2020年高考新课标(全国卷1)数学(理科)模拟试题(一)

2020年高考新课标（全国卷1）数学（理科）模拟试题（一）考试时间：120分钟 满分150分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、已知集合{}|12A x x =-<，12|log 1B x x ⎧⎫=>-⎨⎬⎩⎭，则A B =IA ．{}|04x x <<B ．{}|22x x -<<C ．{}|02x x <<D ．{}|13x x << 2、以下判断正确的个数是（ ）①相关系数r r ,值越小，变量之间的相关性越强；②命题“存在01,2<-+∈x x R x ”的否定是“不存在01,2≥-+∈x x R x ”； ③“q p ∨”为真是“p ”为假的必要不充分条件；④若回归直线的斜率估计值是1.23，样本点的中心为（4,5），则回归直线方程是08.023.1ˆ+=x y. A ．4 B ．2 C.3 D ．13、设,a b 是非零向量，则“存在实数λ，使得=λa b ”是“||||||+=+a b a b ”的A ．充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4、 已知正三角形ABC 的顶点()()3,1,1,1B A ，顶点C 在第一象限，若点()y x ,在ABC ∆的内部，则y x z +-=的取值范围是 A.()2,31- B.()2,0 C.()2,13- D.()31,0+5、在如图的程序框图中，()i f x '为()i f x 的导函数，若0()sin f x x =，则输出的结果是A ．sin xB ．cos xC ．sin x -D ．cos x - 6、使函数)2cos()2sin(3)(θθ+++=x x x f 是偶函数，且在]4,0[π上是减函数的θ的一个值是 A ．6π B ．3π C ．34π D ．67π7、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足121a a ==，21n n S a +=-，则下列命题错误的是( ) A.21n n n a a a ++=+B.13599100a a a a a ++++=…C.2469899a a a a a ++++=…D.12398100100S S S S S ++++=-…8、某三棱锥的三视图如图所示，则下列说法中：① 三棱锥的体积为16② 三棱锥的四个面全是直角三角形,③ 三棱锥四个面的面积中最大的值是3所有正确的说法 A 、①B 、①②C 、②③D 、①③9、如图阴影部分1C 是曲线x y =与x y =所围成的封闭图形，A 是两曲线在第一象限的交点，以原点O 为圆心，OA 为半径作圆，取圆的第一象限的扇形OCAB 部分图形为2C ，在2C 内随机选取m 个点，落在1C 内的点有n 个，则运用随机模拟的方法得到的π的近似值 A 、m n 23 B 、n m 3 C 、m n 3 D 、nm 32 10、已知双曲线)0,(12222＞b a by a x =-的左、右顶点分别为B A ,,右焦点为F ,过点F 且垂直于x 轴的直线l 交双曲线于N M ,两点,P 为直线l 上的一点，当APB ∆的外接圆面积达到最小值时,点P 恰好在M (或N )处,则双曲线的离心率为 A.2 B.3 C.2 D.5 11、已知函数()21ln (1)(0)2x ax a f a x x a =-+-+>的值域与函数()()f f x 的值域相同，则a 的取值范围为（ ） A. (]0,1B. ()1,+∞C. 40,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭12、将边长为5的菱形ABCD 沿对角线AC 折起，顶点B 移动至B 处，在以点B '，A ，C ，为顶点的四面体AB 'CD 中，棱AC 、B 'D 的中点分别为E 、F ，若AC ＝6，且四面体AB 'CD 的外接球球心落在四面体内部，则线段EF 长度的取值范围为（ ）A ． 14,232⎛⎫⎪ ⎪⎝ B ．14,42⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C ．()3,23D ．()3,4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、已知4()(21)f x x =-,设423401234(21)x a a x a x a x a x -=++++，则1234234=a a a a +++_____.14、已知,,A F P 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>> 的左顶点、右焦点以及右支上的动点,若2PFA PAF ∠=∠恒成立，则双曲线的离心率为 。

15、已知数列{}n a 的前n 项和122n n n S a +=-，若不等式()2235n n n a λ--<-对*n N ∀∈恒成立，则整数λ的最大值为________________.16、如图，在平面直角坐标系xOy 中，边长为2的正方形ABCD 沿x 轴滚动（无滑动滚动），点D 恰好经过坐标原点，设顶点(),B x y 的轨迹方程是()y f x =，则()19f =_____________三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17、（12分）在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，已知12=c ，64=b ，O 为ABC ∆的外接圆圆心.（1）若54cos =A ，求ABC ∆的面积S ；（2）若点D 为BC 边上的任意一点，1134DO DA AB AC -=+u u u r u u u r u u u r u u u r，求B sin 的值.18、（12分）图1是由矩形ADEB ，Rt ABC ∆和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中1,2,AB BE BF ===60.FBC ∠=︒将其沿,AB BC 折起使得BE 与BF 重合，连结DG ,如图2.（1）证明：图2中的,,,A C G D 四点共面，且平面ABC ⊥平面BCGE ;（2）求图2的二面角B CG A --的大小。

19、（12分）已知函数()ln 1x x f x =++，()22g x x x =+．（1）求函数()()y f x g x =-的极值；（2）若m 为整数，对任意的0x >都有()()0f x mg x -≤成立，求实数m 的最小值．20、（12分）已知点()10F -，，直线4l x P =-：，为平面内的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为点M ，且11022PF PM PF PM ⎛⎫⎛⎫-⋅+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u uv u u u u v u u u v u u u u v . （1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过点1F 作直线1l （与x 轴不重合）交C 轨迹于A ，B 两点，求三角形面积OAB 的取值范围.（O 为坐标原点）21、（12分）某医药开发公司实验室有*()n n ∈N 瓶溶液，现需要把含有细菌R 的溶液检验出来，有如下两种方案：方案一：逐瓶检验，则需检验n 次；方案二：混合检验，将n 瓶溶液分别取样，混合在一起检验，若检验结果不含有细菌R ，则n 瓶溶液全部不含有细菌R ；若检验结果含有细菌R ，就要对这n 瓶溶液再逐瓶检验，此时检验次数总共为1n +.（1）若5n =，其中2瓶中含有细菌R ，采用方案一，求恰好检验3次就能确定哪两瓶溶液含有细菌R 的概率；（2）现对该n 瓶溶液进行检验，已知每瓶溶液含有细菌R 的概率均为(01)P P 剟.若采用方案一，需检验的总次数为ξ，若采用方案二，需检验的总次数为η.(i)若ξ与η的期望相等.试求P 关于n 的函数解析式()P f n =；(ii)若141e P -=-，且采用方案二总次数的期望小于采用方案一总次数的期望.求n 的最大值.参考数据：ln20.69≈，ln3 1.10≈，ln5 1.61≈，ln7 1.95≈.（二）选考题：共10分。

请考生在22、23两题中任选一题作答，注意：只能做选定的题目，若多做，则按所做的第1题记分. 22、(选修4-4坐标系与参数方程) 以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为22cos 2a ρθ=（a R ∈,a 为常数），过点(2,1)P 、倾斜角为30︒的直线l 的参数方程满足32x =+（t 为参数）.（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的参数方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点（点P 在A 、B 之间），且||||2PA PB ⋅=，求a 和||||||PA PB -的值．23、(选修4-5 不等式选讲) 已知函数()212()f x x mx m R =-++∈。

（1）若1m =，解不等式()6f x <；（2）若()f x 有最小值，且关于x 的方程()21f x x x =-++有两个不等实根，求实数m 的取值范围。

2020年高考新课标（全国卷1）数学（理科）模拟试题（一）答案解析一、选择题1-6题C B B A C B 7-12题 C D B A D B 二、填空题 13、8 14、2 15、4 16、3 部分（选填题）压轴题解析 11.()1(1)(1)1'ax a xf x x a x x +--+-==，()()， ∴()f x 在()0,1上递增，在()1,+∞上递减，()()max 3112f x f a ==-，即()f x 的值域为3,12a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.令()f x t =，则()()312y f f x f t t a ⎛⎫==≤-⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，∵()f t 在()0,1上递增，在()1,+∞上递减，要使()y f t =的值域为3,12a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦，则3112a -≥，43a ≥， ∴a 的取值范围是4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，故选D.12.解析：由题意画出图形，可证AC ⊥平面B ′ED ，得到球心O 位于平面B ′ED 与平面ACF 的交线上，即直线EF 上，由勾股定理结合OA ＝OB ′，OE ＜EF ，EF ＜EB ′＝4可得线段EF 长度的取值范围．如图，由已知可得，AC ⊥B ′E ，且AC ⊥DE ，∴AC ⊥平面B ′ED ， ∵E 是AC 的中点，∴到点A 、C 的距离相等的点位于平面ACF 内， 同理可知，到点B ′、D 的距离相等的点位于平面ACF 内，∵球心O 到点A ，B ′，C ，D 的距离相等，∴球心O 位于平面B ′ED 与平面ACF 的交线上，即直线EF 上．∴球心O 落在线段EF 上（不含端点E 、F ）， 显然EF ⊥B ′D ，由题意EA ＝3，EB ′＝4，则OA 2＝OE 2+9，且OB ′2＝OF 2+FB ′2＝OF 2+EB ′2﹣EF 2＝（EF ﹣OE ）2+16﹣EF 2＝OE 2+16﹣2EF •OE ． ∵OA ＝OB ′，∴OE 2+9＝OE 2+16﹣2EF •OE ，则，显然OE ＜EF ，∴72EF EF＜，即142EF ．又EF ＜EB ′＝4，∴1442EF ＜．故选：B ．解：由题意，当42x -≤<-时，顶点(),B x y 的轨迹是以点()2,0A -为圆心，以2为半径的14圆； 22x -≤<时，顶点(),B x y 的轨迹是以点()0,0D 为圆心，以22为半径的14圆； 24x ≤<时，顶点(),B x y 的轨迹是以点()2,0C 为圆心，以2为半径的14圆； 46x ≤<，顶点(),B x y 的轨迹是以点()4,0A 为圆心，以2为半径的14圆， 42x -≤<-的形状相同，因此函数()(y f x =的图像在[]4,4-恰好为一个周期的图像； 所以函数()y f x =的周期是8；∴(19)(3)3f f ==，其图像如下：三．解答题解析：(1)由54cos =A 得53sin =A ，5214453122821sin 21=⨯⨯⨯==∆A bc S ABC ．……………………………3分 (2)由AC AB DA DO 4131+=-， 可得AC AB AO 4131+=，于是AO AC AO AB AO AO ⋅+⋅=⋅4131， ……………………………………5分OAC AO AC OAB AO AB AO ∠⋅+∠⋅=cos 41cos 312，①O 为△ABC 的的外接圆圆心，则AB OAB AO 21cos =∠， OAC AO ∠cos =AC 21，②7分将①代入②得到28161AC AB +=1288114461⨯+⨯=401624=+=解得102=AO ．10分 由正弦定理得10422sin ===AO R B b ， 可解得552sin =B ．…………12分 18. 解：（1）由已知得AD //BE ，CG //BE ，所以AD //CG ，故AD ，CG 确定一个平面，从而A ，C ，G ，D 四点共面．由已知得AB ⊥BE ，AB ⊥BC ，故AB ⊥平面BCGE ． 因为AB ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面BCGE ．（2）作EH⊥BC，垂足为H．因为EH⊂平面BCGE，平面BCGE⊥平面ABC，所以EH⊥平面ABC．由已知，菱形BCGE的边长为2，∠EBC=60°，可求得BH=1，EH=3．以H为坐标原点，HCu u u r的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系H–xyz，则A（–1，1，0），C（1，0，0），G（2，0，3），CGu u u r=（1，0，3），ACu u u r=（2，–1，0）．设平面ACGD的法向量为n=（x，y，z），则0,0,CGAC⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u ru u u rnn即30,20.x zx y⎧+=⎪⎨-=⎪⎩所以可取n=（3，6，–3）．又平面BCGE的法向量可取为m=（0，1，0），所以3cos,||||2⋅〈〉==n mn mn m．因此二面角B–CG–A的大小为30°．19．（1）令()()()2ln1xh g x xx f x x=---+=（0x>），则()221hx xxx--+=．()12xh x⇒<<'>，()21xh x⇒>'<，所以()()f xg x-的单调递增区间为10,2⎛⎫⎪⎝⎭，单调递减区间为1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭．所以()()f xg x-在12x=处取极大值1ln24-，无极小值．（2）依题知，当1x=时，22303m m-≤⇒≥，又m为整数，当1m=时，由（1）知()()f xg x-的极大值为1ln204-<，所以m的最小值为1．20．（1）设动点()P x y，，则()4H y-，由1122PF PM PF PM⎛⎫⎛⎫-+=⎪⎪⎝⎭⎝⎭u u u v u u u u v u u u v u u u u v2214PF PM∴=u u u v u u u u v，即2214PF PM=u u u v u u u u v，()2221144x y x∴++=+，化简得22143x y+=（2）由(1)知轨迹C的方程为22143x y+=，当直线1l斜率不存在时31,2A⎛⎫--⎪⎝⎭，31,2B⎛⎫-⎪⎝⎭1322DAB S AB OF ∆∴=⋅= 当直线1l 斜率存在时，设直线l 方程为1x my =- ()0m ≠，设()11,A x y ()22,B x y由221143x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2234690m y my +--=.则21441440m ∆=+>，22634m y y m +=+122934y y m -=+ 11212OABS OF y y ∆=⋅-()212121142y y y y =⨯⨯+- ()22221363623434m m m=+++()2221634m m+=+21(1)m t t +=>，则()2631OAB tS t ∆==+ 2166196196t t t t t=++++ ()196f t t t =++，则()21'9f t t=-，当1t >时，()'0f t >， ()196f t t t =++在()1,+∞上单调递增，()()116f t f ∴>=，136162OAB S ∆∴<=综上所述，三角形OAB 面积的取值范围是30,2⎛⎤⎥⎝⎦21.（1）记事件为A 为“恰好检验3次就能确定哪两瓶溶液含有细菌R ”， 事件B 为“第三次含有细菌R 且前2次中有一次含有细菌R ”， 事件C 为“前三次均不含有细菌R ”，则A B C =U ，且事件,B C 互斥，所以111322333355113()()()51010A A A A P A PB PC A A =+=+=+=. ········································· 4分 2）（i ）()E n ξ=，η的取值为1,1n +，(1)(1),(1)1(1)n n P P P n P ηη==-=+=--， 6分所以()(1)(1)1(1)1(1)n n nE P n P n n P η⎡⎤=-++--=+--⎣⎦， 由()()E E ξη=得1(1)nn n n P =+--，所以1*(1)1()n P n n=-∈N ； ························· 8分 (ii)141e P -=-,所以4()1e n E n n η-=+-⋅，所以4(1)en n n n -+-⋅<， ························· 9分所以ln 04n n ->，设()ln (0)4x f x x x =->，114()44xf x x x-'=-=， 当(0,4)x ∈时，()0f x '>，()f x 在(0,4)上单调递增；当(4,)x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 在(4,)+∞上单调递减， ································· 11分又(8)ln823ln 2230.6920f =-=-≈⨯->，999(9)ln92ln32 1.100444f =-=-≈⨯-<， 所以n 的最大值为8. 12分22、解：（1）由22cos 2a ρθ=得2222(cos sin )a ρθθ-=， --------------------------------------1分 又cos x ρθ=，sin y ρθ=，得222x y a -=，∴C 的普通方程为222x y a -=，-------------------------------------------------------------------2分 ∵过点(2,1)P 、倾斜角为30︒的直线l 的普通方程为32)13y x =-+，--------------3分 由322x t =+得112y t =+ ∴直线l 的参数方程为32212x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ （t 为参数）；-------------------------------------------5分（2）将32212x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入222x y a -=，得222(231)2(3)0t t a +-+-=， --------------------------6分 依题意知22[2(231)]8(3)0a ∆=--->则上方程的根1t 、2t 就是交点A 、B 对应的参数，∵2122(3)t t a ⋅=-，由参数t 的几何意义知1212||||||||||PA PB t t t t ⋅=⋅=⋅，得12||2t t ⋅=， ∵点P 在A 、B 之间，∴120t t ⋅<，∴122t t ⋅=-，即22(3)2a -=-，解得24a =（满足0∆>），∴2a =±，-------------8分∵1212||||||||||||||PA PB t t t t -=-=+，又122(231)t t +=--，∴||||||432PA PB -=-．-------------------------------------------------------------------------10分 23．解：(Ⅰ) m =1，212)(++-=x x x f 当x ≤21时，f (x )=3-x ，由f (x )<6解得x >-3，综合得-3<x ≤21， 当x >1时，f (x )=3x +1，由f (x )<6解得x <5，综合得1<x <5， 所以f (x )<6的解集是)353(，-． ………………………………………………5分（Ⅱ）当x >21时，f (x )=(2+m )x +1． 当x ≤21时，f (x )=(m -2)x +3，要使得f (x )有最小值，则⎩⎨⎧≤-≥+，，0202m m解得-2≤m ≤2，且由图像可得，f (x )在x =21时取得最小值21m +2． y =-x 2+x +1在x =v 时取得最大值45，方程f (x )=-x 2+x +1有两个不等实根，则21m +2<45，解得m <-23．综上所述，m 的取值范围为-2≤m <-23．……………………………………10分。