固体物理第三章习题及答案
(完整版)固体物理胡安第三章课后答案
3.1 在单原子组成的一维点阵中，若假设每个原子所受的作用力左右不同，其力常数如图所示相间变化，且21。
试证明在这样的系统中，格波仍存在着声频支和光频支，其格波频率为21221221212)2(sin 411M）（qa 证明：第2n 个原子所受的力121122221212121222)()()(n nn n nn nnuu u u u u u F 第2n+1个原子所受的力nn n n nn nnu u u u u u u F 22121122112221222112)()()(这两个原子的运动方程：212222112121122112222()()n n n n nn n nmu u u u mu u u u &&&&方程的解qan t inqan t in Beu Aeu 2)12(122)2(2代入到运动方程，可以得到BA e eBmAB eeAmqaiqa iq a i q a i )()(21222122122212经整理，有)()(22122212221221B mA eeB eeAmqa iqa iqa iq ai 若A ，B 有非零解，系数行列式满足22212122221212,,aai q i q a a i q i q me eee m根据上式，有21221221212)2(sin 411M）（qa 3.3(a) 设单原子链长度L=Na波矢取值2qhNa每个波矢的宽度2qNa，状态密度2Na dq 间隔内的状态数2Nadq ，对应±q ，ω取相同值因此22Na dqdq一维单原子链色散关系，4sin 2aqm 令4,sin2aq m两边微分得到cos22aaq ddq将220cos12aq 代入到0cos22aaq ddq22222,2a dq ddq da频率分布函数2222122122Na NaN dadq3.4三维晶格振动的态密度为3(2)V 根据态密度定义3()(2)|()|qV dS q r ＝对2qAq两边微分得到2d q Aqdq在球面上2qd Aq dq，半径01qA代入到态密度函数得到21/23323/2144,2422qV qV AV AAAq最小截止频率m001/223/234mmV dd NA可得2/32min 06N AV所以1/2min 023/2,4VA在0min或时，是不存在频率ω的分布的，也就不会有频率分布的密度。
固体物理第三章习题答案
1
4 u n
( ij u )
i j
右边
1
1
4 u n
i(n)
( in u
i(n)
2
2 in
j(n)
nj
u )
2
2 nj
4 u n
( in ( u n u i )
j(n)
nj
nj
(u j u n ) )
T 成正比，说明德拜模型 温的情况下。
3－ 5 设想在一维单原子晶格
中，只激发出一个动量
为
q ( q 0 )的声子，试证明晶体并
不因此而获得物理动量
。
证明：先证下面的式子 1 N
'
： l l l l
' '
e
n
ina ( q l q ' )
l
ll '
1, 0,
略去 项，（因为低温，
1）
d
C
T
m
l
M M
0
a
e
k BT
1
l
M
a
T
0
d
似为无穷大 )
e
k BT
1
(因为低温，频率低的占
主要，所以上限可以近
l
M k T
2 B
a
(e
0
x e
x
2
x 2
1)
2
《固体物理学》房晓勇主编教材-习题解答参考03第三章 晶体振动和晶体的热学性质
由上式知，存在两种独立的格波，声学格波的色散关系为
2 ωA =
⎧ β1 + β 2 ⎪ m
光学格波的色散关系为
2 ωA =
β1 + β 2 ⎧ ⎪
m
3.3 设有一纵波 xn (t ) = A cos (ωt − naq ) ，沿一维单原子链传播，原子间距为 a，最近邻互作用的恢 复力系数为β，试证明：每个原子对时间平均的总能量
A 2β cos qa / m = =0 B 2β / m − 2β / M
由此可知，声学支格波中所有轻原子 m 静止。 而在光学支中，重原子 M 与轻原子 m 的振幅之比为
B 2β cos qa / M = =0 A 2β / M − 2β / m
由此可知，光学支格波中所有重原子 M 静止。 此时原子振动的图像如下图 3.6 所示：
1
第三章
晶体振动和晶体的热学性质
(a)
轻原子 重原子
(b)
图 3.6 （a）声学支格波原子振动图； （b）光学支格波原子振动图
3.2 一维复式格子，原子质量都为 m，原子统一编号，任一原子与两最近邻的间距不同，恢复力常数 不同，分别为 β 1 和 β 2 ，晶格常数为 a，求原子的运动方程和色散关系。 解： （王矜奉 3.2.2）
将（2）式代入（1）式可得出
…………………（2）
2β ⎧ 2β 2 ⎪ ( m − ω ) A − ( m cos qa) B = 0 ⎨ 2β 2β ⎪− ( cos qa) A + ( − ω 2 )B = 0 M ⎩ M
…………………（3）
从 A 、 B 有非零解，方程组（3）的系数行列式等于零的条件出发，可得
利用
1 1 T 2 1 T 1 − cos ( 2ωt − 2ϕ ) sin (ωt − ϕ ) dt = ∫ dt = ∫ T 0 T 0 2 2
固体物理第三章作业答案
dt
• 其中pt为电子的动量，τ为相邻两次碰撞之间的电
子自由运动时间（弛豫时间），f t为电子所受的
外力。请在线性响应的范围内，推导金属在频率
为ω的电磁波作用下的电导率。在此基础上，可
尝试导出金属的介电函数。
• 解：设频率为ω的电磁波中 E E0eit
B B0eit
• 金属在电磁波作用下的运动方程
• 电子热容系数 2.08mJ mol1 K 2
• 电子热质量
mt*h
m 观测值 自由电子气
m
2.08
2.08பைடு நூலகம்
2RkB 2 3 2n 2
3
m
2
3
2
2 a3
2
3
2RkB
2.08
1.05 1034
2
ai bj 2ij
则相应的倒格子基矢为：
基本无问题，少数同学没写 出基矢的表达式，没注意单 位化为cm-1
b1
2 a
i
108 i
cm1
b2
2 b
i
2
108 i
cm1
倒格子和第一布里渊区如图示：红色区域为第一布里渊区
b2
b1 108 cm1
dp t p t eE ev B
dt
• 忽略磁场项作用（ eE ev B ），运动方程写为：
dp t p t
eE
dt
dv dt
v
e m
E0eit
王淑华固体物理答案第三章
3.4 由原子质量分别为 m, M 两种原子相间排列组成的一维复 式格子，晶格常数为 a ，任一个原子与最近邻原子的间距 为 b ，恢复力常数为 β1 ，与次近邻原子间的恢复力常数 β2 ， 试求 （1）格波的色散关系； （2）求出光学波和声学波的频率最大值和最小值。 解：（1）只考虑最近邻原子的相互作用
由上式可知，存在两种独立的格波。
声学格波的色散关系为
12 β β 4 β β qa 2 2 1 2 1 2 ωA sin 1 1 2 m 2 β1 β2
光学格波的色散关系为
12 β β 4 β β qa 2 2 1 2 1 2 ωO sin 1 1 2 m 2 β1 β2
为角频率； 式中，A为轻原子的振幅；B为重原子的振幅；
q 2 为波矢。
将试探解代入运动方程有
m 2 A e iaq e iaq B 2 A
M 2 B e iaq e iaq A 2B
(1)
经整理变成
2 A 2 cos aqB 0 2 2 cosaqA M 2 B 0
2
m
要A、B有不全为零的解，方程(1)的系数行列式必须等于零， 从中解得
12 2 2 m M m M 2mM cos 2aq mM 2
(2)
式中的“+”“－”分别给出两种频率，对应光学支格波和声学支 格波。上式表明， 是q的周期函数， 2a q 2a 。当q取 边界值，即 q 2a 时，从(2)式得
《固体物理学》房晓勇主编教材-思考题解答参考03第三章_晶体振动和晶体的热学性质
第三章晶体振动和晶体的热学性质3.1相距为某一常数（不是晶格常数）倍数的两个原子，其最大振幅是否相同？解答：（王矜奉3.1.1，中南大学3.1.1）以同种原子构成的一维双原子分子链为例, 相距为不是晶格常数倍数的两个同种原子, 设一个原子的振幅A, 另一个原子振幅B, 由《固体物理学》第79页公式，可得两原子振幅之比(1)其中m原子的质量. 由《固体物理学》式（3-16）和式（3-17）两式可得声学波和光学波的频率分别为, (2). (3)将(2)(3)两式分别代入(1)式, 得声学波和光学波的振幅之比分别为, (4). (5)由于=，则由(4)(5)两式可得,1B A=. 即对于同种原子构成的一维双原子分子链, 相距为不是晶格常数倍数的两个原子, 不论是声学波还是光学波, 其最大振幅是相同的.3.2 试说明格波和弹性波有何不同？解答：晶格中各个原子间的振动相互关系3.3 为什么要引入玻恩-卡门条件？解答：（王矜奉3.1.2，中南大学3.1.2）（1）方便于求解原子运动方程.由《固体物理学》式（3-4）可知, 除了原子链两端的两个原子外, 其它任一个原子的运动都与相邻的两个原子的运动相关. 即除了原子链两端的两个原子外, 其它原子的运动方程构成了个联立方程组. 但原子链两端的两个原子只有一个相邻原子, 其运动方程仅与一个相邻原子的运动相关, 运动方程与其它原子的运动方程迥然不同. 与其它原子的运动方程不同的这两个方程, 给整个联立方程组的求解带来了很大的困难.（2）与实验结果吻合得较好.对于原子的自由运动, 边界上的原子与其它原子一样, 无时无刻不在运动. 对于有N 个原子构成的的原子链, 硬性假定的边界条件是不符合事实的. 其实不论什么边界条件都与事实不符. 但为了求解近似解, 必须选取一个边界条件. 晶格振动谱的实验测定是对晶格振动理论的最有力验证(《固体物理学》§3.1与§3.6). 玻恩卡门条件是晶格振动理论的前提条件. 实验测得的振动谱与理论相符的事实说明, 玻恩卡门周期性边界条件是目前较好的一个边界条件.3.4 试说明在布里渊区的边界上()/q π=a ，一维单原子晶格的振动解n x 不代表行波而代表驻波。
固体物理参考答案(前七章)
固体物理习题参考答案（部分）第一章 晶体结构1.氯化钠：复式格子，基元为Na +，Cl -金刚石：复式格子，基元为两个不等价的碳原子 氯化钠与金刚石的原胞基矢与晶胞基矢如下：原胞基矢)ˆˆ()ˆˆ()ˆˆ(213212211j i a a i k a a k j a a +=+=+= ， 晶胞基矢 ka a j a a ia a ˆˆˆ321===2. 解：31A A O '：h:k;l;m==-11:211:11:111:1:-2:1 所以（1 1 2 1） 同样可得1331B B A A ：（1 1 2 0）； 5522A B B A ：（1 1 0 0）；654321A A A A A A ：（0 0 0 1）3.简立方： 2r=a ，Z=1,()63434r 2r a r 3333πππ===F体心立方：()πππ833r4r 342a r 3422a 3r 4a r 4a 33333=⨯=⨯=∴===F Z ，，则面心立方：()πππ622r 4r 34434442r 4a r 4a 233ar 33=⨯=⨯=∴===F Z ，，则 六角密集：2r=a, 60sin 2c a V C = a c 362=,πππ622336234260sin 34223232=⨯⨯⨯=⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛a a c a r F a金刚石：()πππ163r 38r 348a r 3488Z r 8a 33333=⨯=⨯===F ，， 4. 解：'28109)31arccos(312323)ˆˆˆ()ˆˆˆ(cos )ˆˆˆ()ˆˆˆ(021*******12211=-=-=++-⋅+-=⋅=++-=+-=θθa a k j i a k j i a a a a a kj i a a kj i a a 5.解：对于（110）面：2a 2a a 2S =⋅=所包含的原子个数为2，所以面密度为22a2a22=对于（111）面：2a 2323a 22a 2S =⨯⨯= 所包含的原子个数为2，所以面密度为223a34a 232=8.证明：ABCD 是六角密堆积结构初基晶胞的菱形底面，AD=AB=a 。
固体物理习题带答案
第二章：原子的结合
1． 设原子间的互作用能表示为 u (r ) 态，则 n>m. 解：原子间的相互作用能为： u (r )
作用能处于极小值： 这时有
r
m
rn
。证明：要使两原子处于平衡状
r
m
rn
。若两原子处于平衡状态时，则其相互
du (r ) (m) m 1 (n) n 1 dr r r
子晶格的情形比较， 与 q 之间存在着两种不同的色散关系。一维复式晶体中可以存在两 种独立的格波。两种不同的格波的色散关系：
2 2
(m M ) 4mM {1 [1 sin 2 aq]1 / 2 } 2 mM (m M ) (m M ) 4mM {1 [1 sin 2 aq]1 / 2 } 2 mM (m M )
xn (t ) A cos(t 2 naq) 。试求格波的色散关系。
解：一维单原子链中，牛顿方程为：
n ( x n 1 xn 1 2 xn ) m x
若将其振动位移写成 xn (t )
A cos(t 2 naq) 代入牛顿方程，则有
2
2 [1 cos(2aq)] 因此其色散关系为 m
0 。 所 以 有
r0
m
r0
m 1
n
r0
n 1
。所以
m nm r0 。 n
0
r0
同
时
有
d 2u ( r ) (m)( m 1) m 2 (n)( n 1) n 2 2 dr r r
。
所
以
固体物理第3章 晶格振动 参考答案 2011
第三章 晶格振动 参考答案 20113.1 在单原子组成的一维点阵中，若假设每个原子所受的作用力左右不同，其力常数如图所示相间变化，且21ββ>。
试证明在这样的系统中，格波仍存在着声频支和光频支，其格波频率为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-±+=21221221212)2(sin 411M ）（ββββββωqa 证明：第2n 个原子所受的力121122221212121222)()()(-+-++++-=-+-=n n n n n n n n u u u u u u u F ββββββ第2n+1个原子所受的力nn n n n n n n u u u u u u u F 22121122112221222112)()()(ββββββ+++-=-+-=++++++这两个原子的运动方程：n n n n n n n n u u u um u u u um 221211221121211222212)()(ββββββββ+++-=+++-=+++-+方程的解⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==q a n t i n q a n t i n Beu Aeu 2)12(122)2(2ωω代入到运动方程，可以得到B A e e B m A B e e A m q a i q a i q ai q a i )()(21222122122212ββββωββββω+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=--- 经整理，有0)(0)(22122212221221=-+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+--B m A e e B e e A m q a i q a i q ai q a i ωββββββωββ 若A ，B 有非零解，系数行列式满足,.,22122212221221=-+++-+--ωββββββωββm eeeem q a i q ai q a i q a i根据上式，有⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-±+=21221221212)2(sin 411M ）（ββββββωqa3.2具有两维正方点阵的某简单晶格，设原子质量为M ，晶格常量为a ，最近邻原子间相互作用的恢复力常数为β，假定原子垂直于点阵平面作横振动，试证明此二维系统的格波色散关系为）（a q a q y x cos cos 22M 2--=βω。
固体物理第三章
导出固体的体积热胀系数 。
[解] 热膨胀是指在不施加力的情况下,体积的变化与温度的关系.
ห้องสมุดไป่ตู้
因此,令格林爱森方程中的P=0, 有
(1)
对于大多数固体来说,体积的变化不大,因此可以将(dU/dV)在静止的
晶格的平衡体积V0点展开
只取到ΔV 的线性项, 则有
将上式写成
并将两边对T求微商,
则有
式中K0为T=0时的体弹性模量, Cv为固体的热容.
其中ωm 为最大频率.代入(1)式可以得到
2、一维双原子链情况 所以
代入(1)式有 六、设三维晶格的光学振动在q＝0附近的长波极限有
求证：频率分布函数为 ω<ω0
ω(q)=ω0-Aq2
及
f(ω)=0
ω>ω0
[证明] 由 有
当ω<ω0 时, 所以
以及
当ω>ω0 时, 根号下为负值,q 不存在, 所以有f(ω)=0 七、写出量子谐振子系统的自由能，证明在经典极限下，自由能为
［答］频率为ωi的格波的平均声子数为 ： 即每一个格波的声子数都与温度有关，因此晶体中的声子数目不守 恒，它随温度的改变而改变。
以德拜模型为例。晶体中的声子数目为
其中
令
则
在极低温度下，θD／T→∞，于是
即在温度极低时，晶体中的声子数目与T3成正比。
4、爱因斯坦模型在低温下与实验存在偏差的根源是什么？而在极低
5、格波与弹性波有何不同？
［答］格波与弹性波相比都具有波的形式,但两者又有不同之处:
(1) 对于一维单原子链格波解为:
弹性波的解为:
在弹性波的解中, x表示空间任意一点,而在格波解中只能取na 格点的
固体物理吴代鸣 第三章
Ⅱ. 德拜模型
模型要点：
（1）用连续介质中的弹性波替代格波，即以弹性波 的色散关系ω(q)=Cq替代晶格格波的色散关系ω (q); （2）认为晶体中只存在三支弹性波，二支横波和一 支纵波，其色散关系分别为： ωt(q)=Ctq和ωl(q)=Clq。
体系规定：
N个原子组成，共有3N个晶格振动模。
重要结论
(2)T处于低温段时，实验规律与理论不符； 实验结论：CV（低温）～T3
爱因斯坦模型的评价
虽然Einstein模型简单，但与实验符合程度却相 当好，说明晶体比热的量子理论的成功；但极低温下 Einstein模型给出的比热容随温度T下降过快，而实 际上低温热容随温度的变化具有T3关系。只考虑了光 学模的贡献，完全忽略了声学波的贡献。说明 Einstein模型过于简单，需要进一步修正。晶格振动 采取格波形式，它们的频率值是不完全相同的，而是 有一定的分布情况。
0 其中 E (称爱因斯坦温度） kB
讨论
（1）高温情况（Ｔ>>θE): （2）低温情况（Ｔ<<θE):
CV 3 NkB
CV 3 NkB (
E
T
)2 e
T
E
T
T 0时, e
E
T
0, 有CV 3 NkB (
E
T
)2 e
E
0
结论：(1)T趋近于0时的理论结果与实际符合较好；
即Debye的T3定律
关于非谐效应
（1）格临爱森状态方程：
dU E d ln P , 其中 是格临爱森常数。 dV V d ln V CV （2）格临爱森定律： K 0V
表示当温度变化时，热膨胀系数近似与晶格热容量成比例。
黄昆版固体物理学课后答案解析答案 (3)
《固体物理学》习题解答黄昆 原着 韩汝琦改编 （陈志远解答，仅供参考）第一章 晶体结构、解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。
因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。
这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。
它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率， VcnVx = （1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1） a=2r ， V=3r 34π，Vc=a 3，n=1∴52.06r8r34a r 34x 3333=π=π=π= （2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 334a r 4a 3=⇒= n=2, Vc=a 3∴68.083)r 334(r 342a r 342x 3333≈π=π⨯=π⨯= （3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=⇒= n=4，Vc=a 3（4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=6260sin a a 6S ABO ⨯⨯=⨯∆=2a 233 晶胞的体积：V=332r 224a 23a 38a 233C S ==⨯=⨯n=1232126112+⨯+⨯=6个（5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3r 8a r 24a 3=⇒⨯= n=8, Vc=a 3、试证：六方密排堆积结构中633.1)38(ac 2/1≈=证明：在六角密堆积结构中，第一层硬球A 、B 、O 的中心联线形成一个边长a=2r 的正三角形，第二层硬球N 位于球ABO 所围间隙的正上方并与这三个球相切，于是：NA=NB=NO=a=2R.即图中NABO 构成一个正四面体。
…、证明：面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。
证明：（1）面心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）：123()2()2()2a a j k a a i k a a i j ⎧=+⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪⎩r r r r r rr r r由倒格子基矢的定义：1232()b a a π=⨯Ωr r r31230,,22(),0,224,,022a a a a a a a a a a Ω=⋅⨯==r r rQ ，223,,,0,()224,,022i j ka a a a a i j k a a ⨯==-++r rr r r r r r 同理可得：232()2()b i j k ab i j k aππ=-+=+-r rr r r r r r 即面心立方的倒格子基矢与体心立方的正格基矢相同。
固体物理答案3
色散关系(ω2--κ)图如 右，这是一个双原子 （例如H2）晶体。
M ν n = β ( μ n + 1 − ν n ) − 10 β (ν n − μ n )
= β ( μ n + 1 + 10 μ n − 11ν n )
设试探解为：
μ n = μ e − i (ω t − naq )
ω+ = ω− =
4β aq cos m 2 4β aq sin m 2
长波极限情况下 q → 0
对应一个q有两支格波：一支声学波和一支光学波， 总的格波数目为2N 。
sin(
qa qa )≈ 2 2
ω− = (2
β
m
)q
与一维单ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ子晶格格波的色散关系一致
3.3 质量相同两种原子形成一维双原子链，最近邻原子间 的力常数交错等于c和10c，令两种原子的质量相等，并且 最近邻间距是a/2，试求在k=0和k=π/a 处的ω(k)。并粗 略画出色散关系。本题模拟双原子分子晶体，如H2。 解：绿色标记的原子位于2n-1， 2n+1， 2n+3 …… 红色标记原子位于 2n， 2n+2， 2n+4 ……
2 j
=
2 kT Nm ω
2 j
1 = m∑α 2ω 2 cos2 (ω j t + nαq j + δ j ) j j 2 n
kT 1 2 αj = 2 Nm ω 2 j
=
1 mα 2ω 2 N j j 4
其中：M=ρL
所以，每个原子的平方平均位移：
2 μ n = ∑ μ nj = ∑ α 2 = j
固体物理第三章答案
N e 2 ( n)。 2 4 0 r r
若排斥项 n 由 ce 来代替，且当晶体处于平衡时，这两者对相互作用势能的贡 r
献相同。试求出 n 和 的关系。
4
U ( R) 2 N [ ( 1 21 . 2 1 3 ) ( ) R R
6
( 1 4 . 1 5 ) (
) ]
其中， , 为参数，R 是最近邻间距。试求： （１） 平衡时的晶体体积； （2）体弹性模量； （3）抗张强度。 3．若一晶体的中两合能 W
一般中性的氢原子只和一个其它原子形成一个共价键由于氢原子核体积很小唯一的一个电子与原子形成共价键后核便暴露在外通过库仑作用有时还可以与一个负电性较大的原子结合这种特殊形式的结合称为氢键结合
Chapter 3
固体的结合（Solid Combination）
一、简要回答下列问题(answer the following questions): 1．晶体的结合能，晶体的内能，原子间的相互作用势能有何区别？ [答] 自由粒子结合成晶体过程中释放出的能量，或者把晶体拆散成一个个自由 粒子所需要的能量称为晶体的结合能。用公式表示为： Eb EN E0 ，其中 EN 表 示组成晶体的 N 个原子在自由时的总能量， E0 为晶体的总能量，则 Eb 为晶体的 结合能。 原子的动能与原子间的相互作用势能之和称为晶体的内能。在 Eb EN E0 中， 如果以组成晶体的 N 个原子处于自由状态的能量作为能量的零点， 则 Eb 就 是晶体的内能。 在 0K 时，原子有零点振动能。但原子的零点振动与原子间的相互作用势能 的绝对值相比小得多。所以，在 0K 时原子间的相互作用势能的绝对值近似等于 晶体的结合能。 2．原子间的排斥作用和吸引作用有何关系？起主导作用的范围是什么？ [答 ] 在原子由分散无规的中性原子结合成规则排列的晶体过程中，吸引力起了 主要作用。在吸引力的作用下，原子间的距离缩小到一定的程度，原子间才出现 排斥力。当排斥力与吸引力相等时，晶体达到稳定结合状态。可见，晶体要达到 稳定结合状态，吸引力与排斥力缺一不可。设此时相邻原子间的距离为 r0 , 当相 邻原子间的距离 r r0 时，吸引力起主导作用；当相邻原子间的距离 r r0 时，排 斥力起主导作用。 3．共价结合为什么有“饱和性”和“方向性”？ [ 答] “饱和性”是指共价结合时一个原子只能形成一定数目的共价键，因此依
固体物理答案第3章定稿版
固体物理答案第3章 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】3．1 已知一维单原子链，其中第j 个格波，在第n 个格点引起的位移nj μ为：sin()nj j j j j a t naq μωδ=++j δ为任意相位因子。
并已知在较高温度下每个格波的平均能量为B k T 。
具体计算每个原子的平方平均位移。
解：（１）根据2011sin ()2T j j j t naq dt T ωδ⎰++= 其中2jT πω=为振动周期，所以22221sin ()2nj j j j jj a t naq a μωδ=++= （２）第j 个格波的平均动能 （３）经典的简谐运动有： 每个格波的平均动能＝平均势能＝12格波平均能量＝12B k T 振幅222B j j k T a Nm ω=， 所以 22212B nj j jk T a Nm μω==。
而每个原子的平方平均位移为：222221()2B n nj nj j j j j j jk T a Nm μμμω====∑∑∑∑ 。
３．２讨论N 个原胞的一维双原子链（相邻原子间距为a ），其２N 个格波的解。
当m M =时与一维单原子链一一对应。
解：（１）一维双原子链： 22q aaππ-≤<声学波：12222411sin ()m M mM aq mM m M ωβ-⎧⎫⎡⎤+⎪⎪=--⎨⎬⎢⎥+⎣⎦⎪⎪⎩⎭当m M =时，有2224(1cos )sin 2aqaq m m ββω-=-= 。
光学波：12222411sin ()m M mM aq mM m M ωβ+⎧⎫⎡⎤+⎪⎪=+-⎨⎬⎢⎥+⎣⎦⎪⎪⎩⎭当m M =时，有2224(1cos )cos 2aqaq m m ββω+=+= 。
（２）一维双原子链在m M =时的解 22224sin 2422cos 2aq m q aq aam βωππβω-+⎧=⎪⎪-≤<⎨⎪=⎪⎩与一维单原子链的解 224sin 2aqq m aaβππω=-≤<是一一对应的。
固体物理 课后习题解答(黄昆版)第三章
•
w
M M
将
us −1
d 2us = C (Vs −1 − us ) + 10C (Vs − us ) ， dt 2 d 2Vs = 10C ( us − Vs ) + C ( us +1 − Vs ) , dt 2
w
a/2
o
vs −1
. e h c 3 . w
c 10c
m o c
o
•
o
•
us
vs
当 当
k = k x ，且 k y = 0 时的 ω − k 图，和 kx = k y
时的 ω − k 图，如右图所示。
3.5 已知 Nacl 晶体平均每对离子的相互作用能为 U (r ) = −
马德隆常数 α ＝1.75，n＝9，平均离子间距 r0 = 2.82 Å 。 （1）试求离子在平衡位置附近的振动频率
(b)根据题意，
μl ,m = μ (0) exp[i (lk x a + mk y a − ωt )]
) = c[( μl +1,m + μl −1,m − 2μl ,m ) 的解， dt 2 + ( μl ,m +1 + μl ,m −1 − 2μl ,m )] M(
因为
d 2 μl , m
μl ,m = μ (0) exp[i (lk x a + mk y a − ωt )]
代回到运动方程得到
若 A、B 有非零的解，系数行列式满足：
w
两种不同的格波的色散关系：
w
. e h c 3 . w
-2-
m o c
——第一布里渊区
解答（初稿）作者 季正华
固体物理 课后习题解答(黄昆版)第三章
黄昆 固体物理 习题解答第三章 晶格振动和晶体的热学性质3.1 已知一维单原子链，其中第 j 个格波，在第 个格点引起的位移为， μ = a nj j sin(ωj_ j + σ j) ，σj为任意个相位因子，并已知在较高温度下每个格波的平均能量为，具体计算每个原子的平方平均位移。
解：任意一个原子的位移是所有格波引起的位移的叠加，即μn= ∑ μnj=∑ a jsin(ωjt naq j+σj)j j（1）μ 2 n= ⎛ ⎜ ⎝ ∑ μj nj⎞⎛ ⎟⎜ ⎠⎝ ∑ μ j * nj ⎞ ⎟ ⎠ = ∑ μ j2nj + ∑ μ μnj *nj ′ j j ′由于 μ μnj ⋅nj 数目非常大的数量级，而且取正或取负几率相等，因此上式得第 2 项和第一项μ相比是一小量，可以忽略不计。
所以2 =∑ μ2nj nj由于 μnj 是时间 的周期性函数，其长时间平均等于一个周期内的时间平均值为μ 2 =1T∫02 ω +σ12ja jsin(t naqjj j)dt a =j（2）T2已知较高温度下的每个格波的能量为 KT ， μnj 的动能时间平均值为1L T⎡1⎛ d μ ⎞ 2 ⎤ ρ w a 2 T1= ∫ ∫dx 0⎢ ρ nj⎥ = j j ∫02 ω + σ = ρ 2 2T ⎜ ⎟ dt L a sin( t naq )dt w La nj T 0 0 0 ⎢ 2 ⎝ dt ⎠ ⎥2T 00 j j j j4 j j 其中 L 是原子链的长度， ρ 使质量密度，T 0为周期。
1221所以T nj= ρ w La j j =KT（3）4 2μKT因此 将此式代入（2）式有nj 2 = ρωL2 jμ 所以每个原子的平均位移为2== ∑ μ 2= ∑KT = K T ∑1nnjρ ωL 2ρ Lω 2jjjjj3.2 讨论 N 个原胞的一维双原子链（相邻原子间距为 a ），其 2N 格波解，当 M=m 时和一维单原子链的结果一一对应. 解答（初稿）作者季正华- 1 -黄昆固体物理习题解答解：如上图所示，质量为M 的原子位于2n-1，2n+1，2n+3 ……质量为m 的原子位于2n，2n+2，2n+4 ……牛顿运动方程：..mμ2n= −β μ(22n−μ2n+1 −μ2n−1)..Mμ2n+1 = −β μ(22n+1 −μ2n+2 −μ2n)体系为N 个原胞，则有2N 个独立的方程i na q方程解的形式：iμ2n=Ae[ωt−(2 ) ] μ2n+1=Be[ω−(2n+1)aq]na qμ=将μ2n=Ae[ωt−(2 ) ]2n+1 Be i[ωt−(2n+1) aq]代回到运动方程得到若A、B 有非零的解，系数行列式满足：两种不同的格波的色散关系：——第一布里渊区解答（初稿）作者季正华- 2 -第一布里渊区允许 q 的数目黄昆 固体物理 习题解答对应一个 q 有两支格波：一支声学波和一支光学波。
黄昆固体物理习题解答
因此只要先求出倒格点 Ghkl ，求出其大小即可。
由正格子基矢 a = ai ， b = bj ， c = ck ，可以马上求出：
a∗ = 2π i ， b ∗ = 2π j ， c∗ = 2π k
a
b
c
因为倒格子基矢互相正交，因此其大小为
Ghkl =
(ha∗ )2 + (kb∗ )2 + (lc∗ )2 = 2π
(h)2 + (k )2 + ( l )2 abc
则带入前边的关系式，即得晶面族的面间距。 1.7 写出体心立方和面心立方晶格结构的金属中，最近邻和次近邻的原子数。若立方边长为
a ，写出最近邻和次近邻的原子间距。
答：体心立方晶格的最近邻原子数（配位数）为 8，最近邻原子间距等于 3 a ，次近邻原 2
=V0
∂2U ( ∂r2
)r0
=
N 2
[−
m(m +1)α r m+2
0
+
n(n +1)β r n+2
0
=
N 2
{−
1 r02
m2α [( r0m
−
n2β r0n
)
+
(
mα r0m
−
nβ r0n
)]}
=
N 2
[−
1 r02
m2α ( r0m
−
n2β r0n
)]
=
N 2
[−
1 r m+2
0
(m2α
−
n2β nβ
AB = a (i − j − k ) 2
c
B
b
C
O
a
OB ⋅ AB =| OB || AB | cosθ = a2 (−1) 4
固体物理学1~6章习题解答
《固体物理学》习题解答第一章1.1 有许多金属即可形成体心立方结构，也可以形成面心立方结构。
从一种结构转变为另一种结构时体积变化很小.设体积的变化可以忽略，并以R f 和R b 代表面心立方和体心立方结构中最近邻原子间的距离，试问R f /R b 等于多少？答：由题意已知，面心、体心立方结构同一棱边相邻原子的距离相等，都设为a ：对于面心立方，处于面心的原子与顶角原子的距离为：R f=2 a 对于体心立方，处于体心的原子与顶角原子的距离为：R b=2a 那么，Rf Rb1.2 晶面指数为（123）的晶面ABC 是离原点O 最近的晶面，OA 、OB 和OC 分别与基失a 1，a 2和a 3重合，除O 点外，OA ，OB 和OC 上是否有格点？若ABC 面的指数为（234），情况又如何？答：根据题意，由于OA 、OB 和OC 分别与基失a 1，a 2和a 3重合，那么晶面族是（123）的离原点最近的晶面在三个基矢坐标轴上的截距分别是a1、(1/2)a2、(1/3)a3。
固体物理学中基矢的长度等于相邻两个格点的距离，所以只要“OA,OB 和OC 分别与基矢a1,a2,a3重合”，而O 又是格点，则A 、B 、C 一定是格点。
OA 、OB 、OC 间无格点，（234）情况一样。
结晶学以晶包基矢为坐标轴表示晶面指数，但称为米勒指数。
1.3 二维布拉维点阵只有5种，试列举并画图表示之。
答：二维布拉维点阵只有五种类型：正方、矩形、六角、有心矩形和斜方。
分别如图所示：1.4 在六方晶系中，晶面常用4个指数（hkil ）来表示，如图所示，前3个指数表示晶面族中最靠近原点的晶面在互成120°的共平面轴a 1，a 2，a 3上的截距a 1/h ，a 2/k ，a 3/i ，第四个指数表示该晶面的六重轴c 上的截距c/l.证明：i=-（h+k ） 并将下列用（hkl ）表示的晶面改用（hkil ）表示：（001）(133)(110)(323)（100）（010）(213)答：证明设晶面族（hkil ）的晶面间距为d ，晶面法线方向的单位矢量为n °。
固体物理第三章答案
对 NaCl：T=5K 时
8. 在一维无限长单原子链中，若设原子的质量均为 M，若在简谐近似下考虑原子间的长程 作用力， 第 n 个原子与第 n+m 和第 n－m 个原子间的恢复力系数为m, 试求格波的色散关系。 解：设原子的质量为 M，第 n 个原子对平衡位置的位移为 un , 第 n+m 和第 n－m 个原子对 平衡位置的位移为 un＋m 和 un－m (m=1,2,3……), 则第 n+m 和第 n－m 个原子对第 n 个原子的 作用力为 fn,m = m（un＋m－un）＋m（un－m－un）＝m（un＋m＋un－m－2un） 第 n 个原子受的总力为 Fn =
色散关系为
4 qa sin m 2
(1)
2
2 2 (1 cos qa) = m (1-cosqa) m 2
(2)
其中
m= (
4 12 ) m
由于对应于q, 取相同的值， （色散关系的对称性〕 ，则 d区间的格波数为
g( )d＝2
Na Nad dq 2 d dq
V g ( i )d i = (2 ) 3
i d i i
d q
在长波极限下等频率面为球面
则
g( i )d i =
V 4q 2 dq (2 ) 3
当 i 0 时 因为
q2＝
0－ i (q)
A
q
0 i (q)
A
dq=－
2 A 2 0 i (q) 2
m 1
f n ,m =
m 1
m（un＋m＋un－m－2un）
因此，第 n 个原子的运动方程为 M
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第三章第三章 晶格振动与晶体热学性质思 考 题1. 相距为不是晶格常数倍数的两个同种原子, 其最大振幅是否相同? [解答]以同种原子构成的一维双原子分子链为例, 相距为不是晶格常数倍数的两个同种原子, 设一个原子的振幅A, 另一个原子振幅B, 由本教科书的(3.16)可得两原子振幅之比iqa e m A B −+−+=21221ββωββ (1)其中m 原子的质量. 由本教科书的(3.20)和(3.21)两式可得声学波和光学波的频率分别为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+−−+=2/12221212122sin )(411)(qa m A ββββββω, (2)⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+−++=2/12221212122sin )(411)(qa m O ββββββω. (3)将(2)(3)两式分别代入(1)式, 得声学波和光学波的振幅之比分别为iqae qa A B −+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+−+=212/1222121212sin )(41)(ββββββββ, (4)iqae qa A B −+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+−+−=212/1222121212sin )(41)(ββββββββ. (5)由于)cos -(12)()sin ()cos (212212222121qa qa qa e iqa βββββββββ−+=++=+−=2/1222121212sin )(41)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+−+qa ββββββ，则由(4)(5)两式可得, 1=A B. 即对于同种原子构成的一维双原子分子链, 相距为不是晶格常数倍数的两个原子, 不论是声学波还是光学波, 其最大振幅是相同的. 2. 引入玻恩卡门条件的理由是什么? [解答](1) (1) 方便于求解原子运动方程.由本教科书的(3.4)式可知, 除了原子链两端的两个原子外, 其它任一个原子的运动都与相邻的两个原子的运动相关. 即除了原子链两端的两个原子外, 其它原子的运动方程构成了个联立方程组. 但原子链两端的两个原子只有一个相邻原子, 其运动方程仅与一个相邻原子的运动相关, 运动方程与其它原子的运动方程迥然不同. 与其它原子的运动方程不同的这两个方程, 给整个联立方程组的求解带来了很大的困难.(2) (2) 与实验结果吻合得较好.对于原子的自由运动, 边界上的原子与其它原子一样, 无时无刻不在运动. 对于有N 个原子构成的的原子链, 硬性假定0 ,01==N u u 的边界条件是不符合事实的. 其实不论什么边界条件都与事实不符. 但为了求解近似解, 必须选取一个边界条件. 晶格振动谱的实验测定是对晶格振动理论的最有力验证(参见本教科书§3.2与§3.4). 玻恩卡门条件是晶格振动理论的前提条件. 实验测得的振动谱与理论相符的事实说明, 玻恩卡门周期性边界条件是目前较好的一个边界条件.3. 什么叫简正振动模式？简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是否是一回事？ [解答]为了使问题既简化又能抓住主要矛盾，在分析讨论晶格振动时，将原子间互作用力的泰勒级数中的非线形项忽略掉的近似称为简谐近似. 在简谐近似下, 由N 个原子构成的晶体的晶格振动, 可等效成3N 个独立的谐振子的振动. 每个谐振子的振动模式称为简正振动模式, 它对应着所有的原子都以该模式的频率做振动, 它是晶格振动模式中最简单最基本的振动方式. 原子的振动, 或者说格波振动通常是这3N 个简正振动模式的线形迭加.简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是一回事, 这个数目等于晶体中所有原子的自由度数之和, 即等于3N .4. 长光学支格波与长声学支格波本质上有何差别? [解答]长光学支格波的特征是每个原胞内的不同原子做相对振动, 振动频率较高, 它包含了晶格振动频率最高的振动模式. 长声学支格波的特征是原胞内的不同原子没有相对位移, 原胞做整体运动, 振动频率较低, 它包含了晶格振动频率最低的振动模式, 波速是一常数. 任何晶体都存在声学支格波, 但简单晶格(非复式格子)晶体不存在光学支格波. 5. 晶体中声子数目是否守恒? [解答]频率为i ω的格波的(平均) 声子数为11)(/−=T k i B i e n ωω ,即每一个格波的声子数都与温度有关, 因此, 晶体中声子数目不守恒, 它是温度的变量.按照德拜模型, 晶体中的声子数目N’为ωνπωωωωωωωd 2311d )()('0322/0⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛−==DB i D p cT k V e D n N .作变量代换T k x B ω =，⎰Θ−=Tx pB c D e x x T k V N /02332331d 23'νπ .其中D Θ是德拜温度. 高温时, x e x+≈1T k V N pDB c 3322343'νπΘ =,即高温时, 晶体中的声子数目与温度成正比.低温时, ∞→)/(T D Θ,3133323102332330233233)2(23)d (231d 23'T nk V x e x T k V e x x Tk V N n p B c n nxp B c x pB c ∑∑⎰⎰∞=∞=∞−∞==−=νπνπνπ ,即低温时, 晶体中的声子数目与T 3成正比.6. 温度一定，一个光学波的声子数目多呢, 还是声学波的声子数目多? [解答]频率为ω的格波的(平均) 声子数为11)(/−=Tk Be n ωω .因为光学波的频率O ω比声学波的频率A ω高, (1/−Tk B O eω )大于(1/−Tk B A e ω ), 所以在温度一定情况下, 一个光学波的声子数目少于一个声学波的声子数目.7. 对同一个振动模式, 温度高时的声子数目多呢, 还是温度低时的声子数目多? [解答]设温度T H >T L , 由于(1/−H B T k eω )小于(1/−LB Tk e ω ), 所以温度高时的声子数目多于温度低时的声子数目.8. 高温时, 频率为ω的格波的声子数目与温度有何关系? [解答]温度很高时, 1/−≈ωω Tk B e, 频率为ω的格波的(平均) 声子数为 11)(/−=T k Be n ωω ω Tk B ≈.可见高温时, 格波的声子数目与温度近似成正比.9. 从图3.6所示实验曲线, 你能否判断哪一支格波的模式密度大? 是光学纵波呢, 还是声学纵波? [解答]从图 3.6所示实验曲线可以看出, 在波矢空间内, 光学纵波振动谱线平缓, 声学纵波振动谱线较陡. 单位频率区间内光学纵波对应的波矢空间大, 声学纵波对应的波矢空间小. 格波数目与波矢空间成正比, 所以单位频率区间内光学纵波的格波数目大. 而模式密度是单位频率区间内的格波数目, 因此光学纵波的模式密度大于声学纵波的模式密度. 10. 喇曼散射方法中，光子会不会产生倒逆散射？[解答]晶格振动谱的测定中, 光波的波长与格波的波长越接近, 光波与声波的相互作用才越显著. 喇曼散射中所用的红外光，对晶格振动谱来说, 该波长属于长波长范围. 因此, 喇曼散射是光子与长光学波声子的相互作用. 长光学波声子的波矢很小, 相应的动量q 不大. 而能产生倒逆散射的条件是光的入射波矢k 与散射波矢'k 要大, 散射角θ也要大. k 与'k 大要求波长小, 散射角θ大要求q 大(参见下图), . 但对喇曼散射来说, 这两点都不满足.即喇曼散射中，光子不会产生倒逆散射.11. 长声学格波能否导致离子晶体的宏观极化? [解答]长光学格波所以能导致离子晶体的宏观极化, 其根源是长光学格波使得原胞内不同的原子(正负离子)产生了相对位移. 长声学格波的特点是, 原胞内所有的原子没有相对位移. 因此, 长声学格波不能导致离子晶体的宏观极化.12. 金刚石中的长光学纵波频率与同波矢的长光学格横波频率是否相等? 对KCl 晶体, 结论又是什么? [解答]长光学纵波引起离子晶体中正负离子的相对位移, 离子的相对位移产生出宏观极化电场, 电场的方向是阻滞离子的位移, 使得有效恢复力系数变大, 对应的格波的频率变高. 长光学格横波不引起离子的位移, 不产生极化电场, 格波的频率不变. 金刚石不是离子晶体, 其长光学纵波频率与同波矢的长光学格横波频率相等. 而KCl 晶体是离子晶体, 它的长光学纵波频率与同波矢的长光学格横波频率不相等, 长光学纵波频率大于同波矢的长光学格横波频率.13. 何谓极化声子? 何谓电磁声子? [解答]长光学纵波引起离子晶体中正负离子的相对位移, 离子的相对位移产生出宏观极化电场, 称长光学纵波声子为极化声子.由本教科书的(3.103)式可知, 长光学横波与电磁场相耦合, 使得它具有电磁性质, 人们称长光学横波声子为电磁声子.14. 你认为简单晶格存在强烈的红外吸收吗？ [解答]实验已经证实, 离子晶体能强烈吸收远红外光波. 这种现象产生的根源是离子晶体中的长光学横波能与远红外电磁场发生强烈耦合. 简单晶格中不存在光学波, 所以简单晶格不会吸收远红外光波.15. 对于光学横波, 0→T ω对应什么物理图象?[解答]格波的频率ω与β成正比. 0→T ω说明该光学横波对应的恢复力系数0→β. 0=β时, 恢复力消失, 发生了位移的离子再也回不到原来的平衡位置, 而到达另一平衡位置, 即离子晶体结构发生了改变(称为相变). 在这一新的结构中, 正负离子存在固定的位移偶极矩, 即产生了自发极化, 产生了一个稳定的极化电场. 16. 爱因斯坦模型在低温下与实验存在偏差的根源是什么? [解答]按照爱因斯坦温度的定义, 爱因斯坦模型的格波的频率大约为Hz 1013, 属于光学支频率. 但光学格波在低温时对热容的贡献非常小, 低温下对热容贡献大的主要是长声学格波. 也就是说爱因斯坦没考虑声学波对热容的贡献是爱因斯坦模型在低温下与实验存在偏差的根源.17. 在甚低温下, 不考虑光学波对热容的贡献合理吗? [解答]参考本教科书（3.119）式, 可得到光学波对热容贡献的表达式2//2)1(d )(maxmin−⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰T k O T k B B VO B B O O e D e T k k C ωωωωωωω . 在甚低温下, 对于光学波, Tk B e/ω 1>>, 上式简化为 ωωωωωωd )(/2maxminO T k B B VO D e T k k C B O O −⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=.以上两式中)(ωO D 是光学波的模式密度, 在简谐近似下, 它与温度无关. 在甚低温下,0)/(/→−T e T k B ω , 即光学波对热容的贡献可以忽略. 也就是说, 在甚低温下, 不考虑光学波对热容的贡献是合理的.从声子能量来说, 光学波声子的能量O ω 很大(大于短声学波声子的能量), 它对应振幅很大的格波的振动, 这种振动只有温度很高时才能得到激发. 因此, 在甚低温下, 晶体中不存在光学波.18. 在甚低温下, 德拜模型为什么与实验相符? [解答]在甚低温下, 不仅光学波得不到激发, 而且声子能量较大的短声学格波也未被激发, 得到激发的只是声子能量较小的长声学格波. 长声学格波即弹性波. 德拜模型只考虑弹性波对热容的贡献. 因此, 在甚低温下, 德拜模型与事实相符, 自然与实验相符. 19. 在绝对零度时还有格波存在吗? 若存在, 格波间还有能量交换吗? [解答] 频率为i ω的格波的振动能为ii i n ωε ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=21,其中i i n ω 是由i n 个声子携带的热振动能, (2/i ω )是零点振动能, 声子数11/−=Tk i B i e n ω .绝对零度时, i n =0. 频率为i ω的格波的振动能只剩下零点振动能.格波间交换能量是靠声子的碰撞实现的. 绝对零度时, 声子消失, 格波间不再交换能量. 20. 温度很低时, 声子的自由程很大, 当0→T 时, ∞→λ, 问0→T 时, 对于无限长的晶体, 是否成为热超导材料? [解答]对于电绝缘体, 热传导的载流子是声子. 当0→T 时, 声子数n 0→. 因此, 0→T 时, 不论晶体是长还是短, 都自动成为热绝缘材料.21. 石英晶体的热膨胀系数很小, 问它的格林爱森常数有何特点? [解答] 由本教科书(3.158)式可知, 热膨胀系数V α与格林爱森常数γ成正比. 石英晶体的热膨胀系数很小, 它的格林爱森常数也很小. 格林爱森常数γ大小可作为晶格非简谐效应大小的尺度. 石英晶体的格林爱森常数很小, 说明它的非简谐效应很小.。