数学北师大版九年级下册设计遮阳篷

数学课题学习《设计遮阳篷》

任市初级中学 文峰

一．研究内容

如图所示，假设某居民楼地处北半球某地，窗户朝南，窗户的高度为hm ，此地一年中正午时刻，太阳光与地平面的最小夹角为α。最大夹角为β请你为该窗户设计一个遮阳篷，要求它既能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内．

二．研究方法

从实际生活中抽象出数学几何模型，运用三角函数及相关几何知识加以分析计算，求出表达式，再代入实际数值加以计算，并在此基础上进行适当的设计推广，从而解决问题并进一步完善课题学习。

三．研究过程

（一）．建立模型

(1)

如图（１）所示，当太阳光与地平面的夹角为α时，要想使太阳光刚好全部射入室内，那么遮

阳篷的边BD 必须和太阳光平行，即BD 边必须

与地平面的夹角为α，又因为△BCD 是直角三角

h α h β

形，CD 平行于地平面，此时只要直角形遮阳篷∠BDC ＝α，就能保证太阳光刚好全部射入室内．此时与太阳光平行的边BD 不唯一，故遮阳棚不唯一。

(2)如图（２）所示，当太阳光与地平面的夹

角为β时，要想使太阳光刚好不射入室内，则

阳光最多照到Ａ处，此时CD 边与水平面平

行，故遮阳棚仍旧不唯一。

(3)如图（3）所示，同时满足以上两个条件时，

应过点B 做夹角为α时光线的平行线，交夹角为β时的光线于点D 做DC┴AB 延长线于点C ， 则遮阳棚BCD 即为所求。 在Rt △BCD 中，△BDC ＝α，则

BC ＝CDtan α①． 在Rt △ACD 中，∠ADC ＝β，则 AC ＝h+BC ＝CD·tanβ． ②

把①代入②得

h+CDtanα＝CDtanβ． ③

解③得CD ＝αβtan tan -h

．因此在Rt △BCD 中

，BC ＝CD·tarα＝α

βα

tan tan tan -h （二）．解决问题

现实中，西安一年中太阳光与地面夹角最小在冬至，约为32°18'，即α=32°18'，夹角最大在夏至，为79°10"，即β=79°10"，测量得教室窗高约为2.4m ，即h=2.4m 。

带入上公式得：CD=

'1832tan '1079tan 4.2︒-︒≈0.52m,BC ＝CD·tan32°18'＝'1832tan '1079tan '1832tan 4.2︒-︒︒⨯≈0.33m 。

（三）.设计推广

(1)如图所示，如果要求遮阳篷的CD 边为圆弧形(C ，D 同高)，需计算遮阳棚高时，则还需知道圆的半径方可求得。连接弦CD ，半径OC ，并做弦心距，运用三角函数知识求的弧CD 所对圆心角，再通过圆

的直径求出弧CD 的长度，进行设计。

(2)如果要求遮阳篷的CD 边为抛物线形，则还需要了解抛物线的解析式。以A 为原点，以AC 所在直线为y 轴，以水平面位x 轴，建立平面直角坐标系，运用二次函数相关知识，求出点C,D 坐标，再进行设

计。

(3)如图所示，如果要求遮阳篷的CD 边可伸缩,则应保持BC 的长度不变，将边BC 的可伸缩范围控制在一

定范围之内，使其最短时，能够让阳光从分进入，最长时则可以充分抵挡阳光，将遮阳棚的作用发挥到最大。 (４)考虑到实际生活中遮阳棚在防晒的同时，能否及时排水也是很重要的考虑因素。如左

(1) B

A β

D

α C

h

(2) B

A β

α C

h

(3) B

A β

D

α C h

Ｅ E

图所示，延长直角遮阳棚的边BC至适当长度到点Ｅ，连接ＤＥ，此时雨水便可通过DE排除，遮阳棚便有了很好的排水效果。设计时需预先设定好角CDE的度数，再在RT∆CDE中通过正弦及正切函数求得边CD,DE的长，进行设计。

四.研究结果

通过对遮阳棚的初步探究，我们了解了阳光与水平面的夹角及窗户高度对遮阳棚相关数据的影响，并进一步计算出了教室窗户外应设计遮阳棚的高度。

五.收获与反思

通过这次关于遮阳棚的课题研究，我们对数学建模的思想有了进一步了解，感悟到了生活处处有数学并且提高了我们的团队合作精神，可谓获益匪浅。

家长评价：经过不懈努力，学生较好地完成了此次作业，通过实践加深了对所学知识的理解，体会到了数学在实际生活中的用途，激发了学生学习数学的兴趣。