选修2-2导数及其应用单元复习知识总结

选修2-2导数及其应用单元复习知识总结

2018-6-14

一、导数的计算：

1.定义；

2.常见函数的导数公式、四则运算法则；

3.复合函数求导（链式法则）；

4.如何求一个函数的导函数 答案：1.定义：称函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率

0000()()lim

lim x x f x x f x y

x x ∆→∆→+∆-∆=∆∆

为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='，即

000000()()|()lim

lim x x x x f x x f x y

y f x x x

=∆→∆→+∆-∆''===∆∆。

注：函数||y x =在0x =处没有导数。

2.常见函数的导数公式: 0c '=，1x '=，()kx b k k '+=（为常数）

，2()2x x '=，

211()x x '=-，'=，1()n n x nx -'=，(sin )cos x x '=，(cos )sin x x '=-，()ln x x a a a '=，()x x e e '=，1(log )ln a x x a '=

，1

(ln )x x

'= 导数的四则运算法则：;)(;)(;)(2

v

v u v u v

u

v u v u uv v u v u '

-'=

''+'=''±'='± [()()]()()f x g x f x g x '''±=±；

[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''⋅=+（轮番求导）；

2

()()()()()

[

](()0)()[()]f x f x g x f x g x g x g x g x ''-'=≠（轮番求导）； 3.复合函数求导（链式法则）：设()y f u =，()u g x =，则复合函数(())y f g x =的导数为()()(())()x u x y y u f u g x f g x g x '''''''=⋅==，

4.求一个函数的导数应先判断该函数的结构，它是两个函数的加减乘除还是两个函数的复合，然后进行下一步的计算。

二、导数的应用

1.导数的代数意义、几何意义；利用导数求切线的关键及其注意点

答案：（1）代数意义：0()f x '近似地表示函数()y f x =在0x 附近变化快慢的程度。（2）几何意义：曲线()y f x =在点00(,())x f x 的切线的斜率等于0()f x '。

（3）利用导数求切线关键是求切点坐标，需要注意：（ⅰ）所给点

是切点吗？（ⅱ）所求的是“在”还是“过”该点的切线？

2.导数与函数单调性的关系及求单调区间的步骤、注意点

答案：导数与函数单调性的关系：()y f x =在(,)a b 内有定义且可导， （1）若()0f x '>，则()y f x =在(,)a b 内单调递增；

若()0f x '<，则()y f x =在(,)a b 内单调递减； （2）若恒有()0f x '=，则()y f x =在(,)a b 内为常数函数；

（3）若()0f x '≥，且“=”仅在有限个点处成立，则()y f x =在(,)a b 内单调递增；若()0f x '≤，且“=”仅在有限个点处成立，则()y f x =在(,)a b 内单调递减。

（4）对于可导函数()f x 来说，()0(()0)f x f x ''><是()y f x =在(,)a b 内为增（减）函数的充分不必要条件。例如3()f x x =在R 上为增函数，而(0)0f '=，故在0x =处不满足()0f x '>。

求单调区间的步骤：求定义域→求导函数→解不等式()0f x '>（()0f x '<）→确定单调区间

注意：1 单调区间不能用“∪”连结；（单调区间不能以“并集”出现）2 上述单调区间均为开区间，若区间端点在定义域内，也可以写成闭区间。3 有些函数（例如ln x ）容易忽略定义域（误认为是R ）。4°在实际解题中，若()f x 在(,)a b 内单调递增，则应有()0f x '≥，而不是()0f x '>。

3.导数与函数极值的关系及求极值的步骤、注意点

答案：导数与函数极值的关系：点0x 是可导函数()f x 的极值点的充要条件：①0()0f x '=；②点0x 两侧()f x '的符号不同。其中，如果在0x 附近的左侧0()0f x '>，

右侧0()0f x '<，那么0()f x 是极大值；如果在0x 附近的左侧0()0f x '<，右侧0()0f x '>，那么0()f x 是极小值。导数为0的点不一定是函数的极值点（3y x =），极值点也不一定可导（||y x =），函数的极值点必为驻点或不可导点。

用导数求函数极值的步骤：

求定义域→求导函数→解方程()0f x '=→列表（划分区间）→确定极值。 注意点：已知极值求参数，需要进行验证极值点。 4.利用导数函数最值的三种情形及其步骤。 答案：（1）闭区间上的连续函数必有最大值和最小值，且最值一定在极值点处或区间的端点处取得；（实际上只需要将导数为零的点与区间端点的函数值进行比较即可求出最大值和最小值）

（2）若开区间上的连续函数有唯一的极值，则此极值必是最值。

（3）若连续函数()f x 在[,]a b 上单调，则最大值、最小值在端点处取得。 （4）用导数求函数极值的步骤：求定义域→求导函数→解方程()0f x '=→列表（划分区间）→求极值与端点函数值→确定最值。

5. .利用导数证明的几个不等式（注意证明过程）

（1）sin ,(0,)x x x π<∈； （2）1,0x e x x >+≠ （3）ln ,0x x x e x <<> （4）ln 1,01x x x x <->≠且

三、定积分：原函数表、定积分的运算性质、计算方法、曲边梯形的面积

①⎰⎰=b

a

b

a dx x f k dx x kf )()( （k 常数）；

②⎰⎰⎰±=±b

a

b a

b a

dx x f dx x f dx x f x f )()()]()([2121；

③⎰⎰⎰+=b

c

b a

c a

dx x f dx x f dx x f )()()( （其中)b c a <<。

3.定积分的计算：

（1）微积分基本定理（牛顿—莱布尼兹公式）：

⎰

-==b

a

b a a F b F x F dx x f )()(|)()(； （2）利用曲边梯形的面积求最值。