2019-2020学年 湖南省三湘名校教育联盟 高一上学期期中数学试题(解析版)

2019-2020学年湖南省三湘名校教育联盟高一上学期期中数学试题一、单选题1．已知全集U =R ，集合{0,1,2,3,4,5}A =，{|2}B x x =≥ ，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）A ．{}1B ．{}0,1C ．{}1,2D ．{}0,1,2【答案】B【解析】根据图像判断出阴影部分表示()U A B I ð，由此求得正确选项. 【详解】根据图像可知，阴影部分表示()U A B I ð，{}U |2B x x =<ð，所以()U A B I ð{}0,1=. 故选：B 【点睛】本小题主要考查集合交集与补集的概念和运算，考查韦恩图，属于基础题.2．设函数2,0()(2),0x x x f x f x x ⎧-≤=⎨->⎩，则()6f =（ ）A ．2B ．1-C ．0D ．1【答案】B【解析】利用()()2f x f x =-将数值转化，可求()6f . 【详解】2,0()(2),0x x x f x f x x ⎧-≤=⎨->⎩Q ，()()()()06420021f f f f ∴====-=-.故选：B . 【点睛】本题考查分段函数求值，属于基础题.3．已知函数23x y a -=+(0 a >且 1)a ≠的图像恒过定点P ，点P 在幂函数()y f x =的图像上，则31log 3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2【答案】A【解析】根据指数型函数过定点求得P 点坐标，设出幂函数()f x 的解析式，代入点P 的坐标求得()f x 的解析式，由此求得31log 3f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值. 【详解】对于函数23x y a -=+，当20x -=，即2x =时，4y =，所以()2,4P .由于()f x 为幂函数，设()f x x α=，代入P 点的坐标得24,2αα==.所以()2f x x =，2111339f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以23331log log 31log 329f -=⎛⎫= ⎪⎝=-⎭. 故选：A 【点睛】本小题主要考查指数型函数过定点问题，考查幂函数解析式的求法，考查对数运算，属于基础题. 4．函数()2ln xf x x=的图像大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】D【解析】根据函数()f x 的奇偶性和特殊值排除选项即得.【详解】函数()f x 的定义域为{}0x x ≠.()()()22ln ln xxf x f x xx --===-Q ，()f x ∴是偶函数，其图象关于y 轴对称，排除,A B ；令()0,1f x x =∴=±.又221ln101e f e e e ⎛⎫==-< ⎪⎝⎭⎛⎫⎪⎝⎭，∴排除C ，选D . 故选：D . 【点睛】本题考查函数的图象，属于基础题. 5．函数f （x ）=log 2x-3x-1的零点所在的区间为（ ） A ．()1,2 B ．()2,3C ．()3,4D ．()4,5【答案】C【解析】连续函数f （x ）=log 2x-3x-1在（0，+∞）上单调递增且f （3）f （4）＜0，根据函数的零点的判定定理可求结果． 【详解】∵函数f （x ）=log 2x-3x-1在定义域（0，+∞）上单调递增， ∴f （3）=log 23-1-1＜0，f （4）=2-34-1＞0，∴根据根的存在性定理得f （x ）=log 2x-3x-1的零点所在的一个区间是（3，4），故选：C ． 【点睛】本题主要考查了函数零点定义及判定的应用，属于基础试题． 6．下列函数是偶函数且在区间()0,∞+上单调递减的是（ ） A ．2()2f x x x =-- B ．()1f x x =- C ．()ln f x x =D ．2()1xf x x =+ 【答案】B【解析】对选项逐一分析函数的奇偶性和在区间()0,∞+上的单调性，由此确定正确选项. 【详解】对于A 选项，()f x 为非奇非偶函数，不符合题意；对于B 选项，()f x 为偶函数，当0x >时，()1f x x =-+为减函数，符合题意； 对于C 选项，()f x 为非奇非偶函数，不符合题意； 对于D 选项，()f x 为奇函数，不符合题意； 故选：B 【点睛】本小题主要考查函数的单调性和奇偶性，属于基础题.7．已知135a⎛⎫= ⎪⎝⎭，322b=，0.23c =，则（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．c b a <<【答案】A【解析】先求出,a b 再利用指数函数与函数单调性比较大小 【详解】135a⎛⎫= ⎪⎝⎭，322b=，1122553log 3log 10,0log log 212a b ∴=<=<=<= 又0.23c =031>= ，故a b c << 故选A 【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 8．下列函数中，其定义域和值域分别与ln x y e =的定义域和值域相同的是（ ） A ．||y x = B．y =C ．2x y =D ．ln ||y x =【答案】B【解析】求出函数ln x y e =的定义域和值域，逐一验证即得.【详解】函数ln x y e =的定义域和值域均为()0,∞+.对于选项A ，||y x =的定义域为R ，值域为[)0,+∞； 对于选项B ，y =的定义域为()0,∞+，值域为()0,∞+； 对于选项C ， 2x y =的定义域为R ，值域为()0,∞+； 对于选项D ， ln ||y x =的定义域为{}0x x ≠，值域为R . 故选：B . 【点睛】本题考查函数的定义域、值域，属于基础题.9．若函数2411()3ax x f x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭有最大值3，则实数a 的值为（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】D【解析】根据复合函数的性质，结合()f x 的最大值，求得a 的值. 【详解】由于函数2411()3ax x f x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭有最大值3，所以0a >，且当422x a a-=-=时，()f x 取得最大值为2224411412113333a a a aaf a ⎛⎫⋅-⋅+-+ ⎪-⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故4411,2,2a a a-===. 故选：D 【点睛】本小题主要考查根据指数型复合函数的最值求参数，属于基础题. 10．已知()f x 是R 上的偶函数，且在区间[)0,+∞上单调递减，则满足()2log (1)f x f ≥-的x 的取值范围是（ ）A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．(]0,2 C ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】C【解析】根据()f x 的奇偶性和单调性化简不等式()2log (1)f x f ≥-，由此求得不等式中的x 的取值范围. 【详解】由于()f x 是R 上的偶函数，且在区间[)0,+∞上单调递减，所以()f x 在(),0-∞上递增.由()2log (1)f x f ≥-得()2log (1)f x f ≥，所以21log 1x -≤≤，解得122x ≤≤，所以不等式()2log (1)f x f ≥-的x 的取值范围是1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：C 【点睛】本小题主要考查根据函数的奇偶性和单调性解不等式，属于基础题.11．设函数1lg ,10()1,10x f x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩，则满足(6)(2)f x f x +<的x 的取值范围是（ ）A ．(],5-∞B ．[)5,6C ．(),6-∞D ．()4,6【答案】D【解析】画出()f x 的大致图像，根据图像化简不等式(6)(2)f x f x +<，由此求得x 的取值范围. 【详解】画出()f x 的大致图像如下图所示，由图可知，(6)(2)f x f x +<61026x x x +>⎧⇔⎨<+⎩，解得46x <<，所以满足(6)(2)f x f x +<的x 的取值范围是()4,6. 故选：D【点睛】本小题主要考查根据分段函数解析式解不等式，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.12．设函数21()211x xf x x =-++的最大值为m ，最小值为n ，则m n +=（ ） A ．1- B ．0C ．1D ．2【答案】C【解析】判断出()f x 的对称中心，由此求得m n +的值. 【详解】由于()()2211211211x x x x x x f x f x ---+-+++-=++1212121xx x =+=++，且()102f =，所以()f x 关于10,2⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，所以最大值m 与最小值n 的和1212m n +=⨯=. 故选：C 【点睛】本小题主要考查函数的对称性，属于基础题.二、填空题13．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当,0()x ∈∞-时，2()f x x x=-,则()2f =________.【答案】1-【解析】由f （x ）为R 上的奇函数即可得出f （2）＝﹣f （﹣2），并且x <0时，f （x ）＝2x ﹣x ，从而将x ＝﹣2带入f （x ）＝2x﹣x 的解析式即可求出f （﹣2），从而求出f （2）． 【详解】∵f （x ）是定义在R 上的奇函数，并且x <0时，f （x ）＝2x﹣x ； ∴f （2）＝﹣f （﹣2）＝﹣[-1﹣（﹣2）]＝-1． 故答案为：-1． 【点睛】本题考查奇函数的定义，以及已知函数求值的方法，熟记奇函数性质是关键，是基础题 14．函数1()|lg |3x f x x =-的零点个数为________. 【答案】2【解析】在同一个坐标系画两个函数1,lg 3xy y x ⎛⎫== ⎪⎝⎭再研究通过观察即可得到所求零点个数． 【详解】在同一个坐标系画两个函数1,lg 3xy y x ⎛⎫== ⎪⎝⎭，如图所示 则f （x ）的零点个数为2． 故答案为：2．【点睛】本题考查函数的零点个数的求法，注意运用数形结合思想方法，考查观察和判断能力，属于基础题．15．已知函数()22()log 2f x x ax a =-+在区间[1,)+∞上单调递增，则a 的取值范围是________.【答案】(]12-， 【解析】令t （x ）＝x 2﹣ax +2a ，则由题意可得t 的对称轴x 2a=≤1，且 t （1）＝1+a ＞0，由此求得a 的取值范围． 【详解】令t （x ）＝x 2﹣ax +2a ，则函数f （x ）＝log 2t （x ），又2log y t =单调递增，则t （x ）＝x 2﹣ax +2a 在区间[)1,+∞单调递增 由题意可得函数t （x ）的图象的对称轴 x 2a=≤1，且 t （1）＝1+a ＞0， 求得1-＜a ≤2，故答案为：(]12-，． 【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．16．已知函数24,()1,x x x af x e x a ⎧-≤=⎨->⎩，若函数()[()]g x f f x =在R 上有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是______________．【答案】))2,02,6⎡⎡-⎣⎣U【解析】根据函数()[()]g x f f x =在R 上有三个不同的零点，通过换元法令()t f x =，转化为()0f t =有两解，结合0a <或2a ≥两种情况进行分类讨论，由此求得a 的取值范围. 【详解】令()t f x =，则()()g x f t =，由于函数()[()]g x f f x =在R 上有三个不同的零点，所以()()0g x f t ==必有两解，所以20a -≤<或2a ≥.当20a -≤<时，()f x 的图像如下图所示，由图可知，()y f t =必有两个零点122,0t t =-=，由于()2f x t =有两个解，所以()1f x t =有一个解，即242a -≤-，解得20a -≤<.当2a ≥时，()f x 的大致图像如下图所示，()y f t =必有两个零点342,2t t =-=，由于()3f x t =有两个解，所以()4f x t =有一个解，所以242a -<，解得26a ≤<.综上所述，实数a 的取值范围是)2,06⎡⎡-⎣⎣U . 故答案为：)2,06⎡⎡-⎣⎣U【点睛】本小题主要考查根据分段函数零点个数求参数的取值范围，考查数形结合的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.三、解答题17．设集合11|4322x A x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭剟,{|121}B x m x m =-+剟. (1)若3m =,求R ()A B ⋃ð;(2)若B A ⊆,求m 的取值范围，【答案】(1)(,2)(7,)-∞-+∞U ；(2) 2m <-或12m -≤≤.【解析】（1）求解指数不等式化简集合A ，代入m =3求得B ,再求并集和补集（2）对集合B 分类讨论，当B 为空集时满足题意，求出m 的范围，当B ≠∅时，由两集合端点值间的关系列不等式求解．【详解】（1）{|25}A x x =-剟，当3m =时，{|27}B x x =剟， ∴[]2,7A B ⋃=-,∴()()(),27,R C A B ⋃=-∞-⋃+∞.（2）若B =∅，则121m m ->+，即2m <-，B A ⊆; 若B ≠∅，即2m ≥-时，要使B A ⊆，则12215m m -≥-⎧⎨+≤⎩,解得12m -≤≤, 综上可得2m <-或12m -≤≤.【点睛】本题考查子集与真子集，考查了集合的包含关系及其应用，训练了指数不等式的解法，是中档题．18．计算下列各式的值：（100.5819log 434-⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）281lg500lg lg 64lg5lg 20(lg 2)52+-+⋅+． 【答案】（1）e （2）3【解析】（1）利用根式、指数和对数运算，化简求得表达式的值.（2）利用对数运算，化简求得表达式的值.【详解】（1）原式22log 42113log 8e =-++-2233e e =+-=． （2）原式2285005lg lg5(2lg 2lg5)(lg 2)lg100(lg 2lg5)38⨯=+⋅++=++=．【点睛】 本小题主要考查根式、指数和对数运算，属于基础题.19．已知幂函数()y f x =的图像过点()8,m 和()9,3．（1）求实数m 的值；（2）若函数()()f x g x a =(0,1)a a >≠在区间[]4,16上的最大值等于最小值的2倍，求实数a 的值．【答案】（1）2【解析】（1）根据点()9,3求得幂函数()f x 的解析式，由此求得m 的值.（2）根据复合函数最值的求法，结合01,1a a <<>两种情况进行分类讨论，由此求得实数a 的值.【详解】（1）设()f x x α=，依题意可得93α=，12α∴=，12()f x x =， 12(8)8m f ∴===（2）()g x =[2,4]，∴当01a <<时，2max ()g x a =，4min ()g x a =，由题意得242a a =，解得2a =； 当1a >时，4max ()g x a =，2min ()g x a =，由题意得422a a =，解得a =综上，所求实数a 的值为2． 【点睛】 本小题主要考查幂函数解析式的求法，考查复合函数最值，考查指数函数的单调性，考查分类讨论的数学思想方法，属于基础题.20．定义在R 上的偶函数()f x 满足:当(,0]x ∈-∞时,2()1f x x mx =-+-.(1)求0x >时, ()f x 的解析式;(2)若函数()f x 在区间[]2,4上的最大值为4,求m 的值.【答案】(1) 2()1(0)f x x mx x =--->；(2) m =-【解析】(1) 当0x >时，0x -<，()21f x x mx -=---,再利用偶函数性质求解即可 (2)讨论二次函数对称轴与区间[]2,4的位置关系，求最大值即可求解【详解】（1）当0x >时，0x -<，()21f x x mx -=---, ∵()f x 为偶函数，∴()()21(0)f x f x x mx x =-=--->. （2）当22m -<，即4m >-时，()f x 在[]2,4上递减，∴()24214f m =---=,92m =-，不符合；当242m ≤-≤，即84m -≤≤-时，2144m -=,m =±m =- 当42m ->，即8m <-时，()f x 在[]24，上递增，∴.()416414f m =---=,214m =-，不符合，综上可得m =-【点睛】本题考查偶函数性质，考查二次函数最值，考查分类讨论思想，是中档题21．已知函数22()log (2)log (2)f x x a x =++-的图像关于y 轴对称．（1）求()f x 的定义域及实数a 的值；（2）若关于x 的方程()20f x x t +-=有两个不同的实数根，求实数t 的取值范围．【答案】（1）()2,2-，1a =（2）172,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】（1）根据对数真数大于零列不等式组，解不等式组求得函数()f x 的定义域.根据()f x 的对称性判断出()f x 的奇偶性，根据函数的奇偶性列式求得a 的值.（2）由（1）求得()f x 的表达式，由此化简方程()20f x x t +-=，得到240x x t -+-=且()2,2x ∈-，构造函数2()4g x x x t =-+-，结合二次函数零点分布问题的求解列不等式组，解不等式组求得实数t 的取值范围.【详解】（1）由2020x x +>⎧⎨->⎩解得22x -<<，()f x ∴的定义域为()2,2-． 依题意可知()f x 为偶函数，()()f x f x ∴-=，2222log (2)log (2)log (2)log (2)x a x x a x ∴-++=++-，即[]22(1)log (2)log (2)0a x x -+--=， 即22(1)log 02x a x+-=-在()2,2-上恒成立，1a \=． （2）由（1）可知()2222()log (2)log (2)log 4f x x x x=++-=-，其中()2,2x ∈-，所以方程化简得240x x t -+-=，其中()2,2x ∈-，令2()4g x x x t =-+-，由题意可得14(4)0(2)20(2)20t g t g t ∆=-->⎧⎪=->⎨⎪-=+>⎩，解得172,4t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． （或分离参数，数形结合可得）【点睛】本小题主要考查对数型复合函数定义域的求法，考查根据函数的奇偶性求参数，考查二次函数在给定区间上的零点分布问题的求解，属于中档题.22．已知函数(21()log 2f x x =-+-是定义在R 上的奇函数． （1）求函数1()2y f x =-的零点； （2）当[]0,2x ∈时，求函数2134x x y a a -=-+的值域．【答案】（1）12-（2）13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】（1）利用奇函数的性质列方程，由此求得a 的值.令()102f x -=，由此求得函数1()2y f x =-的零点. （2）利用配方法，结合指数函数、二次函数的性质，求得当[]0,2x ∈时，函数2134x x y a a -=-+的值域．【详解】（1）()f x Q 是奇函数，()()0f x f x ∴+-=，即((221log log 0x x --++=，()222g 1lo x a x +-=，2a =，由()102f x -=得(2log 1x -=2x =+，12x =-， 故1()2y f x =-的零点是12-． （2）[]0,2x ∈时，()()22211111342628232222x x x x x y a a -⎡⎤=-+=-⋅+-=--⎢⎥⎣⎦， 124x ≤≤Q ，∴当23x =即2log 3x =时，y 取得最小值12-，当21x =即0x =时，y 取得最大值32， 故值域为13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．【点睛】本小题主要考查根据函数的奇偶性求参数，考查函数零点的求法，考查复合函数值域的求法，属于中档题.。