安徽省示范高中培优联盟2019年春季联赛

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安徽省示范高中培优联盟2019年春季联赛高二理科数学答案

2019年春季联赛高二理科数学答案一、选择题：1. A2.C3.B4.A5.C6.D7.D8.B9.D 10.B 11.A 12.C1．A ．由题：{1,2,3,4}U =，{1,2,4}B =，{2,4}AB =，(){1,3}U A B =ð．2．C ．由一元二次方程求根公式可得方程2220z z ++=的两根为1i -±，故1i z =-+． 3．B ．命题p 为真命题，命题q 为假命题，故p q ∨是真命题．4．A ．由题，1tan 12α⋅=-，tan 2α=-，于是2222sin cos 2tan 4sin 2sin cos tan 15ααααααα===-++． 5．C ．因为所有的样本点都在直线2100y x =-+上，故负相关，这组样本数据的样本相关系数为1-．6．D ．设底面半径为r ，则两个圆锥的体积之和为23r Rπ，由23234383r RR ππ⋅=⋅得2r =，球心到圆锥底面的距离2R d ==，故这两个圆锥高之差的绝对值为2d R =． 7．D ．设a OA =，b OB =，p OP =，1λμ+=，点P 在直线:250AB x y +-=上，故选项D 符合题设要求．8．B ．如图，该几何体由边长为2的正方体削去两个三棱锥而成，不难求得其表面积为134342(2222++⨯+⨯=． 9．D ．注意到()f x 为偶函数，且0x →时，sin 1xx→，()1f x →；又(1)sin110f =-<，sin 2(2)02f =>，故选D ．10．B ．22x y p =，xy'p=，点P 处的切线为()P P P P x x y x x y x p p =-+=-(0,)P Q y -，于是||()||522P P p pQF y y PF =--=+==．11．A ．不等式组表示的区域如图所示，|3412|55x y d +-==，其中d 为区域内的点到直线:34120l x y +-=的距离，结合图象可知，d 的最小值为(1,1)到l 的距离，min 55d =，2d -的最大值为原点O 到l 的距离，max 1255(2)225d =+=，故|3412|x y +-的取值范围为[5,22]．12．C ．点(4,1)P ，设直线:(4)1l y k x =-+，与32681y x x x =-++联立得：326(8)40x x k x k -+-+=，由题，,,P A B x x x 为此方程的三个不等实根，故326(8)4(4)()()A B x x k x k x x x x x -+-+=---，对比方程两边2x 项的系数可知2A B x x +=，故选C ．【解析】双曲线22221x y a b-=上点00(,)P x y 到两渐近线0bx ay ±=的距离之积12d d =22222200222||34b x a y a b a b c -===+，又2ce a ==，23b =，故双曲线的虚轴长为2b =15．23【解析】基本事件的总体为：〇（〇）、〇（〇）、〇（△），故这枚硬币的另一面是〇的概率为23． 16．2【解析】如图，过B 作AC 的平行线与AD 的延长线交于点E ，3BC BD =，2AC BE =，2AD DE =，3AE =在ABE △中，由余弦定理：2222cos120AE AB BE AB BE =+-⋅⋅，即2293AB BE AB BE AB BE =++⋅≥⋅， 3AB BE ⋅≤，6AB AC ⋅≤，于是133sin 602ABC S AB AC =⋅⋅≤△AB BE =时等号成立．A BCDE()f x 的周期1212T π=-=，2T ω==，再由7()sin()10126f πϕ=++=，得7sin()16πϕ+=-，732()62k k ππϕπ+=+∈Z ，2()3k k πϕπ=+∈Z ，又||2πϕ<，3πϕ=，()sin(2)13f x x π=++．（5分）（2）()()sin[2()]1sin(2)13333g x f x x x ππππ=-=-++=-+，由222()232k x k k πππππ-+≤-≤+∈Z ，得5()1212k x k k ππππ-+≤≤+∈Z ，所以()g x 的单调增区间为5[,]()1212k k k ππππ-++∈Z ．（10分）18．（12分）【解析】（1）由题，120192n n a a ++=，120192(2019)n n a a +-=-，{2019}n a -是首项120191a -=-，公比为2的等比数列， 120192n n a --=-，数列{}n a 的通项公式为120192n n a -=-．（6分）（2）由（1）知：1211120a a a a >>>>>>，设{}n a 的前n 项和为n S ，则0112019(222n n S n -=-+++）201921n n =-+，于是12||||||n n T a a a =+++1211112,11()(),12n n a a a n a a a a n +++≤⎧=⎨++-++≥⎩1111,11(),12n n S n S S S n ≤⎧=⎨--≥⎩201921,114032320192,12n nn n n n ⎧-+≤=⎨-+≥⎩．（12分）19．（12分）【解析】（1）由题意可知，当天需求量30n <时，当天的利润85(30)630330y n n n =+--⨯=-；当天需求量30n ≥时，当天的利润83063060y =⨯-⨯=．故330,30,60,30n n y n n -<⎧=∈⎨≥⎩N ；（4分）（2所以这30天的日利润的平均数为5930=（元），方差为222(5459)3(5759)4(6059)233.830-⨯+-⨯+-⨯=；（8分）（3）根据该统计数据，一定要停止这种面包的生产．理由如下：由222222212101210()()()(6)(6)(6)21010x x x x x x x x x s -+-++--+-++-===，可得2221210(6)(6)(6)20x x x -+-++-=，所以2(6)20(110,,)k k x k k x -≤≤≤∈∈N N ，故10k x ≤，由此意味着连续10天的日需求量都不超过10个，所以一定要停止这种面包的生产．（12分） 20．（12分）【解析】（1）方法一：如图1，在AB 取点E 使得BE AC B'D ==，则CE AB ∥且DE BB'∥，又CE ⊄面ABB'A'，DE ⊄面ABB'A'，CE ∥面ABB'A'，DE ∥面ABB'A'，CE DE E =，面CDE ∥面ABB'A'，而CD ⊂面CDE ，所以CD ∥平面ABB'A'．（6分）方法二：如图2，取AB 的中点M ，OO'⊥面ABC ， ,,OA OM OO'两两垂直，以O 为坐标原点，,,OA OM OO' 分别为,,x y z 正半轴，建立空间直角坐标系O xyz -，设1OA =， (0)AOC θθπ∠=<<，则(1,0,0),(1,0,0),(cos ,sin ,0),(cos ,sin ,)A B C D t θθθθ--，于是(2cos ,0,)CD t θ=-，而平面ABB'A'的法向量(0,1,0)OM =，由于0CD OM ⋅=及CD ⊄平面ABB'A'，所以CD ∥平面ABB'A'．（6分）（2）设1OA =，2AC AB AA'==，则1(,22C ，1(,,2)22D -，(1,0,2)CD =-，1(,2AC =- 设面CAD 的法向量1(,,)n x y z =，则112102CD n x AC n x y ⎧⋅=-+⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令x =1(23,2,n =设面BAD 的法向量2(,,)n x y z =，则221202220BD n x y z BA n x ⎧⎪⋅=++=⎨⎪⋅==⎩，令4y =，得2(0,4,n =所以121212cos ,||||n n n n n n ⋅<>=⋅519==，故二面角C AD B --的余弦值为519．（12分）21．（12分）【解析】（1）由题，48a =，12c a =， 2a =，1c =，2223b a c =-=，故椭圆C 的方程为22143x y +=；（4分） O'图2（2）方法一：由题，3(1,)2M ，2(1,0)F ，设00(,)A x y ，(4,)N N y ，由,,A M N 三点共线，得003322141N y y x --=--，0003(24)2(1)Ny x y x +-=-，直线2AF 的方程为：00(1)1y y x x =--，即：000(1)0y x x y y ---=，点N 到直线2AF的距离000003(24)|4(1)|y x y x y d +----=0033|6||6|3x x --===为定值．（12分）（2）方法二：由题，3(1,)2M ，2(1,0)F ，设00(,)A x y ，则201||22AF x ====-，2222020113|||1|||3(4)224NAF MAF NMF S S S MF x MF x =+=⋅⋅-+⋅⋅=-△△△，于是点N 到直线2AF 的距离20203(4)2231||22NAF x S d AF x -===-△为定值．（12分）22．（12分）【解析】（1）21()2(ln 1)212ln 21f 'x x x x a x x x a x=-+⋅++=-++，由题，()2ln 12f 'a a a a =++=，即12ln 1a a-=-，又函数1()2ln x x xϕ=-在(0,)+∞上是增函数，且(1)1ϕ=-，故1a =．（4分）（2）()0f x =等价于221ln 10a a x x x+-+-=，记221()ln 1a a g x x x x+=-+-，则函数()g x 在区间(0,)e 上有且只有一个零点， 232331221(21)2(1)(2)()a a x a x a x x a g'x x x x x x+-++--=+-==， ① 2a e ≥，即2ea ≥时，当(0,1)x ∈时，()0g'x >，()g x 单调递增；当(1,)x e ∈时，()0g'x <，()g x 单调递减，又1()(1)(2)0g ae e e =--<，(1)0g a =>，2(21)()0e a e g e e -+=>，此时()g x 在(0,1)上有唯一零点，在(1,)e 上无零点，符合题意；② 12a e <<，即122ea <<时，当(0,1)x ∈时，()0g'x >，()g x 单调递增；当(1,2)x a ∈时，()0g'x <，()g x 单调递减；当(2,)x a e ∈时，()0g'x >，()g x 单调递增，又1()(1)(2)0g ae e e =--<，(1)0g a =>，1(2)ln 204g a a a =+>，此时()g x 在(0,1)上有唯一零点，在(1,)e 上无零点，符合题意；③ 21a =，即12a =时，23(1)()0x g'x x -=≥，()g x 在(0,)e 上单调递增，又11()(1)(2)02g e e e =--<，1(1)02g =>，此时()g x 在(0,)e 上有唯一零点，符合题意；④ 021a <<，即102a <<时，当(0,2)x a ∈时，()0g'x >，()g x 单调递增；当(2,1)x a ∈时，()0g'x <，()g x 单调递减；当(1,)x e ∈时，()0g'x >，()g x 单调递增，又2(21)()ln 20a a e e g a e a+-=+-<，(1)0g a =>，此时()g x 在(0,1)上有唯一零点，在(1,)e 上无零点，符合题意；⑤ 0a =时，1()ln 1g x x x =+-，21()x g'x x-=，当(0,1)x ∈时，()0g'x <，()g x 单调递减；当(1,)x e ∈时，()0g'x >，()g x 单调递增，故min ()(1)0g x g ==，此时()g x 在(0,)e 上有唯一零点1，符合题意； ⑥ 0a <时，20x a ->，当(0,1)x ∈时，()0g'x <，()g x 单调递减；当(1,)x e ∈时，()0g'x >，()g x 单调递增，又1()(1)(2)0g ae e e=-->，(1)0g a =<，故()g x 在(0,1)上有唯一零点，由题可知()g x 在(1,)e 上无零点，需2(21)()0e a e g e e -+=≤，解得12ea e≤-．综上，(,][0,)12ea e∈-∞+∞-．（12分）。

2019-2020学年安徽省示范高中培优联盟高一下学期春季联赛数学(理)试题(解析版)

2019-2020学年安徽省示范高中培优联盟高一下学期春季联赛数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}210A xx =->∣，{}2log B x y x ==∣，则A B =（）A ．[1,)+∞B ．(1,)+∞C ．(,1]-∞-D ．(,1)-∞-【答案】B【解析】分别化简集合,A B ，再求A B .【详解】{}210{1A x x x x =->=<-∣∣或 1}(,1)(1,)x >=-∞-+∞，(0,)B =+∞，则(1,)AB =+∞．故选：B. 【点睛】本题考查了对集合描述法的理解与化简，函数定义域的求法，集合的交集运算，属于基础题.2．已知0x >，0y >，且141x y+=，则x y +的最小值为（） A ．8 B ．9C ．12D ．6【答案】B 【解析】由411y x +=，则41()x y x y y x ⎛⎫+=+⋅+ ⎪⎝⎭，化简用均值不等式求最值. 【详解】由题意可得411y x +=，则414()559x y x y x y y x y x ⎛⎫+=+⋅+=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当3x =，6y =时等号成立，故x y +的最小值为9. 故选：B. 【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值时，注意“一正、二定、三相等，”，应用了“1”的变形，属于基础题.3．定义在R 上的函数()f x 同时满足：①对任意的x R ∈都有(1)()f x f x +=；②当x (1,2]∈时，()2f x x =-.若函数()()log (1)a g x f x x a =->恰有3个零点，则a 的最大值是（）. A ．5 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】先根据(1,2]x ∈时，()2f x x =-，画出图象，再由函数周期1T =，画出函数()f x 在[0,4]的图象，由函数()()log (1)a g x f x x a =->恰有3个零点，则()y f x =与log (1)a y x a =>有3个交点，数形结合，列出式子，求得a 的最大值. 【详解】画出函数()y f x =，log (1)a y x a =>的图象，如下图所示.由题意，要使两函数的图象有三个交点，则需满足log 21log 31a a<⎧⎨≥⎩，解得23a <≤，所以实数a 最大值为3. 故选：C. 【点睛】本题考查了函数周期性的应用，已知函数零点的个数求参数值，考查了数形结合思想，转化思想，属于中档题.4．已知向量(2,1)a =--，),2(b λ=，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是（）. A ．(1,4)(4,)-⋃+∞ B ．(2,)+∞ C ．(1,)-+∞D ．(,1)-∞-【答案】A【解析】根据题意可知，0a b ⋅<且,a b 不共线，列式即可解出．【详解】依题可得，0a b ⋅<且,a b 不共线，即()2202210λλ--<⎧⎨-⨯--⨯≠⎩，解得1λ>-且4λ≠．故选：A ．【点睛】本题主要考查向量的数量积的定义的理解和应用，数量积的坐标表示以及向量不共线的坐标表示，属于基础题．5．已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前3项和为7，且53134a a a =+，则3a =（）. A ．16 B ．8 C ．4 D ．2【答案】C【解析】由条件列式求首项和公比，再求3a . 【详解】设{}n a 的公比为q ，由53134a a a =+得4234q q =+，得24q =，因为数列{}n a 的各项均为正数，所以2q，又()2123111(124)7a a a a q q a ++=++=++=，所以11a =，所以2314a a q ==.故选：C 【点睛】本题考查等比数列基本量的求法，重点考查计算能力，属于基础题型. 6．若2cos 63πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，则11cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）. A ．79-B ．79C ．19-D ．19【答案】C【解析】根据诱导公式可得11cos 2cos 2cos 2336πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，再根据二倍角的余弦公式即可求出．【详解】11cos 2cos 2cos 2cos 23336ππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2412cos 121699πα⎛⎫=--=⨯-=- ⎪⎝⎭．故选：C ．【点睛】本题主要考查诱导公式和二倍角的余弦公式的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于基础题．7．已知锐角ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2sin a C =，1a =，则ABC 的周长取最大值时面积为（）A BC D ．4【答案】C【解析】由条件2sin a C =结合正弦定理可得sin A =，从而可得出3A π=，由正弦定理可得ABC 的周长为112sin6B C B π⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，则可得出答案. 【详解】∵2sin a C =，∴2sin sin A C C =，由0C π<<，则sin 0C ≠，∴sin A = .∵ABC 为锐角三角形，∴3A π=.由正弦定理，得sin sin sin b c a B C A ===，∴b B =，c C =， ∴ABC 的周长为112sin6B C B π⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭，∴当3B π=，即ABC 为等边三角形时，周长取得最大值，此时面积为211sin 6024S =⨯⨯︒=，故选：C. 【点睛】本题考查利用正弦定理进行边角的互化，求三角形的周长的最值，属于中档题. 8．已知E 为ABC 的重心，AD 为BC 边上的中线，令AB a =，AC b =，过点E 的直线分别交AB ，AC 于P ，Q 两点，且AP ma =，AQ nb =，则11m n +=（） A ．3 B ．4C ．5D ．13【答案】A【解析】由E 为ABC 的重心可得，()13AE AB AC =+，结合已知可用,AP AQ 表示AE ，然后由,,P E Q 共线可求. 【详解】解：由E 为ABC 的重心可得，()13AE AB AC =+， ∵AP ma =，AQ nb =，()111133AE AB AC AP AQ m n ⎛⎫∴=+=+ ⎪⎝⎭， ∵,,P E Q 共线，11113m n ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，则113m n+=，故选：A. 【点睛】本题主要考查了向量共线基本定理及三角形的重心性质的综合应用，属于中等试题. 9．函数21x y +=的图象大致为（） A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】采用排除法，先判断函数3y x=的奇偶性，然后判断其单调性，再带特殊点求函数值得出结果. 【详解】因为函数y =0x >时，y ==y =(0,)+∞上单调递减，所以排除选项B ，D ；又当1x =时，13y =<，所以排除选项A . 故选：C. 【点睛】本题考查函数的图象判断问题，难度一般.一般地，解决根据函数的解析式判断函数图象问题时，要仔细分析原函数的定义域、奇偶性、单调性等，采用排除法选出答案.10．若数列{}n a 的首项121a =-，且满足21(23)(21)483n n n a n a n n +-=-+-+，则24a 的值为（）A ．1980B ．2000C ．2020D ．2021【答案】A【解析】由条件21(23)(21)473n n n a n a n n +-=-+-+可得112123n n a an n +-=--，从而数列23n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是首项为21，公差为1的等差数列，由121a =，可得12121a =-，得出{}n a 的通项公式，进一步得出答案. 【详解】∵21(23)(21)473n n n a n a n n +-=-+-+，∴()()()1232123n n n a n a n +-=-+-()21n -， ∴112123n n a a n n +∴-=--，所以数列23n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是首项为21，公差为1的等差数列， ∴21(1)12023na n n n =+-⨯=+-，∴*(20)(23),n a n n n =+-∈N . 241980a =，故选：A. 【点睛】本题考查根据数列的递推公式求数列的通项公式，注意构造数列的方法，属于中档题.11．已知(12)P ，是函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图像的一个最高点，B ，C 是与P 相邻的两个最低点.设BPC θ∠=，若3tan24θ=，则()f x 的图像对称中心可以是（） A ．()0,0 B ．()1,0C ．13,02⎛⎫⎪⎝⎭D ．17,02⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D【解析】根据P 点坐标及3tan24θ=，求得,B C 的坐标，由BP ，CP 的中点都是()f x 的对称中心，且周期为6，得到答案. 【详解】如图所示:取BC 的中点D ，连接PD ，则4PD =，2BPD θ∠=，在Rt PBD 中，由3tan24θ=，得3BD =.所以(2,2)B --，(4,2)C -，BP ，CP 的中点都是()f x 的对称中心，且周期T 6=，即对称中心为1(3,0)2k -，k Z ∈，当3k =时，对称中心为17,02⎛⎫⎪⎝⎭故选：D. 【点睛】本题考查了正弦型函数的图象与性质，属于中档题.12．已知函数(31)y f x =-为奇函数，()y f x =与()y g x =图像关于y x =-对称，若120x x +=，则()()12g x g x +=（） A ．2 B ．2-C ．1D ．1-【答案】A【解析】根据奇函数的对称关系结合图象可知()f x 的对称性，进而得到()g x 图象的对称性，再由120x x +=可知点的对称，由此得出结论. 【详解】解法一：函数(31)y f x =-为奇函数，故(31)y f x =-的图象关于原点对称，而函数()y f x =的图象可由(31)y f x =-向左平移13个单位，再保持纵坐标不变，横坐标伸长到原来的3倍，故函数()y f x =的图象关于(1,0)-对称，()y f x =与()y g x =图像关于y x =-对称，故函数()y g x =图象关于(0,1)对称，所以()()2g x g x +-=，而121212110,,()()()()2x x x x f x f x f x f x +==-+=+-=. 解法二：（特例法）设(31)f x x -=，令31t x =-，∴1(1)3x t =+， 1(t)(t 1)3f ∴=+，∴1()(1)3f x x =+.∵()y g x =与()y f x =关于y x =-对称，1(1)3x y ∴-=-+，∴()31g x x =+，∵120x x +=，所以()()122g x g x +=. 故选：A 【点睛】本题考查利用换元法求函数的解析式及图象的对称性问题，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 二、填空题13．在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边交单位圆O 于点(),P x y ，且75x y +=，则3cos 22πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是________.【答案】2425【解析】根据三角函数定义可求出7cos sin 5αα+=，由同角基本函数关系及诱导公式即可求解.【详解】由三角函数定义知，cos x α=，sin y α=. ∴7cos sin 5αα+=， ∴249(cos sin )1sin 225ααα+=+=， ∴4924sin 212525α=-=， ∴324cos 2sin 2225παα⎛⎫+== ⎪⎝⎭. 故答案为：2425【点睛】本题主要考查了三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，诱导公式，二倍角公式，属于中档题.14．平行四边形ABCD 中，2AB =，1AD =，1AB AD ⋅=-，点M 在边CD 上，则MA MB ⋅的最小值为________. 【答案】14-【解析】由2AB =，1AD =，1AB AD ⋅=-，可求得120BAD ︒∠=，然后如图建立平面直角坐标系，设点3,2M x ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，再利用坐标把MA MB ⋅表示出来，231(2)(1)44MA MB x x x ⋅=-+=--，求此二次函数在13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值即可. 【详解】解：如图，∵1AB AD ⋅=-，2AB =，1AD =， ∴||||cos 1AB AD BAD ⋅∠=-，∴2cos 1BAD ∠=-，1cos 2BAD ∠=-，∴120BAD ︒∠=.以点A 为原点，AB 所在直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则(0,0),(2,0)A B，设M x ⎛ ⎝⎭，13,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ 则231(2)(1)44MA MB x x x ⋅=-+=--.令21()(1)4f x x =--，13,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则()f x 在1,12⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上单调递减，在31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以()14min f x =-.故答案为：14-，【点睛】此题考查平面向量的数量积运算，建立坐标系利用了坐标求解，考查了二次函数的性质，考查数形结合的思想和计算能力，属于中档题.15．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等比数列，且1tan 3B =，则tan tan tan tan A CA C +的值是____________.【答案】10【解析】由条件得2b ac =，利用正弦定理边化角，将11tan tan A C+化弦，再由1tan 3B =求出sin B 可得. 【详解】∵a ，b ，c 成等比数列，∴2b ac =，由正弦定理得2sin sin sin B A C =，∴sin sin tan tan sin sin cos cos sin sin cos cos sin tan tan sin cos cos A CA C A C A CB AC A C A C BA C⋅===++， ∵1tan 3B =，∴sin B =，∴tan tan tan tan 10A C A C =+.【点睛】该题考查正弦定理，同角三角函数的基本关系，等比中项，三角式的恒等变形，属于中档题目.16．已知函数22log ,02()log (4),24x x f xx x ⎧<≤=⎨-<<⎩，若1()3f a f a ⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭，则a 的取值范围是____________.【答案】13711110,,63a ⎛⎤-+⎡⎫∈ ⎥⎪⎢ ⎣⎭⎝⎦【解析】画出()f x 的图象，对a 进行讨论：1013a a <<+≤，1123a a ≤<+≤，10123a a <<<+<，11243a a <<<+<，1243a a ≤<+<，结合单调性解不等式，即可得到所求范围. 【详解】函数22log ,02()log (4),24x x f x x x ⎧<≤=⎨-<<⎩的图象如图所示：由于13a a <+，当1013a a <<+≤，即203a <≤时，函数()f x 单调递减，显然合乎题意；当1123a a ≤<+≤，即513a ≤≤时，函数()f x 递增，显然不合乎题意；当10123a a <<<+<，即2533a <<，可得221log log 3a a ⎛⎫ ⎪⎝≥+⎭-，解得213736a -<≤，当11243a a <<<+<，即有523a <<，由题意可得221log log 43a a ≥--⎛⎫ ⎪⎝⎭，解得1126a ≤<，当1243a a ≤<+<，即1123a ≤<时，函数()f x 单调递减，显然合乎题意；综上可得a的范围是1111,63⎛⎡⎫⋃ ⎪⎢ ⎣⎭⎝⎦，故答案为：1111,63⎛⎡⎫⋃ ⎪⎢ ⎣⎭⎝⎦. 【点睛】本题主要考查了关于分段函数的不等式，考查了分类讨论思想以及学生的计算能力，有一定难度. 三、解答题17．已知全集为R .函数()log (1)f x x π=-的定义域为集合A ，集合{}220B x x x =--≥.（1）求AB ；（2）若{}1C x m x m =-<≤，()RC B ⊆，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{}2A B x x ⋂=≥；（2）(),2-∞. 【解析】（1）先求解集合A ，B ，再求交集；（2）先计算B R，再对C 分C =∅和C ≠∅讨论，最后综合即可.【详解】（1）由10x ->得，函数()f x 的定义域{}1A x x =>，又220x x --≥，得{2B x x =≥或}1x ≤- ， ∴ {}2A B x x ⋂=≥. （2）∵{}12C x x ⊆-<<，①当C =∅时，满足要求，此时1m m -≥，得12m ≤； ②当C ≠∅时，要{}12C x x ⊆-<<，则1112m m m m -<⎧⎪-≥-⎨⎪<⎩，解得122m <<；由①② 得，2m <，∴ 实数m 的取值范围(),2-∞. 【点睛】本题考查集合的关系及运算，考查运算能力，是基础题.18．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2sin cos cos b C a C c A =+，23B π=，c = （1）求角C ；（2）若点D 满足2AD DC =，求ABD △的外接圆半径. 【答案】（1）6C π=；（2）1.【解析】（1）由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得2sin sin sin B C B =，可求1sin 2C =，结合C 的范围可求结果；（2）先由正弦定理得3b =，即2AD =，在ABD △中，由余弦定理可得1BD =，最后由正弦定理即可得结果. 【详解】（1）由2sin cos cos b C a C c A =+，由正弦定理可得2sin sin sin cos sin cos B C A C C A =+，又∵()sin cos sin cos sin sin A C C A A C B +=+=， ∴2sin sin sin B C B =， ∵sin 0B >，∴1sin 2C =. 又03C π<<，所以6C π=.（2）由正弦定理易知sin sin b cB C==3b =. 又2AD DC =，所以2233AD AC b ==，即2AD =.在ABC 中，因为2π3ABC ∠=，6C π=，所以6A π=，所以在ABD △中，6A π=，AB =2AD =由余弦定理得2222cos 342212BD AB AD AB AD BAD =+-⨯∠=+-⨯=，即1BD =，由22sin BDR A==可知ABE △的外接圆半径为1. 【点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，通过三角恒等变换化简求值，属于中档题.19．已知公差不为零的等差数列{}n a ，若4822a a +=，且5a ，8a ，13a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()2111n nn n a b a a ++=-，数列{}n b 的前n 项和n S ，证明13n S ≥. 【答案】（1）21n a n =-；（2）证明见解析.【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为()d d ≠0，由已知列出关于首项与公差的方程组，解得首项与公差，代入等差数列的通项公式得答案；（2）由（1）可得11122121n b n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭，再利用裂项相消法求和即可证明；【详解】（1）设数列{}n a 的公差为d ，依题意，()()()12111210227412a d a d a d a d +=⎧⎪⎨+=++⎪⎩，解得11a =，2d =，∴数列{}n a 的通项公式为21n a n =-. （2）()22114111111(21)(21)(21)(21)22121nnn n a n b a a n n n n n n ++⎛⎫=-=-==- ⎪-+-+-+⎝⎭，∴1111111112322121221n S n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⋅⋅⋅+-=- ⎪ ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 因为1n ≥，所以110321n ≥>+，所以2111321n ≤-<+，所以13n S ≥ 【点睛】本题考查等差数列的通项公式与等比数列的性质，考查裂项相消法求数列的前n 项和，属于中档题．20．已知ABC的面积为B 是A ，C 的等差中项.（1）若cos 3sin 2C A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求边AC 的长；（2）当AC 边上中线BD 取最小值时，试判断ABC 的形状. 【答案】（1）（2）ABC 为等边三角形. 【解析】（1）由条件可得60B =︒，由1sin 2S ac B ==，得到12ac =，由cos 3sin 2C A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭结合正弦定理，得3c a =，可求出a c ，，再由余弦定理可求出答案. （2）由1()2BD BC BA =+，平方可得()22211(2)944BD a c ac ac ac ∴=++≥+=，根据取等条件可得出答案. 【详解】∵ABC 三个内角A 、B 、C 依次成等差数列，∴60B =︒，设A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，由ABC 的面积1sin 2S ac B ==，可得12ac =.（1）∵sin 3sin C A =，由正弦定理知3c a =，∴2a =，6c =. 在ABC 中，由余弦定理可得2222cos 28b a c ac B =+-=，∴b =AC 的长为（2）∵BD 是AC 边上的中线，1()2BD BC BA =+， ()()()2222222111122cos (2)94444BD BC BA BC BA a c ac B a c ac ac ac ∴=++⋅=++=++≥+=当且仅当a c ==“＝”，3BD ∴≥，即BD 长的最小值为3，此时ABC 为等边三角形. 【点睛】本题主要考查利用正弦定理，余弦定理解三角形，中点公式的向量式的应用，三角形面积公式的应用，以及利用向量的数量积以及基本不等式求最值，意在考查学生的数学运算能力和转化能力，属于中档题．21．已知函数，()2020sin ()4f x x x R ππ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭的所有正数的零点构成递增数列{}n a .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设324n n n b a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）()*34n a n n N =-∈；（2）1(1)22n n T n +=-+. 【解析】（1）令()0f x =可得出()14x k k Z =+∈，根据题意确定数列{}n a 的首项和公差，即可求得数列{}n a 的通项公式；（2）求出2nn b n =⋅，然后利用错位相减法可求得n T .【详解】（1）1()2020sin 0()()444f x x x k k Z x k k Z πππππ⎛⎫=-=⇒-=∈⇒=+∈ ⎪⎝⎭，这就是函数()f x 的全部零点，已知函数()f x 的全部正数的零点构成等差数列{}n a ，则其首项等于14，公差等于1，{}n a 的通项公式就是()*34n a n n N =-∈.（2）3224nn n nb a n ⎛⎫=+=⋅ ⎪⎝⎭，则()1231122232122n n n T n n -=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+⋅，①()23412122232122n n n T n n +=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+⋅，②①-②：()()31121122122222221212n n n n n n T n n n +++--=++++-⋅=-⋅=⋅---，所以，()1122n n T n +=-⋅+，因此，数列{}n b 的前n 项和为()1122n n T n +=-+.【点睛】本题考查数列通项公式的求解，同时也考查了错位相减法求和，涉及三角函数零点的求解，考查计算能力，属于中等题.22．已知x ∈R ，定义函数()f x 表示不超过x的最大整数，例如：1f =，()3f π=，(0.5)1f -=-.（1）若()2020f x =，写出实数x 的取值范围；（2）若0x >，且1(2())71xf x f x f e ⎛⎫+=+⎪+⎝⎭，求实数x 的取值范围；（3）设()()f x g x x k x =+⋅，721,78()2log (7),89x x h x x x -⎧⎛⎫≤<⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-≤<⎩，若对于任意的[)123,,7,9x x x ∈，都有()()()123g x h x h x >-，求实数k 的取值范围.【答案】（1）20202021x ≤<；（2）532x ≤<；（3）6k >-. 【解析】（1）由()f x 表示不超过x 的最大整数，可得x 的取值范围为20202021x ≤<；（2）由指数函数的单调性，可得110212x <<+，则1(7)721xf +=+，即有72()8x f x ≤+<，考虑23x <<，解不等式即可得到所求范围；（3）化简得()h x 在[)7,8单调递减,在[)8,9单调递增，求得()h x 的最值，可得所以()11g x >在[)7,9恒成立，讨论当7,8x时，当8,9x 时，由新定义和二次函数的最值求法，即可得到所求k 的范围. 【详解】（1）若()2020f x =，则x 表示不超过20201的最大整数，所以202020201x ，故x 的取值范围为20202021x ≤<；（2）若0x >，可得11012x e <<+，(2())7f x f x +=，则72()8x f x ≤+<，72()82x f x x -≤<-，当1x =时，()5f x = ，不符合；当2x =时，()3f x =，不符合；则3x =时，()1f x =，不符合；当23x <<时，()2f x =，所以72282x x -≤<-，解得532x ≤<；所以实数x 的取值范围为532x ≤<. （3）∵721,78()2log (7),89x x h x x x -⎧⎛⎫≤<⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-≤<⎩， ∴()h x 在[)7,8单调递减，在[)8,9单调递增. 可得max ()(7)1h x h ==，min ()(8)0h x h ==，则()()()()23781max h x h x h h -=-=，所以()11g x >在[)7,9恒成立，即()1f x x k x+⋅>，整理得2()k f x x x ⋅>-在[)7,9恒成立，当[7,8)x ∈时，27k x x >-在[7,8)恒成立，即6k >-，当[8,9)x ∈时，28k x x >-在[8,9)恒成立，即7k >-，综上可得：实数k 的取值范围为6k >-. 【点睛】本题考查定义新运算中函数参数的求法,属于创新题型,解决此类型题要注重对新运算的理解.。

2019-2020学年安徽省示范高中培优联盟高二下学期春季联赛数学(理)试题(解析版)

15．已知△ABC中，AB＝9，∠BAC＝60°，D为边BC上一点，且CD＝2BD，AD＝2 ，则△ABC的面积为______________.
【答案】 .
【解析】设，，则 .在和中分别由余弦定理，进而可得，在中由余弦定理，即可求得值，根据三角形面积公式，即可求得答案.
【详解】
设，，则 .
【答案】A
【解析】设为图象上任意一点，说明点在函数的图象上，根据点关于直线对称得解.
【详解】
设为图象上任意一点，
则，
所以点在函数的图象上，
而与关于直线对称，
所以函数与的图象关于直线对称.
故选：A
【点睛】
本题主要考查函数图象的对称问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
等号成立条件为，
∴ 对一切x>0成立，
只需，即，
∴ 的最大值为2.
故选：B.
【点睛】
本题考查利用导数研究不等式恒成立问题，主要利用，对进行放缩，熟记并掌握导数中常用的不等式放缩技巧是解题的关键.
二、填空题
13．过点与曲线相切的直线方程为______________.
【答案】 .
【解析】设切点坐标，写出切线方程，根据切线过点，再求出切点坐标，从而得切线方程.
故选：C.
【点睛】
本题考查了利用面积比求几何概型的概率，属于基础题.
4．命题“ a，b>0，a＋ ≥2和b＋ ≥2至少有一个成立”的否定为（）
A． a，b>0，a＋ <2和b＋ <2至少有一个成立
B． a，b>0，a＋ ≥2和b＋ ≥2都不成立
C． a，b>0，a＋ <2和b＋ <2至少有一个成立

安徽省示范高中培优联盟2018-2019学年高二下学期春季联赛数学(文)试题Word版含解析

安徽省示范高中培优联盟2018-2019学年下学期春季联赛高二数学（文）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由题意，求得，利用集合的交集运算，即可得到结果．详解：由题意，所以，故选C．点睛：本题主要考查了集合的运算，正确求解集合是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．2. 若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由题意，再由代入即可求解．详解：由题意，则，故选A．点睛：本题主要考查了三角函数的化简求值，其中熟记三角恒等变换的公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．3. “”是“”的（）A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】分析：由题意，则或，根据充要条件的判定方法，即可得到判定．详解：由题意，则或，所以“”是“”的必要不充分条件，故选B．点睛：本题主要考查了必要不充分条件的判定，着重考查了分析问题和解答问题的能力．4. 七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：求出阴影部分的面积，根据几何概型，即可求解满足条件的概率．详解：如图所示，设，所以，所以点取自阴影部分的概率为，故选D．点睛：本题主要考查了几何概型及其概率的求解，其中解答中正确求解阴影部分的面积是解答的关键，着重考查了数形结合思想和考生的推理与运算能力．5. 已知命题且，命题．下列命题为真命题的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】命题：，且，例如当a大于0，b 小于0时，表达式就成立；命题：，，故表达式成立。

示范高中培优联盟2019_2020学年高一数学下学期春季联赛试题理含解析

则。令 , ，
则在上单调递减，在上单调递增,所以。
故答案为：，
【点睛】此题考查平面向量的数量积运算，建立坐标系利用了坐标求解，考查了二次函数的性质，考查数形结合的思想和计算能力,属于中档题.
15。在中，角，，所对的边分别为，，，若， , 成等比数列，且，则的值是____________.
11.已知是函数的图像的一个最高点， , 是与相邻的两个最低点.设，若，则的图像对称中心可以是（ )
A。 B。 C。 D。
【答案】D
【解析】
分析】
根据点坐标及，求得的坐标，由，的中点都是的对称中心，且周期为6，得到答案。
【详解】如图所示:
取的中点，连接，则 , ，在中，由，
A。 16B。 8C. 4D。 2
【答案】C
【解析】
【分析】
由条件列式求首项和公比,再求 .
【详解】设的公比为，由得，得 ,因为数列的各项均为正数，所以 ,又，所以，所以。
故选：C
【点睛】本题考查等比数列基本量求法，重点考查计算能力，属于基础题型.
6.若，则 ( ).
A。 B。 C。 D.
故选：B。
【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值时,注意“一正、二定、三相等，”，应用了“1"的变形,属于基础题。
3。定义在上的函数同时满足：①对任意的都有；②当时, 。若函数恰有3个零点，则的最大值是（）.
A. 5B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据时， ,画出图象，再由函数周期，画出函数在的图象，由函数恰有3个零点，则与有3个交点,数形结合，列出式子，求得的最大值.

安徽省示范高中培优联盟2018-2019高二下学期春季联赛考试化学试题

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安徽省示范高中培优联盟近年-近年学年高一数学下学期春季联赛试题理(含解析)(最新整理)

A. B. C。 D。
【答案】B
【解析】
【分析】
判断函数的奇偶性以及对称性,结合函数值的符号是否一致进行排除即可．
【详解】f（﹣x)＝f（x），则函数f（x)是偶函数，图象关于y轴对称，排除A，D,
f（π）＝lnπ﹣cosπ＝lnπ+1＞0，排除C，
故选:B．
【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的对称性以及特殊值的符号进行排除是解决本题的关键．
(II），，当或4时，取得最大值64。所以，故的最小值为6.
【点睛】本题考查等比数列的通项公式,是基础的计算题，对于等比等差数列的题,常用到的方法，其一是化为基本量即首项和公比或者公差,其二是观察各项间的脚码关系，即利用数列的基本性质.
18.已知函数的图象的一条对称轴为 .
（Ⅰ)求的最小正周期及单调递增区间；
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安徽省示范高中培优联盟2018-2019学年高一数学下学期春季联赛试题理（含解析）
第Ⅰ卷(选择题共60分）
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
(Ⅱ)求在区间上的最大值和最小值.
【答案】（Ⅰ） ;（Ⅱ） .
【解析】
【分析】
（I)通过两角和差的正弦公式得到化简之后的式子,进而求得周期和单调区间；（II）结合第一问得到函数的单调性，进而得到函数最值。
【详解】（I），
是对称轴, ，，且，，，
,其最小正周期为；单调递增区间为: ， .

安徽省示范高中培优联盟2019春季联赛高二理科数学

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安徽省示范高中培优联盟2018-2019学年高一下学期春季联赛数学(理)试题Word版含解析

安徽省示范高中培优联盟2018-2019学年下学期春季联赛高一数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 如图，全集，，则图中阴影部分所表示的集合是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：根据题意，求得，即可图中阴影部分所表示的集合.详解：由题意得，所以图中阴影部分所表示的集合为，故选C.点睛：本题主要考查了集合表示与集合的补集与交集的运算，着重考查了推理与运算能力.2. 函数的定义域为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：根据函数的解析式，列出函数满足的条件，即可求解函数的定义域.详解：由函数，可得函数满足，解得,即函数的定义域为，故选A.点睛：本题主要考查了函数的定义域，其中根据函数的解析式列出函数有意义满足的条件是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.3. 已知向量，则的夹角为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由向量的夹角公式，即可求解向量的夹角.详解：由题意，向量，所以且，所以，故选B.点睛：本题主要考查了平面向量的夹角公式的应用，其中熟记向量的夹角公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，试题属于基础题.4. 已知是等比数列，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由题意，在等比数列中，是的等比中项，且是同号的，即可求解结果.详解：由题意，数列为等比数列，且，则是的等比中项，且是同号的，所以，故选C.点睛：本题主要考查了等比数列的通项公式及其性质的应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，试题属于基础题.5. 已知的面积为，，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由题意知的面积为，且，得，再由均值不等式，即可求解的最小值.详解：由题意知的面积为，且，所以，即，所以，当且仅当时取得等号，所以的最小值为，故选A.点睛：本题主要考查了均值不等式求最小值和三角形的面积公式的应用，其中解答中熟记均值不等式的使用条件，以及等号成立的条件是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.6. 若实数，则下列不等式中一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：通过不等式的性质的推理和举出反例，即可作出判断.详解：对于A中，当时不成立，所以是错误的；对于B中，取时，不成立，所以是错误的；对于C中，取时，不成立，所以是错误的，对于D中，由，所以是正确的，故选D.7. 已知函数的定义域为，值域为，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由题函数的定义域为，值域为，求得当时，，当时，，即可求解得取值范围.详解：由题函数的定义域为，值域为，所以当时，；当时，或；所以当时，，当时，，所以，故选D.点睛：本题主要考查了对数函数的图象与性质的应用问题，其中熟记对数函数的图象与性质是解得关键，着重考查了推理与运算能力，试题属于基础题.8. 函数的最小正周期为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据三角恒等变换的公式，化简得，结合三角函数的图象，即可得到结论. 详解：由题意，函数，结合函数的图象，即可得到函数的最小正周期为，故选B.点睛：本题主要考查了三角函数的图象与性质，以及三角函数的恒等变换的应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质及三家恒等变换的公式的合理运用是解答的关键，着重考查了推理与论证能力.9. 已知中，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由题意，，可得点为的重心，所以，利用向量的运算，即可求解.详解：由题意，，可得点为的重心，所以，所以，所以，故选C.点睛：本题主要考查了向量的数量积的运算及向量的模的运算，其中根据平面向量的线性运算，得到点为的重心是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，试题属于基础题.10. 已知实数满足，，则的最大值与最小值之差为（）A. B. C. D. 与的取值有关【答案】B【解析】分析：画出约束条件所表示的平面区域，因为，结合图象可知，目标函数取得最大值与最小值时的最优解分别为和两点，代入即可求解结果.详解：画出约束条件所表示的平面区域，如图所示，因为，结合图象可知，目标函数取得最大值与最小值时的最优解分别为和两点，分别代入目标可得，，所以目标函数的最大值与最小值之差为，故选B.点睛：本题主要考查了线性规划的应用问题，其中正确画出约束条件所表示的平面区域，结合图象得到目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想和学生的推理、运算能力.11. 函数的大致图像是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因为，所以函数是奇函数，图象关于原点对称，可排除；由,可排除，故选D.【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题. 这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.12. 已知数列中，恒为定值，若时，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由题意知恒为定值，且时，，得，又由，得，所以数列是周期为10的周期数列，即可求解的值.详解：由题意知恒为定值，且时，，所以当时，，所以，于是，数列是周期为10的周期数列，所以，故选C.点睛：本题主要考查了数列的递推关系式和数列的周期性的应用，其中解答中根据数列的递推关系式得，进而得到数列是周期为10的周期数列是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与论证能力，试题属于中档试题.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 幂函数的图像经过点，则它的单调递减区间是______________．【答案】和【解析】分析：设幂函数，由，得，得到幂函数的解析式，利用幂函数的性质，即可得到其单调递减区间.详解：设幂函数，由，得，所以幂函数的解析式为且在定义域上为单调递减函数，其单调递减区间为和.点睛：本题主要考查了幂函数的解析式及其幂函数的图象与性质的应用，着重考查了推理与运算能力. 14. 已知非零向量，，若且，则_______________．【答案】【解析】分析：由题意，即，所以向量反向，且，根据向量相等，即可求解的关系式，进而得到结论.详解：由题意，即，所以向量反向，又由，所以，即，所以，即，所以.点睛：本题主要考查了向量的基本运算，向量相等和向量的数量积的意义，其中解答中熟记向量的基本概念、基本运算和向量的数量积的意义是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.15. 若，则________________．【答案】【解析】分析：由题意，化简求得，再由两角和的正切函数公式，代入即可求解.详解：由题意知，整理得，所以，则.点睛：本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中涉及到三角函数的基本关系式，两角和的三角函数等公式的应用，熟记三角函数化简的基本公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.16. 已知，若，，则____________．【答案】【解析】分析：由题意得，设，则，又由，根据多项式对应相等，求解的值，即可得到结论. 详解：由题意，即，设，则，又由，所以，得，又因为，且，所以，所以（舍去）或，所以.点睛：本题主要考查了函数与方程的综合应用问题，解答中由题设得到，设出新函数，则，再根据二次函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，试题有一定的难度，属于中档试题.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 设等差数列的前项和，且．（1）求的值；（2）求取得最小值时，求的值．【答案】(1)3；(2)2或3.【解析】分析：（1）法一：设的公差为，由题意列出方程组，求得，进而求解的值；法二：由题，求得，利用等差数列的等差中线公式，求解的值；（2）法一：由等差数列的求和公式，得到，根据二次函数的性质，即可得到当或时，取得最小值．法二：由数列的通项公式，得到数列满足，进而得到结论.详解：（1）法一：设的公差为，由题，，解得，∴．法二：由题，，∴，于是．（2）法一：，当或时，取得最小值．法二：，∴，故当或时，取得最小值．点睛：本题主要考查了等差数列的通项公式的求解和数列和的最值问题的判定，其中熟记等差数列的通项公式和等差数列的求和公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.18. 设函数图像中相邻的最高点和最低点分别为．（Ⅰ）求函数的单调递减区间；（Ⅱ）若函数的图像向左平移个单位长度后关于点对称，求的最小值．【答案】(1)；(2).【解析】分析：（1）由题意，得出函数的解析式，再由正弦型函数的图象与性质，即可求解函数的单调递减区间；（2）函数的图象向左平移个单位长度后，得，再根据图象关于点，列出方程，即可求解的最小值.详解：（1）由题，，周期，∴，再由，即，得：，又，∴，，由，得的单减区间为．（注：亦可结合周期及最高点、最低点的坐标获得函数的单调递减区间．）（2）函数的图象向左平移个单位长度后，得，由题，，∴，，当时，的最小值为．点睛：本题考查了三角函数的图象变换及三角函数的图象与性质的应用，求最小正周期时可先把所给三角函数式化为或的形式，即可研究三角函数的图象与性质，着重考查了转化与化归的思想方法，以及推理与运算能力.19. 设的内角所对的边分别是，且是与的等差中项．（Ⅰ）求角；（Ⅱ）设，求周长的最大值．【答案】(1)60°；(2)6.【解析】分析：（1）法一：由题意，利用正弦定理，化简得，即可求解角的大小；法二：由题意，利用余弦定理化简得到，即，即可求解角的大小；（2）法一：由余弦定理及基本不等式，得，进而得周长的最大值；法二：由正弦定理和三角恒等变换的公式化简整理得，进而求解周长的最大值.详解：（1）法一：由题，，由正弦定理，，即，解得，所以．法二：由题，由余弦定理得：，解得，所以．（2）法一：由余弦定理及基本不等式，，得，当且仅当时等号成立，故周长的最大值为．法二：由正弦定理，，故周长∵，∴当时，周长的最大值为．法三：如图，延长至使得，则，于是，在中，由正弦定理：，即，故周长，∵，∴当时，周长的最大值为．........................20. 如图，等腰直角中，，分别在直角边上，过点作边的垂线，垂足分别为，设，矩形的面积与周长之比为．（Ⅰ）求函数的解析式及其定义域；（Ⅱ）求函数的最大值．【答案】(1)答案见解析；(2).【解析】分析：（1）由题意知，则，即可得到函数的解析式，以及解析式满足的条件（定义域）；（2）由（1）可得化简得，因为，利用均值不等式，即可求解函数的最大值.详解：（1）由题，，则，∴，又，∴的定义域为．（2），∵，∴，于是，即当时，的最大值为．点睛：考查了根据实际问题分析和解决问题的能力，以及转化与化归的能力，对于函数的应用问题：（1）函数模型的关键是找到一个影响求解目标函数的变量，以这个变量为自变量表达其他需要的量，综合各种条件建立数学模型；（2）在实际问题的函数模型中要特别注意函数的定义域，它是实际问题决定的，不是由建立的函数解析式决定的．（3）利用数学方法得出函数模型的数学结果，再将得到的数学结果转译到实际问题中作出答案.21. 已知数列的前项和（其中为常数），且（1）求；（2）若是递增数列，求数列的前项和．【答案】(1)；(2).【解析】分析：（1）由题意，求得公比或，分类讨论，即可得到数列的通项公式；（2）法一：由（1）知，得，即可利用乘公比错位相减法求解数列的和；法二：由（1）知，得，利用并项法求解数列的和.详解：（1）由得：或，时，，，时，，．（2）法一：由题，，，，，相减得：，∴．法二：由题，，，所以．点睛：本题主要考查等差、等比数列的通项公式及求和公式、数列求和的“错位相减法”与“并项求和”，此类题目是数列问题中的常见题型，对考生计算能力要求较高，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键能较好的考查考生的逻辑思维能力及基本计算能力等.22. 已知中．（Ⅰ）当时，解不等式；（Ⅱ）已知时，恒有，求实数的取值集合．【答案】(1)；(2).【解析】分析：（1）当时，代入化简的不等式等价于，即可求解不等式的解集；（2）法一：由题意得，于是只能，经验证满足题意，即可得到结论；法二：当时，恒成立，即恒成立，设，，则问题转化为时，恒成立，即当时，恒有或，利用函数的单调性及函数的图象，即可求解.详解：（1）当时，不等式即为，等价于，由数轴标根法知不等式的解集为．（2）法一：由题，，于是只能，而时，，当时，，，恒有，故实数．法二：当时，恒成立，即恒成立，不妨设，，则问题转化为时，恒成立，即当时，恒有或，不难知，在上单调递减，在上单调递增，且函数与的图象相交于点，结合图象可知，当且仅当时，或恒成立，故实数．点睛：本题主要考查了函数的解析式以及函数的基本性质的应用，不等关系式的求解等问题，试题综合性强，有一定难度，属于中档试题，解答中把函数的恒成立问题转化为函数的单调性与最值问题求解是解答的关键，着重考查了转化与化归的数学思想方法，以及推理与运算能力.。

安徽省示范高中培优联盟2019届高一下学期春季联赛数学（理）试题Word版含答案

安徽省示范高中培优联盟2019届高一下学期春季联赛数学（理）试题Word版含答案安徽省示范高中培优联盟2018-2019学年高一下学期春季联赛数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）最新试卷十年寒窗苦，踏上高考路，心态放平和，信心要十足，面对考试卷，下笔如有神，短信送祝福，愿你能高中，马到功自成，金榜定题名。

温馨提示：多少汗水曾洒下，多少期待曾播种，终是在高考交卷的一刹尘埃落地，多少记忆梦中惦记，多少青春付与流水，人生，总有一次这样的成败，才算长大。

高考保持心平气和，不要紧张，像对待平时考试一样去做题，做完检查一下题目，不要直接交卷，检查下有没有错的地方，然后耐心等待考试结束。

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.如图，全集{},,,,U a b c d e =，{}{},,,,,M a b c N b d e ==，则图中阴影部分所表示的集合是（）A ． {},,a b dB ．{},a eC ．{},d eD ．{},,c d e 2.函数()f x =的定义域为（）A ．()0,+∞B ．[)0,+∞C ．(),0-∞D ．[)1,+∞3.已知向量()s in ,c o s,1,033a b ππ??== ??，则,a b 的夹角为（）A ． 6π-B ．6πC ．3πD ．23π4.已知{}n a 是等比数列，201220244,16a a ==，则2018a =（）A ．．± C ．8 D ．8±5.已知A B C ?的面积为4，090A ∠=，则2A B A C +的最小值为（）B ．4 C. ．6.若实数a b >，则下列不等式中一定成立的是（）A ． 22a b >B ．a b a b +<+ C. a b +>．()20a b c -≥7.已知函数12lo g y x =的定义域为[],a b ，值域为[]0,1，则b a -的取值范围为（）A ．(]0,3B ．1,33C. 80,3?? ??D ．28,338.函数()2sinsin c o s 1222x x x f x ??=+-的最小正周期为（） A ． 2πB ．π C. 2π D ．4π9.已知A B C ?中，02,3,120A B A C B A C ==∠=，0P A P B P C ++=，则A P =（）B ．3C. 3D ．310.已知实数,x y 满足111x x y x ≤??-≤≤+?，()1,1a ∈-，则z a x y =+的最大值与最小值之差为（）A ．1B ．2 C. 4 D ．与a 的取值有关 11.函数()1ln1x f x x+=-的大致图像是（）A ．B ． C. D ．12.已知数列{}n a 中，5n n a a ++恒为定值，若16n ≤≤时，2n a n =，则2018a =（）A ．1B ．9 C. 28 D ．2018第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.幂函数的图像经过点4?，则它的单调递减区间是．14.已知非零向量(),a m n =，(),b p q =，若32a b =且0a b ab ?+?=，则m n p q+=+ ．15.若()c o s 35c o s 60αα=-+，则()0tan 30α+= ．16. 已知()()32,,,f x a x b x cx d b c d Z b c =+++∈≠，若()3fb b a=，()3fc c a=，则d = ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 设等差数列{}n a 的前n 项和n S ，且4151,75a S ==．（1）求6a 的值；（2）求n S 取得最小值时，求n 的值．18. 设函数()()()sin 0,0,f x A x A ω?ω?π=+>><图像中相邻的最高点和最低点分别为17,2,,21212-．（Ⅰ）求函数()f x 的单调递减区间；（Ⅱ）若函数()f x 的图像向左平移()0θθ>个单位长度后关于点()1,0-对称，求θ的最小值．19. 设A B C ?的内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且co s c C ?是co s a B ?与co s b A ?的等差中项．（Ⅰ）求角C ；（Ⅱ）设2c =，求A B C ?周长的最大值．20. 如图，等腰直角A B C ?中，2B C =，,M N 分别在直角边,A B A C 上，过点,M N 作边B C 的垂线，垂足分别为,Q P ，设2M N x =，矩形M N P Q 的面积与周长之比为()f x ．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式及其定义域；（Ⅱ）求函数()f x 的最大值．21. 已知数列n a 的前n 项和2nn S q q =-（其中q 为常数），且24a =（1）求n a ；（2）若{}n a 是递增数列，求数列n n q q a ??+?的前n 项和n T ．22.已知()()()()222212f x a x x a x a R ??=++--∈??中．（Ⅰ）当2a =时，解不等式()0f x >；（Ⅱ）已知0x >时，恒有()0f x ≤，求实数a 的取值集合．试卷答案一、选择题1-5:CABCA 6-10:DDBCB 11、12：DC 二、填空题13. (,0)-∞和(0,)+∞ 14. 23-15. - 16. 16三、解答题17.解：（1）法一：设{}n a 的公差为d ，由题，41151311510575a a d S a d =+=??=+=?，解得{121a d =-=，∴6153a a d =+=．法二：由题，1581575S a ==，∴85a =，于是48632a a a +==．（2）法一：21(1)522n n n n nS n a d --=+=，当2n =或3时，n S 取得最小值．法二：1(1)3n a a n d n =+-=-，∴12340a a a a <<=<<，故当2n =或3时，n S 取得最小值．18.解：（1）由题，2A =，周期712( )11212T =-=，∴22Tπωπ==，。

安徽省示范高中培优联盟2018-2019学年高一下学期春季联赛地理试卷 Word版含解析

安徽省示范高中培优联盟2019年春季联赛（高一）地理第I卷一、选择题（本大题共22小题,每小题2分，共44分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）北京时间2018年12月8日凌晨2 时 23分，“ 嫦娥四号”月球探测器（左图）在西昌卫星发射中心由长征三号乙运载火箭成功发射,我国探月工程“嫦娥四号”是人类首次在月球背面软着陆。

据此完成下面小题。

1. “嫦娥四号”月球探测器发射成功时，我国远望号测量船（位于太平洋170°E）所在海域的地方时为A. 6时23分B. 21时3分C. 5时43分D. 1时23分2. 人类探测月球背面的主要目的之一是月球背面A. 地形起伏小，有利于探测器移动B. 无昼夜交替现象,有利于连续获得信息C. 昼夜温差小，可提高探测器探测精度D. 磁场环境干净,有利于天文观测3. 上面右图是世界上第一张清晰的月球背面图，多年来人类在地球上用肉眼只能观察到正面,无法看到背面的原因是A. 地球自转周期比公转周期短B. 月球自转与公转周期相同C. 月球绕着地球公转运动D. 自转周期地球比月球短【答案】1. C 2. D 3. B【解析】【分析】1.考查地方时差的计算。

经度相差15°，地方时相差1小时，利用东加西减的原则计算。

2.考查月球的天体特征。

月球比表面地形起伏大，有昼夜交替现象，无大气层，昼夜温差很大。

3.考查月球的运动特征。

月球自转与公转周期相同是主要原因。

【1题详解】火箭发射时间为北京时间12月8日凌晨2点23分，测量船位于170°E与北京区时120°E 相差50°，时间相差3小时20分，故测量船所在海域地方时为5时43分。

故C正确。

故选C【2题详解】月球背面受地球磁场环境影响极小，有利于天文观测，D正确；根据所学知识，月球绕地球公转，地月系绕太阳公转，故月球有昼夜交替现象，因为月球上几乎无大气，所以保温作用和白天对太阳辐射的削弱作用差，导致昼夜温差极大，地形起伏也大，故ABC错误。