任意三角形外接圆半径、内切圆半径的求法及通用公式
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一、任意三角形外接圆半径
设三角形各边边长分别为a,b,c 外接圆半径为R ，（如右图所示）
则βαβαβαsin sin cos cos 2)cos(2
22-=-+=
+ab
c b a
（余弦定理）
而R b
R b
22cos ==α，R b R 4sin 22
-
=
α R
a
R a
22cos ==β，R
a R 4sin 2
2
-
=
β 即有：=-+ab c b a 2222R
a R R
b R R a R b 442222
22
-
⋅
--⋅ 即有：2
22222222)
4)(4(R a R b R ab ab c b a ---=
-+ 所以：)4)(4()(
222222
222
a R
b R ab
c b a R ab --=-+- 即有：2222242
2224
2
2
2
2
2
)(416)(
4)(4)(b a R b a R ab
c b a R c b a R ab ++-=-++-+- 所以：])(
4[2
2222
2
ab
c b a R c -+-=，即：])(4[2222222222c b a b a R c b a -+-= 所以：)
)()()((a c b b c a c b a c b a abc
R -+-+-+++=
而三角形面积： ))()()((4a c b b c a c b a c b a S -+-+-+++= （海伦公式） 所以，有：S
abc
R 4=
※ 另一求法，可用正弦定理，即：R A
a
2sin =，而bc a c b A 2cos 222-+=
所以：
2
222222
2222)(4)
2(12)
(cos 12sin 2a c b c b abc
bc
a c
b a
A a
A a R -+-=
-+-=
-==
二、任意三角形内切圆的半径 设三角形各边边长分别为a,b,c 内切圆半径为r ，（如右图所示）
因为内切圆的圆心为各角的角平分线的交点， 所以，会有
⎪⎩
⎪
⎨
⎧=+=+=+c
z y b y x a
z x ，解得2c b a x -+= 显然：αtan x r =，而α
ααα
α2cos 1)2(cos 12cos 12sin tan 2+-=
+= 而由余弦定理有：ab
c b a 22cos 2
22-+=α
所以：)
)(()()(421)
2(1tan 2
22222222
222c b a c b a c b a ab ab
c b a ab c b a -+++-+-=-++
-+-=α
即有:)
(2)()(4))(()
()(422
22222
2222c b a c b a ab c b a c b a c b a ab c b a r ++-+-=
-+++-+-⋅-+=
即：c
b a S
c b a S c b a a c b b c a c b a c b a r ++=
++=++-+-+-+++=
2)(24)(2))()()((