圆锥曲线与参数的范围

圆锥曲线与参数的范围

四川省大英县育才中学 秦增林

圆锥曲线中，参数是一个非常重要的量。在解有关参数问题时，往往涉及求参数的范围，深刻理解与掌握参数的意义及其对圆锥曲线的图象的形状、性质的影响，是高中数学教与学的一个难点问题。本文就怎样求参数的范围，归纳几种较为典型的类型。

一、 根据直线与圆锥曲线的公共点的情况，利用Δ法求参数的范围

这是圆锥曲线中求范围的一种常规思路，通过直线与圆锥曲线消元得到一个类一元二次方程（需确定二项式系数是否为0），利用Δ法求参数的范围

例：若抛物线y =x 2

上存在关于直线y=m(x-3)对称的两点，求实数m 的取值范围。

解：设直线l ：b x m

y +-

=1

，直线l 与抛物线y =x 2的两交点为A （x 1 ,y 1）

、B （x 2 ,y 2）, 由⎪⎩⎪⎨⎧

=+-=2

1x

y b m

y 消元得02=-+mb x mx ∴Δ=1+4b m 2

＞0，且m x x x 212210-=+=，b m

b m m y +=+-⋅-=2

021

)21(1 则线段AB 的中点M （m 21-

，b m +2

21），又点M 在直线y=m(x-3)上， ∴b m +221= m(m 21--3) 即b

=2

21m --3m 21- 由Δ=1+4b m 2＞0得Δ=1+42m ﹒（2

21m

-- 3m 21-）=12122

3---m m ＞0 ∴12122

3++m m ＜0即)126)(12(2

+-+m m m ＜0

解得实数m 的取值范围为)2

1,(--∞

二、 利用a 、b 、c 的大小关系求参数的范围

在圆锥曲线中，对于a 、b 、c 大小关系有规定，若能建立参数与这三个量之间的关系，则可求出参数的范围。

例：如图，点A 是椭圆C ：122

22=+b

y a x （a ＞b ＞0）的短轴位于x 轴下方的端点，过A 作斜率为1

的直线交椭圆于B 点，P 点在y 轴上，且BP ∥x 轴，9=⋅→

→

AP AB ,

若P 的坐标为()t ,0，求t 的取值范围。

解：法一、由P 的坐标为()t ,0及A 点位于x 轴下方，得A 点的坐标为()3,0-t ∴b t -=-3即t b -=3

显然B 点的坐标是()t ,3，代入椭圆的方程得

1)3(92

22=-+t t a ， 解得t t a 23)3(322

--= ∵ 2a ＞2

b ＞0， ∴t

t 23)3(32

--＞2)3(t -＞0

∴

t 233-＞1，即t 233--1=t

t

232-＞0 ∴ 2t(t 23-)＞0 从而0＜t ＜2

3

法二、设直线AB 的方程为y=x-b ，代入椭圆的方程消去y 得：

02)(2

2

2

2

=-+bx a x b a ∴x =0或2

222b

a b

a x += 由直线AB 的方程可知，t =x -

b =2222b a b a +-b =2

222)

(b a b a b +-

又∵t -（-b ）=3 ∴t =3-b

∴3-b 2

222)(b

a b a b +-=，∴2a 3232-=b b ＞2

b ＞0 解得

23＜b ＜3，即2

3

＜3- t ＜3 ∴t 的取值范围是0＜t ＜2

3

评析：由|AP|=3，结合图形分析出|OA|=2，即b =3，以及分析出B 点的坐标为（3，1）是本题的关键，在求出a 与t 的关系进而求出t 的范围是，注意条件a ＞b 的应用至关重要。

三、 利用解析式中x 、y 自身的范围求参数的范围

在各类圆锥曲线中，对于x 、y 自身就有一定的范围，如在椭圆122

22=+b

y a x 中，x ≤a 、y ≤b ，

在解题时，只须想法找到参数与它们的关系则可求到其范围。

例：一条斜率为1的直线m 与离心率为3的双曲线E ：122

22=-b

y a x （a>0，b>0）交于P 、Q ，直

线m 交y 轴于R ，且3-=⋅→

→

OQ OP ，→

→

=RQ PR 3

1、 求双曲线的方程

2、 若F 为双曲线E 的右焦点，M 、N 分别为双曲线E 上的两点，且→

→

=FN MF λ，求λ的范围。

解：1、易得双曲线的方程为12

2

2

=-y x 2、∵E （3，0），设M ()33,y x ，N ()44,y x ，由→

→=FN MF λ得 ()⎩⎨

⎧-=-+=4

34

313y y x x λλλ，由M 、N 在双曲线上，则

()[]()

⎩⎨

⎧=---+=-2

1322

22

4

2

4

2424y x y x λλλ

∴()()()413112x +=++λλλλ

∵0≠λ，1-≠λ ∴λ

λ3124+=

x ∵|x|≥1 ∴

λ

λ312+≥1

从而λ≤32--或λ≥23-

练：已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，∠F 1PF 2=60º，求椭圆的离心率的取值范围。 答案： )12

1

[，

四、 利用已知条件中给出的某些量的范围求参数的范围

关键是想法求得参数与已知量之间的关系，然后利用已知量的范围进一步求参数的范围。

例：椭圆122

22=+b

y a x （a>b>0）与直线01=-+y x 相交于A 、B 两点，且OA ⊥OB (O 为坐标原点)，

若椭圆的长轴长的取值范围是[65，]，求椭圆离心率的取值范围。

解：由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+10

122

22b y a

x y x 消去y ，并整理得0)1(2)(2

22222=-+-+b a x a x b a 由直线与椭圆有两个交点，则Δ=4a 2b 2(a 2 + b 2 -1)﹥0故有a 2 + b 2﹥1。

设A 、B 两点的坐标分别为（x 1 ,y 1）、（x 2 ,y 2）,则有

x 1 +x 2 =2222b a a +，x 1 x 2 =2

222)1(b a b a +-……………①

再由OA ⊥OB 得x 1 x 2 + y 1y 2=0……………②

而A 、B 在直线上，故y 1 =1-x 1 y 2=1-x 2……………③ 将③代入②消去y 1、y 2，再代入①化简得

022*******=++--b a a b a a ，从而22222b a b a =+…………④