第9章-面板数据模型理论

5.2 面板数据模型理论 5.2.1 面板数据模型及类型。

面板数据（panel data ）也称时间序列截面数据（time series and cross section data ）或混合数据（pool data ）。面板数据是同时在时间和截面空间上取得的二维数据。面板数据从横截面（cross section ）上看，是由若干个体（entity, unit, individual ）在某一时刻构成的截面观测值，从纵剖面（longitudinal section ）上看是一个时间序列。

面板数据用双下标变量表示。例如：

it y , N i ,,2,1 ;T t ,,2,1

其中，N 表示面板数据中含有的个体数。T 表示时间序列的时期数。若固定t 不变，•i y

),,2,1(N i 是横截面上的N 个随机变量；若固定i 不变，t y •,),,2,1(T t 是纵剖面

上的一个时间序列。对于面板数据来说，如果从横截面上看，每个变量都有观测值，从纵剖面上看，每一期都有观测值，则称此面板数据为平衡面板数据（balanced panel data ）。若在面板数据中丢失若干个观测值，则称此面板数据为非平衡面板数据（unbalanced panel data ）。

面板数据模型是建立在面板数据之上、用于分析变量之间相互关系的计量经济模型。面板数据模型的解析表达式为：

it it it it it x y T j N i ,2,1;,2,1

其中，it y 为被解释变量；it 表示截距项，),,,(21k

it it it

it x x x x 为k 1维解释变量向量；'

21),,,(k it it it it 为1 k 维参数向量；i 表示不同的个体；t 表示不同的时间；it 为

随机扰动项，满足经典计量经济模型的基本假设),0(~2 IIDN it 。

面板数据模型通常分为三类。即混合模型、固定效应模型和随机效应模型。

⑴ 混合模型。

如果一个面板数据模型定义为：

it it it x y T j N i ,2,1;,2,1

则称此模型为混合模型。混合模型的特点是无论对任何个体和截面，回归系数 和 都是相同的

⑵ 固定效应模型。

固定效应模型分为3种类型，即个体固定效应模型（entity fixed effects regression model ）、时间固定效应模型（time fixed effects regression model ）和时间个体固定效应模型（time and entity fixed effects regression model ）。

① 个体固定效应模型。

个体固定效应模型就是对于不同的个体有不同截距的模型。如果对于不同的时间序

列（个体）截距是不同的，但是对于不同的横截面，模型的截距没有显著性变化，那么模型就称为个体固定效应模型立，表示如下，

it it i it x y T j N i ,2,1;,2,1

式中，y it 为被解释变量, ),,,(21k it it it

it x x x x 为k 1维解释变量向量，i 是随机变量，表示对于i 个个体有i 个不同的截距项，且其变化与),,,(21k

it it it

it x x x x 有关；),,,(21k 为1 k 维回归系数向量，对不同的个体回归系数相同，it 为随机

误差项，则称此模型为个体固定效应模型。

个体固定效应模型也可以表示为

y it = 1 D 1 + 2 D 2 + … + N D N + x it +it t = 1, 2, …, T 其中

其他个个体如果属于第。，,

0,...,2,1,1N i D i i

② 时间固定效应模型。

如果一个面板数据模型定义为：

it it t it x y T j N i ,2,1;,2,1

式中，t 是随机变量，表示对于T 个截面有T 个不同的截距项，且其变化与

),,,(21k

it it it it x x x x 有关；对不同的个体回归系数相同，it 为随机误差项，则称此模

型为时间固定效应模型。时间固定效应模型就是对于不同的截面（时刻点）有不同截距的模型。如果确知对于不同的截面，模型的截距显著不同，但是对于不同的时间序列（个体）截距是相同的，那么应该建立时刻固定效应模型。时间固定效应模型也可以表示如下

y it = 1 D 1 + 2 D 2 + … + T D T + 1 x it + it , i = 1, 2, …, N 其中

)(,0,...,2,1个截面不属于第其他个截面如果属于第。

，t t T t D i

③ 个体时间固定效应模型。

如果一个面板数据模型定义为

it it t i it x y T j N i ,2,1;,2,1

式中，i 是随机变量，表示对于N 个个体有N 个不同的截距项，且其变化与

),,,(21k

it it it it x x x x 有关；t 是随机变量,表示对于T 个截面有T 个不同的截距项，且其

变化与),,,(21k it it it

it x x x x 有关；对不同的个体回归系数相同，it 为随机误差项，则称此模型为个体时间固定效应模型。 ⑶ 随机效应模型

对于面板数据模型

it it i it x y T j N i ,2,1;,2,1

如果y it 为被解释变量,it x 为k 1维解释变量向量， 为1 k 维回归系数向量，对不同的个体回归系数相同，t 是随机变量，其分布与it x 无关；it 为随机误差项，则称此模型为个体随机效应模型。

同理也可以定义时间随机效应模型和个体时间随机效用模型。

5.2.2 面板数据模型估计方法

面板数据模型中 的估计量既不同于截面数据估计量，也不同于时间序列估计量，其性质随模型类型的设定是否正确，是否采用了相应正确的估计方法而变化。面板数据模型中的解释变量it X 可以是时变的，也可以是非时变的。

⑴ 混合最小二乘估计

混合最小二乘估计方法是在时间上和截面上把NT 个观测值混合在一起，然后用最小二乘法估计模型参数。给定混合模型

it it i it x y ，1,2,,;1,2,,i N t T L L

如果模型是正确设定的，且解释变量与误差项不相关，即(,)0it it Cov X u 。那么无论是N ，还是T ，模型参数的混合最小二乘法估计量都具有一致性。

对混合模型通常采用的是混合最小二乘估计。

然而，对于经济面板数据，即使在随机误差项it u 服从独立同分布条件下，由最小二乘法得到的方差协方差矩阵通常也不会满足假定条件。因为对于每个个体i 及误差项it u 来说通常是序列相关的。NT 个自相关观测值要比NT 个相互独立的观测值包含的信息少。从而导致随机误差项it u 的标准差常常被低估，估计量的精度被虚假夸大。如果模型存在个体固定效应模型，即i 与it X 相关，那么对模型应用混合最小二乘估计方法，估计量不再具有一致性。

⑵ 平均数最小二乘估计法

平均数最小二乘（between OLS ）估计法的步骤是首先对面板数据中的每个个体求平均数，共得到N 个平均数估计值。然后利用it y 和it X 的这N 组观测值估计回归参数。以个体固定效应模型

'

it i it

it y X u 为例，首先对面板中的每个个体求平均数。令

1

1

,1,2,,T

i it

t y T

y

i N L