2020届高考文科数学考前指导(2020年6月)
【精选】文科数学(2020版)备考指南第3章 第3讲
4＋2 π上为增函数，
3
所以当 r＝
8＋3 π时，首饰盒制作费用最低．
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第三章 导数及其应用
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高考备考指南
利用导数研究函数的零点或方程的根
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(2018 年北京模拟)已知函数 f(x)＝xcos x－ax＋a，x∈0，π2，(a≠0)． (1)当 a≥1 时，求 f(x)的单调区间； (2)求证：f(x)有且仅有一个零点．
第三章 导数及其应用
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因为 f(0)＝a＜0，fπ2＝a1－π2>0， 所以 f(x)有且仅有一个零点． 当－π2<a<1 时，g(0)＝1－a＞0，gπ2＝－π2－a<0， 所以存在 x0∈0，π2，使得 g(x0)＝0.
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所以 g(x)≤0，即 f′(x)≤0.
所以 f(x)的单调递减区间是0，π2，无单调递增区间．
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(2)证明：由(1)知，g(x)在0，π2上单调递减，且 g(0)＝1－a，gπ2＝－π2－a. 当 a≥1 时，f(x)在0，π2上单调递减． 因为 f(0)＝a＞0，fπ2＝a1－π2<0， 所以 f(x)有且仅有一个零点． 当－π2－a≥0，即 a≤－π2时，g(x)≥0，即 f′(x)≥0，f(x)在0，π2栏上目索单引调递增．
【解析】令g(x)＝f(x)－2x－1，所以g′(x)＝f′(x)－2<0.所以g(x)在R内为减函数，
且g(1)＝f(1)－2－1＝0.由g(x)<0＝g(1)，得x>1.故选A．
2020年6月苏州大学2020届高三高考考前指导卷(二)数学试题(含附加题)及答案
绝密★启用前江苏省苏州大学2020届高三高考考前指导卷(二)数学试题2020年6月数学Ⅰ试题一、填空题：不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上． 1．已知集合{}1A x x =>，{}1,2,3B =，则A B =________．2．已知复数2i z =+（其中i 为虚数单位）,若()i ,iza b a b =+∈R ,则ab 的值为________． 3．已知一组数据4,a ,7,5,8的平均数为6,则该组数据的标准差是________．4．在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线1C ：()2210x y m m-=>的一条准线与抛物线2C ：22x y=的准线重合,则正数的值是________．5．运行如图的程序框图,则输出的结果是________．6．《易·系辞上》有“河出图,洛出书”之说,河图、洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案,蕴含了深奥的宇宙星象之理,被誉为“宇宙魔方”,是中华文化阴阳术数之源．河图的排列结构如图所示,一与六共宗居下,二与七为朋居上,三与八同道居左,四与九为友居右,五与十相守居中,其中白圈为阳数,黑点为阴数,若从阳数和阴数中各取一数,则其差的绝对值为5的概率为________．7．已知{}n a 为等差数列,n S 为其前n 项和,若2552a a +=,则15S 的值是________．8．圆柱形容器的内壁底面半径是10cm,有一个实心铁球浸没于容器的水中,若取出这个铁球,测得容器的水面下降了5cm 3,则这个铁球的表面积为________2cm ．9．若直线1y kx =+与曲线y x =相切,则实数k 的值为________． 10()tan1234cos 122sin12︒-=︒-︒________． 11．已知向量a ,b ,满足3b =,a b a ⋅=,则a b -的最小值为________．12．在平面直角坐标系xOy 中,已知A ,B 为圆C ：()()2224x m y -+-=上两个动点,且23AB =若直线l ：2y x =-上存在点P ,使得OC PA PB =+,则实数m 的取值范围为________． 13．已知函数()31111,1,3442111,0,362x x x f x x x ⎧-+<⎪⎪=⎨⎪-+⎪⎩≤≤≤()()e 2x g x ax a =+-∈R ,若存在1x ,[]20,1x ∈,使得()()12f x g x =成立,则实数a 的取值范围是________．14．已知在锐角三角形ABC 中,AH BC ⊥于点H ,且()229449BA CA AH CA BA -=⋅-,若2BC =,则sin sin sin B CA的取值范围是________．二、解答题：请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．在ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且3B π=． （1）若23b =2a =,求c 的值； （2）若13cos A =,求cos C 的值． 16．已知直三棱柱111ABC A B C -,E ,F 分别是BC ,1AA 的中点,1CB CC =,AC BC ⊥．。
文科数学-2020年高考考前20天终极冲刺攻略 (二)
目录/ contents6月21日等差数列、等比数列 (01)6月22日数列的求和及应用 (17)6月23日不等式（线性规划、基本不等式） (35)6月24日空间几何体（三视图、表面积、体积） (57)6月25日立体几何——点、线、面的位置关系 (83)6月26日直线与圆 (111)6月27日圆锥曲线 (132)时间：6月21日今日心情：核心考点解读——等差数列、等比数列等差数列的概念与通项公式（II）等差数列的前n项和（II）等比数列的概念与通项公式（II）等比数列的前n项和（II）等差数列、等比数列的性质（II）1.从考查的题型来看，涉及本知识点的题目主要以选择题、填空题的形式考查，利用等差数列的概念判断性质真假，利用等差数列的通项公式、前n项和公式进行相关的求值计算；利用等比数列的概念判断性质真假，利用等比数列的通项公式、前n项和公式进行相关的求值计算等.2.从考查内容来看，主要考查等差数列、等比数列的相关运算，重点在于掌握等差数列和等比数列的通项公式和前n项和公式，能够利用“1,,,,n na d n a S”和“1,,,,n na q n a S”这五个量进行相互转化，达到“知三求二”的目的.3.从考查热点来看，数列计算是高考命题的热点，要注意通项公式与求和公式的正确使用及利用数列的性质简化运算.1.等差数列的概念与证明(1)熟练掌握等差数列的定义与定义式：1n>，1n na a d--=.要注意，数列要从第二项开始，然后是每一项与前一项的差是同一个常数，这个常数就是公差.由此要明确，一个数列能够构成等差数列，至少需要三项.(2)若三个数,,a b c构成等差数列，则称b为,a c的等差中项，记作2a cb+=或2b a c=+.(3)等差数列的证明，通常根据题中所给的递推关系式，利用定义进行证明，若1n>时，推理得到1n na a--的差为常数，并能够确定这个常数，则可判定数列为等差数列.2.等差数列的通项公式及性质(1)等差数列的通项公式：11(1)()()n ma a n d a n m d dn p p a d=+-=+-=+=-.知道等差数列的通项公式的推理方法是根据定义式叠加而得，了解等差数列与一次函数之间的联系与区别.(2)等差数列的性质：若m n p q+=+，则m n p qa a a a+=+.等差数列的性质反映了项与项数之间对称的等量关系，由此得到等差数列前n项和的推导方法——倒序相加法.3.等差数列的前n项和(1)等差数列的前n项和：2111()(1)(222nnn a an n dS na d n kn k a+-=+==+=-)2d.能够利用首项与公差表示等差数列的前n项和，了解二次函数与等差数列前n 项和的关系.(2)掌握等差数列前n项和的性质：232,,,n n n n nS S S S S--L成等差数列，nSn⎧⎫⎨⎬⎩⎭也是等差数列.4.等比数列的概念与证明(1)熟练掌握等比数列的定义与定义式：1n>，1(0)nnaq qa-=≠.要注意，数列要从第二项开始，然后是每一项与前一项的比值是同一个常数，这个常数就是公比.由此要明确，一个数列能够构成等比数列，至少需要三项.(2)若三个数,,a b c构成等比数列，则称b为,a c的等比中项，记作b ac=±或2b ac=.(3)等比数列的证明，通常根据题中所给的递推关系式，利用定义进行证明，若1n>时，推理得到1nnaa-的比值为常数，并能够确定这个常数，则可判定数列为等比数列.5.等比数列的通项公式及其性质(1)等比数列的通项公式：111()n n m nn maa a q a q a q aq--=⋅=⋅=⋅=.知道等比数列通项公式的推理方法是根据定义式叠乘而得，了解等比数列与指数函数之间的联系与区别.(2)等比数列的性质：若m n p q +=+，则m n p q a a a a ⋅=⋅. 6.等比数列的前n 项和(1)等比数列的前n 项和：111,1,(1), 1.11n n n na q S a a q a qq q q =⎧⎪=-⋅-⎨=≠⎪--⎩能够利用首项与公比表示等比数列的前n 项和，了解指数函数与等比数列前n 项和公式之间的关系.掌握等比数列前n 项和公式的推导方法——错位相减法.(2)掌握等比数列前n 项和的性质：n mm n n m m n S S q S S q S +=+=+；当1q ≠-或1q =-且k 为奇数时，232,,,k k k k k S S S S S --L 成等比数列.7.等差数列、等比数列的混合计算(1)等差数列中利用某项确定，另有不连续三项按某种条件构成等比数列，由此计算得到等差数列的首项与公差，并求通项与前n 项和.(2)等比数列中利用某项确定，另有不连续三项按某种条件构成等差数列，由此计算得到等比数列的首项与公比，并求通项与前n 项和. (3)注意在数列计算中基本量1,,,a d q n 的应用. 8.等差数列前n 项和的最大（小）项利用等差数列的前n 项和公式，结合二次函数的求最值的特点及相应的图象，利用函数的单调性判断最值.1．（2019年高考全国III 卷文数）已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a = A ．16 B ．8C ．4D ．2【答案】C【解析】设正数的等比数列{a n }的公比为q ，则231111421111534a a q a q a q a q a q a ⎧+++=⎨=+⎩， 解得11,2a q =⎧⎨=⎩，2314a a q ∴==，故选C ．【名师点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键. 2．（2019年高考浙江卷）设a ，b ∈R ，数列{a n }满足a 1=a ，a n +1=a n 2+b ，n *∈N ，则 A ． 当101,102b a => B ． 当101,104b a => C ． 当102,10b a =-> D ． 当104,10b a =->【答案】A【解析】①当b =0时，取a =0，则0,n a n *=∈N .②当<0b 时，令2x x b =+，即20x x b -+=.则该方程140b ∆=->，即必存在0x ，使得2000x x b -+=， 则一定存在10 ==a a x ，使得21n n n a a b a +=+=对任意n *∈N 成立，解方程20a a b -+=，得1142ba ±-=， 当114102b +-≤时，即90b -…时，总存在1142ba +-=，使得121010a a a ==⋯=≤， 故C 、D 两项均不正确.③当0b >时，221a a b b =+≥，则2232a a b b b =+≥+，()22243a a b b b b =+++….（ⅰ）当12b =时，22451111711,1222162a a ⎡⎤⎛⎫++=>>+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦≥，则26111112224a ⎛⎫>++=> ⎪⎝⎭，2719222a >+=， 28918310224a ⎛⎫>+=> ⎪⎝⎭ ，则2981102a a =+>， 21091102a a =+> ， 故A 项正确.（ⅱ）当14b =时，令1==0a a ，则2231111,4442a a ⎛⎫==+< ⎪⎝⎭，所以224311114242a a ⎛⎫=+<+= ⎪⎝⎭，以此类推，所以2210911114242a a ⎛⎫=+<+= ⎪⎝⎭，故B 项不正确. 故本题正确答案为A.【名师点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.利用函数方程思想，通过研究函数的不动点，进一步讨论a 的可能取值，利用“排除法”求解.3．（2018北京卷文科）设a,b,c,d 是非零实数，则“ad=bc ”是“a,b,c,d 成等比数列”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当14,1,1,4a b c d ====时，,,,a b c d 不成等比数列，所以不是充分条件； 当,,,a b c d 成等比数列时，则ad bc =，所以是必要条件. 综上所述，“ad bc =”是“,,,a b c d 成等比数列”的必要不充分条件. 故选B.【名师点睛】证明“ad bc =”⇒“,,,a b c d 成等比数列”只需举出反例即可，论证“,,,a b c d 成等比数列”⇒“ad bc =”可利用等比数列的性质.4．（2018北京卷文科）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为 A 32 B 322 C ．1252 D ．1272【答案】D【解析】因为每一个单音的频率与前一个单音的频率的比都为122，所以()*12122,n n a a n n -=≥∈N，又1a f =，则71277128122a a q f ===.故选D.【名师点睛】此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列.等比数列的判断方法主要有如下两种： （1）定义法，若1n n a q a +=（*0,q n ≠∈N ）或1n n aq a -=（*0,2,q n n ≠≥∈N ），数列{}n a 是等比数列； （2）等比中项公式法，若数列{}n a 中，0n a ≠且212n n n a a a --=⋅（*3,n n ≥∈N ），则数列{}n a 是等比数列.5．（2019年高考天津卷文数）设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，公比大于0，已知1123323,,43a b b a b a ====+.（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n c 满足21n n n c b n ⎧⎪=⎨⎪⎩，为奇数,，为偶数.求*112222()n n a c a c a c n +++∈N L .【答案】（1）3n a n =，3nn b =；（2）22(21)369()2n n n n +*-++∈N【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q . 依题意，得2332,3154,q d q d =+⎧⎨=+⎩解得3,3,d q =⎧⎨=⎩故133(1)3,333n n n n a n n b -=+-==⨯=.所以，{}n a 的通项公式为3n a n =，{}n b 的通项公式为3nn b =.（2）112222n n a c a c a c +++L()()135212142632n n n a a a a a b a b a b a b -=+++++++++L L123(1)36(6312318363)2n n n n n -⎡⎤=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯⎢⎥⎣⎦L()2123613233n n n =+⨯+⨯++⨯L .记1213233nn T n =⨯+⨯++⨯L ,① 则231313233n n T n +=⨯+⨯++⨯L ,②②−①得，()12311313(21)332333331332n n n n n n n T n n +++--+=---⨯=-+⨯=--+-L . 所以，122112222(21)3336332n n n n n a c a c a c n T n +-++++=+=+⨯L()22(21)3692n n n n +*-++=∈N . 【名师点睛】本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前n 项和公式等基础知识，考查数列求和的基本方法和运算求解能力，属于中档题目.6．（2019年高考浙江卷）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34a =，43a S =，数列{}n b 满足：对每个12,,,n n n n n n n S b S b S b *++∈+++N 成等比数列．（1）求数列{},{}n n a b 的通项公式；（2）记,,2nn na c nb *=∈N 证明：12+2,.n c c c n n *++<∈N L 【答案】（1）()21n a n =-，()1n b n n =+；（2）证明见解析. 【解析】（1）设数列{}n a 的公差为d ，由题意得11124,333a d a d a d +=+=+，解得10,2a d ==．从而*22,n a n n =-∈N ． 所以2*n S n n n =-∈N ，，由12,,n n n n n n S b S b S b +++++成等比数列得()()()212n n n n n n S b S b S b +++=++．解得()2121n n n n b S S S d++=-． 所以2*,n b n n n =+∈N ．（2）*221,22(1)(1)n n n a n n c n b n n n n --===∈++N ． 我们用数学归纳法证明．（i ）当n =1时，c 1=0<2，不等式成立；（ii ）假设()*n k k =∈N 时不等式成立，即122k c c c k +++<L ． 那么，当1n k =+时，121122(1)(2)1k k k c c c c k k k k k +++++<<+++L 222(1211k k k k k k k<=+=+++．即当1n k =+时不等式也成立．根据（i ）和（ii ），不等式122n c c c n +++<L 对任意*n ∈N 成立．【名师点睛】本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和、数学归纳法等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力.7．（2018新课标全国Ⅰ文科）已知数列{}n a 满足11a =，()121n n na n a +=+，设nn a b n=． （1）求123b b b ，，； （2）判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由； （3）求{}n a 的通项公式．【解析】（1）由条件可得a n +1=2(1)n n a n+． 将n =1代入得，a 2=4a 1， 而a 1=1，所以，a 2=4． 将n =2代入得，a 3=3a 2， 所以，a 3=12．从而b 1=1，b 2=2，b 3=4．（2）{b n }是首项为1，公比为2的等比数列． 由条件可得121n na a n n+=+，即b n +1=2b n ， 又b 1=1，所以{b n }是首项为1，公比为2的等比数列． （3）由（2）可得12n na n-=， 所以a n =n ·2n -1．【名师点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有根据数列的递推公式确定数列的项，根据不同数列的项之间的关系，确定新数列的项，利用递推关系整理得到相邻两项之间的关系确定数列是等比数列，根据等比数列通项公式求得数列{b n }的通项公式，借助于{b n }的通项公式求得数列{a n }的通项公式，从而求得最后的结果.8．（2017新课标全国Ⅰ文科）记S n 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知S 2=2，S 3=−6． （1）求{}n a 的通项公式；（2）求S n ，并判断S n +1，S n ，S n +2是否成等差数列． 【解析】（1）设{}n a 的公比为q ．由题设可得121(1)2,(1) 6.a q a q q +=⎧⎨++=-⎩解得2q =-，12a =-．故{}n a 的通项公式为(2)nn a =-．（2）由（1）可得11(1)22()1331n n n n a q S q +-==--+-．由于3212142222()2[()]2313313n n n n n n n n S S S +++++-+=--++=-=-， 故1n S +，n S ，2n S +成等差数列．【名师点睛】等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形．在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法．1.（2020届黑龙江省大庆实验中学高三下学期第二次“战疫”线上测试数学（文）试题）在等差数列{}n a 中，若38137a a a ++=，2111414a a a ++=，则8a 和9a 的等比中项为（ ） A. 723±B.23C. 273±D.2732．（2020届河南省名校联盟高三4月教学质量检测）已知函数()314,01log ,0x x f x x x -≤⎧=⎨+>⎩，在等差数列{}n a 中，77a =，911a =，则()8f a =（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．43．（2020届辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校高三上学期期末数学（文)）已知数列{}n a 满足：11,a =13,21,n n n n n a a a a a ++⎧=⎨+⎩为奇数为偶数，则6a =( )A ．16B ．25C ．28D ．334．（2020届重庆市第一中学高三上学期期末考试数学（文)）在等比数列{}n a 中，已知15a =，91040a a =，则18a =________.5．（2020届江西省吉安市高三上学期期末数学（文)）已知数列{}n a 是等差数列，84a =，且2a ，4a ，5a成等比数列，则11a =______．6．（2020届江苏省常州市高三上学期期末数学试题）等比数列{}n a 中，若11a =，24a ，32a ，4a 成等差数列，则17a a =______.7．（2020届广东省中山市高三上学期期末数学（文)设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知23a =，121n n a a +=+.（1）证明{}1n a +为等比数列；（2）判断n ，n a ，n S 是否成等差数列？并说明理由.8．（河南省名校联盟2019-2020学年高三11月教学质量检测）一种掷骰子走跳棋的游戏：棋盘上标有第0站、第1站、第2站、…、第100站，共101站，设棋子跳到第n 站的概率为n P ，一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次骰子，棋子向前跳动一次．若掷出奇数点，棋子向前跳一站；若掷出偶数点，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第99站(获胜)或第100站(失败)时，游戏结束(骰子是用一种均匀材料做成的立方体形状的游戏玩具，它的六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6)． (1)求0P ，1P ，2P ，并根据棋子跳到第n 站的情况，试用2n P -和1n P -表示n P ；(2)求证：1{}12100()n n P P n --=⋯，，，为等比数列； (3)求玩该游戏获胜的概率．1．已知公差0d ≠的等差数列{}n a 满足11a =，且2a ，42a -，6a 成等比数列，若正整数m ，n 满足10m n -=，则m n a a -=A ．10B ．20C ．30D ．5或402．设{}n a 是等比数列，且245a a a =，427a =，则{}n a 的通项公式为_______． 3．在公差为2的等差数列{a n }中，a 3−2a 5=4，则a 4−2a 7=_______． 4．在等比数列{a n }中，公比q >0，其前n 项和为S n ，且S 2=3,S 4=15． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n =log 2a n+1，若数列{b n }的前n 项和为T n ，则b n 2,2T n ,b n+12是否成等比数列?并说明理由．5．已知等差数列{}n a 的公差2d =，且252a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ．（1）求{}n a 的通项公式；（2）若915,,m S a a 成等比数列，求m 的值．名校预测 1.【答案】A【解析】由题意得：3813837a a a a ++==，所以873a =，211149314a a a a ++==， 所以9143a =.89989a a ⋅=， 所以8a 和9a 的等比中项为723±故选A. 2．【答案】C【解析】由等差中项性质可得7982a a a +=，即87112a +=，所以89a =， 则()()8391log 93f a f ==+=. 故选：C.【点睛】本题考查分段函数值的计算，同时也涉及了等差中项的计算，考查计算能力，属于基础题. 3．【答案】C【解析】n=1时，2134a =+=， n=2时，32419a =⨯+=， n=3时，49312a =+=， n=4时，5212125a =⨯+=， n=5时，625328a =+=. 故选：C 4．【答案】8【解析】因为等比数列,故118910a a a a =,故9101814085a a a a ===. 故答案为：8 5．【答案】4或10.【解析】设数列{}n a 的公差为d ，由2a ，4a ，5a 成等比数列得()()()211134a d a d a d +=+⨯+，解得2150d a d +=，则0d =或15a d =-．又84a =，当0d =时，4n a =，则114a =；当15a d =-时，由8174a a d =+=，解得2d =且110a =-，则212n a n =-，即1110a =．综上得满足条件的114a =或10故答案为：4或10 6．【答案】64【解析】设等比数列的公比为()0q q ≠. ∵24a ，32a ，4a 成等差数列24344a a a +=∴ 3211144a q a q a q +=∴∵11a =∴3244q q q +=∵0q ≠ ∴2q =∴266171264a a a q === 故答案为：64.7．【答案】（1）证明见解析 （2）成等差数列，理由见解析【解析】（1）证明：∵23a =，2121a a =+，∴11a =， 由题意得10n a +≠，1122211n n n n a a a a +++==++，∴{}1n a +是首项为2，公比为2的等比数列.（2）由（1）12nn a +=，∴21n n a =-.∴11222212n n n S n n ++-=-=---，∴()12222210n n n n n S a n n ++-=+----=，∴2n n n S a +=，即n ，n a ，n S 成等差数列. 8．【答案】（1）01P =，112P =，234P =，211122n n n P P P --=+；（2）证明见解析；（3）10021132⎛⎫- ⎪⎝⎭.【解析】(1)棋子开始在第0站是必然事件，所以01P =．棋子跳到第1站，只有一种情形，第一次掷骰子出现奇数点，其概率为12，所以112P =． 棋子跳到第2站，包括两种情形，①第一次掷骰子岀现偶数点，其概率为12；②前两次掷骰子出现奇数点，其概率为14，所以2113244P =+=．棋子跳到第(299)n n 剟站，包括两种情形，①棋子先跳到第2n -站，又掷骰子出现偶数点，其概率为212n P -；②棋子先跳到第1n -站，又掷骰子出现奇数点，其概率为112n P -． 故211122n n n P P P --=+． (2)由(1)知，211122n n n P P P --=+，所以112(1)2n n n n P P P P ----=--．又因为1012P P -=-， 所以1{}(1,2,,100)n n P P n --=L 是首项为12-，公比为12-的等比数列． (3)由(2)知，11111222n nn n P P --⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． 所以9999989897100()()()P P P P P P P P =-+-++-+L99981111222⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L99111221112⎡⎤⎛⎫⎛⎫---⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦=+⎛⎫-- ⎪⎝⎭10021132⎛⎫=- ⎪⎝⎭． 所以玩该游戏获胜的概率为10021132⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【点睛】本题主要考查随机事件的概率和等比数列的概念、通项公式及前n 项和公式．考查累加法求和，属于难题. 专家押题 1．【答案】C【解析】由题知()24262a a a -=，因为{}n a 为等差数列，所以()()()231115d d d -=++， 又0d ≠， 解得3d =，从而()30m n a a m n d -=-=. 故选C ．2．【答案】13-=n n a ，n *∈N .【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，因为245a a a =，427a =， 所以223542427a a a a q q q ====，解得3q =，所以41327127a a q ===， 因此，13-=n n a ，n *∈N .故答案为13-=n n a ，n *∈N .【名师点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，熟记等比数列的通项公式即可，属于常考题型. 3．【答案】−2【解析】由题意得a 4−2a 7=(a 3+d)−2(a 5+2d)=a 3−2a 5−3d =4−3×2=−2． 4．【解析】（1）由S 2=3,S 4=15，得a 1+a 2=3，a 1+a 2+a 3+a 4=15， 两式相减，得a 3+a 4=12，即q 2(a 1+a 2)=12，∴q 2=4， 由q >0，得q =2，∴a 1+2a 1=3，解得a 1=1， 故数列{a n }的通项公式为a n =2n−1.（2）由（1）知b n =log 2a n+1=log 22n =n ， 可得T n =n(n+1)2，则(2T n )2=[n(n +1)]2=n 2(n +1)2=b n 2b n+12， 故b n 2,2T n ,b n+12成等比数列.5．【解析】（1）因为252a a +=，2d =，所以11252102a d a +=+=，解得14a =-， 所以26n a n =-. （2）2(1)2524m m m S m m m -=+⨯=--，912a =，1524a =， 因为915,,m S a a 成等比数列，所以2915m a S a =，即221224()5m m =-，整理得2560m m --=，解得6,1m m ==-， 因为*m ∈N ，所以6m =.时间：6月22日今日心情：核心考点解读——数列的求和及应用数列前n项和与通项的关系（II）分组法求数列的和（II）裂项相消法求数列的和（II）错位相减法求数列的和（II）应用数列的递推关系式求通项、前n项和（II）1.从考查题型来看，涉及本知识点的选择题、填空题一般考查利用数列的递推关系或等差数列、等比数列的特征进行相关的求值计算；解答题中一般利用等差数列、等比数列的重要特征，结合几个主要求和方法的类型进行化简、求值、计算，达到将数列的前n项和化简的目的.2.从考查内容来看，本知识点主要考查数列求和，重点根据数列的通项特征，正确选用分组求和、裂项相消求和、错位相减求和方法，然后正确运算.3.从考查热点来看，数列求和是高考命题的热点，等差数列、等比数列求和是数列求和的重要基础，裂项相消求和与错位相减求和是数列求和的难点所在，关键在于能够通过数列的通项公式合理、正确地选择求和方法.1.数列的前n项和与通项的关系(1)数列的前n项和：12n nS a a a=+++L.(2)前n项和nS与通项na之间的关系：11,1,,1,nn nS naS S n-=⎧=⎨->⎩能够利用前n项和nS的关系式求得na，此时要注意1n>；也能够利用na表示前n项和nS.2.等差数列、等比数列的前n项和nS(1)等差数列的前n项和2111()(1)(222nnn a an n dS na d n kn k a+-=+==+=)2d-；(2)等比数列的前n项和111,1,(1), 1.11nn nna qS a a qa qqq q=⎧⎪=-⋅-⎨=≠⎪--⎩3.分组求和法求数列的前n项和分组求和法可以解决形如n n nc a b=+类数列的求和问题，其基本步骤是首先确定通项公式，然后对通项公式进行拆分，拆成几个可以直接求和的数列（最好是等差数列或等比数列），再分别求和后相加即可得到原数列的和.4.裂项相消法求数列的前n项和裂项相消法的基本思想是把数列的通项na拆分成1n n na b b+=-等的形式，从而在求和时起到逐项相消的目的.比较常见的类型有：(1)1111()()n n k k n n k=-++，(2)11()n k nkn k n=+-++，(3)1111()(21)(21)22121n n n n=--+-+等.采用裂项相消法求数列的前n项和时，要注意系数的问题以及求和逐项相消后前后剩余的项的问题.5.错位相减法求数列的前n项和错位相减法主要应用于求解由等差数列{}n a与等比数列{}n b的对应项之积组成的数列{}n c的求和问题，即求n n nc a b=⋅的和.其一般步骤为先识别数列的通项公式是否为等差数列与等比数列对应项之积构成的数列，并确定等比数列的公比，然后写出前n项和nS的表达式，并在等式两边同时乘以公比或公比的倒数，得到另一个式子，再对两式作差，最后根据差式中间的1n-项构成的等比数列求和，合并同类项即得所求的前n项和.错位相减法的计算过程较为复杂，对计算的能力要求比较高，同时考查的力度也相对较高，应注意加强训练.6.应用数列的递推关系式求通项、求和(1)在形如“1n na aλμ+=+”的递推关系式中，根据数列的某一项求指定项的值的问题，若所求项不是很大，可以采用逐项求值的方法进行；也可以通过递推关系式确定通项，再求指定项的值；(2)在形如“n n S a λμ=+”的递推关系式中，根据数列的某一项求指定项的问题，可以利用1n n n a S S -=-，1n >转化为上述(1)的形式，再按(1)中的方法进行化简、求值、计算.计算过程中要注意1n >.1．（2019年高考全国I 卷文数）记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若13314a S ==，，则S 4=___________．【答案】58【解析】设等比数列的公比为q ，由已知223111314S a a q a q q q =++=++=，即2104q q ++=. 解得12q =-，所以441411()(1)521181()2a q S q ---===---． 【名师点睛】准确计算，是解答此类问题的基本要求．本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式的计算，部分考生易出现运算错误．一题多解：本题在求得数列的公比后，可利用已知计算3343431315()428S S a S a q =+=+=+-=，避免繁分式计算．2．（2019年高考全国III 卷文数）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若375,13a a ==，则10S =___________.【答案】100【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据题意可得317125,613a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩得11,2a d =⎧⎨=⎩ 101109109101012100.22S a d ⨯⨯∴=+=⨯+⨯= 【名师点睛】本题考点为等差数列的求和，为基础题目，利用基本量思想解题即可，充分记牢等差数列的求和公式是解题的关键.3．（2019年高考江苏卷）已知数列*{}()n a n ∈N 是等差数列，n S 是其前n 项和.若25890,27a a a S +==，则8S 的值是__________． 【答案】16【解析】由题意可得：()()()25811191470989272a a a a d a d a d S a d ⎧+=++++=⎪⎨⨯=+=⎪⎩， 解得：152a d =-⎧⎨=⎩，则8187840282162S a d ⨯=+=-+⨯=. 【名师点睛】等差数列、等比数列的基本计算问题，是高考必考内容，解题过程中要注意应用函数方程思想，灵活应用通项公式、求和公式等，构建方程（组），如本题，从已知出发，构建1a d ,的方程组. 4．（2017年高考江苏卷）等比数列{}n a 的各项均为实数，其前n 项和为n S ，已知3676344S S ==,，则8a =___________． 【答案】32【解析】当1q =时，显然不符合题意；当1q ≠时，3161(1)714(1)6314a q q a q q⎧-=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，解得1142a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩，则7812324a =⨯=． 【名师点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路：①利用基本量，将多元问题简化为一元问题，虽有一定量的运算，但思路简洁，目标明确；②利用等差、等比数列的性质，性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法．5．（2019年高考全国I 卷文数）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 9=-a 5．（1）若a 3=4，求{a n }的通项公式；（2）若a 1>0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围．【答案】（1）210n a n =-+；（2）110()n n *≤≤∈N .【解析】（1）设{}n a 的公差为d ．由95S a =-得140a d +=． 由a 3=4得124a d +=． 于是18,2a d ==-．因此{}n a 的通项公式为102n a n =-．（2）由（1）得14a d =-，故(9)(5),2n n n n da n d S -=-=. 由10a >知0d <，故n n S a ≥等价于211100n n -+…，解得1≤n ≤10． 所以n 的取值范围是{|110,}n n n *≤≤∈N ．【名师点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等差数列的通项公式，等差数列的求和公式，在解题的过程中，需要认真分析题意，熟练掌握基础知识是正确解题的关键.6．（2019年高考全国II 卷文数）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，1322,216a a a ==+.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设2log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和．【答案】（1）212n n a -=；（2）2n .【解析】（1）设{}n a 的公比为q ，由题设得22416q q =+，即2280q q --=．解得2q =-（舍去）或q =4．因此{}n a 的通项公式为121242n n n a --=⨯=．（2）由（1）得2(21)log 221n b n n =-=-， 因此数列{}n b 的前n 项和为21321n n +++-=L ．【名师点睛】本题考查数列的相关性质，主要考查等差数列以及等比数列的通项公式的求法，考查等差数列求和公式的使用，考查化归与转化思想，考查计算能力，是简单题.7．（2019年高考北京卷文数）设{a n }是等差数列，a 1=–10，且a 2+10，a 3+8，a 4+6成等比数列．（1）求{a n }的通项公式；（2）记{a n }的前n 项和为S n ，求S n 的最小值．【答案】（1）212n a n =-；（2）当5n =或者6n =时，n S 取到最小值30-. 【解析】（1）设{}n a 的公差为d ．因为110a =-，所以23410,102,103a d a d a d =-+=-+=-+． 因为23410,8,6a a a +++成等比数列， 所以()()()23248106a a a +=++．所以2(22)(43)d d d -+=-+．解得2d =．所以1(1) 212n a a n d n =+-=-． （2）由（1）知，212n a n =-．所以，当7n ≥时，0n a >；当6n ≤时，0n a ≤． 所以，n S 的最小值为630S =-．【名师点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用.8．（2018新课标全国Ⅱ文科）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-． （1）求{}n a 的通项公式；（2）求n S ，并求n S 的最小值． 【解析】（1）设{a n }的公差为d ， 由题意得3a 1+3d =–15． 由a 1=–7得d =2．所以{a n }的通项公式为a n =2n –9． （2）由（1）得S n =n 2–8n =（n –4）2–16． 所以当n =4时，S n 取得最小值，最小值为–16．9．（2018新课标全国Ⅲ文科）等比数列{}n a 中，15314a a a ==，． （1）求{}n a 的通项公式；（2）记n S 为{}n a 的前n 项和．若63m S =，求m ． 【解析】（1）设{}n a 的公比为q ， 由题设得1n n a q -=．由已知得424q q =，解得0q =（舍去），2q =-或2q =． 故1(2)n n a -=-或12n n a -=． （2）若1(2)n n a -=-，则1(2)3nn S --=．由63m S =得(2)188m -=-，此方程没有正整数解． 若12n n a -=，则21n n S =-． 由63m S =得264m =，解得6m =． 综上，6m =．10．（2018北京文科）设{}n a 是等差数列，且123ln2,5ln2a a a =+=. （1）求{}n a 的通项公式； （2）求12e e e n aa a +++L .【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ， ∵235ln2a a +=， ∴1235ln2a d +=， 又1ln2a =， ∴ln2d =.∴()11ln 2n a a n d n =+-=. （2）由（1）知ln2n a n =， ∵ln 2ln2e e e =2nn a n n ==， ∴{}ena 是以2为首项，2为公比的等比数列.∴212ln2ln2ln221e e e e e e =222=22nn a a a n n ++++=++++++-L L L .∴12e e e n a a a +++L 1=22n +-.【名师点睛】等差数列的通项公式及前n 项和共涉及五个基本量1,,,,n n a a d n S ，知道其中三个可求另外两个，体现了用方程组解决问题的思想.（1）设公差为d ，根据题意可列关于1,a d 的方程组，求解1,a d ，代入通项公式可得；（2）由（1）可得e 2n a n =，进而可利用等比数列求和公式进行求解.11．（2017新课标全国II 文科）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，11221,1,2a b a b =-=+=.（1）若335a b +=，求{}n b 的通项公式； （2）若321T =，求3S .【解析】设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ， 则a n =−1+（n −1）d , b n =q n−1. 由a 2+b 2=2得d +q =3.①（1）由a 3+b 3=5得2d +q 2=6.② 联立①和②解得{d =3，q =0（舍去），{d =1，q =2.因此{b n }的通项公式为b n =2n−1.（2）由b 1=1，T 3=21得q 2+q −20=0. 解得q =−5，q =4.当q =−5时，由①得d =8，则S 3=21. 当q =4时，由①得d =−1，则S 3=−6.【名师点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两种处理思路：一是利用基本量,将多元问题简化为一元问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.12．（2017新课标全国Ⅲ文科）设数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n +++-=L .（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和.【解析】（1）因为a 1+3a 2+…+（2n -1）a n =2n ，故当n ≥2时，a 1+3a 2+…+（2n -3）a n−1 =2（n -1）.两式相减得（2n -1）a n =2， 所以a n =22n−1(n ≥2).又由题设可得 a 1=2， 从而{a n }的通项公式为a n =22n−1.（2）记{an2n+1}的前n 项和为S n ，由（1）知a n2n+1 =2(2n+1)(2n−1) =12n−1-12n+1.则 S n = 11- 13+ 13- 15+…+12n−1-12n+1=2n2n+1.【名师点睛】裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如1n n c a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭(其中{}n a 是各项均不为零的等差数列，c 为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类是隔一项的裂项求和，如1(1)(3)n a n n =++或1(2)na n n =+. 13．（2017年高考天津卷文数）已知{}n a 为等差数列，前n 项和为*()n S n ∈N ，{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，2334111412,2,11b b b a a S b +==-=． （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）求数列2{}n n a b 的前n 项和*()n ∈N ．【答案】（1）32n a n =-，2n n b =；（2）2(34)216n n +-+．【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ．由已知2312b b +=，得21()12b q q +=，而12b =，所以260q q +-=．又因为0q >，解得2q =，所以2nn b =．由3412b a a =-，可得138d a -=①； 由11411S b =，可得1516a d +=②，联立①②，解得11,3a d ==，由此可得32n a n =-．所以，{}n a 的通项公式为32n a n =-，{}n b 的通项公式为2nn b =．（2）设数列2{}n n a b 的前n 项和为n T ，由262n a n =-，有2342102162(62)2n n T n =⨯+⨯+⨯++-⨯L ，2341242102162(68)2(62)2n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯L ，上述两式相减，得23112(12)42626262(62)24(612n nn n T n n +⨯--=⨯+⨯+⨯++⨯--⨯=----L122)2(34)216n n n ++⨯=---，得2(34)216n n T n +=-+．所以，数列2{}n n a b 的前n 项和为2(34)216n n +-+．【名师点睛】利用等差数列和等比数列通项公式及前n 项和公式列方程组求数列的首项和公差或公比，进而写出通项公式及前n 项和公式，这是等差数列、等比数列的基本要求，数列求和的方法有倒序相加法、错位相减法、裂项相消法和分组求和法等，本题考查的是错位相减法求和．1．（河北省正定中学（实验中学）2019-2020学年高三第二学期第三次质检（文科）数学试卷）设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知13a 3+S 13＝52，则S 9＝（ ） A ．9 B ．18C ．27D ．362．（2020届安徽省合肥市肥东县高级中学高三下学期4月调研）设数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若113S ≤，410S ≥，515S ≤，则4a 的最大值为（ ） A ．3 B ．4C ．7-D ．5-3．（2020届名校联盟高三联考评估卷（八））已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1512,90a S ==，则等差数列{}n a 公差d =（ ） A ．2 B ．32C ．3D ．4。
2020年湖北省名校6月份高考预测考试-数学(文)答案
绝密★启用前华大新高考联盟名校2020年6月高考预测考试文科数学注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合A＝{x|－1<x<3，x∈N*}的非空子集个数为A.3B.4C.7D.82.已知命题p：复数z＝2－i的虚部是－i；命题q：ax2＋ax＋1>0恒成立，则a∈(0，4)。
下列命题为真命题的是A.p∧qB.p∨qC.⌝p∧qD.⌝p∧⌝q3.如图，角α和角β的终边垂直，且角α与单位圆的交点坐标为P(35，45-)。
则sinβ＝A.－35B.35C.45- D.454.执行如图所示的程序框图，则输出的S的值为A.49B.89C.37D.675.函数f(x)＝2sin x x的大致图象为6.从1，2，3，4，5这五个数中随机选取两个，则和为奇数的概率为A.25B.12C.35D.7107.函数f(x)＝tan(ωx ＋φ)(ω>0，0<φ<2π)与直线y ＝1的两个相邻交点之间的距离为2π，且将f(x)的图象向左平移6π之后得到的图象关于原点对称。
则关于函数f(x)，下列说法正确的是 A.最小正周期为πB.渐近线方程为x ＝2π＋2k π(k ∈Z) C.对称中心为(－12π＋2k π，0)(k ∈Z)D.单调递增区间为(－3π＋2k π，6π＋2k π)(k ∈Z) 8.直线2ax ＋by －2＝0(a>0，b>0)过函数f(x)＝x ＋11x -＋1图象的对称中心，则41a b+的最小值为A.9B.4C.8D.109.在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，点P 是以点C 为圆心，2为半径的圆上的动点，设AP AB AD λμ=+，则λ＋μ的最小值为A.1B.76C.2D.8310.九章算术中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”(如图)。
【精选】文科数学(2020版)备考指南第2章 第6讲
(2)(2018年广东二模)已知函数f(x)＝log2(4x＋1)＋mx，当m＞0时，栏关目索于引x的不等式 f(log3x)＜1的解集为________________．
【答案】(1)D (2)(0,1)
第二章 函数概念与基本初等函数
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【解析】(1)因为函数 f(x)＝4－x2 为偶函数，y＝g(x)是定义在 R 上的奇函数，所 以函数 f(x)·g(x)为奇函数，图象关于原点对称，排除 A，B．当 x→＋∞时，g(x)＝log2x ＞0，f(x)＝4－x2＜0，则 f(x)·g(x)＜0，排除 C．故选 D．
(2)对于 f(x)＝log2(4x＋1)＋mx，当 m＞0 时，可知 f(x)是单调递增函数，当 x＝0 时，可得 f(0)＝1，等价于求 f(log3x)＜f(0)的解集，即lxo>g03，x<0， 解得 0＜x＜1.
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第二章 函数概念与基本初等函数
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【规律方法】(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上 的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．
3
(4)对数函数 y＝logax(a>0，且 a≠1)在(0，＋∞)内是增函数．(
)
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第二章 函数概念与基本初等函数
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(5)函数 y＝lg22＋－xx与 y＝lg(2＋x)－lg(2－x)的定义域相同．(
)
(6)对数函数 y＝logax(a>0 且 a≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，1a，－1，函 数图象只在第一、四象限．( )
【精选】文科数学(2020版)备考指南第3章 第1讲
第三章 第1讲[A 级 基础达标]1．若f (x )＝x cos x ，则函数f (x )的导函数f ′(x )＝( ) A ．1－sin x B ．x －sin x C ．sin x ＋x cos x D ．cos x －x sin x【答案】D【解析】f (x )＝x cos x ，则函数f (x )的导函数f ′(x )＝cos x －x sin x ．故选D ． 2．(2018年西安模拟)下列导数运算正确的是( ) A ．(sin x )′＝－cos x B ．(log 2x )′＝1x ·ln 2C ．(3x )′＝3xD ．⎝⎛⎭⎫1x ′＝1x 2 【答案】B【解析】(sin x )′＝cos x ；(log 2x )′＝1x ln 2；(3x )′＝3x ln 3；⎝⎛⎭⎫1x ′＝－1x 2.故选B ． 3．(2018年襄阳模拟)已知f (x )＝sin x －2cos x ，实数α满足(f (α))′＝3f (α)，则tan 2α＝( ) A ．－43B ．43C ．－724D ．724【答案】A【解析】由于函数f (x )＝sin x －2cos x ，由(f (α))′＝3f (α)，得0＝3(sin α－2cos α)，则sin α＝2cos α，可得tan α＝2，因此tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×21－22＝－43.故选A ．4．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足关系式f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，则f ′(2)的值等于( )A ．2B ．－2C ．94D ．－94【答案】D【解析】因为f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，所以f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)＋1x .令x ＝2，则f ′(2)＝4＋3f ′(2)＋12，所以f ′(2)＝－94.故选D ．5．(2018年临夏模拟)设函数f (x )在x ＝1处的导数为2，则lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)3Δx＝________.【答案】23【解析】由导数的定义，得lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)3Δx ＝13 lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝13f ′(1)＝23.6．(2018年昌吉模拟)如图，函数f (x )的图象在点P 处的切线为y ＝－2x ＋5，则f (2)＋f ′(2)＝________.【答案】－1【解析】因为函数y ＝f (x )的图象在点x ＝2处的切线方程是y ＝－2x ＋5，所以f ′(2)＝－2，f (2)＝－4＋5＝1，所以f (2)＋f ′(2)＝1－2＝－1.7．已知函数f (x )＝sin x ＋cos x ，f ′(x )是f (x )的导函数． (1)求函数F (x )＝f (x )f ′(x )＋[f (x )]2的最大值； (2)若f (x 0)＝2f ′(x 0)，求1＋sin 2x 0cos 2x 0－sin x cos x 0的值．【解析】(1)已知函数f (x )＝sin x ＋cos x ，则f ′(x )＝cos x －sin x ，代入F (x )＝f (x )f ′(x )＋[f (x )]2，易得F (x )＝cos 2x ＋sin 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1. 当2x ＋π4＝2k π＋π2⇒x ＝k π＋π8(k ∈Z )时，[F (x )]max ＝2＋1.(2)由f (x 0)＝2f ′(x 0)，得sin x 0＋cos x 0＝2(cos x 0－sin x 0)，所以cos x 0＝3sin x 0，则tan x 0＝13. 所以1＋sin 2x 0cos 2x 0－sin x 0cos x 0＝2sin 2x 0＋cos 2x 0cos 2x 0－sin x 0cos x 0＝2tan 2x 0＋11－tan x 0＝116.8．已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4.(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程．【解析】(1)因为f ′(x )＝3x 2－8x ＋5，所以f ′(2)＝1.又f (2)＝－2，所以曲线在点(2，f (2))处的切线方程为y ＋2＝x －2，即x －y －4＝0.(2)设曲线与经过点A (2，－2)的切线相切于点P (x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)．因为f ′(x 0)＝3x 20－8x 0＋5，所以切线方程为y －(－2)＝(3x 20－8x 0＋5)(x －2)． 又切线过点P (x 20，x 30－4x 20＋5x 0－4)， 所以x 30－4x 20＋5x 0－2＝(3x 20－8x 0＋5)(x 0－2)，整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0，解得x 0＝2或1，所以经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为x －y －4＝0，或y ＋2＝0.[B 级 能力提升]9．已知函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为( )A ．4B ．－14C ．2D ．－12【答案】A【解析】f ′(x )＝g ′(x )＋2x .因为y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，所以g ′(1)＝2.所以f ′(1)＝g ′(1)＋2×1＝2＋2＝4.所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为4.故选A ．10．点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上的任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为( ) A ．1 B ．32 C ．52D ． 2【答案】D【解析】点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，当过点P 的切线和直线y ＝x －2平行时，点P 到直线y ＝x －2的距离最小，直线y ＝x －2的斜率为1.由y ＝x 2－ln x ，得y ′＝2x －1x ＝1，解得x ＝1或x ＝－12(舍去)，故曲线y ＝x 2－ln x 上和直线y ＝x －2平行的切线经过的切点坐标为(1,1)，点(1,1)到直线y ＝x －2的距离等于2，故点P 到直线y ＝x －2的最小距离为 2.故选D ．11．(2018年德阳模拟)已知函数f (x )在R 上存在导数f ′(x )，下列关于f (x )，f ′(x )的描述正确的是( )A ．若f (x )为奇函数，则f ′(x )必为奇函数B ．若f (x )为周期函数，则f ′(x )必为周期函数C ．若f (x )不为周期函数，则f ′(x )必不为周期函数D ．若f (x )为偶函数，则f ′(x )必为偶函数 【答案】B【解析】对于A ，如f (x )＝x 3为奇函数，则f ′(x )＝3x 2，为偶函数，故A 错误；对于B ，f (x )是可导函数，则f (x ＋T )＝f (x )，两边对x 求导得f ′(x ＋T )＝f ′(x )，周期为T ，故若f (x )为周期函数，则f ′(x )必为周期函数，故B 正确；对于C ，如f (x )＝sin x ＋x 不是周期函数，但f ′(x )＝cos x ＋1为周期函数，故C 错误；对于D ，如f (x )＝x 2为偶函数，但f ′(x )＝2x 为奇函数，故D 错误．故选B ．12．(2018年邯郸二模)若过点P (－1，m )可以作三条直线与曲线C ：y ＝x e x 相切，则m 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫－3e 2，＋∞ B ．⎝⎛⎭⎫－1e ，0 C ．(0，＋∞) D ．⎝⎛⎭⎫－3e2，－1e 【答案】D【解析】设切点为(x 0，x 0e x 0)，由y ＝x e x ，可得y ′＝(x ＋1)e x ，过点P 的切线方程为y －x 0e x 0＝(x 0＋1)e x 0(x －x 0)，将P (－1，m )代入，得m ＝(－x 20－x 0－1)e x 0，即该方程有三个不等根即可．令f (x )＝(－x 2－x －1)e x ，则f ′(x )＝(－x －1)(x ＋2)e x ，函数在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，－1)上单调递增，在(－1，＋∞)上单调递减，故得到f (－2)＜m ＜f (－1)，即⎝⎛⎭⎫－3e2，－1e .故选D ．13．已知曲线f (x )＝x n ＋1(n ∈N *)与直线x ＝1交于点P ，设曲线y ＝f (x )在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标为x n ，则log 2 019x 1＋log 2 019x 2＋…＋log 2 019x 2 018的值为________．【答案】－1【解析】f ′(x )＝(n ＋1)x n ，k ＝f ′(1)＝n ＋1， 点P (1,1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)， 令y ＝0，得x ＝1－1n ＋1＝n n ＋1，即x n ＝n n ＋1，所以x 1·x 2·…·x 2 018＝12×23×34×…×2 0172 018×2 0182 019＝12 019，则log 2 019x 1＋log 2 019x 2＋…＋log 2 019x 2 018＝log 2 019(x 1x 2…x 2 018)＝－1.14．已知函数f (x )＝x －2x ，g (x )＝a (2－ln x )(a >0)．若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线斜率相同，求a 的值，并判断两条切线是否为同一条直线．【解析】根据题意有f ′(x )＝1＋2x 2，g ′(x )＝－ax.曲线y＝f(x)在x＝1处的切线斜率为f′(1)＝3，曲线y＝g(x)在x＝1处的切线斜率为g′(1)＝－a，所以f′(1)＝g′(1)，即a＝－3.又f(1)＝－1，所以曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y－(－1)＝3(x－1)，即3x－y－4＝0.又g(1)＝－6，所以曲线y＝g(x)在x＝1处的切线方程为y－(－6)＝3(x－1)，即3x－y－9＝0.所以，两条切线不是同一条直线．15．已知函数f(x)＝ax3＋3x2－6ax－11，g(x)＝3x2＋6x＋12和直线m：y＝kx＋9，且f′(－1)＝0.(1)求a的值；(2)是否存在k，使直线m既是曲线y＝f(x)的切线，又是曲线y＝g(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．【解析】(1)由已知，得f′(x)＝3ax2＋6x－6a，因为f′(－1)＝0，所以3a－6－6a＝0.所以a＝－2.(2)存在．由已知得，直线m恒过定点(0,9)，若直线m是曲线y＝g(x)的切线，则设切点为(x0,3x20＋6x0＋12)．因为g′(x0)＝6x0＋6，所以切线方程为y－(3x20＋6x0＋12)＝(6x0＋6)(x－x0)．将(0,9)代入切线方程，解得x0＝±1.当x0＝－1时，切线方程为y＝9；当x0＝1时，切线方程为y＝12x＋9.由(1)知f(x)＝－2x3＋3x2＋12x－11.①由f′(x)＝0，得－6x2＋6x＋12＝0，解得x＝－1或x＝2.在x＝－1处，y＝f(x)的切线方程为y＝－18；在x＝2处，y＝f(x)的切线方程为y＝9，所以y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9.②由f′(x)＝12，得－6x2＋6x＋12＝12，解得x＝0或x＝1.在x＝0处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－11；在x＝1处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－10.所以y＝f(x)与y＝g(x)的公切线不是y＝12x＋9.综上所述，存在k＝0，使直线m：y＝9是y＝f(x)与y＝g(x)的公切线．。
【精选】文科数学(2020版)备考指南第3章 第2讲
A．(－∞，－2]
B．(－∞，－1]
C．[2，＋∞)
D．[1，＋∞)
【答案】D
【解析】依题意，得 f′(x)＝k－1x≥0 在(1，＋∞)内恒成立，即 k≥1x在(1，＋∞)
内恒成立，因为 x＞1，所以 0＜1x＜1.所以 k≥1，即 k 的取值范围是[1，＋∞)．故选
D．
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第三章 导数及其应用
故实数 a 的取值范围是－176，＋∞.
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第三章 导数及其应用
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【规律方法】(1)函数f(x)存在单调递减区间，即导函数在某区间上的值为负，即 f′(x)<0有解．
(2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0，且在(a，b)内的任 一非空子区间上f′(x)不恒为0.
第三章 导数及其应用
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f(x0)为极___小____值 x0 为极__小____值点
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3．函数的最值
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值，且最大(小)
值必在区间端点或极值点处取得．
(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则____f(_a_)____为函数的最小值，____f(_b_)____
第三章
导数及其应用
第2讲 导数在研究函数中的应用
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【考纲导学】
1．了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数
的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．
2．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大
2020年普通高等学校招生全国统一考试(全国I卷)6月20日押题卷 文科数学 (一)解析版
·文科数学 第1页（共14页） 文科数学 第2页（共14页）绝密 ★ 启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试文 科 数 学（一）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。
4．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合{|}2A x y x==-，{1,0,1,2,3}B =-，则()A B =R I ð（ ） A ．{2} B ．{1,0,1,2}-C ．{2,3}D ．{1,0,1}-【答案】C【解析】由题意得{|2}A x x =<，∴{|2}A x x =≥R ð，∴(){2,3}A B =R I ð． 2．i 是虚数单位，复数1i1iz -=+，则|1|z +=（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．2【答案】B 【解析】1i=i 1iz -=-+，|1||1i|2z +=-=． 3．31()lg cos x f x x x-=+的定义域为（ ） A ．(0,3)B ．{|3x x <且π}2x ¹C ．ππ(0,)(,3)22UD ．{|0x x <或3}x >【答案】C【解析】由题得3030π0π2π,cos 02x x x x x k k x Z ìì-<<ïïïï>ïï揶<<眄镲??镲¹镲îî或π32x <<． 4．从A 、B 等5名学生中随机选出2人，则B 学生被选中的概率为（ ） A ．15B ．25C ．825D ．925【答案】B【解析】5名学生中随机选出2人有10种，B 学生被选中有4种，42105P ==．5．若向量(2,3)=m ，(1,)λ=-n ，且(23)⊥-m m n ，则实数λ的值为（ ） A ．329-B ．329C ．32D ．32-【答案】B【解析】由题意得，23(7,63)λ-=-m n ，∵(23)⊥-m m n ，∴(23)0⋅-=m m n ，即141890λ+-=，解得329λ=． 6．若π3cos()64α-=，则πsin(2)6α+=（ ） A ．18- B ．18 C ．716-D ．716【答案】B【解析】由题意得22ππ31cos(2)2cos ()12()13648αα-=--=⨯-=， ∴πππππ1sin(2)cos[(2)]cos(2)cos(2)626338αααα+=-+=-=-=．7．已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线20x y +=平行，则双曲线的方程为（ ）A ．2214x y -=B ．2214y x -=C ．221164x y -=D ．22331520x y -=【答案】B【解析】∵双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线20x y +=平行，∴5=c ，2ba=， 此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号文科数学 第3页（共14页） ·文科数学 第4页（共14页）∵222c a b =+，∴1a =，2b =，∴双曲线的方程为2214y x -=．8．某公司针对新购买的50000个手机配件的重量随机抽出1000台进行检测，右图是根据抽样检测后的重量（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中配件重量的范围是[96,106]，样本数据分组为[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]．用样本估计总体，则下列法错误的是（ ）A ．这批配件重量的平均数是101.30（精确到0.01）B ．这批配件重量的中位数是在[100,101]之间C ．0.125а=D ．这批配件重量在[96,100)范围的有15000个 【答案】B【解析】易得0.125a =，C 正确； 平均数970.10990.201010.301030.251050.15101.30=?????，A 正确；中位数是累计频率为0.5的数，[96,100)的累计频率为0.3，[96,102)的累计频率为0.6， 因此中位数在[100,102)内，又[100,102)的频率为0.3，需要找到其中频率为0.2的点， 所以中位数应在[101,102)内，B 错误；这批配件重量在[96,100)范围的有50000(0.100.20)15000?=个，D 正确．9．执行如图的程序框图，如果输出的13b =，则图中判断框内应填入（ ）A ．4?i >B ．5?i >C ．6?i >D ．7?i >【答案】C【解析】输入0a =，1b =，1i =，第1次循环，1c =，1a =，1b =，2i =，第2次循环， 2c =，1a =，2b =，3i =，第3次循环， 3c =，2a =，3b =，4i =，第4次循环，5c =，3a =，5b =，5i =，第5次循环， 8c =，5a =，8b =，6i =，第6次循环， 13c =，8a =，13b =，7i =，…，因为输出13b =，所以7i =时就要输出，结合选项，故选C ．10．已知函数()2sin()(0,0π)f x ωx φωφ=+><<的部分图象如图所示，点A ，π(,0)3B ，则下列说法中错误的是（ ）A ．直线π12x =是()f x 图象的一条对称轴 B ．()f x 的图象可由()2sin 2g x x =向左平移π3个单位而得到 C ．()f x 的最小正周期为πD ．()f x 在区间ππ(,)312-上单调递增 【答案】B 【解析】由(0)f =，可得sin 2φ=， 又0πφ<<，所以π3φ=或2π3，π()03f =，·文科数学 第5页（共14页） 文科数学 第6页（共14页）①当π3φ=时，πππ3133ωk ωk +=?-，k Z Î；②当2π3φ=时，π2ππ3233ωk ωk +=?-，k Z Î，由图可知，ππππ3(,3)432232T T ωωω<<?<尬，故π2()2sin(2)3ωf x x =?+，易知A ，C ，D 正确，B 错误．11．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知12a =，对任意p ，*q ∈N ，都有p q p q a a a +=⋅，则11(4)260n n nS S a --⋅++（1n >，*n ∈N ）取得最小值时，n =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C【解析】当1q =时，112p p p a a a a +=⋅=，∴数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，∴2nn a =，∴12(21)2221nn n S +-==--，∴122n n S -=-，∴211(4)(22)(22)24n n nn n S S --⋅+=-⋅+=-，∴211(4)260225625623222n nn n n nn S S a --⋅+++==+≥=， 当且仅当216n=，即4n =时，等号成立．12．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为11A D ，11C D 的中点，则过B ，E ，F 三点的平面截该正方体，所得截面的周长为（ ）A．B．CD【答案】C【解析】过B 作l AC ∥，分别交DA ，DC 的延长线于G ，H ，连接EG 交1AA 于M ，连接FH 交1CC 与N ，连接BM ，BN ，则所得截面为五边形EMBNF ．∵1A E AD ∥，∴1112A E A M AG MA ==，∴123A M =，43AM =，∴EM ==，MB ==，同理有FN =，NB =．第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知322()3f x x ax bx a =+++在1x =-时有极值0，则a b -的值为 ． 【答案】7-【解析】∵函数322()3f x x ax bx a =+++，∴2()36f x x ax b '=++， 又∵函数322()3f x x ax bx a =+++在1x =-处有极值0，∴2360130a b a b a -+=⎧⎨-+-+=⎩，∴13a b =⎧⎨=⎩或29a b =⎧⎨=⎩， 当13a b =⎧⎨=⎩时，22()363(1)0f x x ax b x '=++=+≥，函数在R 上单调递增，不满足题意； 当29a b =⎧⎨=⎩时，2()363(1)(3)f x x ax b x x '=++=++，满足题意， ∴7a b -=-．14．已知两个同底的正四棱锥的所有顶点都在同一球面上，它们的底面边长为2，体积的比值为12，则该球的表面积为________． 【答案】9π【解析】因为两个正四棱锥有公共底面且两个正四棱锥的体积之比为12， 所以两个棱锥的高之比也为12， 设两个棱锥的高分别为x ，2x ，球的半径为R ，则232x x x R +==，即32x R =， 所以球心到公共底面的距离是2x，。
2020届高考全国卷文科数学考前答题指导课件
17.不等式性质应用不当致误 在使用不等式的基本性质进行推理论证时一定要准确,特别是不等式两端同时 乘以或同时除以一个数(式)一定要注意使其能够成立的条件,如果忽视了不等式性 质成立的前提条件就会出现错误. 18.循环结束判断不准致误 控制循环结构的是计数变量和累加变量的变化规律以及循环结束的条件.在解 答这类题目时,首先要弄清楚这两个变量的变化规律,其次要看清楚循环结束的条 件,这个条件由输出要求所决定,看清楚是满足条件时结束还是不满足条件时结束.
11
高考试题研究
2 适度创新
形式创新：如概率统计题，侧重随机思想的考查，做统计用统 计:理解数据、处理数据、分析数据、运用数据.
题材创新：传统文化的渗透；时代气息的体现；实践能力的考 查……
位置创新：全国一卷导数与圆锥曲线的变化.
题型创新： 1.设置组合型选择题，为实现设置多选题过渡。全国卷Ⅲ第11题 出现组合型选择题，接轨新高考多选题。 2.新增双空填空题。全国卷Ⅱ第16题填空题设置两个空，试题难 度增大，思维量加大。
2.混淆命题的否定与否命题
命题的“否定”与命题的“否命题”是两个不同的概念,命题p的否定是否定命题
的结论 ,而“否命题”是对“若p,则q”形式的命题而言,既要否定条件也要否定结论.
3.充分条件、必要条件颠倒致误
对于两个条件A,B,若A⇒B成立,则A是B的充分条件,B是A的必要条件;若B⇒A成立,则
A是B的必要条件,B是A的充分条件;若A⇔B,则A,B互为充分必要条件.解题时最容易出
数列
14 数列
线性规划
切线方程
三角求值
切线方程
15 三角函数最值 圆的弦长
三角求值
圆
线性规划
16 立体几何
【精选】文科数学(2020版)备考指南第1章 第1讲
第一章 第1讲[A 级 基础达标]1．设全集U ＝R ，集合A ＝{y |y ＝tan x ，x ∈B }，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪|x |≤π4，则图中阴影部分表示的集合是( )A ．[－1,1]B ．⎣⎡⎦⎤－π4，π4 C ．⎣⎡⎭⎫－1，－π4∪⎝⎛⎦⎤π4，1 D ．⎣⎡⎦⎤－1，－π4∪⎝⎛⎦⎤π4，1 【答案】C【解析】图中阴影部分表示的集合为(∁U B )∩A ＝⎣⎡⎭⎫－1，－π4∪⎝⎛⎦⎤π4，1.故选C ． 2．(2018年银川模拟)已知集合A ＝{x |x 2－16＜0}，B ＝{－5,0,1}，则( ) A ．A ∩B ＝∅ B ．B ⊆A C ．A ∩B ＝{0,1} D ．A ⊆B【答案】C【解析】集合A ＝{x |x 2－16＜0}＝{x |－4＜x ＜4}，集合B ＝{－5,0,1}，则A ∩B ＝{0,1}．故选C ．3．(2018年石家庄模拟)已知集合A ＝{x |－2＜x ＜4}，B ＝{x |y ＝lg(x －2)}，则A ∩(∁R B )＝( )A ．(2,4)B ．(－2,4)C ．(－2,2)D ．(－2,2] 【答案】D【解析】B ＝{x |x ＞2}，所以∁R B ＝{x |x ≤2}，故A ∩(∁R B )＝(－2,2]．故选D ．4．(2018年天津模拟)已知集合A ＝{0,1}，B ＝{－1,0，a ＋3}，若A ⊆B ，则a 的值为( ) A ．－2 B ．－1 C ．0 D ．1 【答案】A【解析】因为集合A ＝{0,1}，B ＝{－1,0，a ＋3}，A ⊆B ，所以a ＋3＝1，解得a ＝－2.故选A ．5．已知集合A ，B 均为全集U ＝{1,2,3,4}的子集，且∁U (A ∪B )＝{4}，B ＝{1,2}，则A ∩(∁U B )等于()A ．{3}B ．{4}C ．{3,4}D ．∅【答案】A【解析】因为U ＝{1,2,3,4}，∁U (A ∪B )＝{4}，所以A ∪B ＝{1,2,3}．又因为B ＝{1,2}，所以{3}⊆A ⊆{1,2,3}．又∁U B ＝{3,4}，所以A ∩(∁U B )＝{3}．故选A ．6．已知集合M ＝{0,1,2,3,4}，N ＝{1,3,5}，P ＝M ∩N ，则P 的子集共有( ) A ．2个 B ．4个 C ．6个 D ．8个【答案】B【解析】因为M ＝{0,1,2,3,4}，N ＝{1,3,5}，所以P ＝M ∩N ＝{1,3}．所以P 的子集共有22＝4个．7．(2018年江苏)已知集合A ＝{0,1,2,8}，B ＝{－1,1,6,8}，那么A ∩B ＝________. 【答案】{1,8}【解析】因为A ＝{0,1,2,8}，B ＝{－1,1,6,8}，所以A ∩B ＝{0,1,2,8}∩{－1,1,6,8}＝{1,8}． 8．已知集合A ＝{(0,1)，(1,1)，(－1,2)}，B ＝{(x ，y )|x ＋y －1＝0，x ，y ∈Z }，则A ∩B ＝________.【答案】{(0,1)，(－1,2)}【解析】A ，B 都表示点集，A ∩B 即是由A 中在直线x ＋y －1＝0上的所有点组成的集合，代入验证即可．9．(2018年衡阳模拟)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |－1≤x ＜3}，B ＝{x |2x ＋2≥x ＋4}． (1)求A ∩B ；(2)若C ＝{x |2x －a ＞0}，且B ∪C ＝B ，求实数a 的取值范围．【解析】(1)因为A ＝{x |－1≤x ＜3}，B ＝{x |2x ＋2≥x ＋4}＝{x |x ≥2}，所以A ∩B ＝[2,3)．(2)C ＝{x |2x －a ＞0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＞a 2，因为B ∪C ＝B ，所以C ⊆B ，则a2≥2，即a ≥4.所以实数a 的取值范围是[4，＋∞)．10．已知集合A ＝{x ||x －a |≤2}，B ＝{x |lg(x 2＋6x ＋9)＞0}． (1)求集合A 和∁R B ；(2)若A ⊆B ，求实数a 的取值范围．【解析】(1)因为|x －a |≤2⇔－2≤x －a ≤2⇔a －2≤x ≤a ＋2，所以集合A ＝{x |a －2≤x ≤a ＋2}．因为lg(x 2＋6x ＋9)＞0，所以x 2＋6x ＋9＞1. 所以集合B ＝{x |x ＜－4或x ＞－2}． 所以∁R B ＝[－4，－2]．(2)由A ⊆B ，得a ＋2＜－4或－2＜a －2， 解得a ＜－6或a ＞0，所以a 的取值范围为{a |a ＜－6或a ＞0}．[B 级 能力提升]11．(2018年江西模拟)已知集合U ＝R ，A ＝{x ∈Z |x 2＜5}，B ＝{x |x 2(2－x )＞0}，则图中阴影部分表示的集合为( )A ．{2}B ．{1,2}C ．{0,2}D ．{0,1,2}【答案】C【解析】因为集合U ＝R ，A ＝{x ∈Z |x 2＜5}＝{－2，－1,0,1,2}，B ＝{x |x 2(2－x )＞0}＝{x |x ＜2，且x ≠0}，∁U B ＝{x |x ≥2或x ＝0}，所以图中阴影部分表示的集合为A ∩(∁U B )＝{0,2}．故选C ．12．(2018年佛山模拟)已知集合S ＝{0,1,2,3,4,5}，A 是S 的一个子集，当x ∈A 时，若有x －1∉A ，且x ＋1∉A ，则称x 为A 的一个“孤立元素”，那么S 中无“孤立元素”且含有4个元素的子集共有( )A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个【答案】C【解析】由成对的相邻元素组成的四元子集都没有“孤立元素”，如{0,1,2,3}，{0,1,3,4}，{0,1,4,5}，{1,2,3,4}，{1,2,4,5}，{2,3,4,5}，这样的集合共有6个．故选C ．13．已知集合A ＝{x |y ＝lg(a －x )}，B ＝{x |1＜x ＜2}，且(∁R B )∪A ＝R ，则实数a 的取值范围是________．【答案】[2，＋∞)【解析】集合A ＝{x |y ＝lg(a －x )}＝{x |a －x ＞0}＝{x |x ＜a }＝(－∞，a )，因为全集为R ，B ＝(1,2)，所以∁R B ＝(－∞，1]∪[2，＋∞)．因为(∁R B )∪A ＝R ，所以a ≥2，实数a 的范围为[2，＋∞)．14．已知全集U ＝{－2，－1,0,1,2}，集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪x ＝2n －1，x ，n ∈Z ，则∁U A ＝________.【答案】{0}【解析】因为A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪x ＝2n －1，x ，n ∈Z，当n ＝0时，x ＝－2；n ＝1时不合题意；n ＝2时，x ＝2；n ＝3时，x ＝1；n ≥4时，x ∉Z ；n ＝－1时，x ＝－1；n ≤－2时，x ∉Z .故A ＝{－2,2,1，－1}，又U ＝{－2，－1,0,1,2}，所以∁U A ＝{0}．15．已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝a }，B ＝{(x ，y )|y ＝b x ＋1，b >0，b ≠1}，若集合A ∩B 只有一个真子集，则实数a 的取值范围是________．【答案】(1，＋∞)【解析】由于集合B 中的元素是指数函数y ＝b x 的图象向上平移一个单位长度后得到的函数图象上的所有点，要使集合A ∩B 只有一个真子集，那么y ＝b x ＋1(b >0，b ≠1)与y ＝a 的图象有且只有一个交点，所以实数a 的取值范围是(1，＋∞)．16．已知集合A ＝{－4,2a －1，a 2}，B ＝{a －5,1－a,9}，分别求适合下列条件的a 的值． (1)9∈(A ∩B )； (2){9}＝(A ∩B )．【解析】(1)因为9∈(A ∩B )， 所以2a －1＝9或a 2＝9. 所以a ＝5或a ＝3或a ＝－3.当a ＝5时，A ＝{－4,9,25}，B ＝{0，－4,9}；当a ＝3时，a －5＝1－a ＝－2，不满足集合元素的互异性； 当a ＝－3时，A ＝{－4，－7,9}，B ＝{－8,4,9}． 所以a ＝5或a ＝－3. (2)由(1)可知，当a ＝5时， A ∩B ＝{－4,9}，不合题意；当a ＝－3时，A ∩B ＝{9}，所以a ＝－3.17．(2018年上海模拟)已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2x －1x ＋1≤1，x ∈R ，集合B ＝{x ||x －a |≤1，x ∈R }．(1)求集合A ；(2)若B ∩(∁R A )＝B ，求实数a 的取值范围．【解析】(1)由2x －1x ＋1≤1，得x －2x ＋1≤0⇒－1＜x ≤2，所以A ＝(－1,2]．(2)∁R A ＝(－∞，－1]∪(2，＋∞)，B ＝[a －1，a ＋1]， 由B ∩(∁R A )＝B ，得B ⊆∁R A ，所以a ＋1≤－1或a －1＞2. 所以a 的取值范围为(－∞，－2]∪(3，＋∞)．。
【精选】文科数学(2020版)备考指南第6章 第1讲
第六章 第1讲[A 级 基础达标]1．数列0,1,0，－1,0,1,0，－1，…的一个通项公式是a n ＝( ) A ．(－1)n ＋12B ．cos n π2C ．cosn ＋12π D ．cosn ＋22π 【答案】D【解析】令n ＝1,2,3,4，…，逐一验证四个选项，易得D 正确．2．(2018年驻马店模拟)已知数列{a n }的任意连续三项的和是18，并且a 5＝5，a 13＝9，那么a 2 019＝( )A ．10B ．9C ．5D ．4【答案】D【解析】由题意得a 1＋a 2＋a 3＝18，a 2＋a 3＋a 4＝18，所以a 1＝a 4.同理可得a 2＝a 5，a 3＝a 6，….依次推理，可得a 2 017＝a 4＝a 13＝9，a 2 018＝a 5＝5，又a 2 017＋a 2 018＋a 2 019＝18，所以a 2 019＝18－(a 2 017＋a 2 018)＝4.故选D ．3．数列{a n }的前n 项积为n 2，那么当n ≥2时，a n 等于( ) A ．2n －1 B ．n 2 C ．(n ＋1)2n 2D ．n 2(n －1)2【答案】D【解析】设数列{a n }的前n 项积为T n ，则T n ＝n 2，当n ≥2时，a n ＝T n T n －1＝n 2(n －1)2.故选D ．4．(2018年延安模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2n －1(n ∈N *)，则a 2 018的值为( )A ．2B ．3C ．2 018D ．4 035【答案】A【解析】因为S n ＝2n －1(n ∈N *)，则a 2 018＝S 2 018－S 2 017＝2×2 018－1－(2×2 017－1)＝2.故选A ．5．数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝2n －3，若a 1＝2，则a 8－a 4＝( )A ．7B ．6C ．5D ．4【答案】D【解析】依题意得(a n ＋2＋a n ＋1)－(a n ＋1＋a n )＝[2(n ＋1)－3]－(2n －3)，即a n ＋2－a n ＝2，所以a 8－a 4＝(a 8－a 6)＋(a 6－a 4)＝2＋2＝4.故选D ．6．(2018年玉溪一模)若数列{a n }为1,2,2,3,3,4,4，…，则该数列的一个通项公式a n ＝________.【答案】a n＝⎩⎨⎧n ＋12，n 为奇数，n ＋22，n 为偶数【解析】数列{a n }为1,2,2,3,3,4,4，…，可得奇数项分别为1,2,3,4，…，可得a n ＝n ＋12.偶数项分别为2,3,4，…，可得a n＝n ＋22.故该数列通项公式a n＝⎩⎨⎧n ＋12，n 为奇数，n ＋22，n 为偶数.7．(2018年大连双基训练)已知数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n (n ≥2)，则a 2 019＝________.【答案】2【解析】由题意知a 2＝1－1a 1＝－1，a 3＝1－1a 2＝2，a 4＝1－1a 3＝12，所以此数列是以3为周期的周期数列，a 2 019＝a 3×673＝a 3＝2.8．已知数列{a n }中，a 10＝17，其前n 项和S n 满足S n ＝n 2＋cn ＋2. (1)求实数c 的值； (2)求数列{a n }的通项公式． 【解析】(1)当n ≥2时，由a n ＝S n －S n －1＝(n 2＋cn ＋2)－[(n －1)2＋c (n －1)＋2]＝2n ＋c －1， 得a 10＝20＋c －1＝17，所以c ＝－2. (2)由(1)得S n ＝n 2－2n ＋2，所以a 1＝S 1＝1. 当n ≥2时，a n ＝2n －3； 当n ＝1时，上式不成立．所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －3，n ≥2.9．设函数f (x )＝log 2x －log x 2(0＜x ＜1)，数列{a n }满足f (2a n )＝2n (n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)判断数列{a n }的单调性． 【解析】(1)因为f (2a n )＝2n (n ∈N *)， 所以log 22a n －1log 22a n＝2n ，所以a n －1a n ＝2n ，化为a 2n －2na n －1＝0， 解得a n ＝2n ±4n 2＋42＝n ±n 2＋1.因为0＜2a n ＜1，所以a n ＜0， 所以a n ＝n －n 2＋1.(2)由(1)得a n ＝n －n 2＋1＝－1n ＋n 2＋1.因为f (n )＝1n ＋n 2＋1关于n 单调递减，所以g (n )＝－1n ＋n 2＋1关于n 单调递增．所以数列{a n }单调递增．[B 级 能力提升]10．数列{a n }的通项a n ＝nn 2＋90，则数列{a n }中的最大项是()A ．310B ．19C ．119D ．1060【答案】C【解析】因为a n ＝1n ＋90n ，运用基本不等式得1n ＋90n ≤1290，由于n ∈N *，所以当n ＝9或10时，a n 取得最大值．又a 9＝a 10＝119，故最大值为119.故选C ．11．已知数列{a n }满足：a 1＝a 2－2a ＋2，a n ＋1＝a n ＋2(n －a )＋1，m ∈N *，当且仅当n ＝3时，a n 最小，则实数a 的取值范围为( )A ．(－1,3)B ．⎝⎛⎭⎫52，3 C ．⎝⎛⎭⎫52，72 D ．(2,4)【答案】C【解析】由a n ＋1＝a n ＋2(n －a )＋1， 得a 2＝a 1＋2(1－a )＋1；a 3＝a 2＋2(2－a )＋1； a 4＝a 3＋2(3－a )＋1； …；a n ＝a n －1＋2(n －1－a )＋1.累加得a n ＝a 1＋2[1＋2＋3＋…＋(n －1)－(n －1)×a ]＋n －1＝a 1＋2(n －1)n2－2(n －1)a ＋n－1.因为a 1＝a 2－2a ＋2，所以a n ＝a 2－2a ＋2＋n 2－n －2an ＋2a ＋n －1＝n 2－2an ＋a 2＋1.设f (n )＝a n ＝n 2－2an ＋a 2＋1，该函数开口向上，对称轴方程为n ＝－－2a2＝a ，因为n ∈N *，所以当52<a <72时，f (n )＝a n 最小．故选C ．12．(2018年河南一模)已知数列：11，21，12，31，22，13，41，32，23，14，…，依它的前10项的规律，这个数列的第2 018项a 2 018等于( )A ．131B ．163C ．64D ．632【答案】D【解析】观察数列可知该数列按以下规律分组：①11；②21，12；③31，22，13；④41，32，23，14；….知它的项数是1＋2＋3＋…＋k ＝k (k ＋1)2(k ∈N *)，且在每一个k 段内，是k 个分数(k ∈N *，k ≥3)，且它们的分子分母和为k ＋1(k ∈N *，k ≥3)．由k ＝63时，k (k ＋1)2＝2 016＜2 018(k∈N *)，故a 2 018在64段中，所以a 2 018为第64组的第2项，故a 2 018＝632.故选D ．13．某数列的前10项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50，则此数列第20项为( ) A ．180 B ．200 C ．128 D ．162 【答案】B【解析】由0,2,4,8,12,18,24,32,40,50，可得偶数项的通项公式a 2n ＝2n 2，则此数列第20项为2×102＝200.故选B ．14．(2018年唐山模拟)在数列{a n }中，对任意的正整数n ，点(n ，a n )在直线y ＝2x ＋3上，则{a n }的第10项为________．【答案】23【解析】根据题意，点(n ，a n )在直线y ＝2x ＋3上，即a n ＝2n ＋3，则有a 10＝2×10＋3＝23，即{a n }的第10项为23.15．(2018年南充模拟)若a n ＝2n 2＋λn ＋3(其中λ为实常数)，n ∈N *，且数列{a n }为单调递增数列，则实数λ的取值范围为________．【答案】(－6，＋∞)【解析】若数列{a n }为单调递增数列，则a n ＋1＞a n ，即2(n ＋1)2＋λ(n ＋1)＋3＞2n 2＋λn ＋3，整理得λ＞－(4n ＋2)．因为n ≥1，所以－(4n ＋2)≤－6，即λ＞－6.16．数列{a n }的通项a n ＝(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n(n ∈N *)，试问该数列{a n }有没有最大项？若有，求出最大项；若没有，说明理由．【解析】设a n 是该数列的最大项，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n ＋1，a n ≥a n －1，所以⎩⎨⎧(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n≥(n ＋2)⎝⎛⎭⎫1011n ＋1，(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n≥n ⎝⎛⎭⎫1011n －1，解得9≤n ≤10，所以最大项为a 9＝a 10＝1010119.17．(2017年开封模拟)已知数列{a n }中，a n ＝1＋1a ＋2(n －1) (n ∈N *，a ∈R 且a ≠0)．(1)若a ＝－7，求数列{a n }中的最大项和最小项的值； (2)若对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，求a 的取值范围． 【解析】(1)因为a n ＝1＋1a ＋2(n －1)(n ∈N *，a ∈R 且a ≠0)，又a ＝－7，所以a n ＝1＋12n －9(n ∈N *)．结合函数f (x )＝1＋12x －9的单调性，可知1>a 1>a 2>a 3>a 4， a 5>a 6>a 7>…＞a n >1(n ∈N *)．所以数列{a n }中的最大项为a 5＝2，最小项为a 4＝0. (2)a n ＝1＋1a ＋2(n －1)＝1＋12n －2－a2，已知对任意n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，结合函数f (x )＝1＋12x －2－a2的单调性，可知5<2－a2<6，即－10<a <－8.所以a 的取值范围是(－10，－8)．。
【精选】文科数学(2020版)备考指南第4章 第5讲
第四章 三角函数、解三角形
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4．(2018 年岳阳二模)若将函数 y＝sin 2x 的图象向左平移π6个单位长度，则平移
后图象的对称轴为( )
A．x＝k2π－1π2(k∈Z)
B．x＝k2π＋π2(k∈Z)
C．x＝k2π(k∈Z)
D．x＝k2π＋1π2(k∈Z)
D．把 C1 向右平移π6个单位长度，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的12， 得到曲线 C2
【答案】B
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第四章 三角函数、解三角形
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【解析】把 C1 上各点横坐标伸长到原来的 2 倍，可得 y＝sin2x的图象，再把得到 的曲线向右平移23π个单位长度，
得到 y＝sin12x－23π ＝sin2x－π3＝cos2x－56π的图象．故选 B．
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第四章 三角函数、解三角形
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5 ． (2018 年 如 皋 模 拟 ) 函 数 f(x) ＝ Asin(ωx ＋ φ)(A ＞ 0 ， ω ＞ 0,0≤φ ＜ 2π) 在 R 上 的 部 分 图 象 如 图 所 示 ， 则 f(2 018) 的 值 为 ________________．
最低点的值确定的．( )
第四章 三角函数、解三角形
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(4)函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象的两条相邻对称轴间的距离为一个周期．( ) (5)函数 y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为 T，那么函数图象的两个相邻对称中心之 间的距离为T2.( ) 【答案】(1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)√
2020年高考数学(文科)最后冲刺指导
2020年高考数学（文科）最后冲刺指导近年高考试题出题特点：（1）试题的设计理念体现“大稳定、小创新、重运算、考思维”。
（2）坚持对五能力两意识的考查：五个能力：空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力；两个意识：应用意识和创新意识；注重对数学思想与方法的考查。
（3）体现数学的基础、应用和工具性的学科特色，多视角、多维度、多层次地考查数学思维品质和思维能力，考查考生对数学本质的理解，考查考生的数学素养和学习潜能。
（4）重视回归课本，每年会借用课本中的一个图形、一个概念的注解、一个例题的思考题或一个练习题等改编包装成高考题。
通过对2011-2019年高考数学全国Ⅰ卷真题（文/理）的研究，发现课标全国卷的试卷结构和题型具有一定的稳定性和连续性．每个题型考查的知识点、考查方法、考查角度、思维方法等相对固定．掌握了全国卷的各种题型，就把握住了全国卷命题的灵魂，从真题中发现命题规律。
文科数学每年必考的知识点有：集合、复数、平面向量、程序框图、三视图、函数与导数、三角函数、圆锥曲线、球的组合体、（概率与统计模块）等。
文科数学每年常考的知识点有：常用逻辑用语、线性规划、数列、解三角形、直线与圆等。
1集合与常用逻辑用语小题 1·集合小题9 年 9 考，每年 1 题，都是交并补子运算为主，多与解不等式等交汇，新定义运算也有较小的可能，但是难度较低；基本上是每年的送分题，相信命题小组对集合题进行大幅变动的决心不大。
常见集合元素限定条件;对数不等式、指数不等式、分式不等式、一元二次不等式、绝对值不等式、对数函数的定义域、二次根式、Z N N 、、*、点集（直线、圆、方程组的解）；补集、交集和并集；不等式问题画数轴很重要；指数形式x a 永远大于0不要忽记；特别注意代表元素的字母是x 还是y 。
例1、已知集合，，则MN =（ D ）A ．∅B ．C ．{}3,2D ．[3,3]-例2、已知集合，集合，则(AB =C )A ．(0,)+∞B ．(1,)-+∞C ．[0，)+∞D ．[1-，)+∞例3、集合，，则=B A （ C ）A ．)1,(--∞B ．]1,(--∞C ．),1(+∞D ．),1[+∞例4、设集合，则(AB = B )A ．ϕB ．(3,4)C ．(2,1)-D ．(4,)+∞例5、已知集合，若B A ⊆，则实数m 的取值范围为( B ) A ．(4,)+∞ B ．[4，)+∞ C ．(2,)+∞ D ．[2，)+∞2·常用逻辑用语小题9 年 1 考，只有 2013 年考了一个复合命题真假判断．这个考点包含的小考点较多，并且容易与函数，不等式、数列、三角函数、立体几何交汇，热点就是“充要条件”；难点：否定与否命题；冷点：全称与特称，思想：逆否．要注意，这类题可以分为两大类，一类只涉及形式的变换，比较简单，另一类涉及命题真假判断，比较复杂.简单叙述：小范围是大范围的充分不必要；大范围是小范围的必要不充分。
【精选】文科数学(2020版)备考指南第1章 第2讲
第一章 集合与常用逻辑用语
x>y”的逆否命题是“若x≤y，则x2≤y2”．
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第一章 集合与常用逻辑用语
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2．已知命题p：若x＝－1，则向量a＝(1，x)与b＝(x＋2，x)共线．在命题p的原
命题、逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )
A．0
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【解析】向量a，b共线⇔x－x(x＋2)＝0⇔x＝0或x＝－1，所以命题p为真，其逆
第一章 集合与常用逻辑用语
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5．(教材习题改编)下列命题：
①“x＝2”是“x2－4x＋4＝0”的必要不充分条件；
②“圆心到直线的距离等于半径”是“这条直线为圆的切线”的充要条件；
③“sin α＝sin β”是“α＝β”的充要条件；
④“ab≠0”是“a≠0”的充分不必要条件．
C．“若x≠4，则x2－3x－4≠0”，为假命题
D．“若x＝4，则x2－3x－4＝0”，为假命题
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第பைடு நூலகம்章 集合与常用逻辑用语
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(2)原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题、否命题、逆 否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )
【精选】文科数学(2020版)备考指南第13章 第1讲
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第十三章 选考部分
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【规律方法】(1)进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式；x
＝ρcos θ，y＝ρsin θ，ρ2＝x2＋y2，tan θ＝yx(x≠0)．
(2)进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，要注意 ρ，θ 的取值范围及其影响；
要善于对方程进行合理变形，并重视公式的逆向与变形使用；要灵活运用代入法和平
轨迹 C2 的直角坐标方程；
(2)设点
A
的极坐标为2，π3，点
B
在曲线
C2
上，求△OAB
面积的最大值． 栏目索引
第十三章 选考部分
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【解析】(1)设 P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)． 由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝co4s θ. 由|OM|·|OP|＝16 得 C2 的极坐标方程为 ρ＝4cos θ(ρ>0)，即(x－2)2＋y2＝4(x≠0)．
－3x－3 3y＝0.
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第十三章 选考部分
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1．简单曲线的极坐标方程可结合极坐标系中ρ和θ的具体含义求出，也可利用极 坐标方程与直角坐标方程的互化公式得出．同直角坐标方程一样，由于建系的不 同，曲线的极坐标方程也会不同．在没有充分理解极坐标的前提下，可先化成直角 坐标解决问题．
第十三章
选考部分
第1讲 坐标系
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【考纲导学】 1．理解坐标系的作用，了解平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情 况． 2．了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置． 3．理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和 直角坐标的互化． 4．能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆) 的方程，通过比较这些图形在极坐标系中的方程，理解用方程表示平栏目面索图引 形时选择 适当坐标系的意义．
2020年6月高考全国卷考前冲刺演练精品密卷Ⅰ(6月)文科数学试卷参考答案
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【精选】文科数学(2020版)备考指南第10章 第2讲
第十章 第2讲[A 级 基础达标]1．某厂10名工人在1小时内生产零件的个数分别是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12，设该组数据的平均数为a ，中位数为b ，众数为c ，则有( )A ．a >b >cB ．b >c >aC ．c >a >bD ．c >b >a【答案】D【解析】把该组数据按从小到大的顺序排列为10,12,14,14,15,15,16,17,17,17，其平均数a ＝110×(10＋12＋14＋14＋15＋15＋16＋17＋17＋17)＝14.7，中位数b ＝15＋152＝15，众数c ＝17，则a <b <c .2．(2018年雅安模拟)某高校进行自主招生，先从报名者中筛选出400人参加笔试，再按笔试成绩择优选出100人参加面试．现随机抽取24名笔试者的成绩，如表所示： 分数段 [60,65) [65,70) [70,75) [75,80) [80,85) [85,90) 人数234951A ．90B ．85C ．80D ．75【答案】C【解析】参加面试的频率为100400＝0.25，样本中[80,90)的频率为5＋124＝0.25，由样本估计总体知，分数线大约为80分．故选C ．3．(2018年佛山模拟)从某企业生产的某种产品中随机抽取10件，测量这些产品的一项质量指标，其频率分布如图，若该质量指标的平均数、众数、中位数分别为a ，b ，c ，则由频率分布直方图估计a ，b ，c 的大小关系为( )A ．b ＜a ＜cB ．c ＜b ＜aC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b【答案】C【解析】由频率分布直方图得平均数a ＝0.005×20×20＋0.03×20×40＋0.015×20×60＝44，众数b ＝30＋502＝40，中位数c ＝30＋0.5－0.10.6×20≈43.3，所以b ＜c ＜a .故选C ．4．为了了解某校高三学生的视力情况，随机抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如图所示，由于不慎将部分数据丢失，但知道后5组频数和为62，设视力在4.6到4.8之间的学生数为a,5组数据中最大频率为0.32，则a 的值为( )A ．64B ．54C ．48D ．27【答案】B【解析】前两组中的频数为100×(0.05＋0.11)＝16.因为后五组频数和为62，所以前三组为38.所以第三组频数为22，又最大频率为0.32的最大频数为0.32×100＝32，所以a ＝22＋32＝54.5．如图所示是依据某城市年龄在20岁到45岁的居民上网情况调查而绘制的频率分布直方图，现已知年龄在[30,35)，[35,40)，[40,45]的上网人数呈现递减的等差数列分布，则年龄在[35,40)的网民出现的频率为( )A ．0.04B ．0.06C ．0.2D ．0.3【答案】C【解析】由频率分布直方图的知识得，年龄在[20,25)的频率为0.01×5＝0.05，[25,30)的频率为0.07×5＝0.35，设年龄在[30,35)，[35,40)，[40,45]的频率为x ，y ，z ，又x ，y ，z成等差数列，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝1－0.05－0.35，x ＋z ＝2y ，解得y ＝0.2，所以年龄在[35,40)的网民出现的频率为0.2.6．(2018年襄阳一模)下面茎叶图中的甲、乙的平均数、方差、极差及中位数，相同的是( )A ．极差B ．方差C ．平均数D ．中位数【答案】C【解析】根据茎叶图中的数据，计算甲的极差是37－5＝32，乙的极差是39－1＝38，极差不同；甲的中位数是12×(16＋21)＝18.5，乙的中位数是12×(14＋18)＝16，中位数不同；甲的平均数是16×(5＋12＋16＋21＋25＋37)＝583，乙的平均数是16×(1＋6＋14＋18＋38＋39)＝583，平均数相同；甲的数据成单峰分布，方差较小，乙的数据更分散些，方差较大，二者方差不同．故选C ．7．(2018年无锡模拟)已知某人连续5次射击的环数分别是8,9,10，x,8，若这组数据的平均数是9，则这组数据的方差为________．【答案】0.8【解析】根据题意，数据8,9,10，x,8的平均数是9，则有8＋9＋10＋x ＋8＝45，解得x ＝10，则这组数据的方差s 2＝15[(8－9)2＋(9－9)2＋(10－9)2＋(10－9)2＋(8－9)2]＝0.8.8．从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50度至350度之间，频率分布直方图如图所示．(1)直方图中x 的值为________；(2)在这些用户中，用电量落在区间[100,250)内的户数为______． 【答案】(1)0.004 4 (2)70【解析】(1)由频率分布直方图总面积为1，得(0.001 2＋0.002 4×2＋0.003 6＋x ＋0.006 0)×50＝1，解得x ＝0.004 4.(2)用电量在[100,250)内的频率为(0.003 6＋0.004 4＋0.006 0)×50＝0.7，故所求户数为100×0.7＝70.9．某班100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．(1)求图中a 的值；(2)若在同一组数据中，将该组区间的中点值作为这组数据的平均分，根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x )与数学成绩相应分数段的人数(y )之比如表所示，求数学成绩在[50,90)之外的人数.分数段 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) x ∶y1∶12∶13∶44∶5(2)估计这次语文成绩的平均分x ＝55×0.05＋65×0.4＋75×0.3＋85×0.2＋95×0.05＝73.所以这100名学生语文成绩的平均分为73分．(3)分别求出语文成绩在分数段[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)的人数依次为0.05×100＝5，0.4×100＝40,0.3×100＝30,0.2×100＝20.所以数学成绩分数段在[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)的人数依次为5,20,40,25. 所以数学成绩在[50,90)之外的人数有100－(5＋20＋40＋25)＝10(人)．10．(2018年沈阳模拟)某教育集团为了办好教育，每年底都随机邀请8名学生家长代表对集团内甲、乙两所学校进行满意度民主测评(满意度最高分110，最低分0，分数越高说明满意度越高，分数越低说明满意度越低).2017年测评的数据如下：甲校：96,112,97,108,100,103,86,98； 乙校：108,101,94,105,96,93,97,106.(1)分别计算甲、乙两所学校2017年满意度测评数据的平均数、中位数； (2)分别计算甲、乙两所学校2017年满意度的方差； (3)根据以上数据你认为哪所学校的满意度比较好．【解析】(1)甲学校满意度的平均数为x 甲＝18×(96＋112＋97＋108＋100＋103＋86＋98)＝100，甲学校满意度的中位数为100＋982＝99.乙学校满意度的平均数为x 乙＝18×(108＋101＋94＋105＋96＋93＋97＋106)＝100，乙学校满意度的中位数为101＋972＝99.(2)甲学校满意度的方差s 2甲＝18×(42＋122＋32＋82＋02＋32＋142＋22)＝55.25， 乙学校满意度的方差s 2乙＝18×(82＋12＋62＋52＋42＋72＋32＋62)＝29.5. (3)由(1)(2)得，甲乙两学校满意度的平均数相同、中位数相同，而乙学校满意度的方差小于甲学校满意度的方差，故乙学校满意度比较好．[B 级 能力提升]11．如图是一组样本数据的频率分布直方图，依据图形中的数据，可以估计总体的平均数与中位数分别是( )A ．12.5,12.5B ．13,13C ．13.5,12.5D ．13.5,13【答案】B【解析】由频率分布直方图知，第1组的频率为0.04×5＝0.2，第2组的频率为0.1×5＝0.5，则第3组的频率为1－0.2－0.5＝0.3，估计总体平均数为7.5×0.2＋12.5×0.5＋17.5×0.3＝13.由题意知，中位数在第2组内，设为10＋x ，则有0.1x ＝0.3，解得x ＝3，从而中位数是13.12．(2018年福州校级模拟)某班有50名学生，在一次考试中统计出平均分数为70，方差为75，后来发现有2名学生的成绩统计有误，学生甲实际得分是80分却误记为60分，学生乙实际得分是70分却误记为90分，更正后的平均分数和方差分别是( )A ．70和50B ．70和67C ．75和50D ．75和67 【答案】B【解析】设更正前甲，乙，…的成绩依次为a 1，a 2，…，a 50，则a 1＋a 2＋…＋a 50＝50×70，即60＋90＋a 3＋…＋a 50＝50×70，(a 1－70)2＋(a 2－70)2＋…＋(a 50－70)2＝50×75，即102＋202＋(a 3－70)2＋…＋(a 50－70)2＝50×75.更正后平均分为x －＝150×(80＋70＋a 3＋…＋a 50)＝70；方差为s 2＝150×[(80－70)2＋(70－70)2＋(a 3－70)2＋…＋(a 50－70)2]＝150×[100＋(a 3－70)2＋…＋(a 50－70)2]＝150×[100＋50×75－102－202]＝67.故选B ．13．(2018年衡阳二模)已知样本x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ；样本y 1，y 2，…，y m 的平均数为y (x ≠y )．若样本x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y m 的平均数z ＝ax ＋(1－a )y ，其中0＜a ＜12，则n ，m (n ，m ∈N *)的大小关系为( )A ．n ＝mB ．n ≥mC ．n ＜mD ．n ＞m【答案】C【解析】由样本x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，样本y 1，y 2，…y m 的平均数为y ，样本x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…y m 的平均数z ＝ax ＋(1－a )y ，所以nx ＋my n ＋m ＝n n ＋m x ＋mn ＋my ＝ax＋(1－a )y ，所以a ＝n n ＋m .又0＜a ＜12时，1－a ＞a ，所以m n ＋m ＞nn ＋m，所以m ＞n .故选C ．14．为了解一片经济林的生长情况，随机抽取了其中60株树木的底部周长(单位：cm)，所得数据均在区间[80,130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有________株树木的底部周长小于100 cm.【答案】24【解析】由频率分布直方图知，底部周长在[80,90)的频率为0.015×10＝0.15，底部周长在[90,100)的频率为0.025×10＝0.25，样本容量为60，所以树木的底部周长小于100 cm 的株数为(0.15＋0.25)×60＝24.15．已知一组数据a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6，a 7构成公差为d 的等差数列，且这组数据的方差等于1，则公差d 等于________．【答案】±12【解析】这组数据的平均数为 a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 77＝7a 47＝a 4，又因为这组数据的方差等于1，所以17[(a 1－a 4)2＋(a 2－a 4)2＋(a 3－a 4)2＋(a 4－a 4)2＋(a 5－a 4)2＋(a 6－a 4)2＋(a 7－a 4)2]＝17(9d 2＋4d 2＋d 2＋0＋d 2＋4d 2＋9d 2)＝1，即4d 2＝1，解得d ＝±12.16．(2018年高安模拟)某厂准备在甲、乙两位工人中派一名工人参加技能大赛，为此安排甲、乙两位工人在厂实习基地现场进行加工直径为30 mm 的零件测试，他俩各加工10个零件，零件的直径数据(单位：mm)如下表所示： 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲 30.0 30.0 30.0 29.9 30.0 30.0 29.9 29.9 30.1 30.2 乙30.229.830.230.229.829.830.129.930.030.0(1)若考虑平均数与完全符合要求的个数，你认为谁的成绩好些？ (2)计算甲、乙两人的方差，考虑平均数与方差，说明谁的成绩好一些？(3)根据上表，在如图给出的坐标系上画出甲、乙两人加工零件的数据的折线图．若参加活动技能大赛时加工零件的个数远远超过10个，请根据折线图的趋势，你认为派谁去更合适？简述理由．【解析】(1)根据表中数据可得x －甲＝110×(5×30＋3×29.9＋30.1＋30.2)＝30，x －乙＝110×(2×30＋3×30.2＋3×29.8＋30.1＋29.9)＝30，所以两人的平均数相等，但甲的完全符合要求的个数为5个，而乙为2个，所以甲的成绩好些．(2)因为s 2甲＝110×[5×(30－30)2＋3×(29.9－30)2＋(30.1－30)2＋(30.2－30)2]＝0.008， 且s 2乙＝110×[2×(30－30)2＋3×(30.2－30)2＋3×(29.8－30)2＋(30.1－30)2＋(29.9－30)2]＝0.026.所以s 2乙＞s 2甲，即在平均数相同的情况下，甲的波动性小，所以甲的成绩好些．(3)画出折线图如图．由其走势可知，乙的成绩前面起伏大，但后来逐渐稳定，误差小；甲的成绩前面比较稳定，但后来起伏变大，所以派乙参加．。
【精选】文科数学(2020版)备考指南第5章 第4讲
第五章 第4讲[A 级 基础达标]1．已知点A (－2,0)，B (3,0)，动点P (x ，y )满足P A →·PB →＝x 2，则点P 的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线【答案】D【解析】P A →＝(－2－x ，－y )，PB →＝(3－x ，－y )，所以P A →·PB →＝(－2－x )(3－x )＋y 2＝x 2.所以y 2＝x ＋6，则点P 的轨迹为抛物线．故选D ．2．在△ABC 中，(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，则△ABC 的形状一定是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形 【答案】C【解析】由(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，得AC →·(BC →＋BA →－AC →)＝0，即AC →·(BC →＋BA →＋CA →)＝0,2AC →·BA →＝0，所以AC →⊥BA →，即A ＝90°.又根据已知条件不能得到|AB →|＝|AC →|，故△ABC 一定是直角三角形．故选C ．3．已知|a |＝2|b |，|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x －a·b ＝0有两相等实根，则向量a 与b 的夹角是( )A ．－π6B ．－π3C ．π3D ．2π3【答案】D【解析】由已知可得Δ＝|a |2＋4a·b ＝0，即4|b|2＋4×2|b |2cos θ＝0，所以cos θ＝－12.又0≤θ≤π，所以θ＝2π3.故选D ．4．(2018年安徽模拟)已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若OA →＋OC →＝OB →，圆O 的半径为2，则OB →·CB →＝( )A ．－1B ．－2C ．1D ．2【答案】D【解析】如图所示，OA →＋OC →＝OB →，所以平行四边形OABC 是菱形，且∠AOC ＝120°.又圆O 的半径为2，所以OB →·CB →＝2×2×cos 60°＝2.故选D ．5．小船以10 3 km/h 的静水速度按垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为10 km/h ，则小船实际航行速度的大小为( )A ．20 2 km/hB ．20 km/hC ．10 2 km/hD ．10 km/h【答案】B【解析】如图所示，设船在静水中的速度为|v 1|＝10 3 km/h ，河水的流速为|v 2|＝10 km/h.小船实际航行的速度为|v 0|，则由|v 1|2＋|v 2|2＝|v 0|2，得(103)2＋102＝|v 0|2，所以|v 0|＝±20.取|v 0|＝20 km/h ，即小船实际航行速度的大小为20 km/h.故选B ．6．(2018年德阳模拟)如图，在等腰直角△ABO 中，OA ＝OB ＝1，C 为AB 上靠近点A 的四等分点，过C 作AB 的垂线l ，P 为垂线上任一点，则OP →·(OB →－OA →)等于( )A ．－12B ．12C ．－32D ．32【答案】A【解析】由已知条件知，AB ＝2，∠OAB ＝45°.又CP →⊥AB →，AC →＝14AB →，所以OP →·(OB →－OA →)＝(OA →＋AC →＋CP →)·AB →＝⎝⎛⎭⎫OA →＋14AB →＋CP →·AB →＝OA →·AB →＋14AB →2＋CP →·AB →＝－1＋12＝－12.故选A ．7．(2018年余姚模拟)如图，在平面四边形ABCD 中，|AC |＝3，|BD |＝4，则(AB →＋DC →)·(BC →＋AD →)＝________.【答案】－7【解析】AB →＋DC →＝AC →＋CB →＋DB →＋BC →＝AC →－BD →，BC →＋AD →＝BD →＋DC →＋AC →＋CD →＝AC →＋BD →，所以(AB →＋DC →)·(BC →＋AD →)＝(AC →－BD →)·(AC →＋BD →)＝AC →2－BD →2＝9－16＝－7.8．若向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，且|a|＝|b|＝|c|＝1，则|a －b|＝________. 【答案】3【解析】因为向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，且|a|＝|b|＝|c|＝1，所以向量a ，b ，c 可看成是首尾相连的等边三角形的边所表示的向量，如图．由图可知，向量a ，b 的夹角为120°，则|a －b|＝a 2－2a·b ＋b 2＝1－2×⎝⎛⎭⎫－12＋1＝ 3.9．在直角坐标系xOy 中，已知点A (1,1)，B (2,3)，C (3,2)，点P (x ，y )在△ABC 三边围成的区域(含边界)上，且OP →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R )．(1)若m ＝n ＝23，求|OP →|；(2)用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值． 【解析】(1)因为m ＝n ＝23，AB →＝(1,2)，AC →＝(2,1)，所以OP →＝23(1,2)＋23(2,1)＝(2,2)．所以|OP →|＝22＋22＝2 2.(2)因为OP →＝m (1,2)＋n (2,1)＝(m ＋2n,2m ＋n )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋2n ，y ＝2m ＋n ，两式相减，得m －n ＝y－x .令y －x ＝t ，由图知，当直线y ＝x ＋t 过点B (2,3)时，t 取得最大值1，故m －n 的最大值为1.[B 级 能力提升]10．已知作用于点A 的三个力F 1＝(3,4)，F 2＝(2，－5)，F 3＝(3,1)，且A (1,1)，则合力F ＝F 1＋F 2＋F 3的终点坐标为( )A ．(9,1)B ．(1,9)C ．(9,0)D ．(0,9)【答案】A【解析】合力F ＝F 1＋F 2＋F 3＝(3,4)＋(2，－5)＋(3,1)＝(8,0)，设合力F 的终点为B (x ，y )，由题意得AB →＝(8,0)，即(x ，y )－(1,1)＝(8,0)，所以(x ，y )＝(9,1)．故选A ．11．(2018年赤峰模拟)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB →·AF →＝2，则AE →·BF →的值是( )A ．2－ 2B ．1C ． 2D ．2【答案】C【解析】据题意，分别以AB ，AD 所在直线为x ，y 轴，建立如图所示平面直角坐标系，则A (0,0)，B (2，0)，E (2，1)．设F (x,2)，所以AB →·AF →＝(2，0)·(x,2)＝2x ＝ 2.所以x ＝1.所以F (1,2)，AE →＝(2，1)，BF →＝(1－2，2)．所以AE →·BF →＝2(1－2)＋1×2＝ 2.故选C ．12．(2018年兰州模拟)记max{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥b ，b ，a <b .已知向量a ，b ，c 满足|a|＝1，|b|＝2，a·b ＝0，c ＝λa ＋μb (λ≥0，μ≥0，且λ＋μ＝1)，则当max{c·a ，c·b }取最小值时，|c|＝( )A ．255B ．223C ．1D ．52【答案】A【解析】如图，设OA →＝a ，OB →＝b ，则a ＝(1,0)，b ＝(0,2)．因为λ≥0，μ≥0，λ＋μ＝1，所以0≤λ≤1.又c ＝λa ＋μb ，所以c ·a ＝(λa ＋b －λb )·a ＝λ；c ·b ＝(λa ＋b －λb )·b ＝4－4λ.由λ＝4－4λ，得λ＝45.所以max{c ·a ，c ·b }＝⎩⎨⎧λ，45≤λ≤1，4－4λ，0≤λ<45.令f (λ)＝⎩⎨⎧λ，45≤λ≤1，4－4λ，0≤λ<45，则f (λ)∈⎣⎡⎦⎤45，4.所以f (λ)min ＝45，此时λ＝45，μ＝15，所以c ＝45a ＋15b ＝⎝⎛⎭⎫45，25.所以|c|＝⎝⎛⎭⎫452＋⎝⎛⎭⎫252＝255.故选A ．13．(2018年上海模拟)设点O 在△ABC 的内部，点D ，E 分别为边AC ，BC 的中点，且|3OD →＋2DE →|＝1，则|OA →＋2OB →＋3OC →|＝________.【答案】2【解析】点D ，E 分别为边AC ，BC 的中点，所以OA →＋OC →＝2OD →，AB →＝OB →－OA →.所以|3OD →＋2DE →|＝⎪⎪⎪⎪32(OA →＋OC →)＋OB →－OA →＝⎪⎪⎪⎪12OA →＋OB →＋32OC →＝12|OA →＋2OB →＋3OC →|＝1.所以|OA →＋2OB →＋3OC →|＝2.14．在△ABC 中，设内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(cos A ，sin A )，向量n ＝(2－sin A ，cos A )，若|m ＋n |＝2.(1)求内角A 的大小；(2)若b ＝42，且c ＝2a ，求△ABC 的面积．【解析】(1)|m ＋n |2＝(cos A ＋2－sin A )2＋(sin A ＋cos A )2＝4＋22(cos A －sin A )＝4＋4cos ⎝⎛⎭⎫π4＋A . 因为4＋4cos ⎝⎛⎭⎫π4＋A ＝4，所以cos ⎝⎛⎭⎫π4＋A ＝0. 因为A ∈(0，π)，所以π4＋A ＝π2，所以A ＝π4.(2)由余弦定理知a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 即a 2＝(42)2＋(2a )2－2×42×2a cos π4，解得a ＝42，所以c ＝8.所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×42×8×22＝16.15．如图所示，已知点F (1,0)，直线l ：x ＝－1，P 为平面上的一动点，过P 作直线l 的垂线，垂足为点Q ，且QP →·QF →＝FP →·FQ →.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过点F 的直线交轨迹C 于A ，B 两点，交直线l 于点M ，已知MA →＝λ1AF →，MB →＝λ2BF →，求λ1＋λ2的值．【解析】(1)设点P (x ，y )，则Q (－1，y )， 由QP →·QF →＝FP →·FQ →，得(x ＋1,0)·(2，－y )＝(x －1，y )·(－2，y )，化简得P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x . (2)设直线AB 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，又M ⎝⎛⎭⎫－1，－2m ， 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝my ＋1，消去x 得y 2－4my －4＝0，Δ＝(－4m )2＋16>0，故⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4.由MA →＝λ1AF →，MB →＝λ2BF →， 得y 1＋2m ＝－λ1y 1，y 2＋2m ＝－λ2y 2，整理得λ1＝－1－2my 1，λ2＝－1－2my 2， 所以λ1＋λ2＝－2－2m ⎝⎛⎭⎫1y 1＋1y 2＝－2－2m ·y 1＋y 2y 1y 2＝－2－2m ·4m－4＝0.。