初一上数学-有理数-培优讲义

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七年级数学上册培优讲义

七年级数学上册培优讲义第一讲数系扩张--有理数（一）一、【问题引入与归纳】1、正负数，数轴，相反数，有理数等概念。

2、有理数的两种分类：3、有理数的本质定义，能表成mn（0,,n m n ≠互质）。

4、性质：① 顺序性（可比较大小）；② 四则运算的封闭性（0不作除数）；③ 稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数。

5、绝对值的意义与性质：① (0)||(0)a a a a a ≥⎧=⎨-≤⎩ ② 非负性 2(||0,0)a a ≥≥③ 非负数的性质： i ）非负数的和仍为非负数。

ii ）几个非负数的和为0，则他们都为0。

二、【典型例题解析】 1、若||||||0,a b ab aba b ab+-则的值等于多少？2、如果m 是大于1的有理数，那么m 一定小于它的（）A.相反数B.倒数C.绝对值D.平方3、已知两数a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的绝对值是2，求220062007()()()x a b cd x a b cd -+++++-的值。

4、如果在数轴上表示a 、b 两上实数点的位置，如下图所示，那么||||a b a b -++化简的结果等于（） A.2a B.2a - C.0 D.2b5、已知2(3)|2|0a b -+-=，求ba 的值是（）A.2B.3C.9D.66、设三个互不相等的有理数，既可表示为1，,a b a +的形式，又可表示为0，b a，b 的形式，求20062007a b +。

7、三个有理数,,a b c 的积为负数，和为正数，且||||||||||||a b c ab bc ac x a b c ab bc ac=+++++则321ax bx cx +++的值是多少？8、若,,a b c 为整数，且20072007||||1a b c a -+-=，试求||||||c a a b b c -+-+-的值。

三、【课堂备用练习题】1、计算：1+2-3-4+5+6-7-8+…+2005+20062、计算：1×2+2×3+3×4+…+n(n+1)3、计算：59173365129132********+++++-4、已知,a b 为非负整数，且满足||1a b ab -+=，求,a b 的所有可能值。

七年级上册数学培优讲义(有理数的概念)第一讲

模块一正负数的概念正数：像3．1．0.33+等的数.叫做正数.在小学学过的数.除0外都是正数.正数都大于0.负数：像1-． 3.12-．175-．2008-等在正数前加上“－”（读作负）号的数.叫做负数..负数都小于0. 0既不是正数.也不是负数.一个数字前面的“＋”.“－”号叫做它的符号.正数前面的“＋”可以省略.注意3与3+表示是同一个正数.用正．负数表示相反意义的量：如果正数表示某种意义.那么负数表示它的相反的意义.反之亦然. 譬如：用正数表示向南.那么向北3km 可以用负数表示为3km -.“相反意义的量”包括两个方面的含意：一是相反意义；二是相反意义的基础上要有量.【经典例题1】杭州北高峰高于海平面536米记作+536米.那么吐鲁番艾丁湖湖底低于海平面150米记作（）A ．150B ．-150C ．150米D ．-150米【题目难度】★【解题思路】解题关键是理解“正”和“负”的相对性.明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中.先规定其中一个为正.则另一个就用负表示．【解题过程】“正”和“负”相对.所以高于海平面536米记作+536米.那么吐鲁番艾丁湖湖底低于海平面150米记作-150米．故选D．【重点考点】解题关键是理解“正”和“负”的相对性.确定一对具有相反意义的量．【经典例题2】飞机上升了-80米.实际上是（）A．上升80米B．下降-80米C．先上升80米.再下降80米D．下降80米【题目难度】★【解题思路】解题的关键是理解“正”和“负”的相对性.确定一对具有相反意义的量．负号表示与上升意义相反.即下降．【解题过程】负号表示与上升意义相反.即下降.则飞机上升了-80米.实际上是下降80米．故选D．【重点考点】解题关键是理解“正”和“负”的相对性.明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中.先规定其中一个为正.则另一个就用负表示．【经典例题3】下列语句：①不带“-”号的数都是正数；②带“-”号的数一定是负数；③不存在既不是正数也不是负数的数；④0℃表示没有温度．其中正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【题目难度】★【解题思路】首先审清题意.明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答．【解题过程】①0不带“-”号.但是它不是正数．②-0带负号.但是它不是负数．③0既不是正数也不是负数．④0℃表示有温度.温度为0度.温度可以为负数（零下）也可以为正数（零上）．【重点考点】解题关键是理解“正”和“负”的相对性.明确正数和负数的定义.并且注意0这个特殊的数字.既不是正数也不是负数．【经典例题4】生活中常有用正负数表示范围的情形.例如某种药品的说明书上标明保存温度是（20±2）℃.由此可知在___18℃～22℃范围内保存该药品才合适．【题目难度】★【解题思路】这是一道给出中心值根据误差判断药品的保存温度范围的问题．【解题过程】根据题意某种药品的说明书上标明保存温度是（20±2）℃表示20℃以上记作“正”.低于20℃记作负.由此可知在18℃～22℃范围内保存该药品才合适．故答案为18℃～22℃范围内保存该药品才合适．【重点考点】解题关键是理解“正”和“负”的相对性.确定一对具有相反意义的量．【经典例题5】台风“桑美”给我县的电力造成严重的影响.一突击队乘汽车抢修供电线路.南记为正.则北记为负．某天自A地出发.所走路程（单位：千米）为：+8.-6.-2.+4.-5.+2问：①最后他们是否回到出发点？若没有.则在A地的什么位置？答：他们____（填：有或没有）回到出发点.在A地的正______南方向.距A地____千米．②若每千米耗油1.5升.则今天共耗油_______40.5升.【题目难度】★★【解题思路】首先审清题意.明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答．【解题过程】①根据题意可得：南记为正.北记为负.则距A的距离为（+8）+（-6）+（-2）+（+4）+（-5）+（+2）=+1．最后他们没有回到出发点.在A地的正南方向.距A地1千米．②从A地出发.汽车共走了|+8|+|-6|+|-2|+|+4|+|-5|+|+2|=27km；故从A地出发到收工时耗油量为27×1.5=40.5（升）．【重点考点】解题关键是理解“正”和“负”的相对性.明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中.先规定其中一个为正.则另一个就用负表示．模块二有理数的分类有理数:整数与分数统称有理数.()⎧⎧⎫⎪⎬⎪⎨⎭⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数自然数整数零有理数按定义分类负整数正分数分数负分数()()⎧⎧⎪⎨⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数正有理数正分数有理数按符号分类零零既不是正数,也不是负数负整数负有理数负分数注：⑴正数和零统称为非负数；⑵负数和零统称为非正数；⑶正整数和零统称为非负整数；⑷负整数和零统称为非正整数.【经典例题6】下列各数中：+3．-2.1．．9．．-（-8）．0．-|+3|.负有理数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【题目难度】★【解题思路】把各式化简得：3.-2.1.- .9.1.4.8.0.-3．【解题过程】-2.1为负数有限小数.- 为负数无限循环小数.- 是负整数.所以是负有理数．共3个．【重点考点】判断一个数是有理数还是无理数.要把它化简成最后形式再判断．概念：无限不循环小数和开根开不尽的数叫无理数整数和分数统称为有理数【经典例题7】下列四种说法：①0是整数；②0是自然数；③0是偶数；④0是非负数．其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【题目难度】★【解题思路】根据0的特殊规定和性质对各选项作出判断后选取答案.注意：2002年国际数学协会规定.零为偶数；我国2004年也规定零为偶数．【解题过程】①0是整数.故本选项正确；②0是自然数.故本选项正确；③能被2整除的数是偶数.0可以.故本选项正确；④非负数包括正数和0.故本选项正确．所以①②③④都正确.共4个．故选A．【重点考点】本题主要对0的特殊性的考查.熟练掌握是解题的关键．【经典例题8】下列说法正确的是（）A．非负有理数就是正有理数B．零表示没有.是有理数C．正整数和负整数统称为整数D．整数和分数统称为有理数【题目难度】★【解题思路】根据有理数的分类.采用排除法判断．【解题过程】0是非负有理数.但不是正有理数.A 错误；零不是没有.它是整数.也是有理数.B 错误； 0也是整数.C 错误；整数和分数统称为有理数.这是定义.D 正确．故选D ．【重点考点】本题主要考查有理数学习中概念的理解.必须熟练掌握．【经典例题9】既是正数.又是分数的数是（）A ．+2B ．0C ．3.5D ．312- 【题目难度】★【解题思路】按照有理数的分类进行选择即可．【解题过程】A ．+2虽然是正数.但不是分数.不合题意.故A 错误；B ．0既不是正数.也不是分数.故B 错误；C ．符合题意.故C 正确；D ．312-虽然是分数.但不是正数.故D 错误．故选C ．【重点考点】认真掌握正数．负数．整数．分数的定义与特点．注意整数和正数的区别.注意0是整数.但不是正数．【经典例题10】最小的正整数是 _____1.最大的负整数是 _______. 【题目难度】★【解题思路】根据有理数的相关知识进行解答．【解题过程】最小的正整数是1.最大的负整数是-1．【重点考点】认真掌握正数．负数．整数的定义与特点．需注意的是：0是整数.但0既不是正数也不是负数．【巩固练习】请写出三个既是负数.又是分数的有理数：__________【题目难度】★【解题思路】：按照有理数的分类填写【解题过程】- ．-0.5．．-0.25．等都符合题意．【重点考点】本题主要考查了有理数的分类．在解答时.认真掌握正数．负数．整数．分数．正有理数．负有理数．非负数的定义与特点．【巩固练习】有理数中.是整数而不是正数的数是_______0和负整数.是负数而不是分数的是________. 【题目难度】★【解题思路】①按照有理数的分类填写②有理数分成正数．0．负数．正数又分成正整数和正分数.负数分成负整数和负分数．【解题过程】零既不是正数也不是负数．故在有理数中.是整数而不是正数的数是0和负整数；是负数而不是分数的是负整数．故答案为：0和负整数；负整数．【重点考点】本题主要考查的是有理数的定义．本题容易在0的分类上出错.注意：零既不是正数也不是负数．模块三数轴数轴：规定了原点．正方向和单位长度的直线.注意：⑴原点．正方向．单位长度称为数轴的三要素.三者缺一不可.⑵单位长度和长度单位是两个不同的概念.前者指所取度量单位的长度.后者指所取度量单位的名称.即单位长度是一条人为规定的代表“1’的线段.这条线段可长可短.按实际情况来规定.同一数轴上的单位长度一旦确定.则不能再改变.⑶数轴的画法及常见错误分析①画一条水平的直线；②在这条直线上适当位置取一实心点作为原点：③确定向右的方向为正方向.用箭头表示；④选取适当的长度作单位长度.用细短线画出.并对应标注各数.同时要注意同一数轴的单位长度要一致.数轴画法的常见错误举例：有理数与数轴的关系：一切有理数都可以用数轴上的点表示出来.在数轴上.右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大.正数都大于0.负数都小于0.正数大于一切负数.注意：数轴上的点不都代表有理数.如 .利用数轴比较有理数的大小：数轴上右边的数总大于左边的数.因此.正数总大于零.负数总小于零.正数大于负数.【经典例题11】数轴上有一个点从原点开始向左移动3个长度单位.再向右移动5个长度单位后.它所表示的有理数是（）A．3 B．5 C．-3 D．2【题目难度】★【解题思路】根据数轴上的点表示的数从原点开始左减右加的原则进行计算．【解题过程】数轴上的点表示的数从原点开始左减右加的原则可知.此点所表示的数为：0-3+5=2．故选D．【重点考点】本题考查的是数轴上点的坐标特点.解答此题的关键是熟知数轴上的点表示的数从原点开始左减右加的原则．【经典例题12】与在数轴上表示数2的点距离等于3个单位的点所表示的数是（）A．-1 B．5 C．3或-3 D．-1或5【经典例题13】有理数a．b在数轴上的位置如图所示.则下列各式正确的是（）aA．a＞b B．a＞-b C．a＜b D．-a＜b【题目难度】★★【解题思路】数轴上右边表示的数总大于左边表示的数．原点左边的数为负数.原点右边的数为正数．从图中可以看出0＜b＜1.a＜-1.|b|＜|a|．【解题过程】根据数轴上a.b两点的位置可知.a＜-1＜0＜b＜1.|a|＞|b|.∴a＜b.-a＞b.-b＞a；故选C．【重点考点】本题主要考查了利用数轴来比较有理数大小的题目．此类题目比较简单.可根据数轴上各点的坐标特点利用取特殊值的方法进行比较.以简化计算．【经典例题14】在数轴上.-2与-5之间的有理数有（）个．A．无数个B．4个C．3个D．2个【题目难度】★★【解题思路】数轴上的点和实数是一一对应的.两个数之间有无数个点.则对应的有理数或无理数有无数个．【解题过程】在数轴上任意两个有理数之间都有无数个的有理数．故选A．【重点考点】本题主要考查了数轴与实数之间的关系：数轴上任意两个有理数之间都有无数个的有理数．【经典例题15】老师在黑板上画数轴.取了原点O后.用一个铁丝做的圆环作为工具.以圆环的直径在数轴上画出单位长1.再将圆环拉直成一线段.在数轴的正方向上以此线段长自原点O起截得A点.则A点表示的数是__________.【重点考点】考查了数轴的几何意义．【经典例题16】已知在纸面上有一数轴（如图）.折叠纸面．（1）若折叠后.数1表示的点与数-1表示的点重合.则此时数-2表示的点与数_____表示的点重合；（2）若折叠后.数3表示的点与数-1表示的点重合.则此时数5表示的点与数_____表示的点重合；若这样折叠后.数轴上有A．B两点也重合.且A．B两点之间的距离为9（A在B的左侧）.则A点表示的数为______.B点表示的数为______【题目难度】★★★【解题思路】（1）数1表示的点与数-1表示的点重合.则这两点关于原点对称.求出-2关于原点的对称点即可；（2）若折叠后.数3表示的点与数-1表示的点重合.则这两点一定关于1对称.即两个数的平均数是1.若这样折叠后.数轴上有A．B两点也重合.且A．B两点之间的距离为9（A在B的左侧）.则这两点到1的距离是4.5.即可求解．【解题过程】（1）2．（2）-3；A表示-3.5.B表示5.5．【重点考点】本题借助数轴理解比较直观.形象．由于引进了数轴.我们把数和点对应起来.也就是把“数”和“形”结合起来.二者互相补充.相辅相成.把很多复杂的问题转化为简单的问题.在学习中要注意培养数形结合的数学思想．模块四相反数相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数．特别地.0的相反数是0. 相反数的性质：⑴代数意义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数.特别地.0的相反数是0．相反数必须成对出现.不能单独存在．例如5+和5-互为相反数.或者说5+是5-的相反数.5-是5+ 的相反数. 而单独的一个数不能说是相反数．另外.定义中的“只有”指除符号以外.两个数完全相同.注意应与“只要符号不同”区分开．例如3+与3-互为相反数.而3+与2-虽然符号不同.但它们不是相反数．⑵几何意义：一对相反数在数轴上应分别位于原点两侧.并且到原点的距离相等．这两点是关于原点对称的．⑶求任意一个数的相反数.只要在这个数的前面添上“—”号即可．一般地.数a 的相反数是a -；这里以a 表示任意一个数.可以为正数．0．负数.也可以是任意一个代数式．注意a -不一定是负数．当0a >时.0a -<；当0a =时.0a -=；当0a <时.0a ->. ⑷互为相反数的两个数的和为零.即若a 与b 互为相反数.则0a b +=.反之.若0a b +=.则a 与b 互为相反数．⑸多重符号的化简：一个正数前面不管有多少个“＋”号.都可以全部去掉；一个正数前面有偶数个“－”号.也可以把“－”号全部去掉；一个正数前面有奇数个“－”号.则化简后只保留一个“－”号.既“奇负偶正”（其中“奇偶”是指正数前面的“－”号的个数的奇偶数.“负正”是指化简的最后结果的符号）.【经典例题17】12-的相反数是（）A ．2B ．12 C ．-2 D ．12- 【题目难度】★【解题思路】根据相反数的定义.只有符号不同的两个数是互为相反数.- 的相反数为．【解题过程】与- 符号相反的数是 .所以- 的相反数是；故选B ．【重点考点】本题主要相反数的意义.只有符号不同的两个数互为相反数.a 的相反数是-a ．【经典例题18】如果a表示有理数.那么下列说法中正确的是（）A．+a和-（-a）互为相反数B．+a和-a一定不相等C．-a一定是负数D．-（+a）和+（-a）一定相等【题目难度】★★【解题思路】根据相反数的定义去判断各选项．【解题过程】A．+a和-（-a）互为相反数；错误.二者相等；B．+a和-a一定不相等；错误.当a=0时二者相等；C．-a一定是负数；错误.当a=0时不符合；D．-（+a）和+（-a）一定相等；正确．故选D．【重点考点】本题考查了相反数的定义及性质.在判定时需注意0的界限．【经典例题19】若a.b互为相反数.则下列各对数中不是互为相反数的是（）A．-2a和-2b B．a+1和b+1 C．a+1和b-1 D．2a和2b【题目难度】★★★【解题思路】若a.b互为相反数.则a+b=0.根据这个性质.四个选项中.两个数的和只要不是0的.一定不是互为相反数．【解题过程】∵a.b互为相反数.∴a+b=0．A中.-2a+（-2b）=-2（a+b）=0.它们互为相反数；B中.a+1+b+1=2≠0.即a+1和b+1不是互为相反数；C中.a+1+b-1=a+b=0.它们互为相反数；D中.2a+2b=2（a+b）=0.它们互为相反数．故选B．【重点考点】本题考查了互为相反数的意义和性质：只有符号不同的两个数互为相反数.0的相反数是0；一对相反数的和是0．【经典例题20】相反数不大于它本身的数是（）A．正数B．负数C．非正数D．非负数【题目难度】★★【解题思路】设这数是a.得到a的不等式.求解即可；也可采用特殊值法进行筛选．【解题过程】设这个数为a.根据题意.有-a≤a.所以a≥0．故选D．【重点考点】理解相反数的定义．实数a的相反数为-a；同时要理解不大于．不小于．非负数．非正数的含义．【巩固练习】的相反数是它本身．【题目难度】１星【解题思路】只有符号不同的两个数.绝对值相等叫做互为相反数．【解题过程】∵在数轴上.绝对值相等的两个互为相反数的实数是0.故答案是：0．【重点考点】本题主要考查了相反数的定义．①在数轴上.互为相反数（0除外）的两个点位于原点的两旁.并且关于原点对称；②正数的相反数是负数.负数的相反数是正数；③0的相反数是0．【经典例题21】已知代数式3x+1与代数式5-2x的值互为相反数.则x=_________【题目难度】★★★【解题思路】根据相数的定义列出关于x的方程.3x+1+5-2x=0.解方程即可．【解题过程】根据题意.有3x+1+5-2x=0.解之得x=-6．故答案为-6．【重点考点】熟练掌握相反数的概念和一元一次方程的解法．若两个数互为相反数.则它们的和为零.反之也成立．模块五绝对值绝对值的几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离.数a 的绝对值记作a . 绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 注意：①取绝对值也是一种运算.运算符号是“”.求一个数的绝对值.就是根据性质去掉绝对值符号. ②绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. ③绝对值具有非负性.取绝对值的结果总是正数或0.④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值.如：5-符号是负号.绝对值是5. 求字母a 的绝对值：①(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩ ②(0)(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩ ③(0)(0)a a a a a >⎧=⎨-≤⎩A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【重点考点】本题主要考查的是正数和负数.及绝对值．去括号的法则是：①括号前面有“+“号.把括号和它前面的“+”号去掉.括号里各项的符号不改变；③括号前面是“-“号.把括号和它前面的“-”号去掉.括号里各项的符号都要改变为相反的符号．【经典例题23】下列说法.不正确的是（）A．数轴上的数.右边的数总比左边的数大B．绝对值最小的有理数是0C．在数轴上.右边的数的绝对值比左边的数的绝对值大D．离原点越远的点.表示的数的绝对值越大【题目难度】★★【解题思路】：根据实数与数轴的对应关系以及实数的意义即可判定选项A．C．D是否正确.0的上绝对值是0．【解题过程】：A：一般来说.当数轴方向朝右时.右边的数比左边的数大.故此选项正确；B：绝对值最小的有理数是0.故此选项正确；C：-3在-2的左边.-3的绝对值大于-2的绝对值.故此选项错误；D：离原点越远的点.表示的数的绝对值越大.故此窜项正确．故选C．【重点考点】本题主要考查了数轴和有理数之间的关系.0的绝对值是0．【经典例题24】如图.下列各数中.数轴上点A表示的可能是（）A．2的平方B．-3.4的绝对值C．-4.2的相反数D．的倒数【题目难度】★★★【解题思路】先根据数轴上A点的位置确定A的取值范围.再根据每个选项中的数值进行判断即可．【解题过程】由数轴上A 点所表示的位置可知.3＜A ＜4.A ．22=4.故本选项错误；B ．|-3.4|=3.4.3＜3.4＜4.故本选项正确；C ．4.2的相反数是4.2＞4.故本选项错误；D ．的倒数是=2.4.2.4＜3.故本选项错误．故选B ．【重点考点】本题考查的是数轴的特点及相反数．倒数的定义.能根据数轴的特点确定出A 的取值范围是解答此题的关键．板块六．科学计数法．有效数字科学记数法：把一个大于10的数表示成10n a ⨯的形式（其中110a ≤<.n 是整数）.此种记法叫做科学记数法．例如：5200000210=⨯就是科学记数法表示数的形式． 710200000 1.0210=⨯也是科学记数法表示数的形式．有效数字：从一个数的左边第一个非0数字起.到末位数字止.所有数字都是这个数的有效数字．如：0.00027有两个有效数字：2.7 ；1.2027有5个有效数字：1.2.0.2.7．注意：万410=.亿810=常考点及易错点：科学计数法中的单位转换.精确到什么位与保留有效数字的差别．记忆方法：移动几位小数点问题．比如：1800000要科学记数法.实际就是小数点向左移动到1和8之间.移动了6位.故记为61.810⨯．【经典例题25】我国第六欢人口普查的结果表明.目前肇庆市的人口约为4050000人.这个数用科学记教法表示为（）A ．410405⨯ B ．51005.4⨯C ．61005.4⨯D ．71005.4⨯【题目难度】★【解题思路】科学记数法的表示形式为a×10n 的形式.其中1≤|a|＜10.n 为整数．确定n 的值时.要看把原数变成a 时.小数点移动了多少位.n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时.n 是正数；当原数的绝对值＜1时.n 是负数．【解题过程】61005.44050000⨯= 故选：C ．【重点考点】此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式.其中1≤|a|＜10.n 为整数.表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．【经典例题26】某种鲸的体重约为1.36×105kg ．关于这个近似数.下列说法正确的是（）A ．精确到百分位.有3个有效数字B ．精确到个位.有6个有效数字C ．精确到千位.有6个有效数字D ．精确到千位.有3个有效数字【题目难度】★★【解题思路】有效数字的计算方法是：从左边第一个不是0的数字起.后面所有的数字都是有效数字．用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的a 有关.与10的多少次方无关．【解题过程】1.36×105kg 最后一位的6表示6千.共有1．3．6三个有效数字．故选D ．【重点考点】此题考查了科学记数法表示的数的有效数字的确定方法.要注意10的n 次方限定的乘号前面的最后一位数表示的数位．【经典例题27】用四舍五入法按要求对0.05049分别取近似值.其中错误的是（）A ．0.1（精确到0.1）B ．0.05（精确到百分位）C ．0.05（精确到千分位）D ．0.050（精确到0.001）【题目难度】★★【解题思路】根据近似数与有效数字的概念对四个选项进行逐一分析即可．【解题过程】A ．0.05049精确到0.1应保留一个有效数字.故是0.1.故本选项正确；B ．0.05049精确到百分位应保留一个有效数字.故是0.05.故本选项正确；C ．0.05049精确到千分位应是0.050.故本选项错误；D ．0.05049精确到0.001应是0．050.故本选项正确．故选C ．【重点考点】本题考查的是近似数与有效数字.即从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止.所有的数字都是这个数的有效数字．【经典例题28】据国家统计局2011年4月28日发布的《2011年第六次全国人口普查主要数据公报（第一号）》.总人口为1370536875人.这一数字用科学记数法表示为（）（保留四个有效数字）A ．91037.1⨯ B ．81037.1⨯ C ．910371.1⨯ D ．810371.1⨯ 【题目难度】★★【解题思路】科学记数法的表示形式为na 10⨯的形式.其中1≤|a|＜10.n 为整数．确定n 的值是易错点.由于1370536875有10位.所以可以确定n=10-1=9．有效数字的计算方法是：从左边第一个不是0的数字起.后面所有的数字都是有效数字．用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的a 有关.与10的多少次方无关．【解题过程】1370536875=9910371.110370536875.1⨯≈⨯故选：C ．【重点考点】此题主要考查了科学记数法的表示方法.以及用科学记数法表示的数的有效数字的确定方法．练习1. 在下列选项中.具有相反意义的量是（）A ．胜二局与负三局B ．盈利3万元与支出3万元课堂检测C．气温升高3℃与气温为-3℃D．向东行20米和向南行20米【题目难度】★【解题思路】首先审清题意.明确“正”和“负”所表示的意义.再分析选项.选择正确答案．【解题过程】A．胜二局与负三局.符合相反意义的量.故选项正确；B．盈利与亏损才符合相反意义的量.而盈利与支出不是相反意义.应为盈利3万元与亏损3万元.故选项错误；C．升高与下降才符合相反意义的量.而升高3℃与气温本身为-3℃不是相反意义的量.应为气温升高3℃与气温下降-3℃.故选项错误；D．东行和西行才符合相反意义的量.而东行和南行则不是相反意义量.应为向东行20米和向西行20米.故选项错误．故选A．【重点考点】解题关键是理解“正”和“负”的相对性.明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中.先规定其中一个为正.则另一个就用负表示．练习2. 在有理数中.不存在这样的一个数a.它（）A．既是自然数又是整数B．既是分数又是负数C．既是非正的数又是非负的数D．既是正数又是负数【题目难度】★★【解题思路】本题需要根据有理数的分类．自然数．整数．分数．负数．正数的特点及定义对各个选项逐个分析.找出正确选项即可．【解题过程】因为自然数是整数.所以A错因为负分数即是分数由是负数.所以B错因为0既是非正的数又是非负的数.所以C错故选D．。

七年级上册培优讲义：有理数

第一章有理数培优题【知识点一】有理数的分类按有理数的定义分类：按有理数的性质符号分类：0⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数负整数有理数正分数分数负分数 0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数正有理数正分数有理数负整数负有理数负分数 “0”不是正数也不是负数，是正数与负数的分界点，是一个中性数。

例1、把下列各数填入相应的大括号内：①－7；②3.01；③300%；④－0.142857；⑤0.1；⑥0；⑦39；⑧－113355；⑨－3；⑩722；⑾3.1416；⑿ 5（1）正数：{ } （2）负数：{ } （3）正整数：{ } （4）负整数：{ } （5）正分数：{ } （6）非正分数：{ } 1、用－a 表示的数一定是（）A 、负数B 、负整数C 、正数或负数D 、以上结论都不对2、下列说法正确的是（）A 、整数就是正整数和负整数B 、分数包括正分数、负分数C 、正有理数和负有理数组成全体有理数D 、一个数不是正数就是负数。

3、下列说法正确的是（） A 、一个有理数不是整数就是分数B 、正整数和负整数统称为整数C 、正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数D 、0不是有理数4、下列说法：①正有理数是正整数和正分数的统称；②整数是正整数和负整数的统称；③有理数是正整数、负整数、正分数、负分数的统称；④0是偶数，但不是自然数；⑤偶数包括0，其中正确的是（） A 、①②B 、①②③C 、③④D 、①⑤5、在有理数中，是整数而不是正数的是_______________，是分数而不是负分数的是________________。

6、最大的负整数是______，最小的正整数是______，最大的非正数是______，最小的非负数是______。

【知识点二】数轴规定了原点、______、______的直线叫做数轴。

（1）数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；（2）数轴有三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可；（3）原点的选定、正方向的取向、单位长度大小的确定，都是根据实际情况来定。

初一上数学-有理数-培优讲义.docx

文档来源 :从网收集整理.word 版本可 .迎下支持.有理数培优能力提升 1 ：有理数的运算有理数范内可以行加、减、乘、除（除数不0）四运算，于相同的有理数相乘，我定了捷算法——有理数的乘方运算，除了要熟悉四运算的法之外，注意到：1、有理数加、减、乘、除（除数不0）四运算的果是封的（仍是有理数）。

2、在有理数范内、加法交律、合律、乘法交律、合律都成立，乘法加法分配律也成立。

3、由于有了正、数，加法与减法的界限消失，加、减可以互相，一代数和。

如（-3） -7=（ -3） +（ -7）。

在有理数范内，除法可以化乘法，比如（-5）÷ 7=（ -5 ）1。

7能力提升 2 ：有理数的巧算有理数运算是中学数学中一切运算的基．它要求同学在理解有理数的有关概念、法的基上，能根据法、公式等正确、迅速地行运算．不如此，要善于根据目条件，将推理与算相合，灵活巧妙地合理的捷的算法解决，从而提高运算能力，展思的敏捷性与灵活性．（一）括号的使用在代数运算中，可以根据运算法和运算律，去掉或者添上括号，以此来改运算的次序，使复的得．1计算：( 2)3( 1)199812(1)2（2）2 41(1) ()12.算下式的：211× 555+445× 789+555× 789+211× 445．3.算： S=1-2+3-4+ ⋯ +(-1)n+1 · n．4.在数 1，2， 3，⋯， 1998 前添符号“ +”和“ -”，并依次运算，所得可能的最小非数是多少？（二）用字母表示数我先来算 (100+2) ×(100-2) 的：(100+2) × (100-2)=100 × 100-2 × 100+2× 100-4=1002-22 ．是一个具体数的运算，若用字母 a 代 100，用字母 b 代2，上述运算程(a+b)(a-b)=a 2-ab+ab-b2=a2-b2．于是我得到了一个重要的算公式：(a+b)(a-b)=a 2-b2①个公式叫平方差公式，以后用个公式算，不必重复公式的明程，可直接利用公式算．5算 3001× 2999 的．6算 103× 97× 10 009 的．7算：8算： (2+1)(2 2+1)(2 4+1)(2 8+1)(2 16+1)(2 32+1) ．文档来源 :从网收集整理 .word版本可 .迎下支持 .9 算：(11111 22)(12 )⋯(12 )(1 2 )391010. 算：(11⋯1)(11⋯1)(11⋯1)(11⋯1)2319992199821999231998（三）察算式找律11.某班 20 名学生的数学期末考成如下，算他的分与平均分．87， 91， 94， 88， 93， 91，89， 87，92， 86， 90， 92， 88， 90， 91， 86， 89， 92， 95， 88．12.算 1+3+5+7+ ⋯+1997+1999 的．13.算 1+5+52 +53+⋯ +5 99+5100的．14.算：1+11⋯+1 23++1999 12341998能力提升 3 ：绝对值是初中代数中的一个基本概念，在求代数式的、化代数式、明恒等式与不等式，以及求解方程与不等式，常会遇到含有符号的，同学要学会根据的定来解决些．下面我先复一下有关的基本知，然后行例分析．一个正数的是它本身；一个数的是它的相反数；零的是零．即的几何意可以借助于数来，它与距离的概念密切相关．在数上表示一个数的点离开原点的距离叫个数的．合相反数的概念可知，除零外，相等的数有两个，它恰好互相反数．反之，相反数的相等也成立．由此可得到一个常用的：任何一个数的是非数．1.a， b 数，下列各式？若不，附加什么条件？(1)｜a+b｜ =｜a｜ +｜ b｜；(2)｜ab｜ =｜a｜｜ b｜； (3) ｜ a-b｜=｜ b-a｜；(4)若｜ a｜ =b， a=b；(5)若｜ a｜＜｜ b｜， a＜ b；(6)若 a＞ b，｜ a｜＞｜ b｜．2.有理数 a， b， c 在数上的点如 1-1 所示，化｜ b-a｜+｜ a+c｜ +｜c-b｜．3.已知 x＜ -3，化：｜ 3+｜ 2-｜ 1+x｜｜｜．4.若abc0a b c，| b |的所有可能是什么？| a || c |5. 若｜ x｜=3，｜ y｜ =2，且｜ x-y｜ =y-x ，求 x+y 的．6.若 a， b，c 整数，且｜a-b｜ 19+｜ c-a｜ 99=1，算｜ c-a｜+｜ a-b｜ +｜ b-c｜的．7.若| x y 3| 与 | x y 1999 | 互相反数，求x 2 y的。

新湘教版七年级上册数学培优班讲义

B．“快”和“慢”是具有相反意义 D．“+15m”就表示向东走 15m
【例 3.1】有如下 4 个判断性语句：①符号相反的数互为相反数；②任何有理数的绝对值
都是非负数；③一个数的相反数一定是负数；④如果一个数的绝对值等于它本身，那么这
个数是正数，其中正确的有（）个。
A．1
B．2
C．3
D．4
【变式 3.1】数 a 在数轴位置如下图所示，那么 a, −a, 1 , − 1 大小顺序为。（用不等号连接） aa
则满足该条件的五位数有个。
类型三：找规律
【例
5】观察下面一组数据，探求其规律：
−
1 2
,
2 3
,
−
3 4
,
4 5
,
−
5 6
,
6 7
, .
（1）写出第 7、8、9 项的三个数；（2）第 2010 个数是什么？（3）如果这一组数据无限排列下去，与哪两个数越来越近？
【变式 5】已知 an = (−1)n +1 时， a1 = 0 ；当 n = 2 时， a2 = 2 ；当 n = 3 时， a3 = 0 ；…. 则 a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 的值为。
a1 a5
a6 a4
= 。
【变式 1】定义一种对正整数 n 的“F 运算”：①当 n 为奇数时，结果为 3m + 5 ；②当 n 为偶
n
n
数时，结果为 2k （其中 k 是使 2k 为奇数的正整数），并且运算重复进行，例如，取 n =26，
则
若 n = 499 ，则第 449 次“F 运算”的结果是。

(完整)人教版七年级数学上册辅导讲义

最新人教版七年级数学上册培优辅导讲义第1讲与有理数有关的概念考点·方法·破译1．了解负数的产生过程，能够用正、负数表示具有相反意义的量.2．会进行有理的分类，体会并运用数学中的分类思想.3．理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义．会用数轴比较两个有理数的大小，会求一个数的相反数、绝对值、倒数.经典·考题·赏析【例1】写出下列各语句的实际意义⑴向前－7米 ⑵收人－50元 ⑶体重增加－3千克【解法指导】用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量．而相反意义的量应该包合两个要素：一是它们的意义相反．二是它们具有数量．而且必须是同类两，如“向前与自后、收入与支出、增加与减少等等”解：⑴向前－7米表示向后7米⑵收入－50元表示支出50元⑶体重增加－3千克表示体重减小3千克.【变式题组】01．如果＋10%表示增加10%，那么减少8%可以记作（）A ．－18%B ．－8%C ．＋2%D ．＋8%02．（金华）如果＋3吨表示运入仓库的大米吨数，那么运出5吨大米表示为( )A ．－5吨B ．＋5吨C ．－3吨D ．＋3吨03．（山西）北京与纽约的时差－13（负号表示同一时刻纽约时间比北京晚）.如现在是北京时间15：00，纽约时问是_ ___【例２】在－227，π，0，0.033.3这四个数中有理数的个数（ ) A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个【解法指导】有理数的分类：⑴按正负性分类，有理数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数正有理数正分数负整数负有理数负份数；（2）按整数、分数分类，有理数⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数0负整数正分数分数负分数；其中分数包括有限小数和无限循环小数，因为π＝3.1415926…是无限不循环小数，它不能写成分数的形式，所以π不是有理数，－227是分数，0.033.3是无限循环小数可以化成分数形式，0是整数，所以都是有理数，故选C ．【变式题组】01．在7，0，15，－12，－301，31.25，－18，100，1，－3 001中，负分数为，整数为，正整数 .02．（河北秦皇岛）请把下列各数填入图中适当位置15，－19，215，－138，0.1，－5.32，123, 2.333【例３】（宁夏）有一列数为－1，12，－13，14，－15，16，…，找规律到第2007个数是 .【解法指导】从一系列的数中发现规律，首先找出不变量和变量，再依变量去发现规律．归纳去猜想，然后进行验证.解本题会有这样的规律：⑴各数的分子部是1；⑵各数的分母依次为1，2，3，4，5，6，…⑶处于奇数位置的数是负数，处于偶数位置的数是正数，所以第2007个数的分子也是1．分母是2007，并且是一个负数，故答案为－12007. 【变式题组】01（湖北宜昌）数学解密：第一个数是3＝2 ＋1，第二个数是5＝3 ＋2，第三个数是9＝5＋4，第四个数是17＝9＋8…观察并猜想第六个数是 .02．（毕节）毕达哥拉斯学派发明了一种“馨折形”填数法，如图则？填____.03．（茂名）有一组数1，2，5，10，17，26…请观察规律，则第8个数为__ __ .【例４】（2008年河北张家口）若1＋m 2的相反数是－3，则m 的相反数是____. 【解法指导】理解相反数的代数意义和几何意义，代数意义只有符号不同的两个数叫互为相反数.几何意义：在数轴上原点的两旁且离原点的距离相等的两个点所表示的数叫互为相反数，本题m 2＝2,m ＝4，则m 的相反数－4。

七年级数学上册第一章《有理数》1.2 有理数能力培优讲义 (新版)新人教版

1.2有理数知识要点：1.有理数的两种分类：0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数正有理数正分数有理数负整数负有理数负分数；0⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数负整数有理数正分数分数负分数.2.在数学中，可以用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴.数轴的三要素：原点、正方向、单位长度.3.一般地，设a 是一个正数，则数轴上表示数a 的点在原点的右边，与原点的距离是a 个单位长度；表示数－a 的点在原点的左边，与原点的距离是a 个单位长度.4.只有符号不同的两个数叫相反数．5.一般地，设a 是一个正数，数轴上与原点的距离是a 的点有两个，它们分别在原点左右，表示－a 和a ，这两个点关于原点对称.6.一般地，数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值，记住∣a ∣. 由绝对值的定义可知：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是零．即：a>0a 0a 0a a 0⎧⎪=⎨⎪-<⎩a =.7.有理数的大小比较：（1）正数大于0，0大于负数，正数都大于负数．（2）两个负数比较，绝对值大的反而小. 温馨提示：1.有理数按不同的方法分类时要做到不重不漏；2.数轴上原点左边的数是负数，原点右边的数是正数；3.绝对值为正数的数有两个，它们是一对相反数;4.相反数是成对出现的，不能单独存在.单独的一个数不能说是相反数.5.“只有符号不同的两个数”中的“只有”指的是除了符号不同之外其他完全相同．不能理解为只要符号不同的两个数就是互为相反数，如－2和＋3的符号不同，但它们不是互为相反数．6.原点左边的有理数，距离原点越远，数越小；原点右边的有理数，距离原点越远，数越大. 方法技巧：1.若a ，b 互为相反数，则a +b =0；2.多重符号的结果由“－”的个数决定，与“＋”无关.当负数的个数为奇数个时，最后结果的符号为“－”；当负数的个数为偶数个时，最后结果的符号为“+”，“＋”号一般省略不写．3.若∣a ∣=a ，则a≥0；若∣a ∣=－a ，则a≤0.4.比较两个数的大小常用的方法：（1）利用数轴比较：数轴上右边的数总大于左边的数；（2）利用性质比较：正数大于0，负数小于0，正数大于负数；（3）两个负数比较：两个负数比较，绝对值大的反而小.专题一有理数的分类1、下列各数中，哪些是正数？哪些是负数？哪些是非负数？哪些是正分数？＋7，－23，59，0，722，－3.14，0.009，－888．正数（）；负数（）；非负数（）；正分数（）.2、已知有A 、B 、C 三个数集，每个数集中所含的数都写在各自的大括号内，请把这些数填入图中相应的部分． A.{－5，2.7，－9.7，2.1} B.{2.1，－8.1，10，7}C.{－8.1，2.1，－5，9.2，－17}3、写出5个有理数（不重复），同时满足三个条件：①其中三个数不是正数；②其中三个数不是负数；③不都是整数.专题二利用数轴上的点的位置确定数的大小 4、如图，在数轴上点A 表示的数可能是（）A. 1.5B.－1.5C.－2.6D. 2.65、小红在做作业时，不小心将墨水洒在一条数轴上，如图所示，根据图中标出的数值，判断墨迹盖住的整数共有个.17.810.6-7.4-12.66、如果数轴上点A 到原点的距离为3，点B 到原点的距离为5，那么A 、B 两点之间的距离为 .专题三利用数轴解决生活中的实际问题7、金砖五国成员国巴西的首都巴西利亚、新西兰的首都惠灵顿与北京的时差如下表：若现在的北京时间是11月16日8：00，那么，现在的惠灵顿时间11月_________日___________时，巴西利亚时间是11月_________日___________时。

(人教版)七年级数学上册培优辅导讲义精编版

七年级上册数学培优讲义(有理数的运算)第二讲

有理数的运算模块一.有理数加法运算有理数加法法则：①同号两数相加.取相同的符号.并把绝对值相加.②绝对值不相等的异号两数相加.取绝对值较大的加数符号.并用较大的绝对值减去较小的绝对值.③一个数同0相加.仍得这个数.有理数加法的运算步骤：法则是运算的依据.根据有理数加法的运算法则.可以得到加法的运算步骤：①确定和的符号；②求和的绝对值.即确定是两个加数的绝对值的和或差.有理数加法的运算律：①两个加数相加.交换加数的位置.和不变.a b b a+=+(加法交换律)②三个数相加.先把前两个数相加.或者先把后两个数相加.和不变.++=++(加法结合律)()()a b c a b c有理数加法的运算技巧：①分数与小数均有时.应先化为统一形式.②带分数可分为整数与分数两部分参与运算.③多个加数相加时.若有互为相反数的两个数.可先结合相加得零.④若有可以凑整的数.即相加得整数时.可先结合相加.⑤若有同分母的分数或易通分的分数.应先结合在一起.⑥符号相同的数可以先结合在一起.【经典例题1】同号两数相加某人从原点0出发.如果第一次走了5米.第二次接着又走了3米.求两次行走后某人在什么地方？为区别向东还是向西走.这里规定向东走为正.向西走为负.这两数相加有以下三种情况：(1)某人向东走5米.再向东走3米.两次一共走了多少米？(2)某人向西走5米.再向西走3米.两次一共向东走了多少米？总结：__________________________________________________.异号两数相加（3）某人向东走5米.再向西走5米.两次一共向东走了多少米？(4)某人向东走5米.再向西走3米.两次一共向东走了多少米？(5)某人向东走3米.再向西走5米.两次一共向东走了多少米？总结：_______________________________________________________.【题目难度】★【解题思路】利用实际情境来推导加法法则.强调和的符号及和与绝对值的关系.进而总结出加法法则【经典例题2】计算下列各题：(1) (一11)+(一9)； (2) (一3.5)+(+7)；(3)(一1.08)+0； (4)(23+)+(23-)(5)[(-22)+(-27)]+(+27)； (6)(-22)+[(-27)+(+27)]．【题目难度】★【解题思路】利用加法法则计算.【题目答案】()()()()209119111-=+-=-+- ()()()()5.35.3775.32=-+=++- ()()()08.1008.1008.13-=--=+-()0323232324=⎪⎭⎫⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+ ()()()[]()()()22274927492722272727225-=--=+-=++-=++-+- ()()()()[]()22222727226-=+-=++-+-【巩固练习】计算：（1）()()()()()-+++-+-++36475 ()2()()-⎛⎝ ⎫⎭⎪+-+-⎛⎝ ⎫⎭⎪++++⎛⎝ ⎫⎭⎪234025*********..()3+⎛⎝ ⎫⎭⎪+-⎛⎝ ⎫⎭⎪+-⎛⎝ ⎫⎭⎪++⎛⎝ ⎫⎭⎪++⎛⎝ ⎫⎭⎪+-⎛⎝ ⎫⎭⎪5751432527225914【题目难度】★★【解题思路】利用加法交换律把同分母的分数相加.如果有分数的先化为分数再计算. 【题目答案】（1）()()()()()-+++-+-++36475 ()2()()-⎛⎝ ⎫⎭⎪+-+-⎛⎝ ⎫⎭⎪++++⎛⎝ ⎫⎭⎪234025*********..()()31114111456743-=--=+-=++++-=）（ 8138138133813041432813818141432=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+-=++⎪⎭⎫⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=()()5151112522531491451252253149145727514925272253145753-=⎪⎭⎫⎝⎛-+-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+【经典例题 3】小明家冰箱冷冻室的温度为-5℃.调高4℃后的温度为（） A.4℃ B.9℃ C.-1℃ D.-9℃ 【题目难度】★【解题思路】原来的温度为-5℃.调高4℃.实际就是转换成有理数的加法运算．【题目答案】解：-5+4=-1 故选C ．点评：本题主要考查从实际问题抽象出有理数的加法运算．【经典例题 4】绝对值不大于10的所有整数的和等于（）A.-10 B.0 C.10 D.20 【题目难度】★★【解题思路】根据绝对值的意义.结合数轴找到所有符合条件的数.再进一步根据数的运算法则进行计算．互为相反数的两个数的和为0．【题目答案】解：绝对值不大于10的所有整数有±10.±9.±8.±7.…±1.0．共有21个．再根据互为相反数的两个数的和为0.得它们的和是0．故选B ．点评：此类题中.符合条件的数一般是成对相反数出现的.根据互为相反数的两个数的和是0.进行计算．【经典例题 5】已知a.b.c的位置如图.化简：|a-b|+|b+c|+|c-a|= ______________【题目难度】★★★【解题思路】先根据数轴上的大小关系确定绝对值符号内代数式的正负情况a-b＜0.b+c＜0.c-a＞0.再根据绝对值的性质去掉绝对值符号进行有理数运算即可求解．注意：数轴上的点右边的总比左边的大．【题目答案】解：由数轴可知a＜c＜0＜b.所以a-b＜0.b+c＜0.c-a＞0.则|a-b|+|b+c|+|c-a|=b-a-b-c+c-a=-2a．点评：此题综合考查了数轴.绝对值的有关内容.用几何方法借助数轴来求解.非常直观.且不容易遗漏.体现了数形结合的优点．要注意先确定绝对值符号内代数式的正负情况.再根据绝对值的性质去掉绝对值符号进行有理数运算．模块二.有理数减法运算有理数减法法则：减去一个数.等于加这个数的相反数.()a b a b-=+-有理数减法的运算步骤：①把减号变为加号（改变运算符号）②把减数变为它的相反数（改变性质符号） ③把减法转化为加法.按照加法运算的步骤进行运算. 有理数加减混合运算的步骤：①把算式中的减法转化为加法； ②省略加号与括号；③利用运算律及技巧简便计算.求出结果.注意：根据有理数减法法则.减去一个数等于加上它的相反数.因此加减混合运算可以依据上述法则转变为只有加法的运算.即为求几个正数.负数和0的和.这个和称为代数和.为了书写简便.可以把加号与每个加数外的括号均省略.写成省略加号和的形式.【经典例题 6】计算 ()()()531+-- ()702- ()()()953--+ ()()()1264--- 【题目难度】★ 【解题思路】()()()()()853531-=-+-=+-- ()()770702-=-+=- ()()()()()1495953=+++=--+ ()()()()()()66121261264=-+=++-=---【巩固】 ⑴21(4)(3)33-+-⑵21(6)(9)|3|7.49.2(4)55-+-+-+++-⑶17(14)(5)( 1.25)88-+++-⑷111(8.5)3(6)11332-++-+【题目难度】★()()()()0101432.92.94.74.6=-++=-+++-++-=8-=⑶17(14)(5)( 1.25)88-+++-⑷111(8.5)3(6)11332-++-+ 2194114184118758913-=⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛-=0333163132111218=-=⎪⎭⎫⎝⎛-+++⎪⎭⎫⎝⎛-=【经典例题 7】对于任何有理数a.下列各式中一定为负数的是（）A.-（-3+a）B.-aC.-|a+1|D.-|a|-1【题目难度】★★【解题思路】负数一定小于0.可将各项化简.然后再进行判断．【题目答案】解：A.-（-3+a）=3-a.a≤3时.原式不是负数.故A错误；B.-a.当a≤0时.原式不是负数.故B错误；C.∵-|a+1|≤0.∴当a≠-1时.原式才符合负数的要求.故C错误；D.∵-|a|≤0.∴-|a|-1≤-1＜0.所以原式一定是负数.故D正确．故选D．点评：掌握负数的定义以及绝对值的性质是解答此题的关键．【经典例题 8】a.b在数轴上的位置如图所示.则a.b.a+b.a-b中.负数的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个【题目难度】★★【解题思路】在数轴上右边的数总是大于左边的数.即可确定a.b的符号.再根据有理数的加法与减法法则确定a+b.a-b的符号.从而确定负数的个数．【题目答案】解：根据数轴可得：a＜0.b＞0.且|a|＞|b|.∴a+b＜0.a-b＜0．则在这四个数中的负数有：a.a+b.a-b.共3个．故选C．点评：本题主要考查了数轴上的点的特点.右边的数总是大于左边的数.以及有理数的加法与减法法则．【经典例题 9】两个数的差是负数.则这两个数一定是（）A.被减数是正数.减数是负数B.被减数是负数.减数是正数C.被减数是负数.减数也是负数D.被减数比减数小【题目难度】★★【解题思路】两个数的差是负数.说明是较小的数减较大的数的结果.应该是被减数比减数小．【题目答案】解：如果两个数的差是负数.则这两个数一定是被减数比减数小．故选D．点评：考查有理数的运算方法．有理数减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数．【经典例题 10】如果a.b均为有理数.且b＜0.则a.a-b.a+b的大小关系是（）A.a＜a+b＜a-bB.a＜a-b＜a+bC.a+b＜a＜a-bD.a-b＜a+b＜a【题目难度】★★【解题思路】首先根据b＜0来判定-b＞0.a-b＞a.a+b＜a．据此.很容易比较a.a-b.a+b的大小．【题目答案】解：∵b＜0∴-b＞0∴a-b＞a＞a+b．故选C．点评：实数运算性质与大小顺序关系它是比较两实数大小的依据.也是求差法的依据：（1）a＞b时.则a-b＞0；（2）a=b时.则a-b=0；（3）a＜b时.则a-b＜0．模块三.有理数的乘法有理数乘法法则：两数相乘.同号得正.异号得负.并把绝对值相乘.任何数同0相乘.都得0.有理数乘法运算律：①两个数相乘.交换因数的位置.积相等. ab ba=(乘法交换律)②三个数相乘.先把前两个数相乘.或者先把后两个数相乘.积相等. ()=(乘法结合律)abc a bc③一个数同两个数的和相乘.等于把这个数分别同这两个数相乘.再把积相加.+=+(乘法分配律)a b c ab ac()有理数乘法法则的推广：①几个不等于0的数相乘.积的符号由负因数的个数决定.当负因数的个数是偶数时.积为正数；负因数的个数是奇数时.积为负数.②几个数相乘.如果有一个因数为0.则积为0.③在进行乘法运算时.若有带分数.应先化为假分数.便于约分；若有小数及分数.一般先将小数化为分数.或凑整计算；利用乘法分配律及其逆用.也可简化计算.在进行有理数运算时.先确定符号.再计算绝对值.有括号的先算括号里的数.【经典例题 11】下面计算正确的是（）A.-5×（-4）×（-2）×（-2）=5×4×2×2=80B.12×（-5）=-50C.（-9）×5×（-4）×0=9×5×4=180D.（-36）×（-1）=-36【题目难度】★【解题思路】①两数相乘.同号为正.异号为负.并把绝对值相乘；②任何数同0相乘.都得0．【题目答案】解：A.-5×（-4）×（-2）×（-2）=5×4×2×2=80.故本选项正确；B.12×（-5）=-60.故本项错误；C.（-9）×5×（-4）×0=0.故本项错误；D.（-36）×（-1）=36.故本项错误；故选A ．点评：（1）几个不等于零的数相乘.积的符号由负因数的个数决定：①当负因数有奇数个数.积为负；②当负因数的个数为偶数个时.积为正；（2）几个数相乘.有一个因数为0时.积为0．【巩固练习】（- ）× =________ （-）×（-）=___________分析：根据乘法算式的特点.先将符号放在一边计算两个正数的乘法.最后再加上符号.计算出结果．符号规则：--=+.++=+.+-=-.-+=-．【题目难度】★【解题思路】解：（- ）× =- × =- ；（-）×（-）=×= ．故答案为：- . ．点评：在进行有理数的乘法运算时.要灵活运用运算律．【巩固练习】4113(3)11559211⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯-⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 11171113()71113⨯⨯⨯++；()()999812512412161616⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯---⨯-+⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 111112211142612⎛⎫-⨯-+- ⎪⎝⎭【题目难度】★【解题思路】4113(3)11559211⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯-⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 11171113()71113⨯⨯⨯++；9113211910593-=⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯⨯⨯-= 3117791143117137131113113117111131177113117=++=⨯+⨯+⨯=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=()()999812512412161616⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯---⨯-+⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 111112211142612⎛⎫-⨯-+- ⎪⎝⎭ ()1691211691245816912-=⨯⎪⎭⎫⎝⎛-=++-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-= ()()()()1013141827121312671223124912-=+-+-=⨯--⨯-+⨯--⨯-=【经典例题 12】若两个有理数的和与积都是正数.则这两个有理数（） A.都是负数 B.一正一负且正数的绝对值大 C.都是正数 D.无法确定【题目难度】★★【解题思路】根据有理数的乘法法则.可知负因数为偶数个．由有理数的加法法则知.两个数相加.其中的负数是0个或1个.且负数的绝对值小于正数的绝对值．【题目答案】解：因为两个数的积是正数.所以负因数为偶数个.是0个或2个；又∵两个有理数的和是正数.所以负数为0个或1个；所以.这两个有理数的负数是0个.即两个数都是正数．故选C ．点评：本题主要考查了有理数的乘法与加法．几个不等于零的数相乘.积的符号由负因数的个数决定：当负因数有奇数个数.积为负；当负因数的个数为偶数个时.积为正．【经典例题 13】 a .b .c 为非零有理数.它们的积必为正数的是（）A ．0a >.b .c 同号B ．0b >.a .c 异号C ．0c >.a .b 异号D ．a .b .c 同号【题目难度】★★ 【题目答案】A【经典例题 14】已知|x|=3.|y|=2.且x•y＜0.则x+y 的值等于（） A.5或-5 B.1或-1 C.5或1 D.-5或-1 【题目难度】★★【解题思路】先根据绝对值的性质.求出x.y 的值.然后根据x•y ＜0.进一步确定x.y 的值.再代值求解即可．【题目答案】解：∵|x|=3.|y|=2.x•y ＜0.∴x=3时.y=-2.则x+y=3-2=1； x=-3时.y=2.则x+y=-3+2=-1．故选B ．点评：此题主要考查了绝对值的性质.能够根据已知条件正确的判断出x.y 的值是解答此题的关键．【经典例题 15】有理数a.b.c 在数轴上对应的点的位置如图所示.给出下面四个命题：（1）abc ＜0 （2）|a-b|+|b-c|=|a-c| （3）（a-b ）（b-c ）（c-a ）＞0 （4）|a|＜1-bc 其中正确的命题有（）A.4个B.3个C.2个D.1个【题目难度】★★★【解题思路】对于命题①②③.先确定a.b.c 的正负情况.以及a-b.b-c.a-c.c-a 的正负情况就可以判断；而在命题④中要分别判断|a|与1和1-bc 与1的大小情况．【题目答案】解：由图可知a＜-1＜0.0＜b＜c＜1.（1）命题abc＜0正确；（2）在命题中a-b＜0.b-c＜0.所以|a-b|+|b-c|=-（a-b）+[-（b-c）]=-a+b-b+c=-a+c．又因为a-c＜0.所以|a-c|=-（a-c）=-a+c．左边=右边.故正确；（3）在该命题中.因为a-b＜0.b-c＜0.c-a＞0.所以（a-b）（b-c）（c-a）＞0.故正确；（4）在命题中.|a|＞1.0＜bc＜1.1-bc＜1.所以|a|＞1-bc.故该命题不正确．所以正确的有命题①②③这三个.故选B．点评：本题主要考查了数轴.去绝对值以及有理数的乘法等知识点；解答本题的关键是掌握绝对值的意义：|a|= ．模块四.有理数的除法有理数除法法则：除以一个不等于0的数.等于乘这个数的倒数.1a b ab÷=⋅.(0b≠)两数相除.同号得正.异号得负.并把绝对值相除；0除以任何一个不等于0的数.都得0.有理数除法的运算步骤：首先确定商的符号.然后再求出商的绝对值.【经典例题 16】下列关于0的说法中.正确的个数是（）①0既不是正数.也不是负数；②0既是整数也是有理数；③0没有倒数；④0没有绝对值．A.1B.2C.3D.4【题目难度】★【解题思路】根据正负数.有理数.倒数.绝对值的定义作答．【题目答案】A.由正数.负数的定义可知0既不是正数.也不是负数.正确；B.由有理数的定义可知0既是整数也是有理数.正确；C.由倒数的定义可知0没有倒数.正确；D.由绝对值的定义可知0的绝对值还是0.错误．所以有3个正确．故选C．点评：此题考查了正负数.有理数.倒数.绝对值的定义.学生要做好这类题必须对其定义理解透彻．【经典例题 17】-8的倒数的绝对值是（）A.8 B. C.-8 D.【题目难度】★【解题思路】根据倒数的定义.两数的乘积为1.这两个数互为倒数.先求出-8的倒数.然后根据负数的绝对值等于它的相反数即可求出所求的值．【题目答案】∵-8的倒数是- .∴|- |= .则-8的倒数的绝对值是．故选B点评：此题考查了倒数的求法及绝对值的代数意义.其中求倒数的方法就是用“1”除以这个数得到商即为这个数的倒数（0除外）.绝对值的代数意义是：正数的绝对值等于它本身；负数的绝对值等于它的相反数；0的绝对值还是0．【经典例题 18】下列运算有错误的是（） A. ÷（-3）=3×（-3） B. C.8-（-2）=8+2 D.2-7=（+2）+（-7）【题目难度】★【解题思路】根据有理数的运算法则判断各选项的计算过程．减去一个数等于加上这个数的相反数；除以一个数等于乘以这个数的倒数．【题目答案】只有A 中的计算是错误的.理由： ÷（-3）= ×（- ）=- .3×（-3）=-9．故选A ．点评：本题主要考查了有理数的减法与除法法则．注意.乘法是除法的逆运算.加法是减法的逆运算．【巩固练习】计算：111321335⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷÷- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()()112103523⎛⎫⎛⎫-÷-⨯-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭231(4)()324+÷⨯÷-； 71()2(3)93-÷⨯+；【题目难度】★【题目答案】111321335⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷÷- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()112103523⎛⎫⎛⎫-÷-⨯-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7125673310=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-= 615131010125-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-=231(4)()324+÷⨯÷-； 71()2(3)93-÷⨯+；()()36423234-=-⨯⨯⨯+= 91317397-=⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-=【经典例题 19】两个有理数的商为正.则（）A.和为正B.和为负C.至少一个为正D.积为正数【题目难度】★【解题思路】本题可根据有理数的除法规则进行解题.两个有理数的商为正.说明这两个有理数同正同负.从而得出正确的结果．【题目答案】∵两个有理数的商为正.∴这两个有理数有两种情况：①都为正；②都为负；所以C错误；当它们都为负时.它们的和为负.所以A错误；当它们都为正时.它们的和为正.所以B错误；但是不管它们同正还是同负.它们的积都为正.所以D正确．故选D．点评：主要考查了有理数的除法.商为正.则两个有理数的符号相同．【经典例题 20】用“＞”或“＜”填空⑴如果abc>.0ac<那么b _____ 0 ；⑵如果ab>.bc<那么ac_______0 .【题目难度】★★【解题思路】根据乘除法确定符合口诀“同号得正.异号得负”【题目答案】< <模块五.有理数的乘方求n 个相同因数的积的运算叫做乘方.乘方的结果叫做幂.在na 中.a 叫做底数.n 叫做指数.读作a 的n 次幂.注意： ()()1n 21n 2n 2n2a a a a ++-=-=-【经典例题 21】计算：（1）3)4(- （2）4)2(-【题目难度】★【解题思路】（1）64)4()4()4()4(3-=-⨯-⨯-=- （2）16)2()2()2()2()2(4=-⨯-⨯-⨯-=-【经典例题 22】计算：)2()3(]2)4[()3()2(223-÷--+-⨯-+- 【题目难度】★【解题思路】原式)2(9)216()3(8-÷-+⨯-+-= 5.57)5.4(18)3(8-=--⨯-+-=【经典例题 23】观察下面三行数：2-.4.8-.16.32-.64…… ①0.6.6-.18.30-.66…… ②1-.2.4-.8.16-.32…… ③（1）第①行按什么规律排列？（2）第②③行与第①行分别有什么关系？（3）取每行第10个数求这几个数的和？【题目难度】★★【解题思路】（1）第①行数是2-.2)2(-.3)2(-.4)2(-……（2）对比①②两行数第②行数是第①行数加2.对比①③两行数第③行数是第一行数的0.5倍.（3）每行数中.第10个数的和是5.0)2(]2)2[()2(101010⨯-++-+- 256251210261024=++=模块六.有理数的混合运算要正确掌握运算顺序.即乘方运算（和以后学习的开方运算）叫做三级运算；乘法和除法叫做二级运算；加法和减法叫做一级运算．在混合运算中要特别注意运算顺序：先三级.后二级.再一级；有()()()22101423212125.0-⨯-+--⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷-(－32 )×(－1115 )－32 ×(－1315 )＋32 ×(－1415)2112531514503-=--=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯÷+= ()()()677617651926111-=-⨯=-⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=()()()22101423212125.0-⨯-+--⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷-()33374361164194116141=+-=++⨯-=⨯+--÷-=(－32 )×(－1115 )－32 ×(－1315 )＋32 ×(－1415)模块七.有理数的大小比较1575125710131011=-=-+=【经典例题 24】下列各数中.比-1小的数是（）A.0B.1C.-2D.2 【题目难度】★【解题思路】根据有理数比较大小的法则进行比较即可．【题目答案】∵-1是负数. ∴-1＜0.故A 错误； ∵2＞1＞0.∴2＞1＞0＞-1.故B.D 错误； ∵|-2|＞|-1|.∴-2＜-1.故C 正确．故选C ．点评：本题考查的是有理数大小比较的法则： ①正数都大于0； ②负数都小于0； ③正数大于一切负数；④两个负数.绝对值大的其值反而小．【经典例题 25】比较41,31,21--的大小.结果正确的是（）A. B. C.D.【题目难度】★【解题思路】根据有理数大小比较的方法即可求解．【题目答案】∵- ＜0.- ＜0. ＞0.∴最大；又∵＞.∴- ＜- ；∴．故选A．点评：本题考查有理数比较大小的方法：①正数都大于0.负数都小于0.正数大于一切负数；②两个负数.绝对值大的反而小．【经典例题 26】给出两个结论：（1）|a-b|=|b-a|.（2）．其中（）A.只有（1）正确B.只有（2）正确C.（1）和（2）都正确D.（1）和（2）都不正确【题目难度】★【解题思路】（1）根据绝对值的性质解得；（2）先通分.再根据两个负数比较大小的原则进行比较．【题目答案】（1）正确.∵a-b与b-a互为相反数.∴|a-b|=|b-a|；（2）错误.∵- =- ＜0.- =- ＜0.|- |＞|- |.∴- ＜- .即- ＜- ．故选A．点评：本题考查的是绝对值的性质及有理数的大小比较.熟知以下知识是解答此题的关键：（1）互为相反数的两个数的绝对值相等；（2）两个负数相比较.绝对值大的反而小．【经典例题 27】a.b.c在数轴上的位置如图．则在- .-a.c-b.c+a中.最大的一个是（）A.-aB.c-bC.c+aD.-【题目难度】★★【解题思路】先根据数轴上各点的位置确定出各数的取值范围.再根据不等式的基本性质及有理数比较大小的法则即可求解．【题目答案】由图可见.-1＜a＜0.0＜b＜c＜1∴-1＜c+a＜1.又∵c-b＜1-0=1∵-1＜a＜0.∴0＜-a＜1.∴- ＞1.∴- .-a.c-b.c+a中最大的一个是- ．故选D．点评：本题考查的是有理数的大小比较及数轴的特点.不等式的基本性质.比较简单．【28】若b＜0.则a+b.a.a-b的大小关系为（）A.a+b＞a＞a-bB.a-b＞a＞a+bC.a＞a-b＞a+bD.a-b＞a+b＞a【题目难度】★★【解题思路】由已知.b＜0.可得-b＞0.又a+b=a-（-b）.a-b=a+（-b）.由此即可得出答案．【题目答案】∵b＜0.∴-b＞0.a-（-b）＜a.a＜a+（-b）.又a+b=a-（-b）.a-b=a+（-b）.∴a+b＜a.a＜a-b.即a-b＞a＞a+b．故选：B．点评：此题考查了有理数大小的比较.解题的关键是一个正数加上一个正数大于本身且一个正数本身小于加上一个正数．课堂检测练习1. 式子-2-（-1）+3-（+2）省略括号后的形式是（）A.2+1-3+2B.-2+1+3-2C.2-1+3-2D.2-1-3-2【题目难度】★【解题思路】①括号前面有“+”号.把括号和它前面的“+”号去掉.括号里各项的符号不改变；②括号前面是“-”号.把括号和它前面的“-”号去掉.括号里各项的符号都要改变为相反的符号．【题目答案】原式=-2+1+3-2．故选B．点评：本题主要考查了有理数的加减混合运算．要注意.括号前面是“-”时.去掉括号后.括号内的各项均要改变符号.不能只改变括号内第一项或前几项的符号.而忘记改变其余的符号；若括号前是数字因数时.应利用乘法分配律先将数与括号内的各项分别相乘再去括.以免发生错误；遇到多层括号一般由里到外.逐层去括号.也可由外到里．数“-”的个数．练习2. 计算：1+2-3+4+5-6+7+8-9+…+97+98-99+100= 1684_______【题目难度】★★【解题思路】观察可得这组数是从1到100的数的绝对值的数相加.其中.3的倍数都为负数．那么这组数的和等于5050加上2×（-3-6-9…-99）．【题目答案】1+2-3+4+5-6+7+8-9+…+97+98-99+100=5050-3×（1+2+3…+33）×2=5050- =1684．点评：解决本题的关键是得到相应规律.并利用已知结论求解．练习3.请你列出一个至少有加数是正整数且和为-5的算式: _________【题目难度】★【解题思路】本题属于比较开放的试题.根据加减运算的知识即可得出答案．【题目答案】由题意得：有加数是正整数.且和为-5的算式可以为：3+（-8）=-5．故填：3+（-8）=-5．点评：本题考查有理数的混合运算.属于开放题.难度不大.同学们要注意尽量列举比较简单的式子．练习4. 计算4 之值为何（）A.-1.1B.-1.8C.-3.2D.-3.9【题目难度】★【解题思路】遇到乘除加减混合运算.应先算乘除再算加减．所以这道题应先把-1.6和2.5变成分数.然后把除法变成乘法计算后.再算减法.算减法时根据减法法则减去一个数等于加上这个数的相反数把其变成加法.最后利用同号两数相加的加法法则计算即可得出值．【题目答案】原式=- - ×.=-2.5-0.7.=（-2.5）+（-0.7）.=-3.2．故选C．点评：此题考查有理数的混合运算.是一道基础题．做题时注意运算顺序．练习5. 下列判断：①若ab=0.则a=0或b=0；②若a2=b2.则a=b；③若ac2=bc2.则a=b；④若|a|＞|b|.则（a+b）•（a-b）是正数．其中正确的有（）A.①④B.①②③C.①D.②③【题目难度】★★【解题思路】①两数之积为0.说明至少有一个数为0；②两数的平方相等.说明两数相等.或为相反数；③若c=0.则a.b可为任意数；④若|a|＞|b|.（a+b）与（a-b）同号．【题目答案】①若ab=0.则a=0或b=0.故正确；②若a2=b2.则|a|=|b|.故原判断错误；③若ac2=bc2.当c≠0时a=b.故原判断错误；④若|a|＞|b|.则（a+b）•（a-b）是正数.故正确．故选A．点评：主要考查了等式的基本性质的运用.要求掌握平方和绝对值的定义.并会熟练运用.当判断一个式子是否正确.最好的方法就是举出反例.能举出反例的不正确.不能举出反例的则正确．练习6. 对于两个非零有理数a.b定义运算*如下：a*b= .则（-3）*（- ）=（）A.-3 B. C.3 D.-【题目难度】★★★【解题思路】根据题中给出的新定义运算法则计算．【题目答案】：由题意得.（-3）*（- ）= = ．故选B．点评：本题为信息题.要严格按照所给的方法列式运算才能算对．课后练习练习1. 下列计算正确的是（）A. B.-32-（-2）3=1 C.6÷3× =6 D. -（-1）2005=3 【题目难度】★【解题思路】按照有理数混合运算的顺序.先算乘方.再算乘除.最后算加减；如果有括号.就先算括号里面的．计算过程中注意正负符号的变化．【题目答案】A. - ×3= - =-1.错误；B.-32-（-2）3=-9+8=-1.错误；C.6÷3×=2×= .错误；D. -（-1）2005= +1=3 .正确．故本题选D．点评：本题考查的是有理数的运算能力．注意：（1）要正确掌握运算顺序.即乘方运算（和以后学习的开方运算）叫做三级运算；乘法和除法叫做二级运算；加法和减法叫做一级运算．在混合运算中要特别注意运算顺序：先三级.后二级.再一级；有括号的先算括号里面的；同级运算按从左到右的顺序．练习 2. 下列算式中：（1）0-（-3）=-3；（2）（-2）×|-3|=-6；（3）5÷ ×5=5；（4）23=6.正确的个数有（）A.4个 B.3个 C.2个 D.1个【题目难度】★【解题思路】根据有理数的运算法则分别计算各式.再与结果比较．【题目答案】（1）0-（-3）=0+3=3.错误；（2）（-2）×|-3|=（-2）×3=-6.正确；（3）5÷ ×5=25×5=125.错误；（4）23=2×2×2=8.错误．∴只有（2）正确．故选D ．点评：本题考查了绝对值的意义.有理数的减法.乘法.乘方及乘除混合运算．牢记运算法则是解题的关键．注意：同级运算应按从左往右的顺序进行．练习3. 已知|x|=0.19.|y|=0.99.且0 yx .则x-y 的值为（） A.1.18或-1.18 B.0.8或-1.18 C.0.8或-0.8 D.1.18或-0.8【题目难度】★★★【解题思路】|x|=0.19.则x=±0.19；|y|=0.99.则y=±0.99．由于＜0.所以x.y 异号.分两种情况求代数式的值．【题目答案】由题意得.x=±0.19.y=±0.99.又0<yx .∴x.y 异号. ①当x=0.19.y=-0.99时.x-y=0.19+0.99=1.18；②当x=-0.19.y=0.99时.x-y=-0.19-0.99=-1.18．故选A ．点评：注意由0<yx .得出x.y 异号后要分类讨论计算．练习4.（1）计算：-2-（-3）+（-8）+42= ______；（2）计算：（）×（-42）= ________.【题目难度】★【解题思路】（1）先乘方运算.再进行加减计算；（2）先根据乘法分配律展开.再进行运算更为简便．【题目答案】（1）-2-（-3）+（-8）+42=-2+3-8+16=19-10=9．（2）（）×（-42） = ×（-42）+ ×（-42）+（- ）×（-42）=-7-28+12=-35+12=-23．点评：本题旨在考查（1）有理数的混合运算；（2）乘法分配律使运算更为简便．练习5. 若a.b.c 在数轴上位置如图所示.则必有（）c b a -110A.abc ＞0B.ab-ac ＞0C.（a+b ）c ＞0D.（a-c ）b ＞0【题目难度】★★★【解题思路】根据图示得知.a ＜-1＜0＜b ＜1＜c.然后根据有理数的混合运算法则进行计算．【题目答案】根据图示知.a ＜-1.0＜b ＜1.1＜c ．A.∵a 是负数.b.c 是正数.∴abc ＜0．故本选项错误；B.∵b ＜c.a ＜0.∴ab ＞ac.∴ab-ac ＞0．故本选项正确；C.∵a ＜-1.0＜b ＜1.1＜c.∴ac ＜-1.0＜bc ＜1.∴ac+bc ＜0.即（a+b ）c ＜0．故本选项错误；D.∵a ＜-1.0＜b ＜1.1＜c.∴a-c ＜-2.∴（a-c ）b ＜-2．故本选项错误．故选B ．点评：本题考查了数轴.有理数的混合运算．解答此题的关键是根据图示找出a.b.c 的取值范围：a ＜-1.0＜b ＜1.1＜c ．练习6.有理数a.b 在数轴上的位置如图所示.则在a+b.a-b.ab.a 3.a 2b 3这五个数中.正数的个数是（）A.2B.3C.4D.5【题目难度】★★★【解题思路】首先由数轴得出a b的正负：-1＜a＜0.b＞1＞0.再根据有理数的运算法则进行计算即可得出选项．【题目答案】由数轴可知-1＜a＜0.b＞1＞0.根据有理数的加法.减法.乘法.乘方法则得：a+b＞0.a-b＜0.ab＜0.a3＜0.a2b3＞0.所以正数的个数是2个．故选A．点评：本题主要考查了有理数的加法.减法.乘法.乘方法则等知识点.解此题的关键是正确观察数轴确定a b的范围和利用法则进行计算．练习7.定义a※b=a2-b.则（1※2）※3= _________【题目难度】★★【解题思路】按照定义的规则计算．【题目答案】根据题意可知.（1※2）※3=（1-2）※3=-1※3=1-3=-2．答案：-2．点评：此题是定义新运算题型．直接把对应的数字代入所给的式子可求出所要的结果．解题关键是对号入座不要找错对应关系．7. 如图.是一个有理数混合运算程序的流程图.请根据这个程序回答问题：当输入的x为-16时.最后输出的结果y是____________【题目难度】★★★【解题思路】先根据流程图列出算式.然后根据有理数混合运算的顺序.先算乘方再算乘除最后算加减.有括号的先算括号里面的．【题目答案】根据题意.得[x+4-（-32）]×（- ）÷（-0.5）=（x+13）×（- ）×（-2）=∴当x=-16时.（-16+13）÷3=-1当x=-1时.（-1+13）÷3=4当x=4时.（4+13）÷3= ＞5.所以.最后输出的结果y是．点评：本题属于信息给予题.应为运算的结果不大于5.所以要经过多次运算.才能最后输出结果．。

七年级上学期第一章《有理数》能力培优讲义4有理数的乘除法能力培优

1.4有理数的乘除法知识要点：1. 有理数的乘法法则：（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘（2）任何数与0相乘，都得0.2. 有理数乘法法则的推广：（1）几个不等于0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积是负数.（2）几个数相乘，如果其中有因数0，那么积等于0.2. 倒数：乘积是1的两个数互为倒数.若a、b互为倒数则ab=1 （a MQ b^0 .3. 有理数乘法的运算律：乘法交换律：ab = ba.乘法结合律：（ab）c= a （be）.分配律：a （b + c）= ab+ ac.4. 有理数的除法法则（一）除以一个不为零的数，等于乘以这个数的倒数.、一、1这个法则也可以表示成：a曲=a •-（b .b5. 有理数的除法法则（二）（1 ）两数相除，同号得正、异号得负，并把绝对值相除.（2）0除以一个不等于0的数，都得0.6. 有理数的加减乘除混合运算：（1）乘除混合运算的步骤：①利用倒数将除法转化为乘法；②确定乘积的符号；③然后进行绝对值的乘法计算.（2）有理数的加减乘除混合运算，如无括号，则按照先乘除，后加减”的顺序进行；如有括号，则先算括号内的.温馨提示：1. 零不能做除数；0没有倒数.2. 除法法则（一）对于被除数能被除数整除问题及分数化简十分有效；除法法则（二）最适合不能整除，或除数是分数或小数的情况.3. 有理数的除法没有交换律、结合律，一定按照从左到右的顺序进行才可以；或者将除法变为乘法进行计算. 方法技巧：1. 有理数的乘除运算，一般都要先把小数化成分数，把带分数化成假分数，再分别按照乘除运算法则进行.2. 探寻规律问题一般都是先计算出几个具体的、特殊的数，然后认真观察，找出其中的变化规律，从而猜想出一般性的结论.3. 有理数混合运算中尽量采用运算律简化运算.专题一有理数乘除法运算1、计算 -1 “ - 5-1i 的结果是 < 5丿C、25D 、- 252、若疋一种数学运算符号，并且=1 , 2! 100!=2 X =2 , 3! =3 X 2 X =6 , 4! =4 X 3 X X,…，则——198!的值为（）5049B 、 99!C 、 99003、计算:(2)3 2 3(-3)-^3X 12 +(- 3).53专题二运用运算律简化有理数乘除法运算4、计算：(1)(- 10) X " X (- 0.1) X 5；3 7 71⑵（14二一 12）“）；4 35 1(3) 0.7 12 (-15) 0.7(-15);9 49 41916 15 175、阅读下列材料：“ 11 1、计算：50 +（一一+ ).34 121 1 1解法一：原式 =50 -——50+— +50 -一 =50 X 3-50 >4+50 X 2=550 .34 12 4 3 12解法二：原式 =50 + ( -------- + — ) =50+=50 0=300.12 12 12121 1 1解法三：原式的倒数为(-一 +一 ) +5034 12 111111 1111 1=(— —+ —) X — = — X' — — X — + — X' = .故原式 =300 .3 4 12 50 3 50 4 5012 50 3008、计算：713(1) 1 (-10) (-3 r : (-3 )；观察下面的问题，选择一种合适的方法解决: 1 13 2 2计算：（一丄）+（ - - ?+2 --）42 6 14 3 76、阅读第（1）小题的计算方法，再计算第（2）小题.52 3 1（1）计算：-55 （-9—） 17’ （-3—）6 3 4 2 解：原式= （-5）（I ）（-9）m （-3）4=(一5) (一9)17 (一3)丨(£ (一弓匚(J=0专题三有理数混合运算7、观察下列图形:请用你发现的规律直接写出图④中的数 y______ ;图⑤中的数X ： 220图① 图② 图③ 图④ 图⑤834(4)31 (31-71)丄.77 3 22 21专题四中考中的有理数混合运算规律题9、某数学活动小组的 20位同学站成一列做报数游戏，规则是：从前面第一位同学开始，每位同学依次报自己顺序1 1 1 数的倒数加1，第1位同学报（-+1），第2位同学报（一+1），第3位同学报（-+1）……这样得到的20个数的积 123为 _________ .1 110、若x 是不等于1的有理数，我们把称为X 的差倒数，如2的差倒数是1，- 1的差倒数为1-X1-21 11 ，现已知，X 1=, X 2是X 1的差倒数，X 3是X 2的差倒数，X 4是X 3的差倒数， ..... ，依次类推，则1 -（ -1） 23X 2018 = _____ .3 1 3(2)( ) 24"5 ；8 6 4(3)（-694）32；七年级上学期第一章《有理数》能力培优讲义 1.4有理数的乘除法能力培优（含答案）6(3) 答案:45 3 1 (3) 原式=(0.7 1 0.7 ) [2 (一15) (-15)]9 9 4 4 4 5 3 1= 0.7 (1 ) (2 ) (-15) =0.7 2 3 (_15) = 1.4 (-45) = -43.6 ；9 9 4 41 15 2(4) 原式=(20 ) 15 =300 29917 17 17 5 •解析：(-丄)r 1 - A+Z426 14 32.C 解析： 100! 100 99 98 97 96：：_ ：： 2 1= =100 99=9900. 98! 98 97 96 …2 1 3.解析：一…7、16 7 31544(1)原式=1 人( ) ;(2) 原式=—16 3 3 5 3 3 3 91.C 解析:25 4•解析(1)原式=10 >0.1 苓 0=2; 7 77、 “ 8、 7 8 7 8 7 8 c , 2) ()二-+—X —--2 1 -4 _812 74 7 8 7 12 73（2）原式(1 - 32 2、——+ —— 14 3 7 r — 42 1 3 2 2、 =( 一 —+ — 一6 14 37 X (— 42)=—7+9 — 28+12 =—14. 1、亠/ 1 3 2 2、_ 1 ^x( — — ) — ( — 1———) 42 6 14 3 7 14 ' 6.解析：原式=(-2018) (-|)( (-2019) (-一)(4038 一)(-1)(-£)_ 3 3 - 25 一一1="-2018) (-2019) 4038 (-1)丨()'() () _ 63 321 1 =0 (-1 ) 一1 ； 3 3 7. 12 — 2 解析：观察图①得5X2 — 1 X(— 2) =10+2=12;观察图②得1疋—(—3) >4=8+12=20;观察图③得4X(— 7)—5 X(—3) = — 28+15=—13 所以 y=0 X 3 — 6 X (— 2) =12 ;4 X(—5)— 9x= — 2,化简得—9x =18,解得 x = — 2. 8.解析：（1）原式=15 （-丄）（-2）（8 10 3兰)=上£丄W15 8 15 10 3原式= (-24 -24 2 8 6 4112 7原式X 12 ) X- = 1；67 2 22 222 7原式=X （) :——X7 7 3 22 22 (2) 22 ■■5 = 7 22 22 ( ) 7 22(9+ 4 — 18)为=—1 ;21 =一 47 3 ' 22 2一）的倒数为:719.21解析因为聲一同詡（y+1）.第二位酔报〔尹）』第三泣同学矶扣）」■“1111 j 1 n n 1 q i序以这祥圧个貓緞盜：也（詐吵 &】雋7右小勻寺）萤擁祥鯉的祈数的祝抑汽电冗…喘X 亓专-3计算每三个一个循环，而 2018*3 = 672 ....... 2，所以x 2018= x 2=.10. 3解析：因为4X 1=--，所以 X 2 =3"）x 3=x 4=11-44。

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有理数培优
能力提升1：有理数的运算
有理数范围内可以进行加、减、乘、除（除数不为0）四则运算，对于相同的有理数相乘，我们规定了简捷算法——有理数的乘方运算，除了要熟悉四则运算的法则之外，还应该注意到： 1、有理数对加、减、乘、除（除数不为0）四则运算的结果是封闭的（仍是有理数）。

2、在有理数范围内、加法交换律、结合律、乘法交换律、结合律都成立，乘法对加法分配律也成立。

3、由于有了正、负数，加法与减法的界限消失，加、减可以互相转换，统一为代数和。

如（-3）-7= （-3）+（-7）。

在有理数范围内，除法可以转化为乘法，比如（-5）÷7=（-5）7
1。

能力提升2：有理数的巧算
有理数运算是中学数学中一切运算的基础．它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算．不仅如此，还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性．（一）括号的使用
在代数运算中，可以根据运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，使复杂的问题变得较简单．
1 计算：
46.02562)158175.18(47)1(÷⎥⎦⎤⎢⎣
⎡
⨯÷--
（2）4
1
1
)54()1()21(12)1()2(219983⨯-÷-⎥
⎦⎤⎢⎣⎡
--÷---⨯-
2. 计算下式的值：
211×555+445×789+555×789+211×445．
3. 计算：S=1-2+3-4+…+(-1)n+1·n．
4. 在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？
（二）用字母表示数
我们先来计算(100+2)×(100-2)的值：
(100+2)×(100-2)=100×100-2×100+2×100-4=1002-22．
这是一个对具体数的运算，若用字母a代换100，用字母b代换2，上述运算过程变为
(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2．
于是我们得到了一个重要的计算公式：(a+b)(a-b)=a2-b2①
这个公式叫平方差公式，以后应用这个公式计算时，不必重复公式的证明过程，可直接利用该公式计算．5 计算 3001×2999的值．
6 计算 103×97×10 009的值．
7 计算：
8 计算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232
+1)．
9 计算：2222
1111(1)(1)(1)(1)23910----…
10. 计算： 1111111111
()(1)(1)()2319992199821999231998
+
+++++-++++++…………
（三）观察算式找规律
11. 某班20名学生的数学期末考试成绩如下，请计算他们的总分与平均分．
87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88．
12. 计算1+3+5+7+…+1997+1999的值．
13.算 1+5+52+53+…+599+5100
的值． 14.计算：
1111++++12233419981999
⨯⨯⨯⨯…
能力提升3：绝对值
绝对值是初中代数中的一个基本概念，在求代数式的值、化简代数式、证明恒等式与不等式，以及求解方程与不等式时，经常会遇到含有绝对值符号的问题，同学们要学会根据绝对值的定义来解决这些问题．下面我们先复习一下有关绝对值的基本知识，然后进行例题分析．
一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零．即
,0||0,0,0a a a a a a >⎧⎪
==⎨⎪-<⎩
当时当时当时
绝对值的几何意义可以借助于数轴来认识，它与距离的概念密切相关．在数轴上表示一个数的点离开原点的距离叫这个数的绝对值．
结合相反数的概念可知，除零外，绝对值相等的数有两个，它们恰好互为相反数．反之，相反数的绝对值相等也成立．由此还可得到一个常用的结论：任何一个实数的绝对值是非负数．
1.a ，b 为实数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？ (1)｜a+b ｜=｜a ｜+｜b ｜；
(2)｜ab ｜=｜a ｜｜b ｜；(3)｜a-b ｜=｜b-a ｜； (4)若｜a ｜=b ，则a=b ；
(5)若｜a ｜＜｜b ｜，则a ＜b ； (6)若a ＞b ，则｜a ｜＞｜b ｜．
2. 设有理数a ，b ，c 在数轴上的对应点如图1-1所示，化简｜b-a ｜+｜a+c ｜+｜c-b ｜．
3. 已知x ＜-3，化简：｜3+｜2-｜1+x ｜｜｜．
4.若0abc ≠，则||||||
a b c a b c ++的所有可能值是什么？
5. 若｜x ｜=3，｜y ｜=2，且｜x-y ｜=y-x ，求x+y 的值．
6.若a ，b ，c 为整数，且｜a-b ｜19+｜c-a ｜99=1，试计算｜c-a ｜+｜a-b ｜+｜b-c ｜的值．
7.若|3|x y -+与|1999|x y +-互为相反数，求
2x y
x y
+-的值。

8.化简：｜3x+1｜+｜2x-1｜
9.已知y=｜2x+6｜+｜x-1｜-4｜x+1｜，求y 的最大值．
10.设a ＜b ＜c ＜d ，求｜x-a ｜+｜x-b ｜+｜x-c ｜+｜x-d ｜的最小值．
11.若2x+｜4-5x ｜+｜1-3x ｜+4的值恒为常数，求x 该满足的条件及此常数的值．
能力提升4：数轴有理数比较大小。