第三章矩阵与算符

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算符的矩阵表示_

例一电子处于态Ψ32m ，测力学量L2，测量值为几？测量值为几？ ∧ Lz可能取哪些值？可能取哪些值？在Lz表象中，表象中，Lz自身的矩阵形式是什么？自身的矩阵形式是什么？
2 2 ˆ L ψ = l ( l + 1 ) h ψ 32 m 解： 32 m = 2(2 + 1)h 2ψ 32 m 2 = 6h ψ 32 m ˆ ψ = mhψ L z 32 m 32 m
p47 (3.1-8)式
∫
=
{∫ u
* nm
* n
ˆ u ( x ) dx (x)F m
}
*
=F
厄密算符的矩阵厄密算符的矩阵是厄密矩阵
* ˆ Fnm = ∫ un F ( x ,− ih ∂ )um ( x ) dx ∂x
7 算符的矩阵表示
对角矩阵与单位矩阵: 对角矩阵与单位矩阵:
对角矩阵
An ( m = n ) Anm = Anδ nm = 0 ( m ≠ n ) 除对角元外其余为零
§4-2-2 厄密算符的矩阵
* * A A A13 * 11 12 A = 复共轭 A* A* A23 21 22
* A13 * A23
m列n行 n 列m 行转置矩阵：转置矩阵：把矩阵A * * A A A A 的行和列互相调换，的行和列互相调换， 11 21 11 21 * ~ + * 所得新矩阵称为A的 A = A A 共轭矩阵 A = A12 A22 12 22 转置矩阵 A* A* A A
+
~ * * A → ( A ) mn = ( Amn ) = Anm + * 定义矩阵A 的共轭矩阵 Amn = Anm

量子力学讲义第三章讲义

第三章力学量用算符表达§3.1 算符的运算规则一、算符的定义：算符代表对波函数进行某种运算或变换的符号。

ˆAuv = 表示Â把函数u 变成 v ， Â就是这种变换的算符。

为强调算符的特点，常常在算符的符号上方加一个“^”号。

但在不会引起误解的地方，也常把“^”略去。

二、算符的一般特性 1、线性算符满足如下运算规律的算符Â，称为线性算符11221122ˆˆˆ()A c c c A c A ψψψψ+=+ 其中c 1, c 2是任意复常数，ψ1, ψ2是任意两个波函数。

例如：动量算符ˆpi =-∇，单位算符I 是线性算符。

2、算符相等若两个算符Â、ˆB对体系的任何波函数ψ的运算结果都相同，即ˆˆA B ψψ=，则算符Â和算符ˆB 相等记为ˆˆAB =。

3、算符之和若两个算符Â、ˆB对体系的任何波函数ψ有：ˆˆˆˆˆ()A B A B C ψψψψ+=+=，则ˆˆˆA B C +=称为算符之和。

ˆˆˆˆAB B A +=+，ˆˆˆˆˆˆ()()A BC A B C ++=++ 4、算符之积算符Â与ˆB之积，记为ˆˆAB ，定义为 ˆˆˆˆ()()ABA B ψψ=ˆC ψ= ψ是任意波函数。

一般来说算符之积不满足交换律，即ˆˆˆˆABBA ≠。

5、对易关系若ˆˆˆˆABBA ≠，则称Â与ˆB 不对易。

若A B B Aˆˆˆˆ=，则称Â与ˆB 对易。

若算符满足ˆˆˆˆABBA =-，则称ˆA 和ˆB 反对易。

例如：算符x , ˆx pi x∂=-∂不对易证明：(1) ˆ()x xpx i x ψψ∂=-∂i x x ψ∂=-∂ (2) ˆ()x px i x x ψψ∂=-∂i i x xψψ∂=--∂ 显然二者结果不相等，所以：ˆˆx x xpp x ≠ ˆˆ()x x xpp x i ψψ-= 因为ψ是体系的任意波函数，所以ˆˆx x xpp x i -= 对易关系同理可证其它坐标算符与共轭动量满足ˆˆy y ypp y i -=，ˆˆz z zp p z i -= 但是坐标算符与其非共轭动量对易，各动量之间相互对易。

第三章矩阵与算符

i
如直角坐标中： a i ax j a y k az 列矩阵(Column matrix)

a1 a a2 a 3
ax 直角坐标中： a ay a z
2
量子化学
若：

矢量的加减法

a11 a 21 an1 a1m a22 a2 m an 2 anm a12
1 矩阵的定义：按矩形排列的一组数。如：
A [aij ]nm
A称为（nm）矩阵，它有n行和m列。矩阵中包含的数称为矩阵的元素，简称矩阵元。第 i 行第 j 列的矩阵元以 aij 表示。 13
A = AH
1 如： A i e i i
aij=aji*
i
e 2 a i 就是Hermite矩阵 H ∵ A=A ai 3
当A元素aij全部为实数，且aij= aji时，则称A为对称矩阵 25
量子化学
凡方阵的逆矩阵等于转置共轭矩阵的，称为酉阵（ Unitary matrix ），用U表示，即：
A ax i ay j az k

则：C (ax bx ) i (a y by ) j (az bz ) k

C A B

B bx i by j bz k

C A B
A
B
B C A B
A = [aij]nm
AH = [aji*] mn
18
量子化学
例2
1 2i A i 2

动量矩阵与角动量算符的计算方法

动量矩阵与角动量算符的计算方法动量矩阵和角动量算符是量子力学中非常重要的概念，它们被广泛应用于计算物体的运动和旋转。

本文将对动量矩阵和角动量算符的计算方法进行详细介绍。

一、动量矩阵的定义动量矩阵是用于描述物体在运动中的具体状态的矩阵，通常用符号P表示。

动量矩阵的元素可以表示物体在各个方向上的动量，它们的计算方法为：$P_{i,j} = -i\hbar\frac{\partial}{\partial x_{i}}\delta_{i,j}$其中，i和j分别表示三个坐标轴上的方向，$\delta_{i,j}$为Kronecker delta符号，$\hbar$为普朗克常数。

根据这个公式，动量矩阵可以表示为：$$P=\begin{pmatrix}P_{x} & 0 & 0 \\0 & P_{y} & 0 \\0 & 0 & P_{z} \\\end{pmatrix}$$二、角动量算符的定义角动量算符是用于描述物体旋转状态的算符，通常用符号J表示。

角动量算符包含了三个不同的方向上的状态，分别称为Jx、Jy、Jz。

它们的计算方法为：$J_{x} = -i\hbar(y\frac{\partial}{\partial z}-z\frac{\partial}{\partial y})$$J_{y} = -i\hbar(z\frac{\partial}{\partial x}-x\frac{\partial}{\partial z})$$J_{z} = -i\hbar(x\frac{\partial}{\partial y}-y\frac{\partial}{\partial x})$其中，x、y、z分别表示三个坐标轴上的方向。

根据这个公式，可以得到角动量算符的矩阵表示为：$$J=\begin{pmatrix}J_{x} & 0 & 0 \\0 & J_{y} & 0 \\0 & 0 & J_{z} \\\end{pmatrix}$$三、动量矩阵和角动量算符的关系动量矩阵和角动量算符之间存在着非常重要的关系。

4第3章概念1-算符、对易关系、不确定关系

∂ ∂ = − y + x ψ ∂y ∂x
所以可以推出
ˆ = −ih x ∂ − y ∂ = −ih ∂ Lz ∂x ∂ϕ ∂y
1 ∂ ∂ 1 ∂2 ˆ L2 = −h 2 sin θ + 2 sin θ ∂θ ∂θ sin θ ∂ϕ 2
* * = ∑ cn cm f mδ nm = ∑ cn cn f n = F nm
nm
n
且
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ F 2 = ∫ψ * F 2ψ dτ = ∫ψ * F ( Fψ )dτ = ∫ ( Fψ )( Fψ )* dτ
ˆ = ∫ Fψ dτ ≥ 0
* F 2 = ∑ f n2 cn cn = ∑ f n2 cn n n 2
2.厄米算符（自共轭算符）厄米算符（自共轭算符）
ˆ ˆ A+ = A
或
∫
∞
ˆ ˆ ψ 1* Aψ 2 dτ = ∫ ψ 2 ( Aψ 1 )* dτ
∞
一般力学量算符都是厄米算符。一般力学量算符都是厄米算符。
性质1：厄米算符的本征值为实数。性质1 厄米算符的本征值为实数。 ˆ 设 Aψ = λψ ，则 ˆ ψ * Aψ dτ = λ ψ *ψ dτ
ψ = ψ 1 ,ψ 2 ,ψ 3 ,L ,ψ n ,L
ˆ 的可能取值，本征值 λ 就是力学量算符 A 的可能取值，测量时只能测得这些
2 ˆ ˆ 的平方 A2的本征值就是 An 。这是因为算符 A ˆ ˆ ˆ ˆ A2ψ = A ⋅ Aψ = AA ψ = A2ψ
n n n n n n
当 m 取整数时
m ˆ Amψ n = An ψ n
ˆ 对 A−1，有 ˆ 对 A1/ 2，有

量子力学第三章算符

第三章算符和力学量算符3.1 算符概述设某种运算把函数u 变为函数v ，用算符表示为：ˆFuv = （3.1-1） ˆF 称为算符。

u 与v 中的变量可能相同，也可能不同。

例如，11du v dx=，22xu v =3v =，(,)x t ϕ∞-∞，(,)x i p x hx edx C p t -=，则ddx，x dx ∞-∞⎰，x ip x he-⋅都是算符。

1．算符的一般运算（1）算符的相等：对于任意函数u ，若ˆˆFuGu =，则ˆˆG F =。

（2）算符的相加：对于任意函数u ，若ˆˆˆFuGu Mu +=，则ˆˆˆM F G =+。

算符的相加满足交换律。

（3）算符的相乘：对于任意函数u ，若ˆˆˆFFu Mu =，则ˆˆˆM GF =。

算符的相乘一般不满足交换律。

如果ˆˆˆˆFGGF =，则称ˆF 与ˆG 对易。

2．几种特殊算符（1）单位算符对于任意涵数u ，若ˆIu=u ，则称ˆI 为单位算符。

ˆI 与1是等价的。

（2）线性算符对于任意函数u 与v ，若**1212ˆˆˆ()F C u C v C Fu C Fv +=+，则称ˆF 为反线性算符。

（3）逆算符对于任意函数u ，若ˆˆˆˆFG u G F u u ==则称ˆF 与ˆG 互为逆算符。

即1ˆˆG F -=，111ˆˆˆˆˆˆ,1FG FF F F ---===。

并非所有的算符都有逆算符，例如把零作为算符时，称之为零算符，零算符就没有逆算符。

对于非齐次线性微分方程：ˆ()()Fux af x =，其中ˆF 为ddx与函数构成的线性算符，a 为常数。

其解u 可表示为对应齐次方程的通解u 。

与非齐次方程的特解υ之和，即0u u v =+。

因0ˆ0Fu =，所以不存在1ˆF -使100ˆˆF Fu u -=。

一般说来，在特解υ中应允许含有对应齐次方程的通解成分，但如果当a=0时，υ=0，则υ中将不含对应齐次方程的通解成分，这时存在1ˆF-使11ˆˆˆˆFFv FF v v --==，从而由ˆFvaf =得：1ˆF af υ-=。

第3章_矩阵力学基础——力学量和算符

1第三章矩阵力学基础(I)—力学量和算符上一章，中我们系统地介绍了波动力学。

它的着眼点是波函数),(t x ψ。

薛定谔从粒子的波动性出发，用波函数),(t x ψ猫述粒子的运动状态。

通过在波函数的运动方程中引入的方法进行量子化，在一定的边界条件下，求解定态薛定谔方程，证明对于束缚态，会出现量子化的、分立的本征谱。

在本章和下一章中，我们将介绍另一种量子化的方案。

它是海森伯（Heisenberg ）、玻恩、约丹(Jordan)、坎拉克(Dirac)提出和实现的。

着眼点是力学量和力学量的测量。

他们将力学量看成算符。

通过将经典力学运动方程中的坐标和动量都当作算符的方法，引入r 和p 的对易关系.将经典的泊松括号改为量子的泊松括号，实现量子化。

这种量子化，通常称为正则量子化。

在选定了一定的“坐标系”或称表象后，算符用矩阵表示。

算符的运算归结为矩阵的运算。

本章将首先讨论力学量的算符表示和算符的矩阵表示，证实量子力学中的力学量必须用线性厄米算符表示。

在选取特定的表象即“坐标系”后，这些算符对应线性厄米矩阵。

然后进一步讨论力学量的测量，它的可能值、平均值以及具有确定值的条件。

我们将证实算符的运动方程中含有对易子，出现。

在矩阵力学中，算符的运动方程起着和波动力学中波函数的运动方程—薛定谔方程—同样的作用。

§3. 1力学量的平均值在量子力学中，微观粒子的运动状态用波函数描述。

一旦给出了波函数，就确定了微观粒子的运动状态.于是自然要问，所谓“确定”是什么意思，在什么意义下讲“确定”?在本章中我们将看到:所谓“确定”，是在能给出几率和求得平均值意义下说的。

一般说来，当微观粒子处在某一运动状态时，它的力学量，如坐标、动量、角动量、能量等，不同时具有确定的数值，而具有一系列可能值，每一可能值均以一定的概率出现。

当给定描述这一运动状态的波函数ψ后，力学量出现各种可能值的相应的概率就完全确定。

利用统计平均的方法，可以算出该力学量的平均值，进而与实验的观测值相比较。

群论与化学

六、特征标表和构造
第八章群的表示与量子力学
一、Schrödinger方程二、群的直积表示三、零积分
4
授课内容（续）
第九章 Hückel分子轨道理论一、简单回忆Hü ckel分子轨道理论二、Hü ckel分子轨道理论对苯分子的处理第十章分子振动一、引言二、正则坐标三、振动方程四、普通表示和正则表示五、正则坐标分类
12
3.历史梗概：
Evariste Galois (1811-32)引入群的概念； Baron Augustin Louis Cauchy (1789-1857): 首创置换群理论； Arthur Cayley (1821-95): 定义了广义抽象群，发展了矩阵理论； Ferdinad Georg Frobeninus (1849-1917): 群表示理论（及微分方程）； Herman Weyl (1885-1955)和Eugene Paul Wigner (1902-1995):发展了群论和量子力学之间的关系； Wigner最大贡献是将群论应用于原子和原子核问题，1963年与J. H. D Jenson和M. G. Mayer或诺贝尔物理奖。
几组等同原子？可能的一元取代物几种？
对称性测定分子结构中的作用: 晶体结构、红外光谱、紫外光谱、偶极矩和旋光性都与分子对称性有关。“几乎所有光谱学的定律均得自所研究问题的对称性” -----Wigner
11
考虑对称性在化学中的作用基本上就是考虑对称性在量子力学中的作用，群论在
对称性和量子力学间建立了联系。群论与量子化学是现代理论化学两大支柱。
群论与化学
1
授课内容
第一章对称性、操作和算符
一、对称性二、对称操作三、算符和对称操作算符

第3章实验二矩阵与向量运算

第3章实验二矩阵与向量运算实验目的：在MATLAB 里，会对矩阵与向量进行加、减、数乘、求逆及矩阵的特征值运算，以及矩阵的LU 分解。

3.1 矩阵、逆矩阵运算例3.1 设矩阵A 、B 如下：1221,3415A B -⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，分别求出B A +、B A *、A 的逆矩阵，A 矩阵的行列式的值。

在matlab 软件中的命令窗口输入： A=[1 2;3 4]; B=[-2 1;1 5]; A+B 得到： ans =-1 3 4 9A 的逆矩阵由命令inv(A)计算，例如：令A=[1 2;3 4]; 则 C=inv(A) 得到： C =-2.0000 1.0000 1.5000 -0.5000对于任意非奇异的方阵，都可以用命令inv 计算其逆矩阵。

在matlab 里，矩阵乘法用乘法运算符表示，可以通过命令输入：A*B得到：ans =0 11 -2 23在matlab 里，可以通过命令输入：det(A)得到： -2在matlab 里，在矩阵的后面加一个撇号得到该矩阵的转置，例如： F=A ’ 使矩阵F 变为A 的转置。

下面的命令创建一个m ×m 的单位矩阵： s=eye(m)m ×n 的零矩阵用s=zeros(m*n)给出。

m ×n 的元素都是1的矩阵用写为： w=ones(m,n)如果A 是一个矩阵，则zeros(size(A))和ones(size(A))分别得到与A 大小相同的零矩阵和单位矩阵。

命令rand(m,n)创建一个m ×n 的随机矩阵。

命令hilb(m)创建一个Hilbert 矩阵的特殊矩阵。

3.2 矩阵的特征值设A 是一个n ×n 方阵，X 是一个n 维向量，乘积Y=AX 可以看作是n 维空间变换。

如果能够找到一个标量λ，使得存在一个非零向量X ，满足：AX=λX （3.1）则可以认为线性变换T(X)=AX 将X 映射为λX,此时，称X 是对应于特征值λ的特征向量。

量子力学总结习题考卷及答案

量⼦⼒学总结习题考卷及答案第⼀章⒈玻尔的量⼦化条件，索末菲的量⼦化条件。

⒉⿊体：能吸收射到其上的全部辐射的物体，这种物体就称为绝对⿊体，简称⿊体。

⒎普朗克量⼦假说：表述1：对于⼀定频率ν的辐射，物体只能以hν为能量单位吸收或发射电磁辐射。

表述2：物体吸收或发射电磁辐射时，只能以量⼦的⽅式进⾏，每个量⼦的能量为：ε=h ν。

表述3：物体吸收或发射电磁辐射时，只能以能量ε的整数倍来实现，即ε，2ε，3ε，…。

⒏光电效应：光照射到⾦属上，有电⼦从⾦属上逸出的现象。

这种电⼦称之为光电⼦。

⒐光电效应有两个突出的特点：①存在临界频率ν0：只有当光的频率⼤于⼀定值v0 时，才有光电⼦发射出来。

若光频率⼩于该值时，则不论光强度多⼤，照射时间多长，都没有光电⼦产⽣。

②光电⼦的能量只与光的频率有关，与光的强度⽆关。

光的强度只决定光电⼦数⽬的多少。

⒑爱因斯坦光量⼦假说：光(电磁辐射)不仅在发射和吸收时以能量E= hν的微粒形式出现，⽽且以这种形式在空间以光速C 传播，这种粒⼦叫做光量⼦，或光⼦。

爱因斯坦⽅程⒒光电效应机理：当光射到⾦属表⾯上时，能量为E= hν的光⼦⽴刻被电⼦所吸收，电⼦把这能量的⼀部分⽤来克服⾦属表⾯对它的吸引，另⼀部分就是电⼦离开⾦属表⾯后的动能。

⒓解释光电效应的两个典型特点：①存在临界频率v0：由上式明显看出，当hν- W0≤0时，即ν≤ν0 = W0 / h时，电⼦不能脱出⾦属表⾯，从⽽没有光电⼦产⽣。

②光电⼦动能只决定于光⼦的频率：上式表明光电⼦的能量只与光的频率ν有关，⽽与光的强度⽆关。

⒔康普顿效应：⾼频率的X射线被轻元素如⽩蜡、⽯墨中的电⼦散射后出现的效应。

⒕康普顿效应的实验规律：①散射光中，除了原来X光的波长λ外，增加了⼀个新的波长为λ'的X光，且λ' >λ；②波长增量Δλ=λ-λ随散射⾓增⼤⽽增⼤。

⒖量⼦现象凡是普朗克常数h在其中起重要作⽤的现象⒗光具有微粒和波动的双重性质，这种性质称为光的波粒⼆象性⒘与运动粒⼦相联系的波称为德布罗意波或物质波。

第三章力学量与算符

i H t t 0
H
U t , t0 e
力学量与算符
• • • • • 作业： 1、分析厄米算符 2、讨论幺正算符（投影算符、宇称算符） 3、算符运算的证明 4、讲课过程中的简单证明，一些概念、或是各算符的特性
力学量与算符
定义
r r
性质（1） 2 1 ，本征值为 1 ；（2）是厄米、幺正算符（3）波函数和算符按宇称分类
A, 0
r r
偶宇称
奇宇称
A, 0 r r
力学量与算符
性质12完备性三宇称算符定义2是厄米幺正算符3波函数和算符按宇称分类力学量与算符4宇称算符的选择定律力学量与算符四时间演化算符不显含时间力学量与算符力学量与算符力学量与算符
力学量与算符
力学量与算符
算符的定义及运算算符的定义单位算符算符的和积转置
ˆ F
I
ˆB ˆ B ˆ ˆ A A
d
d A B A B A B d
力学量与算符
3.2.2设算符 A、B 不可对易： A , B C ，但
A, C ， B , C ，试证明Glauber公式：
e A B e A e B e
n n 1
C1 A C 0，则
A有 n 个本征值，且满足
Cnan Cn 1an 1 C1a C 0
。
力学量与算符
二、算符导数 1.定义
F F ，
为参量，
dF F F lim 0 d
2.基本性质 d A B A B
Aij

算符和矩阵的关系

算符和矩阵的关系
算符和矩阵之间存在密切的关系。

算符是抽象定义的，而矩阵是算符的具体数值表示。

对于线性算符，它的一个天然的表示就是矩阵。

为了表征一个算符，我们需要知道把这个算符作用到所有可能的态上所能产生的结果。

然而，态的个数是无穷多的，所以我们不可能真的把算符作用到所有的态上。

然而，大部分情况下，所有可能的态都可以通过一组基线性表出。

如果算符是线性算符，而且这组基是完备的，也就是任意一个态都可以用这组基线性表示出来，那么只要我们知道算符在这些基上的作用，我们就可以知道算符在所有可能态上的作用。

也就是说，算符在这组基上的作用就可以将这个算符完全表征。

同一个算符在不同基底（即不同表象）下可以表示为不同的矩阵，这些矩阵之间是相似矩阵的关系。

通过这些矩阵，我们可以深入理解算符的性质和行为。

因此，矩阵作为算符的具体数值表示，是理解和研究算符的重要工具。

以上内容仅供参考，建议查阅专业书籍或者咨询专业人士以获取更准确的信息。

Matlab矩阵、数组和符号运算PPT课件

2021/6/7
5
第3章矩阵、数组和符号运算
➢这种方法输入符号矩阵与字符串矩阵的输入相似。但要保证在同一列中各元素字符串有同样的长度，在较短的字符串前后用空格符填充； ➢这种方法要求符号矩阵每一行的两端都有方括号，而字符串矩阵仅在首尾有方括号。
>> B=['[4+x x^2 x ]';'[x^3 5*x-3 x*a]']
计算速度最快，占用计算机内存最少的算法，与 C、
FORTRAN 语言中的浮点运算算法完全相同。在机器内
的表达和计算都是一个被“ 截断”的8 位浮点近似值。
➢针对精确运算的符号算法
计算时间最长，内存占用最多，精度也最高。
➢任意精度的算法
运算时间、内存占用和计算精度均介于以上两种运算之间。
采用函数 digits 来控制十进制结果的有效位数。digits 的
第3章矩阵、数组和符号运算
二、符号及运算
掌握内容：
（1）了解 MATLAB 6.0 的符号变量，掌握 MATLAB 符
号表达式、符号矩阵的两种创建方法。
（2）掌握 MATLAB 符号数学函数的创建。
（3）掌握符号矩阵的基本运算及MATLAB 关于不同精度
的控制方法。
（4）掌握符号微积分内容，包括求函数的极限、对符号表
同类项合并
>> syms x y >> collect(x^2*y+y*x-x^2-2*x) ans = (y-1)*x^2+(y-2)*x
分式通分
>> syms x y >> [n,d]=numden(x/y+y/x) n= x^2+y^2 d= y*x

算符的矩阵表示

p ( p p)
xpp p *( x)x p ( x)dx
1 2
[eipx/ x] p ( x)dx
1 2
(i
p
)e
ipx/
p
(
x)dx
(i
p
)
p *(x) p(x)dx
(i
p
)
(Leabharlann pp)写成矩阵形式
简写成
b1(t) F11
b2(t) F21
bn(t)
Fn1
F12 F22
F1m F2m
a1(t) a2(t)
Fn2
Fnm
am (t )
Φ=FΨ
例 1：求 Lx 在 L2, Lz 共同表象，=1子空间中的矩阵表示。
令： u1 = Y11 u2 = Y10 , u3 = Y1-1
)um
(
x)
Fˆ
(
x,i
x
)
am (t)um ( x)
两边左乘 u*n(x) 并对 x 积分
m
m
bm (t) un * um ( x)dx
[
un
*
Fˆ
(
x,i
x
)um
(
x
)dx]am
(t
)
m
m
bm (t ) nm Fnm am (t )
m
m
bn (t ) Fnm am (t )
（一）力学量算符的矩阵表示
坐标表象：
Q表象：
假设只有分立本征值，将 Φ, Ψ按{un(x)}展开：
( x, t) Fˆ ( x, pˆ )( x, t) 代入
Fˆ
(
x,
i
x
)(

化学软件基础-第3章第2节-3_矩阵数学运算

Q=orth(A)
-0.1409 -0.3439 -0.5470 -0.7501
0.8247 0.4263 0.0278 -0.3706
2019/10/29
矩阵数学运算
12/66
1.1.7 矩阵的简化梯形形式
矩阵A的简化梯形形式：
单位矩阵。

Ir 0
* *
，其中Ir为r阶
rref( )：计算矩阵的简化梯形形式的函数。
例求矩阵A=[1 2 3 4;1 1 5 6;1 2 3 6;1 1 5 7]的简化梯形形式。
具体代码序列如下： A=[1 2 3 4;1 1 5 6;1 2 3 6;1 1 5 7]; R=rref(A)
2019/10/29
矩阵数学运算
运行结果如下：
R= 1070 0 1 -2 0 0001 0000
矩阵数学运算
20/66
1.3.1 Cholesky分解
对于稀疏矩阵，MATLAB中用函数cholinc( ) 计算不完全Cholesky分解，具体用法如下： R = full(cholinc(sparse(X), DROPTOL))，其中DROPTOL为不完全Cholesky分解的丢失容限； R = full(cholinc(sparse (X),‘0’)) ，完全 Cholesky分解。
det()：计算矩阵的行列式的函数。
2019/10/29
矩阵数学运算
8/66
1.1.3 矩阵的行列式
例求矩阵A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]的行列式。
具体代码序列如下： A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]; A_det=det(A)
运行结果如下： ans=
0

线性代数03矩阵及其运算PPT课件

3）
1 1
00 11
10
1 1
0 0
1 2
00 11
0 1
1 1
0 0
➢若 AB BA, 则称矩阵 A乘积、可交B换.
26
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例题
例5
求矩阵
A
1 2
0 1
3 0
21 与
4
B
1 2 1
1 1 0 3
0
3
1 4
的乘积 AB.
A B 4 3 解析：是矩阵，是矩阵，的列数等
7
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n 例4 个变量
x与1 , m 个x变2 ,量之间, 的xn关系式
y1 , y2 ,, ym
称为从变量
y1 a11 x1 a12 x2 a1n xn ,
y2 a21 x1 a22 x2 a2n xn ,
(1)
ym am1 x1 am2 x2 amn xn ,
13
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❖西尔维斯特（Sylvester, 1814-1897），他是犹太人，故他在取得剑桥大学数学荣誉会考第二名的优异成绩时，仍被禁止在剑桥大学任教。从1841年起他接受过一些较低的教授职位，也担任过书记官和律师。经过一些年的努力，他终于成为霍布金斯大学的教授，并于1884年70岁时重返英格兰成为牛津大学的教授。他开创了美国纯数学研究，并创办了《美国数学杂志》。在长达50多年的时间内，他是行列式和矩阵论始终不渝的作者之一。
元(的i,矩j阵) 可简记作
或
.
(aij ) (aij )mn
m n 矩阵 A也记作
Amn .
注意
（1）矩阵的记号是在数表外加上括弧，与行列式的记号（在数表外加上双竖线）是不同的，这是两个不同的概念，注意区别.

量子力学第三章3.7算符的对易关系两力学量同时有确定值的条件不确定关系

ˆ ˆ ˆ I 即：如果一组算符（F, G, H, ˆ……）有共同本征函数，
而且这些共同本征函数组成完全系，则这组算符中的任何一个和其余的算符对易。这个定理的逆定理也成立。
2. 不同力学量取确定值的条件：
ˆ ˆ ˆ I 若 F, G, H, ˆ ……等可对易，由以上定理知，这些函数有
完全的共同的本征函数系{ n}，按本征函数与本征值的意义可知，当体系处于它们的本征态 n 时，力学量 F 有确定值 n ，ˆ 有确定值 n ，…（按3.6节讲的基本假 G ˆ I F ˆ ˆ 设）。于是会存在这样的态，在这些态中，H, ˆ ， , G,… 代表的力学量可同时取确定值。
ˆ ˆ ˆ ˆ y,pz y,px 0
ˆ ˆ ˆ ˆ [z,py ] z,px 0
ˆ ˆ ˆ ˆ [p x , p y ] p x , p z p y , p z 0 ˆ ˆ
以上可总结为基本对易关系：
x i , p j i ij xi , x j 0 pi , p j 0
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ <5>[ A, BC] = B[A, C] +[A, B]C ；
ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ <6>[ AB, C] = A[B, C] +[A, C]B 。
ˆˆˆ ˆˆˆ ˆˆˆ ˆˆˆ ˆˆˆ ˆˆˆ 证明<5>：等式右边= BAC BCA ABC BAC= ABC BCA
定理2（定理1的逆定理）：如果两个算符对易，则这
两个算符有组成完全系的共同本征函数。
ˆ 证明：设{ n }是 F 的完全本征函数系，且本征值 n
非简并。

线性代数矩阵的初等变换

r2 （ 2） 1
r3
（
1）
0 0
0 1 0
0 0 1
3 2 1
23 ， 3
3 2 X 2 3.
1 3
如果要求Y CA1,则可对矩阵 A作初等列变换， C
A 列变换 E
C
CA1
,
即可得Y CA1.
也可改为对( AT ,CT ) 作初等行变换，
行变换
（AT , CT )
a23 a33
a11 a12 a13 a14
a21
a22
a23
a24
a31 a32 a33 a34
矩阵 A 的一个 2 阶子式
a12 a13 a22 a23
矩阵 A 的一个 2 阶子块
a12 a13
a22
a23
定义：设矩阵 A 中有一个不等于零的 r 阶子式 D，且所有 r +1 阶子式（如果存在的话）全等于零，那么 D 称为矩阵 A 的最高阶非零子式，数 r 称为矩阵 A 的秩，记作 R(A)．
口诀：左行右列. 定理3.2 设A是一个 m×n 矩阵， ✓对 A 施行一次初等行变换，相当于在 A 的左边乘以相应的 m 阶初等矩阵； ✓对 A 施行一次初等列变换，相当于在 A 的右边乘以相应的 n 阶初等矩阵.
定理3.3 方阵A可逆的充要条件是存在有限个初等矩阵P1, P2, …, Pl，使 A = P1 P2 …, Pl ．
r3 3r1 0 2 6 2 12
r1 r2 r3 r2
1 0 2 1 4 0 2 5 1 9 0 0 1 1 3
r1 2r3 1 0 0 3 2
r2 5r3
0 0
2 0 4 6 0 1 1 3

第三章 矩阵与算符

算符的矩阵表示_

量子力学讲义第三章讲义

第三章 矩阵与算符

动量矩阵与角动量算符的计算方法

4第3章概念1-算符、对易关系、不确定关系

量子力学第三章算符

第3章_矩阵力学基础——力学量和算符

群论与化学

第3章 实验二矩阵与向量运算

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第三章 力学量与算符

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