运输问题及其数学模型
合集下载
运输问题模型
。
目标可以减少，说明当前
解不是最优解
闭回路法调整
选x22进基，找到闭回路
x12 5-
x14 1 +
x22 +
x24 5-
X22最多增加5
x12 5-5 x22 + 5
x14 1 +5 x24 5-5
X22进基，x12和x24经过调整同时变成 零。但是要注意只有一个变量出基。
例如：令x12出基
B1
B2
B3
B4
产量
A1 A2 A3 销量
× 2
3 1
× 8
3 ,0
×
9
10
×
3
4
4
4
2
8
4，0
79 2 5，2 5 7，3 6
B1
B2
B3
B4
产量
A1 A2 A3 销量
×
×
2
9
10
7
3
×
×
2
1
3
4
2
×
4
8
4
2
5
3 ,0
8
4，0 6,4
9 5,2,0 7，3
B1
B2
B3
B4
产量
A1 A2 A3 销量
7
-1
2
5
1
3
4
2
7
3
4
3
8
4
2
5
3 ,0
8,5 4，0 6,4,0
9,5 5,2,0 7,3,0
重新计算检验数
A1 u1=0
A2 u2=-5
A3 u3=-5 销量
B1
运筹学(第四版)：第3章 运输问题
x11 x12 x1n x21 x22 x2n xm1 xm2 xmn
u1 1 1 1
u2
um
1
1
1
1
1
1
m行
v1 1
1
1
v2 1
vn
1
1
1
1
1
n行
5
第1节 运输问题的数学模型
该系数矩阵中对应于变量xij的系数向量Pij，其分量中除第i个和 第m+j个为1以外，其余的都为零。即
21
2.2 最优解的判别
判别的方法是计算空格(非基变量)的检验数cij−CBB-1Pij， i,j∈N。因运输问题的目标函数是要求实现最小化，故当 所有的cij−CBB-1Pij≥0时，为最优解。下面介绍两种求空格 检验数的方法。 1.闭回路法； 2.位势法
22
2.2 最优解的判别
1.闭回路法
2.1 确定初始基可行解
第二步：从行或列差额中选出最大者，选择它所在行或列 中的最小元素。在表3-10中B2列是最大差额所在列。B2列 中最小元素为4，可确定A3的产品先供应B2的需要。得表311
销 地 B1 B2 B3 B4 产
加工厂
量
A1
7
A2
4
A3
6
9
销量 3 6 5 6
18
2.1 确定初始基可行解
销 地 B1 B2 B3 B4 产
加工厂
量
A1
A2
3
43 7
1
4
A3
6
39
销量
36 56
12
2.1 确定初始基可行解
用最小元素法给出的初始解是运输问题的基可行解，其理由为： (1) 用最小元素法给出的初始解，是从单位运价表中逐次地
运筹学第3章：运输问题-数学模型及其解法
整数规划模型
01
整数规划模型是线性规划模型 的扩展，它要求所有变量都是 整数。
02
整数规划模型适用于解决离散 变量问题，例如车辆路径问题 、排班问题等。
03
在运输问题中，整数规划模型 可以用于解决车辆调度、装载 等问题，以确保运输过程中的 成本和时间效益达到最优。
混合整数规划模型
混合整数规划模型是整数规划和线性规划的结合，它同时包含整数变量和 连续变量。
运筹学第3章：运输问题-数学模 型及其解法
目录
• 引言 • 运输问题的数学模型 • 运输问题的解法 • 运输问题的应用案例 • 结论
01 引言
运输问题的定义与重要性
定义
运输问题是一种线性规划问题，主要 解决如何将一定数量的资源（如货物 、人员等）从起始地点运送到目标地 点，以最小化总运输成本。
总结词
资源分配优化是运输问题在资源管理 领域的应用，主要解决如何将有限的 资源合理地分配到各个部门或项目， 以最大化整体效益。
详细描述
资源分配优化需要考虑资源的数量、 质量、成本等多个因素，通过建立运 输问题的数学模型，可以找到最优的 资源分配方案，提高资源利用效率， 最大化整体效益。
05 结论
运输问题的发展趋势与挑战
生产计划优化
总结词
生产计划优化是运输问题在生产领域的应用，主要解决如何合理安排生产计划， 满足市场需求的同时降低生产成本。
详细描述
生产计划优化需要考虑原材料的采购、产品的生产、成品的销售等多个环节，通 过建立运输问题的数学模型，可以找到最优的生产计划和调度方案，提高生产效 率，降低生产成本。
资源分配优化
发展趋势
随着物流行业的快速发展，运输问题变得越来越复杂，需要更高级的数学模型和算法来 解决。同时，随着大数据和人工智能技术的应用，运输问题的解决方案将更加智能化和
运筹学运输问题-图文
❖ 建模：设xij为从产地Ai运往销地Bj的物资数量（i=1， …m；j=1，…n。
销地 B1
B2
...
Bn
产量
产地
A1
X11 X12
...
X1n
a1
A2
X21 X22
...
X2n
a2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Am
Xm1 Xm2
...
Xmn
am
销量
b1
b2
...
bn
则运输问题的数学模型如下：
产销平衡表
销地 B1
B2
...
Bn
产量
产地
A1
a1
A2
a2
.
.
.
.
.
.
Am
am
销量
b1
b2
...
bn
单位运价表
销地
B1
B2
...
Bn
产地
A1
c11
c12
...
c1n
A2
c21
c22
...
c2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Am
cm1
cm2
...
cmn
❖ 若总产量等于总销量（产销平衡），试确定总运费最省 的调运方案。
Table14 检验数表
销地
B1
B2
B3
B4
产地
A1
销地 B1
B2
...
Bn
产量
产地
A1
X11 X12
...
X1n
a1
A2
X21 X22
...
X2n
a2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Am
Xm1 Xm2
...
Xmn
am
销量
b1
b2
...
bn
则运输问题的数学模型如下：
产销平衡表
销地 B1
B2
...
Bn
产量
产地
A1
a1
A2
a2
.
.
.
.
.
.
Am
am
销量
b1
b2
...
bn
单位运价表
销地
B1
B2
...
Bn
产地
A1
c11
c12
...
c1n
A2
c21
c22
...
c2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Am
cm1
cm2
...
cmn
❖ 若总产量等于总销量（产销平衡），试确定总运费最省 的调运方案。
Table14 检验数表
销地
B1
B2
B3
B4
产地
A1
运筹学-3运输问题
产销平衡问题 产销不平衡问题
产大于销 销大于供
当产销平衡时，其模型如下：
当产大于销时，其模型是：
mn
min Z
cij xij
i1 j1
xij ai xij bj
xij
0
( ai bj)
当销大于产时，其模型是：
min Z
cij xij
xij ai xij bj
可行解的方法
Review
二、表上作业法的步骤
Step1.找出初始基本可行解（在m*n产销平衡 表上寻找初始调运方案，一般m+n-1个数字 格），用最小元素法、西北角法、伏格尔法；
Step2.求出各非基变量的检验数，判别是否达 到最优解。如果是停止计算，否则转入下一步， 用闭回路或位势法计算；
Step3.改进当前的基本可行解（确定换入、 换出变量），用闭合回路法调整； Step4.重复2. 3，直到找到最优解为止。
（3）运输问题的解
定义1. 闭回路
x x x x x x 闭回路是能折成 i1 j1, i1 j2 , i2 j2 , i2 j3 ,..., isjs , isj1
形式的变量组集合。其中 i1 , i2 , …， is 互不相同，j1 , j2 , …， js 互不相 同。每个变量称为闭回路的顶点，连接闭回路相邻两顶点的直线段叫做闭
统计学院
运筹学－第三章 运输问题
张红历
本章内容
1.运输问题及其数学模型 2.表上作业法 3.运输问题的进一步讨论
4.应用问题举例
第一节 运输问题及其数学模型
一、运输问题的提出
例：某运输问题的资料如下：
单位 销地 运价
产地
A1 A2 A3
销量
产大于销 销大于供
当产销平衡时，其模型如下：
当产大于销时，其模型是：
mn
min Z
cij xij
i1 j1
xij ai xij bj
xij
0
( ai bj)
当销大于产时，其模型是：
min Z
cij xij
xij ai xij bj
可行解的方法
Review
二、表上作业法的步骤
Step1.找出初始基本可行解（在m*n产销平衡 表上寻找初始调运方案，一般m+n-1个数字 格），用最小元素法、西北角法、伏格尔法；
Step2.求出各非基变量的检验数，判别是否达 到最优解。如果是停止计算，否则转入下一步， 用闭回路或位势法计算；
Step3.改进当前的基本可行解（确定换入、 换出变量），用闭合回路法调整； Step4.重复2. 3，直到找到最优解为止。
（3）运输问题的解
定义1. 闭回路
x x x x x x 闭回路是能折成 i1 j1, i1 j2 , i2 j2 , i2 j3 ,..., isjs , isj1
形式的变量组集合。其中 i1 , i2 , …， is 互不相同，j1 , j2 , …， js 互不相 同。每个变量称为闭回路的顶点，连接闭回路相邻两顶点的直线段叫做闭
统计学院
运筹学－第三章 运输问题
张红历
本章内容
1.运输问题及其数学模型 2.表上作业法 3.运输问题的进一步讨论
4.应用问题举例
第一节 运输问题及其数学模型
一、运输问题的提出
例：某运输问题的资料如下：
单位 销地 运价
产地
A1 A2 A3
销量
管理运筹学-02-7运输问题
运量之和表示从该供应地运往各需求地的运量之和，它 应该等于该供应地的供应量；同样，每一列运量之和表 示从各供应地运往该需求地的运量之和，它应该等于该 需求地的需求量。
运输问题及其数学模型
•运输问题约束矩阵的性质
1 1 1
分别将A的前m行和后n行相加，得到两个
A=
1
1
=5 ①
x21+x22+x23+x24
=2 ②
x31+x32+x33+x34 = 3 ③
x11
s.t.
x12
+x21 +x22
+x31 +x32
=2 ④ =3 ⑤
x13 x14
+x23 +x24
+x33 = 1 ⑥ +x34 = 4 ⑦
xij≥0
( i =1, 2, 3; j =1, 2, 3, 4 )
• 1. 确定初始基础可行解 • （1）最小元素法 • 最小元素法的基本思想是就近供应，即从
单位运价表中最小的运价处开始确定供销 关系，依次类推，一直到给出全部方案为 止。
表上作业法求解运输问题
例 给出运输表如右。
1
2
3
4
最小运价为c33=7， 供应地3的供应量
1
10
11
9
15
30
为50，需求地3的 需求量为31，安排
x 2 32
3
B3 x 2
13
x 8 23
x 9 33
1
(百元/百吨 )
B4 x 5
14
产量
5
运输问题及其数学模型
•运输问题约束矩阵的性质
1 1 1
分别将A的前m行和后n行相加，得到两个
A=
1
1
=5 ①
x21+x22+x23+x24
=2 ②
x31+x32+x33+x34 = 3 ③
x11
s.t.
x12
+x21 +x22
+x31 +x32
=2 ④ =3 ⑤
x13 x14
+x23 +x24
+x33 = 1 ⑥ +x34 = 4 ⑦
xij≥0
( i =1, 2, 3; j =1, 2, 3, 4 )
• 1. 确定初始基础可行解 • （1）最小元素法 • 最小元素法的基本思想是就近供应，即从
单位运价表中最小的运价处开始确定供销 关系，依次类推，一直到给出全部方案为 止。
表上作业法求解运输问题
例 给出运输表如右。
1
2
3
4
最小运价为c33=7， 供应地3的供应量
1
10
11
9
15
30
为50，需求地3的 需求量为31，安排
x 2 32
3
B3 x 2
13
x 8 23
x 9 33
1
(百元/百吨 )
B4 x 5
14
产量
5
运筹学 第三章 运输问题
（或者在同时划去Ai行与Bj列时，在该行或该列的任意空格处填加一 个0。）
这样可以保证填过数或零的格为m+n-1个，即保证基变量的个数为 m+n-1个。
2021/3/14
14
2.Vogel法
Vogel法的思想是:一地的产品如果不能按照最小运
费就近供应，就考虑次小运费，这就有差额，差额越大， 说明不能按最小运费调运时，运费增加得越多。因而差 额越大处，就应当采用最小运费调运。
同理可以求得 v4=10，u2= -1，等等见上表。
检验数的求法，即用公式 ijciju，i vj
如 1 1 c 1 1 u 1 v 1 3 0 2 1 。
2021/3/14
23
位势法计算检验数：
检验数： ijcijCBB1Pij
cijYiP jcij(u1,..u.m , ,v1,.v.n.)Pij
3
B4
ui
3 10
0
-1 8
-1
35
-5
10
B1
3
31
7
2
B2
11 9
64
9
B3
4(+1) 3 1 (-1) 2
10
3
B4
ui
3(-1) 10
0
+1 8
-1
35
-5
10
2021/3/14
26
调整运量后的新方案：
销地
产地
B1
A1
A2
3
A3
B2
B3
5
6
销量
3
6
5
B4
产量
2
7
1
4
3
9
这样可以保证填过数或零的格为m+n-1个，即保证基变量的个数为 m+n-1个。
2021/3/14
14
2.Vogel法
Vogel法的思想是:一地的产品如果不能按照最小运
费就近供应，就考虑次小运费，这就有差额，差额越大， 说明不能按最小运费调运时，运费增加得越多。因而差 额越大处，就应当采用最小运费调运。
同理可以求得 v4=10，u2= -1，等等见上表。
检验数的求法，即用公式 ijciju，i vj
如 1 1 c 1 1 u 1 v 1 3 0 2 1 。
2021/3/14
23
位势法计算检验数：
检验数： ijcijCBB1Pij
cijYiP jcij(u1,..u.m , ,v1,.v.n.)Pij
3
B4
ui
3 10
0
-1 8
-1
35
-5
10
B1
3
31
7
2
B2
11 9
64
9
B3
4(+1) 3 1 (-1) 2
10
3
B4
ui
3(-1) 10
0
+1 8
-1
35
-5
10
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26
调整运量后的新方案：
销地
产地
B1
A1
A2
3
A3
B2
B3
5
6
销量
3
6
5
B4
产量
2
7
1
4
3
9
运筹学3.运输问题
21
二、初始基可行解的确定
1.最小元素法(就近供应) 就进供应，即从单位运价表中最小的运价开始确定供销 关系，然后次小，一直到求出初始基可行解为止。
例3 销地
产地
B1
B2
B3
B4
ai
3
11
3
10
A1
④③
7
1
A2 ③
9
2
①
84
7
4
10
5
A3
⑥
③
9
Hale Waihona Puke bj365
6 20
Z 31 64 12 43 310 35 86
24
2.伏格尔法（Vogel）
例4
销地 产地
B1
B2
B3
B4 ai
3
A1
②
11
3
⑤
10 7 0 0 0 0
A2
19
①
28
③
4 1111
A3
74
⑥
10 5
③
9 12 - -
bj
36
5
6 20
25 1
3
2 - 1 3 Z 2311 64 53
2
-
1
2
2
-
1
-
3 8 3 5 85
25
在以上两种方法中，有几点需要注意： • 这两种方法得出的解均为初始可行解。 • 一般由伏格尔法得出的解比最小元素法得出的解 更接近最优解。 • 在以上方法过程中，不可同时划去行和列。
26
三、求检验数并进行最优解的判定
1.闭回路法 例5
销地 产地
B1
3 A1
1
二、初始基可行解的确定
1.最小元素法(就近供应) 就进供应，即从单位运价表中最小的运价开始确定供销 关系，然后次小，一直到求出初始基可行解为止。
例3 销地
产地
B1
B2
B3
B4
ai
3
11
3
10
A1
④③
7
1
A2 ③
9
2
①
84
7
4
10
5
A3
⑥
③
9
Hale Waihona Puke bj365
6 20
Z 31 64 12 43 310 35 86
24
2.伏格尔法（Vogel）
例4
销地 产地
B1
B2
B3
B4 ai
3
A1
②
11
3
⑤
10 7 0 0 0 0
A2
19
①
28
③
4 1111
A3
74
⑥
10 5
③
9 12 - -
bj
36
5
6 20
25 1
3
2 - 1 3 Z 2311 64 53
2
-
1
2
2
-
1
-
3 8 3 5 85
25
在以上两种方法中，有几点需要注意： • 这两种方法得出的解均为初始可行解。 • 一般由伏格尔法得出的解比最小元素法得出的解 更接近最优解。 • 在以上方法过程中，不可同时划去行和列。
26
三、求检验数并进行最优解的判定
1.闭回路法 例5
销地 产地
B1
3 A1
1
运筹学【运输问题】考研必备
22
13
12 0
最小元素法(2)
1 6 1 8 2 5 3 22 9 4 7
2 5
3 3
4 14 1
132 712来自10 62715
19 13 12 0 13 0
最小元素法(3)
1 6 1 8 2 5 3 22 9 4 7
2 5
3 3
4 14 1
13
2 7
13
10
12
6
27
2
19 13 0 12 0 13 0
解: 西北角法
销地 产地
B1 6 4 7 2
B2 5 4 6 4
B3 3 7 5 3
B4 4 5 8 4
产量
A1 A2 A3
销量
4 6 3 13
(1) 从图的西北角开始, 填入a1与b1较小的值,b1=2, 即从A1运 给B1(2吨)B1已满足, 划去b1列, 并将a1=4-2=2
销地 产地
B1 26 4 7 2-2
例2
供应地 运价 销售地 1 a1=14 供 应 量 1 6 7 5
b1=22
a2=27
2
a3=19
3
3 8 4 2 7 5 9 10 6
2
b2=13
销 售 量
3
b3=12
4
b4=13
解:
初始基础可行解—最小元素法(1)
1 1 6 7
2 5
3 3
4 14
2
8
4
2
7
27
15
12
3 5 9 10 6 19 13
如何调运产品才能使总运费最小？
销地 产地
B1 6 4 7 2
B2 5 4 6 4
《运筹学》第三章 运输问题
二、表上作业法
计算步骤：
(1) 找出初始调运方案。即在(m×n)产销平衡表 上给出m+n-1个数字格。(最小元素法、西北角法 或伏格尔法） 确定m+n-1个基变量 (2) 求检验数。（闭回路法或位势法） 判别是 否达到最优解。如已是最优解，则停止计算，否 则转到下一步。 空格 (3)对方案进行改善，找出新的调运方案。 （表上闭回路法调整） (4) 重复（2）、（3），直到求得最优调运方案。
B1 A1 A2 A3 销量 3 1
B2 2
B3 4
B4 3
产量 7 4
3
6 6
1
3 5 6
9
B1 A1 A2 A3 销量 3 1
B2 2
B3 4
B4 3
产量 7 4 9
3
6 6
1
-1
3
5
6
B1 A1 A2 A3 销量 3 1 3
B2 2 1 6 6
B3 4 1
B4 3 -1 3
产量 7 4 9
(ui+vj)
－ B2 9 8 4 B3 3 2 -2 B4 10 9 5
A3 －3
σij
B1 ＝ A1 A2 A3 1 0 10 B2 2 1 0 B3 B4 0 0 0 －1 12 0
表中还有负数，说明 还未得到最优解，应 继续调整。 用位势法与用闭回路法 算出的检验数？ 相同
3、解的改进
——闭合回路调整法（原理同单纯形法一样） 上例： min( σ ij 0 ) pq
m
n
系数列向量的结构： A ij ( 0， 0， 0 ，， 0， 0 ) 1， 0 1，
第 i个
第 ( m j )个
第三章运输问题
5
设 xij 为 从 产 地 Ai 运 往 销 地 Bj 的 物 资 数 量 （i=1，…m；j=1，…n），由于从Ai运出的物资 总量应等于Ai的产量ai，因此xij应满足：
x
j 1
n
ij
ai
i 1,2, , m
6
运到Bj的物资总量应该等于Bj的销量bj，所以xij还 应满足：
m
第三章 运输问题
本章包含三部分的内容 运输问题及其数学模型 运输问题的表上作业法 运输问题的进一步研究
1
§1 运输问题及其数学模型
日常生活中，人们经常需要将某些物品由一个空间 位置移动到另一个空间位置，这就产生了运输，如 何判定科学的运输方案，使运输所需的总费用最少， 就是运输问题的模型需要解决的问题。
25
调 运
销地 量 B1
B2 90 150
X12
B3 70 100
X13
产量 200 250
产地
50
A1
X11
A2
销 量
50 80 X21
65
X22
200 75
X23
100
150
200
450
26
注：
能够作为表上作业法的基可行解的必要条件是
1. 基变量的个数为m+n-1个； 2. 在基可行解中不存在以非零元素为顶点的闭回 路。
5. 所有约束条件都是等式约束；
6. 各产地产量之和等于各销地销量之足所有约束条件
2. 基变量对应的约束方程组的系数列向量线性 无关。
3. 解中非零变量的个数≤m+n-1个 4. 为使迭代顺利进行，基变量的个数在进行迭 代过程中保持为m+n-1个 5. 将基可行解中基变量的值填入运输表中，非 基变量对应的格不填入数字，称为空格。
第5章 运输模型
• [深层次]对任意产销平衡的运输模型来说，其系数阵的 前m行之和等于后n行之和。
意味着？
• 可以证明：平衡模型的系数阵和增广阵的秩均 为m+n-1，这也意味着平衡模型的基本可行解 所含基变量的个数必为m+n-1个。
• 【结论】
m+n-1
5.2 表上作业法
• 【讨论】上述运输问题所建立的LP模型如果用传统的 单纯形法进行求解会出现什么情况？
• 【基本步骤】 1）确定初始方案； 2）对初始方案进行最优性检验； 3）调整、改进非最优方案； 4）直至得到最优方案（惟一方案或多重方案）
确定初始方案 （初始基本可 行解）
判断是 否最优
是 输出最优方案
否
改进调整 （换基迭代）
结果
运输问题求解思路
5.2.1 初始方案的确定
确定初始方案的方法有很多，原理各不相同 —— • 左上角法（西北角法、阶梯法）
A2
7
5
8
4
2
A3
3+
2-
9
0
3
7
销量
2
3
1
4
产量 5 2 3
x12 进基 最小调整量为2，即t=2， x11 离基
销地 产地
B1
A1
6
A2
7
B2
3 2
5
A3 销量
3
2
2
1
2
3
B3 2
1 8 9
1
B4 5
2 4
2 7
4
产量 5 2 3
调整后新方案：x12=2,x13=1,x14=2,x24=2,x31=2,x32=1，Z=34
n
xij ai
意味着？
• 可以证明：平衡模型的系数阵和增广阵的秩均 为m+n-1，这也意味着平衡模型的基本可行解 所含基变量的个数必为m+n-1个。
• 【结论】
m+n-1
5.2 表上作业法
• 【讨论】上述运输问题所建立的LP模型如果用传统的 单纯形法进行求解会出现什么情况？
• 【基本步骤】 1）确定初始方案； 2）对初始方案进行最优性检验； 3）调整、改进非最优方案； 4）直至得到最优方案（惟一方案或多重方案）
确定初始方案 （初始基本可 行解）
判断是 否最优
是 输出最优方案
否
改进调整 （换基迭代）
结果
运输问题求解思路
5.2.1 初始方案的确定
确定初始方案的方法有很多，原理各不相同 —— • 左上角法（西北角法、阶梯法）
A2
7
5
8
4
2
A3
3+
2-
9
0
3
7
销量
2
3
1
4
产量 5 2 3
x12 进基 最小调整量为2，即t=2， x11 离基
销地 产地
B1
A1
6
A2
7
B2
3 2
5
A3 销量
3
2
2
1
2
3
B3 2
1 8 9
1
B4 5
2 4
2 7
4
产量 5 2 3
调整后新方案：x12=2,x13=1,x14=2,x24=2,x31=2,x32=1，Z=34
n
xij ai
运输问题—数学模型及其解法
闭合回路中标有“”的基变量同时有多个达到最小 变换后，有多个原基变量变为 0，选运费最大者为出变量，其
余保留在新的基础解中 退化较严重时，可能会出现多次迭代只有值为 0 的基变量在
转移。此时，一要耐心，二要正确选择出变量
踏石法迭代中需注意的问题：
1、错误地将分配表中基变量的解代入到运费表中 2、不能正确画闭合回路 3、初始解退化，未能补足基变量的个数。因此在位势法中 多次令某个 ui 或 vj 为 0； 4、在位势法中只能令一个 ui 或 vj 为 0；若不能求出全部 ui 和 vj ，说明基变量未选够数或未选对
3.3.3 关于退化问题
1、初始解退化。即所求初始基变量的个数少于 m+n1。必须
补足基变量的个数，否则不能正常解出 m+n个 ui 和 vj
所补基变量的值为 0 ，补充的原则：(1)尽量先选运费小的实变量；
(2)补充后不能有某个基变量独占一行一列
12
3.3.3 关于退化问题
2、迭代过程中出现退化
❖ 共有m+n1个基变量xij ，因此可得m+n1个等式 ui+vj=wij ❖ m+n1个等式只能解出 m+n1个 ui 和 vj ，而一共有m+n
个 ui 和 vj ，但可令任一个ui 或 vj =0，从而解出其它 m+n1个的值；这就是位势法 ❖ 令 zij= ui + vj ，其相当原问题xij的机会费用 ❖ 若对所有非基变量有 zij wij 0，即 ui + vj wij，表明当 前ui 和 vj 是对偶问题的可行解，由互补松弛定理可知当前 m+n1个基变量xij 是最优解，否则 ❖ 从 zij wij > 0 中找最大者，对应 xij 就是入变量
余保留在新的基础解中 退化较严重时，可能会出现多次迭代只有值为 0 的基变量在
转移。此时，一要耐心，二要正确选择出变量
踏石法迭代中需注意的问题：
1、错误地将分配表中基变量的解代入到运费表中 2、不能正确画闭合回路 3、初始解退化，未能补足基变量的个数。因此在位势法中 多次令某个 ui 或 vj 为 0； 4、在位势法中只能令一个 ui 或 vj 为 0；若不能求出全部 ui 和 vj ，说明基变量未选够数或未选对
3.3.3 关于退化问题
1、初始解退化。即所求初始基变量的个数少于 m+n1。必须
补足基变量的个数，否则不能正常解出 m+n个 ui 和 vj
所补基变量的值为 0 ，补充的原则：(1)尽量先选运费小的实变量；
(2)补充后不能有某个基变量独占一行一列
12
3.3.3 关于退化问题
2、迭代过程中出现退化
❖ 共有m+n1个基变量xij ，因此可得m+n1个等式 ui+vj=wij ❖ m+n1个等式只能解出 m+n1个 ui 和 vj ，而一共有m+n
个 ui 和 vj ，但可令任一个ui 或 vj =0，从而解出其它 m+n1个的值；这就是位势法 ❖ 令 zij= ui + vj ，其相当原问题xij的机会费用 ❖ 若对所有非基变量有 zij wij 0，即 ui + vj wij，表明当 前ui 和 vj 是对偶问题的可行解，由互补松弛定理可知当前 m+n1个基变量xij 是最优解，否则 ❖ 从 zij wij > 0 中找最大者，对应 xij 就是入变量
运输问题的数学模型
运输问题的数学模型
运输问题是指将一定数量的物资从一个地点运输到另一个地点，
在实现最优运输方案的过程中，可能途径多个中间节点。
由于数据可
能很庞大，特别是考虑到影响运输成本的一系列不确定因素，因此，
将运输问题的解决变成一个数学优化模型就显得尤为重要。
数学优化模型是一种描述和尝试求解优化问题的表达型语言，其
中包括一系列变量、目标函数和约束。
根据优化原理，通常优化模型
可以定义为如下公式：
min/max f(x)
s.t. g(x,y) = 0
h(x,y) ≥ 0
其中，f(x)是目标函数，用来描述给定的优化问题的目标；g(x,y) = 0和h(x,y) ≥ 0分别是约束函数，用来限制优化变量的取值，以达到问题的最优解。
运输问题的数学模型包括以下三个部分：
首先，定义运输问题的优化变量。
一般来说，优化变量包括运输量、源点到各中间节点的运输量以及中间节点到收货站的运输量。
其次，描述给定优化变量的目标函数，也就是运输成本最低的最
优化目标，也称为最低成本目标函数：
Minimize Sum[i=1->n] (c(i,j)xij)
其中，c(i,j)是从源点i到收货点j的运输单价，xij是从源点i
到收货点j的运输量。
最后，定义运输问题的限制条件，比如发货量不能大于源点库存；收货量不能大于收货点需求；各中间节点运输出量不能大于运输入量，即xij-xji≥0。
由以上确定的运输问题数学模型，就可以通过解析或者随机算法
等方法进行优化，以获得最优运输解决方案，尽可能地降低运输成本。
第六讲_运输问题(1)
2. 在伏格尔法中，若出现两个或者以上相同差额时，可任意选
取其中一个先进行调运。 3. 用最小元素法和伏格尔法给出的初始调运方案均为运输问题 的一个基可行解。 4. 一般情况下，伏格尔法给出的初始基可行解比用最小元素法 给出的初始基可行解更接近最优解。
最优解的判别
回顾利用单纯形法求解线性规划的步骤： 在求出基可行解以后，就必须检验该基可行解是否为最优解， 为此给出一个检验标准。在求极大化的线性规划时，若初始基可行 解所有非基变量检验数
例1 某公司经销甲产品。下设三个加工厂Ａ1，Ａ2，Ａ3，每天 把产品分别运往四个销地Ｂ1，Ｂ2，Ｂ3，Ｂ4。各加工厂的日产 量，各销地的日销量以及从各加工厂运送单位产品至各销售地 的运价如下表：
单位：千元/吨
销地
产地
B1
3
B2
11
B3
3
B4
10
日产量 （吨）
A1
7
A2 A3
日销量 （吨）
1 7 3
9 4 6
日销量 罚金成本
7
4 9 -6
0
1 1
7
3 2
6 6
4
5 1
10
6 3
5
①
5
伏格尔法(3)
②对未划去的单位运价再分别计算各行(列)的罚金成本。再从所有 的罚金成本中找出最高值。选择它所在行(列)的最低运价。确定第 二笔供销关系。
销售地
加工厂
B1
3 1
B2
11 9
B3
3 2ห้องสมุดไป่ตู้
B4
10 8
日产量
罚金成本
B1
3 1
B2
11 9 4
B3
3 2 10
取其中一个先进行调运。 3. 用最小元素法和伏格尔法给出的初始调运方案均为运输问题 的一个基可行解。 4. 一般情况下，伏格尔法给出的初始基可行解比用最小元素法 给出的初始基可行解更接近最优解。
最优解的判别
回顾利用单纯形法求解线性规划的步骤： 在求出基可行解以后，就必须检验该基可行解是否为最优解， 为此给出一个检验标准。在求极大化的线性规划时，若初始基可行 解所有非基变量检验数
例1 某公司经销甲产品。下设三个加工厂Ａ1，Ａ2，Ａ3，每天 把产品分别运往四个销地Ｂ1，Ｂ2，Ｂ3，Ｂ4。各加工厂的日产 量，各销地的日销量以及从各加工厂运送单位产品至各销售地 的运价如下表：
单位：千元/吨
销地
产地
B1
3
B2
11
B3
3
B4
10
日产量 （吨）
A1
7
A2 A3
日销量 （吨）
1 7 3
9 4 6
日销量 罚金成本
7
4 9 -6
0
1 1
7
3 2
6 6
4
5 1
10
6 3
5
①
5
伏格尔法(3)
②对未划去的单位运价再分别计算各行(列)的罚金成本。再从所有 的罚金成本中找出最高值。选择它所在行(列)的最低运价。确定第 二笔供销关系。
销售地
加工厂
B1
3 1
B2
11 9
B3
3 2ห้องสมุดไป่ตู้
B4
10 8
日产量
罚金成本
B1
3 1
B2
11 9 4
B3
3 2 10
管理运筹学 第7章——运输问题
1 月份 2 月份 3 月份 4 月份 5 月份 6 月份
已知上年末库存103台绣花机，如果当月生产出来的机器当月不交货，则需要运 到分厂库房，每台增加运输成本0.1万元,每台机器每月的平均仓储费、维护费为 0.2万元。 在7-8月份销售淡季，全厂停产1个月，因此在6月份完成销售合同后还要留出库 存80台。加班生产机器每台增加成本1万元。 问应如何安排1-6月份的生产，可使总的生产费用（包括成本、仓储、维护）最 少？
7.1 运输规划问题的数学模型
产销不平衡的运输问题
例4. 由于需大于供，经院研究决定一区供应量可减少0~300吨，二区必须满足需
求量，三区供应量不少于1500吨，试求总费用为最低的调运方案（P131E4）。
山西盂县 河北临城 需要量 一区 1.80 1.60 3000 二区 1.70 1.50 1000 三区 1.55 1.75 2000 产量 4000 1500
例6. 解： 设 xij为第 i 季度生产的第 j 季度交货的柴油机数目：
把第 i 季度生产的柴油机数目看作第 i 个生产厂的产量；把第 j 季度交货 的柴油机数目看作第 j 个销售点的销量；成本加储存、维护等费用看作 运费。可构造下列产销平衡问题（P134E6）： 目标函数：Min f = 10.8 x11 +10.95 x12 +11.1 x13 +11.25 x14 +11.1 x22 + 11.25 x23 +11.4 x24 +11.0 x33 +11.15 x34 +11.3 x44
例6. 解： 设 xij为第 i 季度生产的第 j 季度交货的柴油机数目：
生产：x11 + x12 + x13 + x14 ≤ 25 x22 + x23 + x24 ≤ 35 x33 + x34 ≤ 30 x44 ≤ 10
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例1最小元素法
初始调运方案
( 初始基可行解 )
销地 产地
B1
3
B2
11 9
B3
B4
3 2
产量
10 8
A1 A2 3
4
1
3
7 3 4 1
9 3
1
A3
销量 3
7
6 6
4
10
3
5
5
4
6 3 86 元
例1最小元素法
初始调运方案
( 初始基可行解 )
基变量取值， 0 也是取值
销地 产地
空格为非基变量 B4
3 2
Am 销量
… x 21 x 22 … … . … . . . . . . . .
x 2n … . . .
xm
n
x m1 b1
c m1
x m2
c m2
…
…
…
c mn
b2
bn
产销平衡运输问题数学模型
Q= ∑ ai = ∑bj
i=1 j=1
m
n
min Z = ∑ ∑ c i j x i j
j=1 m i=1
3
7 4
9
1
A3
销量 3
7
6 6
4
10
3 6
5
5
检验数8-2+3-10= -1，需调整
86 元
例1
初始调运方案
( 初始基可行解 )
从空格出发沿封闭回路前进, 顺时逆时均可. ＋－＋－， min(3,1)=1
销地 产地
B1
3
B2
11 9
B3
B4
3 2
产量
10 8 5
A1 A2 3
5
2
1 3 6
7 4
B1
3
B2
11 9
B3
产量
10 8
A1 A2 3
4
1
3
7 4
9
1
A3
销量 3
7
6 6
4
10
3 6
5
5
86 元
例1沃格尔(Vogel)法
销地 产地
( 初始基可行解 )
A1
A2
A3 销量 列 1 2 罚 3 4 数 5
行罚数 B1 B2 B3 B 4 产量 1 2 3 4 5 3 11 3 10 0 0 0 7 0 5 2 7 2 1 9 2 8 1 1 1 1 6 0 4 3 1 7 4 10 5 6 3 3 9 1 2 3 6 5 2 3 6 20 2 5 1 3 两最小元素之差 2 1 3 2 1 2 1 2 2 两最小元素之差
0
3 9 3
2
2 6 9
第一节 运输问题的典例和数学模型
例1
三产地四销地, 同类可互换产品，单位运价(元/ t ), 如何调运，运费最少？
销地 产地
B1 x 11 x 21
3 1
B2
B3
11 9
B4
3 2
产量
10 8 5
A1
A2
x 12
x 22
x 13
x 23
x 14
x 24
7 4
9
A3
销量
x 31
3
7
x 32
6
4
x 33
x i j ≥ 0, ( i = 1, 2, 3 ; j = 1, 2, 3, 4 )
第一节 运输问题及其数学模型 一 、运输问题数学模型
产地 销地
B1
A1
x 11
c 11
c 21
B2 x 12
…
c 12
c 22
Bn x 1n
产量 a1 a2 . . .
am
…
… …
c 1n
c 2n
A2 . . .
二 解的最优性检验-闭回路法1 由一个空格和若干个有数字的水平和垂直连线包围成的
封闭回路。
此空格为入基变量。
例1闭回路法调整 ＋－＋－，
销地 产地
非基变量（空格）的检验数 min(3,1)=1
从空格出发沿封闭回路前进, 顺时逆时均可.
B1
3
B2
11 9
B3
B4
3 2
产量
10 8
A1 A2 3
4
1
二、解的最优性检验 - 位势法
找出非基变量的检验数为负空格的闭回路 调整量：min(3, 1)=1
销地 产地
B1
B2
3 1
B3
11ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ9
B4
3 2
ui
10 8 5
A1 A2 3
1
2
1 6 9
4
1 12 3
3
-1 3 10
0 -1
-5
A3
vj
10 2
7
4
10
86 元
二、解的最优性检验 - 位势法
找出非基变量的检验数为负空格的闭回路 调整量：min(3, 1)=1
…
x mn
m 个
1
1 … 1 1
1 … 1
..
1
1
1
..
1
1 … 1
.
1 … 1 1
1 1 … 1 第i个 第(m+ j)个 A i j = ( 0, … , 0, 1, 0, … , 0, 1, … , 0 )
.
..
.
… .
..
..
.
n 个
§2 表上作业法
(1)找出初始基可行解
(2)求各非基变量的检验数 (3)确定换入变量和换出变量 (4)重复(2),(3)步，直到求得最优解为止
∴运输问题的 基本可行解 有 m+n-1 个分量
二、运输问题数学模型的特点
前m个之和等于后n个之和 1. 运输问题有有限最优解 m+n个方程中只有m+n-1个方程是独立的,
2. ∴ 运输问题约束条件的系数矩阵 运输问题的 基本可行解 有 m+n-1 个分量. … x x11 x12 … x1n x 21 x22 … x2n m1 xm2
x 11 +x12 + x13 + x14 = 7 x 21 +x22 + x23 + x24 = 4
x 31 +x32 + x33 + x34 = 9
x11 + x21 + x31 = 3 x12 + x22 + x32 = 6 x13 + x23 + x33 = 5 x14 + x24 + x34 = 6
销地 产地
B1
3
B2
11 9
B3
B4
3 2
ui
10 8 5
A1 A2 3
45
1
3 2
1 3 10
0 -2
-5
1
A3
vj 3
7
6 9
4
10
3 85元
86 元
二、解的最优性检验 - 位势法
非基变量的检验数无负值，最优方案！ 最优解不唯一
销地 产地
B1
B2
3 1
B3
11 9
B4
3 2
ui
10 8 5
A1 A2
5
10
x 34
6
min Z = ∑ ∑ c i j x i j
i=1 j=1
3
4
= 3 x11 + 11 x12 + 3 x13 + 10 x 14 + x 21 + 9x22 + 2 x23 + 8x24 + 7 x 31 + 4 x32 + 10 x33 + 5 x34
数学模型
s .t .
m
n
∑ x ij = a i ,
n
i=1 j=1
平衡 (产=销)
( i = 1, 2, … , m )
∑ x ij = b j ,
( j = 1, 2, … , n )
x i j ≥ 0 , ( i=1, 2, … , m; j=1, 2, …, n ) m+n个方程中只有m+n-1个方程是独立的,
9
1
A3
销量 3
7
6 6
4
10
5
85元
86 元
二、解的最优性检验 - 位势法2
基变量的检验数为 0 7个变量6个方程需补充一个方程
销地 产地
u1=0
B1
B2
3 1
B3
11 9
B4
3 2
ui
10 8 5
A1 A2 3
1
2
1 6 9
4
1 12 3
3
-1 3 10
0 -1
-5
A3
vj
10 2
7
4
10
86 元