B样条曲线曲面基本理论
（4条消息）曲线曲面基本理论（二）
（4条消息）曲线曲面基本理论（二）一、Bezier曲线的生成生成一条Bezier 曲线实际上就是要求出曲线上的点。
下面介绍两种曲线生成的方法：1、根据定义直接生成 Bezier 曲线绘制Bezier曲线主要有以下步骤：2、Bezier 曲线的递推 (de Casteljau)算法根据 Bezier 曲线的定义确定的参数方程绘制 Bezier 曲线，因其计算量过大，不太适合在工程上使用。
de Casteljau 提出的递推算法则要简单得多。
Bezier 曲线上的任一个点(t)，都是其它相邻线段的同等比例( t ) 点处的连线，再取同等比例( t ) 的点再连线，一直取到最后那条线段的同等比例 ( t )处，该点就是Beizer曲线上的点( t ) 。
以二次 Bezier 曲线为例，求曲线上t=1/3的点：当t 从0变到1时，它表示了由三顶点P0、P1、P2三点定义的一条二次Bezier曲线。
二次Bezier曲线P02可以定义为分别由前两个顶点(P0,P1)和后两个顶点(P1,P2)决定的一次Bezier曲线的线性组合。
由(n+1)个控制点Pi(i=0,1,...,n)定义的n次Bezier曲线P0n可被定义为分别由前、后n个控制点定义的两条(n-1)次Bezier曲线P0n-1与P1n-1的线性组合：这便是著名的de Casteljau算法。
用这一递推公式，在给定参数下，求Bezier曲线上一点P(t)非常有效。
de Casteljau算法稳定可靠，直观简便，可以编出十分简捷的程序，是计算Bezier曲线的基本算法和标准算法。
这一算法可用简单的几何作图来实现。
3、Bezier曲线的拼接几何设计中，一条Bezier曲线往往难以描述复杂的曲线形状。
这是由于增加特征多边形的顶点数，会引起Bezier曲线次数的提高，而高次多项式又会带来计算上的困难。
采用分段设计，然后将各段曲线相互连接起来，并在接合处保持一定的连续条件。
b样条曲线曲面
B样条曲线的性质具体分析
• 1. 局部支柱性 B样条曲线与Bezier曲线的主要差别在于它 们的基函数。Bezier曲线的基函数在整个参 数变化区间内，只有一个点或者两个点处 函数值为零。而B样条的基函数是一个分段 函数，在参数变化范围内，每个基函数在tk 到tk+m的子区间内函数值不为0，在其余区 间为0，这一重要的特征称为局部支柱性。
• B样条的局部支柱性对曲线和曲面的设计有 两个方面的影响：一是第k段曲线段（p（t） 在两个相邻节点值[tk，tk+1）（m－1≤k≤n） 上的曲线段）仅仅由m个控制顶点Pk－m＋ 1，Pk－m＋2，…Pk控制。若要修改该段 曲线，仅修改这m个控制顶点即可。二是修 改控制顶点Pk对B样条曲线的影响是局部的。 对于均匀m次B样条曲线，调整一个顶点Pk 的位置只影响B样条曲线p（t）在区间[tk， tk+m）的部分，即最多只影响与该顶点有 关的m段曲线。局部支柱性是B样条最具魅 力的性质。
由于Bk,m(t)的各项分母可能为0，所以这里规定 0/0=0。m是曲线的阶参数，（m－1）是B样条曲 线的次数，曲线在连接点处具有（m－2）阶连续 性。tk是节点值，T＝（t0，t1，…tn＋m）构成了 m－1次B样条函数的节点矢量，其中的节点是非减 序列，所生成的B样条曲线定义在从节点值tm－1 到节点值tn+1的区间上，而每个基函数定义在t的 取值范围内的tk到tk＋m的子区间上。从公式可以 看出，仅仅给定控制点和参数m不足以完全表达B 样条曲线，还需要给定节点矢量来获得基函数。
B样条曲面构建算法设计与实现
B样条曲面构建算法设计与实现B样条曲面是一种用于曲面建模的经典技术。
它通过在有限数量的控制点上定义曲面的特征，并利用一组特定的基函数，来实现曲面的几何形状。
B样条曲面的优点在于它能够高效地逼近复杂的几何形状，同时也具有很好的光滑性和可调性。
本文将介绍B样条曲面的构建算法设计与实现。
1. B样条曲线的基础知识B样条曲面是基于B样条曲线而建立的。
B样条曲线是一种多项式插值函数，它可以用于定义复杂的曲线形状。
B样条曲线的定义需要满足两个要求：首先，每个控制点必须与前后控制点之间有一定的关系；其次，每个控制点必须携带一定的权重值，以反映其对曲线形状的影响程度。
在B样条曲线中，每个控制点的权重值可以用来调节曲线的弯曲程度。
另外，在B样条曲线中，基函数与控制点的数量相同。
基函数是一组具有局部支撑区域的函数，它们被用来加权控制点的贡献值。
这些基函数通常称为B样条基函数，它们具有递归性质，使得它们可以在任意阶数上使用。
B样条曲面的构建算法需要满足几个关键要求。
首先，该算法必须能够通过控制点确定曲面的几何形状；其次，该算法必须保证曲面的光滑性和逼近性。
下面我们将介绍一种常见的B样条曲面构建算法。
2.1 控制点网格的定义B样条曲面的控制点通常以网格的形式进行定义。
该网格是由一个m*n的矩形点阵组成，它们被用来确定曲面的几何形状。
在这个点阵中，每个格子的位置就是一个控制点。
控制点的位置可以任意调整，以达到所需的几何形状。
2.2 基函数的定义B样条曲面的基函数是由B样条曲线的基函数扩展而来的。
这些基函数必须满足两个要求：首先，它们必须有足够的支撑区域；其次，它们必须满足一定的递推关系，以方便对曲面进行细分。
B样条曲面的基函数通常使用B样条基函数与升阶的技术相结合而得到。
这些技术使得基函数可以在任意次数上进行升阶，以适应曲面的细节需求。
一旦B样条曲面的基函数得到定义，我们就可以使用它们来计算曲面上的控制点贡献值。
这些贡献值将被用来决定曲面的几何形状。
第七章 B样条曲线
V2k、V3k和V4k四个点， 该四点构成u向的一个特
d1
征多边形，定义一条新 2
的曲线P(u,vk)；
d11
v
d14
d13
C1 d22
d23
C2 d32
d21
d31
u
d24 d33 C3 d4
2
d41
d34
d44 d43
C4
v
C1
C2 C3
V1k
V2k V3k
u
C4
V4k
✓当参数vk在[0,1] 之间取不同值时， P(u,vk)沿箭头方向扫描，即得到由 给定特征网格dij(i=1,2,3,4 j=1,2,3,4) 定义的双三次均匀B样条曲面片 P(u,v)。
t [0,1]
1
2
3
4
5
t
四段二次(三阶)均匀B样条基函数
曲线的起点和终点值：
pi
(0)
1 2
(Pi
Pi 1 ),
pi
(1)
1 2
(Pi1
Pi2 )
均匀二次B样条曲线起点和终点处的导数：
pi(0) Pi1 Pi , pi(1) Pi2 Pi1
P1
P2
P0
P3
四个控制点的二次周期性B样条曲线
第七章 B样条曲线曲面
Bezier曲线有许多优越性，但有几点不足： 一、控制多边形的顶点个数决定了Bezier曲线的
阶次； 二、不能作局部修改； 三 、Bezier曲线的拼接比较复杂。
• 1972年，Gordon、Riesenfeld等人发展了 1946年Schoenberg提出的样条方法 , 提出 了B样条方法，在保留Bezier方法的优点， 克服了Bezier方法的弱点。
B样条曲线与曲面
四、B样条曲线与曲面Bezier曲线具有很多优越性，但有二点不足：1）特征多边形顶点数决定了它的阶次数，当n较大时，不仅计算量增大，稳定性降低，且控制顶点对曲线的形状控制减弱；2）不具有局部性，即修改一控制点对曲线产生全局性影响。
1972年Gordon等用B样条基代替Bernstein基函数，从而改进上述缺点。
Ｂ样条曲线的数学表达式为：在上式中，0 ≤ u ≤ 1；i= 0, 1, 2, …, m所以可以看出：Ｂ样条曲线是分段定义的。
如果给定 m+n+1 个顶点 Pi ( i=0, 1, 2,…, m+n)，则可定义m+1 段 n 次的参数曲线。
在以上表达式中：Nk,n(u) 为 n 次B样条基函数，也称Ｂ样条分段混合函数。
其表达式为：式中：0 ≤ u ≤1k = 0, 1, 2, …, n1．均匀B样条曲线1 一次均匀B样条曲线的矩阵表示空间n+1个顶点（i = 0，1，…，n）定义n段一次（k＝0,1，n=1）均匀B样条曲线，即每相邻两个点可构造一曲线段Pi（u），其定义表达为：＝（1－u）Pi－1 ＋ u Pi＝ N0，1（u）Pi－1 ＋ N1，1（u）Pi第i段曲线端点位置矢量：，且一次均匀B样条曲线就是控制多边形。
2 二次均匀B样条曲线的空间n+1个顶点的位置矢量（i=0，1，…，n）定义n－1段二次（k＝0,1,2， n=2）均匀B样条曲线，每相邻三个点可构造一曲线段Pi（u）（i=1，…，n－1），其定义表达为：＝（1 － 2 u ＋ u 2）Pi－1 ＋（1 ＋ 2 u － 2u2）Pi ＋u 2 Pi＋1＝ N0，2（u）Pi－1 ＋ N1，2（u）Pi ＋ N2，2（u）Pi＋1端点位置矢量：，，即曲线的起点和终点分别位于控制多边形Pi-1Pi和PiPi+1的中点。
若、、三个顶点位于同一条直线上，蜕化成直线边上的一段直线。
端点一阶导数矢量：，，，，即曲线的起点切矢和终点切矢分别和二边重合，且相邻两曲线段在节点处具有一阶导数连续。
b样条曲线生成原理
b样条曲线生成原理
B样条曲线是一种基于局部控制点的曲线或曲面。
它是一种基于多项式插值的插值方法。
B样条曲线在插值时采用局部控制点，这意味着曲线上的每个点都受到它附近控制点的影响，而与其它控制点无关。
B样条曲线生成原理如下：
1.确定控制点：确定需要插值的一组控制点，它们用来定义曲线或曲面的形状和方向。
2.确定节点向量：确定节点向量，该向量定义样条曲线或曲面的参数空间。
3.建立基函数：使用节点向量来建立基函数，这些基函数是局部连续的、分段多项式函数。
4.拼接基函数：将相邻的基函数相加，得到样条曲线或曲面的表达式。
5.调整节点向量及其对应的控制点权值，得到最终的 B 样条曲线或曲面，用于插值和逼近目标函数。
总的来说， B 样条曲线是一种基于局部控制点和节点向量的插值方法，可以用于逼近任意复杂的函数，具有局部调整控制点的灵活性和良好的数学性质。
B样条曲面构建算法设计与实现
B样条曲面构建算法设计与实现B样条曲面是一种用于曲面重建和曲面拟合的方法。
它具有较好的数学性质和计算性能，被广泛应用于计算机图形学、计算机辅助设计和计算机辅助制造等领域。
本文将介绍B样条曲面的构建算法的设计与实现。
B样条曲面由B样条曲线构成，因此我们需要先了解B样条曲线的基本概念和算法。
B样条曲线是一种由多个控制点决定的曲线。
它的基本思想是通过插值或逼近的方式，将曲线上的点与控制点相对应，然后利用控制点之间的关系，生成曲线上的其他点。
B样条曲线的控制点决定了曲线的形状，在构建B样条曲线时，我们需要确定控制点的位置和权值。
B样条曲线的构建算法可以分为两个主要步骤：节点向量的确定和权值的确定。
节点向量是一组单调递增的参数值，用于描述曲线上的点的位置。
权值用于确定曲线上每个点的形状。
节点向量的确定是一个关键的步骤，它决定了曲线上的点的位置。
常用的方法有均匀节点向量和非均匀节点向量。
均匀节点向量指的是参数值的差值相等，例如[0, 1, 2, 3]。
在构建均匀节点向量时，我们需要确定控制点的个数和阶数。
控制点的个数决定了曲线上点的数量，阶数决定了曲线的平滑程度。
非均匀节点向量指的是参数值的差值不等。
它可以根据曲线的需要进行调整，用于处理曲线的局部形状。
权值的确定是另一个关键的步骤，它决定了曲线上每个点的形状。
在构建B样条曲线时，我们可以使用多种方法确定权值，例如Bezier曲线、B-spline曲线和NURBS曲线等。
在实际应用中，我们通常使用B-spline曲线来构建B样条曲线。
B-spline曲线是一种通过控制点和节点向量确定形状的曲线，它具有较好的数学性质和计算性能。
B-spline曲线的构建算法可以分为两个主要步骤：节点向量的确定和权值的确定。
节点向量的确定和B样条曲线的节点向量的确定方法类似，可以使用均匀节点向量和非均匀节点向量。
权值的确定方法也类似，可以使用Bezier曲线、B-spline曲线和NURBS曲线等。
b样条函数拟合
b样条函数拟合
B样条函数拟合是一种通过选用适合的方法对复杂自由曲面进行造型，满足曲面数控加工需要的方法。
B样条曲线曲面的基础理论是其重要的理论支撑，基本几何计算是其主要的研究方向。
在曲线逼近过程中，通过引入光顺权与偏离权因子，能够使得到的B样条曲线更加贴近已知的型值点。
对于工程上按截面测量数据组织曲面的情况，该方法可以通过对截面线上数据点个数较少的截面曲线进行升阶，增加控制顶点数，保证曲面最后的逼近精度。
理论的可靠和数值算例结果表明，B样条函数拟合方法在对复杂自由曲面的造型上是一种新的思路，能够为后续的数控加工创造有利条件。
B样条曲面构建算法设计与实现
B样条曲面构建算法设计与实现B样条曲面是一种常用的曲面表示方法，具有较好的灵活性和平滑性，广泛应用于计算机图形学、计算机辅助设计和工业设计等领域。
B样条曲面构建算法设计与实现是其中的核心内容。
本文将简要介绍B样条曲线和曲面的基本原理，然后详细阐述B样条曲面构建算法的设计与实现。
1. B样条曲线与曲面的基本原理B样条曲线是一种由控制点和节点序列所确定的曲线，其特点是局部控制和局部变化。
B样条曲线的参数化表示为：C(u) = Σ Ni,n(u) Piu为参数，Ni,n(u)为B样条基函数，Pi为控制点。
B样条曲线的节点序列决定了曲线的形状，通常采用均匀节点序列或非均匀节点序列。
均匀节点序列是指节点之间的间隔相等，非均匀节点序列是指节点之间的间隔不等。
B样条曲面是由两个参数u和v确定的二维曲面，其参数化表示为：B样条曲面构建算法的设计主要包括节点序列的确定、控制点的确定和B样条基函数的计算。
（1）节点序列的确定节点序列的确定一般采用均匀节点序列或非均匀节点序列。
均匀节点序列的确定比较简单，只需根据控制点数量和阶数确定节点个数和间隔即可。
非均匀节点序列的确定需要根据曲线或曲面的需要来决定。
通常采用的方法是将控制点均匀分布在参数空间，并根据需要将节点向重心区域移动，以实现对曲线或曲面局部细节的调控。
控制点的确定需要根据实际需求来决定。
一般情况下，控制点的数量和位置会影响曲线或曲面的形状。
在进行控制点的确定时，可以根据需要先构造一条初步的曲线或曲面，然后通过调整控制点的位置和数量来达到期望的效果。
（3）B样条基函数的计算B样条基函数的计算是B样条曲线和曲面构建算法中的关键步骤。
B样条基函数的计算可以采用递归方法或矩阵方法。
递归方法是一种简单直观的计算方法，其基本思想是利用递归关系式来计算B样条基函数的值。
B样条曲面构建算法的实现主要分为离散算法和连续算法两种。
离散算法是将曲面离散化为网格，然后通过调整网格顶点的位置来实现对曲面形状的调控。
第11-12讲 非均匀有理B样条曲线与曲面
上课内容
区间非零
次数p=2
顶点数n+1=4+1 M=n+p+1=4+2+1节点数m+1=8次数p=3
顶点数n+1=6+1
M=n+p+1=6+3+1
节点数m+1=11
9/17
11/17
例题:
三、NURBS 曲线形状的修改
（1）NURBS 曲线形状是由那些因素决定的？实际应用中，若要对NURBS 曲线作局部修改，一般可采取什么办法？
（2）如题图所示，由顶点V 0、V 1、V 2、V 3、V 4、V 5构造NURBS 曲线，改变顶点V 3所对应的权因子ω3得到的三条不同形状的曲线，B ，N ，B i 分别是ωi =0，ωi =1，ωi ≠{0,1}的对应曲线上的点。
1) 请写出ω3与点B ，N ，B i 及V 3四点之间的关系。
2) 定性分析ωi 对曲线形状的影响。
12/17圆锥曲线、圆弧及圆的NURBS 表示
CSF=ω2/ωω,
优弧、半圆可以利用重节点将两段、三段劣弧拼接组成。
内部重节点的一种给法：采用二重节点（端点仍为三重）
18/17。
第十二章 B样条曲面
第十二章B样条曲面B样条曲面在CAD/CAM中具有非常重要的地位，它可由B样条曲线通过直积推广而得，正如由Bézier曲线经由直积推广而得Bézier曲面一样。
本章主要讨论B样条曲面的性质及其相关的配套技术。
12.1 B样条曲面的定义及性质给定三维空间个点，参数和的节点矢量、，参数曲面：（12.1.1）称为次B样条曲面。
式中称为曲面的控制顶点或de Boor点，逐次用线段连接点列中相邻两点组成的空间网格叫做曲面的控制网格或de Boor网格，分别是由节点矢量定义的规范B样条基函数，次数分别为和。
由式（12.1.1）可以看出，次B样条曲面是由片次参数多项式曲面组合而成的多项式样条曲面。
其性质可由B样条曲线的性质推广而得。
1. 局部性。
次B样条曲面上参数为的点至多与个控制顶点有关，与其他控制顶点无关。
移动控制顶点至多影响到定义在区域上的那一部分曲面形状，对曲面的其余部分不产生影响。
2. 参数连性。
B样条曲面的每一片在其内部连续，而在节点处则是连续，其中分别是节点的重数。
3. 凸包性。
B样条曲面的每一片都位于定义该片曲面的控制顶点，的凸包之中，整个B样条曲面位于定义各片曲面的控制顶点的凸包的并集之中。
这样以来，B样条曲面的凸包区域就比同一组顶点定义的Bézier曲面的凸包区域要小，至多相同。
由凸包性质可以导出以下结果：•若控制顶点重合时，由这个控制顶点定义的次B样条曲面片便退化为这个重合点；•若上述的个控制顶点共面，那么所定义的曲面片便是平面片。
4. 磨光性质等。
同一组控制顶点定义的B样条曲面，随着次数的升高越来越光滑。
5. 仿射不变性。
B样条曲面在仿射变换下不便。
6. 对Bézier曲面的包含性。
若，且参数节点矢量选择如下：则由此确定的B样条曲面就是次Bézier曲面。
7. 等参数线。
固定，那么曲线是一条次B样条曲线，其控制顶点为同理，固定，其参数曲线为一条次B样条曲线，相应的控制顶点为然而，与Bézier曲面一样，变差缩减性对B样条曲面将不再成立。
CAD软件中的曲面建模知识点
CAD软件中的曲面建模知识点CAD（计算机辅助设计）软件在现代工程和设计领域中起着至关重要的作用。
其中，曲面建模是CAD软件的一个重要功能，它可以帮助设计师创造出复杂而精确的曲面形状。
本文将深入探讨CAD软件中的曲面建模知识点，帮助读者了解曲面建模的基本概念和常用工具。
一、曲面建模的基本概念曲面建模是指使用CAD软件中的特定工具和技术来创建复杂的曲面形状。
与传统的立体建模相比，曲面建模更注重精细的外观和光滑的曲线。
在曲面建模中，设计师可以通过控制曲线和曲面的各种属性来达到所需的效果。
二、曲线构建曲面在CAD软件中，曲面通常是由一系列曲线构建而成的。
这些曲线可以是直线、圆弧、椭圆等等。
通过选择不同的曲线构建方法和调整曲线的属性，设计师可以获得不同形状和曲面特征的结果。
1. B样条曲线B样条曲线是CAD软件中常用的一种曲线构建方法。
它通过控制点和节点的位置来定义曲线的形状。
设计师可以通过调整控制点的位置和节点的权重来改变曲线的形状和光滑度。
2. NURBS曲线NURBS（Non-Uniform Rational B-Spline）曲线是另一种常用的曲线构建方法。
它使用了有理函数的概念，可以更精确地描述曲线的形状。
NURBS曲线具有更高的灵活性和精度，可以制作出更复杂的曲线形状。
三、曲面的生成与编辑在CAD软件中，曲面的生成和编辑是曲面建模的重要步骤。
设计师可以使用各种工具和技术来生成和编辑曲面，以满足设计需求。
1. 曲面生成常见的曲面生成方法包括旋转、扫描和拉伸等。
旋转可以通过指定旋转轴和角度来生成圆柱体、圆锥体等旋转曲面。
扫描可以通过沿路径移动和旋转剖面曲线来生成曲面。
拉伸可以通过拉伸曲面边缘或沿特定方向拉伸曲面来生成新的曲面。
2. 曲面编辑曲面编辑是指对已生成的曲面进行形状和属性的调整。
在CAD软件中，设计师可以使用平移、旋转、缩放和拉伸等基本操作来编辑曲面。
此外，一些高级编辑工具如曲面修剪、曲面补偿、曲面偏移等也可帮助设计师更精确地调整曲面形状。
B样条曲面拟合解析
一、B样条曲线的种类及主要性质
均匀B样条曲线 均匀B样条曲线节点矢量中节点为沿参数轴 均匀或等距分布,所有节点区间长=Δi=ti+ti常数 >0(i=0,1,…,n+k)。这样的节点矢量定义了均匀 B样条基。 准均匀B样条曲线 其节点矢量中二端节点具有重复度k+1,即t0 =t1=…=tk,tn+1=tn+2=…=tn+k+1,所有内 节点均匀分布,重复度为1。
定义域x∈[tk,tn+1]内节点区间长度Δi=常 数>0(i=k,k+1,…,n)与均匀B样条曲线定 义域内节点分布相同,差别仅在于二端节点。 这样的节点矢量定义了准均匀B样条基。 一般非均匀B样条曲线 任意分布的节点矢量T=[t0,t1…,tn+k+1], 只要在数学上成立(其中节点序列非递减,二 端节点重复度≤k+1,内节点重复度≤k)都可 选取。
例1： 图1是一条三次B样条曲线与控制多 边形，符号“○”表示曲线初始控制点， “*”号表示曲线经一次4尺度加细后得到的 控制点，由图易见，加细后的控制点与曲线 更加接近。因此，可通过控制点的多尺度迭 代来生成B样条曲线增加了生成样条曲线的 速度。
例2 图2是利用第2节算法进行4尺度三层加细得 到的双三次B样条拟合曲面，0D为 (1+3)×(1+3)网格，经过三次4尺度加细 后3D为(64+3)×(64+3)网格，重建的B 样条曲面即有很好的光滑形状，又有很高的 逼近精度，同时，在上机实现时算法速度比 以前基于Binary细分多层加细算法的速度稍 快，主要由于减少了耗时的Step 2的次数。
1、待拟合曲面控制点数
点数越多，精度越高，但计算复杂，也更容 易出现奇异现象。 在满足精度的前提下尽量减少点数。
第7讲-B样条曲线曲面
...
⎥ ⎥
⎢ ⎢
B2
⎥ ⎥
⎥⎢
⎥
⎢ ⎢
P2
⎥ ⎥
⎢
⎥
⎢
...
⎢
⎥ ⎢ ... ⎥ = 6 ⎢ ... ⎥
⎥⎢
⎥⎢
⎥
⎢
...
⎥⎢
⎥⎢
⎥
⎢ ⎢
141
⎥ ⎥
⎢ ⎢
B
n−
2
⎥ ⎥
⎢ ⎢
Pn
−
2
⎥ ⎥
⎢
1 4 1 ⎥ ⎢ B n −1 ⎥
⎢ Pn −1 ⎥
⎢⎣
1
5 ⎥⎦
⎢ ⎣
Bn
⎥ ⎦
⎢ ⎣
Pn
⎥ ⎦
用追赶法解上式
B
n
−
2
⎥ ⎥
⎢ ⎢
Pn
−
2
⎥ ⎥
⎢
1 4 1 ⎥ ⎢ B n −1 ⎥
⎢ Pn −1 ⎥
⎢⎣
1 4 ⎥⎦ ⎢⎣ B n ⎥⎦
⎢⎣ P n ⎥⎦
B样条曲线的节点插入与升阶
节点插入
具有较高的理论价值，在曲线曲面设计中广泛使用，优点： 简单证明B样条曲线的变差缩减性； 改善B样条曲线的局部性质，提高曲线形状控制的潜在灵活性 求出曲线上的点； 生成曲线的Bezier点，得到B样条曲线的分段Bezier表示； 实现对曲线的分割； 生成曲面时，使不相同的节点矢量统一起来
用追赶法解上式，将结果带入（2）式中求出Bi （i=-1,0,1，…n+1)即可。
B. 自由端点条件
一般取
B −1 = B 0 B n +1 = B n
联立式（1）（4）构成三对角线型方程组
B样条曲线曲面解析课件
两端插值的标准节点矢量是什么；
2 de Boor求值算法推导：
n
j
P(t) Pi Ni,k (t) Pi Ni,k (t)
i0
i jk 1
i
j
j k
图3.1.28 B样条曲线的deBoor算
法的几何意义
3.3.4 节点插入算法
通过插入节点可以进一步改善B样条曲线的局部 性质，提高B样条曲线的形状控制的灵活性，可 以实现对曲线的分割等。
插入一个节点
在定义域某个节点区间 ti ,ti1 内插入一个节点t，得到
新的节点矢量：
T 1
重新编号成为
Pj1 Pj ,
Pj1 (1 j )Pj1 j Pj ,
Pj1 Pj1,
j 0,1,,i k 1 j i k 2,,i r j i r 1,, n 1
j
t tj t jk 1 t j
r 表示所插结点t在原始节点矢量T中的重复度。
Pik 1 Pik 2 Pik 3
de Boor-Cox递推定义
1 Ni,1(t) 0
ti x ti1 Otherwise
Ni,k (t)
t ti tik 1 ti
Ni,k1(t)
tik t tik ti1
Ni1,k 1(t)
并约定
0 0
0
t0, t1 ,, tk1, tk ,, tn , tn1,, tnk , t 几1 个问n题k
i0
t [tk1, tn1]
Ni,k (t)
k 1 tik 1 ti
第7讲-B样条曲线曲面-NURBS曲线曲面
P(u, v)
i0 j0 mn
Pij Ri, p; j,q (u, v)
ij Ni, p (u)N j,q (v) i0 j0
i0 j0
u, v [0,1]
Ri, p; j,q (u, v)
m
ij Ni, p (u)N j,q (v)
n
rs Nr, p (u)Ns,q (v)
r0 s0
19
8
NURBS曲线曲面
B样条曲线、Bezier曲线都不能精确表示出抛物 线外的二次曲线，B样条曲面、Bezier曲面都 不能精确表示出抛物面外的二次曲面，而只能 给出近似表示。
提出NURBS方法，即非均匀有理B样条方法主要 是为了找到与描述自由型曲线曲面的B样条方 法既相统一、又能精确表示二次曲线弧与二次 曲面的数学方法。
n
i Pi Ni,k (t) nP(t) Fra biblioteki0 n
Pi Ri,k (t)
i Ni,k (t) i0
i0
Ri,k (t)
i Ni,k (t)
n
j N j,k (t)
j0
12
NURBS曲线---性质
Ri,k(t)具有k阶B样条基函数类似的性质：
局部支承性：Ri,k(t)=0，t[ti, ti+k]
P67-68
9
NURBS曲线曲面
NURBS方法的主要优点
既为标准解析形状(初等曲线曲面)，又为自由型曲线 曲面的精确表示与设计提供了一个公共的数学形式。
修改控制顶点和权因子，为各种形状设计提供了充分 的灵活性。
具有明显的几何解释和强有力的几何配套技术。 对几何变换和投影变换具有不变性。 非有理B样条、有理与非有理Bezier方法是其特例。
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第七章 B样条曲线曲面基本理论
方法一
第七章 B样条曲线曲面基本理论
重要
方法一
第七章 B样条曲线曲面基本理论
重要
方法一
第七章 B样条曲线曲面基本理论
重要
方法二
第七章 B样条曲线曲面基本理论
重要
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论 2次B样条基函数
第七章 B样条曲线曲面基本理论 3次B样条基函数
第七章 B样条曲线曲面基本理论
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பைடு நூலகம்
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
Bezier实现高速列车外形
作业2：
第一部分 自由曲面设计理论
第七章 B样条曲线曲面基本理论
第七章 B样条曲线曲面I
第七章 B样条曲线曲面I
第七章 B样条曲线曲面I
第七章 B样条曲线曲面I
0次B样条曲线 1次B样条曲线 2次B样条曲线 3次B样条曲线
推导过程
第七章 B样条曲线曲面基本理论 0次B样条基函数
第七章 B样条曲线曲面基本理论 1次B样条基函数