哥德巴赫猜想

§5 哥德巴赫猜想

陈景润(1933—1996)，中国数学家、中国科学院院士.1933年5月22日生于福建福州，1996年3月19日卒于北京.1953年毕业于厦门大学数学系.1957年进入中国科学院数学研究所并在华罗庚教授指导下从事数论方面的研究．历任中国科学院数学研究所研究员、学术委员会委员，兼贵阳民族学院、河南大学、青岛大学、华中工学院、福建师范大学等校教授，国家科委数学学科组成员，《数学季刊》主编等职．主要从事解析数论方面的研究，并在哥德巴赫猜想研究方面取得国际领先的成果．这一成果国际上誉为陈氏定理，被广泛引用．与王元、潘承洞共同获得1978年国家自然科学奖一等奖．其后对上述定理又作了改进，并于1979年初完成论文《算术级数中的最小素数》，将最小素数从原有的80推进到16，受到国际数学界好评．对组合数学与现代经济管理、科学实验、尖端技术、人类生活密切关系等问题也作了研究．发表研究论文70余篇，并有《数学趣味谈》《组合数学》等著作．

1．哥德巴赫原是一位__________国教师，1725～1742年间在__________科学院工作，为该院院士.1742年，哥德巴赫在和他的好朋友、大数学家__________的几次通信中提出了关于正整数和__________之间关系的两个推测：(A)每一个不小于6的偶数都是两个__________的和，即n ＝p 1＋p 2；(B)每一个不小于9的奇数都是3个__________的和，即n ＝p 1＋p 2＋p 3. 这就是著名的哥德巴赫猜想．

2．哥德巴赫猜想第一次重大的突破是20世纪20年代获得的．哈代、李特尔伍德(J.E.Littlewood)建立了__________．使用这种圆法，在假定一条未经证明的著名猜想——__________猜想成立的前提之下，他们证明了两个命题：

命题1 每个充分大的奇数n 都是3个____________之和，即

n ＝p 1＋p 2＋p 3.

命题2 几乎所有偶数都是两个________之和．

这个命题意味着，假设M(x )表示不超过x 而又不能表示为两个奇素数之和的偶数，那么 ()lim x M x x

＝0. 俄国数学家________(I.M.Vinogradov)技高一筹，他使得哥德巴赫猜想的重要结果有了全面突破.1937年，他基本证明了猜想(B)：

每一个充分大的奇数n 都可以表示为三个素数之和：

n ＝p 1＋p 2＋p 3.

3．1920年，挪威数学家________证明了每个大偶数均可以分解为两个自然数之和，其中，每一个自然数的素因子个数不超过9，简记为命题(9＋9)．

到了30年代，数学家们已经证明了命题(6＋6)．

著名数学家______在中国最早研究了哥德巴赫猜想．

早在1938年，他就证明了“几乎所有偶数都是两个素数之和”．

1957年，著名数学家________证明了命题(3＋2)．

在布朗的定理中，两个数都不能肯定为素数，如果能肯定其中一个数是素数，这样的命题可以记为：命题(1＋c )．

1948年，瑞尼(A.Renyi)证明了下面的定理．

瑞尼定理 存在一个正常数c ，使每一个充分大的偶数都可以分解为两个自然数的和，其中一个自然数为素数，另一个自然数的素因数个数不超过c .

自1948年以来，这种方式的证明不断有所进展．

1962年，我国著名数学家________证明了(1＋5)；

1963年，________与巴尔巴恩分别独立地证明了(1＋4)；

1965年，维诺格拉多夫、布赫夕塔布和________(E.Bombieri)都证明了(1＋3)； 1966年，我国著名数学家________证明了(1＋2)．

答案： 1．德 圣彼得堡 欧拉 素数 奇素数 奇素数

2．圆法广义黎曼素数素数维诺格拉多夫

3．布朗华罗庚王元潘承洞潘承洞邦别里陈景润

【互动课堂】

一、哥德巴赫猜想的提出

【例1】 1742年，哥德巴赫在和数学家________的通信中提出了哥德巴赫猜想．

答案：欧拉

哥德巴赫原是一位______________国教师，1725～1742年间在______________科学院工作，为该院院士．

由哥德巴赫猜想(A)可以推出哥德巴赫猜想(B)的正确性，这是因为( )

A．2n＋1＝2(n－1)＋3

B．2n＝2(n－1)＋2

C．2n＋1＝n＋(n＋1)

D．2n＋1＝n＋(n－1)＋2

二、关于哥德巴赫猜想(B)的证明

【例2】哥德巴赫猜想第一次重大突破是( )

A．19世纪20年代B．20世纪20年代

C．20世纪40年代D．20世纪60年代

答案：B

【例3】在假定广义黎曼猜想成立的前提之下，证明命题“每个充分大的奇数n都是3个素数之和，即n＝p1＋p2＋p3”的数学家是( )

A．哈代、李特尔伍德

B．黎曼、哈代

C．李特尔伍德、黎曼

D．布朗、哈代

答案：A

1937年，最早基本证明猜想(B)的数学家是( )

A．哈代B．李特尔伍德

C．欧拉D．维诺格拉多夫

哈代、李特尔伍德在证明哥德巴赫猜想时建立了________．

三、关于哥德巴赫猜想(A)的证明

【例4】在中国最早研究哥德巴赫猜想的数学家是( )

A．熊庆来B．华罗庚

C．王元D．陈景润

答案：B

【例5】 1938年，华罗庚证明了( )

A．几乎所有偶数都是两个素数之和

B．每个充分大的奇数n都是3个素数之和

C．几乎所有偶数都是两个奇素数之和

D．每个充分大的奇数n都是3个奇素数之和

答案：A

1．哥德巴赫(Goldbach,1690.3.18—1764.11.20)是德国数学家；出生于格奥尼格斯别尔格(现名加里宁城)；曾在英国牛津大学学习；原学法学，由于在欧洲各国访问期间结识了贝努利家族，所以对数学研究产生了兴趣；曾担任中学教师.1725年到俄国，同年被选为圣彼得堡科学院院士；1725—1740年担任圣彼得堡科学院会议秘书；1742年移居莫斯科，并在俄国