高中数学模块综合测试卷人教版A 必修五

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高三数学新人教A版数学必修5综合测试

2020学年度第一学期鹤山市第二中学高二理科数学数学必修5综合测试姓名：_____________ 学号：_______一、选择题(每小题5分，满分40分)1. 已知等比数列｛a*｝的公比为正数，且a3 • a9=2a52, a?=1，则a i =( )A. -B.—2C. 2D.22 22. 等差数列｛a*｝的前n项和为S n，且S3 =6 , a i =4,则公差d等于( )5A. 1 B 5 C.- 2 D 333. 已知a n为等差数列，且a7—2 a4= 一1, a3= 0,则公差d=( )1 1(A)— 2 (B)—丄(C) 1(D) 22 24. 等比数列a n的前n项和为S n，且4a1, 2a?, a3成等差数列。

若a1=1，则S4=( )(A) 7 (B) 8 (C) 15 (D) 16所表示的平面区域的面积等于5.不等式组( )A. B.C.8. 在三角形ABC 中，AB 5, AC 3,BC 7,贝U BAC 的大小为( ) 25 3 A. — B. 5 C. 3D.-3 643二、选择题(每小题 5分，满分30分)9. 在厶ABC 中, a , b , c 分别是角A , B, C 所对的边，已知a J3, b 3,c 30 ,则A2x D.6.设x,y 满足 y y 2y 4 1,则z 2 (A )有最小值 (C )有最大值 2, 3, 最大值3 无最小值7.已知 ABC 中, A, B, (B )有最小值2,(D )既无最小值,C 的对边分别为a,b, c 若a无最大值也无最大值 c ,6 .2 且 A 75o ，则 bA.2B . 4+ 2 .310. △ ABC的内角A B, C的对边分别为a, b, c，若c , 2, b ,6, B 120o，贝Ua ______________ .11. 不等式上2 > 2的解集是(x 1)12. 在数列｛a n｝在中，a n4n 5, a1 a? L a* an2 bn , n N* ,其中a,b为常数,2贝U ab __________13. 已知｛a n｝为等差数列，a s + a 8 = 22 , a e = 7，贝U a s = ______14. 不等式x2 3x 2 0的解集是___________________________三、选择题(每小题10分，满分30分)15. 在厶ABC中，内角A, B, C对边的边长分别是a, b, c，已知c 2 , C -.3(I)若△ABC的面积等于，求a, b ;(U)若si nB 2s "人，求厶ABC的面积.(10分)16. 已知｛a n｝是整数组成的数列，a1 1,且点恳,务1)(n N*)在函数y x2 1的图像上: (1)求数列｛a n｝的通项公式；(2)若数列｛b n｝满足bl 1,b n 1 b n 2%，求证：0 02 ( 10 分)17. 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800加，深为3M,如果池底每1M的造价为150元，池壁每1M I的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？ ( 10分)参考答案：I. B 2.C 3.B 4.C 5.C 6.B 7.A 8.A9.30 ° 10. .2 1 II., U 1,3212. — 1 13.15 14. x1 x 215.本小题主要考查三角形的边角关系等基础知识，考查综合计算能力•满分 12分. 解：（1）由余弦定理得，a 2 b 2 ab 4 ,又因为△ ABC 的面积等于，所以labsinC 、、3，得ab 4 .............. ...............2a 2b 2 ab 4,,联立方程组解得a 2, b 2 ...................................................ab 4,（U ）由正弦定理，已知条件化为 b 2a , ......................................................联立方程组b ab 4解得a , b 耳. b 2a ,33所以△ ABC 的面积S 】absinC. ......................................................2316. 解：（1）由已知得：a n 1 a n 1 ,(2)由(1)知 b n 1 b n 2an 2nb n (b n b n 1) (b n 1 b n 2) (b 2bj b 12n12n 22n 32 11 2n2n 11 2b n b n 2b n12 (2n 1)(2n 2 1) (2n1 1)2 5 2n 4 2n 2n 0所以：b n b n 2 b n 1217. 297600所以数列是以1为首项，公差为 1的等差数列；即a n1 (n 1) 14分 6分 8分12分。

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模块综合检测(时间:120分钟满分:150分)知识点分布表一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.(2015江西吉安联考,1)若a ,b ,c ∈R ,a>b ,则下列不等式成立的是( )A.1<1B.a2>b2 C.a 2>b 2 D.a|c|>b|c|答案:B解析:A.∵当1>-2时,1<-12不成立,∴1a <1b 不成立.B.∵c 2+1≥1,a>b ,∴ac 2+1>bc 2+1,故B 正确. C.∵当1>-2时,1>4不成立,∴a 2>b 2不成立.D.当c=0时,0=a|c|>b|c|=0,不成立.故选B .2.在△ABC 中,A=60°,AB=2,且△ABC 的面积为√32,则BC 的长为( )A.√3B.3C.√7D.7答案:A解析:S=12×AB ·AC sin 60°=12×2×√32AC=√32,所以AC=1.所以BC 2=AB 2+AC 2-2AB ·AC cos 60°=3. 所以BC=√3,故选A .3.若5,x ,y ,z ,21成等差数列,则x+y+z 的值为( ) A.26 B.29 C.39 D.52答案:C解析:因为5,x ,y ,z ,21构成等差数列,所以y 是x ,z 的等差中项,也是5,21的等差中项,所以x+z=2y ,5+21=2y ,所以y=13,x+z=26,所以x+y+z=39.4.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对应的边分别为a ,b ,c ,已知b cos C+c cos B=2b ,则a等于( ) A.1 B.√2C.2D.√3答案:C解析:利用正弦定理,将b cos C+c cos B=2b 化为sin B cos C+sin C cos B=2sin B ,即sin(B+C )=2sin B.∵sin(B+C )=sin A ,∴sin A=2sin B.利用正弦定理可得a=2b ,故a b=2.5.已知数列{a n }满足3a n+1+a n =0,a 2=-43,则{a n }的前10项和等于( ) A.-6(1-3-10) B.19(1-3-10) C.3(1-3-10) D.3(1+3-10)答案:C解析:由3a n+1+a n =0,得a n+1a n=-13.所以{a n }是以q=-13为公比的等比数列. 所以a 1=a 2·1q =-43×(-3)=4.所以S 10=4[1-(-13)10]1+13=3(1-3-10),故选C .6.(2015河北邯郸三校联考,6)设变量x ,y 满足约束条件{x ≥1,x +y -4≤0,x -3y +4≤0,则目标函数z=3x-y 的最大值为( )A.-4B.0C.43D.4答案:D解析:画出不等式组表示的平面区域,将目标函数变形为y=3x-z,作出目标函数对应的直线,当直线过(2,2)时,直线在y轴上的截距最小,z最大,最大值为6-2=4.故选D.7.已知等差数列{a n}满足,a1>0,5a8=8a13,则前n项和S n取最大值时,n的值为()A.20B.21C.22D.23答案:B解析:由5a8=8a13得5(a1+7d)=8(a1+12d)⇒d=-361a1,由a n=a1+(n-1)d=a1+(n-1)(-361a1)≥0⇒n≤643=2113,所以数列{a n}前21项都是正数,以后各项都是负数,故S n取最大值时,n的值为21,选B.8.(2015福建宁德五校联考,8)已知正实数a,b满足2+1=1,x=a+b,则实数x的取值范围是()A.[6,+∞)B.(2√2,+∞)C.[4√2,+∞)D.[3+2√2,+∞)答案:D解析:∵2a +1b=1,∴x=a+b=(a+b)(2a +1b)=2+1+2ba+ab≥3+2√2(当且仅当2ba=ab,即b=√2+1,a=2+√2时,等号成立).故选D.9.(2015河南南阳高二期中,7)在△ABC中,若tan A tan B>1,则△ABC是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法确定答案:A解析:因为A和B都为三角形中的内角,由tan A tan B>1,得到1-tan A tan B<0,且得到tan A>0,tan B>0,即A ,B 为锐角, 所以tan(A+B )=tanA+tanB1-tanAtanB<0,则A+B ∈(π2,π),即C 为锐角, 所以△ABC 是锐角三角形.10.(2015山东潍坊四县联考,10)已知数列{a n }中,a 1=2,na n+1=(n+1)a n +2,n ∈N *,则a 11=( ) A.36 B.38 C.40 D.42答案:D解析:因为na n+1=(n+1)a n +2,n ∈N *,所以在等式的两边同时除以n (n+1),得a n+1n+1−a n n =2(1n -1n+1).所以a 1111=a 11+2[(110-111)+(19-110)+…+ (1-12)]=4211.所以a 11=42.故选D .11.(2015陕西高考,10)设f (x )=ln x ,0<ap C.p=r<q D.p=r>q答案:C解析:∵f (x )=ln x ,∴p=f (√ab )=ln √ab =12(ln a+ln b )=r.又∵0<a√ab .又∵y=ln x 为递增函数,∴lna+b2>ln √ab ,即q>r ,综上p=r<q.12.(2015河南南阳高二期中,6)对于数列{a n },定义数列{a n+1-a n }为数列a n 的“差数列”,若a 1=1,{a n }的“差数列”的通项公式为3n ,则数列{a n }的通项公式a n =( ) A.3n -1B.3n+1+2C.3n -12D.3n+1-12答案:C解析:∵a 1=1,a n+1-a n =3n ,∴a n =(a n -a n-1)+(a n-1-a n-2)+…+(a 2-a 1)+a 1=3n-1+3n-2+…+31+1=1×(1-3n )1-3=3n -12.故选C . 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.(2015广东湛江高二期末,14)若x>4,函数y=x+1x -4,当x= 时,函数有最小值为 . 答案:5 6解析:∵x>4,∴x-4>0.∴y=x+1x -4=x-4+1x -4+4≥2√(x -4)·1x -4+4=6.当且仅当x-4=1x -4即x=5时等号成立.14.(2015山东潍坊四县联考,12)等差数列{a n },{b n }的前n 项和分别为S n ,T n ,且S nn=3n -1,则a 8b 8= .答案:43解析:2a 82b 8=a 1+a 15b 1+b 15=152(a 1+a 15)152(b 1+b 15)=S 15T 15=3×15-12×15+3=43.15.设数列{a n }满足:a 1=1,a 2=4,a 3=9,a n =a n-1+a n-2-a n-3(n=4,5,…),则a 2 015= . 答案:8 057解析:由a n =a n-1+a n-2-a n-3,得a n+1=a n +a n-1-a n-2,两式作和得:a n+1=2a n-1-a n-3, 即a n+1+a n-3=2a n-1(n=4,5,…).∴数列{a n }的奇数项和偶数项均构成等差数列. ∵a 1=1,a 3=9,∴奇数项构成的等差数列的公差为8.则a 2 015=a 1+8(1 008-1)=1+8×1 007=8 057.故答案为8 057.16.(2015福建宁德五校联考,16)在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,有下列结论:①若A>B ,则sin A>sin B ;②若c 2<a 2+b 2,则△ABC 为锐角三角形;③若a ,b ,c 成等差数列,则sin A+sin C=2sin(A+C ); ④若a ,b ,c 成等比数列,则cos B 的最小值为12.其中结论正确的是 .(填上全部正确结论的序号) 答案:①③④解析:对于①,若A>B ,则a>b ,由正弦定理得sin A>sin B ,命题①正确;对于②,若c 2<a 2+b 2,则cos C=a 2+b 2-c 22ab >0,说明C 为锐角,但A ,B 不一定为锐角,△ABC 不一定是锐角三角形,命题②错误;对于③,若a ,b ,c 成等差数列,则a+c=2b ,结合正弦定理得:sin A+sin C=2sin B ,即sin A+sin C=2sin(A+C ),命题③正确;对于④,若a ,b ,c 成等比数列,则b 2=ac , 则cos B=a 2+c 2-b22ac=a 2+c 2-ac 2ac≥ac 2ac =12,命题④正确.三、解答题(17~20小题及22小题每小题12分,21小题10分,共70分)17.(2015福建厦门高二期末,17)已知△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且a=4,cos B=45. (1)若b=3,求sin A 的值;(2)若△ABC 的面积为12,求b 的值. 解:(1)∵cos B=45,0<B<π,∴sin B=√1-cos 2B =35.由正弦定理可得:asinA =bsinB . 又a=4,b=3,∴sin A=asinBb=4×353=45.(2)由面积公式,得S △ABC =12ac sin B ,∴12ac×35=12,可解得c=10.由余弦定理,b 2=a 2+c 2-2ac cos B=52,解得b=2√13.18.(2015河北邯郸三校联考,18)数列{a n }中,a 1=2,a n+1=a n +cn (c 是常数,n=1,2,3,…),且a 1,a 2,a 3成公比不为1的等比数列.(1)求c的值;(2)求{a n}的通项公式.解:(1)a1=2,a2=2+c,a3=2+3c,因为a1,a2,a3成等比数列,所以(2+c)2=2(2+3c),解得c=0或c=2.当c=0时,a1=a2=a3,不符合题意,舍去,故c=2.(2)当n≥2时,由于a2-a1=c,a3-a2=2c,…,a n-a n-1=(n-1)c,c.所以a n-a1=[1+2+…+(n-1)]c=n(n-1)2又a1=2,c=2,故a n=2+n(n-1)=n2-n+2(n=2,3,…).当n=1时,上式也成立.所以a n=n2-n+2(n=1,2,…).19.(2015河南南阳高二期中,19)△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知A,B,C成等差数列,△ABC的面积为√3.(1)求证:a,2,c成等比数列;(2)求△ABC的周长L的最小值,并说明此时△ABC的形状.(1)证明:∵A,B,C成等差数列,∴B=60°.又△ABC的面积为√3,∴1ac sin 60°=√3,即ac=4.2∵ac=22,∴a,2,c成等比数列.(2)解:在△ABC中,根据余弦定理,得b2=a2+c2-2ac cos 60°=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac=4,∴b≥2,当且仅当a=c时,等号成立.∴△ABC的周长L=a+b+c≥2√ac+b=4+b,当且仅当a=c时,等号成立.∴L≥4+2=6,当且仅当a=c时,等号成立.∴△ABC周长的最小值为6.∵a=c,B=60°,∴此时△ABC为等边三角形.20.(2015福建宁德五校联考,22)已知f(x)=x2-abx+2a2.(1)当b=3时,①若不等式f(x)≤0的解集为[1,2],求实数a的值;②求不等式f(x)<0的解集.(2)若f(2)>0在a∈[1,2]上恒成立,求实数b的取值范围.解:(1)当b=3时,f(x)=x2-abx+2a2=x2-3ax+2a2,①∵不等式f(x)≤0的解集为[1,2],∴1,2是方程x 2-3ax+2a 2=0的两根. ∴{1+2=3a ,1×2=2a 2,解得a=1.②∵x 2-3ax+2a 2<0, ∴(x-a )(x-2a )<0.∴当a>0时,此不等式的解集为(a ,2a ),当a=0时,此不等式的解集为空集, 当a<0时,此不等式的解集为(2a ,a ).(2)由题意f (2)=4-2ab+2a 2>0在a ∈[1,2]上恒成立, 即b<a+2a 在a ∈[1,2]上恒成立. 又a+2a ≥2√a ·2a =2√2,当且仅当a=2a ,即a=√2时上式等号成立.∴b<2√2,实数b 的取值范围是(-∞,2√2).21.(2015河南郑州高二期末,20)汽车在行驶中,由于惯性的作用,刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住,我们称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析事故的一个重要因素,某市的一条道路在一个限速为40 km/h 的弯道上,甲、乙两辆汽车相向而行,发现情况不对,同时刹车,但还是相撞了.事后现场勘查测得甲车刹车距离刚好12 m,乙车刹车距离略超过10 m .又知甲、乙两种车型的刹车距离S (m)与车速x (km/h)之间分别有如下关系:S 甲=0.1x+0.01x 2,S 乙=0.05x+0.005x 2. 问:甲、乙两车有无超速现象?解:由题意知,对于甲车,有0.1x+0.01x 2=12,即x 2+10x-1 200=0,解得x=30或x=-40(x=-40不符合实际意义,舍去). 这表明甲车的车速为30 km/h . 甲车车速不会超过限速40 km/h . 对于乙车,有0.05x+0.005x 2>10, 即x 2+10x-2 000>0,解得x>40或x<-50(x<-50不符合实际意义,舍去). 这表明乙车的车速超过40 km/h,超过规定限速.22.(2015河南南阳高二期中,22)已知数列{a n }中,a 1=1,a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n+12a n+1(n ∈N *). (1)求数列{a n }的通项a n ; (2)求数列{n 2a n }的前n 项和T n ;(3)若存在n ∈N *,使得a n ≥(n+1)λ成立,求实数λ的取值范围. 解:(1)因为a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n+12a n+1(n ∈N *), 所以a 1+2a 2+3a 3+…+(n-1)a n-1=n 2a n (n ≥2). 两式相减得na n =n+12a n+1-n2a n , 所以(n+1)a n+1na n=3(n ≥2). 因此数列{na n }从第二项起,是以2为首项,以3为公比的等比数列, 所以na n=2·3n-2(n ≥2).故a n ={1,n =1,2n·3n -2,n ≥2. (2)由(1)可知当n ≥2时,n 2a n =2n ·3n-2, 当n ≥2时,T n =1+4·30+6·31+…+2n ·3n-2,∴3T n =3+4·31+…+2(n-1)·3n-2+2n ·3n-1.两式相减得T n =12+(n -12)·3n-1(n ≥2). 又∵T 1=a 1=1也满足上式,∴T n =12+(n -12)·3n-1.(3)a n ≥(n+1)λ等价于λ≤a n, 由(1)可知当n ≥2时,an=2·3n -2, 设f (n )=n (n+1)2·3n -2(n ≥2,n ∈N *),则f (n+1)-f (n )=-(n+1)(n -1)3n -1<0,∴1f (n+1)≥1f (n ).又1f (2)=13及a 12=12,∴所求实数λ的取值范围为λ≤13.。

高中数学模块综合测试新人教A版必修5

模块综合测试时间：120分钟分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案1．在△ABC 中，a ＝1，b ＝3，B ＝120°，则A 等于( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．120°解析：由正弦定理可知a sin A ＝b sin B ⇒1sin A ＝3sin120°，∴sin A ＝12.又a <b ，∴A <B ，∴A ＝30°. 答案：A2．符合下列条件的三角形有且只有一个的是( ) A ．a ＝1，b ＝2，c ＝3 B ．a ＝1，b ＝2，A ＝30° C ．a ＝1，b ＝2，A ＝100° D ．b ＝c ＝1，B ＝45°解析：A 组不成三角形；对于B ，∵b sin30°＝22<1<2，∴B 有两解；C 组不成三角形，D 正确．答案：D3．在△ABC 中，sin A :sin B :sin C ＝3:2:4，那么cos C ＝( ) A.23 B.14 C ．－23D ．－14解析：由正弦定理知sin A :sin B :sin C ＝3:2:4，得到a :b :c ＝3:2:4，令a ＝3k ，b ＝2k ，c ＝4k (k >0)，由余弦定理知cos C ＝3k2＋2k 2－4k 22×3k ×2k＝－14，故选D.答案：D4．已知等差数列{a n }中，a n ＝4n －3，则首项a 1和公差d 的值分别为( ) A ．1,3 B ．－3,4 C ．1,4D ．1,2解析：∵a n ＝4n －3，∴a 1＝4－3＝1，d ＝a n －a n －1＝4. 答案：C5．已知等比数列{a n }的各项均为正数，前n 项之积为T n ，若T 5＝1，则必有( ) A ．a 1＝1 B ．a 3＝1 C ．a 4＝1D ．a 5＝1解析：∵T 5＝a 1·a 2·a 3·a 4·a 5＝(a 3)5＝1， ∴a 3＝1. 答案：B6．若△ABC 中，a ＝2b cos C ，则该三角形一定为( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰或直角三角形解析：∵a ＝2b cos C ， ∴sin A ＝2sin B ·cos C .∴sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ＝2sin B ·cos C . ∴sin B ·cos C －cos B ·sin C ＝sin(B －C )＝0. ∴B ＝C ，故选A. 答案：A7．等比数列{a n }的公比为13，前n 项的和为S n ，n ∈N *如S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等比数列，则其公比为( )A ．(13)2B ．(13)6C.13D.23解析：∵S 4－S 2S 2＝a 4＋a 3a 2＋a 1＝q 2a 2＋a 1a 2＋a 1＝q 2＝(13)2.答案：A8．等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6＋a 2a 9＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10的值为( )A ．12B ．10C ．8D ．2＋log 35解析：由题可知log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝log 3(a 1a 2…a 10)＝log 3(a 5a 6)5，又因为在等比数列中a 5a 6＋a 2a 9＝18，所以a 5a 6＝9，代入求解得原式的值为10，故选B.答案：B9．递减的等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 5＝S 10，则欲使S n 取最大值，n 的值为( ) A ．10 B ．7 C ．9D ．7或8解析：∵S 5＝S 10，∴a 6＋a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝0，∴a 8＝0.由于数列递减，故数列前7项为正，从第9项开始为负， ∴S n 取最大值时，n ＝7或8. 答案：D10．(2012·陕西卷)小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a ＜b )，其全程的平均时速为v ，则( )A ．a ＜v ＜abB ．v ＝ab C.ab ＜v ＜a ＋b2D ．v ＝a ＋b2解析：设甲、乙两地之间的距离为s . ∵a ＜b ，∴v ＝2ss a ＋sb＝2sab a ＋b s ＝2ab a ＋b ＜2ab2ab＝ab .又v －a ＝2ab a ＋b －a ＝ab －a 2a ＋b ＞a 2－a2a ＋b ＝0，∴v ＞a .答案：A11．设a >0，b >0.若3是3a 与3b的等比中项，则1a ＋1b的最小值为( )A ．8B ．4C ．1D.14解析：因为3a·3b＝3. 所以a ＋b ＝1. 1a ＋1b＝(a ＋b )(1a ＋1b )＝2＋b a ＋a b≥2＋2b a ·ab＝4. 当且仅当b a ＝a b 即a ＝b ＝12时“＝”成立，故选B.答案：B2 4 12xyz12.在如图所示的表格中，如果每格填上一个数后，每一行成等差数列，每一列成等比数列，那么x ＋y ＋z 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：由题知表格中第三列成首项为4，公比为12的等比数列，故有x ＝1.根据每行成等差数列得第四列前两个数字依次为5，52，故其公比为12，所以y ＝5×(12)3＝58，同理z ＝38.∴x ＋y ＋z ＝1＋58＋38＝2.答案：B第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分) 13．不等式1x≤x 的解集是________．解析：1x ≤x 等价于x －1x ≥0⇒x 2－1x≥0，所以不等式的解集为{x |－1≤x <0，或x ≥1}．答案：{x |－1≤x <0，或x ≥1}14．如果关于x 的不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，那么k 的取值范围是________．解析：当k ＝0时满足条件；当k ≠0时满足⎩⎪⎨⎪⎧k <0，Δ＝k 2－4×2k ×－38<0，解得－3<k ≤0.答案：－3<k ≤015．已知在△ABC 中，A ＝60°，最大边和最小边的长是方程3x 2－27x ＋32＝0的两实根，那么边BC 的长为________．解析：设方程3x 2－27x ＋32＝0的两根分别为b ，c 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c ＝9bc ＝323，由余弦定理可知BC 2＝b 2＋c 2－2bc cos60° ＝(b ＋c )2－3bc ＝81－32＝49， ∴BC ＝7. 答案：716．等差数列{a n }中，S n 是它的前n 项之和，且S 6<S 7，S 7>S 8，则①此数列的公差d <0；②S 9一定小于S 6；③a 7是各项中最大的一项；④S 7一定是S n 中的最大值．其中正确的是________．(填入你认为正确的所有序号)解析：由题S 6<S 7，S 7>S 8可知a 7>0，a 8<0，等差数列为递减数列，故①正确，且④也正确，由等差数列的前n 项和为关于n 的二次式可知，其单调性为先增再减，而S 9离对称轴的距离比S 6离对称轴的距离要远，因此对应的函数值要小，故②正确．答案：①②④三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(10分)在△ABC 中，a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，且2cos(A ＋B )＝1. (1)求角C 的度数；(2)求c ；(3)求△ABC 的面积．解：(1)∵2cos(A ＋B )＝1，∴cos C ＝－12.∴角C 的度数为120°.(2)∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根， ∴a ＋b ＝23，ab ＝2.由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C＝(a ＋b )2－2ab (cos C ＋1)＝12－2＝10，∴c ＝10. (3)S ＝12ab sin C ＝32.18．(12分)已知公差不为零的等差数列{a n }中，a 1＝1，且a 1，a 3，a 13成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，由a 1，a 3，a 13成等比数列，得a 23＝a 1·a 13即(1＋2d )2＝1＋12d ，得d ＝2或d ＝0(舍去)．故d ＝2，所以a n ＝2n －1. (2)b n ＝2a n ＝22n －1，所以数列{b n }是以2为首项，4为公比的等比数列． ∴S n ＝2＋23＋25＋…＋22n －1＝21－4n1－4＝23(4n－1)． 19．(12分)(2012·中山高二检测)如下图，从气球A 测得正前方的河流上的桥梁两端B ，C 的俯角α，β，如果这时气球的高度是h ，求桥梁BC 的长度．解：过A 作垂线AD 交CB 于D ，则在Rt △ADB 中，∠ABD ＝α，AB ＝hsin α.又在△ABC 中，∠C ＝β，∠BAC ＝α－β，由正弦定理，得BC sin α－β＝ABsin β，∴BC ＝AB ·sin α－βsin β＝h ·sin α－βsin α·sin β.20．(12分)已知下列不等式①x 2－4x ＋3<0；②x 2－6x ＋8<0；③2x 2－9x ＋a <0.要使①②成立的x 也满足③，请你找一个这样的a 值．解：解①x 2－4x ＋3<0，即(x －1)(x －3)<0，∴1<x <3.解②x 2－6x ＋8<0，即(x －2)(x －4)<0， ∴2<x <4，∴①②同时成立的x 的范围是2<x <3.2x 2－9x ＋a <0对应的二次方程为2x 2－9x ＋a ＝0，对应的二次函数f (x )＝2x 2－9x ＋a 的对称轴为x ＝94∈(2,3)．∵3－94>94－2，∴f (3)>f (2)，∴只须f (3)≤0即可．即2×32－9×3＋a ≤0，∴a ≤9.这样a 的值可取小于等于9中任一个，不妨取a ＝9. 21．(12分)等差数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n 满足条件S 2nS n＝4，n ＝1,2，…， (1)求数列{a n }的通项公式和S n ； (2)记b n ＝a n ·2n －1，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由S 2nS n＝4，得a 1＋a 2a 1＝4，所以a 2＝3a 1＝3，且d ＝a 2－a 1＝2. 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋2(n －1)＝2n －1，S n ＝n 1＋2n －12＝n 2.(2)由b n ＝a n ·2n －1，得b n ＝(2n －1)·2n －1.所以T n ＝1＋3·21＋5·22＋…＋(2n －1)·2n －1，①2T n ＝2＋3·22＋5·23＋…＋(2n －3)·2n －1＋(2n －1)·2n，②①－②得－T n ＝1＋2·2＋2·22＋…＋2·2n －1－(2n －1)·2n＝2(1＋2＋22＋…＋2n －1)－(2n －1)·2n－1＝21－2n1－2－(2n －1)·2n－1.所以T n ＝(2n －1)·2n＋1－(2n ＋1－2)＝(n －1)·2n ＋1－2n＋3.22．(12分)电视台某广告公司特约播放两部片集，其中片集甲每片播放时间为20分钟，广告时间为1分钟，收视观众为60万；片集乙每片播放时间为10分钟，广告时间为1分钟，收视观众为20万，广告公司规定每周至少有6分钟广告，而电视台每周只能为该公司提供不多于86分钟的节目时间(含广告时间)．(1)问电视台每周应播放两部片集各多少集，才能使收视观众最多；(2)在获得最多收视观众的情况下，片集甲、乙每集可分别给广告公司带来a 和b (万元)的效益，若广告公司本周共获得1万元的效益，记S ＝1a ＋1b为效益调和指数，求效益调和指数的最小值．(取2＝1.41)解：(1)设片集甲、乙分别播放x ，y 集，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥6，21x ＋11y ≤86，x ，y ∈N .要使收视观众最多，则只要z ＝60x ＋20y 最大即可．如图作出可行域，易知满足题意的最优解为(2,4)，z max ＝60×2＋20×4＝200，故电视台每周片集甲播出2集，片集乙播出4集，其收视观众最多．(2)由题意得：2a ＋4b ＝1，S ＝1a ＋1b ＝(1a ＋1b)(2a ＋4b ) ＝6＋2a b ＋4b a ≥6＋42＝11.64(万元)，当且仅当a ＝2－12，b ＝2－24时，取等号．所以效益调和指数的最小值为11.64万元．。

高中数学模块综合检测(含解析)新人教A版必修5

高中数学模块综合检测（含解析）新人教A 版必修5模块综合检测(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在数列{a n }中，S n ＝2n 2－3n (n ∈N *)，则a 4等于( ) A ．11 B ．15 C ．17D ．20解析：选A.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4n －5，当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1，符合，所以a n ＝4n －5，令n ＝4，得a 4＝11.2．已知a ，b ，c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，b ＝7，c ＝3，B ＝π6，那么a 等于( )A ．1B ．2C ．4D ．1或4解析：选C.在△ABC 中，b ＝7，c ＝3，cos B ＝32，由余弦定理有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即7＝a 2＋3－3a ，解得a ＝4或a ＝－1(舍去)．故a 的值为4.3．下列命题中，一定正确的是( ) A ．若a >b 且1a >1b，则a >0，b <0B ．若a >b ，b ≠0，则a b>1 C ．若a >b 且a ＋c >b ＋d ，则c >d D ．若a >b 且ac >bd ，则c >d解析：选A.A 正确，若ab >0，则a >b 与1a >1b不能同时成立；B 错，如取a ＝1，b ＝－1时，有a b＝－1<1；C 错，如a ＝5，b ＝1，c ＝1，d ＝2时，有a ＋c >b ＋d ，c <d ；D 错，取a ＝－1，b ＝－2，则a >b ，令c ＝－3，d ＝－1，有ac >bd ，c <d .4．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，x －y ≤2，x ≥0，y ≥0，则z ＝2x ＋y 的最大值是( )A ．2B ．4C ．7D ．8解析：选C.画出可行域如图(阴影部分)．目标函数为z ＝2x ＋y ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝4，x －y ＝2解得A (3，1)，当目标函数过A (3，1)时取得最大值，所以z max ＝2×3＋1＝7.5．设a >0，b >0，若lg a 和lg b 的等差中项是0，则1a ＋1b的最小值是( )A ．1B ．2C ．4D ．2 2解析：选B.因为lg a 和lg b 的等差中项是0，所以lg a ＋lg b ＝0，即ab ＝1，又a >0，b >0，所以1a ＋1b ≥21ab＝2，当且仅当a ＝b ＝1时取等号，因此1a ＋1b的最小值是2.6．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 1＝1，S 4S 2＝4，则S 6S 4的值为( ) A.32 B.54 C.94D ．4解析：选C.设公差为d ，则S 4＝4a 1＋6d ，S 2＝2a 1＋d ，结合S 4＝4S 2，a 1＝1，得d ＝2，所以S 4＝16，S 6＝36，所以S 6S 4＝94.7．当x ＞0时，不等式x 2－mx ＋9＞0恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，6) B ．(－∞，6] C ．[6，＋∞)D ．(6，＋∞)解析：选A.由题意得：当x ＞0时，mx ＜x 2＋9，即m ＜x ＋9x 恒成立．设函数f (x )＝x ＋9x(x ＞0)，则有x ＋9x≥2x ·9x ＝6，当且仅当x ＝9x，即x ＝3时，等号成立，则实数m 的取值范围是m ＜6.8．数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝a 2n (a n >0，n ∈N *)，则a n ＝( ) A ．10n －2B ．10n －1C ．102n －1D ．22n －1解析：选D.因为数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝a 2n (a n >0，n ∈N *)，所以log 2 a n ＋1＝2log 2a n ，即log 2 a n ＋1log 2 a n＝2. 又a 1＝2，所以log 2a 1＝log 2 2＝1.故数列{log 2a n }是首项为1，公比为2的等比数列．所以log 2a n ＝2n －1，即a n ＝22n －1.故选D.9．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且4S＝(a ＋b )2－c 2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C 等于 ( )A ．1B ．－22C.22D.32解析：选C.因为S ＝12ab sin C ，cos C ＝a 2＋b 2－c22ab，所以2S ＝ab sin C ，a 2＋b 2－c 2＝2ab cosC ．又4S ＝(a ＋b )2－c 2＝a 2＋b 2－c 2＋2ab ，所以2ab sin C ＝2ab cos C ＋2ab .因为ab ≠0，所以sin C ＝cos C ＋1.因为sin 2C ＋cos 2C ＝1，所以(cos C ＋1)2＋cos 2C ＝1，解得cos C ＝－1(不合题意，舍去)或cos C ＝0，所以sin C ＝1，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C ＝22(sin C ＋cos C )＝22.10．一个等比数列前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有( )A ．13项B ．12项C ．11项D ．10项解析：选B.设该数列的前三项分别为a 1，a 1q ，a 1q 2，后三项分别为a 1qn －3，a 1qn －2，a 1qn－1，所以前三项之积a 31q 3＝2，后三项之积a 31q3n －6＝4，两式相乘得a 61q3(n －1)＝8，即a 21qn －1＝2.又a 1·a 1q ·a 1q 2·…·a 1q n －1＝64，所以a n1·q n （n －1）2＝64，即(a 21q n －1)n ＝642，即2n ＝642，所以n ＝12.11．如图所示，为了测量A ，B 处岛屿的距离，小明在D 处观测A ，B 分别在D 处的北偏西15°，北偏东45°方向，再往正东方向行驶40海里至C 处，观测B 在C 处的正北方向，A 在C 处的北偏西60°方向，则A ，B 两处岛屿间的距离为( )A ．20 6 海里B ．40 6 海里C ．20(1＋3) 海里D ．40海里解析：选A.连接AB ，由题意可知CD ＝40，∠ADC ＝105°，∠BDC ＝45°，∠BCD ＝90°，∠ACD ＝30°，所以∠CAD ＝45°，∠ADB ＝60°，在△ACD 中，由正弦定理得ADsin 30°＝40sin 45°，所以AD ＝202，在Rt △BCD 中，因为∠BDC ＝45°，∠BCD ＝90°，所以BD ＝2CD ＝40 2. 在△ABD 中，由余弦定理得AB ＝800＋3 200－2×202×402×cos 60°＝20 6.12．已知不等式x 2－ax ＋a －2＞0的解集为(－∞，x 1)∪ (x 2，＋∞)，其中x 1＜0＜x 2，则x 1＋x 2＋2x 1＋2x 2的最大值为( )A.32 B ．0 C ．2D ．－32解析：选B.因为不等式x 2－ax ＋a －2＞0的解集为(－∞，x 1)∪ (x 2，＋∞)，其中x 1＜0＜x 2，所以x 1x 2＝a －2＜0，x 1＋x 2＝a .所以x 1＋x 2＋2x 1＋2x 2＝(x 1＋x 2)＋2（x 1＋x 2）x 1x 2＝a ＋2a a －2＝a ＋2a －4＋4a －2＝a ＋2＋4a －2＝(a －2)＋4a －2＋4；又a －2＜0，所以－(a －2)＞0，所以－(a －2)－4a －2≥2－（a －2）×⎝ ⎛⎭⎪⎫－4a －2＝4，当且仅当－(a －2)＝－4a －2，即a ＝0时，取“＝”；所以(a －2)＋4a －2＋4≤－4＋4＝0，即x 1＋x 2＋2x 1＋2x 2的最大值为0.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． 13．不等式(2－x )(2x ＋1)＞0的解集为________．解析：原不等式等价于(x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＜0，解得－12＜x ＜2，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－12＜x ＜2.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－12＜x ＜214．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1－2a n ＝0(n ∈N *)，b n 是a n 和a n ＋1的等差中项，设S n 为数列{b n }的前n 项和，则S 6＝________．解析：由a n ＋1＝2a n ，{a n }为等比数列，所以a n ＝2n，所以2b n ＝2n＋2n ＋1，即b n ＝3·2n －1，所以S 6＝3·1＋3·2＋…＋3·25＝189.答案：18915．设z ＝kx ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，2x －y －4≤0.若z 的最大值为12，则实数k＝________．解析：约束条件所表示的区域为如图所示的阴影部分，其中点A (4，4)，B (0，2)，C (2，0)．当－k ≤12，即k ≥－12时，目标函数z＝kx ＋y 在点A (4，4)处取得最大值12，故4k ＋4＝12，k ＝2，满足题意；当－k ＞12，即k ＜－12时，目标函数z ＝kx ＋y 在点B (0，2)处取得最大值12，故k ·0＋2＝12，无解．综上所述，k ＝2.答案：216．已知数列{a n }的前n 项和是S n ，且4S n ＝(a n ＋1)2，则下列说法正确的是________(填序号)．①数列{a n }是等差数列；②数列{a n }是等差数列或等比数列； ③数列{a n }是等比数列；④数列{a n }既不是等差数列也不是等比数列．解析：因为4S n ＝(a n ＋1)2，所以4S n ＋1＝(a n ＋1＋1)2，所以4S n ＋1－4S n ＝4a n ＋1＝(a n ＋1＋1)2－(a n ＋1)2，化简得(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n －2)＝0，所以a n ＋1＝a n ＋2或a n ＋1＋a n ＝0.因为4a 1＝(a 1＋1)2，所以a 1＝1.由a n ＋1＝a n ＋2得a n ＋1－a n ＝2，从而数列{a n }是等差数列；由a n ＋1＋a n ＝0得a n ＋1a n＝－1，从而数列{a n }是等比数列．故数列{a n }是等差数列或等比数列．答案：②三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＝3，S 7＝49，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝（a n ＋1）·2n －1n，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)设数列{a n }的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝3，7a 1＋7×62d ＝49，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2.故a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1(n ∈N *)，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1(n ∈N *)． (2)b n ＝（a n ＋1）·2n －1n＝（2n －1＋1）·2n －1n＝2n，即{b n }是b 1＝2，q ＝2的等比数列，所以T n ＝b 1（1－q n ）1－q ＝2（1－2n ）1－2＝2n ＋1－2(n ∈N *)．18．(本小题满分12分)已知f (x )＝x 2－⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a x ＋1.(1)当a ＝12时，解不等式f (x )≤0；(2)若a ＞0，解关于x 的不等式f (x )≤0.解：(1)当a ＝12时，有不等式f (x )＝x 2－52x ＋1≤0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12(x －2)≤0，所以12≤x ≤2，即所求不等式的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.(2)因为f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －a )≤0，a ＞0，且方程⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －a )＝0的两根为x 1＝a ，x 2＝1a，所以当1a＞a ，即0＜a ＜1时，不等式的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a ；当1a＜a ，即a ＞1时，不等式的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a，a ；当1a＝a ，即a ＝1时，不等式的解集为{1}．19．(本小题满分12分)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0.(1)求A ；(2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c .解：(1)由a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0及正弦定理得 sin A cos C ＋3sin A sin C －sin B －sin C ＝0. 因为B ＝π－A －C ，所以3sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0.由于sin C ≠0，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝12.又0<A <π，故A ＝π3.(2)△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3，故bc ＝4.而a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2＝8.解得b ＝c ＝2.20．(本小题满分12分)在△ABC 中，已知AB ＝3，BC ＝2. (1)若cos B ＝－36，求sin C 的值； (2)求角C 的取值范围．解：(1)在△ABC 中，由余弦定理知AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝3＋4－2×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫－36＝9，所以AC ＝3.又sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－362＝336，由正弦定理得AB sin C ＝AC sin B ，所以sin C ＝AB AC ·sin B ＝116.(2)在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos C ，所以3＝AC 2＋4－4AC ·cos C ，即AC 2－4cos C ·AC ＋1＝0 ①，由题意得关于AC 的一元二次方程①有解，令Δ＝(4cos C )2－4≥0，解得cos C ≥12 或cos C ≤－12，。

人教A版高中数学必修五必修五综合测试题 (第三套).docx

必修五综合测试题 (第三套)一．选择题:1. 已知等差数列}{n a 中，12497,1,16a a a a 则==+的值是( )A . 15B . 30 C. 31 D. 642. 若全集U=R,集合M ＝{}24x x >，S ＝301x xx ⎧-⎫>⎨⎬+⎩⎭，则()U M S I ð=( ) A.{2}x x <- B. {23}x x x <-≥或 C. {3}x x ≥ D. {23}x x -≤<3. 若1＋2＋22＋ (2)>128，n ÎN*，则n 的最小值为( ) A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 4. 在ABC V 中，60B =o ，2b ac =，则ABC V 一定是( )A 、等腰三角形B 、等边三角形C 、锐角三角形D 、钝角三角形 5. 若不等式022>++bx ax的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-3121|x x ，则a －b 值是( )A.－10B.－14C. 10D. 14 6. 在等比数列{a n }中，4S =1，8S =3，则20191817a a a a +++的值是( )A ．14B ．16C ．18D ．207．已知12=+y x ，则y x 42+的最小值为( ) A ．8 B ．6 C ．22 D ．238. 黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案，则第n 个图案中有白色地面砖的块数是( ) A.42n +B.42n -C.24n +D.33n +9. 已知变量y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥<+≤+-12553034x y x y x ，目标函数是y x z +=2，则有( )A ．3,12min max ==z zB ．,12max=z z 无最小值C ．z z ,3min=无最大值 D ．z 既无最大值，也无最小值10．在R 上定义运算:(1)x y x y ⊗⊗=-，若不等式()()1x a x a -⊗+<对任意实数x 成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．11a -<< B ．02a << C ．1322a -<< D ．3122a -<< 二填空题： 11. 在数列{}n a 中，11a =，且对于任意正整数n ，都有1n n a a n +=+，则100a ＝______第1个第2个第3个12．在⊿ABC 中，5:4:21sin :sin :sin=C B A ，则角A =13．某校要建造一个容积为83m ，深为2m 的长方体无盖水池，池底和池壁的造价每平方米分别为240元和160元，那么水池的最低总造价为元。

2020高二数学人教A必修5 模块综合检测 Word版含解析

模块综合检测(时间:120分钟满分:150分)知识点分布表一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.(2015江西吉安联考,1)若a,b,c∈R,a>b,则下列不等式成立的是()A. B.C.a2>b2D.a|c|>b|c|答案:B解析:A.∵当1>-2时,1<-不成立,∴不成立.B.∵c2+1≥1,a>b,∴,故B正确.C.∵当1>-2时,1>4不成立,∴a2>b2不成立.D.当c=0时,0=a|c|>b|c|=0,不成立.故选B.2.在△ABC中,A=60°,AB=2,且△ABC的面积为,则BC的长为()A. B.3 C. D.7答案:A解析:S=×AB·AC sin 60°=×2×AC=,所以AC=1.所以BC2=AB2+AC2-2AB·AC cos 60°=3.所以BC=,故选A.3.若5,x,y,z,21成等差数列,则x+y+z的值为()A.26B.29C.39D.52答案:C解析:因为5,x,y,z,21构成等差数列,所以y是x,z的等差中项,也是5,21的等差中项,所以x+z=2y,5+21=2y,所以y=13,x+z=26,所以x+y+z=39.4.在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,已知b cos C+c cos B=2b,则等于()A.1B.C.2D.答案:C解析:利用正弦定理,将b cos C+c cos B=2b化为sin B cos C+sin C cos B=2sin B, 即sin(B+C)=2sin B.∵sin(B+C)=sin A,∴sin A=2sin B.利用正弦定理可得a=2b,故=2.5.已知数列{a n}满足3a n+1+a n=0,a2=-,则{a n}的前10项和等于()A.-6(1-3-10)B.(1-3-10)C.3(1-3-10)D.3(1+3-10)答案:C解析:由3a n+1+a n=0,得=-.所以{a n}是以q=-为公比的等比数列.所以a1=a2·=-×(-3)=4.所以S10=--=3(1-3-10),故选C.则目标6.(2015河北邯郸三校联考,6)设变量x,y满足约束条件--函数z=3x-y的最大值为() A.-4 B.0 C. D.4答案:D解析:画出不等式组表示的平面区域,直线在y轴上的截距最小,z最大,最大值为6-2=4.故选D.7.已知等差数列{a n}满足,a1>0,5a8=8a13,则前n项和S n取最大值时,n的值为()A.20B.21C.22D.23答案:B解析:由5a8=8a13得5(a1+7d)=8(a1+12d)⇒d=-a1,由a n=a1+(n-1)d=a1+(n-1)-≥0⇒n≤=21,所以数列{a n}前21项都是正数,以后各项都是负数,故S n取最大值时,n的值为21,选B.8.(2015福建宁德五校联考,8)已知正实数a,b满足=1,x=a+b,则实数x的取值范围是()A.[6,+∞)B.(2,+∞)C.[4,+∞)D.[3+2,+∞)答案:D解析:∵=1,∴x=a+b=(a+b)=2+1+≥3+2当且仅当即时等号成立.故选D.9.(2015河南南阳高二期中,7)在△ABC中,若tan A tan B>1,则△ABC是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法确定答案:A解析:因为A和B都为三角形中的内角,由tan A tan B>1,得到1-tan A tan B<0,且得到tan A>0,tan B>0,即A,B为锐角,<0,所以tan(A+B)=-则A+B∈ππ,即C为锐角,所以△ABC是锐角三角形.10.(2015山东潍坊四县联考,10)已知数列{a n}中,a1=2,na n+1=(n+1)a n+2,n∈N*,则a11=()A.36B.38C.40D.42答案:D解析:因为na n+1=(n+1)a n+2,n∈N*,所以在等式的两边同时除以n(n+1),得=2-.所以+2--…-.所以a11=42.故选D.11.(2015陕西高考,10)设f(x)=ln x,0<a<b,若p=f(),q=f,r=(f(a)+f(b)),则下列关系式中正确的是()A.q=r<pB.q=r>pC.p=r<qD.p=r>q答案:C解析:∵f(x)=ln x,∴p=f()=ln(ln a+ln b)=r.又∵0<a<b,∴.又∵y=ln x为递增函数,∴ln>ln,即q>r,综上p=r<q.12.(2015河南南阳高二期中,6)对于数列{a n},定义数列{a n+1-a n}为数列a n的“差数列”,若a1=1,{a n}的“差数列”的通项公式为3n,则数列{a n}的通项公式a n=()A.3n-1B.3n+1+2C.-D.-答案:C解析:∵a1=1,a n+1-a n=3n,∴a n=(a n-a n-)+(a n-1-a n-2)+…+(a2-a1)+a11=3n-1+3n-2+…+31+1-.故选C.=--二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.(2015广东湛江高二期末,14)若x>4,函数y=x+-,当x= 时,函数有最小值为 . 答案:5 6解析:∵x>4,∴x-4>0.∴y=x+ - =x-4+- +4≥2 - ·-+4=6.当且仅当x-4=-即x=5时等号成立.14.(2015山东潍坊四县联考,12)等差数列{a n },{b n }的前n 项和分别为S n ,T n ,且- ,则= .答案:解析:-.15.设数列{a n }满足:a 1=1,a 2=4,a 3=9,a n =a n-1+a n-2-a n-3(n=4,5,…),则a 2015= .答案:8 057解析:由a n =a n-1+a n-2-a n-3,得a n+1=a n +a n-1-a n-2,两式作和得:a n+1=2a n-1-a n-3, 即a n+1+a n-3=2a n-1(n=4,5,…).∴数列{a n }的奇数项和偶数项均构成等差数列. ∵a 1=1,a 3=9,∴奇数项构成的等差数列的公差为8.则a2 015=a1+8(1 008-1)=1+8×1 007=8 057.故答案为8 057.三、解答题(17~20小题及22小题每小题12分,21小题10分,共70分)17.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=4,cos B=.(1)若b=3,求sin A的值;(2)若△ABC的面积为12,求b的值.解:(1)∵cos B=,0<B<π,∴sin B=-.由正弦定理可得:.又a=4,b=3,∴sin A=.(2)由面积公式,得S△ABC=ac sin B,∴ac×=12,可解得c=10.由余弦定理,b2=a2+c2-2ac cos B=52,解得b=2.18.数列{a n}中,a1=2,a n+1=a n+cn(c是常数,n=1,2,3,…),且a1,a2,a3成公比不为1的等比数列.(1)求c的值;(2)求{a n}的通项公式.解:(1)a1=2,a2=2+c,a3=2+3c,因为a1,a2,a3成等比数列,所以(2+c)2=2(2+3c),解得c=0或c=2.当c=0时,a1=a2=a3,不符合题意,舍去,故c=2.(2)当n≥2时,由于a2-a1=c,a3-a2=2c,…,a n-a n-1=(n-1)c,所以a n-a1=[1+2+…+(n-1)]c=- c.又a1=2,c=2,故a n=2+n(n-1)=n2-n+2(n=2,3,…).当n=1时,上式也成立.所以a n=n2-n+2(n=1,2,…).19△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知A,B,C成等差数列,△ABC 的面积为.(1)求证:a,2,c成等比数列;(2)求△ABC的周长L的最小值,并说明此时△ABC的形状.(1)证明:∵A,B,C成等差数列,∴B=60°.又△ABC的面积为,∴ac sin 60°=,即ac=4.∵ac=22,∴a,2,c成等比数列.(2)解:在△ABC中,根据余弦定理,得b2=a2+c2-2ac cos 60°=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac=4,∴b≥2,当且仅当a=c时,等号成立.∴△ABC的周长L=a+b+c≥2+b=4+b,当且仅当a=c时,等号成立.∴L≥4+2=6,当且仅当a=c时,等号成立.∴△ABC周长的最小值为6.∵a=c,B=60°,∴此时△ABC为等边三角形.20已知f(x)=x2-abx+2a2.(1)当b=3时,①若不等式f(x)≤0的解集为[1,2],求实数a的值;②求不等式f(x)<0的解集.(2)若f(2)>0在a∈[1,2]上恒成立,求实数b的取值范围.解:(1)当b=3时,f(x)=x2-abx+2a2=x2-3ax+2a2,①∵不等式f(x)≤0的解集为[1,2],∴1,2是方程x2-3ax+2a2=0的两根.∴解得a=1.②∵x2-3ax+2a2<0,∴(x-a)(x-2a)<0.∴当a>0时,此不等式的解集为(a,2a),当a=0时,此不等式的解集为空集,当a<0时,此不等式的解集为(2a,a).(2)由题意f(2)=4-2ab+2a2>0在a∈[1,2]上恒成立,即b<a+在a∈[1,2]上恒成立.又a+≥2·=2,当且仅当a=,即a=时上式等号成立.∴b<2,实数b的取值范围是(-∞,2).21.汽车在行驶中,由于惯性的作用,刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住,我们称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析事故的一个重要因素,某市的一条道路在一个限速为40 km/h的弯道上,甲、乙两辆汽车相向而行,发现情况不对,同时刹车,但还是相撞了.事后现场勘查测得甲车刹车距离刚好12 m,乙车刹车距离略超过10 m.又知甲、乙两种车型的刹车距离S(m)与车速x(km/h)之间分别有如下关系:S甲=0.1x+0.01x2,S乙=0.05x+0.005x2.问:甲、乙两车有无超速现象?解:由题意知,对于甲车,有0.1x+0.01x2=12,即x2+10x-1 200=0,解得x=30或x=-40(x=-40不符合实际意义,舍去).这表明甲车的车速为30 km/h.甲车车速不会超过限速40 km/h.对于乙车,有0.05x+0.005x2>10,即x2+10x-2 000>0,解得x>40或x<-50(x<-50不符合实际意义,舍去).这表明乙车的车速超过40 km/h,超过规定限速.。

高中数学模块综合检测(一)新人教A版必修5

模块综合检测（一）(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．一个等差数列的第5项a 5＝10，且a 1＋a 2＋a 3＝3，则有( ) A ．a 1＝－2，d ＝3 B ．a 1＝2，d ＝－3 C ．a 1＝－3，d ＝2D ．a 1＝3，d ＝－2解析：选A ∵a 1＋a 2＋a 3＝3且2a 2＝a 1＋a 3， ∴a 2＝1.又∵a 5＝a 2＋3d ＝1＋3d ＝10， ∴d ＝3，∴a 1＝a 2－d ＝1－3＝－2.2．若a <1，b >1，那么下列命题中正确的是( ) A.1a >1bB.b a>1 C ．a 2<b 2D ．ab <a ＋b解析：选D 利用特值法，令a ＝－2，b ＝2. 则1a <1b ，A 错；b a<0，B 错；a 2＝b 2，C 错．3．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y ≥0，x ≤1，则z ＝2x ＋y 的最小值是( )A ．－1B ．1C ．－2D ．2解析：选A 由不等式组作出可行域如图所示，由图可知：当直线y ＝－2x ＋z 经过点A (－1,1)时，z 取得最小值为－1.4．已知△ABC 的三个内角之比为A ∶B ∶C ＝3∶2∶1，那么，对应的三边之比a ∶b ∶c 等于( )A ．3∶2∶1 B.3∶2∶1 C.3∶2∶1D ．2∶3∶1解析：选D ∵A ∶B ∶C ＝3∶2∶1，A ＋B ＋C ＝180°， ∴A ＝90°，B ＝60°，C ＝30°.∴a ∶b ∶c ＝sin 90°∶sin 60°∶sin 30° ＝1∶32∶12＝2∶3∶1. 5．已知△ABC 中，三内角A ，B ，C 依次成等差数列，三边a ，b ，c 成等比数列，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．等腰直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形解析：选D 由题意可得B ＝60°，再由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ，又三边a ，b ，c 成等比数列，所以b 2＝ac ，上式即为a 2＋c 2－2ac ＝(a －c )2＝0，则a ＝c ，所以△ABC 是等边三角形．6．等比数列{a n }的前4项和为240，第2项与第4项的和为180，则数列{a n }的首项为( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：选C S 4－(a 2＋a 4)＝60⇒a 1＋a 3＝60. ∴q ＝a 2＋a 4a 1＋a 3＝3，a 1＝6. 7．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若A ＝π3，b ＝1，△ABC 的面积为32，则a 的值为( )A ．1B ．2 C.32D. 3解析：选D 根据S ＝12bc sin A ＝32，可得c ＝2，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝3，故a ＝ 3.8．关于x 的不等式x 2－ax －6a ＜0的解集是{x |m ＜x ＜n }，且n －m ≤5，则实数a 的取值范围是( )A ．[－25，－24)B ．(0,1]C ．(－25，－24)∪(0,1)D ．[－25，－24)∪(0,1]解析：选D 由题意知，方程x 2－ax －6a ＝0有两根分别为m 和n ，则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a 2＋24a ＞0⇒a ＜－24或a ＞0，m ＋n ＝a ，mn ＝－6a .又0＜n －m ≤5，∴(n －m )2＝(n ＋m )2－4nm ＝a 2＋24a ≤25，即a 2＋24a －25≤0，解得－25≤a ≤1. ∴－25≤a ＜－24或0＜a ≤1.故实数a 的取值范围是[－25，－24)∪(0,1]．9．实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≤a a >1 ，x －y ≤0，若函数z ＝x ＋y 的最大值为4，则实数a 的值为( )A ．2B ．3C ．4D.32解析：选A 由不等式组作出可行域，如图所示的阴影部分，当z ＝x ＋y 过y ＝x 和y ＝a 的交点A (a ，a )时，z 取得最大值，即z max ＝a ＋a ＝4，所以a ＝2.10．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若内角A ，B ，C 依次成等差数列，且不等式－x 2＋6x －8>0的解集为{x |a <x <c }，则S △ABC 等于( )A. 3 B ．2 3 C ．3 3D ．4 3解析：选B 由于不等式－x 2＋6x －8>0的解集为{x |2<x <4}， ∴a ＝2，c ＝4.又角A ，B ，C 依次成等差数列，∴B ＝π3，∴S △ABC ＝12×2×4×sin π3＝2 3.11．一个等比数列前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有( )A ．13项B ．12项C ．11项D ．10项解析：选B 设该数列的前三项分别为a 1，a 1q ，a 1q 2，后三项分别为a 1qn －3，a 1qn －2，a 1qn－1.所以前三项之积a 31q 3＝2，后三项之积a 31q 3n －6＝4，两式相乘，得a 61q3(n －1)＝8，即a 21qn －1＝2.又a 1·a 1q ·a 1q 2·…·a 1q n －1＝64，所以a n1·q (-)12n n ＝64，即(a 21qn －1)n＝642，即2n ＝642，所以n ＝12.12．函数y ＝x 2＋2x －1(x ＞1)的最小值是( )A ．23＋2B ．23－2C ．2 3D ．2解析：选A ∵x ＞1， ∴x －1＞0.∴y ＝x 2＋2x －1＝x 2－2x ＋2x ＋2x －1＝x 2－2x ＋1＋2 x －1 ＋3x －1＝ x －1 2＋2 x －1 ＋3x －1＝x －1＋3x －1＋2≥23＋2. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中的横线上)13．若规定⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ，则1<⎪⎪⎪⎪⎪⎪211x <2的解集是________．解析：由已知可得1<2x －1<2，解得1<x <32，所以所求解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|1<x <32.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|1<x <3214．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1－2a n ＝0(n ∈N *)，b n 是a n 和a n ＋1的等差中项，设S n 为数列{b n }的前n 项和，则S 6＝________.解析：由a n ＋1＝2a n ，{a n }为等比数列， ∴a n ＝2n. ∴2b n ＝2n＋2n ＋1，即b n ＝3×2n －1，∴S 6＝3×1＋3×2＋…＋3×25＝189. 答案：18915．已知A 船在灯塔C 北偏东80°处，且A 到C 的距离为2 km ，B 船在灯塔C 北偏西40°处，A ，B 两船的距离为3 km ，则B 到C 的距离为________ km.解析：如图所示，在△ABC 中， ∠ACB ＝40°＋80°＝120°，AB ＝3 km ，AC ＝2 km.设BC ＝a km.由余弦定理的推论，得cos 120°＝a 2＋4－94a，解得a ＝6－1或a ＝－6－1(舍去)，即B 到C 的距离为(6－1) km. 答案：(6－1)16．不等式ax 2＋4x ＋a ＞1－2x 2对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意得k ＋1＋k ＜3，即(k ＋2)(k －1)＜0，且k ＞0，因此k 的取值范围是(0,1)．答案：(0,1)三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos B ＝35.(1)若b ＝4，求sin A 的值； (2)若S △ABC ＝4，求b ，c 的值．解：(1)∵cos B ＝35>0，且0<B <π，∴sin B ＝1－cos 2B ＝45.由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得sin A ＝a sin Bb ＝2×454＝25.(2)∵S △ABC ＝12ac sin B ＝4，∴12·2·c ·45＝4. ∴c ＝5.由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得b ＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝22＋52－2×2×5×35＝17.18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝log 3(x 2－4x ＋m )的图象过点(0,1)． (1)求实数m 的值； (2)解不等式：f (x )≤1.解：(1)由已知有f (0)＝log 3m ＝1， ∴m ＝3.(2)由(1)知f (x )＝log 3(x 2－4x ＋3)．由x 2－4x ＋3>0，得x <1或x >3，∴函数的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)． ∵log 3(x 2－4x ＋3)≤1且y ＝log 3x 为增函数， ∴0<x 2－4x ＋3≤3， ∴0≤x <1或3<x ≤4，∴不等式的解集为{x |0≤x <1或3＜x ≤4}．19．(陕西高考)(本小题满分12分)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . (1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )； (2)若a ，b ，c 成等比数列，求cos B 的最小值．解：(1)证明：∵a ，b ，c 成等差数列， ∴a ＋c ＝2b .由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B. ∵sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )， ∴sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )． (2)∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac . 由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ≥2ac －ac 2ac ＝12，当且仅当a ＝c 时等号成立．∴cos B 的最小值为12.20．(本小题满分12分)设数列{a n }的前n 项和为S n ＝2n 2，{b n }为等比数列，且a 1＝b 1，b 2(a 2－a 1)＝b 1.(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)设c n ＝a n b n，求数列{c n }的前n 项和T n . 解：(1)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－2(n －1)2＝4n －2，当n ＝1时，a 1＝S 1＝2满足上式，故{a n }的通项公式为a n ＝4n －2. 设{b n }的公比为q ，由已知条件a 1＝b 1，b 2(a 2－a 1)＝b 1知，b 1＝2，b 2＝12，所以q ＝14，∴b n ＝b 1qn －1＝2×14n －1，即b n ＝24n －1.(2)∵c n ＝a n b n ＝4n －224n －1＝(2n －1)4n －1，∴T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝1＋3×41＋5×42＋…＋ (2n －1)4n －1.4T n ＝1×4＋3×42＋5×43＋…＋(2n －3)4n －1＋(2n －1)4n. 两式相减得3T n ＝－1－2(41＋42＋43＋…＋4n －1)＋(2n －1)4n＝13[(6n －5)4n＋5]． ∴T n ＝19[(6n －5)4n＋5]．21．(本小题满分12分)如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求B 在AM 上，D 在AN 上，且对角线MN 过C 点，已知AB ＝3米，AD ＝2米．(1)要使矩形AMPN 的面积大于32平方米，则AN 的长应在什么范围内？ (2)当AN 的长度是多少时，矩形AMPN 的面积最小？请求最小面积．解：(1)设AN ＝x (x >2)米，则ND ＝x －2，因为ND DC ＝AN AM，所以x －23＝x AM，所以AM ＝3x x －2. 所以3xx －2·x >32，所以3x 2－32x ＋64>0，所以(3x －8)(x －8)>0，所以2<x <83或x >8.即2<AN <83或AN >8.(2)S 矩形AMPN ＝3x2x －2＝3 x －2 2＋12 x －2 ＋12x －2＝3(x －2)＋12x －2＋12≥236＋12＝24，当且仅当x ＝4时取等号．所以当AN 的长度是4米时，矩形AMPN 的面积最小，最小面积为24平方米．22．(本小题满分12分)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，y ≤－nx ＋3n所表示的平面区域为D n ，记D n 内的整点个数为a n (n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)记数列{a n }的前n 项和为S n ，且T n ＝S n3·2n －1，若对一切的正整数n ，总有T n ≤m ，求实数m 的取值范围．解：(1)由x >0，y >0,3n －nx ≥y ，得0<x <3. 则D n 内的整点在直线x ＝1和x ＝2上．记y ＝－nx ＋3n 为l ，l 与x ＝1，x ＝2的交点的纵坐标分别为y 1，y 2，则y 1＝2n ，y 2＝n ，∴a n ＝3n (n ∈N *)． (2)∵S n ＝3(1＋2＋…＋n )＝3n n ＋12， ∴T n ＝n n ＋12n.令T n ＋1T n ＝n ＋22n>1，解得n <2， ∴当n ≥3时，T n >T n ＋1，且T 1＝1<T 2＝T 3＝32，即T n 的最大值为32.所以实数m 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.。

[精品]新人教A版必修五高中数学模块综合测评2和答案

模块综合测评(二)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．数列1,3,7,15，…的通项a n可能是( )A．2n B．2n＋1C．2n－1 D．2n－1【解析】取n＝1时，a1＝1，排除A、B，取n＝2时，a2＝3，排除D.【答案】 C2．不等式x2－2x－5>2x的解集是( )A．{x|x≤－1或x≥5}B．{x|x<－1或x>5}C．{x|1<x<5}D．{x|－1≤x≤5}【解析】不等式化为x2－4x－5>0，所以(x－5)(x＋1)>0，所以x<－1或x>5.【答案】 B3．在正项等比数列{a n}中，a1和a19为方程x2－10x＋16＝0的两根，则a8·a10·a12等于( )A．16 B．32C．64 D．256【解析】∵{a n}是等比数列且由题意得a1·a19＝16＝a210(a n>0)，∴a8·a10·a12＝a310＝64.【答案】 C4．下列不等式一定成立的是( )A ．lg ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋14>lg x (x >0)B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1x 2＋1>1(x ∈R ) 【解析】5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ac ＝3，且a ＝3b sin A ，则△ABC 的面积等于( )A.12B.32 C ．1D.34【解析】 ∵a ＝3b sin A ，∴由正弦定理得sin A ＝3sin B sin A ，∴sin B ＝13.∵ac ＝3，∴△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12×3×13＝12，故选 A.【答案】 A6．等比数列{a n }前n 项的积为T n ，若a 3a 6a 18是一个确定的常数，那么数列T 10，T 13，T 17，T 25中也是常数的项是( )A ．T 10B ．T 13C ．T 17D ．T 25【解析】由等比数列的性质得a 3a 6a 18＝a 6a 10a 11＝a 8a 9a 10＝a 39，而T 17＝a 179，故T 17为常数．【答案】 C7．已知不等式x 2－2x －3<0的解集为A ，不等式x 2＋x －6<0的解集为B ，不等式x 2＋ax ＋b <0的解集是A ∩B ，那么a ＋b 等于( )A ．－3B ．1C ．－1D ．3【解析】由题意：A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |－3<x <2}，A ∩B ＝{x |－1<x <2}，由根与系数的关系可知：a ＝－1，b ＝－2，∴a ＋b ＝－3. 【答案】 A8．古诗云：远望巍巍塔七层，红光点点倍加增．共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？( )A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】远望巍巍塔七层，说明该数列共有7项，即n ＝7.红光点点倍加增，说明该数列是公比为2的等比数列．共灯三百八十一，说明7项之和S 7＝381.请问尖头几盏灯，就是求塔顶几盏灯，即求首项a 1. 代入公式S n ＝a 1－q n1－q，即381＝a 1－271－2，∴a 1＝381127＝3.∴此塔顶有3盏灯．【答案】 B9．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x >0，则yx的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(0,1] C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)【解析】实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x >0的相关区域如图中的阴影部分所示．yx表示阴影部分内的任意一点与坐标原点(0,0)连线的斜率，由图可知，yx的取值范围为(1，＋∞)．【答案】 C10．在△ABC 中，若c ＝2b cos A ，则此三角形必是( ) A ．等腰三角形B ．正三角形C ．直角三角形D ．有一角为30°的直角三角形【解析】由正弦定理得sin C ＝2cos A sin B ， ∴sin (A ＋B )＝2cos A sin B ，即sin A cos B ＋cos A sin B ＝2cos A sin B ，即sin A cos B －cos A sin B ＝0，所以sin (A －B )＝0. 又因为－π<A －B <π，所以A －B ＝0，即A ＝B . 【答案】 A11．函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值是( )A ．23＋2B ．23－2C ．2 3D ．2 【解析】 ∵x >1， ∴x －1>0.∴y ＝x 2＋2x －1＝x 2－2x ＋2x ＋2x －1＝x 2－2x ＋1＋x －＋3x －1＝x －2＋x －＋3x －1＝x －1＋3x －1＋2≥23＋2.【答案】 A12．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且tan B ＝2－3a 2－b 2＋c 2，BC →·BA →＝12，则tan B 等于( ) A.32B.3－1 C ．2D ．2－ 3【解析】由BC →·BA →＝12，得ac cos B ＝12，∴2ac cos B ＝1.又由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－1， ∴a 2－b 2＋c 2＝1， ∴tan B ＝2－31＝2－ 3.【答案】 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．已知点P (1，－2)及其关于原点的对称点均在不等式 2x ＋by ＋1>0表示的平面区域内，则b 的取值范围是______. 【导学号：05920089】【解析】点P (1，－2)关于原点的对称点为点P ′(－1，2)．由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2×1－2b ＋1>0，－2＋2b ＋1>0，解得12<b <32.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3214．(2015·江苏高考)设数列{}a n 满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 前10项的和为________．【解析】由题意有a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n (n ≥2)．以上各式相加，得a n －a 1＝2＋3＋…＋n ＝n －＋n2＝n 2＋n －22.又∵a 1＝1， ∴a n ＝n 2＋n2(n ≥2)．∵当n ＝1时也满足此式， ∴a n ＝n 2＋n2(n ∈N *)．∴1a n ＝2n 2＋n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1. ∴S 10＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫11－12＋12－13＋…＋110－111＝2×⎝⎛⎭⎪⎫1－111＝2011.【答案】 201115．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 面积的最大值为________．【解析】 ∵a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，a ＝2，又(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C 可化为(a ＋b )(a －b )＝(c －b )·c ， ∴a 2－b 2＝c 2－bc ，∴b 2＋c 2－a 2＝bc .∴b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12＝cos A ，∴A ＝60°.∵在△ABC 中，4＝a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos 60°＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc (“＝”当且仅当b ＝c 时取得)， ∴S △ABC ＝12·bc ·sin A ≤12×4×32＝ 3.【答案】316．若1a <1b<0，已知下列不等式：①a ＋b <ab ；②|a |>|b |；③a 2；⑤a 2>b 2；⑥2a >2b .其中正确的不等式的序号为______．【解析】 ∵1a <1b<0，∴b <a <0，故③错；又b <a <0，可得|a |<|b |，a 20，S 13<0.(1)求公差d 的取值范围；(2)问前几项的和最大，并说明理由．【解】 (1)∵a 3＝12，∴a 1＝12－2d ， ∵S 12>0，S 13<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧12a 1＋66d >0，13a 1＋78d <0，即⎩⎪⎨⎪⎧24＋7d >0，3＋d <0，∴－247<d <－3.(2)∵S 12>0，S 13<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 12>0，a 1＋a 13<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 6＋a 7>0，a 7<0，∴a 6>0，又由(1)知d <0.∴数列前6项为正，从第7项起为负． ∴数列前6项和最大．18．(本小题满分12分)已知α，β是方程x 2＋ax ＋2b ＝0的两根，且α∈[0,1]，β∈[1,2]，a ，b ∈R ，求b －3a －1的最大值和最小值．【解】 ∵⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＝－a ，αβ＝2b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－α＋β，b ＝αβ2，∵0≤α≤1,1≤β≤2，∴1≤α＋β≤3,0≤αβ≤2.∴⎩⎪⎨⎪⎧－3≤a ≤－1，0≤b ≤1，建立平面直角坐标系aOb ，则上述不等式组表示的平面区域如下图所示．令k ＝b －3a －1，可以看成动点P (a ，b )与定点A (1,3)的连线的斜率．取B (－1,0)，C (－3,1)，则k AB ＝32，k AC ＝12，∴12≤b －3a －1≤32. 故b －3a －1的最大值是32，最小值是12. 19．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足(2b －c )cos A －a cos C ＝0.(1)求角A 的大小；(2)若a ＝3，试求当△ABC 的面积取最大值时，△ABC 的形状. 【导学号：05920090】【解】 (1)∵(2b －c )cos A －a cos C ＝0，由余弦定理得(2b －c )·b 2＋c 2－a 22bc －a ·a 2＋b 2－c 22ab＝0，整理得b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12， ∵0<A <π，∴A ＝π3. (2)由(1)得b 2＋c 2－bc ＝3及b 2＋c 2≥2bc 得bc ≤3.当且仅当b ＝c ＝3时取等号．∴S △ABC ＝12bc sin A ≤12×3×32＝334. 从而当△ABC 的面积最大时，a ＝b ＝c ＝ 3.∴当△ABC 的面积取最大值时△ABC 为等边三角形．20．(本小题满分12分)已知函数y ＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R .(1)求a 的取值范围；(2)解关于x 的不等式x 2－x －a 2＋a <0. 【解】 (1)∵函数y ＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R ，∴ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立．①当a ＝0时，1≥0，不等式恒成立；②当a ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ＝4a 2－4a ≤0，解得0<a ≤1.综上可知，a 的取值范围是[0,1]．(2)由x 2－x －a 2＋a <0，得(x －a )[x －(1－a )]<0.∵0≤a ≤1，∴①当1－a >a ，即0≤a <12时， a <x <1－a ；②当1－a ＝a ，即a ＝12时，⎝⎛⎭⎪⎫x －122<0，不等式无解； ③当1－a <a ，即12<a ≤1时， 1－a <x <a .综上，当0≤a <12时，原不等式的解集为(a,1－a )；当a ＝12时，原不等式的解集为∅；当12<a ≤1时，原不等式的解集为(1－a ，a )． 21．(本小题满分12分)若数列{a n }满足a 2n ＋1－a 2n ＝d ，其中d 为常数，则称数列{a n }为等方差数列．已知等方差数列{a n }满足a n >0，a 1＝1，a 5＝3.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 的前n 项和．【解】 (1)由a 21＝1，a 25＝9，得a 25－a 21＝4d ，∴d ＝2.a 2n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，∵a n >0，∴a n ＝2n －1.数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1.(2)a 2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝(2n －1)12n ，设S n ＝1·12＋3·122＋5·123＋…＋(2n －1)·12n ，①12S n ＝1·122＋3·123＋5·124＋…＋(2n －1)· 12n ＋1，② ①－②，得12S n ＝12＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋123＋…＋12n －(2n －1)·12n ＋1 ＝12＋2·14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －11－12－(2n －1)·12n ＋1，即S n ＝3－2n ＋32n ，即数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 的前n 项和为3－2n ＋32n . 22．(本小题满分12分)如图1所示，某海岛上一观察哨A 上午11时测得一轮船在海岛北偏东60°的C 处，12时20分时测得该轮船在海岛北偏西60°的B 处，12时40分该轮船到达位于海岛正西方且距海岛5千米的E 港口，如果轮船始终匀速直线航行，则船速是多少？(结果保留根号)图1【解】轮船从点C 到点B 用时80分钟，从点B 到点E 用时20分钟，而船始终匀速航行，由此可见，BC ＝4EB .设EB ＝x ，则BC ＝4x ，由已知得∠BAE ＝30°，在△AEC 中，由正弦定理得EC sin ∠EAC ＝AEsin C ，即sin C ＝AE sin ∠EAC EC ＝5sin 150°5x ＝12x，在△ABC 中，由正弦定理得BC sin ∠BAC ＝ABsin C，即AB ＝BC sin C sin 120°＝4x ×12x sin 120°＝43＝433. 在△ABE 中，由余弦定理得 BE 2＝AE 2＋AB 2－2AE ·AB cos 30°＝25＋163－2×5×433×32＝313，所以BE ＝313(千米)．故轮船的速度为v ＝313÷2060＝93(千米/时)．。

高中数学必修五模块综合测试人教A版

高中数学必修五模块综合测试人教A 版(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.数列0，1，0，-1，0，1，0，-1，…的一个通项公式是( ) A.21)1(+-n B.cos 2πn C.cos 2)1(π+n D.cos 2)2(π+n 解析：分别取n=1,2,3,4代入验证可得.答案：D2.(2006全国高考卷Ⅰ,理6文8)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.若a 、b 、c 成等比数列，且c=2a,则cosB 等于( ) A.41 B.43 C.42 D.32 解析:∵a 、b 、c 成等比数列,∴b 2=ac.又∵c=2a,∴b 2=2a 2.∴cosB=ac b c a 2222-+=2222424aa a a -+=43. 答案：B3.在等比数列{a n }中，a 9+a 10=a(a≠0),a 19+a 20=b,则a 99+a 100等于( ) A.89a b B.(a b )9 C.910ab D.(a b )10 解析：∵a 19+a 20=a 9q 10+a 10q 10=q 10(a 9+a 10)(q 为公比)，∴q 10=1092019a a a a ++=ab . 又a 99+a 100=a 19q 80+a 20q 80=q 80(a 19+a 20)=(a b )8·b=89ab . 答案：A4.首项为2，公比为3的等比数列，从第n 项到第N 项的和为720，则n,N 的值分别是( )A.n=2,N=6B.n=2,N=8C.n=3,N=6D.n=3,N ＞6解析：∵S N -S n-1=720， ∴31)31(231)31(21------n N =720，即3N -3n-1=720.将选项代入知N=6,n=3适合上述方程.答案：C5.设α、β是方程x 2-2x+k 2=0的两根，且α,α+β,β成等比数列，则k 为( )A.2B.4C.±4D.±2解析：α+β=2，αβ=k 2,又(α+β)2=αβ，∴4=k 2.∴k=±2.答案：D6.等比数列{a n }中，前n 项和S n =3n +r ，则r 等于( )A.-1B.0C.1D.3解析：当n=1时，a 1=3+r ；当n≥2时，a n =S n -S n-1=2·3n-1,要使{a n }为等比数列，则3+r=2，即r=-1.答案：A7.(2006高考辽宁卷，8)若钝角三角形三内角的度数成等差数列,且最大边长与最小边长的比值为m,则m 的范围是( )A.(1,2)B.(2,+∞)C.[3,+∞)D.(3,+∞)解析:设A ＞B ＞C,则B=3π,A+C=32π,0＜C ＜6π,于是 m=c a =C A sin sin =C C C C C sin sin 21cos 23sin )32sin(+=-π=23cotC+21, ∵3＜cotC,∴m ＞2.答案：B8.设数列{a n }、{b n }都是等差数列，且a 1=25,b 1=75,a 2+b 2=100，那么a n +b n 所组成的数列的第37项的值是( )A.0B.37C.100D.-37解析：设{a n }的公差为d 1,{b n }的公差为d 2，则a n =a 1+(n-1)d 1,b n =b 1+(n-1)d 2.∴a n +b n =(a 1+b 1)+(n-1)(d 1+d 2).∴{a n +b n }也是等差数列.又a 1+b 1=100,a 2+b 2=100，∴{a n +b n }是常数列.故a 37+b 37=100.答案：C9.(2006高考陕西卷，文9)已知函数f(x)=ax 2+2ax+4(a ＞0),若x 1＜x 2，x 1+x 2=0，则( )A.f(x 1)＜f(x 2)B.f(x 1)=f(x 2)C.f(x 1)＞f(x 2)D.f(x 1)与f(x 2)的大小不能确定解析：函数f(x)=ax 2+2ax+4(a ＞0)，二次函数的图象开口向上，对称轴为x=-1，a ＞0, ∴x 1+x 2=0,x 1与x 2的中点为0，x 1＜x 2.∴x 2到对称轴的距离大于x 1到对称轴的距离.∴f(x 1)＜f(x 2).答案：A10.数列{a n }中，a n ＞0且{a n a n+1}是公比为q(q ＞0)的等比数列，满足a n a n+1+a n+1a n+2＞a n +2a n+3(n ∈N *)，则公比q 的取值范围是( )A.0＜q ＜221+B.0＜q ＜251+ C.0＜q ＜221+- D.0＜q ＜251+- 解析：令n=1，不等式变为a 1a 2+a 2a 3＞a 3a 4，∴a 1a 2+a 1a 2q ＞a 1a 2q 2.∵a 1a 2＞0,∴1+q ＞q 2.解得0＜q ＜251+. 答案：B11.在△ABC 中，tanAsin 2B=tanBsin 2A,那么△ABC 一定是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰或直角三角形解析：由题意得sin2A=sin2B,则A=B 或A+B=2π. 答案：D12.某人从2002年起，每年1月1日到银行新存入a 元(一年定期)，若年利率为r 保持不变，且每年到期存款自动转为新的一年定期，到2006年1月1日将所有存款及利息全部取回，他可取回的钱数为(单位为元)( )A.a(1+r)5B.ra ［(1+r)5-(1+r)］ C.a(1+r)6 D.r a ［(1+r)6-(1+r)］解析：2002年1月1日到2002年12月31日的钱数为a(1+r)；2003年1月1日到2003年12月31日的钱数为［a(1+r)+a ］(1+r)；2004年1月1日到2004年12月31日的钱数为｛a ［(1+r)2+(1+r)］+a ｝(1+r)，即a ［(1+r)3+(1+r)2+(1+r)］；2005年1月1日到2005年12月31日的钱数为{a ［(1+r)3+(1+r)2+(1+r)］+a}(1+r)，即 a ［(1+r)4+(1+r)3+(1+r)2+(1+r)］，∴2006年1月1日可取回的钱数为 a×)1(1])1(1)[1(4r r r +-+-+=r a ［(1+r)5-(1+r)］. 答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中的横线上)13.三角形两条边长分别为3 cm,5 cm ，其夹角的余弦值是方程5x 2-7x-6=0的根，则此三角形的面积是____________________.解析：由5x 2-7x-6=0,得x 1=-53, x 2=2(舍去),∴cosθ=-53,sinθ=54. ∴S=21×3×5×54=6 (cm 2). 答案：6 cm 214.数列{a n }的通项公式为a n =2n-49，S n 达到最小时，n 等于_______________.解析：∵a n =2n-49,∴{a n }是等差数列，且首项为-47，公差为2.由⎩⎨⎧≤=>=0,49-1)-2(n a 0,49-2n a 1-n n 解得n=25.∴从第25项开始为正，前24项都为负数，故前24 项之和最小.答案：2415.若关于x 的方程x 2-x+a=0和x 2-x+b=0的四个根可组成首项为41的等差数列，则a+b 的值是_______________. 解析：由题意知，首项为41，则第四项为43，则另两根应为41+61=125,41+61×2=127. ∴a=41×43=163,b=125×127=14435. ∴a+b=163+14435=7231. 答案：7231 16.如果一辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km ，那么在8天内它的行程就超过2 200 km ，如果它每天行驶的路程比原来少12 km ，那么它行驶同样的路程得花9天多的时间，这辆汽车原来每天行驶的路程(km)范围是________________.解析：这辆汽车原来每天行驶的路程为x km ，则⎩⎨⎧+<>+19),8(x 12)-9(x 200, 219)8(x 解之,得 256＜x ＜260.答案：256＜x ＜260三、解答题(本大题共6小题，共74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(12分)在△ABC 中，已知tan(A+B)=1,且最长边为1,tanA ＞tanB,tanB=31，求角C 的大小及△ABC 最短边的长.解：由已知得A+B=4π,C=43π.又tanA ＞tanB,∴B 是△ABC 的最小内角.又tanB=31,∴sinB=1010.∵B b sin =C c sin ,∴b=C c sin ·sinB=55. ∴C=43π,其最短边长为55. 18.(12分)写出数列13+2,13+6,13+12,13+20,13+30,…的一个通项公式，并验证2 563是否为数列中的一项.解：该数列的一个通项公式为a n =13+n(n+1).令13+n(n+1)=2 563，则n 2+n-2 550=0，解得n=50或n=-51(舍).∴2 563是该数列的第50项.19.(12分)(2006高考全国卷Ⅱ，文17)在△ABC 中,∠B=45°,AC=10,cosC=552， (1)求BC 边的长;(2)记AB 的中点为D,求中线CD 的长.解：(1)由cosC=552得sinC=55,sinA=sin(180°-45°-C)=22(cosC-sinC)=1010. 由正弦定理知BC=B AC sin ·sinA=2210·1010=2. (2)AB=B AC sin ·sinC=2210·55=2. BD=21AB=1. 由余弦定理知 CD=B BC BD BC BD cos 222∙∙-+=132********=⨯⨯⨯-+. 20.(12分)数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1=1,a n+1=nn 2+S n (n=1,2,3，…)，证明 (1)数列{nS n }是等比数列； (2)S n+1=4a n . 证明：(1)a n+1=S n+1-S n ,a n+1=n n 2+S n ， ∴(n+2)S n =n(S n+1-S n ).整理得nS n+1=2(n+1)S n ,∴11++n S n =2nS n . 故{nS n }是以2为公比的等比数列. (2)由(1)知11++n S n =411--n S n (n≥2). 于是S n+1=4(n+1)11--n S n =4a n (n≥2). 又S 1=a 1=1,a 2=3S 1=3,故S 2=a 1+a 2=4=4a 1.因此对于任意整数n≥1，都有S n+1=4a n .21.(12分)一个公差不为0的等差数列{a n }共有100项，首项为5，其第1、4、16项分别为正项等比数列{b n }的第1、3、5项.(1)求{a n }各项的和S ；(2)记{b n }的末项不大于2S ，求{b n }项数的最值N ； (3)记{a n }前n 项和为S n ，{b n }前N 项和为T n ，问是否存在自然数m ，使S m =T n .解：设{a n }公差为d ，a 1=5,a 4=5+3d,a 16=5+15d 分别为{b n }的第1、3、5项,∴(5+3d)2=5(5+15d)，得d=5或d=0(舍).(1)S=100×5+299100⨯×5=25 250. (2)∵b 1=a 1=5,b 3=a 4=20，∴q 2=13b b =4. ∴q=2或q=-2(舍),b n =5·2n-1.令5·2n-1≤225250， ∴2n ≤5 050.又212＜5 050＜213，即n ＜13,且212=4 096＜5 050,∴n 的最大值N=12.(3)设有S m =T n ,即5m+2)1(-m m ×5=5(212-1)，整理得m 2+m-8 190=0， ∴m=90＜100或m=-91(舍)，即存在m=90使S 90=T 12.22.(14分)某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产甲种产品1 t 需耗A 种矿石10 t ，B 种矿石5 t ，煤4 t ；生产乙种产品1 t 需耗A 种矿石4 t ，B 种矿石4 t ，煤9 t ；每1 t 甲种产品的利润是600元，每1 t 乙种产品的利润是1 000元，工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A 种矿石不超过3 00 t,B 种矿石不超过200 t ，煤不超过360 t .甲、乙两种产品各生产多少，能使利润总额达到最大？(准确到0.1 t)解：设生产甲、乙两种产品分别为x t 、y t ，利润总额为z 元，那么⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+≤+0,y 0,x 360,9y 4x 200,4y 5x 300,4y 10xz=600x+1 000y.作出以上不等式组所表示的平面区域(如图)即可行域.作直线l ：600x+1 000y=0,即作直线l ：3x+5y=0.把直线l 向右上方平移至l 1的位置时，直线经过平行域上的点M ，且与原点距离最大，此时z=600x+1 000y 取最大值.解方程组⎩⎨⎧=+=+360,9y 4x 200,4y 5x 得M 的坐标为 x=29360≈12.4,y=291000≈34.5. 答：应生产甲产品约12.4吨，乙产品约34.5吨，能使利润总额达到最大。

人教A版高中数学必修五模块检测(含答案详解).docx

模块检测（苏教版必修5）一、填空题（每小题5分，共70分）1.已知一等比数列的前三项依次为22x,x ,+33x +，那么2113-是此数列的第项. 2.若数列{ }的前n 项和S n =n 2－2n +3，则此数列的前3项依次为. 3.已知三个不同的实数c b a ,,成等差数列，且b c a ,,成等比数列，则::a b c =.4.在ABC △中,tan A 是以－4为第三项,4为第七项的等差数列的公差,tan B 是以13为第三项, 9为第六项的等比数列的公比,则这个三角形是. 5.已知等比数列{}n a 的各项均为正数,且564718a a a a +=，则3132log log a a +++310log a =.6.若x ，y 均为整数，且满足约束条件20200≤，≥，≥，x y x y y +-⎧⎪-+⎨⎪⎩则2z x y =+的最大值为.7.已知在等差数列｛｝中，01511＞，＝a S S ，则第一个使0＜n a 的项是. 8.已知{}a 是等比数列，12==a a ，，则13221++++n n a a a a a a =.9.如果在△ABC 中，2sin cos ＝sin A B C，那么△ABC 一定是 . 10.若关于x 的不等式()201x a x ab +++>的解集是{}1或4x|x x <->，则实数a b +的值为. 11.用两种材料做一个矩形框，按要求其长和宽分别选用价格为每米3元和5元的两种材料，且长和宽必须为整数米，现预算花费不超过100元，则做成的矩形框所围成的最大面积是平方米.12．如图，在山脚A 处测得该山峰仰角为θ，对着山峰在平行地面上前进600 m 后测得仰角为原来的2倍，继续在平行地面上前进200 m 后，测得山峰的仰角为原来的4倍，则该山峰的高度为.13．在200 m 高的山顶上，测得山下一塔的塔顶和塔底的俯角分别为30°和60°，则塔高为. 14．甲船在岛B 的正南方A 处，AB =10千米，甲船自B 出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是.二、解答题（共90分）15.（14分）如图，某住宅小区的平面图呈扇形AOC .小区的两个出入口设置在点A 及点C 处，小区里有两条笔直的小路AD,DC ，且拐弯处的转角为120︒．已知某人从C 沿CD 走到D 用了10分钟，从D 沿DA 走到A 用了6分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA 的长（精确到1米）．16.（14分）研究问题：“已知关于x 的不等式20ax bx c -+>的解集为（1，2），解关于x 的不等式20cx bx a -+>”有如下解法：解：由20ax bx c -+>得2110a b c x x ⎛⎫⎛⎫-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令1y x =，则121y <<，所以不等式20cx bx a -+>的解集为112，⎛⎫⎪⎝⎭.参考上述解法，已知关于x 的不等式0k x bx a x c++<++的解集为()()2123，,--，求关于x 的不等式1011kx bx ax cx -+<--的解集.17.（14分）某家具厂有方木料90 ，五合板600 ，准备加工成书桌和书橱出售.已知生产每张书桌需要方木料0.1 ，五合板2 ，生产每个书橱需要方木料0.2 ，五合板1 ，出售一张书桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元.（1）如果只安排生产书桌，可获利润多少？（2）如果只安排生产书橱，可获利润多少？（3）怎样安排生产可使所获利润最大？18.（16分）已知{}为各项都为正数的等比数列，=1，=256，为等差数列{}的前n项和，=2，5=2.（1）求{}和{}的通项公式；（2）设=++…+，求.19.（16分）已知数列{}n a满足1112n na,a a+==+ ()1n+∈N.（1）求数列{}n a的通项公式；（2）若数列{}n b满足114b-•214b-•…•14n b-=(1)n bna+(n∈+N)，证明：{}n b是等差数列.20.（16分）已知函数2222（）f x x x =-+，数列{ }的前n 项和为，点（n ，）（n ∈ ）均在函数（）y f x =的图象上. （1）求数列{ }的通项公式及前n 项和；（2）存在k ∈ ，使得1212nS S S k n+++<对任意n ∈ 恒成立，求出k 的最小值.模块检测答题纸得分：一、填空题1． 2．3． 4．5． 6．7.8．9．10.11．12． 13．14.二、解答题15.16.17.18.19.20．模块检测参考答案1.4 解析：由题意得 ,解得1x =-或4x =-.当1x =-时，220x +=，故舍去，所以333x q +==，所以131134n -⎛⎫⨯-=-，所以4n =.2.213,, 解析：当1n =时，21112132－a S ==⨯+=；当2n =时，由221222233－S a a =+=⨯+=,得21a =；当3n =时，由2233233631－S a a a =++=⨯+=,得33a =.3.)2(:1:4-解析：22222,2,(2),540a c b c b a ab c b a a ab b +==-==--+=，又,a b ≠∴4,2a b c b ==-.4.锐角三角形解析：设等差数列为{}n a ，公差为d ,则7344，a a =-=,所以2d =，所以设等比数列为{}n b ，公比为q ，则313b =,6b 9=,所以3q =，所以所以tan tan()1C A B =-+=，所以,,A B C 都是锐角，即此三角形为锐角三角形.5.10 解析：313231031210log log log log ()a a a a a a +++=5103563log ()log (3)10a a ===.6.4 解析：作出可行域如图中阴影部分，可知在可行域内的整点有()()()()()()201000102011，，，，，，，，，，，，---()()()011102，，，，，，分别代入2z x y =+可知当20，x y ==时，z 最大，为4.7.9a 解析：由511＝S S 得12150＋＝a d .又10＞a ，所以0＜d ．而2 ＝()()12212170a n d n d ＋－＝－＜，所以2170－＞n ，即85＞n .． 8.()32143n -- 解析： 41252==a a ，，∴.21,41==q a ∴=++++13221n n a a a a a a )41(332n --. 9.等腰三角形解析一：∵ 在△ABC 中，＋＋＝πA B C ，即()C A B ＝π－＋，∴()sin ＝sin ＋C A B ．由2sin cos ＝sin A B C ，得2sin cos ＝sin cos ＋cos sin A B A B A B ，即0sin cos －cos sin ＝A B A B ，即()0sin －＝A B . 又∵－π＜－＜πA B ，∴ 0－＝A B ，即＝A B .∴△ABC 是等腰三角形．解析二：利用正弦定理和余弦定理.2sin cos ＝sin A B C 可化为2a ·2222a +cbc ac-=，即2222＋－＝a c b c ，即22－＝0a b ，22＝a b ，故＝a b . ∴△ABC 是等腰三角形．10.-3 解析：由不等式的解集为{}1或4x|x x <->可得14，-是方程()210a x b x a +++=的两根，∴()14114，，a ab ⎧-+=-+⎪⎨-⨯=⎪⎩解得41，a b .=-=⎧⎨⎩∴3a b +=-.11.40 解析：设长x 米，宽y 米，则610100≤x y +，即3550≤x y +.∵5035+x y ≥≥35x y =时等号成立，又∵， x y 为正整数，∴ 只有当324525，x y ==时面积最大，此时面积40xy =平方米.12.300 m 解析：依题意可知600====AB BP BC CP ，，∴ 222cos 222θ+-==⋅BC BP PC BC BP ∴23015，θθ=︒=︒，∴ 60300sin （m ）PD PC =∙︒==.13．4003m 解析：依题意可得图象如图所示，从塔顶向山体引一条垂线CM ，垂足为M , 则0=∙︒AB BD tan 6，0=∙︒=AM CM BD CM tan 3，， ∴200tan 30tan 603=⨯︒=︒AB AM ，∴塔高()20040020033=-= C D m . 点评：本题主要考查构造三角形求解实际问题，属基础题． 14.514小时解析：假设经过x 小时两船相距最近，甲、乙分别行至，C D ，可知1046120﹣，，BC x BD x CBD ==∠=︒，22222212cos 104362104628201002﹣∠（﹣）（﹣）CD BC BD BC BD CBD x x x x x x ⎛⎫=+∙∙=+-∙∙∙-=-+ ⎪⎝⎭，当514x =小时，即1507分钟时距离最小. 点评：本题主要考查余弦定理的应用，关键在于画出图象，属基础题．15.解法一：设该扇形的半径为r 米.由题意，得500CD =米，300DA =米，60CDO ∠=︒，在△CDO 中，2222cos 60 CD OD CD OD OC +-∙∙︒=，即()()222150030025003002r r r +--⨯-⨯=，解得490044511r =≈（米）. 解法二：连接AC ，作OH AC ⊥，交AC 于点H ，由题意，得500CD =米，300AD =米，120,CDA ∠=︒在ACD △中，22222212cos 12050030025003007002AC CD AD CD AD =+-∙∙∙︒=++⨯⨯⨯=，∴700AC =（米），22211cos .214AC AD CD CAD AC AD +-∠==⋅⋅ 在HAO Rt △中，350AH =米，11cos 14∠HAO =， ∴ 4900445cos 11∠AH OA HAO ==≈（米）.点评：解斜三角形应用题的一般步骤：（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图;（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型;（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解;16.解：由于不等式0k x bx a x c++<++的解集为2123（，）（，）--，则方程0k x bx a x c++=++的根分别为2123，，，--. 由1011kx bx ax cx -+<--，得1011 b k x a c x x-+<--，因此方程1011 b k x a c x x-+=--的根为1111223--，,，. 所以不等式1011kx bx ax cx -+<--的解集为1111232，，⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 17.解：由题意可列表格如下：（1）设只生产书桌a 张，可获得利润b 元，则01902600⎧⎨⎩.a a ≤，≤，解得900300⎧⎨⎩a a ≤，≤，即300a ≤.又80=b a ，所以当300=a 时，8030024000=⨯=b max （元），即如果只安排生产书桌，最多可生产300张，可获得利润24000元.（2）设只生产书橱c 个，可获利润d 元，则02901600∙⎧⎨⎩.c c ≤，≤，解得450600⎧⎨⎩c c ≤，≤，即450c ≤.又120=d c ，所以当450=c 时，12045054000=⨯=d max (元)，即如果只安排生产书橱，最多可生产450个，可获得利润54000元.（3）设生产书桌x 张，书橱y 个，利润总额为z 元，则010*********≤，≤，≥且，≥且，.x .y x y x x y y +⎧⎪⎪⎨⎪⎪+∈∈⎩Z Z 即2900260000≤，≤，≥且，≥且x y x y x x y y .⎧⎪⎪⎨++∈∈⎪⎪⎩Z Z 80120z x y =+.在平面直角坐标内作出上面不等式组所表示的平面区域，即可行域如图阴影部分. 作直线230：l x y +=. 把直线l 向右上方平移至1l 的位置时，直线经过可行域上的点M ，此时 80120z x y =+取得最大值.由29002600，，x y x y +=+=⎧⎨⎩解得点M 的坐标为100400（，），所以当100400，x y ==时，8010012040056000max z =⨯+⨯=（元）.因此，生产书桌100张、书橱400个，可使所获利润最大.18.解：（1）设{}n a 的公比为q ，由 = ，得4q =，所以 = .设{}n b 的公差为d ，由5852=S S 及12b =得3d =，所以1131（）n n b n b d =+-=-.（2）因为()21124548431n n T n -=⨯⨯⨯++++-，①()244245431n n T n ⨯⨯=+++-，②由②-①，得213234444312324（））（）（n n n n T n n ---++++-=+-∙=. 所以22433n n T n ⎛⎫=-∙+ ⎪⎝⎭.19.（1）解:∵ =2 +1（n ∈+N ），∴1+1=2+1n n a a +（），即1+1=2+1n n a a +，∴{}1n a +是以112a +=为首项，2为公比的等比数列.∴12nn a +=,即 -1（ +N ).（2）证明：∵()121114441n n b b b b n a ---=+,∴()1242n n b b b nnb +++-=.∴()122n n b b b n nb ⎡⎤+++-=⎣⎦, ①()()()1211211n n n b b b b n n b ++⎡⎤++++-+=+⎣⎦. ②②－①，得()()11211n n n b n b nb ++-=+-,即()1120n n n b nb +--+=，③()21120n n nb n b ++-++=. ④ ④－③，得2120n n n nb nb nb ++-+=，即2120n n n b b b ++-+=,211+++-=-∈+N n n n n b b b b n （），故{}n b 是等差数列.20.解：（1）因为点（n ，）（n ∈ ）均在函数（）y f x =的图象上，所以2222n S n n =-+.当1n =时， = =20；当2≥n 时， = - 424n =-+.120S =也符合.所以（n ∈ ）.（2）存在k ∈ ，使得1212n S S S k n +++<对任意n ∈ 恒成立，只需1212max n S S S n k ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭>，由（1）知，所以222211（）nS n n n -+=-=.当11n <时，0nS n >；当11n =时，0n S n=；当11n >时，0n S n <. 所以当10n =或11n =时，1212n S S S n+++有最大值110.所以110k >. 又因为∈N k +，所以k 的最小值为111.。

(浙江专版)高中数学模块综合检测新人教A版必修5

贝U 2a + 3d = 13,「. d = 3,故 a 4+ a s + a 6= 3a 1 + 12d = 3x 2+ 12x 3= 42.5.在△ ABC 中, AC = .7, BC = 2, B= 60°，贝U BC 边上的高等于() VV B 弩模块综合检测(时间120分钟满分150分) 一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分•在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 2 2 1. 若 f (x ) = 3x -x + 1, g (x ) = 2x + x — 1，则 f (x )与 g (x )的大小关系为( ) A. f (x )>g (x ) B . f (x ) = g (x ) C. f (x )<g (x ) D .随x 值变化而变化解析：选 A 因为 f (x ) — g (x ) = (3x 2—x + 1) — (2x 2+ x — 1) = x 2— 2x + 2= (x — 1)2+ 1>0, 所以 f (x )>g ( x ). 2. 在△ ABC 中，角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,若 a = 2, b = 3, B= 60°, 那么角A 等于( ) A. 135° B . 90° C. 45° D . 30° 解析：选C 由正弦定理知-i -a -A = -i -b -B ,sin A -in B a -i- B 寸2sin 60 °••• -|nA=厂= 又 a 0 的解集为(一a, 1) U (m +s )，贝U a + n =( ) A. — 1C. 2 解析：选D 由题意，知1, m 是方程x 2— 3ax + 2 = 0的两个根，则由根与系数的关系, 1 + n = 3a , 得1 x n = 2, 解得a = 1,所以a + n = 3,故选D.m = 2,4.已知数列 {a n }为等差数列，且 a 1 = 2, a 2 + a 3= 13,贝U a 4 + a s + a 6等于(A. 40 B . 42 C. 43 D . 45解析：选B 设等差数列｛a n ｝的公差为d ,D dV394解析：选B由余弦定理得AB+ 4-2 • AB^ 2X cos 60°= 7,解得AB= 3或AB=—1（舍去），设BC边上的高为x,由三角形面积关系得1 •BC- x = 1AB- BC- sin 60°,解得x = 辛, 故选B.6•某汽车公司有两家装配厂，生产甲、乙两种不同型的汽车，若A厂每小时可完成1辆甲型车和2辆乙型车；B厂每小时可完成3辆甲型车和1辆乙型车.今欲制造40辆甲型车和40辆乙型车，若要使所费的总工作时数最少，那么这两家工厂工作的时间分别为（）A. 16,8 B . 15,9C. 17,7 D . 14,10解析：选A设A工厂工作x小时，B工厂工作y小时，总工作时数为z，则目标函数x + 3y > 40，为z= x + y，约束条件为2x+ y>40，作出可行域如图所示，由图知当直线I : y = —xx>0，y>0x + 3y= 40，+ z过Q点时，z最小，解方程组得Q16,8），故A厂工作16小时，B厂工2x+ y= 40，作8小时，可使所费的总工作时数最少.7.若log 4(3 x + 4b) = log 2”..：：；'ab，则a+ b 的最小值是()A. 6 + 2 . 3 B . 7+ 2 .3C. 6 + 4 3 D . 7+ 4 31 1解析：选 D 由log 4(3 a+4b) = log 2 ab，得^log 2(3 a+ 4b) = ^log 2( ab)，所以3a+ 4b3a 4b 3a 4b 所以a+ b = (a+ b) 3+ ：=i a+4b+7"3+7,当且仅当4■，即a= =3 + 2 ,3时取等号，故选 D.D . [ — 7,8]解析：选B 做出约束条件所表示的平面区域如图阴影部分所示. 令4x + y>3x — y ,得 x >— 2y ，当 x >— 2y 时，z = 4x + y ;当 x <— 2y 时, z = 3x —y .在同一直角坐标系中作出直线 x + 2y = 0的图象，如图所示.当 (x , y )在平面区域CDEF 内运动时(含边界区域)，此时x >— 2y ,故z =4x + y ,可知目标函数z = 4x + y 在Q2,2)时取到最大值10,在F ( — 2,1)时取到最小值—7;当(x , y )在平面区域 ABCF 内运动时(含边界区域但不含线段 CF ，此时x < — 2y ,故z = 3x — y ,可知目标函数 z = 3x — y 在B (2 , — 2)时取到最大值8,在F ( — 2,1)时z = 3x — y =— 7, 所以在此区域内—7<z w 8.综上所述，z = max ｛4x + y, 3x — y ｝ € [—乙10]，故选B.、填空题(本大题共7小题，多空题每题 6分，单空题每题4分，共36分•把答案填在题中横线上)9•若不等式|2x + a | v b 的解集为｛x |1 v x v 4｝，贝U ab 等于 __________ . 解析：显然，当b <0时，不合题意，当 b >0时，由|2 x + a | v b 可得一b v 2x + a v b ,—b — a b — a 所以二一v x v 丁，因此 a =— 5,解得故ab =— 15.b = 3,答案：—1510.在数列｛a n ｝中，S 为它的前n 项和，已知a 2= 3, a s =乙且数列｛a n +1｝是等比数列, 贝 H a 1 = ____ , a n = _______ , S n = ______ .解析：令x n = a n +1,贝U X 2= 4, X 3= 8,因为{a ・+ 1}是等比数列，所以 x n = 2，即卩a n = 2n — 1, a 1= 1, S = 211—2一— n = 2n +1 —2 — n . 1 — 2答案：12n — 1 2n +1 — 2— n11•已知△ ABC 的一个内角为120°,并且三边长构成公差为 4的等差数列，则△ ABC的面积为 _________ .解析：由于三边长构成公差为 4的等差数列，故可设三边长分别为 x — 4, x , x + 4.由一个内角为120°,知其必是最长边 x + 4所对的角.由余弦定理得，(X + 4) = x + (x — 4) — 2x (x — 4) • cos 120 ° ,a a >b ,|x | w 2, &定义 max{a , b }=设实数x , y 满足约束条件b ,a <b ,|y | w2,+ y, 3x — y ｝的取值范围是 ()A. [ — 8,10] B . [ — 7,10]贝U z = max{4xC. [ — 6,8] —b — a=1,b — a22••• 2x - 20x = 0,「. x = 0(舍去)或x = 10,1ABC= 2 x (10 —4) x 10X Sin 120答案：15 312.设S是数列｛勿｝的前n项和，且a1=—1, a n+1 = SS+1,贝U $=大值为答案：3 2 10314.在△ ABC中，角2b —\/3C cos C 亠n A, B, C的对边分别为a, b, c,且下—=h 若角B=E,BC边上的中线AM= .7, 则A= ,△ ABC的面积为解析：由正弦定理及2b—3c cos C 2sin B—3sin C cos C +乍-=R得打A=冇，整理得2sin论A15 3.a n+i解析：T a n+ 1 = S n+ 1 —Si, an+1 = SiS n+1 ,• S n+1—S=1 1= 1,1即「一w=—1.S Si又S1 =-•1§是首项为—1,公差为—11 的等差数列.••• S =—1 + (n—1) X(—1)1 =—n,A $=—n13.如果实数2x—y > 0, x, y 满足x+ y —4>0,x w 3,则三的取值范围是2 2x + y护,z= 的取xy解析：画出可行域如图中阴影部分所示,4A3 8 , B(3,6) , Q3,1), x的几何意义是区域上的点与坐标原点连线的斜率，所以因为2 2z=也=y+x=k+k在1,1单调递减，xy在［1,2］上单调递增,1/X 3y 1 k。

人教A版高中数学必修五综合测试卷A(含答案).docx

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作高中数学必修5测试卷A （含答案）一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1.由11a =，3d =确定的等差数列{}n a ，当298n a =时，序号n 等于（）Ａ．99Ｂ．100Ｃ．96Ｄ．1012.ABC ∆中，若1,2,60a c B ===︒，则ABC ∆的面积为（） A ．21B ．23 C.1 D.33. 已知0x >，函数4y x x=+的最小值是（） A ．5 B ．4 C ．8 D ．6 4. 在数列{}n a 中，1a =1，12n na a +-=，则51a 的值为（）A ．99B ．49C ．102D ． 101 5.在等比数列中，112a =，12q =，132n a =，则项数n 为（） A. 3B. 4C. 5D. 66.不等式20(0)ax bx c a ++<≠的解集为R ，那么（）A. 0,0a <∆<B. 0,0a <∆≤C. 0,0a >∆≥D. 0,0a >∆>7.设,x y 满足约束条件12x y y x y +≤⎧⎪≤⎨⎪≥-⎩,则3z x y =+的最大值为（）A ． 5 B. 3 C. 7 D. -8 8.在ABC ∆中,80,100,45a b A ︒===,则此三角形解的情况是（） A.一解 B.两解 C.一解或两解 D.无解9.在△ABC 中，如果sin :sin :sin 2:3:4A B C =，那么cosC 等于（）2A.3 2B.-3 1C.-3 1D.-410.一个等比数列}{n a 的前n 项和为48，前2n 项和为60，则前3n 项和为（） A 、63 B 、108 C 、75 D 、83 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 11.在ABC ∆中，04345,22,3B c b ===，那么A ＝_____________; 12.已知等差数列{}n a 的前三项为1,1,23a a a -++，则此数列的通项公式为__-______ . 13.不等式21131x x ->+的解集是． 14.已知数列｛a n ｝的前n 项和2n S n n =+，那么它的通项公式为a n =_____三、解答题 (本大题共6个小题，共80分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15(12分) 已知等比数列{}n a 中，1346510,4a a a a +=+=，求其第4项及前5项和.16(14分)(1) 求不等式的解集：2450x x -++<(2)求函数的定义域：152x y x -=++17 (14分)在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程22320x x -+=的两个根，且2cos()1A B +=。

高中数学人教版必修5模块测试题及答案

必修五数学模块测试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分1．在△ABC 中，,,A B C ∠∠∠所对的边分别为,,a b c ，则下列关系正确的是 A.222cos C a b c =+-B.222cos C a b c =-+C.222cos 2a b c C ab+-=D.222cos a b c C ab +-=2．不等式(2)(1)0x x +->的解集为 A.{}21x x x <->或 B.{}21x x -<< C.{}12x x x <->或D.{}12x x -<<3．n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，如果10120S =，那么110a a +的值是 A.12B.24C.36D.484．在△ABC 中，,,A B C ∠∠∠所对的边分别为,,a b c ，若2220a b c +-<，则△ABC 是 A.锐角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D. 钝角三角形5．在△ABC中，1,AB AC ==∠A ＝30︒，则△ABC 的面积等于D.126．对于任意实数a 、b 、c 、d ，下列命题： ①若a b >，0c ≠，则ac bc >； ②若a b >，则22ac bc >； ③若22ac bc >，则a b >； ④若a b >，则11a b< 中，真命题为 A. ①B. ②C. ③D. ④7.在△ABC 中, ,,A B C ∠∠∠所对的边分别为,,a b c ，若8,60,75a B C =∠=︒∠=︒,则b 等于A.B.C.D.3238．已知实数x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥622y x y x ,则y x z 42+=的最大值为A.24B.20C.16D.129．已知等差数列{}n a 的公差为2,若431,,a a a 成等比数列, 则1a 等于 A.4-B.6-C.8-D.10-10．在R 上定义运算a c ad bc b d =-，若32012x x x <-成立，则x 的取值范围是 A.(4,1)-B.(1,4)-C.(,4)(1,)-∞-+∞D.(,1)(4,)-∞-+∞二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.11．比较大小：(2)(3)x x -+ 27x x +-（填入“>”，“<”，“=”之一）. 12．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，已知1231,6,a a a =+=则数列{}n a 的通项公式为 .13．用绳子围成一块矩形场地，若绳长为20米，则围成最大矩形的面积是__________平方米. 14．数列{}n a 的前n 项和为21n S n =+（*n ∈N ）,则它的通项公式是_______. 三、解答题：本大题共3小题，共30分. 15．（10分）已知函数6)(2++=ax x x f .（Ⅰ）当5=a 时，解不等式0)(<x f ；（Ⅱ）若不等式()0f x >的解集为R ，求实数a 的取值范围.C16．（10分）某货轮在A 处看灯塔B在货轮北偏东75︒，距离为mile ；在A 处看灯塔C在货轮的北偏西30︒，距离为mile.货轮由A 处向正北航行到D 处时，再看灯塔B 在北偏东120︒，求：（Ⅰ）A 处与D 处之间的距离；（Ⅱ）灯塔C 与D 处之间的距离.21．（本小题满分10分）（Ⅰ）下面图形由单位正方形组成，请观察图1至图4的规律，并依此规律，在横线上方处画出适当的图形；（Ⅱ）下图中的三角形称为希尔宾斯基三角形，在下图四个三角形中，着色三角形的个数依次构成数列的前四项，依此着色方案继续对三角形着色，求着色三角形的个数的通项公式n b ；（Ⅲ）依照（Ⅰ）中规律，继续用单位正方形绘图，记每个图形中单位正方形的个数为(1,2,3,)n a n = ，设21n nn a b c n =+，求数列{}n c 的前n 项和n S .图1 图2 图3 图4数学必修5模块测试题答案及评分参考二、填空题(每小题5分,共20分) 15．> 16．12n n a -= 17．25 18． 2(1)2 1 2)n n a n n =⎧=⎨-≥⎩（三、解答题(共3小题,共30分) 19．（本小题满分10分）解: （Ⅰ）当5=a 时，65)(2++=x x x f .由0)(<x f ,得652++x x ＜0.即（0)3)(2<++x x .所以 32x -<<-.………………5分（Ⅱ）若不等式0)(>x f 的解集为R ，则有=∆0642<⨯-a .解得6262<<-a ，即实数a的取值范围是)62,62(-. ……………10分20．（本小题满分10分）解：（Ⅰ）在△ABD 中，由已知得 ∠ADB =60，B =45．由正弦定理得1sin 24sin AB BAD ADB===．………………5分（Ⅱ）在△ADC 中，由余弦定理得 2222c o s 30C D A D A CA D A C =+-⋅︒，解得CD =.所以A 处与D 处之间的距离为24 n mile ，灯塔C 与D 处之间的距离为 ………………10分21．（本小题满分10分）解：（Ⅰ）答案如图所示：………………3分（Ⅱ）易知，后一个图形中的着色三角形个数是前一个的3倍，所以，着色三角形的个数的通项公式为：13n n b -=． ………………6分（Ⅲ）由题意知(1)2n n n a +=，11(1)23231n n n n n c n n --+⨯⨯=⋅+＝，所以 01113233n n S n -=⋅+⋅++⋅①12131323(1)33n n n S n n -=⋅+⋅++-⋅+⋅ ②①－②得 0112(333)3n n n S n --=+++-⋅2n S -＝13313nn n --⋅-．即 (21)31()4n n n S n -+=∈N + ． ………………10分。

高中数学模块综合检测新人教A版必修5

模块综合检测(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若a 1b >1c2．等比数列x ，3x ＋3，6x ＋6，…的第四项等于( ) A ．－24 B ．0 C ．12 D ．24 3．当x >1时，不等式x ＋1x －1≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，2] B ．[2，＋∞) C ．[3，＋∞) D ．(－∞，3]4．等差数列{a n }满足a 24＋a 27＋2a 4a 7＝9，则其前10项之和为( ) A ．－9 B ．－15 C ．15 D ．±155．已知△ABC 中，三内角A 、B 、C 成等差数列，边a 、b 、c 依次成等比数列，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形6．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≤0，x ＋y －7≤0，x ≥1则yx的最大值为( )A ．6B ．3 C.95D ．17．已知数列{a n }满足(n ＋2)a n ＋1＝(n ＋1)a n ，且a 2＝13，则a n 等于( )A.1n ＋1 B.12n －1 C.n －12n －1 D.n －1n ＋18．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋1x 2，x >01x ，x <0，则f (x )>－1的解集为( )A ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(0，1)∪(1，＋∞)C ．(－1，0)∪(1，＋∞)D ．(－1，0)∪(0，1)9．函数y ＝x 2＋2x －1(x ＞1)的最小值是( )A ．23＋2B ．23－2C ．2 3D ．2 10．已知数列{a n }共有m 项，定义{a n }的所有项和为S (1)，第二项及以后所有项和为S (2)，第三项及以后所有项和为S (3)，…，第n 项及以后所有项和为S (n )．若S (n )是首项为2，公比为12的等比数列的前n 项和，则当n ＜m 时，a n 等于( )A ．－12n －2 B.12n －2 C ．－12n －1 D.12n －111．在使f (x )≥M 成立的所有常数M 中，把M 的最大值叫做f (x )的“下确界”，例如f (x )＝x 2＋2x ≥M ，则M max ＝－1，故－1是f (x )＝x 2＋2x 的下确界，那么a 2＋b 2（a ＋b ）2(其中a ，b ∈R ，且a ，b 不全为0)的下确界是( )A ．2 B.12 C ．4 D.1412．在△ABC 中，若AB →·AC →＝|AB →－AC →|＝8，则△ABC 的面积的最大值为( ) A ．8 B ．16 C ．10 3 D ．8 6二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．在△ABC 中，∠C ＝90°，M 是BC 的中点．若sin ∠BAM ＝13，则sin ∠BAC ＝________.14．(2015·高考广东卷)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，则a 2＋a 8＝________．15．在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －6≤0，x ＋y －2≥0，y ≥0，所表示的区域上一动点，则|OM |的最小值是________．16．(2015·高考全国卷Ⅰ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，则yx的最大值为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)(2015·高考湖南卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝b tan A ，且B 为钝角．(1)证明：B －A ＝π2；(2)求sin A ＋sin C 的取值范围．18．(本小题满分12分)公差不为零的等差数列{a n }中，a 3＝7，且a 2，a 4，a 9成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .19.(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 2－2x －8，g (x )＝2x 2－4x －16. (1)求不等式g (x )<0的解集；(2)若对一切x >2，均有f (x )≥(m ＋2)x －m －15成立，求实数m 的取值范围．20．(本小题满分12分)设数列{a n }的前n 项和为S n ＝2n 2，{b n }为等比数列，且a 1＝b 1，b 2(a 2－a 1)＝b 1.(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)设c n ＝a n b n，求数列{c n }的前n 项和T n .21.(本小题满分12分)在锐角△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且ac sin C ＝(a 2＋c 2－b 2)·sin B .(1)若C ＝π4，求A 的大小；(2)若a ≠b ，求c b的取值范围． 22.(本小题满分12分)要制作一个如图的框架(单位：m)，要求所围成的总面积为19.5 m 2，其中ABCD 是一个矩形，EFCD 是一个等腰梯形，梯形高h ＝12|AB |，tan ∠FED ＝34，设|AB |＝x m ，|BC |＝y m.(1)求y 关于x 的表达式；(2)如何设计x ，y 的长度，才能使所用材料最少？参考答案与解析1．【解析】选C.选项A 中c ＝0时不成立；选项B 中a ≤0时不成立；选项D 中取a ＝－2，b ＝－1，c ＝1验证，不成立，故选C.2．【解析】选A.由题意知(3x ＋3)2＝x (6x ＋6)，即x 2＋4x ＋3＝0，解得x ＝－3或x ＝－1(舍去)，所以等比数列的前3项是－3，－6，－12，则第四项为－24.3．【解析】选D.因为当x >1时，x ＋1x －1＝1＋(x －1)＋1x －1≥3，所以x ＋1x －1≥a 恒成立，只需a ≤3. 4．【解析】选D.由已知(a 4＋a 7)2＝9，所以a 4＋a 7＝±3，从而a 1＋a 10＝±3. 所以S 10＝a 1＋a 102×10＝±15.5．【解析】选B.由A 、B 、C 成等差数列，可得B ＝60°，不妨设A ＝60°－α，C ＝60°＋α(0°≤α<60°)，由a ，b ，c 成等比数列，得b 2＝ac ，由正弦定理得sin 2B ＝sin A sinC ，所以34＝sin(60°－α)sin(60°＋α)，所以34＝(sin 60°cos α)2－(cos 60°sin α)2，所以34＝34cos 2α－14sin 2α，34()1－cos 2α＝－14sin 2α， sin 2α＝0，所以α＝0°，所以A ＝B ＝C ，故选B. 6.【解析】选A.不等式组表示的可行域如图阴影部分所示，A (1，6)，yx≤k OA ＝6，故选A. 7．【解析】选A.因为(n ＋2)·a n ＋1＝(n ＋1)a n ，所以a n ＋1a n ＝n ＋1n ＋2，又当n ＝1时，3a 2＝2a 1，所以a 1＝32a 2＝12.所以a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a n a n －1＝12×23×34×…×n －1n ×n n ＋1＝1n ＋1. 8．【解析】选B.依题意，若－2x ＋1x2>－1，则x >0且x ≠1；若1x>－1，则x <－1，综上所述，x ∈(－∞，－1)∪(0，1)∪(1，＋∞)．9．【解析】选 A.因为x ＞1，所以x －1＞0.所以y ＝x 2＋2x －1＝x 2－2x ＋2x ＋2x －1＝x 2－2x ＋1＋2（x －1）＋3x －1＝（x －1）2＋2（x －1）＋3x －1＝x －1＋3x －1＋2≥23＋2.10．【解析】选C.因为n ＜m ，所以m ≥n ＋1. 又S (n )＝2（1－12n ）1－12＝4－12n －2，所以S (n ＋1)＝4－12n －1，故a n ＝S (n )－S (n ＋1) ＝12n －1－12n －2＝－12n －1. 11．【解析】选B.因为a 2＋b 2（a ＋b ）2＝a 2＋b 2a 2＋b 2＋2ab＝11＋2ab a 2＋b 2≥12，所以a 2＋b 2（a ＋b ）2的下确界为12.12．【解析】选D.S △ABC ＝12（|AB ―→|·|AC ―→|）2－（AB →·AC →）2＝12（|AB ―→|·|AC ―→|）2－64，因为|AB →－AC →|＝8，所以|AB →|2＋|AC →|2＝80，由均值不等式可得|AB →|·|AC →|≤40，所以S △ABC ≤12（40－8）（40＋8）＝86，当且仅当|AB →|＝|AC →|时取等号． 13．【解析】因为sin ∠BAM ＝13，所以cos ∠BAM ＝223.如图，在△ABM 中，利用正弦定理，得BMsin ∠BAM＝AMsin B，所以BM AM ＝sin ∠BAM sin B ＝13sin B ＝13cos ∠BAC.在Rt △ACM 中，有CM AM ＝sin ∠CAM ＝sin (∠BAC －∠BAM )．由题意知BM ＝CM ，所以13cos ∠BAC＝sin (∠BAC －∠BAM )．化简，得22sin ∠BAC cos ∠BAC －cos 2∠BAC ＝1. 所以22tan ∠BAC －1tan 2∠BAC ＋1＝1，解得tan ∠BAC ＝ 2. 再结合sin 2∠BAC ＋cos 2∠BAC ＝1，∠BAC 为锐角可解得sin ∠BAC ＝63. 【答案】6314．【解析】因为等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，所以5a 5＝25，即a 5＝5.所以a 2＋a 8＝2a 5＝10.【答案】10 15．【解析】如图所示，M 为图中阴影部分区域上的一个动点，由于点到直线的距离最短，所以|OM |的最小值＝22＝ 2.【答案】 2 16．【解析】画出可行域如图阴影所示，因为 yx表示过点(x ，y )与原点(0，0)的直线的斜率，所以点(x ，y )在点A 处时y x最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3.所以A (1，3)．所以y x的最大值为3. 【答案】317．【解】(1)证明：由a ＝b tan A 及正弦定理，得sin A cos A ＝a b ＝sin Asin B ，在△ABC 中，sin A ≠0，所以sin B ＝cos A ，即sin B ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋A . 又B 为钝角，因此π2＋A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，故B ＝π2＋A ，即B －A ＝π2.(2)由(1)知，C ＝π－(A ＋B )＝π－⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π2＝π2－2A >0，所以A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4.于是sin A ＋sin C ＝sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2A＝sin A ＋cos 2A ＝－2sin 2A ＋sin A ＋1 ＝－2⎝⎛⎭⎪⎫sin A －142＋98.因为0<A <π4，所以0<sin A <22，因此22<－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A －142＋98≤98.由此可知sin A ＋sin C 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤22，98. 18．【解】(1)由数列{a n }为公差不为零的等差数列，设其公差为d ，且d ≠0. 因为a 2，a 4，a 9成等比数列，所以a 24＝a 2·a 9，即(a 1＋3d )2＝(a 1＋d )(a 1＋8d )，整理得d 2＝3a 1d .因为d ≠0，所以d ＝3a 1.① 因为a 3＝7，所以a 1＋2d ＝7.② 由①②解得a 1＝1，d ＝3，所以a n ＝1＋(n －1)×3＝3n －2. 故数列{a n }的通项公式是a n ＝3n －2. (2)由(1)知b n ＝23n －2，因为b n ＋1b n ＝23（n ＋1）－223n －2＝8，所以{b n }是等比数列，且公比为8，首项b 1＝2，所以S n ＝2（1－8n ）1－8＝2（8n－1）7.19．【解】(1)g (x )＝2x 2－4x －16<0，所以(2x ＋4)(x －4)<0，所以－2<x <4，所以不等式g (x )<0的解集为{x |－2<x <4}． (2)因为f (x )＝x 2－2x －8.当x >2时，f (x )≥(m ＋2)x －m －15恒成立，所以x 2－2x －8≥(m ＋2)x －m －15，即x 2－4x ＋7≥m (x －1)．所以对一切x >2，均有不等式x 2－4x ＋7x －1≥m 成立．而x 2－4x ＋7x －1＝(x －1)＋4x －1－2≥ 2（x －1）×4x －1－2＝2. (当且仅当x －1＝4x －1即x ＝3时等号成立) 所以实数m 的取值范围是(－∞，2]． 20．【解】(1)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－2(n －1)2＝4n －2，当n ＝1时，a 1＝S 1＝2满足上式，故{a n }的通项公式为a n ＝4n －2.设{b n }的公比为q ，由已知条件a 1＝b 1，b 2(a 2－a 1)＝b 1知，b 1＝2，b 2＝12，所以q ＝14，所以b n ＝b 1qn －1＝2×14n －1，即b n ＝24n －1.(2)因为c n ＝a n b n ＝4n －224n －1＝(2n －1)4n －1，所以T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝1＋3×41＋5×42＋…＋(2n －1)4n －1.4T n ＝1×4＋3×42＋5×43＋…＋(2n －3)4n －1＋(2n －1)4n.两式相减得：3T n ＝－1－2(41＋42＋43＋…＋4n －1)＋(2n －1)4n ＝13[(6n －5)4n＋5]．所以T n ＝19[(6n －5)4n＋5]．21．【解】(1)因为ac sin C ＝(a 2＋c 2－b 2)sin B ，所以sin C sin B ＝a 2＋c 2－b2ac＝2a 2＋c 2－b 22ac＝2cos B ，所以sin C ＝sin 2B ，所以C ＝2B 或C ＋2B ＝π.若C ＝2B ，C ＝π4，则A ＝5π8(舍去)．若C ＋2B ＝π，C ＝π4，则A ＝3π8.故A ＝3π8.(2)若三角形为非等腰三角形，则C ＝2B 且A ＝π－B －C ＝π－3B ，又因为三角形为锐角三角形，因为0＜2B ＜π2，0＜π－3B ＜π2，故π6＜B ＜π4. 而c b ＝sin C sin B ＝2cos B ，所以c b∈(2，3)． 22．【解】(1)过点D 作DH ⊥EF 于H (图略)，则依题意知|DH |＝12|AB |＝12x ，|EH |＝|DH |tan ∠FED ＝43×12x ＝23x ，所以392＝xy ＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x ＋43x ×12x ＝xy ＋56x 2，所以y ＝392x －56x ，因为x ＞0，y ＞0，11 所以392x －56x ＞0，解得0＜x ＜3655. 所以所求表达式为y ＝392x －56x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜x ＜3655. (2)在Rt △DEH 中，因为tan ∠FED ＝34，所以sin ∠FED ＝35. 所以|DE |＝|DH |sin ∠FED ＝12x ×53＝56x .所以l ＝(2x ＋2y )＋2×56x ＋(2×23x ＋x )＝2y ＋6x ＝39x －53x ＋6x ＝39x ＋133x ≥2 39x ×13x 3＝26，当且仅当39x ＝133x ，即x ＝3时取等号．此时y ＝392x －56x ＝4，所以当|AB |＝3 m ，|BC |＝4 m 时，能使整个框架用材料最少．。

人教A版高中数学必修五模块测试卷(A).docx

必修5模块测试卷（A ）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在△ABC 中，a ＝3，b ＝7，c ＝2，那么B 等于（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°2．已知{a n }是等差数列，五个数列① {a 2n －3}；② {| a n |}；③ {lg a n }；④ {3－2a n }； ⑤ {a n 2} 中，仍是等差数列的个数是（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3．在△ABC 中，一定成立的等式是（）A ．a sin A =b sinB B ．a cos A =b cos BC ．a sin B =b sin AD ．a cos B =b cos A 4．数列 {a n } 是公差不为 0 的等差数列，且 a 7，a 10，a 15是等比数列{b n }的连续三项，若等比数列{b n } 的首项 b 1 = 3，则 b 2 等于（） A ．245 B ．5 C ．2 D ．955．已知a +b >0，b <0，那么a 、b 、－a 、－b 的大小关系是（）A ．a >b >－b >－aB ．a >－b >－a >bC ．a >－b >b >－aD ． a >b >－a >－b6．三个不相等的正数a 、b 、c 成等比数列，则lg a 、 lg b 、 lg c 是（）A ．等差数列B ．既是等差又是等比数列C ．等比数列D ．既不是等差又不是等比数列7．在首项为81，公差为－7的等差数列}{n a 中，最接近零的是第（） A ．11项 B ．10项 C ．9项 D ．8项8．在△ABC 中,三个顶点的坐标分别是A (2，4)，B （－1，2），C （1，0），点P （x ，y ）在△ABC 内部及边界上运动，则w =y －x 的取值范围是（） A ．[1，3] B ． [－3，1] C ．[－3，－1] D ．[－1，3] 9．数列{)1(2+n n }的前n 项和为S n ，已知611=n S ，则n 值是（）A ．8B ．9C ．10D ．1110．下列各不等式：① 212a a +> (R a ∈)； ② 12x x+≥ (0,≠∈x R x ) ； ③2≥+abb a (0≠ab )； ④11122>++x x (R x ∈)．其中正确的个数是（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个二、填空题：本大题共4小题．每小题5分，满分20分．11．在等差数列{a n }中，a 5=3，a 6=－2，则a 4+a 5+…+ a 10= ． 12．在ΔABC 中，AB =2cm ，BC =2cm ，∠A 满足3sinA +cosA =1，则ΔABC 的面积是．13．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第n 个图案中有白色地面砖块．14．设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≥+≤632x y y x xy ，则目标函数y x z +=2的最小值为．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．15．已知等比数列{}n a 中，45,106431=+=+a a a a ，求其第4项及前5项和． 16．如图所示，在某公园的一块绿地上划出一个矩形区域，在这个矩形区域的中央修建两个相同的矩形的池塘，每个面积都为200米2，池塘前方要留4米宽的走道，其余各方均为2米宽的走道，问每个池塘的长宽各为多少米时(记池塘的长为x 米)，这个矩形区域占地面积最少？并求出这个最小值． 17．已知等差数列{}n a ，92=a ，215=a ，（1）求{}n a 的通项公式；（2）若n a n b 2=，求数列{}n b 的前n 项和n S ．18．如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠DAB ，∠ABC =600，AC =7，AD =6， S △ADC = 1532，求AB 的长．19．某运输公司接受了向抗洪救灾地区每天送至少180t 支援物资的任务．该公司有8辆载重6t 的A 型卡车与4辆载重为10t 的B 型卡车，有10名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数为A 型卡车4次，B 型卡车3次；每辆卡车每天往返的成本费A 型为320元，B 型为504元．请为公司安排一下，应如何调配车辆，才能使公司所花的成本费最低？若只安排A 型或B 型卡车，所花的成本费分别是多少？20．已知数列{x n }的各项为不等于1的正数，其前n 项和为S n ，点P n 的坐标为（x n ，S n ），若所有这样的P n （n =1,2……）都在斜率为5的同一条直线上．（1）求证数列{x n }是等比数列；（2）设y n = log x n a 且满足 y 8 =125 ，y 12 = 117，a 为大于0的常数． ① 试确定a 的值；② 是否存在正整数M ，使得当n >M 时，x n >1恒成立？若存在，求出相应的M ；若不存在，请说明理由．必修5模块测试卷（A ）1-10：CBCBC ABDBD11．- 49 12． 3 13． 4n +2 14．3 15．解：设公比为q ，由已知得 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+45105131211q a q a q a a 即⎪⎩⎪⎨⎧=+=+45)1(①10)1(23121q q a q a ②÷①得 21,813==q q 即，将21=q 代入①得 81=a ，②1)21(83314=⨯==∴q a a ， 231211)21(181)1(5515=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⨯=--=q q a s ． 16．解：设池塘的长为x （0>x ）米，则池塘的宽为x200米，令矩形区域的面积为y 平方米，则有)6200)(62(++=xx y =4[109+3)100(xx +]=⨯+≥)203109(4676 当且仅当x x 100=，即10=x 时，676min =y ，这时20200=x答：池塘的长和宽分别为10米、20米，矩形区域的面积最小为676平方米．17．解：(1) 设数列 {a n } 的公差为d ，则a 5=a 2+3d .得21=9+3d ,∴ d = 4,∴ a n = a 2 + (n －2) d = 4n + 1(2) ∵ b n = 2 a n , ∴ b n = 24n +1, 又b n +1b n= 16, ∴ {b n } 是以 16 为公比的等比数列.b 1=25=32, ∴ S n = 32(1－16n )1－16 = 3215(16n －1)18．解:依题意 S △ADC = 12 ·6·7 sin ∠1 = 1532∴ sin ∠1 = sin ∠2 = 5314∴ cos ∠2 =1114∴ △ABC 中，sin ∠ACB = sin (∠2 + 60︒) = sin ∠2 cos 60︒ + cos ∠2 sin 60︒ = 5314 ×12 + 1114 ×32 = 16328 = 437又 AC sin B = AB sin ∠ACB ⇒ 732 = AB 437 ⇒ AB = 8． 19．答案：解：设需A 型、B 型卡车分别为x 辆和y 辆．列表分析数据．由表可知x ，y 满足的线性条件：1024301800804x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩≤≥≤≤≤≤，且320504z x y =+．作出线性区域，如图所示，可知当直线320504z x y =+过(7.50)A ，时，z 最小，但(7.50)A ，不是整点，继续向上平移直线320504z x y =+可知，(52)，是最优解．这时min 320550422608z =⨯+⨯= （元），即用5辆A 型车，2辆B 型车，成本费最低．若只用A 型车，成本费为83202560⨯=（元），只用B 型车，成本费为180504302430⨯=（元）． 20．解：（1）证明：已知 P n 、P n +1 都在斜率为5的同一直线上，∴S n +1-S n x n +1-x n =5 , ∴x n +1x n +1-x n =5, ∴4x n+1=5x n ∴x n +1x n =54,n=1,2,3,……∴{x n }是以x 1为首项,公比为 54的等比数列(2) (i) ∵ y n =log xn a , y 8=18 ,y 12 = 117 , 1y n = log a x n , 又由(1), x n = x1·( 54)n －1∴1y 8 －1y 12 =log a x 8－log a x 12 = log a x 8x 12 = log a ( 54 )－4,又∵1y8－1y12=25-17=8, ∴ loga(54)－4 = 8, ∴a8 = (45)4, 又a > 0,∴a = 25=255(ii)由(i) 知 xn = a1yn,而 a =2 55(0,1) , 故欲使 xn> 1, 则只须1yn<0,∵1yn= logaxn= loga[x1·(54)ｎ－１]＝（n－1）loga54+logax1∴ { 1yn} 为等差数列, 其公差 d = loga54= log25554=－lg54lg255= －2.(公差d也可由1y12－1y8= 4d 求得)∴1yn=1y8+ (n－8)·(－2)=25－n+16 = 41－2n由1yn< 0 得 n > 20.5∴取M=20, 当n>20时 xn>1 恒成立．(注：凡是取M为大于或等于20的正整数均可)。

2019高中数学模块综合测评(一)新人教A版必修5

模块综合测评(一)满分：150分时间：120分钟一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是(－1,2)，则a ＋b 的值为( )【导学号：91432385】A ．1B ．－1C ．0D ．－2C [由已知得－b a＝－1＋2，2a＝－1×2，a <0，解得a ＝－1，b ＝1，故a ＋b ＝0，故选C.]2．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝( )A.π12B.π6C.π4D.π3B [因为a ＝2，c ＝2，所以由正弦定理可知，2sin A ＝2sin C ，故sin A ＝2sin C . 又B ＝π－(A ＋C )，故sin B ＋sin A (sin C －cos C ) ＝sin(A ＋C )＋sin A sin C －sin A cos C＝sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin A sin C －sin A cos C ＝(sin A ＋cos A )sin C ＝0.又C 为△ABC 的内角，故sin C ≠0，则sin A ＋cos A ＝0，即tan A ＝－1. 又A ∈(0，π)，所以A ＝3π4.从而sin C ＝12sin A ＝22×22＝12. 由A ＝3π4知C 为锐角，故C ＝π6.故选B.]3．已知一个等差数列{a n }的第8,9,10项分别为b －1，b ＋1,2b ＋3，则通项a n 等于( )【导学号：91432386】A ．2n －5B ．2n －9C ．2n －13D ．2n －17D [依题意得2(b ＋1)＝b －1＋2b ＋3，解得b ＝0，∴d ＝2，a 8＝－1，a n ＝a 8＋(n －8)d ＝－1＋(n －8)×2＝2n －17.]4．在△ABC 中，已知sin A cos B ＝sin C ＝cos C ，那么△ABC 一定是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形D ．正三角形C [由sin A cos B ＝sin C 及正、余弦定理得a ·a 2＋c 2－b 22ac＝c ，可得b 2＋c 2＝a 2，即A ＝90°，由sin C ＝cos C 得C ＝45°.故△ABC 为等腰直角三角形．]5．在等差数列{a n }中，若a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝450，则a 4＋a 8的值为( )【导学号：91432387】A ．45B ．75C ．180D ．300C [a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝(a 4＋a 8)＋(a 5＋a 7)＋a 6＝5a 6＝450，∴a 6＝90. ∴a 4＋a 8＝2a 6＝2×90＝180.] 6．下列不等式中，恒成立的是( ) A ．x ＋1x≥2(x ≠0)B ．x 2－2x －3>0 C.2x 2－x ＋2x 2－x ＋1>1 D ．log 12(x 2＋1)≥0C [当x <0时，x ＋1x≥2不成立；当－1≤x ≤3时，不等式x 2－2x －3>0不成立；因为x 2＋1≥1，则log 12(x 2＋1)≤log 121＝0，故D 项不成立；由于x 2－x ＋1>0，不等式等价于2x 2－x ＋2>x 2－x ＋1，即x 2＋1>0，故C 项正确．]7．已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是( )【导学号：91432388】A.72 B ．4 C.92D ．5C [∵2y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ＝5＋4a b ＋b a，又∵a >0，b >0，∴2y ≥5＋24a b ·ba＝9，∴y min ＝92，当且仅当b ＝2a 时“＝”成立．]8．如果数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝1，且a n －1－a n a n －1＝a n －a n ＋1a n ＋1(n ≥2)，则这个数列的第10项等于( )A.1210B.129C.110D.15D [当n ≥2时，由已知得1－a n a n －1＝a na n ＋1－1， ∴2＝a n a n －1＋a n a n ＋1，∴2a n ＝1a n －1＋1a n ＋1，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，又∵a 1＝2，a 2＝1，∴1a 1＝12，1a 2＝1，d ＝1a 2－1a 1＝12，∴1a n ＝n 2，∴a n ＝2n ，∴a 10＝210＝15.]9．若关于x 的不等式x 2＋ax －a －2>0和2x 2＋2(2a ＋1)x ＋4a 2＋1>0的解集依次为A 和B ，那么，使得A ＝R 和B ＝R 至少有一个成立的实常数a ( )【导学号：91432389】A ．可以是R 中的任何一个数B ．有无穷多个，但并不是R 中所有的实数都能满足要求C ．有且仅有一个D ．不存在B [若A ＝R ，则Δ1＝a 2＋4(a ＋2)<0成立，显然是不可能的，即这样的a ∈∅；若B ＝R ，则Δ2＝4(2a ＋1)2－8(4a 2＋1)<0成立，即(2a －1)2>0，因而存在无穷多个实常数a ，当a ＝12时，上述不等式不成立，从而选B.]10．设变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1x －y ≤1x ≥0，则x ＋2y 的最大值和最小值分别为( )A ．1，－1B ．2，－2C ．1，－2D ．2，－1B [由线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1x －y ≤1x ≥0，画出可行域如图阴影部分所示．设z ＝x ＋2y ，则y ＝－12x ＋z2.设l 0：y ＝－12x ，平移l 0，可知过A 点时z max ＝0＋2×1＝2，过B 点时z min ＝0＋2×(－1)＝－2.]11．若直线ax ＋2by －2＝0(a ，b ∈R ＋)始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －8＝0的周长，则1a ＋2b的最小值为( )【导学号：91432390】A ．1B ．5C ．4 2D ．3＋2 2D [∵直线平分圆， ∴直线过圆心(2,1)，即2a ＋2b －2＝0，a ＋b ＝1，1a ＋2b ＝a ＋b a ＋2a ＋2b b ＝3＋b a ＋2ab≥3＋2 2.]12．如图1所示，一货轮航行到M 处，测得灯塔S 在货轮的北偏东15°，且货轮与灯塔S 相距20海里，货轮按北偏西30°的方向航行30分钟后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为()图1A ．20(2＋6)海里/小时B ．20(6－2)海里 /小时C ．20(3＋6)海里/小时D ．20(6－3)海里/小时B [设货轮的速度为v 海里/小时，∠NMS ＝45°，∠MNS ＝105°，则∠MSN ＝30°，由MS ＝20，MN ＝v 2，则v2sin 30°＝20sin 105°，v ＝20sin 105°＝20(6－2)．]二、填空题(每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．已知x >1，y >1，且ln x,1，ln y 成等差数列，则x ＋y 的最小值为________.【导学号：91432391】2e [由已知ln x ＋ln y ＝2，∴xy ＝e 2，x ＋y ≥2xy ＝2e.当且仅当x ＝y ＝e 时取“＝”，∴x ＋y 的最小值为2e.]14．已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，n ∈N ＋，若a 3＝16，S 20＝20，则S 10的值为________． 110 [设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则a 3＝a 1＋2d ＝16，S 20＝20a 1＋20×192d ＝20，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝162a 1＋19d ＝2，解得d ＝－2，a 1＝20.∴S 10＝10a 1＋10×92d ＝200－90＝110.]15．在△ABC 中，已知|AB →|＝4，|AC →|＝1，S △ABC ＝3，则AB →·AC →的值为________.【导学号：91432392】2或－2 [∵S △ABC ＝12|AB →||AC →|·sin A ＝12×4×1×sin A ＝3，∴sin A ＝32.∴cos A ＝12或－12. ∵AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos A ， ∴AB →·AC →＝2或－2.]16．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝________吨．20 [设一年的总费用为y 万元，则y ＝4×400x ＋4x ＝1 600x＋4x ≥21 600x·4x ＝160.当且仅当1 600x＝4x ，即x ＝20时，等号成立．]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)在△ABC 中，cos A ＝－513，cos B ＝35.(1)求sin C 的值；(2)设BC ＝5，求△ABC 的面积.【导学号：91432393】[解] (1)由cos A ＝－513，得sin A ＝1213，由cos B ＝35，得sin B ＝45.∴sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝1213×35＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－513×45＝1665.(2)由正弦定理得AC ＝BC ·sin Bsin A ＝5×451213＝133.∴△ABC 的面积S ＝12·BC ·AC ·sin C ＝12×5×133×1665＝83.18．(本小题满分12分)在等差数列{a n }中，S 9＝－36，S 13＝－104，在等比数列{b n }中，b 5＝a 5，b 7＝a 7，求b 6.[解] ∵S 9＝－36＝9a 5，∴a 5＝－4. ∵S 13＝－104＝13a 7，∴a 7＝－8. ∴b 26＝b 5·b 7＝a 5·a 7＝32. ∴b 6＝±4 2.19．(本小题满分12分)解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R ).【导学号：91432394】[解] 原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0⇒(ax －2)(x ＋1)≥0.(1)当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0⇒x ≤－1；(2)当a >0时，原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≥0⇒x ≥2a或x ≤－1；(3)当a <0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≤0.①当2a >－1，即a <－2时，原不等式等价于－1≤x ≤2a；②当2a ＝－1，即a ＝－2时，原不等式等价于x ＝－1； ③当2a<－1，即－2<a <0时，原不等式等价于2a≤x ≤－1.综上所述：当a <－2时，原不等式的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，2a ；当a ＝－2时，原不等式的解集为{－1}；当－2<a <0时，原不等式的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a，－1；当a ＝0时，原不等式的解集为(－∞，－1]；当a >0时，原不等式的解集为(－∞，－1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2a，＋∞.20．(本小题满分12分)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝1，b ＝2，cos C ＝14.(1)求△ABC 的周长； (2)求cos A 的值．[解] (1)∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋4－4×14＝4，∴c ＝2，∴△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝1＋2＋2＝5.(2)∵cos C ＝14，∴sin C ＝1－cos 2C ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝154，∴sin A ＝a sin C c ＝1542＝158∵a <c ，∴A <C ，故A 为锐角，∴cos A ＝1－sin 2A ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫1582＝78. 21．(本小题满分12分)已知数列{a n }满足a 1＝5，a 2＝5，a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)． (1)求证：{a n ＋1＋2a n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式.【导学号：91432395】[解] (1)证明：∵a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)， ∴a n ＋1＋2a n ＝3a n ＋6a n －1＝3(a n ＋2a n －1)(n ≥2)．又a 1＝5，a 2＝5，∴a 2＋2a 1＝15， ∴a n ＋2a n －1≠0(n ≥2)， ∴a n ＋1＋2a na n ＋2a n －1＝3(n ≥2)，∴数列{a n ＋1＋2a n }是以15为首项，3为公比的等比数列． (2)由(1)得a n ＋1＋2a n ＝15×3n －1＝5×3n，则a n ＋1＝－2a n ＋5×3n， ∴a n ＋1－3n ＋1＝－2(a n －3n)．又∵a 1－3＝2，∴a n －3n≠0，∴{a n －3n}是以2为首项，－2为公比的等比数列， ∴a n －3n＝2×(－2)n －1，即a n ＝2×(－2)n －1＋3n(n ∈N *)．22．(本小题满分12分)某学校为了解决教职工的住房问题，计划征用一块土地盖一幢总建筑面积为A (m 2)的宿舍楼．已知土地的征用费为2 388元/m 2，且每层的建筑面积相同，土地的征用面积为第一层的2.5倍．经工程技术人员核算，第一、二层的建筑费用相同都为445元/m 2，以后每增高一层，其建筑费用就增加30元/m 2.试设计这幢宿舍楼的楼高层数，使总费用最少，并求出其最少费用．(总费用为建筑费用和征地费用之和)[解] 设楼高为n 层，总费用为y 元，则征地面积为2.5A n m 2，征地费用为5 970An元，楼层建筑费用为[445＋445＋(445＋30)＋(445＋30×2)＋…＋445＋30×(n －2)]·A n ＝⎝⎛⎭⎪⎫15n ＋30n＋400A元，从而y ＝5 970A n ＋15nA ＋30A n ＋400A ＝(15n ＋6 000n＋400)A ≥1 000A (元)．当且仅当15n ＝6 000n，即n ＝20(层)时，总费用y 最少．故当这幢宿舍楼的楼高层数为20层时，费用最少，最少总费用为1 000A 元．。

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高中数学学习材料金戈铁骑整理制作模块综合测评(一)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若a<1，b>1，那么下列命题中正确的是()A.1a>1b B.ba>1C．a2<b2D．ab<a＋b 【解析】利用特值法，令a＝－2，b＝2.则1a<1b，A错；ba<0，B错；a2＝b2，C错．【答案】 D2．一个等差数列的第5项a5＝10，且a1＋a2＋a3＝3，则有()A．a1＝－2，d＝3 B．a1＝2，d＝－3C．a1＝－3，d＝2 D．a1＝3，d＝－2【解析】∵a1＋a2＋a3＝3且2a2＝a1＋a3，∴a2＝1.又∵a5＝a2＋3d＝1＋3d＝10，d＝3.∴a1＝a2－d＝1－3＝－2.【答案】 A3．已知△ABC的三个内角之比为A∶B∶C＝3∶2∶1，那么对应的三边之比a∶b∶c等于()A．3∶2∶1 B.3∶2∶1C.3∶2∶1 D ．2∶3∶1【解析】 ∵A ∶B ∶C ＝3∶2∶1，A ＋B ＋C ＝180°， ∴A ＝90°，B ＝60°，C ＝30°. ∴a ∶b ∶c ＝sin 90°∶sin 60°∶sin 30° ＝1∶32∶12＝2∶3∶1. 【答案】 D4．在坐标平面上，不等式组⎩⎨⎧y ≥x －1，y ≤－3|x |＋1所表示的平面区域的面积为( )A. 2B.32C.322 D ．2【解析】由题意得，图中阴影部分面积即为所求．B ，C 两点横坐标分别为－1，12.∴S △ABC ＝12×2×⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－(－1)＝32.【答案】 B5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若A ＝π3，b ＝1，△ABC 的面积为32，则a 的值为( )A ．1B ．2 C.32 D. 3【解析】根据S ＝12bc sin A ＝32，可得c ＝2，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝3，故a ＝ 3.【答案】 D6．(2016·龙岩高二检测)等差数列的第二，三，六项顺次成等比数列，且该等差数列不是常数数列，则这个等比数列的公比为( )A ．3B ．4C ．5D ．6【解析】设等差数列的首项为a 1，公差为d ，则a 2＝a 1＋d ，a 3＝a 1＋2d ，a 6＝a 1＋5d ，又∵a 2·a 6＝a 23，∴(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋5d )，∴d ＝－2a 1，∴q ＝a 3a 2＝3.【答案】 A7．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12恒成立，则a 的最小值为( )A ．0B ．－2C ．－52 D ．－3【解析】 x 2＋ax ＋1≥0在x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上恒成立⇔ax ≥－x 2－1⇔a ≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x max ，∵x ＋1x ≥52， ∴－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ≤－52，∴a ≥－52.【答案】 C8．(2015·浙江高考)已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n ，若a 3，a 4，a 8成等比数列，则( )A ．a 1d >0，dS 4>0B ．a 1d <0，dS 4<0C ．a 1d >0，dS 4<0D ．a 1d <0，dS 4>0【解析】 ∵a 3，a 4，a 8成等比数列，∴a 24＝a 3a 8，∴(a 1＋3d )2＝(a 1＋2d )(a 1＋7d )，展开整理，得－3a 1d ＝5d 2，即a 1d ＝－53d 2.∵d ≠0，∴a 1d <0.∵S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，∴S 4＝4a 1＋6d ，dS 4＝4a 1d ＋6d 2＝－23d 2<0.【答案】 B9．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1－2a n ＝0(n ∈N *)，b n 是a n 和a n ＋1的等差中项，设S n 为数列{b n }的前n 项和，则S 6＝( )A ．189B ．186C ．180D ．192【解析】由a n ＋1＝2a n ，知{a n }为等比数列，∴a n＝2n.∴2b n＝2n＋2n＋1，即b n＝3·2n－1，∴S6＝3·1＋3·2＋…＋3·25＝189.【答案】 A10．已知a，b，c∈R，a＋b＋c＝0，abc>0，T＝1a＋1b＋1c，则()A．T>0 B．T<0 C．T＝0 D．T≥0【解析】法一取特殊值，a＝2，b＝c＝－1，则T＝－32<0，排除A，C，D，可知选B.法二由a＋b＋c＝0，abc>0，知三数中一正两负，不妨设a>0，b<0，c<0，则T＝1a＋1b＋1c＝ab＋bc＋caabc＝ab＋c(b＋a)abc＝ab－c2abc.∵ab<0，－c2<0，abc>0，故T<0，应选B.【答案】 B11．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B＝2A，a＝1，b ＝3，则c＝()A．2 3 B．2 C. 2 D．1【解析】由正弦定理得：asin A＝bsin B，∵B＝2A，a＝1，b＝3，∴1sin A＝32sin A cos A.∵A为三角形的内角，∴sin A≠0.∴cos A＝3 2.又0＜A＜π，∴A＝π6，∴B＝2A＝π3.∴C＝π－A－B＝π2，∴△ABC为直角三角形．由勾股定理得c＝12＋(3)2＝2.【答案】 B12．一个等比数列前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有( )A ．13项B ．12项C ．11项D ．10项【解析】设该数列的前三项分别为a 1，a 1q ，a 1q 2，后三项分别为a 1q n －3，a 1q n －2，a 1q n －1.所以前三项之积a 31q 3＝2，后三项之积a 31q 3n －6＝4，两式相乘，得a 61q3(n －1)＝8，即a 21qn －1＝2.又a 1·a 1q ·a 1q 2·…·a 1qn －1＝64，所以a n1·qn (n －1)2＝64，即(a 21q n －1)n ＝642，即2n ＝642，所以n ＝12.【答案】 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．在△ABC 中，BC ＝2，B ＝π3，当△ABC 的面积等于32时，sin C ＝________. 【导学号：05920086】【解析】由三角形的面积公式，得S ＝12AB ·BC sin π3＝32，易求得AB ＝1，由余弦定理，得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos π3，得AC ＝3，再由三角形的面积公式，得S ＝12AC ·BC sin C ＝32，即可得出sin C ＝12.【答案】 1214．(2015·湖北高考)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≤4，x －y ≤2，3x －y ≥0，则3x ＋y 的最大值是________．【解析】画出可行域，如图阴影部分所示，设z ＝3x ＋y ，则y ＝－3x ＋z ，平移直线y ＝－3x 知当直线y ＝－3x ＋z 过点A 时，z 取得最大值．由⎩⎨⎧x ＋y ＝4，x －y ＝2，可得A (3,1)．故z max ＝3×3＋1＝10.【答案】 1015．国家为了加强对烟酒生产的宏观管理，实行征收附加税政策．现知某种酒每瓶70元，不加附加税时，每年大约产销100万瓶，若政府征收附加税，每销售100元要征税k 元(叫做税率k %)，则每年的产销量将减少10k 万瓶．要使每年在此项经营中所收取附加税金不少于112万元，则k 的取值范围为________．【解析】设产销量为每年x 万瓶，则销售收入每年70x 万元，从中征收的税金为70x ·k %万元，其中x ＝100－10k .由题意，得70(100－10k )k %≥112，整理得k 2－10k ＋16≤0，解得2≤k ≤8.【答案】 [2,8] 16．观察下列等式： 12＝1， 12－22＝－3， 12－22＋32＝6， 12－22＋32－42＝－10， …照此规律，第n 个等式可为12－22＋32－…＋(－1)n －1n 2＝________. 【解析】分n 为奇数、偶数两种情况．第n 个等式为12－22＋32－…＋(－1)n －1n 2.当n 为偶数时，分组求和：(12－22)＋(32－42)＋…＋[(n －1)2－n 2]＝－(3＋7＋11＋15＋…＋2n －1)＝－n2×(3＋2n －1)2＝－n (n ＋1)2.当n 为奇数时，第n 个等式为(12－22)＋(32－42)＋…＋[(n －2)2－(n －1)2]＋n 2＝－n (n －1)2＋n 2＝n (n ＋1)2.综上，第n 个等式为12－22＋32－…＋(－1)n －1n 2 ＝(－1)n ＋1n (n ＋1)2. 【答案】 (－1)n ＋1n (n ＋1)2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若m ＝(a 2＋c 2－b 2，－3a )，n ＝(tan B ，c )，且m ⊥n ，求∠B 的值．【解】由m ⊥n 得(a 2＋c 2－b 2)·tan B －3a ·c ＝0，即(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，得a 2＋c 2－b 2＝3ac tan B ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝32tan B ，即tan B cos B ＝32，即sin B ＝32，所以∠B ＝π3或∠B ＝2π3.18．(本小题满分12分)在等差数列{a n }中，S 9＝－36，S 13＝－104，在等比数列{b n }中，b 5＝a 5，b 7＝a 7, 求b 6. 【导学号：05920087】【解】 ∵S 9＝－36＝9a 5，∴a 5＝－4， ∵S 13＝－104＝13a 7，∴a 7＝－8. ∴b 26＝b 5·b 7＝a 5 ·a 7＝32. ∴b 6＝±4 2.19．(本小题满分12分)解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R ). 【导学号：05920088】【解】原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0⇒(ax －2)(x ＋1)≥0.(1)当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0⇒x ≤－1；(2)当a >0时，原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≥0⇒x ≥2a 或x ≤－1；(3)当a <0时，原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≤0.①当2a >－1，即a <－2时，原不等式等价于－1≤x ≤2a ； ②当2a ＝－1，即a ＝－2时，原不等式等价于x ＝－1； ③当2a <－1，即－2<a <0时，原不等式等价于2a ≤x ≤－1. 综上所述：当a <－2时，原不等式的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，2a ；当a ＝－2时，原不等式的解集为{－1}；当－2<a <0时，原不等式的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a ，－1；当a ＝0时，原不等式的解集为(－∞，－1]；当a >0时，原不等式的解集为(－∞，－1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2a ，＋∞.20．(本小题满分12分)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝1，b ＝2，cos C ＝14.(1)求△ABC 的周长； (2)求cos A 的值．【解】 (1)∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋4－4×14＝4.∴c ＝2.∴△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝1＋2＋2＝5. (2)∵cos C ＝14，∴sin C ＝1－cos 2C ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝154. ∴sin A ＝a sin C c ＝1542＝158. ∵a <c ，∴A <C ，故A 为锐角， ∴cos A ＝1－sin 2A ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫1582＝78. 21．(本小题满分12分)(2016·宝鸡模拟)已知数列{a n }满足a 1＝5，a 2＝5，a n＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)．(1)求证：{a n ＋1＋2a n }是等比数列；(2)求数列{a n }的通项公式．【解】 (1)证明：∵a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)， ∴a n ＋1＋2a n ＝3a n ＋6a n －1＝3(a n ＋2a n －1)(n ≥2)．又a 1＝5，a 2＝5，∴a 2＋2a 1＝15， ∴a n ＋2a n －1≠0(n ≥2)， ∴a n ＋1＋2a na n ＋2a n －1＝3(n ≥2)，∴数列{a n ＋1＋2a n }是以15为首项，3为公比的等比数列． (2)由(1)得a n ＋1＋2a n ＝15×3n －1＝5×3n ，则a n ＋1＝－2a n ＋5×3n ， ∴a n ＋1－3n ＋1＝－2(a n －3n )．又∵a 1－3＝2，∴a n －3n ≠0，∴{a n －3n }是以2为首项，－2为公比的等比数列． ∴a n －3n ＝2×(－2)n －1，即a n ＝2×(－2)n －1＋3n (n ∈N *)．22．(本小题满分12分)某厂用甲、乙两种原料生产A ，B 两种产品，制造1 t A,1 t B 产品需要的各种原料数、可得到利润以及工厂现有各种原料数如下表：原料每种产品所需原料(t) 现有原料数(t) A B 甲 2 1 14 乙 1 3 18 利润(万元/t)53—(1)在现有原料条件下，生产A ，B 两种产品各多少时，才能使利润最大？ (2)每吨B 产品的利润在什么范围变化时，原最优解不变？当超出这个范围时，最优解有何变化？【解】 (1)生产A ，B 两种产品分别为x t ，y t ，则利润z ＝5x ＋3y ，x ，y 满足⎩⎨⎧2x ＋y ≤14，x ＋3y ≤18，x ≥0，y ≥0，作出可行域如图：当直线5x ＋3y ＝z 过点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫245，225时，z 取最大值3715，即生产A 产品245 t ，B 产品225 t 时，可得最大利润．(2)设每吨B 产品利润为m 万元，则目标函数是z ＝5x ＋my ，直线斜率k ＝－5m ，又k AB ＝－2，k CB ＝－13，要使最优解仍为B 点，则－2≤－5m ≤－13，解得52≤m ≤15，则B 产品的利润在52万元/t 与15万元/t 之间时，原最优解仍为生产A 产品245 t ，B 产品225 t ，若B 产品的利润超过15万元/t ，则最优解为C (0,6)，即只生产B 产品6 t ，若B 产品利润低于52万元/t ，则最优解为A (7,0)，即只生产A 产品7 t.。