泊松方程和拉普拉斯方程概念分析

圆柱坐标系中: 球坐标系中:
第二章 静 电 场
四 . 一维泊松方程的求解
P.66 例2-9
例2-10
第二章 静 电 场 例 1 设有一个半径为a的球体, 其中均匀充满体电荷密度为 ρv(C/m3) 的电荷 , 球内外的介电常数均为 ε0, 试用电位微分方程 , 求解球内、外的电位和电场强度。 解：设球内、外的电位分别为φ1和φ2, φ1满足泊松方程, φ2满足拉普拉斯方程, 由于电荷均匀分布, 场球对称, 所以φ1、 φ2均是球坐标r的 函数。 ;
2 d 1 2 1 2 0 dy 2 v d 2 2 2 2 dy 0 2 d 3 2 3 0 2 dy
d y 2 d d y 2 2 d y 2
第二章 静 电 场
将上面三个方程分别分两次可得
1 C1 y C2 v 2 2 y C3 y C4 2 0 3 C5 y C6
第二章 静 电 场
③由场分布的对称性, φ2(y)=φ2(-y) ;
由条件②、 ③可得:
C4 0, C3 0
由条件①可得
d v d C1 C2 2 2 0 2
2
vd C1 2 0
v d C2 8 0
2
2
v d v d 1 y 2 0 8 0
S
D dS q
ˆr E1 E2 Ee
在半径为r的球面上作电位移矢量的面积分，有
21r 2 E1 2 2 r 2 E2 2 ( 1 2 ) r 2 E q q ˆ E e 2 r 2 ( 1 2 ) r
1q ˆr D1 e 2 ( 1 2 ) r 2 2q ˆr D2 e 2 ( 1 2 ) r 2
厚度为d(m), 其中充满体电荷密度为ρv(C/m3)的均匀体电荷, 分界 面为无限大。试分别求解①、②、③区域的位函数与电场强度。
平板形体电荷的几何关系
第二章 静 电 场
［解］设①、 ②、 ③区域的电位函数分别为 φ1(y)、φ2(y)、
φ 3 ( y) 。 (1) 分别列出三个区域的电位方程。 在①、 ③两个区域内 电位满足拉普拉斯方程, 而第②区域的电位满足泊松方程:
Er=0)。
1 ④r=0, 0 (因为电荷分布球对称, 球心处场强E1=0, 即 r
由上述条件, 确定通解中的常数:
v a v a A 0, D 0, C ,B 3 0 2 0
3
2
Baidu Nhomakorabea 第二章 静 电 场
例 2 如图所示三个区域, 它们的介电常数均为ε0, 区域2中的
D1n D2n
E1t E2t
改写:
1E1 cos1 2 E2 cos 2
E1 sin 1 E2 sin 2
两式相除:
tg1 1 r1 tg 2 2 r 2
------静电场的折射定理
电场方向在 交界面上的曲折
第二章 静 电 场
边界条件
• 构成边值问题必不可少的条件; • 判断不同媒质界面两侧场量的大小、方向及连续、突变;
n ( D1 D2 ) S
或
D1n D2n S
结论: 若两种媒质交界面上有自由电荷, 则D的法向分量不连续 若界面上无自由电荷分布，即在ρS=0时:
n ( D2 D1 ) 0
或
D2 n D1n 0
第二章 静 电 场
☆ 两种特殊情况
(1)第一媒质是电介质,第二媒质是导体;
第二章 静 电 场
两种不同媒质分界面的边界条件
法向边界条件
切向边界条件

S
D dS q
E dl
l
0
第二章 静 电 场
一. D满足的边界条件
法向边界条件

S
D dS q
第二章 静 电 场
高斯通量定理

S
D dS q
ˆS D2 n ˆS q S S D1 n
第二章 静 电 场 ［解］ 因为同轴圆柱是轴对称结构, 故只有沿半径ρ方向的电 场。图(a) 结构中, 电场垂直于介质与空气的交界面, 根据两介质交
界面上法向分量电通量密度相等的边界条件, 可知道不同介质内D
的表示式相同。而在图(b)结构中, 电场平行于介质与空气交界面, 由交界面上电场强度切向分量连续的边界条件, 得知不同介质内E
(V )
vd 2 2 y (V ) 2 0
第二章 静 电 场
vd vd 3 y 2 0 8 0
根据公式
2
(V )
d ˆ 可求得三个区域的电场分布: E y dy v d d ˆ (V / m) E1 y y 2 0 2
v y ˆ (V / m) E2 y 0
的表示式相同。
(1) 图(a)结构: 当ρ=c时,
D1n D2n
据高斯定理可得
D1 D2
令内、外导体表面上单位长度电量分别为+ρl、-ρl(C/m), 根
第二章 静 电 场 a＜ρ＜c时,
l ˆ (C / m 2 ) D1 2 l D1 ˆ (V / m) E1 2
D E
2
E

当 场中无电荷分布
电位
满足的泊松方程
(即
0 )的区域:
2 0 2
拉普拉斯方程 拉普拉斯算子
第二章 静 电 场
拉普拉斯算子在不同坐标系中的计算公式
2
直角坐标系中:
2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ a x ay az ax ay az y z x y z x 2 2 2 2 2 2 x y z
ˆ ˆ ˆ ˆ E nEn t Et n t n t ˆDt (n ˆEt ) ˆDn t ˆEn t D n
由静电场基本方程的积分形式:
D dS q
S
E dl 0
l
两种不同媒质分界面的边界条件
c＜ρ＜b时,
l ˆ (C / m 2 ) D2 2 l D2 ˆ (V / m) E2 0 2 0
第二章 静 电 场
U E1 dl E2 dl
a c
c
b
c
a
b l l d d c 2 2 0
l 2
1
4 0 r r v 2 dv E 间接法 V 4 0 R
v 3

r r r
dV

————边值问题
场区域有限 区域边界上场量要受到某种边界条件限制
第二章 静 电 场
2.5 泊松方程和拉普拉斯方程
2.5.1 静电场的基本方程
l1 ˆ D1 1 l1 ˆ E1 1
第二章 静 电 场
二. E满足的边界条件
静电场的无旋性:
E dl
l
0
ˆ ( E1 E2 ) 0 n
或
E1t E2t
结论： 在介质交界面上,电场强度的切向分量始终连续
第二章 静 电 场
三 . 电位φ满足的边界条件
D1n D2n S
1 2 1 2 s n n
E1t E2t
1 2
(1)第一媒质是电介质,第二媒质是导体;
1 s n
(2) 两种介质都是电介质, 且分界面上没有自由电荷, 即ρs=0, 则
1 2 1 2 n n
第二章 静 电 场
四、介质分界面上电场方向的关系
当两种介质分界面上没有自由电荷, 即ρs=0, 则 边界条件:
由场分布的y=0平面对称性，可知φ3(y)= φ1(-y)，所以我们
只需求解φ1和φ2，也就是只要根据边界条件确定常数C1、 C2 、 C3 、 C4。
第二章 静 电 场 (2) 由边界条件确定常数: 边界条件为: ①
d y 时, φ1=φ2; 2
d1 d2 0 0 dy dy
(交界面上无自由面电荷); ②y=0, φ2=0 因体电荷板无限大, 不能选择无限远处为参考 点, 这里选择y=0处为参考点。
所以
1 c 1 b 1 n 1 n a c 0
2U l 1 c 1 b 1n 1n a 0 c
(C / m)
内导体带电量为+ρl ，外导体带电量为-ρl
第二章 静 电 场
(2) 图(b)结构: 当φ=0时, 当0< φ< φ1
E1 E2
第二章 静 电 场 例 1 同心球电容器的内导体半径为a，外导体的内半径为b， 其间填充两种介质，上半部分的介电常数为ε1，下半部分的介电 常数为ε2，如图 所示。设内、外导体带电分别为q和-q， 求内外 导体之间空间的电位移矢量和电场强度。 Er1
Er1 Er2
Er2
第二章 静 电 场 解：

d d y 2 2
d vd ˆ (V / m) y E3 y 2 0 2
第二章 静 电 场
2.6 分界面上的边界条件
※ 场量在不同媒质分界面上各自满足的关系 将场量在分界面上分解成: 法向normal分量 (以下标n表示) ----- 垂直于分界面
切向tangency分量 (以下标t表示) ----- 平行于分界面
第二章 静 电 场
(1) 分别列出球内、外的电位方程:
当r≤a时, 当r≥a时,
1 2 1 v 1 2 r r r r 0
2
1 2 2 2 2 r 0 r r r
2
将上述两个方程分别积分两次可得φ1、φ2的通解:
积分形式:
D dS q E dl 0
S l
微分形式： D
E 0
本构关系:
静电场:无旋有散场
D E
线形、各向同性媒质
第二章 静 电 场
2.5.2 泊松方程和拉普拉斯方程
D
D E E E E 2
第二章 静 电 场 例 3.11 如图所示,两个无限长同轴圆柱, 内、 外导体半径分 别为a和b, 两导体间部分填充介电常数为ε的电介质, 内外导体间
的电压为U0。图(a)中电介质与空气分界面的半径为c; 图(b)中0＜
φ＜φ1间部分填充电介质。试对该二同轴线分别求出: (1) 内、 外导体间的电场强度E及电通量密度D; ; (2) 导体表面上单位长度的带电量ρl。
v 2 A 1 r B 6 0 r
C 2 D r
第二章 静 电 场 (2) 根据边界条件, 求出积分常数A、B、C、D: 边界条件是: ; ① r = a, φ 1 = φ 2 ; ;
1 2 ② r = a, 0 0 ; r r
③r→∞, φ2=0(以无限远处为参考点); ;
静电场中导体内部电场为零, 故
ˆ D1 s或D1n s n
(2) 两种介质都是电介质, 且分界面上没有自由电荷, 即ρs=0, 则
ˆ ( D1 D2 ) 0或D1n D2n n
即
1E1n 2 E2n
其原因是交界面上有束缚面电荷密度
结论: 当ε1≠ε2时, E的法向分量不连续,
第二章 静 电 场
静电场计算中的两类问题
——已知场空间分布，求源电荷分布
• 利用高斯定理的微分形式
D 0
D E
——已知源电荷分布，求空间场分布
•利用高斯定理的积分形式 （当电场分布具有某种空间对称性）
D ds q
s
0
• 应用场强叠加原理
直接法 E (r )
电荷分布在有限区域内，场区域为无限大， 且其中的介质是均匀线性和各向同性的。