(完整版)《-整式乘除与因式分解》知识点归纳及经典例题

第十五章 整式乘除与因式分解

知识点归纳：

一、幂的运算：

1、同底数幂的乘法法则：n m n m a a a +=•（n m ,都是正整数）

同底数幂相乘，底数不变，指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。

如：532)()()(b a b a b a +=+•+

2、幂的乘方法则：mn n m a a =)(（n m ,都是正整数）

幂的乘方，底数不变，指数相乘。如：10253)3(=-

幂的乘方法则可以逆用：即m n n m mn a a a )()(== 如：23326)4()4(4==

3、积的乘方法则：n n n b a ab =)(（n 是正整数）。积的乘方，等于各因数乘方的积。

如：（523)2z y x -=5101555253532)()()2(z y x z y x -=•••-

4、同底数幂的除法法则：n m n m a a a -=÷（n m a ,,0≠都是正整数，且)n m φ

同底数幂相除，底数不变，指数相减。如：3334)()()(b a ab ab ab ==÷

5、零指数； 10=a ，即任何不等于零的数的零次方等于1。

二、单项式、多项式的乘法运算：

6、单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。如：=•-xy z y x 3232 。

7、单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，

即mc mb ma c b a m ++=++)((c b a m ,,,都是单项式)。如：)(3)32(2y x y y x x +--= 。

8、多项式与多项式相乘，用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加。

9、平方差公式：22))((b a b a b a -=-+注意平方差公式展开只有两项

公式特征：左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。右边是相同项的平方减去相反项的平方。 如：))((z y x z y x +--+ =

10、完全平方公式：2222)(b ab a b a +±=±

完全平方公式的口诀：首平方，尾平方，首尾2倍中间放，符号和前一个样。

公式的变形使用：（1）ab b a ab b a b a 2)(2)(2222-+=-+=+；ab b a b a 4)()(22-+=-

222)()]([)(b a b a b a +=+-=-- ；222)()]([)(b a b a b a -=--=+-

（2）三项式的完全平方公式： bc ac ab c b a c b a 222)(2222+++++=++

11、单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。

注意：首先确定结果的系数（即系数相除），然后同底数幂相除，如果只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。 如：b a m b a 242497÷-

12、多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所的的商相加。即：c b a m cm m bm m am m cm bm am ++=÷+÷=÷=÷++)(

三、因式分解的常用方法．

1、提公因式法

（1）会找多项式中的公因式；公因式的构成一般情况下有三部分：①系数一各项系数的最大公约数；②字母——各项含有的相同字母；③指数——相同字母的最低次数；

（2）提公因式法的步骤：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并确定另一因式．需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项．

（3）注意点：①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”；②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的．

2、公式法

运用公式法分解因式的实质是：把整式中的乘法公式反过来使用；常用的公式：

①平方差公式： a 2－b 2＝ （a ＋b ）（a －b ）

②完全平方公式：a 2＋2ab ＋b 2＝（a ＋b ）2

a 2－2a

b ＋b 2＝（a －b ）2

3、在数学学习过程中，学会利用整体思考问题的数学思想方法和实际运用意识。

如：对于任意自然数n ，22)5()7(--+n n 都能被动24整除。

1．若225722+-++m n n m b a b a 的运算结果是753b a ，则n m +的值是（ ）

A ．-2

B ．2

C ．-3

D ．3

2．若a 为整数，则a a +2一定能被（ ）整除

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

3．若x 2+2(m-3)x+16是完全平方式，则m 的值等于…………………( )

A.3

B.-5

C.7.

D.7或-1

4．如图，矩形花园ABCD 中，AB=a ，AD=b ，花园中建有一条矩形道路LMQP 及一条平行四边形道路RSTK ，若LM=RS=c ，则花园中可绿化部分的面积为（ ）

A ．2b ac ab bc ++-

B ．ac bc ab a -++2

C ．2c ac bc ab +--

D ．ab a bc b -+-22

5．分解因式：=-+-ab b a 2122__________________________. 6．下表为杨辉三角系数表的一部分，它的作用是指导读者按规律写出形如()n b a +（n 为正整数）展开式的系数，请你仔细观察下表中的规律，填出()n b a +展开式中所缺的系数。 则()4322344_____________b ab b a b a a b a ++++=+

7. 3x(7-x)=18-x(3x-15)；

8. (x+3)(x-7)+8＞(x+5)(x-1).

9.2,3==n m x x ，求n m x 23+、n m x 23-的值

10．探索题：

．．．．．．

①试求122222223456++++++的值 ②判断1222222200620072008++++++Λ的值的个位数是几？