第四章 故障树的定量分析.

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故障树分析中的事件发生概率一般就是失效概率 。 若单元或系统是可修的，它就是无效度。 它们的概率分布律为：

qi和Q分别为底事件和顶事件的发生概率。
底事件发生概率：底事件Xi的数学期望E[Xi]：
E[ X i ]＝ 1 p( X i 1) 0 p( X i 0) p( X i 1) qi
由此可证，顶事件发生概率是 诸底事件发生概率的函数，即
Q E[T ] E[ ( X )] h(q1 , q 2 ,......q n )
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相干故障数

1．n个单元组成的并联系统
n 并 （x） xi i 1
则顶事件发生概率Q并为：
i 1 i 1
n
n
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3.由n个单元组成的串并联混合系统

对于任意结构的一棵故障树，一般可先找出它的全部最小割集
Ki ( j 1, Nk )
结构函数：
k ( x ) xi
N
j 1 i Ki
Nk Nk 用最小割集计算顶事 Q E[T ] E[ X j ] qi 件概率，则： j 1 ikj j 1 ikj
Qs P( M 1 M 2 M n ) P[1 (1 M 1 )(1 M 2 ) (1 M n )] P[1 (1 M i )],
i 1 n
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(1 M ) 1 M M M
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4.1 顶事件概率表达式
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假设:

诸底事件之间相互独立； 所有事件仅考虑正常和失效两种状态； 不考虑随时间的变化而近似作为稳态处理； 在某一很短的时间间隔内不考虑同时发生两 个以上的单元失效,并且事件发生概率与时间 增量成正比,忽略 t 2以上的高阶小量等等。
n n Q并＝E[并 （x） ]＝E[ xi ] qi i 1 i 1

2．n个单元组成的串联系统
n 串 （x） xi i 1
则顶事件发生概率Q串为：
n Q串＝E[串 （x） ] E[ xi ] i 1
[1 (1 xi )] 1 (1 qi )
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定量分析的目的和基本内容
定量分析的目的：根据最小割集计算故障树顶事件的发 生概率及其不确定性和底事件或割集的重要度。 故障树定量分析的基本内容归结为以下几方面：
– 底事件概率的定量分析，一般由收集到的部件失效数据，经过 统计分析，求出单元的可靠性参数，如失效概率或无效度，可 以是某种形式的分布。 – 顶事件概率的定量分析,一般根据故障树结构函数，由底事件 概率计算出顶事件概率。定量计算中的关键问题是最小割集的 “不交化”。 – 为了确定顶事件概率的变化范围、误差限或分布，则须进行误 差传播计算(不确定性)。 – 底事件的结构重要度和概率重要度的计算。这部分内容对于系 统可靠性设计、诊断和优化等方面是不可缺少的。
n
j
)
n


n
P ( M i M j M k ) (1) n P ( M i )
i 1
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表达式
Q (1) r 1 S r
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4.2 故障树顶事件发生概率的定量 计算公式
核安全工源自文库室
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4.2.1精确计算
1．无重复底事件时顶事件概率的计算
– 当故障树中无重复底事件时，这就意味着诸最小割集相互之 间不含有相同的底事件，所以诸最小割集是独立的，但是还 可以是相交的。 – 精确计算故障树顶事件的发生概率时，要按布尔代数中逻辑 并的概率公式（即容斥定理）展开。 – 设有个n独立的最小割集 M1 , M 2 M n ，用独立事件的概率 公式计算，求得顶事件的发生概率为:
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第四章
故障树的定量分析
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故障树分析步骤
定义顶事件和 边界条件
故障树不能过大，
舍去不重要部件， 形成等效的简化系 统图，从简化系统 图出发建树
建立故障树 •找出系统可能的故障模式。 •是故障树分析最为关键的一 步，是定量分析的基础。
i 1 i i 1 i i j 2 i
n
n
n
j

i j k 3

n
M i M j M k (1)
n
M
i 1
n
i
Qs P ( M 1 M 2 M n ) P(M i )
i 1 n i j 2
P(M M
i i J K 2
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顶事件发生概率是诸底事件发生概率的函数：

由于假设诸底事件相互独立，所以有：
E[ X i ], E[ X i X j ] 0 E[ X ] E[ X ], i j
j i
j i j i
E[ X i ]， j i E[ X i X j ] 1 j i E[ X ] E[ X ] E[ X ] E[ X ]， j i i j i j
对故障树简化 或模块化
•逻辑简化和模块 分解
定性分析
•计算顶事件发生的概率，并 进行重要度和灵敏度的分析。
定量分析
2
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4.1
4.2
4.3 4.4 4.5
顶事件概率表达式 顶事件发生概率的定量计算公式 结构函数的不交合 故障分析中的误差传播 底事件的重要度计算