初中数学课件-因式分解PPT精品课件北师大版1
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因式分解PPT课件(北师大版)
第四章 因式分解
1 因式分解
用简便方法计算：
• （1） 736×95+736×5
• 解 ：736×95+736×5=736×（95ɘ
• （2）-2.67× 132-+22.657××2.16372++72×5×2.26.677+7×2.67=
• 解：-2.67× 132+25×2.67+7×2.67
= m(a+b+c)
左边式子的变形与右边式子的变形是互为逆运 算变形过程.
下列变形是因式分解吗？为什么？
（1）a+b=b+a
（2 2）24x y–8xy +1=4xy(x–y)+1
2
2
2
2
（3）a(a–b)=a –ab （4）2a –2b =2(a–b)
答：第（4）式是因式分解，其余都不是。
注意：
３．（随堂练习p94１、２）
能说出你这节课的收获和体验让大 家与你分享吗？
规律总结
• 对多项式分解因式与整式乘法是方向相反的两 种恒等变形.
• 整式的乘法运算是把几个整式的积变为多项式 的情势，特征是向着积化和差的情势发展；
• 多项式的分解因式是把一个多项式化为几个整 式乘积的情势，特征是向着和差化积的情势发 展.
(2) (m+4)(m-4)= _m__2-_16 (1) 3x2-3x=_____3_x_(x-1)
(3) (y-3)2= ___y_2-_6y_+_9 (2) m2-16=___(_m__+_4_)(_m_-4)
（4） m(a+b+c) =__m__a_+_m__b_+mc
1 因式分解
用简便方法计算：
• （1） 736×95+736×5
• 解 ：736×95+736×5=736×（95ɘ
• （2）-2.67× 132-+22.657××2.16372++72×5×2.26.677+7×2.67=
• 解：-2.67× 132+25×2.67+7×2.67
= m(a+b+c)
左边式子的变形与右边式子的变形是互为逆运 算变形过程.
下列变形是因式分解吗？为什么？
（1）a+b=b+a
（2 2）24x y–8xy +1=4xy(x–y)+1
2
2
2
2
（3）a(a–b)=a –ab （4）2a –2b =2(a–b)
答：第（4）式是因式分解，其余都不是。
注意：
３．（随堂练习p94１、２）
能说出你这节课的收获和体验让大 家与你分享吗？
规律总结
• 对多项式分解因式与整式乘法是方向相反的两 种恒等变形.
• 整式的乘法运算是把几个整式的积变为多项式 的情势，特征是向着积化和差的情势发展；
• 多项式的分解因式是把一个多项式化为几个整 式乘积的情势，特征是向着和差化积的情势发 展.
(2) (m+4)(m-4)= _m__2-_16 (1) 3x2-3x=_____3_x_(x-1)
(3) (y-3)2= ___y_2-_6y_+_9 (2) m2-16=___(_m__+_4_)(_m_-4)
（4） m(a+b+c) =__m__a_+_m__b_+mc
八年级数学北师大版初二下册--第四单元 4.1《因式分解》课件
1 知识小结
1.因式分解的定义： 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形 叫做因式分解，也可称为分解因式．
2. 因式分解与整式乘法是一个互逆过程，
即：几个整式相乘 噲垐因整垐式式垐分乘解法垎垐 一个多项式
请完成《典中点》 Ⅱ 、 Ⅲ板块 对应习题！
C．x2(1－3xy2)
D．x(x－3y2)
导引：把各选项进行整式乘法的运算，将所得的积与 x2－3xy2对照，能够与x2－3xy2相等的选项必是 正确答案．
总结
知2－讲
四个选项都是乘积的形式，可以利用因式分解 和整式乘法的互逆关系检验所得结果的正确性．
知2－讲
例3 20162－2016不能被下列哪个数整除？( B )
因此是因式分解，D正确．
知1－练
1 下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解？为 什么？ (1) (a＋3)(a－3)＝a2－9 ； (2) m2－4＝(m＋2)(m－2)； (3) a2－b2＋1＝(a＋b)(a－b)＋1； (4) 2mR＋2mr＝2m(R＋r).
解：(2)(4)是因式分解．理由：只有(2)(4)是把一个多项 式化成几个整式的积
知1－导
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种 变形叫做因式分解. 例如，a3－a＝ a (a＋1)(a－1)， am＋bm＋cm＝m(a＋b＋c)，x2＋2x＋l＝(x＋1)2都 是因式分解. 因式分解也可称为分解因式.
（来自《教材》）
知1－讲
例1 下列各式从左到右的变形属于因式分解的是( D ) A．a2＋1＝a(a＋ 1 ) a B．(x＋1)(x－1)＝x2－1 C．a2＋a－5＝(a－2)(a＋3)＋1 D．x2y＋xy2＝xy(x＋y)
A．9a2＋y2
北师大版八年级下册数学《因式分解》PPT教学课件
合作探究
探究点三 问题1：因式分解：把一个多项式化成几个 整式 的 积 的形式，这种变形叫 做因式分解.因式分解也可称为 分解因式 . 问题2：你能说明因式分解与整式的乘法有什么关系吗? 多项式的因式分解与整式的乘法互为逆变形过程. 因此可以用整式的乘法来检验分解因式是否正确.
合作探究
探究点四 例1：已知多项式x2－4x＋m因式分解的结果为(x＋a)(x－6)，求2a－m的值 解：(x＋a)(x－6)
课程讲授
1 因式分解的定义
问题1：
完成下列题目： x(x-2)=__x_2_-_2_x_ (x+y)(x-y)=__x_2-_y_2__ (x+1)2=_x_2_+_2_x_+_1_
根据左空，解决下列问题： x2-2x=( x )( x-2 ) x2-y2=( x+y )( x-y ) x2+2x+1=( x+1 )2
4.1 因式分解
八年级下册
学习目标
1 经历从分解因数到分解因式的类比过程. 2 了解因式分解的意义，以及它与整式乘法的相互关系. 3 感受因式分解在解决相关问题中的作用.
前置学习
1．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是( D )
A．a(x－y)＝ax－ay
B．x²＋2x＋1＝x(x＋2)＋1
整式乘法
(x+1)(x-1)
课程讲授
1 因式分解的定义
归纳：因式分解与整式乘法是互逆运算，二者是一个 式子的两种不同表现形式．因式分解的等号右边是两个 或几个因式积的形式，整式乘法的等号右边是多项式的 形式．
随堂练习
1. 下列各式中从左到右的变形属于分解因式的是（ C ） A. a(a+b-1)=a2+ab-a B. a2-a-2=a(a-1)-2 C. -4a2+9b2=(-2a+3b)(2a+3b) D.2x +1=x(2+ 1 )
因式分解北师大数学八年级下册PPT课件
B. − + = − +
C. − = −
D. + = + +
）
课堂检测
基础巩固题
2.
如果多项式
+
么另一个因式是（ B
）
A. c−b+5ac
B.c+b−5ac
1
C. ac
5
1
D. ac
5
− 的一个因式是 ,那
= ( + ) − ( − ) −
= ++ +− −+ −−
∵ , , 是△ABC的三边，
∴ + + > ， + − > ， − + > ， − − < ，
∴原式< ，即( + − ) − < .
北师大版 八年级 数学 下册
4.1 因式分解
导入新知
630可以被哪些整数整除？
解决这个问题，需要对630进行分解质因数
= × × ×
思考：既然有些数能分解因数，那么类似地，有些多项
式可以分解成几个整式的积吗？
素养目标
2. 理解因式分解与整式乘法之间的联系与区
别.
1. 理解掌握因式分解的意义，会判断一个变
.
探究新知
3.观察下面拼图过程，写出相应的关系式.
（2）
x
x
x
x+1
1
x
1
1
1
x+1
+ +
＝
C. − = −
D. + = + +
）
课堂检测
基础巩固题
2.
如果多项式
+
么另一个因式是（ B
）
A. c−b+5ac
B.c+b−5ac
1
C. ac
5
1
D. ac
5
− 的一个因式是 ,那
= ( + ) − ( − ) −
= ++ +− −+ −−
∵ , , 是△ABC的三边，
∴ + + > ， + − > ， − + > ， − − < ，
∴原式< ，即( + − ) − < .
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4.1 因式分解
导入新知
630可以被哪些整数整除？
解决这个问题，需要对630进行分解质因数
= × × ×
思考：既然有些数能分解因数，那么类似地，有些多项
式可以分解成几个整式的积吗？
素养目标
2. 理解因式分解与整式乘法之间的联系与区
别.
1. 理解掌握因式分解的意义，会判断一个变
.
探究新知
3.观察下面拼图过程，写出相应的关系式.
（2）
x
x
x
x+1
1
x
1
1
1
x+1
+ +
＝
八年级数学下册《因式分解》课件北师大版
第二章 §2.1
分解因式
1.整式乘法有几种形式? (1)单项式乘以单项式 (2)单项式乘以多项式: a(m+n)=am+an (3)多项式乘以多项式: (a+b)(m+n)=am+an+bm+bn 2.乘法公式有哪些? (1)平方差公式: (a+b)(a-b)=a2-b2 (2)完全平方公式: (a±b)2=a2±2ab+b2
=3.14
2.
20042+2004能被2005整除吗?
解: ∵20042+2004=2004(2004+1) =2004 ×2005 ∴ 20042+2004能被2005整除
３．（随堂练习p４０１、２）
• • 多项式的分解因式与整式乘法是方 向相反的恒等式. • 整式的乘法运算是把几个整式的积 变为多项式的形式，特征是向着积 化和差的形式发展； • 而多项式的分解因式是把一个多项 式化为几个整式乘积的形式，特征 是向着和差化积的形式发展.
练习三
拓展应用
1. 计算: 7652×17－2352 ×17 解: 7652×17－2352 ×17 =17(7652 －2352)=17(765+235)(765 －235) =17 ×1000 ×530=9010000
2. 20042+2004能被2005整除吗?
解: ∵20042+2004=2004(2004+1)
7 12
作业：
1. 课本P45习题2.1 / 1～4 2. 预习课本P47～ 48 例、想、练
课后练习
4. 若n是整数,证明(2n+1)2-(2n-1)2是8的倍数. 5. 某工厂需加工一批零件,由甲、乙、丙三 位工人共同完成，已知甲工人每天加工 23个零件，乙工人每天加工19个零件， 丙工人每天加工18个零件，三人需共同 做12天才能做完，要加工的零件共有多 少？
分解因式
1.整式乘法有几种形式? (1)单项式乘以单项式 (2)单项式乘以多项式: a(m+n)=am+an (3)多项式乘以多项式: (a+b)(m+n)=am+an+bm+bn 2.乘法公式有哪些? (1)平方差公式: (a+b)(a-b)=a2-b2 (2)完全平方公式: (a±b)2=a2±2ab+b2
=3.14
2.
20042+2004能被2005整除吗?
解: ∵20042+2004=2004(2004+1) =2004 ×2005 ∴ 20042+2004能被2005整除
３．（随堂练习p４０１、２）
• • 多项式的分解因式与整式乘法是方 向相反的恒等式. • 整式的乘法运算是把几个整式的积 变为多项式的形式，特征是向着积 化和差的形式发展； • 而多项式的分解因式是把一个多项 式化为几个整式乘积的形式，特征 是向着和差化积的形式发展.
练习三
拓展应用
1. 计算: 7652×17－2352 ×17 解: 7652×17－2352 ×17 =17(7652 －2352)=17(765+235)(765 －235) =17 ×1000 ×530=9010000
2. 20042+2004能被2005整除吗?
解: ∵20042+2004=2004(2004+1)
7 12
作业：
1. 课本P45习题2.1 / 1～4 2. 预习课本P47～ 48 例、想、练
课后练习
4. 若n是整数,证明(2n+1)2-(2n-1)2是8的倍数. 5. 某工厂需加工一批零件,由甲、乙、丙三 位工人共同完成，已知甲工人每天加工 23个零件，乙工人每天加工19个零件， 丙工人每天加工18个零件，三人需共同 做12天才能做完，要加工的零件共有多 少？
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(8分钟)
(变1.式下)列下等列式等中式从中左从到左右到的右变的形变为形分为解分因解式因的式是的(是D( C).)
ＡＡ. . (x1＋2a52)b(x＝－31a)·＝4xa2b＋4x－5 ＢＢ. .x2－(x＋x2－2)(1x＝-2()x＝＋xx2)-(4x－1) － 1 ＣＣ. .x24－x21-08xxy-＋1＝254yx2(＝x-(2x)－-15y)2 ＤＤ. .ax122－axb-x12－2axy＝1x22(aa(－x-by).－x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(3) (m+4)(m-4)= _m_2_-_1_6_ (3) m2-16=_(_m_+_4_)(_m_-_4)_
(4) (y-3)2= y_2_-_6_y+_9__
(4) y2-6y+9=_(_y-_3_)_2 ___
1、什么是因式分解？因式分解的最终结果必须以什么形 式出现？把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种 变形叫做因式分解。 结果必须是整式的积的形式。
(2) x2-4x+4=(x-2)2
(3)a(x-3y)=ax-3ax
(1分钟)
993 – 99还能被哪
自学课本P92页，思考并回答以下问些题正：整数整除？
1、993-99能被100整除吗？为什么？
解：993 - 99 =99×(992-1)
=99×(99+1) ×(99-1)
=99 ×100 ×98
8
8
4.已知关于x的二次三项式 5x2+mx-n 分解因式的结果
是(5x-1)(x+2),试求m，n的值 解：(5x 1)( x 2) 5x2 9x 2 5x2 mx n 5x2 9x 2
解得：m 9 ， n 2
北师大版八年级数学下册《因式分解》ppt
43;4x+4=(x+2)2
因式分解
(5).(a-3)(a+3)=a2-9
因式分解
(6).m2-4=(m+2)(m-2)
整式乘法
4.利用因式分解简便计算57×99+44×99-99正确的是 ( B )
A.99×(57+44)=99×101=9999 B.99×(57+44-1)=99×100=9900 C.99×(57+44+1)=99×102=10098 D.99×(57+44-99)=99×2=198
思考：因式分解与整式乘法有什么关系？
左边式子的变形为整式乘法，右边式子的变形为因式 分解，两种变形互为逆运算变形过程.
巩固练习
判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是因式分解?
(1).x2-4y2=(x+2y)(x-2y)
因式分解
(2).2x(x-3y)=2x2-6xy
整式乘法
(3).(5a-1)2=25a2-10a+1
跟进探索
计算下列各式: (1)3x(x-1)= _3_x_2-_3_x (2)(m+4)(m-4)= m_2_-_16_ (3)(y-3)2= _y2_-_6y_+_9__
根据左面的算式填空: (1)3x2-3x=__3_x(_x_-1_)_ (2)m2-16=__(_m_+_4_)(_m_-_4_) (3)y2-6y+9=_(_y_-3_)_2 _
m(a+b+c)
x2+x+x+1
(x+1)2
am+bm+cm=m(a+b+c) x2+x+x+1= x2+2x+1 =(x+1)2
因式分解
(5).(a-3)(a+3)=a2-9
因式分解
(6).m2-4=(m+2)(m-2)
整式乘法
4.利用因式分解简便计算57×99+44×99-99正确的是 ( B )
A.99×(57+44)=99×101=9999 B.99×(57+44-1)=99×100=9900 C.99×(57+44+1)=99×102=10098 D.99×(57+44-99)=99×2=198
思考：因式分解与整式乘法有什么关系？
左边式子的变形为整式乘法，右边式子的变形为因式 分解，两种变形互为逆运算变形过程.
巩固练习
判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是因式分解?
(1).x2-4y2=(x+2y)(x-2y)
因式分解
(2).2x(x-3y)=2x2-6xy
整式乘法
(3).(5a-1)2=25a2-10a+1
跟进探索
计算下列各式: (1)3x(x-1)= _3_x_2-_3_x (2)(m+4)(m-4)= m_2_-_16_ (3)(y-3)2= _y2_-_6y_+_9__
根据左面的算式填空: (1)3x2-3x=__3_x(_x_-1_)_ (2)m2-16=__(_m_+_4_)(_m_-_4_) (3)y2-6y+9=_(_y_-3_)_2 _
m(a+b+c)
x2+x+x+1
(x+1)2
am+bm+cm=m(a+b+c) x2+x+x+1= x2+2x+1 =(x+1)2
北师大版八年级下册数学《提公因式法》因式分解PPT教学课件
(3)8a3b2－12ab3c＋ab；(4)－24x3＋12x2－28x.
(3)8a3b2－12ab3c＋ab
(4)－24x3＋12x2－28x
＝ab·8a2b－ab·12b2c＋ab·1
＝－( 24x3－12x2＋28x)
＝ab(8a2b－12b2c＋l)；
＝－(4x·6x2－4x·3x＋4x·7)
第四章 因式分解
提公因式法
知识回顾
1. 因式分解的概念
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这
个多项式分解因式 .
2. 整式乘法与分解因式之间的关系.
互为逆运算
获取新知
1.多项式ma+mb+mc有哪几项？
ma, mb, mc
2.每一项的因式都分别有哪些？
依次为m, a和m, b和m, c
－
1
2
时此式的值．
解：x(x＋y)(x－y)－x(x＋y)2
＝x(x＋y)[(x－y)－(x＋y)]
＝－2xy(x＋y)．
1
2
当x＋y＝1，xy＝－ 时，
1
原式＝－2×(－
2
)×1＝1.
随堂练习
1．多项式a(m－2)＋(m－2)分解因式等于( B
)
A．2(m－2)
B．(m－2)(a＋1)
C．(m－2)(a－1)
解：原式＝(a－1)(7＋x)．
(4)(2a＋b)(2a－3b)－3a(2a＋b)．
解：原式＝ (2a＋b)(2a－b－3a)
＝－(2a＋b)(a＋3b)．
请在下列各式等号右边填入“+”或“-”号,使等式成立.
(1) 2-a=____(
－ a-2)
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4. 分解因式：
（4）m2-n2+（m-n）.
解：原式＝（m+n） （m-n）+（m-n） ＝（m-n） （m+n+1）.
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C
组
5. 先化简,再分解因式:8（x2-2y2）-x（7x+y） +xy.
解：原式＝8x2-16y2-7x2-xy+xy =x2-16y2 ＝（x+4y）（x-4y）.
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原式=（2x+3y）（2x-3y）.
（2）x3-x；
原式= x（x+1）（x-1）.
2. 分解因式：
（3）2x2-8；
原式＝2（x+2）（x-2）.
（4）5x3-125x；
原式＝ 5x（教学课件 北师大 版1（精 品课件 ）
2. 分解因式：
（5）（a2+1）2-4a2.
第十四章 整式的乘法与因式分解
第13课 因式分解（2）——公式法 （平方差公式）
A
组
1. 分解因式：
（1）x2-y2=
（x+y）（x-y）
；
（2）x2-9=
（x+3）（x-3）
；
（3）4a2-b2=
（2a+b）（2a-b）
；
（4）16a2-1= （4a+1）（4a-1）
（4）m2-n2+（m-n）.
解：原式＝（m+n） （m-n）+（m-n） ＝（m-n） （m+n+1）.
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C
组
5. 先化简,再分解因式:8（x2-2y2）-x（7x+y） +xy.
解：原式＝8x2-16y2-7x2-xy+xy =x2-16y2 ＝（x+4y）（x-4y）.
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原式=（2x+3y）（2x-3y）.
（2）x3-x；
原式= x（x+1）（x-1）.
2. 分解因式：
（3）2x2-8；
原式＝2（x+2）（x-2）.
（4）5x3-125x；
原式＝ 5x（教学课件 北师大 版1（精 品课件 ）
2. 分解因式：
（5）（a2+1）2-4a2.
第十四章 整式的乘法与因式分解
第13课 因式分解（2）——公式法 （平方差公式）
A
组
1. 分解因式：
（1）x2-y2=
（x+y）（x-y）
；
（2）x2-9=
（x+3）（x-3）
；
（3）4a2-b2=
（2a+b）（2a-b）
；
（4）16a2-1= （4a+1）（4a-1）
北师大数学八下课件1因式分解-副本
小明是这样做的: 993-99=99×992-99×1 =99×(992-1) =99×9800 =99×98×100 所以,993-99能被100整除.
在这里，解决 问题的关键是 把一个整式化 成了几个数的 积的形式.
你知道每一步的根据吗?
想一想:993-99还能被哪些正整数整除?
【揭示新知】
【定义】把一个多项式化成几个整式的积的形式, 这种变形叫做因式分解.
2.乘法公式有哪些? (1)平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2 (2)完全平方公式:(a±b)2=a2±2ab+b2
3.试计算: (1)3a(a-2b+c)(2)(a+3)(a-3) (3)(a+2b)2(4)(a-3b)2 解:(1)3a(a-2b+c)=3a2-6ab+3ac (2)(a+3)(a-3)=a2-9 (3)(a+2b)2=a2+4ab+4b2 (4)(a-3b)2=a2-6ab+9b2
本节课我们主要学习了因式分解的意义及因式分 解与整式乘法的关系. 在因式分解意义的理解上要注意： ①等式的左边必须是多项式； ②分解的结果必须是几个整式的积； ③必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止.
因式分解 整式乘法
(6)m2-42=(m+4)(m-4)
因式分解
(7)2π R+2π r=2π (R+r)
因式分解
2.把下列各式写成乘积的形式:
(1)1-x2 (2)4a2+4a+1 -14x+49
=(1+x)(1-x) =(2a+1)2 =4x(x-2) =2xy(x-3y) =(1-2x)(1+2x) =(x-7)2
第四章-因式分解(单元小结)【精品课件】(北师大版)
单元复习
数学（北师大版）
八年级 下册
第四章 因式分解
本
章
知
识
架
构
因式分解
定义
提公因式法
公式法
平方差公式
完全平方公式
知
识
专式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
1.因式分解的定义
要点梳理
如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
【解析】（1）多项式的因式分解的定义包含两个方面的条件，第一，等式的左边是一个多项式；其二，等式的右边要化成几个整式的乘积的形式，这里指等式的整个右边化成积的形式；（2）判断过程要从左到右保持恒等变形.
不是
不是
是
不是
考点专练
例2 因式分解：(1)8a3b2＋12ab3c；(2)2a(b＋c)－3(b＋c)；(3)(a＋b)(a－b)－a－b.
考点专练
例4 分解因式：(1)(a＋b)2－4a2；(2)9(m＋n)2－(m－n)2.
解：(1)原式＝(a＋b－2a)(a＋b＋2a) ＝(b－a)(3a＋b)； (2)原式＝(3m＋3n－m＋n)(3m＋3n＋m－n) ＝(2m＋4n)(4m＋2n) ＝4(m＋2n)(2m＋n)．
考点专练
例5 因式分解：(1)－3a2x2＋24a2x－48a2；(2)(a2＋4)2－16a2.
解：(1)原式＝－3a2(x2－8x＋16) ＝－3a2(x－4)2； (2)原式＝(a2＋4)2－(4a)2 ＝(a2＋4＋4a)(a2＋4－4a) ＝(a＋2)2(a－2)2.
2.提公因式法
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(x 3)(x 4) x2 7x 12
(x a)(x b) x2 (a b)x ab
等式左边是两个一次二项式（相乘 ） 右边是（ 二次三项式 ）
这个过程将（ 积 ）的形式，转化成（ 和差 ） 的形式，进行的是（整式乘法 ）运算。
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例2 分解因式
x2-3x+2 =(x-1)(x-2)
(-1)×(-2)=2 X
-1
(-1)+(-2)= -3 x
-2
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例3 分解因式
x2-2x-3 =(x+1)(x-3)
x2+(p+q)x+pq = (x+p)(x+q)
x2 + 3x + 2 =(x+1)(x+2)
(1 + 2) 1×2
x1
x2 x+2x=3x
十字相乘法
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十字相乘法公式：
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用十字相乘法分解下列因式
1、x4-13x2+36 2、x2+3xy-4y2 3、x2y2+16xy+48 4、(2+a)2+5(2+a)-36
5、x4-2x3-48x2
1×(-3)= -3 X
1
1+(-3)= -2 x
-3
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例4：试将 x2 6x 16 分解因式
解： x2 6x 16
x2 6x 16
x 8x 2
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计算：
(1) (x+1)(x+2) (2) (x+2)(x-1) (3) (x-2)(x-1) (4) (x+2)(x+3)
=x2+3x+2
=X2+x-2
=x2-3x+2
=x2+5x+6
规律：原式常数项的积=结果中的常数项
原式常数项的和=结果中一次项的系数
(x 3)(x 4) x2 7x 12 (x 3)(x 4) x2 x 12 (x 3)(x 4) x2 x 12
例一：
步骤：
x2 6x 7 (x 7)(x 1) ①竖分二次项与常数项
x 7
x 1
②交叉相乘，和相加 ③检验确定写因式不能乱。
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利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式 的方法叫十字相乘法。
2. 运用十字交叉线因式分解时，可以参照四字诀“竖 分
横积”，具体操作步骤是怎样的？ 3. 为了快速解题，我们要熟练掌握q、p、a、b的符号
之间的联系，请你讲讲有哪些联系。
1>．当q〉0时，a、b同号，它们的符号与p相同。 2>．当q〈0时，a、b异号，其中绝对值较大的数的符号与p相同。
x2 4x 12 (x 6)(x 2)
x2 x 12 (x 4)(x 3)
x2 2x 15 (x 5)(x 3) x2 x 20 (x 5)(x 4)
1. 解题时从哪里入手，凑p还 是分解q?
2. 观察前四题，其中的q的符 1．号当有q〉什0时么，共a、同b的同特号，征它？们的符号
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2把下列各式分解因式 1、x2-4xy+4y2-6x+12y+8
2、(x2+2x)(x2+2x-11)+11 3、x n+1+3xn+2xn-1 4、(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+16
x2 (a b)x ab (x a)(x b)
利用十字交叉线来分 解系数，把二次三项式分 解因式的方法叫十字相乘 法。
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十字相乘法（借助十字交叉线分解因式的方法）
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提示：当二次项系数为-1时 ，先提出负号再因式分解 。
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x2 px q (x a)(x b)
x2 7x 12 (x 3)(x 4) x2 8x 12 (x 2)(x 6) x2 3x 2 (x 1)(x 2) x2 7x 6 (x 1)(x 6)
练习1把下列各式分解因式
1. x2-11x-12 2. x2+4x-12 3. x2-x-12 4. x2-5x-14 5. y2-11y+24
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1. 什么是十字相乘法？
14.3
课前复习：
1.什么是因式分解？
把一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做把 这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因 式。
因式分解的实质是（“和差化积”）与（ 整式乘法 ） 是“积化和差”的过程正好（相反 ）。
2.之前我们都学习了哪些分解因式的方法？
提取公因式法
公式法
利用公式
(x+p)(x+q) =x2+(p+q)x+pq
与p相同。
32较．.什大分当的么解q数〈特后的0征时，符，？号aa、与、bpb相的异同号符。，号其有中一绝个对值 4. 那么a、b取正取负又如何
决定？
5. 后面四题的情况呢？
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(x a)(x b) x2 (a b)x ab
等式左边是两个一次二项式（相乘 ） 右边是（ 二次三项式 ）
这个过程将（ 积 ）的形式，转化成（ 和差 ） 的形式，进行的是（整式乘法 ）运算。
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例2 分解因式
x2-3x+2 =(x-1)(x-2)
(-1)×(-2)=2 X
-1
(-1)+(-2)= -3 x
-2
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例3 分解因式
x2-2x-3 =(x+1)(x-3)
x2+(p+q)x+pq = (x+p)(x+q)
x2 + 3x + 2 =(x+1)(x+2)
(1 + 2) 1×2
x1
x2 x+2x=3x
十字相乘法
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十字相乘法公式：
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用十字相乘法分解下列因式
1、x4-13x2+36 2、x2+3xy-4y2 3、x2y2+16xy+48 4、(2+a)2+5(2+a)-36
5、x4-2x3-48x2
1×(-3)= -3 X
1
1+(-3)= -2 x
-3
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例4：试将 x2 6x 16 分解因式
解： x2 6x 16
x2 6x 16
x 8x 2
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计算：
(1) (x+1)(x+2) (2) (x+2)(x-1) (3) (x-2)(x-1) (4) (x+2)(x+3)
=x2+3x+2
=X2+x-2
=x2-3x+2
=x2+5x+6
规律：原式常数项的积=结果中的常数项
原式常数项的和=结果中一次项的系数
(x 3)(x 4) x2 7x 12 (x 3)(x 4) x2 x 12 (x 3)(x 4) x2 x 12
例一：
步骤：
x2 6x 7 (x 7)(x 1) ①竖分二次项与常数项
x 7
x 1
②交叉相乘，和相加 ③检验确定写因式不能乱。
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利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式 的方法叫十字相乘法。
2. 运用十字交叉线因式分解时，可以参照四字诀“竖 分
横积”，具体操作步骤是怎样的？ 3. 为了快速解题，我们要熟练掌握q、p、a、b的符号
之间的联系，请你讲讲有哪些联系。
1>．当q〉0时，a、b同号，它们的符号与p相同。 2>．当q〈0时，a、b异号，其中绝对值较大的数的符号与p相同。
x2 4x 12 (x 6)(x 2)
x2 x 12 (x 4)(x 3)
x2 2x 15 (x 5)(x 3) x2 x 20 (x 5)(x 4)
1. 解题时从哪里入手，凑p还 是分解q?
2. 观察前四题，其中的q的符 1．号当有q〉什0时么，共a、同b的同特号，征它？们的符号
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2把下列各式分解因式 1、x2-4xy+4y2-6x+12y+8
2、(x2+2x)(x2+2x-11)+11 3、x n+1+3xn+2xn-1 4、(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+16
x2 (a b)x ab (x a)(x b)
利用十字交叉线来分 解系数，把二次三项式分 解因式的方法叫十字相乘 法。
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十字相乘法（借助十字交叉线分解因式的方法）
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提示：当二次项系数为-1时 ，先提出负号再因式分解 。
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x2 px q (x a)(x b)
x2 7x 12 (x 3)(x 4) x2 8x 12 (x 2)(x 6) x2 3x 2 (x 1)(x 2) x2 7x 6 (x 1)(x 6)
练习1把下列各式分解因式
1. x2-11x-12 2. x2+4x-12 3. x2-x-12 4. x2-5x-14 5. y2-11y+24
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1. 什么是十字相乘法？
14.3
课前复习：
1.什么是因式分解？
把一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做把 这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因 式。
因式分解的实质是（“和差化积”）与（ 整式乘法 ） 是“积化和差”的过程正好（相反 ）。
2.之前我们都学习了哪些分解因式的方法？
提取公因式法
公式法
利用公式
(x+p)(x+q) =x2+(p+q)x+pq
与p相同。
32较．.什大分当的么解q数〈特后的0征时，符，？号aa、与、bpb相的异同号符。，号其有中一绝个对值 4. 那么a、b取正取负又如何
决定？
5. 后面四题的情况呢？
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