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高等数学习题课教程第3章
2
第3章 导数和微分
一、教学要求
3
二、内容提要
本章主要介绍了导数和微分的概念与计算方法.
1. 基本内容：
导数的概念；微分的概念；导数和微分的基本公式； 求导数和微分的方法.
2. 求导数和微分的主要方法有：
(1) 利用导数的定义和四则运算求导数. (2) 复合函数求导法. (3) 分段函数求导法. (4) 隐函数求导法. (5) 对数求导法. (6) 参数方程求导法. (7) 微分法.
4
三、解题指导
5
三、解题指导
1. 利用导数的定义和四则运算求导数
6
三、解题指导
7
三、解题指导
8
三、解题指导
9
2. 复合函数求导法
三、解题指导
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三、解题指导
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三、解题指导
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3. 分段函数求导法
三、解题指导
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三、解题指导
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三、解题指导
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4. 隐函数求导法
三、解题指导
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三、解题指导
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5. 对数求导法
三、解题指导
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6. 参数方程求导法
三、解题指导
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三、解题指导
20
习题3-1 导数的概念
参见教材P27
21
习题3-2 求 导 法 则
参见教材P28
22
习题3-3 高 阶 导 数
参见教材P31
23
习题3-4 微 分
参见教材P31
24
自测题3参见ຫໍສະໝຸດ 材P33
高数5习题课PPT课件
2、向量的向量积（结果是一个向量）
几何应用要点：
(1) 求与两个非共线向量同时垂直的向量： S a b 或 S b a .
(2) 求以向量 a,b为邻边的平行四边形的面积： S|ab|.
(3) 求以A, B,C为顶点的三角.形面积 (4)给定不共 A,B,线 C,求 的 A到三 直 B点 的 C 线距 .
两向量夹角余弦的坐标表示式
定义 两直线的方向向量的夹角称之.（锐角）
直线 L1 : 直线 L2 :
xx1yy1zz1,
m1
n1
p1
xx2yy2zz2,
m2
n2
p2
^ cL o 1 ,L 2 s ) (m 1 2 |m n 1 1 2 m 2 p 1 2 n 1 n 2 m 2 2 p 1 p n 2 2 |2 p 2 2
二、1、点到平面的距离
设 P0(x0,y0,z0)是 平 面 A xB yC zD0
外 一 点 ， 求 P0到 平 面 的 距 离 .
n
P 1 (x 1 ,y 1 ,z1 ) d |Pnr P 1P j0|
P0
d|A0 xB0 yC0 zD |. P1
N
A 2B 2C 2
点到平面的距离公式
sin | s n|
|A m B n C|p
| s || n | A 2B 2C 2 m 2n 2p2
直线与平面的夹角正弦公式
二、典型例题
例1 已 求a 知 一 i， b 单 n j0 ， 使 2k 位 n ,c 0 c ， 2且 i 向 n 2 0 j,a ,量 b k ,共面 解 设 n 0 x i y j z k , 由题设条件得
解之 t10 ,t2 得 0 , A ( 0 ,0 , 1 )B ,( 2 ,2 ,3 ) 点 M 0(1 ,1 ,1 )和 B (2 ,2 ,3 )同在 L 上 ,直线 故 L的方程为
高等数学习题课.ppt
n0
q 叫做几何级数(又称为等比级数)，其中 a 0， 叫做级数的公比．
试讨论级数(3)的收敛性．
解 如果 q 1，则根据等比数列前 n 求和公式，得
sn
a
aq
aqn1
a(1 1
qn) q
a 1 q
aqn 1 q
.
2019-8-29
谢谢欣赏
9
当| q | 1时，由于 lim qn 0，从而
谢谢欣赏
n1
8
s s 显然，当级数（1）收敛时，其部分和 n 是级数和 的近似值，
它们之间的差值
rn s sn un1 un2
s 叫做级数的余项．用近似值 s n代替和 所产生的误差是这个余项
的绝对值，即误差是 | rn |．
例1 无穷级数
aqn a aq aq2 aqn (3)
概念．
s 定义2
如果级数
n1
u
n的部分和数列
lim
n
sn
s,
{s
n
}
有极限，即
则称无穷级数收敛，这时极限 叫做该级数的和，并写成
s un u1 u2 un ;
n1
{s } 如果部分和数列 2019-8-29
n
没有极限，则称无穷级数 un 发散．
的内接正 3 2n边形的面积就逐步逼近圆面积 A, 进而有
A a1 a2 a3 an .
n 如果内接正多边形的边数无限增多，即 无限增大，则和
a1 a2 an
的极限就是所要求的圆面积，即
q 叫做几何级数(又称为等比级数)，其中 a 0， 叫做级数的公比．
试讨论级数(3)的收敛性．
解 如果 q 1，则根据等比数列前 n 求和公式，得
sn
a
aq
aqn1
a(1 1
qn) q
a 1 q
aqn 1 q
.
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谢谢欣赏
9
当| q | 1时，由于 lim qn 0，从而
谢谢欣赏
n1
8
s s 显然，当级数（1）收敛时，其部分和 n 是级数和 的近似值，
它们之间的差值
rn s sn un1 un2
s 叫做级数的余项．用近似值 s n代替和 所产生的误差是这个余项
的绝对值，即误差是 | rn |．
例1 无穷级数
aqn a aq aq2 aqn (3)
概念．
s 定义2
如果级数
n1
u
n的部分和数列
lim
n
sn
s,
{s
n
}
有极限，即
则称无穷级数收敛，这时极限 叫做该级数的和，并写成
s un u1 u2 un ;
n1
{s } 如果部分和数列 2019-8-29
n
没有极限，则称无穷级数 un 发散．
的内接正 3 2n边形的面积就逐步逼近圆面积 A, 进而有
A a1 a2 a3 an .
n 如果内接正多边形的边数无限增多，即 无限增大，则和
a1 a2 an
的极限就是所要求的圆面积，即
高数数学课件-D4习题课共24页
即
F 2 (x ) x 1 4 s4 ix n C
F ( 0 ) 1 , CF2(0)1,又 F(x)0, 因此
F (x )x 1 4 s4 ix n 1
故
f(x)F (x) sin22x
x14sin4x1
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二、几种特殊类型的积分
1. 一般积分方法
有理函数
分解
指数代换 万能代换 根式代换
exarcetx axn1 2ln (1e2x)C
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例6. 求 (x 3 x 2 )e 2 xd x.
解: 取 ux3x2, v(4)e2x
u(k) x3x2 3x21 6x
60
v(4k)
e 2x
1 2
e
2x
1 4
e
2x
1 8
e2x
1 16
e2x
原式 e2x1 2(x3x2)1 4(3x21)816x1166C
多项式及 部分分式之和
指数函数有理式
三角函数有理式
三角代换
简单无理函数
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2. 需要注意的问题
(1) 一般方法不一定是最简便的方法, 要注意综合
使用各种基本积分法, 简便计算 .
(2) 初等函数的原函数不一定是初等函数 , 因此不一
定都能积出.
例如 , ex2 dx,
u v ( n ) u v ( n 1 ) u v ( n 2 ) ( 1 )n 1u (n 1 )v d x
快速计算表格:
u(k)
u u u
u(n) u(n1)
(1)n (1)n1
v(n1k) v(n1) v(n) v(n1) v v
高等数学教学课件：w-11-习题课
(或
lim n
n
an
)
(1) 则当 0 时,R 1 ; (2) 当 0时,R ;
(3) 当 时,R 0 .
高等数学
§11 习题课
(2)幂级数的运算
a.代数运算性质
b.和函数的分析运算性质
幂级数 an xn 的和函数s( x) 在收敛区间 n0
( R, R)内连续,在端点收敛,则在端点单侧连续.
幂级数 an xn 的和函数s( x)在收敛区间 n0
( R, R)内可导, 并可逐项求导和求积.
高等数学
§11 习题课
6、幂级数展开式
(1) 直接法(泰勒级数法)
步骤:
(1) 求an
f (n)( x0 ); n!
(2)
讨论
lim
n
Rn
0
或
f
(n) ( x)
M,
则级数在收敛区间内收敛于 f ( x).
( x)cos nxdx, ( x)sin nxdx,
(n 0,1,2,) (n 1,2,)
高等数学
§11 习题课
狄利克雷(Dirichlet)充分条件(收敛定理)
设 f ( x) 是以2 为周期的周期函数.如果它满足 条件:在一个周期内连续或只有有限个第一类间断 点,并且至多只有有限个极值点,则 f ( x) 的傅里叶级 数收敛,并且
(1) 当x 是 f ( x)的连续点时,级数收敛于 f ( x) ;
(2) 当x 是 f ( x)的间断点时,
收敛于
f (x
0)
f (x
0)
;
2
(3) 当 x为端点 x 时,收敛于 f ( 0) f ( 0) .
2
济南大学高数下1习题课幻灯片资料
4（4）lim (13ta2x n)co2x t x 0
解：lim (13ta2x n)co2x t
x 0
lim (13ta2nx)3ta12nx3 e3
x0
x1
x1
（5）
lim x
3 6
x x
2
lx im (6xx1))
3
e2
7
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第一章 函数与极限
（6） lim 1taxn 1six n x 0 x1si2n xx
解：lim 1taxn 1six n x 0 x1si2n xx
lim ta x s nx in
1
x 0x (1 s2 ix n 1 ) 1 ta x n 1 sx in
12lxim 0ta1nxx(1sinc2 xosx)
第一章 函数与极限
3（6）limsinxsina
解：
xa xa limsinxsina
2sinxacoxsa
lim 2
2
xa xa
xa
xa
co as
（7） lim ( x2xx2x) x
解：lim ( x2xx2x)
x
lim 2x
1
x x2x x2x
6
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第一章 函数与极限
第一章 函数与极限
第五节 极限运算法则
济南大学数学科学学院
总界面 结束
第一章 函数与极限
习题 1-5
1（14）lxi m 1(11x13x3). 解 lxi m 1(11x13x3)lxim 1 x21xx3 2
lx i1m (1 (xx)2(x)2(x x1)1) lxi m 1x2xx211.
《高一数学《习题课》课件
中档题解析
总结词：提升能力
详细描述：中档题目相对于基础题目难度有所提升，需要学生具备一定的分析问题和解决问题的能力。通过解析这类题目， 可以帮助学生提升数学思维能力，掌握数学思想和方法。
难题解析
总结词：拓展思维
详细描述：难题通常具有较高的难度，需要学生具备较为扎实的数学基础和较高的思维水平。通过解 析这类题目，可以帮助学生拓展数学思维，培养创新能力和解决问题的能力。同时，也可以让学生了 解数学的深度和广度，激发学习数学的兴趣和热情。
随着知识点的深入，题目难度将逐渐加大 ，要求学生具备更扎实的数学基础和更高 的思维能力。
课堂活动
复习计划
下节课将组织更多的课堂活动，如数学竞 赛、小组讨论等，以激发学生的学习兴趣 和积极性。
建议学生提前预习下节课内容，并制定相 应的复习计划，以确保下节课的学习效果 。
THANKS
感谢观看
解题技巧
通过讲解典型例题，教授了学生如何 运用所学知识解决实际问题，以及如 何运用数学思维分析问题。
课堂互动
课堂上进行了多次小组讨论和互动问 答，鼓励学生积极参与，提高课堂氛 围。
作业布置
布置了相应的习题作业，以巩固本节 课所学内容，并要求学生按时完成。
下节课展望
知识拓展
难度提升
下节课将进一步深入学习高一数学中的其 他重要知识点，如三角函数、平面几何等 。
04
易错点分析
Chapter
常见错误分析
学生对某些数学概念理解不准确 ，导致在应用时出现偏差。
学生在解题过程中逻辑推理不严 密，导致结论错误。
计算错误 概念理解不清 公式运用不当 逻辑推理混乱
学生在解题过程中经常出现计算 失误，如加减乘除运算错误、开 方运算错误等。
高等数学习题课PPT 14
非齐次方程为 y ′′ − y ′ − 2 y = f ( x ) ，
代入非齐次方程， 把 y1 = xe x + e 2 x 代入非齐次方程， f ( x )= e x − 2 xe x ， 得 ∴所求微分方程为 y′′ − y′ − 2 y = e x − 2 xe x 。
u 3.利用代换 y = 将方程 y′′cos x − 2 y′sin x + 3 ycos x = e x cos x
y = C1 ( 3e x − x ) + C 2 ( x − e x )+ x − ( x 2 + 1) 。
1 5 代入， 把 y ( 0) = 0 ， y ′( 0) = 0 代入 ， 得 C1 = − ， C 2 = − ， 2 2
1 5 x ∴所求特解为 y = − ( 3e − x ) − ( x − e x ) + x − ( x 2 + 1) ， 所求特解为 2 2
习题课十四
一．选择题
的待定特解为（ 1．微分方程 y′′ − 6 y′ + 9 y = x 2e 3 x 的待定特解为（ （A） y ∗ = ax 2e 3 x ； （B） y = x (ax + bx + c )e （C） y = x (ax + bx + c )e （D） y = ax e
∗ 4 3x ∗ 2 ∗ 2 2 3x
解：∵ y1 = y2∗ − y1∗ = 3e x − x ， y2 = y3∗ − y1∗ = x − e x 的两个解， 是对应的齐次方程 y′′ + P ( x )+ Q ( x ) y = 0 的两个解， 且这两个解线性无关， 且这两个解线性无关，
代入非齐次方程， 把 y1 = xe x + e 2 x 代入非齐次方程， f ( x )= e x − 2 xe x ， 得 ∴所求微分方程为 y′′ − y′ − 2 y = e x − 2 xe x 。
u 3.利用代换 y = 将方程 y′′cos x − 2 y′sin x + 3 ycos x = e x cos x
y = C1 ( 3e x − x ) + C 2 ( x − e x )+ x − ( x 2 + 1) 。
1 5 代入， 把 y ( 0) = 0 ， y ′( 0) = 0 代入 ， 得 C1 = − ， C 2 = − ， 2 2
1 5 x ∴所求特解为 y = − ( 3e − x ) − ( x − e x ) + x − ( x 2 + 1) ， 所求特解为 2 2
习题课十四
一．选择题
的待定特解为（ 1．微分方程 y′′ − 6 y′ + 9 y = x 2e 3 x 的待定特解为（ （A） y ∗ = ax 2e 3 x ； （B） y = x (ax + bx + c )e （C） y = x (ax + bx + c )e （D） y = ax e
∗ 4 3x ∗ 2 ∗ 2 2 3x
解：∵ y1 = y2∗ − y1∗ = 3e x − x ， y2 = y3∗ − y1∗ = x − e x 的两个解， 是对应的齐次方程 y′′ + P ( x )+ Q ( x ) y = 0 的两个解， 且这两个解线性无关， 且这两个解线性无关，
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