陕西省榆林育才中学高中数学第1章《三角函数》1-2周期现象与角的概念的推广导学案北师大版必修4

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陕西省榆林育才中学高中数学第1章《三角函数》1-2周期现象与角的概念的推广导学案北师大版必修4

陕西省榆林育才中学高中数学第1章《三角函数》1-2周期现象与角的概念的推广导学案北师大版必修4【学习目标】1.了解周期现象在现实生活中的广泛存在，通过周期现象的实例感悟周期现象的特征.2.通过实例理解角的概念的推广的必要性，理解任意角的概念，能根据角的终边旋转方向判断正角、负角和零角.3.掌握终边相同角的表示方法，会判断象限角和坐标轴上的角.【重点难点】【自主学习】1.潮汐现象、地球公转与自转、单摆的摆动等都是_________________.2.角可以看成平面内一条射线绕着________从一个位置旋转到另一个位置所形成的_________. 射线在旋转时有两个相反的方向，_________________________________________________为正角；______________________________________为负角；_______________________________________为零度角，又称零角.3.在直角坐标系中讨论角时，使角的顶点与_____重合，角的始边与________重合. 角的终边在第几象限，就把这个角叫作________________________.如果终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限，称这个角为坐标轴上的角.4.终边相同的角有________个，相等的角终边一定__________，但终边相同的角不一定__________.S5.一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合=____________________________________.6. 与ο490-终边相同的最小正角是_________，最大负角是________，绝对值最小的角是________，它们是第______象限角.【合作探究】1.在οο360~0范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角.（1）ο120-；（2）ο640；（3）'8950ο-.2. 在直角坐标系中，写出终边在y 轴上的角的集合（用οο360~0的角表示）.3.写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式οο720360<≤-β 的元素β写出来.（1）ο60；（2）ο225-.【课堂检测】1. 下列说法中，正确的是（）A. 第一象限的角是锐角B. 锐角是第一象限的角C. 小于ο90的角是锐角D. ο0到ο90的角是第一象限的角2. 若时针走过2小时40分，则分针转过的角度是________.3. 若α是第三象限角，则2α是第几象限角？2α是第几象限角？【课堂小结】1. 角的推广；2. 象限角的定义；3. 终边相同角的表示；4. 终边落在坐标轴等；5. 区间角表示.第一象限角：｛α|k ⨯360o ＜α＜k ⨯360o +90o ,k∈Z }第二象限角：｛α|k ⨯360o +90o ＜α＜k ⨯360o +180o ,k∈Z }第三象限角:｛α|k ⨯360o +180o ＜α＜k ⨯360o +270o ,k∈Z }第四象限角：{α|k ⨯360o +270o ＜α＜k ⨯360o +360o ,k ∈Z }【课后训练】1. ο276-是（）A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角2. 今天是星期二，从今天算起，27天后的那一天是星期_____，第50天是星期 _______.。

陕西省榆林育才中学高中数学第1章《三角函数》三角函数小结导学案北师大版必修4

陕西省榆林育才中学高中数学第1章《三角函数》三角函数小结导学案北师大版必修4【学习目标】1.了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化.2.理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义.3.能画出函数x y x y x y tan ,cos ,sin ===的图像.会利用单位圆或三角函数图像推导出诱导公式，并能借助图像理解正弦函数、余弦函数在]2,0[π，正切函数在)2,2(ππ-上的性质（如单调性、最大值和最小值、图像与x 轴交点等）.4.了解)sin(ϕω+=x A y 的实际意义；会画)sin(ϕω+=x A y 的图像，体会参数ϕω,,A 对函数图像的影响.2.弧度制（1）1弧度的角：（2）弧度与角度的互化：（3）弧长公式和扇形面积公式： 3.任意角的三角函数（1）定义：（2）三角函数值的符号：（3）诱导公式的口诀：4.正弦、余弦、正切函数的图像及性质函数x y sin =x y cos =x y tan =图像定义域值域周期性奇偶性单调性对称性【合作探究】 1. 已知角α的终边在函数x y 21-=的图像上，求ααcos ,sin 和.tan α2. )sin()cos()23sin()2cos()3sin()(απαππααππαα----+---=f .（1）化简)(αf ；（2）若331πα-=，求)(αf 的值. 3. 函数)||,0,0()sin(πϕωϕω≤>>++=A b x A y 在一个周期内，当6π=x 时，y 取最小值1；当65π=x 时，y 取最大值3.请求出此函数的解析式.4. 求下列函数的值域：（1）)34cos(32π--=x y ；（2）2sin 1sin 3-+=x x y .【课堂检测】 1. 求函数)343sin(51π-=x y 的最小正周期、单调递增区间、最大值及对应的x 值的集合.2. 判断下列函数的奇偶性：（1）x x y cos 2+=；（2）x y sin 21=；（3）x x y sin 2=；（4）x x y tan cos -=.3. 一个扇形的弧长和面积的数值都是5，求这个扇形中心角的度数.4. 比较下列各组函数值的大小：（1）532sin π和427sin π；（2）)2037cos(-和 852cos ；（3）)718tan(π-和)843tan(π-.【课后训练】。

高中数学第一章三角函数1_2角的概念的推广课件1北师大版

【即时训练】下列说法正确的是(
)
A.一条射线绕顶点旋转，旋转的圈数越多，则这个角越大
B.在坐标系中，将y轴的非负方向绕坐标原点顺时针旋
转到x轴的非负方向形成的角为90°
C.将钟表调快一个小时，则分针转了360°
D.顺时针方向旋转形成的角一定小于逆时针方向旋转
形成的角
【解析】如果一条射线绕顶点顺时针方向旋转，则
逆时针旋转900° 准，分针应该旋转多少度？
注意：旋转方向和旋转量确定了校准手表的方式.
思考2：类比数系的扩充，思考角的概念是否也可以推广?
提示：类比正负数可表示具有相反意义的量，对
于旋转方向不同的角，我们猜想：也可以用正负来表示.
任意角定义：
逆时针
注意角的旋转方向和旋转量.
顺时针
任意角
探究点2 象限角
思考1：为了进一步研究角的需要，我们常在直角
坐标系内讨论角，并使角的顶点与原点重合,角的
始边与x轴的非负半轴重合，那么对一个任意角，
角的终边可能落在哪些位置？提示：如图，可以是坐标轴、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限
y
o
x
象限角
1.角的顶点与原点重合.
2.角的始边重合于x轴的非负半轴.
【即时训练】
1.锐角是第几象限的角？答：锐角是第一象限的角.
2.第一象限的角是否都是锐角？
答：第一象限的角并不都是锐角. 3.小于90°的角都是锐角吗？
答：小于90°的角并不都是锐角，它也有可能是零角或负角.
探究点3 终边相同的角思考1：在坐标轴上画出
30°,390°,-330°, 它们有什么共同点和内在联系？
它形成负角，旋转的圈数越多，则这个角越小，故 A 不正确.在坐标系中，将y 轴的非负方向绕坐标原点旋转到x轴的非负方向时，是按顺时针方向旋转，故它形成的角为-90°，故B不正确.将钟表调快一个小时，也是按顺时针转动，故分针转了-360°，C不正确.顺时针方向旋转形成的角为负角，它一定小于逆时针方向旋转形成的正角，故D正确. 答案：D.

高中数学第一章三角函数 1-2 角的概念与推广课件北师大版必修4

解决此类问题，关键是抓住该现象每隔相同时间就重复出现．
1．如图所示是某人的心电图，根据这个心电图，请你判断其心脏跳动是否正常．解析：观察图像可知，此人的心电图是周期性变化的．因此心脏跳动正常．
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间，你们休息一下眼睛，看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动，久坐对身体不好哦~
解析：由 α＝n·360°＋θ，n∈Z 可知 α 与 θ 是终边相同的角，由 β＝m·360°－θ，m∈Z
可知 β 与－θ 是终边相同的角．因为 θ 与－θ 两角终边关于 x 轴对称，所以 α 与 β 两角
终边关于 x 轴对称．答案：C
探究三区域角的表示 [典例 3] 如图，分别写出适合下列条件的角的集合： (1)终边落在射线 OM 上； (2)终边落在直线 OM 上； (3)终边落在阴影区域内(含边界)．
3．(1)已知角 α 的终边在图中阴影所表示的范围内(不包括边界)，那么 α∈________. (2)已知集合 A＝{α|30°＋k×180°<α<90°＋k×180°，k∈Z}，B＝{β| －45°＋k×360°<β<45°＋k×360°，k∈Z}． ①试在平面直角坐标系内画出集合 A 和 B 中的角的终边所在的区域； ②求 A∩B.
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探究二终边相同的角与象限角 [典例 2] 在 0°到 360°之间，找出与下列各角终边相同的角 α，并指出它们分别为第几象限角． (1)－1 154°18′；(2)2 428°
[解析] (1)∵－1 154°18′÷360°＝－4 余 285°42′， ∴－1 154°18′＝－4×360°＋285°42′，相应 α＝285°42′，从而－1 154°18′为第四象限角． (2)∵2 428°÷360°＝6 余 268°， ∴2 428°＝6×360°＋268°，相应 α＝268°，从而 2 428°为第三象限角．

陕西省榆林育才中学高中数学第1章《三角函数》8函数的图像(2)导学案北师大版必修4

陕西省榆林育才中学高中数学第1章《三角函数》8函数的图像（2）导学案北师大版必修4【学习目标】1.理解函数)sin(ϕω+=x A y 的性质，并能灵活的用其解决相关问题.2.掌握如何根据函数)sin(ϕω+=x A y 的图像及性质求函数的解析式.【重点难点】函数)sin(ϕω+=x A y 的性质及其应用.【使用说明】类比正、余弦函数的性质，试着总结函数)sin(ϕω+=x A y 的性质，然后利用性质解决相关问题.【自主学习】1. 对于函数)sin(ϕω+=x A y ),0,0(R x A ∈>>ω，有以下性质：①值域：___________； ②周期性：=T _______；③奇偶性：当Z k k ∈=,πϕ时，是奇函数，当Z k k ∈+=,2ππϕ时，是偶函数； ④单调性：由)(2222Z k k x k ∈+≤+≤+-ππϕωππ可求出单调增区间，由__________________________________________可求出单调减区间；⑤对称性：图像的对称轴方程可由)(2Z k k x ∈+=+ππϕω求出，图像的对称中心的横坐标可由__________________________求出.【合作探究】1. 求下列函数的最大值和最小值，以及达到最大值、最小值时x 值的集合.（1）12sin 21+=x y ；（2）1)12cos(6-+-=x y .2.（1）求函数)43cos(21π+=x y 的递增区间；（2）求函数)3sin(3x y -=π的递减区间.3.已知函数)sin()(ϕω+=x A x f )2||,0,0(πϕω<>>A 的部分图像如下图. （1）求函数)(x f 的解析式；（2）令)67()(π+=x f x g ，判断函数)(x g 的奇偶性，并说明理由.【课堂检测】1. 同时具有下列性质：“①对任意)()(,x f x f R x =+∈π恒成立；②图像关于直线 3π=x 对称；③]3,6[ππ-上是增函数”的函数可以是（） A. )62sin()(π+=x x f B. )62sin()(π-=x x f C. )32cos()(π+=x x f D. )62cos()(π-=x x f 2.（1）函数))(63sin(53R x x y ∈-=π的递增区间是_____________________；（2）函数])2,0[)(3221cos(3ππ∈+=x x y 的递减区间是___________________. 3. 函数)sin(ϕω+=x A y )20,0,0(πϕω<<>>A 一个周期的图像如图所示，试确定 ϕω,,A 的值.【课堂小结】【课后训练】1.函数)435sin(2π-=x y 的周期是________，最小值为_____，取最小值时的x 的取值集合为______________________.2. 判断下列函数的奇偶性.（1）))(23cos(R x x y ∈+=π；（2）))(22sin(3R x x y ∈-=π.。

高中数学第一章三角函数1周期现象2角的概念的推广精品学案北师大版必修

1 周期现象2 角的概念的推广学习目标 1.了解现实生活中的周期现象.2.了解任意角的概念，理解象限角的概念.3.掌握终边相同的角的含义及其表示．知识点一周期现象思考“钟表上的时针每经过12小时运行一周，分针每经过1小时运行一周，秒针每经过1分钟运行一周．”这样的现象，具有怎样的属性？梳理(1)以相同间隔重复出现的现象叫作周期现象．(2)要判断一种现象是否为周期现象，关键是看每隔一段时间这种现象是否会________出现，若出现，则为周期现象；否则，不是周期现象．知识点二角的相关概念思考1 将射线OA绕着点O旋转到OB位置，有几种旋转方向？思考2 如果一个角的始边与终边重合，那么这个角一定是零角吗？梳理(1)角的概念：角可以看成平面内____________绕着________从一个位置________到另一个位置所形成的图形．(2)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：知识点三象限角思考把角的顶点放在平面直角坐标系的原点，角的始边与x轴的非负半轴重合，旋转该角，则其终边(除端点外)可能落在什么位置？梳理在直角坐标系内，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．象限角：________在第几象限就是第几象限角；轴线角：________落在坐标轴上的角．知识点四终边相同的角思考1 假设60°的终边是OB，那么－660°，420°的终边与60°的终边有什么关系，它们与60°分别相差多少？思考2 如何表示与60°终边相同的角？梳理终边相同角的表示一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k×360°，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与________的整数倍的和．类型一周期现象的应用例1 水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，假设水车5分钟转一圈，计算1小时内最多盛水多少升？反思与感悟(1)应用周期现象中“周而复始”的规律性可以达到“化繁为简”、“化无限为有限”的目的．(2)只要确定好周期现象中重复出现的“基本单位”就可以把问题转化到一个周期内来解决．跟踪训练1 利用例1中的水车盛800升的水，至少需要多少时间？类型二象限角的判定例2 在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.反思与感悟判断象限角的步骤(1)当0°≤α<360°时，直接写出结果．(2)当α<0°或α≥360°时，将α化为k ·360°＋β(k ∈Z ，0°≤β<360°)，转化为判断角β所属的象限．跟踪训练2 (1)判断下列角所在的象限，并指出其在0°～360°范围内终边相同的角． ①549°；②－60°；③－503°36′.(2)若α是第二象限角，试确定2α、α2是第几象限角．类型三终边相同的角命题角度1 求与已知角终边相同的角例3 在与角10 030°终边相同的角中，求满足下列条件的角．(1)最大的负角；(2)最小的正角；(3)[360°，720°)的角．反思与感悟求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k 的值．跟踪训练3 写出与α＝－1 910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来．命题角度2 求终边在给定直线上的角的集合例4 写出终边在直线y ＝－3x 上的角的集合．反思与感悟求终边在给定直线上的角的集合，常用分类讨论的思想，即分x ≥0和x <0两种情况讨论，最后再进行合并．跟踪训练4 写出终边在直线y＝33x上的角的集合．1．下列是周期现象的为( )①闰年每四年一次；②某交通路口的红绿灯每30秒转换一次；③某超市每天的营业额；④某地每年6月份的平均降雨量．A．①②④ B．②④C．①② D．①②③2．与－457°角终边相同的角的集合是( )A．{α|α＝k·360°＋457°，k∈Z}B．{α|α＝k·360°＋97°，k∈Z}C．{α|α＝k·360°＋263°，k∈Z}D．{α|α＝k·360°－263°，k∈Z}3．2 017°是第________象限角．4．一个质点，在平衡位置O点附近振动，如果不考虑阻力，可将此振动看作周期运动，从O点开始计时，质点向左运动第一次到达M点用了0.3 s，又经过0.2 s第二次通过M点，则质点第三次通过M点，还要经过的时间是________s.5．已知，如图所示．(1)写出终边落在射线OA，OB上的角的集合；(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．1．判断是否为周期现象，关键是看在相同的间隔内，图像是否重复出现．2．由于角的概念推广了，那么终边相同的角有无数个，这无数个终边相同的角构成一个集合．与α角终边相同的角可表示为{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，要领会好k∈Z的含义．3．熟记终边在坐标轴上的各角的度数，才能正确快速地用不等式表示各象限角，注意不等式表示的角的终边随整数k的改变而改变时，要对k分类讨论．答案精析问题导学知识点一思考周而复始，重复出现．梳理 (2)重复知识点二思考1 有顺时针和逆时针两种旋转方向．思考2 不一定，若角的终边未作旋转，则这个角是零角．若角的终边作了旋转，则这个角就不是零角．梳理 (1)一条射线端点旋转(2)逆时针方向旋转顺时针方向旋转没有作任何旋转知识点三思考终边可能落在坐标轴上或四个象限内．梳理终边终边知识点四思考1 它们的终边相同．－660°＝60°－2×360°，420°＝60°＋360°，故它们与60°分别相隔了2个周角的和及1个周角．思考2 60°＋k ·360°(k ∈Z )．梳理周角题型探究例1 解因为1小时＝60分钟＝12×5分钟，且水车5分钟转一圈，所以1小时内水车转12圈．又因为水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，所以每转一圈，最多盛水16×10＝160(升)，所以水车1小时内最多盛水160×12＝1 920(升)．跟踪训练1 解设x 分钟后盛水y 升，由例1知每转一圈，水车最多盛水16×10＝160(升)，所以y ＝x 5·160＝32x ，为使水车盛800升的水，则有32x ≥800，所以x ≥25，即水车盛800升的水至少需要25分钟．例2 解 (1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角．跟踪训练2 解 (1)①∵549°＝189°＋360°，∴549°角为第三象限的角，与189°角终边相同．②∵－60°＝300°－360°，∴－60°角为第四象限的角，与300°角终边相同．③∵－503°36′＝216°24′－2×360°，∴－503°36′角为第三象限的角，与216°24′角终边相同．(2)由题意得90°＋k ·360°<α<180°＋k ·360°(k ∈Z )，①所以180°＋2k ·360°<2α<360°＋2k ·360°(k ∈Z )．故2α是第三或第四象限角或终边落在y 轴非正半轴上的角．由①得45°＋k ·180°<α2<90°＋k ·180°(k ∈Z )，当k 为偶数时，令k ＝2n (n ∈Z )，得45°＋n ·360°<α2<90°＋n ·360°(n ∈Z )，故α2是第一象限角．当k 为奇数时，令k ＝2n ＋1(n ∈Z )，得45°＋180°＋n ·360°<α2<90°＋180°＋n ·360°(n ∈Z )，即225°＋n ·360°<α2<270°＋n ·360°(n ∈Z )，故α2为第三象限角．综上可知，α2为第一或第三象限角．例3 解与10 030°终边相同的角的一般形式为β＝k ·360°＋10 030°(k ∈Z )．(1)由－360°＜k ·360°＋10 030°＜0°，得－10 390°＜k ·360°＜－10 030°，解得k ＝－28，故所求的最大负角为β＝－50°.(2)由0°＜k ·360°＋10 030°＜360°，得－10 030°＜k ·360°＜－9 670°，解得k ＝－27，故所求的最小正角为β＝310°.(3)由360°≤k ·360°＋10 030°＜720°，得－9 670°≤k ·360°＜－9 310°，解得k ＝－26，故所求的角为β＝670°.跟踪训练 3 解由终边相同的角的表示知，与角α＝－1 910°终边相同的角的集合为{β|β＝k ·360°－1 910°，k ∈Z }．∵－720°≤β＜360°，即－720°≤k ·360°－1 910°＜360°(k ∈Z )，∴31136≤k ＜61136(k ∈Z )，故取k ＝4,5,6. 当k ＝4时，β＝4×360°－1 910°＝－470°；当k ＝5时，β＝5×360°－1 910°＝－110°；当k ＝6时，β＝6×360°－1 910°＝250°.例4 解终边在y ＝－3x (x <0)上的角的集合是S 1＝{α|α＝120°＋k ·360°，k ∈Z }；终边在y ＝－3x (x ≥0)上的角的集合是S 2＝{α|α＝300°＋k ·360°，k ∈Z }．因此，终边在直线y ＝－3x 上的角的集合是S ＝S 1∪S 2＝{α|α＝120°＋k ·360°，k ∈Z }∪{α|α＝300°＋k ·360°，k ∈Z }，即S ＝{α|α＝120°＋2k ·180°，k ∈Z }∪{α|α＝120°＋(2k ＋1)·180°，k ∈Z }＝{α|α＝120°＋n ·180°，n ∈Z }．故终边在直线y ＝－3x 上的角的集合是S ＝{α|α＝120°＋n ·180°，n ∈Z }．跟踪训练 4 解终边在y ＝33x (x ≥0)上的角的集合是S 1＝{α|α＝30°＋k ·360°，k ∈Z }；终边在y ＝33x (x <0)上的角的集合是S 2＝{α|α＝210°＋k ·360°，k ∈Z }．因此，终边在直线y ＝33x 上的角的集合是S ＝S 1∪S 2＝{α|α＝30°＋k ·360°，k ∈Z }∪{α|α＝210°＋k ·360°，k ∈Z }，即S ＝{α|α＝30°＋2k ·180°，k ∈Z }∪{α|α＝30°＋(2k ＋1)·180°，k ∈Z }＝{α|α＝30°＋n ·180°，n ∈Z }．故终边在直线y ＝33x 上的角的集合是S ＝{α|α＝30°＋n ·180°，n ∈Z }．当堂训练1．C 2.C 3.三 4.1.45．解 (1)终边落在射线OA 上的角的集合是{α|α＝k ·360°＋210°，k ∈Z }．终边落在射线OB 上的角的集合是{α|α＝k ·360°＋300°，k ∈Z }．(2)终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是{α|k ·360°＋210°≤α≤k ·360°＋300°，k ∈Z }．。

高中数学第一章三角函数1.1周期现象与周期函数1.2角的概念的推广课件北师大版必修4

解析：每一个周期最多乘坐 4×10＝40(人)，16 个小时内共有 32 个周期，因而在 16 个小时内最多有 40×32＝1 280(人)乘坐．
类型二任意角的概念 [例 2] 在下列说法中： ①0° ～90° 的角是第一象限角； ②第二象限角大于第一象限角； ③钝角都是第二象限角； ④小于 90° 的角都是锐角． ①②④ ．其中错误说法的序号为________
【解析】
由数据表画出散点图如下：
由图可知，在规定时间 8：00 至 20：00 之间，有 6 个小时的时间可供冲浪者运动，时间为 9：00 至 15：00.
,方法归纳, 收集数据、画散点图，分析、研究数据特点从而得出结论是用数学方法研究现实问题的常用方法．
跟踪训练 1 游乐场中的摩天轮有 10 个座舱，每个座舱最多乘 4 人，每 30 分钟转一圈，请估算 16 个小时内最多有多少人乘坐．
5．在 0° ～360° 范围内，与－120° 终边相同的角是________．
解析：与－120° 终边相同的角 α＝－120° ＋k· 360° (k∈Z)，由 0° ≤ 1 4 －120° ＋k· 360° <360° ，k∈Z，得3≤k<3，又 k∈Z，所以 k＝1，此时 α＝－120° ＋360° ＝240° . 答案：240°
课堂探究互动讲练类型一周期现象 [例 1] 已知某海滨浴场海浪的高度 y(米)是时间 t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作 y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据： 3 6 9 12 15 18 21 24 t(时) 0 y(米) 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5 依据规定，当海浪高于 1 米时才对冲浪爱好者开放，依据上表可以判断，一天内的 8：00 至 20：00 之间，有多少时间可以供冲浪者运动？

18学年高中数学三角函数1周期现象2角的概念的推广教学案北师大版41802032103

1＆2 周期现象角的概念的推广[核心必知]1．周期现象在日常生活、生产实践中存在着大量的周期性变化的现象，如观察钱塘江潮的图片可以看到：波浪每隔一段时间会重复出现，这种现象就称为周期现象．2．角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．3．角的分类按旋转方向可将角分为如下三类：(1)正角：按逆时针方向旋转所形成的角；(2)负角：按顺时针方向旋转所形成的角；(3)零角：如果一条射线从起始位置OA没有作任何旋转，终止位置OB与起始位置OA重合，我们称这样的角为零度角，又称零角，记作α＝0°．4．象限角为了研究问题方便，常在直角坐标系内讨论角．使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边(除端点外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．5．终边相同的角一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k³360°，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角的整数倍的和．[问题思考]1．“东升西落照苍穹，影短影长角不同”是周期现象吗？提示：这里说的自然现象是指：太阳东升西落，昼夜循环．因此是周期现象．2．当角的始边和终边确定后，这个角就被确定了吗？提示：不是的．虽然始边与终边确定了，但旋转的方向和旋转的大小并没有确定，所以角也就不能确定．讲一讲1．下列说法：①相差360°整数倍的两个角，其终边不一定相同；②{α|α是锐角} {β|0°≤β<90°}；③小于90°的角不一定是锐角；④锐角都是第一象限的角．其中，正确的说法是________(填上所有正确的序号)．[尝试解答]解决此类问题的关键在于正确理解有关角的概念，还需要掌握判断命题真假的技巧，判断命题为真时需要证明，判断命题为假则需举出反例即可．练一练1．下列命题：①第一象限的角一定为正角；②第一象限的角小于第二象限的角；③相等的角终边一定相同；④若90°≤α≤180°，则α是第二象限角．其中正确的是________．解析：①30°－360°＝－330°是第一象限的角，但它是负角，因此①是错误的；②由于角的概念的推广，第一、二象限的角不再局限于0°～360°间的角，像390°是第一象限角，120°是第二象限角，显然390°>120°，所以②也是错误的；③由于角的顶点是原点，始边与x轴的非负半轴重合，所以相等的角终边一定相同，因此③是正确的；④由于90°、180°都不是象限角，因此④是错误的．答案：③讲一讲2．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.[尝试解答] (1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°终边相同的角是210°，而210°的终边在第三象限，所以－150°是第三象限角；(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°终边相同的角是290°，而290°的终边在第四象限，所以650°是第四象限角；(3)因为－950°15′＝－3³360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′终边相同的角是129°45′，而129°45′的终边在第二象限，所以－950°15′是第二象限角．终边相同的角相差360°的整数倍．判定一个角在第几象限，只要在0°～360°范围内找与它终边相同的角，即把这个角β写成β＝α＋k³360°(0°≤α<360°)(k∈Z)的形式，判断角α是第几象限角即可．练一练2．已知α＝－1 910°.(1)把α写成β＋k³360°(k∈Z，0°≤β<360°)的形式，并指出它是第几象限的角；(2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ<0°.解：(1)－1 910°＝－6³360°＋250°，其中β＝250°，从而α＝250°＋(－6)³360°，它是第三象限的角．(2)令θ＝250°＋k³360°(k∈Z)，取k＝－1，－2就得到满足－720°≤θ<0°的角，即250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°.所以θ为－110°，－470°.讲一讲3．(1)写出终边落在第一象限和第二象限内的角的集合；(2)写出终边落在x轴上的角的集合．[尝试解答] (1)根据终边相同的角一定是同一象限的角，又可以先写出第一象限锐角范围和第二象限钝角的范围，再加上360°的整数倍即可．所以，第一象限角的集合：S＝{β|β＝k³360°＋α，0°<α<90°，k∈Z}，或S＝{β|k³360°<β<k³360°＋90°，k∈Z}．第二象限角的集合：S＝{β|β＝k³360°＋α，90°<α<180°，k∈Z}，或S＝{β|k³360°＋90°<β<k³360°＋180°，k∈Z}．(2)在0°～360°范围内，终边在x轴上的角有两个，即0°与180°，因此，所有与0°角终边相同的角构成集合S1＝{β|β＝k³360°，k∈Z}，而所有与180°角终边相同的角构成集合S2＝{β|β＝k³360°＋180°，k∈Z}，于是终边在x轴上的角的集合S＝S1∪S2＝{β|β＝k³360°，k∈Z}∪{β|β＝k³360°＋180°，k∈Z}＝{β|β＝k³180°，k∈Z}．终边落在坐标轴上的角不是象限角，称为象限界角．一般地，当角的终边在某具体位置时，先找到终边在此位置的一个角α，再用β＝α＋k³360°表示后写成集合；当终边在某个范围时，先写出终边在边界位置的角，再用不等式表示此范围内的角，最后用集合表示．练一练3．写出下面阴影部分角的集合．解：由题意S1＝{α|－45°＋k³360°≤α≤45°＋k³360°，k∈Z}，S 2＝{α|135°＋k ³360°≤α≤225°＋k ³360°，k ∈Z }， S ＝S 1∪S 2＝{α|－45°＋2k ³180°≤α≤45°＋2k ³180°，k ∈Z }∪ {α|－45°＋(2k ＋1)180°≤α≤45°＋(2k ＋1)³180°，k ∈Z } ＝{α|n ³180°－45°≤α≤n ³180°＋45°，n ∈Z }．故阴影部分角的集合为{α|n ³180°－45°≤α≤n ³180°＋45°，n ∈Z }如果角α是第二象限的角，那么角α3的终边落在第几象限？[解] 法一：∵角α为第二象限的角， ∴90°＋k ³360°<α<180°＋k ³360°，k ∈Z . ∴30°＋k ³120°<α3<60°＋k ³120°，k ∈Z.当k ＝3n 时，有30°＋n ³360°<α3<60°＋n ³360°，则角α3是第一象限的角；当k ＝3n ＋1时，有150°＋n ³360°<α3<180°＋n ³360°，则角α3是第二象限的角；当k ＝3n ＋2时，有270°＋n ³360°<α3<300°＋n ³360°，则角α3是第四象限的角．综上可得，角α3的终边可能落在第一、二、四象限．法二：如图，在直角坐标系内，先将各象限分成3等份，再从x 轴正半轴起，依次标上1，2，3，4.∵角α是第二象限的角，标号为2的区域所在的象限有第一、二、四象限， ∴角α3的终边可能落在第一、二、四象限．1．下列变化是周期现象的是( )A．地球自转引起的昼夜交替变化B．某同学每天上学的时间C．某交通路口每小时通过的车辆数D．某同学每天打电话的时间解析：选A 由周期现象的特点即周期性变化，可知A正确．2．与－265°终边相同的角为( )A．95° B．－95°C．85° D．－85°解析：选A －265°＝－360°＋95°，故－265°与95°终边相同．3．给出下列四个命题：①－15°是第四象限角；②185°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－350°是第一象限角，其中正确命题的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4解析：选D ①②显然正确；又475°＝360°＋115°，－350°＝－360°＋10°，故③④也正确．4．已知角α、β的终边相同，则α－β的终边在________．解析：∵α、β的终边相同，∴α＝β＋k³360°(k∈Z)．∴α－β＝k³360°(k∈Z)．∴α－β的终边落在x轴的非负半轴上．答案：x轴的非负半轴上5．已知点P(0，－1)在角α的终边上，则所有角α组成的集合S＝________解析：∵点P(0，－1)在y轴的非正半轴上，在0°～360°内满足条件的角为270°，∴所有角α的集合为{α|α＝270°＋k³360°，k∈Z}．答案： {α|α＝270°＋k³360°，k∈Z}6．如图所示，试分别表示出终边落在阴影区域内的角．解：在题图(1)中，0°～360°范围内的终边落在指定区域的角满足45°≤α≤210°，故满足条件的角的集合为{α|45°＋k³360°≤α≤210°＋k³360°，k∈Z}．在题图(2)中，0°～360°范围内的终边落在指定区域的角满足0°≤α≤45°或315°≤α<360°，转化为－180°～180°范围内，终边落在指定区域的角满足－45°≤α≤45°，故满足条件的角的集合为{α|－45°＋k³ 360°≤α≤45°＋k³360°，k∈Z}．一、选择题1．－435°角的终边所在象限是( )A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：选D 设与－435°角终边相同的角为α，则α＝－435°＋k³360°，k∈Z，当k＝1时，α＝－75°，∵－75°角为第四象限角，∴－435°角的终边在第四象限．2．若α是第二象限角，则180°－α是( )A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角解析：选A 法一：取特值α＝120°，则180°－120°＝60°，是第一象限角．法二：180°－α＝－α＋180°，α是第二象限角，而－α与α关于x轴对称，故－α是第三象限角，再逆时针旋转180°，得－α＋180°，位于第一象限，如下图．3．与－457°角终边相同的角的集合是( )A．{α|α＝457°＋k³360°，k∈Z}B．{α|α＝97°＋k³360°，k∈Z}C．{α|α＝263°＋k³360°，k∈Z}D．{α|α＝－263°＋k³360°，k∈Z}解析：选C 由于－457°＝－1³360°－97°＝－2³360°＋263°，故与－457°角终边相同的角的集合是{}α|α＝－457°＋k ³360°，k ∈Z＝{}α|α＝263°＋k ³360°，k ∈Z .4．已知α是第四象限角，则α2是( )A ．第一或第三象限角B ．第二或第三象限角C ．第一或第四象限角D ．第二或第四象限角解析：选D 如下图，带4的标号在第二、四象限，故α2是第二或第四象限角．二、填空题5．与2 011°终边相同的最小正角是________，绝对值最小的角是________．解析：与2 011°终边相同的角为2 011°＋k ³360°，k ∈Z . 当k ＝－5时，211°为最小正角；当k ＝－6时，－149°为绝对值最小的角．答案：211° －149°6．设集合M ＝{α|α＝－36°＋k ³90°，k ∈Z }，N ＝{α|－180°<α<180°}，则M ∩N ＝________．解析：对于M ，当k ＝－1时，α＝－126°；当k ＝0时，α＝－36°；当k ＝1时，α＝54°；当k ＝2时，α＝144°.故M ∩N ＝{}－126°，－36°，54°，144°. 答案：{}－126°，－36°，54°，144°7．若角α与β的终边互相垂直，则α－β＝________．解析：∵角α与β的终边互相垂直， ∴角α与β＋90°或β－90°的终边相同．即α＝β＋90°＋k ³360°或α＝β－90°＋k ³360°，k ∈Z . ∴α－β＝±90°＋k ³360°，k ∈Z . 答案：±90°＋k ³360°，k ∈Z8．终边落在阴影部分的角的集合是________．解析：在－180°～180°范围内，阴影部分表示－45°≤α≤120°，故所示的角的集合为{α|－45°＋k ³360°≤α≤120°＋k ³360°，k ∈Z }．答案：{}α|－45°＋k ³360°≤α≤120°＋k ³360°，k ∈Z三、解答题9．已知角α的终边与60°角的终边相同，写出满足条件的角α的集合S ，并求出这个集合中在－360°～360°范围内的角．解：与60°角的终边相同的角的集合为S ＝{α|α＝60°＋k ³360°，k ∈Z }，当k ＝0时，α＝60°；当k ＝－1时，α＝60°－360°＝－300°.所以，集合S 在－360°～360°范围内的角为60°，－300°.10. 如图，点A 在半径为1且圆心在原点的圆上，∠AOx ＝45°.点P 从点A 出发，按逆时针方向匀速地沿此圆周旋转．已知P 在1 s 内转过的角度为θ(0°<θ<180°)，经过2 s 到达第三象限，经过14 s 后又回到出发点A ，求角θ，并判定其所在的象限．解：由题意，得14θ＋45°＝45°＋k ³360°，k ∈Z ，则θ＝k ²180°7，k ∈Z .∵180°<2θ＋45°<270°，∴67.5°<θ<112.5°，即67.5°<k ³180°7<112.5°，k ∈Z .∴k ＝3，或k ＝4.∴θ＝540°7，或θ＝720°7.易知0°<540°7<90°，90°<720°7<180°，故角θ的终边在第一或第二象限．。

陕西省榆林育才中学高中数学第1章《三角函数》7正切函数的定义、图像与性质导学案北师大版必修4

陕西省榆林育才中学高中数学第1章《三角函数》7正切函数的定义、图像与性质导学案北师大版必修4【学习目标】1. 能借助单位圆理解任意角的正切函数的定义.2. 能借助单位圆中的正切线画出x y tan =的图像.3. 理解正切函数的性质.【重点难点】重点：正切函数的定义、图像与性质.难点：正切函数性质的应用.【使用说明】类比正、余弦函数的学习方法，借助单位圆理解正切函数的定义，并能利用正切线画出x y tan =的图像，通过观察正切曲线总结正切函数的性质.【自主学习】1. 正切函数的定义（1）在直角坐标系中，如果角α满足：)(2Z k k ∈+≠ππα，那么角α的终边与单位圆交于点),(b a P ，唯一确定比值a b，根据函数的定义，比值a b是角α的函数，我们把它叫作角α的正切函数，记作_____________，其中Z k k R ∈+≠∈,2,ππαα.（比值b a叫作角α的余切函数，记作αcot =y ，其中.,,Z k k R ∈≠∈παα）（2）当角在第_________象限时，其正切函数值为正；当角在第_________象限时，其正切函数值为负.（3）由x x xk x k x x tan cos sin )cos()sin()tan(==++=+πππ（.,2,Z k k x R x ∈+≠∈ππ）可知，正切函数是周期函数，_______是它的最小正周期.2. 正切函数图像的画法（1）正切线：设单位圆与x 轴正半轴交于A 点，过点A 作圆的切线与角的终边或终边的延长线相交于T点，线段AT成为角α的正切线.（2）类比画正弦函数图像的方式，先利用正切线画出函数xy tan=，)2,2(ππ-∈x的图像，再利用正切函数的周期性画出正切曲线.3.正切函数的性质函数xy tan=（ZkkxRx∈+≠∈,2,ππ）定义域值域周期性奇偶性单调性对称性【合作探究】1.若角α的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边落在直线xy4-=上，求αααtan,cos,sin的值.靖边三中2015届数学必修4导学案2. 解下列不等式：（1）0tan <x ；（2）1tan -≥x .3. 设α是锐角，利用单位圆证明：（1）1cos sin >+αα；（2）αααtan sin <<.【课堂检测】1. 函数x y 2tan =的定义域为________________________________.2.（1）正切函数在整个定义域内是增加的吗？为什么？（2）正切函数会不会在某个区间是减少的？为什么？3. 已知)3,(x P 是角θ终边上一点，且53tan -=θ，求x 的值.【课堂小结】。

高中数学第一章三角函数 1.2 角的概念的推广帮你认识角素材北师大版必修4(2021年整理)

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帮你认识角角是平面几何中的一个基本图形，对角的图形特点，一般有以下两种认识：（1)角可以看成是平面内一点引出的两条射线所组成的图形，(2）平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形叫做角．下面我们通过几个例子理解角的概念.一。

任意角规定:按逆时针方向旋转形成的角叫做正角,按顺时针方向旋转形成的角叫做负角．如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角．这样，我们就把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角。

β—2100,γ=—例1。

画图表示下列各角：α=3900, =3300。

分析：α为正角,将射线绕其端点逆时针旋3900,β、γ为负角，将射线绕其端点顺时针分别旋转2100和3300。

解：如图.点评: 画图表示一个大小为定值的角，先要画一条射线作为角的始边（一般画成水平向右的射线）,再由角的正负确定角的旋转方向，再由角的绝对值大小确定角的旋转量,画出角的终边，并用带箭头的螺旋线加以标注．二.象限角和轴线角为了便于讨论角,我们常常将角放到直角坐标系中,并且使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合，这样就出现了象限角和轴线角．（1)象限角：当角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合，那么，角的终边在第几象限,我们就说这个角是第几象限角．（2）轴线角：当角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合，那么角的终边落在坐标轴上,称做轴线角，这个角不属于任何一个象限．例如00，900,1800,2700，3600，-900，—1800，-2700，-3600,-10800等都是轴线角．例2 已知角的顶点与直角坐标系的原点重合,始边与x轴的正半轴重合，作出下列各角，并指出它们是第几象限角：（1）2250;（2）—3000；（3）-4500。

高中数学第一章三角函数 1.1 周期现象 1.2 角的概念的推广学案北师大版必修4

1.1 周期现象 1.2 角的概念的推广知识梳理1.周期现象某种动作或现象每隔“一段”就会重复出现，这种现象被称为周期现象.2.任意角（1）角的定义①静态定义：具有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边.②动态定义：一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形，所旋转射线的端点叫做顶点，开始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射线叫做角的终边.（2）在平面内，一条射线绕它的端点旋转时，有顺时针和逆时针两个相反的方向.习惯上规定：按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角；按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角；当射线没有旋转时，也把它看成一个角，称为零角；旋转生成的角又常称为转角.这样就形成了任意大小的角,即任意角.（3）角的记法用一个希腊字母；用三个大写的英文字母表示（字母前面要写“∠”).(4)角的分类按旋转方向分为正角、零角、负角;按终边所在位置分为象限角和轴线角.3.象限角、轴线角（1）定义：将角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么就把角放在了平面直角坐标系中.如果角的终边（除原点外）在第几象限，则就说这个角是第几象限角；如果角的终边落在坐标轴上，则这个角不属于任何象限，称之为轴线角（或称为象限界角）. （2）表示方法第一象限角的集合：{α|k·360°＜α＜k·360°+90°,k∈Z}；第二象限角的集合：{α|k·360°+90°＜α＜k·360°+180°,k∈Z}；第三象限角的集合：{α|k·360°+180°＜α＜k·360°+270°,k∈Z}；第四象限角的集合：{α|k·360°+270°＜α＜k·360°+360°,k∈Z}；终边落在x轴的非负半轴上的角的集合：{α|α=k·360°，k∈Z};终边落在x轴的非正半轴上的角的集合：{α|α=k·360°+180°，k∈Z}；终边落在x轴上的角的集合：{α|α=k·180°，k∈Z}；终边落在y轴的非负半轴上的角的集合：{α|α=k·360°+90°，k∈Z}；终边落在y轴的非正半轴上的角的集合：{α|α=k·360°+270°，k∈Z}；终边落在y轴上的角的集合：{α|α=k·180°+90°，k∈Z}；终边落在坐标轴上的角的集合：{α|α=k·90°，k∈Z}；象限角与轴线角的表示形式并不唯一，还有其他的表示形式，如：终边落在y轴的非正半轴上的角的集合也可表示为{x|x=k·360°-90°，k∈Z}.4.终边相同的角(1)研究终边相同的角的前提条件：角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合.(2)所有与α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：S={β|β=α+k·360°，k∈Z},即任一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.知识导学1.结合课本实例,理解生活中的“周而复始”“来回反复”等周期现象.2.复习初中学习过的角的定义、特点、范围.3.在学习过程中一定要用任意角的观点看待问题，防止“穿新鞋走老路”，虽然学了任意角，还是以锐角、直角、钝角来考虑问题.疑难突破1.当角α与角β的终边相同时，α与β相等吗？为什么与角α终边相同的角的集合可以写成S={β|β=α+k·360°，k∈Z}?剖析：角的定义有两种：静态定义和动态定义.受思维定势的影响，往往会先想到用角的静态定义来考虑这个问题，那样就会陷入迷茫.其突破的途径是用角的动态定义来分析.若α、β的终边相同，则它们的关系为：将角α终边旋转（逆时针或顺时针）k(k∈Z)周即得β，所以α、β的数量关系为β=k·360°+α(k∈Z)，即α、β的大小相差360°的整数k倍.所以α与β不一定相等.例如：β与30°角的终边相同，但是β不一定等于30°.将30°的终边按逆时针旋转1周即得角β＝1·360°+30°=390°，按逆时针旋转2周即得角β＝2·360°+30°=750°，…，所以390°，750°，…都与30°的终边相同.将30°的终边按顺时针旋转1周即得角β＝(-1)·360°+30°=-330°,按顺时针旋转2周即得角β＝(-2)·360°+30°=-690°，…，所以-330°，-690°,…都与30°角的终边相同.由以上可看出β与30°角的终边相同，但是β不一定等于30°，它们的数量关系是β=k·360°+30°(k∈Z).因此所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.理解集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}要注意以下几点：（1）式中角α为任意角，它说明终边相同的角有无数个，它们相差3６0°的整数倍；（2）k∈Z这一条件必不可少；（3）k·360°与α之间是“+”,如k·360°-30°应看成k·360°+(-30°)，即与-30°终边相同的角；（4）终边相同的角不一定相等，但是相等的角，终边一定相同；（5）终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍.在求终边相同的角的问题中关键是找到一个与其终边相同的某一角（一般找0°—360°的角），然后用集合和符号语言表示出来.2.第一象限角、小于90°的角、0°—90°的角、锐角这四类角有什么区别？剖析：受初中所学角的影响，看到这四种角,往往就说它们相同.其原因是虽然已经将角扩充到了任意角，但是解决问题时，考虑的角还是仅仅停留在锐角、直角、钝角，即初中所学角的范围上，没有按任意角来看待.其突破方法是把握住各自的取值范围.这四种角的范围用集合表示，分别是：锐角:{α|0°＜α＜90°}，0°—90°的角：{α|0°≤α＜90°}，小于90°的角:{α|α＜90°}，第一象限角是{α|k·360°＜α＜k·360°+90°，k∈Z}.所以锐角一定是第一象限角，而第一象限角不都是锐角，小于90°的角包括锐角、零角、负角.如果用弧度制表示角，角的表示形式变为实数，其大小关系会更加明显.。

陕西省榆林育才中学高中数学第1章《三角函数》6余弦函数的图像和性质导学案北师大版必修4

陕西省榆林育才中学高中数学第1章《三角函数》6余弦函数的图像和性质导学案北师大版必修4【学习目标】1. 会通过平移正弦曲线得到余弦函数的图像，并会用五点法画出余弦函数的图像.2. 通过余弦函数的图像理解余弦函数的性质.3. 通过对余弦函数的图像和性质的研究过程，体会数形结合和类比的思想方法. 【重点难点】重点：余弦函数的图像和性质. 难点：余弦函数性质的灵活应用.五点法：五点法作余弦函数图像的五个关键点是_________、__________、_________、 ___________、____________.2. 余弦函数的图像（余弦曲线）3. 余弦函数的性质函数 x y cos定义域值域周期性单调性奇偶性对称性【合作探究】 1. 画出函数x y cos 1+=的简图，根据图像讨论函数的性质.2. 求下列函数的定义域：（1）1cos 1-=x y ；（2）21cos -=x y .3. 已知]43,4[ππ∈x ，求函数1cos cos 2++-=x x y 的值域.【课堂检测】1.函数x y cos 2=，当],[ππ-∈x 时，在区间_____________上是增加的，在区间 ___________上是减少的；当=x ________时，y 取最大值_____；当=x ______ 时，y 取最小值_______.2.求函数1cos 32+-=x y 的单调区间，并判断其奇偶性.3.在同一直角坐标系内画函数x y sin =和余弦函数x y cos =在区间]2,0[π上的图像，并回答下列问题：（1）写出满足x x cos sin =的x 的值；（2）写出满足x x cos sin >的x 的取值范围；（3）写出满足x x cos sin <的x 的取值范围；（4）当R x ∈时，分别写出满足x x cos sin =，x x cos sin >，x x cos sin <的x 的集合.【课堂小结】【课后训练】。

1.1-1.2周期现象和角的概念的推广课件(北师大版)

课前探究学习
课堂讲练互动
[思路探索] (1)作出 45°，60°终边所在直线，角 α 终边所在区域为一个“对顶角形”． (2)作出－55°，55°终边所在射线，角 β 终边所在区域为从－55° 逆时针转到 55°的区域． (3)求两区域公共部分，并用集合形式写出．
课前探究学习
课堂讲练互动
解 (1)
课前探究学习
课堂讲练互动
题型四终边相同角的表示【例 4】 (12 分)在与 1 010°角终边相同的角中，分别求出符合下列条件的角：(1)最大的负角；(2)最小的正角；(3)在－720°～ 720°范围内的角．审题指导 (1)与 α 终边相同的角可表示为 α＋k·360°； (2)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同； (3)终边相同的角有无数多个，它们相差 360°的整数倍．
第四象限角 {α|k·360°＋270°＜α＜k·360°＋360°，k∈Z}
课前探究学习
课堂讲练互动
(2)象限界角(即终边在坐标轴上的角)的集合，如下表所示：
角 α 终边位置
角 α 的集合
在 x 轴非负半轴上 {α|α＝k·360°，k∈Z}
在 x 轴非正半轴上 {α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}
课前探究学习
课堂讲练互动
解 (1)钟表的秒针每分钟重复一次相同的运动，是周期现象． (2)地球每昼夜自转一次，是周期现象． (3)地球每年重复出现四季的更替，是周期现象．规律方法对周期现象的判断，首先要认真审题，明确题目的实际背景，然后应牢牢抓住“每隔一段时间，现象(或值)重复出现”这一重要特征进行判断．
(2) 最小的正角在 0°～ 360°的范围内，则应有 0°≤k·360°＋ 1

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陕西省榆林育才中学高中数学第1章《三角函数》1-2周期现象与角的概
念的推广导学案北师大版必修4
【学习目标】
1.了解周期现象在现实生活中的广泛存在，通过周期现象的实例感悟周期现象的
特征.
2.通过实例理解角的概念的推广的必要性，理解任意角的概念，能根据角的终边
旋转方向判断正角、负角和零角.
3.掌握终边相同角的表示方法，会判断象限角和坐标轴上的角.
【重点难点】
【自主学习】
1.潮汐现象、地球公转与自转、单摆的摆动等都是_________________.
2.角可以看成平面内一条射线绕着________从一个位置旋转到另一个位置所形
成的_________. 射线在旋转时有两个相反的方向，_____________________
____________________________为正角；__________________________________
____为负角；_______________________________________为零度角，又称零角.
3.在直角坐标系中讨论角时，使角的顶点与_____重合，角的始边与________
重合. 角的终边在第几象限，就把这个角叫作________________________.
如果终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限，称这个角为坐标轴上的角.
4.终边相同的角有________个，相等的角终边一定__________，但终边相同的
角不一定__________.
S
5.一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合=
____________________________________.
6. 与 490-终边相同的最小正角是_________，最大负角是________，绝对值最小的角是________，它们是第______象限角.
【合作探究】
1.在 360~0范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角.
（1） 120-；（2） 640；（3）'8950 -.
2. 在直角坐标系中，写出终边在y 轴上的角的集合（用 360~0的角表示）.
3.写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式 720360<≤-β 的元素
β写出来.
（1） 60；（2） 225-.
【课堂检测】
1. 下列说法中，正确的是（）
A. 第一象限的角是锐角
B. 锐角是第一象限的角
C. 小于 90的角是锐角
D. 0到 90的角是第一象限的角
2. 若时针走过2小时40分，则分针转过的角度是________.
3. 若α是第三象限角，则
2α是第几象限角？2α是第几象限角？
【课堂小结】
1. 角的推广；
2. 象限角的定义；
3. 终边相同角的表示；
4. 终边落在坐标轴等；
5. 区间角表示.
第一象限角：｛α|k ⨯360o ＜α＜k ⨯360o +90o ,k∈Z } 第二象限角：｛α|k ⨯360o +90o ＜α＜k ⨯360o +180o ,k∈Z }
第三象限角:｛α|k ⨯360o +180o ＜α＜k ⨯360o +270o ,k∈Z }
第四象限角：{α|k ⨯360o +270o ＜α＜k ⨯360o +360o ,k ∈Z }
【课后训练】
1.
276-是（）
A. 第一象限角
B. 第二象限角
C. 第三象限角
D. 第四象限角
2. 今天是星期二，从今天算起，27天后的那一天是星期_____，第50天是星期 _______.。

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