运输问题及其数学模型

…
x mn
m 个
1
1 … 1 1
1 … 1
..
1
1
1
..
1
1 … 1
.
1 … 1 1
1 1 … 1 第i个 第(m+ j)个 A i j = ( 0, … , 0, 1, 0, … , 0, 1, … , 0 )
.
..
.
… .
..
..
.
n 个
§2 表上作业法
(1)找出初始基可行解
(2)求各非基变量的检验数 (3)确定换入变量和换出变量 (4)重复(2),(3)步，直到求得最优解为止
例1最小元素法
初始调运方案
( 初始基可行解 )
销地 产地
B1
3
B2
11 9
B3
B4
3 2
产量
10 8
A1 A2 3
4
1
3
7 3 4 1
9 3
1
A3
销量 3
7
6 6
4
10
3
5
5
4
6 3 86 元
例1最小元素法
初始调运方案
( 初始基可行解 )
基变量取值， 0 也是取值
销地 产地
空格为非基变量 B4
3 2
二 解的最优性检验-闭回路法1 由一个空格和若干个有数字的水平和垂直连线包围成的
封闭回路。
此空格为入基变量。
例1闭回路法调整 ＋－＋－，
销地 产地
非基变量（空格）的检验数 min(3,1)=1
从空格出发沿封闭回路前进, 顺时逆时均可.
B1
3
B2
11 9
B3
B4
3 2
产量
10 8
A1 A2 3
4
1
B1
3
B2
11 9
B3
产量
10 8
A1 A2 3
4
1
3
7 4
9
1
A3
销量 3
7
6 6
4
10
3 6
5
5
86 元
例1沃格尔(Vogel)法
销地 产地
( 初始基可行解 )
A1
A2
A3 销量 列 1 2 罚 3 4 数 5
行罚数 B1 B2 B3 B 4 产量 1 2 3 4 5 3 11 3 10 0 0 0 7 0 5 2 7 2 1 9 2 8 1 1 1 1 6 0 4 3 1 7 4 10 5 6 3 3 9 1 2 3 6 5 2 3 6 20 2 5 1 3 两最小元素之差 2 1 3 2 1 2 1 2 2 两最小元素之差
5
10
x 34
6
min Z = ∑ ∑ c i j x i j
i=1 j=1
3
4
= 3 x11 + 11 x12 + 3 x13 + 10 x 14 + x 21 + 9x22 + 2 x23 + 8x24 + 7 x 31 + 4 x32 + 10 x33 + 5 x34
数学模型
s .t .
0
3 9 3
2
2 6 9
Am 销量
… x 21 x 22 … … . … . . . . . . . .
x 2n … . . .
xm
n
x m1 b1
c m1
x m2
c m2
…
…
…
c mn
b2
bn
产销平衡运输问题数学模型
Q= ∑ ai = ∑bj
i=1 j=1
m
n
min Z = ∑ ∑ c i j x i j
j=1 m i=1
第一节 运输问题的典例和数学模型
例1
三产地四销地, 同类可互换产品，单位运价(元/ t ), 如何调运，运费最少？
销地 产地
B1 x 11 x 21
3 1
B2
B3
11 9
B4
3 2
产量
10 8 5
A1
A2
x 12
x 22
x 13
x 23
x 14
x 24
7 4
9
A3
销量
x 31
3
7
x 32
6
4
x 33
x i j ≥ 0, ( i = 1, 2, 3 ; j = 1, 2, 3, 4 )
第一节 运输问题及其数学模型 一 、运输问题数学模型
产地 销地
B1
A1
x 11
c 11
c 21
B2 x 12
…
c 12
c 22
Bn x 1n
产量 a1 a2 . . .
am
…
… …
c 1n
c 2n
A2 . . .
x 11 +x12 + x13 + x14 = 7 x 21 +x22 + x23 + x24 = 4
x 31 +x32 + x33 + x34 = 9
x11 + x21 + x31 = 3 x12 + x22 + x32 = 6 x13 + x23 + x33 = 5 x14 + x24 + x34 = 6
9
1
A3
销量 3
7
6 6
4
10
5
85元
86 元
二、解的最优性检验 - 位势法2
基变量的检验数为 0 7个变量6个方程需补充一个方程
销地 产地
u1=0
B1
B2
3 1
B3
11 9
B4
3 2
ui
10 8 5
A1 A2 3
1
2
1 6 9
4
1 12 3
3
-1 3 10
0 -1
-5
A3
vj
10 2
7
4
10
86 元
m
n
∑ x ij = a i ,
n
i=1 j=1
平衡 (产=销)
( i = 1, 2, … , m )
∑ x ij = b j ,
( j = 1, 2, … , n )
x i j ≥ 0 , ( i=1, 2, … , m; j=1, 2, …, n ) m+n个方程中只有m+n-1个方程是独立的,
3
7 4
9
1
A3
销量 3
7
6 6
4
10
3 6
5
5
检验数8-2+3-10= -1，需调整
86 元
例1
初始调运方案
( 初始基可行解 )
从空格出发沿封闭回路前进, 顺时逆时均可. ＋－＋－， min(3,1)=1
销地 产地
B1
3
B2
11 9
B3
B4
3 2
产量
10 8 5
A1 A2 3
5
2
1 3 6
7 4
二、解的最优性检验 - 位势法
找出非基变量的检验数为负空格的闭回路 调整量：min(3, 1)=1
销地 产地
B1
B2
3 1
B3
11 9
B4
3 2
ui
10 8 5
A1 A2 3
1
2
1 6 9
4
1 12 3
3
-1 3 10
0 -1
-5
A3
vj
10 2
7
4
10
86 元
二、解的最优性检验 - 位势法
找出非基变量的检验数为负空格的闭回路 调整量：min(3, 1)=1
∴运输问题的 基本可行解 有 m+n-1 个分量
二、运输问题数学Hale Waihona Puke Baidu型的特点
前m个之和等于后n个之和 1. 运输问题有有限最优解 m+n个方程中只有m+n-1个方程是独立的,
2. ∴ 运输问题约束条件的系数矩阵 运输问题的 基本可行解 有 m+n-1 个分量. … x x11 x12 … x1n x 21 x22 … x2n m1 xm2
销地 产地
B1
3
B2
11 9
B3
B4
3 2
ui
10 8 5
A1 A2 3
45
1
3 2
1 3 10
0 -2
-5
1
A3
vj 3
7
6 9
4
10
3 85元
86 元
二、解的最优性检验 - 位势法
非基变量的检验数无负值，最优方案！ 最优解不唯一
销地 产地
B1
B2
3 1
B3
11 9
B4
3 2
ui
10 8 5
A1 A2