三角函数图像求解析式

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由三角函数图像求解析式(适合讲课使用)

图像的变换与对称性
01
平移变换
三角函数图像可以在x轴或y轴方向上平移，而不改变其形状和性质。
例如，正弦函数向右平移a个单位后变为$y=sin(x-a)$。
02
伸缩变换
三角函数图像可以在x轴或y轴方向上伸缩，从而改变其周期和振幅。
例如，正弦函数在x轴方向上伸缩a倍后变为$y=sin(frac{1}{a}x)$。
余弦函数
定义域
全体实数，即$R$。
值域
$[-1,1]$。
周期性
余弦函数具有周期性，最小正周期为$2pi$。
单调性
在每个周期内，余弦函数在$[0, pi]$上单调递减，在$[pi, 2pi]$
上单调递增。
正切函数
定义域
01
不连续，无周期性。
值域
02
全体实数，即$R$。
单调性
03
正切函数在每一个开区间$(kpi-frac{pi}{2}, kpi+frac{pi}{2})$内
01
1. 绘制直角坐标系
根据解析式的定义域，绘制直角坐标系。
02
03
2. 确定关键点
3. 绘制图像
根据解析式的值，确定直角坐标系中的关键点。
根据关键点，绘制三角函数的图像。
例题三：综合应用题
1. 分析题目
仔细阅读题目，理解题目的要求和条件。
2. 确定解题步骤
根据题目要求，确定解题步骤，包括已知条件的分析、未知条件的推导等。
由三角函数图像求解析式
contents
目录
• 引言 • 三角函数的基本性质 • 三角函数图像的绘制 • 由三角函数图像求解析式的方法 • 实例分析 • 总结与思考

求三角函数解析式方法总结超全面

求三角函数解析式)sin(ϕω+=x A y 常用的方法全面总结三角函数的解析式是研究三角函数图像与性质的重要依据，也是高中数学教学的重点，也是历年来高考考查的热点，学生往往不知如何挖掘出有用的信息,去求A 、ω、φ。

A （振幅）：A=2-最小值最大值φ+wx ：相位，其中Tw π2=(T 为最小正周期） ϕ：初相，求φ常有代入法、五点法、特殊值法等一、利用五点法，逆求函数解析式三角函数五点法是三角函数图像绘制的方法，分别找三角函数一个周期内端点与终点两个点，另加周期内一个零点，两个极值点和一共零点，总共五个点第一点，即图像上升时与x 轴的交点，为φ+wx =0 第二点，即图像曲线的最高点，为φ+wx =2π 第三点，即图像下降时与x 轴的交点，为φ+wx =π第四点，即图像曲线的最低点，为φ+wx =23π 第五点，即图像最后一个端点，为φ+wx =π2例1．右图所示的曲线是)sin(ϕω+=x A y （0>A ，0>ω）图象的一部分，求这个函数的解析式．例2.是函数π2sin()2y x ωϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象上的一段，则（）Ａ．10π116ωϕ==，Ｂ．10π116ωϕ==-，Ｃ．π26ωϕ==，Ｄ．π26ωϕ==-，例3.函数)20,0,)(sin(πϕωϕω<≤>∈+=R x x y 的部分图象如图，则A ．4,2πϕπω==B ．6,3πϕπω==C ．4,4πϕπω==D ．45,4πϕπω==例4、函数()ϕω+=x A y sin 的一个周期内的图象如下图，求y 的解析式。

（其中 πϕπω<<->>,0,0A ）变式练习1、已知函数)sin(ϕω+=x A y (A >0，ω>0，|ϕ|<π)2、已知函数)sin(ϕω+=x Ay (A >0，ω>0，|ϕ|<π)的图象如图，求函数的解析式。

三角函数图象解析式的求法

2 ( x).
3
例2.已知f ( x) Asin(x )(其中A, 0, )的部分
图象如下，确定函数解析式.
y
3
O1 3
x
3
例3.下列函数中，图象的一部分如图的是( )
A. y sin( x )
6
C . y cos(4x )
3
B. y sin( 2x )
8

y 2

4
2 sin(
x
)
2 2 2 2 sin( 2 )
84
8
练习： 1已知函数y Asin（x ）（A 0,
0,0 )图像的两个相邻的最值
点为（，2）；（2 ， 2），求解析式。
6
3
2已知函数y Asin(x ) b图像
2. 将给定点的坐标代入函数解析式，利
用方程思想确定相关参数（特别
是），注意多值的取舍（利用单调性判断），优先选择最值点。
作业：配套检测卷 P123
可编辑
求解析式。
y

6
2

3
5
6 x
4
3已知函数y Asin（x ）（| | 的图像
2
求函数的解析式。
y
2
y
1
11
2
12
x
7 3
x
-2
10 20 5
4求函数f（x） Asin（x ） b
的解析式
小结：由图象确定解析式
1. 充分利用图象的几何性质（特别是对称性）确定正余弦型函数的平衡位置、振幅、周期等；
函数解析式
函数图像

根据图像求三角函数解析

2 的图像如上图所示 ,求该函数的解析式。
或y3cos(2x－5)
6
练习 3 .函数 yA sin ( x ),(A 0 , 0 ,|| )
的部分图像如图所示 ,求该函数的解析式。
y2sin(2x) 3
y 2
o 3
5 6
x
-2
例3：求f(x)=Asin(ωx+φ)+B型的解析式
-2
ππ 42
3π 2
5π 2
7π 2
x
4
例2：如图为y=Asin（ωx+φ）的图象的一段，求其解析式.
练习 1.函数 yA sin(x),(A0,0,||)
2 的图像如图所示 ,求该函数的解析式。y
3
y3sin(2x) 3
2
3
o
6
x
-3
变式 .函数 yA cos(x),(A0,0,||)
巧记·主干知识
突破·重点要点
题型二由图象求函数y＝ Asin(ωx＋φ)的解析式
例 2 (1)已知函数 f(x)＝2sin(ωx＋
φ)(其中 ω>0，|φ|<π2)的最小正周期是
π，且 f(0)＝ 3，则( )
A.ω＝12，φ＝π6 C.ω＝2，φ＝π6
B.ω＝12，φ＝π3 D.ω＝2，φ＝π3
1.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)+B(ω>0,
|φ|< )的图象的一部分如图所示：（1）求2f(x)的表达式；
（2）试写出f（x）的对称轴方程.
解（1）由图象可知，函数的最大值M=3，

利用图像求三角函数解析式

y
3
0 -3
x
y
4 1 0 -2
x
3.函数 y A sin(x （A 0， 0） y ) 的部分图像如图所示，则函数解 3 析式为__________
0 -3
4
2
x
内容：合作探究 1. 学习中遇到的疑问; 2.导学案“质疑探究”部分的问题.
要求：（1）人人参与，热烈讨论，大声表达自己的思想。（2）组长控制好讨论节奏，先一对一分层讨论，再小组内集中讨论。（3）没解决的问题组长记录好，准备质疑。
知识要点
1.用“五点法”作函数 y A sin(x ) B（A 0， 0）一个周期的图像时， x 取那些值? y 2.函数 y A sin(x ) B（A 0， 0），T ，。 3.函数 y A sin(x ) B（A 0， 0），当 y 取得最大值时，解析式中的 x ；当 y 取得最小值时，解析式中的 x ；当 y= B时， x 。
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利用图像求三角函数解析式
数学组
学习目标
1.掌握函数 y A sin(x ) B（A 0， 0）中 A, B, , 与图像的关系。 2.掌握如何利用图像求三角函数的解析式。

8
)

) 4.（2009宁夏海南卷理）已知函数 y sin(x （ 0,- ）的图像如图4所示,则
B. 11 ， - 6
10

C. 2， 6

【高中数学】三角函数中根据图象求解析式的几种方法

【高中数学】三角函数中根据图象求解析式的几种方法已知函数y ＝Asin(ωx+φ)+k(A ＞0，ω＞0)的部分图象，求其解析式，与用“五点法”作函数y ＝Asin(ωx+φ)＋ｋ的图象有着密切联系，最主要的是看图象上的“关键点”与“特殊点”．本文就一般情况例析如下．一、A 值的确定方法：A 等于图象中最高点的纵坐标减去最低点的纵坐标所得差的一半．二、 ω值的确定方法：方法１.在一个周期内的五个“关键点”中，若任知其中两点的横坐标，则可先求出周期Ｔ，然后据ω＝Tπ2求得ω的值．方法２：“特殊点坐标法”。

特殊点包括曲线与坐标轴的交点、最高点和最低点等。

在求出了A 与φ的值之后，可由特殊点的坐标来确定ω的值．三、 φ值的确定方法：方法１：“关键点对等法”．确定了ω的值之后，把已知图象上五个关键点之一的横坐标代人ωx+φ，它应与曲线ｙ＝sinx 上对应五点之一的横坐标相等，由此可求得φ的值．此法最主要的是找准“对等的关键点”，我们知道曲线y ＝sinx 在区间[0，2π]上的第一至第五个关键点的横坐标依次为0、2π、π、23π、2π,若设所给图象与曲线y=sinx 上对应五点的横坐标为x J (J ＝1,2,3,4,5), 则顺次有ωx 1+φ＝0、 ωx 2+φ＝2π、ωx 3+φ＝π、ωx 4+φ＝23π、ωx 5+φ＝2π,由此可求出φ的值。

方法2：“筛选选项法”，对于选择题，可根据图象的平移方向经过筛选选项来确定φ的值．方法3：“特殊点坐标法”．（与2中的方法2类同）．四、 k 值的确定方法： K 等于图象向上或向下平移的长度，图象上移时k 为正值，下移时k 为负值．另外A 、ω、φ的值还可以通过“解方程（组）法”来求得．例1.图1是函数ｙ＝2sin （ωx+φ）(ω＞０，φ≤2π)的图象，那么正确的是（）Ａ.ω＝1110, φ＝6π Ｂ．ω＝1110, φ＝－6π Ｃ．ω＝２，φ＝6π Ｄ．ω＝２，φ＝－6π, 解：可用“筛选选项法”．题设图象可看作由y ＝2sin ωx 的图象向左平移而得到，所以φ＞0排除B 和D ，由A,C 知φ＝6π；ω值的确定可用“关键点对等法”，图1因点（1211π,0）是“五点法”中的第五个点，∴ω·1211π+6π＝2π 解得ω＝２，故选C ．例2.图2是函数y ＝Asin(ωx+φ)图象上的一段,（A ＞0，ω＞0,φ∈（0，2π））,求该函数的解析式．解法一：观察图象易得A ＝2,∴T ＝2×（87π-83π）＝π，∴ω＝ππ2＝2. ∴y ＝2sin(2x+φ).下面用“关键点对等法”来求出图2φ的值,由2×83π+φ＝π（用“第三点”）得φ＝4π∴所求函数解析式为y ＝2sin(2x+4π)．说明：若用“第二点”，可由2×8π +φ＝2π求得φ的值；若用“第五点”，可由2×87π+φ＝2π求得φ的值．解法二：由解法一得到T= π，ω=2后，可用“解方程组法”求得φ与A 的值，∵点（0，2）及点（83π，0）在图象上， ∴ Asin φ＝2 (1)1211π1211πxy0 2-XY 2Asin(2×83π+φ)＝0 (2) 由(2)得 φ＝k π-43π(k ∈Z)，又φ∈（0，2π)， ∴只有K ＝1，得φ＝4π，代人（1）得A ＝2.∴所求函数解析式为 y ＝2sin(2x+4π)．例3.已知函数y ＝Asin(ωx+φ) (A ＞0，ω＞0, φ＜2π)图象上的一部分如图3所示，则必定有（）(A) A=-2 （B ）ω＝1 （C ）φ＝3π（D ）K ＝-2解：观察图象可知 A ＝2,k ＝2. ∴y ＝2sin(ωx+φ)+2 下面用“解方程组法”求φ与ω的值.∵ 图象过点（0，2+3）、（－6π，2） ∴ 2+3=2sin φ+2 图32=2sin(-6πω+φ)+2解得ω＝2，φ＝3π故选C.例4.如图4给出了函数y ＝Asin(ωx+φ)(A ＞0，ω＞0, φ ＜2π)图象的一段，求这个函数的解析式．解：由图象可知 T=2×(4-1)=6,∴ω＝62π＝3π，∴y ＝2sin （3πx +φ)下面用“特殊点坐标法”求φ，∵ 图象过点（1，2）∴2＝2sin(3π×1+φ)，又 φ ＜2π图４ｘ２＋3ｙ０４ 6π-２0 1 4 2xy∴只有φ＝6π∴所求函数解析式为y ＝2sin(3πx +6π).说明：本题φ的值也可由“关键点对等法”来求得，如令3π×1+φ＝2π 或3π×4+φ＝23π等均可求得φ的值．。

由三角函数图象求解析式

已知函数()f x =Acos(x ωϕ+)的图象如图所示，2()23f π=-，则(0)f =（）（A ）23-(B) 23 (C)－ 12 (D) 12【解析】选B.由图象可得最小正周期为2π3，于是f(0)＝f(2π3),注意到2π3与π2关于7π12对称，所以f(2π3)＝－f(π2)＝23.如果函数()cos 2y x φ＝3＋的图像关于点43π⎛⎫⎪⎝⎭，0中心对称，那么||ϕ的最小值为（）（A ）6π （B ）4π （C ）3π (D) 2π【解析】选A. Q 函数()cos 2y x φ＝3＋的图像关于点43π⎛⎫⎪⎝⎭，0中心对称 4232k ππφπ∴⋅+=+13()6k k Z πφπ∴=-∈由此易得min ||6πφ=. 已知函数y=sin （ωx+ϕ）（ω>0, -π≤ϕ<π）的图像如图所示，则 ϕ=________________【解析】由图可知，()544,,2,1255T x πωπϕ⎛⎫=∴=+ ⎪⎝⎭把代入y=sin 有： 89,510ππϕϕ⎛⎫+∴= ⎪⎝⎭1=sin已知函数()2sin()f x x ωφ=+的图像如图所示，则712f π⎛⎫=⎪⎝⎭。

【解析】由图象知最小正周期T ＝32（445ππ-）＝32π＝ωπ2，故ω＝3，又x ＝4π时，f （x ）＝0，即2φπ+⨯43sin(）＝0，可得4πφ=，所以，712f π⎛⎫=⎪⎝⎭2)41273sin(ππ+⨯＝0。

）已知函数()sin(),f x A x x R ωϕ=+∈（其中0,0,02A πωϕ>><<）的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为2π，且图象上一个最低点为2(,2)3M π-.(Ⅰ)求()f x 的解析式；（Ⅱ）当[,]122x ππ∈，求()f x 的值域.【解析】（1）由最低点为2(,2)3M π-得A=2.由x 轴上相邻的两个交点之间的距离为2π得2T =2π，即T π=，222T ππωπ===由点2(,2)3M π-在图像上得242sin(2)2,)133ππϕϕ⨯+=-+=-即sin(故42,32k k Z ππϕπ+=-∈ 1126k πϕπ∴=- 又(0,),,()2sin(2)266f x x πππϕϕ∈∴==+故（2）7[,],2[,]122636x x πππππ∈∴+∈Q 当26x π+=2π，即6x π=时，()f x 取得最大值2；当7266x ππ+=即2x π=时，()f x 取得最小值-1，故()f x 的值域为[-1,2]把函数y ＝cos(3x ＋4π)的图象适当变动就可以得到y ＝sin(－3x )的图象，这种变动可以是( )A.向右平移4π B.向左平移4π C.向右平移12π D.向左平移12π分析：三角函数图象变换问题的常规题型是：已知函数和变换方法，求变换后的函数或图象，此题是已知变换前后的函数，求变换方式的逆向型题目，解题的思路是将异名函数化为同名函数，且须x 的系数相同.解：∵y ＝cos(3x ＋4π)＝sin(4π－3x )＝sin ［－3(x －12π)］∴由y ＝sin ［－3(x -12π)］向左平移12π才能得到y ＝sin(－3x )的图象.答案：D4.将函数y ＝f (x )的图象沿x 轴向右平移3π，再保持图象上的纵坐标不变，而横坐标变为原来的2倍，得到的曲线与y ＝sin x 的图象相同，则y ＝f (x )是( )＝sin(2x ＋3π) ＝sin(2x －3π) ＝sin(2x ＋32π) ＝sin(2x －32π)分析：这是三角图象变换问题的又一类逆向型题，解题的思路是逆推法.解：y ＝f (x )可由y ＝sin x ，纵坐标不变，横坐标压缩为原来的1/2，得y =sin2x ;再沿x 轴向左平移3π得y ＝sin2(x ＋3π)，即f (x )＝sin(2x ＋32π).若函数f (x )＝sin2x ＋a cos2x 的图象关于直线x ＝－8π对称，则a ＝–1. 分析：这是已知函数图象的对称轴方程，求函数解析式中参数值的一类逆向型题，解题的关键是如何巧用对称性.解：∵x 1＝0，x 2＝－4π是定义域中关于x ＝－8π对称的两点 ∴f (0)＝f (－4π) 即0＋a ＝sin(－2π)＋a cos(－2π)∴a ＝－1若对任意实数a ，函数y ＝5sin(312+k πx －6π)(k ∈Ｎ)在区间［a ，a ＋3］上的值45出现不少于4次且不多于8次，则k 的值是( )或4 或3分析：这也是求函数解析式中参数值的逆向型题，解题的思路是：先求出与k 相关的周期T 的取值范围，再求k .解：∵T ＝3)3(,1263122=-++=+a a k k ππ又因每一周期内出现45值时有2次，出现4次取2个周期，出现45值8次应有4个周期.∴有4T ≥3且2T ≤3即得43≤T ≤23，∴43≤126+k ≤23 解得23≤k ≤27，∵k ∈Ｎ，∴k ＝2或3.巧求初相角求初相角是高中数学学习中的一个难点，怎样求初相角初相角有几个下面通过错解剖析，介绍四种方法.如图，它是函数y ＝A sin(ωx ＋ϕ)(A ＞0，ω＞0)，｜ϕ｜＜π的图象，由图中条件，写出该函数解析式. 错解：由图知：A ＝5由23252πππ=-=T 得T ＝3π，∴ω＝T π2＝32∴y ＝5sin(32x ＋ϕ)将(π，0)代入该式得：5sin(32π＋ϕ)＝0由sin(32π＋ϕ)＝0，得32π＋ϕ＝k πϕ＝k π－32π(k ∈Z )∵｜ϕ｜＜π，∴ϕ＝－32π或ϕ＝3π∴y ＝5sin(32x －32π)或y ＝5sin(32x ＋3π)分析：由题意可知，点(4π，5)在此函数的图象上，但在y ＝5sin(32x －32π)中，令x ＝4π，则y ＝5sin(6π－32π)＝5sin(－2π)＝－5，由此可知：y ＝5sin(32x －32π)不合题意.那么，问题出在哪里呢我们知道，已知三角函数值求角，在一个周期内一般总有两个解，只有在限定的范围内才能得出惟一解.正解一：(单调性法)∵点(π，0)在递减的那段曲线上∴32π＋ϕ∈［2π＋2k π，32π＋2k π］(k ∈Z ) 由sin(32π＋ϕ)＝0得32π＋ϕ＝2k π＋π∴ϕ＝2k π＋3π(k ∈Z )∵｜ϕ｜＜π，∴ϕ＝3π正解二：(最值点法)将最高点坐标(4π，5)代入y ＝5sin(32x ＋ϕ)得5sin(6π＋ϕ)＝5∴6π＋ϕ＝2k π＋2π ∴ϕ＝2k π＋3π (k ∈Z )取ϕ＝3π正解三：(起始点法)函数y ＝A sin(ωx ＋ϕ)的图象一般由“五点法”作出，而起始点的横坐标x 正是由ωx +ϕ=0解得的，故只要找出起始点横坐标x 0,就可以迅速求得角ϕ.由图象求得x 0=-2x,∴ϕ=-ωx 0=-32 (-2π)=3π. 正解四：(平移法)由图象知，将y =5sin(32x )的图象沿x 轴向左平移2π个单位，就得到本题图象，故所求函数为y ＝5sin 32(x ＋2π)，即y ＝5sin(32x ＋3π).【基础知识精讲】1.用五点法作y=Asin(ωx+φ)(ω＞0)的图像时，我们采用换元法，将ωx+φ看成y=sinx 中的x ，模仿y=sinx 的五点法来作.ωx 1+φ=0⇒x 1=-ωΦ,ωx 2+φ=2π⇒x 2=ωπΦ-2ωx 3=π⇒x 3=ωπΦ-,ωx 4+φ=23π⇒x 4=ωπΦ-23,ωx 5+φ=2π⇒x 5=ωπΦ-2.即五点(-ωΦ,0),(ωπΦ-2,A),( ωπΦ-,0).(ωπΦ-23,-A).(ωπΦ-2,0)2.函数y=Asin(ωx+φ)的图像与y=sinx 的图像关系.(1)振幅变换函数y=Asinx(A ＞0,且A ≠1)的图像，可以看作是y=sinx 图像上所有点的纵坐标伸长(A ＞1)或缩短(0＜A ＜1)到原来的A 倍(横坐标不变)而得到的.这种变换叫振幅变换，它实质上是纵向的伸缩.(2)周期变换函数y=sin ωx(ω＞0,且ω≠1)的图像，可以看作是把y=sinx 的图像上各点的横坐标都缩短(ω＞1)或伸长(0＜ω＜1)到原来的ω1倍(纵坐标不变)而得到的，由y=sinx 的图像变换为y=sin ωx 的图像，其周期由2π变ωπ2.这种变换叫做周期变换.它实质上是横向的伸缩.(3)相位变换函数y=sin(x+φ)(φ≠0)的图像，可以看作是把y=sinx 的图像上各点向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移｜φ｜个单位而得到的.这种由y=sinx 的图像变换为y=sin(x+φ)的图像的变换，使相位x 变为x+φ,我们称它为相位变换.它实质上是一种左右平移变换.应用振幅变换、周期变换、相位变换(左右平移变移)和上下平移变换可由y=sinx 的图像得到y=Asin(ωx+φ)+k 的图像.事实上，设f 、t 、h 分别表示相位变换，周期变换，振幅变换，则变换作图法共有以下不同的程序.(1)f →t →h;(2)f →g →t(3)t →h →f;(4)t →f →h;(5)h →f →t;(6)h →t →f=Asin(ωx+φ)(A ＞0，ω＞0)与振动在物理学中，y=Asin(ωt+φ)(A ＞0,ω＞0),其中t ∈［0，+∞)，表示简谐振动的运动方程.这时参数A ，ω，φ有如下物理意义.A 称为振幅，它表示振动时物体离开平衡位置的最大距离.T=ωπ2称为周期，它表示振动一次所需的时间(亦即函数y 的最小正周期).f=T = π2称为振动的频率，它表示单位时间内往复振动的次数，ωt+φ叫做相位，当t=0时的相位，即φ称为初相.4.函数图像的对称变换一个函数的图像经过适当的变换(例如对称、平移、伸缩等)得到与其图像有关函数的图像，叫做函数的初等变换.前面的平移、伸缩变换均属初等变换. 对称变换主要指下面几种：(1)函数y=-f(x)的图像与y=f(x)的图像关于x 轴对称. (2)函数y=f(-x)的图像与y=f(x)的图像关于y 轴对称. (3)函数y=f(-x)的图像与y=-f(x)的图像关于原点对称.(4)函数y=f -1(x)(或x=f(y))的图像与y=f(x)的图像关于直线y=x 对称. 【重点难点解析】重点：用“五点法”画函数y=Asin(ωx+φ)的简图及三角函数的图像变换. 难点：三角函数的图像变换.即由y=sinx 的图像变换到y=Asin(ωx+φ)的过程. 关键：理解A 、ω、φ的对图像变化所起的作用.例1 函数y=3cos(2x -4π)的图像可以由y=sinx 的图像经过怎样的变换得到解：y=3cos(2x -4π)=3sin ［2π+( 2x -4π)］=3sin(2x +4π).先将y=sinx 的图像向右平移4π个单位，得到y 1=sin(x+4π)的图像.再将y 1的图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到y 2=sin(2x +4π)的图像.再将y 2的图像上各点的纵坐标伸长到原来的3倍，就得到所求函数的图像.评析：这种图像变换的顺序通常是先作相位变换，再作周期变换，最后作振幅变换.本题中若将相位变换与周期变换的顺序交换，得到的结果将是y=3sin(2x +8π)而不是y=3sin(2+4).例2用五点法作出函数y=4sin(2x+3π)在一个周期内的简图.解：函数y=4sin(2x+3π)的振幅A=4，周期T=4π,令2x+3π=0,得初始值x0=-32π(初始值指图像由x轴下方向上经过x轴时的横截距).列表：2x+3π02ππ23π2πx-32π3π34π37π310πy040-40评注：注意到五点的横坐标是从x0开始，每次增加周期的4，即x i=x i-1+4(i=1,2,3,4)可简化x的五个值的运算.例3设三角函数f(x)=sin(5kx+3π)(k≠0).(1)写出f(x)的最大值M，最小值m和最小正周期T；(2)试求最小正整数k，使得当自变量x在任意两个整数间(包括整数本身)变化时，函数f(x)至少有一个值是M，一个值是m.解：(1)M=1,m=-1,T=52kπ=kπ10.(2)f(x)在它的每一个周期中都恰好有一个值是M 与一个值是m ，而任意两个整数间的距离都≥1，因此要使任意两个整数间函数f(x)至少有一个值是M 与一个值m ，必须且只须f(x)的周期≤1，即kπ10≤1,｜k ｜≥10π=,可见，k=32就是这样的最小整数.例4 已知正弦数y=Asin(ωx+φ)(其中A ＞0，ω＞0)的一个周期的图像如图所示，试求函数的解析式.分析：求函数的解析式，就是确定解析式中A ，ω，φ的值.由图像中三个已知点的坐标列出A ，ω，φ的方程组求解.若令X=ωx+φ,要注意x 0=-25π是初始值，对应于X=0,x=-π时对应于X=π.∴函数解析式为y=2sin(32x+35π).【难题巧解点拔】例1 指出将y=sinx 的图像变换为y=sin(2x+3π)的图像的两种方法.思路1 x →2x →2(x+6π)=2x+3π.解法 1 y=sinx 纵坐标不变横坐标缩短为原来的−−−−−−−−−−→−21y=sin2x −−−−−−−→−π单位向左平移6y=sin［2(x+6π)］=sin(2x+3π).思路2 x →x+3π→2x+3π.解法2y=sinx−−−−−−−→−π单位向左平移3y=sin(x+3π)纵坐标不变横坐标缩短为原来的−−−−−−−−−−→−21y=sin(2x+3π).说明：在解法1中，先伸缩，后平移.在解法2中，先平移，后伸缩.表面上看来，两种变换方法中的平移是不同的(即6π和3π)，但由于伸缩变换的影响，所以实质上都是一致的.例2 函数f(x)的横坐标伸长到原来的两倍，再向左平移2π个单位，所得到的曲线是y=21sinx 的图像，试求函数y=f(x)的解析式.分析：这个问题有两种解法，一是考虑以上变换的“逆变换”(所谓“逆变换”，即将以上变换倒过来，由y=21sinx 变换到y=f(x);二是代换法，即设y=Asin(ωx+φ),然后按题设中的变换分两步得：y=Asin ［2ω(x+2π)+φ］,它就是y=21sinx ，即可求得A 、ω、φ的值.解法1：问题即是将y=21sinx 的图像先向右平移2π个单位，得y=21sin(x-2π);再将横坐标压缩到原来的21，得y=21sin(2x-2π),即y=-21cos2x.这就是所求函数f(x)的解析式.例2 已知正弦函数y=Asin(ωx+φ)的一段曲线(如下图)，试求解析式.解：(1)因为A=3，T=π,ω=2,φ=-ωx 0=-2(-52π)=54π,所以y=3sin(2x+54π).(2)A=2,当x=0时，y=1,所以2sin φ=1,又｜φ｜＜2π，所以φ=4π,当x=1211π时，y=0，即2sin(ω·1211π+4π)=0,所以ω=1121,所以y=2sin(1121x+4π).评析：若已知曲线与x 轴的交点的坐标，先确定ω=T π2；若已知曲线与y 轴的交点的坐标，先确定φ；若先确定ω则有φ=-ωx 0,其中x 0是离y 轴最近的递增区间的中心点的横坐标.1.如图，是正弦函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A ＞0,ω＞0)的一个周期的图像.(1)写出f(x)的解析式；(2)若g(x)与f(x)的图像关于直线x=2对称，写出g(x)的解析式.2.试说明y=cosx 的图像经怎样的变换可得到y=3cos(3x+2π)+1的图像3.已知y=Asin(ωx+φ)(A ＞0,ω＞0,0＜φ＜π)的最小正周期为32π，最小值为-2，且过点(95π，0)，求它的表达式.1.已知f(x)=Asin(ωx+φ)(A ＞0,ω＞0,｜φ｜＜2π)的图像在y 轴上的截距为1，它在y 轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为(x 0，2)和(x 0+3π，-2).(Ⅰ)求f(x)的解析式；(Ⅱ)y=f(x)的图像上所有点的横坐标缩短到原来的31(纵坐标不变)，然后再将所得图像向x 轴正方向平移3个单位，得到函数y=g(x)的图像.写出函数y=g(x)的解析式并用列表作图的方法画出y=g(x)在长度为一个周期的闭区间上的图像.例2 右图为某三角函数图像的一段（1）试用y=Asin （ωx+φ)型函数表示其解析式；（2）求这个函数关于直线x=2π对称的函数解析式．解：（1）T= 13π3－ π3 =4π． ∴ω=2πT = 12 ．又A=3，由图象可知所给曲线是由y=3sin x 2沿x 轴向右平移 π3而得到的．∴解析式为 y=3sin 12 (x －π3)．(2)设（x ，y)为y=3sin(12 x －π6 ）关于直线x=2π对称的图像上的任意一点，则该点关于直线x=2π的对称点应为（4π－x ，y)，故与y=3sin(12 x －π6）关于直线x=2π对称的函数解析式是y=3sin ［12（4π－x)－ π6］=－3sin(12 x ＋π6）．点评 y=sin(ωx+φ)(ω＞0)的图象由y=sin ωx 的图象向左平移（φ＞0）或向右平移（φ＜0）|φ|ω个单位．特别要注意不能搞错平移的方向和平移的单位数量．求一个函数的图象关于一条直线对称图象的函数解析式时，要注意解几知识的运用．例1 求函数f(x)=sin 2x+2sinxcosx+3cos 2x 的最大值，并求出此时x 的值．分析由于f （x ）的表达式较复杂，需进行化简．解 y=sin 2x+cos 2x+sin2x+1+cos2x=sin2x+cos2x+2= 2 sin(2x+π4)+2当2x+π4=2k π+π2，即x=k π+π8 (k ∈Z)时，y max =2 +2 ．点评要熟练掌握y=asinx+bcosx 类型的三角函数最值的求法，asinx+bcosx= a 2+b 2 sin （x+φ）．例2 若θ∈［－π12, π12］，求函数y=cos(π4+θ）+sin2θ的最小值．分析在函数表达式中，含有两个角和两个三角函数名称，若能化成含有一个角和一个三角函数名称的式子，则问题可得到简化．解 y=cos(π4+θ)－cos ［2(θ+π4)］=cos(π4+θ)－［2cos 2(θ+π4)－1］=－2cos 2(θ+π4)+cos(π4+θ)+1 =－2［cos 2(θ+π4)－12cos(θ+π4)］+1=－2［cos(θ+π4)－14］2+98 ．∵θ∈［－π12, π12］， ∴θ＋π4∈［π6，π3］．∴12≤cos(θ+π4)≤ 3 2， ∴y 最小值 = 3 －12 ．点评（1）三角函数表达式转化成一个角的一个三角函数的形式（即f(sinx)或g(cosx))，是常见的转化目标；（2）形如y=f(sinx)或y=g(cosx)的最值，常运用sinx ，cosx 的有界性，通过换元转化成y=at 2+bt+c 在某区间上的最值问题；（3）对于y= Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)的最值的求法，应先求出t=ωx+φ的值域，然后再由y=Asint 和y=Acost 的单调性求出最值．例3 试求函数y=sinx+cosx+2sinxcosx+2的最大值和最小值．分析由于sinx+cosx 与sinxcosx 可以相互表示，所以令sinx+cosx=t ，则原三角函数的最值问题转化成y=at 2+bt+c 在某区间上的最值问题．解令t=sinx+cosx ，则y=t+t 2+1=(t+12)2+34，且t ∈［－ 2 ， 2 ］，∴y min =34 ，y max =3+ 2 ．点评注意sinx+cosx 与sinxcosx 的关系，运用换元法将原三角函数的最值问题转化成y=at 2+bt+c 在某个区间上的最值问题．【知能集成】较复杂的三角函数的最值问题，往往通过需要恒等变形，转化成形如y=f(sinx)或y=g(cosx)型或y= Asin(ωx+φ)+k 型的三角函数的最值问题，运用三角函数的有界性、单调性求三角函数的最值．用换元法解题，特别要注意sinx+tcosx 与sinxcosx 的关系，令sinx+cosx=t ，则sinxcosx=t 2－12 ．y=sinxcosx+sinx+cosx ，求x ∈［0， π3］时函数y 的最大值。

三角函数解析式的求法教师版

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令 f (0) = 50sin + 60 = 10 ，得 sin = −1 ；
又 [− ， ] ，所以 = − ；
2 所以函数 y = 50sin( 2 t − ) + 60 ．
32 故选： C ．
变式 1. 如图, 一个大风车的半径长为 8m , 每12 min 旋转一周, 最低点离地面为 2m . 若风车翼片从如图所示的点 P0 处按逆时针方向开始旋转,已知点 P0 离地面 6m ，则该翼片的端点离地面的距离 y(m) 与时间 x(min) 之间的函数关系是
故所得图象对应的函数为 g(x) = sin(2x + ) + 1， 3
则 g(0) = sin(0 + ) +1 = 1 + 3 ，
3
2
故选： A ．
变式 1 ．函数 f (x) = cos(x + )( 0,| | ) 的部分图象如图所示，则函数 2
A． y = 2sin(1 x + ) 66
B． y = 2sin(1 x − ) 36
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C． y = 2cos(1 x + ) 33
【答案】B
D． y = 2cos(1 x − ) 63
【解答】解：由图象可知，得函数的周期T = 4 (3.5 − 2 ) = 6 ，
3
3
故选： D ．
变式 3．已知函数 f (x) = Asin(x + )(A 0 ， 0 ，| | ) 在一个周期内的简图如图所示， 2
则方程 f (x) = m(m 为常数且1 m 2) 在[0 ， ] 内所有解的和为 ( )

三角函数解析式的求法

函数y ＝Asin (ωx ＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用‖知识梳理‖ 1．y ＝Asin (ωx ＋φ)的有关概念 T ＝2πωωx ＋φ用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：3.| 微点提醒 |1．由y ＝sin ωx 到y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移φω个单位长度而非φ个单位长度．2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴由ωx ＋φ＝k π＋π2，k ∈Z 确定；对称中心由ωx ＋φ＝k π，k∈Z 确定其横坐标．‖易错辨析‖判断下列结论是否正确(请在括号中打”√”或“×”)(1)把y ＝sin x 的图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，所得图象对应的函数解析式为y ＝sin 12x .(×)(2)将y ＝sin2x 的图象向右平移π3个单位长度，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象．(×) (3)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ≠0)的最大值为A ，最小值为－A .(×)(4)如果y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.(√) (5)若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则φ＝2k π＋π2(k ∈Z )．(×)‖自主测评‖1．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的振幅、频率和初相分别为( ) A ．2，1π，π4B ．2，12π，π4C ．2，1π，π8D ．2，12π，－π8解析：选A 由振幅、频率和初相的定义可知，函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的振幅为2，频率为1π，初相为π4.2．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π上的简图是( )解析：选A 当x ＝0时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π3＝－32，排除B 、D ；当x ＝π6时，y ＝0，排除C ，故选A.3．(教材改编题)为了得到函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x －π5的图象，只需将y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π5的图象上的所有点( )A ．向左平移π5个单位长度B ．向右平移π5个单位长度C ．向左平移2π5个单位长度D ．向右平移2π5个单位长度解析：选D 因为y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x －π5＝3sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x ＋π5－2π5，故选D. 4．用五点法作函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6在一个周期内的图象时，主要确定的五个点是________、________、________、________、________.答案：⎝⎛⎭⎫π6，0 ⎝⎛⎭⎫2π3，1 ⎝⎛⎭⎫7π6，0 ⎝⎛⎭⎫5π3，－1 ⎝⎛⎭⎫13π6，0 5．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象如图所示，则ω＝________.解析：由题图可知，T 4＝2π3－π3＝π3，即T ＝4π3，所以2πω＝4π3，故ω＝32.答案：32………考点一函数y ＝Asin (ωx ＋φ)的图象及变换………|重点保分型|…………|研透典例|【典例】某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图象．若y ＝g (x )图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫5π12，0，求θ的最小值； (3)作出函数f (x )在长度为一个周期的闭区间上的图象．[解] (1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6，数据补全如下表：且函数解析式为f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. (2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，则g (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2θ－π6. 因为函数y ＝sin x 图象的对称中心为(k π，0)，k ∈Z . 令2x ＋2θ－π6＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π2＋π12－θ，k ∈Z .由于函数y ＝g (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫5π12，0成中心对称，所以令k π2＋π12－θ＝5π12，解得θ＝k π2－π3，k ∈Z .由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6.(3)由数据作出的图象如图所示：『名师点津』………………………………………………|品名师指点迷津| 1.函数y ＝Asin (ωx ＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种作法(1)五点法：用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．(2)图象变换法：由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，有两种主要途径“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”． 2．三角函数图象的左右平移时应注意的三点(1)弄清楚平移方向，平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象．(2)注意平移前后两个函数的名称一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数．(3)由y ＝A sin ωx 的图象得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象时，需平移的单位数应为⎪⎪⎪⎪φω而不是|φ|. [提醒]y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象横向伸缩规律，可联系周期计算公式T ＝2π|ω|进行记忆；纵向伸缩规律，可联系函数的最值进行记忆．|变式训练|1．(2018届河南豫南九校联考)将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移π6个单位，则所得函数图象的解析式为( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2－5π24 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π3 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2－5π12D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －7π12 解析：选B 函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4经伸长变换得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π4，再作平移变换得y ＝sin ⎣⎡⎦⎤12⎝⎛⎭⎫x －π6－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π3. 2．(2019届南昌模拟)函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象可以由函数y ＝cos2x 的图象( ) A ．向右平移π6个单位长度得到B ．向右平移π3个单位长度得到C ．向左平移π6个单位长度得到D ．向左平移π3个单位长度得到解析：选A 将函数y ＝cos2x 的图象向右平移π4个单位长度，可得函数y ＝sin2x 的图象，再将y ＝sin2x 的图象向左平移π12个单位长度，可得函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象，综上可得，函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象可以由函数y ＝cos2x 的图象向右平移π6个单位长度得到，故选A. 3．(2019届石家庄质量检测)若ω>0，函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3的图象向右平移π3个单位长度后与函数y ＝sin ωx 的图象重合，则ω的最小值为________．解析：将函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3的图象向右平移π3个单位长度，得y ＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx －ωπ3＋π3的图象．因为所得函数图象与y ＝sin ωx 的图象重合，所以－ωπ3＋π3＝3π2＋2k π(k ∈Z )，解得ω＝－72－6k (k∈Z )，因为ω>0，所以当k ＝－1时，ω取得最小值52.答案：52………考点二由图象确定y ＝Asin (ωx ＋φ)的解析式…………|重点保分型|………|研透典例|【典例】 (1)(2018届兰州诊断考试)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，若x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝( )A.12 B.22C.32D ．1(2)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，x ∈R ，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为f (x )＝________.[解析] (1)由题图知，T 2＝π2，即T ＝π，则ω＝2，所以f (x )＝sin(2x ＋φ)，因为点⎝⎛⎭⎫π3，0在函数f (x )的图象上，所以sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋φ＝0，即2π3＋φ＝2k π＋π，k ∈Z ，所以φ＝2k π＋π3，k ∈Z ，又|φ|<π2，所以φ＝π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，因为x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，所以x 1＋x 22＝π12，所以x 1＋x 2＝π6，所以f (x 1＋x 2)＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋π3＝32. (2)由题图可知，函数的最大值为A ＋B ＝3，最小值为－A ＋B ＝－1，解得A ＝2，B ＝1. 函数的最小正周期为T ＝2×⎣⎡⎦⎤5π12－(－π12)＝π，由2πω＝π，解得ω＝2. 由f ⎝⎛⎭⎫－π12＝2sin ⎣⎡⎦⎤2×⎝⎛⎭⎫－π12＋φ＋1＝－1，得sin ⎝⎛⎭⎫φ－π6＝－1，故φ－π6＝2k π－π2(k ∈Z )，解得φ＝ 2k π－π3(k ∈Z )，又因为|φ|<π，所以φ＝－π3.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1. [答案] (1)C (2)2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1 『名师点津』………………………………………………|品名师指点迷津| 确定y ＝Asin (ωx ＋φ)＋b (A>0，ω>0)的步骤和方法(1)求A ，b ：确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m 2，b ＝M ＋m2.(2)求ω：确定函数的最小正周期T ，则可得ω＝2πT .(3)求φ：常用的方法有①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：“最大值点”(即图象的“峰点”)时ωx ＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ；“最小值点”(即图象的“谷点”)时ωx ＋φ＝3π2＋2k π，k ∈Z .|变式训练|1．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则f ⎝⎛⎭⎫11π24的值为( )A ．－62B ．－32C ．－22D ．－1解析：选D 由图象可得A ＝2，最小正周期T ＝4×⎝⎛⎭⎫7π12－π3＝π，则ω＝2πT ＝2.又f ⎝⎛⎭⎫7π12＝2sin ⎝⎛⎭⎫7π6＋φ＝－2，得φ＝π3，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，f ⎝⎛⎭⎫11π24＝2sin ⎝⎛⎭⎫11π12＋π3＝2sin 5π4＝－1，选项D 正确．2．已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的图象如图所示，f ⎝⎛⎭⎫π2＝－23，则f ⎝⎛⎭⎫－π6＝( )A ．－23B ．－12C.23D.12解析：选A 由题图知T 2＝11π12－7π12＝π3，所以T ＝2π3，即ω＝3，当x ＝7π12时，y ＝0，即3×7π12＋φ＝2k π－π2，k ∈Z ，所以φ＝2k π－9π4，k ∈Z ，即k ＝1时，φ＝－π4，所以f (x )＝A cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4. 即A cos ⎝⎛⎭⎫3π2－π4＝－23，得A ＝223，所以f (x )＝223cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4，故f ⎝⎛⎭⎫－π6＝223cos ⎝⎛⎭⎫－π2－π4＝－23. …………考点三三角函数图象与性质的应用……………|多维探究型|……………|多角探明|角度一三角函数模型的实际应用【例1】某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎣⎡⎦⎤π6(x －6)(x ＝1,2，3，…，12)来表示，已知6月份的平均气温最高，为28 ℃，12月份的平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温值为________ ℃. [解析] 依题意知，a ＝28＋182＝23，A ＝28－182＝5，所以y ＝23＋5cos ⎣⎡⎦⎤π6(x －6)，当x ＝10时，y ＝23＋5cos ⎝⎛⎭⎫π6×4＝20.5. [答案] 20.5角度二与三角函数有关的零点(方程根)问题【例2】已知关于x 的方程2sin 2x －3sin2x ＋m －1＝0在⎝⎛⎭⎫π2，π上有两个不同的实数根，则m 的取值范围是________．[解析] 方程2sin 2x －3sin2x ＋m －1＝0可转化为m ＝1－2sin 2x ＋3sin2x ＝cos2x ＋3sin2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π. 设2x ＋π6＝t ，则t ∈⎝⎛⎭⎫76π，136π，所以题目条件可转化为m2＝sin t ，t ∈⎝⎛⎭⎫76π，136π有两个不同的实数根．所以y ＝m2和y ＝sin t ，t ∈⎝⎛⎭⎫76π，136π的图象有两个不同交点，如图：由图象观察知，m2的取值范围为⎝⎛⎭⎫－1，－12，故m 的取值范围是(－2，－1)．[答案] (－2，－1)角度三三角函数的图象与性质的综合问题【例3】已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π3(ω>0)的图象与x 轴相邻两个交点的距离为π2. (1)求函数f (x )的解析式；(2)若将f (x )的图象向左平移m (m >0)个单位长度得到函数g (x )的图象恰好经过点⎝⎛⎭⎫－π3，0，求当m 取得最小值时，g (x )在⎣⎡⎦⎤－π6，7π12上的单调递增区间． [解] (1)函数f (x )的图象与x 轴相邻两个交点的距离为π2，得函数f (x )的最小正周期为T ＝2×π2＝2π2ω，得ω＝1，故函数f (x )的解析式为f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. (2)将f (x )的图象向左平移m (m >0)个单位长度得到函数g (x )＝ 3 s in ⎣⎡⎦⎤2(x ＋m )＋π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2m ＋π3的图象，根据g (x )的图象恰好经过点⎝⎛⎭⎫－π3，0，可得3sin ⎝⎛⎭⎫－2π3＋2m ＋π3＝0，即sin ⎝⎛⎭⎫2m －π3＝0，所以2m －π3＝k π(k ∈Z )，m ＝k π2＋π6(k ∈Z )，因为m >0，所以当k ＝0时，m 取得最小值，且最小值为π6.此时，g (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3. 因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，7π12，所以2x ＋2π3∈⎣⎡⎦⎤π3，11π6. 当2x ＋2π3∈⎣⎡⎦⎤π3，π2，即x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，－π12时，g (x )单调递增，当2x ＋2π3∈⎣⎡⎦⎤3π2，11π6，即x ∈⎣⎡⎦⎤5π12，7π12时，g (x )单调递增．综上，g (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，7π12上的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π6，－π12和⎣⎡⎦⎤5π12， 7π12. 『名师点津』………………………………………………|品名师指点迷津|(1)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题：二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立数学模型，再利用三角函数的有关知识解决问题． (2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．(3)研究y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质时可将ωx ＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．|变式训练|1．已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π3，其中x ∈⎣⎡⎦⎤π6，m ，若f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－1，－32，则m 的取值范围是________．解析：画出函数的图象．由x ∈⎣⎡⎦⎤π6，m ，可知5π6≤3x ＋π3≤3m ＋π3，因为f ⎝⎛⎭⎫π6＝cos 5π6＝－32且f ⎝⎛⎭⎫2π9＝cosπ＝－1，要使f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－1，－32，只要2π9≤m ≤5π18，即m ∈⎣⎡⎦⎤2π9，5π18. 答案：⎣⎡⎦⎤2π9，5π182．已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6＋a (ω>0)图象上最高点的纵坐标为2，且图象上相邻两个最高点的距离为π. (1)求a 和ω的值；(2)求函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间．解：(1)f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6＋a ＝4cos ωx ·⎝⎛⎭⎫32sin ωx ＋12cos ωx ＋a ＝23sin ωx cos ωx ＋2cos 2ωx －1＋1＋a ＝3sin2ωx ＋cos2ωx ＋1＋a ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6＋1＋a . 当sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6＝1时，f (x )取得最大值2＋1＋a ＝3＋a ，又f (x )图象上最高点的纵坐标为2，所以3＋a ＝2，所以a ＝－1.又f (x )图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f (x )的最小正周期T ＝π，所以2ω＝2πT ＝2，所以ω＝1.(2)由(1)得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，由π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z . 令k ＝0，得π6≤x ≤2π3，所以函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤π6，2π3. 核心素养系列数学建模——三角函数中的实际问题【典例】已知某海滨浴场的海浪高度y (米)是时间t (0≤t ≤24，单位：小时)的函数，记作y ＝f (t )．下表是某日各时的浪高数据：t (小时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y (米)1.51.00.51.01.51.00.50.991.5数据，(1)求函数f (t )的解析式；(2)求一日(持续24小时)内，该海滨浴场的海浪高度超过1.25米的时间．[解] (1)由表格得⎩⎪⎨⎪⎧A ＋b ＝1.5，－A ＋b ＝0.5，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝12，b ＝1，又因为T ＝12，所以ω＝2π12＝π6，故y ＝f (t )＝12cos π6t ＋1.(2)由题意，令12cos π6t ＋1>1.25，即cos π6t >12，又因为t ∈[0,24]，所以π6t ∈[0,4π]，故0≤π6t <π3或5π3<π6t ≤2π，或2π<π6t <2π＋π3或2π＋5π3<π6t ≤2π＋2π，即0≤t<2或10<t≤12或12<t<14或22<t≤24，所以在一日内该海滨浴场的海浪高度超过1.25米的时间为8小时．[点评]数学建模是通过计算得到结果来解释实际问题，并接受实际的检验，具体来讲，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并“解决”实际问题的一种强有力的数学手段．。

由三角函数图像求解析式(适合讲课使用)

3
y 2
0 )的部分图像。
5 6

6
x
o
-2
求函数的振幅；
y 3
o
2 3
x
6
-3
一般可由图象上的最大值、最小值来确定|A|.
学习新知
探究二
问题2 .如图是函数 y 2 sin( x )( 0 )的部分图像。 3 y (1)求函数的周期；
y 2
7 12
如何确定的值

问题3 .如图是函数 y 2 sin( 2 x )( < ) 2 y 的部分图像 , 求的值。 2 y
2

6 7 12
x
o x o -2

-2
题型三
由函数的图象确定函数解析式
【例 3】 (1)函数 y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图①，则其一个函数解析式为________．
2k ,k Z 6 2
即A( ,2 )代入y A sin( x ),得 12 2 2 sin( ) 6
3
例5 : 图中曲线是函数y A sin( x )的图像的一部分，求这个函数的解析式。
2 1 O x0 Y A
21
走
进高考
2 f( ) f ( x) =Acos( x )的图象如图所示， 2 3，则
2009辽宁卷理
已知函数
w.w.
f (0)
=（） 2 （A）（B）（C）（D）
3 2 3

1 2
1 2
当
堂检测堂检测
1.(2009辽宁卷文)已知函数 f ( x) sin( x )( 0) 的图象如图1所示，则

利用图像求解三角函数解析式-解析版

利用图像求解三角函数解析式第I 卷（选择题）一、单选题1．已知函数()sin()f x x ωϕ=+0,||2πωϕ⎛⎫><⎪⎝⎭的图象如图所示，则（）A ．函数()f x 的最小正周期是2πB ．函数()f x 在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 C ．函数()f x 在区间34,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是1- D ．曲线12y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭关于直线2x π=-对称【答案】C 【分析】根据函数图象求出函数解析式，再结合选项一一判断即可；【详解】解：由函数图象可知541264T πππ=-=，所以T π=，因为2T ππω==，所以最小正周期为π，所以2ω=，故A 错误；又函数过点5,112π⎛⎫⎪⎝⎭，所以55sin 211212f ππϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以52,62k k Z ππϕπ+=+∈，解得2,3k k Z πϕπ=-+∈，因为||2ϕπ<，所以3πϕ=-，所以()sin 23πf x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，当,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以252,333πππx ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，因为sin y x =在25,33x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭上不单调，故B 错误；当34,43πx π∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以,267733x πππ⎡⎤⎢⎥⎣∈⎦-，所以sin 23x π⎡⎛⎫-∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦，故C 正确；s s 2i in 2112n 236y f x x x ππππ⎛⎫⎡⎤⎛⎫=+=+=⎪⎛⎫- ⎪ ⎝- ⎪⎢⎭⎝⎭⎝⎣⎦⎭⎥，当2x π=-时，116in2s y π=≠±=，故2x π=-不是函数12y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的对称轴，故D 错误故选：C2．函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，0>ω，||)2πϕ<的图象如图所示，为了得到()f x 的图象，只需将()sin g x A x ω=图象（）A ．向左平移4π个单位长度 B ．向右平移4π个单位长度 C ．向左平移12π个单位长度 D ．向右平移12π个单位长度【答案】C 【分析】根据图象最值可得1A =，求出周期，即可得出ω，将,04π⎛⎫⎪⎝⎭代入可求得ϕ，即可得出结论. 【详解】根据函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，0>ω，||)2πϕ<的图象，可得1A =，15141246T ππ=-=，即23T =，2323πω∴==．将,04π⎛⎫⎪⎝⎭代入，可得()sin(3)044f ππϕ=⨯+=，则3,4k k Z πϕπ⨯+=∈，3,4k k Z πϕπ∴=-∈，又||2ϕπ<，4πϕ∴=，故()sin(3)4f x x π=+．故把()sin3g x x =图象向左平移12π个单位长度，即可得到()sin(3)4f x x π=+的图象.故选：C ．【点睛】方法点睛：根据三角函数()()sin f x A x =+ωϕ部分图象求解析式的方法：（1）根据图象的最值可求出A ；（2）求出函数的周期，利用2T πω=求出ω；（3）取点代入函数可求得ϕ. 3．设函数()()cos 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，在[],ππ-上的图象大致如图，将该图象向右平移()0m m >个单位后所得图象关于直线6x π=对称，则m 的最小值为（）A ．4π B ．29π C ．518π D ．3π 【答案】C 【分析】根据五点作图法可构造方程求得ω，得到()f x ；由三角函数平移变换可求得平移后解析式，利用代入检验的方法，根据图象关于6x π=可构造方程求得m ，由此确定最小值.【详解】根据五点法作图知：4962πππω-+=-，解得：32ω=，()3cos 26f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭；将()f x 向右平移m 个单位得：()33cos 262f x m x m π⎛⎫-=+-⎪⎝⎭，()f x m -图象关于6x π=对称，()332662m k k Z πππ∴⨯+-=∈，解得：()52183m k k Z ππ=-∈，由0m >，可令0k =得m 的最小值518π. 故选：C. 【点睛】方法点睛：根据余弦型函数()cos y A x ωϕ=+的对称轴、对称中心和单调区间求解参数值时，通常采用代入检验的方式，即将x 的取值代入x ωϕ+，整体对应cos y x =的对称轴、对称中心和单调区间，由此求得结果. 4．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(0,0,||)2A πωϕ>><的部分图象如图所示，为了得到g (x )＝sin 3x 的图象，则只要将f (x )的图象（）A ．向右平移4π个单位长度B ．向右平移12π个单位长度C ．向左平移4π个单位长度D ．向左平移12π个单位长度【答案】B 【分析】根据函数的图象可以得到函数图象所经过的特殊点，进而可以确定函数的解析式，最后利用正弦型函数的图象变换方法进行求解即可. 【详解】由函数的图象可知：函数的图象过5(,0),(,1)412ππ-这两点，设函数()f x 的最小正周期为T ，所以有：15241243T T πππ=-⇒=，而23,0,3T πωωωω=⇒=>∴=，所以()()sin 3f x x ϕ=+，因为函数图象过(,0)4π点，所以32()2()44k k Z k k Z ππϕππϕπ⋅+=+∈⇒=+∈，因为π2ϕ<，所以0k =，即4πϕ=，因此()sin 34f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，而()sin 3sin 3412f x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因此为了得到()sin3g x x =的图象，只需将()f x 的图像向右平移π12个单位长度即可；故选：B5．如图，图象对应的函数解析式可能是（）A ．cos sin y x x x =+B ．sin cos y x x x =+C ．sin y x x =D ．cos y x x =【答案】A 【分析】分析各选项中函数的奇偶性、及各函数在2x π=处的函数值，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】对于A 选项，设()1cos sin f x x x x =+，该函数的定义域为R ，()()()()()11cos sin cos sin cos sin f x x x x x x x x x x f x -=--+-=--=-+=-，该函数为奇函数，且1cos sin 102222f ππππ⎛⎫=+=> ⎪⎝⎭，满足条件；对于B 选项，设()2sin cos f x x x x =+，该函数的定义域为R ，()()()()22sin cos sin cos f x x x x x x x f x -=--+-=+=，该函数为偶函数，不满足条件；对于C 选项，设()3sin f x x x =，该函数的定义域为R ，()()()33sin sin f x x x x x f x -=--==，该函数为偶函数，不满足条件；对于D 选项，设()4cos f x x x =，该函数的定义域为R ，()()()44cos cos f x x x x x f x -=--=-=-，该函数为奇函数，4cos 0222f πππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，不满足条件.故选：A. 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；（2）从函数的值域，判断图象的上下位置．（3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（5）函数的特征点，排除不合要求的图象. 6．将函数1()sin(2)123f x x π=++的图象向右平移（）个单位后，再进行周期变换可以得到如图所示的图象.A ．12πB ．6πC ．3π D ．4π 【答案】B 【分析】设图象对应的函数为()sin y A x B ωϕ=++，根据图象最值可求得,A B ，根据周期可求得ω，将()0,1代入可求得ϕ，进而得出解析式，判断出结论. 【详解】设图象对应的函数为()sin y A x B ωϕ=++，根据函数的图象可得 1.510.5A =-=，240T πω==-，则2πω=，1.50.512B +==，即1sin 122y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，将()0,1代入可得1sin 112ϕ+=，可解得0ϕ=，故所给的图为1sin 122y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，故将函数1()sin(2)123f x x π=++的图象向右平移6π个单位后，再进行周期变换可以得到如图所示的图象. 故选：B ．【点睛】方法点睛：根据三角函数()()sin f x A x =+ωϕ部分图象求解析式的方法：（1）根据图象的最值可求出A ；（2）求出函数的周期，利用2T πω=求出ω；（3）取点代入函数可求得ϕ.7．已知函数()sin()(0,)2f x A x A πωϕϕ=+><的图像如图所示，且()f x 的图像关于点()0,0x 对称，则0x 的最小值为（）A ．23πB ．6π C ．3π D ．56π 【答案】B 【分析】先由函数图像求出函数()2sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，再根据函数关于()0,0x 对称求出06x k ππ=-，从而当0k =时，0x 取得最小值为6π. 【详解】由题可知4112,2363A T πππ⎛⎫==⨯-= ⎪⎝⎭21Tπω∴== 则()()2sin ,2sin 233f x x f ππϕϕ⎛⎫⎛⎫=+=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭232k ππϕπ∴+=+又2πϕ<6πϕ∴=()2sin 6f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭由()f x 的图像关于点()0,0x 对称，可得0066x k x k ππππ+=∴=-，∴当0k =时，0x 取得最小值为6π故选：B 【点睛】已知f (x )＝Asin (ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法： (1)由ω＝2Tπ即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x 0，则令ωx 0＋φ＝0(或ωx 0＋φ＝π)，即可求出φ.(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A ，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.8．已知函数f （x ）=Atan （ωx+φ）（ω＞1，|φ|＜），y=f （x ）的部分图象如图，则f（）=A ．B ．C ．D ．【答案】B 【详解】试题分析：根据函数的图象，求出函数的周期，然后求出ω，根据函数过（0.1），过（），确定φ的值，A 的值，求出函数的解析式，然后求出即可．解：由题意可知T=，所以ω=2，函数的解析式为：f （x ）=Atan （2x+φ），因为函数过（0，1），所以，1=Atanφ…①，函数过（），0=Atan （+φ）…①，解得：φ=，A=1．①f （x ）=tan （2x+）．则f （）=tan （）=故选B ．考点：由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式．9．如图，函数sin f x A x ωϕ=+（）（）（其中00||2A ωϕπ≤＞，＞，）与坐标轴的三个交点P Q R 、、满足204P PQR M π∠=(，)，，为QR 的中点，PM =A 的值为（）A．BC ．8D ．16【答案】A 【分析】由题意设出(20)0Q a a ,＞，用a 表示出R 点坐标以及M 点坐标，根据PM =，利用距离公式求出Q 坐标，通过五点法求出函数的解析式，即可求出A ．【详解】解：设(2,0),0Q a a >，函数()sin(x+)f x A ϖϕ=（其中0,0,||2A πωφ>>≤）与坐标轴的三个交点P Q R 、、满足4PQR π∠=，∴(0,2a)R -，M 为QR 的中点，∴(,)M a a -，PM =，=解得4a =，80Q ∴（，），又20P （，），18262T ∴=-=， 2T 12πω∴==，解得6π=ω．函数经过(20)(08)P R -，，，，∴sin 206 sin 086A A πϕπϕ⎧⎛⎫⨯+= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪⨯+=- ⎪⎪⎝⎭⎩，||2πϕ≤，,3πϕ∴=-，解得A =，故选A ．【点睛】本题考查由sin x y A ωϕ=+（）的部分图象确定其解析式，求得Q 点与P 点的坐标是关键，考查识图、运算与求解能力，属于中档题．二、多选题10．函数()()()2sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的图象如图，把函数()f x 的图象上所有的点向右平移6π个单位长度，可得到函数()y g x =的图象，下列结论正确的是（）A ．3πϕ=B ．函数()g x 的最小正周期为πC ．函数()g x 在区间,312ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 D ．函数()g x 关于点,03π⎛-⎫⎪⎝⎭中心对称【答案】BC 【分析】根据图象先分析出ω的取值范围，然后根据()0f =ϕ的可取值，然后分类讨论ϕ的可取值是否成立，由此确定出,ωϕ的取值，则A 可判断；根据图象平移确定出()g x 的解析式，利用最小正周期的计算公式，则B 可判断；先求解出()g x 的单调递增区间，然后根据k 的取值确定出,312ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦是否为单调递增区间，则C 可判断；根据3g π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值是否为0判断D 是否正确. 【详解】由图可知：1112113124T T ππ⎧<⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，所以11211129πππω<<，所以18241111ω<<，又因为()02sin f ϕ==0ϕπ<<，所以3πϕ=或23ϕπ=，又因为11112sin 21212f ππωϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以112,122k k Z ππωϕπ+=+∈，又因为113,2122ππωπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以113,3122ππωϕπ⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1k =，当3πϕ=时，1113126πωπ=，解得2611ω=，这与18241111ω<<矛盾，不符合；当23ϕπ=时，1111126πωπ=，解得2ω=，满足条件，所以()22sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()22sin 22sin 2633g x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， A ．由上可知A 错误；B ．因为()2sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()g x 的最小正周期为2=2ππ，故B 正确； C ．令222,232k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，所以5,1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈，令0k =，此时单调递增区间为5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，且5,,3121212ππππ⎡⎤⎡⎤-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故C 正确； D．因为2sin 20333g πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯-+=≠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以,03π⎛-⎫ ⎪⎝⎭不是对称中心，故D 错误；故选：BC. 【点睛】方法点睛：已知函数()()sin g x A x ωϕ=+()0ω>，若求函数()g x 的单调递增区间，则令ππ2π2π22k x k ωϕ-<+<+，Z k ∈；若求函数()g x 的单调递减区间，则令π3π2π2π22k x k ωϕ+<+<+，Z k ∈；若求函数()g x 图象的对称轴，则令ππ2x k ωϕ+=+，Z k ∈；若求函数()g x 图象的对称中心或零点，则令πx k ωϕ+=，Z k ∈． 11．已知函数()()sin f x A x =+ωϕπ0,0,2A ωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则下列说法正确的是（）A ．()f x 的最小正周期的最大值为2πB ．当ω最小时，()f x 在π3π,24⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 C ．π3ϕ=-D ．当ω最小时，直线2π3x =是()f x 图像的一条对称轴【答案】BC 【分析】由给出的函数图像，求出函数解析式，结合函数性质一一分析即可. 【详解】由题图得1A =. 因为()30sin 2f ϕ==-，又π2ϕ<，所以π3ϕ=-.由πππsin 0333f ω⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=⨯--= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即ππsin 033ω⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦，得πππ2π33k ω+=+，Z k ∈，即26k ω=+，Z k ∈，又>0ω，所以min 2ω=，所以()f x 的最小正周期的最大值为π，故A 错误，C 正确；取2ω=，则()πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当π3π,24x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，令π23t x =-，则2π7π,36t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，因为sin y t =在2π7π,36⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以()f x 在π3π,24⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故B 正确；2π2ππsin 2sin π0333f ⎛⎫⎛⎫=⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以直线2π3x =不是()f x 图像的一条对称轴，故D 错误. 故选：BC. 【点睛】方法点睛：整体法求一般三角函数单调区间及对称性等相关问题.12．若函数1()sin()(0,0,0)22f x A x A ωϕωϕπ=+>><<在一个周期内的图象如图所示，则（）A ．()2sin 23()3f x x π=+B ．()f x 的图象的一个对称中心为7(,0)2π- C ．()f x 的单调递增区间是5[3,3]44k k πππ-π-，k Z ∈ D ．把π()2sin()3g x x =+的图象上所有点的横坐标变为原来的23，纵坐标不变，可得()f x 的图象【答案】AB 【分析】根据图像求出()f x 的解析式，借助于正弦函数的性质一一验证：对于A ，根据图像求出()f x 的解析式进行判断；对于B ，利用代入法进行判断；对于C ，求出单增区间进行判断；对于D ，利用图像变换判断. 【详解】由题图可知2A =，函数()f x 的最小正周期4()34T π=⨯π-=π，故24312T ωωππ===π，解得43ω=，所以2()2sin()3f x x ϕ=+，又函数()f x 的图象经过点(,2)4π，所以()2sin(2)2434f ϕππ=⨯+=，即sin()16πϕ+=，因为02πϕ<<，所以2663ϕπππ<+<，所以62ππϕ+=，解得3πϕ=，所以()2sin 23()3f x x π=+，故A 正确；因为2377()2sin[()]2sin(2)0223f πππ-=⨯-+=-π=，所以()f x 的图象的一个对称中心为7(,0)2π-，故B 正确；令2222332πππk πx k π-≤+≤+，k Z ∈，解得5ππ3π3π44k x k -≤≤+，k Z ∈，所以()f x 的单调递增区间是5[3,3]44k k πππ-π+，k Z ∈，故C 错误；把π()2sin()3g x x =+的图象上所有点的横坐标变为原来的23，纵坐标不变，可得到32sin()23y x π=+的图象，故D 错误．故选：AB ．【点睛】（1）利用图像求三角函数解析式的方法：①求A 通常用最大值或最小值；①求ω通常用周期；①求φ通常利用函数上的点带入即可求解.（2）三角函数问题通常需要先求出系数A 、ω、φ或把它化为“一角一名一次”的结构，借助于sin y x =或cos y x =的性质解题.13．已知函数1π()sin()(0,0,0)22f x A x A ωϕωϕ=+>><<在一个周期内的图象如图所示，则（）A ．该函数图象的一个对称中心为(π,0)B ．π()2sin()323f x x =+C ．该函数的单调递增区间是5ππ[3π,3π],44k k k Z --∈ D ．把函数π()2sin()3g x x =+图象上所有点的横坐标变为原来的23，纵坐标不变，可得函数f (x )的图象【答案】AB 【分析】根据图像求出()f x 的解析式，借助于正弦函数的性质一一验证：对于A ，由图象可以直接判断；对于B ，根据图像求出()f x 的解析式进行判断；对于C ，求出单增区间进行判断；对于D ，利用图像变换判断. 【详解】对于A ，由图象可以看出，该函数图象的一个对称中心为(π,0)，故A 正确；对于B ，由题图可知2A =，函数f (x )的最小正周期为π4(π)3π4⨯-=，故2π4π43π,132T ωωω====，即()2sin(23f x x =)ϕ+，代入最高点π(,2)4，即πππ22sin()sin()134632ϕϕϕ,=⨯+⇒+==，故π()2sin()323f x x =+，故B 正确；对于C ，单调递增区间需满足π2ππ2π2π2332k x k -≤+≤+，解得5ππ[3π,3π],44x k k k Z ∈-+∈，故C 错误；对于D ，把函数π()2sin()3g x x =+的图象上所有点的横坐标变为原来的23，纵坐标不变，可得到函数3π2sin()23y x =+的图象.故D 错误．故选：AB ．【点睛】（1）利用图像求三角函数解析式的方法：①求A 通常用最大值或最小值；①求ω通常用周期；①求φ通常利用函数上的点带入即可求解.（2）三角函数问题通常需要先求出系数A 、ω、φ或把它化为“一角一名一次”的结构，借助于sin y x =或cos y x =的性质解题.14．已知函数()()cos 2f x A x b ϕ=++(0A >，0ϕπ<<)的部分图像如图所示，则（）A ．2A =B ．点7,112π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 图像的一个对称中心 C ．6π=ϕ D ．直线3x π=是()f x 图像的一条对称轴【答案】ABD 【分析】由图知函数最大值为3,最小值为1-,且函数图像与y 轴的交点为()0,2,进而待定系数得()2cos 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,再整体换元讨论B,D 选项即可. 【详解】因为0A >，所以31A b A b +=⎧⎨-+=-⎩，解得21A b =⎧⎨=⎩，故A 正确；()02cos 12f ϕ=+=，则1cos 2ϕ=.又0ϕπ<<，所以3πϕ=，故C 错误；()2cos 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，令23x k ππ+=，k ∈Z ，解得62πk πx =-+，k ∈Z ，所以()f x 图像的对称轴方程为62πk πx =-+，令1k =，则3x π=，D 正确；令232x k πππ+=+，k ∈Z ，解得122k x ππ=+，k ∈Z ，令1k =，则712x π=且7112f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，故B 正确. 故选：ABD 【点睛】本题考查三角函数图像求解析式，三角函数的对称轴，对称中心等，考查运算求解能力，是中档题.解题的过程中，需要注意形如()()sin 0y A x B A ωϕ=++>，()()cos 0y A x B A ωϕ=++>，max min ,y A B y A B =+=-+，ϕ的求解通常采用待定系数法求解.第II 卷（非选择题）三、填空题15．已知()()4sin sin 0,22f x x x ππωϕωϕωϕ⎛⎫⎛⎫=+++><⎪⎪⎝⎭⎝⎭，如图是()y f x =的部分图象，则ϕ=___________；()f x 在区间[]0,2020π内有___________条对称轴.【答案】6π8080 【分析】先化简，得到函数解析式，根据图像求得函数中的参数值，由此判断在给定区间内的对称轴. 【详解】()()()4sin sin 2sin 222f x x x x πωϕωϕωϕ⎛⎫=+++=+ ⎪⎝⎭，由图可知()0f =()sin 22ϕ=，由于(在单调递增的区间内，故223k πϕπ=+，k ∈Z ，解得6k πϕπ=+，k ∈Z ，根据题意知6π=ϕ；由图象过点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭，则有5263ππωπ+=；解得2ω=.故()2sin 43πf x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则令432x k πππ+=+，k ∈Z ，解得244k x ππ=+，k ∈Z . 令02020244k πππ≤+≤，即11808066k -≤≤-. ()f x 在[]0,2020π内有8080条对称轴.故答案为：6π；8080. 【点睛】方法点睛：根据函数图像求得参数，从而求得相关性质. 16．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ0,0,2A πωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则函数()f x 的解析式为____________.【答案】()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【分析】由函数的最值求出A ，由周期求出ω，由图像经过23π⎛⎫⎪⎝⎭，-2及2πϕ<求出ϕ，即可得到()f x 的解析式. 【详解】由最小值为-2知：A=2；由32343124T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭得，T π=,所以222T ππωπ===; 由223f π⎛⎫=-⎪⎝⎭得：232=232k ππϕπ⨯++，又2πϕ<，解得：6π=ϕ. 即()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. 故答案为：()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【点睛】求三角函数解析式的方法：(1)求A 通常用最大值或最小值； (2)求ω通常用周期；(3)求φ通常利用函数上的点带入即可求解.四、解答题17．已知函数()sin()0,0,22f x M x M ππωϕωϕ⎛⎫=+>>-<<⎪⎝⎭的部分图象如图所示.（1）求()f x 的解析式；（2）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b ac =，求()f B 的取值范围.【答案】（1）()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）(. 【分析】（1）由图得出最大值和周期，由此求出,M T ，代入最高点坐标求出ϕ，由此求出解析式（2）由基本不等式求出cos B 的取值范围，从而求出B 角取值范围，再结合三角函数性质求解()f B 范围即可. 【详解】（1）由图知2M =，115212122T πππ=-=， ①T π=，22Tπω==.522()122k k Z ππϕπ⨯+=+∈，又22ππϕ-<<，①3πϕ=-，①()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭. （2）①22221cos 222a cb ac ac B ac ac +--=≥=，当且仅当a c =取“=”，①(0,)B π∈， ①0,3B π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，①2,333B πππ⎛⎤-∈- ⎥⎝⎦，①(()2sin 23f B B π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭. 【点睛】求三角函数的解析式时，由2Tπω=即可求出ω；确定ϕ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标0x ，则令00x ωϕ+=或0x ωϕπ+=)，即可求出ϕ，否则需要代入点的坐标，利用一些已知点的坐标代入解析式，再结合函数的性质解出ω和ϕ，若对,A ω的符号或对ϕ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求. 18．已知函数()()sin (0,0,02)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图象如图所示.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若()()()()0,g x f x t t π=+∈为偶函数，求t 的值. （3）若()(),0,64h x f x f x x ππ⎛⎫⎡⎤=⋅-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，求()h x 的取值范围.【答案】（1）()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）12π或712π；（3）90,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）由图可先得出A 和T ，即可求出ω，再利用712f π⎛⎫= ⎪⎝⎭ϕ即可得出解析式；（2）可得()223t x x g π⎛⎫++ ⎪⎝⎭=，令2,32t k k Z πππ+=+∈即可求出；（3）利用三角恒等变换可化简得出()33sin 4264h x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再根据x 的取值范围即可求出. 【详解】（1）由图可得A =37341264T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，T π∴=， 22πωπ∴==，则()()2f x x ϕ=+，又7721212f ππϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+=⎪⎪⎝⎭⎝⎭2,3k k Z πϕπ=+∈，02，3πϕ∴=，()23f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭；（2）()()223x g t x f x t π⎛⎫++== ⎝+⎪⎭为偶函数，2,32t k k Z πππ∴+=+∈，解得,122k t k Z ππ=+∈， ()0,t π∈，t ∴=12π或712π；（3）()()6h x f x f x π⎛⎫=⋅-⎪⎝⎭22363x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦3sin 2sin 23x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭3sin 2cos cos 2sin sin 233x x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭23sin 22cos 222x x x =+334cos 4444x x =-+ 33sin 4264x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，54,666x πππ⎡⎤∴-∈-⎢⎥⎣⎦，则当466x ππ-=-时，()h x 取得最小值为0，当462x ππ-=时，()h x 取得最大值为94， ∴()h x 的取值范围为90,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】方法点睛：根据三角函数()()sin f x A x =+ωϕ部分图象求解析式的方法：（1）根据图象的最值可求出A ；（2）求出函数的周期，利用2T πω=求出ω；（3）取点代入函数可求得ϕ.19．函数()()cos 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的部分图象如图所示.（1）求()f x 的最小正周期和单调递增区间；（2）若,312ππα⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，()35f α=，求6f πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.【答案】（1）T π=，()5,1212k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2 【分析】（1）由给定的函数()f x 的图象，得到周期T π=，求得2ω=，再结合()112f π=，求得6πϕ=-，得到()cos(2)6f x x π=-，结合三角函数的性质，即可求解.（2）由()35f α=，利用三角函数的基本关系式，求得4sin 265πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，结合两角和的正弦公式，即可求解. 【详解】（1）根据给定的函数()f x 的图象，可得35346124T πππ=-=，可得最小正周期为T π=由2T πω=，可得2ω=，所以()()cos 2f x x φ=+，又由()cos()1126f ππϕ=+=，可得22,12k k Z πϕπ⨯+=∈，又因为2πϕ<，所以6πϕ=-，所以()cos(2)6f x x π=-，令222,6k x k k Z ππππ-≤-≤∈，解得5,1212k x k k Z ππππ-<<+∈，所以函数()f x 的单调递增区间为()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦. （2）由()3cos 235f παα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，因为,312ππα⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，可得52,663πππα⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，所以4sin 265πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则()cos 2sin 2sin 26266f ππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-==-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3sin 2cos cos 2sin 666610ππππαα-⎛⎫⎛⎫=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】由三角函数的图象确定三角函数的解析式的策略：（1）A 主要是根据图象的最高点或最低点的纵坐标确定；（2）w 的值主要由周期T 的值确定，而T 的值的确定主要是根据图象的零点与最值点的横坐标确定；（3）ϕ值的确定主要是由图象的特殊点的坐标确定．。

三角函数的图像变换及求解析式

1、把y=cos2x 的图像向左平移4π个单位长度，再把所得图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，而纵坐标保持不变，则所得的图像解析式为（） A 、y=-sinx B 、y=sin4x C.y=cos(x+4π) D.y=cos(4x+4π) 2、为了得到函数y=2sin(2x-3π)的图像，只需将函数y=2sin2x 的图像( ) A ．向左平移3π个单位 B ．向右平移3π个单位C ．向左平移6π个单位D ．向右平移6π个单位3、（2013四川理函数()2sin()(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别是（）（A ）2,3π-（B ）2,6π-（C ）4,6π-（D ）4,3π4、函数y=3sin(2x-3π)的图像为C 。

（1）图像C 关于直线x=π1211对称；（2）函数()f x 在区间（-12π，π125）上单调递增；（3）由y=3sin2x 的图像向右平移3π个单位长度可以得图像C ；以上三个论断中，正确的个数是（） A 、0 B 、1 C 、2 D 、35、（2015湖北）某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,||)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置．．．．．．．．．．．，并直接写出函数()f x 的解析式；（Ⅱ）将()y f x =图象上所有点向左平行移动θ(0)θ>个单位长度，得到()y g x =的图5π(,0) 12，求θ的最小值.象. 若()y g x=图象的一个对称中心为。

利用图像求三角函数的解析式

利用图像求三角函数的解析式三维目标：1. 知识与技能1）掌握函数sin()y A x ωϕ=+中A 、ω、ϕ与图像的关系；2）掌握如何利用部分图像求三角函数的解析式。

通过实例，让学生体会从特殊到一般的思想方法和数型结合思想方法在探讨三角函数方面的使用．3. 情感、态度与价值观探究函数sin()y A x ωϕ=+中A 、ω、ϕ与图像的关系，培养学生的探索精神和读图水平，以提升学生学习数学的兴趣．教学重点：函数sin()y A x ωϕ=+中A 、ω、ϕ与图像的关系；教学难点：利用部分图像求三角函数的解析式．授课类型：新授课．教学方法：讲授法；讲练结合法．教学工具: 多媒体课件．课时安排：1课时．教学过程：一、复习引入1. 正弦函数sin y x =的图像与性质；2. 正弦型函数sin()y A x ωϕ=+(0,0,)2A πωϕ>><的性质与图像。

二、新知探究1. 如何确定A 的值；2. 如何确定ω的值；3. 如何确定ϕ的值；4. 例题讲解例1：图1中曲线是函数sin()y A x ωϕ=+(0,0,)2A πωϕ>><的图像的一部分，求这个函数的解析式。

例2：图2中曲线是函数sin()y A x ωϕ=+(0,0,)2A πωϕ>><的图像的一部分，求这个函数的解析式。

图1 图2三、课堂练习图中曲线是函数sin()y A x ωϕ=+(0,0,)2A πωϕ>><的图像的一部分，求这个函数的解析式。

四、课堂小结由部分图像如何确定三角函数的解析式。

五、板书设计利用图像求三角函数的解析式Step1. 观察最高点或最低点，确定A 的值；Step2. 观察并计算周期，再利用2=Tπω确定ω的值； Step3. 先根据关键点的横坐标计算，再按条件筛选。

六、作业布置练习册：p91，第9题P93，第19题七、课后反思(待定)。

根据三角函数图像求解析式

根据图像求解析式姓名：___________ 一、单选题1．函数f(x)=Asin(ωx+φ)（其中A> 0,|φ|<π2)）的图象如图所示，则函数解析式为2．已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的图象如图所示，则函数解析式为4．函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象如图所示，则函数解析式为5．函数y=sin(ωx+φ)(ω>0)的部分图象如图所示，则函数解析式为6．已知函数f(x)=Asin(ωx+θ)（A>0，|θ|<π）的部分如图所示，则函数解析式为7．已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A> 0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如下图所示，则函数解析式为8．已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π2)的图象如图所示，则函数解析式为9．函数f(x)=sin(ωx+ϕ)（其中|φ|<π2）的图象如图所示，则函数解析式为10．已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A> 0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示，则函数解析式为11．函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,−π2<φ<π2)的部分图象如图所示，则函数解析式为12．已知函数的图象如题所示，则函数解析式为13．已知函数的图象如题所示，则函数解析式为14．已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)，(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则函数解析式为15．已知函数的图象如题所示，则函数解析式为16．已知函数的图象如题所示，则函数解析式为二、解答题17．已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的一段图象如图所示．则函数解析式为18．已知函数f(x)=Asin(ωx+φ),(A> 0,ω>0,−π<φ<0),x∈R且函数f(x)的图像与x轴的交点中，相邻两交点之间的距离为2π，图像上一个最低点为M(2π3,−2)，（1）求函数f(x)的解析式；19．已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的一段图象如图所示.（1）求f(x)的解析式；20．函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示.(1)求f(x)的解析式；21．已知函数()()() sin0,0,0f x A x Aωϕωϕπ=+>><<的图像如图所示.（1）求,,Aωϕ的值；三、填空题23．已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式是__________．。

三角函数解析式的求解典例精讲

函数()sin y A x ωϕ=+解析式的求解典例精讲例1：化简：()2sin cos 42f x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭解：原式2sin sin 222x x x ⎛⎫=+-⎪⎝⎭2cos 2x x x =+-)1cos222x x -=+-2sin 2224x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭例2：化简：()22cos cos 1f x x x x =+-解：()cos212212x f x x +=⋅+-cos222sin 26x x x π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭例3：()sin 2cos 263f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解：方法一：拆开化简()112cos2cos222cos22sin 2226f x x x x x x x x π⎛⎫=++=+=+ ⎪⎝⎭ 方法二：将26x π+视为一个整体，则22362x x πππ-=+-()sin 2cos 2sin 2cos 263662f x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-=+++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭sin 2sin 22sin 2666x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭例4：如图所示为函数()()sin 0,02f x A x πωϕωϕ⎛⎫=+>≤≤ ⎪⎝⎭的部分图像，其中,A B 两点之间的距离为5，那么()1f -=_________思路：如图可得4AC =，从而计算出3BC =，所以26T BC ==，进而3πω=而2y A =，所以2A =，此时()2sin 3f x x πϕ⎛⎫=+⎪⎝⎭，而()02sin 1f ϕ==，解得1sin 26πϕϕ=⇒=，所以()12sin 136f ππ⎛⎫-=-+=- ⎪⎝⎭答案：()11f -=-例5：已知函数()()sin ,(0,0,0)2f x A x x R A πωϕωϕ=+∈>><<的图像与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为2π，且图像上一个最低点为2,23M π⎛⎫-⎪⎝⎭，则()f x 的解析式为____________思路：可从文字叙述中得到图像的特点，从而求出参数的值：相邻交点距离2π可得22T ππ=⋅=，从而2ω=，由最小值点2,23M π⎛⎫-⎪⎝⎭可得到两个信息：一个是2A =，另一个是M 点即为求ϕ所要代入的特殊点。

三角函数(正弦函数与余弦函数)图像的变换及三角函数解析式的求法

1、（安徽卷文8）函数sin(2)3y x π=+图像的对称轴方程可能是（）A ．6x π=-B ．12x π=-C ．6x π=D ．12x π=2、（广东卷文5）已知函数2()(1cos 2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 是（） A 、最小正周期为π的奇函数 B 、最小正周期为2π的奇函数 C 、最小正周期为π的偶函数 D 、最小正周期为2π的偶函数 3、（全国Ⅰ卷文6）2(sin cos )1y x x =--是（） A ．最小正周期为2π的偶函数B ．最小正周期为2π的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π的奇函数4、（湖南卷理6）函数2()sin cos f x x x x =+在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是( )A.1C. 325、（天津卷文6）把函数sin ()y x x =∈R 的图象上所有的点向左平行移动3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（）A ．sin 23y x x π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭R ，B ．sin 26x y x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ，C ．sin 23y x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ，D ．sin 23y x x 2π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ，6、（全国Ⅰ卷文9）为得到函数πcos 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin y x =的图像（）A ．向左平移π6个长度单位B ．向右平移π6个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位7、（全国Ⅰ卷理8）为得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（）A ．向左平移5π12个长度单位 B ．向右平移5π12个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位1.（安徽卷文8）函数sin(2)3y x π=+图像的对称轴方程可能是（）A ．6x π=-B ．12x π=-C ．6x π=D ．12x π=解：sin(2)3y x π=+的对称轴方程为232x k πππ+=+，即212k x ππ=+，0,12k x π==2.（广东卷文5）已知函数2()(1cos 2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 是（） A 、最小正周期为π的奇函数 B 、最小正周期为2π的奇函数 C 、最小正周期为π的偶函数 D 、最小正周期为2π的偶函数【解析】222211cos 4()(1cos 2)sin 2cos sin sin 224xf x x x x x x -=+===,选D.9.（全国Ⅰ卷文6）2(sin cos )1y x x =--是（） A ．最小正周期为2π的偶函数B ．最小正周期为2π的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π的奇函数sinx cosx,2sinxcosx 2y=1sin 2x 1=sin 2x T D2ππ±解析:本题主要考查了三角函数的化简，主要应用了与的关系，同时还考查了二倍角公式和函数的奇偶性和利用公式法求周期。

高中数学高考题选-已知三角函数图像求解析式

高考题选——已知三角函数图像求解析式湖北省天门中学薛德斌 2022年1月 1．【2021年全国甲卷文T15/16】已知函数()()2cos f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭_______________．【答案】【详解】由题意可得：313341234T πππ=-=，T π=，2ω=±，当2ω=时，1312x π=时，()131322,2126x k k k Z πωϕϕπϕππ+=⨯+=∴=-∈，令1k =可得：6πϕ=-，()2cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；当2ω=-时，1312x π=时，()131322,2126x k k k Z πωϕϕπϕππ+=-⨯+=∴=+∈，令1k =-可得：6πϕ=，()2cos 22cos 266f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，综上所述，()2cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．∴()52cos 2,2cos 22cos 62266f x x f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=⨯-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故答案为：2．【2021年全国甲卷理T16/16】已知函数()2cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则满足条件74(()())(()())043f x f f x f ππ--->的最小正整数x 为________．【答案】2 【详解】由题意可得：313341234T πππ=-=，T π=，2ω=±，当2ω=时，1312x π=时，()131322,2126x k k k Z πωϕϕπϕππ+=⨯+=∴=-∈，令1k =可得：6πϕ=-，()2cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；当2ω=-时，1312x π=时，()131322,2126x k k k Z πωϕϕπϕππ+=-⨯+=∴=+∈，令1k =-可得：6πϕ=，()2cos 22cos 266f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，综上所述，()2cos 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭．解法一：T π=， ∴74(()())(()())0(()())(()())04343f x f f x f f x f f x f ππππ--->⇔-->，结合图形可知，((1)())((1)())043f f f f ππ--<， ∴满足条件的最小正整数应该满足()0f x <，即cos 206x π⎛⎫-< ⎪⎝⎭，解得,36k x k k π5ππ+<<π+∈Z ，令0k =，可得536x <<ππ，可得x 的最小正整数为2．故答案为：2．解法二：因为7()2cos 143f π11π⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，()2cos 032f 4π5π⎛⎫== ⎪⎝⎭；所以由74(()())(()())043f x f f x f ππ--->可得()1f x >或()0f x <；因为()12cos 22cos 1626f πππ⎛⎫⎛⎫=-<-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(2)2cos 406f π⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，符合题意，可得x 的最小正整数为2．故答案为：2．3．【2016年全国Ⅱ卷文T3/12】函数sin()y A x ωϕ=+的部分图像如图所示，则（ A ）A .π2sin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B .π2sin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C .π2sin 6y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭ D .π2sin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭4．【2015年全国I 卷理文T8/12】函数()()cos f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（）A ．13,44k k ⎛⎫π-π+ ⎪⎝⎭，k ∈Z B ．132,244k k ⎛⎫π-π+ ⎪⎝⎭，k ∈Z C ．13,44k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k ∈Z D ．132,244k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k ∈Z解：由题可得511244T =-=，即2T =，所以2Tωπ==π．由图可知034x =，所以324k ϕπ+=π+π，解得24k ϕπ=π+，k ∈Z ，所以()cos 4f x x π⎛⎫=π+⎪⎝⎭．令224k x k πππ+π+π，解得132244k x k -+．故选D ．5．【2020年全国Ⅰ卷理文T7/12】设函数()cos π()6f x x ω=+在[,]ππ-的图像大致如下图，则()f x 的最小正周期为（）A ．10π9B ．7π6C ．4π3D ．3π2【答案】C 解：点4(,0)9π-在曲线()cos π()6f x x ω=+上，∴4962k πππωπ-⋅+=+，3(13)4k ω=-+，k Z ∈．【注1：由点4(,0)9π-得“42962k πππωπ-⋅+=-+，3(13)2k ω=-，k Z ∈”是错误的，事实上，当0ω>时，42962k πππωπ-⋅+=-+，3(13)2k ω=-，k Z ∈，0k ≤；当0ω<时，ππ()()6()cos cos 6f x x x ωω=-=+-，4()2962k πππωπ-⨯--=-+，3(16)4k ω=-+，k Z ∈，0k ≤．比如，若令4962πππω-⋅+=，34ω=-，3π(()cos )46f x x +-=也过点4(,0)9π-，如图【注2：只由在4[,0]9π-上的图象也可以解出结果．由图可得，4492T Tπ<<，81699Tππ<<，∴9984ω<<，∴3(13)49984k-<<+，33213k+<<，∴1k=-，∴32ω=，43Tπ=，故选C．】。