沪科版七年级数学下册 第六章实数知识点复习

（2）只有④对，因为一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数；零的平
方根是零；负数没有平方根。
例 2、求下列各数的平方根： 1
(1) 9
(2)
4
(3) 0.36
16 (4) 9
例 3、设
，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
解析：（估算）因为
，所以选 B
举一反三： 【变式 1】1）1.25 的算术平方根是__________；平方根是__________.2） -27
① （-3）2
② 02
③ -0.01 2
（2） 下列说法对不对？为什么？
① 4 有一个平方根 ② 只有正数有平方根
③ 任何数都有平方根
④ 若 a＞0，a 有两个平方根，它们互为相反数
解：（1） （-3）2 和 0 2 有平方根，因为（-3）2 和 0 2 是非负数。- 0.01 2 没
有平方根，因为-0.01 2 是负数。
例 8、已知(x-6)2+
+|y+2z|=0，求(x-y)3-z3 的值。
解：∵(x-6)2+
+|y+2z|=0
且(x-6)2≥0,
≥0, |y+2z|≥0,
几个非负数的和等于零，则必有每个加数都为 0。
∴
解这个方程组得
∴(x-y)3-z3=(6-2)3-(-1)3=64+1=65
【变式 2】已知 4、实数比较大小的方法
选择适当的方法比较下列数的大小。
（1）比较 1- 2 与 1- 3 的大小。 （2）比较 13 3 与 1 的大小。
8
8
（3）比较 2 7 与 3 3 的大小 （4）当 0 x 1时， x 2 ， x ， 1 的大小顺序是 x
______________。
（1）解 ∵（1- 2 ）-（1- 3 ）= 3 2 ＞0 ， ∴1- 2 ＞1- 3 。
根据当 a-b﹥0 时，得到 a﹥b。当 a-b﹤0 时，得到 a﹤b。当 a-b＝0，得到 a=b。
3、方法二：商值比较法
商值比较法的基本思路是设 a，b 为任意两个正实数，先求出 a 与 b 得商。
当 a ＜1 时，a＜b；当 a ＞1 时，a＞b；当 a =1 时，a=b。来比较 a 与 b 的大小。
解：(1) ∵ =1.414…＜1.4
∴| -1.4 |=1.4 (2) ∵π=3.14159…＜3.142
∴|π-3.142|=3.142-π
(3) ∵ ＜ , ∴| - |= -
【变式 1】化简：
3、有关实数的非负性
a2 0
a 0
a 0 (a 0)
注意：(1)任何非负数的和仍是非负数；
(2)若几个非负数的和是 0，那么这几个非负数均为 0.
42
x
（2）
的平方根是±15.
（3）当 x=0 或 2 时， 解析：（1）错在对算术平方根的理解有误，算术平方根是非负数.故
（2） 表示 225 的算术平方根，即
故
的平方根是
.
=15.实际上，本题是求 15 的平方根，
（3）注意到，当 x=0 时，
=
，显然此式无意义，发生错误
的原因是忽视了“负数没有平方根”，故 x≠0，所以当 x=2 时，x
b
b
b
4、方法三：平方法
平方法的基本是思路是先将要比较的两个数分别平方，再根据 a＞0，b＞0
时，可由 a 2 ＞ b 2 得到 a＞b 来比较大小，这种方法常用于比较无理数的大小。
5、方法四：估算法 估算法的基本是思路是设 a，b 为任意两个正实数，先估算出 a，b 两数或两
数中某部分的取值范围，再进行比较。
（3）注意：
a a0
a2
a
0
a0
Hale Waihona Puke a a 0a a 0
a
a0 a0 a0
例 6、当 a<0 时，化简
A 0 B -1 C 1
D½
例 7、化简下列各式：
(1) | -1.4 |
(2) |π-3.142|
的结果是( )
(3) | - |
分析：要正确去掉绝对值符号，就要弄清绝对值符号内的数是正数、负数还 是零，然后根据绝对值的定义正确去掉绝对值。
（2）解：∵3＜ 13 ＜4 ∴ 13 -3＜1
∴ 13 3 ＜ 1
8
8
（3）解：∵2 7 = 22 • 7 = 28 ，3 3 = 32 • 3 = 27 。
又∵28＞27， ∴2 7 ＞3 3 。
（4）解：取 x = 1 ，则： x 2 = 1 ， 1 =2。
2
4x
∵ 1 ＜ 1 ＜2，∴ x 2 ＜ x ＜ 1 。
立方根是__________. 3） ___________.
___________，
___________，
【答案】1） ； .2）-3. 3） ， 【变式 2】求下列各式中的
（1）
（2）
， （3）
【答案】（1）
（2）x=4 或 x=-2（3）x=-4
例 4、判断下列说法是否正确
（1） 的算术平方根是-3；
=0.
例 5、求下例各式的值： （1） 3 27 （2） 27
3
64
（3）
10 32
27
（4） 3 - 64 - 64
三、实数知识复习。 1、实数的分类
无理数：无限不循环的小数称为无理数。
2、绝对值
(1)一个正数的绝对值是它本身，
一个负数的绝对值是它的相反数，
零的绝对值是零。
(2)一个数的绝对值表示这个数的点离开原点的距离。
（1）平方根是其本身的数是 0；算术平方根是其本身的数是 0 和 1；立方根是其
本身的数是 0 和±1。
（2）每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根； 任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。
二、平方根、立方根例题。
例 1、（1）下列各数是否有平方根，请说明理由
那么 a+b-c 的值为___________
1、识记下列各式的值，结果保留 4 个有效数字：
2≈___________ 3≈___________ 5≈___________ 6≈___________
7≈___________
2、方法一：差值比较法
差值比较法的基本思路是设 a，b 为任意两个实数，先求出 a 与 b 的差，再
沪科版七年级数学第一章知识点复习以及例题讲解
1、平方根 （1）定义：一般地,如果一个数的平方等于 a,那么这个数叫做 a 的平方根,也叫做 a 的二次方根。
对于正数 a
正的平方根用 a 来表示，（读做“根号 a”）
负的平方根用 “ a ”表示（读做“负根号 a” ）
如果 x2=a，则 x 叫做 a 的平方根，记作“ a ”（a 称为被开方数）。
（2）平方根的性质： ①一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数； ②0 只有一个平方根，它就是 0 本身； ③负数没有平方根. （3）开平方的定义:求一个数的平方根的运算，叫做开平方.
（4）算术平方根：正数 a 的正的平方根叫做 a 的算术平方根，记作“ a ”。
（5） a 本身为非负数，即 a ≥0； a 有意义的条件是 a≥0。
（6）公式：⑴( a )2=a（a≥0）；
2、立方根 （1）定义：一般地，如果一个数的立方等于 a，这个数就叫做 a 的立方根(也叫 做三次方根)。
即 X3=a,把 X 叫做 a 的立方根。数 a 的立方根用符号“ 3 a ”表示，读作“三次根号
a”。 （2）立方根的性质： 正数有一个正的立方根；0 的立方根是 0；负数有一个负的立方根。 （3）开立方：求一个数的立方根的运算，叫做开立方。开立方与立方也是互为 逆运算，因此求一个数的立方根可以通过立方运算来求. 3、规律总结