任意三角形外接圆半径、内切圆半径的求法及通用公式
三角形外接圆与内切圆半径求法
三角形的外接圆与内切圆半径的求法之青柳念文创作一、求三角形的外接圆的半径1、直角三角形如果三角形是直角三角形，那末它的外接圆的直径就是直角三角形的斜边.例1已知：在△ABC 中，AB ＝13，BC ＝12，AC ＝5 求△ABC 的外接圆的半径.解：∵AB＝13，BC ＝12，AC ＝5∴AB2＝BC2＋AC2， ∴∠C＝90°，∴AB 为△ABC 的外接圆的直径， ∴△ABC 的外接圆的半径为6.5. 2、一般三角形①已知一角和它的对边例2如图，在△ABC 中，AB ＝10，∠C＝100°，求△ABC 外接圆⊙O 的半径.分析：操纵直径构造含已知边AB . 解：作直径BD ，保持AD.则∠D＝180°－∠C＝80°，∠BAD＝90°∴BD＝D sin AB ＝︒80sin 10∴△ABC 外接圆⊙O 的半径为︒80sin 5.注：已知双方和其中一边的对角，以及已知两角和一边，都可以操纵本题的方法求出三角形的外接圆的半径.例3如图，已知，在△ABC 中，AB ＝10＝50°求△ABC 外接圆⊙O 的半径. 分析：可转化为①的情形解题. 解：作直径AD ，保持BD.则∠D＝∠C＝180°－∠CAB－∠BAC＝60°，∠DBA＝90°∴AD＝D sin AB ＝︒60sin 10＝3320∴△ABC 外接圆⊙O的半径为3310. ②已知双方夹一角例4如图，已知，在△ABC 中，AC ＝2，BC ＝3 求△ABC 外接圆⊙O 的半径.分析：思索求出AB 解：作直径AD ，保持BD.作AE⊥BC，垂足为E.则∠DBA＝90°，∠D＝∠C＝60°，CE ＝21AC ＝1，AE ＝3，BE ＝BC －CE ＝2，AB ＝22BE AE +＝7∴AD＝D sin AB ＝︒60sin 7＝2132∴△ABC 外接圆⊙O 的半径为2131.③已知三边例5如图，已知，在△ABC 中，AC ＝13，BC ＝14，AB ＝15求△ABC 外接圆⊙O 的半径.分析：作出直径AD ，构造Rt△ABD.只要求出△ABC 中BC 边上的高AE ，操纵相似三角形便可以求出直径AD.解：作直径AD ，保持BD.作AE⊥BC，垂足为E. 则∠DBA＝∠CEA＝90°，∠D＝∠C∴△ADB∽△ACE ∴ABAEAD AC = 设CE ＝x,∵AC2-CE2＝AE2＝AB2-BE2∴132-x2＝152-(14-x)2x=5,即CE ＝5∴AE＝12 ∴1512AD 13= AD ＝465∴△ABC 外接圆⊙O 的半径为865.二、求三角形的内切圆的半径1、直角三角形例6已知：在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝a ，AB ＝c求△ABC 外接圆⊙O 的半径.解：可证四边形ODCE 为正方形.设⊙O 的半径为r ， 则CD=CE=r,BD=a-r,AE=b-r ， ∴(a -r)+(b-r)=c, ∴r=2c b a -+,即△ABC 外接圆⊙O 的半径为2c b a -+.2、一般三角形①已知三边例7已知：如图，在△ABC 中，AC ＝13，BC ＝14，AB ＝Bb15求△ABC 内切圆⊙O 的半径r.分析：思索先求出△ABC 的面积，再操纵“面积桥”，从而求出内切圆的半径.解：操纵例5的方法，或操纵海伦公式S△＝)c s )(b s )(a s (s ---(其中s=2cb a ++)可求出S△AB C ＝84，从而21AB •r+21BC •r+21AC •r=84, ∴r=4②已知双方夹一角例8已知：如图，在△ABC 中，cotB ＝34＝6求△ABC 内切圆⊙O 的半径r.分析：思索先通过解三角形，求出△ABC 的面积及AC 的长，再操纵“面积桥”，从而求出内切圆的半径.解：作△ABC 的高AD.解直角三角形可得AD ＝3，CD ＝2，AC ＝13，因为21AB •r+21BC •r+21AC •r=21BC •AD, 可求得r=61311-③已知两角夹一边例9已知：如图，在△ABC 中，∠B＝60°，＝6求△ABC 内切圆⊙O 的半径r.(切确到0.1) 分析：思路方法同上，读者可完成.总之，只要通过边、角能确定三角形，便可以鉴戒上面的方法求出这个三角形的外接圆和内切圆的半径.。
三角形外接圆与内切圆半径求法
三角形的外接圆与内切圆半径的求法 一、求三角形的外接圆的半径1、直角三角形如果三角形是直角三角形，那么它的外接圆的直径就是直角三角形的斜边.例 1 已知：在AABC 中.AB=13, BC = 12, AC=5 求AABC 的外接圆的半径.解:VAB=13, BC = 12, AC=5, .-.AB 2=BC :+AC \A ZC = 90° ,.•.AB 为△ ABC 的外接圆的直径，•••△ABC 的外接圆的半径为.2、一般三角形① 已知一角和它的对边例 2 如图，在ZXABC 中，AB=10, ZC=100° , 求AABC 外接圆00的半径.（用三角函数表示） 分析：利用直径构造含已知边AB 的直角三角形. 解：作直径BD,连结AD.则ZD=180° -ZC=80Q , ZBAD=90°.•沏=竺=旦sinD sin 80° ••.△ABC 外接圆。
的半径为盘注：已知两边和其中一边的对角，以及已知两角和一边，都可以利用本题的方法求岀三 角形的外接圆的半径.例 3 如图，已知，在AABC 中，AB = 10,ZA=70° , ZB=50° 求AABC 外接圆00的半径.分析：可转化为①的情形解题.解：作直径AD ，连结BD.则ZD=ZC=180° -ZCAB-ZBAC=60° , ZDBA=90°•••△ABC 外接圆O0的半径为¥厲・② 已知两边夹一角例 4 如图，已知.在AABC 中，AC=2, BC=3, ZC=60° 求AABC 外接圆00的半径.分析：考虑求岀AB,然后转化为①的情形解题.解：作直径AD ，连结BD •作AE 丄BC,垂足为E.则 ZDBA=90° , ZD=ZC=60° , CE=1AC=1, AE=的，/.AD= AB 10 sinD sin60° BE=BC-CE=2, AB= y/AE 2 + BE 2= 41 rcA AABC 外接圆OO 的半径为.③ 已知三边例 5 如图，已知，在AABC 中，AC = 13, BC = 14, AB=15 求AABC外接圆O0的半径.分析：作出直径AD,构造RtAABD.只要求出AABC 中BC 边设 CE=x, VAC^CE^AE^AB^BE 2 A 13:-x :=15:-(14-x)2 x=5,即 CE = 5 /.AE=12 A —=4 AD= —•••△ABC 外接圆00 的半径为竺.二、求三角形的内切圆的半径 1、 直角三角形例 6 已知：在ZkABC 中，ZC=90° , AC=b, BC=a, AB = c 求AABC 外接圆O0的半径.解：可证四边形ODCE 为正方形.设O0的半径为r, 则 CD=CE=r, BD=a-r, AE=b-r, (a-r) + (b-r) =c,•"二匕导，即AABC 外接圆00的半径为好工.2 22、 一般三角形①已知三边例 7 已知：如图，在ZkABC 中，AC = 13, BC = 14, AB=15求ZXABC 内切圆Q0的半径r.分析：考虑先求出AABC 的面积，再利用“而积桥”，从而~求出内切圆的半径.解：利用例5的方法，或利用海伦公式S A = Vs(s-a)(s-b)(s-c)(其中s 二斗王)可求 出Ssc=84,从而丄 AB ・r+丄 BCr+丄 ACr 二84, Z.r=4例 8 已知：如图，在AABC 中，cotB=i ,AB = 5, BC=6求AABC 内切圆Q0的半径=分析：考虑先通过解三角形，求出AABC 的而积及AC 的长, 再利用“而积桥S 从而求出内切圆的半径.解：作AABC 的高AD.解直角三角形可得AD=3, CD=2, AC= V13 ,••• AADB^AACE ••• AADB^AACEAD AB 上的髙AE,利用相似三角形就可以求出直径AD. 解：作直径AD ，连结BD.作AE 丄BC,垂足为E. 则ZDBA=ZCEA=90° , ZD=ZC2 2 ②已知两边夹一角因为丄AB T+1 BCr+丄AC・r二丄BC・AD,可求得r」卜血③已知两角夹一边例9 已知：如图，在Z\ABC 中，ZB=60° , ZC=45° ,BC=6求AABC内切圆00的半径r.（精确到分析：思路方法同上，读者可完成.总之，只要通过边、角能确左三角形，就可以借鉴上而的方法求出这个三角形的外接圆和内切圆的半径.。
探求三角形的外接圆半径及内切圆半径的求解
探求三角形的外接圆半径及内切圆半径的求解部门： xxx时间： xxx整理范文，仅供参考，可下载自行编辑探求三角形的外接圆半径我们知道任意一个三角形都有外接圆，如何求三角形的外接圆的半径呢？其主要方法是构造直角三角形，利用相似三角形、勾股定理等知识求解。
一、特殊三角形 1.直角三角形例1．已知：如图，在△ABC 中，AB ＝13，BC ＝12，AC ＝5，求△ABC 的外接圆的半径r.直径等于斜边。
解：∵AB＝13，BC ＝12，AC ＝5，∴AB2＝BC2＋AC2， ∴∠C＝90°，∴AB 为△ABC 的外接圆的直径， ∴△ABC 的外接圆的半径r 为6.5. 2.等腰三角形例2．已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC=10，BC ＝12，求△ABC 外接圆⊙O 的半径r.分析：利用等腰三角形的对称性，相似三角形的相关知识解题. 解：作直径AD 交BC 于点E ，交圆于点D ，连接BD.∴∠ABD=90°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C， ∵∠C=∠D，∴∠ABC=∠D.∵∠BAE=∠DAB，∴△ABE∽△ADB, ∴∠AEB=∠ABD=90°，∴BE=CE=6.∴AE=822=-BE AB .∵△ABE∽△ADB，∴AB AEAD AB =∴1881222===AE AB AD ,∴△ABC 外接圆⊙O 的半径r 为9. 二、一般三角形 1.已知一角和它的对边 ⑴锐角三角形例3.已知：如图，在△ABC 中，AB ＝10圆⊙O 的半径r.分析：利用直径构造含已知边AB 的直角三角形. 解：作直径AD ，连结BD.∴∠D＝∠C＝＝60°，∠DBA＝90°.∴AD＝Dsin AB＝︒60sin 10＝3320∴△ABC 外接圆⊙O 的半径r 为3310.⑵钝角三角形例4.在△ABC 中，AB ＝10，∠C＝100°，求△ABC 外接圆⊙O 的半径r.<用三角函数表示） 分析：方法同例3.解：作直径BD ，连结AD.则∠D＝180°－∠C＝80°，∠BAD＝90°∴BD＝D sin AB＝︒80sin 10∴△ABC 外接圆⊙O 的半径r 为︒80sin 5.注：已知两边和其中一边的对角，以及已知两角和一边，都可以利用本题的方法求出三角形的外接圆的半径. 2.已知两边夹一角例5．已知：如图，在△ABC 中，AC ＝2，BC ＝3，∠C＝60°，求△ABC 外接圆⊙O 的半径r.分析：考虑求出AB ，然后转化为⑴的情形解题. 解：作直径AD ，连结BD.作AE⊥BC，垂足为E.则∠DBA＝90°，∠D＝∠C＝60°，CE ＝21AC ＝1，BE ＝BC －CE ＝2，AB ＝22BE AE +＝7∴AD＝Dsin AB＝︒60sin 7＝2132∴△ABC 外接圆⊙O 的半径r 为2131.3.已知三边例6.已知：如图，在△ABC 中，AC ＝13，BC ＝14，AB ＝15，求△ABC 外接圆⊙O 的半径r.分析：作出直径AD ，构造Rt△ABD.只要求出△ABC 中BC 边上的高AE ，利用相似三角形就可以求出直径解：作直径AD ，连结BD.作AE⊥BC，垂足为E.则∠DBA＝∠CEA＝90°，∠D＝∠C ∴△ADB∽△ACE，∴ABAEAD AC =设CE ＝x,∵AC2-CE2＝AE2＝AB2-BE2，∴132-x2＝152-(14-x>2 ∴x=5,即CE ＝5，∴AE＝12 ∴151213=AD ，∴AD＝465∴△ABC 外接圆⊙O 的半径r 为865.4.已知两边及第三边上的高例7.已知：如图，在△ABC 中，AB ＝7，AC ＝6，AD⊥BC，且AD=5，求△ABC 外接圆⊙O 的半径r.p1EanqFDPw 分析：作出直径AE ，构造Rt△ABE，利用相似三角形就可以求出直径AE.解：连接AO 并延长交圆于点E ，连接BE ， 则∠ABE＝90°. ∵∠E＝∠C，∠ABE＝∠ADC＝90°， ∴Rt△ABE∽Rt△ADC， ∴AC AEAD AB =，∴657AE =， ∴AE=542.总之，只要通过边、角能确定三角形，就可以借鉴上面的方法求出这个三角形的外接圆的半径.另一种求法：AD 是△ABC 的高，AE 是△ABC 的外接圆直径．求证AB·AC＝AE·AD．即：三角形外接圆的直径等于两边的乘积除以第三边上的高所得的商．例1 如图1，已知等腰三角形的腰长为13cm，底边长为10cm，求它的外接圆的半径．解由题意知三角形底边上的高为解从A作AM⊥BC于M，则AD2－MD2＝AM2＝AC2－(MD＋CD>2．即 52－MD2＝72－(MD＋3>2．得R＝14，则△ABC外接圆面积S＝πR2＝196π．例3如图3，已知抛物线y＝x2－4x＋h的顶点A在直线y＝－4x－1上，求①抛物线的顶点坐标；②抛物线与x轴的交点B、C的坐标；③△ABC的外接圆的面积．解①A(2，－9>；②B(－1，0>； C(5， 0>．③从A作AM⊥x轴交于M点，则BM＝MC＝3．AM ＝9．∴R＝5△ABC外接圆面积S＝πR2＝25π在锐角△ABC中，BC＝a、CA＝b、AB＝c，外接圆半径为R．因此，知道一个锐角和它的对边时，即可用此法求出三角形的外接圆半径，如：例4 如果正三角形的外接圆半径为6cm，那么这个正三角形的边长a＝______cm．解∵正三角形每一个内角为60°．例5 已知等腰三角形ABC的底边BC的长为120°，求它的外接圆的直径．(课本题>解由题意知：探求三角形的内切圆半径一、任意三角形外接圆半径设三角形各边边长分别为a,b,c外接圆半径为R，<如右图所示）则βαβαβαsin sin cos cos 2)cos(222-=-+=+ab c b a<余弦定理）而R bR b22cos ==α，R b R 4sin 22-=αR aR a22cos ==β，R a R 4sin 22-=β即有：=-+ab c b a 2222R a R R b R R a R b 44222222-⋅--⋅即有：222222222)4)(4(R a R b R ab ab c b a ---=-+所以：)4)(4()(222222222a Rb R abc b a R ab --=-+-即有：2222242222422222)(416)(4)(4)(b a R b a R ab c b a R c b a R ab ++-=-++-+-所以：])(4[222222ab c b a R c -+-=，即：])(4[2222222222c b a b a R c b a -+-= 所以：))()()((a c b b c a c b a c b a abcR -+-+-+++=而三角形面积：))()()((4a c b b c a c b a c b a S -+-+-+++=<海伦公式） 所以，有：S abcR 4=※ 另一求法，可用正弦定理，即：RA a2sin =，而bc a c b A 2cos 222-+=所以：22222222222)(4)2(12)(cos 12sin 2a c b c b abcbca cb aA aA a R -+-=-+-=-==二、任意三角形内切圆的半径 设三角形各边边长分别为a,b,c 内切圆半径为r ，<如右图所示）因为内切圆的圆心为各角的角平分线的交点， 所以，会有⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+c z y b y x a z x ，解得2c b a x -+=显然：αtan x r =，而ααααα2cos 1)2(cos 12cos 12sin tan 2+-=+= 而由余弦定理有：ab c b a 22cos 222-+=α所以：))(()()(4)2(1tan 222222222222c b a c b a c b a ab c b a abc b a -+++-+-=-+-+-=α即有:r 即：r =申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。
三角形外接圆与内切圆半径求法
三角形外接圆与内切圆半径求法-CAL-FENGHAL-{YICAI)-Company One 1三角形的外接圆与内切圆半径的求法一、求三角形的外接圆的半径1、直角三角形如果三角形是直角三角形，那么它的外接圆的直径就是宜角三角形的斜边. 例 1 已知：在ZkABC 中，AB = 13. BC = 12, AC=5 求△ABC的外接圆的半径.解：7AB = 13. BC = 12. AC=5,.•.AB2=BC2 + AC2,/. ZC=90"..•■AB为△ABC的外接圆的直径，AABC的外接圆的半径为.2、一般三角形①已知一角和它的对边例 2 如图，在△ABC 中，AB = 10, ZC = 100^ , 求△ABC外接圆©O的半径.（用三角函数表示）分析：利用直径构造含已知边AB的直角三角形. 解：作直径BD,连结AD.则 ZD = 180" -ZC=80° , ZBAD=90°「.BD=如=旦sinD sin 80°••• △ABC外接圆OO的半径为二一.sin 80。
注：已知两边和其中一边的对角，以及已知两角和一边，都可以利用本题的方法求出三角形的外接圆的半径.例 3 如图，已知，在△ABC 中，AB=10r ZA=70° , ZB=50°求△ABC外接圆＜DO的半径.分折：可转化为①的情形解题.解：作直径AD,连结BD.则ZD=ZC=180° -ZCAB-ZBAC=60° ,乙DBA=90°sinD sin 60° 3••• AABC外接圆OO的半径为y75 • ②已知两边夹一角例 4 如图，已知，在△ABC 中，AC=2, BC=3, ZC=60°求△ABC外接圆©O的半径.分析：考虑求出AB,然后转化为①的情形解题.解：作直径AD,连结BD.作AE丄BC,垂足为E,则ZDBA=9O。
三角形内切球的半径公式
三角形内切球的半径公式
三角形内切球的半径公式是一个与三角形面积和边长有关的公式。
设三角形的边长分别为a、b、c，面积为S，外接圆的半径为R，内切圆的半径为r，那么内切圆的半径r = S/s（s为半周长，s=（a+b+c）/2）。
此外，根据海伦公式，可求出三角形的面积S，公式为S = √[s(s-a)(s-b)(s-c)]。
将海伦公式代入内切圆半径的公式中，可得r = √[(s-a)(s-b)(s-c)/s]。
这是求解三角
形内切圆半径的一个常用方法。
同时，在具体的应用中，还需要针对三角形的具体类型（如等边三角形、直角三角形等）采取不同的求解方法。
例如，对于等边三角形，其内切圆半径r = a√3 / 6，其中a为三角形的边长。
另外，根据三角形的边角关系，亦可以推导出一种更通用的内切圆半径的公式：r = 4RsinA/2sinB/2sinC/2，其中A、B、C分别为三角形的三个内角，R为三角形的外接圆半径。
值得注意的是，在具体计算时，要确保所有的计算都在合理的范围内进行，以避免出现数学错误。
总的来说，求解三角形内切圆半径的公式既考验了解题者的基础知识水平，也考察了解题者的综合运用能力。
任意三角形外接圆半径、内切圆半径的求法及通用公式(参照分析)
一、任意三角形外接圆半径设三角形各边边长分别为a,b,c 外接圆半径为R ，（如右图所示）则βαβαβαsin sin cos cos 2)cos(222-=-+=+abc b a （余弦定理）而R bR b22cos ==α，Rb R 4sin 22-=αRaR a22cos ==β，Ra R 4sin 22-=β 即有：=-+ab c b a 2222Ra R Rb R R a R b 44222222-⋅--⋅ 即有：222222222)4)(4(Ra Rb R ab abc b a ---=-+ 所以：)4)(4()(222222222a Rb R abc b a R ab --=-+- 即有：2222242222422222)(416)(4)(4)(b a R b a R abc b a R c b a R ab ++-=-++-+- 所以：])(4[222222abc b a R c -+-=，即：])(4[2222222222c b a b a R c b a -+-= 所以：))()()((a c b b c a c b a c b a abcR -+-+-+++=而三角形面积： ))()()((4a c b b c a c b a c b a S -+-+-+++= （海伦公式） 所以，有：SabcR 4=※ 另一求法，可用正弦定理，即：R Aa2sin =，而bc a c b A 2cos 222-+=所以：22222222222)(4)2(12)(cos 12sin 2a c b c b abcbca cb aA aA a R -+-=-+-=-==abcRαβ二、任意三角形内切圆的半径 设三角形各边边长分别为a,b,c 内切圆半径为r ，（如右图所示）因为内切圆的圆心为各角的角平分线的交点， 所以，会有⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+cz y b y x az x ，解得2c b a x -+= 显然：αtan x r =，而ααααα2cos 1)2(cos 12cos 12sin tan 2+-=+= 而由余弦定理有：abc b a 22cos 222-+=α所以：))(()()(421)2(1tan 222222222222c b a c b a c b a ab abc b a ab c b a -+++-+-=-++-+-=α即有:)(2)()(4))(()()(422222222222c b a c b a ab c b a c b a c b a ab c b a r ++-+-=-+++-+-⋅-+=即：cb a Sc b a S c b a a c b b c a c b a c b a r ++=++=++-+-+-+++=2)(24)(2))()()(( x ab c Rαα x y yzzr。
任意三角形外接圆半径、内切圆半径的求法及通用公式.doc
任意三角形外接圆半径、内切圆半径的求法及通用公式一、任意三角形外接圆半径设三角形各边边长分别为a,b,c外接圆半径为R,（如右图所示）a2 b2 c2cos cos sin sin 则 cos( ) 2ab (余弦定理) bb 而 cos , sin R2Raa cos , sin R2Rb22R 4 Ra2R 4 R22b2a22R R a2 b2 c2ba44 即有： 2ab2R2RRR2222a2 b2 c2ab (4R b) (4R a)即有： ab2R2)(4R2 b2) (4R2 a2)所以：ab 2R(ab2a2 b2 c22) 16R4 4(a2 b2)R2 a2b2 即有：(ab) 4R(a b c) 4R(ab222224a2 b2 c22)],即：a2b2c2 R2[4a2b2 (a2 b2 c2)2]所以：c R[4 (ab22所以：R abc(a b c) (a b c) (a c b) (b c a)而三角形而积：4S a b c) (a b c) (a c b) (b c a)(海伦公式)所以, 有:R abc 4Sab2 c2 a22R,而cosA 另一求法,可用正弦定理,B|J： sinA2bc所以：R aa 22sinA2 (cosA)ab2 c2 a222 ()2bc abc4b2c2 (b2 c2 a2)2二、任意三角形内切圆的半径设三角形各边边长分别为a, b, c内切圆半径为r,(如右图所示)因为内切圆的圆心为各角的角平分线的交点，所以，会有x z aa b c x y bx ,解得 2 y z c (cos2 )2sin2 显然：r xtan ,而 tan 1 cos2 1 cos2a2 b2 c2而由余弦定理有：cos2 2ab21 () 2ab所以：tan (a b c) (a b c)222a b cl 2ab4(ab)2 (a2 b2 c2)2222224 (ab)2 (a2 b2 c2)2a b c4(ab) (a b c)即有：r2 (a b c) (a b c)2(a b c)2 (a b c)2(a b c)a b c即：r (a b c) (a b c) (a c b) (b c a)4S2S。
计算三角形的外接圆半径和内切圆半径之比
计算三角形的外接圆半径和内切圆半径之比在数学中，三角形是一个基础的几何形状，它由三条线段组成，形成了一个闭合的图形。
而围绕三角形的圆也是一个常见的几何概念，它们可以分为外接圆和内切圆。
本文将探讨如何计算三角形的外接圆半径与内切圆半径之间的比例关系。
一、外接圆外接圆是一个与三角形相切于三个顶点的圆。
它的半径可以用以下公式来计算：r = a / (2sinA)其中，r代表外接圆的半径，a代表三角形的边长，A代表三角形的内角。
在这个公式中，我们可以观察到，外接圆的半径与三角形的边长成正比，与三角形的内角的正弦函数成反比。
二、内切圆内切圆是一个与三角形的三条边相切的圆。
它的半径可以用以下公式来计算：r = A / (s-p)其中，r代表内切圆的半径，A代表三角形的面积，s代表三角形的半周长，p代表三角形的周长的一半。
在这个公式中，我们可以观察到，内切圆的半径与三角形的面积成正比，与三角形的半周长与周长之差的比例成反比。
三、比例关系现在我们来计算三角形的外接圆半径与内切圆半径之间的比例关系。
假设三角形的边长为a，内角为A，面积为S，半周长为s，周长为p。
根据上述公式，可以得到以下关系式：r_outer = a / (2sinA)r_inner = S / (s-p)因此，将这两个公式联立，可以得到比例关系：r_outer / r_inner = (a / (2sinA)) / (S / (s-p))简化之后可得：r_outer / r_inner = a(s-p) / (2sinA * S)综上所述，我们可以通过计算三角形的边长、内角、面积、半周长和周长之差，来求解三角形的外接圆半径与内切圆半径之间的比例关系。
这个比例关系提供了有关三角形形状和尺寸的重要信息，有助于我们深入了解三角形的性质和特征。
这篇文章综合运用了数学知识和公式来解释了三角形的外接圆半径与内切圆半径之间的比例关系。
希望通过这篇文章，读者能更好地理解和应用这一数学概念。
三角形外接圆与内切圆的性质解析
三角形外接圆与内切圆的性质解析三角形是几何学中最基本的图形之一，而三角形内接圆和外接圆则是与三角形密切相关的圆形。
本文将对三角形外接圆与内切圆的性质进行解析，以便更好地理解三角形的几何特征。
一、三角形外接圆的性质1. 外接圆的定义在一个三角形中，如果某个圆的圆心与三角形的三个顶点都在一条直线上，且圆的半径与三角形的三条边相等，那么这个圆就是三角形的外接圆。
2. 外接圆的圆心对于任意一个三角形ABC，它的外接圆的圆心O位于三角形的外心上，即外心是三角形三个顶点到外接圆圆心的垂直平分线的交点。
3. 外接圆的直径三角形的外接圆的直径等于三角形的最长边，因此可以通过测量三角形的三条边的长度，选取最长的一条作为外接圆的直径。
4. 外接圆的切线外接圆与三角形的每一条边都有且只有一条切线，且切线与三角形的边相切于切点，这样的切点三个分别位于三角形的三条边上。
二、三角形内切圆的性质1. 内切圆的定义在一个三角形中，如果某个圆的圆心位于三角形的内部，并且这个圆的切点分别位于三角形的三条边上，那么这个圆就是三角形的内切圆。
2. 内切圆的圆心三角形的内切圆的圆心位于三角形的内心上，即内心是三角形三个角的角平分线的交点。
3. 内切圆的半径三角形的内切圆的半径等于三角形的周长除以2倍的三角形的面积，即r = S / p，其中r为内切圆的半径，S为三角形的面积，p为三角形的周长。
4. 内切圆的切点内切圆与三角形的每一条边都有且只有一个切点，这样的切点三个分别位于三角形的三条边的中点。
三、内接圆与外接圆之间的关系1. 欧拉公式对于任意一个三角形ABC，它的三个特殊圆（内切圆、外接圆和垂径圆）的圆心O、I、H分别位于一条直线上，并且满足OI = 2IH，即内接圆的圆心到外接圆的圆心的距离是内接圆的半径的两倍。
2. 欧拉线欧拉线是连接三角形的几何中心的一条直线。
对于任意一个三角形ABC，连接内心I、外心O和垂心H的直线构成的直线就是欧拉线。
三角形的外接圆半径和内切圆半径
作业：
1、习题8d 1、3、4、 9、10
a
b
c
2 sin A 2sin B 2sin C R
三角形的内切圆
如图 圆O是 ABC 的内切圆的半径为r，则
= OBC+ OAC+ OAB
A
111
= ar br cr s( sa)(sb)( sc)
222
c
1
rr
= r(abc) s( sa)( sb)( sc)
8.5三角形的外接圆和内切圆
一、三角形的外接圆与内切圆的画法：
1、什么是三角形的外接圆与内 切圆？2、如何画出一个三角形 的外接圆与内切圆？
1、①经过三角形各顶点的圆叫 三角形的外接圆。
②与三角形各边都相切的圆 叫三角形的内切圆。
一、三角形的外接圆与内切圆的画法：
画圆的关键：
1、确定圆心 2、确定半径
rr Or
a
b C
巩固练习：
1、如图，△ABC中，∠A=55度， I是内心
则，∠BIC＝—1—17—.5—度。
B
B+C=180 55 125 BIC 180 B+C
2 =180 125
2 =117.5
A
I C
巩固练习： 2、如图，△ABC中， ∠A=55度，其内切圆切 △ABC 于D、E、F，则 ∠FDE＝——62—.5—度。
C
A 900
三角形的外接圆
设 ABC 的外接圆的半径为R，则 A
当A 900，过B作直径交于D
C
三角形的内切圆和外接圆
三角形的内切圆和外接圆-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1三角形外接圆半径的求法及应用 方法一：R ＝ab/(2h)三角形外接圆的直径等于两边的乘积除以第三边上的高所得的商。
AD 是△ABC 的高，AE 是△ABC 的外接圆直径．求证 AB ·AC ＝AE ·AD ． 证：连接AO 并延长交圆于点E ，连接BE ， 则∠ABE ＝90°.∵∠E ＝∠C ， ∠ABE ＝∠ADC ＝90°， ∴Rt △ABE ∽Rt △ADC ，∴ACAE ADAB ，∴ AB ·AC ＝AE ·AD方法二：2R ＝a/SinA ，a 为∠A 的对边在锐角△ABC 中，外接圆半径为R 。
求证： 2R ＝AB/SinC 证：连接AO 并延长交圆于点E ，连接BE ， 则∠ABE ＝90°. ∴AE ＝AB/SinE ∵∠C ＝∠E ，SinC ＝SinE∴AE ＝AB/SinC∴2R ＝AB/SinC若C 为钝角，则SinC ＝Sin （180o －C ）应用一、已知三角形的三边长，求它的外接圆的半径。
例1 已知：如图，在△ABC 中，AC ＝13，BC ＝14，AB ＝15，求△ABC 外接圆⊙O 的半径r.分析：作出直径AD ，构造Rt △ABD.只要求出△ABC 中BC 边上的高AE ，用方法一就可以求出直径AD. 解：作AE ⊥BC ，垂足为E.设CE ＝x, ∵AC 2-CE 2＝AE 2＝AB 2-BE 2 ，∴132-x 2＝152-(14-x)2∴x=5,即CE ＝5，∴AE ＝12 R ＝ab/(2h)=13x15/(2x12)=65/8ABCODE∴△ABC 外接圆⊙O 的半径r为865. 例2 已知：在△ABC 中，AB ＝13，BC ＝12，AC ＝5，求△ABC 的外接圆的半径R.分析：通过判定三角形为直角三角形，易求得直角三角形外接圆的直径等于斜边。
三角形的外接圆与内切圆
三角形的外接圆与内切圆在几何学中，三角形是最基本的图形之一。
在研究三角形属性时，我们常常会遇到外接圆和内切圆这两个重要的概念。
本篇文章将详细探讨三角形的外接圆与内切圆，包括它们的定义、性质以及相关定理等内容。
一、外接圆1. 定义：三角形的外接圆是能够完全包围该三角形的一个圆，使得该圆的圆心与三角形的顶点在一条直线上。
换句话说，外接圆的直径等于三角形的三条边的其中一个边所对的角的边。
外接圆也被称为三角形的园外接圆。
2. 性质：（1）外接圆的圆心与三角形的顶点在一条直线上，这条直线叫做欧拉直线；（2）外接圆的半径等于三角形任意一条边的弦长的一半；（3）外接圆的直径等于三角形的某一条边的边长；（4）外接圆的周长等于三角形的周长。
3. 相关定理：（1）圆周角定理：对于三角形的外接圆，其圆周角等于其所对的弦对应的角；（2）中线定理：三个边上的中线交于一点，且此点到三角形的顶点的距离等于外接圆半径的一半；（3）外心定理：三角形的外接圆的圆心就是三条中垂线的交点。
二、内切圆1. 定义：三角形的内切圆是与该三角形的三条边都相切的一个圆，也就是说，内切圆的切点分别位于三角形的三条边上。
内切圆也被称为三角形的园内切圆。
2. 性质：（1）内切圆的圆心位于三角形的重心、内心、垂心的连线上；（2）内切圆的半径等于三角形的面积除以半周长；（3）内切圆的半径等于三角形的三边距离之差的一半；（4）内切圆的半径是三角形内角平分线的交点到三边的距离之积的比值。
3. 相关定理：（1）切线定理：对于三角形的内切圆，从切点到对角顶点的线段相互平行；（2）切线长度定理：切点到对边的距离等于三角形周长的一半。
综上所述，三角形的外接圆与内切圆在几何学中具有重要的地位和性质。
通过研究它们的定义、性质和相关定理，我们可以更深入地理解三角形的特性，运用它们解决实际问题，甚至在其他数学领域中进行应用。
因此，在学习几何学时，对于三角形的外接圆与内切圆的研究是不可或缺的一部分。
推导三角形的外接圆半径和内切圆半径的关系
推导三角形的外接圆半径和内切圆半径的关系三角形是几何中的基本图形之一，研究三角形的性质有助于深入理解几何学的基本原理。
其中，外接圆和内切圆是常见的与三角形相关联的圆形。
一、外接圆的定义和性质在三角形ABC中，如果可以找到一个圆使得该三角形的三条边恰好都与该圆相切或者都交于圆上的某一点O，则称该圆为三角形的外接圆，该圆的半径称为外接圆半径。
我们先研究外接圆的性质，以便更好地理解外接圆与内切圆之间的关系。
1. 外接圆的存在性：任意三角形都存在外接圆。
2. 外接圆的唯一性：对于同一个三角形，其外接圆是唯一的。
3. 外接圆的特点：外接圆的圆心是三角形的外心，三角形的三条边与外接圆的切点形成的切线长度相等。
二、内切圆的定义和性质在三角形ABC中，如果可以找到一个圆使得该圆的圆心与三角形的三条边上的切点都重合在一点I上，则称该圆为三角形的内切圆，该圆的半径称为内切圆半径。
现在，我们来研究三角形的内切圆与外接圆之间的关系。
三、三角形外接圆与内切圆的关系推导设三角形ABC的外接圆的圆心为O，半径为R；内切圆的圆心为I，半径为r。
定理1：三角形的内心，垂心和外心共线。
定理2：内切圆的圆心I、外接圆的圆心O和三角形的顶点A共线，并且IO与AI垂直。
基于定理1和定理2，我们可以推导出内切圆半径和外接圆半径的关系。
定理3：AI⊥OI。
证明：由于AOI是三角形AOB的内角，AOB的外角是AOB对应的圆周角。
根据圆周角的性质可知，圆周角的两边和圆心连线所夹的角等于360度。
故有AOI+AOB=360度。
又根据直角定义得AOB=90度。
因此，AOI=360-90=270度。
而AIO是直角三角形AIO的角，故AI⊥OI。
根据定理3的结论，我们可以得到下面的定理4：定理4：OI⊥BC。
证明：由定理1和定理2可知，内切圆的圆心I、外接圆的圆心O和三角形顶点A共线，且IO与AI垂直。
又根据向内切，BC也与IO相切，所以有OI⊥BC。
外接圆和内切圆的半径公式
外接圆和内切圆的半径公式在数学中，圆是一种非常基础的几何图形，它具有许多重要的性质和应用。
在圆的研究中，外接圆和内切圆是两个非常重要的概念。
本文将介绍外接圆和内切圆的半径公式。
一、外接圆的半径公式外接圆是指一个圆恰好可以通过一个三角形的三个顶点，也就是说，这个圆的圆心在三角形的外面。
外接圆的半径公式是：$$R=\frac{abc}{4S}$$其中，$a$、$b$、$c$分别是三角形的三条边的长度，$S$是三角形的面积，$R$是外接圆的半径。
这个公式的证明可以通过利用勾股定理和正弦定理来完成。
具体来说，我们可以先利用勾股定理求出三角形的高，然后再利用正弦定理求出外接圆的半径。
最终，我们可以得到上述的公式。
二、内切圆的半径公式内切圆是指一个圆恰好可以与一个三角形的三条边相切，也就是说，这个圆的圆心在三角形的内部。
内切圆的半径公式是：$$r=\frac{2S}{a+b+c}$$其中，$a$、$b$、$c$分别是三角形的三条边的长度，$S$是三角形的面积，$r$是内切圆的半径。
这个公式的证明可以通过利用海龙公式和面积公式来完成。
具体来说，我们可以先利用海龙公式求出三角形的半周长，然后再利用面积公式求出内切圆的面积，最终再利用圆的面积公式求出内切圆的半径。
最终，我们可以得到上述的公式。
三、应用举例外接圆和内切圆的半径公式在实际应用中有着广泛的应用。
例如，在建筑设计中，我们需要计算建筑物的外形和结构，而这些都需要用到三角形的面积和外接圆的半径。
另外，在机械制造中，我们需要计算零件的尺寸和形状，而这些也需要用到内切圆的半径。
举个例子，假设我们需要制作一个三角形的外接圆，我们可以先利用上述的公式计算出外接圆的半径，然后再根据半径和圆心的位置来确定圆的位置和大小。
同样地，如果我们需要制作一个三角形的内切圆，我们也可以利用上述的公式计算出内切圆的半径，然后再根据半径和圆心的位置来确定圆的位置和大小。
外接圆和内切圆的半径公式是数学中非常重要的概念，它们在实际应用中有着广泛的应用。
三角形的内切圆与外接圆
三角形的内切圆与外接圆三角形是几何学中最基本的图形之一，而与三角形相关的内切圆和外接圆是三角形内部和外部特殊的圆。
本文将介绍三角形的内切圆和外接圆的定义、性质以及求解方法。
一、内切圆内切圆是与三角形的三条边都相切的圆，它的圆心与三角形的三条边的交点共线，且圆心到三角形的三条边的距离相等。
内切圆的半径称为内切圆半径，内切圆半径的求解可以通过三角形的边长来计算。
设三角形的三条边长分别为a、b、c，半周长为s，内切圆半径r的计算公式如下：r = sqrt((s-a)(s-b)(s-c)/s)其中，sqrt表示开平方根运算。
二、外接圆外接圆是能够完全包围三角形的圆，它的圆心位于三角形的三条边的垂直平分线的交点上。
外接圆的半径称为外接圆半径，外接圆半径的求解可以通过三角形的边长来计算。
设三角形的三条边长分别为a、b、c，外接圆半径R的计算公式如下：R = (a*b*c)/(4*Δ)其中，Δ表示三角形的面积。
三、性质1. 内切圆与三角形的三条边相切，且圆心和三条边的交点共线。
2. 外接圆的圆心位于三角形的三条边的垂直平分线的交点上。
3. 内切圆的半径r满足r = sqrt((s-a)(s-b)(s-c)/s)，其中s为三角形半周长。
4. 外接圆的半径R满足R = (a*b*c)/(4*Δ)，其中Δ为三角形的面积。
四、应用1. 内切圆和外接圆常用于计算三角形的性质和求解三角形的相关问题，例如三角形的面积、周长等。
2. 内切圆和外接圆可以帮助确定三角形的形状和位置，进一步研究三角形的几何性质。
3. 内切圆和外接圆在工程、建筑、地理等领域中有广泛的应用，例如地图绘制、建筑设计等。
五、总结本文介绍了三角形的内切圆和外接圆的定义、性质以及求解方法。
内切圆和外接圆是三角形内部和外部特殊的圆，它们在几何学和实际应用中有重要的地位。
深入理解和应用内切圆和外接圆的概念，可以帮助我们更好地研究和解决与三角形相关的问题。
三角形的外接圆与内切圆
三角形的外接圆与内切圆三角形是几何学中最基本的图形之一。
它由三条线段组成，且任意两边之和大于第三边。
在三角形的研究中，外接圆和内切圆是重要的概念。
一、外接圆外接圆是指能通过三角形的三个顶点构成的圆，它的圆心位于三角形外部，但与三角形的每一条边都相切。
在研究外接圆时，我们首先需要了解外接圆的性质。
根据外接圆的定义，我们可以得到以下结论：1. 外接圆的半径等于三角形三条边的中线的乘积除以四倍三角形的面积。
这是外接圆半径的一个重要计算公式。
2. 三角形的三条高线的交点即为外接圆的圆心。
这意味着圆心是三角形三个顶点的垂直平分线的交点。
3. 外接圆的直径等于三角形的周长。
有了这些性质，我们可以利用它们来解决一些与外接圆相关的问题。
比如，我们可以通过外接圆的半径和圆心，求解三角形的面积。
我们还可以利用外接圆与三角形边的关系，推导出其他几何问题的解决方法。
外接圆的研究不仅能帮助我们深入理解三角形的特性，还可以为其他几何形状的研究提供一些启示。
二、内切圆与外接圆相反，内切圆是指能够与三角形的三条边相切的圆，它的圆心位于三角形的内部。
内切圆也有一些重要的性质：1. 内切圆的半径等于三角形的面积除以半周长。
这也是内切圆半径的计算公式。
2. 内切圆的圆心位于三角形三条角平分线的交点。
这说明圆心是三个顶点的角平分线的交点。
内切圆与外接圆一样，可以用来解决一些几何问题。
通过内切圆和三角形的关系，我们可以推导出一些有关三角形的性质。
例如，我们可以利用内切圆半径和圆心的位置，求解三角形的高和角平分线的长度。
三、外接圆与内切圆的关系外接圆和内切圆是三角形内在的两个圆，它们之间存在一些有趣的关系。
首先，外接圆的直径等于内切圆的半径的两倍。
这是因为内切圆的圆心与三角形的三个顶点相辐，而外接圆的圆心位于三角形三个顶点的角平分线的交点。
根据角的性质，我们可以得知外接圆的直径等于内切圆的半径的两倍。
其次，外接圆和内切圆的圆心与三角形的关系也非常特殊。
三角形外接圆与内切圆半径求法
三角形的外接圆与内切圆半径的求法一.求三角形的外接圆的半径 1.直角三角形假如三角形是直角三角形,那么它的外接圆的直径就是直角三角形的斜边.例1已知：在△ABC 中,AB ＝13,BC ＝12,AC ＝5 求△ABC 的外接圆的半径. 解：∵AB ＝13,BC ＝12,AC ＝5, ∴AB 2＝BC 2＋AC 2, ∴∠C ＝90°,∴AB 为△ABC 的外接圆的直径, ∴△ABC 的外接圆的半径为. 2.一般三角形①已知一角和它的对边例2如图,在△ABC 中,AB ＝10,∠C ＝100°,求△ABC 外接圆⊙O 的半径.剖析：应用直径结构含已知边AB 解：作直径BD,贯穿连接AD.则∠D ＝180°－∠C ＝80°,∠BAD ＝90° ∴BD ＝Dsin AB＝︒80sin 10∴△ABC 外接圆⊙O 的半径为︒80sin 5.注：已知双方和个中一边的对角,以及已知两角和一边,都可以应用本题的办法求出三角形的外接圆的半径.例3如图,已知,在△ABC 中,AB ＝10,∠A ＝70°求△ABC 外接圆⊙O 的半径.剖析：可转化为①的情况解题. 解：作直径AD,贯穿连接BD.则∠D ＝∠C ＝180°－∠CAB －∠BAC ＝60°,∠DBA ＝90°∴AD ＝Dsin AB＝︒60sin 10＝3320∴△ABC 外接圆⊙O 的半径为3310.②已知双方夹一角例4如图,已知,在△ABC 中,AC ＝2,BC ＝3,∠C ＝求△ABC 外接圆⊙O 的半径.剖析：斟酌求出AB,然后转化为①的情况解题. ⊥BC,垂足为E.则∠DBA ＝90°,∠D ＝∠C ＝60°,CE ＝21AC ＝1,AE ＝3,BE ＝BC －CE ＝2,AB ＝22BE AE +＝7∴AD ＝Dsin AB ＝︒60sin 7＝2132∴△ABC 外接圆⊙O 的半径为2131.③已知三边例5如图,已知,在△ABC 中,AC ＝13,BC ＝14,AB ＝15 求△ABC 外接圆⊙O 的半径.剖析：作出直径AD,结构Rt △△ABC 中BC 边上的高AE,应用类似三角形就可以求出直径AD.⊥BC,垂足为E.则∠DBA ＝∠CEA ＝90°,∠D ＝∠C ∴△ADB ∽△ACE ∴AB AEAD AC =设CE ＝x,∵AC 2-CE 2＝AE 2＝AB 2-BE 2∴132-x 2＝152-(14-x)2x=5,即CE ＝5∴AE ＝12 ∴1512AD 13= AD ＝465∴△ABC 外接圆⊙O 的半径为865.二.求三角形的内切圆的半径 1.直角三角形例6已知：在△ABC 中,∠C ＝90°,AC ＝b,BCc 求△ABC 外接圆⊙O 的半径.⊙O 的半径为r,则CD=CE=r,BD=a-r,AE=b-r, ∴(a -r)+(b-r)=c,∴r=2cb a -+,即△ABC外接圆⊙O的半径为2cb a -+.2.一般三角形 ①已知三边例7已知：如图,在△ABC 中,AC ＝13,BC ＝14,AB ＝15 求△ABC 内切圆⊙O 的半径r.剖析：斟酌先求出△ABC 的面积,再应用“面积桥”,从而求出内切圆的半径.解：应用例5的办法,或应用海伦公式S △＝)c s )(b s )(a s (s ---(个中s=2c b a ++)可求出S △ABC ＝84,从而21AB •r+21BC•r+21AC•r=84,B∴r=4②已知双方夹一角 例8已知：如图,在△ABC 中,cotB ＝34,AB ＝求△ABC 内切圆⊙O 的半径r.剖析：斟酌先经由过程解三角形,求出△ABC 的面积及AC的长,再应用“面积桥”,从而求出内切圆的半径.解：作△ABC 的高AD.解直角三角形可得AD ＝3,CD ＝2,AC ＝13,因为21AB •r+21BC•r+21AC•r=21BC•AD, 可求得r=61311③已知两角夹一边例9已知：如图,在△ABC 中,∠B ＝60°,∠C ＝求△ABC 内切圆⊙O 的半径r.(准确到0.1) 剖析：思绪办法同上,读者可完成.总之,只要经由过程边.角能肯定三角形,就可以借鉴上面的办法求出这个三角形的外接圆和内切圆的半径.。
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一、任意三角形外接圆半径
设三角形各边边长分别为a,b,c 外接圆半径为R ，（如右图所示）
则βαβαβαsin sin cos cos 2)cos(2
22-=-+=
+ab
c b a
（余弦定理）
而R b
R b
22cos ==α，R b R 4sin 22
-
=
α R
a
R a
22cos ==β，R
a R 4sin 2
2
-
=
β 即有：=-+ab c b a 2222R
a R R
b R R a R b 442222
22
-
⋅
--⋅ 即有：2
22222222)
4)(4(R a R b R ab ab c b a ---=
-+ 所以：)4)(4()(
222222
222
a R
b R ab
c b a R ab --=-+- 即有：2222242
2224
2
2
2
2
2
)(416)(
4)(4)(b a R b a R ab
c b a R c b a R ab ++-=-++-+- 所以：])(
4[2
2222
2
ab
c b a R c -+-=，即：])(4[2222222222c b a b a R c b a -+-= 所以：)
)()()((a c b b c a c b a c b a abc
R -+-+-+++=
而三角形面积： ))()()((4a c b b c a c b a c b a S -+-+-+++= （海伦公式） 所以，有：S
abc
R 4=
※ 另一求法，可用正弦定理，即：R A
a
2sin =，而bc a c b A 2cos 222-+=
所以：
2
222222
2222)(4)
2(12)
(cos 12sin 2a c b c b abc
bc
a c
b a
A a
A a R -+-=
-+-=
-==
二、任意三角形内切圆的半径 设三角形各边边长分别为a,b,c 内切圆半径为r ，（如右图所示）
因为内切圆的圆心为各角的角平分线的交点， 所以，会有
⎪⎩
⎪
⎨
⎧=+=+=+c
z y b y x a
z x ，解得2c b a x -+= 显然：αtan x r =，而α
ααα
α2cos 1)2(cos 12cos 12sin tan 2+-=
+= 而由余弦定理有：ab
c b a 22cos 2
22-+=α
所以：)
)(()()(421)
2(1tan 2
22222222
222c b a c b a c b a ab ab
c b a ab c b a -+++-+-=-++
-+-=α
即有:)
(2)()(4))(()
()(422
22222
2222c b a c b a ab c b a c b a c b a ab c b a r ++-+-=
-+++-+-⋅-+=
即：c
b a S
c b a S c b a a c b b c a c b a c b a r ++=
++=++-+-+-+++=
2)(24)(2))()()((。