高中数学第3章概率3.1随机事件及其概率学案苏教必修3
高中数学 第三章 §3.1随机事件及其概率配套课件 苏教版必修3
研一研·问题(wèntí)探究、课堂更高效
跟踪训练1 判断哪些事件是随机事件，哪些是必然事件，哪些 是不可能事件？ 事件A：抛一颗骰子两次，向上的面的数字之和大于12； 事件B：打开电视机，正在播放新闻； 事件C：在下届亚洲杯上，中国足球队以2：0战胜日本足球队； 解 事件A为不可能事件；事件B为随机事件；事件C为随机 事件．
问题6 抛掷硬币试验表明，正面朝上在每次试验中是否发生是 不能预知的，但是在大量重复试验后，随着试验次数的增 加，正面朝上发生的频率呈现出一定的规律性，这个规律性 是如何体现出来的？ 答 事件A发生的频率较稳定，并在某个常数附近摆动．
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研一研·问题探究、课堂(kètáng)更高 效 问题7 我们把硬币正面朝上的频率所趋向的稳定值称作硬币正
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研一研·问题探究(tànjiū)、课堂更
高效
性状 F1的表现
F2的表现
种子的
圆粒
全部圆粒
形状
5 474
皱粒 1 850
圆粒︰皱粒 ≈2.96︰1
茎的
矮茎
全部高茎 高茎787
高度
277
高茎︰矮茎 ≈2.84︰1
子叶的
黄色
全部黄色
颜色
6 022
绿色 2 001
黄色︰绿色 ≈3.01︰1
可能发生，也可能不发生的事件
叫做随机事件．
3．对于任意一个随机事件A，P(A)的范围是 0≤P(A)≤1 .
4．用Ω和Ø表示必然事件和不可能事件，则P(Ω)＝ 1 ，
P(Ø)＝ 0 .
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研一研·问题(wèntí)探究、课堂更高 效
[问题情境] 日常生活中，有些问题是能够准确回答的．例如： 明天太阳一定从东方升起吗？木柴燃烧一定能产生热量吗？ 这些事情的发生都是必然的．同时也有许多问题是很难给予 准确回答的．例如：明天中午12：10有多少人在学校食堂用 餐？一次射击能否击中目标？明年房价是否下降？你购买的 本期福利彩票是否能中奖？等等，这些问题的结果都具有偶 然性和不确定性．研究这些问题有利于我们做出某些判断， 防患于未然．
高中数学 第3章 概率 3.2 古典概型教学案 苏教版必修3-苏教版高一必修3数学教学案
古典概型预习课本P100～103，思考并完成以下问题1．什么叫基本事件？什么叫等可能事件？2．什么叫古典概型？古典概型有什么特点？3．古典概型的概率计算公式是什么？[新知初探]1．基本事件与等可能事件(1)基本事件：在一次试验中可能出现的每一个基本结果．(2)等可能事件：若在一次试验中，每个基本事件发生的可能性都相同，则称这些基本事件为等可能基本事件．[点睛](1)基本事件是试验中不能再分的简单的随机事件，其他事件可以用它们来表示．(2)任何两个基本事件是不会同时发生的．(3)任何事件都可以表示成基本事件的和．2．古典概型(1)特点：①有限性：所有的基本事件只有有限个；②等可能性：每个基本事件的发生都是等可能的．(2)定义：将满足上述条件的随机试验的概率模型称为古典概型．(3)古典概型概率的计算公式：如果1次试验的等可能基本事件共有n 个，那么每一个等可能基本事件发生的概率都是1n；如果某个事件A 包含了其中m 个等可能基本事件，那么事件A 发生的概率为P (A ) ＝m n. 即P (A )＝事件A 包含的基本事件数试验的基本事件总数. [点睛]古典概型的概率公式P (A )＝m n 与事件A 发生的频率m n有本质的区别，其中P (A )＝m n是一个定值，且对同一试验的同一事件m ，n 均为定值，而频率中的m ，n 均随试验次数的变化而变化，但随着试验次数的增加频率总接近于P (A )．[小试身手]1．一个家庭中有两个小孩，则所有等可能的基本事件是________．(列举出来)答案：(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)2．从字母a ，b ，c ，d 中任意取出两个不同字母的试验中，有哪些基本事件？这些基本事件是等可能基本事件吗？解：共有6个基本事件：A ＝{a ，b }，B ＝{a ，c }，C ＝{a ，d }，D ＝{b ，c }，E ＝{b ，d }，F ＝{c ，d }．每个基本事件取到的概率都为16，属于等可能基本事件．[典例] 下列概率模型是古典概型吗？为什么？ (1)从区间[1,10]内任意取出一个实数，求取到实数2的概率；(2)向上抛掷一枚不均匀的旧硬币，求正面朝上的概率；(3)从1,2,3，…，100这100个整数中任意取出一个整数，求取到偶数的概率．[解] (1)不是古典概型，因为区间[1,10]中有无限多个实数，取出的那个实数有无限多种结果，与古典概型定义中“所有可能结果只有有限个”矛盾．(2)不是古典概型，因为硬币不均匀导致“正面向上”与“反面向上”的概率不相等，与古典概型定义中“每一个试验结果出现的可能性相同”矛盾．(3)是古典概型，因为在试验中所有可能出现的结果是有限的，而且每个整数被抽到的可能性相等．只有同时满足有限性和等可能性这两个条件的试验才是古典概型，两个条件只要有一个不满足就不是古典概型．[活学活用]下列随机事件：①某射手射击一次，可能命中0环，1环，2环，…，10环；古典概型的判定②一个小组有男生5人，女生3人，从中任选1人进行活动汇报；③一只使用中的灯泡寿命长短；④抛出一枚质地均匀的硬币，观察其出现正面或反面的情况；⑤中秋节前夕，某市工商部门调查辖区内某品牌的月饼质量，给该品牌月饼评“优”或“差”．这些事件中，属于古典概型的有________．解析：放回”与“不放回”问题[典例] 从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的3件产品中每次任取1件，连续取两次．(1)若每次取出后不放回，连续取两次，求取出的产品中恰有一件是次品的概率；(2)若每次取出后又放回，求取出的两件产品中恰有一件是次品的概率．[解] (1)每次取一件，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果为(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)，其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品．由6个基本事件组成，而且可以认为这些基本事件的出现是等可能的．用A表示“取出的两件中恰好有一件次品”这一事件，则A＝{(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}．事件A由4个基本事件组成．因而P(A)＝46＝23.(2)有放回地连续取出两件，其一切可能的结果为(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b1，b1)共9个基本事件．由于每一件产品被取到的机会均等，因此可以认为这些基本事件的出现是等可能的．用B表示“恰有一件次品”这一事件，则B＝{(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}．事件B由4个基本事件组成，因而P(B)＝4 9 .抽取问题是古典概型的常见问题，解决此类问题需要注意两点：一是所给问题是否需要将被抽取的个体进行区分才能满足古典概型的条件，二是看抽取的方式是有放回还是不放回，两种抽取方式对基本事件的总数是有影响的．另外，不放回抽样看作无序或有序抽取均可，有放回抽样要看作有序抽取．[活学活用]从1,2,3,4,5五个数字中任意有放回地连续抽取两个数字，求下列事件的概率：(1)两个数字不同；(2)两个数字中不含有1和5；(3)两个数字中恰有一个1.解：所有基本事件为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，共25个．(1)设A＝“两个数字不同”，则P(A)＝2025＝45.(2)设B＝“两个数字中不含1和5”，则P(B)＝9 25.(3)设C＝“两个数字中恰有一个1”，则P(C)＝8 25.[典例] 有A，B，C，D四位贵宾，应分别坐在a，b，c，d 四个席位上，现在这四人均未留意，在四个席位上随便就座．(1)求这四人恰好都坐在自己的席位上的概率；(2)求这四人恰好都没坐在自己的席位上的概率；(3)求这四人恰有一位坐在自己的席位上的概率．[解] 将A，B，C，D四位贵宾就座情况用如图所示的图形表示出来．a席位b席位c席位d席位a席位b席位c席位d席位a席位b席位c席位d席位a席位b席位c席位d席位建立概率模型解决问题由图可知，所有的等可能基本事件共有24个．(1)设事件A为“这四人恰好都坐在自己的席位上”，则事件A只包含1个基本事件，所以P(A)＝1 24.(2)设事件B为“这四人恰好都没坐自己的席位上”，则事件B包含9个基本事件，所以P(B)＝924＝38.(3)设事件C为“这四人恰有一位坐在自己的席位上”，则事件C包含8个基本事件，所以P(C)＝824＝13.甲、乙、丙、丁四名学生按任意次序站成一排，试求下列事件的概率：(1)甲在边上；(2)甲和乙都在边上；(3)甲和乙都不在边上．解：利用树状图来列举基本事件，如图所示．由树状图可看出共有24个基本事件．(1)甲在边上有12种情形：(甲，乙，丙，丁)，(甲，乙，丁，丙)，(甲，丙，乙，丁)，(甲，丙，丁，乙)，(甲，丁，乙，丙)，(甲，丁，丙，乙)，(乙，丙，丁，甲)，(乙，丁，丙，甲)，(丙，乙，丁，甲)，(丙，丁，乙，甲)，(丁，乙，丙，甲)，(丁，丙，乙，甲)．故甲在边上的概率为P＝1224＝12.(2)甲和乙都在边上有4种情形：(甲，丙，丁，乙)，(甲，丁，丙，乙)，(乙，丙，丁，甲)，(乙，丁，丙，甲)，故甲和乙都在边上的概率为P＝424＝16.(3)甲和乙都不在边上有4种情形：(丙，甲，乙，丁)，(丙，乙，甲，丁)，(丁，甲，乙，丙)，(丁，乙，甲，丙)，故甲和乙都不在边上的概率为P＝424＝16.[典例] 海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.地区 A B C数量50150100(1)求这6(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．古典概型的综合应用[解](1)因为样本容量与总体中的个体数的比是650＋150＋100＝150，所以样本中包含三个地区的个体数量分别是50×150＝1,150×150＝3,100×150＝2.所以A，B，C三个地区的商品被选取的件数分别为1,3,2.(2)设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为A；B1，B2，B3；C1，C2，则抽取的这2件商品构成的所有基本事件为{A，B1}，{A，B2}，{A，B3}，{A，C1}，{A，C2}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B1，C1}，{B1，C2}，{B2，B3}，{B2，C1}，{B2，C2}，{B3，C1}，{B3，C2}，{C1，C2}，共15个．每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．记事件D：“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D包含的基本事件有{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，{C1，C2}共4个．所以P(D)＝4 15.即这2件商品来自相同地区的概率为4 15.(1)概率问题常常与统计问题结合在一起考查，在此类问题中，概率与频率的区别并不是十分明显，通常直接用题目中的频率代替概率进行计算．(2)涉及方程或者函数的有关概率问题，考查的是如何计算要求的事件A所包含的基本事件的个数，通常需要将函数与方程的知识应用其中．解决此类问题，只需要利用函数、方程知识找出满足条件的参数的范围，从而确定基本事件的个数，最后利用古典概型的概率计算公式进行计算．[活学活用]把一枚骰子抛掷2次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为a ，第二次出现的点数为b ，试就方程组⎩⎪⎨⎪⎧ ax ＋by ＝3，x ＋2y ＝2解的情况，解答下列各题： (1)求方程组只有一个解的概率；(2)求方程组只有正数解的概率．解：若第一次出现的点数为a ，第二次出现的点数为b 记为有序数值组(a ，b )，则所有可能出现的结果有：(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)，(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)，(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)，(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)，(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)，(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)，共36种．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ ax ＋by ＝3，x ＋2y ＝2，可得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a －b x ＝6－2b ，2a －b y ＝2a －3，(1)若方程组只有一个解，则b ≠2a ，满足b ＝2a 的有(1,2)，(2,4)，(3,6)，故适合b ≠2a 的有36－3＝33个．其概率为：3336＝1112. (2)方程组只有正数解，需满足b －2a ≠0且⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝6－2b 2a －b ＞0，y ＝2a －32a －b ＞0.分两种情况：当2a ＞b 时，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞32，b ＜3，当2a ＜b 时，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＜32，b ＞3.易得包含的基本事件有13个：(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，(2,2)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(6,2)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，因此所求的概率p 2＝1336. [层级一 学业水平达标]1．一枚硬币连续掷三次，基本事件共有________个． 解析：画树形图：共8种．答案：82．从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为________．解析：本题中基本事件有{甲，乙}，{甲，丙}，{乙，丙}共三个，其中甲被选中包含两个基本事件，故甲被选中的概率为23.答案：233．从标有1,2,3,4,5,6的6张纸片中任取2张，那么这2张纸片数字之积为偶数的概率为________．解析：基本事件为{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,6}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{2,6}，{3,4}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，{5,6}共15个．其中符合要求的有{1,2}，{1,4}，{1,6}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{2,6}，{3,4}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，{5,6}共12个．故P ＝1215＝45. 答案：454．一个口袋里装有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中摸出2个球，则1个是白球，1个是黑球的概率是________．解析：这四个球记为白1，白2，黑1，黑2.则基本事件为{白1，白2}，{白1，黑1}，{白1，黑2}，{白2，黑1}，{白2，黑2}，{黑1，黑2}共6个．其中符合要求的为{白1，黑1}，{白1，黑2}，{白2，黑1}，{白2，黑2}共4个．故P ＝46＝23. 答案：235．设集合P＝{b,1}，Q＝{c,1,2}，P⊆Q，若b，c∈{2,3,4,5,6,7,8,9}．(1)求b＝c的概率；(2)求方程x2＋bx＋c＝0有实根的概率．解：(1)因为P⊆Q，当b＝2时，c＝3,4,5,6,7,8,9；当b＞2时，b＝c＝3,4,5,6,7,8,9，基本事件总数为14.其中b＝c的事件数为7种，所以b＝c的概率为：714＝12.(2)记“方程有实根”为事件A，若使方程有实根，则Δ＝b2－4c≥0，即b＝c＝4,5,6,7,8,9共6种.所以P(A)＝614＝37.[层级二应试能力达标]1．同时掷两枚骰子，点数之和大于9的概率为________．解析：P＝636＝16.答案：1 62．某班委会由3名男生和2名女生组成，现从中选出2人担任正副班长，其中至少有一个女生当选的概率为________．解析：这五名同学分别表示为男1，男2，男3，女1，女2，用(x，y)表示基本事件，其中x是正班长，y是副班长，则基本事件为(男1，男2)，(男2，男1)，(男1，男3)，(男3，男1)，(男1，女1)，(女1，男1)，(男1，女2)，(女2，男1)，(男2，男3)，(男3，男2)，(男2，女1)，(女1，男2)，(男2，女2)，(女2，男2)，(男3，女1)，(女1，男3)，(男3，女2)，(女2，男3)，(女1，女2)，(女2，女1)共20个．其中符合要求的有14个，故P＝1420＝710.答案：7 103．在正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则构成的四边形是梯形的概率为________．解析：如图，在正六边形ABCDEF的6个顶点中随机选择4个顶点，共有15种选法，其中构成的四边形是梯形的有ABEF，BCDE，ABCF，CDEF，ABCD，ADEF，共6种情况，故构成的四边形是梯形的概率P＝615＝25.答案：2 54．如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数．从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为________．解析：基本事件为(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)共10个．其中勾股数只有(3,4,5)，∴P＝1 10.答案：1 105．一个袋子中装有六个形状完全相同的小球，其中一个编号为1，两个编号为2，三个编号为3，现从中任取一球记下编号后放回，再任取一球，则两次取出球的编号之和为4的概率为________．解析：用列表法列出所有基本事件共36个，其中和为4的有10个.故P＝1036＝518.答案：5 186．甲、乙、丙、丁、戊5人站成一排合影，则甲站在乙的左边的概率为________．解析：我们不考虑丙、丁、戊具体站在什么位置，只考虑甲、乙的相对位置，只有甲站在乙的左边和甲站在乙的右边，共2个等可能发生的结果，因此甲站在乙的左边的概率为1 2 .答案：1 27．在5瓶饮料中，有2瓶已过了保质期，从中任取2瓶，取到的全是已过保质期的饮料的概率为________．解析：设过保质期的2瓶记为a，b，没过保质期的3瓶用1,2,3表示，试验的结果为：(1,2)，(1,3)，(1，a)，(1，b)，(2,3)，(2，a)，(2，b)，(3，a)，(3，b)，(a，b)共10种结果，2瓶都过保质期的结果只有1个，∴P＝1 10.答案：1 108.如图所示方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1,2,3,4中的任何一个，允许重复，则填入A方格的数字大于B方格的数字的概率为________．解析：只考虑A，B两个方格的填法，不考虑大小，A，B两个方格有16种填法．要使填入A方格的数字大于B方格的数字，则从1,2,3,4中选2个数字，大的放入A格，小的放入B格，有(4,3)，(4,2)，(4,1)，(3,2)，(3,1)，(2,1)，共6种，故填入A方格的数字大于B方格的数字的概率为616＝38.答案：3 89．一个盒子中装有三张卡片，分别标记有数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.(1)求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率；(2)求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．解：由题意知(a，b，c)所有可能的结果为(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)共27种．(1)设A ＝“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”，则A 包含3个结果．故P (A )＝327＝19. (2)设B ＝“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”，则事件B 包含24种结果．故P (B )＝2427＝89. 10．某产品的三个质量指标分别为x ，y ，z ，用综合指标S ＝x ＋y ＋z 评价该产品的等级．若S ≤4, 则该产品为一等品．先从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：(2)在该样本的一等品中， 随机抽取2件产品，①用产品编号列出所有可能的结果；②设事件B 为“在取出的2件产品中， 每件产品的综合指标S 都等于4”， 求事件B 发生的概率．解：(1)计算10件产品的综合指标S，如下表：124579一等品率为610＝0.6，从而可估计该批产品的一等品率为0.6.(2)①在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A1，A9}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A2，A9}，{A4，A5}，{A4，A7}，{A4，A9}，{A5，A7}，{A5，A9}，{A7，A9}，共15种．②在该样本的一等品中，综合指标S等于4的产品编号分别为A1，A2，A5，A7，则事件B发生的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A5，A7}，共6种．所以P(B)＝6 15＝2 5 .。
精选推荐018-2019学年数学苏教版必修3教学案：第1部分 第3章 3.1 随机事件及其概率-含解析
一、抽样方法抽样方法有：简单随机抽样、系统抽样、分层抽样．简单随机抽样有抽签法、随机数表法．1．抽签法的步骤(1)编号：给总体中所有的个体编号(号码可以从1到N)；(2)制签：将1～N这N个号码写在形状、大小都相同的号签上；(3)搅拌：将号签放在一个容器中，搅拌均匀；(4)抽签：每次从容器中不放回地抽取一个号签，并记录其编号，连续抽取n次；(5)取样：从总体中，将与抽到的号签编号一致的个体取出．2．系统抽样的步骤从元素个数为N的总体中抽取容量为n的样本的步骤如下：(1)编号：先将总体的N个个体编号；(2)分段：确定分段间隔k，对编号进行分段；(3)确定初始编号：在第一段用简单随机抽样确定第一个个体编号l(l≤k)；(4)抽取样本：按照一定的规则抽取样本．3．分层抽样的步骤(1)分层，求抽样比：确定抽样比k＝n N；(2)求各层抽样数：按比例确定每层抽取个体的个数n i＝N i×k；(3)各层抽样：各层分别用简单随机抽样或系统抽样法抽取个体；(4)组成样本：综合每层抽取的个体，组成样本．二、总体分布的估计1．作频率分布直方图的步骤(1)求全距．(2)决定组距与组数，注意样本容量越大，所分组数越多．(3)将数据分组．(4)计算各小组的频率，作频率分布表，各小组的频率＝各小组频数样本容量.(5)画频率分布直方图．2．茎叶图刻画数据的优缺点(1)所有信息都可以从图中得到；(2)便于记录和表示；(3)数据较多时不方便．3．用样本的频率分布估计总体的分布时的注意事项(1)对于同一组样本数据，确定的组距不同，得到的组数及分组也不同，绘制的频率分布直方图就会有差异，但都是对总体的近似估计．(2)应用频率分布直方图时，需明确纵轴表示的是频率/组距，进而进行相关计算．(3)绘制茎叶图时需注意同一组数据中的相同数据要一一列出．4．样本的数字特征(1)样本的数字特征可分为两大类：一类是反映样本数据集中趋势的，包括众数、中位数和平均数；另一类是反映样本波动大小的，包括方差及标准差．我们常通过样本的数字特征估计总体的数字特征．(2)在用样本的数字特征估计总体的数字特征时应注意：①任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变．特殊情况下，平均数可能受某几个极端值的影响，而偏离一般情况．②标准差的平方是方差，标准差的单位与样本数据的单位一致．③用样本的平均数和标准差估计总体的平均数和标准差时，样本的平均数和标准差只是总体的平均数和标准差的近似值．三、线性回归方程(1)两个随机变量x 和y 之间相关关系的确定方法有：①散点图法：通过散点图，观察它们的分布是否存在一定规律，直观地判断； ②表格、关系式法：结合表格或关系式进行判断． (2)用公式求线性回归方程的一般步骤是： ①列表x i ，y i ，x i y i .②计算x ，y ，∑i ＝1nx 2i ，∑i ＝1nx i y i .③代入公式计算b 、a 的值. ④写出线性回归方程． (3)学习变量的相关性时：①注意通过实例辨析确定性关系(函数关系)与相关关系．根据散点图分析两个变量间的相关关系是正相关还是负相关．②学会用最小平方法求已知样本数据的线性回归方程．用回归方程对数据进行估计时，得到的结果不是准确值．(时间90分钟，满分120分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．在下列各图中，两个变量具有线性相关关系的图是________．解析：由散点图知(1)为函数关系，(4)不具有相关关系，故(2)(3)正确． 答案：(2)(3)2．某农场在三种地上种玉米，其中平地210亩，河沟地120亩，山坡地180亩，估计产量时要从中抽取17亩作为样本，则平地、河沟地、山坡地应抽取的亩数分别是________．解析：应抽取的亩数分别为210×17510＝7(亩)，120×17510＝4(亩)，180×17510＝6(亩)．答案：7,4,63．设有一个直线回归方程为y ^＝2－1.5x ，则变量x 增加一个单位时，y ^减少________个单位．解析：由y ^＝2－1.5x 知当x 增加一个单位时，y ^减少1.5个单位． 答案：1.54．某校有老师200人，男学生1 200人，女学生1 000人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n 的样本．已知从女生中抽取80人，则n ＝________.解析：因为80∶1 000＝8∶100，所以n ∶(200＋1 200＋1 000)＝8∶100，所以n ＝192. 答案：1925．在样本频率分布直方图中共有11个小矩形，若中间一个小矩形的面积等于所有各小矩形面积和的14，样本容量是160，则中间一组的频数是________．解析：因为所有小矩形的面积和为1，所以中间这个小矩形的面积是14＝0.25，即这一组样本数据的频率是0.25，所以这组的频数是160×0.25＝40.答案：406．一组数据的方差是s 2，将这组数据中的每一个数都乘3，所得的一组新数据的方差是________．解析：设数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，则3x 1,3x 2，…，3x n 的平均数为x ′＝1n (3x 1＋3x 2＋…＋3x n )＝3x ，∴s ′2＝1n [(3x 1－3x )2＋(3x 2－3x )2＋…＋(3x n －3x )2]＝9×1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]＝9s 2.答案：9s 27．已知x ，y 的取值如下表：从散点图可以看出y 与x 线性相关，且线性回归方程为y ^＝0.95x ＋a ，则a ＝________. 解析：由数据得x ＝2，y ＝4.5，而回归直线必过(x ，y )，将(2,4.5)代入线性回归方程，得4.5＝0.95×2＋a ，故a ＝2.6. 答案：2.68．为了解一片大约一万株树木的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长(单位：cm)．根据所得数据画出的样本频率分布直方图如图所示，那么在这片树木中，底部周长小于110 cm 的株数大约是________．解析：底部周长小于110 cm 的频率为：(0.01＋0.02＋0.04)×10＝0.7，所以底部周长小于110 cm 的株数大约是10 000×0.7＝7 000.答案：7 0009．某校为了了解学生做家务情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自做家务所用时间的数据，结果如图所示，则可得到这50名学生在这一天平均每人做家务的时间为________h.解析：由题图可知，在调查的50名学生中有5人做家务时间为0 h ，有5人做家务时间为2.0 h ，有10人做家务时间为1.0 h ，有10人做家务时间为1.5 h ，有20人做家务时间为0.5 h ，所以一天中平均每人做家务的时间为(5×0＋5×2＋10×1＋10×1.5＋20×0.5)÷50＝45÷50＝0.9(h)．答案：0.910．把容量为100的某个样本数据分为10组，并填写频率分布表，若前七组的频率之和为0.79，而剩下三组的频数满足：第一组频数是第二组频数的14，而第三组频数则是第二组频数的4倍．那么剩下三组中频数最高的一组的频数是________．解析：由题意知后三组的频率之和为1－0.79＝0.21， 故后三组的频数之和为0.21×100＝21.设后三组中第二组的频数为a ，则14a ＋a ＋4a ＝21，∴a ＝4.即后三组的频数依次为1,4,16.故后三组中频数最高的一组的频数是16.答案：1611．在样本的频率分布直方图中，共有4个长方形，这4个小长方形的面积分别为S、2S、3S、4S，且样本容量为400，则小长方形面积最大的一组的频数为________．解析：∵S＋2S＋3S＋4S＝1，∴S＝0.1.∴4S＝0.4.∴0.4×400＝160.答案：16012．某赛季甲、乙两名篮球运动员各13场比赛得分情况用茎叶图表示如下：甲乙988 1 7799610 2 25679 95320 3 02 37104根据上图对这两名运动员的成绩进行比较，某同学得到下列四个结论：①甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差；②甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数；③甲运动员得分的平均值大于乙运动员得分的平均值；④甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定．则其中所有错误结论的序号是________．解析：①甲得分的极差为47－18＝29，乙得分的极差为33－17＝16，故①正确；②甲得分的中位数为30，乙得分的中位数为26，②正确；③x甲>x乙正确，s2甲<s2乙；④错误．答案：④13．某班50名学生期末考试数学成绩(单位：分)的频率分布直方图如图所示，其中数据不在分点上，对图中提供的信息作出如下的判断：(1)成绩在49.5～59.5分段的人数与89.5～99.5分段的人数相等；(2)从左到右数，第四小组的频率是0.03；(3)成绩在79.5分以上的学生有20人； (4)本次考试，成绩的中位数在第三小组． 其中正确的判断有________．解析：(1)49.5～59.5与89.5～99.5两段所在矩形的高相等，所以人数相等． (2)从左到右数，第四小组的频率/组距的值为0.03，频率为0.03×10＝0.3. (3)79.5分以上的学生共有：50×(0.03＋0.01)×10＝20人．(4)49.5～59.5与89.5～99.5段的人数相等，69.5～79.5段的人数比79.5～89.5的人数多，所以中位数在69.5～79.5段，即在第三小组．答案：(1)(3)(4)14．已知总体的各个体的值由小到大依次为2,3,3,7，a ，b,12,13.7,18.3,20，且总体的中位数为10.5.若要使该总体的方差最小，则a ，b 的取值分别是________．解析：因为总体中位数是10.5，所以a ＋b 2＝10.5，即a ＋b ＝21，b ＝21－a ，所以总体平均数是x ＝110(2＋3＋3＋7＋a ＋b ＋12＋13.7＋18.3＋20)＝79＋(a ＋b )10＝79＋2110＝10； 总体方差是s 2＝110[(2－10)2＋(3－10)2＋…＋(a －10)2＋(b －10)2＋…＋(20－10)2]＝a 2＋b 210＋13.758＝a 2＋(21－a )210＋13.758 ＝15a 2－215a ＋57.858 ＝15(a －212)2＋35.808.因为7≤a ≤b ≤12，所以当a ＝10.5时，s 2取得最小值35.808，b ＝10.5.答案：10.5,10.5二、解答题(本大题共4小题，共50分)15．(本小题满分12分)如图是甲、乙两人在射击比赛中中靶的情况(击中靶中心的圆面为10环，靶中各数字表示该数字所在圆环被击中所得的环数)，每人射击了6次．(1)请用列表法将甲、乙两人的射击成绩统计出来；(2)请你用学过的统计知识，对甲、乙两人这次的射击情况进行比较．解：(1)(2)x甲＝9环，x 乙＝9环，s 2甲＝23，s 2乙＝1， 因为x 甲＝x乙，s 2甲＜s 2乙，所以甲与乙的平均成绩相同，但甲的发挥比乙稳定．16．(本小题满分12分)已知10只狗的血球体积及红血球的测量值如下(1)画出上表的散点图；(2)求出回归直线并且画出图形；(3)回归直线必经过的一点是哪一点？ 解：(1)散点图如图(2)x ＝110(45＋42＋46＋48＋42＋35＋58＋40＋39＋50)＝44.50， y ＝110(6.53＋6.30＋9.52＋7.50＋6.99＋5.90＋9.49＋6.20＋6.55＋7.72)＝7.27，∑i ＝1n x i y i ＝3 283.9，n x － y －＝3 235.15，∑i ＝1n x 2i ＝20 183，n x 2＝19 802.5，设回归直线方程为y ^＝bx ＋a ，则a ＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x2≈0.13，b ＝y －a x ≈1.49所以所求回归直线的方程为y ^＝0.13x ＋1.49，图形如下：(3)回归直线必经过(x ，y )即(44.50,7.27)．17．(本小题满分12分)为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某中学举行了一次“环保知识竞赛”，共有900名学生参加了这次竞赛，为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩(得分均为整数，满分为100分)进行统计．请你根据尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图，解答下列问题：(1)填充频率分布表的空格(将答案直接填在表格内)； (2)补全频率分布直方图；(3)若成绩在[75,85)分的学生为二等奖，问获得二等奖的学生约为多少人？ 解：(1)(2)频率分布直方图如图所示(3)成绩在[75,80)分的学生占70～80分的学生的510，因为成绩在[70,80)分的学生频率为0.2，所以成绩在[75,80)分的学生频率为0.1； 成绩在[80,85)分的学生占80～90分的学生的510，因为成绩在[80,90)分的学生频率为0.32， 所以成绩在[80,85)分的学生频率为0.16， 所以成绩在[75,85)分的学生频率为0.26， 由于有900名学生参加了这次竞赛，所以该校获得二等奖的学生约为0.26×900＝234(人)．18．(本小题满分14分)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对照数据.(1)(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝bx ＋a ； (3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？学习K12教育资料学习K12教育资料 (参考数值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5)解：(1)如图．(2)∑i ＝1nx i y i ＝3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5. x ＝3＋4＋5＋64＝4.5. y ＝2.5＋3＋4＋4.54＝3.5. ∑i ＝1n x 2i ＝32＋42＋52＋62＝86.b ＝66.5－4×4.5×3.586－4×4.52＝66.5－6386－81＝0.7. a ＝y －b x ＝3.5－0.7×4.5＝0.35.故线性回归方程为y ^＝0.7x ＋0.35.(3)根据回归方程的预测，现在生产100吨产品消耗的标准煤的数量为0.7×100＋0.35＝70.35，故耗能减少了90－70.35＝19.65(吨)．。
2018_2019学年高中数学第3章概率3.1随机事件及其概率苏教版必修3
概 率
3.1 随机事件及其概率
学习目标：1.体会确定性现象与随机现象的含义.2.了解必然事件、不可 能事件及随机事件.3.了解随机事件发生的不确定性及频率的稳定性，进一步 了解概率的意义以及概率与频率的区别．(难点)4.理解概率的统计定义，知 道根据概率的统计定义计算概率的方法．(重点)5.通过对概率的学习，使学 生对对立统一的辩证规律有进一步的认识．
1 错误 [把解答一个选择题作为一次试验，答对的概率是 4 ，说明了答对 1 的可能性大小是 4 ，由于每次试验的结果都是随机的，因而做12次试验，结 果都是随机的，那么答对3道题的可能性较大，但是并不一定答对3道题，也 可能都选错，也可能有1,2,3,4，…甚至12道题选择正确．]
4．将一枚骰子掷300次，则掷出的点数大于2的次数大约是________. 【导学号：20132147】
Ω 和___ ∅ 来表示，显然P(Ω)＝1，P(∅)＝0.所以对任何一个事件A，都有 别用___ 0≤P(A)≤1 ______________.
[基础自测] 1．有下列现象：①连续掷一枚硬币两次，两次都出现正面向上；②异 性电荷互相吸引；③在标准大气压下，水在100℃沸腾；④南通某天下 雨．其中是随机现象的是________．
2．随机事件的概率 (1)频数与频率 在一定条件下，重复进行了n次试验，如果某一事件A出现了m次，则事 m m n 为事件A 件A出现的频数是___ ，称事件A出现的次数与试验总次数的比例___ 出现的频率．
(2)概率的统计定义 一般地，如果随机事件A在n次试验中发生了m次，当试验的次数n很大 m 时，我们可以发现事件A发生的频率___ n 趋近于一个常数，这个常数随着试
(2)试验、事件 一次试验就是对于某个现象的条件实现一次，例如对“掷一枚硬币，出
高中数学 第三章 概率 3.2 古典概型(1)教案 苏教版必修3(2021年最新整理)
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3.2 古典概型（1)教学目标：1。
掌握基本事件的概念；2。
正确理解古典概型的两大特点:有限性、等可能性；3. 掌握古典概型的概率计算公式，并能计算有关随机事件的概率．教学重点：掌握古典概型这一模型．教学难点：如何判断一个实验是否为古典概型，如何将实际问题转化为古典概型问题.教学方法:问题教学、合作学习、讲解法、多媒体辅助教学．教学过程：一、问题情境1。
有红心1，2,3和黑桃4，5这5张扑克牌，将其牌点向下置于桌上，现从中任意抽取一张，则抽到的牌为红心的概率有多大?2.猜想两个实验的结果：（1）有红心1，2，3和黑桃4，5这5张扑克牌,将其牌点向下置于桌上，现从中任意抽取一张，该实验的所有可能结果是什么?（2)抛掷一枚质地均匀的骰子的所有可能结果是什么？二、学生活动1．进行大量重复试验,用“抽到红心”这一事件的频率估计概率，发现工作量较大且不够准确；2．（1）共有“抽到红心1”“抽到红心2”“抽到红心3”“抽到黑桃4”“抽到黑桃5”5种情况,由于是任意抽取的，可以认为出现这5种情况的可能性都相等；(2）6个;即“1点"、“2点"、“3点”、“4点”、“5点”和“6点”，这6种情况的可能性都相等；三、建构数学1．介绍基本事件的概念，等可能基本事件的概念；2．让学生自己总结归纳古典概型的两个特点(有限性)、(等可能性）；3．得出随机事件发生的概率公式：四、数学运用1．例题。
3.1.1随机事件的概率(教学设计)
数学·必修3·第三章·概率3.1.1 随机事件的概率（教学设计）【教材内容分析】概率论是统计学的基础，在学习完第二章《统计》的知识后，马上安排概率的知识可以让学生了解概率与统计之间的关系，并将第二章所学知识应用于概率的探索中；本节是第三章的起始课，包含了章引言，在章引言中，从学生熟悉的例子（彩票、飞镖、天气预报、遗传规律）谈起，让学生了解生活中的许多事情的结果都是无法预知的，我们把这些事情称为随机事件，了解这些事件发生的概率对于我们做出正确的决策起着重要作用；作为第一个课时的内容，本节课主要是了解事件的分类，概率与频率的定义以及关系，了解通过试验可以获得随机事件的概率，因此，本节课主要采用了学生动手试验、观察、分析试验结果，归纳总结的方法来进行教学，旨在让学生理解概率与频率的关系，运用第二章《统计》的知识，收集数据与分析数据，体会随机事件在一次试验中发生的偶然性与进行大量重复试验后频率的规律性，了解用频率估计概率的可行性。
【学情分析】学生在九年级上册已经学习过“概率的初步”，了解了事件的分类、用列举法求等可能事件的概率、用频率估计概率等内容，时间间隔不长，所以学生对概率的知识其实并不陌生，在授课时事件的分类类似于复习旧知，让学生举例说明即可，因此本课的重点应放在让学生自己动手做试验，并尝试用第二章《统计》的知识来分析收集到的数据，去体会频率估计概率的可行性，由于数学试验课在整个高中课堂教学中出现的次数不多，因此在试验前一定要讲清试验规则和要求，以确保试验结果的有效性，并指导学生认真完成。
我用来上课的班级高一12班，全班52名同学，属于年级的重点班，回答问题比较积极，学习比较主动，因此本节课的大部分时间主要放在让学生做试验，观察，讨论、并归纳出试验次数对频率的影响，体会随机事件的随机性与规律性的关系。
【教学目标】1.在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性；2.学会用《统计》的知识来分析收集到的数据；3.进一步了解概率的意义以及概率与频率的区别与联系。
2021年高中数学第三章概率3.古典概型学案苏教版必修
2021年高中数学第三章概率3.2古典概型学案苏教版必修1．理解等可能事件的意义，会把事件分解成等可能的基本事件．(重点、难点) 2．理解古典概型的特点，掌握等可能事件的概率计算方法．(重点)[基础·初探]教材整理1 基本事件与等可能事件阅读教材P100前四段的内容，并完成下面的问题．1．基本事件在1次试验中可能出现的每一个基本结果称为基本事件．2．等可能事件若在1次试验中，每个基本事件发生的可能性都相同，则称这些基本事件为等可能基本事件．填空：(1)在a，b，c，d四个数中选取2个字母，其中基本事件的个数为________．【解析】从a，b，c，d中选取两个字母，基本事件有：ab，ac，ad，bc，bd，cd，共6种．【答案】 6(2)“抛掷两枚硬币，至少一枚正面向上”________基本事件．(填“是”或“不是”)【解析】抛掷两枚硬币的基本事件有“正正”，“正反”，“反正”，“反反”，共4种，其中“至少一枚正面向上”包括“正正”、“正反”、“反正”三种情况，故不是基本事件．【答案】不是教材整理2 古典概型阅读教材P100第五段至“例1”上边的内容，并完成下面的问题．1．古典概型的概念(1)特点：①有限性：所有的基本事件只有有限个； ②等可能性：每个基本事件的发生都是等可能的． (2)定义：将满足上述条件的随机试验的概率模型称为古典概型． 2．古典概型概率的计算公式如果1次试验的等可能基本事件共有n 个，那么每一个等可能基本事件发生的概率都是1n；如果某个事件A 包含了其中m 个等可能基本事件，那么事件A 发生的概率为P (A )＝m n.即P (A )＝事件A 包含的基本事件数试验的基本事件总数.填空：(1)从1,2,3中任取两个数字，设取出的数字中含有3为事件A ，则P (A )＝________. 【解析】 从1,2,3中任取两个数字，共有1和2,1和3,2和3,3种基本事件，其中包含3的有1和3,2和3两种，所以P (A )＝23.【答案】 23(2)若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为________． 【解析】 甲、乙、丙三人随机地站成一排有(甲乙丙)、(甲丙乙)、(乙甲丙)、(乙丙甲)、(丙甲乙)、(丙乙甲)共6种排法，甲、乙相邻而站有(甲乙丙)、(乙甲丙)、(丙甲乙)、(丙乙甲)共4种排法，由概率计算公式得甲、乙两人相邻而站的概率为46＝23.【答案】 23[小组合作型]基本事件的计数问题袋中共有63个黑球．从袋中任取两球，(1)两个都是黑球的基本事件共有多少种； (2)求两球颜色为一红一白的基本事件共有多少种； (3)求一白一黑的基本事件共有多少种.【精彩点拨】用列举法(或列表法)把每一种情况都列举出来．【自主解答】法一：列举法．记红球为A,2个白球为B1，B2,3个黑球为C1，C2，C3，则从中任取2个球，基本事件共有(A，B1)，(A，B2)，(A，C1)，(A，C2)，(A，C3)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B1，C2)，(B1，C3)，(B2，C1)，(B2，C2)，(B2，C3)，(C1，C2)，(C1，C3)，(C2，C3)，共计15种，(1)两个都是黑球的有如下3种(C1，C2)，(C1，C3)，(C2，C3)．(2)两球颜色为一红一白的有如下2种(A，B1)，(A，B2)．(3)两球颜色为一白一黑的有如下6种：(B1，C1)，(B1，C2)，(B1，C3)，(B2，C1)，(B2，C2)，(B2，C3)．法二：列表法．记红球为A,2个白球为B1，B2,3个黑球为C1，C2，C3，则从中任取2球的所有情况如下：(注意取的2球与顺序无关).A B1B2C1C2C3A (A，B1)(A，B2)(A，C1)(A，C2)(A，C3)B1(B1，B2)(B1，C1)(B1，C2)(B1，C3)B2(B2，C1)(B2，C2)(B2，C3)C1(C1，C2) (C1，C3)C2(C2，C3)C3121323(2)两球颜色一红一白的基本事件有2个，即(A，B1)，(A，B2)．(3)两球一黑一白的基本事件有6个，即(B1，C1)，(B1，C2)，(B1，C3)，(B2，C1)，(B2，C2)，(B2，C3)．求基本事件个数的常用方法．(1)列举法此法适用于情境比较简单，基本事件个数不是很多的概率问题，计算时只需将随机事件所含的基本事件一一列出即可．注意列举时必须按一定顺序，做到不重不漏．(2)列表法此法适用于试验结果不是太多的情况，求解时通常把基本事件问题转化为“实数对”的问题，以便更直接地找出基本事件个数．列表法的优点是准确、不易遗漏，其中最常用的方法是坐标系法．(3)树形图法：树形图法是进行列举的一种常用方法，适用于较复杂问题中基本事件数的求解．[再练一题]1．将一枚硬币连续掷三次，试写出所有的基本事件．【解】法一：列举法．(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，(正，反，反)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)，共8种情况．法二：画树形图．共8种情况.古典概型的判断及概率的计算(1)①从6名同学中，选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性大小；②同时掷两颗骰子，点数和为7的概率；③近三天中有一天降雨的概率；④10个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率．【精彩点拨】根据古典概型的两个特点进行判断．【自主解答】序号分析结果①满足有限性，等可能性是②满足有限性，等可能性是③不满足等可能性不是④满足有限性，等可能性是(2)将一枚质地均匀且四个面上分别标有1,2,3,4的正四面体先后抛掷两次，其底面落于桌面上，记第一次朝下面的数字为x ，第二次朝下面的数字为y .用(x ，y )表示一个基本事件．①请写出所有的基本事件；②求满足条件“x y为整数”的事件的概率； ③求满足条件“x －y ＜2”的事件的概率．【精彩点拨】 先列举出所有基本事件，判断事件包含的基本事件个数，然后利用公式求解．【自主解答】 ①先后抛掷两次正四面体的所有基本事件为： (1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)， (2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)， (3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)， (4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)， 共16个基本事件．②用A 表示满足条件“x y为整数”的事件，则A 包含的基本事件有：(1,1)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,4)，共8个基本事件． 所以P (A )＝816＝12.故满足条件“x y 为整数”的事件的概率为12.③用B 表示满足条件“x －y ＜2”的事件， 则B 包含的基本事件有： (1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)， (2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)， (3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)， (4,4)．共13个基本事件． 则P (B )＝1316，故满足条件“x －y <2”的事件的概率为1316.1．判断一个概率类型是否为古典概型的关键是看试验的结果是否满足有限性和等可能性．2．求古典概型概率的步骤： (1)求出基本事件总数n .(2)求出事件A 包含的基本事件的个数m . (3)利用公式P (A )＝事件A 包含的基本事件数试验的基本事件总数＝mn求出事件A 的概率．[再练一题]2．甲、乙两人做出拳游戏(锤子、剪子、布)，则平局的概率是________；甲赢的概率是________；乙赢的概率是________．【解析】 设平局为事件A ，甲赢为事件B ，乙赢为事件C . 列出如下表格由上图容易得到，基本事件总数为9. (1)平局含3个基本事件(图中的△)； (2)甲赢含3个基本事件(图中的)； (3)乙赢含3个基本事件(图中的※)； 用古典概率的计算公式，可得P (A )＝39＝13；P (B )＝39＝13；P (C )＝39＝13.【答案】 13 13 13[探究共研型]“有放回”与“无放回”事件的概率(1)从中任取1球，每次取出后不放回，连续取2次，基本事件共有多少个？ (2)从中任取1球，每次取后放回，连续取2次，基本事件共有多少个？【提示】 (1)不放回抽取中，基本事件共有(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，共6个．(2)有放回的抽取，基本事件共有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共9个．探究2 “有放回”与“无放回”的区别是什么？探究1中的两种试验是否是古典概型？【提示】 “有放回”与“无放回”取法的区别在于基本事件总数不同．“有放回”地取元素时，被取元素个数不变；“无放回”地取元素时，被取元素的个数取一次少一次．但两种取法都满足古典概型的两个特点，故都是古典概型．从含有两件正品a 1，a 2和两件次品b 1，b 2的4件产品中每次任取1件，连续取2次． (1)若取后不放回，求取出的2件产品中恰有一件次品的概率； (2)若取后放回，求取出的2件产品中恰有一件次品的概率．【精彩点拨】 列出所有基本事件→设出事件A →确定A 包含的基本事件→求概率 【自主解答】 (1)取后不放回地取两次，所有基本事件为：(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，a 1)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)，(b 1，b 2)，(b 2，a 1)，(b 2，a 2)，(b 2，b 1)共有12个．设“取出的2件产品中恰有一件次品”为事件A ，则A 包含的基本事件有(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)，(b 2，a 1)，(b 2，a 2)，共8个．故P (A )＝812＝23，即取出的2件产品中恰有一件次品的概率是23.(2)取后放回地取两次，所有基本事件为：(a 1，a 1)，(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，a 1)，(a 2，a 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)，(b 1，b 1)，(b 1，b 2)，(b 2，a 1)，(b 2，a 2)，(b 2，b 1)，(b 2，b 2)共16个．设“取出的2件产品中恰有一件次品”为事件B ，则B 包含的基本事件有(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)，(b 2，a 1)，(b 2，a 2)，共8个．故P (B )＝816＝12，即取出的2件产品中恰有一件次品的概率为12.1．在古典概型的条件下，用列举法把试验的所有结果一一列举出来，然后求出其中的事件A 包含的基本事件的个数和基本事件总数，再利用古典概型概率公式求概率，这是一个形象、简单的好方法．2．在列举试验的所有结果时，一定要区分试验的具体情况，并按某一顺序把所有试验结果列举出来，同时要做到不重不漏．[再练一题]3．先后从分别标有数字1,2,3,4的4个大小、形状完全相同的球中，有放回地随机抽取2个球，则抽到的2个球的标号之和不大于5的概率为________.【解析】 基本事件共有4×4＝16(个)，其中抽到的2个球的标号之和不大于5的情况有：(1,1)、(1,2)、(1,3)、(1,4)、(2,1)、(2,2)、(2,3)、(3,1)、(3,2)、(4,1)，共10种，所以所求概率为1016＝58.【答案】 581．从1,2,3,4中任意取两个不同的数字组成两位数，则基本事件共有________个． 【解析】 基本事件为12,21,13,31,14,41,23,32,24,42,34,43，共12个． 【答案】 122．随意安排甲、乙、丙3人在3天节日中值班，每人1天，则甲安排在乙之前的概率为________．【解析】 甲乙丙3人在3天值班的所有情况有：(甲，乙，丙)，(甲，丙，乙)，(乙，甲，丙)，(乙，丙，甲)，(丙，甲，乙)，(丙，乙，甲)共6种，其中甲安排在乙之前有3种，故所求概率为36＝12.【答案】 123．从分别写有A ，B ，C ，D ，E 的5张卡片中，任取2张，这2张上的字母恰好按字母的顺序相邻的概率为________．【解析】 从A ，B ，C ，D ，E 中任取2张共有AB ，AC ，AD ，AE ，BC ，BD ，BE ，CD ，CE ，DE 10种情况，而字母的顺序相邻的情况有AB ，BC ，CD ，DE 4种情况．∴P ＝410＝25.【答案】 254．口袋里装有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，4个人按顺序依次从中摸出一球，则第二个人摸到白球的概率为________．【解析】 法一：用A 表示事件“第二个人摸到白球”．记2个白球编号分别为1,2；2个黑球编号分别为3,4.于是4个人按顺序依次摸球，从袋中摸出一球的所有可能结果用树状图直观地表示出来(如图所示)．从树状图可以看出，试验的所有可能结果数为24.在这24种结果中，第二个人摸到白球的结果有12种，因此“第二个人摸到白球”的概率P (A )＝1224＝12.法二：只考虑球的颜色，4个人按顺序依次从袋中摸出一球的所有可能结果可用树状图表示如图所示．由树状图可知试验的所有可能结果数为6.在这6种结果中，第二个人摸到白球的结果有3种，因此“第二个人摸到白球”的概率为36＝12.【答案】 125．现从A 、B 、C 、D 、E 五人中选取三人参加一个重要会议，五人被选中的机会相等．求： (1)A 被选中的概率； (2)A 和B 同时被选中的概率．【解】 从A 、B 、C 、D 、E 五人中任选三人参加会议共有以下10种方式：(A 、B 、C )、(A 、B 、D )、(A 、B 、E )、(A 、C 、D )、(A 、C 、E )、(A 、D 、E )、(B 、C 、D )、(B 、C 、E )、(B 、D 、E )、(C 、D 、E )，且每种结果出现是等可能的．(1)事件“A 被选中”只有6种方式．故所求事件的概率P ＝610＝35＝0.6.(2)A 、B 同时被选中共有3种方式，故所求事件的概率为310＝0.3.。
苏教版高中数学必修三教案：第3章概率复习与小结
第3章概率复习与小结姜堰市蒋垛中学朱善宏教学目标：通过复习，使学生在具体情景中：1．了解随机事件发生的不确定性及频率的稳定性；2．了解概率的某些基本性质和简单的概率模型；3．会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率；4．能运用实验、计算器（机）模拟估计简单随机事件发生的概率；5．培养学生的理性思维能力和辩证思维能力，增强学生的辩证唯物主义世界观．教学重点：求解一些简单古典概型、几何概型．教学难点：古典概型、几何概型的对比．教学方法：谈话、启发式．教学过程：一、问题情境1．回顾本章所涉及到的定义或概念．2．说出你对这些定义或概念的理解及它们之间的区别和联系．3．你能否用知识网络将它们联系起来．二、学生活动三、建构数学随机事件注意点：1．要搞清楚什么是随机事件的条件和结果．2．事件的结果是相应于“一定条件”而言的．因此，要弄清某一随机事件，必须明确何为事件发生的条件，何为在此条件下产生的结果．3．随机事件在一次试验中是否发生虽然不能事先确定，但是在大量重复试验的情况下，它的发生呈现出一定的规律性．概率注意点：（1）求一个事件的概率的基本方法是通过大量的重复试验；（2）只有当频率在某个常数附近摆动时，这个常数才叫做事件A 的概率；（3）概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值；（4）概率反映了随机事件发生的可能性的大小；（5）必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0．因此()10≤≤A P ．四、数学运用（一）随机现象例1 指出下列事件中，哪些是不可能事件？哪些是必然事件？哪些是随机事件？（1）若a b c ，，都是实数，则()()c ab bc a =；（2）没有空气，动物也能生存下去；（3）在标准大气压下，水在温度c ︒90时沸腾；（4）直线()1+=x k y 过定点()0,1-； （5）某一天内电话收到的呼叫次数为0；（6）一个袋内装有性状大小相同的一个白球和一个黑球，从中任意摸出1个球则为白球．（二）古典概型与几何概型的对比．古典概型的概率公式：几何概型的概率公式相同：两者基本事件的发生都是等可能的；不同：古典概型要求基本事件有有限个，几何概型要求基本事件有无限多个．例2掷一颗均匀的骰子，求掷得偶数点的概率．分析：先确定掷一颗均匀的骰子试验的样本空间Ω和掷得偶数点事件A ，再确定样本空间元素的个数n ，和事件A 的元素个数m ．最后利用公式即可． 解：掷一颗均匀的骰子，它的样本空间是Ω＝{1， 2，3， 4，5，6}∴n ＝6而掷得偶数点事件A ＝{2， 4，6}∴m ＝3∴P (A ) ＝2163= 点评枚举法是计算古典概型中事件的重要方法，同时也要能熟练地运用图表法和树形图对某些等可能事件进行列举，教材例3的图表法采用坐标系的形式，横、纵轴分别表示第一、二次抛掷后向上的点数，此表能清楚直观地表现出各种情况，树形图对于元素不多而又易于分类的计数问题很有效，例4中画出了三“树”，其实只要画出一个树即可推知其余两个树的情况．例3如图所示，在边长为1的正方形OABC 内任取一点P (x ，y )．（1）求点P 到原点距离小于1的概率；（2）求以x ，y ，1为边长能构成锐角三角形的概率．解析（1）所有的点P 构成正方形区域D ，若点P 到原点距离小于1，则⎩⎨⎧ 0<x <1，0<y <1，x 2＋y 2<1，所以符合条件的点P 构成的区域是圆x 2＋y 2＝1在第一象限所围的平面部分．∴点P 到原点距离小于1的概率为：14·π·1212＝π4＝π4． （2）构成三角形的点P 在△ABC 内，若构成锐角三角形，则最大边1所对的角α必是锐角，cos α＝x 2＋y 2－122xy＞0，x 2＋y 2＞1， 即点P 在以原点为圆心，1为半径的圆外，∴点P 在边AB ，BC 及圆弧AC 围成的区域内，∴其概率为：12－π4·1212＝π4． 答：点P 到原点距离小于1的概率为π4；以x ，y ，1为边长能构成锐角三角形的概率为1－π4．注： 解决几何概型问题，判断事件的等可能性这是易忽略点，其次要正确理解几何概型的含义：某一事件A 发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，而与位置和形状无关系，这是易错之处．为防止错误发生，解决实际问题时，一定要按部就班，先判断是否为几何概型，再严格按照几何概型的计算方法求解，最后做出正确判断，防止想当然，凭直觉．（三） 互斥事件1．互斥事件概率的理解．（1）互斥事件概率的加法公式，是在事件A 和事件B 互斥的前提下进行的．事件A ，B 互为对立事件的条件是：A ∩B 为不可能事件，A ∪B 为必然事件，且有P (A )＋P (B )＝1．（2）对立事件一定是互斥事件，而互斥事件却不一定是对立事件，只有当两个互斥事件中有一个发生时，它才能成为对立事件．（3）从集合的角度来看，若将总体看成全集U ，将事件A 看成由A 所含的结果组成的集合，则A 是U 的子集，这时A 的对立事件可看成是A 的补集；判断两个事件是否为对立事件，首先要判断它们是否互斥；其次要确定它们中必定要有一个发生．2．从正面解决问题较困难时，可转换思维视角从其反面考虑，即从事件的对立事件考虑，往往可以降低解题的难度，简化运算．此技巧为“正难则反”策略，此策略在互斥事件的概率中应用相当广泛和频繁，应引起我们足够的重视．例4一只蚂蚁在边长分别为3，4，5的三角形ABC 区域内任意爬行，则其恰在离三个顶点的距离都大于1的地方的概率是．答：112π ． （四）练习．1．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的事件是 ( ) A ．至少有1个白球和全是白球 B ．至少有1个白球和至少有1个红球C ．恰有1个白球和恰有2个白球D ．至少有1个红球和全是白球2．如果事件A ，B 互斥，那么 ( )A B C 45A．A＋B是必然事件B．BA+是必然事件C．A与B一定互斥D．A与B一定不互斥3．下列命题中，真命题的个数是( )①将一枚硬币抛两次，设事件A为“两次出现正面”，事件B为“只有一次出现反面”，则事件A与B是对立事件；②若事件A与B为对立事件，则事件A与B为互斥事件；③若事件A与B为互斥事件，则事件A与B为对立事件；④若事件A与B为对立事件，则事件A+B为必然事件．A．1 B．2 C．3 D．44．甲，乙两人下棋，甲获胜的概率为40％，甲不输的概率为90％，则甲，乙两人下成和棋的概率为( ) A．60％B．30％C．10％D．50％5．某射击运动员在一次射击训练中，命中10环，9环，8环，7环的概率分别为0．21，0．23，0．25，0．28．则这名运动员在一次射击中:命中10环或9环的概率是__________，少于7环的概率是____________．6．在区间[0，10]上任取一个数，求x<3 或x>6的概率______．7．有5张1角，3张2角和2张5角的邮票，任取2张，求其中两张是同价格的概率___________．8．已知随机事件E为“掷一枚骰子，观察点数”，事件A表示“点数小于5”，事件B表示“点数是奇数”，事件C表示“点数是偶数”．问：（1）事件A+C表示什么?（2）事件CA+,分别表示什么?+,ACA9．我国已经正式加入WTO，包括汽车在内的进口商品将最多在5年内把关税全部降低到世贸组织所要求的水平，其中有21％的进口商品恰好5年关税达到要求，18％的进口商品恰好4年关税达到要求，其余的进口商品将在3年或3年内达到要求，求进口汽车在不超过4年的时间内关税达到要求的概率．10．袋中有2个伍分硬币，2个贰分硬币，2个壹分硬币，从中任取3个，求总数超过7分的概率．11．某公共汽车站每隔10分钟就有一趟车经过，小王随机赶到车站，则小王等车时间不超过4分钟的概率是________．五、要点归纳与方法小结本节课学习了以下内容：指导学生阅读有关资料，了解人类认识随机现象的过程．结合概率的教学，进行偶然性和必然性对立统一观点的教育．让学生感受数学与现实世界的重要联系，崇尚数学的理性精神，逐步形成辨证的思维品质；养成准确、清晰、有条理地表述问题的习惯，提高学生的数学表达和交流的能力；进一步拓宽学生的视野，逐步认识数学的科学价值、应用价值和文化价值．。
高中数学 3.1 随机事件及其概率学案 苏教版必修3-苏教版高中必修3数学学案
3.1 随机事件及其概率试验的结果.1．随机现象(1)确定性现象：在一定条件下，事先就能断定发生或不发生某种结果，这种现象就是确定性现象． (2)随机现象：在一定条件下，某种现象可能发生，也可能不发生，事先不能断定出现哪种结果，这种现象就是随机现象．预习交流1确定性现象是指一定条件下事先就能断定其一定发生的现象吗？提示：不一定．确定性现象是指在一定条件下，事先就能断定发生或不发生某种结果的现象．如正常情况下，水向高处流，是事先能断定不发生的现象，也是确定性现象．2．随机事件 (1)试验与事件：对于某个现象，如果能让其条件实现1次，那么就是进行了1次试验．而试验的每一种可能的结果，都是一个事件．(2)必然事件：在一定的条件下，必然会发生的事件叫做必然事件．(3)不可能事件：在一定条件下，肯定不会发生的事件叫做不可能事件． (4)随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件叫做随机事件．随机事件一般用大写英文字母来表示，简称为事件．预习交流2随机事件概念中的“一定条件”能否去掉？提示：不能．事件的结果是相对于“一定条件”而言的，随着条件的改变，其结果也会不同．因此在随机事件的概念中“一定条件”不能去掉．3．随机事件的概率(1)随机事件的概率：一般地，对于给定的随机事件A ，在相同条件下，随着试验次数的增加，事件A 发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定，我们可以用这个常数来刻画随机事件A 发生的可能性大小，并把这个常数称为随机事件A 的概率，记作P (A )．(2)概率的性质：概率必须满足两个基本要求：①P (A )的范围是0≤P (A )≤1； ②分别用Ω和∅分别表示必然事件和不可能事件，则P (Ω)＝1，P (∅)＝0. 预习交流3“频率”与“概率”之间有何关系？提示：随机事件的频率，指此事件发生的次数与试验总次数的比值．它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，摆动幅度越来越小．我们把这个常数叫做这个随机事件的概率．概率可看做频率在理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小．频率在大量重复试验的前提下可近似地看做这个事件的概率．预习交流4(1)下列事件：①明天多云；②3＞2；③济南市明年今天的天气与今天的天气一样；④x ∈R ，x 2＋2＜0；⑤走到十字路口，遇红灯；⑥任给x 0∈R ，x 0＋2＝0.其中随机事件的个数为__________．(2)从装有3个红球、2个绿球的袋子中任取两个小球，这两个小球都是绿色的．这一事件是__________事件．(填“必然”、“不可能”或“随机”)(3)数学测试后，成绩统计显示全班50名同学中，有10名同学的分数在90分以上．若设“分数在90分以上”为事件A，则事件A发生的频率为__________．提示：(1)4 (2)随机(3)1 5一、事件类型的判断指出下列事件中哪些是必然事件、不可能事件、随机事件：(1)明天某人的手机接到20次呼叫；(2)三角形的内角和是180°；(3)李四走到十字路口遇到张三；(4)某人购买福利彩票5注，均未中奖；(5)若x∈R，则x2＝x；(6)在标准大气压下，温度低于0 ℃时，冰融化．思路分析：本题可以根据事件的定义去判断，解决此类问题的关键是根据题意明确条件，判断在此条件下，事先能否断定出现某种结果．解：明天某人的手机接到的呼叫次数不确定，故(1)为随机事件；同理由事件的定义得：(2)是必然事件；(3)(4)是随机事件；(5)是随机事件；(6)是不可能事件．1．在下列六个事件中，随机事件的个数为__________．①如果a，b都是实数，那么a＋b＝b＋a；②从分别标有1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的10张号签中任取一张，得到4号签；③投掷一枚均匀的硬币，正面朝上；④某电话总机在60秒内接到至少10次呼叫；⑤在标准大气压下，水的温度达到50 ℃时沸腾；⑥异性电荷，相互吸引．答案：3解析：由题意知，①⑥是必然事件，⑤是不可能事件，②③④是随机事件．2．下列事件：①同一门大炮向同一个目标发射多发炮弹，其中50%的炮弹击中目标；②某人给其朋友打电话，却忘记了朋友电话号码的最后一个数字，就随意拨了一个数字，恰巧是朋友的电话号码；③直线y＝2x＋6是定义在R上的增函数；④“若|a＋b|＝|a|＋|b|，则a，b同号”；⑤射击运动员射击一次，射中10环．其中是必然事件的为__________．答案：③解析：①②④⑤为随机事件，③为必然事件．3．指出下列事件哪些是必然事件、不可能事件、随机事件：(1)中国体操运动员将在下届奥运会上获得全能冠军；(2)三角形的两边之和小于第三边；(3)对数函数y＝log a x(a＞1)在(0，＋∞)上是增函数；(4)北京明年1月1日下雨；(5)将一个骰子抛掷两次，所得点数之和大于7；(6)太阳从西边升起．解：由题意知，(1)(4)(5)中事件可能发生，也可能不发生，所以是随机事件．(2)(6)中的事件一定不会发生，是不可能事件．(3)中的事件一定会发生，是必然事件．对于一个事件，如果条件发生改变，结果就可能不同．对有关事件概念的理解是解题的关键，要特别注意事件的条件对事件结果的影响．二、概率与频率的关系(1)(2)这个射手射击一次便击中靶心的概率约是多少？思路分析：理解“频率的稳定值就是概率”是解答本题的关键，可根据(1)的结果观察频率m n 稳定在哪个常数上，即可求出击中靶心的概率．解：(1)表中依次填入的数据为：0.80,0.95,0.88，0.92，0.89,0.91.(2)由于频率稳定在常数0.90左右，所以这个射手击中靶心的概率约是0.90.1．某人将一枚硬币抛掷了10次，正面朝上出现了6次，则该事件发生的频率为__________．答案：35解析：该事件发生的频率为610＝35. 2．下表中列出了10次试验抛掷硬币的结果，n 为每次试验抛掷硬币的次数，m 为硬币解：由n 可分别求出这10次试验中“正面向上”这一事件的频率依次为：0.502,0.498,0.512,0.506,0.502，0.492,0.488，0.516,0.524,0.494.这些数字在0.5附近摆动，由概率的统计定义可得，“正面向上”这一事件发生的概率为0.5.概率与频率的关系(1)频率是概率的近似值如果随机事件A 在n 次试验中发生了m 次，当试验的次数n 很大时，可以将事件A 发生的频率m n 作为事件A 的概率的近似值，即P (A )≈m n；(2)概率是频率的科学抽象随机事件的概率，一般都是要通过大量重复试验来求得其近似值．(3)频率具有随机性，它反映的是随机事件出现的可能性；而概率是一个客观常数，它反映了随机事件的属性，如果一个事件是随机事件，即使该事件的概率再大，那么，在一次试验中，它可能发生，也可能不发生．1．以下现象是随机现象的序号是______．①若a，b∈R，则a·b＝b·a；②打开电视，正在播放《新闻联播》；③地球上，苹果熟了会落地；④对半径为R的圆，其面积为πR2；⑤在艺术节的晚会上，灯光出现故障；⑥种下的一粒煮熟的种子发芽．答案：②⑤解析：①③④必然发生，⑥不可能发生，都是确定性现象．②⑤是随机现象．2．下面给出了四种现象：①若x∈R，则x2＜0；②没有水分，种子发芽；③某地明年8月8日天晴；④若平面α∩平面β＝m，n∥α，n∥β，则m∥n.其中是确定性现象的是__________．答案：①②④解析：根据确定性的定义可知应填①②④.3．气象台预报“本市明天降雨概率是70%”，以下理解正确的序号是__________．①本市明天将有70%的地区降雨；②本市明天将有70%的时间降雨；③明天出行不带雨具肯定要淋雨；④明天出行不带雨具淋雨的可能性很大．答案：④解析：概率是随机事件发生的可能性大小的一种度量，“本市明天降雨概率是70%”指的是本市明天降雨的可能性是70%，即降雨的可能性比较大．4．某批发市场对某种商品的周销售量(单位：吨)进行统计，最近100周的统计结果如下表所示：根据上面统计结果，______________．答案：0.2,0.5,0.3解析：由题意得所求频率分别为：20 100＝0.2，50100＝0.5，30100＝0.3.5．某教授为了测试贫困地区和发达地区的同龄儿童的智力，出了10道智力题，每道题10分，然后作了统计，下表是统计结果：(1)(2)求两个地区参加测试的儿童得60分以上的概率；(3)分析贫富差距为什么会带来人的智力的差别．(3)经济上的贫困导致该地区生活水平落后，儿童的健康和发育会受到一定的影响；另外经济落后也会使教育事业发展落后，这都是贫富差距带来的智力差别的原因．。
高中数学第3章概率3.1随机事件及其概率教案苏教版必修3
第3章概率本章概述一、课标要求本章通过对随机现象研究，学习认识客观世界方法.多年来，学生学习数学，主要研究确定现象，对于不确定现象规律知之甚少.通过本章学习，使学生进一步了解不仅确定性现象有规律，可以预知结果，可以用数学方法去研究，而且不确定现象也有规律可循，同样也能用数学方法去研究.使学生初步形成用科学态度、辩证思想、用随机观念去观察、分析、研究客观世界态度，寻求并获得认识世界初步知识与科学态度.1.在具体情境中了解随机事件发生不确定性及频率稳定性，进一步了解概率意义以及概率与频率区别.2.通过实例，理解古典概型概率计算公式，会用列举法计算随机事件所包含根本领件数以及事件发生概率.3.了解随机数意义，能运用模拟方法〔包括计算机产生随机数来模拟〕根据概率，初步体会几何概型意义.4.通过实例，了解两个互斥事件概率加法公式.5.通过阅读相关材料，了解人类认识随机现象过程.6.使学生能初步利用概率知识对实际问题进展分析，并进展理性思考，学会对纷繁复杂事物进展探索，养成透过事物外表现象把握事物本质所在思维方法，培养学生理性思维能力与辩证思维能力、创新意识与探究能力、数学建模能力与实践能力，以及表达、交流能力，增强学生辩证唯物主义世界观，进一步树立科学人生观、价值观.7.注重表达数学文化价值与美学价值，增强学生审美观，丰富学生文化底蕴，提高学生人文素质.二、本章编写意图与教学建议人们在认识自然过程中，对自然现象进展大量观察，通过观察得到大量数据，再对得到数据进展分析，找出其内在规律.人们发现，有些现象并不像万有引力定律那样可以得到完全确定规律.现实世界中发生事件大多是随机事件，人们通过对随机事件大量重复试验结果进展理性探讨，发现了随机事件也不是毫无规律可循.研究这些规律，最终导致了概率诞生.学生在初中已经接触了概率初步知识，本章那么是在此根底上开场系统地学习概率知识.本章又是高中阶段第一次学习这一内容，在后续学习中还将继续学习概率其他内容，因此，在高中阶段概率学习中，起到了承前启后作用，由于与概率计算密切相关内容还没有学习，因此，在涉及有关计算问题时采用枚举法，而在用枚举法时一定要做到既不重复也不遗漏，应该按照一定顺序来计算有关数据，也可以用表格或树形图来进展有关数据计算.本章包括了随机事件概率、古典概型、几何概型以及互斥事件有一个发生概率等内容.概率核心问题是要让学生了解随机现象及概率意义，为了让学生能更深入地理解，可以列举日常生活中实例，由此正确理解随机事件发生不确定性及其频率稳定性，从而加深对概率理解；古典概型从随机事件发生频率稳定性导入，通过对频率稳定性研究得出随机事件发生与否有一定规律可循，从而得出概率统计定义.在教学中让学生通过实例理解古典概型特征是试验结果有限性与每一个试验结果出现等可能性，使学生学会把一些实际问题转化为古典概型；从古典概型到几何概型，是从有限到无限延伸，在几何概型教学中抓住较强直观性特点.在教学中有意识地适当地运用现代信息技术辅助教学.在教学中要能做到：(1)注意概念区别与联系，类似概念不能够混淆，例如概率与频率，互斥事件与对立事件；(2)在运用公式时注意是否符合公式运用前提条件；(3)注意顺向思维与逆向思维合理运用，遵循“正难那么反〞原那么；(4)注意学习前辈学习与研究思维方法，能通过对大量事件观察抽象出事件本质.在本章教学中应注重培养学生学习信心，提高学生学习数学兴趣，使学生形成锲而不舍钻研精神与科学态度；培养学生数学思维能力，逐步地开展独立获取数学知识能力，形成批判性思维习惯，开展数学应用意识与创新意识；通过本章学习，让学生感受数学与现实世界重要联系，逐步形成辩证思维品质；养成准确，清晰，有条理地表述问题以及解决问题过程习惯，提高数学表达与交流能力；进一步拓展学生视野，逐步认识数学科学价值、应用价值与文化价值.三、教学内容及课时安排建议本章教学时间约需8课时：3.1 随机事件及其概率整体设计教材分析本节课是概率这一章第一节课，所以有必要在上新课之前向学生简要地介绍概率论开展、概率趣话以及概率应用，以此激发学生对科学探究精神与严肃认真科学态度.随机事件及其概率为一课时.本节课主要学习随机现象、必然事件、不可能事件、随机事件概念.通过抛掷硬币试验，探究随机事件概率，提醒概率本质，引出随机事件概率求法，同时让学生体验数学奥秘与数学美，激发学生学习兴趣.通过实例说明一个随机事件发生是存在着统计规律性，一个随机事件发生频率总是在某个常数附近摆.我们给这个常数取一个名字，叫做这个随机事件概率.它从数量上反映了这个事件发生可能性大小.它是0～1之间一个数.将这个事件记为A，用P(A)表示事件A发生概率.对于任意一个随机事件A，P(A)必须满足如下根本要求：0≤P(A)≤1.怎样确定一个事件发生概率呢？可以从实际问题出发，创设问题情境.具体设计如下：首先利用多媒体展示奥地利遗传学家孟德尔〔G.Mendel，1822～1884〕用豌豆进展杂交试验结果表格，通过商讨分析得到孟德尔是用某种性状发生频率来估计生物遗传根本规律.然后依次展示抛掷硬币模拟试验结果、π前n位小数中数字6出现频率、鞋厂某种成品鞋质量检验结果，通过商讨分析分别得出：掷硬币模拟试验结果中，当模拟次数很大时，正面向上频率值接近于常数0.5，并在其附近摆动；π前n位小数中数字6出现频率中数字6在π各位小数数字中出现频率值接近于常数0.1，并在其附近摆动；鞋厂某种成品鞋质量检验结果中，当抽取样品数很多时，优等品频率接近于常数0.95，并在其附近摆动.三维目标1.通过具体例子了解随机现象，了解必然事件、不可能事件、随机事件概念.采用实验探究法，按照思考、交流、实验、观察、分析、得出结论方法进展启发式教学.使学生了解一个随机事件发生既有随机性，又在大量重复试验中存在着一种客观规律性——频率稳定性，以引出随机事件概率意义与计算方法.2.理解随机事件在大量重复试验情况下，它发生呈现规律性.3.掌握概率统计定义及概率性质.引导学生对身边事件加以注意、分析，发挥学生主体作用，设计好探究性试验.指导学生做简单易行试验，让学生无意识地发现随机事件某一结果发生规律性，理论联系实际，激发学生学习积极性.4.通过概率论介绍，激发学生对科学探究精神与严肃认真科学态度.发动学生动手试验，体验数学奥秘与数学美，激发学生学习兴趣.培养学生辩证唯物主义观点，增强学生科学意识.重点难点教学重点:1.随机现象定义，必然事件、不可能事件、随机事件定义.2.概率统计定义，概率根本性质.教学难点:随机事件定义，随机事件发生存在统计规律性.课时安排1课时教学过程导入新课设计思路一：〔情境导入〕在第二次世界大战中，美国曾经宣布：一名优秀数学家作用超过10个师兵力.这句话有一个非同寻常来历.1943年以前，在大西洋上英美运输船队常常受到德国潜艇袭击，当时，英美两国限于实力，无力增派更多护航舰，一时间，德军“潜艇战〞搞得盟军焦头烂额.为此，有位美国海军将领专门去请教了几位数学家，数学家们运用概率论分析舰队与敌潜艇相遇是一个随机事件，从数学角度来看这一问题，它具有一定规律性.一定数量船〔为100艘〕编队规模越小，编次就越多〔为每次20艘，就要有5个编次〕，编次越多，与敌人相遇概率就越大.美国海军承受了数学家建议，命令舰队在指定海域集合，再集体通过危险海域，然后各自驶向预定港口.结果奇迹出现了：盟军舰队遭袭被击沉概率由原来25％降为1％，大大减少了损失，保证了物资及时供给.设计思路二：〔问题导入〕观察以下现象，各有什么特点？(1)在标准大气压下，水加热到100 ℃沸腾；(2)抛一石块，下落；(3)同性电荷互相吸引；〔4〕实心铁块丢入水中，铁块上浮；〔5〕射击一次，中靶；〔6〕掷一枚硬币，反面向上.解答：〔1〕、〔2〕两种现象必然发生，〔3〕、〔4〕两种现象不可能发生，〔5〕、〔6〕两种现象可能发生，也可能不发生.推进新课新知探究由上述事例可知现实生活中有很多现象，这些现象在一定条件下，可能发生也可能不发生.在一定条件下事先就能断定发生或不发生某种结果，这种现象就是确定性现象.在一定条件下，某种现象可能发生，也可能不发生，事先不能断定出现哪种结果，这种现象就是随机现象.对于某个现象，如果能让其条件实现一次，就是进展了一次试验，试验每一种可能结果，都是一个事件.在上述现象中，我们如果把〔1〕、(2)条件实现一次，那么〔1〕、(2)现象一定会出现“沸腾〞与“下落〞，“沸腾〞与“下落〞都是一个事件.对于在一定条件下必然要发生事件，叫做必然事件(certain event)；我们如果把(3)、〔4〕条件各实现一次，那么“吸引〞与“上浮〞也都是一个事件，但这两个事件都是不可能发生.在一定条件下不可能发生事件，叫做不可能事件(impossible event)；当(5)、(6)条件各实现一次，那么“中靶〞与“反面向上〞也都是一个事件，这两个事件，可能发生，也可能不发生.在一定条件下可能发生也可能不发生事件，叫做随机事件(random event).必然事件与不可能事件反映都是在一定条件下确定性现象，而随机事件反映是随机现象.我们一般用大写英文字母表示随机事件，例如随机事件A、随机事件B等，另外我们常常将随机事件简称为事件.由于随机事件具有不确定性，因而从外表上看，似乎偶然性在起着支配作用，没有什么必然性.但是，人们经过长期实践并深入研究后，发现随机事件虽然就每次试验结果来说具有不确定性，然而在大量重复试验中，它却呈现出一种完全确定规律性.历史上曾有人做过抛掷硬币大量重复试验，结果如下表：从表中我们可以看到，当抛掷硬币次数很多时，出现正面频率值是稳定，接近于常数0.5，在它左右摆动.对于给定随机事件A，在一样条件下，随着试验次数增加，事件A发生频率mn总在某个常数附近摆动并趋于稳定，因此，可以用这个常数来刻画随机事件A发生可能性大小，并把这个常数称为随机事件A概率〔probability〕，记作P(A).必然事件概率为1，不可能事件概率为0.因此0≤P(A)≤1 .对于概率统计定义，教师应说明以下几点：〔1〕求一个事件概率根本方法是通过大量重复试验；〔2〕只有当频率在某个常数附近摆动时，这个常数才叫做事件A概率；〔3〕概率是频率稳定值，而频率是概率近似值；〔4〕概率反映了随机事件发生可能性大小.应用例如思路1例1 给出以下事件：①某人练习打靶，一枪命中十环；②手机没电，接听；③抛一枚硬币，结果正面向上；④冰棒在烈日下融化；⑤一粒植物种子，播种后发芽；⑥向上抛一只不锈钢杯子，结果杯口向上.其中随机事件个数是〔〕A.3B.4解析：判断事件是否是随机事件，可以依据随机事件概念判断，也就是该事件在一定条件下，是否可能发生也可能不发生，如果可能发生也可能不发生，那么该事件为随机事件.由随机事件概念可知：①③⑤⑥是随机事件.答案：B点评：判断某一事件是否是随机事件依据随机事件概念，同样判断某一事件是否是必然事件或是不可能事件也是依据相应概念，因此，此题中②是不可能事件，④是必然事件.例2 指出以下事件中，哪些是不可能事件？哪些是必然事件？哪些是随机事件？〔1〕假设a、b、c 都是实数，那么a(bc)=(ab)c ；〔2〕没有空气，动物也能生存下去；〔3〕在标准大气压下，水在温度90°时沸腾；〔4〕直线y=k(x+1)过定点(－1,0)；〔5〕某一天内某人接听20次；〔6〕一个袋内装有形状、大小一样一个白球与一个黑球，从中任意摸出1个球为白球.分析：根据必然事件、随机事件与不可能事件定义来判断.解：由必然事件定义可知〔1〕、〔4〕是必然事件；由随机事件定义知〔5〕、〔6〕是随机事件；由不可能事件定义可知(2〕、〔3〕是不可能事件.点评：要判断一个事件是必然事件、随机事件还是不可能事件，应紧紧抓住这些事件定义，从定义出发来作出判断.例3 任取一个由50名同学组成班级〔称为一个标准班〕，至少有两位同学生日在同一天〔记为事件T〕概率是0.97，据此，我们知道( )A.取定一个标准班，事件T发生可能性为97%B.取定一个标准班，事件T发生概率大约是97%C.任意取定10 000个标准班，其中必有9 700个班有事件T 发生D.随着抽取班级数n不断增大，事件T发生频率逐渐接近0.97，并在它附近摆动解析：根据随机事件概率定义必须进展大量试验，才能得出某一随机事件概率，因此，此题应从定义出发来研究.对于取定一个标准班来说，T要么发生要么不发生，所以A，B 都不对；对任意取定10 000个标准班，也可能出现极端情况，如T 都不发生，因此C也不对；据概率统计定义知，选项D正确.答案：D点评：利用概率统计定义计算随机事件概率，需要大量重复试验.对某一个随机事件来说，在一次试验中不一定发生，但在大量重复试验下它发生又呈现一定规律.通过对概率定义感悟，感受数学学科实验性，体会偶然与必然辩证统一.例4 对某电视机厂生产电视机进展抽样检测数据如下：〔1〕计算表中优等品各个频率；〔2〕该厂生产电视机优等品概率是多少？分析：利用概率定义来求解此题.解：〔1〕各次优等品频率为0.8，0.92，0.96，0.95，0.956，0.954；〔2〕优等品概率是0.95.点评：通过此题进一步理解概率定义，领悟概率其实是某一随机事件发生可能性大小.例5 历史上曾有人做过抛掷硬币大量随机试验，结果如下：〔1〕计算表中正面向上频率；(2)试估计事件“正面向上〞概率.分析：先运用频率计算方法计算频率，再运用概率定义确定事件“正面向上〞概率.解：(1)表中频率自上而下依次为：0.518 1，0.506 9，0.501 6，0.500 5，0.499 6；〔2〕由(1)结果发现：当抛掷次数很多时，“正面向上〞频率接近于常数0.5，在它附近摆动，所以抛掷一枚硬币，正面向上概率约为0.5.点评：通过计算随机事件发生频率来估计随机事件概率是求随机事件概率常用方法.思路2例1 指出以下事件中哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件.〔1〕我国东南沿海某地明年将受到3次热带风暴侵袭；〔2〕假设a为实数，那么|a|≥0；〔3〕某人开车经过10个穿插路口都遇到绿灯；〔4〕一个正六面体六个面分别标有数字1、2、3、4、5、6，将该正六面体连续抛掷两次，向上一面数字之与大于12.分析：要判断某一事件是必然事件、随机事件还是不可能事件，可以依据必然事件、随机事件以及不可能事件定义来判断.解：由必然事件、随机事件与不可能事件定义可知：〔2〕是必然事件；〔1〕、〔3〕是随机事件；〔4〕是不可能事件.点评：对于某一事件是必然事件、随机事件还是不可能事件判断依据是定义，其关键是看事件本身是如何发生.例2 在一只口袋中装有形状与大小都一样2只白球与3只黑球，从中任意取出3只球，试编拟一些事件，使它们分别为随机事件、必然事件与不可能事件.分析：要编拟一些事件，使其为随机事件、必然事件与不可能事件，就是在一定条件下，所编拟事件必定发生那么为必然事件，必定不发生那么为不可能事件，可能发生也可能不发生那么为随机事件.解：事件A：任意取出3只球，恰有1只球是白球，那么事件A 是随机事件；事件B：任意取出3只球，至少有1只球是黑球，那么事件B 是必然事件；事件C：任意取出3只球，都是白球，那么事件C是不可能事件.点评：此题在编拟随机事件、必然事件与不可能事件时，是开放性问题，因此根据相应概念来编拟，答案不唯一.除了上述解答外，还可以是其他答案，例如：事件A：任意取出3只球，至少有1只球是白球，那么事件A 是随机事件；事件B：任意取出3只球，至多有2只球是白球，那么事件B 是必然事件；事件C：任意取出3只球，没有一只黑球，那么事件C是不可能事件.例3 用一台自动机床加工一批零件，从中抽出100个逐个进展直径检验，结果如下：从这100个螺母中，任意抽取一个，求事件A〔6.92<d≤6.94〕，事件B〔6.90<d≤6.96〕，事件C〔d>6.96〕，事件D〔d≤6.89〕频率并求这几个事件发生概率约为多少？分析：分别求出事件A〔6.92<d≤6.94〕，事件B 〔6.90<d≤6.96〕，事件C〔d>6.96〕，事件D〔d≤6.89〕频率，再根据这几个事件频率得出概率.解：事件A频率为17+10026=0.43，概率约为0.43；事件B频率为1008 1526171710+++++=0.93，概率约为0.93；事件C频率为=0.04，概率约为0.04；事件D频率为1001=0.01，概率约为0.01.点评：根据概率统计定义求随机事件概率常用方法是先求随机事件发生频率，再由频率得出随机事件发生概率.例4 某射手在同一条件下进展射击，结果如下表所示：〔1〕填写表中击中靶心频率；〔2〕这个射手射击一次，击中靶心概率约是多少？分析：击中靶心频率=击中靶心次数÷射击次数，再根据概率统计定义可知：击中靶心概率应为频率在某一常数P左右摆动，那么常数P即为该事件概率.解：〔1〕表中击中靶心频率依次为0.8，0.95，0.88，0.92，0.89；〔2〕因频率在常数0.89左右摆动，所以射手射击一次，击中靶心概率约是0.89.点评：在运用概率统计定义求某一事件概率时，应该先求频率，再根据频率来求该事件概率.知能训练一、课本随机现象练习.解答:2.(1)随机事件；(2)不可能事件；(3)必然事件；(4)不可能事件；(5)随机事件；(6)随机事件.3.必然事件：③；不可能事件：⑤；随机事件：①②④.4.必然事件：太阳每天都从东方升起；不可能事件：电灯在断电时发亮；随机事件：同时抛两枚硬币，正面都向上.二、课本随机事件概率练习.解答：1.不对.2.不同意，随机事件发生概率与该事件以前是否发生无关，故下1.次发生概率仍为23.不一定，第10个人治愈概率仍为10%.点评：通过练习，进一步加深必然事件、不可能事件、随机事件以及概率概念理解.课堂小结本节课主要研究了以下内容：1.随机事件、必然事件、不可能事件概念.2.随机事件A概率：一般地，如果随机事件A在n次试验中发m作生了m次，当试验次数n很大时，我们可以将事件A发生频率nm.为事件A发生概率近似值，即P(A)≈n3.由于随机事件A在各次试验中可能发生，也可能不发生，所以它在n次试验中发生次数〔称为频数〕m可能等于0〔n次试验中A 一次也不发生〕，可能等于1〔n次试验中A只发生一次〕，……也可能等于n〔n次试验中A每次都发生〕.我们说，事件A在n次试验中发生频数m是一个随机变量，它可能取得0、1、2、…、n这n+1m也是一个随机变量，它可个数中任一个值.于是，随机事件A频率n能取得值介于0与1之间，即0≤P〔A〕≤1.特别，必然事件概率为1，即P(Ω)=1，不可能事件概率为0，即P()=0.这里说明随机事件频率终究取得什么值具有随机性.然而，经历说明，当试验重复屡次时随机事件频率又具有稳定性.4.说明：①求一个事件概率根本方法是做大量重复试验；②当频率在某个常数附近摆动时，这个常数叫做事件A概率；③概率是频率稳定值，而频率是概率近似值；④概率从数量上反映了随机事件发生可能性大小；⑤必然事件概率是1，不可能事件概率是0，因此0≤P〔A〕≤1.作业课本习题3.1 1、2.设计感想本节课是概率这一章第一节课，所以有必要在上新课之前向学生简要地介绍概率开展、概率趣话以及概率应用，以激发学生对科学探究精神与严肃认真科学态度.随机事件及其概率分为两局部，第一局部主要学习随机现象、必然事件、不可能事件、随机事件概念.通过抛掷硬币试验，探究随机事件概率，提醒概率本质，引出随机事件概率求法，同时让学生体验数学奥秘与数学美，激发学生学习兴趣.第二局部是随机事件概率.怎样确定一个事件发生概率呢？设计时，从实际问题出发，创设问题情境.除了已有设计之外还可以有如下设计：首先利用多媒体展示奥地利遗传学家孟德尔〔G.Mendel，1822～1884〕用豌豆进展杂交试验结果表格，通过商讨分析得到孟德尔是用某种性状发生频率来估计生物遗传根本规律.然后依次展示抛掷硬币模拟试验结果、π前n位小数中数字6出现频率、鞋厂某种成品鞋质量检验结果，通过商讨分析分别得出：掷硬币模拟试验结果中，当模拟次数很大时，正面向上频率值接近于常数0.5，并在其附近摆动；π前n位小数中数字6出现频率中数字6在π各位小数数字中出现频率值接近于常数0.1，并在其附近摆动；鞋厂某种成品鞋质量检验结果中，当抽取样品数很多时，优等品频率接近于常数0.95，并在其附近摆动.最终得出概率统计定义.习题详解1.〔1〕随机事件〔2〕不可能事件〔3〕随机事件〔4〕必然事件〔5〕不可能事件〔6〕必然事件〔7〕随机事件〔8〕随机事件2.D.3.(1)〔2〕概率约为0.81.4.估计：随机数表中各个数字出现频率为0.1.5.约500次.6.由学生经过试验自主完成.7.略.可参考下表：G.Dewey曾经统计过438 023个字母，得到各个字母出现频率如下表：。
高中数学 第3章 概率 3.2 古典概型讲义 苏教版必修3-苏教版高一必修3数学教案
3.2 古典概型．在一次试验中可能出现的每一个基本结果称为基本事件，若在一次试验中，每个基本事件发生的可能性都相同，则称这些基本事件为等可能基本事件．2．我们把具有：(1)所有的基本事件只有有限个；(2)每个基本事件的发生都是等可能的，两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．3．基本事件总数为n 的古典概型中，每个基本事件发生的概率为1n.4．在古典概型中，任何事件的概率P (A )＝m n，其中n 为基本事件的总数，m 为随机事件A 包含的基本事件数．1．下列对古典概型的说法不正确的是( ) A ．试验中所有可能出现的基本事件只有有限个 B ．每个事件出现的可能性相等 C ．每个基本事件出现的可能性相等D ．基本事件总数为n ，随机事件A 若包含k 个基本事件，则P (A )＝k nB [正确理解古典概型的特点，即基本事件的有限性与等可能性．]2．从1,2,3,4中任意取两个不同的数字组成两位数，则基本事件共有________个． 12 [基本事件为12,21,13,31,14,41,23,32,24,42,34,43，共12个．]3．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________．56[分别以1,2,3,4表示1只白球，1只红球，2只黄球，则随机摸出2只球的所有基本事件为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6个基本事件，2只球颜色不同的基本事件有5个，故所求的概率P ＝56.]4．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a ，从{1,2,3}中随机选取一个数为b ，则b >a 的概率是________．15[由题意，b >a 时，b ＝2，a ＝1；b ＝3，a ＝1或2，即共有3种情况．又从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b共有5×3＝15种情况，故所求概率为315＝15.]基本事件的计数问题(1)写出这个试验的基本事件；(2)求这个试验的基本事件的总数；(3)“恰有2枚正面朝上”这一事件包含哪些基本事件？思路点拨：由于本试验所包含基本事件不多，可以利用列举法．[解] (1)这个试验的基本事件有：(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)．(2)这个试验的基本事件的总数是8.(3)“恰有2枚正面朝上”包含以下3个基本事件：(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)．求基本事件的个数常用列举法、列表法、画树形图法，解题时要注意以下几个方面：(1)列举法适用于基本事件个数不多的概率问题，用列举法时要注意不重不漏；(2)列表法适用于基本事件个数不是太多的情况，通常把问题归结为“有序实数对”，用列表法时要注意顺序问题；(3)画树形图法适合基本事件个数较多的情况，若是有顺序的问题，可以只画一个树形图，然后乘元素的个数即可．1．一只口袋内装有大小相同的5个球，其中3个白球，2个黑球，从中一次摸出两个球．(1)共有多少个基本事件？(2)两个都是白球包含几个基本事件？思路点拨：解答本题可先列出摸出两球的所有基本事件，再数出均为白色的基本事件数．[解] (1)法一：采用列举法分别记白球为1,2,3号，黑球为4,5号，有以下基本事件：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)共10个(其中(1,2)表示摸到1号，2号球)．法二：(采用列表法)设5个球的编号为a，b，c，d，e，其中a，b，c为白球，d，e为黑球．列表如下：a b c d ea (a，b)(a，c)(a，d)(a，e)b (b，a)(b，c)(b，d)(b，e)c (c ，a ) (c ，b )(c ，d ) (c ，e ) d (d ，a ) (d ，b ) (d ，c )(d ，e ) e(e ，a )(e ，b )(e ，c )(e ，d )由于每次取两个球，每次所取两个球不相同，而摸(b ，a )与(a ，b )是相同的事件，故共有10个基本事件．(2)解法一中“两个都是白球”包括(1,2)，(1,3)，(2,3)三种．解法二中，包括(a ，b )，(b ，c )，(c ，a )三种．2．做投掷2颗骰子的试验，用(x ，y )表示结果，其中x 表示第一颗骰子出现的点数，y 表示第2颗骰子出现的点数．写出：(1)事件“出现点数之和大于8”； (2)事件“出现点数相等”； (3)事件“出现点数之和等于7”．思路点拨：用列举法将所有结果一一列举出来，同时应把握列举的原则，不要出现重复和遗漏．[解] (1)“出现点数之和大于8”包含以下10个基本事件：(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)．(2)“出现点数相等”包含以下6个基本事件：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)．(3)“出现点数之和等于7”包含以下6个基本事件：(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)．利用古典概型公式求解概率【例2】 先后掷两枚均匀的骰子． (1)一共有多少种不同的结果？(2)向上的点数之和是5的结果有多少种？ (3)向上的点数之和是5的概率是多少？ (4)出现两个4点的概率是多少？思路点拨：基本事件个数有限→每个基本事件发生是等可能的→古典概型→利用P (A )＝mn求解[解] (1)用一个“有序实数对”表示先后掷两枚骰子得到的结果，如用(1,3)表示掷第一枚骰子得到的点数是1，掷第二枚骰子得到的点数是3，则下表列出了所有可能的结果．掷第二枚得到的点123456由于掷骰子是随机的，因此这36种结果的出现是等可能的，该试验的概率模型为古典概型． (2)在所有的结果中，向上的点数之和为5的结果有(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)共4种． (3)记“向上点数之和为5”为事件A ， 由古典概型的概率计算公式可得P (A )＝436＝19.(4)记“出现两个4点”为事件B ． 因为事件B 出现的可能结果只有1种， 所以事件B 发生的概率P (B )＝136.古典概型的解题步骤 (1)阅读题目，搜集信息； (2)判断是否是古典概型；(3)求出基本事件总数n 和事件A 所包含的结果数m ； (4)用公式P (A )＝mn求出概率并下结论．3．甲、乙两人参加法律知识竞答，共有10道不同的题目，其中选择题6道，判断题4道，甲、乙两人依次各抽一道题．甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少？思路点拨：由题意知本题是一个等可能事件的概率．甲、乙两人从10道题中不放回地各抽一道题，共有90种抽法，即基本事件总数是90.[解] 甲、乙两人从10道题中不放回地各抽一道题，先抽的有10种抽法，后抽的有9种抽法，故所有可能的抽法是10×9＝90(种)，即基本事件总数是90.记“甲抽到选择题，乙抽到判断题”为事件A ，下面求事件A 包含的基本事件数： 甲抽到选择题有6种抽法，乙抽到判断题有4种抽法，所以事件A 的基本事件数为6×4＝24.P (A )＝2490＝415.4．甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有2个红球、2个白球；乙袋装有2个红球、3个白球．现从甲、乙两袋中各任取2个球，求取到的4个球全是红球的概率．思路点拨：本题求解基本事件的总数是关键，对于(甲，甲)的每一种结果，都有(乙，乙)的10种结果配对，所以{(甲，甲)，(乙，乙)}共有6×10＝60(个)基本事件．[解] 试验的所有结果可以表示{(甲，甲)，(乙，乙)}．其中(甲，甲)表示从甲袋中取出的球，(乙，乙)表示从乙袋中取出的球，则从甲袋中取出的球有(红1，白1)，(红1，白2)，(红2，白1)，(红2，白2)，(红1，红2)，(白1，白2)，共6种不同的结果；从乙袋中取出的球有(红1，白1)，(红1，白2)，(红1，白3)，(红2，白1)，(红2，白2)，(红2，白3)，(红1，红2)，(白1，白2)，(白1，白3)，(白2，白3)，共10种不同的结果．相对于(甲，甲)，(乙，乙)而言，就有60个基本事件．记“取到的4个球为红球”为事件A ，则事件A 包含的基本事件只有1种，所以P (A )＝160.概率与统计的综合问题据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为：[40,50)，[50,60)，…，[80,90)，[90,100]．(1)求频率分布直方图中a 的值；(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；(3)从评分在[40,60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人的评分都在[40,50)的概率．思路点拨：(1)利用频率分布直方图中的信息，所有矩形的面积和为1，求A ．(2)对该部门评分不低于80的即为[80,90)和[90,100]，求出频率，估计概率．(3)求出评分在[40,60)的受访职工和评分在[40,50)的人数，随机抽取2人，列举法求出所有可能情况，利用古典概型公式解答．[解] (1)因为(0.004＋a ＋0.018＋0.022×2＋0.028)×10＝1，所以a ＝0.006. (2)由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为(0.022＋0.018)×10＝0.4，所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4.(3)受访职工中评分在[50,60)的有：50×0.006×10＝3(人)，记为A 1，A 2，A 3； 受访职工中评分在[40,50)的有：50×0.004×10＝2(人)，记为B 1，B 2.从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 2，A 3}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{B 1，B 2}．又因为所抽取2人的评分都在[40,50)的结果有1种，即{B 1，B 2}，故所求的概率为110. 有关古典概型与统计结合的题型，已成为高考考查的热点，概率与统计结合题，无论是直接描述还是利用频率分布表、分布直方图、茎叶图等给出信息，只要能够从题中提炼出需要的信息，则此类问题即可解决．5．某校高三学生体检后，为了解高三学生的视力情况，该校从高三六个班的300名学生中以班为单位(每班学生50人)，每班按随机抽样方法抽取了8名学生的视力数据．其中高三(1)班抽取的8名学生的视力数据与人数见下表：(2)已知其余五个班学生视力的平均值分别为 4.3,4.4,4.5,4.6,4.8.若从这六个班中任意抽取两个班学生视力的平均值作比较，求抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的概率．思路点拨：(1)把高三(1)班这8个学生的视力值相加，再除以8，即得平均值．(2)用列举法求得抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的取法，进而可求概率．[解] (1)高三(1)班学生视力的平均值为 4.4×2＋4.6×2＋4.8×2＋4.9＋5.18＝4.7，故用上述样本数据估计高三(1)班学生视力的平均值为4.7.(2)从这六个班中任意抽取两个班学生视力的平均值作比较，所有的取法共有15种，而满足抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的取法有：(4.3,4.5)，(4.3,4.6)，(4.3,4.7)，(4.3,4.8)，(4.4,4.6)，(4.4,4.7)，(4.4,4.8)，(4.5,4.7)，(4.5,4.8)，(4.6,4.8)，共有10种，故抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的概率为P ＝1015＝23.6．某冷饮店只出售一种饮品，该饮品每一杯的成本价为3元，售价为8元，每天售出的第20杯及之后的饮品半价出售，该店统计了近10天的饮品销量，如图所示，设x 为每天饮品的销量，y 为该店每天的利润．(1)求y 关于x 的表达式；(2)从日利润不少于96元的几天里任选2天，求选出的这2天日利润都是97元的概率．[解] (1)由题意，得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧(8－3)x ，0≤x ≤19，x ∈Z ，(8－3)×19＋(4－3)×(x －19)，x ＞19，x ∈Z ，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧5x ，0≤x ≤19，x ∈Z ，x ＋76，x ＞19，x ∈Z .(2)由(1)可知，日销售量不小于20杯时，日利润不少于96元．日销售量为20杯时，日利润为96元；日销售量为21杯时，日利润为97元．从条形统计图可以看出，日销售量为20杯的有3天，日销售量为21杯的有2天． 日销售量为20杯的3天，记为a ，b ，c ，日销售量为21杯的2天，记为A ，B ，从这5天中任取2天，包括(a ，b )，(a ，c )，(a ，A )，(a ，B )，(b ，c )，(b ，A )，(b ，B )，(c ，A )，(c ，B )，(A ，B )，共10种情况．其中选出的2天日销售量都为21杯的情况只有1种，故所求概率为110.1．本节课的重点是了解基本事件的特点，能写出一次试验所出现的基本事件，会用列举法求古典概型的概率．难点是理解古典概型及其概率计算公式，会判断古典概型．2．本节课要掌握以下几类问题 (1)基本事件的两种探求方法．(2)求古典概型的步骤及使用古典概型概率公式的注意点． (3)利用事件的关系结合古典概型求概率． 3．本节课的易错点有两个 (1)列举基本事件时易漏掉或重复． (2)判断一个事件是否是古典概型易出错. 1．下列试验中，是古典概型的是( ) A ．种下一粒种子观察它是否发芽B ．从规格直径为250 m±0.6 mm 的一批合格产品中任意抽取一件，测得直径C ．抛掷一枚质地均匀的硬币，观察其出现正面或反面D ．某人射击中靶或不中靶C [A 中，一粒种子发芽和不发芽的可能性不相等，所以A 不是；B 中，每一件的直径不相同，即可能性不相等，所以B 不是；D 中，中靶和不中靶的可能性不相等，所以D 不是；C 中，出现正面和反面的可能性相等，且结果仅有两个，故选C ．]2．一个口袋内装有2个白球和3个黑球，则在先摸出1个白球后放回的条件下，再摸出1个白球的概率是________．25[由于袋子中有2个白球和3个黑球，有放回地摸球，每次摸到白球的概率都是相等的，所以再摸出白球的概率为22＋3＝25.] 3．书架上有3本数学书，2本物理书，从中任意取出2本，则取出的两本书都是数学书的概率为________．310[利用列举法求出基本事件总数10个．求出取出的两本书都是数学书包含的基本事件个数3个，故所求概率P ＝310.]4．先后抛掷两枚大小相同的骰子． (1)求点数之和出现7点的概率； (2)求点数之和能被3整除的概率．思路点拨：分析题意，不难得知总的基本事件的个数为36个；记“点数之和出现7点”为事件A ，则事件A 中含有(6,1)，(5,2)，(4,3)，(3,4)，(2,5)，(1,6)共6个基本事件，即可求出对应的概率；同理，列举出点数之和能被3整除所包含的基本事件数，由概率公式可得答案．[解] 如图所示，从图中容易看出基本事件与所描点一一对应，共36种． (1)记“点数之和出现7点”为事件A ，从图中可以看出，事件A 包含的基本事件共6个：(6,1)，(5,2)，(4,3)，(3,4)，(2,5)，(1,6)．故P (A )＝636＝16.(2)记“点数之和能被3整除”为事件C ，则事件C 包含的基本事件共12个：(1,2)，(2,1)，(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)，(3,6)，(6,3)，(4,5)，(5,4)，(6,6)．故P (C )＝1236＝13.。
苏教版高中数学必修三第3章概率3.1
高中数学学习材料（灿若寒星 精心整理制作）第3章 概 率3.1 随机事件及其概率 课时目标 在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别．1．随机现象在一定条件下，____________________________，这种现象就是确定性现象．在一定条件下， ____________________________________________________________，这种现象就是随机现象．2．事件对于某个现象，如果能让其条件实现一次，就是进行了一次________．而试验的每一种可能的结果，都是一个________．3．随机事件在一定条件下，______________的事件叫做必然事件．____________________叫做不可能事件．__________________叫做随机事件．4．随机事件的概率(1)定义：一般地，对于给定的随机事件A ，在相同条件下，随着试验次数的增加，事件A 发生的________会在某个常数附近摆动并趋于稳定，我们可以用这个常数来刻画随机事件A 发生的可能性大小，并把这个常数称为随机事件A 的________，记作________．(2)性质：对于任意一个随机事件A ，P (A )的范围是__________．(3)用Ω和Ø表示必然事件和不可能事件，则P (Ω)＝____，P (Ø)＝____.一、填空题1．下列事件中：①如果a >b ，那么a －b >0；②将一枚硬币连掷三次，结果出现三次正面；③三个小球全部放入两个盒中，其中一个盒子里有三个球；④若x ∈R ，则x 2<0.其中是随机事件的为________．(填序号)2．将一颗骰子抛掷600次，掷出点数大于2的次数大约是________次．3．一个口袋内装有大小相同且编号为1,2,3,4的四个乒乓球，从中任意摸出2球，则这一试验共有______种可能性．4．在进行n 次重复试验中，事件A 发生的频率为m n，当n 很大时，事件A 发生的概率P (A )与m n的关系是______________． 5．在一篇英文短文中，共使用了6 000个英文字母(含重复使用)，其中字母“e ”共使用了900次，则字母“e ”在这篇短文中的使用的频率为________．6．同时向上抛掷100个质量均匀的铜板，落地时这100个铜板全都正面向上，则这100个铜板更可能是下面哪种情况________．(填序号)①这100个铜板两面是一样的；②这100个铜板两面是不一样的；③这100个铜板中有50个两面是一样的，另外50个两面是不一样的；④这100个铜板中有20个两面是一样的，另外80个两面是不一样的．7．盒中装有4只白球5只黑球，从中任意取出1只球．(1)“取出的球是黄球”是________事件，它的概率是________；(2)“取出的球是白球”是________事件，它的概率是________；(3)“取出的球是白球或黑球”是________事件，它的概率是________．8．管理人员从一池塘中捞出30条鱼做上标记，然后放回池塘，将带标记的鱼完全混合于鱼群中.10天后，再捕上50条，发现其中带标记的鱼有2条．根据以上数据可以估计该池塘约有________条鱼．9．从12个同类产品(其中10个正品，2个次品)，任意抽取6件产品，下列说法中错误的是________．(填序号)①抽出的6件产品中必有5件正品，一件次品；②抽出的6件产品中可能有5件正品，一件次品；③抽取6件产品时逐个不放回抽取，前5件是正品，第6件必是次品；④抽取6件产品时，不可能抽得5件正品，一件次品．二、解答题10．用一台自动机床加工一批螺母，从中抽出100个逐个进行直径检验，结果如下：直径个数直径个数6.88<d≤6.891 6.93<d≤6.94266.89<d≤6.902 6.94<d≤6.95156.90<d≤6.9110 6.95<d≤6.9686.91<d≤6.9217 6.96<d≤6.9726.92<d≤6.9317 6.97<d≤6.982从这100个螺母中任意抽取一个，求(1)事件A(6.92<d≤6.94)的频率；(2)事件B(6.90<d≤6.96)的频率；(3)事件C(d>6.96)的频率；(4)事件D(d≤6.89)的频率．11．在一个试验中，一种血清被注射到500只豚鼠体内，最初，这些豚鼠中150只有圆形细胞，250只有椭圆形细胞，100只有不规则形状细胞，被注射这种血清之后，没有一个具有圆形细胞的豚鼠被感染，50个具有椭圆形细胞的豚鼠被感染，具有不规则形状细胞的豚鼠全部被感染．根据试验结果，估计具有(1)圆形细胞；(2)椭圆形细胞；(3)不规则形状细胞的豚鼠分别被这种血清感染的概率．能力提升12．掷一枚骰子得到6点的概率是16，是否意味着把它掷6次一定能得到一次6点？13．某水产试验厂实行某种鱼的人工孵化，10 000个鱼卵能孵化8 513尾鱼苗，根据概率的统计定义解答下列问题：(1)这种鱼卵的孵化概率(孵化率)是多少？(2)30 000个鱼卵大约能孵化多少尾鱼苗？(3)要孵化5 000尾鱼苗，大概需备多少个鱼卵？(精确到百位)1．事件A 发生的概率P (A )＝m n，在实际生活中并不意味着n 次试验中，事件A 一定发生m 次，有可能多于m 次，也有可能少于m 次，甚至有可能不发生或发生n 次．2．大概率事件经常发生，小概率事件很少发生．反之，一次试验中已发生了的事件其概率也必然很大，利用这一点可以推断事情的发展趋势，做出正确的决策．3．概率广泛应用于体育运动、管理决策、天气预报以及某些科学实验中，它在这些应用中起着极其重要的作用．3．1 随机事件及其概率知识梳理1．事先就能断定发生或不发生某种结果 某种现象可能发生，也可能不发生，事先不能断定出现哪种结果 2.试验 事件 3.必然会发生 肯定不会发生的事件 可能发生也可能不发生的事件 4.(1)频率概率 P(A) (2)0≤P(A)≤1 (3)1 0作业设计1．②③解析 ①是必然事件，④是不可能事件，②、③是随机事件．2．400解析 N ＝46×600＝400. 3．6解析 可能出现以下情形：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)．4．P(A)≈m n5．0.15解析 频率＝9006 000＝0.15. 6．①解析 一枚质量均匀的铜板，抛掷一次正面向上的概率为0.5，从题意中知抛掷100枚结果正面都向上，因此这100个铜板两面是一样的可能性最大．7．(1)不可能 0 (2)随机 49(3)必然 1 8．750解析 设池塘约有n 条鱼，则含有标记的鱼的概率为30n ，由题意得：30n×50＝2， ∴n ＝750.9．①③④解析 由于12个产品的正品率为1012＝56， 次品率为212＝16，故抽出的6件产品中可能有5件正品，一件次品． 10．解 (1)事件A 的频率f(A)＝17＋26100＝0.43. (2)事件B 的频率f(B)＝10＋17＋17＋26＋15＋8100＝0.93. (3)事件C 的频率f(C)＝2＋2100＝0.04. (4)事件D 的频率f(D)＝1100＝0.01. 11．解 (1)记“圆形细胞的豚鼠被感染”为事件A ，由题意知，A 为不可能事件，∴P(A)＝0.(2)记“椭圆形细胞的豚鼠被感染”为事件B ，由题意知P(B)＝50250＝15＝0.2. (3)记“不规则形状细胞的豚鼠被感染”为事件C ，由题意知事件C 为必然事件， 所以P(C)＝1.12．解 抛掷一枚骰子得到6点的概率是16，多次抛掷骰子，出现6点的情况大约占16，并不意味着掷6次一定得到一次6点，实际上，掷6次作为抛掷骰子的6次试验，每一次结果都是随机的．13．解 (1)这种鱼卵的孵化概率P ＝8 51310 000＝0.851 3. (2)30 000个鱼卵大约能孵化30 000×8 51310 000＝25 539(尾)鱼苗． (3)设大概需备x 个鱼卵，由题意知5 000x ＝8 51310 000. ∴x ＝5 000×10 0008 513＝5 900(个)． ∴大概需备5 900个鱼卵．。
高中数学第3章概率复习学案苏教版必修3
第41课时7.5复习课3(全章复习)自学评价本章内容是概率论的初步知识，它主要包括：随机事件的概率；等可能性事件的概率，包括古典概型和几何概型；互斥事件有一个发生的概率．本章的重点是等可能性事件的概率；互斥事件有一个发生的概率．难点是概率问题处理的思想与方法.1、下列事件中，属于随机事件的是 ( D )A ． 掷一枚硬币一次，出现两个正面；B 、同性电荷互相排斥；C 、当a 为实数时，|a|<0；D 、2009年10月1日天津下雨2、从一堆产品（其中正品和次品都多于2个）中任取2个，其中：①恰有1件次品和恰有2件次品；②至少有1件次品和全是次品；③至少有1件正品和至少有1 件次品；④至少有1件次品和全是正品；上述事件中，是互斥事件的是（ A ）A ①④B ②③C ①②③D ①②③④ 3、袋中装有大小相同且分别写有1、2、3、4、5五个号码的小球各一个，现从中有放回地任取三球，三个号码全不相同的概率为（ C ） A 、53 B 、51 C 、2512 D 、1253 【精典范例】例1 某射手在同一条件下进行射击结果如下表所示（2）这个射手击中靶心的概率是多少？（3）这个射手射击2000次估计击中靶心的次数为多少？【解】 (1)0,4,0.4,0.48,0.45,0.45,0.45 (2) 0.45 (3)300例2 袋中装有大小均匀分别写有1,2,3,4,5五个号码的小球各一个,现从中有放回地任取三个球,求下列事件的概率: (1)所取的三个球号码完全不同; (2)所取的三个球号码中不含4和5.【解】从五个不同的小球中,有放回地取出三个球,每一个基本事件可视为通过有顺序的三步完成:①先取1个球,记下号码再放回,有5种情况;②再从5球中任取一个球,记下号码再放回,仍然有5种情况;③再从5个球中任取1个球,记下号码再放回,还是有5种情况.因此从5个球中有放回地取3个球,共有基本事件n =5×5×5=125个,(1)记三球号码不同为事件A,这三球的选取仍然为有顺序的三次,第一次取球有5种情况,第二,三次依次有4,3种情况,∴事件A 含有基本事件的个数m =5×4×3=60个,∴6012();12525m P A n ===(2)记三球号码不含4和5为事件B,这时三球的选取还是为有顺序的三次,由于这时前面选的球后面仍然可以选,因此三次选取的方法种数都是3,∴B 中所含基本事件的个数为m =3×3×3=27个,∴27()125m P B n == 例3 一个各面都涂有色彩的正方体，被锯成1000个同样大小的小正方体，将这些正方体混合后，从中任取一个小正方体，求：⑴有一面涂有色彩的概率；⑵有两面涂有色彩的概率；⑶有三面涂有色彩的概率. 【解】在1000个小正方体中，一面涂有色彩的有286⨯个，两面涂有色彩的有812⨯个，三面涂有色彩的有8个，∴⑴一面涂有色彩的概率为13840.3841000P ==； ⑵两面涂有色彩的概率为2960.0961000P ==； ⑶有三面涂有色彩的概率280.0081000P ==.答：⑴一面图有色彩的概率0.384；⑵两面涂有色彩的概率为0.096；⑶有三面涂有色彩的概率0.008.例4 9粒种子分种在甲、乙、丙3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为5.0，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种．（Ⅰ）求甲坑不需要补种的概率； （Ⅱ）求3个坑中恰有1个坑不需要补种的概率；（Ⅲ）求有坑需要补种的概率． （精确到01.0）【解】(1)0.875 (2)0.041 (3)0.330例5 一个盒中装有8只球，其中4红.3黑.1白，现从中取出2只球（无放回）， 求：（1）全是红球或全是黑球的概率； （2）至少有一个红球的概率。
高中数学第3章概率3.1随机事件及其概率名师导航学案苏教版必修3201710314123
3.1 随机事件及其概率名师导航三点剖析一、确定性现象和随机现象在一定条件下，事先就能断定发生或不发生某种结果，这种现象就是确定性现象.在一定条件下，某种现象可能发生，也可能不发生，事先不能断定出现哪种结果，这种现象就是随机现象.我们再看以下两个简单的试验.试验1：一个盒中有10个完全相同的白球，搅拌均匀后从中任意摸取一个球.试验2：一个盒中有10个完全相同的球，其中有5个白的，另外5个是黑色的，搅拌均匀后从中任意摸取一球.对于试验1，在球没有取出之前，我们就能确定取出的必定是白球.这种试验，根据试验开始时的条件，就可以确定试验的结果，而对试验2来说，在球没有取出以前，我们从试验开始时的条件，不能确定试验的结果是白的还是黑的，也就是说这一试验的结果，出现白球还是出现黑球，在试验之前是无法确定的，这就具有了随机性.于是，试验1在试验之前就能断定它是一个确定的结果，这种试验所对应的现象就称为确定性现象.确定性现象非常广泛，例如：“早晨，太阳必然从东方升起”“边长为a、b的矩形的面积必为ab”“如果a、b都是实数，那么等等.试验2所代表的类型，它有多于一种可能的试验结果，但试验之前不能肯定试验会出现哪一个结果.就一次试验而言，看不出什么规律，这种试验所代表的现象就称为随机现象.在客观世界中随机现象也是极为普遍的，如：“某一地区的年降雨量”“打靶射击时，弹着点到靶心的距离”“校对印刷厂送来的清样，每一万字中有错、漏字10个”等等.对于试验1或试验2取出白球或取出黑球这一现象，若让其条件实现一次，就进行了一次试验，而试验的每一种可能的结果都是一个事件.如试验1中,从盒中取出一个白球就是一个事件.二、必然事件、不可能事件与随机事件必然事件是指在一定的条件下，必然会发生的事件.不可能事件是指在一定条件下，肯定不会发生的事件.必然事件与不可能事件反映的就是在一定条件下的确定性现象.随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件,随机事件反映的是随机现象.必然事件、不可能事件与随机事件统称为事件，一般用大写英文字母A、B、C……表示.例如：异性电核，相互吸引；电阻不为0的导线通电后发热等是必然事件.在常温常压下，石墨能变成金刚石；实心铁球丢入水中，铁球浮起等是不可能事件.掷一枚硬币，国徽朝上；明天进行的某场足球赛的比分为3∶1等是随机事件.对于随机事件，虽然知道会出现哪些结果，却事先不能确定具体会发生哪一种结果，即无法确定某个随机事件是否发生.但是，如果在相同条件下大量重复试验时，可以发现随机事件的发生与否呈现出某种规律性.概率论正是研究随机现象这种数量规律性的一个数学分支.这三种事件是根据一件事情在发生前能否预知结果来划分的.必然事件和不可能事件都是在一定的条件下，结果能否发生是可以预知的，而随机事件却是在这一定的条件下，结果能否发生是无法确定的，即可能发生，也可能不发生.三、随机事件的概率1．随机事件的概率的定义一般地，如果随机事件A在ｎ次试验中发生了ｍ次，当试验的次数ｎ很大时，我们可以将事件A 发生的频率n m 作为事件A 发生的概率的近似值，即P(A)≈nm . 随机事件指在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，它的发生具有不确定性，但随着试验次数的大量增加，随机事件发生的频率逐渐趋于稳定，这个稳定值我们把它叫做概率.概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，要得到它必须进行大量的重复试验，因而，它是对大量重复试验来说存在的一种统计规律.若掷15次硬币，正面出现5次就断定正面出现的概率是31，显然是错误的.因为它不是从大量重复的试验统计出来的.对单次试验来说，随机事件的发生是随机的，如某种子的发芽率为80%，随机选取10粒种子检测，若前2粒种子都未发芽，能不能说以下的8粒种子都发芽呢？不能，对任何一粒种子来说它不发芽的可能性都是20%.因而在做题时要重点把握概率的意义. 2．随机事件的概率的基本性质必然事件和不可能事件分别用Ω.不可能事件和必然事件虽然是两类不同的事件，但它们可以看作是随机事件的两个极端情况.用这种对立又统一的观点去看待它们，有利于认识它们的内在联系.由概率的定义，显然有P （Ω）=1；P =0.又如果随机事件A 在n 次试验中发生了m 次，则m≤n.所以，我们可以得出概率的基本性质. 随机事件的概率有两个基本性质：（1）对于任意一个事件A ，都有0≤P(A)≤1；（2）必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0.问题探究问题1: 下列有三种说法：①概率就是频率；②某厂产品的次品率为3%，是指“从该厂产品中任意地抽取100件，其中一定有3件次品；③从一批准备出厂的灯泡中随机抽取15只进行质量检测，其中有1只是次品，说明这批灯泡中次品的概率为151.我们应该怎样看待这些说法呢？探究：我们知道在实验中，某一事件出现的次数与总实验次数的比例叫频率，它是一个确定的值，描述的是已经发生了的事件的特征.但是对于尚未发生的事件，我们只能描述它发生的可能性的大小.不同的人做同一实验的结果不一定相同，即便是同一人在两次相同实验中的结果也可能不同，因而不同的人或同一人做两次相同实验，某一事件发生的频率可以不同，但随着实验次数的增多，在大量重复进行同一实验时，某一事件发生的频率总是接近于某一常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件的概率，它实质上是频率的近似值，所以说法①是错误的；对第②种说法，次品率是3%，只能说明任意抽取一只灯泡进行检测，检测出是次品的可能性或概率是3%，并不一定是抽取100件，其中一定有3件次品.在这100件产品中可能一件次品也没有，可能有2件次品，也可能有3件次品，甚至这100件全是次品，所以说法②是错误的;从一批准备出厂的灯泡中随机抽取15只进行质量检测，其中有1只是次品，说明抽样灯泡中次品的频率为151，而并非这批灯泡的次品概率.实际上从这一批灯泡中随机抽取15只进行质量检验相当于进行了15次随机试验，而每次试验的结果也是随机的，所以这15次试验的结果也是随机的.“从一批准备出厂的灯泡中随机抽取15只进行质量检测，其中有1只是次品”这只是多个随机结果中的一个，它只能说明这次抽样检验的次品的频率为151，而次品的概率则可能比151高或比151低，并不一定是151，所以说法③也是错误的.问题2: 我们知道，当试验次数n 很大时，事件A 发生的频率mn的近似值就可以看为事件的概率，那么概率和频率之间有着怎样的区别和联系？探究：随机事件的频率，是事件A 发生的次数与试验次数的比值，若它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，摆动的幅度将会减小，这时频率所趋近的常数就是事件A 发生的概率.因此概率可以看作是频率在理论上的期望值，它从数量上反映了一个事件发生的可能性的大小.而频率是不能脱离具体的n 次试验的试验值的，在相同的条件下做两组相同的试验所得的频率就可能不同.从概率的定义可知：频率是概率的近似值，而概率则是频率的稳定值.精题精讲例1．试判断下列事件是随机事件、必然事件还是不可能事件： （1）抛一块石块，下落；（2）在标准大气压下且温度低于时，冰融化； （3）某人射击一次，中靶； （4）如果a ＞b ，那么a －b ＞0；（5）从分别标有号数1，2，3，4，5的5张标签中任取一张，得到4号签； （6）某电话机在1分钟内收到2次呼叫； （7）没有水分，种子能发芽； （8）在常温下，焊锡熔化.思路解析（1）中抛一块石块,由于受重力的作用必然下落；（2）中由物理学知识,可知在标准大气压下且温度低于时，冰不会融化；（3）中某人射击一次可能中靶也可能不中靶；（4）中由不等式的基本性质可知,如果a ＞b ，那么a －b ＞0；（5）中从分别标有号数1，2，3，4，5的5张标签中任取一张,这5个数字都有被抽到的可能；（6）中某电话机在1分钟内收到呼叫的次数也是随机的；（7）由生物学知识知没有水分，种子不可能发芽；（8）由物理学知识可知在常温下，焊锡不可能熔化. 答案：由于（1）（4）这两个事件肯定会发生，所以（1）（4）是必然事件；而（3）（5）（6）这三个事件可能发生也可能不发生，所以（3）（5）（6）是随机事件；而（2）（7）（8）这三个事件肯定不会发生，所以（2）（7）（8）是不可能事件.绿色通道判断一个事件是随机事件、必然事件或不可能事件的依据，主要是利用它们的定义.随机事件是在一定条件下可能发生也可能不发生的事件.应注意，事件的结果是相应于“一定条件”而言的.要弄清某一随机事件，必须明确何为事件发生的条件，何为在此条件下产生的结果.例2．李老师在某大学连续3年主讲经济学院的高等数学，下表是李老师这门课3年后的考试成绩分布情况：经济学院一年级的学生王小慧下学期将修李老师的高等数学课，用已有的信息估计她得以下分数的概率： （1）90分以上； （2）60～69分； （3）60分以上.思路解析利用概率的计算公式求解即可.如果随机事件A 在ｎ次试验中发生了ｍ次，当试验的次数ｎ很大时，我们可以将事件A 发生的频率m n 作为事件A 发生的概率的近似值，即P(A)≈mn.由于参加考试的人数较多，则各组数据的频率可以近似地看作是这一组数据的概率.答案：利用计算器计算可得（1）0.067. (2)0.140. (3)0.891．绿色通道如果随机事件A 在ｎ次试验中发生了ｍ次，当试验的次数ｎ很大时，我们可以将事件A 发生的频率m n 作为事件A 发生的概率的近似值，即P(A)≈mn . 例3．为了测试贫困地区和发达地区同龄儿童的智力，出了10个智力题，每个题10分.然后作了统计，下表是统计结果.贫困地区：发达地区：（1）利用计算器计算两地区参加测试的儿童中得60分以上的频率； （2）求两个地区参加测试的儿童得60分以上的概率； （3）分析贫富差距为什么会带来人的智力的差别.思路解析首先利用频率的计算公式计算出各组数据的频率，再由此估计出概率，再对数据进行比较和分析.答案：（1）贫困地区：发达地区：（2）概率分别为0.5和0.55．（3）经济上的贫困导致该地区生活水平落后，儿童的健康和发育会受到一定的影响；另外经济落后也会使教育事业发展落后，导致智力出现差别.例4．检查某工厂产品，其结果如下：（1）计算表中的次品频率；（2）利用所学知识对表中数据作简要的数学分析.思路解析计算次品出现的频率，再对这些数据进行比较、归纳和分析，与所学内容联系起来.答案：（1）根据频率计算公式，计算出次品出现的频率，如下表：（2）从上表中的数字可看出，抽到次品数的多少具有偶然性，但随着抽样的大量进行，抽取的件数逐渐增多，则可发现次品率呈现稳定现象，即在0.1附近.由此可估计该厂产品的次品率约为0.1．绿色通道本题重在考查对概念的理解程度，体现了数学知识的实际应用，突出了数学知识的实践性；与什么样的数学知识联系起来，怎样联系，如何建立数学模型，对学生的数学水平有较高的要求，这是今后数学命题的趋势.。
18学年高中数学复习课(三)概率教学案苏教版必修3
18学年高中数学复习课（三）概率教学案苏教版必修3复习课(三)概率古典概型是学习及高考考查的重点，考查形式以填空题为主，试题难度属容易或中等，处理的关键在于用枚举法找出试验的所有可能的基本事件及所求事件所包含的基本事件．还要注意理解事件间关系，准确判断两事件是否互斥，是否对立，合理利用概率加法公式及对立事件概率公式．古典概型[考点精要]1．事件(1)基本事件在一次试验中可能出现的每一个可能结果．(2)等可能事件若在一次试验中，每个基本事件发生的可能性都相同，则称这些基本事件为等可能基本事件．(3)互斥事件①定义：不能同时发生的两个事件称为互斥事件．如果事件A1，A2，…，An中的任何两个都是互斥事件，就说事件A1，A2，…，An彼此互斥．②规定：设A，B为互斥事件，若事件A，B至少有一个发生，我们把这个事件记作A＋B.(4)对立事件两个互斥事件必有一个发生，则称这两个事件为对立事件，事件A的对立事件记作A.2．概率的计算公式(1)古典概型①特点：有限性，等可能性．②计算公式：P(A)＝事件A包含的基本事件数.试验的基本事件总数(2)互斥事件的概率加法公式①若事件A，B互斥，那么事件A＋B发生的概率等于事件A，B分别发生的概率的和即P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．②若事件A1，A2，…，An两两互斥．则P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．(3)对立事件计算公式：P(A)＝1－P(A)．[典例](1)已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为________．(2)将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________．(3)随机掷两枚骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为p1，点数之和大于5的概率记为p2，点数之和为偶数的概率记为p3，则p1，p2，p3从小到大依次为________．(4)(天津高考)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18.现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛．①应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数为________．[解](1)记3件合格品为a1，a2，a3,2件次品为b1，b2，则任取2件构成的基本事件空间为Ω＝{(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)}，共10个基本事件．记“恰有1件次品”为事件A，则A＝{(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)}，共6个基本事件．故其概率为P(A)＝＝0.6.10(2)设2本数学书分别为A，B，语文书为C，则所有的排放顺序有ABC，ACB，BAC，6BCA，CAB，CBA，共6种情况，其中数学书相邻的有ABC，BAC，CAB，CBA，共442种情况，故2本数学书相邻的概率P＝＝.63(3)总的基本事件个数为36，向上的点数之和不超过5的有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，共10个，则向上的点数之和不超过5的概率105513p1＝＝；向上的点数之和大于5的概率p2＝1－＝；向上的点数之和为偶数与361818181向上的点数之和为奇数的个数相等，故向上的点数之和为偶数的概率p3＝.即p12(4)①应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3,1,2.②从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共15种．。
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§3.1随机事件及其概率3.1.1 随机现象3.1.2 随机事件的概率内容要求 1.了解随机事件、必然事件、不可能事件的概念(重点)；2.正确理解事件A出现的频率的意义(重点)；3.正确理解概率的概念和意义，明确事件A发生的频率f n(A)与事件A发生的概率P(A)的区别与联系(难点).知识点一必然事件、不可能事件与随机事件事件类型定义必然事件在一定条件下，必然会发生的事件叫做必然事件.不可能事件在一定条件下，肯定不会发生的事件叫做不可能事件.随机事件在一定条件下，可能发生，也可能不发生的事件叫做随机事件.下面给出五个事件：①某地2月3日下雪；②函数y＝a x(a＞0，且a≠1)在定义域上是增函数；③实数的绝对值不小于0；④标准大气压下，水在1 ℃结冰；⑤a，b∈R，ab＝ba.其中必然事件是________；不可能事件是________；随机事件是________(填序号).解析①是随机事件，某地在2月3日可能下雪，也可能不下雪.②是随机事件，当a＞1时，函数y＝a x在其定义域上是增函数；当0＜a＜1时，函数y＝a x在其定义域上是减函数.③是必然事件，实数的绝对值永远都是非负数.④是不可能事件，在标准气压下，水在0 ℃结冰.⑤是必然事件，若a，b∈R，则ab＝ba恒成立.答案③⑤④①②知识点二随机事件的频率与概率1.随机试验(1)试验可以在相同的条件下重复进行；(2)试验的结果都明确可知，但不止一种；(3)每次试验总是出现这些结果中的一种，但在一次试验之前却不能确定这次试验会出现哪一种结果.称这样的试验是一种随机试验，简称试验.2.随机事件的频率在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数n A 为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比例f n (A )＝n An为事件A 出现的频率. 3.随机事件的概率若随机事件A 在n 次试验中发生了m 次，则当试验次数n 很大时，可以将事件A 发生的频率m n 作为事件A 的概率的近似值，即P (A )≈m n. 【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”) 1.抛掷硬币试验是随机试验.( ) 2.频率就是概率.( )3.随机事件A 的概率范围是0≤P (A )≤1.( ) 答案 1.√ 2.× 3.√题型一 确定性现象与随机现象【例1】 判断以下现象是否是随机现象： (1)某路口单位时间内发生交通事故的次数； (2)冰水混合物的温度是0 ℃； (3)三角形的内角和为180°；(4)一个射击运动员每次射击的命中环数；(5)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象的开口方向.解 (1)某路口单位时间内发生交通事故的次数有可能是0,1,2等，不能确定，因此是随机现象.(2)常温常压下，冰水混合物的温度是0 ℃.若改变气压就不一定是0 ℃了，因此是随机现象.(3)三角形的内角和一定是180°，是确定的，因此是确定性现象.(4)射击运动员每次射击的命中环数可能是3，也可能是1等，因此是随机现象.(5)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象，当a ＞0时开口向上，当a ＜0时开口向下，故在a ≠0的条件下开口方向可能向上也可能向下，因此是随机现象.规律方法 (1)判断一个现象是否为随机现象，一定要注意其“可能发生，也可能不发生”这一本质特征.(2)随机现象就是在相同条件下，多次进行同一试验或调查同一现象，所得结果不完全相同，而且无法准确地预测下一次所得的结果的现象.但实践证明，如果同类的随机现象大量重复出现，那么它的总体就会呈现出一定的规律性.(3)确定性现象和随机现象是有条件的，离开限定条件就很难判断是确定性现象还是随机现象.【训练1】指出下列现象是确定性现象还是随机现象：(1)三个球全部放入两个盒子，其中一个盒子有一个以上的球；(2)函数y＝a x(a＞0且a≠1)在定义域(－∞，0]上是增函数；(3)圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2内的点的坐标可使不等式(x－a)2＋(y－b)2＜r2成立.解判断某一现象是否为随机现象，关键是看这一现象发生的可能性.若一定发生或一定不发生，则它为确定性现象，否则为随机现象.(1)随机现象；(2)随机现象；(3)确定性现象.题型二事件的分类与判断【例2】判断下列事件是随机事件、必然事件还是不可能事件：(1)某人购买福利彩票中奖；(2)导体通电时发热；(3)在标准大气压下，水加热到100 ℃沸腾；(4)某人投篮10次，1次也没投中；(5)早上看到太阳从西方升起；(6)抛掷一颗骰子出现的点数为偶数；(7)向上抛出的石头会下落；(8)当x∈R时，|x|＜0.解判断一个事件是哪类事件，首先要看清条件，其次看它在这一条件下是否一定发生某种结果.判断事件发生的可能性要有充分的依据，这些依据有的来自人们长期的实践经验和客观规律，还有的来自一些科学试验以及逻辑推理.由题意知(2)(3)(7)是必然事件；(5)(8)是不可能事件；(1)(4)(6)是随机事件.规律方法(1)判定一个事件是必然事件、不可能事件还是随机事件，需考查该事件在一定条件下是必然发生、不可能发生还是既可能发生也可能不发生.(2)必然事件与不可能事件反映的是在一定条件下的确定性现象，而随机事件反映的则是随机现象.(3)对随机事件，可以进行大量重复的试验，每次试验结果不一定相同，且无法预测下一次的结果，但随着试验的重复进行，其结果呈现出一定的规律性.【训练2】指出下列事件是必然事件、不可能事件，还是随机事件：(1)中国体操运动员将在下一届奥运会上获得全能冠军；(2)出租车司机小李驾车通过4个十字路口都将遇到绿灯；(3)若x ∈R ，则x 2＋1≥1；(4)小红书包里只有数学书、语文书、地理书、政治书，她随意拿出一本，是漫画书. 解 (1)(2)中的事件可能发生，也可能不发生，所以是随机事件. (3)中的事件一定会发生，所以是必然事件. (4)小红书包里没有漫画书，所以是不可能事件.探究1 频率与概率关系的理解【例3－1】 下列说法正确的是________(填序号).①频率反映事件出现的频繁程度，概率反映事件发生的可能性大小； ②做n 次随机试验，事件A 发生了m 次，则事件A 发生的概率P (A )＝mn； ③含百分比的数是频率，但不是概率；④频率是不能脱离n 次随机试验的试验值，而概率是脱离随机试验的客观值； ⑤频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值.解析 根据频率与概率的定义可知①正确；频率不是概率，而②中求出的是事件A 发生的频率，因此②错误；概率是一个数值，可以是百分数也可以是小数，因此③错误；根据概率的定义可知概率是一个客观值，频率是一个试验值，因此④正确，⑤正确. 答案 ①④⑤探究2 用频率估计概率【例3－2】 某商场设立了一个可以自由转动的转盘(如图所示)，并规定：顾客购物10元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是活动进行中的一组统计数据.转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1 000 落在“铅笔”区域的次数m 68111136345564701 落在“铅笔”区域的频率m n(2)请估计，当n 很大时，落在“铅笔”区域的频率将会接近多少？ (3)假如你去转动该转盘一次，你获得铅笔的概率约是多少？解(1)(3)获得铅笔的概率约是0.7.探究3 概率意义的理解【例3－3】某射手击中靶心的概率是0.9，是不是说明他射击10次就一定能击中9次？解从概率的统计定义出发，击中靶心的概率是0.9并不意味着射击10次就一定能击中9次.只有进行大量射击试验时，击中靶心的次数约为910n（其中n为射击次数）.而且n越大，击中的次数就越接近910n.探究4 概率的应用【例3－4】某中学高一年级有12个班，要从中选2个班代表学校参加某项活动.由于某种原因，一班必须参加，另外再从二班至十二班中选1个班.有人提议用如下的方法：掷两个骰子得到的点数和是几，就选几班，你认为这种方法公平吗？解列表如下：的几率比较低.所以每个班被选中的可能性不一样.所以这种方法不公平.规律方法(1)频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率.在实际问题中，随机事件的概率未知，常用大量重复试验中事件发生的频率作为它的估计值. (2)频率是随机的，是一个变量，在试验前不能确定，且可能会随着试验次数的改变而改变，它反映的是某一随机事件出现的频繁程度，反映了随机事件出现的可能性大小，近似反映了概率的大小.比如全班同学都做了10次掷硬币的试验，但得到正面向上的频率可以是不同的.(3)概率是一个确定的常数，是客观存在的，它是频率的科学抽象，与每次试验无关，不随试验结果的改变而改变.从数量上反映随机事件发生的可能性大小.课堂达标1.下列事件中的随机事件为________(填序号). ①若a ，b ，c 都是实数，则a (bc )＝(ab )c ； ②没有水和空气，人也可以生存下去； ③抛掷一枚硬币，反面向上；④在标准大气压下，温度达到60 ℃时水沸腾.解析 ①中的等式是实数乘法的结合律，对任意实数a ，b ，c 是恒成立的，故①是必然事件；在没有空气和水的条件下，人是绝对不能生存下去的，故②是不可能事件；抛掷一枚硬币时，在没得到结果之前，并不知道会是正面向上还是反面向上，故③是随机事件；在标准大气压的条件下，只有温度达到100 ℃，水才会沸腾，当温度是60 ℃时，水是绝对不会沸腾的，故④是不可能事件. 答案 ③2.从6名男生、2名女生中任选3人，则下列事件中的必然事件是________(填序号). ①3人都是男生；②至少有1名男生； ③3人都是女生；④至少有1名女生.解析 由于女生只有2人，而现在选择3人，故至少要有1名男生. 答案 ②3.某人将一枚硬币连掷10次，正面朝上的情况出现了8次，若用A 表示“正面朝上”这一事件，则A 的频率为________.解析 做n 次随机试验，事件A 发生了m 次，则事件A 发生的频率为m n.如果多次进行试验，事件A 发生的频率总在某个常数附近摆动，那么这个常数才是事件A 的概率.故810＝45为事件A 的频率.答案 454.从100个同类产品(其中有2个次品)中任取3个.①三个正品；②两个正品，一个次品；③一个正品，两个次品；④三个次品；⑤至少一个次品；⑥至少一个正品.其中必然事件是________，不可能事件是________， 随机事件是________(填序号).解析 从100个产品(其中2个次品)中任取3个可能结果是：“三个全是正品”，“两个正品一个次品”，“一个正品两个次品”.答案 ⑥ ④ ①②③⑤5.某射击运动员在同一条件下进行练习，结果如下表：射击次数(n ) 10 20 50 100 200 500 击中10环次数(m ) 8 19 44 93 178 453 击中10环频率⎝ ⎛⎭⎪⎫m n(1)(2)这名运动员射击一次，击中10环的概率约为多少？ 解 (1)如下表：射击次数(n ) 10 20 50 100 200 500 击中10环次数(m ) 8 19 44 93 178 453 击中10环频率⎝ ⎛⎭⎪⎫m n0.80.950.880.930.890.906(2)课堂小结1.辨析随机事件、必然事件、不可能事件时要注意看清条件，在给定的条件下判断是一定发生(必然事件)，还是不一定发生(随机事件)，还是一定不发生(不可能事件).2.随机事件在一次试验中是否发生虽然不能事先确定，但是在大量重复试验的情况下，随机事件的发生呈现一定的规律性，因而，可以从统计的角度，通过计算事件发生的频率去估算概率.3.写试验结果时，要按顺序写，特别要注意题目中的有关描述，如“先后”“依次”“顺序”“放回”“不放回”等.基础过关1.下列事件：①明天下雨；②3＞2；③某国发射航天飞机成功；④x ∈R ，x 2＋2＜0；⑤某商船航行中遭遇海盗；⑥任给x ∈R ，x ＋2＝0. 其中随机事件的个数为________.解析 ①③⑤⑥是随机事件，②是必然事件，④是不可能事件. 答案 42.下列事件中，不可能事件为________(填序号). ①三角形中大边对大角，大角对大边； ②锐角三角形中两个内角和小于90°； ③三角形中任意两边的和大于第三边.解析 若两内角的和小于90°，则第三个内角必大于90°，故不是锐角三角形，∴②为不。