立体几何中添加辅助线的策略

立体几何中添加辅助线的主要策略：一是把定义或者定理中缺少的线、面、体补完整；二是要把已知量和未知量统一在一个图形中，如统一在一个三角形中，这样可以用解三角形的方法求得一些未知量，再如也可以统一在平行四边形或其他几何体中。下面加以说明。

一、添加垂线策略。

因为立体几何的许多定义或定理是与垂线有关的，如线面角、二面角的定义，点到平面、线到平面、平面到平面距离的定义，三垂线定理，线面垂直、面面垂直的判定及性质定理，正棱柱、正棱锥的性质，球的性质等，所以运用这些定义或定理，就需要把没有的垂线补上。尤其要注意平面的垂线，因为有了平面的垂线，才能建立空间直角坐标系，才能使用三垂线定理或其逆定理。

例1.在三棱锥ABC

O-中，三条棱OA、OB、OC两两互相垂直，且OA=OB=OC，M是AB 边的中点，则OM与平面ABC所成的角的大小是________（用反三角函数表示）。

图1

解：如图1，由题意可设a

OA=，则3

ABC

O

a

6

1

V

,a2

CA

BC

AB=

=

=

=

-

，O点在底面的射影D为底面ABC

∆的中心，a

3

3

S

3

1

V

OD

ABC

ABC

O=

=

∆

-。又a

6

3

MC

3

1

DM=

=，OM与平面

ABC所成角的正切值是2

a

6

6

a

3

3

tan=

=

θ，所以二面角大小是2

arctan。

点评：本题添加面ABC的垂线OD，正是三棱锥的性质所要求的，一方面它构造出了正三棱锥里面的ODM

Rt∆，ODC

Rt∆，另一方面也构造出了OM与平面ABC所成的角。

二、添加平行线策略。

其目的是把不在一起的线，集中在一个图形中，构造出三角形、平行四边形、矩形、菱形，这样就可以通过解三角形等，求得要求的量，或者利用三角形、梯形的中位线来作出所需要的平行线。

例2.如图2，在正方体

1

1

1

1

D

C

B

A

ABCD-中，

4

B

A

F

D

E

B1

1

1

1

1

=

=，则

1

BE与DF所成角的余弦值是（）

A.

17

15

B.

2

1

C.

17

8

D.

2

3

图2

解析：取4

B A G A 111=

，易得四边形ADFG 是平行四边形，则AG AG //E E 1EA GE 1E BE 1∠1BE 如图3，O 是半径为1的球的球心，点A 、B 、C 在球面上，OA 、OB 、OC 两两垂直，E 、F 分别是大圆弧AB 与AC 的中点，则点E 、F 在该球面上的球面距离是（ ）

A. 4π

B. 3π

C. 2π

D. 4

2π

图3

解析：添加辅助线OE 、OF ，连结EF ，构成OEF ∆，关键是求EOF ∠。为了使EF 与已知条件更好地联系起来，过E 作AO EG ⊥，垂足为G ，连结FG ，构造G EF ∆，在图3中，2

EGF ,FG 224sin 1EG π=∠==π⨯=。 3EOF ,OF OE 1FG EG EF 22π=

∠===+=∴ ∴点E 、F 在该球面上的球面距离为3

13π=⨯π，故选B 。 点评：本题抓住了球心，抓住了弧中点，利用这些特殊点作辅助线是解题的关键。

四、名线策略。即添加常用的、重要的线，如中位线、高、角平分线、面对角线和体对角线等。尽管这些线上面也有提到，但还是要在这里强化一下，这些线有着广泛的联系。尤其是添加三角形中位线或者梯形中位线，这主要是因为中位线占据了两个边的中点，并且中位线平行于底边，且是底边长的一半，它可以把底边与其他线面的角度关系平移，使已知和未知集中在一个三角形中。

例4. 如图4，正三棱柱111C B A ABC -的各棱长都为2，E 、F 分别是AB 、11C A 的中点，则EF 的长是（ ）。

图4 A. 2 B. 3 C. 5 D. 7

解析：如图4所示，取AC 的中点G ，连结EG 、FG ，则易得1EG ,2FG ==，故5EF =，选C 。

点评：本题充分体现了中位线的重要性。

五、割补策略。分割成常见规则图形，或者补形成典型几何体。

例5. 一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）

A. π3

B. π4

C. π33

D. 6π

解析：把这个正四面体BCD A -补成正方体，如图5，正四面体BCD A -可看成是由正方体的面对角线构成的，这个正四面体和这个正方体有相同的外接球面。因为四面体BCD A -的棱长为2，所以正方体棱长为1，正方体的体对角线长为球的直径3R 2=，

所以球的表面积π=⋅π=⋅π=34

34R 4S 2，选A 。

图5

点评：把一些线面关系放到正方体中思考，能给问题一个更好的参照，使各种线面关系易于理解。