高考高分策略 导数压轴题备考策略(镇海中学 周海军)
导数压轴题的教学策略
导数压轴题的教学策略
导数压轴题的教学策略可以按照以下步骤进行：
1.深入理解导数概念：导数是微积分中的重要概念，它描述了函数值随自变量变化的速率。
只有深入理解了导数的概念和性质，才能更好地解决导数问题。
2.掌握常见题型及其解法：导数压轴题通常涉及多种知识点和方法，例如极值、单调性、不等式证明等。
学生需要掌握这些题型的特点和解法，以便能够快速找到解题思路。
3.强化训练：通过大量的练习和模拟考试，提高学生的解题能力和技巧。
在训练中，可以采取一题多解、一解多题等方式，帮助学生拓展思路，提高解题效率。
4.反思总结：在解题过程中，学生需要不断地反思和总结，分析错题的原因和解决方法，并加以改进。
同时，也需要总结解题技巧和思路，形成自己的知识体系。
5.合作交流：鼓励学生之间的合作和交流，共同探讨解题方法和思路。
通过合作交流，可以相互启发、补充和促进，提高学习效果。
6.教师指导：教师需要给予学生适当的指导和帮助，解决学生在学习中遇到的问题。
同时，教师也需要不断更新教学方法和策略，根据学生的实际情况进行调整和完善。
以上是导数压轴题的教学策略，希望对您有所帮助。
如何攻克导数压轴题
如何攻克导数压轴题作者：高荣丽来源：《读写算》2020年第05期摘要;在每年的高考数学试卷中都会有一道非常典型题目作为压轴题，压轴题的出现为学生解决数学难题提高自己的数学成绩，造成了极大的困扰。
甚至有的学生在参加高考时直接忽略这一道题目把解决这道题目的时间用在其它题目上。
高考数学压轴题一般都是以圆锥曲线或导数部分的知识为基础的。
圆锥曲线中部分的题目解答逻辑并不困难，只是计算量非常复杂。
而导数部分的知識就不一样了，因此在本文中笔者将详细阐述如何攻克导数压轴题目。
关键词导数题目;高考;数学中图分类号：C931.1 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2020）05-0155-01长期以来，导数和圆锥曲线一直占据着高考数学题目的压轴位置。
圆锥曲线解题思路清晰但计算复杂，与此对应的导数部分就不相同了。
导数题目的逻辑梳理难度比圆锥曲线部分更高，而且计算量也比较大。
这就导致了一旦出现导数压轴题，很多学生都会饮恨考场。
一、教育学生分析题目分析题目是完成题目阅读之后要做的第一项工作，也是解答一道数学题目所必备的一项基本技能。
如果学生阅读完题目以后不经过一定的分析就立刻开始解答，那么学生的正确率会受到影响。
高考数学的压轴题同样也是如此，虽然在每年有很多学生都会被高考压轴题难倒，但是高考压轴题的基本解题思路与其他题目是没有巨大差别的。
因此教师要教育学生首先要静下心来分析题目，不要一看到导数题目是一道压轴题就手忙脚乱、战战兢兢。
以2019年山西省高考数学一卷第二十题为例，解决这道题目的第1步就是要分析这道题目：“已知函数f（x）=sin x-ln（1+x），f'（x）为f（x）的导数，请证明（1）f'（x）在区间（-1，π/2）上存在唯一的极大值点;（2）函数f（x）有且仅有两个零点”。
关于如何分析这道题目，教师可以向学生做出如下讲述：“同学们，首先阅读这道题目我们就会明白它考察的是导数部分的知识，而第1项的证明是和导数的零点有关的，那么在学习导数这一部分的知识时，关于函数极大值的证明所采用的方法就是求导。
压轴题型10-导数压轴大题的处理策略(解析版)-2023年高考数学压轴题专项训练
压轴题10导数压轴大题的处理策略目前虽然全国高考使用试卷有所差异，但高考压轴题目题型基本都是一致的，几乎没有差异，如果有差异只能是难度上的差异，高考导数压轴题考察的是一种综合能力，其考察内容方法远远高于课本，其涉及基本概念主要是:切线，单调性，非单调，极值，极值点，最值，恒成立等等。
导数解答题是高考数学必考题目，然而学生由于缺乏方法，同时认识上的错误，绝大多数同学会选择完全放弃，我们不可否认导数解答题的难度，但也不能过分的夸大。
掌握导数的解体方法和套路，对于基础差的同学不说得满分，但也不至于一分不得。
为了帮助大家复习，今天就总结倒数7大题型，让你在高考数学中多拿分，平时基础好的同学逆袭140也不是问题。
○热○点○题○型1分类讨论与极值点偏移问题○热○点○题○型2恒成立问题的处理策略○热○点○题○型3凹凸反转问题的处理策略1．已知函数()e 3xf x a x =--有两个零点．(1)求实数a 的取值范围．(2)函数()()()ln 1g x f x x x =+-+，证明：函数()g x 有唯一的极小值点．【答案】(1)2(0,e )(2)证明过程见解析【分析】(1)对函数()f x 求导，求出函数()f x 的单调区间，再利用函数图像，从而得出()f x 的最小值小于零，进而求出结果.(2)通过函数的极值点的定义，将问题转化成导函数的零点问题，通过对函数()g x 求导，得出导函数()g x '严格单调，进而再利用零点存在性原求出()0g x '=的零点，从而得到证明.2．已知2()e 2xf x x x =--.(1)若()f x 在x =0处取得极小值，求实数a 的取值范围；(2)若()f x 有两个不同的极值点12,x x （12x x <），求证：1202x x f +⎛⎫''< ⎪⎝⎭（()f x ''为()f x 的二阶导数）.【答案】(1)(),1-∞3．已知函数()2e a f x x=，0a ≠.(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若()ln ln x xf x a -≤恒成立，求实数a 的取值范围.(1)当12a =时，讨论函数()()()F x f x g x =-的单调性；(2)当a<0时，求曲线()y f x =与()y g x =的公切线方程.【答案】(1)在R 上单调递增.(2)21y x =+【分析】（1）先求函数()F x 的导函数()F x '，再利用导数证明()0F x '≥，由此判断函数()F x 的单调性；()()0,,0x x ∞ϕ∈+>，又e 0x >得，所以()(),0,0x m x ∞∈-'<，()()0,,0x m x ∞∈+'>，所以()m x 在(),0∞-单调递减，在()0,∞+单调递增，所以()()00m x m ≥=，因此函数()y m x =只有一个零点，即()11121e4e 42e 410x x x ax a a -+--+=只有一个解10x =，此时切线方程为21y x =+，所以曲线()y f x =与()y g x =的公切线方程为21y x =+.【点睛】关键点点睛：本题第二小问解决的关键在于利用导数的几何意义确定切点的坐标满足的关系，再通过利用导数研究方程的解，确定切点坐标，由此求出切线方程.5．已知()()222ln 2a f x x a x x =-++.(1)讨论()f x 的单调性；(2)确定方程()22a f x x =的实根个数.(]0,e x ∈时，()g x 取值范围是⎛-∞ ⎝()e,x ∈+∞时，()g x 取值范围是0,⎛ ⎝所以当112e a +>，即22ea >-时，方程当112e a +=或102a +≤，即22e a =-当1012e a <+<，即222e a -<<-时，方程【点睛】方法点睛：利用导数研究函数的单调区间，首先要求函数的定义域，当导函数含有参数时，要对参数进行分类讨论，在确定导函数()f x '的正负时，难点在于分类讨论时标准的确定，主要是按照()0f x '=是否有根，根的大小进行分类求解的．6．已知函数()()()13ln 3R f x a x ax a x=---∈，ln 3 1.1≈.(1)当a<0时，试讨论()f x 的单调性；(2)求使得()0f x ≤在()0,∞+上恒成立的整数a 的最小值；(3)若对任意()4,3a ∈--，当[]12,1,4x x ∈时，均有()()()12ln 43ln 4m a f x f x +⋅>-+成立，求实数m 的取值范围.离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．7．已知函数()ln 2f x x ax =-.(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若()0f x ≤恒成立，求a 的取值范围.是自然对数的底数，函数e ln ．(1)若2m =，求函数()()2e 422xx F x x f x =+-+-的极值；(2)是否存在实数m ，1x ∀>，都有()0f x ≥若存在，求m 的取值范围；若不存在，请说明理由．∴()F x 的极大值为()22ln 26F =-；()F x 的极小值为()34ln22F =-．（2）因为0m >，由0mx m ->得1x >，即()f x 的定义域为()1,+∞．当0,1m x >>时，由()()e ln 0xf x m m mx m =+--≥可得，()()e ln ln ln 1x m m mx m m m m x +≥-=+-，不等式两边同时除以m 可得，()1e 1ln ln 1x m x m +≥+-，即()1e ln ln 11x m x m-≥--可得()ln e ln ln 11x mm x --≥--所以()()()()()ln 1ln eln ln 11eln 1x x mx m x x x --+-≥-+-=+-．设()e xh x x =+，则ln ln(1)e (ln )e ln(1)x m x x m x --+-≥+-即()()ln ln 1h x m h x -≥-⎡⎤⎣⎦．易得()e 10xh x '=+>，所以()h x 为单调递增函数．由()()ln ln 1h x m h x -≥-⎡⎤⎣⎦，可得()ln ln 1x m x -≥-，所以()ln ln 1m x x ≤--设()()ln 1H x x x =--，则()12111x H x x x -=-=--'．∴当()1,2x ∈时，()201x H x x '-=<-，即()H x 单调递减；当()2,x ∈+∞时，()201x H x x '-=>-，即()H x 单调递增．即()1,x ∈+∞时，()()min 22H x H ==；由题意可得()min ln 2m H x ≤=，即2e m ≤．∴存在实数m ，且m 的取值范围为(20,e ⎤⎦．【点睛】方法点睛：不等式恒成立求解参数取值范围时，常用的方法是通过构造函数将问题转化成求解函数最大值或最小值问题，即可求得参数取值范围.9．已知函数()()ln ,e e x x f x x g x -=-=-.(1)若[]()()0,1,x g x f a ∃∈>成立，求实数a 的取值范围；(2)证明：()()πcos 2e x h x f x =+有且只有一个零点0x，且20π1e cos e 2e x g -⎛⎫<< ⎝⎭，f x 的导函数为f x 3πππ,π22n n ⎛⎫-- ⎪⎝⎭内的零点为n x ，n *∈N .(1)求函数()f x 的单调区间；(2)证明：1πn n x x +-<.11．已知函数()ln f x m x x x=++．(1)求函数()f x 的单调区间；(2)当1m =时，证明：()23e x x f x x <+．12．已知函数()()()211R 2f x x m x m =+--∈.(1)求函数()f x 在区间[]1,2上的最大值；(2)若m为整数，且关于x的不等式()ln≥恒成立，求整数m的最小值.f x x(1)讨论()f x 在()0,∞+的单调性；(2)是否存在01,,a x x ，且10x x ≠，使得曲线()y f x =在0x x =和1x x =处有相同的切线？证明你的结论.【答案】(1)答案见解析(2)不存在，证明见解析【分析】（1）对()f x 求导，讨论10a -->和10a --≤时，()f x '的正负即可得出答案；（2）假设存在，求出()f x 在()()00,x f x 和()()11,x f x 处的切线方程，建立等式，将等式化简，减少变量，从而构造新的函数，研究新函数的单调性，即可证明.【详解】（1）()()1e x f x x a '=++，故1x a >--时，()0f x ¢>；1x a <--时，()0f x '<，当10a -->，即1a <-时，()f x 在()0,1a --单调递减，在()1,a --+∞单调递增；14．已知函数23()ln f x x x x =+-．(1)若0a =，求()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；(2)若12,x x （12x x <）是()f x 的两个极值点，证明：()()121234f x f x x x a-<-．轴上的射影分别为D ，C ，当AB 平行于x 轴时，四边形ABCD 的面积为4．(1)求p 的值；(2)过抛物线上两点的弦和抛物线弧围成一个抛物线弓形，古希腊著名数学家阿基米德建立了这样的理论：以抛物线弓形的弦为底，以抛物线上平行于弦的切线的切点为顶点作抛物线弓形的内接三角形，则抛物线弓形的面积等于该内接三角形面积的43倍．已知点P 在抛物线E 上，且E 在点P 处的切线平行于AB ，根据上述理论，从四边形ABCD 中任取一点，求该点位于图中阴影部分的概率的取值范围．16．已知函数()()1ln e ,xxf xg x m x==-.()m ∈R (1)证明：()1f x x ≥+；(2)若()()f x g x ≥，求实数m 的取值范围；(3)证明：11e e 1knk k =⎛⎫< ⎪-⎝⎭∑.()N n +∈【答案】(1)证明见解析(2)1m ≥-(3)证明见解析17．设函数1e 2,R ．(1)讨论()f x 的单调性；(2)若当[2,)x ∈-+∞时，不等式()()213e f x m x x -≥+-恒成立，求m 的取值范围．18．已知函数.(1)当12a =-时，讨论函数()f x 在()0,∞+上的单调性；(2)当0x >时，()1f x <，求实数a 的取值范围．19．讨论函数()()212ln f x ax x a x =+-+的单调性.么称函数()f x 在区间D 上可被()g x 替代.(1)若()()1,14f x x g x x ==-，试判断在区间13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，()f x 能否可被()g x 替代？(2)若()()()2sin ,ln cos f x x g x a x ==+，且函数()f x 在x ∈R 上可被函数()g x 替代，求实数a 的取值范围.综上，满足条件的实数a 的取值范围是[]1,e 1-【点睛】思路点睛：常规函数求导问题中，涉及到三角函数的思路一般为两种：一、正常利用求导公式进行计算；二、利用换元法将三角函数换元进行计算。
数学高考压轴题的特征及应对策略
数学高考压轴题的特征及应对策略江苏省姜堰中学 张圣官（225500）以能力为立意，重视知识的发生发展过程，突出理性思维，是高考数学命题的指导思想；而重视知识形成过程的思想和方法，在知识网络的交汇点设计问题，则是高考命题的创新主体。
由于高考的选拔功能，近年来的数学高考的压轴题中出现了不少以能力立意为目标、以增大思维容量为特色，具有一定深度和明确导向的创新题型，使数学高考试题充满了活力。
本文准备结合近几年高考实例来谈谈数学高考压轴题的特征及应对策略。
一．数学高考压轴题的特征1．综合性，突显数学思想方法的运用近几年数学高考压轴题已经由单纯的知识叠加型转化为知识、方法、能力综合型尤其是创新能力型试题。
压轴题是高考试题的精华部分，具有知识容量大、解题方法多、能力要求高、突显数学思想方法的运用以及要求考生具有一定的创新意识和创新能力等特点。
例1．（06年福建（理）第21题）已知函数f (x )=－x 2+8x ，g (x )=6ln x+m ； （Ⅰ）求f (x )在区间[t ，t +1]上的最大值h (t )；（Ⅱ）是否存在实数m ，使得()y f x =的图象与()y g x =的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．解：（I ）f (x )=－x 2+8x=－(x －4)2+16；当t +1<4，即t <3时，f (x )在[t ，t +1]上单调递增，h (t )=f (t +1)=－(t +1)2+8(t +1)=－t 2+6t +7； 当t ≤4≤t +1，即3≤t ≤4时，h (t )=f (4)=16；当t >4时，f (x )在[t ，t +1]上单调递减，h (t )=f (x )=－t 2+8t ；综上，2267, 3;()16, 34;8, 4;t t t h x t t t t ⎧-++<⎪=≤≤⎨⎪-+>⎩（II ）函数y =f (x )的图象与y =g (x )的图象有且只有三个不同的交点，即函数 x g (x )－f (x )的图象与x 轴的正半轴有且只有三个不同的交点．从而有：2()816ln x x x x m ϕ=-++，(0)x >∵ 262862(1)(3)'()28 (0),x x x x x x x x x xϕ-+--=-+==> 当x ∈(0,1)时，'()0x ϕ>，()x ϕ是增函数；当x ∈(1,3)时，'()0x ϕ<，()x ϕ是减函数； 当x ∈(3,+∞)时，'()0x ϕ>，()x ϕ是增函数；当x =1，或x =3时，'()0x ϕ=； ∴()x ϕ极大值=(1)7,m ϕ=-()x ϕ极小值=(3)ϕ=m+6ln 3－15；当x 充分接近0时，()0,x ϕ<当x 充分大时，()0.x ϕ>∴要使()x ϕ的图象与x 轴正半轴有三个不同的交点，当且仅当()70,()6ln 3150,x m x m ϕϕ=->⎧⎪⎨=-<⎪⎩极大值极小值＋ 即7156ln3m <<-， 所以存在实数m ，使得函数()y f x =与()y g x =的图象有且只有三个不同的交点，m 的取值范围为(7, 156ln3)-．点评：本小题主要考查函数的基本知识和运用导数研究函数能力；第一小问考查分类与整合等数学思想，第二小问考查函数与方程、数形结合及转化与化归数学思想。
解决一类函数与导数压轴题的基本策略——以２０２１年浙江省高考压轴题解析为例
用思维导图解答压轴题㊀从通法到秒杀讲课比赛获奖作品系列之十六解决一类函数与导数压轴题的基本策略以２０２１年浙江省高考压轴题解析为例◉杭州第七中学㊀刘富裕摘要:本文中主要以构造函数㊁参变分离㊁数形结合㊁分析法㊁放缩法等基本方法,探析２０２１年浙江卷压轴题函数与导数的解法,并对试题难点及所考查的核心素养进行再反思和归纳,为新一轮高考复习的师生寻找一个解决这类问题的突破口,提供一个探究解法㊁启发教学的视角．关键词:函数零点;放缩法;分析法;双变量含参不等式１引言２０２１年浙江省压轴题表述简洁,立意新颖,知识交汇丰富,多层次多角度地考查了学生的数学思维和素养[１]．该题将函数㊁导数㊁函数的零点与不等式知识结合,考查学生灵活运用导数工具分析和解决问题的能力,对逻辑推理㊁数学运算㊁直观想象等核心素养要求较高,为高校选拔和学生进一步学习所需掌握的技能㊁思想㊁方法创造条件[２]．２原题设a ,b 为实数,且a ＞１,函数f (x )＝a x －b x ＋e２(x ɪR )．(１)求函数f (x )的单调区间;(２)若对任意b ＞２e ２,函数f (x )有两个不同的零点,求a 的取值范围;(３)当a ＝e 时,证明:对任意b ＞e ４,函数f (x )有两个不同的零点x １,x ２(x １＜x ２),且满足x ２＞b l n b２e２x １＋e ２b．(注:e ＝２．７１８２８ 是自然对数的底数)３题目剖析第(１)小题比较常规,主要考查函数单调性的问题,这里要注意的是对参数的讨论;第(２)小题涉及到函数零点求参数范围,也是浙江高考连续两年都涉及到的问题;第(３)小题属于双变量含参不等式的问题,这也是近几年高考的热点问题的．解题思路如图１:图１４㊀解法探析４．１㊀第(１)小题解法探究(直接求导,正负定界)由于f (x )＝a x －b x ＋e ２(x ɪR ),所以f ᶄ(x )＝a x l n a －b ．①若b ɤ０,则f ᶄ(x )＝a xl n a －b ＞０,所以f (x )在R 上单调递增;②若b ＞０,令f ᶄ(x )＞０,得x ＞l o g abl n a,所以f (x )在(－¥,l o g a b l n a )单调递减,(l o g abl n a,＋¥)单调递增．这种利用导函数来判断函数单调性是比较常规的题目,本小题要注意的是对参数b 的讨论,这里的难点是对指数函数的求导以及极值点的表示．４．２第(２)小题解法探究回归到原点,本小题主要涉及到知识点为函数零点．对于函数零点的问题,可以从函数零点自身性质㊁对应方程的根以及函数图象的交点这三个方面去切入,找到解题突破口．４．２．１极限叙述㊁进阶放缩图２从题目原点出发,明确已知条件,再由第(１)问可得函数f (x )在(－¥,x ０)单调递减,在(x ０,＋¥)上单调递增,另外l i m x ң－¥f (x )＞０,l i m x ң＋¥f (x )＞０(如图２),所以根据函数零点存在性及单调性可知:函数f (x )恒有两个零点等价于f (x ０)＜０恒成立．即∀b ＞２e ２,f (l o g ab l n a )＝b l n a －b l o g abl n a＋e ２＜０恒成立．使用换底公式再去分母化简为:f (x ０)＝b l n a －b l n b －l n (l n a )l n a＋e ２＜０⇔[１＋l n (l n a )]b －b l n b ＋e ２l n a ＜０．图３记上述不等式左侧为g (b ),则其导函数为g ᶄ(b )＝l n (l n a )－l n b ,b ＞２e ２．易知g (b )在(０,l n a )单调递增,在(l n a ,＋¥)单调递减．又因为g m a x (b )＝g (l n a )＝l n a ＋e ２l n a ＞０,所以结合函数图象(如图３)可知:∀b ＞２e ２,g (b )＜０恒成立⇔l n a ɤ２e ２,g (２e ２)ɤ０．{由g (２e ２)＝e ２[２l n (l n a )＋l n a －２l n ２－２]ɤ０,可得２l n (l n a )＋l n a －２l n ２－２ɤ０,即２l n (l n a )＋l n a ɤ２l n ２＋２．又因为函数y ＝２l n x ＋x 在x ɪ(０,＋¥)上单调递增,结合l n a ɤ２e ２,０＜l n a ɤ２,所以１＜a ɤe ２．这种方法是从零点自身性质出发,结合函数单调性,把 函数有两个零点 转化为 恒成立问题 ,进而求参数的取值范围．过程中涉及到构造函数,并把b 看作变量,体现了双参主元的思想[３]．上述方法运算量比较大,我们还可以对其进一步改进与优化．f (x ０)＝b l n a －b l n b －l n (l n a )l n a＋e ２＝b l n a [１－l n (bl n a)]＋e ２＜０．令x ＝bl n a ɪ(０,＋¥),设函数g (x )＝x (１－l n x )＋e ２,则g ᶄ(x )＝－l n x ．由g ᶄ(x )＝０,得x ＝１．则g (x )在x ɪ(０,１]上单调递增,在x ɪ(１,＋¥)上单调递减．又l i m x ң０g (x )＝e ２,且g (e ２)＝０,所以g (x )＜０当且仅当x ＞e ２．由f (x ０)＝g (b l n a )＜０,得∀b ＞２e ２,bl n a＞e ２恒成立．所以(bl n a)m i n ＞e ２,即２e ２l n aȡe ２,从而１＜a ɤe ２．以上过程,首先是从函数零点出发,然后使用极限叙述㊁进阶放缩的方法,最后通过恒成立问题求出参数的取值范围[４]．在此过程中,也涉及到换元㊁构造函数㊁数形结合等方法,主要考查了学生的数学运算㊁直观想象㊁逻辑推理等核心素养．４．２．２换元转化,构造函数由于f (x )有两个不同的零点,等价于方程a x －b x ＋e ２＝０(x ＞０)有两个不同的根,进而等价于e x l n a－b x ＋e ２＝０(x ＞０)有两个不同的根．令t ＝x l n a ,则e t－b t l n a ＋e ２＝０,即b l n a ＝e t ＋e ２t．设g (t )＝e t＋e ２t ,t ＞０,则问题等价于g (t )＝b l n a 有两个不同的根．g ᶄ(t )＝e tt －(e t＋e ２)t ２＝e t(t －１)－e２t２．记h (t )＝e t (t －１)－e ２,则h ᶄ(t )＝e t (t －１)＋e t １＝e tt ＞０．又h (２)＝０,所以t ɪ(０,２)时,h (t )＜０,t ɪ(２,＋¥)时,h (t )＞０．则g (t )在(０,２)上单调递减,在(２,＋¥)上单调递增．所以b l n a ＞g (２)＝e ２,即l n a ＜b e ２．又b ＞２e ２,所以b e ２＞２．因此l n a ɤ２,即１＜a ɤe ２．此方法把函数零点转化成对应方程的根,从方程根这个角度切入,然后通过换元㊁二次构造函数,利用函数单调性求参数范围．过程中涉及到等价转换㊁二次构造㊁二次求导等方法,对学生的数学运算㊁逻辑推理的核心素养有较高的要求．但考场上时间有限,我们需要一种简化运算的方法．接下来,我们尝试从函数图象入手．４．２．３分参思想,利用切点函数f (x )有两个零点,等价于函数f (x )与x 轴有两个交点,但与x 轴交点无法求得．设h (x )＝a x ,g (x )＝b x －e ２,则转化为两函数图象有两个不同的交点．设切点坐标P (x ０,y ０),画出函数图象(图４)．图４发现当b 为定值时,随着a 的变化,两函数图象交点个数是不确定;而当a 为定值时,无论b 如何变化,函数图象始终有两个零点．所以,对于∀b ＞２e ２,两函数有两个交点时,当且仅当g (x ０)＞y ０．由于两函数相切于P (x ０,y ０),且在切点处导数值相等(即切线斜率),所以a x ＝y ０,b x ０－e ２＝a x ,a x l n a ＝b ．ìîíïïïï从而a x l n a x －e ２＝a x ．令t ＝a x ,则t l n t －e ２＝t ,切点坐标为P (l o g ae ２,e ２)．由g (l o g a e ２)＝b l o g ae ２－e ２＞e ２,b ＞２e ２,得l o g ae ２ȡ１,从而１＜a ɤe ２．这种方法是从函数图象切入,把函数零点问题转化为两函数有两个交点．从两函数相切逆推到函数图象相交的情况,从而求出参数a 的取值范围．总体上看,第(２)小题主要是双参数求参数取值范围的问题,我们首先从数学原点和题目原点出发,分别利用零点存在性质得到不等关系㊁利用函数最值性质得到不等关系㊁利用切点性质得到不等关系,最后求出参数的取值范围．在此过程中主要考查学生的逻辑推理㊁数学运算㊁直观想象等核心素养．４．３第(３)小题解法探究第(３)小题是不等式的证明,可以从原点出发,挖掘已知条件,类比第(２)小题的做法去切入;也可以从要证明的结论切入,对其变形㊁等价㊁或简化等．４．３．１参变分离,分析求证从参数b 入手．a ＝e 时,f (x )＝e x －b x ＋e ２有２个不同零点x １,x ２(x １＜x ２)．由于e x ＋e ２＝b x ,则x ＞０．结合函数图象(图５),知f (２)＝e ２－２b ＋e ２＜０,则x １＜２＜x ２．图５因为f (x １)＝f (x ２)＝０,所以b ＝e x ＋e ２x １＝e x ＋e ２x ２,b ＝e x ＋e ２x ２＜２ex x ２．则由b ＝e x ＋e ２x １＜２e２x １,得x １＜２e ２b．所以要证x ２＞b l n b ２e２x １＋e ２b ,只需证x ２＞l n b ＋e２b ．由f (x )单调性及f (x ２)＝０,则只需证f (l n b ＋e２b)＜f (x ２)＝０．只需证e l n b ＋e－b (l n b ＋e ２b)＋e ２＜０．只需证el n b ＋e＜b l n b (两边同时取对数)．只需证l n b ＋e ２b＜l n b ＋l n (l n b )⇔e ２＜b l n (l n b )．又因为b ＞e ４,所以b l n (l n b )＞e ４l n ４＞e ２显然成立．证毕．首先把函数零点转化为对应方程的根,分离参数b ,利用数形结合求出x １的取值范围,进而使用放缩法和分析法证明了结论．这里的f (２)＜０是很难想得到的,我们采用数形结合的方法去处理,主要考查学生直观想象能力．上述方法是从参数考虑,对不等式x ２＞b l n b ２e２x １＋e２b 的证明,也可以尝试从x １,x ２上考虑．４．３．２变量分离,分析求证结合第(２)问可知,当a ＝e 且b ＞e ４时,f (x )恒有两个不同的零点．由于f (２)＝２(e ２－b )＜０,可得x １＜２;由于f (x １)＝a x －b x １＋e ２＝０,得b x １＝a x ＋e ２,所以,对待证不等式右侧替换和放大:b l n b ２e ２x １＋e ２b ＝l n b ２e２ (e x ＋e ２)＋e ２b ＜l n b ＋e ２b ．所以,只需证明x ２＞l n b ＋e２b,接下来方法同解法１．此方法把函数零点转化成对应方程的根,和解法１不同的是此方法分离的是b x １,进而对要证的不等式放大,最后用分析法求得结果．主要考查学生的逻辑推理㊁数学运算等核心素养,同时也要求学生对放缩法和分析法掌握得比较熟练．以上两种方法分别是从参数b 和变量x １,x ２考虑,方法很巧妙,但运算量非常大．类比第(２)小题,我们用数形结合来简化运算,此题也可以尝试去从函数图象这个角度切入．４．３．３数形结合,分析求证图６由a ＝e ,f (x )＝e x－b x ＋e ２,∀b ＞e ４知x ０＝l n b ,故f (x )恒有两个零点x １,x ２(x １＜x ２),且x ２＞l n b ＞４,结合函数图象(见图６):f (０)＝１＋e ２＞０,f (１)＝e ＋e ２－b ＜e ＋e ２－e ４＜０,知０＜x １＜１．由０＝f (x １)＝e x －b x １＋e ２,得b x １＝e x ＋e ２＜e ２＋e ．故要证x ２＞b l n b ２e２x １＋e２b ,只需证b l n b ２e ２x １＋e ２b ＜l n b ２e ２(e ２＋e )＋e２e４＜l n b ．只需证(e ２－e )l n b ＞２．而b ＞e ４,知(e ２－e )l n b ＞４(e ２－e )＞２成立．因此x ２＞b l n b ２e２x １＋e２b 得证．从函数图象切入,利用函数图象估计x １的范围,再用代数的方法去验证,然后用放缩㊁分析法求证．体现了数形结合的思想,这个过程中主要考查了学生直观想象的核心素养．纵观第(３)小题,主要是考查双变量含参不等式化为含参数的零点问题,这里的变量又是函数零点,所以将函数零点与对应方程的根互相转化,进而用分析法求证．５反思总结本题是函数与导数的压轴题,对于此类题目,我们需要 回归原点 ．这里的 原点 ,一方面是指试题涉及的 数学的原点 ,即概念㊁定义㊁公式㊁定理㊁基本知识和思想;另一方面是指给出的 试题的原点 ,包括涉及的题型㊁结构,数据㊁条件,变形㊁推论等．以后遇到此类问题时,我们可以从方程㊁不等式㊁切线㊁最值㊁极值等等切入,最后落脚点都是函数[５]．坚定函数思想㊁明确函数意识是求解这类问题的基本．解题过程有如下感悟:导数大题运算繁,双参函数定主元;复杂算式需变换,先猜后证变简单．这也充分考查了学生逻辑推理㊁数学运算㊁直观想象等核心素养,同时对学生的创新能力的要求也越来越高[６]．参考文献:[１]洪昌强．立足能力考查彰显函数思想蕴含特色文化 北京㊁浙江近３年高考压轴题(理)比较分析[J ]．中学教研(数学),２０１８(６):４４Ｇ４７．[２]曹凤山,朱伟义．核心素养下求解函数与导数压轴题的几个关键词[J ]．数学通讯．２０２１(５)．[３]鲁如明．浙江省２０１２㊁２０１３理科数学高考压轴题看主元思想[J ]．数学教学与研究,２０１４(９):１０６Ｇ１０７．[４]林国夫．对２０１５年浙江省高考数列压轴题放缩策略的思维探析[J ]．中学数学教学,２０１５(４):１９Ｇ２０．[５]曹凤山．曹凤山讲怎样解题[M ]．杭州:浙江大学出版社,２０２０．[６]文卫星．构建生态课堂落实核心素养[J ]．中学数学教学参考,２０２０(１３):５５Ｇ５６．Z。
怎样做好高考数学压轴题
【数学备考】怎样做好高考数学压轴题冷雪飞上海市澄衷高级中学很多高三同学认为，数学高考试卷的最后一题压轴题很难拿分，往往在答题前，就已经先入为主地认为做不出是意料之内的事情，以至于很多考生在压轴题上得分都很低，这是非常可惜的。
首先同学们要正确认识压轴题。
压轴题主要出在函数，解几，数列三部分内容，一般有三小题。
记住：第一小题是容易题！争取做对！第二小题是中难题，争取拿分！第三小题是整张试卷中最难的题目！也争取拿分！其实对于所有认真复习迎考的同学来说，都有能力与实力在压轴题上拿到一半左右的分数，要获取这一半左右的分数，不需要大量针对性训练，也不需要复杂艰深的思考，只需要你有正确的心态！信心很重要，勇气不可少。
同学们记住：心理素质高者胜！以20XX年的上海高考数学卷的压轴题为例，分析其中一半左右分值的易得分部分，谈一谈解题心态。
同学可以再做一下2021年的高考卷最后一题，或者今年二模卷的最后一题，能否拿到比以往更多的分数。
20XX年高考数学上海卷23题：第二重要心态：千万不要分心。
其实高考的时候怎么可能分心呢？这里的分心，不是指你做题目的时候想着考好去哪里玩。
高考时，你是不可能这么想的。
你可以回顾高三以往考试，问一下自己：在做最后一道题目的时候，你有没有想最后一道题目难不难？不知道能不能做出来我要不要赶快看看最后一题，做不出就去检查前面题目前面不知道做的怎样，会不会粗心错这就是影响你解题的分心，这些就使你不专心。
专心于现在做的题目，现在做的步骤。
现在做哪道题目，脑子里就只有做好这道题目。
现在做哪个步骤，脑子里就只有做好这个步骤，不去想这步之前对不对，这步之后怎么做，做好当下！第三重要心态：重视审题。
你的心态就是珍惜题目中给你的条件。
数学题目中的条件都是不多也不少的，一道给出的题目，不会有用不到的条件，而另一方面，你要相信给出的条件一定是可以做到正确答案的。
所以，解题时，一切都必须从题目条件出发，只有这样，一切才都有可能。
一题多解，突破高考导数压轴题
所以采取了“消元”的思想．类似地，也可以消去ｅ狓 ，留
下ｌｎ狓．
思考三：注意到ｌｎ狓 与ｅ狓 也可以同时消去，故有
下面的方法．
因为ｅ狓 ≥狓 ＋１，所以 －ｅ狓 ≤－狓 －１， 又ｌｎ狓 ≤ 狓 －１，所 以 有ｌｎ狓 －ｅ狓 ≤ （狓 －１） ＋ （－狓 －１）＝－２，经检验等号取不到． 故 犿 ≥－２，即 犿 的最小整数值为 －２． 有了上面的铺垫以后，我们再来看题目２．
（２）若犳（狓）≥１，求犪 的取值范围．
分析：（１）略．
（２）本题仍是一 道 恒 成 立 的 问 题，最 直 接 的 想 法
就是：若犳（狓）≥１恒成立，只需要找到犳（狓）ｍｉｎ，则其
必满足犳（狓）ｍｉｎ ≥１．为寻找犳（狓）ｍｉｎ，做如下求解．
思考一：直 接 找 导 函 数 犳′（狓）的 零 点，然 后 通 过
题 目１：已知函数犳（狓）＝犿ｅ狓 －狓ｅ狓 （狓 ＞０），其中 犿 ∈ 犚，ｅ为自然对数的底数．
（１）讨论犳（狓）的单调性，并求极值； （２）当狓 ＞０时，犳（狓）＋狓ｅ狓 ≥ｅ狓ｌｎ狓－ｅ２狓 ，求犿 的最小整数值． 分析：（１）略． （２）本题实质上 是 一 种 恒 成 立 的 问 题，属 于 常 规 问题，但 恰 恰 是 在 这 种 常 见 问 题 上，却 体 现 了 方 法 的
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教学
２０２１年３月 解法探究
参谋
题目２：已知函数犳（狓）＝犪ｅ狓－１ －ｌｎ狓 ＋ｌｎ犪． （１）当犪＝ｅ时，求曲线狔＝犳（狓）在点（１，犳（１））处 的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
灵活性． 多数学生会考虑到首先将犳（狓）代入，得到 犿ｅ狓
导数压轴题解题技巧
导数压轴题解题技巧
嘿，朋友们！今天咱就来聊聊导数压轴题解题技巧，这可真是个让人又爱又恨的家伙啊！
你看哈，导数压轴题就像是一场刺激的游戏！比如说，给你个函数，哎呀，那弯弯曲曲的图象就像是复杂的迷宫，你得找到出路！就像你在森林里迷路了，得想办法走出来呀！
先来谈谈怎么求导吧！这可是基础。
像有个函数f(x)=x²+3x，那求导可得 f'(x)=2x+3 呀！就好比你走路，求导就是弄清楚往哪个方向走得快，能不走错路嘛！
再说说构造新函数吧！有时候题目里的条件乱七八糟，咋办呢？那就巧妙地构造个新函数呗！比如说，给你两个函数 f(x)和 g(x)，它们之间有某种关系，那咱就把它们组合起来弄个新函数 H(x) 呀！这就好像把不同的积木拼在一起搭出个新造型。
还有分类讨论哦！遇到各种情况都要考虑到。
比如一个函数在不同区间上的单调性不一样，那咱就得仔细分析呀！“嘿，这可不能马虎！”不认真分析怎么能得高分呢？
哎呀，导数压轴题真不是盖的，有时候确实难倒一大片人呢！但咱别怕呀，只要掌握了这些技巧，多练多总结，还怕它不成？记住，每一道导数压轴题都是一个挑战，但也是一个让我们进步的机会呀！
咱就是说，导数压轴题解题技巧真的能让我们在数学的海洋里畅游得更畅快！大家可得好好学起来，攻克这道难关，走向数学的辉煌呀！。
[课外阅读]专家指导高考前如何备考：“慢”复习少做题
![[课外阅读]专家指导高考前如何备考：“慢”复习少做题](https://img.taocdn.com/s3/m/696f6bde998fcc22bcd10d84.png)
[课外阅读]专家指导高考前如何备考：“慢”复习少做题高考前一个月，制定一份合理的个性化的复习计划是很有必要的，就连去年浙江的高考牛校镇海中学的牛师，周爱红老师也特别强调这一点，“因为适合的才是最好的”。
周老师教的是语文，去年带的创新班高三（2）班，班上学生全上了重点线，16名学生考入清华北大，高考全省理科状元、榜眼、第七名也都出在这个班。
这名宁波“王宽诚育才奖”获得者，在为本报读者专门制定的冲刺计划中，特别强调要放缓之前的备考节奏，学会“慢”复习。
“慢”复习，少做题多回顾放缓做题频率，保持手感就好考前一个月，很多学校都会调整作息时间，比如“五一”节后半天上课半天停课，考前一周左右全天停课等，这样的作息，就是想给学生更多的自主把握复习节奏的机会。
5月份做题的频率应逐渐降低，从前半个月每两天做一次模拟卷，到后半个月每三天做一次，保持手感就可以了，一定要留时间自己做归纳总结，看看哪些知识点还存在漏洞，将相关知识复习一遍。
做完题后要尽量争取面批的机会，因为老师针对你解题情况的个性化评点，往往能使你事半功倍。
高中以来的错题本、摘记本也应充分利用起来，最好能与同学摘抄的交换着看，将题目分类，归纳出规律性、系统性的东西，把握好常见的题型，搞清楚常见的解法。
低潮时，对自己说“尽力就好”去年的高考经历，让我有一个很深的感受，一个人不能给自己太大的压力，在低潮时对自己说一句话尽力就好。
高三那年，我的成绩其实一直是大幅度下滑，由最开始年级前10前20，到后来前50前100。
最后一次模拟考到现在还记忆犹新，掉到200多名，即使是高一的适应阶段也没有这么差过。
当时整个人差点崩溃，想着这样的成绩怎么办，坐在教室里看着书发呆。
那天晚自习结束后，我就去操场上跑步，一直跑一直跑，开始还会胡思乱想，到后来脑中一片空白，什么也不想，只是机械地向前迈，到最后力气全用完。
那时虽然累得喘不过气，但真的很畅快，心里那些不甘、无措都像汗水蒸发了一般，大脑也终于不再一片混乱。
高考数学压轴题的答题技巧
高考数学压轴题的答题技巧在高考数学中，压轴题往往是考察学生综合能力和运用能力的重要一环。
良好的答题技巧不仅可以在紧张的考场上提高答题效率，也能够帮助我们在平时的备考中更好地掌握数学知识。
以下是一些关于高考数学压轴题的答题技巧，希望能够对广大学生有所帮助。
一、认真审题高考数学压轴题通常具有较大的难度和复杂度，因此在解题时需要认真审题。
不同的题目可能会有不同的条件和限制，我们首先需要理清题目所给的条件和背景，确定所求的量或答案，并考虑问题的解决方法。
对于一些有条件的（条件比较多）的题型，写下或画出给出的条件和限制，能够帮助我们更容易地理清思路，从容而答。
二、选比做当我们在看到一道题目时，首先要想到的是应该按什么方法来解答。
总结一下，解一道高考数学题的主要方法有以下几种：1.数论方法2.代数方法3.几何方法4.统计方法5.逻辑方法根据自身的优势，我们可以根据题目的特点选择最合适的方法来解题。
在选择方法时，我们不应当一味追求难度，而是应该借助我们自身的优势，满足题目所给出的条件，选择更简洁、更直观的方法。
三、画图辅助分析在一些几何题目中，我们可以通过画出几何图形的方式更直观地理解题目，并为下一步的解题提供帮助。
我们可以在空白页上用简单的尺规画出几何图形，标出每个角度和线段长度，以便于后序的分析和计算。
当我们画图时，应该注意几点：1.图形应尽量简洁，不要过于复杂。
2.图中的角度和线段长度应该用尺规标明，保证清晰可见。
3.可以通过在图中标明各个角的度数或者边的长度来推导出未知角度或长度。
通过画图加深对问题的理解，有利于我们更快地开展解题工作。
四、熟练掌握公式和算法高考数学考试中，我们需要掌握大量的公式和算法。
由于压轴题具有较高的难度，更加考察我们的基本能力和应用能力。
因此，我们需要在平时的学习中，熟练掌握各项公式和算法，并能熟练地运用到解题中，才能在考场中更加从容应对。
五、不要忽视细节在做题时，我们应该注意到所有细节，并尽可能地避免犯错。
高考数学压轴题解题技巧
高考数学压轴题解题技巧高考数学压轴题通常是整套试卷中难度最大、综合性最强的题目，对于考生的数学素养、思维能力和解题技巧都有很高的要求。
很多同学在面对压轴题时会感到无从下手，或者在解题过程中出现失误。
其实，只要掌握了正确的解题技巧和方法，并且经过适当的训练，我们是完全有可能在压轴题上取得较好的成绩的。
下面我将为大家介绍一些高考数学压轴题的解题技巧。
一、扎实的基础知识是关键要想攻克高考数学压轴题，首先必须具备扎实的基础知识。
这包括对数学概念、定理、公式的深刻理解和熟练掌握。
只有在基础知识牢固的前提下，我们才能够在解题时灵活运用各种知识和方法。
例如，函数是高考数学中的重点内容，对于函数的单调性、奇偶性、周期性、最值等性质，我们必须要清楚地知道它们的定义和判定方法。
在解决函数相关的压轴题时，这些基础知识往往是解题的关键。
再比如，数列也是高考常考的内容之一。
等差数列和等比数列的通项公式、求和公式，以及数列的递推关系等，都是我们必须熟练掌握的。
二、认真审题，理解题意在做压轴题时，认真审题是至关重要的。
很多同学往往因为急于解题，没有仔细阅读题目，导致对题目的理解出现偏差，从而影响解题的思路和结果。
在审题时，我们要逐字逐句地阅读题目，理解题目中所给出的条件和要求。
特别要注意题目中的关键词、限制条件和隐含条件。
对于一些复杂的题目，可以通过画图、列表等方式来帮助我们理解题意。
例如，有一道压轴题是关于立体几何的，题目中给出了一个多面体的顶点、棱和面的数量关系。
我们在审题时就要仔细分析这些数量之间的关系，并且画出相应的图形，以便更直观地理解题目。
三、善于转化和化归高考数学压轴题往往比较复杂，直接求解可能会很困难。
这时，我们要善于将问题进行转化和化归，将复杂的问题转化为简单的问题，将陌生的问题转化为熟悉的问题。
比如，对于一些不等式的证明问题，我们可以通过构造函数，利用函数的单调性来证明。
再比如，对于一些几何问题，我们可以通过建立坐标系，将几何问题转化为代数问题来求解。
导数压轴处理策略
导数压轴处理策略概述导数是微积分中的重要概念，用于描述函数在某一点的变化率。
在实际应用中，我们经常需要对函数进行处理，并对其进行导数分析。
本文将介绍一种导数压轴处理策略，通过对函数进行适当的变换和处理，使得导数的计算更加简化和高效。
压轴处理策略步骤导数压轴处理策略包括以下步骤：1.变量替换：首先对函数进行变量替换，将函数中的自变量用新的变量表示。
这样做的目的是简化函数表达式，并减少对导数的计算复杂度。
常用的变量替换包括代数替换和三角替换。
2.函数合并：将函数拆分为多个小函数，并通过函数合并操作将其合并为一个函数。
这样做可以减少导数的计算量，并提高计算效率。
3.化简处理：对合并后的函数进行化简处理，去除冗余项和不必要的符号，使函数表达式更加简洁清晰。
4.求导计算：利用导数的根本公式和性质，对经过变量替换、函数合并和化简处理后的函数进行导数计算。
通过上述处理步骤的优化，导数计算将更加简化和高效。
下面将通过一个具体的例子来展示导数压轴处理策略的应用过程。
例如假设我们需要计算以下函数的导数：$$ f(x) = \\frac{\\sin(x^2 + x)}{(x+1)^2} $$首先，我们可以进行变量替换，将x2+x用一个新的变量u表示。
那么函数变为：$$ f(u) = \\frac{\\sin(u)}{(u+1)^2} $$接下来，我们进行函数合并。
对于$\\frac{\\sin(u)}{(u+1)^2}$可以拆分为两个小函数$\\sin(u)$和(u+1)2，并通过函数合并操作将其合并为一个函数：$$ f(u) = \\frac{\\bar{f}(u)}{\\bar{g}(u)} $$其中，$$ \\bar{f}(u) = \\sin(u) \\\\ \\bar{g}(u) = (u+1)^2 $$然后，我们进行化简处理。
在此例如中，已经是最简形式。
最后，我们进行求导计算。
根据根本导数公式，我们可以得到：$$ f'(u) = \\frac{\\bar{f}'(u)\\bar{g}(u) -\\bar{f}(u)\\bar{g}'(u)}{(\\bar{g}(u))^2} $$其中，$$ \\bar{f}'(u) = \\cos(u) \\\\ \\bar{g}'(u) = 2(u+1) $$综上所述，函数f(x)的导数为：$$ f'(x) = \\frac{\\cos(x^2 + x) \\cdot (x+1)^2 - \\sin(x^2 + x)\\cdot 2(x+1)}{((x+1)^2)^2} $$总结导数压轴处理策略通过对函数进行变量替换、函数合并和化简处理，使得导数计算更加简化和高效。
高考函数导数压轴题分析及应对策略
高考函数导数压轴题分析及应对策略
高考函数导数压轴题分析及应对策略
高考中，函数导数压轴题常常会出现在数学试卷中，其中最重要的就是理解函数导数概念及掌握计算导数的方法。
函数导数是指在某一个点的函数变化率，它是当我们求函数的导数时，最重要的概念。
考试中的一些压轴题往往都是考察对函数导数基本概念的认识，以及计算导数的能力。
解决高考函数导数压轴题的策略主要有两点：
一是预习，复习函数、导数的基本概念，主要考察方程式求导、不定积分概念，以及极限求值等技能，应誊写出公式，掌握计算导数的方法。
二是练习，找一批真题和习题，在解题过程中复习所学的知识，感知其思想和计算步骤，不断练习，解决相关的题目，把这些细节牢记在心，以提供解题时的参照，
争取考试时有少量准备时就能解答出来。
总之，考生要认真对待每一题，敢于试错，不到最后时刻都不要放弃，也不要丧失信心，只要坚持认真、严谨的态度，相信自己一定能取得理想的成绩。
巧妙导数压轴题
巧妙导数压轴题
摘要：
1.导数压轴题的概念和特点
2.解决导数压轴题的常用方法
3.导数压轴题的实战演练
4.总结与展望
正文：
一、导数压轴题的概念和特点
导数压轴题是指在高考数学压轴题中，涉及到导数知识的问题。
它具有以下特点：题目难度较大，对学生的综合运用能力要求高，涉及知识点较多，考查学生的逻辑思维能力和创新能力。
二、解决导数压轴题的常用方法
1.导数与函数的性质相结合：导数是函数在某一点的变化率，因此可以利用导数研究函数的极值、最值、单调性等性质。
2.导数的几何意义：导数可以表示函数在某一点的切线斜率，因此可以利用导数解决一些几何问题。
3.利用导数的应用：如求解速度与加速度、变化率、切线方程等问题。
4.利用导数的性质：如求解函数的极值、最值、单调性等问题。
5.构造函数：通过构造函数，将问题转化为求解导数问题。
三、导数压轴题的实战演练
例题：已知函数f(x)=x^3+ax^2+bx+c，求f"(x)。
解：由导数的定义可知，f"(x)=lim_(h->0) [(f(x+h)-f(x))/h]。
将函数f(x) 代入得f"(x)=lim_(h->0) [((x+h)^3+a(x+h)^2+b(x+h)+c)-
(x^3+ax^2+bx+c))/h]。
经过化简，得f"(x)=3x^2+2ax+b。
四、总结与展望
导数压轴题是高考数学中的一个重要题型，解决这类问题需要学生具备扎实的导数知识，并能灵活运用导数的性质、几何意义及应用。
高考数学导数压轴题解题技巧
高考数学导数压轴题解题技巧包括：
函数法：将参数k当成整个函数中的一部分，分情况讨论k的不同取值对函数的影响。
放缩法：有的参数给的一个范围，通过单调性分析，可以简化为一个端点值讨论即可。
比如给k≤2，你可以转化为
k＝2，这样题中就没有参数了，大大降低难度。
此外，还有分离参数等方法。
在解决导数压轴题时，需要注意：
遇到有关单调性或最值的题目，考虑使用导数法。
对于存在性问题，如求参数的取值范围，可以运用分离参数法。
对于与零点存在性有关的问题，最好借助零点存在性定理严格说明，即需在给定单调区间【以单调增区间为例】上找到，进而严格说明使得。
在应用这些技巧时，要结合题目的具体条件和已知信息，灵活运用所学知识解决问题。
【09年浙江省宁波市数学高考复习会议资料】镇海中学数学IB复习交流(镇海中学_周海军)
绝对值不等式的 教学 • 绝对值三角不等式
5
• 绝对值不等式|x|<a和|x|>a的解法和几 何意义。 • |ax+b|≤c,|ax+b|≥c,|x-a|+|x-b|≤c,|xa|+|x-b|≥c型不等式的解法
绝对值不等式的 （2009 山东卷）不等式 2x 1 x 2 0 的解集为 教学 x 1
突出重点, 有序推进数学IB复 习
2
2009年高考考试说明
(三)柯西不等式
能够利用三维的柯西不等式证明一些简单的不等 式，解决最大（小）值问题。
(四)数学归纳法证明不等式 1.了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用 数学归纳法证明一些简单问题。
2.会用数学归纳法证明贝努利不等式： (1+x)2>1+nx(x>-1,x≠0,n为大于1的正整数）， 了解当n为实数时贝努利不等式也成立。
2 3 sin( ) 4 2 (sin cos ) 3 2 不妨设 [0, 2 ) 1 , 2 4 3 4 3
AOB 2 1
3
在极坐标系中，已知圆心 C (3,
6
) ，半径 r
{x123tt （t 为参数） （2009 广东 A 卷）若直线 y 2
与直线 4x+ky=1 垂直，则常数 k= ;
l1 的参数方程为 （2009 天津卷）设直线
x 1 t
y 1 3t
（t 为参数） ，
直线 l2 的方程为 y=3x+4 则 l1 与 l2 的距离为_______
3，
点 Q 在圆 C 上运动，O 为极点.（1）求圆 C 的极坐标 方 程 ； 2 ） 若 P 在 直 线 OQ 上 运 动 ， 且 满 足 （
导数压轴题备考策略(镇海中学 周海军)
【导数压轴题备考策略】【主讲：周海军】要点考什么？“浙大数学优辅”高中数学名师大讲堂2020高考冲刺公益讲座“浙大数学优辅”高中数学名师大讲堂2020高考冲刺公益讲座怎么考？“浙大数学优辅”高中数学名师大讲堂2020高考冲刺公益讲座常见考查问题•一、切线•求某点处切线方程•过点的切线方程；•已知切线方程求参数•二、单调区间•求单调区间•已知单调性求参数范围•三、零点问题•零点个数，交点问题•零点范围•方程有解问题•三、极值与最值•求极值，最值；•已知极值，最值求参数•转化为最值的问题•四、不等式问题•恒成立问题求参数的范围•不等式证明基本方法•分类讨论•分离参数•构造函数•合理放缩•巧设零点•多次求导“浙大数学优辅”高中数学名师大讲堂2020高考冲刺公益讲座备考策略•(1)正确求导：导数公式的熟练应用(2)列出条件对应的关系式(3）变形转化：写出必要条件；对条件的等价变形•①求导变形：通分、因式分解、根式有理化；•②代数结构：合并同类项、整体代换、齐次化、代数结构的组织与转换（如基本不等式等）；（4）通法：虚实并进，完成表达套路（5）图形直观•作图•高观点的理解当0x <时，x ax b =+，即1b x a =−，最多一个零点（取决于1bx a=−与0的大小）研究当0x ≥时，即方程()3211132x a x ax ax b −++=+的解的个数，即()()()3221113113232b x a x x x a g x ⎡⎤=−+=−+=⎢⎥⎣⎦（6）规范：争取多写，不留空白怎么练？“浙大数学优辅”高中数学名师大讲堂2020高考冲刺公益讲座•明确练习目的•确定训练内容•多角度看问题•完整的表述结论•统一的观点看问题•理解问题（2018年浙江高考）已知函数()ln f x x x =−．（Ⅰ）若 在 ， 处导数相等，证明： ； （Ⅱ）若34ln 2a ≤−，证明：对于任意0k >，直线y kx a =+与()y f x =有唯一公共点。
学科论文从新课标全国卷看导数压轴题的常用解法
从全国新课标高考卷看导数压轴题的常用解法XX 电子科技大学附中 汪贵宏 周接夏摘要:本文以2010至2015六年新课标全国卷9道函数与导数压轴题为研究对象，讨论了在解决这一类问题中构造函数的主要依据以及避免复杂的分类讨论的主要途径，同时也对今后高考压轴题的考查方式提出了新的预测.关键词：新课标 导数 解法在高等数学教材【1】中，导数概念的起点是极限，从数列的极限到函数的极限，落脚导数.这种概念建立方式有严密的逻辑性和系统性，但就高中学生的认知水平而言，他们很难理解极限形式的定义.而新课标教材【2】（北师大版）对于导数的引入做了一定地简化，从变化率入手，用形象直观的“逼近”方法定义导数，旨在强调导数的几何意义，从而顺利地过渡到导数与单调性之间的关系，突出了导数在研究函数单调性、最值等问题中的工具性作用.近年来，导数在中学数学教学和学习中的地位越来越重要.借助导数这一工具，可以研究函数极值、最值、单调区间，从而来判断函数图像、性质，最终使研究初等函数的方法得以升华和延续.鉴于此，新课标高考全国卷中导数压轴题的考查也变得越来越有韵味.研究2010至2015年新课标全国卷的9道导数压轴题，可以看出，每年压轴题的第一问几乎都是导数几何意义或单调区间、极值的求解，属于基础内容考查.而第二问则是证明含参不等式成立或已知含参不等式在某一区间上成立，求参数X 围. 一般而言，这类问题的求解主要遵循“化简→构造函数→求导判断单调性→证明不等关系”的解题流程.但问题在于：第一，就构造函数而言，并不存在通用的构造方法，如果构造不当，会出现很大的求导计算量甚至无法继续解答；第二，即使构造函数正确，在接下来的分类讨论中，学生也很难理清分类讨论的依据.如果以上这两点没有掌握，学生很难在压轴题的解答中有所突破.1. 构造函数的依据是什么？对于区分度颇高的压轴题第二问而言，考生往往是目的性不强的匆忙求导，形成一堆式子之后便无从下手，其原因是考生对构造的函数()F x 求导的目的不明确，或对如何构造函数不明确.事实上，如何构造函数()F x ，关键在于明确构造函数的目的【3】，即是为了通过研究构造函数的单调性得到最值，从而证明不等式.而通过导数研究单调性首先要解构造函数的导数不等式()0F x '>(0)<或，因此，构造函数的关键就在于()0F x '=的根是否易求或易估，这就是构造函数的标准和依据.例1：（2015新课标Ⅱ卷）设函数2()mxf x ex mx =+-．(1)证明：()f x 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增；(2)若对于任意12,[1,1]x x ∈-，都有12()()1f x f x e -≤-，求m 的取值X 围． 解：(1)略；(2)12()()1f x f x e -≤-恒成立，等价于12max ()()1f x f x e -≤-．由(1)可得最小值为(0)1f =，最大值可能是(1)f -或(1)f ，故需(1)(0)1,(1)(0)1,f f e f f e -≤-⎧⎨--≤-⎩，即1,1,m me m e e m e -⎧-≤-⎪⎨+≤-⎪⎩．构造函数()1,()1,()=00.t tg t e t e g t e g t t ''=--+=-=则易得时， 0()0()0()0()t g t g t t g t g t ''>><<当时，时，单调递增；当时，时，单调递减. 1(1)=0(-1)=20()[1,1]()0g g e e g t m g m -+-<∈-≤又由，及的单调性知,当时，成立.1()()0,1(-)0m g t g m m g m >><->当时，由单调性知不成立；同理，时，，不成立. 综上，m 的取值X 围为[1,1].-点评：本题采用直接作差法构造()-g x =左右，得到()1,()=0.tg t e t e g t '=--+易得的根从而利用单调性直接得到最值.作差法构造函数是新课标卷高考压轴题所考察的主要方法，例如2014新课标Ⅱ卷、2010-2013四年新课标Ⅰ卷，本文不再一一解析.例2：（2014新课标Ⅰ卷）设函数1()ln x xbe f x ae x x-=+，曲线()y f x =在点（1，(1)f 处的切线为(1)2y e x =-+. (1)求,a b ；(2)证明：()1f x >解：(1) 1,2a b == (2) 由(1)知，12()ln x xe f x e x x-=+，从而()1f x >等价于2ln x x x xe e->-设函数()ln g x x x =，则()1ln g x x '=+， 所以当10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，故()g x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增，从而()g x 在()0,+∞的最小值为11()g e e=-.设函数2()x h x xe e-=-，则()()1xh x e x -'=-， 所以当()0,1x ∈时，()0h x '>，当()1,x ∈+∞时，()0h x '<，故()h x 在()0,1单调递增，在()1,+∞单调递减，从而()h x 在()0,+∞的最大值为1(1)h e=-.综上：当0x >时，()()g x h x >，即()1f x >.点评：本题求解中，采用分离指数、对数函数的构造法，如果直接采用原函数12()ln x xe f x e x x-=+的最小值min ()1f x >，就需要求出导函数2122()(ln )x f x e x x ex ex'=++-的零点，从而无法进行求解.因此，需要转化构造新的函数，容易看出，导函数零点求解运算的难点在于遇到了ln xe x 与12x e x-这两个式子，为化解这个难点，务必实施xe 与ln x 、1x 的分离，转化成不等式2ln x x x xe e->-证明.从而求得了左边的最小值和右边的最大值.例3：（2013新课标Ⅱ卷）已知函数()ln()x f x e x m =-+(1)设0m =为()y f x =的极值点，求m 并讨论()f x 单调性；(2)当2m ≤时，证明()0.f x >解：(1)略；(2)由2m ≤，所以ln()ln(2)x m x +≤+，记()ln(2)x F x e x =-+， 则211(),()02(2)x x F x e F x e x x '''=-=+>++，所以()F x '在(2,)-+∞上单调递增. 又11(0)10,(1)102F F e''=->-=-<，由零点存在定理知，存在0(1,0)x ∈-使得0()0F x '=，即00001,ln(2)2x e x x x ==-++ 且02000000(1)1()ln(2)022x x F x e x x x x +=-+=+=>++又当0(2,)x x ∈-时()0F x '<，()F x 单调递减；当0(,)x x ∈+∞时()0F x '>，()F x 单调递增，所以有min 0()()()()0f x F x F x F x ≥≥=>，得证.点评：本题采用控元法和放缩法构造函数.如果不加思考直接用作差法构造函数()F x ，则会无法求解()0F x '=，问题出在含参，因此应该控元，将两个变量变为一个变量，从而放缩到函数()ln(2)x F x e x =-+的最值求解中，最后结合二次求导和零点存在定理估算出()0F x '=的根，从而求得最小值.可以说，这六年的9道题都可以用构造函数的方法来求得最值.但问题是，有些题中即使构造函数正确，也会存在分类讨论相当复杂的情形，考生最后无法继续进行，例如2013、2011、2010这三年新课标Ⅰ卷压轴题的求解中，均可用作差法构造函数【4】，然后利用导数判断单调性求最值，从而得到参数的X 围.但由于解题过程中涉及到较为复杂的分类讨论，考生很容易遗漏或出错.而利用分离参数法简化构造函数，问题就简单多了.2. 利用分离参数法简化构造函数若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的X 围已知，求另一个变量的X 围；且在已知条件中，容易通过恒等变形将两个变量分离到不等号两边，则可以将此类恒成立问题转化为函数最值的求解.然而，分离变量后，如果出现“0”型的代数式，这便是高等数学中的不定式问题，可以利用洛必达法则进行有效求解.例4：（2013新课标Ⅰ卷）已知函数()f x ＝2x ax b ++，()g x ＝()xe cx d +，若曲线()y f x =和曲线()y g x =都过点P(0，2)，且在点P 处有相同的切线42y x =+.(1)求a ，b ，c ，d 的值；(2)若x ≥－2时，()f x ≤()kg x ，求k 的取值X 围. 解：(1)4,2a b c d ====；(2)题设即证明：2422(1)(2)x x x ke x x ++≤+≥-恒成立.构造函数242()(1)xx x h x e x ++=+，则即证min max ()2,(21)()2,(1)h x k x h x k x ≥-≤<-⎧⎨≤>-⎩恒成立.得22(2)()(1)x x x h x e x +'=-+，所以：当[2,1)x ∈--时，()0h x '≥，()h x 单调递增，min ()h x =22(2)22,.h e k k e -=≥∴≤ 当(1,)x ∈-+∞时，易知()h x 先增后减，max ()h x =(0)22, 1.h k k =≤∴≥综上，所求k 的取值X 围为2[1,]e .点评：可以看出，本题是在导数的基础上分正负区间讨论，简单易行，相比作差法构造函数分类讨论的方法，可以达到事半功倍的效果.例5：（2010新课标卷）设函数2()1xf x e x ax =---，若当0x ≥时，()0f x ≥，求a 的取值X 围.解：题设即21(0)x e xa x x --≤>恒成立. 设21()(0)x e x g x x x --≤>则：3(2)2()(0)x x e x g x x x-++'=> 令()(2)2(0),()(1)1(0)xxh x x e x x h x x e x '=-++>=-+>则，故()0(0)xh x xe x ''=>> 所以()h x '是增函数，得()(0)0h x h ''>=；又得()h x 是增函数，得()(0)0h x h >=， 所以()0(0)g x x '>>，所以()g x 是增函数，最小值在接近0处取，从而可连续使用洛必达法则，得：200000(1)111(1)11lim ()lim lim lim lim ()22()22x x x xx x x x x e x e e g x e x x x +++++→→→→→''----====='' 又因为当0,()0x f x ==时，所以参数a 的取值X 围是1(,]2-∞.点评：本题通过分离参数后，两次求导，得到构造函数在所求区间上的单调性，从而判断出最值所在点，但问题是最值所在点处函数值是“”型的代数式，在这里我们通过两次使用洛必达法则，求得极限值.这种方法其实就和本文开头提到的高等数学中导数的定义相呼应了.因此，对于这类题，我们提倡老师适当讲解“洛必达法则”.对于求导的必要性，需知道，每次求导都是为其原函数服务的，如果求导后会使原函数的单调性判断更简捷，则可以出现多次求导.如2011年新课标卷理科压轴题，在分离参数后对构造函数2ln ()1x x g x x =-进行了三次求导，最后利用洛必达法则求得了参数X 围【5】. 3. 未来新课标高考卷导数压轴题的一种可能的趋势可以看出，不论是分离参数法还是直接构造函数后分类讨论去解压轴题，其解答并没有万能的解法或者通解一说.每年的压轴题都是一次集数学中化归与转换思想、分类讨论思想、导数与函数结合的数学盛宴，强调的是数学综合素养的考查，并非刻意的追求一些技巧.而这两年，在全国X 围内压轴题中较多地考查了数形结合的思想方法.可以预测，数形结合在导数题中的考查会在今后的压轴题中略有加重.当然，早先就有人用数形结合的思想方法通解了新课标全国卷07年到13年这7年的所有题【6】，虽然对考生而言要求会较高，但这也是一种很好的训练.而恰好2015年新课标Ⅰ卷，便是在构造函数的基础上，利用数形结合的思想可以得到较标准答案快捷的解答，省去过多的分类讨论.例6：（2015新课标Ⅰ卷）已知函数f （x ）=31,()ln 4x ax g x x ++=-. (1)当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x =的切线；(2)用min {},m n 表示m,n 中的最小值，设函数()min{(),()}(0)h x f x g x x =>，讨论()h x 零点的个数.解：(1)34a =; (2)①当(1,)x ∈+∞时，()ln 0g x x =-<，从而()min{(),()}()0h x f x g x g x =≤<， ∴()h x 在(1,)+∞无零点.②当1x =时，5(1)ln10.(1)4g f a =-==+, 若54a ≥-，则(1)0f ≥，(1)min{(1),(1)}(1)0h f g g ===,故1x =是()h x 的零点； 若54a <-，则(1)0f <，(1)min{(1),(1)}(1)0h f g f ==<,故1x =不是()h x 的零点.③当(0,1)x ∈时，()ln 0g x x =->，所以只需考虑()f x 在(0,1)的零点个数.即32110,44x ax a x x ++==--即.构造函数21()((0,1))4m x x x x=--∈,则322118()2((0,1))44x m x x x x x -'=-+=∈，则11()0(0,);()0(,1)22m x x m x x ''>∈<∈时，时，，易知()m x 的极大值为13()24m =-. 画出()m x 的函数草图如下：综上，我们可以列表得出()h x 零点个数情况：a 的X 围5(,)4-∞-54- 53(,)44-- 34- 3(,)4-+∞ ()g x 零点个数 0 1 1 1 1 ()f x 零点个数 1 1 2 1 0 ()h x 零点个数12321也有所强调.综上可以看出，函数、导数解答题贯穿始终的是数学思想方法，在含有参数的试题中，分类与整合思想是必要的.由于是函数问题，所以函数思想、数形结合思想也是必要的，把不等式问题转化为函数最值问题、把方程根的问题转化为函数零点问题等，转化与化归思想也起着同样的作用.因此，在平常的教学中，思想方法的渗透显得尤为重要.参考文献：[1] 华东师X 大学数学系.数学分析[M].高等教育，2012：90-92. [2] 数学课本选修2-2.[M].师X 大学，2014：30-34.[3] 贺平等，与导数有关的函数体的统一解法[J].数学教学研究. 2014(4)：29-32. [4] 杨海霞，函数不等式高考压轴题巧解[J].试题赏析. 2012(1)：24. [5] 甘志国，高考压轴题[M].XX 工业大学，2015：175-177.[6] 王耀文，从新课标全国卷压轴题看数形结合思想[J].数学教学研究，2013(12)：42-45.2015年9月7日。
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2020高考冲刺公益讲座
【导数压轴题备考策略】
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要点
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考什么？
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（2018 年浙江高考）已知函数 f (x) = x − ln x ．
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a = x − ln x − kx = t − 2ln t − kt2 = h(t)
h '(t) = 1− 2 − 2kt = −2kt2 + t − 2
t
t
（1）若 = 1−16k 0 ，即 k 1 ，则 h '(t) 0 ，从而任 16
意 a R ，方程 a = h(t) 最多 解；
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h(x) = 2 + sin x − (1+ x) cos x ln(1+ x)
对于 h(x) = 2 + sin x − (1 + x)ln(1 + x)cos x
当1 x 时， ln(1 + x) x ， x cos x sin x
2
h(x) = 2 + sin x − (1+ x)ln(1+ x)cos x 2 + sin x − (1+ x)x cos x 2 + sin x − (1+ x)sin x = 2 − xsin x 0
（2）若存在 x 1,2，使得 f (x) 2a ，求实数 a 的取值范围.
解法一：分离系数法 解法二：直接讨论最值的方法 解法三：特殊分析法
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a ln(1+ x)
2 + sin x
g(x) = ln(1+ x)
2 + sin x
g'(x)
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（4）通法：虚实并进，完成表达套路
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（5）图形直观
• 作图 • 高观点的理解
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当 x 0 时， x = ax + b ，即 x = b ，最多一个零点（取决于 x = b 与 0 的大小）
（Ⅰ）若 在
，
处导数相等，证明：
；
（Ⅱ）若 a 3 − 4ln 2，证明：对于任意 k 0 ，直线 y = kx + a 与
y = f (x) 有唯一公共点。
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（Ⅰ）函数 f（x）的导函数 f (x) = 1 − 1 ， 2x x
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11 1 1
=
2
+
sin x − (1 +
(1+ x) cos x)(2 + sin
x ln(1+ x)2
x)
h(x) = 2 + sin x − (1+ x) cos x ln(1+ x)
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h(x) = 2 + sin x − (1+ x) cos x ln(1+ x)
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法
一
：
−k = g(x
g
'(x)
=
(2x
− 1)e2 x
+ (1− x2
x)ex
+
m
g1(x) = (2x −1)e2x + (1 − x)ex + m
=
e2x − )
ex
−
m
−
，
x
g1 '(x) = xex (4ex −1)
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1
当 x −ln 4 时， g1(x) 在 (−，− ln 4）上递增，在 (−ln 4，0）上 递减，在 (0, +) 上递增；
当 0 t 1 时， h '(t) 0 ， h(t) 递减； 4
当 1 t 1 时， h '(t) 0 ， h(t) 递增 42
所以 g(x1) = g(ln t1) = h(t1) 0 且当 t1 → 0 时， h(t1) → 0
11
3
g ( x2
)
=
g (ln
t2
)
=
h(t2
)
h(
g '(x) = 2e2x − ex + k −1
(1) = 9 − 8k 0
(2) 0,1 k 9 8
g(xi ) = g(ln ti ) = ti2 − ti + (k −1) ln ti , 2ti2 − ti + k −1 = 0
1
1
0 t1 4 t2 2
g(xi ) = g(ln ti ) = ti2 − ti − (2ti2 − ti ) ln ti
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(g(ln t1), +)
(−, g(ln t2 ))
即 1k 9 8
或 1k 9 8
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h(t) = t2 − t − (2t2 − t) ln t
h '(t) = 2t −1− (4t −1)ln t − (2t −1) = (1 − 4t)ln t
) 4
=
−
8
ln
4
−
16
综上， m − 1 ln 4 − 3 或 m 0 。 8 16
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【题 2】已知函数 f (x) = ln(1+ x)− a sin x, a R （1）若 y = f (x) 在 (0,0)处的切线为 x − 3y = 0 ，求 a 的值；
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【类题】已知函数 f (x) = e2x − ex − x ，对任意 k 1 ，直线 y = −kx + m 与曲线 y = f (x) 有唯一公共点，求实数 m 的取值范围。
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当m0时
g1(x) = (2x −1)e2x + (1 − x)ex + m
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g1 '(x) = xex (4ex −1)
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当 m 0 时 g1(x) = (2x −1)e2x + (1 − x)ex + m
(2)列出条件对应的关系式
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(3）变形转化：写出必要条件；对条件的等价变形
• ①求导变形：通分、因式分解、根式有理化；
• ②代数结构：合并同类项、整体代换、齐次化、代数结构的组织 与转换（如基本不等式等）；
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则
g(m) | a | +k − k − a 0
，
g(n) n( 1 − a − k) n(| a | +1 − k) 0
nn
n
所以 g(m) g(n) 0 ，从而存在 x0 (m, n) ，使得 g(x0 ) = 0 ，
即 f (x0 ) = kx0 + a
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消去
k
得，
h(t1)
=
t1
−
2 ln
t1
−
kt12
=
t1 2
−
2 ln
t1
+1
又由
0
k
1 16
得，
2
t1
4
令 m(x) = x − 2 ln x +1 2
则 m '(x) = x − 4 ，从而 m(x) 在[2, 4] 上为减函数 2x
所以 m(t1) m(4) = 3 − 4ln 2
从而 a 3 − 4 ln 2 时，方程 a = h(t) 最多 解。
处理一： h '(x) = ln(1+ x)[(1+ x)sin x − cos x] = ln(1+ x)sin x[(1 + x) − cot x]
由 (1+ x) − cot x 0 ，可得结论
或 t(x) = (1+ x)sin x − cos x ，则 t '(x) = 2sin x + (1+ x)cos x 0
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常见考查问题
• 一、切线 • 求某点处切线方程 • 过点的切线方程； • 已知切线方程求参数 • 二、单调区间 • 求单调区间 • 已知单调性求参数范围 • 三、零点问题 • 零点个数，交点问题 • 零点范围 • 方程有解问题