数学分析第二章期中考试复习指导.docx

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数学分析(2)期中试题参考答案

以存在连续映射 γ : [a, b] → E，满足 γ(a) = x、γ(b) = y。设 U ′ = γ−1(U )、
V ′ = γ−1(V )，因为 γ 连续，所以 U ′、V ′ 是 [a, b] 中的非空开集，且满足
[a, b] = U ′ ∪ V ′、U ′ ∩ V ′ = ∅，于是 [a, b] 不连通，矛盾！
要计算 Jacobi 行列式，由隐函数定理可知：
∂gi ∂p
=
−
f
gi ′(gi)
,
∂gi ∂q
=
1 − f ′(gi) ,
()
由此不难求出 det
∂(u,v) ∂(p,q)
=
1 v−u
=
√ 1 。（注：此做法可推广到一般的
p2−4q
n 次多项式，最后计算 Jacobi 行列式时会出现 f 和 f ′ 的结式。）
考虑函数 u(x, y, z) = H(x, y, z) − λ f (x, y, z)，它的驻点满足
ux = −λfx = 0, uy = −λfy = 0, uz = 1 − λfz = 0.
将上述方程与 f = 0 联立可得 x = 0、y = 0，以及四个 zi：
√√
√√
z1 = − a2 + a4 − b4, z2 = − a2 − a4 − b4, z3 = −z2, z4 = −z1,
√
√
−p − p2 − 4q
−p + p2 − 4q
u=
, v=
2
2
()
即是所求。接下来通过直接的计算可得 det
∂(u,v) ∂(p,q)
= √ 1 。（注：此做
p2−4q
法显然不能推广到一般的 n 次多项式。）

初三数学期中考第二章知识点必备

初三数学期中考第二章知识点必备
关于初中的温习，在背诵一些课本知识点的同时还需求做一些练习题，一同来看一下这篇初三数学期中考第二章知识点吧!
1. 一元二次方程的普通方式: a≠0时，ax2+bx+c=0叫一元二次方程的普通方式，研讨一元二次方程的有关效果时，少数习题要先化为普通方式，目的是确定普通方式中的a、 b、c; 其中a 、 b,、c能够是详细数，也能够是含待定字母或特定式子的代数式.
2. 一元二次方程的解法: 一元二次方程的四种解法要求灵敏运用，其中直接开平方法虽然复杂，但是适用范围较小;公式法虽然适用范围大，但计算较繁，易发作计算错误;因式分解法适用范围较大，且计算简便，是首选方法;配方法运用较少.
3. 一元二次方程根的判别式: 当ax2+bx+c=0 (a≠0)时，
Δ=b2-4ac 叫一元二次方程根的判别式.
易错知识辨析：
(1)判别一个方程是不是一元二次方程，应把它停止整理，化成普通方式后再停止判别，留意一元二次方程普通方式
中 .
(2)用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成普通方式.
(3)用配方法时二次项系数要化1.
(4)用直接开平方的方法时要记得取正、负.
小编为大家提供的初三数学期中考第二章知识点就到这里了，愿大家都能在学期努力，丰厚自己，锻炼自己。

数学分析总结复习提纲

数学分析总结复习提纲数学分析（一）总结复习提纲用词说明：本提纲中冠以“掌握、理解、熟悉”等词的内容为较高要求内容，冠以“会、了解、知道”等词的内容为较低要求内容。

一、内容概述第一章函数、极限与连续§1函数1. 实数集的性质，2. 区间与邻域的概念及其表示，3. 函数的概念与几个特殊函数，4. 函数的奇偶性、周期性、单调性和有界性，4. 复合函数的概念与运算，5. 反函数的定义与性质，6. 初等函数的概念与基本初等函数的性质。

§2 数列极限1. 数列极限的定义以及用定义证明极限，2. 收敛数列的性质，3. 子列的概念以及收敛数列与其子列之间的关系。

§3 函数极限1. ∞x时函数的极限，2. 0x→x→时函数的极限，3. 函数极限的性质，4. 函数极限与数列极限的关系。

§4 无穷小与无穷大1. 无穷小的概念以及函数极限与无穷小的性质，2. 无穷大的概念以及无穷小与无穷大的关系。

§5 极限运算法则1. 无穷小的性质，2. 极限四则运算法则，3. 复合函数的极限运算法则，4. 加逼准则。

§6 单调有界原理与两个重要极限1. 单调有界原理，2. 几个常见不等式，3. 两个重要极限公式。

§7 无穷小的比较1. 无穷小量阶的比较概念，2. 等价无穷小的性质。

§8 函数的连续性与间断点1.函数的连续性概念，2. 函数的间断点及其分类。

§9 连续函数的运算与初等函数的连续性1. 连续函数的四则运算，2. 反函数的连续性，3. 复合函数的连续性，4. 初等函数的连续性。

§10 闭区间上连续函数的性质1. 有界性与最大值最小值定理，2. 零点定理与介值定理。

第二章导数与微分§1 导数的概念1.导数概念的引进，2. 导数的定义，3. 导数的几何意义，4. 函数的连续性与可导性的关系。

§2 函数的求导法则1．导数的四则运算法则，2. 反函数的求导公式，3. 复合函数的求导法则，4. 基本求导公式与求导法则。

数学分析(二)期中考试答案

学习必备欢迎下载学生填写）：姓名：学号：命题：王守中审题：审批： ------------------------------------------------ 密 ---------------------------- 封 --------------------------- 线 ----------------------------------------------------------- （答题不能超出密封装订线）数学分析(二)期中考试试卷使用班级（教师填写）：信息09-1一．选择题（每小题2分，共20分）：1.点0x 是函数)(x f 的驻点，则一定有（ C ）（A ）0x 是极值点；（B ）0x 是不可导的点；（C ）0)(0='x f ；（D ）0)(0=x f 。

2.设函数)(x f 在0x 处有0)(0='x f ，0)(0>''x f ，则在0x 处函数（ B ）（A ）取得极大值；（B ）取得极小值；（C ）不取得极值；（D ）不能确定。

3.2362(01)y x x =-曲线在区间，的特性是（ B ）（A ）单调递增，凹（B ）单调递增，凸（C ）单调递减，凹（D ）单调递减，凸4．函数sin4x 的一个原函数是（ C ）（A ）cos4x （B ）41cos4x （C ）-41cos4x （D ）41sin4x5．下列各式中成立的是（ D ）（A ）()()f x dx f x '=⎰ （B ）()()df x f x C '=+⎰ （C ）(())()d f x dx f x =⎰（D ）(())()d f x dx f x dx=⎰6．设xe-是()f x 的一个原函数，则⎰dx x xf )(=（ B ）（A ）e -x（1-x ）+C （B ）e -x（x+1）+C（C ）e -x （x-1）+C （D ）-e -x（x+1） 7. 0()(2cos cos3) 3xf x t t dt x π=+=⎰函数在处必（）C ()()()()A B CD 不为极植取极小值取极大值是单调的8.已知)(x F '=f(x),则⎰-xadt t a f )(=( A )A) F(0)-F(a-x) B) F(a-x)- F(0) C) F(x-a)- F(0) D) F(0)- F(x-a)9. 下列积分中不等于零的是( A )A)⎰-224cos 4ππθθd B)⎰-ππxdx xsin 4C) ⎰-++55242312sin dx x x xx D)⎰-11cos xdx x 10.下列积分发散的有( A ) A)dxxx⎰∞+1ln B) dx x ⎰∞++0211C) 0+∞⎰D)1x e dx +∞-⎰二.填空题(每小题2分，共16分)1. 设3)(0x dt t f x =⎰,f(x)=______________ 31__________.2. 1 0___________________pdxp x ⎰若瑕积分发散，则必有1p ≥3.都是常数．和，其中b a dx x dx d b a__________________)1sin( 2=+⎰0 4._____________________ 22=-⎰-dx x a aa定积分22a π5.____________________2sin 03⎰π=dt t436.函数xx y ⎪⎭⎫⎝⎛=1的极值点是x ＝ e 17.32(13),(,)y ax bx a b =+=设曲线以点，为拐点则数组 39()22-， 8.极限=-→xxx 1ln lim 1 -1 ．三.计算题(每小题5分，共25分)1．⎰++)1(21222x x x解：⎰++)1(21222x x x dx ==++=+++⎰⎰⎰dx x dx x dx x x x x 222222111)1()1(-x 1+arctgx+C; 2. ⎰+x xe e 12dx解：⎰+xxee 12dx= 2(1)(1)1x x x x e e e dx e+-+-+⎰ 1(1)(1)1x x xdx d e e dx e=-++-+⎰⎰⎰ =e x-ln(1+e x)+C; 3.121()x x dx -+⎰．解:原式=⎰4201x dx =4331x =434.．求⎰+21ln 1e xx dx解:令　1+=ln x t原式=⎰dtt13=213t =-231()5.．求⎰+∞-032dx e x x解:2x t =令　12tte dt +∞-=⎰原式=→+∞-⎰120lim b t b te dt=--→+∞--120lim ()b t t b te e =12四.求下列极限(每小题5分，共10分)1. ⎪⎭⎫⎝⎛--→x x xx ln 11lim 1＝x x x x x x ln )1(1ln lim 1---→＝xx x x 11ln 11ln lim 1-+-+→＝1ln ln lim 1-+→x x x x x x ＝11ln 1ln lim1+++→x x x ＝212. 2arctan limxdt t x x ⎰→解: 利用洛必达法则,020arctan arctan limlim2xx x tdt x x x →→=⎰=21五.( 6分 )设F(x)为f(x)的一个原函数，当x ≥0时有f(x)F(x)=sin 2x ，且F(0)=1，F(x)0≥，求f(x)。

大连理工大学《工科数学分析基础》第二章复习.docx

第二章复习X.l 各类导数的求法复合函数微分法包=空更dx du dx=arcsin 3 兀-2丫 3x + 2 丿 12 (3兀+ 2尸d 3y _ d (d 2y\ _ dtydx 1) _ /^(r) dx It 隐函数微分法1对方程两边求导，要记住y 是兀的函数，则y 的函数是兀的复合函数。

2利用微分形式不变性，在方程两边求微分，然后解出芈dx例 3 设方程 xy 2+ e y= cos(x + y 2),求 y'解法一：y 2+ 2xyy + e yy = -sin(% + >,2)(1 + 2y/),‘3兀-2、<3x + 2 >,/\x) = arcsin x 2,求空dx A=()于是dy dx3=(arcsin 1)・ 3 =—龙 x=o 2参数方程微分法fdx dy d y - dt _ /(O d ~y _ x ，(0/(0 一 y\t)x (r) dx _/(/) dx 1dt[V(0]3,英屮f ⑴的三阶导数存在，且f”⑴H 0 ,求乞，ax dx~ dx解 dy 二血）二厂⑴+（T （/） -广⑴二£ dxx\t ） f\t ） d(dyd 2y d■■Idx~ dxdt\dx) _1dtdx‘ dxIdx 1]r （t ）r 3（oy 2 +sin(x+ b) 〉2xy 4- e y + 2j ,sin(x+ y 2)解法二：d (xy 2+ e y) = d (cos(x + y~))y 2dx + 2xydy + e ydy = -sin(x + y 2)(clx^2ydy)[(2xy + e y+2ysin(x+ y 2)]dy = -[y 2+sin(x+ y 2)]dx,_y 2+sin (兀 + y 2)2xy + R + 2ysin(x+)，)幕指函数的微分法设 y = w(x)v(x) (w(x) > O,w(x) H1) => y = e v(x,,nM(J)y 二 /讪“(彳/(x)lnw(%) + y (x)也 |_心)」=u(x)v(x)v\x) In u(x) + 咻)""_ U(x)」例 4 设 y = x a' + a x+ x v ,求 y‘解尸/皿+口严+/呎Xy = e(,x ,n\a xln^zlnx + —) +”夕,nx (1 + In x)In a + /,n”(心心 i n% + 齐)X=x°x a x(In d In 兀 + —) + a e(1 + In x)x x• In a + x x°+</_, (alnx +1)函数表达式为若干因子连乘积、乘方、开方或商形式的微分法：采用对数微分法（即先对式子的两边取口然对数，然后在等式的两端再对x 求导）解先将表达式写成分式指数幕的形式2 4 £y =(兀一 2尸(兀 + 3)^(3 - 2 兀$ )*1 + x 2 )刁(5 一 3x 3)'5 In y 二 2 ln(x-2) + | ln(x + 3) + 彳 ln(3-2x 2)-|ln(l + x 2)-| ln(5 一 3x 3)上式两边对x 求导，得2L = _2_ + _? -------- -- --------- - -- +—y x-23(兀 + 3) 3(3-2x 2)3(1+ 〒)5-3x 3(X + 3)2(3-2X 2)4(1 + X 2)(5-3X 3)2 (兀+ 3)2(3-2 兀2 )4例5设尸（“后EU-2)2s2216x 2x 3x 2 + — — +兀一 2 3(x + 3) 3(3-2x 2) 3(1+ x 2) 5-3x 3_分段函数微分法：各区间内的导数求法与一般所讲的导数求法无界，要特別注意的是分界点处的导数一定要用导数的定义求°例如使用公式/©)=lim "兀)_/(和及左右 XTXo X- X (} 导数来求是否可导。

数学分析专题研究学习辅导(五)

数学分析专题研究学习辅导（五）第二章数集（一）教学要求1.理解数系扩充的基本思想，掌握数系扩充的基本方法。

2.理解有限集、自然数、自然数集的定义，熟练掌握自然数集的加法、乘法运算及算律。

3. 理解从自然数集到整数集的扩充，了解序结构，代数结构，掌握整数的运算及算律，了解整数集的可列性。

4.了解从整数集到有理数集的扩充，了解序结构，代数结构，掌握有理数的运算及算律，了解有理数的可列性与稠密性，知道有理数的循环小数表示。

5.知道π是无理数，会实数的四则运算，算律，理解实数集的连续性。

了解无限集（可列集）的概念。

6.各种数系的序结构，代数结构，知道复数域不是有序域。

重、难点解析重点：各种数集的定义与运算，数集扩充的目的与方法。

难点：数集扩充的方法。

(一) 关于自然数集随着历史的发展，数的概念随之也在不断扩展，使得以集合论为基础的数集，从自然数集开始扩充，逐步建立起严密、科学的数系的理论. 在学习本节之前，应该先复习第一章中的集合概念和相关知识，为学习本节内容打好基础. 在学习本节内容时要理解有限集、自然数、自然数集的定义，熟练掌握自然数集的加法、乘法运算及算律. 在学习自然数集时应该注意以下几点：1．自然数是非空有限集合A 的基数. 因为A 是非空集合，即A ∅≠，且∅的基数是0，所以0不属于自然数. 也因为A 是有限集合，所以它的基数是一个可以写出的、唯一确定的数.2．自然数集N 是由自然数组成的集合. 且对任意自然数n ，有n ≥1，所以1是自然数集N 的最小元.3．自然数集N 是一个无限集合，即它含有无穷多个元素. 因为设集合M ={2k ｜k ∈N }，则M ⊂N ，且存在1∈N ，而1∈M ，故M 是N 的真子集.建立自然数集N 到集合M 的一个映射 f ：N →M ，f (k )=2k ，则f 是从N 到M 的一个双射. 所以N 是无限集合.4．因为对于任意两个自然数m ,n ，那么m ＜n 或m = n 或m ＞n 有且仅有一种情况成立.由第一章中的序关系定义可知，自然数集N 是一个全序集合.5. 因为自然数集可以表示为N ={1, 2, 3, …, n , …}，所以N 是可列集. 且与自然数集N 等势的集合都是可列集.任何无限集一定含有可列子集.6．在自然数的加法定义中，只有当集合A ，B 是互不相交的，即A B =∅，或者说集合A ，B 没有公共元素，则集合A ，B 的基数(A = a ，B = b )才能相加a + b ，否则不能相加. 同理，在乘法的定义中，集合1A ，2A ，…，b A 中任何两个的交集都是空集，也就是说它们之间没有公共元素，而且这b 个集合是等势的，即1A =2A =…，=b A = a ，否则也是不能做乘法的.(二) 关于整数集由上一节知道，两个自然数的差未必是一个自然数，即在自然数集中，减法未必总是能够实施的. 为此，我们必须对自然数集进行扩充. 在这一节中，主要讨论如何将自然数集扩充为整数集，使得减法运算能够实施. 在学习本节之前，应该先复习第一章中的笛卡尔集、等价关系和序关系等概念，为学习本节内容打好基础. 在学习本节内容时要理解从自然数集到整数集的扩充，了解序结构和代数结构，掌握整数的运算及算律，了解整数集的可列性. 在学习整数集时应该注意以下几点：1．在整数集Z = Z +×Z +/R 的定义中，Z +是把“0”添入自然数集后所得到的数集，叫做扩大的自然数集. 在Z +中加法和乘法运算规定为：n + 0 = 0 + n = n , n ·0 = 0·n = 0 .减法和除法运算是加法和乘法运算的逆运算，即n - 0 = n ，n - n = 0 , 0 - 0 = 0 , 0÷n = 0 .2．在定义Z ={［m ,n ］|m ,n ∈Z +}中的［m ,n ］是一个二元有序数偶，即当m ≠n 时，［m ,n ］≠［n ,m ］.而且，按照Z 中规定的序，Z 中的大小关系应该是：[m ,n ]＜(＞)[k ,l ]⇔ m + l ＜(＞)k + n .特别地：[m ,n ]＜[k ,n ]⇔ m ＜ k ，[m ,n ]＜[m ,l ]⇔ n ＞ l .因此，要注意“⇔”右面表达式中的数字在左面数组中的位置.3．整数［p ，q ］与［m , n ］的减法运算为：［p , q ］-［m , n ］=［n + p , m + q ］，也就是说在整数加减运算中，减去一个整数等于加上这个整数的相反数. 这是因为［p , q ］-［m , n ］=［n + p , m + q ］=［p , q ］+［n , m ］=［p , q ］+(-［m , n ］).4．由于整数集可以表示为Z =｛［m ,0］|m ∈Z +｝｛［0, m ］|m ∈Z +｝.我们规定：0 = [0, 0]， m = [m , 0]， - m = [0, m ]又因为［m , n ］= ［m , 0］+［0, n ］=［m , 0］-［n , 0］=［m - n , 0］.故Z = {…, -n , …, -2, -1, 0, 1, 2, …, n , …}因此，整数集是可列集.(三) 关于有理数集由前二节知道，在自然数集或整数集中，除法未必总是能够实施的. 为此，我们必须对整数集进一步扩充. 本节主要讨论如何将整数集扩充为有理数集，使得除法运算能够实施. 在学习本节内容时要了解从整数集到有理数集的扩充，了解序结构，代数结构，掌握有理数的运算及算律，了解有理数的可列性与稠密性，知道有理数的循环小数表示. 在学习有理数集时应该注意以下几点：1．在有理数集的定义：Q =Z ×Z */R中，等价关系R 是集合Z ×Z *中的一个关系，(a ,b )R (c ,d )⇔ad = bc其中集合Z *={b ｜b ∈Z ，b ≠0}，它是去掉整数集中的0元素后得到的集合，即Z *= {…, -n , …, -2, -1, 1, 2, …, n , …}.因此，有序数偶(a ,b )与(c ,d )的第二个元素b ≠0，d ≠0(这一点要特别注意). 这样就可以把关于R 的(a ,b )的等价类记作b a ,称之为一个有理数，而把所有有理数b a 组成的集合Q = Z ×Z */R 称为有理数集.2．有理数集对加、减、乘、除四则运算是封闭的. 设b a 和dc 是两个有理数，那么有理数集上的四则运算公式为 b a +d c = bd bc ad +， b a - dc = bd ad-bc ， b a ·d c = bd ac ， b a ÷d c = bcad (c ≠0). 注意，做除法运算时，除数dc ≠0.3．两个有理数a =m n ,b =kl 的大小，可以通过它们的分子、分母分别相乘后的两个数kn 与ml 的比较得知，即当关系式 kn ＜ml 时，得 a ＜b .设a ，b 为任意两个有理数，那么a ＜b ，或a = b ，或a ＞b 有且仅有一种情况成立.4．对有理数中无限循环小数的表示，补充如下两个概念：称形如 rb b b 10.的无限循环小数为纯循环小数，其中j b (j =1,…,r )都是0，1，…，9的数字．称形如 nm b b a a a a 1210.的无限循环小数为混循环小数，其中i a (i =1,…，m )与j b (j =1,…,n )都是0，1，…，9的数字．5．如果把有限小数和整数也看作是循环小数，即m a a a a 210.=0.210 m a a a a ， 0.00 a a = 那么，对任意一个有理数qp ，(p , q ) = 1，都存在唯一一个循环小数n m b b a a a a 1210.与之对应，即qp =n m b b a a a a 1210. 因此，有理数集Q 与循环小数集是一一对应的，在具体计算中可以互相替换.(四) 关于实数集由前一节知道，循环小数集与有理数集一一对应，即无限循环小数等价于有理数. 但是，无限小数除了循环小数外，还有许多是无限非循环小数. 所以，我们还要对有理数集进行扩充. 首先把无限非循环小数定义为无理数，并把有理数与无理数同称为实数. 在学习本节内容时要知道π是无理数，会应用实数的四则运算和算律，理解实数集的连续性. 在学习实数集时应该注意以下几点：1．可以证明一个有理数与一个无理数经过加、减、乘、除四则运算后得到的结果是一个无理数，但是任意两个无理数经过四则运算后得到的结果不一定是无理数. 如1-2，2，1+2，22等都是无理数，而 2+(1-2)=1，2-(1+2)=-1，22⨯2=4，22÷2=2等都是有理数.2．由实数稠密性的证明可知，不仅有理数在实数集中是稠密的，无理数在实数集中也是稠密的．3．本节的无理数π的证明和一些定理的证明是比较长，也是比较难的，因此只要求大家记住这些定理的条件和结果，并能正确应用. 它们的证明过程只需知道即可.4．描述实数集连续性的单调有界定理、闭区间套定理、确界定理、有限覆盖定理、聚点定理、致密性定理和完备性定理，虽然它们的表述的数学形式不同，但它们的实质都是描述实数集的连续性，它们在许多方面都有应用，所以希望大家理解这些定理，并能正确运用．(五) 关于复数集在实数集中，加、减、乘、除和幂运算都是可以实施的，但是在实数集中开方运算不是总能实施的，如负数的偶次方根在实数集中不存在，为了使开方运算总能实施，有必要对实数集进行扩充. 在学习本节内容时要知道复数集的序结构和代数结构，掌握复数的四则运算，知道复数域不是有序域. 在学习复数集时应该注意以下几点：1．复集合C =｛(a ,b )｜a ∈R ，b ∈R ｝中的元素偶(a ,b )是有序实数对，即当a ≠b 时，(a ,b )≠(b ,a ).2．用元素偶(a ,b )定义的复数，乘法运算有特殊规定，即(a ,b )·(c ,d )=(ac – bd ,ad + bc )等号右边元素偶的第一项ac – bd 是左边两个元素偶第一项乘积减去第二项乘积，而等号右边元素偶的第二项ad + bc 是左边第一个元素偶的第一项与第二个元素偶的第二项的乘积加上第一个元素偶的第二项与第二个元素偶的第一项的乘积. 一定不要误写为(a ,b )·(c ,d )= (a ·c ,b ·d ).由乘法定义，可以得到复数的除法运算：(a ,b )÷(c ,d )=(2222,d c ad bc d c bd ac +-++) 注意等号右边元素偶各项分子上的元素乘积的顺序和加减号与复数的乘法是不一样的.3. 把复数 z =(a ,b )= a + ib 中的两项分别看作是对应与平面直角坐标系中x 轴和y 轴的上的值，那么 z 就是坐标系中的一个向量(如右图). 由此可得复数 z 的模为：z = r =22b a +，辐角θ=Arg z=Arctan a b，(0≤θ＜2π).4．复数的四种等价的表示形式：z =(a ,b ) = a + ib=r (cos θ+i sin θ)= r θi e其中r 与θ分别是复数z = a + ib 的模与辐角。

数学分析复习提纲(全部版)

数学分析（4）复习提纲第一部分实数理论§1 实数的完备性公理一、实数的定义在集合R 内定义加法运算和乘法运算，并定义顺序关系，满足下面三条公理，则称R 为实数域或实数空间。

（1）域公理：（2）全序公理：（3）连续性公理（Dedekind 分割原理）：设R 的两个子集A ，A '满足： 1°ΦA ΦA ≠'≠, 2°R A A ='⋃3°x x A x A x '<⇒'∈'∀∈∀,则或A 中有最大元而A '中无最小元，或A 中无最大元而A '中有最小元。

评注域公理和全序公理都是我们熟悉的，连续性公理也称完备性公理有许多等价形式（比如确界原理），它是区别于有理数域的根本标志，它对实数的描述没有借助其它概念而非常易于接受，故大多数教科把它作为实数理论起步的公理。

二、实数的连续性（完备性）公理实数的连续性（完备性公理）有许多等价形式，它们在使用起来方便程度不同，这些公理是本章学习的重点。

主要有如下几个公理：确界原理：单调有界定理：区间套定理：有限覆盖定理：（Heine-Borel ）聚点定理：(Weierstrass)致密性定理：(Bolzano-Weierstrass) 柯西收敛准则：(Cauchy)习题1 证明Dedekind 分割原理与确界原理的等价性。

习题2 用区间套定理证明有限覆盖定理。

习题3 用有限覆盖定理证明聚点定理。

评注以上定理哪些能够推广到欧氏空间n R ？如何叙述？§2 闭区间上连续函数的性质有界性定理：上册P168；下册P102,Th16.8；下册P312,Th23.4 最值定理：上册P169；下册下册P102,Th16.8介值定理与零点存在定理：上册P169；下册P103,Th16.10一致连续性定理（Cantor 定理）：上册P171；下册P103,Th16.9；下册P312,Th23.7 习题4 用有限覆盖定理证明有界性定理习题5 用致密性定理证明一致连续性定理§3 数列的上(下)极限三种等价定义：（1）确界定义；（2）聚点定义；（3）N -ε定义评注确界定义易于理解；聚点定义易于计算；N -ε定义易于理论证明习题6 用区间套定理证明有界数列最大（小）聚点的存在性。

数学分析第二章知识点总结（通用3篇）

数学分析第二章知识点总结（通用3篇）数学分析第二章知识点总结篇11.无理数⑴无理数：无限不循环小数⑵两个无理数的和还是无理数2.平方根⑴算术平方根、平方根一个正数有两个平方根，0只有一个平方根，它是0本身;负数没有平方根。

⑵开平方：求一个数的平方根的运算叫开平方被开方数3.立方根⑴立方根，如果一个数x的立方等于a，即，那么这个数x就叫a 的立方根.⑵正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.⑶开立方、被开方数4.公园有多宽求根式、估算根式、根据面积求边长5.实数的运算运算法则(加、减、乘、除、乘方、开方)运算定律(五个-加法[乘法]交换律、结合律;[乘法对加法的]分配律) 运算顺序：A.高级运算到低级运算;B.(同级运算)从"左"到"右"(如5÷×5);C.(有括号时)由"小"到"中"到"大"。

6.实数的概念是每年中考的必考知识点，尤其是相反数、倒数和绝对值都是高频考点。

我们不仅需要会求一个数的相反数，求一个数的倒数，求一个数的绝对值;还要注意0是没有倒数的，倒数等于它本身的有±1，相反数等于它本身的只有0。

7.科学记数法可以说是是每年中考的必考题，在解决具体问题时，需要记清楚相关概念;另外注意单位换算。

对于近似数和精确度需要注意的是带计算单位的数的精确度，需要统一为以“个”为计算单位的数，再来确定。

8.科学记数法可以说是是每年中考的必考题，在解决具体问题时，需要记清楚相关概念;另外注意单位换算。

对于近似数和精确度需要注意的是带计算单位的数的精确度，需要统一为以“个”为计算单位的数，再来确定。

9.实数比较大小也是中考热点，主要方法可用数轴比较法、估算法和作差法。

至于倒数法和平方法不是很常见，所以只需简单了解即可。

10.计算是数学的基础，也是我们解决问题的必要手段。

数学分析(二)考试大纲

数学分析(二)考试大纲一、说明：1．数学分析的阶段性考试(期中考试与期末考试)旨在考查基础知识、基本技能、基本方法, 考核学生的运算能力、逻辑思维能力、论证推理能力及运用所学知识、方法分析问题和解决问题的能力。

2．考试要求分五个层次, 这五个层次由低到高依次为: 识记; 理解; 应用; 分析; 综合。

3．教材: 华东师范大学数学系编, 数学分析(第三版), 高等教育出版社, 2001.二、考试内容：参阅《数学分析教学大纲》三、考试要求：7．实数的连续性理解: 确界的概念; 聚点的概念; 实数连续性定理的等价性;应用: 区间套定理; 确界的概念; 确界存在定理; 聚点的概念; 聚点定理; 致密性定理; 柯西准则; 有限覆盖定理;理解: 一致连续性的概念;应用: 闭区间连续函数的性质;8．不定积分理解: 原函数与不定积分的概念; 基本积分表; 不定积分的性质;应用: 分部积分法; 换元积分法;应用: 有理函数的积分;应用: 简单无理函数的积分; 三角函数有理式的积分;9．定积分理解: 定积分的概念; 可积的必要条件;应用: 可积的充要条件; 可积函数类;1应用: 定积分的性质( 线性性, 区间可加性, 单调性, 不等式，绝对可积性, 积分中值定理 );理解: 积分上限函数;应用: 微积分学基本定理; 牛顿─莱布尼兹公式; 分部积分与换元积分法; 定积分的近似计算( 矩形法, 梯形法, 抛物线法 );10．定积分的应用应用：平面图形的面积；平面曲线的弧长与弧微分, 曲率, 已知截面面积函数的立体体积, 旋转体的体积, 旋转体的侧面积, 函数的平均值, 变力作功, 重心, 液体压力, 转动惯量11．非正常积分理解: 无穷积分收敛与发散的概念; 无穷积分收敛的性质; 无穷积分与数项级数的关系; 绝对收敛与条件收敛的概念;应用: 无穷积分敛散性的判别( 无穷积分收敛与发散的概念, 柯西准则, 比较原则, 比式判别法, 阿贝尔判别法, 狄利克莱判别法 );12．数项级数识记: 绝对收敛级数的重排定理;理解: 级数收敛与发散的概念; 收敛级数的基本性质; 柯西准则; 绝对收敛与条件收敛的概念;应用: 正项级数敛散性的判别( 比较原则, 比式判别法与根式判别法 ); 交错级数的莱布尼兹判别法; 一般项级数的阿贝尔判别法与狄利克莱判别法;13．函数项级数理解: 函数列的收敛与一致收敛的概念; 函数项级数的收敛与一致收敛的概念;应用: 函数列一致收敛的判别( 一致收敛的概念, 柯西准则, 一致收敛原理 ); 函数列极限函数的分析性质( 连续性, 可微性, 可积性 ); 函数项级数一致收敛的判别( 一致收敛的概念, 柯西准则, 维尔斯特拉斯判别法, 一致收敛原理, 阿贝尔判别法, 狄利克莱判别法 ); 函数项级数的和函数的分析性质( 连续2性, 逐项可微性, 逐项可积性 );14．幂级数理解: 幂级数的收敛域; 泰勒级数的概念; 阿贝尔第一定理; 阿贝尔第二定理; 函数的泰勒展开条件;应用: 求幂级数的收敛半径与收敛区间; 幂级数的和函数的分析性质( 连续性, 逐项微分, 逐项积分 ); 幂级数的四则运算; 初等函数的泰勒展开; 幂级数在近似计算中的应用;15．富立叶级数识记: 三角级数的概念; 三角函数系的正交性; 傅里叶级数的概念; 贝塞尔不等式;理解: 黎曼─勒贝格定理; 傅里叶级数的部分和公式; 收敛定理; 奇函数与偶函数的富里叶级数; 一致收敛定理; 傅里叶级数的逐项微分与逐项积分;应用: 函数的傅里叶级数展开;四、命题结构和要求1、严格按照教学大纲出题，不出超纲题、偏题、怪题；2、试题以考查数学的基本概念、基本方法和基本原理为主，在此基础上，加强对考生的运算能力、抽象概括能力、逻辑思维能力、空间想象能力、综合运用所学知识解决实际问题能力的考查；3、力求试卷难度控制在0.5 ～ 0.55 之间，并确保试题具有较高的区分度，能将优秀的学生区分出来。

浙教版初三数学第二章期中考试复习重点

浙教版初三数学第二章期中考试复习重点一、定义与定义表达式一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系： y=ax+bx+c(a，b，c为常数，ane;0，且a决定函数的开口方向，agt;0时，开口方向向上，alt;0时，开口方向向下，IaI还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小，IaI越小开口就越大.)则称y为x的二次函数。

二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

二、二次函数的三种表达式一般式：y=ax;+bx+c(a，b，c为常数，ane;0)顶点式：y=a(x-h);+k[抛物线的顶点P(h，k)]交点式：y=a(x-x1)(x-x2)[仅限于与x轴有交点A(x1，0)和B(x2，0)的抛物线]注：在3种形式的互相转化中，有如下关系： h=-b/2ak=(4ac-b;)/4ax1，x2=(-bradic;b;-4ac)/2a在平面直角坐标系中作出二次函数y=x2的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。

抛物线的性质1.抛物线是轴对称图形。

对称轴为直线x=-b/2a。

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。

特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)2.抛物线有一个顶点P，坐标为P[-b/2a，(4ac-b;)/4a]。

当-b/2a=0时，P在y轴上;当Delta;=b-4ac=0时，P在x轴上。

3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当agt;0时，抛物线向上开口;当alt;0时，抛物线向下开口。

|a|越大，则抛物线的开口越小。

4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a与b同号时(即abgt;0)，对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ablt;0)，对称轴在y轴右。

5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

抛物线与y轴交于(0，c)6.抛物线与x轴交点个数Delta;=b-4acgt;0时，抛物线与x轴有2个交点。

Delta;=b-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。