高考高分策略 导数压轴题备考策略(镇海中学 周海军)

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a = x − ln x − kx = t − 2ln t − kt2 = h(t)
h '(t) = 1− 2 − 2kt = −2kt2 + t − 2
t
t
（1）若 = 1−16k 0 ，即 k 1 ，则 h '(t) 0 ，从而任 16
意 a R ，方程 a = h(t) 最多 解；
则
g(m) | a | +k − k − a 0
，
g(n) n( 1 − a − k) n(| a | +1 − k) 0
nn
n
所以 g(m) g(n) 0 ，从而存在 x0 (m, n) ，使得 g(x0 ) = 0 ，
即 f (x0 ) = kx0 + a
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（2）若存在 x 1,2，使得 f (x) 2a ，求实数 a 的取值范围.
解法一：分离系数法 解法二：直接讨论最值的方法 解法三：特殊分析法
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a ln(1+ x)
2 + sin x
g(x) = ln(1+ x)
2 + sin x
g'(x)
由 f (x1) = f (x2 ) 得 2
−= x1 x1 2
x2 − x2 ，
因为 x1 x2 ，所以
1+ x1
1 x2
=1 2
．
1 f (x1) + f (x2 ) = x1 − ln x1 + x2 − ln x2 = 2
x1x2 − ln(x1x2 ) ．
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1− a
1− a
研究当 x 0 时，即方程 1 x3 − 1 (a + 1) x2 + ax = ax + b 的解的个数，
32
即
b
=
1 3
x3
−
1 2
(a
+ 1)
x2
=
1 3
x2
x
−
3 2
(a
+ 1)
=
g
(x)
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（6）规范：争取多写，不留空白
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消去
k
得，
h(t1)
=
t1
−
2 ln
t1
−
kt12
=
t1 2
−
2 ln
t1
+1
又由
0
k
1 16
得，
2
t1
4
令 m(x) = x − 2 ln x +1 2
则 m '(x) = x − 4 ，从而 m(x) 在[2, 4] 上为减函数 2x
所以 m(t1) m(4) = 3 − 4ln 2
从而 a 3 − 4 ln 2 时，方程 a = h(t) 最多 解。
（Ⅰ）若 在
，
处导数相等，证明：
；
（Ⅱ）若 a 3 − 4ln 2，证明：对于任意 k 0 ，直线 y = kx + a 与
y = f (x) 有唯一公共点。
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（Ⅰ）函数 f（x）的导函数 f (x) = 1 − 1 ， 2x x
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11 1 1
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【导数压轴题备考策略】
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要点
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考什么？
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怎么考？
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解法二：（直接讨论最值的方法）当 a 0 时， f (x) 0 2a ，结论成立；
当 a 0 时， f '(x) = 1 − a cos x = a [ 1 − (1 + x) cos x]
x +1
x +1 a
令 m(x) = 1 − (1 + x) cos x a
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g1 '(x) = xex (4ex −1)
g1(− ln 4) 0
g1(− ln 4) 0
综上， m − 1 ln 4 − 3 或 m 0 8 16
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方法二： m = f (x) + kx = e2x − ex + (k −1)x = g(x)
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h(x) = 2 + sin x − (1+ x) cos x ln(1+ x)
对于 h(x) = 2 + sin x − (1 + x)ln(1 + x)cos x
当1 x 时， ln(1 + x) x ， x cos x sin x
2
h(x) = 2 + sin x − (1+ x)ln(1+ x)cos x 2 + sin x − (1+ x)x cos x 2 + sin x − (1+ x)sin x = 2 − xsin x 0
2
x 4 x 4x
所以 g(x) 在 (0,16) 上为增函数，在 (16, +) 上为减函数
所以 g(x) g(16) = 4ln 2 − 3 + a 0
从而 h '(x) 0 ，即 h(x) 在 (0, +) 上为减函数
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令 g(x) = f (x) − kx − a ，令 m = e−(|a|+k) , n = (| a | +1)2 + 1 k
(2)列出条件对应的关系式
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(3）变形转化：写出必要条件；对条件的等价变形
• ①求导变形：通分、因式分解、根式有理化；
• ②代数结构：合并同类项、整体代换、齐次化、代数结构的组织 与转换（如基本不等式等）；
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（4）通法：虚实并进，完成表达套路
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（5）图形直观
• 作图 • 高观点的理解
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当 x 0 时， x = ax + b ，即 x = b ，最多一个零点（取决于 x = b 与 0 的大小）
处理一： h '(x) = ln(1+ x)[(1+ x)sin x − cos x] = ln(1+ x)sin x[(1 + x) − cot x]
由 (1+ x) − cot x 0 ，可得结论
或 t(x) = (1+ x)sin x − cos x ，则 t '(x) = 2sin x + (1+ x)cos x 0
当 0 t 1 时， h '(t) 0 ， h(t) 递减； 4
当 1 t 1 时， h '(t) 0 ， h(t) 递增 42
所以 g(x1) = g(ln t1) = h(t1) 0 且当 t1 → 0 时， h(t1) → 0
11
3
g ( x2
)
=
g (ln
t2
)
=
h(t2
)
h(
) 4
=
−
8
ln
4
−
16
综上， m − 1 ln 4 − 3 或 m 0 。 8 16
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【题 2】已知函数 f (x) = ln(1+ x)− a sin x, a R （1）若 y = f (x) 在 (0,0)处的切线为 x − 3y = 0 ，求 a 的值；
设 g(x) = 1 x − ln x ，则 g(x) = 1 ( x − 4) ，
2
4x
所以
x
（0，16）
16
g(x)
−
0
g(x)
2−4ln2
所以 g（x）在[256，+∞ ）上单调递增，
故 g(x1x2 ) g(256) = 8 − 8ln 2 ， 即 f (x1) + f (x2 ) 8 − 8ln 2 ．
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当m0时
g1(x) = (2x −1)e2x + (1 − x)ex + m
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g1 '(x) = xex (4ex −1)
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当 m 0 时 g1(x) = (2x −1)e2x + (1 − x)ex + m
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（16，+∞） +
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一方面，由 f (x) = kx + a 得 k = x − ln x − a x
设 h(x) =
x − ln x − a ， h' (x) = − x
x + ln x −1− a 2
x2
令 g(x) = ln x − x −1− a ，则 g '(x) = 1 − 1 = 4 − x
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2 若 = 1−16k 0 ，即 0 k 1 ，则 h '(t) = 0 有两个不 16
同的正根 t1 t2 ，从而 h(t) 在 (0,t1) 上为减函数，在 (t1,t2 )
上为增函数，在 (t2, +) 上为减函数；
h(t1) = t1 − 2 ln t1 − kt12 ，其中 2kt12 − t1 + 2 = 0
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法
一
：
−k = g(x
g
'(x)
=
(2x
− 1)e2 x
+ (1− x2
x)ex
+
m
g1(x) = (2x −1)e2x + (1 − x)ex + m
=
e2x − )
ex
−
m
−
，
x
g1 '(x) = xex (4ex −1)
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1
当 x −ln 4 时， g1(x) 在 (−，− ln 4）上递增，在 (−ln 4，0）上 递减，在 (0, +) 上递增；
g '(x) = 2e2x − ex + k −1
(1) = 9 − 8k 0
(2) 0,1 k 9 8
g(xi ) = g(ln ti ) = ti2 − ti + (k −1) ln ti , 2ti2 − ti + k −1 = 0
1
1
0 t1 4 t2 2
g(xi ) = g(ln ti ) = ti2 − ti − (2ti2 − ti ) ln ti
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常见考查问题
• 一、切线 • 求某点处切线方程 • 过点的切线方程； • 已知切线方程求参数 • 二、单调区间 • 求单调区间 • 已知单调性求参数范围 • 三、零点问题 • 零点个数，交点问题 • 零点范围 • 方程有解问题
• 三、极值与最值 • 求极值，最值； • 已知极值，最值求参数 • 转化为最值的问题 • 四、不等式问题 • 恒成立问题求参数的范围 • 不等式证明
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基本方法
• 分类讨论 • 分离参数 • 构造函数 • 合理放缩 • 巧设零点 • 多次求导
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备考策略
• (1)正确求导：导数公式的熟练应用
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=
2
+
sin x − (1 +
(1+ x) cos x)(2 + sin
x ln(1+ x)2
x)
h(x) = 2 + sin x − (1+ x) cos x ln(1+ x)
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h(x) = 2 + sin x − (1+ x) cos x ln(1+ x)
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• 明确练习目的 • 确定训练内容 • 多角度看问题 • 完整的表述结论 • 统一的观点看问题 • 理解问题
怎么练？
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（2018 年浙江高考）已知函数 f (x) = x − ln x ．
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(g(ln t1), +)
(−, g(ln t2 ))
即 1k 9 8
或 1k 9 8
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h(t) = t2 − t − (2t2 − t) ln t
h '(t) = 2t −1− (4t −1)ln t − (2t −1) = (1 − 4t)ln t
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【类题】已知函数 f (x) = e2x − ex − x ，对任意 k 1 ，直线 y = −kx + m 与曲线 y = f (x) 有唯一公共点，求实数 m 的取值范围。