确定型时间序列预测方法

模型,并借以对系统的未来行为进行预报。时序分析具
有以下3个特点。
第4章 (1) 时序分析是根据预测目标过去至现在的变化趋势 预测未来的发展 ,它的前提是假设预测目标的发展过程规
律性会继续延续到未来,即以惯性原理为依据。
(2) 时间序列数据的变化存在着规律性与不规律性。 时间序列中每一时期的数据 , 都是由许多不同的因素 同时发生作用的综合结果。通常根据各种因素的特点或影 响效果可将这些因素分为四类。
第4章 4.2.2 前面已讲过,当预测变量的基本趋势发生变化时,一次
移动平均法不能迅速地适应这种变化。当时间序列的变
化为线性趋势时,一次移动平均法的滞后偏差使预测值偏 低,不能进行合理的趋势外推。例如,
X t a bt
这里,a,b是常数。当t增加一个单位时间时,Xt的增量 Xt+1-Xt=a+b(t+1)-a-bt=b 因此 , 当时间从 t 增加至 t+1 时 , Xt+1 的值为 a+b(t+1), 如 采用一次移动平均法计算,
第4章
第4章 确定型时间序列预测方法
4.1 时间序列与时序分析 4.2 移动平均法 4.3 指数平滑法 4.4 季节指数法 4.5 时间序列分解法 思考与练习
第4章
4.1 时间序列与时序分析
所谓时间序列 ,是指观察或记录到的一组按时间顺 序排列的数据,经常用X1, X2, …, Xt,…, Xn表示。不论是经 济领域中某一产品的年产量、月销售量、工厂的月库 存量、某一商品在某一市场上的价格变动等,或是社会 领域中某一地区的人口数、某医院每日就诊的患者人 数、铁路客流量等,还是自然领域中某一地区的温度、 月降雨量,等等,都形成了时间序列。所有这些序列的基 本特点就是每一个序列包含了产生该序列的系统的历 史行为的全部信息。
第4章
4.3
4.3.1 设X0, X1,…, Xn为时间序列观察值,S(1) 1, S S(1)t=αXt+α(1-α)Xt-1+α(1-α) 2Xt-2+… 式中, α为平滑系数,1<α<1
(1) (1) , … , S 2 n
为时间t的观察值的指数平滑值, 则一次指数平滑值为 (4.6)
第4章 观察上式,实际值Xt、Xt-1、Xt-2的权系数分别为α、α(1α)、α(1-α) 2。依次类推,离现在时刻越远的数据,其权系数越小。 指数平滑法就是用平滑系数 α 来实现不同时间的数据的非等 权处理的。因为权系数是指数几何级数,指数平滑法也由此而 得名。
第4章 计算结果表明： N=5时,S较小,所以选取N=5。预测 下年 1 月 ( 份 ) 的化油器销售量为452 只。 动平均法时,应注意如下两点： (1) 一次移动平均法一般只适应于平稳模式。当被 预测的变量的基本模式发生变化时， 一次移动平均法的 适应性比较差。 (2) 一次移动平均法一般只适用于下一时期的预测。 典型例子之一是生产经理要根据某一品类中的几百种不 同产品的需求预测来安排生产。在许多相同的情况下,所 需要的是一种很容易使用到每一个项目上去并能提供良 好预测值的方法,移动平均法就是这样一种方法。
第4章 由此 , 我们将式（ 4.5 ）代入到式（ 4.4 ）中去 , 便可 ,从而进行预测。 ˆ X
t T
二次移动平均法不仅能处理预测变量的模式呈水 平趋势时的情形,同时又可应用到长期趋势（线性增长 趋势）甚至于季节变动模式上去。这是它相对于一次 移动平均法的优点之所在。 一次移动平均法的预测模型是直线方程（一次方 程）,当实际值的变化趋势为二次或更高次多项式时,就 要用三次或更高次的移动平均法,但此时可用其它更好 的方法来做。这里就不再对更高次的移动平均法作讨 论了。
的化油器销售量的统计数据如表4.1中第二行所示,试用
一次移动平均法,预测下一年1月(份)的销售量。
第4章 解 分别取N=3和N=5,按预测公式
ˆ ( N 3) M (1) (3) X t X t 1 X t 2 M t 1 t 3 X t X t 1 X t 2 X t 3 X t 4 (1) ˆ M t 1 ( N 5) M t (5) 5 计算3个月和5个月移动平均预测值。见表4.1,预测
性越差,容易把随机干扰作为趋势反映出来。因此,N的选
择甚为重要,N应该取多大,应根据具体情况做出选择。当 N等于周期变动的周期时,则可消除周期变化的影响。
第4章
5 .2
2只 销售量 / 10
实际销售量 三期移动平均预测 五期移动平均预测
4 .8 4 .4 4 .0 3 .6 0 2 4 6 月份 8 10 12
第4章 ① 长期趋势（T）。 长期趋势是指由于某种关键因素的影响 , 时间序列 在较长时间内连续不断地向一定的方向持续发展（上 升或下降）,或相对停留在某一水平上的倾向,反映了事 物的主要变化趋势,是事物本质在数量上的体现。它是 分析预测目标时间序列的重点。 ② 季节变动（S）。 季节变动是指由于自然条件和社会条件的影响 ,时 间序列在某一时期依一定周期规则性地变化。它一般 归因于一年内的特殊季节、节假日,典型的如农产品的 季节加工,化肥、空调、服装、某些食品的销售等。
的时期观察也有一定的规律性,但短时间的变动又是不规
律的）。所谓时间序列分析法,就是要运用统计方法和数 学方法,把时间序列数据分解为T、S、C、I四类因素或其
中的一部分,据此预测时间序列的发展规律。
第4章 (3) 时间序列是一种简化。 在采用时间序列预测方法时 , 假设预测对象的变化
仅仅与时间有关,根据它的变化特征，以惯性原理推测
第4章 ③ 循环变动（ C ）。循环变动是指变动以数年为 周期,而变动规律是波动式的变动。它与长期趋势不同, 不是朝单一方向持续发展,而是涨落相间的波浪式起伏 变动。它与季节变动也不同,它的波动时间较长,变动周 期长短不一。市场经济条件下由于竞争,出现一个经济
扩张时期紧接着是一个收缩时期,再接下来又是一个扩
其未来状态。事实上,预测对象与外部因素有着密切而 复杂的联系。时间序列中的每一个数据都是许多因素 综合作用的结果,整个时间序列则反映了外部因素综合 作用下预测对象的变化过程。因此,预测对象仅与时间 有关的假设,是对外部因素复杂作用的简化,这种简化使 预测更为直接和简便。
第4章
4.2
4.2.1 一次移动平均法是在算术平均法的基础上加以改 进的。其基本思想是,每次取一定数量周期的数据平均, 按时间顺序逐次推进。每推进一个周期时,舍去前一个 周期的数据,增加一个新周期的数据,再进行平均。设Xt
第4章
X t X t 1 ... X t N 1 ˆ X t 1 N ( N 1)b a bt 2
( N 1)b ˆ X t 1 X t 1 a bt b a bt 2 ( N 1)b 2
第4章 从以上推导可以看出,每进行一次移动平均,得到的 新序列就比原序列滞后 b(N+1)/2 。也就是说 , 二次移动
平均值低于一次移动平均值的距离,等于一次移动平均
数值低于实际值的距离。因此就有可能用如下方法进 行预测： 将二次移动平均数与一次移动平均的距离加
回到一次移动平均数上去以作为预测值。如此改动后
进行预测的结论将更加准确。 时间序列 X1,X2,…,Xt
M
(1) t
X t X t 1 ... X t N 1 N
ˆ S (1) X t 1 t
ˆ t 1 X ˆ t a( X t X ˆt) X
(4.10)
下面我们来对移动平均值{S (1) t}和指数平滑值{M (1) t} 作一比较。
第4章
M
(1) t
1 ( X t X t 1 ... X t N 1 ) N 1 ( X t X t 1 ... X t N 1 X t N X t N ) N Xt Xt N 1) M t( 1 N
第4章 序列X1,X2,…,Xt的二次移动平均数定义为
M
( 2) t

M
(1) t
M
(1) t 1
... M N
(1) t N 1
(4.3)
下面讨论如何利用移动平均的滞后偏差建立直线 趋势预测模型。 设时间序列 {Xt} 从某时期开始具有直线趋势 , 且认 为未来时期也按此直线趋势变化,则可设此直线趋势预
第4章 问题在于如何才能根据这些时间序列 , 比较精确地 找出相应系统的内在统计特性和发展规律,尽可能多地 从中提取我们所需要的准确信息。用来实现上述目的 的整个方法称为时间序列分析,简称时序分析。 分析是一种根据动态数据揭示系统动态结构和规律的
统计方法,是统计学科的一个分支。其基本思想是根据
系统有限长度的运行记录（观察数据）,建立能够比较 精确地反映时间序列中所包含的动态依存关系的数学
测模型为
ˆ t T at btT X
(4.4)
第4章 其 中 ,t 为 当 前 的 时 期 数 ； T 为 由 t 至 预 测 期 的 时 期 数,T=1,2,…；at为截距,bt为斜率,两者又称为平滑系数。 运用移动平均值来确定平滑系数,计算公式如下：
(1) X t X t 1 ... X t N 1 M t N (1) (1) (1) M ( 2 ) M t M t 1 ... M t N 1 t N a M (1) ( M (1) M ( 2 ) ) 2 M (1) M ( 2 ) t t t t t t 2( M t(1) M t( 2 ) ) (4.5) b t N 1
图如图4.1所示。
第4章 表4.1 化油器销售量及移动平均预测值表(单位：只)
第4章 由图4.1可以看出,实际销售量的随机波动较大,经过移 动平均法计算后,随机波动显著减少,而且求取平均值所用
的月数越多,即N越大,修匀的程度越强,波动也越小。但是
在这种情况下,对实际销售量的变化趋势反应也越迟钝。 反之,N取得越小,对销售量的变化趋势反应越灵敏 ,但修匀
上式略加变换,
S
(1) t
aXt (1 a )[aXt 1 a (1 a ) X t 2 ...]
1) aXt (1 a ) St( 1
(4.7)
第4章 式(4.7) S(1)t=S (1) t-1+α(Xt-S (1) t-1) (4.8) (4.9)
或
为t周期的实际值,
第4章
X t X t 1 ... X t N 1 (1) Mt (N ) N
t+1期的预测值取为
X
i 0
N 1
t i
N
（4.1）
其中 N 为计算移动平均值所选定的数据个数。第
ˆ M (1) ( N ) X t 1 t
（4.2）
例4.1 某市汽车配件销售公司某年1月(份)~12月(份)
图4.1 化油器销售量及移动平均预测值
第4章 在实用中,一般用对过去数据预测的均方误差S来作 为选取N的准则。 当N=3时,
1 12 28893 2 ˆ S ( X t X t ) 3210 .33 9 t 4 9
当N=5时,
1 12 11143 2 ˆ S ( X t X t ) 1591 .86 7 t 6 7
张时期等变化,通常在同一时间内影响到大多数经济部 门,如对农产品的需求量,住宅建筑的需求量,汽车工业的
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发展,资本主义国家经济危机的变化周期等。这种循环
往往是由高值到低值,再回到高值的波浪型模式。
第4章 ④ 不规则变动（I）。不规则变动是指各种偶然性因 素引起的变动。不规则变动又可分为突变和随机变动。 所谓突变,是指诸如战争、自然灾害、意外事故、方针政 策等的改变所引起的变动；随机变动是指由于各种随机 因素所产生的影响。 上述各类影响因素的共同作用 ,使时间序列数据发生 变化,有的具有规律性,如长期趋势变动和季节性变动；有 些就不具有规律性,如不规则变动以及循环变动（从较长