二次函数在实际中的应用

二次函数在实际中的应用

法国著名数学家的卡尔说过：“我们所解决的每一个问题，将成为一种模式，用于解决其它问题”.本文用二次函数的模式，解答生产、生活、体育等实际中的问题，达到触类旁通的目的.

一、借助二次函数解答桥梁问题

例1、（2006吉林省）如图1，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB 的宽为20m ，如果水位上升3m 时，水面CD 的宽是10m ．

⑴ 建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式；

⑵ 现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥280km （桥长忽略不计）．货车正以每小时40km 的速度开往乙地，当行驶1小时时，忽然接到紧急通知：前方连降暴雨，造成水位以每小时0.25m 的速度持续上涨（货车接到通知时水位在CD 处，当水位达到桥拱最高点O 时，禁止车辆通行）．试问：如果货车按原来速度行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由．若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米？

解：（1）设抛物线的解析式为2y ax =，桥拱最高点O 到水面CD 的距离为h 米，则D （5，h -），B （10，3h --）．

∴25100 3.a h a h =-⎧⎨=--⎩，解得1251a h ⎧=-⎪⎨⎪=⎩

，∴抛物线的解析式为2125y x =-． （2）水位由CD 处涨到点O 的时间为：1÷0.25 = 4（小时），

货车按原来速度行驶的路程为：40×1＋40×4 = 200＜280，

∴货车按原来速度行驶不能安全通过此桥，设货车速度提高到x 千米/小时，

当4401280x +⨯=时，解得60x = ，

∴要使货车安全通过此桥，货车的速度应超过60千米小时．

二、应用二次函数剖析撞车问题

例2、（2006苏州市）司机在驾驶汽车时，发现紧急情况到踩下刹车需要一段时间，这段时间叫反应时间．之后还会继续行驶一段距离．我们把司机从发现紧急情况到汽车停止所行驶的这段距离叫“刹车距离”，如图2．

已知汽车的刹车距离s(单位：m)与车速v(单位：m ／s)之同有如下关系：s=tv+kv 2其中t 为司机的反应时间(单位：s)，k 为制动系数．某机构为测试司机饮酒后刹车距离的变化，对某种型号的汽车进行了“醉汉”驾车测试，已知该型号汽车的制动系数k=0.08，并测得志愿者在未饮酒时的反应时间t=O.7s

图1

(1)若志愿者未饮酒，且车速为11m ／s ，则该汽车的刹车距离为＿＿＿＿m(精确到0.1m)

(2)当志愿者在喝下一瓶啤酒半小时后，以17m ／s 的速度驾车行驶，测得刹车距离为

46m ．假如该志愿者当初是以11m ／s 的车速行驶，则刹车距离将比未饮酒时增加多少？(精确到O.1m)

(3)假如你以后驾驶该型号的汽车以11m ／s 至17m ／s 的速度行驶，且与前方车辆的车

距保持在40m 至50m 之间．若发现前方车辆突然停止，为防止“追尾”。则你的反应时间应不超过多少秒?(精确到0. O1s)

解 （1）直接把t=0.7,v=11,k=0.08代入s=tv+kv 2,得s=0.7×11+0.08×112≈17.4(m);

（2）先求饮酒后的反应时间t ，把s=46,v=17,k=o.o8代入s=tv+kv 2，

得 46=17t+0.08×172. 解之,得t≈1.35

当v=11时，s=tv+kv 2=1.35×11+0.08×112≈24.5, 24.5-17.4=7.1

因此，酒后刹车距离比未饮酒时增加7.1m.

(3) 设反应的时间为t 秒,由于在其它条件不变的情况下,速度越快,刹车距离越大,为了确保安全,假设速度为17m/s,则依据题意,得17t+0.08×172＜40,解得t ＜0.99.因此,反应的时间不能超过0.99s.

三、建立二次函数判断发球问题

例3、在济南大学举行的一场排球赛中，队员黄娟站在边线发球，发球点与地面的

距离为1.8米，发球的方向与边线垂直，球飞行的路线为抛物线，当球飞行距离为8米时，达到最高高度为5.2米，已知球场的长18

解： 建立如图3所示的坐标系，根据坐标系可知球

出手点

C 的坐标

(0．1.8)，抛物线的最高点的坐标是

D(8，5.2)，设抛物线的关系式为y =a (x -h )2+k ，将条件

代入，得h =8，k =5.2，a =-

32017，所以抛物线关系式 为：y =-32017

(x -8)2+5.2 当x =18时，y =-0.113米，所以球没有落到球场的对方边界外．

五、列出二次函数决策营销问题

例5、（2007山东省青岛市）某公司经销一种绿茶，每千克成本为50元．市场调查发现，在一段时间内，销售量w （千克）随销售单价x （元/千克）的变化而变化，具体关系式为：w ＝－2x ＋240．设这种绿茶在这段时间内的销售利润为y （元），解答下列问题：

（1）求y 与x 的关系式；

（2）当x 取何值时，y 的值最大？

（3）如果物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于90元/千克，公司想要在这段时间内获得2250元的销售利润，销售单价应定为多少元？

解：⑴ y ＝(x －50)∙ w

＝(x －50) ∙ (－2x ＋240)

＝－2x 2＋340x －12000，

图3

图2

∴y与x的关系式为：y＝－2x2＋340x－12000．

⑵ y＝－2x2＋340x－12000

＝－2 (x－85) 2＋2450，

∴当x＝85时，y的值最大．

⑶当y＝2250时，可得方程－2 (x－85 )2 ＋2450＝2250．

解这个方程，得x1＝75，x2＝95．

根据题意，x2＝95不合题意应舍去．

∴当销售单价为75元时，可获得销售利润2250元．

应用二次函数的模式解决实际中的问题还很多，也是近年中考的热点，相信经过上数类型的阅读与思考，一定会应用二次函数这个模式，解答一些实际问题.