4.弹性力学中的有限元法2-轴对称与空间问题
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重庆大学
空间问题的有限单元法
三维实体单元的位移向量
在三维实体分析中，各节点的位移有三个分量，分别为沿X 轴方向的位移u、沿Y轴方向的位移v、沿Z轴方向的位移w。 对于4节点四面体单元而言，共有12个自由度（4×3＝12） 若位移为线性变化，则位移函数可以包 括以下各项：=[1 x y z]，位移方程 式可表示为：
(i, j , m)
可见，单元中除剪应力������������������ 是常量外，其它分量也不是常量
重庆大学
三角形环单元的单元刚度矩阵
可以利用前面导出的单元刚度矩阵的普遍式写出，如下：
2 B
Ke
Ve
B T DBdV
T
Ve
B T DBrddrdz
DBrdrd Bj Bm ] B T [ BiT Bj BT j
重庆大学
轴对称问题
2.初应变 在轴对称问题中，物体的温度T=T(r,z)是坐标r,z的函数，与 坐标无关。单元内的初应变一般说来不是均匀的，但当单元 的数目划分得较多，即单元的尺寸很小时，可以用一个平均 温度来表示。若单元的3个结点温度升高值分别为Ti,Tj,Tm， 则单元的平均温度升高值为
1 T (Ti T j Tm ) 3
重庆大学
轴对称问题
由弹性力学知，轴对称问题的位移列阵和应力列阵分别为
r ＝ z rz r方向的位移分量 f ＝ z方向的位移分量
对应于应力分量的应变分量为������������，������������，������������������，������������，应变分量与 位移分量之间安的关系写成列阵形式为
图4－1 三角形环单元
重庆大学
轴对称问题
空间轴对称问题虽属三维 问题，但由于几何形状的 轴对称性，在轴对称载荷 作用下，所产生的位移、 应变和应力与 无关，只 是 r和Z的函数，任一点的 位移只有两个方向的分量， 即沿r方向的径向位移和沿 Z方向的轴向位移。
图4－1 三角形环单元
由于轴对称， 方向的位移 等于0，因此轴对称问题 是准二维问题，它可以按 平面问题处理，但与平面 问题不尽相同。
பைடு நூலகம்
z r 1 1 E (1 ) z r z (1 )(1 2 ) 1 1
轴对称问题
r E (1 ) z rz (1 )(1 2 ) 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 2 0 1 1 0 1 r z rz
写成矩阵形式
ui i 0 u j Nm j um m
重庆大学
u Ni 0
0 Ni
Nj 0
0 Nj
Nm 0
三角形环单元的应变和应力
u r 1.单元的应变位移关系 r v ＝ z z rz u v z r u r
重庆大学
空间有限元 晏致涛
空间问题的有限单元法
任何一个弹性体都是空间物体，一般的载荷都是空间力系。 因此，严格地说，任何实际问题都是空间问题，都必须考虑所 有的位移分量、应变分量和应力分量。 空间实体结构离散化时，常用的单元如下图所示。
下面以4节点四面体三维实体单元为例，介绍空间问题的有限 单元法。
r
写成矩阵形式
bi r 0 1 z ＝ rz 2 ci Ai
0 ci bi 0
bj 0 cj Aj
0 cj bj 0 Bj
bm 0 cm Am
简写成：＝B e [ Bi
ui 0 i cm u j bm j 0 um m Bm ] e
代入型函数
u (r , z ) N i ui N j u j N mum v(r , z ) N i vi N j v j N m vm
可写成：
1 (bi u i b j u j bm u m ) 2 1 z ( ci vi c j v j c m v m ) 2
重庆大学
轴对称问题
轴对称问题的有限单元法 由于可视为子午面内平面物体绕轴旋转一周的结果， 因此轴对称问题分析可在子午面内划分单元，实际 是取子午面内图形绕对称轴旋转所得“圆环形单元” 对物体进行离散。
在轴对称问题中，通常采用圆柱 坐标(r,,Z)，对称轴为Z轴，半径 方向为r轴，其正方向如图所示，以Z 轴为正向的右螺旋转动方向表示的正 向。
r
重庆大学
三角形环单元的应变和应力
1 (bi u i b j u j bm u m ) 2 1 z ( ci vi c j v j c m v m ) 2 1 rz (ci ui bi vi c j u j b j v j cmu bm vm ) 2 aj cjz ci z am cm z 1 ai [( bi )ui ( b j )u j ( bm )um ] 2 r r r r r r
u r r v ＝ z z rz u v z r u r
从左式可见，周向（ 方向）应 变 是由径向位移u而引起的， 这是与平面问题的重要区别
轴对称问题
单元刚度矩阵按照平面问题的方法建立，但需注意体积积 分应在整个环上进行。
ke 2 B DBrdA
T Δ
由于B 中含有坐标变量，因此积分运算较平面问题复杂。
实践证明采用近似积分也能达到一定的精度，具体对 于三角形环单元用形心处坐标代替应变矩阵中的坐标 变量。如何进一步改进积分精度？ 请自学三角形环单元ke和FEe的有关计算过程相关内容。
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三角形环单元的位移函数
在轴对称问题分析中，周向位移w=0，r,z方向的位移分量u,v只 与坐标位置r,z有关，因此可以依照平面问题，取线性位移函数，即 其广义坐标形式为：
u ( r , z ) 1 2 r 3 z v ( r , z ) 4 5 r 6 z 仿效平面问题的结论，可以直接写出位移函数的插值函数形式，即 u (r , z ) N i ui N j u j N mum v(r , z ) N i vi N j v j N m vm 1 其中：N i (ai bi r ci z ) 2 (i, j , m) zi z j 的代数余子式 zm
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轴对称体的离散化
由于轴对称问题的位移和应力仅与坐标r,z有关，因此结 构离散化只在子午面内进行。 轴对称问题进行计算时，只需取出一个截面进行网格划 分和分析，注意到单元是环状的，所有的结点载荷都应 理解为作用在单元结点所在圆周上。 在轴对称问题分析中，由于回转体承受轴对称载荷，其 变形是轴对称的，所以周向位移w=0。
重庆大学
轴对称问题
在工程问题中经常会遇到一些实际问题，如旋转机械中的盘、 轴、承力环及支撑圈等，它们都有一个对称轴，而整个物体是通过 轴的一个平面上某个图形绕此轴旋转而成的回转体，称之为轴对称 体。 如果轴对称体的载荷是轴对称的，其约束也是轴对称的，则在载 荷作用下产生的位移、应变和应力必然是轴对称的，这种结构的 应力分析问题称轴对称问题。(结构轴对称＋载荷轴对称＋约束 轴对称) 如果轴对称体的载荷是复杂载荷，如弯矩、扭矩等，此时载荷不 是对称的，则在载荷作用下产生的位移、应变和应力也不再是轴 对称的。这种结构的应力分析问题称轴对称体问题(结构轴对称 ＋载荷或约束非轴对称) 典型例子为烟囱、储液罐等受恒载作用。
单元的初应变为
1 1 0＝aT 1 0
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轴对称问题
单元的应力
＝DB e S e Si
Sj
e Sm
S为应力矩阵，其应力子矩阵为
bi 1 Ai 1ci (b A ) c E (1 ) i i 1 i Si DBi 2bi 2(1 )(1 2 ) 2 ci b A c i 1 i 1 i 1－2 式中：1＝ ， 2＝ 1－ （ 2 1－）
T Bm ]
B [ Bi
BiT K e 2 B T j D[ Bi T Bm K ii e K K ji K mi K ij K jj K mj
Bm ]rdrdz
K im K jm K mm
重庆大学
轴对称问题 晏致涛
概
述
三个方向尺寸属于同一数量级，所受荷载或形体复杂， 不可能像上一章那样简化成平面问题处理，这时必须按 空间问题求解。 与平面分析不同，空间有限元分析有如下两个困难： 1）对空间物体进行离散化时不像平面问题那样直观，人 工进行离散时很容易产生错误；
2）未知量的数量剧增。
平面图形绕面内一轴旋转所产生的空间物体，称为轴 对称物体，是一类特殊的空间问题。
又可以简写成： ������＝������������
弹性矩阵D为
1 －2 式中：1＝ ， 2＝ 1 － （ 21 ＋）
1 E (1 ) 1 (1 )(1 2 ) 0 1 1 1 0 1 0 0 2 0 1 1 0 1
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轴对称问题
2.物理方程 对于各向同性材料，当不考虑温度变化时，轴对称问题的应力 与应变之间的物理方程为
E E (1 ) 1 2 rz rz rz 2(1 ) (1 )(1 2 ) 2(1 ) E (1 ) r (1 )(1 2 ) E (1 ) (1 )(1 2 ) r z 1 1 将上式写成矩阵形式为 重庆大学
重庆大学
轴对称问题
＝B e [ Bi
Bj
0 ci bi 0 (i, j , m)
Bm ] e
bi 1 0 式中：Bi 2 ci Ai ai ci z Ai bi r r
(i, j , m)
可以看出，单元中的应变分量x、y、xy是常量，周向应变不是 常量，不仅与结点坐标有关，而且与单元内各点的位置(r,z)若有关， 同时矩阵B中包含了1/r项，它将给计算带来麻烦。
重庆大学
1 ri ai , bi , ci (i, j , m)分别是ijm面积行列式2＝ 1 rj 1 rm
轴对称问题
插值函数
u (r , z ) N i ui N j u j N mum v(r , z ) N i vi N j v j N m vm 1 其中：N i (ai bi r ci z ) 2 (i, j , m)
空间问题的有限单元法
三维实体单元的位移向量
在三维实体分析中，各节点的位移有三个分量，分别为沿X 轴方向的位移u、沿Y轴方向的位移v、沿Z轴方向的位移w。 对于4节点四面体单元而言，共有12个自由度（4×3＝12） 若位移为线性变化，则位移函数可以包 括以下各项：=[1 x y z]，位移方程 式可表示为：
(i, j , m)
可见，单元中除剪应力������������������ 是常量外，其它分量也不是常量
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三角形环单元的单元刚度矩阵
可以利用前面导出的单元刚度矩阵的普遍式写出，如下：
2 B
Ke
Ve
B T DBdV
T
Ve
B T DBrddrdz
DBrdrd Bj Bm ] B T [ BiT Bj BT j
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轴对称问题
2.初应变 在轴对称问题中，物体的温度T=T(r,z)是坐标r,z的函数，与 坐标无关。单元内的初应变一般说来不是均匀的，但当单元 的数目划分得较多，即单元的尺寸很小时，可以用一个平均 温度来表示。若单元的3个结点温度升高值分别为Ti,Tj,Tm， 则单元的平均温度升高值为
1 T (Ti T j Tm ) 3
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轴对称问题
由弹性力学知，轴对称问题的位移列阵和应力列阵分别为
r ＝ z rz r方向的位移分量 f ＝ z方向的位移分量
对应于应力分量的应变分量为������������，������������，������������������，������������，应变分量与 位移分量之间安的关系写成列阵形式为
图4－1 三角形环单元
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轴对称问题
空间轴对称问题虽属三维 问题，但由于几何形状的 轴对称性，在轴对称载荷 作用下，所产生的位移、 应变和应力与 无关，只 是 r和Z的函数，任一点的 位移只有两个方向的分量， 即沿r方向的径向位移和沿 Z方向的轴向位移。
图4－1 三角形环单元
由于轴对称， 方向的位移 等于0，因此轴对称问题 是准二维问题，它可以按 平面问题处理，但与平面 问题不尽相同。
பைடு நூலகம்
z r 1 1 E (1 ) z r z (1 )(1 2 ) 1 1
轴对称问题
r E (1 ) z rz (1 )(1 2 ) 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 2 0 1 1 0 1 r z rz
写成矩阵形式
ui i 0 u j Nm j um m
重庆大学
u Ni 0
0 Ni
Nj 0
0 Nj
Nm 0
三角形环单元的应变和应力
u r 1.单元的应变位移关系 r v ＝ z z rz u v z r u r
重庆大学
空间有限元 晏致涛
空间问题的有限单元法
任何一个弹性体都是空间物体，一般的载荷都是空间力系。 因此，严格地说，任何实际问题都是空间问题，都必须考虑所 有的位移分量、应变分量和应力分量。 空间实体结构离散化时，常用的单元如下图所示。
下面以4节点四面体三维实体单元为例，介绍空间问题的有限 单元法。
r
写成矩阵形式
bi r 0 1 z ＝ rz 2 ci Ai
0 ci bi 0
bj 0 cj Aj
0 cj bj 0 Bj
bm 0 cm Am
简写成：＝B e [ Bi
ui 0 i cm u j bm j 0 um m Bm ] e
代入型函数
u (r , z ) N i ui N j u j N mum v(r , z ) N i vi N j v j N m vm
可写成：
1 (bi u i b j u j bm u m ) 2 1 z ( ci vi c j v j c m v m ) 2
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轴对称问题
轴对称问题的有限单元法 由于可视为子午面内平面物体绕轴旋转一周的结果， 因此轴对称问题分析可在子午面内划分单元，实际 是取子午面内图形绕对称轴旋转所得“圆环形单元” 对物体进行离散。
在轴对称问题中，通常采用圆柱 坐标(r,,Z)，对称轴为Z轴，半径 方向为r轴，其正方向如图所示，以Z 轴为正向的右螺旋转动方向表示的正 向。
r
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三角形环单元的应变和应力
1 (bi u i b j u j bm u m ) 2 1 z ( ci vi c j v j c m v m ) 2 1 rz (ci ui bi vi c j u j b j v j cmu bm vm ) 2 aj cjz ci z am cm z 1 ai [( bi )ui ( b j )u j ( bm )um ] 2 r r r r r r
u r r v ＝ z z rz u v z r u r
从左式可见，周向（ 方向）应 变 是由径向位移u而引起的， 这是与平面问题的重要区别
轴对称问题
单元刚度矩阵按照平面问题的方法建立，但需注意体积积 分应在整个环上进行。
ke 2 B DBrdA
T Δ
由于B 中含有坐标变量，因此积分运算较平面问题复杂。
实践证明采用近似积分也能达到一定的精度，具体对 于三角形环单元用形心处坐标代替应变矩阵中的坐标 变量。如何进一步改进积分精度？ 请自学三角形环单元ke和FEe的有关计算过程相关内容。
重庆大学
三角形环单元的位移函数
在轴对称问题分析中，周向位移w=0，r,z方向的位移分量u,v只 与坐标位置r,z有关，因此可以依照平面问题，取线性位移函数，即 其广义坐标形式为：
u ( r , z ) 1 2 r 3 z v ( r , z ) 4 5 r 6 z 仿效平面问题的结论，可以直接写出位移函数的插值函数形式，即 u (r , z ) N i ui N j u j N mum v(r , z ) N i vi N j v j N m vm 1 其中：N i (ai bi r ci z ) 2 (i, j , m) zi z j 的代数余子式 zm
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轴对称体的离散化
由于轴对称问题的位移和应力仅与坐标r,z有关，因此结 构离散化只在子午面内进行。 轴对称问题进行计算时，只需取出一个截面进行网格划 分和分析，注意到单元是环状的，所有的结点载荷都应 理解为作用在单元结点所在圆周上。 在轴对称问题分析中，由于回转体承受轴对称载荷，其 变形是轴对称的，所以周向位移w=0。
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轴对称问题
在工程问题中经常会遇到一些实际问题，如旋转机械中的盘、 轴、承力环及支撑圈等，它们都有一个对称轴，而整个物体是通过 轴的一个平面上某个图形绕此轴旋转而成的回转体，称之为轴对称 体。 如果轴对称体的载荷是轴对称的，其约束也是轴对称的，则在载 荷作用下产生的位移、应变和应力必然是轴对称的，这种结构的 应力分析问题称轴对称问题。(结构轴对称＋载荷轴对称＋约束 轴对称) 如果轴对称体的载荷是复杂载荷，如弯矩、扭矩等，此时载荷不 是对称的，则在载荷作用下产生的位移、应变和应力也不再是轴 对称的。这种结构的应力分析问题称轴对称体问题(结构轴对称 ＋载荷或约束非轴对称) 典型例子为烟囱、储液罐等受恒载作用。
单元的初应变为
1 1 0＝aT 1 0
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轴对称问题
单元的应力
＝DB e S e Si
Sj
e Sm
S为应力矩阵，其应力子矩阵为
bi 1 Ai 1ci (b A ) c E (1 ) i i 1 i Si DBi 2bi 2(1 )(1 2 ) 2 ci b A c i 1 i 1 i 1－2 式中：1＝ ， 2＝ 1－ （ 2 1－）
T Bm ]
B [ Bi
BiT K e 2 B T j D[ Bi T Bm K ii e K K ji K mi K ij K jj K mj
Bm ]rdrdz
K im K jm K mm
重庆大学
轴对称问题 晏致涛
概
述
三个方向尺寸属于同一数量级，所受荷载或形体复杂， 不可能像上一章那样简化成平面问题处理，这时必须按 空间问题求解。 与平面分析不同，空间有限元分析有如下两个困难： 1）对空间物体进行离散化时不像平面问题那样直观，人 工进行离散时很容易产生错误；
2）未知量的数量剧增。
平面图形绕面内一轴旋转所产生的空间物体，称为轴 对称物体，是一类特殊的空间问题。
又可以简写成： ������＝������������
弹性矩阵D为
1 －2 式中：1＝ ， 2＝ 1 － （ 21 ＋）
1 E (1 ) 1 (1 )(1 2 ) 0 1 1 1 0 1 0 0 2 0 1 1 0 1
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轴对称问题
2.物理方程 对于各向同性材料，当不考虑温度变化时，轴对称问题的应力 与应变之间的物理方程为
E E (1 ) 1 2 rz rz rz 2(1 ) (1 )(1 2 ) 2(1 ) E (1 ) r (1 )(1 2 ) E (1 ) (1 )(1 2 ) r z 1 1 将上式写成矩阵形式为 重庆大学
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轴对称问题
＝B e [ Bi
Bj
0 ci bi 0 (i, j , m)
Bm ] e
bi 1 0 式中：Bi 2 ci Ai ai ci z Ai bi r r
(i, j , m)
可以看出，单元中的应变分量x、y、xy是常量，周向应变不是 常量，不仅与结点坐标有关，而且与单元内各点的位置(r,z)若有关， 同时矩阵B中包含了1/r项，它将给计算带来麻烦。
重庆大学
1 ri ai , bi , ci (i, j , m)分别是ijm面积行列式2＝ 1 rj 1 rm
轴对称问题
插值函数
u (r , z ) N i ui N j u j N mum v(r , z ) N i vi N j v j N m vm 1 其中：N i (ai bi r ci z ) 2 (i, j , m)