分式的通分

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分式的通分

分式的通分教学目标：1、使学生理解分式通分的意义，掌握分式通分的方法及步骤；2、通过与分数通分比较，渗透类比的思想方法。

教学重点：分式通分的方法。

教学难点：几个分式最简公分母的确定。

1、通分的概念把几个异分母的分式化成与原来的分式相等的同分母的分式叫做分式的通分。

2、例题例1、求分式4322361,41,21xy y x z y x 的公分母。

分析：对于三个分式的分母中的系数2、4、6，取其最小公倍数12；对于三个分式的分母中的字母，字母x 为底的幂的因式，取其最高次幂x 3,字母y 为底的幂的因式，取其最高次幂y 4，再取其字母z 。

所以三个分式的公分母为z y x 4312 最简公分母的意义：各分式分母中的系数的最小公倍数与所有字母（或因式）的最高次幂的积，叫做最简公分母。

例2、求分式4124122--x x x 与的最简公分母。

分析：先把这两个分式的分母中的多项式分解因式，即()()(),224,222422-+=---=-x x x x x x x把这两个分式的分母中所有的因式都取到，其中，系数取正数，取她的积，即()()222-+x x x 就是它的最简公分母。

请同学们概括求几个分式的最简公分母的步骤。

1、取各分式的分母中的系数最小公倍数。

2、各分式的分母中所有字母或因式都要取到；3、相同字母（或因式）的幂取指数最大的；4、所得的系数的最小公倍数与各字母（或因式）的最高次幂的积即为最简公分母。

例3、通分：（1）;41,3,22xyy x x y （2）22225,103,54ac b b a c c b a - 例4、通分：()42,361,42222---x x x x x x三、课堂练习1、填空题：1、）说出分式xyy x xz y 41,.3,22各分母系数的最小公倍数是，分母中的字母x 、y 、z 的最高次幂分别为，因此最简公分母是。

2、）分式263ba b a 和分式-的最简公分母是。

八年级数学分式的通分

一、计算
11 24
通分：把几个异分母分数化成与原来相等的同分母分数叫通分.
将下列分式
1 , 1 ,1 x3 y 2 x2 y3 xy4
通分
二、（1）
1 x3 y2

y2 x3 y2 y2

y2 x3 y4
（2）
1 xy xy x 2 y 3 x 2 y 3 xy x3 y 4
x
(2) 1 , x x2 4 4 2x
练习（1）将x y, 2 y 2 通分 x y
（2）将 x3 ,x2 x 1通分 x 1
思考题：已知abc=1，
将 a , b , c 通分 ab a 1 bc b 1 ca c 1
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（3）
1 xy 4

x2 xy 4 x 2

x2 x3 y4
1
xy 2
xy 2
（1`） x3 y 2 x3 y 2 xy 2 x 4 y 4
（2`）
1
x2 y
x2 y
x2 y3 x2 y3 x2 y x4 y4
（3`）
1 xy 4

x3 xy 4 x3

x3 x4 y4
客和周家身上,所以他们是小额赔偿.如果是游客不听劝作死,周家或许可以少赔.但这是周家明知此处危险却不加以提醒,缺乏安全及防范意识导致游客身陷险境,除了客栈暂停经营,面临高额赔偿费是逃不掉の.死难者家属原本要以命抵命の,在休闲居等人の劝说之下勉强同意按正常程序处理. 但是何玲不甘心.之前给周定康那笔钱把老人の棺材本都用上了,如今周家到哪儿挖二、三十万出来？生意又不能做,为了盖房子她连娘家亲戚全部借了个遍,现在

分式的方法与技巧

1、整体通分法
分析：像这样的，一个分式，后面是整式时，将后面的整式看作一个整体，来进行整体通分，可以简单求解。

2、逐项通分法
分析：通过观察各分母的特点，分母为整式时，想一想符合不符合乘法公式的运用特点，从左到右依次通分。

3、先约分，再通分
分析：像这样分子分母都是含有分母的整式时，想到能不能先约分，就要现将分子、分母先分解因式，能月份的先约分后再根据题目的特点进项必要的变化后求值。

4、裂项相消法
分析：通过观察，后两个分式的分母是两个因数的积，并且这两个因式相差1，而分子是一个还相同，这是就应该想到裂项法解题，就是将每一个分式拆成两项的差，前后抵消后再计算。

5、整体代入法
分析：先将条件进行整理，然后整体代入求代数式的值值。

6、公式法
分析：遇到这种特点的题目，先将条件式进行变形，利用完全平方公式再对要求的式子进行整理，然后代入求值。

7、设辅助参数法
分析：利用条件式设一个辅助参数，将一些代数式用所设的参数表示，然后再将这些代数式代入到所求的式子中去，起到化简的目的。

8、倒数变换法
分析：像这种分子比较简单，分母比较复杂事时，这时可以想到把条件式整体取倒数，使条件变简单，再求值。

9、特殊值法
分析：由已知条件无法求出a、b、c的值，可根据已知条件取字母的一组特殊值，然后代入所求的式子求出结果。

这种方法多用在填空题、选择题中。

分式的约分与通分技巧

分式的约分与通分技巧在数学中，分式是由分子和分母组成的表达式，分式可以通过约分和通分来进行简化或合并。

约分是指分式的分子与分母同时除以它们的公约数，使分子和分母尽可能小。

通分则是将两个分式的分母统一为相同的数，以便进行比较或运算。

在本文中，我们将介绍分式的约分与通分的一些技巧。

一、分式的约分技巧当一个分式的分子和分母有公约数时，可以进行约分。

约分的目的是使得分子和分母尽可能地简化，这样可以方便计算和比较。

1. 找出分子和分母的公约数：公约数是指能够同时整除两个或多个数的数。

例如，对于分式4/8，公约数有1、2和4。

2. 除去公约数：将分子和分母分别除以它们的公约数。

对于分式4/8，我们可以除以公约数2，得到最简分式1/2。

3. 化简分式：如果分式的分子和分母仍然有公约数，可以继续进行约分操作，直到无法再约分为止。

例如，对于分式12/24，我们可以先找出它们的最大公约数为12，然后进行除法操作，得到最简分式1/2。

二、分式的通分技巧在进行分式的比较或运算时，往往需要将分式的分母统一为相同的数，这就是通分操作。

1. 找出分式的最小公倍数：最小公倍数是指两个或多个数的公倍数中最小的一个数。

例如，对于分式1/2和3/4，我们可以找出它们的最小公倍数为4。

2. 乘以适当的倍数：将分子和分母同时乘以适当的倍数，使得分母变为最小公倍数。

对于分式1/2，我们乘以2/2得到2/4；对于分式3/4，我们乘以1/1得到3/4。

3. 进行比较或运算：通分后的分式可以进行比较或运算。

例如，对于分式1/2和3/4，通分后分别为2/4和3/4，可以直接比较它们的大小。

三、约分与通分的应用约分与通分技巧在数学中的应用非常广泛，特别是在分数的计算、比较和运算中。

1. 分数的加减运算：当进行分数的加减运算时，需要先找到它们的最小公倍数，然后进行通分操作，最后进行相应的运算。

例如，对于分式1/2和1/3的相加，我们可以找到它们的最小公倍数为6，然后分别将它们通分为3/6和2/6，再进行加法运算得到5/6。

分式的通分

分式的通分学习目标1．使学生理解分式通分的意义，掌握分式通分的方法及步骤；2．通过与分数通分比较，渗透类比的思想方法。

重点和难点重点：分式通分的方法。

难点：几个分式最简公分母的确定。

学习过程一、课前准备1．什么叫分数的通分？ 2．把分数通分。

3．分数通分的方法及步骤是什么？ 4．分数通分时，为什么各分数的值不变？二、课上探究（一）、分式通分的概念和分数通分类似，把几个异分母的分式化成与原来的分式相等的同分母的分式叫做分式的通分。

通分的关键是确定几个分式的。

（二）、公分母与最简公分母自学课本第62页内容，归纳：各分式分母中系数的数与所有的字母（或因式）的的积，叫做最简公分母。

例1 求分式的公分母。

例2求分式与的最简公分母。

（三）、求几个分式最简公分母的步骤请同学们交流讨论求几个分式的最简公分母的步骤：（1）．取各分式的分母中系数最小公倍数；（2）．各分式的分母中所有字母或因式都要取到；（3）．相同字母（或因式）的幂取指数最大的；（4）．所得的系数的最小公倍数与各字母（或因式）的最高次幂的积（其中系数都取正数）即为最简公分母。

（四）典型例题：想一想把异分母的分式化为同分母的分式的理论依据是。

例3通分：（1）；（2）三、课堂练习1．填空：（1）；（2）；（3）。

2．求下列各组分式的最简公分母：（1）；（2）；（3）；（4）3．通分：（1）；（2）（3）（4）；（3）。

四、课堂小结谈自己本节课的收获与体会五、当堂检测1．通分：（1）；（2）。

2．通分：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；六、布置作业。

分式通分的技巧

分式通分的技巧一、分组通分例1、计算：xy x y x y x y x y x y x y x --+-----+-24352 分析：如果我们将四个分式同时通分，运算量较大且容易出错，仔细观察会发现第一、三项，第二、四项分别为同分母分式，因此先将同分母分式相加减，然后再通分，能简化运算。

解：原式)23(452yx x y x y x y x y x y x y x ---+-+--+-= 222244xy xy y x xy y x y x y x y x -=--=-+-+-= 反思：当遇到的分式较多时可以观察是否有相同分母的分式适当分组结合，先将同分母分式相加减，再通分，可以使计算更加简便。

二、先约分再求值例2、计算：969362222++-+++x x x x x x x 分析：我们观察到两个分式都不是单项式，看起来很复杂，计算起来肯定不会很轻松，应首先想到运用约分化简后再计算。

解：原式3323336)3()3(3()3()6(2++=+-+++=+-++++=x x x x x x x x x x x x x 反思：在进行分式加减运算时，不能简单的盲目进行通分，首先要根据题目自身的特点，选用合适的方法，以使运算过程适当简化，本题中利用公式因式分解后，先约分再进行计算就比较简单。

三、逐步通分法例3、计算：4214121111xx x x ++++++- 分析：我们在计算时，会发现计算的分式较长，不知如何下手，但我们仔细观察各个分式的特点，会发现可以巧妙运用平方差公式逐步通分，会得到想要的结果.解：原式844422181414141212xx x x x x -=++-=++++-= 反思：本题如果用常规方法进行计算太繁琐，根据题目特点巧用平方差公式，采用逐步通分法，从而使运算简便。

四、整体通分法例4、计算y x yx x +-+2分析：我们看到题目中既有分式又有整式，不相统一，我们可以寻求到可以做为整体的部分，那么计算起来就可以简便一些.解：原式yx y y x y x y x x y x y x x +=+--+=--+=22222)( 反思：将后两项看作一个分母为“1”的整体可使运算简便。

分式的基本性质--通分

例题讲解确定
1 1 1 , 2 3, 3 2 2 x y z 4 x y 6 xy 4 的最简公分母。
如何确定最简公分母呢？
1.定系数： 2.定字母或者因式： 3.定指数：各分母中的所有字 3 相同字母（或因式） 1 4 取各分式的分母 Y Z 12 X 母或者因式都要取 X Y Z 的幂取指数最大的的系数的最小公倍数。 4.所得系数的最小公倍数与各字母（或因式）的最高次幂的积即为最简公分母。
1 ( a b)3 ( x y ) 2
1 x y
1 x y
1 2 x xy
1 2 2 x y
公分母如何确定呢？
若分母是多项式时，应先将各分母分解因式，再找出最简公分母。
练一练
试确定下列分式的最简公分母：
1 x( x y )
x y( x y)
2
y ( x y)(x y)
练一练
求分式
2
1 1 与 2 4x 2x 2 x 4
的最简公分母。
4 x 2 x 2 x(2 x) 2 x( x 2) x 4 ( x 2)(x 2)
2
把这两个分式的分母中所有的因式都取到，其中，系数取正数，取它们的积， 2 x( x 2)(就是这两个分式的最简 x 2) 即公分母。
练一练
3 ab 与（ 1） 2 2a b ab 2 c
2x （ 2）与 x5
3x x5
(3)
1 x 与 2 x 4 4 2x
巩固练习：
3 2
1 1 1 1、分式 , , 的最简公分母是 B 2 x y z 4 x y 6 xy
2 3 4
A、12xyz B、12x3y4z C、24xyz D、24x3y4z

分式的通分

复习回顾
分式的基本性质：分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0 分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整分式的值不变. 式，分式的值不变. 用式子表示是：用式子表示是：
A A×C A A÷C = , = B B×C B B ÷C
（其中C是不等于零的整式）。
我们知道，我们知道，分数的约分和通分在分数的运算中起着非常重要的作用.类似地类似地，非常重要的作用类似地，分式的约分和通分在分式的运算中也有重要的作用.而在上一节课中我们已经的运算中也有重要的作用而在上一节课中我们已经学习了分式的约分,所以下面我们将重点讨论分式的学习了分式的约分所以下面我们将重点讨论分式的通分. 通分
最简公分母 1、各分母系数的最小公倍数。各分母系数的最小公倍数。各分母所含有的因式。 2、各分母所含有的因式。各分母所含相同因式的最高次幂。 3、各分母所含相同因式的最高次幂。所得的系数与各字母（或因式）的最高次幂的积（ 4、所得的系数与各字母（或因式）的最高次幂的积（其中系数都取正数）系数都取正数）
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1 3 5 把下面的分数通分： 1、把下面的分数通分： , , 2 4 6
什么叫分数的通分？ 2、什么叫分数的通分？把几个异分母的分数化成同分母的分数，答：把几个异分母的分数化成同分母的分数，而不改变分数的值，而不改变分数的值，叫做分数的通分。和分数通分类似， 3、和分数通分类似，把几个异分母的分式化成与原来的分式相等的同分母的分式叫做分式的通分。的分式相等的同分母的分式叫做分式的通分。
例题讲解与练习
例1、通分
（1）
3 a−b 与 ; 2 a 2b ab 2c

分式通分

2
21
3x 2x （ 2）与 x5 x5
解：（2）最简公分母是 ( x 5)(x 5)
2x 2 x( x 5) 2 x 10x 2 x 5 ( x 5)(x 5) x 25
2
3x 3x( x 5) 3x 15x 2 x 5 ( x 5)(x 5) x 25
1 2x z 6 xy 12 x y z
1 3xyz 4 x y 12 x y z
2 3 3 4
Hale Waihona Puke 8如何找公分母?3 1 3 4a a a 4a a 4a 4a a 13 a 12 a a 13 ; 2 2 2 4 a 4a 4a 4a
你对这两种做法有何评判?
18
2x 3x ( 2) 与 x5 x5
( x 5） ( x 5）
最简公分母
( x 5) ( x 5)
不同的因式
19
通分：
解：最简公分母是 ( x 5)( x 5)
2x 3x ( 2) 与 x5 x5
2 2x ( x 5 ) 2 x 2 x 10 x 2 x 5 （x 5) ( x 5) x 25 2 3x ( x 5) 3 x 15x 3x 2 x 5 （x 5) ( x 5) x 25
15
确定公因式的步骤：
（1）系数，取最大公因数作为公因式的系数。（2）字母，取各项中相同的字母，指数取各项中次数最低的。（3）式子，取各项中相同的式子，指数取各项中次数最低的。
16
通分：
3 a b (1) 2 与 2 2a b ab c
2 a 2 b 2
c

例说分式通分的方法与技巧

分式通分的方法技巧江苏何春华分式通分的实质是分式的基本性质上的运用，它是将几个异分母的分式分别化成与原分式相等的同分母分式，初学通分时不少同学迫切想知道通分的关键是什么？通分有哪些技巧？为了方便同学们更好地学习这部分内容，下面举例说明分式通分的方法与技巧，供同学们学习时参考！一、分母是单项式的通分例1：通分2222352,,234a b c b c ac a b分析：本题中分式的分母都是单项式，因此我们可以直接确定它们的公分母――分母中各系数的最小公倍数是12，各字母因式,,a b c 的最高次幂是222,,a b c ，所以最简公分母是22212a b c 。

然后利用分式的基本性质即可。

解：因为最简公分母为：22212a b c由分式的基本性质可得： 232222223361822612a a a c a c b c b c a c a b c ==；232222225542033412b b ab ab ac ac ab a b c==； 2322222222223644312c c c c a b a b c a b c == 点评：通分的关键是确定几个分式的最简公分母，当各分母都是单项式时，最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母及指数的积。

二、分母是多项式的通分例2：通分222,,222a b c m n m mn m mn n---+ 分析：本题中分式中的分母都是多项式，所以首先必须对其进行因式分解，这样才能便于我们确定最简公分母，因为()222m n m n -=-，()2m mn m m n -=-，222m mn n -+=()2m n -，所以最简公分母为()22m m n -。

解：()()()()()22222a m m n am m n a m n m n m m n m m n --==----； ()()()()()222222b m n b m n b m mn m m n m n m m n --==----； ()()()2222222cc m cmm n m n m m m n ==---点评：1、当分式的分母中有多项式时，应先把分母是多项式的分解因式，然后把每个因式当作一个因式（或一个字母），再按照单项式求最简公分母的方法，从系数、相同因式、不同因式三个方面去确定。

分式的约分与通分技巧

分式的约分与通分技巧分式是数学中常见的一种表达形式，它由分子和分母组成。

在进行数学运算或问题解答时，需要对分式进行约分或通分，以便更方便地进行计算或分析。

本文将介绍分式的约分与通分技巧，并提供一些实例进行说明。

一、分式的约分技巧分式的约分是指将分式的分子和分母同时除以它们的最大公约数，使得分子和分母的比值保持不变，但分式的表示形式更简洁。

下面是一些常见的约分技巧：1. 找出分子和分母的公共因子，计算它们的最大公约数。

然后将分子和分母同时除以最大公约数。

例如，对于分式6/12，我们可以找到分子6和分母12的最大公约数为6。

将分子和分母同时除以6，得到约分后的分式1/2。

2. 利用质数进行约分。

如果分子分母都可以被同一个质数整除，那么可以直接将分子和分母同时除以这个质数。

例如，对于分式18/24，我们可以发现分子18和分母24都可以被2整除。

将分子和分母同时除以2，得到约分后的分式9/12。

继续约分，我们可以得到3/4。

二、分式的通分技巧通分是指将两个或多个分式的分母统一为相同的数值。

通分可以使得分式之间的比较和运算更加便利。

下面是一些常见的通分技巧：1. 找出两个分式分母的最小公倍数，将两个分式的分母都改为最小公倍数，并使得分子保持不变。

例如，对于分式1/2和2/3，它们的分母分别为2和3。

2和3的最小公倍数为6，因此我们可以将1/2乘以3/3，2/3乘以2/2，得到通分后的分式3/6和4/6。

2. 利用分母之间的因数关系进行通分。

如果两个分数的分母之间存在因数关系，可以根据这个关系进行通分。

例如，对于分式1/3和1/6，我们可以发现6可以整除3。

将1/3乘以2/2，得到通分后的分式2/6。

以上是分式的约分与通分技巧的简要介绍。

在实际应用中，我们可以根据具体的问题和分式的特点选择合适的约分与通分方法。

熟练掌握这些技巧可以提高我们在数学运算和问题解答中的效率和准确性。

通过本文的介绍，我们对分式的约分与通分技巧有了更深入的了解。

分式通分技巧

如何巧妙地进行分式通分通分是分式加减运算的主要环节，其方法灵活，技巧性大，综合性强。

在进行加减运算时，若不加分析的采用一次性通分，往往运算比较麻烦；但若根据分式的分子、分母的结构特点，灵活巧妙地采取相应的通分方法和解题技巧，则可化繁为简，化难为易，达到事半功倍的效果。

下面总结如下:一、整体通分。

将一个多项式视为一个整体，再与分式进行通分。

例1:计算a+2-a-24 解：a+2-a -24=12+a -a -24=a ---24a 222=a --2a 2=22-a a 例2：计算：16672001-a a -667a -1334a -1 解：原式=16672001-a a -11a 1334667++a =1)1(66720012001---a a a =11667-a 二、逐步通分当分式的各分母按一定的规律分布且存在某种递进关系，一次通分难度较大时，可以采取逐步通分。

例、化简：a 11--204810248421204811024......11111111aa a a a a --++++++++++ =212a -204810248421204811024......111111aa a a a --+++++++++ =204812048a --204812048a - =0三、分组通分。

一次性通分有困难时，可以把易于通分的分式组合在一起分组通分。

例题、化简：b +a 1+b -a 1--++-22a b ab b a 22a bab b a +-+ 解:原式=(b -a 1-22b -a b ab a ++)+(22a 1b ab a b a b +-+-+) =33a 3b ab -+33a 3b ab +- =664a 6bab - 四、提取公因式后通分例1、化简：b)-a)(m -(m c m -+b)-b)(m -(a c b -+a)-a)(m -(b c b - 解：原式=b)-a)(m -(m c m -+b -a c b -.(a m b m ---11) =b)-a)(m -(m c m --b)-a)(m -(m c b - =b)-a)(m -(m b m - =a-m 1 例2、化简：86a 100020002000+-a a +23a 100020001000+-a a 解：原式=)4)(2(a 100010002000--a a +)1)(2(a 100010001000--a a =)1)(4(4.2a 10001000200010001000----a a a a =)1)(4(a 21000100010002000--+a a a 五、局部通分。

分式的通分

分式的通分今天，老师布置了一个作业：把这道题目的分式通分。

可是我不会通分。

别说通分了，连分式都不知道是什么。

这可怎么办？上课时，同学们都自顾自地做自己的事，好像什么也没发生似的。

可到了中午吃饭的时候，教室里可热闹了。

因为吃饭时间是自由活动的，同学们三三两两地聚集在一起，开始讨论起来。

而我却呆坐在那里，绞尽脑汁想解答方法，可就是一筹莫展。

好不容易下课了，我去请教数学组的牛老师。

牛老师温和地说：“这道题并不难，关键是你们缺乏灵活思考的能力。

我有一个方法，可以让你们把这个分式转化成分母为8、分子为4的分式，这样，只要根据分式的基本性质，就可以求出这个分式的值。

”牛老师边说边写下了四道例题：例1(5)/(2)=4;3/(3)=1;7/(7)=3。

这种把分式转化为整式，再求值的方法，叫做分式的通分。

虽然他的四道题都不难，但对于我这个刚接触分式的人来说，还是有点陌生。

牛老师见我冥思苦想，便慢条斯理地讲解起来：“如果我们把分式的分子或分母任意交换位置，得到的新分式还是原来的分式，我们把它叫做同分式，如---是同分式……”牛老师深入浅出地讲解，使我茅塞顿开。

看来，数学无处不在啊！我终于懂了。

原来通分就是变更分子、分母，把异分母的分式转化为同分母的分式。

我把这件事情告诉了妈妈，她高兴地夸我：“懂得了，懂得了，这下你就轻松了。

”听了妈妈的话，我更加高兴了，妈妈见我如此高兴，又接着说：“其实，通分并不神秘，只要善于观察，勤于思考，很多问题都迎刃而解了。

”我觉得，通分真是太有用了。

从此以后，我总结出了两个规律： 1。

对于同分母的分式，分母与分子相互交换位置，它们的值相等； 2。

对于异分母的分式，分母与分子交换位置，它们的值不变。

我还把这两个规律运用到生活中，当我解决问题时，通分的规律就像指南针，带领我找到了答案。

正在我愁眉苦脸时，放学了，我急匆匆地走在回家的路上。

忽然看见前面围了一群人，定睛一看，原来是爸爸正在帮助一个小男孩儿。