＝0，得x ＝－1，即N (－1,0)． ∵S △OAB ＝S △OAN ＋S △OBN＝12|ON ||y 1|＋12|ON ||y 2|＝12|ON |·|y 1－y 2|， ∴S △OAB ＝12·1·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝12(－1k)2＋4. ∵S △OAB ＝10， ∴10＝121k 2＋4，解得k ＝±16.。

直线与抛物线的位置关系教案

直线与抛物线的位置关系教案一、教学目标：知识与技能：1. 理解直线与抛物线的概念及其性质；2. 掌握直线与抛物线的交点求法；3. 能够判断直线与抛物线的位置关系。

过程与方法：1. 通过观察、分析、归纳直线与抛物线的位置关系；2. 利用数形结合的方法，求解直线与抛物线的交点；3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

情感态度价值观：1. 激发学生对数学的兴趣和好奇心；2. 培养学生的团队合作精神；3. 让学生感受数学在生活中的应用。

二、教学重难点：重点：直线与抛物线的概念及其性质，直线与抛物线的交点求法。

难点：判断直线与抛物线的位置关系，解决实际问题。

三、教学准备：教师准备：教学课件、例题、练习题、黑板。

学生准备：笔记本、笔、数学书。

四、教学过程：1. 导入：引导学生回顾直线和抛物线的基本概念和性质。

2. 新课讲解：讲解直线与抛物线的交点求法，举例说明。

3. 案例分析：分析实际问题，引导学生运用直线与抛物线的位置关系解决问题。

4. 课堂练习：学生独立完成练习题，教师解答疑问。

5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调直线与抛物线的位置关系在实际问题中的应用。

五、课后作业：1. 完成练习题：要求学生独立完成课后练习题，巩固所学知识。

2. 研究性问题：鼓励学生探索直线与抛物线的位置关系在实际问题中的应用，如：优化路线、最大/最小值问题等。

3. 小组讨论：组织学生进行小组讨论，分享解题心得和思路，培养团队合作精神。

六、教学评价：1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况，了解学生的学习状态。

2. 练习完成情况：检查学生课后练习的完成质量，评估学生对知识的掌握程度。

3. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的表现，包括思考问题的深度、团队合作能力等。

七、教学反思：教师在课后应对本节课的教学效果进行反思，分析学生的反馈，调整教学方法和策略，以提高教学效果。

关注学生的学习进度和需求，针对性地进行辅导。

直线和抛物线的位置关系

求证:AB斜率为定值;
设P ( x0 , y0 )为抛物线C : x 2 2 py 上一点,A, B为抛物线C 上异于点 P的两点,则k PA k PB 的充要条 x0 件是k AB = p
特别地:当 0时, k AB
x0 p
即AB与( x0 , y0 )处切线平行.
动画展示
真题传真 2010清华大学自主招生试题例:已知抛物线 C : x 2 4 y, P ( x0 , y0 )为抛物线上一点，
A, B为 C上两动点 ( P ),直线PA, PB斜率分别为k1 , k 2 设ABCD 是抛物线 x2 4 y异于上不同的四
点,A, D关于该抛物线的对称轴对称, BC 平行于该抛物线在点D处的切线l , 设D到直线AB,直线AC的距离分别为 d1 , d 2 ,已知d1 d 2 2 | AD |, 判断 ABC是锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的哪一种,并说明理由.
y kx m 2 x 4kx 4m 0 2 x 4 y
x1 x2 4k , x1x2 4m代入(*)
得m 4k AB : y kx 4k
过(4,0)
例:已知抛物线C : x 2 4 y, P ( x0 , y0 )为抛物线上一点， A, B为C上两动点(异于P ),直线PA, PB斜率分别为k1 , k 2
过(4,0)
例:已知抛物线C : x 2 4 y, P ( x0 , y0 )为抛物线上一点， A, B为C上两动点(异于P ),直线PA, PB斜率分别为k1 , k 2
分析 1
分析 2
(2)若x0 4, k1k2 1,
求证:AB过定点;
另解推广
x1 4 x2 4 k1k2 4 4 1 [ x1 x2 4( x1 x2 ) 16] 1 16 x1 x2 4( x1 x2 ) 0(*)

直线与抛物线的位置关系教案

直线与抛物线的位置关系教案教学目标：1. 理解直线与抛物线的交点情况；2. 学会利用数学方法判断直线与抛物线的位置关系；3. 能够运用直线与抛物线的位置关系解决实际问题。

教学重点：1. 直线与抛物线的交点情况；2. 直线与抛物线的位置关系的判断方法。

教学难点：1. 直线与抛物线的交点坐标的求解；2. 直线与抛物线的位置关系的判断方法的运用。

教学准备：1. 教学课件；2. 练习题。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾直线与抛物线的基本概念；2. 提问：直线与抛物线的位置关系有哪些？二、新课讲解（15分钟）1. 讲解直线与抛物线的交点情况，如图示；2. 讲解直线与抛物线的位置关系的判断方法，如图示。

三、案例分析（10分钟）1. 给出案例，让学生判断直线与抛物线的位置关系；2. 引导学生思考如何求解直线与抛物线的交点坐标。

四、课堂练习（10分钟）1. 让学生完成练习题，巩固所学知识；2. 解答学生疑问。

五、总结与拓展（5分钟）1. 总结直线与抛物线的位置关系及其判断方法；2. 提出拓展问题，引导学生思考如何运用直线与抛物线的位置关系解决实际问题。

教学反思：本节课通过讲解、案例分析和练习，使学生掌握了直线与抛物线的位置关系及其判断方法。

在教学过程中，要注意引导学生思考，激发学生的学习兴趣。

通过拓展问题，培养学生的实际问题解决能力。

六、实例解析（15分钟）1. 通过具体的直线和抛物线图形，分析它们的交点情况；2. 举例说明如何利用数学方法判断直线与抛物线的位置关系。

七、练习与巩固（10分钟）1. 学生独立完成练习题，巩固对直线与抛物线位置关系的理解；2. 教师选取部分学生的作业进行讲解和分析。

八、直线与抛物线的位置关系在实际问题中的应用（15分钟）1. 介绍直线与抛物线位置关系在实际问题中的应用实例；2. 引导学生学会如何将实际问题转化为直线与抛物线的位置关系问题。

九、小组讨论与分享（10分钟）1. 学生分组讨论直线与抛物线位置关系的问题；2. 每组选取一个代表分享讨论成果。

直线和抛物线的位置关系(上课)

2p 2p 4p
令y 0得 y y1 y2 2 px 2 px1
2 1
因为y21 2 px1，y1y2 =-2ps代入上式得 x s 直线AB必过点（s， 0）
B
l
M
y2=2 px
x
过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则
y
A’
A O F
x
设A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ), A, B到
由抛物线的定义可知
准线l的距离分别为 d A , dB .
B’ B p AF d A x1 x1 1, 2 p BF d B x 2 x 2 1, 2 所以 AB AF BF x1 x2 2 8
x 2 2x C 0
由 Δ (2)
2
()
又由（）得 x=1，∴y=1.
4 (C) 0
得 C=-1
故所求点的坐标是（1，1）. 点评：此处用到了数形结合的方法.
yx
2
y
p
O
x
2x-y-4=0
互动练习
1.过点(0,2)与抛物线 y 点的直线有( C）（A）1条 (B)2条 (C)3条 P (D)无数多条
y2 4x
{
k 2 x 2 (2k 4)x+1 0
2 2 (2 k 4) 4 k 16(1 k ) 当K ≠ 0时，该方程是一元二次方程,所以
（1）当 0，即k 1时，直线与抛物线相交
（2）当 0，即k 1时，直线与抛物线相切（3）当 0，即k 1时，直线与抛物线相离

直线与抛物线的位置关系(附学生使用讲义)

直线与抛物线的位置关系一、知识点1）直线与抛物线的位置关系的判断2）中点问题3）弦长问题4）韦达定理应用二、教学过程1、直线与抛物线位置关系例1 已知抛物线的方程为24y x =，直线l 过定点(2,1)P -，斜率为k ，k 为何值时，直线l 与抛物线只有一个公共点；两个公共点；没有公共点？解：设直线方程为1(2)y k x -=+，由方程组21(2)4y k x y x -=+⎧⎨=⎩可得 244(21)0ky y k -++=当0k =，一个公共点，当0k ≠，0∆=即11,,2k or k =-=时一个公共点，当0k ≠，0∆>即11,02k k -<<≠时两个公共点当0k ≠，0∆<即1-1,2k k <>时无公共点说明：1）联立方程后，消元时，可以选择将抛物线方程代入直线方程2）判断位置关系用∆方法，当需注意二次项的系数的讨论，其中二次项系数为零对应的直线与抛物线的对称轴平行3）直线与抛物线的位置关系仍分相交、相切、相离三种情形，但当相交时有可能为一个或两个公共点，也即一个公共点不一定相切配套练习：求过点(1,2)P 且与抛物线24y x =只有一个交点的直线方程参考答案：2,,10y or x y =+-=2、中点问题例2 已知AB 为抛物线22(0)y px p =>的弦，1122(,),(,)A x y B x y ，00(,)M x y 为,A B 的中点，求证：1202AB p p k y y y ==+ 配套练习：过点Q (4，1)作抛物线y 2＝8x 的弦AB ，若弦AB 恰被Q 平分，求弦AB 所在直线的方程．参考答案：4x －y －15＝0.3、弦长公式例3 已知顶点在原点，焦点在y 轴上的抛物线截直线x －2y －1＝0所得的弦长为15，求此抛物线的方程．解：设抛物线方程为x 2＝ay (a ≠0)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝ay ，x －2y －1＝0，消去y ，得2x 2－ax ＋a ＝0. ∵直线与抛物线有两个交点，∴Δ＝(－a )2－4×2×a ＞0，即a ＜0或a ＞8.∴|AB |＝＝145（a 2－8a ）a ＝－4或a ＝12， ∴所求抛物线的方程为x 2＝－4y 或x 2＝12y .4、韦达定理应用例4 若点 P （1，2），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）是抛物线y 2=2px （p ＞0）上的不同的三个点，直线AP ，BP 的斜率分别是k 1，k 2，若k 1+k 2=0，求直线AB 的斜率k ．分析1：设直线AP ：12(1)y k x -=-，联立抛物线方程24y x =可知，1142y k =-，同理2142y k =--，则1221p k y y ==-+ 分析2：设AB ：y kx m =+，联立抛物线方程24y x =可知，2440ky y m --= 又121244022k k y y +=+=++，则1244y y k +=-=，所以1k =- 配套练习：已知AB 为抛物线22(0)y px p =>的动弦，且90AOB ∠=，求证直线AB 过定点参考：过定点(2,0)p直线与抛物线的位置关系讲义一、知识点1）直线与抛物线的位置关系的判断2）中点问题3）弦长公式4）韦达定理应用二、教学过程2、直线与抛物线位置关系例1 已知抛物线的方程为24y x =，直线l 过定点(2,1)P -，斜率为k ，k 为何值时，直线l 与抛物线只有一个公共点；两个公共点；没有公共点？练习：求过点(1,2)P 且与抛物线24y x =只有一个交点的直线方程2、中点问题例2 已知AB 为抛物线22(0)y px p =>的弦，1122(,),(,)A x y B x y ，00(,)M x y 为,A B 的中点，求证：1202AB p p k y y y ==+练习：过点Q (4，1)作抛物线y 2＝8x 的弦AB ，若弦AB 恰被Q 平分，求弦AB 所在直线的方程．3、弦长公式例3 已知顶点在原点，焦点在y 轴上的抛物线截直线x －2y －1＝0所得的弦长为15，求此抛物线的方程．4、韦达定理应用例4 若点 P （1，2），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）是抛物线y 2=2px （p ＞0）上的不同的三个点，直线AP ，BP 的斜率分别是k 1，k 2，若k 1+k 2=0，求直线AB 的斜率k ．练习：已知AB 为抛物线22(0)y px p =>的动弦，且90AOB ∠=，求证：直线AB 过定点。

学案直线与抛物线(1).doc

直线和抛物线的位置关系1.直线与抛物线的位置关系：(1)位置关系的判定：联立直线I: y-kx + m和抛物线y2 = 2px(p > 0)消y整理得：k2x' + 2(km - p)x + 7/72 = 0当。

0时△>0=直线与抛物线相交，有两个不同公共交点△= 0 0直线与抛物线相切，只有一个公共交点△<00直线与抛物线相离，没有公共交点当a = 0时，则直线是抛物线的对称轴或是和对称轴平行的直线，此时直线与抛物线相交, 只有一个公共交点，但不能成为相切(2)四种标准形式下的焦点弦，焦半径公式为标准方程y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0)焦半径IPFI焦点弦IABI(3 )若直线与抛物线相交于人(如/),3(心,方，则弦长\AB\ = yjl + k2+工2)2 —4X/2或 |A3| = + + 光)2 —4乂卜2，特别注意解题是结合韦达定理来处理问题2.焦点弦问题：设过抛物线y2 = 2px(p A 0)的焦点F&0)的直线与抛物线交于4(%!, 乂), 3(邑，弟，直线QA与。

力的斜率分别为％«直线『的倾斜角为二,则有"2 2/9@ Ji = ~P；® x.Xj = —； (3)k,k-, = —4 ； @|A5| = x, + 匚 + p = -- - —, ' 4 - - sin a⑤= --- - -- ,\FB\=--- --- ；+ -^—=—,1 -coscr 1 + coscr |AF| |BF| p过A, B两点做准线的垂线，垂足分别为M, N，则ZMFN= 90°,通径|A3| = IP；⑨以弦AB长为直径的圆总与准线相切题型一：直线和抛物线位置关系已知直线/：y^kx + 1和抛物线y2=8x(1)若直线/与抛物线有两个公共点，求上的取值范围(2)若直线/与抛物线只有一个公共点，求上的取值范围(3)若直线/与抛物线没有公共点，求*的取值范围题型二：和弦长有关问题1已知抛物线y2=-x与直线y = k(x + l)相交于A,3两点，当△0A3的面积等于面时，求*的值2已知抛物线C： y2=4x的焦点为F,过点F的直线/与C相交于A、B.(1)若 M = 求直线/的方程.(2)求期|的最小值.3 y2=2x上两点A,B两点到焦点距离之和是5,则线段AB中点横坐标是题型三：中点弦问题例.已知抛物线y2=6x,过点P(4,l)引一弦，使它恰好在点P被平分，求这条弦所在的直线方程题型四：和抛物线有关最值问题1过定点M(4,0)作直线/交抛物线y~ = 4x于A, 3两点，F为抛物线的焦点，求AAF3面积的最小值2 P是y2=4x上的动点，F为焦点，A(6,3),求IPAI+IPFI最小值，并指出此时点P坐标。

直线与抛物线位置关系学案

直线与抛物线的位置关系学案学习目标（1）掌握直线与抛物线的位置关系。

（2）会用方程、数形结合的思想解决直线与抛物线的位置关系问题。

学习过程一、复习回顾1. 直线与圆、椭圆、双曲线的位置关系2. 直线与圆、椭圆、双曲线的位置关系的判断方法二、新知探究你能说出直线与抛物线的位置关系吗？如何通过研究方程判断直线与抛物线的位置关系？已知抛物线C ：y 2＝2x ，判断下列直线与抛物线C 的位置关系。

（1） y ＝1（2） y ＝-x ＋1（3） y ＝x ＋1（4） 112y x =+三、典例分析例1.已知直线l ：y ＝kx ＋1和抛物线C ：y 2＝4x ，试判断当k 为何值时，l 与C 有：①一个公共点；②两个公共点；③没有公共点.变式:已知直线l ：y ＝k (x -1)和抛物线C ：y 2＝4x ，试判断l 与C 的位置关系.反馈练习1.过点P （0,1）与抛物线y 2＝2x 有两个交点的直线的斜率取值范围是（） A.1(,)2+∞B.1(,)2-∞ C.1(,0)(0,)2-∞⋃ D.1(0,)22.过点M（0,1）且和抛物线C: y2＝4x仅有一个公共点的直线有几条？它们的方程是什么？链接高考y 的准线与x轴交于点Q，（2013山西太原二模13）设抛物线28x若过点Q的直线l与抛物线有公共点，求直线l斜率的取值范围。

四、课堂小结1.直线与抛物线位置关系的判断方法？2.本节课的学习中用到了哪些数学思想方法？五、作业布置1.必做题（1）过点P（0,1）与抛物线y2＝x仅有一个交点的直线有（）A.4条B.3条C.2条D.1条（2）直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k 的值为（）A.1B.1或3C.0D.1或0（3）（2014辽宁，10）已知点A（-2,3）在抛物线C:y2＝2px（p>0）的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为（）A.12 B.23 C.34 D.43（4）已知抛物线的方程为y2＝4x,直线l过定点P（-2,1）,斜率为k,k为何值时,直线l与抛物线y2＝4x:⑴只有一个公共点;⑵有两个公共点;⑶没有公共点。

直线与抛物线的位置关系教案

直线与抛物线的位置关系教案第一章：直线与抛物线的定义及性质一、教学目标：1. 了解直线的定义及其性质。

2. 了解抛物线的定义及其性质。

3. 掌握直线和抛物线的图形特点。

二、教学内容：1. 直线的定义及性质。

2. 抛物线的定义及性质。

3. 直线和抛物线的图形特点。

三、教学步骤：1. 引入直线的定义及性质，引导学生理解直线的特点。

2. 引入抛物线的定义及性质，引导学生理解抛物线的特点。

四、教学评价：1. 学生能准确描述直线的定义及其性质。

2. 学生能准确描述抛物线的定义及其性质。

3. 学生能识别直线和抛物线的图形特点。

第二章：直线与抛物线的交点一、教学目标：1. 了解直线与抛物线的位置关系。

2. 学会求直线与抛物线的交点。

3. 掌握交点的性质和应用。

二、教学内容：1. 直线与抛物线的位置关系。

2. 求直线与抛物线的交点的方法。

3. 交点的性质和应用。

三、教学步骤：1. 引入直线与抛物线的位置关系，引导学生理解它们之间的关系。

2. 讲解求直线与抛物线交点的方法，并通过例题进行演示。

3. 让学生分组讨论并练习求直线与抛物线的交点。

四、教学评价：1. 学生能理解直线与抛物线的位置关系。

2. 学生能运用求交点的方法解决实际问题。

3. 学生能分析交点的性质和应用。

第三章：直线与抛物线的切点一、教学目标：1. 了解直线与抛物线的切点概念。

2. 学会求直线与抛物线的切点。

3. 掌握切点的性质和应用。

二、教学内容：1. 直线与抛物线的切点概念。

2. 求直线与抛物线的切点的方法。

3. 切点的性质和应用。

三、教学步骤：1. 引入直线与抛物线的切点概念，引导学生理解切点的含义。

2. 讲解求直线与抛物线切点的方法，并通过例题进行演示。

3. 让学生分组讨论并练习求直线与抛物线的切点。

四、教学评价：1. 学生能理解直线与抛物线的切点概念。

2. 学生能运用求切点的方法解决实际问题。

3. 学生能分析切点的性质和应用。

第四章：直线与抛物线的交点个数一、教学目标：1. 了解直线与抛物线交点个数与参数的关系。

专题14 直线与抛物线的位置关系(解析版)

专题14 直线与抛物线的位置关系一、定点1、已知抛物线24y x =的焦点为F ，直线l 过点(4,0)M ．（1）若点F 到直线ll 的斜率；（2）设A ，B 为抛物线上两点，且AB 不与x 轴垂直，若线段AB 的垂直平分线恰过点M ，求证：线段AB 中点的横坐标为定值答案：（12）证明见详解.解析：（1）设出直线方程，根据点到直线的距离公式，即可求得直线；（2）设出直线方程，联立抛物线方程，根据韦达定理，利用直线垂直，从而得到的斜率关系，即可证明. 【详解】（1）由条件知直线l 的斜率存在，设为0k ，则直线l 的方程为：0(4)y k x =-，即0040k x y k --=．从而焦点(1,0)F 到直线l（2）证明：设直线AB 的方程为(0)y kx b k =+≠，联立抛物线方程24y x =，消元得：222(24)0k x kb x b +-+=．设()11,A x y ，()22,B x y ，线段AB 的中点为()00,P x y ，因为PM AB ⊥，1PM AB k k ∴⋅=-．将M 点坐标代入后整理得：即可得：222kb k -=. 【点睛】本题考查抛物线中的定值问题，涉及直线方程的求解，韦达定理，属综合基础题.2、在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线()220y px p =>上一点其焦点F 的距离为4.（1）求抛物线的方程与准线方程；（2）直线l 与抛物线相交于,A B 两点(,A B 位于x 轴的两侧)，若3OA OB ⋅=，求证直线l 恒过定点.答案：（1）22y x =，（2）见详解解析：（1）先计算n ，根据抛物线的定义，可得.（2）假设直线方程，然后与抛物线方程联立，利用韦达定理，表示出3OA OB ⋅=，可得结果. 【详解】（1在抛物线上，72,pn =或7p = 当7p =时，所以，抛物线的方程为22y x=，（2）设直线l 的方程为x y a λ=+，由22x y ay xλ=+⎧⎨=⎩，得，2220.y y a λ--= 设()()1122,,,A x y B x y ，则12122,2y y y y a λ+==-.由221212121222y y OA OB x x y y y y ⋅=+=⋅+()22234a OA OB a -⋅=-=得3a =或1a =-.当1a =-时，1222,,y y a A B =-=位于x 轴的同侧，舍去；当3a =时，1226,,y y a A B =-=-位于x 轴的两侧，即直线l 的方程为3x y λ=+，所以，直线l 恒过()3,0. 【点睛】本题主要考查抛物线中过顶点的问题，难点在于找到方程x y a λ=+中,a λ的关系，属中档题.3、已知1F 、2F 分别为椭圆1C :22221(0)y x a b a b+=>>的上、下焦点，其中1F 也是抛物线22:4C x y =的焦点，点M 是1C 与2C 在第二象限的交点，且15||3MF =.（1）求椭圆1C 的方程;（2）已知点(1,3)P 和圆O :222x y b +=，过点P 的动直线l 与圆O 相交于不同的两点,A B ，在线段AB 上取一点Q ，满足:AP PB λ=-，AQ QB λ=，(0λ≠且1λ≠±).求证:点Q 总在某定直线上.答案：（1（2）+33x y =. 试题分析：（1）设()00M x y ，，由已知得M 的坐标，代入椭圆的方程中可求得,,a b c ，可得椭圆1C 的方程；（2）由向量的坐标运算和向量相等的条件，以及点在圆上可得出点Q 所在的直线.详解：（1）设()00M x y ，，因为点M 在抛物线2C 上，且又点M 在抛物线1C 上，所以，且1c =，即221b a =-，解得224,3a b ==，所以椭圆1C 的方程（2）设()()1122,,A B x y x y ，，(),Q x y ，因为AP PB λ=-，所以()()1122131,3x y x y λ=-----，，即有()()()121211312x x y y λλλλ⎧-=-⎪⎨-=-⎪⎩，，，又AQ QB λ=，所以()()1122,x x y y x x y y λ-=---，，即有()()()()1212+1+3+1+4x x x y y y λλλλ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，，所以()()()()13+24⨯⨯得：()()()2222211222+++13x y x x y y λλ=--，又点A 、B 在圆223x y +=上，所以22221122+3+3x y x y ==，，又1λ≠±，所以+33x y =，故点Q 总在直线+33x y =上.【点睛】本题考查椭圆和抛物线的简单几何性质，以及直线与圆的交点问题，属于较难题.二、定值1、抛物级22(0)x py p =>的焦点F 到直线2py =-的距离为2. （1）求抛物线的方程；（2）设直线1y kx =+交抛物线于()11,A x y ，()22,B x y 两点，分别过A ，B 两点作抛物线的两条切线，两切线的交点为P ，求证：PF AB ⊥.答案：（1）24x y =；（2）证明见解析试题分析：（1）利用抛物线的定义求出p 即可得出结论；（2）联立直线和抛物线的方程，得出韦达定理，设切线PA 的斜率为PA k ，切线PB 的斜率为PB k ，点P 坐标为(),m n ，利用已知条件对函数214y x =求导得出切线的斜率，写出切线方程，求出两切线的交点坐标，利用1PF AB k k ⋅=-，即可得出结论.详解：（1）由题意知：0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则焦点F 到直线2py =-的距离为：222p p p ⎛⎫--== ⎪⎝⎭，所以抛物线的方程为：24x y =；（2）证明：把直线1y kx =+代入24x y =消y 得：2440x kx --=，又216160k ∆=+>，利用韦达定理得121244x x kx x +=⎧⎨⋅=-⎩，由题意设切线PA 的斜率为PA k ，切线PB 的斜率为PB k ，点P 坐标为(),m n ，，切线PA 的方程为：()()i ii -利用韦达定理化简整理得：2m k =，把2m k =代入()i 整理得：则()()2,1,0,1P k F -，则PF AB ⊥ 【点睛】本题主要考查了利用定义求抛物线的方程，直线与抛物线应用.做这道题的时候要注意，利用韦达定理，得出两根的关系，设出两切线的交点，认真计算.属于中档题. 2、已知圆()22:11F x y +-=，动点(),M x y ()0y ≥，线段FM 与圆F 交于点N ，MH x ⊥轴，垂足为H ，（1）求动点M 的轨迹C 的方程；（2）设()()000,2P x y y >为曲线C 上的一点，过点P 作圆F 的两条切线，12,k k 分别为，求点P 的坐标. 答案：（1）24x y =（2试题分析：()1利用抛物线的概念及标准方程直接得结论;()2设过点P 的切线方程为()00y y k x x -=-，即000kx y y kx -+-=，则圆心()0,1F 到切线的距离为求解．详解：()1圆F 的圆心为()0,1F ，半径为1，又MH x ⊥轴，垂足为H∴动点()(),0M x y y ≥到点()0,1F 等于到直线1y =-的距离．故动点()(),0M x y y ≥的轨迹是以()0,1F 为焦点的抛物线，2p ∴=，则动点M 的轨迹C 的方程是24x y =；()2设过点P 的切线方程为()00y y k x x -=-，即000kx y y kx -+-=，则圆心()0,1F 到切线的距离为化简得，()()2220000012120x k x y k y y ---+-=，两切线斜率分别为1k ，2k ，，又()00,P x y 为曲线C 上的一点，由()1知，2004x y =，，即20113430y y -+=，或03y =， 02y >，03y ∴=，则 ∴点P【点睛】本题考查了抛物线的概念及标准方程和定点与定值问题．属于中档题.3、等腰直角△AOB 内接于抛物线2:2C y px =(0p >)，其中O 为抛物线的顶点，OA OB ⊥，△AOB 的面积是16. （1）求抛物线C 的方程；（2）抛物线C 的焦点为F ，过F 的直线交抛物线于M ？N 两点，交y 轴于点E ，若1EM MF λ=，2EN NF λ=，证明：12λλ+是一个定值.答案：（1）24y x =；（2）证明见解析.试题分析：（1）设点()11,A x y ，()22,B x y ，由抛物线方程、两点之间距离公式可得12x x =，结合面积即可得点A 坐标，代入即可得解；（2）设直线():10MN x my m =+≠，点()33,M x y ，()44,N x y ，由平面向量的知识. 详解：（1）设点()11,A x y ，()22,B x y ，则2112y px =，2222y px =，因为△AOB 为等腰直角三角形，OA OB ⊥，所以22221122x y x y +=+，所以22112222x px x px ，化简得()()121220x x x x p -++=，由1>0x ，20x >，0p >可得1220x xp ，所以120x x -=即12x x =，所以点A 、点B 关于x 轴对称，又△AOB 的面积是16不妨设点()4,4A ，所以1624p =⋅，解得2p =，所以抛物线C 的方程为24y x =；（2）证明：由题意可知点()1,0F ，直线MN 的斜率存在且不为0，设直线():10MN x my m =+≠，点()33,M x y ，()44,N x y ，，3,x EM ⎛ =，()331,x y MF -=-，4,x EN ⎛=()441,x y NF -=-，因为1EM MF λ=，2EN NF λ=，由241y xx my ⎧=⎨=+⎩消去x 可得2440y my --=，>0∆，所以344y y m +=，344y y =-，所以12λλ+是一个定值,且121λλ+=-.【点睛】本题考查了抛物线方程的求解及直线、平面向量与抛物线的综合应用，考查了运算求解能力，属于中档题.4、如图所示，倾斜角为α的直线经过抛物线28y x =的焦点F ，且与抛物线交于,A B 两点.（1）求抛物线的焦点F 的坐标及准线l 的方程；（2）若α为锐角，作线段AB 的垂直平分线m 交x 轴于点P .证明||||cos2α-FP FP 为定值，并求此定值.答案：（1）,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭；2x =-（2）证明见解析；定值为8试题分析：（1）根据抛物线标准方程得28p =，从而易得焦点坐标和准线方程；（2）设点,A B 的坐标分别为()(),,,A A B B x y B x y .直线AB 的斜率为tan k α=，则直线方程为(2)y k x =-，代入抛物线方程整理后可和A B x x +，这样可得AB 中点E 的坐标(,)E E x y ，由直线m 与AB 垂直可得m 的方程，在此方程中令0y =得P x ，计算化简||||cos2α-FP FP 得定值．详解：解（1）设抛物线的标准方程为22y px =，则28p =，从而4p =. 因此焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭的坐标为（2，0），又准线方程的一般式为2p x =-.从而所求准线的方程为2x =-.（2）设点,A B 的坐标分别为()(),,,A A B B x y B x y .直线AB 的斜率为tan k α=，则直线方程为(2)y k x =-.将此式代入28y x =，得()22224240k x k x k -++=. 故()2242++=A B k x x k.记直线m 与AB 的交点为(),E E E x y ，则()22222A B E k x x x k++==，故直线m 的方程为令0y =，得点P 的横坐标.【点睛】本题考查由抛物线的标准方程求焦点坐标和准线方程，考查直线与抛物线相交中的定值问题．直线与抛物线相交，可设交点坐标为()(),,,A A B B x y B x y ，再写出直线方程与抛物线方程联立消元后应用韦达定理得,A B A B x x x x +，本题中由此可得中点坐标(,)E E x y ．这就是解析几何中的设而不求的思想方法，务必掌握住．5、已知()11,A x y ，()22,B x y 是抛物线C ：()220x py p =>上不同两点.（1）若抛物线C 的焦点为F ，()00,D x y 为AB 的中点，且042AF BF y +=+，求抛物线C 的方程；（2）若直线AB 与x 轴交于点P ，与y 轴的正半轴交点Q ，且线AB ，求出直线AB 的方程；若不存在，请说明理由. 答案：（1）28x y =；（2）存在，AB ：试题分析：(1)根据抛物线的定义求解即可.(2)设AB ：()0,0y kx m k m =+≠>,联立直线与抛物线的方程,再转换可得进而利用点坐标与韦达定理代入化简求解即可. 详解：解：（1）由抛物线的定义得12AF BF y y p +=++00242y p y =+=+,∴4p =,∴所求抛物线方程为28x y =.（2）由题意得AB 的斜率存在设AB ：()0,0y kx m k m =+≠>,222202y kx mx pkx pm x py=+⎧⇒--=⎨=⎩,∴122x x pk +=,122x x pm =-,,21222y y pk m +=+,作'AA x ⊥轴,'BB x ⊥轴,垂足为'A ,'B ,【点睛】本题主要考查了抛物线的定义运用,同时也考查了联立直线与抛物线的方程,利用韦达定理表达弦长进行化简求解的问题.属于中档题.6、已知O 为原点，抛物线()2:208C x py p =<<的准线与y 轴的交点为H ，P 为抛物线C 上横坐标为4的点，已知点P 到准线的距离为5. （1）求C 的方程；（2）过C 的焦点F 作直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，若以AH 为直径的圆过B ，求.答案：（1）24x y =；（2）4.试题分析：（1，求得p 后即可得解；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 的方程为()10y kx k =+≠，联立方程组结合韦达定理可得124x x =-，由圆的性质、进而可得221216x x -=，再由抛物线的性质即可得解.详解：（1，解得2p =或8p =（舍）， ∴抛物线方程为24x y =；（2）由题意抛物线24x y =的焦点为()0,1F ，准线方程为1y =-，()0,1H -，由题意可知，直线AB 的斜率存在且不为0，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 的方程为()10y kx k =+≠，代入抛物线方程可得2440x kx --=，>0∆， ∴124x x k +=，124x x =-，①由AH BH ⊥可得1HB k k ⋅=-，∴整理得()()1212110y y x x -++=，即把①代入②得221216x x -=，【点睛】本题考查了抛物线性质的应用及方程的求解，考查了直线与抛物线的综合问题，关键是对题目条件合理转化，属于中档题.7、设抛物线C ：()220y px p =＞的焦点为F ，经过点F 的动直线l 交抛物线C 于()()1122A x y B x y ，、，两点，且12 4.y y =-（1）求抛物线C 的方程；（2）若点M 是抛物线C 的准线上的一点，直线MF 、MA 、MB 的斜率分别为012k k k 、、，求证：当01k =时，12k k +为定值.答案：（1）24y x =；（2）122k k +=.试题分析：（1）设直线l 方程为即可求解；（2）根据条件求出M 点坐标，12k k +用12,y y 表示，再利用根与系数关系，即可证明结论. 【详解】（1）抛物线C ：()220y px p =>的焦点设直线l 方程为，消去x 得，2220y pmy p --=，22212124(1)0,2,4p m y y pm y y p ∆=+>+==-=-，2p =，所以抛物线方程为24y x =；（2）抛物线准线方程为2x =-，设直线l 方程为1x my =+，212124,4y y m y y p +==-=-所以12k k +为定值. 【点睛】本题考查求抛物线的标准方程及其性质，考查直线与抛物线的位置关系，要注意根与系数关系设而不求的应用，属于中档题.8、已知椭圆1C 的中心和抛物线2C 的顶点都在坐标原点O ，1C 和2C 有公共焦点F ，点F 在x 轴正半轴上，且1C 的长轴长、短轴长及点F 到直线（Ⅰ）当2C 的准线与直线的距离为15时，求1C 及2C 的方程；（Ⅱ）设过点F 且斜率为1的直线l 交1C 于P ，Q 两点，交2C 于M ，N 两点．当时，求||MN 的值．试答案：（Ⅰ）1C ：，2C ：212y x =（Ⅱ）试题分析：（1）依据题设条件“1C 的长轴长、短轴长及点F 到直线求得2a c =，从而求出1C 的右准线方程为4x c =，然后借助题设“2C 的准线与直线的距离为15”建立方程求出3c =，求出1C 及2C 的方程；（2）先建立直线l 的方程l ：y x c =-，后与椭圆方程联立，借助求出c 的值，再与曲线1C 的方程联立求出解：（Ⅰ）设1C ：，其半焦距为c (0)c >．则2C ：24y cx =．，得2a c =．1C 的右准线方程为，即4x c =．2C 的准线方程为x c =-．由条件知515c =，所以3c =，故6a =，从而1C ：，2C ：212y x =．（Ⅱ）由题设知l ：y x c =-，设()11,M x y ，()22,N x y ，()33,P x y ，()44,Q x y ．，即2223412x y c +=由2223412x y c y x c ⎧+=⎨=-⎩，知34,x x 满足227880x cx c --=，，所以129x x += 点睛：圆锥曲线是高中数学教材中较为典型的传统内容，也是高考每年重点考查的知识内容之一．本题以椭圆与抛物线两种圆锥曲线为背景设置问题，旨在考查椭圆、抛物线的标准方程与几何性质等基础知识，以及运用代数中的方程解决几何问题的各种综合能力．解答本题的第一问时，先依据题设条件“1C 的长轴长、短轴长及点F 到直线求得2a c =，从而求出1C 的右准线方程为4x c =，然后借助题设“2C 的准线与直线的距离为15”建立方程求出3c =，求出1C 及2C 的方程；求解本题的第二问，先建立直线l 的方程l ：y x c =-，后与椭圆方程联立，求出c 的值，再与曲线1C 的方程联立求出的值使得问题获解．9、已知抛物线21:4C y x =与圆2222:C x y r +=一个交点的横坐标线l 与1C 相切于点P ，与2C 交于不同的两点A ，B ，O 为坐标原点. （1）求2C 的方程；（2）若OA OB ⊥，求.答案：（1）221x y +=；（2试题分析：（1）将抛物线方程和圆方程联立，消去y ，得到关于x 的方程，然后将交点代入方程中，可求出圆的半径，可得2C 的方程；（2）设直线l 的方程为x ky m =+，与抛物线方程联立成方程组，消元后判别式等于零，得到20k m +=，直线方程与圆的方程联立方程组，消元后利用根与系数的关系，再结合OA OB ⊥，可得22210m k --=，从而可求出k ，m 的值，从而可求出点P 的坐标，详解：（1）联立抛物线1C 与圆2C 的方程：22224y xx y r⎧=⎨+=⎩，得2240x x r +-=，解得21r =，所以2C 的方程为221x y +=.（2）设直线l 的方程为x ky m =+，联立直线l 与抛物线1C 的方程24x ky my x=+⎧⎨=⎩，得2440y ky m --=，由于直线l 与1C 相切，所以()()24440k m ∆=---=，即20k m +=①联立直线l 与圆2C 的方程：221x ky m x y =+⎧⎨+=⎩，得()2221210k y kmy m +++-=设()11,A x y ，()22,B x y ，则由OA OB ⊥得，12120x x y y +=，即()()()()221212121210ky m ky m y y k y y km y y m +++=++++=化简得，22210m k --=②，将①代入②得：2210m m +-=，解得1m =-或12m =（舍去），21k =，所以1k =±，故直线l 的1x y =±-. 解方程组214x y y x =±-⎧⎨=⎩得，切点P 的坐标为()11,2P ，()21,2P -. （1）当P 的坐标为()11,2P 时，此时()0,1A ，()1,0B -，故2224PA PB =⨯=；（2）当P 的坐标为()21,2P -时，此时()1,0A -，()0,1B -，故2224PA PB =⨯=. 所以，4PA PB =.【点睛】本题主要考查抛物线方程、圆的方程、向量等综合知识，考查推理论证、转化与化归及运算求解能力，属于较难题.三、面积1、已知点()0,2A ，()2,0B .若点C 在抛物线2y x =上，则使得ABC ∆的面积为2的点C 的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4答案： D解析：由题意可得22AB =，AB 的方程为221x y +=，2(,)C m m ，求出点C 到AB 的距离d 的值，再代入面积公式得21|2|22222m m +-⨯⨯=，由此求得m 的值，从而得出结论．详解：由题意可得22AB =，AB 的方程为221x y+=，即20x y +-=．设点2(,)C m m ，则点C 到AB 的距离2|2|2m m d -=+．由于ABC ∆的面积为2，故有21|2|22222m m +-⨯⨯=，化简可得2|2|2m m +-=， 222m m ∴+-=①，或222m m +-=-②．解①求得1172m -+=或1172m --=；解②求得0m =或1m =-．综上可得，使得ABC ∆的面积为2的点C 的个数为4.故选：D. 【点睛】本题主要考查抛物线的简单性质的应用，点到直线的距离公式，一元二次方程的解法，属于中档题．2、在直角坐标系xOy 中，PAF △是以PF 为底边的等腰三角形，PA 平行于x 轴，点()1,0F ，且点P 在直线1x =-上运动.记点A 的轨迹为C.（1）求C 的方程. （2）直线AF 与C 的另一个交点为B ，等腰PAF △底边的中线与直线1x =-的交点为Q ，试问QAB 的面积是否存在最小值？若存在，求出该值；若不存在，请说明理由.答案：（1）()240y x x =≠；（2）存在，值为4.试题分析：（1）根据抛物线的定义得轨迹C 为抛物线（去除顶点），从而可得其方程；（2）设直线AB 的方程为1x ty =+，()11,A x y ，()22,B x y ，直线方程代入抛物线方程整理可得1212,y y y y +，由抛物线的焦点弦弦公式求得弦长AB ，再求出点Q 到直线AB 的距离，求得三角形面积（表示为t 的函数），由函数性质可得最小值．详解：（1）由题意得PA 与直线1x =-垂直，且PA PF =，故点A 到定点()1,0F 的距离和到直线1x =-的距离相等，由抛物线的定义可得，C 是以()1,0F 为焦点，直线1x =-为准线的抛物线(除原点O)，故C 的方程为()240y x x =≠.（2）存在．设直线AB 的方程为1x ty =+，()11,A x y ，()22,B x y ，由214x ty y x=+⎧⎨=⎩，得2440y ty --=，则()21610t ∆=+>，124y y t +=，124y y =-. 因为111x ty =+，221x ty =+，所以21242x x t +=+，又P 的坐标为()11,y -，所以PF故PAF △底边的中线所在的直线方程为令1x =-，得故Q 的坐标为()1,2t -.点Q 到直线ABQABS=故当0t =时，QABS取得最小值4.【点睛】本题考查用定义求轨迹方程，考查抛物线的焦点弦性质及抛物线中三角形面积问题．解题方法是“设而不求”的思想方法，即设交点坐标()11,A x y ，()22,B x y ，设直线AB 的方程为1x ty =+，代入抛物线方程应用韦达定理得1212,y y y y +，然后用1212,y y y y +去表示出弦长，把三角形面积表示为参数t 的函数，再由函数知识得最小值．3、已知抛物线C ：2y x a =+，点P 是C 上的不同于顶点的动点，C 上在点P 处的切线l 分别与x 轴轴交于点A 、B ．若存在常数t 满足对任意的点P 都有PA tPB =．（Ⅰ）求实数a ，t 的值；（Ⅱ）过点P 作l 的垂线与C 交于不同于P 的一点D ，求PBD △面积的最小值．答案：试题分析：（Ⅰ）先求导数，利用导数几何意义得切线斜率，根据点斜式得切线方程，即得A 、B 坐标，根据坐标化简PA tPB =，最后根据等式恒成立得a ，t 的值；（Ⅱ）先设D ，根据向量垂直坐标表示得P 与D 横坐标关系，再根据两点间距离公式得结果.详解：（Ⅰ）设1111(,)(0,)P x y x y a ≠≠，则211y x a =+，22y x a y x '=+∴=2111111111:2()2222()l y y x x x y y x x x y y x x y a ∴-=-∴-=--=--，，，即11:22l y y a x x +-=．l 分别与x 轴轴交于点A 、B ，()10,2B a y -．PA tPB =∴0∵存在常数t 满足对任意的点P 都有PA tPB =∴ （Ⅱ）设22(,)D x y ，DP PB ⊥0DP PB ∴⋅=()()()()222121211121211,,2,,2DP PB x x y y x y x x x x x x ⋅=--⋅--=---⋅ ()()2221121122x x x x x x =----∵12x x ≠，10x≠，故()112120x x x ++=，即又DP PB ⊥，故PBD △的面积为()()()()222222221614141211411()88x x x x x f x x x +-+-+'=⋅=⋅．11(0,),()0;(,),()0;2323x f x x f x ''∴∈<∈+∞>∴()f x 在10,23⎛⎤ ⎥⎝⎦上是减函数，在1,23⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上是增函数． ∴当123x =时，()f x 的最小值是439．故PBD △面积的最小值是439．【点睛】本题考查抛物线切线方程、等式恒成立、抛物线中三角形面积、利用导数求最值，考查综合分析求解能力，属较难题.4、已知点F 是抛物线2:4C x y =的焦点，P 是其准线l 上任意一点，过点P 作直线PA ，PB 与抛物线C 相切，A ，B 为切点，PA ，PB 与x 轴分别交于Q ，R 两点．（1）求焦点F 的坐标，并证明直线AB 过点F ；（2）求四边形ABRQ 面积的最小值．答案：（1）(0,1)F ，证明见解析；（2）3试题分析：（1）由点斜式设出直线,AP BP 的直线方程，再由P 在,PA PB 上，得出直线AB 的方程，从而证明直线AB 过点F ；（2）将直线AB 的方程与抛物线方程联立，结合韦达定理，抛物线的性质，点到直线的距离公式得出PAB S ∆，PQR S ∆，再由四边形ABRQ 的面积PAB PQR S S S ∆∆=-，结合导数得出四边形ABRQ 面积的最小值．详解：（1）由题意可知(0,1)F又P 在,PA PB 上,所以直线AB过焦点（2）由（1代入2:4C x y =得20240x x x --= 则1201224x x x x x +=⎧⎨=-⎩由（1则四边形ABRQ 的面积当2t ≥时，()0f t '>即函数()f t 在[2,)+∞上是增函数则四边形ABRQ 面积的最小值为3【点睛】本题主要考查了抛物线中直线过定点问题，抛物线中的四边形的面积问题，属于中档题.5、已知抛物线()2:20C y px p =>经过点（1）写出抛物线C 的标准方程及其准线方程，并求抛物线C 的焦点到准线的距离；（2）过点()2,0且斜率存在的直线l 与抛物线C 交于不同的两点A ，B ，且点B 关于x与x 轴交于点M . （i 的坐标；（ii与OAB 面积之和的最小值.答案： 1焦点到准线的距离为1；（2）（i ）(2,0)M -，（ii 试题分析：（1）由抛物线C 经过点，求得抛物线的方程为22y x =，再结合抛物线的几何性质，即可求解；（2）（i ）设过点()2,0的直线:2l x my =+，联立方程组，求得1212,y y y y +，再由直线AD 的方程，0y =，即可求解M 的坐标；（ii ）利用三角形的面积公式，求得OAM ∆与OAB ∆面积之和的表示，结合基本不等式，即可求解.详解：（1）由题意，抛物线()2:20C y px p =>经过点解得1p =，所以抛物线的方程为22y x =，1.（2）（i ）设过点()2,0的直线:2l x my =+，代入抛物线22y x =的方程，可得2240y my --=，设直线l 与抛物线C 的交点112222(,),(,),(,)A x y B x y D x y -，且10y >，则212122,4,4160y y m y y m +==-∆=+>，所以直线AD的方程为令0y =，可得()21211()2y y y x y -⋅-=-，所以21211122()()4x y y y y y y =-⋅-+==-，所以2x =-，所以(2,0)M -，1212111422OAB OAM S y y y y S y y y ∆∆-++=+=++=11114422242y y y y =+≥⋅=，当且仅当1142y y =时，即12y =时等号成立，所以OAM ∆与OAB ∆面积之和的最小值为42.【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程及几何性质、及直线与抛物线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与抛物线方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等。

直线与抛物线的位置关系教案

课题：直线与抛物线的位置关系教学目地培养学生从形及数两个角度研究分析问题的习惯，学会依形判数，就数论形，互相验证的数学方法，提高数形结合的能力。

教学重点运用解析几何的基本方法建立数形联系。

媒体运用电脑powerpoint 课件，几何画板动态演示，实物投影教学课型新授课教学过程（一）复习引入通过问题复习方程和曲线的关系。

1、怎样判断直线L 与抛物线C 的位置关系？为了使学生思考更有针对性，给出具体的例题：已知直线L ：1(1)2y x =+，抛物线C ：24y x =，怎样判断它们是否有公共点？若有公共点，怎样求公共点？估计学生都能回答：由方程组21(1)24y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩的解判断L 与C 的关系，紧接着提出问题： 2、问为什么说方程组21(1)24y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩有解，L 与C 就有公共点，为什么该方程组的解对应的点就是L 与C 的交点？通过这一问题，复习一下的对应关系：直线L 上的点⇔方程1(1)2y x =+的解；抛物线C 上的点⇔方程24y x =的解；L 与C 的公共点⇔方程组21(1)24y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩的解。

既然有了这样的一一对应的关系，那么研究直线与抛物线的公共点，可以通过研究对应的方程组的解来解决；同样，讨论方程组是否有解，也可通过研究直线与抛物线是否有公共点来解决。

这样就引出了解决这一类问题的两种方法，代数法和几何法。

（二）分析讨论例题讨论直线L ：(1)y m x =+与抛物线C ：24y x =公共点的个数。

请一位学生说一下解题思路，估计能回答出：考虑方程组2(1)4y m x y x=+⎧⎨=⎩的解，然后让学生尝试自己解决。

提出下列几个问题：1、从几何图形上估计一下，能否猜想一下结论？如果被提问的学生不会回答，可作引导：直线L 有什么特点？m 表示什么？抛物线C 有什么特点？在解决这些问题的同时画出图形。

2、m 为何值时，L 与C 相切？3、当m 很接近于零但不等于零时（在提问同时用图形表示），L 与C 是否仅有一个公共点？后两个问题从图像看不准，对于问题3，可能有部分同学认为仅有一个公共点，另外一些同学认为会有两个公共点，带着这个问题用代数法验证。

高中数学直线与抛物线的位置关系学案新人教版选修11

高中数学直线与抛物线的位置关系学案新人教版选修11巩义二中数学高二（文科）备课组一﹑学习目标：类比直线与双曲线的位置关系的研究，尝试探究直线与抛物线的位置关系，进一步体会用坐标法研究几何问题的思路二﹑学习重点：直线与抛物线的位置关系三﹑知识链接:（1）直线与双曲线的位置关系有哪些？是如何研究的？（2）当直线与双曲线相交时，如何求弦长？（3）涉及弦的中点问题，如何解决？四﹑问题探究1﹑已知抛物线的方程为24y x =，直线l 过定点P （-2，1），斜率为k ，k 为何值时，直线l 与抛物线24y x =：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？思考：直线与抛物线的位置关系的讨论，和双曲线完全一样吗？练习：过点（-3，2）的直线与抛物线24y x =只有一个公共点，求此直线方程。

2﹑过抛物线22y px =(p >0)的焦点作倾斜角为θ的直线l ，设l 交抛物线于A,B 两点.（1）求∣AB ∣; （2）求∣AB ∣的最小值。

练习：抛物线的顶点在原点，以x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线，被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线方程。

3﹑已知抛物线22y x =，过点Q （2，1）做一条直线交抛物线于A ﹑B 两点，试求弦AB 的中点的轨迹方程。

4﹑已知抛物线24x y =，点P 是抛物线上的动点，点A 的坐标为（12，6）,求点P 到点A 的距离与点P 到x 轴的距离之和的最小值。

五﹑巩固练习1﹑与直线240x y -+=平行的抛物线2y x =的切线方程为（）A. 230x y -+=B. 230x y --=C. 210x y -+=D. 210x y --= 2﹑过抛物线22x py =（0p >）的焦点F 作倾斜角为θ的弦，则弦长等于（）A. 22sin p θB. 22cos p θC. 2cos p θD. 22cos p θ3﹑抛物线24y x =与直线240x y +-=交于两点A 与B ，F 是抛物线的焦点，则∣FA|+∣FB ∣=_____ 4﹑已知抛物线24y x =，过P （4，0）的直线与抛物线交于A(1x ,1y )﹑B(22,x y )两点，则21y +22y 的最小值是_____5﹑抛物线2x y =上到直线240x y --=的距离最小的点P 的坐标为_____6﹑过点M(2,0)作斜率为1的直线交抛物线于A,B两点，求∣AB∣。

直线与抛物线的位置关系详案

考点102直线与抛物线的位置关系

直线和抛物线的位置关系学案

直线与抛物线的位置关系说课稿

直线与抛物线的位置关系教案

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高中数学同步学案 直线与抛物线的位置关系

《直线与抛物线的位置关系》教学设计

直线与抛物线的位置关系 详案

直线与抛物线的位置关系

直线与抛物线的位置关系教案

直线和抛物线的位置关系

直线与抛物线的位置关系教案

直线和抛物线的位置关系(上课)

直线与抛物线的位置关系(附学生使用讲义)

学案直线与抛物线(1).doc

直线与抛物线位置关系学案

直线与抛物线的位置关系教案

专题14 直线与抛物线的位置关系(解析版)

直线与抛物线的位置关系教案

高中数学 直线与抛物线的位置关系学案 新人教版选修11

高中数学同步学案直线与抛物线的位置关系

直线与抛物线的位置关系详案

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