勾股定理(1)
3.1勾股定理(1)教学设计
凤凰初中数学配套教学软件_教学设计第 1 页共 6 页2019-7-20数学教学设计教材：义务教育教科书·数学（八年级上册）作者：李贺（徐州高级中学）3.1勾股定理（1）目标1．让学生经历从数到形再由形到数的转化过程，经历探求三个正方形面积间的关系转化为三边数量关系并从过程中让学生体会数形结合思想，发展将未知转化为已知，由特殊推测一般的合情推理能力．2．让学生经历拼图实验、计算面积的过程，在过程中养成独立思考、合作交流的学习习惯；让各类型的过程中发挥自己特长，通过解决问题增强自信心，激发学习数学的兴趣；通过老师的介绍，感受勾股定值．3．能说出勾股定理，并能用勾股定理解决简单问题．重点勾股定理的探索过程．难点将边不在格线上的图形转化为边在格线上的图形，以便于计算图形面积．教学过程（教师）学生活动设计境提出问题们，我们已经学过三角形的一些基本知识，如果一个三角形的两条边分你知道第三边的长吗？你知道第三边长的范围吗？又已知这两边的夹角是90度，那么第三边的长确定吗？直角三角形的两边的长，如何求第三边的长呢？这节课就让我们一起来探讨这个问题．板书：直角三角形三边数量关系．学生思考，回答问题．这是对的不等关系生从原有的发，揭示这节源，符合学理，也自然地的目标，让学一般性的问时，可以先将化为特殊问索猜想归纳么方法来探求？经利用图形面积探索过数学公式，大家还记得在哪用过吗？示：平方差公式、完全平方公式、单项式乘多项式、多项式乘多项式．学生讨论．从学生经验出发，将间的关系转积之间的关得解决今天并不陌生，增8x（图1）。
第3章《勾股定理》 ：3.1 勾股定理(1)(含答案)
第3章《勾股定理》：3.1 勾股定理（1）选择题1．如图所示，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，且AB=4，BD=5，则点D到BC的距离是（）A．3 B．4 C．5 D．6（第1题）（第2题）2．如图所示：数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（）A． 5 +1 B．- 5 +1 C． 5 -1 D． 5填空题3．如图，半圆的直径AB= ．（第3题）（第4题）（第5题）4．如图，正方体的棱长为 2 cm，用经过A、B、C三点的平面截这个正方体，所得截面的周长是 cm．（第6题）（第7题）（第12题）5．有一个与地面成30°角的斜坡，如图，现要在斜坡上竖一电线杆，当电线杆与斜坡成的∠1=度时，电线杆与地面垂直．6．一副三角板如图所示叠放在一起，则图中∠a=度．7．如图，△ABC中，∠C=90°，CA=CB，AD平分∠CAB．交BC于D，DE⊥AB于E，且AB=6，△DEB的周长为．（第13题）（第14题）（第15题）8．已知等腰三角形的一条腰长是5，底边长是6，则它底边上的高为．9．已知等腰△ABC的腰AB=AC=10cm，底边BC=12cm，则△ABC的角平分线AD的长是 cm ．10．已知等边三角形的边长为2cm，则它的高为 cm ．11．Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=2∠A，BC=3cm，AB= cm ．12．在锐角△ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，且CD，BE交于点P，若∠A=50°，则∠BPC的度数是度．13．如图，以等腰三角形AOB的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形ABA1，再以等腰直角三角形ABA1的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形A1BB1，…，如此作下去，若OA=OB=1，则第n个等腰直角三角形的面积Sn= 度．14．如图，等腰直角三角形ABC直角边长为1，以它的斜边上的高AD为腰做第一个等腰直角三角形ADE；再以所作的第一个等腰直角三角形ADE的斜边上的高AF 为腰做第二个等腰直角三角形AFG；…以此类推，这样所作的第n个等腰直角三角形的腰长为．15．图中的螺旋形由一系列等腰直角三角形组成，其序号依次为①、②、③、④、⑤…，则第n个等腰直角三角形的斜边长为．16．已知△ABC是轴对称图形，且三条高的交点恰好是C点，则△ABC的形状是．17．等腰直角三角形的腰长为 2 ，则底边长为．18．等腰直角三角形的底角为度．19．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，AD=10cm，AC=8cm，那么D点到直线AB的距离是 cm．（第19题）（第21题）（第22题）20．已知直角三角形的两条边长为3和4，则第三边的长为．21．如图，等腰△ABC中，AB=AC，AD是底边上的高，若AB=5cm，BC=6cm，则AD= cm．22．下图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是．（第23题）（第24题）（第25题）23．如图，一束光线从y轴上点A（0，1）发出，经过x轴上点C反射后，经过点B（6，2），则光线从A点到B点经过的路线的长度为．（精确到0.01）24．把两块含有30°的相同的直角三角尺按如图所示摆放，使点C、B、E在同一直线上，连接CD，若AC=6cm，则△BCD的面积是 cm2．（第26题）（第27题）25．如图，△ABC和△DCE都是边长为2的等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，连接BD，则BD的长为．26．如图，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=90°，D是BC的中点，且它关于AC的对称点是D′，则BD′=．27．我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为a、b，那么（a+b）2的值是．（第28题）（第29题）28．如图，所有的四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长是a，则图中四个小正方形A、B、C、D的面积之和是．29．如图，直线L过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线L的距离分别是1和2，则正方形的边长是．30．如果直角三角形的斜边与一条直角边的长分别是13cm和5cm，那么这个直角三角形的面积是 cm2．答案：选择题1．故选A．考点：勾股定理的证明．专题：压轴题．分析：先根据勾股定理求出AD的长度，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质解答．解答：解：过D点作DE⊥BC于E．∵∠A=90°，AB=4，BD=5，∴AD=BD2−AB2 =52−42 =3，∵BD平分∠ABC，∠A=90°，∴点D到BC的距离=AD=3．故选A．点评：本题利用勾股定理和角平分线的性质．2．故选C．考点：勾股定理；实数与数轴．分析：先根据勾股定理求出三角形的斜边长，再根据两点间的距离公式即可求出A点的坐标．解答：解：图中的直角三角形的两直角边为1和2，∴斜边长为：12+22 = 5 ，∴-1到A的距离是 5 ，那么点A所表示的数为： 5 -1．故选C．点评：本题考查的是勾股定理及两点间的距离公式，解答此题时要注意，确定点A的符号后，点A所表示的数是距离原点的距离．填空题3．故答案为2 2 ．考点：实数与数轴；勾股定理．专题：数形结合．分析：由图可知OE与OD、AC的长，再由勾股定理可得圆的半径OC的大小，进而可得半圆的直径AB的值．解答：解：连接OC，由图可知：OD=CD=1，由勾股定理可知，OC=OD2+CD2 =12+12 = 2 ，故半圆的直径为2 2 ，故答案为2 2 ．点评：此题很简单，解答此题关键是熟知勾股定理，理解题意．4．故填6厘米．考点：截一个几何体；勾股定理．专题：压轴题．分析：由图可知：所得的截面的周长=AC+BC+AB，正方体中，AC=BC=AB，所以只要求出正方体一面的对角线长度即可得出截面的周长，根据勾股定理，AB=( 2 2)+( 2 2) =2，因此，截面的周长=AB+BC+AC=3AB=6cm．解答：解：根据勾股定理，AB=( 2 )2+( 2 )2 =2，∴截面的周长=AB+BC+AC=3AB=6cm，即截面的周长为6厘米．点评：截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关．要利用本题中截面的特殊性求解．5．故答案为：60．考点：垂线；直角三角形的性质．专题：应用题．分析：将∠1的一边延长，找∠1的对顶角与30°，90°的关系，再根据对顶角相等求∠1．解答：解：如图，要使CB⊥AB，则在△ABC中，∠CBA=90°，∴∠1=∠ACB=90°-30°=60°．故答案为：60．点评：解答本题的关键是构造直角三角形，利用直角三角形的性质求解．6．故答案为：75°．考点：三角形的外角性质；直角三角形的性质．分析：此题主要考查外角的性质和直角三角形的性质．解答：解：由图可知，∠ACD=∠B+∠BAC=45°∴∠BAC=45°-30°=15°∴∠α=90°-15°=75°．点评：解决此题的关键是熟练运用直角三角形的性质．7．故填6．考点：角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．分析：分析已知条件，根据勾股定理可求得CA的长，△CAD≌△EAD，则DE=DC，在△BED中，BE=AB-AE，DE=DC，△DEB的周长为：BE+DE+DB=BE+CD+DB=BE+CB．解答：解：△ABC中，∠C=90°，CA=CB，AB=6根据勾股定理得2CB2=AB2，∴CB=3 2 ，∵AD平分∠CAB∴∠CAD=∠EAD∵DE⊥AB∴∠DEA=90°=∠C∴△CAD≌△EAD（AAS）∴AC=AE=3 2 ，DE=CD∴EB=AB-AE=6-3 2故△DEB的周长为：BE+DE+DB=BE+CD+DB=BE+CB=6-3 2 +3 2 =6．点评：此题考查了全等三角形的判定及性质，应用了勾股定理，三角形周长的求法，范围较广．8．底边上的高为4．考点：等腰三角形的性质；勾股定理．分析：根据等腰三角形三线合一的性质及勾股定理不难求得底边上的高．解答：解：根据等腰三角形的三线合一，知：等腰三角形底边上的高也是底边上的中线．即底边的一半是3，再根据勾股定理得：底边上的高为4．点评：考查等腰三角形的三线合一及勾股定理的运用．9．故应填8．考点：等腰三角形的性质；勾股定理．分析：由已知可以得到等腰三角形被它的顶角的平分线，平分成两个全等的直角三角形，可以利用勾股定理来求解．解答：解：如图，由等腰三角形的“三线合一”性质，知AD⊥BC，且BD=CD，在Rt△ABD中，∵AB=10，BD=12BC=6，∴AD=AB2−BD2 =102−62 =8（cm）．故应填8．点评：命题立意：此题主要考查等腰三角形的“三线合一”性质及勾股定理．10．故应填 3 cm．．考点：等边三角形的性质；勾股定理．专题：压轴题．分析：根据等边三角形的性质：三线合一，利用勾股定理可求解高．解答：解：根据等边三角形：三线合一，所以它的高为：22−12 = 3 cm．点评：考查等边三角形的性质及勾股定理，较为简单．11．故填答案：6．考点：直角三角形的性质．分析：根据直角三角形的性质即可解答．解答：解：如图：∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=2∠A∴∠A+∠B=90°∴∠A=30°，∠B=60°∴BCAB =12，∵BC=3cm，∴AB=2×3=6cm．故填答案：6．点评：此题较简单，只要熟记30°角所对的直角边等于斜边的一半即可解答．12．故填130°．考点：直角三角形的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质．分析：根据直角三角形的两个锐角互余和三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和的性质计算．解答：解：∵CD，BE分别是AB，AC边上的高，∴∠BDC=∠AEB=90°∴∠ABE=90°-50°=40°∴∠BPC=∠ABE+∠BDP=40+90=130°．故填130°．点评：本题考查了直角三角形的性质，及三角形的内角和定理及其三角形外角的性质．13．故应填2n-2． 考点：等腰直角三角形．专题：压轴题；规律型．分析：本题要先根据已知的条件求出S 1、S 2的值，然后通过这两个面积的求解过程得出一般化规律，进而可得出S n 的表达式．解答：解：根据直角三角形的面积公式，得S 1=解答：解：根据直角三角形的面积公式，得S 1=12=2-1； 根据勾股定理，得：AB= 2 ，则S 2=1=20；A 1B=2，则S 3=21，依此类推，发现：S n =2n -2．点评：本题要先从简单的例子入手得出一般化的结论，然后根据得出的规律去求特定的值．14．故应填( 2 2 )n ． 考点：等腰直角三角形． 专题：压轴题；规律型．分析：通过直角三角形的性质特点，斜边上的高等于斜边的一半，再分析规律，便能计算出答案了．解答：解：∵等腰直角△ABC 直角边长为1， ∴斜边长为12+12 = 2 ．斜边上的高也是斜边上的中线，应该等于斜边的一半． 那么第一个等腰直角三角形的腰长为 2 2； ∴第二个等腰直角三角形的斜边长=2×( 2 2 )2 =1． ∴第二个等腰直角三角形的腰长=12 =( 2 2)2， 那么第n 个等腰直角三角形的腰长为( 2 2)n ． 故第n 个等腰直角三角形的腰长为( 2 2)n ． 点评：解决本题的关键是根据等腰直角三角形的性质得到其他等腰直角三角形的表示规律．15．故答案为：2n．考点：等腰直角三角形．专题：压轴题；规律型．分析：利用勾股定理，分别把图中直角三角形的斜边求出，从中即可发现规律．解答：解：根据勾股定理，在①中，斜边是 2 ，在②中，斜边是2+2 =22，在③中，斜边是4+4 =23，以此类推，则第n个等腰直角三角形中的斜边是2n．点评：此题要结合图形熟练运用勾股定理计算几个具体值，从中发现规律．16．故答案为：等腰直角三角形．考点：等腰直角三角形．分析：已知△ABC是轴对称图形，则△ABC是等腰三角形，且三条高的交点恰好是C点，故△ABC是直角三角形；故△ABC的形状是等腰直角三角形．解答：解：△ABC是轴对称图形，且三条高的交点恰好是C点，则△ABC的形状是等腰直角三角形．点评：本题考查轴对称的性质．对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．17．故答案为：2．考点：等腰直角三角形．分析：已知等腰直角三角形的腰长为 2 ，则根据等腰直角三角形的性质及直角三角形的性质即可求得底边的长．解答：解：∵等腰直角三角形的腰长为 2 ，∴底边长为( 2 )2+( 2 )2 =2．点评：主要考查等腰三角形的性质及直角三角形的性质．18．故答案为：45°．考点：等腰直角三角形．分析：根据等腰直角三角形的性质和三角形内角和定理解答．解答：解：∵∠C=90°，AC=AB∴∠A=∠B=45°．点评：此题较简单，只要熟知根据等腰直角三角形的两底角相等且互余即可解答．19．故答案为：6cm．考点：勾股定理；角平分线的性质．分析：首先根据勾股定理求得CD的长，再根据角平分线上的点到角两边的距离相等，得D到AB得距离等于CD的长．解答：解：∵AD=10cm，AC=8cm∴CD=6cm∵AD平分∠CAB∴D点到直线AB的距离=CD=6cm点评：运用了勾股定理以及角平分线的性质．20．故答案为：5或7 ．考点：勾股定理．专题：压轴题；分类讨论．分析：本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边4既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即4是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．解答：解：设第三边为x，（1）若4是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理得：32+42=x2，所以x=5；（2）若4是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理得：32+x2=42，所以x=7 ；所以第三边的长为5或7 ．点评：本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解．21．故答案为：4cm．考点：勾股定理．专题：压轴题．分析：先根据等腰三角形的性质求出BD的长，再根据勾股定理解答即可．解答：解：根据等腰三角形的三线合一可得：BD=12BC=12×6=3cm，在直角三角形ABD中，由勾股定理得：AB2=BD2+AD2，所以，AD=AB2−BD2 =52−32 =4cm．点评：本题考查了等腰三角形的性质和勾股定理．关键要熟知等腰三角形的三线合一可得．22．故答案为：76．考点：勾股定理．专题：压轴题．分析：通过勾股定理可将“数学风车”的斜边求出，然后可求出风车外围的周长．解答：解：设将AC延长到点D，连接BD，根据题意，得CD=6×2=12，BC=5．∵∠BCD=90°∴BC2+CD2=BD2，即52+122=BD2∴BD=13∴AD+BD=6+13=19∴这个风车的外围周长是19×4=76．点评：本题主要考查勾股定理的应用及识图能力．23．故答案为：6.71，考点：勾股定理；全等三角形的判定与性质；轴对称的性质．专题：压轴题；跨学科．分析：要求从A到B光线经过的路线的长度利用光学反射原理得到∠ACO=∠BCX，这样找出A关于x轴的对称点D，则D、C、B在同一条直线上，再过B作BE⊥DE 于E，构造直角三角形，然后利用勾股定理就可以求出．解答：解：延长BC交y轴于D，过B作BE⊥DE于E，根据光学反射原理得∠ACO=∠BCX，而∠BCX=∠DCO∴∠ACO=∠DCO∴△ACO≌△DCO∴AC=DC∴OD=OA=1．在直角△DBE中，BE=6，DE=2+1=3，∴DB=BE2+DE2 =62+32 =45 ≈6.71，∴光线从A到B经过的路线的长度约是6.71．点评：本题考查了直角三角形的有关知识，同时渗透光学中反射原理，构造直角三角形是解决本题关键，属于中等题目．24．故答案为：27．考点：勾股定理；含30度角的直角三角形．专题：压轴题．分析：本题考查直角三角形的性质和勾股定理，利用直角三角形的性质和勾股定理解答．解答：解：∵两块三角尺是有30°的相同的直角三角尺，∠ABC=∠EBD=30°，AC AB =12，cos∠ABC=cos30°=BCAB=32，∴AB=BE=2AC=2DE=2×6=12，BC = 32×AB=32×12 = 6 3 ，∴BD=6 3 ，过D作DF⊥BE，在Rt△BDF中，∠DBE=30°，∴DFBD = DF6 3=12， DF=3 3 ，∴S△B C D=12BC•DF=12×6 3 ×3 3 =27cm2．故答案为：27．点评：本题是一道根据直角三角形的性质结合勾股定理求解的综合题，求高DF 除上述方法外，还可根据面积法列方程解答．25．故答案为：2 3 ．考点：勾股定理；等边三角形的性质．专题：压轴题．分析：作DF⊥CE于F，构建两个直角三角形，运用勾股定理逐一解答即可．解答：解：过D作DF⊥CE于F，根据等腰三角形的三线合一，得：CF=1．在直角三角形CDF中，根据勾股定理，得：DF2=3．在直角三角形BDF中，BF=BC+CF=2+1=3，根据勾股定理得：BD=9+3 =2 3 ．点评：熟练运用等腰三角形的三线合一和勾股定理．26．故答案为： 5 ．考点：勾股定理；轴对称的性质．专题：压轴题．分析：根据已知条件发现等腰直角三角形ABC，再根据轴对称的性质得到等腰直角三角形DCD′，最后根据勾股定理计算B D′的长．解答：解：根据题意，得∠ACB=45°再根据轴对称的性质，得△CDD′是等腰直角三角形．则CD′=CD=1，在直角三角形BCD′中，根据勾股定理，得BD′= 5 ．点评：此题考查了勾股定理，以及轴对称的基本性质，难易程度适中．27．故答案为：25．考点：勾股定理．专题：压轴题．分析：根据正方形的面积公式以及勾股定理，结合图形进行分析发现：大正方形的面积即直角三角形斜边的平方13，也就是两条直角边的平方和是13，四个直角三角形的面积和是大正方形的面积减去小正方形的面积即2ab=12．根据完全平方公式即可求解．解答：解：根据题意，结合勾股定理a2+b2=13，四个三角形的面积=4×12ab=13-1，∴2ab=12，联立解得：（a+b）2=13+12=25．故答案为：25．点评：注意观察图形：发现各个图形的面积和a，b的关系．28．故答案为：a2．考点：勾股定理．专题：压轴题．分析：根据勾股定理知，以两条直角边为边作出的两个正方形面积和等于以斜边为边的正方形面积．解答：解：如图，由勾股定理可知，正方形A与B 的面积和等于正方形M的面积．正方形C与D的面积和等于正方形N的面积．并且正方形M与N的面积和等于最大的正方形的面积．因此A、B、C、D的面积之和是为最大正方形的面积=a2．点评：本题考查了勾股定理的意义及应用．29．故答案为： 5 ．考点：勾股定理；直角三角形全等的判定．专题：压轴题．分析：两直角三角形的斜边是正方形的两边，相等；有一直角对应相等；再根据正方形的角为直角，可得到有一锐角对应相等，易得两直角三角形全等，由三角形全等的性质可把2，1，正方形的边长组合到直角三角形内得正方形边长为22+12 = 5 ．解答：解：如图，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CD，∠ABM+∠CBN=90°，而AM⊥MN，CN⊥BN，∴∠BAM=∠CBN，∠AMB=∠CNB=90°，∴△AMB≌△BCN，∴BM=CN，∴AB为22+12 = 5 ．点评：本题考查勾股定理及三角形全等的性质应用．30．故答案为：30cm2．考点：勾股定理．分析：直角三角形的面积的计算方法是两直角边乘积的一半，因而由勾股定理先求出另外一条直角边，再求面积．解答：解：∵另一条直角边长=12cm∴三角形的面积是=12×12×5=30cm2．点评：本题考查了勾股定理，面积的计算公式是解题的关键．。
【数学课件】勾股定理(1)
同学们,再见
1、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之毁灭。——卢梭 2、教育人就是要形成人的性格。——欧文 3、自我教育需要有非常重要而强有力的促进因素——自尊心、自我尊重感、上进心。——苏霍姆林斯基 4、追求理想是一个人进行自我教育的最初的动力，而没有自我教育就不能想象会有完美的精神生活。我认为，教会学生自己教育自己，这是一种 最高级的技巧和艺术。——苏霍姆林斯基 5、没有时间教育儿子——就意味着没有时间ห้องสมุดไป่ตู้人。——（前苏联）苏霍姆林斯基 6、教育不是注满一桶水，而且点燃一把火。——叶芝 7、教育技巧的全部奥秘也就在于如何爱护儿童。——苏霍姆林斯基 8、教育的根是苦的，但其果实是甜的。——亚里士多德 9、教育的目的，是替年轻人的终生自修作准备。——R.M.H. 10、教育的目的在于能让青年人毕生进行自我教育。——哈钦斯 11、教育的实质正是在于克服自己身上的动物本能和发展人所特有的全部本性。——（前苏联）苏霍姆林斯基 12、教育的唯一工作与全部工作可以总结在这一概念之中——道德。——赫尔巴特 13、教育儿童通过周围世界的美，人的关系的美而看到的精神的高尚、善良和诚实，并在此基础上在自己身上确立美的品质。——苏霍姆林斯基 14、教育不在于使人知其所未知，而在于按其所未行而行。——园斯金 15、教育工作中的百分之一的废品，就会使国家遭受严重的损失。——马卡连柯 16、教育技巧的全部诀窍就在于抓住儿童的这种上进心，这种道德上的自勉。要是儿童自己不求上进，不知自勉，任何教育者就都不能在他的身 上培养出好的品质。可是只有在集体和教师首先看到儿童优点的那些地方，儿童才会产生上进心。——苏霍姆林斯基 17、教育能开拓人的智力。——贺拉斯 18、作为一个父亲，最大的乐趣就在于：在其有生之年，能够根据自己走过的路来启发教育子女。——蒙田 19、教育上的水是什么就是情，就是爱。教育没有了情爱，就成了无水的池，任你四方形也罢、圆形也罢，总逃不出一个空虚。班主任广博的爱 心就是流淌在班级之池中的水，时刻滋润着学生的心田。——夏丐尊 20、教育不能创造什么，但它能启发儿童创造力以从事于创造工作。——陶行知
18-1勾股定理(1)
例2
如图，在RtABC中，C=90 , BC=a， AC=b，AB=c.
B a C c
o
(1)若a = 3, b 5, 则c = 2 2； (2)若b = 5 , c =3, 则a = 2 .
b
A
例3
(1)在Rt △ABC中, C=90 ,若a:c=3:5, 且b=20,
o
则斜边上的高等于
水池的深度和这根芦苇 的长度分别是多少？
A
小
知识内容：
结
（1）通过观察发现勾股定理； （2）利用拼图验证勾股定理； （3）应用勾股定理解决简单的实际问题.
数学思想: 特殊到一般、数形
结合、方程思想
美丽的勾股树
D A
C
B
勾股定理古代应用：
今有池方一丈，葭生中央， 出水一尺. 引葭赴岸，适与岸
齐. 问水深、葭长各几何？
（选自《九章算术》）
例6.有一个水池，水面 是边长为10尺的正方形.
C
5尺
B
水池的正中央有一根芦
苇，高出水面1尺.如果
把这根芦苇拉向水池一
边的中点，它的顶端恰
x
x+1
好到达池边的水面.这个
: 3:2 含30 °角的直角三角形三边之比：1 ______ 含45 °角的直角三角形三边之比：______ 1:1: 2
探究2：等边三角形的边长为a，求等边 三角形的高和面积.
3 3 2 a 面积_____ a 边长为a的等边三角形的高____, 2 4
例5、我市要进行城市规划建设，在裕华路与 中华大街十字路口的西北角有一块四边形 的地需要种植草坪。如图，在四边形ABCD 中：∠A=∠C=900,AB=40m，BC=CD，DA=30m， 求这块四边形草坪ABCD的面积。
勾股定理(一)
国家之一。早在三千多年前， 我国是最早了解勾股定理的
国家之一。早在三千多年前， 国家之一。早在三千多年前，周 国家之一。早在三千多年前， 朝数学家商高就提出，将一根直 国家之一。早在三千多年前， 尺折成一个直角，如果勾等于三， 国家之一。早在三千多年前， 股等于四，那么弦就等于五，即 国家之一。早在三千多年前， “勾三、股四、弦五”，它被记 国家之一。早在三千多年前， 载于我国古代著名的数学著作 国家之一。早在三千多年前 《周髀算经》中。
勾 股 世 界
两千多年前，古希腊有个哥拉 两千多年前，古希腊有个毕达哥拉斯 斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此 学派，他们首先发现了勾股定理，因此在 在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯 国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定 定理。为了纪念毕达哥拉斯学派， 1955 理。为了纪念毕达哥拉斯学派， 1955年 年希腊曾经发行了一枚纪念票。 希腊曾经发行了一枚纪念邮票。
2
a2 + b2 + 2ab = c2+2ab
b a
c
b
a
可得: a2 + b2 = c2
大正方形的面积该怎样表示?
汉代赵爽的证法
c b a
c2 = b2 + a2
b
c
c b
a
a
1 方法(一): (a b)(a b) 2
对比两种方法, 1 1 方法(二): 2 ab c c 你能得到什么?
SA+SB=SC c
Aa
C
A a
B b
图乙
c C
b B
图甲 图甲 图乙 4 9 A的面积 4 16 B的面积 C的面积 8 25 SA+SB=SC
11 勾股定理(1)
图1-1
图1-2
在中国古代大约是战国时期西汉的数学 著作《周髀算经》中记录着商高同周公的一 段对话。商高说：“…故折矩，勾广三，股 修四，经隅五。”即：当直角三角形的两条 直角边分别为3（短边）和4（长边）时，径 隅（弦）则为5。以后人们就简单地把这个事 实说成“勾三股四弦五”。故称之为“勾股 定理”或“商高定理”
解：∵ SE= 49 S1=SA+SB S2=SC+SD ∴ SA+SB+SC+SD = S1+S2 = SE = 49
B A S1 C D
S2
E
1
1
美丽的勾股树
学以致用，做一做
2.求出下列直角三角形中未知边的长度 x A A
x
y=0
B
6
5 8
C
B
C
13
解：（1）在Rt△ABC中,由 （2）在Rt△ABC中,由 勾股定理得：AB2=AC2+BC2 勾股定理:AB2+AC2=BC2 x2=62+82 X2 =36+64 x2 =100 x2+52=132 x2=132-52 x2=144 ∵x>0 ∴ x=12
∵x>0 ∴ x=10
y=0
练一练
1.在△ABC中, ∠C=90°，a=6,b=8, 10 则c=＿＿＿＿ 2.在△ABC中, a=6,b=8,试求第三边c的值
y=0
练一练
3.在一个直角三角形中, 两边长分别为6、 10 或 2 7 8,则第三边的长为________
⒈ 勾股定理是几何中最重要的定理之 一，它揭示了直角三角形三边之间的 数量关系. ⒉勾股定理： 直角三角形两直角边a、b 平方和， 等于斜边c平方。
勾股定理(一)
34A ．16B ．18A ．225B ．22C ．D ．5．．．．3．如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB=2米，则树高为（）A．5米B．3米C．（5+1）米D．3米5．（2013•池州一模）如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出尺寸（单位：距离为___ ．A．(4+ )cm B．5cm C．35cm D．7cm2．如图，若圆柱的底面周长是30cm，高是40cm，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处做装饰，则这条丝线的最小长度是（）A．80cm B．70cm C．60cm D．50cm3．如图，为了庆祝“五•一”，学校准备在教学大厅的圆柱体柱子上贴彩带，已知柱子的底面周长为1m ，高为3m ．如果要求彩带从柱子底端的A 处均匀地绕柱子4圈后到达柱子顶端的B 处（线段AB 与地面垂直），那么应购买彩带的长度为（ ）A ． 45mB ．3mC ．4mD ．5mA ．12cmB ． 97cmC ．15cmD ． 21cm5．（2014•博山区模拟）如图，点A 的正方体左侧面的中心，点B 是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A 沿其表面爬到点B 的最短路程是（ ）A ．3B ． 2+2C ． 10D ．46．（2013•荆州模拟）如图所示，有一圆柱形油罐，现要以油罐底部的一点A 环绕油罐建梯子（图中虚线），并且要正好建到A 点正上方的油罐顶部的B 点，已知油罐高AB=5米，底面的周长是的12米，则梯子最短长度为___ 米．7．（2013•盐城模拟）如图，圆柱形玻璃杯高为12cm 、底面周长为18cm ，在杯内离杯底4cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为___ cm ．8．（2014•西湖区一模）如图，是一个无盖玻璃容器的三视图，其中俯视图是一个正六边形，A、B两点均在容器顶部，现有一只小甲虫在容器外A点正下方距离顶部5cm处，要爬到容器内B点正下方距离底部5cm处，则这只小甲虫最短爬行的距离是___ cm．9．（2013•贵阳模拟）请阅读下列材料：问题：如图1，圆柱的底面半径为1dm，BC是底面直径，圆柱高AB为5dm，求一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线，小明设计了两条路线：路线1：高线AB+底面直径BC，如图1所示．路线2：侧面展开图中的线段AC，如图2所示．（结果保留π）（1）设路线1的长度为L1，则L12=______．设路线2的长度为L2，则L22=______．所以选择路线______（填1或2）较短．（2）小明把条件改成：“圆柱的底面半径为5dm，高AB为1dm”继续按前面的路线进行计算．此时，路线1：L12=______．路线2：L22=______．所以选择路线______（填1或2）较短．（3）请你帮小明继续研究：当圆柱的底面半径为2dm，高为hdm时，应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的路线最短．。
勾股定理(1)优秀学案
222a b c +=勾股定理(1)学习目标1.经历探索及验证勾股定理的过程，体会数形结合的思想2.掌握勾股定理，并应用它解决一些简单问题3.理解并利用割补法证明勾股定理一．情景引入1.勾股定理的历史及背景2.如图（1）所示的图形像一棵枝叶茂盛、姿态优美的树，这就是著名的毕达哥拉斯树，它由若干个图形组成，而每个图形的基本元素是三个正方形和一个直角三角形。
各组图形大小不一，但形状一致，结构奇巧，你能说说其中的奥秘吗？（1） (2)二．新知探究1.（1）能发现图(2)中三个正方形的面积之间有何关系吗？结论： 。
合作探究（2）观察下图，填表。
（3）你是怎样得到正方形C 的面积的？与同伴交流．2.猜想命题：如果直角三角形的两条直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么 。
3.合作探究 已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。
求证:归纳定理：如果直角三角形的两条直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么_______________4. 证法积累：利用下图，模仿上述推导，能否得到相同的结果？（1）.传说中的毕达哥拉斯证法(提示（1）中拼成的正方形与（2）中拼成的正方形面相等.)A 的面积B 的面积C 的面积 左图 右图 A B C C B AC A BD（2）.美国的20任总统詹姆斯·加菲尔德的证法.提示：3个三角形的面积的和=梯形的面积三．典型题例例题1．在△ABC 中，2∠A=3∠B=6∠C ，则它的三条边之比为( )A ．1:1:2B ．1:3:2C ．1:3:2D ．1:4:1例题2. 如图，已知在△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，AC ＝20，BC ＝15，DB ＝9。
(1)求DC 的长。
(2)求AB 的长。
例题3.如图，AC ⊥BC ，垂足为C ，AC=4，BC=33，将线段AC 绕点A 按逆时针方向旋转60°，得到线段AD ，连接DC ，BD ．(1)求线段CD 的长； (2)求线段DB 的长．四.活学活用：1．在Rt △ABC 中，∠C=90°，（1）若5=a ，12=b ，则c =_________； （2）若15=a ，25=c ，则b =___________；2. 在Rt △ABC 中，∠C=90°（1）若5=a ，1=-b c 则=b ____；c = （2）若4:3:=b a ，10=c 则S Rt △ABC =________。
17.1勾股定理(1)教学设计
17.1 勾股定理(1)教学设计教学内容17.1 勾股定理(一)教学目标知识与技能：让学生通过观察、计算、猜想直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方的结论．过程与方法：1．在学生充分观察、归纳、猜想、探索直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方的过程中，发展合情推理能力，体会数形结合的思想．2．在探索上述结论的过程中，发展学生归纳、概括和有条理地表达活动的过程和结论．情感、态度与价值观：1．培养学生积极参与、合作交流的意识，2．在探索勾股定理的过程中，体验获得结论的快乐，锻炼克服困难的勇气．教学重点探索直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方的结论。
从而发现勾股定理．教学难点以直角三角形的边为边的正方形面积的计算．教学方法读一读，练一练，议一议教学准备课件教学过程设计（含各环节中的教师活动和学生活动以及设计意图）教学过程一、创设问题情境，引入新课问题1：在我国古代，人们将直角三角形中的短的直角边叫做勾，长的直角边叫做股，斜边叫做弦．根据我国古算书《周髀算经》记载，在约公元前1100年，人们已经知道，如果勾是三，股是四，那么弦是五，你知道是为什么吗?问题2：某楼房三楼失火，消防队员赶来救火，了解到每层楼高3米，消防队员取来6.5米长的云梯，如果梯子的底部离墙基的距离是2.5米，请问消防队能否进入三楼灭火?问题3：我们再来看章头图，在下角的图案，它有什么童义?为什么选定它作为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽?学习本章，我们就能回答上述问题．首先我们先来看一个传说．二．实际操作，探索直角三角形的三边关系问题1：毕达哥拉斯是古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家，相传2500年前，一次，毕达哥拉斯去朋友家作客．在宴席上，其他的宾客都在尽情欢乐，高谈阔论，只有毕达哥拉斯却看着朋友家的方砖地而发起呆来．原来，朋友家的地是用一块块直角三角形形状的砖铺成的，黑白相间，非常美观大方．主人看到毕达哥拉斯的样子非常奇怪，就想过去问他．谁知毕达哥拉斯突然恍然大悟的样子，站起来，大笑着跑回家去了．同学们，我们也来观察下面图中的地面，看看你能发现什么?是否也和大哲学家有同样的发现呢?问题2：你能发现下图中等腰直角三角形ABC有什么性质吗?问题3：等腰直角三角形都有上述性质吗?观察下图，并回答问题：引导学生发现等腰直角三角形以直角边为边的小正方形的面积和等于以斜边为边的稍大的正方形的面积．即两直角边的平方和等于斜边的平方．对于问题3，可让学生在自己准备好的小方格纸上画出，并计算A、B、C三个正方形的面积，并在小组内交流．学生计算C正方形的面积，可能有不同的方法．不管是通过直接数小方格的个数，还是将C划成为4个全等的等腰直角三角形来求，都应予以肯定，并鼓励学生用语言进行描述．通过上面操作，让学生更进一步验证等腰直角三角形直角边的平方和等于斜边的平方．等腰直角三角形有上述性质，其他的直角三角形是否也有这个性质呢?问题4：等腰三角形有上述性质，其他的三角形也有这个性质吗?如下图，每个小方格的面积均为1，请分别计算出下图中正方形A、B、C，A'、B'、C'的面积，看看能得出什么结论．(提示：以斜边为边长的正方形的面积，等于虚线标出的正方形的面积减去四个直角三角形的面积．)由上面的几个例子，我们猜想：命题1 如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边为c,那么2c22+.ba=下图是我国古人赵爽利用弦图证明命题1的基本思路如下，如图(7)．把边长为a，b的两个正方形连在一起，它的面积为a2＋b2，另一方面这个图形由四个全等的直角三角形和一个正方形组成．把田(7)中左、右两个三角形移到图(9)所示的位置，就会形成一个c为边长的正方形．因为图(7)与图(9)都是由四个全等的直角三角形和一个正方形组成，所以它们的面积相等．因此a2＋b2＝c2这样就通过推理证实了命题1的正确性，我们把经过证明被确定为正确的命题叫做定理．命题1与直角三角形的边有关，我国把它称为勾股定理．我国古代的学者们对勾股定理的研究有许多重要成就，不仅在很久以前独立地发现了勾股定理，而且使用了许多巧妙的方法证明了它。
第1课时 勾股定理(1)
第二章 勾股定理与平方根第1课时 勾股定理(1)预学目标1．初步了解勾股定理的内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．2．尝试用“割”和“补”两种方法探索教材P44图2－1中以AB 为边的正方形的面积，在求解的过程中判断哪一种方法更简便，总结在网格图中求图形面积的方法．3．熟记11到20的平方，能迅速判断给定的一个平方数是几的平方，如144是12的平方．4．对给定的已知两边长的直角三角形，能根据勾股定理求出第三边的长． 知识梳理1．常用的平方数112＝_______，122＝_______，132＝_______，142＝_______，152＝_______，162＝_______，172＝_______，182＝_______，192＝_______，202＝_______，252＝_______．2．在网格图中求图形面积如图1，每个小方格的边长都是1，求图中四边形ABCD 的面积．过A 、B 、C 、D 四点分别作水平线和铅垂线，构成四边形EFGH ，用它的面积减去四个角上的直角三角形的面积，即是四边形ABCD 的面积．S ABCD ＝______－______－______－______－______＝______－______－______－______－______＝______．3．根据勾股定理求第三边的长(可用平方差公式简化计算)如图2，由勾股定理：_______2＋_______2＝_______2，得x 2＝_______2－_______2＝(____＋____)(____－_____)＝______，所以x ＝______．4．用面积法求直角三角形斜边上的高如图3，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是高，AC ＝5，BC ＝12，则AB 2＝_______2＋_______2＝_______2＋_______2＝_______，则AB ＝______．∵S △ABC ＝12AB ·CD ＝12AC ·BC ，∴AB ·CD ＝AC ·BC ． ∴CD ＝(A C ·BC)÷AB ＝_______×_______÷______＝______．即直角三角形斜边上的高等于两直角边相乘再除以斜边．例题精讲例 (1)如图①，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，以AC 、BC 、AB为直径的3个半圆的面积S 1、S 2和S 3之间有什么关系？请说明理由，若AB ＝4，求S 1＋S 2的值．(2)如图②，若Rt△ABC的面积为10，分别以AC、BC、AB为直径在AB的同侧作三个半圆，面积分别为S1、S2和S3，求阴影部分的面积S．提示：先利用圆面积公式把S1、S2和S3分别用AC、BC、AB表示出来，再结合勾股定理探索它们之间的关系．用前一小题的结论解决后一小题．点评：探索数量关系时，通常从和差或倍数方面考虑．第(2)题是第(1)题的变式．热身练习1．直角三角形两条直角边的长分别为3、4，则斜边上的高为______．2．如图是一棵美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是( ) A．13 B．26 C．47 D．943．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD是底边上的高，若AB＝5 cm，BC＝6 cm，则AD＝______cm．4．如图，在△ABC中，AC＝17，BC＝10，AB边上的高CD＝8，则AB边的长为( ) A．21 B．15 C．6 D．以上答案都不对5．斜边长为17、一条直角边长为15的直角三角形的面积为______．6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝5，则AB2＋AC2＋BC2＝______．参考答案1．2.4 2．C 3．4 4．A 5．60 6．50。
勾股定理(1)Microsoft PowerPoint 演示文稿
┌
B
例4 △ABC中，∠ACB=90°，AC=4， 中 ° ， BC=3，CD⊥AB于D，求CD ， ⊥ 于 ，
C
求
A
AB= 5 ， 求 CD= ? .
D
B
小结 勾股定理揭示了直角三角形三边之间 的等量关系，你能说出勾股定理吗？ 的等量关系，你能说出勾股定理吗？ 勾股定理 直角三角形两直角边的 平方和等于斜边的平方。 平方和等于斜边的平方。 在△ABC中，若∠ACB=90°， ABC中 ACB=90° 则
灌云县实验中学 李芳
一、观察、思考、操作、计算 观察、思考、操作、
小方格的边长为1， 小方格的边长为 ， 以BC为一边的正方 为一边的正方 形面积是 9 ，以AC 为一边的正方形的面 积是 16 ，你能计算 出以AB为一边的正 出以 为一边的正 方形面积吗？ 方形面积吗？ 你打算用什么方法？ 你打算用什么方法？可 不知道边长啊
三、勾股定理的应用： 勾股定理的应用： 已知直角三角形中的任意两边求第三边 格式：写出直角，得出三边之间的等量关系， 格式：写出直角，得出三边之间的等量关系， 把已知条件代入，求得第三边。 把已知条件代入，求得第三边。 例1 △ABC中，∠C=90°，已知下列两边， 中 ° 已知下列两边， 求第三边： 求第三边： ）ａ=5，ｂ ；（2）ａ ，ｃ=17； （1）ａ ，ｂ ）ａ ，ｂ=12；（ ）ａ ，ｃ ；（ ）ａ=8，ｃ ； ）ｂ=12，ｃ ，ｃ=13； （3）ｂ ）ｂ ，ｃ ；
a2+b2=c2
勾股定理的应用： 勾股定理的应用：
已知直角三角形中的任意两边求第三边 格式：写出直角，得出三边之间的等量关系， 格式：写出直角，得出三边之间的等量关系， 把已知条件代入，求得第三边。 把已知条件代入，求得第三边。 需熟记一些数的平方：1到20与25 需熟记一些数的平方： 到 与 需熟记一些勾股数： 、 、 ； 需熟记一些勾股数：3、4、5； 6、8、10； 、 、 ； 5、12、13； 、 、 ； 3n、4n、5n（n为正整数） 、 、 （ 为正整数 为正整数）
3.1勾股定理(1)(10月10日)
C
a
B
2017/12/29
7
板块三、简单应用勾股定理，并感受其文化
问题1.如图，在△ABC中，∠C=90°，若 a=5，b=12，则c等于多少？（独立思考） 问题2.如图，在△ABC中，∠C=90°，若 a=8，c=17，则b等于多少？（独立思考）
A
b
c
C
a
B
问题3.如图，在△ABC中，∠C=90°，若两边长分别 为3和4，则第三边的平方等于 . （独立思考 后同伴交流）
2017/12/29 11
2017/12/29 8
勾 股 史 话
两千多年前，古希腊有个毕达哥拉斯 学派，他们首先发现了勾股定理，因此在 国际上通常称勾股定理为毕达哥拉斯定理。 为了纪念这个学派，1955年希腊曾经发 行了一枚纪念邮票。 我国是最早了解勾股定理的国 家之一。早在三千多年前，周朝数 学家商高就提出，将一根直尺折成 一个直角，如果勾（较短直角边）等 于三，股（较长直角边）等于四，那 么弦（斜边）就等于五，即“勾三股 四弦五”，这个结论被记载于我国 古代数学著作《周髀算经》中。
A
25
9
C B
16
问题4.能否用直角三角形 的三边表示上述关系？(独 立思考后同伴交流)
2017/12/29
5
问题5.按下列要求实验并思考： （1）在方格纸上，每组同学任意画同一个顶点 都在格点上的Rt△ABC，使∠C=90°； （2）分别以这个直角三角形各边为一边向三角 形外作正方形； （3）计算3个正方形的面积；
2017/12/29 9
板块四、探究非直角三角形的三边关系 问题1.假如∠C变成锐角，如图① ，以 △ABC三边分别向外作正方形，则面积 关系还成立吗？(独立思考后同伴交流) 问题2. 假如变成钝角呢(如图②)？
苏科版八年级数学上册《勾股定理(1)》课件
直角三角形角的特殊关系是：两锐角互余
？ 直角三角形的边的特殊关系是
勾股史话
我国是最早了解勾股定理的国家之一． 早在三千多年前，周朝的数学家商高就提出， 将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三， 股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、 弦五”．它被记载于我国古代著名的数学著作 《周髀算经》中．（勾股定理又叫商高定理）。在这本书中的另 一处，还记载了勾股定理的一般形式．这一发现，至少早于古希 腊人500多年．作为一名中国人，我们应为我国古人的博学和多思 而感到自豪！
2、理解勾股定理，并能应用勾股定理解决问题； 3、体会数形结合思想。
P
C
A
Q
CR
B
P
Q CR
用了“补”的方法
用了“割”的方法
如图，小方格的边长为1.
(1)你能求出正方形R的面积吗？
从面积来看AC、BC、AB之
间有什么关系？
SP=AC2=9 SQ=CB2=16
SSRR==AABB22==2?5
观察所得到的各组数据，不难得到：
小本节课小结：结
①本节课学到了什么数学知识？ ②你还有什么困惑？
作业
作业：教材第79-80页习题 18.1第1、2、3题
勾股定理是人类文明的成果，几乎所有拥有 古代文化的民族和国家都对勾股定理有所研 究．在地球以外是否存在生命这个问题上，我国 数学家华罗庚曾认为，如果外星人也拥有文明的 话，我们可以用“勾股定理”的图形，作为人类 探寻“外星人”并与“外星人”联系的“语 言”．
P
SP+SQ=SR
a
Qb c
R
a2+b2=c2
猜想:两直角边a、b与斜边c 之间的关系？
勾股定理(1)教学课件
勾
a
弦c
股b
弦图
• 赵爽
• 东汉末至三国时代吴 国人
• 为《周髀算经》作注， 并著有《勾股圆方图 说》。
伽菲尔德证法:
a
bc
c a
b
s梯形=
1 (a+b)(a+b)=
2
1 (a2+2ab+b2)
2
= 1 a2+ab+ 1 b2
2
2
s梯形=2×
1 ab+ 1 c2=ab+ 1 c2
连结AC,在Rt△ABC中,根据勾股定理,
AC 2 AB2 BC2 12 22 5 D C
5 因此,AC=
≈2.236
2m
因为AC_大__于___木板的宽,
AB
所以木板_能___ 从门框内通过.
学以致用
例1 飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞
到一个男孩头顶上方4000米处，过了20秒，飞
5 .在直角△ ABC中,a=5,c=13,则△ ABC的面积 S=_____________.
6. 在直角△ ABC中, ∠C=90°,c=20,b=15,则 a=__________.
小 结：
1.这节课你学到了什么知识？
勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a， b，斜边为c，那么 a2 + b2 = c2 即直角三角形 两直角边的平方和等于斜边的平方。
2
2
2
∵s梯形=s梯形 ∴ 1 a2+ab+ 1 b2=ab+ 1 c2
2
2
2
∴a2+b2=c2
学以致用 1、已知：a＝3，
第3课 勾股定理(1)
第3课勾股定理一、知识方法1、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.2、勾股定理的逆定理：如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.勾股定理是平面几何最重要的定理之一，在几何图形的计算和论证方面，有着重要的作用，它沟通了代数和几何，将几何证明转化为代数计算，是一种重要的数学方法.逆定理常用于证明三角形是直角三角形.利用勾股定理的逆定理，可以用来判断三角形的形状：△ABC中，AB=c,BC=a,AC=b,(1)若222c a b<+，则∠C是锐角；(2)若222c a b>+，则∠C是钝角.3、勾股数：满足方程222a b c+=的正整数a、b、c叫做勾股数.二、勾股定理的应用例1、如图，“十”字形纸片由5个大小相同的正方形构成，将它剪3刀，拼成一个正方形.例2、已知△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，设AC=b，BC=a，AB=c，CD=h，求证：（1）c+h＞a+b；（2）试判断以c+h，a+b，h为边能否构成三角形？其形状如何？试说明理由.例3、(1)△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC边上一点，求证：BD2+DC2=2AD2;(2)△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点，求证：AB2-AD2=DB·DC.BD例4、边长为整数的直角三角形称为整边直角三角形，说明在整边直角三角形中必有一条边的长度是3的倍数.例5、有人将《九章算术》中的一道古题编成诗歌形式：城外一扇矩形门，有人扛竿去量应.横着量之四尺余，立着量之两尺剩.对角又复比一比，斜竿恰好端抵尽.此门宽高各几何？还有竹竿有几尺？例6、设a、b为任意正数，a＞b，求证：边长分别为2ab、a2-b2、a2+b2的三角形为直角三角形.例7、如图，已知AB=3，BC=AD=DCABC=90°，求∠DAB的度数.若把△ADC沿AC翻折得△AEC，则∠EAB等于多少度？D AC例8、设P是正三角形ABC内一点，且PA=5,PB=4,PC=3,求此正三角形的边长.例9、△ABC中，∠C=90°，D、E分别是BC、AC上的任意两点，求证：2222AD BE AB DE+=+.A E三、练习1、如图，已知每个小方格的边长为1，A ，B ，C 三点都在小方格的顶点上，则点C 到AB 所在直线的距离等于（ ） (A) 810(B) 108 (C) 10 (D)82、在△ABC 中，AB=13，AC=15，高AD=12，则BC 的长是（ ）．（A ）14 （B ）4 （C ）14或4 （D ）以上都有可能3、下列各组数据,不能构成直角三角形的三边是 ( )A 、3，4 ，5B 、13，12，5C 、3，5，6D 、41，40 ，94、已知直角三角形的一直角边长是4，以这个直角三角形的三边为直径作三个半圆(如图所示)，已知两个月牙形(带斜线的阴影图形)的面积之和是10，那么以下四个整数中，最接近图中两个弓形（带点的阴影图形）面积之和的是（ ）(A) 6 (B) 7 (C) 8 (D) 95、等腰三角形的周长为16，底边上的高是4，则这个三角形的三边长分别是____，____，____.6、已知一直角三角形的斜边长10，周长是24，则这个三角形的面积是________.7、在等腰△ABC 中，AB =1，∠A =900，点E 为腰AC 中点，点F 在底边BC 上，且FE ⊥BE ，求△CEF 的面积.8、ABC ∆中，AB=17，AC=10，BC=21，求ABC ∆的面积S.AB C E F A B C9、直角三角形的两条直角边长为3和4,三角形内有一点到各边距离相等,那么这个距离为多少?10、已知111,,,BB PP AA B A ∠=∠均垂直于20,16,17,11111===BB PP AA B A ,1211=B A ,则AP+PB是多少?11、将下图剪3刀,拼成一个大正方形(图中小方格均为正方形,三角形均为等腰直角三角形)12、如图,长方形ABCD 中,AB=3,AD=4,P 是AD 上任意一点,PE ⊥AC,PF ⊥BD,则PE+PF 是多少?。
勾股定理(1)
17.1勾股定理（1）一、学习目标：1、知道勾股定理的发现过程，能说出勾股定理的内容。
2、能用面积法证明勾股定理。
二、自学指导：相传2500年前，古希腊的数学家毕达哥拉斯在朋友家做客时，发现朋友家用地砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某种数量关系。
即三、用面积法证明勾股定理。
观察右图并按要求填空。
如图所示，以等腰直角三角形ABC的三边为边长向外分别作三个正方形。
把这三个正方形的面积分别记为S1 。
S2 。
S3 。
1、S1 +S2 等于S3 吗？为什么？2、S1 +S2=S3 说明a2+a2=即3、猜想：非等腰直角三角形还有这样的性质吗？4、动手操作、验证猜想：（1）算一算、想一想∵S B = ;S A = ;S C= ;∴S B +S A S C，说明∵S B= ;S A = ;S C= ;∴S B +S A S C，说明现在我们可以相信：直角三角形边的平方和等于边的平方。
如图用字母表示为课堂检测：1、求出下列直角三角形中未知边的长度。
2、在下列说法中，正确的是（）A、若a,b,c是的△ABC的三边，则a2+b2=c2B、若a,b,c是的Rt△ABC的三边，则a2+b2=c2C、若a,b,c是的Rt△ABC的三边，∠A=90o,则a2+b2=c2D、若a,b,c是的Rt△ABC的三边，∠C=90o,则a2+b2=c23、已知△ABC的三边分别是a,b,c，则下列各式成立的是（）A、a+b=cB、a+b＞cC、a+b＜cD、a2 + b2=c24、在一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，则下列说法正确的是（）A、斜边长为25 ；B、三角形周长为25；C、斜边长为5；D、三角形面积为20。
5、如图由3个正方形拼成的图形，其中S1=25，6、S2=144，则较大正方形的面积S3=。
勾股定理1(1)
1、判断以下列各数为边长的三角形形状
（1） a=9， b=5，c=7 5 3 (2) a , b 1, c 4 4
（3） a=11， b=8，c=4
锐角△
直角△ 钝角△
2、若△ABC中,AB=7,BC=24, AC=25,则S△ABC= 84 。
【问题探究】
1、勾股方向航行，能知道“海天”
号 沿哪个方向航行吗？
巩固练习
A、B、C三地的两两距离分别为AB=12km，
BC=5km,AC=13km,A地在B地的正东方向，
C地在B地的什么方向？
C 5km B 13km
12km
A
2、如图,点A是一个半径为 400 m的圆形森 林公园的中心,在森林公园附近有 B、C 两 个村庄,现要在 B、C两村庄之间修一条长为 1000 m 的笔直公路将两村连通,经测得 ∠B=60°,∠C=30°,问此公路是否会穿过 该森林公园?请通过计算说明.
互逆定理: 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题, 那么它也是一个定理, 这两个定理叫做互逆 定理, 其中一个叫做另一个的逆定理.
例题教学
1、写出下列命题的逆命题并判断它们是否正确: (1) 对顶角相等 (2)等腰三角形的两底角相等 (3)两直线平行,同位角相等 (4)三内角之比为1:2:3的三角形为直角三角形 (5)三角形的三内角之比为1:1:2,则三角 形为等 腰直角三角形
且m＞n，那么△ABC是直角三角形吗？为什么？
5、如图，在正方形ABDC中，E是CD的中点，
F为BD上一点，且BF=3FD，求证：∠AEF=90º.
A C E B F D
6.在Rt△ABC中,∠C=90°,CD 是高,AB=1, 则 2 CD2 + AD2 +BD2 =＿＿＿＿; 7.三角形的三边长 a, b, c 满足 a2 +b2 +c2 +338 = 10a + 24b +26c, 此三角形为＿＿＿＿＿三角形.
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第一章 勾股定理 17.1探索勾股定理
一、问题引入：
1、你能发现各图中三个正方形的面积之间有何关系吗？
图中的较小的两个正方形面积分别记为A S ，B S 较大那个正方形的面积记为C S ；则有：
（1） （2）
图（1）中，C S = A S = B S = ， 图（2
）中，C S = A S = B S = 。
学生通过观察，归纳发现：
结论1 以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于 的正方形的面积．
2、由结论1我们自然产生联想：一般的直角三角形是否也具有该性质呢？ （1）观察下面两幅图：
第①个图中，A S = ，B S = ，C S = 。
第②个图中，A S = ，B S = ，C S = 。
（2）你是怎样得到正方形C 的面积的？与同伴交流。
你发现了什么？ 学生通过分析数据，归纳出：
结论 2 以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于 的正方形的面积．
3、（1）你能用直角三角形的边长a 、b 、c 来表示上图中正方形的面积吗？
（2）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？
勾股定理：如果直角三角形两直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，那么 即直角三角形 的平方和等于 的平方。
二、基础训练：
1、如图（1），图中的数字代表正方形的面积，则正方形A 的面积为 。
（1） （2） 2、如图（2），三角形中未知边x 与y 的长度分别是x= ,y= 。
A
B
C
C
B
A
25
7
3、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若AC ＝6，BC ＝8，则AB 的长为（ ）
A.6
B.8
C.10
D.12
三、例题展示：
例1在△ABC 中，∠C=90°，
（1）若a=3，b=4，则c=_____________； （2）若a=9，c=15，则b=______________；
例2如图,一根旗杆在离地面9米处折断倒下,旗杆顶部落在离旗杆底部12米处,旗杆折断前有多高？
四、课堂检测：
1、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若AB ＝13，BC ＝5，则AC 的长为（ ） A.5 B.12 C.13 D.18
2、已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若14=+b a cm ，10=c cm ，则Rt △ABC 的面积为（ ） A.24cm 2 B.36cm 2 C.48cm 2 D.60cm 2
3、若△ABC 中，∠C=90°，（1）若a =5，b =12，则c = ；（2）若a =6，c =10，则b = ；（3）若a ∶b =3∶4，c =10，则a = ，b = 。
4、如图，阴影部分是一个半圆，则阴影部分的面积为 。
（π不取近似值）
5、一个直角三角形的斜边为20cm ,且两直角边长度比为3:4，求两直角边的长。
6、一个长为10m 为梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直高度为8m ，梯子的顶端下滑2m 后，底端向外滑动了多少米？
17.1勾股定理（1）
一、自主预习
1.填写下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度：
S =______； a =______.
2.在Rt △ABC 中，∠C=90°，A B=c , BC =a , AC =b . (1)已知a =3,b =4,则c =______ ； (2)已知a =6,c =10,则b =______ ； (3)已知b =12,c =13,则a =______.
二.【变式拓展】能力提升、突破难点 问题1.如图，小明从A 点出发向东走8米，向北走2米，向西走3米，向北走6米，再向东走1米后到达目的地B .求AB 两点间的距离.
三. 【解疑助学】生生互动、突出重点
活动2. 如图，你能把一块边长为2.4米的正方形戗牌，从宽为1.5米，高为2米的大门通过吗？。