绝对值不等式
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一、复习
①、对称性：a b b a 传递性：a___b_,b___c__ a c ②、a b,c R ，a+c＞b+c （可加性）
③、a＞b，c 0 ， 那么ac＞bc；（可乘性） a＞b，c 0 ，那么ac＜bc （乘法法则）
④、a＞b＞0，c d 0 那么，ac＞bd ⑤、a>b>0，那么an>bn.（条件n N, n （2乘方）性） ⑥、 a＞b＞0 那么 n a n b （条件n N, n 2）
证明 | 2Байду номын сангаас 3 y 2a 3b |
| 2x 2a 3 y 3b | | 2x a| | 3y b| 2 | x a| 3 | y b|
2 3 5 ,
所以 | 2x 3y 2a 3b | 5 .
例2 两个施工队分别被安排在公路沿线的两
个 地 点 施 工, 这 两 个 地 点 分 别 位 于 公路 碑 的 第 10km和第20km处.现要在公路沿线建两个施工 队的共同临时生活区, 每个施工队每日在生活 区和施工地点之间往返一次.要使两个施工队 每 天 往 返 的 路 程 之 和 最小, 生 活 区 应 建 在 何 处? 分析 如果生活区建成于公路路碑的第xkm处,
所以,当10 x 20时,函数
Sx 2 | x 10 | | x 20 | 取得最小值20.于是,生
活区建于两个施工地点之间的任何一个位置时, 都 能使两个施工队每天往返的路程之和最小.
画出函数 Sx 图象图1.2 7,
从 图象 上可以 直 观 地看出结 论.
s
sx 2| x 10 | | x 20 |
（开方性）
定理2：（基本不等式）
如果a，b
0，那么a
+ 2
b
≥
ab，
当且仅当a = b时等号成立。
算术平均数
C 几何平均数
几何解释
ab
A
a O DbB
两个正数的算术平均不小于它们的几何平均。
二 绝对值不等式
对于 3 个正数 a, b, c,可能有 : 如果 a, b,
c R
, 那么 a b c 3
rr 如果把 a, b 换为向量 a, b ，根据向量加法的三
rr r r 角形法则,易知 a b ≤ a b .(同向时取等号)
rr
ab
r
rb
a
rr ab
rr ab
推论 1（运用数学归纳法可得）：
a1 a2 L an ≤ a1 a2 L an .
定理2 如果a、b、c是实数,
-
-------那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|
3
abc
,当且仅当
a b c时, 等号成立.
二、学习目标
1.对深化绝对值的定义及其几何意义的理 解和掌握; 2. 理解关于绝对值三角不等式并会简单应 用. 三、学习过程
一般地,我们有 | a b || a | | b | .
为了更好地理解定理1, 我们再从代数推 理的角度给出它的证明.
证明 当ab 0时, ab | ab |,
| a | | b |2 | a b |
所以| a b || a | | b | . 当且仅当ab 0 时,等号成立.
定理2 如果 a,b, c 是实数, 那么 | a c || a b| |b c |,
当且仅当a bb c 0 时,等号成立.
分析 由于a c, a b与b c都是实数,且
a c a b b c,因而定理2中,不等
式的形式与定理1 的形式一致,所以考虑 利 用 定 理1 来 证 明 定 理2 .
证明 根据定理1,有
| a c || a b b c|| a b | | b c |, 当且仅当a bb c 0时,等号成立.
定理 1（绝对值三角形不等式）如果a, b 是实数， 则 a b ≤ a b （当且仅当 ab≥0 时，等号成立.）
60
40
20
O 10 20 30
x
图1.2 7
两 个 施 工 队 每 天 往 返 的路 程 之 和 为S x k m, 那 么Sx 2| x 10 | | x 20 |.于是,上面的问题 就化归为数学问题:当x取何值时,函数 Sx 2| x 10 | | x 20 | 取得最小值.这个问题可以
应用绝对值不等式的性质来解.
解 设生活区应建于公路路碑的第xkm处,两个
-------当且仅当(a-b)(b-c) ≥0时,等号成立.
定理3 如果a、b是实数,
-
-------那么||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|
当且仅当ab ≤0时, 当且仅当ab ≥0时,
等号成立.
等号成立.
将定理中的实数a、b换成向
量(或复数)仍成立
例1 已知 0,| x a | ,| y b | , 求证 | 2x 3 y 2a 3b | 5.
施工队每天往返的路程之和为Sx km,则 Sx 2| x 10 | | x 20 |.
因为| x 10 | | x 20 || x 10 | | 20 x |
| x 10 20 x| 10, 当且仅当x 1020 x 0时取等号.
解不等式 x 1020 x 0,得 10 x 20.
| a b | a b2 a2 2ab b2
| a |2 2 | ab | | b |2
| a | | b |2
| a b |
当ab 0时, ab | ab |,
| a b | a b2 a2 2ab b2
| a |2 2 | ab | | b |2 a2 2 | ab | b2 | a |2 2 | ab | | b |2
①、对称性：a b b a 传递性：a___b_,b___c__ a c ②、a b,c R ，a+c＞b+c （可加性）
③、a＞b，c 0 ， 那么ac＞bc；（可乘性） a＞b，c 0 ，那么ac＜bc （乘法法则）
④、a＞b＞0，c d 0 那么，ac＞bd ⑤、a>b>0，那么an>bn.（条件n N, n （2乘方）性） ⑥、 a＞b＞0 那么 n a n b （条件n N, n 2）
证明 | 2Байду номын сангаас 3 y 2a 3b |
| 2x 2a 3 y 3b | | 2x a| | 3y b| 2 | x a| 3 | y b|
2 3 5 ,
所以 | 2x 3y 2a 3b | 5 .
例2 两个施工队分别被安排在公路沿线的两
个 地 点 施 工, 这 两 个 地 点 分 别 位 于 公路 碑 的 第 10km和第20km处.现要在公路沿线建两个施工 队的共同临时生活区, 每个施工队每日在生活 区和施工地点之间往返一次.要使两个施工队 每 天 往 返 的 路 程 之 和 最小, 生 活 区 应 建 在 何 处? 分析 如果生活区建成于公路路碑的第xkm处,
所以,当10 x 20时,函数
Sx 2 | x 10 | | x 20 | 取得最小值20.于是,生
活区建于两个施工地点之间的任何一个位置时, 都 能使两个施工队每天往返的路程之和最小.
画出函数 Sx 图象图1.2 7,
从 图象 上可以 直 观 地看出结 论.
s
sx 2| x 10 | | x 20 |
（开方性）
定理2：（基本不等式）
如果a，b
0，那么a
+ 2
b
≥
ab，
当且仅当a = b时等号成立。
算术平均数
C 几何平均数
几何解释
ab
A
a O DbB
两个正数的算术平均不小于它们的几何平均。
二 绝对值不等式
对于 3 个正数 a, b, c,可能有 : 如果 a, b,
c R
, 那么 a b c 3
rr 如果把 a, b 换为向量 a, b ，根据向量加法的三
rr r r 角形法则,易知 a b ≤ a b .(同向时取等号)
rr
ab
r
rb
a
rr ab
rr ab
推论 1（运用数学归纳法可得）：
a1 a2 L an ≤ a1 a2 L an .
定理2 如果a、b、c是实数,
-
-------那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|
3
abc
,当且仅当
a b c时, 等号成立.
二、学习目标
1.对深化绝对值的定义及其几何意义的理 解和掌握; 2. 理解关于绝对值三角不等式并会简单应 用. 三、学习过程
一般地,我们有 | a b || a | | b | .
为了更好地理解定理1, 我们再从代数推 理的角度给出它的证明.
证明 当ab 0时, ab | ab |,
| a | | b |2 | a b |
所以| a b || a | | b | . 当且仅当ab 0 时,等号成立.
定理2 如果 a,b, c 是实数, 那么 | a c || a b| |b c |,
当且仅当a bb c 0 时,等号成立.
分析 由于a c, a b与b c都是实数,且
a c a b b c,因而定理2中,不等
式的形式与定理1 的形式一致,所以考虑 利 用 定 理1 来 证 明 定 理2 .
证明 根据定理1,有
| a c || a b b c|| a b | | b c |, 当且仅当a bb c 0时,等号成立.
定理 1（绝对值三角形不等式）如果a, b 是实数， 则 a b ≤ a b （当且仅当 ab≥0 时，等号成立.）
60
40
20
O 10 20 30
x
图1.2 7
两 个 施 工 队 每 天 往 返 的路 程 之 和 为S x k m, 那 么Sx 2| x 10 | | x 20 |.于是,上面的问题 就化归为数学问题:当x取何值时,函数 Sx 2| x 10 | | x 20 | 取得最小值.这个问题可以
应用绝对值不等式的性质来解.
解 设生活区应建于公路路碑的第xkm处,两个
-------当且仅当(a-b)(b-c) ≥0时,等号成立.
定理3 如果a、b是实数,
-
-------那么||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|
当且仅当ab ≤0时, 当且仅当ab ≥0时,
等号成立.
等号成立.
将定理中的实数a、b换成向
量(或复数)仍成立
例1 已知 0,| x a | ,| y b | , 求证 | 2x 3 y 2a 3b | 5.
施工队每天往返的路程之和为Sx km,则 Sx 2| x 10 | | x 20 |.
因为| x 10 | | x 20 || x 10 | | 20 x |
| x 10 20 x| 10, 当且仅当x 1020 x 0时取等号.
解不等式 x 1020 x 0,得 10 x 20.
| a b | a b2 a2 2ab b2
| a |2 2 | ab | | b |2
| a | | b |2
| a b |
当ab 0时, ab | ab |,
| a b | a b2 a2 2ab b2
| a |2 2 | ab | | b |2 a2 2 | ab | b2 | a |2 2 | ab | | b |2