线性代数3.3
线性代数第3章向量空间
表示, 又 m>n, 由表示不等式
r(Blm ) r( Aln ) n m 从而 B 必相关.
-26-
(6) “短的无关, 则长的也无关.等价地… ” P101推论3
无穷多种表示, 并求所有表示方法.
解 记 A [1,2 ,3 ] 只需讨论 Ax 解的情况.
具体解方程组过程略。
0 时,方程组无解, 不能由 A 表示. 0 且 3时, 方程组有唯一解, 可由 A 唯一表示.
-12-
3 时, 方程组有无穷多解, 可由 A 无穷多种表示.
1
1 2
,
2
3 4
是无关的.
1
3
n r( Amn ) r(Bln ) n
1 , 2 也是无关的.
2
4
r(Bln ) n
1
再如：1
2 0 0
,
0
2
101,
0
3
9 0 1
.
-27-
(7)含有n个向量的n元向量组线性相关（无关）
由它构成的n阶矩阵的行列式 | A | 0 (| A | 0) 例4 t 取何值时,下列向量组线性相关 ? P101推论2
(用矩阵的秩) r( A) n
把向量组排成矩阵，如果矩阵的秩等于向量的个数就线性 无关，否则如果矩还阵是的转秩换小！于转向换量线的性个无数关就…线性相关。
-18-
例1
1
0
2
1 1,2 2,3 4,
1
5
7
问向量组 {1,2 ,3 } 和 {1,2 }的线性相关性?
复旦大学精品课程《线性代数》课件,第三章n元向量的线性关系课件复习精品资料
3.3 n元向量的线性关系一.线性组合和等价向量组定义3.1n 个数组成的有序数称为n 元向量，其中称为这n 元向量的第i 个分量，常用或表示n 元向量。
12(,,,)n a a a i a αβ12(,,,)Tn a a a α=12 n a a a α⎛⎫ ⎪ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭n 元列向量（常用）：n 元行向量：12 ,n a a a α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭12 n b b b β⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭定义3.2 两个n 元向量：当他们各个分量对应相等时，即则称与相等，记做12,1,2,,,a b i n ==αβ.αβ=定义3.2 设n 元向量与，k 为数，则n 元向量αβ1122 ,n n a b a b a b +⎛⎫ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭12 n ka ka ka ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭称为与的和，k 与的数量乘积。
αβα•通常将向量的加法、数乘运算称为向量的线性运算。
定义3.3 设一组向量，若存在一组数，使12,,,,m βααα12,,,m k k k 1122m mk k k βααα=+++则称是向量组的线性组合，或称可以由向量组线性表示。
β12,,,m αααβ12,,,m ααα(1).零向量可以经任意向量组线性表示。
(2).任一n 元向量可以经由n 元向量组线性表示式：0(0,0,0)T=12(,,,)Tn a a a α=1(1,0,,0),(0,0,,1)T T T Tn e e ==1122.n n e e e αααα=++•向量是矩阵A 各列向量的线性组合的两个充要条件：•线性方程组相容。
•矩阵的秩与矩阵相同。
且线性表示式中系数可以由线性方程组的解给出。
β12,,,m αααAX β=12(,,,)m ααα12(,,,,)m αααβ例1已知向量试问可否经向量组线性表示。
12(1,0,2,1),(1,0,2,1),T Tαα==34(2,1,3,0),(2,5,1,4),TTαα==-4α123,,ααα解记1231234(,,),(,,,).A A ααααααα==1122021520311104A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪⎝⎭312R R -41R R -32R R +41/2R -34,R R 交换1122021502150022⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪-⎝⎭112202150000011⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭11220215001100⎛⎫ ⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭记B可以看出，根据充要条件(2)，可以得出可以经由线性表示。
线性代数重点题型总结
第四章
4.1 ①求特征值与特征向量，例2、例3
②特征值与特征向量性质考察，例7，习题2
其他：例5
4.2 ①判断某阵能否对角化，并求幂。
例、习题1、2
②两阵相似，求阵中的未知数。
习题1、3、14
4.3 ①将向量正交化or单位化（方法见P185），习题16、17
②已知实对称矩阵，求正交阵使Q−1AQ为对角阵，例4、例5、习题22、23
注意出现多重特征值时要先正交化再单位化
证明类：习题7、3、19、P172 例5
第三章
3.1①线性方程解的情况：无解、唯一解、无穷解、线性方程的非零解时r（A）和r（A|b）的关系。
例1、例2、例3、例4
3.2①向量的4则运算，分配律、结合律。
②某向量能否被另一向量组线性表示，充要条件是
r（α1….αn）＝r（α1…αn,β）。
例5、习题7
③向量组是否等价（能相互表示即可）例6
3.3①判断已知向量组是否线性相关（即r（A）＜n），p130例4、习题10、14、15、
3.4①判断某向量组的一个极大无关组，并用它表示其他向量。
例2，习题16、17
3.5①求方程组的基础解系，分齐次和非齐次的。
例1、2、4
第二章
2.2①加减乘法，习题6、23。
注意6题体现规律，矩阵左乘变列，右乘变行。
②矩阵转置和矩阵行列式的性质，用于判断题。
2.4－2.7①分块矩阵、逆矩阵，矩阵的秩习题33、47、48、51
第一章
重点习题：1.3（例5、例7、例6），
1.4行列式按行列展开（例4）
习题21、22、24、32、35。
线性代数—3.3 向量空间
一、向量空间的概念 二、向量空间的基和维数 三、基变换与过渡矩阵
一、向量空间的概念
例1 设 V 为平面上所有起点在定点 O 的向量的集合.
集合 V 具有如下性质: (1) 若 aV, bV, 则 a + bV;
B
a2 a
(2) 若 aV, kR, 则 kaV, 称 V 为平面向量空间.
a 可唯一地表示为 a k1a1 + L + krar
称 (k1, , kr) 为向量 a 在基 a1, , ar 下的坐标.
例4 验证 a1 (1,-1,0)T, a2 (0,1,3)T, a3 (2,1,8)T 为R3 的 一个基, 并求 b1 (5,0,12)T, b2 (9,-7,8)T, b3 (3,1,11)T 在这
O a1 A
uuur uuur a OA + OB k1a1 + k2a2
设 V 中两向量 a1, a2 线性无关, 即 a1, a2 不共线, 则
V {k1a1 + k2a2 | k1,k2 R} 称 V 为由向量组 a1, a2 生成的向量空间.
例2 设 n 元方程组 Ax 0 的解集为 S, 秩 R(A) r < n.
• L(A) 为向量空间V 的子空间的充要条件是 A V . • L(B) 为 L(A) 的子空间的充要条件是向量组 B 可由组 A 线性表示. • L(A) L(B) 的充要条件是向量组 A 与组 B 等价.
例3 由 a1 (1,1,0,0)T, a2 (1,0,1,1)T 所生成的空间记为V1, 而由 b1 (2,-1,3,3)T, b2 (0,1,-1,-1)T 所生成的空间记为V2.
(-1,-4,3), (13,8,-2), (1,1,1)
线性代数第三章
例4 向量组 α1 , α 2 ,⋯ , α s 中的 任意一个向量 α j ( j = 1, 2,⋯ , s ) 都可 由该向量线性表示， 由该向量线性表示，因为 α j = 0α1 + ⋯+ 1α j + ⋯+ 0αs
例题4 例题 详见教材85页 详见教材 页
（例5 + 例6） ）
定义3.3.2给定向量组 给定向量组 定义
例6
设有线性方程组
x1 + x2 − 2 x3 + 3x4 = 0 2 x + x − 6 x + 4 x = −1 1 2 3 4 3x1 + 2 x2 + ax3 + 7 x4 = −1 x1 − x2 − 6 x3 − x4 = b
讨论当 a , b 为何值时， 为何值时， 方程组有解？（ ？（2 无解？ （1） 方程组有解？（2）无解？ （3）当有解时，试求出其解。 当有解时，试求出其解。
0 = (0, 0,⋯ , 0)
n维向量 α = (a1 , a2 ,⋯ , an ) 的各分量都取相反数组成的向 维向量 量称为的负向量， 量称为的负向量，记作
−α = (−a1 , −a2 ,⋯ , −an )
α 定义3.2.3 如果 维向量 = (a1 , a2 ,⋯ , an ) 如果n维向量 定义
3、仅含有两个向量的向量组线性相关的充分必要条件是这两个向量的 、 对应分量成比
定理3.3.1 向量组 A : α 1 , α 2 , ⋯ , α m 线性相关当且仅当以 A = (α1 , α 2 ,⋯ , α m ) 定理 为系数矩阵的齐次线性方程组 AX
=0
有非零解。 有非零解。
推论3.3.1向量组 A : α 1 , α 2 , ⋯ , α n 线性相关当且仅当矩阵 A = (α1 , α 2 ,⋯ , α n ) 向量组 推论 的行列式值为零。 的行列式值为零。 定理3.3.2向量组 A : α1 , α2 ,⋯, αm (m ≥ 2) 线性相关的充要条件是向量组A: α1,α2 ,⋯,αm 向量组 定理 中至少有一个向量可由其余向量线性表示。 中至少有一个向量可由其余向量线性表示。
线性代数 向量组线性相关性的判别定理
3.α1 = ( 2,3,1,0) , α 2 = (1,2,5,7 ) , α 3 = ( 5,8,7,7 ) ,
T T T
2 3 解 Q α 1 , α 2 , α 3构成矩阵 A = 1 0
T
T
3.α1 = ( 2,3,1,0) ,α2 = (1,2,5,7) ,α3 = ( 5,8,7,7) ,
T T T
1 2 5 7
5 8 , 7 7
T
可求得r ( A) = 2 < 3, ∴α1 , α 2 , α 3线性相关
T
4.α1 = (1,0,0,2) ,α2 = ( 0,1,0,1) ,α3 = ( 0,0,1,4)
T T
解.Q e1 = (1,0,0) , e2 = ( 0,1,0 ) , e3 = ( 0,0,1) 线性无关 T T T ∴α1 = (1,0,0,2 ) , α 2 = ( 0,1,0,1) , α 3 = ( 0,0,1,4 ) 线性无关
3.3线性相关性的判别定理 线性相关性的判别定理
内容：4个定理 内容： 个定理
定理1 定理1
若 向量组 A：α1 , α 2 ,L , α r 线性相关, 则向量组
B : α1 , L, α r , α r +1 L , α m 也线性相关.(部分相关，则整体相关） 反言之, 若向量组B 线性无关, 则 向量组A也线性无关 .
证明 Q向量组 A：α1 , α 2 ,L, α r 线性相关,
∴ ∃不全为零的数 k1 , k 2 , L , k r ，使得k1α1 + k 2α 2 + L + k rα r = 0 即为 k1α1 + k 2α 2 + L + k rα r + 0α r +1 + L + 0α m = 0 k1 , k 2 ,L , k r ,0 L 0为m个不全为零的数 ∴向量组B : α1 , L , α r , α r +1 L , α m 也线性相关. 向量组B 的向量组是线性相关的向量组。 推论： 含有零向量的向量组是线性相关的向量组 推论： 含有零向量的向量组是线性相关的向量组。
线性代数英文课件3.3
1 3 5
Solution: We row-reduce each of the given matrices to get the RREF matrix. (You’ve had lots of practice with row-reducing by now, so the details of the reduction are not shown here. Of course, you should feel free to check that the RREF matrices shown here are correct.) 1 1 −1 1 0 0 RREF 2 1 − (a) 1 − − − → 0 1 0 −2 −3 4 0 0 1 The RREF of A does not contain any zero rows (i.e. rows containing only zeroes), so there are 3 non-zero rows. Therefore r(A) = 3, and since A has 3 columns, A has full rank. 1 1 1 1 1 1 RREF (b) 2 2 2 − − − − → 0 0 0 3 3 3 0 0 0 This time, there are some zero rows in the RREF of A. In fact, the RREF of A has only one non-zero row, so r(A) = 1. (And since A has more than 1 column, A does not have full rank.) 1 (c) 2 3 1 0 1 1 RREF 3 3 − − − − → 0 1 3 5 0 0 0 0 1
1线性代数 3.3线性方程组的解
x1 x2 x3 x4 0,
例4
求解方程组
x1 x2 x3 3 x4 1,
x1 x2 2 x3 3 x4 1 2.
解 对增广矩阵B施行初等行变换:
1 1 1 1 0 B 1 1 1 3 1
1 1 2 3 1 2
~
1 0
1 0
0 1
1 2
1 2 1 2,
c1
br
1
r1 1
br
2
r2 0
n
br ,n 0
r
cr
r1
0
1
0
r
2
0
0
1 n
由于与都是方程Ax 0的解,而Ax 0又等价于
方程组
x1 b11 xr1 b1,nr xn
x
r
br1 xr1
br ,nr xn
3 x3 3 x3
5 x4 2 x4
5x5 0 x5 0
3 x1 x2 5 x3 6 x4 7 x5 0
解 对系数矩阵施 行初等行变换
1 1 1 4 3
A
2 1
1 1
3 3
5 2
5 1
3 1 5 6 7
1 1 1 4 3 1 1 1 4 3
~
0 0
1 2
1 2
若至少有一个bi 0(i 1, 2, , m), 则称方程组(3.3)为非齐次线性方程组;
能使每个方程变为恒等式的n个数 x1, x2 , xn 称为
方程组的解.
至少有一个解的方程组称为相容的. 如果方程组没有解,就称这个方程组不相容.
具有惟一解的方程组称为确定方程组. 具有多于一个解的方程组称为不定方程组.
线性代数3.3实对称矩阵的特征值和特征向量
05
实对称矩阵的应用举例
在二次型中的应用
二次型的标准型
通过实对称矩阵的正交变换，可 以将二次型化为标准型，从而简 化问题的求解。
二次型的正定性
利用实对称矩阵的特征值性质， 可以判断二次型的正定性，进而 解决优化问题。
二次曲面分类
实对称矩阵的特征值和特征向量 可用于二次曲面的分类，如椭球 面、双曲面等。
1. 求出矩阵$A$的特征多项式$f(lambda)$。
3. 对于每个特征值$lambda_i$，求出对应的特征向量 $alpha_{i1}, alpha_{i2}, ldots, alpha_{ik}$，其中$k$是 $lambda_i$的重数。
5. 计算$P^{-1}AP = Lambda$，其中$Lambda = text{diag}(lambda_1, lambda_2, ldots, lambda_n)$。
线性代数3.3实对称 矩阵的特征值和特征
向量
目录
• 引言 • 实对称矩阵的应用举例 • 总结与展望
01
引言
课程背景与目标
课程背景
线性代数是数学的一个重要分支，广泛应用于各个学科领域。实对称矩阵作为一 类特殊的矩阵，具有很多重要的性质和应用。特征值和特征向量是矩阵理论中的 核心概念，对于理解矩阵的性质和解决实际问题具有重要意义。
迭代法
通过构造迭代序列来逼近特 征值和特征向量，如幂法、 反幂法等。
特征值与矩阵性质的关系
特征值与矩阵的行列式
矩阵的所有特征值的乘积等于其行列式 的值。
特征值与矩阵的秩
如果矩阵至少有一个非零特征值，则 其秩大于等于1；如果矩阵所有特征
值都为零，则其秩为零。
特征值与矩阵的迹
线性代数课件-3.3向量组的秩
i , i ,, i 是向量组 1 , 2 ,, m 的一个极大线性无关组 i , i ,, i 满足：
1 2 r 1 2 r
（1） i1 , i2 ,, ir 是 1 , 2 ,, m 的部分组
（2）i1 , i2 ,, ir 线性无关
（3）任意r+1个向量构成的部分组线性相关，
1 , 2 ,, m 的两个极大无关组，则有
因为
i1 ,i 2 ,,ir ≌ j1 , j 2 ,, js i1 ,i 2 ,,ir ≌ 1 , 2 ,, m 1 , 2 ,, m ≌ j1 , j 2 ,, js
• 等价的性质：
（1）反身性：任一向量组与自身等价。
即
1 , 2 ,,பைடு நூலகம் m
≌ 1 , 2 ,, m
（2）对称性：若1 , 2 ,, m ≌ 1 , 2 ,, s
则
1 , 2 ,, s ≌ 1 , 2 ,, m
由于 3可由1， 2线性表示
1 , 2 , 3 线性相关。
定理3· 若向量组1 , 2 ,, m 可由向量组 8 1 , 2 ,, s 线性表示，且m>s, 则向量组 1 , 2 ,, m 线性相关。
证明： 因为1 , 2 ,, m可由 1 , 2 ,, s线性表示
故
1 , 2 ,, m ≌ i1 ,i 2 ,,ir
定理3· 向量组 1 , 2 ,, m 和它的极大无关组 7
i1 , i 2 ,, ir 等价。
推论：同一向量组的任意两个极大无关组等价。 即 若 i1 , i 2 ,, ir 和 j1 , j 2 ,, js 是向量组
二、等价 定义3· 9 设有两个向量组
线性代数-正交矩阵
的一个规范正交基. e1 , e2 ,, en是Rn的规范正交基
e
T i
e
j
0, 1,
i j; i j.
1 1 0 0
2
2
0
0
e1
1 2
,e2
1
2
, e3
1 2
,e4
Y Y TY X T AT AX X T X X
正交变换保持向量的长度不变.
本节小结 内积与正交变换 α,β αTβ
1. 正交向量组 [αi ,α j ] (αTi ,α j ) 0
线性无关(Th5.3)
2. 规范正交化 正交基
必可逆
3. 正交矩阵 三条性质
正交规范基 i eTi a [ei ,a] AT A E AT A1
(1,1,1)
(
1 2
, 1,
1) 2
则 β1,β2,β3为正交向量组. 然后再单位化得
e1
1
1
1 (
1 ,0, 2
1 ), e2 2
1 2
2 (
1, 3
1, 3
1
), 3
e3
1 3
3 (
1 , 6
2, 6
1 ). 6
那末，e1,e2,e3 就是所求的正交单位向量组.
附加定义设n维向量e1,e2, ,er是向量空间V(V Rn)的一个基，
内积的基本性质 [, ] a1b1 a2b2 anbn (1) [, ] [, ]
(2) [k, ] kk[a1,b1 ]k[a2,bk2] kanbn (3) [1 2, ] [1 , ] [ 2 , ]
线性代数各章学习要点3
第3章n维向量和线性方程组向量是线性代数的重点内容之一，也是难点，对逻辑推理有较高的要求。
本章从研究向量的线性关系（线性组合、线性相关与线性无关）出发，然后讨论向量组含最多的线性无关向量的个数，即引出向量组的秩和最大无关组，最后，应用向量空间的理论研究线性方程组的解的结构。
无论是证明、判断、还是计算，关键在于深刻理解本章的基本概念，搞清楚其相互关系，并会灵活应用。
3. 1 n维向量及其运算定义（n维向量）由数域F中的n个数a-i,a2/ , a n组成的有序数组-■ - ( a i, a2, , a n)a2耳一称为数域F上的一个n维向量，前者称为行向量，后者称为列向量，其中a1, a2 / ,a n称为向量的分量（或坐标）。
分量是实（复）数的向量称为实（复）向量。
如果没有特殊的声明，以下所讨论指数域F上的向量。
行向量可以看成行矩阵，列向量看成列矩阵，向量的运算规定按矩阵的运算法则进行。
以下讨论的向量，再没有指明是行向量还是列向量时，都当作列向量。
设有向量■■ = （a i,a2,…，a n），- - （b1 ,b2 / , b n ）则向量相等的定义为- a i = b i （i=1,2,…,n）向量的加法定义为a + P =（a i +b i a? +b2 …a* +b n T数乘向量的定义为k：（「k）二（ka i,ka2, ,ka n）T向量的加法以及数乘运算统称为向量的线性运算，它满足下列8条运算规律（其中：■,'-,为n维向量，k,l为常数）：（1）二：+：= ：+=；)( :• - ) ( - )；(3)存在零向量0= ( 0,0，…，0 ) T，使得〉+0= ;(4)存在:-的负向量-二=(_a i,_a2,…，-a n)T,使得〉+ (-二)=0；(5)仁• = ：•；(6)k(l ： )=(kl):-;(7)k(: + 1 )=k +k :;(8)(k+l)用=k : +1 :;如果记矩阵A = (a j )m n的第j列向量为：a i ja2jQ j = : , (j=1,2,…,n)貝一则由向量的线性运算，可将方程组Ax=b写成下列形式：论一：* - X2J2…'x n J n二 b而齐次线性方程组A X=0则可写成向量形式：Xv 1 ■ X2： 2 …• X n： n = 03. 2向量组的线性相关性定义(线性组合)设宀，：^，…，〉m是一组n维向量，k1, k2/ ,k m是一组常数，则称向量kr 1 k2： 2 k m： m为向量〉1,〉2,i,〉m的一个线性组合，并称k1,k2 / , k m为该线性组合的系数。
线性代数3a
线性代数
第3章 向量空间
3.2 向量的线性相关性
定理3.2.2 设
s 个 n 维向量
a1s a2 s , s , ans
a11 a12 a a22 21 1 , 2 , a n1 an 2
(1) 得
( 2)
特别注意( 2 )中未知量个数 s ，方程式个数 n , 向量方程式( 1 )有解和 线性方程组（ 2 ）有解是一回事，
因而有定理 3.2.1。
线性代数
第3章 向量空间
3.2 向量的线性相关性
例1 判断下列向量 能否由向量组 1 , 2 , 3 线性表示,若能,试 写出它的一种表达式,其中
行向量 列向量
n 维向量的第 i
个分量.
a1, a2 , , an
a1 a2 a1 , a2 , an
, an
T
线性代数
第3章
向量空间
3.1
n维向量
定义3.1.2
向量的分量都是零的向量称为零向量,记为
0 0,0,
1 3 5 5 ,1 1 1 3 1 ,
2 2 3 7 4 ,3 0 1 1 2 .
例2 设
1 1 5 2 1 1 , 3 , 3 , 2 3 4 0 1 t 1
,s s 2 线性相关的充分必要条件
为其中有一个向量可由其余向量线性表示. 推论1 向量组 1,
,s s 2 线性无关的充分必要条件
是其中每一个向量都不能由其余向量线性表示.
线性代数3.3向量组线性相关性的判别定理
线性代数3.3向量组线性相关性的判别定理线性代数是数学中的一个分支，它研究向量空间和线性映射等代数结构的性质和规律。
在线性代数中，向量组的线性相关性是一项基本概念。
本文将介绍向量组线性相关性的判别定理。
在数学中，如果存在一组非零向量$\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\cdots,\boldsymbol{v}_n$以及一组不全为零的标量$k_1,k_2,\cdots,k_n$，使得向量组的线性相关性判别定理是指，存在一个简单的方法，可以判断一个向量组是否是线性相关的。
推论：零向量不参与线性相关性的判断但是，如果向量组中包含了零向量，那么零向量不参与线性相关性的判断。
因为任何向量与零向量的线性组合都等于零向量，所以如果向量组中包含了零向量，只有当其他向量出现线性相关性时，才能称向量组是线性相关的。
证明：因为$k_1,k_2,\cdots,k_n$中至少有一个不为零，不妨设$k_1$不为零。
则有因此，向量$\boldsymbol{v}_1$可以表示为其余向量的线性组合。
$$\boldsymbol{v}_i=k_1\boldsymbol{v}_1+k_2\boldsymbol{v}_2+\cdots+k_{i-1}\bold symbol{v}_{i-1}+k_{i+1}\boldsymbol{v}_{i+1}+\cdots+k_n\boldsymbol{v}_n$$将上式代入得到总结向量组的线性相关性是线性代数中的一个重要概念，它与矩阵的秩、行列式、特征值等有密切的关联。
在实际应用中，判断向量组的线性相关性是很有用的，例如在计算机图形学、信号处理、机器学习等领域中，经常需要对向量组进行操作和分析。
通过本文所介绍的向量组线性相关性的判别定理，我们可以更方便地应用向量空间理论解决实际问题。
线性代数第三章 线性空间和线性变换3.3 欧几里得空间简介
向量个数不会超过n个。（因为线性无关的非零
向量个数不会超过n个） 其几何意义就是：在平
面上找不到3个两两垂直的非零向量，在空间中找
不到4个两两垂直的非零向量。
定义3.17 在n维欧氏空间V中，由n个向量组成的正交向量 组称为V的一个正交基；由单位向量组成的正交基称为标 准正交基。
§3.3 欧几里得空间简介
一、定义与基本性质 首先看一下向量的内积 定义3.12设V是实数域R上一个线性空间，在V上定义
了一个二元函数，称为内积，记作(α,β),它具有以 下性质:
(1) (α,β)= (β, α); (2) (kα,β)=k (α,β); (3) (α+β,γ)= (α, γ)+(β,γ); (4) (α,α)≥0,当且仅当α=0时, (α,α)=0. 其中αβγ是V中的任意向量,0为V中的零向量,k是 任意实数.这个定义了内积的线性空间V称为
同构映射。
相关结论： (1)、任意一个n维欧氏空间V都与n维欧氏空间R n同构 (2)、两个有限维欧氏空间同构的充要条件是它们有相同的维数
定义2.21: 如果一个非零向量组(即该向量组中的向
量都不是零向量) 1, 2, ,s (s2) 中的向量两两 正交, 则称1, 2, ,s为一个正交向量组.
，x n
)
,
则
xi ( ,i ), (i 1, 2,L , n)
设，
V，在V的标准正交基1，
2，L
，
下，有：
n
＝x11 x2 2 L xn n
＝y11 y2 2 L yn n
则(, )=x1 y1 x2 y2 L xn yn
线性代数第三章3.1,3.2,3.3
an1 an, j1 bnn an, j1 ann
Aj
线性代数 第三章 §3.1,3.2,3.3 (行列式展开法则)
xj
Aj A
3
例1 用Cramer则解方程组
2 x1 x2 5 x3 x4 8,
x1 3 x2 6 x4 9, 2 x2 x3 2 x4 5,
7 7 12
c1 2c2 c3 2c2
3 5 3 0 1 0
7 7 2
3 3
27,
7 2
8 1 5 1 9 3 0 6 D1 5 2 1 2 0 4 7 6
81,
线性代数 第三章 §3.1,3.2,3.3
2 8 5 1 1 9 0 6 D2 0 5 1 2 1 0 7 6 108,
本节主要讨论方程的个数与未知量的个数相等时
线性方程组解的解法.
方程的个数与未知量的个数不相等时线性方程组 解的解法在3.3节讨论 .
线性代数 第三章 §3.1,3.2,3.3
1
定理3.1 (克莱姆法则 )如果方程组系数行列式
a11 a12 ... a1n
A a21 a22 ... a2n 0 ... ... ... ...
2
证明: 对于该线性方程组Ax b,若 A 0, A可逆,且
A1
A A
,由Ax b得x
A1b
A b A
(左乘)
A11
而Ab A12
A1n
A21 A22
A2n
An1 An2
Ann
b1 b2
所以，线性方 程组的解唯一
高等代数第二版课件§3.3线性相关性
线性相关性可以用于研究几何图形中的向量、线性变换和线性子空间等概念。例如，在 解析几何中，线性相关性可以帮助我们分析平面或空间中的直线、平面和曲面之间的关
系。
在线性方程组中的应用
总结词
线性相关性在解决线性方程组问题中起 着关键作用，它可以提供有效的算法和 技巧来求解线性方程组。
VS
详细描述
03
在学习过程中，我们需要注意线性相关与线性无关的区别。线性相关表示向量 之间存在某种依赖关系，而线性无关则表示向量之间相互独立。理解这两种关 系对于深入理解高等代数的其他概念非常重要。
线性无关性的总结
01
线性无关性是高等代数中的另一个重要概念，它描述了向 量之间的独立关系。在本章中，我们学习了线性无关的定 义、性质以及判定方法。线性无关的应用也十分广泛，例 如在向量空间的基底、矩阵的秩等概念中都有涉及。
2
如果向量组中任何一个向量可以由其他向量线性 表示，则该向量组线性相关。
3
如果向量组的秩小于向量的个数，则该向量组线 性相关。
向量线性无关的推论
如果向量组中的部分向量线性相关，则整个向 量组也线性相关。
如果向量组中增加一个线性相关的向量，则整 个向量组也线性相关。
如果向量组中增加一个线性无关的向量，则整 个向量组不一定线性无关。
04
线性无关性的概念
向量线性无关的定义
01
向量线性无关的定义：如果向量组中的向量个数大 于向量的维数，则该向量组线性无关。
02
线性无关的向量组中任意向量不能由其他向量线性 表示。
03
线性无关的向量组具有唯一性，即如果存在两个线 性无关的向量组，则它们是等价的。
向量线性无关的判定定理
1
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0 0 1 0 0 1 0 0
知R(1, 2 , 4 ) 3，故1, 2 , 4线性无关
且 3 1 2 , 5 41 3 2 3 4
的一个极大无关组，并把不属极大无关组的向量 用极大无关组线性表示.
解 对A施行初等行变换变为 行阶梯形矩阵
2 1 4 1 1 r1 r2 ,r2 2r1 3 1 6 A r3 4r1 ,r4 3r1 0 3 0 10 10 6 12 0 3 3 4 3
具体做法： 以已知的向量组作列向量构造矩阵A,对A施行初等行变 换化为行最简阶梯形矩阵R.通过R判断其列向量组的线 性关系，从而得到原来向量组的一个极大无关组.
【例】求向量组1 (2,1, 4,3), 2 (1,1, 6,6),
3 (1, 2, 2, 9), 4 (1,1, 2,7), 5 (2, 4, 4,9),
~
4 1 1 2 1 r3 3r4 ,r2 r3 r4 r3 ,r3 3r2 0 1 1 6 21 0 0 0 19 57 0 0 0 3 9
~
1 1 2 1 4 r2 ( 1),r3 ( 1 / 19) 0 1 1 0 3 r4 3r3 ,r2 6r3 0 0 0 1 3 0 0 0 0 0 1 0 1 0 4 r1 r3 ,r1 r2 0 1 1 0 3 0 0 0 1 3 0 0 0 0 0 知R( A) 3， 故向量组的极大无关组含3个向量.
【例1】
向量组1 (1,1,1),2 (1,0,0), 3 (0,1,1)的极大无关组？
极大无关组的性质
性质1. 任意一个极大无关组都与向量组本身等价.
推论 向量组的任意两个极大无关组彼此等价.
由定理3的推论2,等价的线性无关向量组所含的向
量个数相同,得 量个数相同.
性质2. 一个向量组的任意两个极大无关组所含的向
三、矩阵的秩与向量组秩的关系
定理
矩阵的秩等于它的列向 量组的秩，也等于 它的行向量组的秩 .
证 设A (1 , 2 , , m )，R( A) r, 并设r阶子式 Dr 0. 则Dr 所在的r列线性无关； 又由A中所有r 1阶子式均为零，知 A中任意 r 1个列向量都线性相关 . 因此Dr 所在的r列是A 的列向量的一个极大无关组， 所以列向量组的秩 R( A). 等于r .类似可证A的行向量组的秩也等于
n
【例】设A和B均为 m n矩阵,则 r ( A B) r ( A) r ( B)
【例】若乘积矩阵AB存在,则有r ( AB) min(r ( A), r ( B)) .
证 设矩阵C(C AB)和A用其列向量表示为
C ( 1,
由 ( 1 ,
, n ), A (1,
的秩都是2,显然不能相互线性表出,即两个向量组不等价.
即:等价必等秩,等秩不一定等价.
3、向量组线性无关的充分必要条件是向量组的秩等于 向量组所含向量的个数；向量组线性相关的充要条件
是向量组的秩小于该向量组所含向量的个数。
4、向量组1,2 , ,m 的子组i ,i , ,i 为极大无关
的秩.
2.向量组极大无关组的求法
由初等变换不改变矩阵的秩可得如下推论: 矩阵的初等行变换不改变列向量之间的 B= 1 , 2 , , n
初等行变换
A中列向量组的一个部分组与B中列向量组对应位置的部 分组有完全相同的线性关系.
, n ) (1 ,
, s ). 而B (bij )， b1n b11 , s ) b b sn s1
知矩阵C的列向量组能由A的列向量组线性表示， 因此R(C ) R( A).
因C T BT AT ,由上段证明知 R(C T ) R( BT ), 即R(C ) R( B ).
二、向量组的秩
定义 向量组A的极大无关组所含向量的个数r称为该 向量组的秩,记为R(A)或r (A).
只含零向量的向量组中没有极大无关组，规定 它的秩为0.
注意
1、等价的向量组秩相同；
2、秩相同的两个向量组不一定等价。
0 0 1 0 0 0 0 1 例如:向量组 1 0 , 2 0 与 3 1 , 4 0 0 1 0 0
四. 向量组的秩和极大无关组的求法
1.向量组秩的求法
以已知的向量组作列向量构造一个矩阵A运用初等行变换 将A化为行阶梯形矩阵并求出 ,r A 就是所求向量组的秩.
【例】求向量组 1T 1,3, 2,1 ,2T 2,6, 3,0 ,3T 1,3, 1, 1
（简称极大无关组。）
那么是不是每一个向量组都 有极大线性无关组呢？
从定义的表述，当向量组 1 ,2 , 它的极大线性无关组就是自身。
, m
线性无关时，
全由零向量组成的向量组，因其任何一部 分组都是线性相关的，所以没有极大线性 无关组。除此之外，一般来说任意一组不 全为零向量组成的向量组都存在极大无关 组。
§3.3 向量组的秩
一个向量组可能包含很多向量，甚至无穷多个向量。比如齐次线性 方程组AX O的解向量，当 秩( Amn ) n 时就有无穷多个。 故一般而言很难甚至不可能对一个向量组的向量逐个研究，为此就 有必要从中选出若干个作为“代表”，用这些“代表”来表示向量组 所有向量。 这种想法当然是可以实现的，比如前述的 n 个 n 维向量 1 , 2 , , n ，他们的线性组合就能表示所有的 n 维向量，故 1 , 2 , , n 就是所有n 维向量（无穷多个）的代表。 上节的例子让我们注意到1, 2 , , n 是线性无关的，任意一个 n 维向量 可以由 1 , 2 , , n 线性表示。
1 2 r
子组的充分必要条件是该部分组线性无关，且任意
r 1个向量（只要存在）都线性相关。
5、如果向量组A的秩为r ，则A中任意r 个线性无关
的子组均是其极大无关子组
【例】 若向量组(A)可以由向量组(B)线性表 出,则(A)的秩不超过(B)的秩. 任意n维向量组A的秩 r ( A) n
【例】
为了描述这种“代表”，下面我们引入向量组的极大线性无关组的概
一、极大无关子组
定义 设有向量组A，如果在A中能选出r个向量
i1 , i 2 , , ir，满足 （）向量组 1 A0 : i1, i 2 , , ir 线性无关；
（2）向量组A中的任意一个向量都可以由A0线性表示 那么称向量组A0是向量组 A的一个极大线性无关子组。
~
~
而三个非零行的非零首 元在1、 2、 4 三列，
故 1 ,2 ,4 , 为向量组的一个极大无关组.
事实上
2 1 1 1 1 1 （1 , 2 , 4 ) 4 6 2 3 6 7
1 初等行变换 0 ~ 0 0
向量组1,2 ,
结论
, m的秩也记作 R(1 , 2 ,
,m )
若Dr 是矩阵A的一个最高阶非零子式，则Dr 所在的r列即是列向量组的一个极大无关组，Dr 所在的r行即是行向量组的一个极大无关组.
说明
（）极大无关组不唯一 1 ; （2）向量组与它的极大无关组是等价的.
【例】 全体n维向量构成的向量组记作R n，求R n的 一个极大无关组及R 的秩.