随机变量函数及其分布
随机变量及其分布函数
随机变量及其分布函数将随机事件以数量来标识，即用随机变量描述随机现象的研究方法，它是定义在样本空间上具有某种可预测性的实值函数。
分布函数则完整的表述了随机变量。
一、 随机变量与分布函数(1) 随机变量：取值依赖于某个随机试验的结果（样本空间），并随着试验结果不同而变化的变量，称之为随机变量。
分布函数：[1] 定义：设X 是一个随机变量，对任意实数x ，记作(){}F x P X x ≤=，称()F x 为随机变量X 的分布函数，又称随机变量X 服从分布()F x ，显然，函数()F x 的定义域为(),-∞+∞，值域为[0,1]。
[2] 性质：❶()F x 单调非降。
❷()0F -∞=、()1F +∞=。
❸()(0)F x F x =+，即()F x 一定是右连续的。
❹对于任意两个实数a b <，{}()()P a X b F b F a <≤=-❺对于任意实数0x ，000{}()()P X x F x F x ==-- ❻000{}1{}1()P X x P X x F x >=-≤=- ❼000{}{)lim }(x x P X x P X x x F →-=≤<=-❽000{}1{}1()P X x P X x F x ≥=-<=-- 二、 离散型随机变量与连续型随机变量(1) 离散型随机变量[1] 概念：设X 是一个随机变量，如果X 的取值是有限个或者无穷可列个，则称X 为离散型随机变量。
其相应的概率()i i P X x p ==(12)i =、……称为X 的概率分布或分布律，表格表示形式如下：[2] 性质：❶0i p ≥❷11nii p==∑❸分布函数()i i x xF x p ==∑❹1{}()()i i i P Xx F x F x -==-(2) 连续型随机变量[1] 概念：如果对于随机变量的分布函数()F x ，存在非负的函数 ()f x ，使得对于任意实数x ，均有：()()xF x f x d x-∞=⎰则称X 为连续型随机变量，()f x 称为概率密度函数或者密度函数。
第二章随机变量及其分布函数
28
例2.2.9 设在时间t分钟内通过某交叉路口的汽车 数服从参数与t成正比的泊松分布. 已知在一分钟内 没有汽车通过的概率为0.2，求在2分钟内多于一辆 车通过的概率.
S={红色、白色} ?
将 S 数量化
非数量 可采用下列方法
X ()
红色 白色
S
1 0R
3
即有 X (红色)=1 , X (白色)=0.
1, 红色, X () 0, 白色.
这样便将非数量的 S={红色，白色} 数量化了.
4
实例2 抛掷骰子,观察出现的点数.
则有
S={1，2，3，4，5，6} 样本点本身就是数量 X () 恒等变换
20
泊松分布是一个非常常用的分布律，它常与 单位时间、单位面积等上的计数过程相联系. 例如一小时内来到某百货公司中顾客数、单位 时间内某电话交换机接到的呼唤次数和布匹 上单位面积的疵点数等随机现象都可以用泊
松分布来描述. 附表 2 给出了不同 值对应的
泊松分布函数的值.
21
泊松分布的取值规律
记 P(k; ) k e ，则
P
1 2
X
5
2
P(X
1 X
2)
P(X 1) P(X 2) 5
9
12
例 2.2.2 一只口袋中有 m 只白球， n m 只黑球.连 续无放回地从这口袋中取球，直到取出黑球为止．设 此时取出了 X 只白球，求 X 的分布律.
解 X 的可能取值为 0,1,2,, m ，且事件{X i}意 味着总共取了 i+1 次球，其中最后一次取的是黑球而 前面 i 次取得都是白球.
或 X ~ Bn, p.
二项分布的背景是伯努利试验：如果每次试验中事 件A发生的概率均为p，则在n重伯努利试验中A发生 的次数服从参数为n,p的二项分布。
第四章 随机变量及其分布
第一节 随机变量及其分布函数
一、 随机变量的概念
1、含义：用来表示随机现象结果的变量。 ①样本点本身是用数量表示的； T ②样本点本身不是用数量表示的。 H 总之，不管随机试验的结果是否具有数量的性 质，都可以建立一个样本空间和实数空间的对 应关系，使之与数值发生联系，用随机变量的 取值来表示事件。 2、定义：定义在样本空间Ω＝｛ω｝上的实值 函数X＝X(ω)称为随机变量，常用大写英文字 母或小写希腊字母来表示，相应地，用小写英 文字母表示其取值。
为了方便地表示随机事件的概率及其运算，我 们引入了分布函数的概念。
定义：设X 是一随机变量，对x R,
称F ( x ) P ( X x )为随机变量X的分布函数；
并称X 服从分布F ( x )，记为X ~ F ( x ).
注：（1）分布函数表示的是随机事件的概率。 （2）分布函数与微积分中的函数没有区别。
P ( X 0) F (0) F (0 0) 0.8 0.3 0.5 P ( X 1) F (1) F (1 0) 1 0.8 0.2
X P
1 0.3
0 0.5
1 0.2
思考：X还能取 到其他数值吗？
例4 一汽车沿一街道行驶，需要经过三个设有红绿信号 灯的路口，且信号灯的工作相互独立，以X表示汽车首 次遇到红灯已通过的路口数，求X的概率分布列。 解：记Ai—汽车在第i个路口遇到红灯，i＝1，2，3. 1 P ( Ai ) P ( Ai ) , 且A1 , A2 , A3相互独立. 2 X的可能取值为 0, 1, 2, 3.
共有10个不同的样本点
记X表示“空格个数”，则有
X ( ) 2
X ( ) 1 X ( ) 0
随机变量及其分布
f ( x) lim
x 0
xLeabharlann x xlim P{x X x x} lim x
f (x)dx .
x 0
x
x 0
x
故 X的密度 f(x) 在 x 这一点的值，恰好是 X落在区间 (x,x+△x] 上的概率与区间长度 △x之比的极限. 这里，如果把概率理解为质 量， f (x)相当于线密度.
f (x)
a
ba
当x b时，
x
a
b
x
F (x) f (t)dt f (t)dt f (t)dt f (t)dt 1.
a
b
因此X ～ U(a, b)的分布函数为：
0
F ( x)
P( X
x)
x b
a
a 1
xa a xb
xb
例1 长途汽车起点站于每时的10分、25分、55分发
车，设乘客不知发车时间，于每小时的任意时刻随
解: 设X表示400次独立射击中命中的次数，则
X～B(400, 0.02)，故 P{X2}＝1－ P{X＝0}－P {X＝1} ＝1－0.98400－(400)(0.02)(0.98399) ＝0.9972
例5 设有80台同类型设备,各台工作是相互独立的, 发生故障的概率都是0.01, 且一台设备的故障只能 由一个人处理. 考虑两种配备维修工人的方法,其一 是由4人维护,每人负责20台;其二是由3人共同维护 30台.试比较这两种方法在设备发生故障时不能及 时维修的概率大小.
称A为几乎不可能事件，B为几乎必然事件.
(4) 若x是f(x)的连续点，则 dF(x) F(x) f (x)
dx
设随机变量X的分布函数
F
随机变量及其分布函数
随机变量及其分布函数随机变量是描述随机事件的数学工具，它将随机事件映射到实数上。
我们可以将随机变量理解为一个函数，它将样本空间上的随机事件转化为一个实数。
随机变量的取值通常用大写字母来表示，例如X、Y、Z等，并且随机变量的取值可以是有限个或无限个。
随机变量的分布函数一个随机变量有着不同取值的可能性，而这些可能性可以用概率来描述。
针对一个随机变量而言，其取值在不同的范围内所对应的概率，就被称为该随机变量的分布函数。
分布函数通常用F(x)来表示，其中F是函数符号，x是随机变量的取值。
对于一个随机变量X，其分布函数定义为：F(x) = P(X≤x)其中P(X≤x)指的是随机变量X小于或等于x的概率。
因此，对于小于或等于x的所有可能取值，X的分布函数F(x)均可以计算出来。
随机变量的类型随机变量可以分为两类：离散随机变量和连续随机变量。
离散随机变量离散随机变量是只能取某些特定离散值的随机变量，它们通常意味着某个事件只能发生某些确定的次数。
例如，抛掷一颗骰子的结果就是一个典型的离散随机变量，因为其可能取的值只有1、2、3、4、5、6六种可能。
对于某个离散随机变量而言，它的分布函数是一个阶梯函数，在每个离散值处有一个跳跃，即：F(x) = P(X≤x) = ΣP(X=i)，i≤x其中ΣP(X=i)表示随机变量取i的概率，i≤x表示X取i的所有取值小于或等于x。
例如，对于一个只能取0或1的离散随机变量X，其分布函数F(x)可以表示为：F(x) = P(X≤0) + P(X=1) = P(X=0) + P(X=1)其中P(X=0)和P(X=1)表示X取0和1的概率，因此：F(0) = P(X=0)F(1) = P(X=0)+P(X=1)连续随机变量连续随机变量是指可以取到任意实数值的随机变量，通常用于描述某个事件的结果可以连续变化的场景。
例如，衡量人的身高或体重就是一种典型的连续随机变量。
对于某个连续随机变量而言，由于它可以取到任意实数值，因此其分布函数也是一个连续函数。
第3.3节随机变量的函数及其分布(new)
pη ( y ) = ∫ p1 ( x) p2 ( y − x)dx
+∞
因此我们有如下定理： 定理：若 ξ1，ξ 2 相互独立，且有密度函 数， 则ξ1 + ξ 2也有密度函数，并且其 密度函数为 ξ1 与ξ 2密度函数的卷积。
例 设随机变数 ξ ， η 独立，同服从 λ = 1的 指数分布，求 ξ + η 的密度函数。 解： ξ + η 的密度函数为 pξ+η ( y ) =
Fη ( y ) = P {η < y} = z1 = x1 令 z 2 = x1 + x 2 上式 = = (∫ ,则
2 x1 + x 2 < y
∫∫
p ( x 1 , x 2 ) dx 1 dx
2
∫ ∫
−∞ +∞ −∞
+∞
y −∞
p ( z 1 , z 2 − z 1 ) dz 1 dz
i =0 k
= ∑ P{ξ = i}P{η = k − i} = ∑ C p q C
i =0 i =0 i n i n −i
k
k
k −i m
p q
k −i
m− k +i
=p q
k
n+ m−k
∑C C
i =0 i n
k
k −i m
=C
k n+m
p q
k
n + m−k
, k = 0,L, n + m
则ξ + η ~ B(n + m, p)
故η的密度函数为 1 p( y) = F′( y) = 2 π(1+ y )
例2的解
第六章 随机变量的函数及其分布
FY ( y) 0
y y y 1 dx y , 0 y 1 f X ( x)dx 0 1, 其他
当y≥0时,P(X2≤y)= FY ( y) 于是Y分布函数为
y
-
p ( x)dx p ( x)dx
x - x
பைடு நூலகம் y
再由分布函数求概率密度
6.1 一维随机变量的函数及其分布
二、连续型随机变量
p
Y
( y ) F 'Y ( y )
p
x
( y )( y )'
p
x
( y )( y )'
ye y 2 1 1 ,y0 ( y ) 3 e ( y ) 0 2 2 y 2 y 0, y 0 y 3 当Y 2 X 3时有y 2 x 3 x , 2 3 2 ) y 3 3 ( y2 y 3 y 3 2 ( ) e ( )', y 3 ( y ) ( y ) ( x ) dx ' pY 2 p x 2 F 'Y 0, y 3
P(Y=-1)= P(X<10)
P(Y=20)= P(10≤X≤12
12 11 10 11 Φ( ) Φ ( ) 1 1 Φ (1) Φ (1) 0.68
综合得Y的分布律为
Y -5 p 0.16
-1 20 0.16 0.68
6.1 一维随机变量的函数及其分布
二、连续型随机变量
3 2 ) 1 y 3 3 ( y2 ) e ，y 3 ( 2 2 0, y 3
概率论 随机变量的函数及其分布
p X [ f 1 ( y )] [ f 1 ( y )] , 0 y , pY ( y ) 其他 . 0，
1 [ f 1 ( y )] , 0 f 1 ( y ) 1, 其他 . 0, 1 1 , 0 ln y 1, y 其他 . 0, 1 , 1 y e, y 0, 其他 .
证 F ( x )是分布函数
0 F ( x ) 1, 且F ( x )单调不减
依题意， 又知 F ( x )严格单调增加
故 y R,
FY ( y ) P{Y y } P { F ( X ) y }
FY ( y ) P{Y y } P{ F ( X ) y } y 0, P ( ), P{ F ( X ) y }, 0 y 1, P ( ), y 1. y 0, 0, P{ X F 1 ( y )}, 0 y 1, 1, y 1.
且恒有f ( x ) 0(或恒有f ( x ) 0), 则Y f ( X )是连
续型随机变量，其概率 密度为
p X [ f 1 ( y )] [ f 1 ( y )] , y , pY ( y ) 0, 其它. 其中 f 1 ( y ) 是 f ( x ) 的反函数, ( , )是f 1 ( y )的定义域，
y 0, 0, 0, 0 y 1, FY ( y ) ln y , 1 y e, y e. 1,
从而
d FY ( y ) pY ( y ) dy
1 , 1 y e, y 0, 其他 .
例6 设圆的直径服从区间(0,1)上的均匀分布
高等数学3.3 随机变量及其函数分布
, ,
1 y 1 其它
例3.4 设二维随机变量(X , Y)具有密度函数
2e (2 x + y ) , f ( x, y ) = 0 , 求概率 P{Y ≤X} .
x 0, y 0 其它
解 将(X , Y)看作是平面上随机点的坐标 . 即有 {Y ≤X}= {(X , Y) G } , 其中G为xOy平面上 直线 y=x 及其下方的部分 , 如右图所示 . 于是
却未必服从二元正态分布 . 这是因为不同的
对应于不同的二维正态分布, 但它们的边缘 分布却可能一样 .
二、两个随机变量函数的分布:
1、Z = X + Y 的分布: 设(X , Y)的概率密度为 f (x , y) , 则Z = X + Y 的 分布函数为
FZ (z ) = P Z z
=
x yz
??????221211exp2121fxy????设二维随机变量xy的密度函数为???????????????????2211222212122xxyy??22121212其中为参数数且?????????????????????????2212120xy称服从参数为????????????????????二元正态分布的记作221212xyn??????????????????二元正态分布的边缘分布是一元注正态分布4它们的参数对应于二元正态分布的前前个参数
2 0 称 X Y 服从参数为 1 2 12 2
的二元正态分布, 记作
X Y N 1 2
2 1 2 2
注 二元正态分布的边缘分布是一元正态分布, 它们的参数对应于二元正态分布的前4个参数. 但两个边缘分布为正态分布的二维随机向量
第二章 随机变量及其分布第一节 随机变量及其分布函数讲解
Copyright © 2006 NJUFE
正态分布的概率计算公式：设 ～N (， 2 )，
P( a) (
a
)； x2 ) ( x1 )；
P( x1 x2 ) (
c P( c) 1 ( )； c c P( c) 2 ( ) ( )； c c P( c) ( ) ( ) 1.
P ( a b) F (b) F ( a )
f ( x)dx；
a
b
若f(x)在x0处连续，则F ( x0 ) f ( x0 )。
连续型随机变量与离散型随机变量的区别： 1) 连续型随机变量没有分布律； 2) 连续型随机变量取个别值的概率为零，即
P( x0 ) 0，x0 (， )。
二、随机变量的分布函数及其基本性质
定义2.2 (教材 p 47)
设
是随机变量，x 是任意实数，称函数 F ( x) P( x)， x 为 的分布函数。
对于任意两实数
x1，x2， x1 x2，有
P( x1 x2 ) P( x2 ) P( x1 ) F ( x2 ) F ( x1 )
5. 几何分布 定义2.6( 若离散型随机变量
的分布律为
P( k ) p(1 p)k 1，k 1 ， 2， 0 p 1
则称 服从参数为p的几何分布。 第三节、连续型随机变量 一、连续型随机变量的概念 定义2.7(教材 51) 设F(x) 为随机变量 使对一切实数x，都有
pk P( xk )， k 1 ， 2，
为 的分布律(概率分布)。
第六章随机变量的函数及其分布
定理1 正态分布的线性函数仍服从正态分布
设X ~ N ( , ), Y aX b(a 0), 则
2
Y ~ N (a b, (a ) )
2
推论 正态分布的标准化方法 X 2 若X ~ N ( , ), 则 ~ N (0, 1)
定理2 若随机变量X及其函数Y = g(X)的密度函 数分别为fX (x), fY (y), 且g(x)是严格单调 函数，则： fY ( y) f X [(G( y)] G( y) 其中x = G(y)为y = g(x)的反函数.
例：设(X, Y)的联合分布律为： Y 0 1 2 X 1 1 3 1 12 12 12 1 1 2 0 2 12 12 2 2 3 0 12 12 请求出：(1) X+Y的分布律； (2) X-Y的分布律； (3) X2+Y-2的分布律.
解：由(X, Y)的联合分布律可得如下表格
1 1 ( , 2) ( , 1) (3, 2) ( X , Y ) ( 1, 2) ( 1, 1) ( 1, 0) 2 2
概率 1/12 1/12 3/12 2/12 1/12 2/12 2/12 X-Y 1 0 -1 5/2 3/2 5 3
概率 1/12 1/12 3/12 2/12 1/12 2/12 2/12
X2+Y-2
-3
-2
-1
-15/4 -11/4
5
7
概率
1/12 1/12 3/12 2/12 1/12
2/12 2/12
或
两个独立随机变量的和的分布 如果X与Y相互独立，则： X P (1 ) (1) X Y P (1 2 ) Y P ( 2 )
《概率论与数理统计》第四节随机变量函数的分布
y，
(ln
y)
1， y
故Y的概率密度为：
fY
(
y)
1 2y
,
1
y e2,
0, 其它.
求连续型随机变量函数分布律的方法：
(2) 设y g( x)在区间I（k k 1,2,, s)上严格单调，且反函数分别
为x
hk (
y)，则Y
g( X )的概率密度为： s
fY ( y) f X [hk ( y)] h'k ( y) .
P(Z 1) P( X 1) P( X 1) 0.2 0.1 0.3，
P(Z 4) P( X 2) 0.3，P(Z 9) P( X 3) 0.3，
因此Z的分布律为：
Z P
0 0.1
1 0.3
4 0.3
9 0.3
.
从例1看到，根据X的分布确定Y g( X )分布，只需用“事件相 同，概率相等”的思想处理. 一般地有，
h'(
y)
,
y ，
其它.
其中 min{ g(), g()}， max{g(), g()}.
一、分布函数
1. 分布函数：设X是一个随机变量，对任意实数 x，事件{X x}的
概率P( X x)称为随机变量X的分布函数，记作F( x)，即
F( x) P( X x).
2. 分布函数的性质：
P( X k) k e，k 0，1，2,， 0， 则称X服从泊松分布，记k为! ：X～ ( ).
4. 几何分布: 若随机变量X所有可能取值为1, 2, , 且分布律为:
P( X k) pqk1, k 1, 2,, 0 p 1, q 1 p,
则称X服从几何分布，记为：X～G( p).
随机变量及其分布函数的基本性质
随机变量及其分布函数的基本性质随机变量是概率论中最基本的概念之一，是对随机事件的量化描述。
简单来说，随机变量就是在一个随机试验中可能出现的某个数值。
在数学上，随机变量可以看作是一个实数值函数，它将样本空间中的每个元素映射到实数轴上的某个点上。
分布函数是描述随机变量分布情况的工具，它定义为随机变量取某个值或小于等于某个值的概率。
换言之，分布函数描述了随机变量的累积分布情况。
本文将就随机变量及其分布函数的基本性质进行详细探讨。
一、随机变量的分类在概率论中，随机变量可以分为连续型和离散型两类。
离散型随机变量只取有限个或可数个值，比如掷骰子得到的点数；连续型随机变量可以取任意实数值，比如身高、体重等。
二、随机变量的基本性质1. 取值范围和概率随机变量的取值范围可以是有限或无限的，但概率和必须等于1。
如果随机变量取值范围是有限的，则每个可能的取值的概率都是非负的，且所有概率之和等于1。
如果随机变量取值范围是无限的（比如连续型随机变量），则需要借助于概率密度函数，将其转化为相应的概率。
2. 分布函数每个随机变量都对应一个分布函数，分布函数可以分为累积分布函数和概率质量函数。
累积分布函数是指随机变量小于等于某一值的概率，记为F(t)，可以表示为F(t) = P(X <= t)。
概率质量函数是指随机变量取某个值的概率，记为f(x)，可以表示为f(x) =P(X = x)。
两者的关系可以用以下公式表示：F(t) = sum[f(x), x <= t]。
3. 期望和方差期望是衡量随机变量平均水平的值，表示随机变量在多次试验中平均取值的大小。
方差则是用来度量一个随机变量取值的离散程度的量，表示随机变量的取值与其期望的离差平方之和的平均。
对于离散型随机变量，期望和方差可以表示为以下公式：E(X) = sum[x * f(x), x in X]Var(X) = E[(X - E(X))^2] = sum[(x - E(X))^2 * f(x), x in X]对于连续型随机变量，则需要对其概率密度函数进行积分求解。
随机变量函数的分布解读
X Y 2 1 0
1
1
3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
12 12 12
1
2
6
例2 设 X pk
1 1 6
1 2 6
2 3 6
求 Y X 2 5的分布律.
解 Y 的分布律为
Y 4
1
1
1
p
2
2
7
三、连续型随机变量函数的分布
例3 设 随 机 变 量X 的 概 率 密 度 为
f
X
(
x)
x 8
,
0 x 4,
0, 其 他.
求 随 机 变 量Y 2X 8 的 概 率 密 度.
解 先求随机变量Y X 2 分布函数,
FY ( y) P{Y y} P{X 2 y} P{ y X y}
y
y
FX ( y) FX ( y) f X ( x)d x f X ( x)d x.
再由分布函数求概率密度. fY ( y) FY ( y) fX ( y)( y) fX ( y)( y)
证明 X 的概率密度为
fX (x)
1
e
(
x μ)2 2σ2
,
x
.
2πσ
设 y g( x) ax b,
得 x h( y) y b , 知 h( y) 1 0.
a
a
14
由公式
fY
( y)
fX [h( y)]h( y) , y
0,
其它.
,
得 Y aX b 的概率密度为
fY ( y)
16
有一大群人,令 X 和 Y 分别表示一个人的 年龄和体重, Z 表示该人的血压,并且已知 Z 与 X , Y 的函数关系 Z g( X ,Y ), 如何通过 X ,Y 的 分布确定 Z 的分布.
随机变量的函数及其分布
一、二维离散型r.v.函数的分布 例1 设二维r.v. ( X, Y ) 的概率分布为 Y X -1 2 求X Y, X Y , 的概率分布.
-1
1
2
5 20 2 20 6 / 20
3 20 3 20 1 20
XY , Y X , max( X , Y )
解 根据( X,Y )的联合分布可得如下表格：
一般，若 X 是离散型 r.v ，X 的分布列为
X x1 P p1 x2 L xn p2 L p n
g ( x1 ) g ( x2 ) L g ( xn ) 则 Y=g(X) ～ p2 L pn p1
如果 g(xk) 中有一些是相同的，把它们作适当 并项即可.
连续型随机变量函数的分布
i 1
i
设X 和Y 的联合密度为 p(x, y), 求Z=XY 的密度.
P ( Z z ) P ( XY z ) P ( X x , Y z / x ) p( x , z / x )dx | d ( z / x ) |
( z / x) p( x , z / x )dx | | dz z 1 p( x , z / x ) dx dz x
一般地，若 X 为连续型随机变量，其密度函数为 p(x)，求Y = g(X) 的概率密度。
(1)
若 g(x) 严格单调，其反函数有连续导函数，
则 Y = g(X ) 具有密度函数
p[ g ( y )] | [ g ( y )] |;
1 1
(2)
若 g(x) 在不相重叠的区间 I1, I2, … 上逐
1 pZ ( z ) p( x, z / x ) dx x
随机变量及其分布函数
( 2)分布函数 F ( x ) 是 x 的一个普通实函数 .
五、分布函数的性质
(1) 0 ≤ F( x) ≤ 1, x ∈ (−∞, ∞);
(2) F( x1 ) ≤ F( x2 ), ( x1 < x2 );
证明
由 x1 < x 2 ⇒ { X ≤ x1 }⊂ { X ≤ x2 },
x < −1, 0, P { X = −1}, − 1 ≤ x < 2, 得 F ( x) = P { X = −1} + P{ X = 2}, 2 ≤ x < 3, 1, x ≥ 3.
0, 1 , 4 即 F ( x) = 3 , 4 1, x < 1, − 1 ≤ x < 2, 2 ≤ x < 3, x ≥ 3.
二、引入随机变量的意义 有了随机变量,随机试验中的各种事件， 有了随机变量 随机试验中的各种事件， 随机试验中的各种事件 就可以通过随机变量的关系式表达出来. 就可以通过随机变量的关系式表达出来 如：单位时间内某电话交换台收到的呼 叫次数用X表示 它是一个随机变量. 表示， 叫次数用 表示，它是一个随机变量 事件{收到不少于 次呼叫 事件 收到不少于1次呼叫 ⇔{ X 收到不少于 次呼叫} {没有收到呼叫 没有收到呼叫} 没有收到呼叫
≥ 1}
{X= ⇔ 0}
可见， 可见，随机事件这个概念实际上是包 容在随机变量这个更广的概念内. 容在随机变量这个更广的概念内 也可以 说，随机事件是从静态的观点来研究随机 现象，而随机变量则是一种动态的观点， 现象，而随机变量则是一种动态的观点， 就象数学分析中常量与变量的区别那样. 就象数学分析中常量与变量的区别那样
第3.3节随机变量的函数及其分布(1)
3.3 随机变量的函数及其分布一、博雷尔函数与随机变量的函数二、单个随机变量的函数的分布律三、随机向量的函数的分布律四、随机向量的变换五、随机变量函数的独立性一、博雷尔函数与随机变量的函数1引例在实际应用问题中，有时需要研究多维随机变量的函数的概率分布. 例如，鱼雷在水下运动时，其速度的三个分量都是随机变量，若已知的联合分布，如何计算其动能的分布.,,x y z v v v ,,x y z v v v 2221()2x y z E m v v v =++2 博雷尔函数() y g x R R R B =1111设有是到上的一个映照，若对于一切中的博雷尔点集均义有定 3.3.1{:()}x g x B ∈∈11()R g x σ11其中为上的博雷尔域，则称尔测数是一元博雷（可）函 注所有的连续函数与单调函数都是博雷尔函数(,,,) n n y g x x x R R R B =11211 设有是到上的一个映照，若对于一切中的博雷尔点集均有义定 3.3.2{(,,,):(,,,)}n n nx x x g x x x B ∈∈12121 (,,,)nn n R g x x x n σ12 其中为上的博雷尔域，则称是尔测数元博雷（可）函 3 随机变量的函数(,,)()()(,,)P g x g P ξξΩΩ若是概率空间上的随机变量，而是一元博雷尔函数，则是上的随机变量.问题g =()?如何根据已知的随机变量的分布求得随机变量的分布ξηξ4 离散型随机变量的函数的分布=2.设的分布律为求的分布律ξηξξp2101-41414141例一维离散型随机变量的函数的分布g =,().如果是离散型随机变量其函数也是离散型随机变量若的分布律为ξηξξξkpkx x x 21kp p p 21g =()则的分布律为ηξk k g x p (),.若中有值相同的应将相应的合并g =()ηξkp k g x g x g x 12()()()k p p p 21二维离散型随机变量函数的分布ξη12--1-21312312112101211221220122(,)设随机变量的分布律为ξη例+-(1),(2).求的分布律ηξξη结论的联合分布律为若二维离散型随机变量i j ij P x y p i j ===={,},,1,2,ξη g =(,)则随机变量函数的分布律为ψξηk k P z P g z ==={}{(,)}ψξη k i j ij z g x y p k ===∑()1,2,.例设相互独立的两个随机变量x与h具有同一分布律,且x的分布律为ξP1 05.0 5.0=:max(,).试求的分布律ζξη卷积公式k k a b =+{}{}, 设与是相互独立的随机变量，它们非负整数值，其概率分别为与，则的分布律为ξηζξηζr r r r c P r P r P r P r a b a b a b -=====+==-++===+++0110{}{0,}{1,1}{,0} ζξηξηξη称此计算公式为离散卷积公式例设且相互独立，求的分布律。
3-1-随机变量及分布函数
P ( a b ) F ( b ) F ( a 0)
概率论-第三章
0 x0 2010年考研题 1 设随机变量X的分布函数为F ( x ) 2 0 x 1 x 求P ( X 1) 1 e x1
解
P ( X 1) P ? ( X 1) P ( X 1)
( ) 称为是样本空间 上的(实值)随机变量，称
F ( x ) P ( ( ) x ) , x (, )
是随机变量 ( )的分布函数
注意： F(x)
是一个普通 概率论-第三章 的函数！
作业 186页 1,7
分布函数的性质
(1) 单调性 若x1 x2 , 则F ( x1 ) F ( x2 )
注意： 离散
型用分布列简 单
概率论-第三章
F ( x 0) F ( x ) P ( x )
事件的概率均可以用分 布函数F ( x )表示
必须记住， P ( b) F (b 0) 考研常考！ P ( b) 1 F (b 0) P ( b) P( b) P( b) F ( b ) F ( b 0) P (a b) F ( b ) F ( a )
1 1 1 1 e e 2 2
1
注意：随机变量为混合型
概率论-第三章
设F1 ( x )与F2 ( x ) 分别为任意两个随机变量分布函数，
B 中”这一事件为 B , 则上述等可能 无关”.如果记”落入
l d c B •104页意味着 P ( B ) 几何概 ba ba 率 如果投在 [a , b]中的点的坐标为 (a b) ,令 ( ) (a b) ( )为随机变量 显然它的可能取值充满整个区间 [a , b .] •不是离 如何描述 ( )的统计规律性？ 散型随
随机变量及其分布函数
3）引进分布函数 F ( x ) 后，事件的概率 可以用 F ( x ) 的函数值来表示。
(1) P{ X b} F (b)
( 2) P{a X b} P{ X b} P{ X a } F (b) F (a )
(3) P{ X b} 1 P{ X b} 1 F (b)
随机变量
离散型
可能值为离散可列个点， 如，次品数
连续型 可能值为某个区间， 如，年降水量
练习1：设随机变量X的分布律为:
X pk -1 0.3 0 0.2 2 0.5
求X的分布函数 F ( x ),并作图 . 练习2：设有函数
sinx, 0 x F ( x) 0, 其他
（2）随机变量取任意一个数值或取任何数值范围内 的概率是多少？ 问：怎样可以描述随机变量的取值规律呢？
二. 分布函数 不妨将r.v.X 看成数轴上一个随机点的坐标 1， P{ X 1}与 1 对应 2， P{ X 2}与 2 对应
x,
x
P{ X x}与 x 对应
x
从而， P ( X x )为 x 的函数 1. 定义 分布函数
0 （ a ] b
性质 （1）有界
0 F ( x) 1
（2）单调增加 x1 x2 , 则 F ( x1 ) F ( x2 )
F ( ) lim F ( x ) 1
x
F ( ) lim F ( x ) 0
x
（3）右连续
F ( a 0) lim F ( x ) F ( a )
第二章 随 机 变 量
在上一章中，我们把随机事件看作样本空
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
01
1
dx
1 3
3
0
= P(Y=1)=P(X>0) 因此,所求分布律=为
21
2
0
dx 3
3
X Y -1
1
P 1/3
2/3
第六章 随机变量函数及其分布
解：P76-9
P
1111
11
4 4 8 8 0 088 0
(X,Y ) (1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3) (3,1)(3,2) (3,3)
第六章 随机变量函数及其分布
P76-9
故得
XY
1236
P 1/ 4 3/8 1/ 4 1/8
第六章 随机变量函数及其分布
P76-12
解 (X,Y)的联合密度函数为
f
(x,
y)
1 4
,
0,
Z=X-Y，则Z的分布函
0 x 2,0 y 2 其他
数Fz(z)=P(Z≤z)=P(X-Y≤z) f (x, y)dxdy
2 1 1
2 y
1,
y
Y的密度函数为
fY ( y) f X (h( y)) | h'( y) |
1,
y
0,
5
2
y
6
1,
y
其他
0,
25 π y 9
4 其他
第六章 随机变量函数及其分布
P75-7
解 由于 X~N(0,1)， 所以 f X (x)
1
x2
e 2 , x
2
Y X a 其反函数h(y)=(y-a)/σ， h’(y)=1/σ，
Y的密度函数为
fY ( y) f X (h( y)) | h'( y) |
1
1( ya)2
e2
1
1
e
(
ya)2
2 2
,
y
2
2
即证明了 X a ~ N (a, 2 ).
第六章 随机变量函数及其分布
P75-8
解 X~R[-1,2]， 则
f
(
而
P(Y=- P(X<0) 1P)(=Y=0)=P=(X=0)
第六章 随机变量函数及其分布
P75-3
解(1) y=2x,x=y/2=h( H’(y)=1/2, 则 y)
fY ( y) f X (h( y)) | h'( y) |
2
y 2
1 2
,
0,
0 y 1 2
y 2
,
其他
0,
0 y2 其他
(2)设Y=-X+1,则x=1y=hfY((yy)), f X (h( y)) | h'( y) |
Dz
f (x, y)dxdy
Dz
dxdy 4
4 ADz
1 (4 1 (2 z)2) 1 1 (2 z)2
42
8
当z≥2时， Fz (z) f (x, y)dxdy 1
Dz
0,
z 2,
Fz
(z)
181(12
z)2, (2 z)2
,
2 0
z0 z2
8
1,
z2
fz
(z)
Dz
Dz {( x, y) : x y z}
当z<-2时，Fz (z) 0dxdy 0
Dz
当-2≤z<0时，Fz (z)
Dz
f (x, y)dxdy
Dz
1dxdy 4
1 4 ADz
1 (2 z)2
8
第六章 随机变量函数及其分布
P76-12
当-2≤z<2时，
1
1
Fz (z)
X +Y 2 3 4 3 4 5 4 5 6
X -Y 0 -1 -2 1 0 -1 -1 1 0
XY 1 2 3 2 4 6 3 6 9
第六章 随机变量函数及其分布
P76-9
故得
X+Y 2 3 4 5
P 1/ 4 3/8 1/ 4 1/8
X-Y
-2 -1 0 1 2
P 1/8 1/ 4 1/ 4 1/ 4 1/8
1 (2 4 1
z),
(2 z),
4
0,
2 z0
0 z2 其他
2
y1 1 , 22
0
y 1
0,
其他
1, 0 y 1
0,
其他
第六章 随机变量函数及其分布
P75-4
解 圆面积Y=πx2/4,由于X均匀取(5,6)中的值,所以 X的密度函数
1,
5 x6
f
(x)
0,
其他
且y=πx2/4为单调增加函数x∈(5,6),其反函数
h(y)
4 y , h'(y) π
h’(y)=-1,Y的密度函数
2(1
y)(1), 0,
0 1 y 1 其他
2( y 1),
0,
0 y1 其他
第六章 随机变量函数及其分布
P75-3
解(3) Y=x2,由于X只取(0,1)中的值, 所以y=x2也为单调 函数 h( y) y h' ( y) 1 1
2y
fY ( y) f X (h( y)) | h'( y) |