固体物理第三章习题及答案

第三章第三章 晶格振动与晶体热学性质

思 考 题

1. 相距为不是晶格常数倍数的两个同种原子, 其最大振幅是否相同? [解答]

以同种原子构成的一维双原子分子链为例, 相距为不是晶格常数倍数的两个同种原子, 设一个原子的振幅A, 另一个原子振幅B, 由本教科书的(3.16)可得两原子振幅之比

iqa e m A B −+−+=212

21ββωββ (1)

其中m 原子的质量. 由本教科书的(3.20)和(3.21)两式可得声学波和光学波的频率分别为

⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+−−+=2

/122

212

12122sin )(411)(qa m A ββββββω, (2)

⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+−++=2

/122

212

12122sin )(411)(qa m O ββββββω. (3)

将(2)(3)两式分别代入(1)式, 得声学波和光学波的振幅之比分别为

iqa

e qa A B −+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+−+=

212

/122

2121212sin )(41)(ββββββββ, (4)

iqa

e qa A B −+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+−+−=

212

/122

2121212sin )(41)(ββββββββ. (5)

由于

)

cos -(12)()sin ()cos (212212222121qa qa qa e iqa βββββββββ−+=++=+−

=

2

/122

2121212sin )(41)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+−+qa ββββββ，

则由(4)(5)两式可得, 1=A B

. 即对于同种原子构成的一维双原子分子链, 相距为不是晶格常

数倍数的两个原子, 不论是声学波还是光学波, 其最大振幅是相同的. 2. 引入玻恩卡门条件的理由是什么? [解答]

(1) (1) 方便于求解原子运动方程.

由本教科书的(3.4)式可知, 除了原子链两端的两个原子外, 其它任一个原子的运动都与相邻的两个原子的运动相关. 即除了原子链两端的两个原子外, 其它原子的运动方程构成了个联立方程组. 但原子链两端的两个原子只有一个相邻原子, 其运动方程仅与一个相邻原子的运动相关, 运动方程与其它原子的运动方程迥然不同. 与其它原子的运动方程不同的这两个方程, 给整个联立方程组的求解带来了很大的困难.

(2) (2) 与实验结果吻合得较好.

对于原子的自由运动, 边界上的原子与其它原子一样, 无时无刻不在运动. 对于有N 个原子构成的的原子链, 硬性假定0 ,01==N u u 的边界条件是不符合事实的. 其实不论什么边界条件都与事实不符. 但为了求解近似解, 必须选取一个边界条件. 晶格振动谱的实验测定是对晶格振动理论的最有力验证(参见本教科书§3.2与§3.4). 玻恩卡门条件是晶格振动理论的前提条件. 实验测得的振动谱与理论相符的事实说明, 玻恩卡门周期性边界条件是目前较好的一个边界条件.

3. 什么叫简正振动模式？简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是否是一回事？ [解答]

为了使问题既简化又能抓住主要矛盾，在分析讨论晶格振动时，将原子间互作用力的泰勒级数中的非线形项忽略掉的近似称为简谐近似. 在简谐近似下, 由N 个原子构成的晶体的晶格振动, 可等效成3N 个独立的谐振子的振动. 每个谐振子的振动模式称为简正振动模式, 它对应着所有的原子都以该模式的频率做振动, 它是晶格振动模式中最简单最基本的振动方式. 原子的振动, 或者说格波振动通常是这3N 个简正振动模式的线形迭加.

简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是一回事, 这个数目等于晶体中所有原子的自由度数之和, 即等于3N .

4. 长光学支格波与长声学支格波本质上有何差别? [解答]

长光学支格波的特征是每个原胞内的不同原子做相对振动, 振动频率较高, 它包含了晶格振动频率最高的振动模式. 长声学支格波的特征是原胞内的不同原子没有相对位移, 原胞做整体运动, 振动频率较低, 它包含了晶格振动频率最低的振动模式, 波速是一常数. 任何晶体都存在声学支格波, 但简单晶格(非复式格子)晶体不存在光学支格波. 5. 晶体中声子数目是否守恒? [解答]

频率为i ω的格波的(平均) 声子数为

11

)(/−=

T k i B i e n ωω ,

即每一个格波的声子数都与温度有关, 因此, 晶体中声子数目不守恒, 它是温度的变量.

按照德拜模型, 晶体中的声子数目N’为

ωνπωωωωωωωd 2311d )()('0

3

22

/0

⎰

⎰⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛−==D

B i D p c

T k V e D n N .

作变量代换

T k x B ω =

，

⎰

Θ−=

T

x p

B c D e x x T k V N /0

23323

31

d 23'νπ .

其中D Θ是德拜温度. 高温时, x e x

+≈1

T k V N p

D

B c 3

322

343'νπΘ =,

即高温时, 晶体中的声子数目与温度成正比.

低温时, ∞→)/(T D Θ,