2.1曲线与方程PPT课件
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§2.1 曲线与方程
建系--设点----限制条件--代入坐标--化简证明
以上步骤用一句话概括就是:建设现(限)代化. ．．． ． ．． ． ．
典型例题
例4.已知线段AB, B点的坐标（6,0），A点在曲线 y=x2+3上运动，求AB的中点M的轨迹方程. y 解；设AB的中点M的坐标为（x，y）， y=x2+3 又设A（x1，y1），则
典型例题
例 1 已知一条直线 l 和它上方的一个点 F,点 F 到 l 的距离是 2.一条曲线也在 l 的上方,它上面的每一 点到 F 的距离减去到 l 的距离的差都是 2,建立适 当的坐标系,求这条曲线的方程.y源自.M( x, y )
B
(0 F., 2 )
0
l
x
练习
1.已知点 M 与 x 轴的距离和点 M 与点 F(0,4)的距 离相等,求点 M 的轨迹方程. 解:设点 M 的坐标为(x,y) 建立坐标系 ∵点 M 与 x 轴的距离为 y , 设点的坐标
10 8
x +6 x = 1 2 y = y1 2
x1 = 2x - 6 ∴ y1 = 2y
6
A
4
点A（x1，y1）在曲线y=x2+3上，则 y1=x1
2+3
2
M
代入，得 2y=（2x-6）2+3
整 理 ,得 AB的 中 点 的 轨 迹 方 程 为 y = 2 x - 3 +
√ √ 2.写出适合条件 P 的几何点集: √ 3.用坐标表示条件 ,列出方程 √ 4.化简方程 为最简形式; √ 5.证明(查漏除杂).
P (M ) f ( x, y ) 0
P M P ( M )
; ;
2014年人教A版选修2-1课件 2.1 曲线与方程
第二章
圆锥曲线 与方程
本章内容
2.1 曲线与方程 2.2 椭圆 2.3 双曲线 2.4 抛物线 第二章 小结
2.1.1 曲线与方程
2.1.2 求曲线的方程
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1. 什么是曲线的方程和方程的曲线? 曲线 的方程应满足什么条件?
2. 怎样确定坐标平面上的某点在不在给定的 曲线上?
问题1. 图中直线 l1 的方程是不是 y=|x|? 方程 x+y=1 (x>0) 是不是直线 l2 的方程? (1) l1 的方程不是 y=|x|. 因为方程的解有些不在 直线 l1 上, 如: 点 (-1, 1), (-2, 2), …. (2) 方程 x+y=1 (x>0) 表示
y
l 1 -1 o -1
C
1
x
(2) 圆 C 上任一点的坐标 都是方程 (x-1)2+y2=1 的解, 反之, 方程 (x-1)2+y2=1 的任一解为坐标的点都在
圆 C 上. 所以方程 (x-1)2+y2=1 表示的曲线是圆 C.
一般地, 在直角坐标系中, 如果某曲线 C (看作 点的集合或适合某种条件的点的轨迹) 上的点与一个 二元方程 f(x, y)=0 的实数解建立了如下的关系: (1) 曲线上点的坐标都是这个方程的解; (2) 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么, 这个方程叫做曲线的方程; 这条曲线叫做方程 的曲线.
练习(补充)
1. 证明圆心在坐标原点, 半径等于 5 的圆的方 程是 x2+y2=25, 并判断点 M1(3, -4)、M2( - 2 5 , 2) 是 否在这个圆上.
2. 求方程 y=ax2+bx+c 的曲线经过原点的充要条 件.
圆锥曲线 与方程
本章内容
2.1 曲线与方程 2.2 椭圆 2.3 双曲线 2.4 抛物线 第二章 小结
2.1.1 曲线与方程
2.1.2 求曲线的方程
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1. 什么是曲线的方程和方程的曲线? 曲线 的方程应满足什么条件?
2. 怎样确定坐标平面上的某点在不在给定的 曲线上?
问题1. 图中直线 l1 的方程是不是 y=|x|? 方程 x+y=1 (x>0) 是不是直线 l2 的方程? (1) l1 的方程不是 y=|x|. 因为方程的解有些不在 直线 l1 上, 如: 点 (-1, 1), (-2, 2), …. (2) 方程 x+y=1 (x>0) 表示
y
l 1 -1 o -1
C
1
x
(2) 圆 C 上任一点的坐标 都是方程 (x-1)2+y2=1 的解, 反之, 方程 (x-1)2+y2=1 的任一解为坐标的点都在
圆 C 上. 所以方程 (x-1)2+y2=1 表示的曲线是圆 C.
一般地, 在直角坐标系中, 如果某曲线 C (看作 点的集合或适合某种条件的点的轨迹) 上的点与一个 二元方程 f(x, y)=0 的实数解建立了如下的关系: (1) 曲线上点的坐标都是这个方程的解; (2) 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么, 这个方程叫做曲线的方程; 这条曲线叫做方程 的曲线.
练习(补充)
1. 证明圆心在坐标原点, 半径等于 5 的圆的方 程是 x2+y2=25, 并判断点 M1(3, -4)、M2( - 2 5 , 2) 是 否在这个圆上.
2. 求方程 y=ax2+bx+c 的曲线经过原点的充要条 件.
选修2-1课件2.1.1曲线与方程
R
M
O Q
x
图2.5 3
证明 1 如图 2 . 5 3 , 设 M x0 , y0 是轨迹上的任意一点.因为点 M 与 x 轴的距离为 | y0 |, 与y轴的距离为 | x0 |, 所以 | x0 | | y0 | k .
即x0 , y0 是方程 xy 的解.
2 设点M 1的坐标 x1 , y1
又如, 以a, b 为圆心、r 为半径的圆的方程是
y
x a 2 y b2 r 2
x a y b r 2 .这 就是说, 如果M x0 , y0 是
2 2
Mx 0 , y0
x
圆上的点, 那么它到圆心 O 的距离一定等于半径, 即
积为常数 k k 0 的点的轨迹方程 .
2 2 2 2
y
x a 2 y b2 r 2
r 的解, 即 x0 a
Mx 0 , y0
x
y0 b 2 r 2 , 也就是 x0 a 2 y0 b 2
O
图2.5 2
r , 即以这个解为坐标的点到点 a, b 的 距离为r , 它一定在以a, b 为圆心r为半径 的圆上 圆 2.5 2 .
2 2
图2.5 2
x0 a y0 b r , 2 2 也就是 x0 a y0 b r 2 , 这说明它的坐 2 2 2 标 x0 , y0 是方程 x a y b r 的解 ;
反过来, 如果 x0 , y0 是 方程 x a y b
2 .1. 1 曲线与方程
前面我们研究了直线、圆、圆锥 曲线的方程 , 讨论了这些曲线( 包 括直线)和相应的方程的关系下面 . 进一步研究一般曲线( 包括直线 ) 和方程的关系.
课件3：2.1.1曲线与方程的概念
曲线与方程
1．曲线的方程与方程的曲线的定义
在平面直角坐标系中，如果曲线C与方程F(x，y)＝0 之间具有如下关系：
(1)曲线C上点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解；
(2)以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C 上．那么，曲线C叫做方程F(x，y)＝0的曲线，方程 F(x，y)＝0叫做曲线C的方程．
以上两点说明了圆上的点与方程x02+y02=r2的解之间有 一一对应关系.
我们知道，圆可以看成是一个动点M的运动轨迹，于 是在坐标平面上，当圆上一个动点M沿着该圆圆周运 动时，点M的坐标（x，y）随之点M的运动而变化， 点M运动的轨迹可以用方程x02+y02=r2来表达.
学习新知
一般地，一条曲线可以看成动点依某种条件运 动的轨迹，所以曲线的方程又常称为满足某种条件 的点的轨迹方程.
【答案】B 【解析】因为点在曲线上等价于点的坐标满足曲线方 程，因此把点的坐标代入方程逐一验证即可.
课堂训练 （3）已知两圆x2＋y2－2x－3＝0和x2＋y2＋6y－1＝0， 求它们的公共弦所在的直线方程．
解：设经过两圆交点的圆系方程为
x2＋y2－2x－3＋λ(x2＋y2＋6y－1)＝0，
当λ＝－1时，方程为x＋3y＋1＝0.该方程表示两圆公 共弦所在的直线方程．
3．用集合的特征性质描述曲线 如果曲线C的方程是F(x，y)＝0，则M(x，y)∈C⇔ F(x，y)＝0. 因此，方程F(x，y)＝0可以作为描述曲线C的特征性 质．曲线C用集合的特征性质可描述为C＝{M(x， y)|F(x，y)＝0}．
例题解析
例 已知两圆 C1：x2+y2+6x-16=0, C2：x2+y2-4x-5=0,
曲线与方程(两课时精品)
平面解析几何研究的主要问题是：
研
1.求曲线的方程; 2.通过方程研究曲线的性质.
2.1.2 求曲线的方程
一、直接法求曲线方程
例 1.设 A、B 两点的坐标是 (-1,-1)、(3,7), 求线段 AB 的垂直平分线的方程.
解:设 M(x,y)是线段 AB 的垂直平分线上的任一点,
“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”说明符合 条件的点都在曲线上而毫无遗漏（完备性）。 简记：符合条件的都在曲线上 即：“数由形定”
2.方程的曲线与曲线的方程的关系: 点 P ( x0 , y0 ) 在方程的曲线 C 上点 P( x0 , y0 ) 的坐标是曲线的方程 f ( x, y ) 0 的解.
x
课堂小结
1.轨迹与轨迹方程是两个不同的概 念，轨迹是指曲线，轨迹方程是指曲 线的方程.求轨迹方程的本质，就是在 给定的坐标系中，求轨迹上任意一点 的横坐标与纵坐标之间的关系.
课堂小结
2.求已知类型的曲线方程，一般用 待定系数法或直接法求解；求未知类型 的曲线方程，有代入法、参数法、定义 法等，其解法比较灵活，并且因题而异.
2.1.1 曲线与方程
问题1:坐标平面中第一、三象限的平分线L的方程是什么？
思考： 如何理解两坐标轴所成的角位于第一、三象限的平分
线l的方程是x-y=0？
y
x-y=0
2 M（x,y) -2 -1 O -2 1 2 x
答：（1）直线l上的点的坐标都是方程x-y=0的解；
（2）以方程x-y=0的解为坐标的点都在直线上。
.M
B
( x, y )
(0, F. 2)
0
l
x
练习： 如图,已知点 C 的坐标是(2 , 2) , 过点 C 直线 CA 与 x 轴交于点 A,过点 C 且与直线 CA 垂直的直线 CB 与 y 轴交于点 B,设点 M 是线段 AB 的中点,求点 M 的 轨迹方程. y
研
1.求曲线的方程; 2.通过方程研究曲线的性质.
2.1.2 求曲线的方程
一、直接法求曲线方程
例 1.设 A、B 两点的坐标是 (-1,-1)、(3,7), 求线段 AB 的垂直平分线的方程.
解:设 M(x,y)是线段 AB 的垂直平分线上的任一点,
“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”说明符合 条件的点都在曲线上而毫无遗漏（完备性）。 简记：符合条件的都在曲线上 即：“数由形定”
2.方程的曲线与曲线的方程的关系: 点 P ( x0 , y0 ) 在方程的曲线 C 上点 P( x0 , y0 ) 的坐标是曲线的方程 f ( x, y ) 0 的解.
x
课堂小结
1.轨迹与轨迹方程是两个不同的概 念，轨迹是指曲线，轨迹方程是指曲 线的方程.求轨迹方程的本质，就是在 给定的坐标系中，求轨迹上任意一点 的横坐标与纵坐标之间的关系.
课堂小结
2.求已知类型的曲线方程，一般用 待定系数法或直接法求解；求未知类型 的曲线方程，有代入法、参数法、定义 法等，其解法比较灵活，并且因题而异.
2.1.1 曲线与方程
问题1:坐标平面中第一、三象限的平分线L的方程是什么？
思考： 如何理解两坐标轴所成的角位于第一、三象限的平分
线l的方程是x-y=0？
y
x-y=0
2 M（x,y) -2 -1 O -2 1 2 x
答：（1）直线l上的点的坐标都是方程x-y=0的解；
（2）以方程x-y=0的解为坐标的点都在直线上。
.M
B
( x, y )
(0, F. 2)
0
l
x
练习： 如图,已知点 C 的坐标是(2 , 2) , 过点 C 直线 CA 与 x 轴交于点 A,过点 C 且与直线 CA 垂直的直线 CB 与 y 轴交于点 B,设点 M 是线段 AB 的中点,求点 M 的 轨迹方程. y
曲线与方程课件
圆上点的坐标与方程的解建立了一一对应关系.
二、疑难点拨： 3.“曲线与方程”定义的理解
在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元 方程 f x, y =0 的实数解建立了如下的关系： （1）曲线上点的坐标都是这个方程的解； （2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么，这个方程叫曲线的方程，这条曲线叫做方程 的曲线.
例2 证明与两条坐标轴的距离的积是常数k（k>0) 的点的轨迹方程是xy= k． 请思考：证明该问题的理论依据是什么？
“曲线与方程” 的定义
证明已知曲线的方程的步骤是什么？
第一步，设M (x0 , y0)是曲线C上任一点，证明(x0 , y0)是 f(x , y)=0的解； 第二步，设M1(x1, y1)是f(x , y)=0的任意一个解，证明点 M1 (x1 , y1)在曲线C上.
§2.1.1 曲线与方程
河师大附中 宋超
一、问题反馈：
1.对数学中曲线的含义把握不准确； 2.不理解“曲线与方程”这个概念的构建过程； 3.对定义“曲线与方程”理解不到位.
二、疑难点拨： 1.曲线的含义
课本中，出现了“曲线（包含直线）”， 直线是曲线吗？ 曲线：点的集合或适合某种条件的点的集合.
三、考一考：
例1 判断下列结论的正误，并说明理由. （1）过点A（3,0）且垂直于x 轴的直线的 方程为x=3； （√）
（2）到 x 轴距离为5的点的轨迹方程为y=5； （×）
（3）到两坐标轴距离乘积等于10的点的轨迹 方程为xy=10.（×） （4）过点A（2,0）平行于y轴的直线l的方程 为|x|＝2. （×）
四、当堂检测：
1.已知曲线C的方程是f(x，y)＝0，记曲线C上的 点的坐标构成的集合为C ，方程f(x，y)＝0 的 解构成的集合为F，则集合C与F的关系为： _____________ . C=F
【数学】2.2.1 双曲线及其标准方程 课件1(人教A版选修1-1)
( x c ) 2 y 2 ( x c ) 2 y 2 2a
( x c)
2
2Hale Waihona Puke 2y2 2a
2
( x c) y
2
2
2
cx a a ( x c) y
2
2 2 2 2 2 2
2
(c a ) x a y a (c a )
2 2
(4) 4 x 3 y 1
2 2
x2 y2 1 9 16
x y (5) 2 2 1(m 0) m m 1
2
2
请求出下列双曲线的 a、b、c和它们的焦点坐标。
x2 y 2 (1) 1 3 2
a 3, b 2, c 5 F1 ( 5, 0), F2 ( 5, 0)
（1）a=3,b=4，焦点在x轴上；
解： 焦点在x轴上.
x2 y 2 可设所求双曲线方程为 2 2 1 a b
由题意得
a=3,b=4
x2 y 2 所求双曲线方程为 1 9 16
(2)求适合下列条件的双曲线的标准方程： a 2 5, 经过点A(2, 5), 焦点在y轴上；
解： 焦点在y轴上.
可设所求双曲线方程为
a 2 5 由题意得： 25 4 2 2 1 b a
所求双曲线方程为
2
y2 x2 2 1 2 a b
解得 b 2 16
y x 1 20 16
2
（3）若a=6，c=10，焦点在坐标轴上。
解：
a 6, c 10 b c a 64
第二章 圆锥曲线与方程 2.2.1 双曲线及其标准方程
2.1.1--曲线和方程课件
x y= k是的解，则x1y1= k,
即|x1| |y1|= k, 而|x1|，Iy 1l 正是点M1 到纵轴、横 轴的距离，因此点M1到这两条直线 的距离的积是常数 k，点M1是曲线 上的点．
由(1)(2)可知，xy＝ k是与两条坐标轴的距离的
积为常数k(k>0)的点的轨迹方程．
归纳:
证明已知曲线的方程的方法和步骤
y
也就是xo2 +yo2 = 25. 即 (x0,y0) 是方程x2 +y2 = 25的解. (2)设 (x0,y0) 是方程x2 +y2 = 25的解，那么
5
·M 2
0
5x
·M 1
x02 +y02 = 25
两边开方取算术根，得
x02 y02 5,
பைடு நூலகம்
即点M (x0,y0)到坐标原点的距离等于5，点M (x0,y0)是这个圆 上的一点.
得出关系：
（1）曲线圆上点M的坐标（x0,y0）都是方程
x2+y2=r2 的解;
（2）以方程 x2+y2=r2的解为坐标（x0,y0）的点
M都 在圆上.
得出定义
给定曲线C与二元方程f（x，y）=0，若满足
（1）曲线上的点坐标都是这个方程的解
（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点
那么这个方程f（x，y）=0叫做这条曲线C的方程
曲 线 上 任 意 一 点 到 定 圆 圆 心 的 距 离 一 定 等 于 定 长
(xa)2(yb)2r2
条件
得出关系：
方程
y
(x-a)2+(y-b)2=r2 （1）曲线圆上点M的坐标（x0,y0）都是
方程 (xa)2(yb)2r2 的解
即|x1| |y1|= k, 而|x1|，Iy 1l 正是点M1 到纵轴、横 轴的距离，因此点M1到这两条直线 的距离的积是常数 k，点M1是曲线 上的点．
由(1)(2)可知，xy＝ k是与两条坐标轴的距离的
积为常数k(k>0)的点的轨迹方程．
归纳:
证明已知曲线的方程的方法和步骤
y
也就是xo2 +yo2 = 25. 即 (x0,y0) 是方程x2 +y2 = 25的解. (2)设 (x0,y0) 是方程x2 +y2 = 25的解，那么
5
·M 2
0
5x
·M 1
x02 +y02 = 25
两边开方取算术根，得
x02 y02 5,
பைடு நூலகம்
即点M (x0,y0)到坐标原点的距离等于5，点M (x0,y0)是这个圆 上的一点.
得出关系：
（1）曲线圆上点M的坐标（x0,y0）都是方程
x2+y2=r2 的解;
（2）以方程 x2+y2=r2的解为坐标（x0,y0）的点
M都 在圆上.
得出定义
给定曲线C与二元方程f（x，y）=0，若满足
（1）曲线上的点坐标都是这个方程的解
（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点
那么这个方程f（x，y）=0叫做这条曲线C的方程
曲 线 上 任 意 一 点 到 定 圆 圆 心 的 距 离 一 定 等 于 定 长
(xa)2(yb)2r2
条件
得出关系：
方程
y
(x-a)2+(y-b)2=r2 （1）曲线圆上点M的坐标（x0,y0）都是
方程 (xa)2(yb)2r2 的解
人教新课标版数学高二选修2-1课件曲线与方程
普通高中课程标准实验教科书 数学选修2-1
2.1.1 曲线与方程
教学目标
1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系. 2.初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念. 3.学会根据已有的情境资料找规律，学会分析、判断曲线与方程的 关系，强化“形”与“数”的统一以及相互转化的思想方法.
下图为卫星绕月球飞行示意图，据图回答下面问题：假 若卫星在某一时间内飞行轨迹上任意一点到月球球心和月球 表面上一定点的距离之和近似等于定值2a，视月球为球体， 半径为R，你能写出一个轨迹的方程吗？
1 2345
解析答案
课堂小结
(1)判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是不是方 程的解，是否适合方程.若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就 说明点不在曲线上. (2)已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关 参数的值或范围问题.
返回
答案
探究点1 曲线与方程的概念应用 例1 证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k>0)的点的轨迹方程是xy＝±k.
反思与感悟
解析答案
探究点2 曲线与方程关系的应用 例2 如果曲线C上的点的坐标(x，y)都是方程F(x，y)＝0的解，那么( ) A.以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上 B.以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点有些不在曲线C上 C.不在曲线C上的点的坐标都不是方程F(x，y)＝0的解 D.坐标不满足F(x，y)＝0的点不在曲线C上
自主学习
知识点一 曲线与方程的概念 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条
件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关
系：
(1) 曲线上点的坐标 都是这个方程的解；
2.1.1 曲线与方程
教学目标
1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系. 2.初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念. 3.学会根据已有的情境资料找规律，学会分析、判断曲线与方程的 关系，强化“形”与“数”的统一以及相互转化的思想方法.
下图为卫星绕月球飞行示意图，据图回答下面问题：假 若卫星在某一时间内飞行轨迹上任意一点到月球球心和月球 表面上一定点的距离之和近似等于定值2a，视月球为球体， 半径为R，你能写出一个轨迹的方程吗？
1 2345
解析答案
课堂小结
(1)判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是不是方 程的解，是否适合方程.若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就 说明点不在曲线上. (2)已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关 参数的值或范围问题.
返回
答案
探究点1 曲线与方程的概念应用 例1 证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k>0)的点的轨迹方程是xy＝±k.
反思与感悟
解析答案
探究点2 曲线与方程关系的应用 例2 如果曲线C上的点的坐标(x，y)都是方程F(x，y)＝0的解，那么( ) A.以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上 B.以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点有些不在曲线C上 C.不在曲线C上的点的坐标都不是方程F(x，y)＝0的解 D.坐标不满足F(x，y)＝0的点不在曲线C上
自主学习
知识点一 曲线与方程的概念 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条
件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关
系：
(1) 曲线上点的坐标 都是这个方程的解；
湖北省荆州市沙市第五中学人教版高中数学课件 选修2-1 2-1-1曲线与方程
-1)x=0,3
【解题指南】解答本题,要注意题目中的隐含条件x-3≥0.
【解析】因为(x+y-1)( -1)=0,所以可得 x3
x y 或1者 0, -1=0,也就是x+y-1=0(x≥3)或x=4. 故方x 程3表示0 一条射线和一x 条3直线.
第二十页，编辑于星期日：十五点 四十五分。
【拓展提升】
x1
x2
1 2
,
又∵A(x1,y1),B(x2,y2)都在x直1 x线2 y=x32+. 3上,
∴y1=x1+3,y2=x2+3,∴y2-y1=x2-x1,
第二十七页，编辑于星期日：十五点 四十五分。
∴|AB|= x2 x1 2 y2 y1 2
= 2 x2 x1 2 2[ x1 x2 2 4x1x2]
1-|x|≥0即-1≤x≤1,
∴方程表示如图所示的两条线段.
第二十三页，编辑于星期日：十五点 四十五分。
类型 三 曲线的交点问题
【典型例题】
1.若直线x-2y-2k=0与y=x+k的交点在曲线x2+y2=25上,则k的值是( )
A.1
B.-1
C.1或-1
D.以上都不对
2.求直线y=x+3被抛物线y=2x2截得的线段的长度.
∴ AB (1 3 )2 (2 9 )2 5 2 .
∴所截线段的长为 2
2
2
52
.
2
x
3， 2
y3).,992，
22
第二十六页，编辑于星期日：十五点 四十五分。
方法二:设直线y=x+3与抛物线y=2x2的交点坐标为
A(x1,y1),B(x2,y2),则由方程组
2.1.1曲线与方程
(3)第二、四象限两轴夹角平分线上的点的坐标都满足 x＋y ＝0，反之，以方程 x＋y＝0 的解为坐标的点都在第二、四 象限两轴夹角的平分线上，因此第二、 四象限两轴夹角平分 线上的点的轨迹方程是 x＋y＝0.
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2.1.1
探究点二 由方程判断曲线 例 2 下列方程表示如图所示的直线，对吗？ 为什么？不对请改正． (1) x－ y＝0；(2)x2－y2＝0； (3)|x|－y＝0.
2．1.1
曲线与方程
1．对于曲线和方程的概念要了解． 2．理解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系，领会 “曲线的方程”与“方程的曲线”的涵义．
通过直线与方程、 圆与方程理解曲线与方程的关系； 利用数形结合，直观体会曲线上点的坐标与方程解的关 系.
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2.1.1
探究点一 曲线与方程的概念 引言：在必修 2 的直线与方程、圆与方程中，讨论了曲线 与方程的关系，同学们有了一定的感性认识．这一节的主 要目的是对曲线与方程的关系有一个更加系统、完整的认 识． 问题 1 直线 y＝ x 上任一点 M 到两坐标轴距离相等吗？
解 (1)中曲线上的点不全是方程 x－ y＝0 的解， 如点 (－1，－1)等，即不符合“曲线上的点的坐标都是方程 的解”这一结论； (2)中，尽管“曲线上的坐标都是方程的解”，但以方程 x2－y2＝0 的解为坐标的点不全在曲线上，如点(2，－2) 等，即不符合“以方程的解为坐标的点都在曲线上”这 一结论；
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2.1.1
跟踪训练 2 方程 x2＋xy＝x 的曲线是 A．一个点 C．一条直线 B．一个点和一条直线 D．两条直线
( D )
解析 ∵方程可化为 x(x＋y)＝x，即 x(x＋y－1)＝0， ∴x＝0 或 x＋y－1＝0，因此方程的曲线是两条直线
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2.1.1
探究点二 由方程判断曲线 例 2 下列方程表示如图所示的直线，对吗？ 为什么？不对请改正． (1) x－ y＝0；(2)x2－y2＝0； (3)|x|－y＝0.
2．1.1
曲线与方程
1．对于曲线和方程的概念要了解． 2．理解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系，领会 “曲线的方程”与“方程的曲线”的涵义．
通过直线与方程、 圆与方程理解曲线与方程的关系； 利用数形结合，直观体会曲线上点的坐标与方程解的关 系.
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2.1.1
探究点一 曲线与方程的概念 引言：在必修 2 的直线与方程、圆与方程中，讨论了曲线 与方程的关系，同学们有了一定的感性认识．这一节的主 要目的是对曲线与方程的关系有一个更加系统、完整的认 识． 问题 1 直线 y＝ x 上任一点 M 到两坐标轴距离相等吗？
解 (1)中曲线上的点不全是方程 x－ y＝0 的解， 如点 (－1，－1)等，即不符合“曲线上的点的坐标都是方程 的解”这一结论； (2)中，尽管“曲线上的坐标都是方程的解”，但以方程 x2－y2＝0 的解为坐标的点不全在曲线上，如点(2，－2) 等，即不符合“以方程的解为坐标的点都在曲线上”这 一结论；
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2.1.1
跟踪训练 2 方程 x2＋xy＝x 的曲线是 A．一个点 C．一条直线 B．一个点和一条直线 D．两条直线
( D )
解析 ∵方程可化为 x(x＋y)＝x，即 x(x＋y－1)＝0， ∴x＝0 或 x＋y－1＝0，因此方程的曲线是两条直线
§2.1.1 曲线与方程
X
§2.1.1 曲线与方程
复习回顾: 复习回顾
我们研究了直线和圆的方程. 我们研究了直线和圆的方程 1.经过点 经过点P(0,b)和斜率为 的直线 的方程 和斜率为k的直线 经过点 和斜率为 的直线L的方程
y = kx +b 为____________ 2.在直角坐标系中 平分第一、三象限的 在直角坐标系中,平分第一 在直角坐标系中 平分第一、
直线方程是______________ 直线方程是 x-y=0 3.圆心为 圆心为C(a,b) ,半径为 的圆 的方程 半径为r的圆 圆心为 半径为 的圆C的方程
( x − a ) + ( y − b) = r 为_______________________.
2 2 2
为什么? 为什么?
思考? 思考?
课后作业： 金榜》素能综合检测（ 课后作业：《金榜》素能综合检测（九）
练习:若命题“曲线 上的点的坐标满足方程 练习 若命题“曲线C上的点的坐标满足方程 若命题 f(x,y)=0”是正确的 则下列命题中正确的是 D) 是正确的,则下列命题中正确的是 是正确的 则下列命题中正确的是( A.方程 方程f(x,y)=0 所表示的曲线是 所表示的曲线是C 方程 B.坐标满足 f(x,y)=0 的点都在曲线 上 的点都在曲线C上 坐标满足 C.方程 方程f(x,y)=0的曲线是曲线 的一部分或是曲 的曲线是曲线C的一部分或是曲 方程 的曲线是曲线 线C D.曲线 是方程 曲线C是方程 曲线 是方程f(x,y)=0的曲线的一部分或是全 的曲线的一部分或是全 部
y
1 1 -1 0 x 1 -2 -1 0 1 2 1
y
y
x
-2 -1 0 1 2
x
⑴
§2.1.1 曲线与方程
复习回顾: 复习回顾
我们研究了直线和圆的方程. 我们研究了直线和圆的方程 1.经过点 经过点P(0,b)和斜率为 的直线 的方程 和斜率为k的直线 经过点 和斜率为 的直线L的方程
y = kx +b 为____________ 2.在直角坐标系中 平分第一、三象限的 在直角坐标系中,平分第一 在直角坐标系中 平分第一、
直线方程是______________ 直线方程是 x-y=0 3.圆心为 圆心为C(a,b) ,半径为 的圆 的方程 半径为r的圆 圆心为 半径为 的圆C的方程
( x − a ) + ( y − b) = r 为_______________________.
2 2 2
为什么? 为什么?
思考? 思考?
课后作业： 金榜》素能综合检测（ 课后作业：《金榜》素能综合检测（九）
练习:若命题“曲线 上的点的坐标满足方程 练习 若命题“曲线C上的点的坐标满足方程 若命题 f(x,y)=0”是正确的 则下列命题中正确的是 D) 是正确的,则下列命题中正确的是 是正确的 则下列命题中正确的是( A.方程 方程f(x,y)=0 所表示的曲线是 所表示的曲线是C 方程 B.坐标满足 f(x,y)=0 的点都在曲线 上 的点都在曲线C上 坐标满足 C.方程 方程f(x,y)=0的曲线是曲线 的一部分或是曲 的曲线是曲线C的一部分或是曲 方程 的曲线是曲线 线C D.曲线 是方程 曲线C是方程 曲线 是方程f(x,y)=0的曲线的一部分或是全 的曲线的一部分或是全 部
y
1 1 -1 0 x 1 -2 -1 0 1 2 1
y
y
x
-2 -1 0 1 2
x
⑴
2.1曲线的参数方程 第二课时 课件(人教A版选修4-4)
1．直线y＝ax＋b通过第一、二、四象限，则圆
x a rcos ， y b rsin (θ为参数)的圆心位于(
B)
A．第一象限 C．第三象限 A．(－1＋cos θ，sin θ) C．(－1＋2cos θ，2sin θ)
B．第二象限 D．第四象限 B．(1＋sin θ，cos θ) D．(1＋2cos θ，2sin θ)
上的动点，∠AOQ的平分线交AQ于点M.当点Q在圆C上运动
时，求点M的轨迹方程．
解析：设点 O 到 AQ 的距离为 d，则 1 1 |AM|· d＝ |OA|· |OM|· sin ∠AOM， 2 2 1 1 |QM|· d＝ |OQ|· |OM|· sin ∠QOM. 2 2 |AM| |OA| 2 → 2 → 又∵∠AOM＝∠QOM，∴ ＝ ＝ .∴AM＝ AQ. |QM| |OQ| 1 3 ∵点 Q 是圆 x2＋y2＝1 上的点， ∴设点 Q 的坐标为(cos θ， sin θ)，M(x，y)，得 2 (x－2，y－0)＝ (cos θ－2，sin θ－0)， 3 2 2 2 即 x－ ＝ cos θ，y＝ sin θ. 3 3 3 2 4 2 2 两式平方相加，得x－3 ＋y ＝ ， 9 2 4 2 2 ∴点 M 的轨迹方程为x－3 ＋y ＝ . 9
∵cos2t＋sin2t＝1，∴(x－1)2＋(y＋2)2＝4. 由于 0≤t≤π，∴0≤sin t≤1，从而 0≤y＋2≤2， 即－2≤y≤0. ∴所求的曲线的参数方程为 (x－1)2＋(y＋2)2＝4(－2≤y≤0)． 这是一个半圆，其圆心为(1，－2)，半径为 2.
圆的直径AB上有两点C，D，且|AB|＝10，|AC|
把它化为普通方程，并判断该曲线表示什么图形． 分析：把曲线的参数方程化为普通方程，就是将参数方 程中的参变量消去，常用的消参法有代入法、加减消元法、 乘除消元法、三角消元法，但要注意消去参数时变量范围的 一致性．
2.1.曲线的参数方程PPT课件
6
一、方程组有3个变量，其中的x,y表示点的 坐标，变量t叫做参变量，而且x,y分别是t的 函数。
二、由物理知识可知，物体的位置由时间t唯 一决定，从数学角度看，这就是点M的坐标 x,y由t唯一确定，这样当t在允许值范围内连 续变化时，x,y的值也随之连续地变化，于是 就可以连续地描绘出点的轨迹。
这就是圆心在原点O，
o
M0 x
半径为r的圆的参数方程。
其中参数t有明确的物理意义
(质点作匀速圆周运动的 2时 021 刻)
16
考 虑 到 ＝ t ， 也 可 以 取 为 参 数 ，
y
于 是 有{xy rrcso ins(为 参 数 )
M(x,y)
这也是圆心在原点O，
r
半径为r的圆的参数方程
o
其 中 参 数 的 几 何 意 义 是 :
（1）普通方程化为参数方程需要引入参数
如：①直线L 的普通方程是2x-y+2=0，可以化为参
数方程
x
y
t, 2t
（t为参数）
2.
②在普通方程xy=1中，令x = tan,可以化为参数方程
x tan ,
y
cot .
（为参数）
2021
27
（2）参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为
普通方程
投放点
提示： 即求飞行员在离救援点的水平距离 多远时，开始投放物资？
？ 救援点
1、参数方程的概念：
如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s 的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾 区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放 时机呢？ 设飞机在点A将物资投出机舱，
如：①参数方程
人教A版高中数学高二选修2-1课件 2.1 第1课时 曲线与方程
议一议:求曲线的方程和求轨迹一样吗?(讨论并回答)
【解析】不一样.若是求轨迹,则要先求出方程,再说明和讨 论所求轨迹是什么样的图形,即图形的形状、位置、大小都需说 明、讨论清楚.
1.已知圆 C:(x-2)2+(y+1)2=4 及直线 l:x+2y-2=0,则点 M(4,-1)( ).
A.不在圆 C 上,但在直线 l 上 B.在圆 C 上,但不在直线 l 上 C.既在圆 C 上,也在直线 l 上 D.既不在圆 C 上,也不在直线 l 上
(2)在学习圆锥曲线时要注重知识的形成过程,从圆锥曲线 的形成过程到圆锥曲线的定义,再根据定义引导学生建立适当的 直角坐标系,指导学生根据求曲线方程的一般步骤求得椭圆、双 曲线、抛物线的标准方程,增强学生的研究兴趣和信心.
(3)利用对比的手段,将椭圆与双曲线的定义、方程和性质进 行对比,让学生从对比中找出相同与不同,并熟练掌握两种曲线 的特点.注重圆锥曲线定义的使用与转化,特别是通过抛物线的 定义把抛物线上的点到焦点的距离转化为其到准线的距离求解.
【解析】x(x2+y2-1)=0⇔x=0 或 x2+y2=1,则方程表示直线 x=0
和以(0,0)为圆心,1 为半径的圆.
x2+(x2+y2-1)2=0⇔
x = 0, x2 + y2-1
=
0⇔
x y
= =
0±,1,则方程表示点
(0,1),(0,-1).
【答案】C
探究 3:直接法求轨迹方程
【例 3】已知点 M(-1,0),N(1,0),且点 P 满足 MP·MN,PM·PN,NM·NP成公差为负数的等差数列,求点 P 的 轨迹方程.
【解析】满足方程 f(x,y)=0 的点都在曲线 C 上,但曲线 C 上 的点的坐标不一定都满足方程 f(x,y)=0,故 A 不正确;坐标不满足 f(x,y)=0 的点,也可能在曲线 C 上,故 B 不正确;因为满足方程 f(x,y)=0 的点都在曲线 C 上,故不在曲线 C 上的点必不满足方程 f(x,y)=0,故 C 正确,D 不正确.
2.2.1双曲线及其标准方程课件人教新课标1
②|F如1M图|(－B)|当F|2MF1|M＝|2<a |F2M| 时；
|由F①1M②|可－得|F：2M|＝－2a | |MF1|-|MF2| | = 2a (差的绝对值)
上述的两条曲线放在一起我们叫它双曲线
每一条叫双曲线的一支
双曲线定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对 值等于常数2a(a＞0且2a＜|F1F2|)的点的轨 迹叫做双曲线.两个定点F1、F2叫做双曲线 的焦点， |F1F2|叫做双曲线的焦距. 设||F1M|-|F2M||=2a， |F1F2|=2c，动点为M，则:
令 c2-a2=b2
双曲线标准方程： －
=1 (a＞0 ， b＞0)
(1)焦点在x轴上
y
(2)焦点在y轴上
y
F1 o
F2 x
－ =1 c2－a2=b2
F
2
o
x
F
1
－
=1
F1(-c， 0)、F2( c ， 0)
F1(0， -c)、F2( 0， c )
特 (1)方程的右边是1，方程的左边是平方差的情势；
2.2.1双曲线及其标准方程
1. 椭圆的定义
平面内与两定点F1、F2的距离的 和 等于常数
2a ( 2a>|F1F2|>0)的点的轨迹.
Y Mx, y
2. 引入问题：
O
F1 c, 0
F2 c, 0 X
平面内与两定点F1、F2的距离的 差 等于常数2a 的点的轨迹是什么呢？
模拟实验
视察思考：
平面内与两定点F1、F2的距离的 差 等于常数2a的点的轨迹是什么呢？ ①如图(A)当|F1M |> |F2M| 时；
y
(1)建系设标；
|由F①1M②|可－得|F：2M|＝－2a | |MF1|-|MF2| | = 2a (差的绝对值)
上述的两条曲线放在一起我们叫它双曲线
每一条叫双曲线的一支
双曲线定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对 值等于常数2a(a＞0且2a＜|F1F2|)的点的轨 迹叫做双曲线.两个定点F1、F2叫做双曲线 的焦点， |F1F2|叫做双曲线的焦距. 设||F1M|-|F2M||=2a， |F1F2|=2c，动点为M，则:
令 c2-a2=b2
双曲线标准方程： －
=1 (a＞0 ， b＞0)
(1)焦点在x轴上
y
(2)焦点在y轴上
y
F1 o
F2 x
－ =1 c2－a2=b2
F
2
o
x
F
1
－
=1
F1(-c， 0)、F2( c ， 0)
F1(0， -c)、F2( 0， c )
特 (1)方程的右边是1，方程的左边是平方差的情势；
2.2.1双曲线及其标准方程
1. 椭圆的定义
平面内与两定点F1、F2的距离的 和 等于常数
2a ( 2a>|F1F2|>0)的点的轨迹.
Y Mx, y
2. 引入问题：
O
F1 c, 0
F2 c, 0 X
平面内与两定点F1、F2的距离的 差 等于常数2a 的点的轨迹是什么呢？
模拟实验
视察思考：
平面内与两定点F1、F2的距离的 差 等于常数2a的点的轨迹是什么呢？ ①如图(A)当|F1M |> |F2M| 时；
y
(1)建系设标；
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由(1),(2)可知， xyk是与两条坐标轴。 的 的积为常k(k数0)的点的轨迹方程。
2020年10月2日
9
归纳: 证明已知曲线的方程的方法和步骤
第一步，设 M (x0,y0)是曲线C上任一点， 证明(x0,y0)是f(x,y)=0的解；
第二步，设(x0,y0)是 f(x,y)=0的解，证明 点 M (x0,y0)在曲线C上.
2020年10月2日
13
练习4:设圆M的方程为(x3)2(y2)22,直线l
的方程为x+y-3=0, 点P的坐标为(2,1),那么( C )
A.点P在直线上，但不在圆上 B.点P在圆上，但不在直线上； C.点P既在圆上，也在直线上 D.点P既不在圆上，也不在直线上
练习5:已知方程 m2xn2y40的曲线经过
点 A (1,2)B ,(2,1),则 m =_____, n =______.
2020年10月2日
4
4
5
5
14
课外练习:
1“. 曲线 C 上的点的坐标都是方程 f (x, y) =0 的解”
是“方程 f (x, y) =0 是曲线 C 的方程”的（C ）条
件.
(A)充分非必要
(B)必要非充分
(C)充要
离乘积为1的点集其方程为y=
1
1
-1 0
x 1
x
-2 -1 0 1 2
x
-2 -1 0 1 2
⑴ 2020年10月2日
⑵
⑶
11
练习2:下述方程表示的图形分别是下图 中的哪一个？
① x - y =0 ② |x|-|y|=0 ③ x-|y|=0
Y
Y
1
1
Y
Y
1
1
O
1X
A
O
1 X -1 O
在曲线C 上的 充要条件 是 f(x0, y0)=0
2020年10月2日
6
例1 :判断下列命题是否正确 (1)过点A（3，0）且垂直于x轴的直线的方程 为︱x︱=3 (2)到x轴距离等于1的点组成的直线方程为y=1 (3)到两坐标轴的距离之积等于1的点的轨迹方 程为︱xy︱=1 (4) △ABC的顶点A(0,-3)，B(1,0)，C(-1,0)， D为BC中点，则中线AD的方程x=0
（2）以方程x-y=0的解为坐标的点都
在 l上
∴说直线 l 的方程是 x y 0 ,又说方程 x y 0 的直线是 l .
2020年10月2日
3
思考?
圆心为C(a,b) ,半径为r的圆C的方程为:
(xa)2(yb)2r2
2020年10月2日
4
定义: 一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C(看
解:(1)不正确，不具备(2)完备性，应为x=3,
(2)不正确,不具备(1)纯粹性，应为y=±1.
(3)正确.
(4)不正确,不具备(2)完备性,应为x=0(-3≤y≤0).
2020年10月2日
7
例2.证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k>0) 的点的轨迹方程是xy=±k.
证明： (1)如图，设 M ( x 0 , y 0 ) 是轨迹上的任意一点，
2.1 曲线与方程
2.1.1 曲线与方程
2020年10月2日
1
复习回顾:
我们研究了直线和圆的方程. 1.经过点P(0,b)和斜率为k的直线l的方程
为_____y___k_x___b
2.在直角坐标系中,平分第一、三象限的
直线方程是___x__-y__=_0______
3.圆心为C(a,b) ,半径为r的圆C的方程
因为点 M 与 x 轴的距离为 y 0 , 与 y 轴的距离为 x 0 , 所以 x 0 • y 0 k ,即 ( x 0 , y 0 ) 是方程 xy k 的解。
y
M
o
x
2020年10月2日
8
(2)设M 点 1的坐 (x1,标 y1)是方 xy程 k的解 即 x1y1k,即 x1•y1k
而x1, y1正是点M1到纵轴、横轴的距离， 因此点M1到两条直线的距离的 是积 常数k, 点M1是曲线上的点。
(D)既非充分也非必要
2.△ABC 的顶点坐标分别为 A(4, 3) ， B(2, 1) ，
C(5, 7)，则 AB 边上的中线的方程为___________.
3x 2 y 0(1≤ x ≤5)
2020年10月2日
15
2.1.2求曲线的方程 （1）
1X O
1X
-1 -1
B
C
D
①表示 B ②表示 C ③表示 D
2020年10月2日
12
练习3:若命题“曲线C上的点的坐标满足方程
f(x,y)=0”是正确的,则下列命题中正确的是( D)
A.方程f(x,y)=0 所表示的曲线是C B.坐标满足 f(x,y)=0 的点都在曲线C上 C.方程f(x,y)=0的曲线是曲线C的一部分或是曲 线C D.曲线C是方程f(x,y)=0的曲线的一部分或是全 部
作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点 与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下 的关系:
(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解;
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.
那么,这个方程叫做曲线的方程; 这条曲线叫做方程的曲线.
y
f(x,y)=0
说明:
0
x
1.曲线的方程—反映的是图形所满足的数量关系; 方2020程年10月的2日曲线—反映的是数量关系所表示的图形5 .
2.“曲线上的点的坐标都是这个方程 的解” , 阐明曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是 说曲线上所有的点都符合这个条件而毫无例外.
（纯粹性）.
3.“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”, 阐明符合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏.
（完备性）.
由曲线的方程的定义可知:
如果曲线C的方程是 f(x,y)=0，那么点P0(x0 ,y0)
为___(_x___a_)_2___( _y__b__)2___r_2__.
为什么?
2020年10月2日
2
思考?
坐标系中,平分第一、三象限的直线方程是x-y=0
第一、三象限角平分线 l 点的横坐标与纵坐标相等 条件
曲线
x=y（或x- y=0）方程
l y
x-y=0 含有关系：
0 x （1） l上点的坐标都是方程x-y=0的解
2020年10月2日
10
练习1:下列各题中，下图各曲线的曲线方程是 所列出的方程吗？为什么？
(1)曲线C为过点A(1，1)，B(-1，1)的折
线(如图(1))其方程为(x-y)(x+y)=0; 不是
(2)曲线C是顶点在原点的抛物线其方程
为x+ y =0;
不是
(3)曲线C是Ⅰ, Ⅱ象限内到x轴，y轴的距
2020年10月2日
9
归纳: 证明已知曲线的方程的方法和步骤
第一步，设 M (x0,y0)是曲线C上任一点， 证明(x0,y0)是f(x,y)=0的解；
第二步，设(x0,y0)是 f(x,y)=0的解，证明 点 M (x0,y0)在曲线C上.
2020年10月2日
13
练习4:设圆M的方程为(x3)2(y2)22,直线l
的方程为x+y-3=0, 点P的坐标为(2,1),那么( C )
A.点P在直线上，但不在圆上 B.点P在圆上，但不在直线上； C.点P既在圆上，也在直线上 D.点P既不在圆上，也不在直线上
练习5:已知方程 m2xn2y40的曲线经过
点 A (1,2)B ,(2,1),则 m =_____, n =______.
2020年10月2日
4
4
5
5
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课外练习:
1“. 曲线 C 上的点的坐标都是方程 f (x, y) =0 的解”
是“方程 f (x, y) =0 是曲线 C 的方程”的（C ）条
件.
(A)充分非必要
(B)必要非充分
(C)充要
离乘积为1的点集其方程为y=
1
1
-1 0
x 1
x
-2 -1 0 1 2
x
-2 -1 0 1 2
⑴ 2020年10月2日
⑵
⑶
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练习2:下述方程表示的图形分别是下图 中的哪一个？
① x - y =0 ② |x|-|y|=0 ③ x-|y|=0
Y
Y
1
1
Y
Y
1
1
O
1X
A
O
1 X -1 O
在曲线C 上的 充要条件 是 f(x0, y0)=0
2020年10月2日
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例1 :判断下列命题是否正确 (1)过点A（3，0）且垂直于x轴的直线的方程 为︱x︱=3 (2)到x轴距离等于1的点组成的直线方程为y=1 (3)到两坐标轴的距离之积等于1的点的轨迹方 程为︱xy︱=1 (4) △ABC的顶点A(0,-3)，B(1,0)，C(-1,0)， D为BC中点，则中线AD的方程x=0
（2）以方程x-y=0的解为坐标的点都
在 l上
∴说直线 l 的方程是 x y 0 ,又说方程 x y 0 的直线是 l .
2020年10月2日
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思考?
圆心为C(a,b) ,半径为r的圆C的方程为:
(xa)2(yb)2r2
2020年10月2日
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定义: 一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C(看
解:(1)不正确，不具备(2)完备性，应为x=3,
(2)不正确,不具备(1)纯粹性，应为y=±1.
(3)正确.
(4)不正确,不具备(2)完备性,应为x=0(-3≤y≤0).
2020年10月2日
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例2.证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k>0) 的点的轨迹方程是xy=±k.
证明： (1)如图，设 M ( x 0 , y 0 ) 是轨迹上的任意一点，
2.1 曲线与方程
2.1.1 曲线与方程
2020年10月2日
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复习回顾:
我们研究了直线和圆的方程. 1.经过点P(0,b)和斜率为k的直线l的方程
为_____y___k_x___b
2.在直角坐标系中,平分第一、三象限的
直线方程是___x__-y__=_0______
3.圆心为C(a,b) ,半径为r的圆C的方程
因为点 M 与 x 轴的距离为 y 0 , 与 y 轴的距离为 x 0 , 所以 x 0 • y 0 k ,即 ( x 0 , y 0 ) 是方程 xy k 的解。
y
M
o
x
2020年10月2日
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(2)设M 点 1的坐 (x1,标 y1)是方 xy程 k的解 即 x1y1k,即 x1•y1k
而x1, y1正是点M1到纵轴、横轴的距离， 因此点M1到两条直线的距离的 是积 常数k, 点M1是曲线上的点。
(D)既非充分也非必要
2.△ABC 的顶点坐标分别为 A(4, 3) ， B(2, 1) ，
C(5, 7)，则 AB 边上的中线的方程为___________.
3x 2 y 0(1≤ x ≤5)
2020年10月2日
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2.1.2求曲线的方程 （1）
1X O
1X
-1 -1
B
C
D
①表示 B ②表示 C ③表示 D
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练习3:若命题“曲线C上的点的坐标满足方程
f(x,y)=0”是正确的,则下列命题中正确的是( D)
A.方程f(x,y)=0 所表示的曲线是C B.坐标满足 f(x,y)=0 的点都在曲线C上 C.方程f(x,y)=0的曲线是曲线C的一部分或是曲 线C D.曲线C是方程f(x,y)=0的曲线的一部分或是全 部
作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点 与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下 的关系:
(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解;
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.
那么,这个方程叫做曲线的方程; 这条曲线叫做方程的曲线.
y
f(x,y)=0
说明:
0
x
1.曲线的方程—反映的是图形所满足的数量关系; 方2020程年10月的2日曲线—反映的是数量关系所表示的图形5 .
2.“曲线上的点的坐标都是这个方程 的解” , 阐明曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是 说曲线上所有的点都符合这个条件而毫无例外.
（纯粹性）.
3.“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”, 阐明符合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏.
（完备性）.
由曲线的方程的定义可知:
如果曲线C的方程是 f(x,y)=0，那么点P0(x0 ,y0)
为___(_x___a_)_2___( _y__b__)2___r_2__.
为什么?
2020年10月2日
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思考?
坐标系中,平分第一、三象限的直线方程是x-y=0
第一、三象限角平分线 l 点的横坐标与纵坐标相等 条件
曲线
x=y（或x- y=0）方程
l y
x-y=0 含有关系：
0 x （1） l上点的坐标都是方程x-y=0的解
2020年10月2日
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练习1:下列各题中，下图各曲线的曲线方程是 所列出的方程吗？为什么？
(1)曲线C为过点A(1，1)，B(-1，1)的折
线(如图(1))其方程为(x-y)(x+y)=0; 不是
(2)曲线C是顶点在原点的抛物线其方程
为x+ y =0;
不是
(3)曲线C是Ⅰ, Ⅱ象限内到x轴，y轴的距